Đáp án HSG Toán học lớp 12 Bắc Ninh 2015-2016 - Học Toàn Tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.49 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán – Lớp 12

Câu Lời giải sơ lược Điểm

1 3,0

Hoành độ của M và N là nghiệm của pt:

(3 ) ( 4) 0(1)

2 4

1
1

x m x m

x

x m
x

x

ìï + - - + =

- ùù

= - + ớù ạ

-+ ùùợ

0,5
Vì D = m2 - 2m + 25> 0, "m và x = - 1 không là nghiệm của

( )

1 nên

( )

1 ln có hai

nghiệm phân biệt khác - 1,"m Þ

( )

d ln cắt

( )

C tại hai điểm phân biệt.

0,5
Do các điểm O và A thuộc đường thẳng D :y = - x nên để OA MN là hình bình hành thì

5 2

MNOA 0,5

Gọi M x( ;1 - x1 + m),N x( ;2 - x2 + m) với x x1, 2 là nghiệm của

( )

1 . Ta có 1 2

1 2

( 4)

x x m

x x m

ìï + =

-ï

íï = - +

ïỵ 0,5

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2( ) 2 ( ) 4 2 4 50

MN x x éx x x x ù m m

Þ = - = êë + - úû= - +

2 2

5 2 2 4 50 50

0
m

MN m m

m
é =
ê

= Þ - + = Û ê

=
êë

0,5
+ m = 0 thì O A M N, , , thẳng hàng nên không thỏa mãn.

+ m = 2 thỏa mãn.
Chú ý:

Học sinh sử dụng điều kiện OA = NM
uuur uuuur

vẫn cho tối đa điểm 
Nếu không loại trường hợp m = 0 trừ 0,5đ

0,5

2.1 2,5

PTÛ 2 cos2 cosx x = +1 sin 2x + cos2x Û cos 2 (2 cosx x - 1)= 1+ 2 sinxcosx 0,5

2 2 2

(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin )x

Û - - = +

cos sin 0 (1)

(cos sin )(2 cos 1) cos sin (2)

x x

x x x x x

é + =

Û ê - - = +

êë

1,0

(1) 2 sin 0

4 4 4

x p x p kp x p kp

æ ửữ

ỗ ữ

ỗỗ + ữữ= + = = - +

ỗố ứ 0,5

(

)

cos 0

(2) 2 cos (cos sin 1) 0

2 cos 1

2
4

4 4

x x k

x x x k

x

x k

p

p
p

p p

p
é

é = ê =

ê ê

ê ỉ ư

Û - - = ờ ỗ ữ ờ ẻ

ữ

+ =

ỗ ữ ờ

ờ ỗỗố ữứ ờ + = +

ờở ở

Vy pt có nghiệm là

x = - p + kp, , 2

(

)

.
2

x = p + kp x = k p k ẻ Â

0,5

2.2 2,5

( )

(

)

(

)

( )

(

)

2
2

2 4 2 1 2 3 0 1

, .

4 4 4 2 1 1 1 3 7 2

x xy y x y

x y

x x x x y x

ìï - - - + - - + =

ïï Ỵ

íï - - - + - - - =

-ïïỵ ¡

Điều kiện 1; 3 1

2 2

x ³ - £ y £ -

Phương trình

( )

1 Û

(

x - y - 2

)(

x + 2

)

(

2x- 1- 2y + 3

)

= 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trường hợp 1:

1
2

2 1 2 3 0

3
2
x

x y

y
ìïï =
ïïï

- + + = Û í

ïï = 
-ïïïỵ

, khơng thỏa mãn hệ phương trình
Chú ý:

Nếu không xét trường hợp 2 - 1x + 2y + 3 = 0 thì trừ 0,25đ 
Trường hợp 2: 2x - 1+ 2y + 3 ¹ 0

( )

(

)(

)

(

)

2 1 2 3

x y

x y x

x y

-Û - - + + =

- + +

Û x- y - 2= 0 ( Vì

(

)

2 0,

2 1 2 3

x

x y

+ + > "

- + +

1 3

; 1

2 2

x ³ - £ y £ - )

0,5

Thế vào phương trình

( )

2 ta được

(

)

(

)

( )

4x - 4x - 4 2x - 1+ x - 1 1- x - 3x + 7= 0 3 , ĐK 1;1
2

x Ỵ ê úéê ùú

ë û

Với 1;1
2
x Ỵ ê úéê ùú

ë û

ta có

4 4 4 0

2 1 1

2 1.1

x x

x

x x

ìï - - <
ïïï

í - +

ï - £ =

ïïïỵ ( Theo bất đẳng thức Cauchy)

Kết hợp với phương trình

( )

3 ta có

(

)

(

)

0³ x 4x - 4x - 4 - 3x + 7+ x - 1 1- x

1,0

(

)

3 2

0 4x 4x 7x 7 x 1 1 x

Û ³ - - + + -

-(

)

(

)

0 1 x 7 4x 1 x

Û ³ - - -

Û x = 1 ( vì 2 1

7 4 1 0; 1 0, ;1

x x x x éê ùú

- - - > - ³ " Ỵ ê ú

ë û

)

Với x = 1 thỏa mãn phương trình

( )

3 Þ y = - 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất

( ) (

x y; = 1; 1 .-

)

0,5

Cách 2

( )

3 Û êé

(

2x - 1

)

2 - 5ùú 2x - 1=

(

1- x

)

3 - 3 1

(

- x

)

- 4

ê ú

ë û

(

)

(

)

(

)

5 3

2x 1 - 5 2x 1 1 x - 3 1 x - 4

Û - - = -

-Đặt 2x - 1= a, 1- x = b với 0;1 , 0; 1
2
a Ỵ é ùê úë ûbỴ éêê ùúú

ë û

Xét hàm số f a

( )

= a5 - 5a trên é ùê úë û0;1 ,

g b

( )

= b3- 3b2 - 4 trên 0; 1
2

é ù

ê ú

ë û

Sử dụng phương pháp hàm số ta được

( )

4, 0;1

f a ³ - " Ỵ ê úa é ùë û,

( )

4, 0; 1
2

g b b

é ù

ê ú

£ - " Ỵ ê ú

ë û

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3.1 2,0

M

E

D C

B

A

Tọa độ điểm A thỏa mãn

( )

5 2 0 1

1; 3 .

5 14 0 3

x y x

A

x y y

ì ì

ï - - = ï =

ï Û ù ị

ớ ớ

ù - + = ù =

ù ù

ợ ợ

0,5

Cách 1: Xét hai tam giác A EM và CDM

· 0 · ·

A EM = + EBD = MDC

ME ME MD MD

EA = ED = BD = CD ( Vì DMDE,DDBE là hai tam giác đồng dạng)

· · · 0

A ME CMD A ME CME CMD CME CM MA

Þ = Þ + = + = Þ ^

Cách 2: Ta có DMDE,DMBD đồng dạng nên MDE· MBD· ,ME DE

MD BD

= = hay

. .

ME BD = DE MD

(

)(

)

· ·

. . .

. . cos . . cos 0

A M CM A E EM CD DM A E DM EM CD

DE DM MDE EM DB MBD

= + + = +

= - + =

uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur

Do đó, A M ^ CM.

0,5

Đường thẳng CM qua 9 8;
5 5
Mổỗỗỗ ửữữữữ

ỗố ứ, vect phỏp tuyn

4 7

;

5 5

A M = ổỗỗỗ - ửữữữữ

ỗố ø

uuuur

có phương trình

9 8

4 7 0 4 7 4 0

5 5

x y x y

ỉ ư÷ ỉ ửữ

ỗ - ữ- ỗ - ữ= - + =

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ

Tọa độ điểm C thỏa mãn 4 7 4 0 6

( )

6; 4 .

5 14 0 4

x y x

C

x y y

ì ì

ï - + = ï =

ï Û ï Þ

í í

ï - + = ï =

ï ï

ỵ ỵ

0,5

Gọi B b b

(

; 5 - 2

)

ta có

(

)

(

5 5

)

2 26 0

2
b

A B A C b b

b
é =
ê

= Þ - + - = Û ê

=
êë

(

)

0 0; 2

b= Þ B - thỏa mãn.

( )

2 2; 8

b= Þ B loại do M nằm ngoài DA BC.
Chú ý: Nếu không loại điểmB

( )

2; 8 trừ 0,25 điểm.

0,5

3.2 2,0

Vì A Ỵ d B1; Ỵ d2 nên ta đặt A

(

- 1+ a; 2- + 2 ;a a B

) (

, 2+ 2 ;1b + b;1+ b

)

(

2 3; 2 3; 1

)

A B a b a b a b

Þ uuur = - + + - + + - + + 0,5

Do A B song song với

( )

P nên A B ^ nP =

(

1;1; 2-

)

Û b= a- 4
uuur uur

Suy ra, A B =

(

a- 5;- a- 1; 3-

)

uuur

Do đó,

(

)

(

)

( )

2 2

5 1 3 2 8 35

A B = a- + -a- + - = a - a +

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Suy ra, 3 5 2 2 8 35 45 1
5
a

A B a a

a
é =
-ê

= Û - + = Û ê

=
êë

(

)

(

)

1 2; 4; 1 , 6; 0; 3

a = - Þ A - - - A B -
-uuur

(thỏa mãn) Þ PT của

2 2

: 4

x t

d y

z t

ìï = - +
ïï

ï =

-íï

ï = - +
ïïỵ

0,5

(

)

(

)

5 4; 8; 5 , 0; 6; 3

a = Þ A A B -
-uuur

(thỏa mãn) Þ PT của

: 8 2

5
x

d y t

z t

ìï =

ïï

ï = +

íï

ï = +

ïïỵ

Chú ý: Nếu học sinh khơng kiểm tra lại điều kiện A B / /

( )

P thống nhất vẫn cho điểm tối đa

0,5

4 2,5

y C

6

y
x

N
M

B
A

Dựng hình chữ nhật A BNC .

(

)

(

)

, , 60

A M BN = A M A C =
Ta có

(

)

A B A M A B A M

A B A CM
A B BN A B A C

ì ì

ï ^ ï ^

ï Þ ï Þ ^

í í

ï ^ ï ^

ï ï

ỵ ỵ

0,5

1 1 1 3 3

. . . sin .6. . .

3 6 6 2 2

A BNM MA BC A CM

V = V = A B S = A B A C A M CA M = x y = xy 0,5

(

)

3 3

8 3.

2 2 4

A BNM

x y

V = xy £ + = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4. 0,5

Khi đó A M = BN = A C = 4

Lại có A B / /CN Þ CN ^

(

A MC

)

Þ CN ^ CM Þ MN2 = CM2 + CN2
Mặt khác MA C· = 600 hoặc MA C· = 1200

0,5
Trường hợp 1: · 0

MA C = Þ DAMC đều Þ CM = 4Þ MN = 42 + 62 = 2 13

Trường hợp 2: · 0

120
MA C =

2 2 0 2

2 . cos120 48 48 6 2 41

CM A M A C A M A C MN

Þ = + - = Þ = + =

Chú ý: Nếu học sinh chỉ tính đúng được một kết quả của MN thì cho 0,5 điểm trong tổng số 
1,0 điểm.

0,5

5.1 2,0

(

)

3 3

1 2

2 2

0 0

ln 1

1 1

x x

x

I dx dx I I

x x

+ +

= + = +

+ +

ị

Ta có

(

)

3 3

1 2 2

0 0

1
2

1 1

d x
x

I dx

x x

= =

+ +

ò

2 3

2 x 1 2

= + =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Đặt

(

)

ln 1

1
dx

t x x dt

x

= + + Þ =

Đổi cận x = 0Þ t = 0; x = 3 Þ t = ln 2

(

+ 3

)

0,5

Do đó

(

)

(

)

(

)

ln 2 3 ln 2 3 2

2
2

0 0

ln 2 3

2 2

t

I tdt

+ +

ò

= = . Vậy 2 1ln2

(

3 2

)

I = + + 0,5

5.2 2,0

Xét hàm số f x

( )

(

x2 + x + 1

)

n = a0 + a x1 + a x2 2 + ...+ a x2n 2n

( )

(

)

(

)

1 2 2 1

1 2 3 2

' 2 1 1 2 3 ... 2

n

n
n

f x n x x x a a x a x na x

-= + + + = + + + +

( )

1 2 3 2

' 1 3n 2 3 ... 2 n 324

f = n = a + a + a + + na = Þ n.3n = 324.

1,0

Nếu 4

4 .3n 4.3 324

n > Þ n > = (Loại)
Nếu 1£ n < 4Þ n.3n < 4.34 = 324 (Loại)

Mà n = 4 thỏa mãn n.3n = 324. Vậy n = 4 là giá trị cần tìm.

Chú ý: Nếu học sinh chỉ nhẩm được trường hợp n = 4 cho 0,25 điểm.

1,0

6 1,5

Ta chứng minh a ba b £ 1Û alna +blnb£ 0.

Ta có lnx £ x - 1," >x 0. Thật vậy, xét hàm số f x

( )

= lnx - x + 1

( )

' 1, ' 0 1.

f x f x x

x

= - = Û =

Từ BBT suy ra, f x

( )

£ f

( )

1 = 0Þ lnx £ x - 1," >x 0.

Do đó,

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

3 lna a- a - a £ 3a a- 1 - a - a = - a- 1 a+ 2 £ 0," >a 0

3 lna a a a

Þ £ - . Tương tự Þ 3 lnb b£ b- b4

Do đó, 4 4

3 lna a + 3 lnb b£ a- a + -b b = 0Þ alna +blnb£ 0. Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi a = b= 1.

0,75

Ta chứng minh 3 3 3 3

1£ a ba b Û a lna+b lnb³ 0.

Ta có

(

)

(

)

( )

2 4

2 2

4 4

2 , 0;2 .

2 8

a b a b

a+ b= a + b ³ + ³ + Þ a+ Êb ị a bẻ

0,25

Xột hm s

( )

4
3

3 ln x x, 0;2 .

g x x x

x

-= - Ỵ

( )

(

)

(

)

3 3

1 2 2 2

3 2

' 1

x x x

g x

x x x

- +

-= - - =

( )

' 0

g x = có nghiệm duy nhất x = 1 trên

( )

0;2 .

Từ BBT suy ra g x

( )

³ g

( )

1 = 0Þ 3x3lnx ³ x4 - x," Ỵx

( )

0;2 .

Do đó, 3 3 4 4

3a lna+ 3b lnb³ a - a +b - b= 0.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= 1.

0,5

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được tính điểm tối đa.

2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.

</div>

Đáp án HSG Toán học lớp 12 Bắc Ninh 2015-2016 - Học Toàn Tập

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

<sub>( )</sub>

(

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

-(

)

(

)

( )

( ) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

( )

(

)

(

)

(

)