Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ của tác giả Vũ Hồng Phong

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.3 MB, 52 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH 
(2-8-2016)

(

đây là một dạng trong tài liệu:

MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ )

Từ bài viết của tác giả:

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI

MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐẶC BIT

Toán học và tuổi trẻ (thỏng 9 nm 2015)

Khi gặp một ph-ơng trình có dạng

u

.

m

P

v

.

n

Q

w

(với u,v, w,P,Q là các biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc

các hằng số e,f và các biểu thøc

P0

,

Q0

chøa Èn tho¶ m·n:













Q
f
P
e
Q
f
P
e

w
Q
v
P
u

n
m

.
.
)
.(
)

.(
.
.

0
0

(*)

thì ta xử lí ph-ơng trình đó nh- sau:

Đặt

mP a

;

n Q b

suy ra

am P

;

bn Q

Ta cã hƯ PT:












Q
f
P
e
b
f
a

e

w
b
v
a
u

n
m

.
.
.
.

.
.

(**)

Gi¶i hệ PT(**) ta tìm đ-ợc các nghiệm (a;b)

n õy PT,hệ PT đã cho sẽ trở nên đơn giản hơn !

L-u ý

: tõ (*) ta thÊy hƯ PT(**) lu«n cã nghiệm (a,b) =

(P0;Q0)

Sau đây l

các ví dụ

Ví dụ 1:

Giải ph-ơng trình

1

7

6

2

4

2 x

Phân tích

:

Ta có:

)
7
6
2
(
)
4

2
(
2
)
1
(

1
2

2
2

3
2

x
x
x

x
x

nên PT này ta nhẩm đ-ợc e =f =1 và

(P0;Q0)

=

(x1;2)

Lời giải

Đặt

24xx2 a

;

3 2x2 6x7 b

Suy ra

a2 b3 x22x9

(1)

Từ PT đã cho ta có

ab x1ax1b

(2)

Thay vào (1) ta đ-ợc:

9
2
)

(x b 2b3  x2 x

9
2
2

2
2

1 2 3 2

2        

x b x b bx b x x

0
4
2
2

8 2

3     

b b b bx x

0
)
2
4
3
)(
2

(  2    

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2


b

hc

b2 3b42x

(3)

+Từ (2) có

xab1

thay vào PT(3) đ-ợc

b23b42(ab1) b2 b62a

(4)

Cã

4
23
)
2
1
(
)
4

(  b 2  

VT

VP(4)2 24xx2 2 6(x2)2 2 6 5

Suy ra PT(4) v« nghiƯm. Do

đó PT(3) vụ nghim

+Với b = 2 thay vào (2) đ-ợc

ax1

Suy ra















2
7
6
2

1
4

3 2

x
x

x
x
x




















8
7
6
2

)

1
(
4

0
1

2
2

x
x

x
x
x
x












0
1
6
2

x
x
x

2
11
3

 x

Vậy PT đã cho có 1 nghim

2
11
3

x

Ví dụ 2:

Giải ph-ơng trình

7x220x86x. 314xx2 3x2

Ph©n tÝch

: Víi PT này ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 và

(P0;Q0)

=

(2x2;1)

vì

)
4

31
.(
3
)
86
20
7

(
1
.
3
)
2
2
(

2
3
1
.
2
2

2
2

x
x
x

x
x

x
x
x

Lời giải

Đặt a =

7x2 20x86

, b =

4
31 xx

Suy ra

23 2 4 28 7

x
x
b

a

(1)

Từ PT đã cho có: a +xb = 2x + 3



a = 3x + 2 – bx

Thay vào (1) ta đ-ợc

(3x2bx)23b2 4x28x7

9x24b2x212x4bx6bx23b2 4x2 8x7

 (x23)b2(6x24x)b5x24x30

 (b1)[(x2 3)b5x24x3]0















3
3
4
5
1

2
2

x

x
x
b
b

+Với b = 1 thì a = 2x+2, khi đó có hệ















1
4

2
2
86

20
7

2
2

x
x

x




















1
4

)
2
2
(
86
20
7

0
2
2

2
2

x
x




















0
30
4

0
90
12

2
2

x
x

x













34
2
1

x
x

 x2 34

+Víi b =

3
3
4
5

2
2




x

x
x



3
15
4

)
15
4
(

16 2

2
2










x
x
x
x

x

(2)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ NÕu

x24x150

th× VT(2) = 4 = VP(2)

Khi

x24x150

th×










x
x

a
b

4
2
3
4
















x
x

x

x
x

2
86
20
7

4
4





















2
2

)
2
(
86

20
7

16
4

31
0
2

x
x

x

x
x
x



















0
)
15
4
(
6

0
15
4
2

2
2

x
x

x
x
x












19
2
2

x
x



x=

2 19

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm

x2 34,x2 19

Ví dụ 3:

Giải hệ ph-ơng trình



















)

2 .(

.

2

1 )

1 .(

4

11

20

3 2 2

2
3

x

y

x

y

xy

y

x

Ph©n tÝch

:

Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 và

(P0;Q0)

=

(xy;1)

vì

)
(

)
2
1
(
1
)
(

1
.

2
2
2

y
x
xy
y

x

x
y
y

x

Lời giải:

điều kiện

12xy0

Đặt

12xy a

;

3 x2 y2 b

Suy ra

a2b3  x2y22xy1

(3)

Tõ (2) ta cã a + yb = x

axyb

(4) thay

vào (3) đ-ợc

(xby)2b3 x2y22xy1

b312xy(b1)y2(b21)0

(b1)[b2b12xy y2(b1)]0

b1

hc

b2b12xyy2(b1)0

(5)

+Cã

3 2  2  0

b
y

x

nên

b2 b0

;

b10

Nếu

12xy y2(b1)0

thì









0
2
1

y
xy

(v« lý)

Vậy 2 số khơng âm

12xy

và

y2(b1)

không đồng thời bằng 0

nên

12xy y2(b1)0

do đó

VT(5)0

Suy ra PT(5) vơ nghiệm

+Víi b = 1 thay vµo (4) đ-ợc

axy

Suy ra

1
2

3 2 2

y
x

y
x
xy

1
)
(
2
1

2
2

y
x

y
x
xy
y
x











2
2

y
x

(*)

kÕt hỵp hƯ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ:















1
4
11
20

2
2

2
3

y
x

y
x
x

y
x

















2
2

2
3

)
1
(
4
11
20

x
y

x
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

















2
2

2
3

0
4
11

x
y

x
x
x

y
x

















2
2

0
)
4
5
(
)
1
2
(

x
y

x
x

y
x


















4
3
2

2
y
x

y
x

(I)

hc
















25
9
5
4

2
y
x

y
x

(II)

Giải hệ PT (I) và (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) lµ:

)
2

3
;

( 

;

)

5
3
;
5
4

(

vµ

)

5
3
;
5
4

( 

Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm (x;y) là :

)
2

3
;
2

( 

;

)

5
3
;
5
4

(

vµ

)

5
3
;
5
4

( 

bµi tËp

bài

1 Giải ph-ơng trình

a)

3
3

3

2

4

9

12 





x



x

c)

1

2

1

2

7 .

6

2

3

3 2









x

b)

3x2 5x6  x(x1) x2 x4

d)

2x248x27x. 2x224x67 4x6

bài 2

Giải hệ ph-ơng trình

a)

















x
xy

y
y

x
y
x

1
2
.
2
8
65

2
2

3
3

b)



















y
xy

x
y

x

y
x
y
x

4
2
4

35
3

2
2

3
3
3
3

c)























2

3

2 .

4

5

1

2

8

2
2
2

y

x

y

x

xy

Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này:

Dạng :

đặt ẩn phụ khơng hồn tồn kiểuVũ Hồng Phong

Một số thí dụ của dạng này tác giả đã nêu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trên. Sau đây là các thí 
dụ bổ xung

Thí dụ 1 Giải phương trình

1
2

3 3 2 4 3

4       

x
x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1
2

3 3 2 4 3

4       

x
x

Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình 
Xét x1

Đặt x43x3x21a0; x4x32 b0

Suy ra mối liên hệ: a2b2 2x3x21(x1)(2x2x1)(*)

Pt đã cho trở thành: abx1(**)

Giải (*) và (**) suy ra:


















)
1
2

)(
1
(
)
)(

( 2

x
b
a

x
x

x

b
a
b
a















1
1
2 2

x
b
a

x

x
b
a













2
2

x
b

x
x
a























2
2
3

2
2
2

4
2

)
1
(
2

)
1
(
1
3

x
x

x

x
x

2
5
1
0

)
1
)(

1
(

2 

















 x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm

2
5
1
;

1  

 x
x

Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn

Việc tạo ra phương trình loại này cũng khơng q khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương 
trình đơn giản của dạng này như sau:

Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi 
Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng x2 1

Cịn ở thí dụ 1 thì ta chọn :

1
2

;
1

3 3 2 2 4 3 2

4        

x
x

x
x
x
x

x
x

Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả 
xin nêu ra một liên hệ đơn giản là:

(*)

2
4
2
)
1
(
)
1

( 2 2 2 2 4 2

2       

x
x
x

x
b
a

Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :

)
1
2

)(

1
(
1

2 3 2 2

2       

x
x
x

x
x
b
a

Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý 
muốn.

Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :

2
4  

 x x x

a

Từ (*) suy ra  43 2 1

x
x
x
b

Song song

với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau 
khi biến đổi hợp lí.

Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau: 
Thí dụ 2 Giải phương trình

2
2
1
3

1 4 2 2

4        

x
x

x
x
x

x
x

Hướng dẫn.

Đặta  x4x2 x1

1
3 2

4  

 x x x

b

Suy ra mối liên hệ:

( 1) 2 4 2(*)
)

( 2 2 2 2 4 2

2       

x
x
x

x
b
a

Pt đã cho trở thành: ab x21(**)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 2

4    

 x x x x

a

1
1

3 2 2

4    

 x x x x

b

Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx1;x0

Chú ý:

Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:

...

2a2b2 2a23b2 ...2a23b2 ...2a2b2 ...
...

3
2
2

1 2  2 

b
a

Việc chọn phƣơng trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:

...

2 
 b

a 3a2b...3a2b... 2 ...
3

1  

b
a

...
2

)
1

(x a b axb...

Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hƣớng tạo ra tƣơng tự

Một số thí dụ khó hơn

Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằngx4;x2 1

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

8
2

2    

x
x
x
b
a

Chọn  8 42 2 0

x
x
x
x
a

0
1

2 4   

 x x

b

Thí dụ 3 Giải phương trình

1
2

)
1
(
1

2 2 2 4

8       

x
x
x

x
x
x
x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn chi tiết tạo PT.

Chọn dạng m(x21) n p

Chọn các căn sau khi biến đổi: m x4; n x21;p1

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
8
2

2    

x
x
x
b
a

Chọn: n  x21;n2x4x1

Từ(*) suy ra: mx8x4 x2x

Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí.

Đến đây tác giả tin rằng mọi ngƣời sẽ tự tạo ra đƣợc rất nhiều phƣơng trình dạng này

!!!

Hướng dẫn giải:

Đặt  8 42 2 0

x
x
x
x
a

0
1

2 4  

 x x

b

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
8
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta được



1(x21)b



2b2 x8x42x21



1( 21)2



22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>





















0
)

1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2
2

x
x
x

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2













x
x

x
x
x

X=0 không làm cho b=0

Suy ra

1
1

2 4   2

 x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

4
2

4
8

2x x x

x
x

a    

Suy ra

2
5
1
;

1
;

0    

 x x

x

PT đã cho có 4 nghiệm

5
1
;

1
;

0    

 x x

x
Thí dụ 4 Giải phương trình

3
2
)

1
(
1

2 2 4 3 2

8       

x
x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt a  x8x320

0
3
2 2

4   

 x x x

b

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
8
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta được



1(x21)b



2b2 x8x42x21



1( 21)2



22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x






















0
)

1
(
1

)
2
(

2
2

4
2
2

x
x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2












x
x

x
x
x

X=0 không làm cho b=0

Suy ra

1
3

2 2 2

4    

 x x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

4
3

2 x

x
x

a   

Suy ra

2


x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Thí dụ 5 Giải phương trình

3
2
)

1
(
1

2 2 5 4 2

8       

x
x
x
x

x
x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x8x52 a0

0
3

2 2

5    

b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
8
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta được



1(x21)b



2b2 x8x42x21



1( 21)2



22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x




















0
)

1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2
2

x

x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2













x
x

x
x
x

X=0không làm cho b=0

Suy ra

1
3

2 2 2

5    

x

x
x

Thay vào (**) đƣợc:

4
5

2 x

x

x   

Suy ra

2



x

PT đã cho có 1 nghiệm 5

2




x
Thí dụ 6 Giải phương trình

1
1
3
)

1
(

3 4 2 4 2

12        

x
x
x
x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x12x2 3x a0

0
1

4    

b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
12
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: ( 4 21) 1(**)

b
x
x
a
Thay a vào (*) ta được



(x4 x21)b1



2b2 x12x42x21



1( 4 21)2



22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x
























0
)

1
(

)
2
(

2
4

2
4
6
8
2
2

x
x

x
x
x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1

(

)
2
(

2
2
4

2
4
6
8
2
















x
x

x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x=0 không làm cho b=0

Suy ra

1
1

3 2

4    

x
x

Thay vào (**) đƣợc:

6
2

3x x
x

x   

Suy ra

3
;

0 

 x
x

PT đã cho có 2 nghiệm x0;x 3

Thí dụ 7 Giải phương trình

1
1
3
2
)

1
(

2 4 4 2 4 2

12         

x
x
x
x

Hướng dẫn.

Đặt x122x43x a0

0
1

3
2 2

4    

x x x b

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
12
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta được



(x4 x21)b1



2b2 x12x42x21



1( 4 21)2



22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

























0
)

1
(

)
2

(

2
2
4

2
4
6
8
2
2

x
x

x
x
x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(

)
2
(

2
2
4

2
4
6
8
2















x
x

x

x
x
x
x
x

x=0 không làm cho b=0

Suy ra

1
1

2 2 2

4    

x x x x

Thay vào (**) đƣợc:

6
4

2x x x

x   

Suy ra

2
3
;

0 

 x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
3

;

0 

 x
x

Thí dụ 8 Giải phương trình

1
2
)

1
(

2 2 4 2 4

12        

x
x
x

x
x

x

Hướng dẫn.

Đặt x122x2x1a0

0
2

4   
b
x

x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
12
2

2    

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Pt đã cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta được



(x4 x21)b1



2b2 x12x42x21



1( 4 21)2



22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x
























0
)

1
(

)
2
(

2
2
4

2
4
6
8
2
2

x
x

x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(

)
2
(

2
2
4

2
4
6

8
2















x
x

x

x
x
x
x
x

x=0 không làm cho b=0

Suy ra

2 2

4   
x
x

x

Thay vào (**) đƣợc:

6
2

2x x x

x    

Suy ra

2
1
;

1 



 x

x

PT đã cho có 2 nghiệm

2
1
;

1 



 x

x
Thí dụ 9 Giải phương trình

1
3
)

1
(

2 2 4 2 4

12        

x
x
x

x
x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x122x2x2 a0

0
3

4    
b
x

x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
12
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta được



(x4 x21)b1



2b2 x12x42x21



1( 4 21)2



22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

























0
)

1
(

)

2
(

2
2
4

2
4
6
8
2
2

x
x

x
x
x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(

)
2
(

2
2
4

2
4
6
8
2
















x
x

x

x
x
x
x
x

x=0 không làm cho b=0

Suy ra

3 2

4   

x
x

x

Thay vào (**) đƣợc:

6
2

2x x x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Suy ra

4
17
1



x

PT đã cho có 2 nghiệm

4
17
1



x
Thí dụ 10 Giải phương trình

3
3
)

1
(
1
2
3

2 2 2 4

8       

x
x
x

Hướng dẫn.

Đặt x82x23x2 a0

0
3

4   

b
x

x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2
4
8
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta được



1(x21)b



2b2 x8x42x21



1( 21)2



22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x





















0
)

1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2
2

x
x
x
x
b

x
b

Dễ thấy

0
0

)
1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2













x
x

x
x
x

x=0không làm cho b=0

Suy ra

1
3

3 2

4   

x
x

x

Thay vào (**) đƣợc:

4
2

2
3

2x x x

x    

Suy ra

2
1
;

2 



 x

x

PT đã cho có 2 nghiệm

2
1
;

2 



 x

x
Thí dụ 11 Giải phương trình

4
3
)

1
(
1
3
3

2 2 2 4

8       

x
x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x82x23x3 a0

0
4

4   

b
x

x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2
4
8
2

2    

x
x

x
b
a

Pt đã cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta được



1(x21)b



2b2 x8x42x21



1( 21)2



22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>






















0
)

1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2
2

x
x
x
x
b

x

b

Dễ thấy

0
0

)
1
(
1

)
2
(

2
2

2
4
2












x
x

x
x
x

x=0không làm cho b=0

Suy ra

1
4

3 2

4   

x
x

x

Thay vào (**) đƣợc:

4
2

3
3

2x x x

x    

Suy ra

4
33
3



x

PT đã cho có 2 nghiệm

4
33
3



x
Thí dụ 12 Giải phương trình

3
)

1
(
3

2 3 4 2

6      

x
x
x

x
x

x

Hướng dẫn.

Đặt x62x33 a0

0
3

4   

b
x

x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x






















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x

x
b

(vì x=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x4 23 2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2x x

x   

Suy ra

2
3


x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
3


x

Thí dụ 13 Giải phương trình

20
)

1
(
20

2 3 2 4

6      

x
x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Đặt x62x3x220a0

0
20

4  

b
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x





















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vì x=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x4 20  2 

Thay vào (**) đƣợc:

3
2

3
6

2x x x

x    

Suy ra

2


x

PT đã cho có 1 nghiệmx2

Thí dụ 14 Giải phương trình

3
)

1
(
3

2x3 x x x6x4x2 
Hướng dẫn.

Đặt 2x33 a0

0
3

2
4

6    

b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x






















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vìx=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x

x6 4 2 3 2

Thay vào (**) đƣợc:

3
2x   x

Suy ra

3
3

3
6

3
);

(
1
)

0
(
0
3

2      

 x x x loai x

x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Thí dụ 15 Giải phương trình

1
)

1
(
1

2x3  x x x6 x4x2

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 2 31 0

a
x

0
1

2
4

6    

b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x





















)
(
0
)

1
(

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vì x=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x

x6 4 21 2

Thay vào (**) đƣợc:

1
2x  x

Suy ra

3
2

3
3

2
1
)

0
,

0
(

0
1

2        

 x x x x x

x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
1


x

Thí dụ 16 Giải phương trình

1
)

1
(
1

3x3  x x x6x4x3x2
Hướng dẫn.

Đặt 3x31a0

0
1

2
3
4

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x





















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vì x=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x
x

x6 4 3 21 2

Thay vào (**) đƣợc:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

3
2

3
3

2
5
3
)

0
,

0
(
0
1

3        

 x x x x x

x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
5
3


x

Thí dụ 17 Giải phương trình

2
)

1
(
2

3x3 x x x6x4x3x2
Hướng dẫn.

Đặt 3x32 a0

0
2

2
3
4

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x






















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vì x=0không làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x
x

x6 4 3 22  2 

Thay vào (**) đƣợc:

2
3x   x

Suy ra

















3
2

3
3

2
1
)

0
,

0
(
0
2
3

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx1;x3 2
Thí dụ 18 Giải phương trình

2
3

)
1
(
2

5x3 x x x6x4  x3x2
Hướng dẫn.

Đặt 5x32 a0

3 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

3 2
4

6
2
2

2x x

x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
)

(x b b x x x x

x      



1( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x





















)
(
0
)

1
(
1

)
2
(

2
2
2
2

loai
x

x
x
x
b

x
x
b

(vì x=0khơng làm cho b=0)

Suy ra

x
x
x

x
x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Thay vào (**) đƣợc:

2
5x   x

Suy ra

3
3

2
17
5
)

0
,

0
(
0
2

5        

 x x x x x

x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
17

5


x

Thí dụ 19 Giải phương trình

1
3

)
1
(
3

6 4 2

3      

x
x
x
x

x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

ĐK: 3

2
1


x

Đặt 6x33a0

0
1

2
4
6






x x b

x

Suy ra mối liên hệ:

6 3 (*)

3 2 6 4 3 2

x
x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

3
6
3
3

)
1

(x b b x x x x

x      



3( 1)2



2 2 ( 1) ( 2 ) ( 3 24 2)0

 x b x x b x x x x x x























)
(
0
)

1
(
3

)
2
4
(

2
2
3
2

loai
x

x
x
x
x
b

x
x
b

Suy ra

x
x
x

x
x






 4 2 2

1
3

Thay vào (**) đƣợc:

3
6x  x

Suy ra























0
3
6

...

3
6

3 6 3

3
3

2
2

4
6

x
x
x

x

x
x
x

x
x

3 3 6


x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

6
3


x

Thí dụ 20 Giải phương trình

1
2

)
1
(
2

4 4 2

3       

x
x
x
x

x
x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ĐK: 3

2
1


x

Đặt 4x32 a0

0
1

2
4
6







x x b

x

Suy ra mối liên hệ:

4 2 (*)

3 2 6 4 3 2

x
x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

2
4
2
2

)
1

(x b b x x x x

x      



2( 1)2



22 ( 1) ( 2  ) ( 3 23 1)0

 x b x x b x x x x x x























)
(
0
)

1
(
3

)
1
3
(

2
2
3
2

loai
x

x
x
x
x
b

x
x
b

Suy ra

x
x
x

x

x  4  2   2 
6

1
2

Thay vào (**) đƣợc:

4x   x

Suy ra

0
2
4
...

2
4

2 6 3

3
3

2
2

4
6






















x
x
x

x

x
x
x

x
x

3 2 2


x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
2


x

Thí dụ 21 Giải phương trình

1
5

)
1
(
5

10 4 2

3       

x
x
x

x

x
x

Hướng dẫn.

ĐK: 3

2
1


x

Đặt 10x35 a0

0
1

2
4
6







x x b

x

Suy ra mối liên hệ:

10 5 (*)

5 2 6 4 3 2

x
x
x

x
b

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b
Thay a vào (*) ta được





2 2 6 4 3 2

5
10
5

5
)

(x b b x x x x

x      



5( 1)2



22 ( 1) ( 2 ) ( 3 26 4)0

 x b x x b x x x x x x





















)
(
0
)

1
(
5

)
4
6
(

2
2
3
2

loai
x

x
x
x
x
b

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Suy ra

x
x
x

x
x






 4 2 2

1
5

Thay vào (**) đƣợc:

5
10x   x

Suy ra

3
3

2
2

4
6

5
2
5
0

5
10
...

5
10

5        
















x
x

x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

5
2
5


x

Thí dụ 22 Giải phương trình

4
2
4
.

4x3  xx x6x4 x3 x2

Hướng dẫn.

ĐK: 3

4
3


x

Đặt 4x33 a0

0
4

4 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
6
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được



xxb



2b2  x6x42x21



1 2



22 2 ( 21)( 42 21)0

 x b x b x x x


















)
(
0
1

1
2
1

2
2
4
2

loai
x

x

x
b

Suy ra

1
4

4 3 2 2

6     

x
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
4x  x

Suy ra




































3
3

6
3

2
2

3
4
6

3
1
0

3
4

1
...

3
4

1
4

2
4

x
x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx3 3;x1

Thí dụ 23 Giải phương trình

4
2
5
2

.
2

5 6 4 3 2










x
x
x
x

x
x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

ĐK: 3

5
3


x

Đặt 0

2
3

5 3  

a
x

0
4

2x6 x4 x3 x2  b
Suy ra mối liên hệ:

2 1(*)
2

2a2b2  x6x4 x2
Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được





2 2 1

2 xxb 2 b2  x6x4 x2 



12 2



24 2 ( 21)(2 4 3 21)0

 x b x b x x x




















)
(
0
2

)
1
3
2
(

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
4

2
5

2x6x4 x3 x2 bx2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
3
5

x
a

x   

Suy ra






































3
3

6
3

2
2

3
4
6

2
3
1
0

3
5
2

1
...

2
3
5

1
4

2
5
2

x
x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 2 nghiệm ; 1
2
3

3 

 x

x

Thí dụ 24 Giải phương trình

3
2
5
2

.
2

5 6 4 3 2










x
x
x
x
x
x
x

Hướng dẫn.

ĐK: 3

5
2


x

Đặt 0

2
2

5 3  

a
x

0
3

2
5

2x6x4 x3 x2 b
Suy ra mối liên hệ:

2 1(*)
2

2a2b2  x6x4 x2
Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được





2 2 1

2 xxb 2 b2  x6x4 x2 



12 2



24 2 ( 21)(2 4 3 21)0

 x b x b x x x



















)
(
0
2

)

1
3
2
(

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Suy ra

1
3

2
5

2x6x4  x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
2
5

x
a
x





Suy ra

3
3

6
3

2
2

3
4

2
0

2
5
2

1
...

2
2
5

1
3

2
5
2































x
x

x
x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 1 nghiệmx3 2
Thí dụ 25 Giải phương trình

5
2
7
2

.
2

7 6 4 3 2











x
x
x
x
x
x
x

Hướng dẫn.

ĐK: 3

7
4


x

Đặt 0

2
4

7 3  

a
x

0
5

2
7

2x6 x4 x3 x2 b
Suy ra mối liên hệ:

2 1(*)
2

2 2 2  6 4 2
x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được





2 2 1

2 xxb 2 b2  x6x4 x2 



12 2



24 2 ( 21)(2 4 3 21)0

 x b x b x x x



















)
(
0
2

)
1
3
2
(

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
5

2
7

2x6x4 x3 x2 bx2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
4
7

x
a
x





Suy ra

3
3

6
3

3
4
6

4
17
7
0

4
7
2

1
...

2
4
7

1
5

2
7
2

































x
x

x
x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

4
17
7


x

Thí dụ 26 Giải phương trình

5
2
8

.
2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Hướng dẫn.

ĐK: 3

2
1


x

Đặt 4x32 a0

0
5

2
8

2x6x4 x3 x2 b
Suy ra mối liên hệ:

2 1(*)
2

2 2 2  6 4 2
x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được





2 2 1

2 xxb 2 b2  x6x4 x2 



12 2



24 2 ( 21)(2 4 3 21)0

 x b x b x x x




















)
(
0
2

)
1
3
2
(

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
5

2
8

2x6x4  x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

4x  ax

Suy ra

3
3

6
3

2
2

3
4
6

2
2
0

2
4
1
...

2
4

1
5

2
8
2































x
x

x
x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
2


x

Thí dụ 27 Giải phương trình

3
2
6

.
1

3x3 xx x6x4 x3 x2

Hướng dẫn.

ĐK: 3

3
1


x

Đặt 3x31a0

0
3

2
6

2x6x4 x3 x2 b
Suy ra mối liên hệ:

2 1(*)
2

2a2b2  x6x4 x2
Pt đã cho trở thành: axx.b
Thay a vào (*) ta được





2 2 1

2 xxb 2 b2  x6x4 x2 



12 2



24 2 ( 21)(2 4 3 21)0

 x b x b x x x




















)
(
0
2

)
1
3
2
(

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
3

2
6

2x6x4 x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Suy ra

3
3

6
3

3
4
6

2
5
3
0

1
3
1
...

1
3

2
6

2 






























x
x

x

x
x

x

x
x

x
x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
5
3


x

Thí dụ 28 Giải phương trình

1
2
4
4
)
2
1

(
1

2x3   x2  x x6  x4  x3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 2x3 1a0

0
1

2
4

4x6  x4 x3 b
Suy ra mối liên hệ:

(*)
4

4 6 4

2
2

x

x
b

a   

Pt đã cho trở thành:

(**)
)
2
1
(

b
x
x

a  

Thay a vào (*) ta được

4
6
2
2
2

4
)

2
1

(x b b x x

x    







  

0
)
2
3
2
(
2
)
2
1
(
2

)

2
1
(

1 2 2  2   2 4  2 







  

 x b x x b x x x





















0
)
2
1
(
1

)
2
3
2
(
2

2
2
4

x
x

x
b

Ta thấy

0
0

2
1
1

2
3
4

2
2
4










 









 



x
x

Khi x=0 thì b không tồn tại

Suy ra

2
3

4
6

2
1

2
4

4x  x  x  b x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
1

2x  a x

Suy ra

3
3

6
3

2
3

4
6

4
5
1
0

1
2
4

0
...

2
1
2

2
1
2
4

4 




























x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

4
5
1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Thí dụ 29 Giải phương trình

1
6
4
4
)
2
1
(
1

6x3 x2  x x6  x4  x3 
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

ĐK: 3

6
1


x

Đặt 6x31a0

0
1

6
4

4x6  x4 x3 b
Suy ra mối liên hệ:

(*)
4

4 6 4

2
2

x

x
b

a   

Pt đã cho trở thành:

(**)
)
2
1
(

b
x
x

a  

Thay a vào (*) ta được

4
6
2
2
2

4
)

2
1

(x b b x x

x    







  

0
)
2
3
2
(
2
)
2
1
(
2

)

2
1
(

1 2 2  2   2 4  2 







  

 x b x x b x x x





















0
)
2
1
(
1

)
2
3
2
(
2

2
2
4

x
x

x
b

Suy ra

2
3

4
6

2
1

6
4

4x  x  x  b x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
1

6x  a  x

Suy ra

3
3

6
3

2
3

4
6

4
5
3
0

1
6
4

0
...

1
6

2
1
6
4

4 





























x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

4
5
3


x

Thí dụ 30 Giải phương trình

2
7
4
4
)
2
1
(
2

7x3   x2  x x6  x4  x3 
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
ĐK: 3

7
2


x

Đặt 7x32 a0

7
4

4x6 x4 x3 b
Suy ra mối liên hệ:

(*)
4

4 6 4

2
2

x
x
b

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Pt đã cho trở thành:

(**)
)
2
1
(

b
x
x

a  

Thay a vào (*) ta được

4
6
2
2
2

4
4
)

2
1

(x b b x x

x    







  

0
)
2
3
2
(
2
)
2
1
(
2
)

2
1
(

1 2 2  2   2 4  2 







  

 x b x x b x x x





















0
)
2
1
(
1

)
2
3
2
(
2

2
2
4

x
x
x
b

x
b

Suy ra

2
3

4
6

7
4

4x  x  x  b x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
2

7x  a x

Suy ra

3
3

6
3

2
3

17
7
2
1
0

2
7
4

0
...

2
2
7

2
2
7
4
4






























x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

17
7
2

1 


x

Thí dụ 31 Giải phương trình

1
10
12

8
)

2
1
(
2

1
5

3
4

6
2

3     x  x  x 

x
x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
ĐK: 3

10
1


x

Đặt 0

2
1
5x3  a

0
3

1
10
12

8 6 4 3








b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

(*)
12
8
3

2a2 b2 x6 x4

Pt đã cho trở thành:

(**)
)
2
1
(

b
x
x

a  

Thay a vào (*) ta được

4
6

2
2
2

12
8
3
)

2
1
(

2 x x b  b  x  x







  

0
)
5
4
(
2
)

2
1
(
4
)

2
1
(
2

3 2 2 2   2 4 2 







  

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>


















 0

)
2
1
(
2
3

)
5
4
(
2

2
2
4
2

x
x
x

b

x
b

Suy ra

2
3

4
6

2
3

1
10
12

x
b
x

x

x     

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
2

5x  a  x

Suy ra

3
3

6
3

2
3

4
6

17
5
2

1
0

1
10
8

0
...

2
2
1
5

2
3

1
10
12



































x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3 5 17

1 


x

Thí dụ 32 Giải phương trình

2
10
12

8
)
2
1
(
1

3
4

6
2

3     x  x  x 

x
x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
ĐK: 3

5
1



x

Đặt 5x31a0

0
3

2
10
12

8 6 4 3







b
x

x
x

Suy ra mối liên hệ:

(*)

12
8
3

2a2 b2 x6 x4

Pt đã cho trở thành:

(**)
)
2
1
(

b
x
x

a  

Thay a vào (*) ta được

4
6
2
2
2

12
8
3
)

2
1
(

2 x x b  b  x  x







  

0
)
5
4
(
2
)
2
1
(
4

)

2
1
(
2

3 2 2 2   2 4 2 







  

 x b x x b x x x

















 0

)
2
1
(
2
3

)
5
4
(
2

2
2
4
2

x
x
x
b

x
b

Suy ra

2
3

4
6

2
3

2
10
12

x
b
x

x
x







</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2
1

5x  a x

Suy ra






































3
3

6
3

2
3

4
6

4
1
1
0

1
5
4

0
...

2
1
5

2
3

2
10
12

x
x

x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

4
1
;

1 

 x
x

Thí dụ 33 Giải phương trình

(*)
4
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x34 0

x

x  

3 3

5 5x34x3 3 3

3
2
0

6    

 x x

Đặt 3 5x34a

0
4

3 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

(**)

2 3 2

4
6
2
3

x
x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành:

*)
*
(*

b
a
x 

Thay b vào (**) ta được 
2
3
4

6
2
3

2
)

(a x x x x x

a      

0
2

2 3

4
2
6

3     

a x a x xa x

**)
*
(*
0
]
2

)[

(  2 2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0 và 3

3
2



x nên

x
x
a
x
ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy ra

**)
*

(* a x

2
3 3

5x  a x


Thay vào (***) đƣợc:

x
x
b
x

x
x

x6 43 3 24   2

Suy ra






























3
3

6
2

2
3

4
6

2
3 3

4
1
0

4
5
...

4
3

4
5

x
x
x

x
x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx1;x3 4

Chú ý: từ PT

(*)
4
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Thí dụ 34 Giải phương trình

(*)
3
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x3 30

x
x  
3 3

5 5x33x3 3 3

2
1
0

6    

 x x

Đặt 3 x3  a

3
5

0
3

3 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

(**)

2 3 2

4
6
2
3

x
x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành:

*)
*
(*

b
a
x 

Thay b vào (**) ta được 
2
3

4
6
2
3

2
)

(a x x x x x

a      

0
2

2 3

4
2
6

3     

a x a x xa x

**)
*
(*
0
]

2
)[

(  2 2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0 và 3

2
1



x nên

x
x
a
x
ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy ra

**)
*

(* a x

2
3 3

5x  a x


Thay vào (***) đƣợc:

x
x
b
x

x
x

x6 43 3 23   2

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

2
3 3

2
13
5
0

3
5
...

3
3

5 

























x
x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
13
5


x

Thí dụ 35 Giải phương trình

(*)
2
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x32 0

x

x  

3 3

5 5x32x3 3 3

3
1
0

6    

 x x

Đặt 3 5x3 2 a

3 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

(**)

2 3 2

4
6
2
3

x
x
x
x

b

a     

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

*)
*
(*

b
a
x 

Thay b vào (**) ta được 
2
3
4
6
2
3

2
)

(a x x x x x

a      

0
2

2 3

4
2
6

3     

a x a x xa x

**)
*
(*
0
]
2
)[

(  2 2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0 và 3

3
1



x nên

x
x
a
x
ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy ra

**)
*

(* a x

2
3 3

5x  a x


Thay vào (***) đƣợc:

x
x

b
x

x
x

x6 43 3 22   2

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

2
3 3

2
17
5
0

5
...

2
3

5 
























x
x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
17
5


x

Chú ý: từ PT

(*)
4
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Sửa số -3 thành -4 thì sửa số 5 thành 6 (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau:

Thí dụ 36 Giải phương trình

(*)
4
4

6 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 6x34 0

x
x  
3 3

6 6x34x3 3 3

7
4
0

7    

 x x

Đặt 3 x3  a

4
6

0
4

4 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

(**)

2 3 2

4
6
2
3

x
x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành:

*)
*
(*

b
a
x 

Thay b vào (**) ta được 
2
3
4
6
2
3

2
)

(a x x x x x

a      

0
2

2 3

4
2
6

3     

a x a x xa x

**)
*
(*
0
]
2
)[

(  2 2 2 4  2 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Do VP(*) xa0 và 3

7
4



x nên

x
x
a
x
ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy ra

**)
*

(* a x

2
3 3

6x  a x


Thay vào (***) đƣợc:

x
x
b
x

x
x

x6 44 3 24   2

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

2
3 3

5
3

4
6
...

4
4

4
6


























x
x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

5
3


x

Chú ý: từ PT

(*)
4
3

5 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Sửa số -3 thành -5 thì sửa số 5 thành 7 (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau:

Thí dụ 37 Giải phương trình

(*)
4
5

7 6 4 3 2

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 7x34 0

x

x  

3 3

7 7x34x3 3 3

2
1
0

8    

 x x

Đặt 3 7x3 4 a

0
4

7 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

(**)

2 3 2

4
6
2
3

x

x
x
x
b

a     

Pt đã cho trở thành:

*)
*
(*

b
a
x 

Thay b vào (**) ta được 
2
3
4
6
2
3

2
)

(a x x x x x

a      

0
2

2 3

4
2
6

3     

a x a x xa x

**)
*
(*
0
]
2
)[

(  2 2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0 và 3



x nên

x
x
a
x
ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy ra

**)
*

(* a x

2
3 3

7x  a x


Thay vào (***) đƣợc:

x
x
b
x

x
x

x6 45 3 24   2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3
3

6
2

2
3
4
6

2
3 3

2
33
7

4
7
...

4
5

7 

























x
x

x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
33
7


x

Nhƣ vậy việc tạo ra phƣơng trình dạng này khơng khó khăn,thậm chí từ 1 phƣơng

trình ta có thể tạo ra nhiều phƣơng trình tƣơng tự.

Tác giả: Vũ Hồng Phong

Thí dụ 38 Giải phương trình

1
4
3
4
8
2
3

13 x3  x6 x4 x3 x2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
Đặt 3 3x32 a

0
1

4
3
4

8x6 x4 x3 x2 b
Suy ra mối liên hệ:

4 1(*)
4

8 6 4 2

3    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

0
1

(**)

1ab  a

Thay b vào (*) ta được

4
4
8
)
1

( 2 6 4 2

3     

x
x
x
a

a

0
4
2
4

8 6 2 4 2

3     

a x a x a x

0
]

2
2
4

2
)[
2

(  2 2 2 2   2 

 a x a ax x a x

Do 1a0 nên







2 2 4 4 2 2 2

x
a
x
ax
a

0
1
2
)
1
(
)
4
2

( 2 2 4    2  

 a ax x a x

Suy ra

2
3 3

2
2

3x  a x

Thay vào (**) đƣợc:

1
2
1
4

3
4

8 2

3 6  4  3 2  

x
x

x
x
x

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

2
3 3

2
73
3
2
1
0

2
3
8
...
1
1

4
3
4
8

2
2

3 

























x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
73
3
2

1 


x

Chú ý

1
4
4
8
)
1

( 2 6 4 2

3     

x
x
x
a

a

2
4
6
2

4
4
8

2a x x x

a

a     



)
2
(
)

(a f x2

f 



t
t
t
t

f( ) 3 22

t
t

f'( )32 2 20.

Suy ra f(t) đồng biên nên 2 2

2
)

2
(
)

(a f x a x

f   

Thí dụ 39 Giải phương trình

4
2
3
.

3 3  6 4  3 2 

 x x x x x x

x

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Hướng dẫn.

Đặt 3x35 a0

0
4

3 3 2

6      

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
6
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

1
2
)

(xbx 2b2 x6x4 x2

0
)
1
)(
1
(
2
)
1

( 2 2 2  2 4 

 x b x b x x


















)
(
0
1
1
1

2
4
2

loai
x

x
b

Suy ra

1
4

3 3 2 2

6     

x
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

3x  a x

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

3
3

2
29
3
0

5
3
0
1

4
2
3

3 






























x
x

x
x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
29
3


x

Thí dụ 40 Giải phương trình

4
2

4
.

4 3  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 4x33a0

0
4

4 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
6
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

1
2
)

(xbx 2b2 x6x4 x2

0
)
1
)(
1
(
2
)
1

( 2 2 2  2 4 

 x b x b x x

















)
(
0
1
1
1

2
4
2

loai
x

x
b

Suy ra

1
4

4 3 2 2

6     

x
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Suy ra



































3
3

6
2

2
3
4
6

3
3

3
1
0

3
4
0
1

4
2
4
3
4

x
x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx1;x 3 3
Thí dụ 41 Giải phương trình

1
2
3
.

2 3  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 23x3 a0

0
1

3 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
6
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

1
2
)

(xbx 2b2 x6x4 x2

0
)
1
)(
1
(
2
)
1

( 2 2 2  2 4 

 x b x b x x

















)
(
0
1
1
1

2
4
2

loai
x

x
b

Suy ra

1
1

3 3 2 2

6     

x
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

2 x ax

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4

3
3

2
17
3
0

2
3
0
1

1
2
3
3

2  






























x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 1 nghiệm 3

2
17
3



x

Thí dụ 42 Giải phương trình

2
2
2
.

3 3  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 32x3 a0

0
2

2 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

2 2 1(*)

4
6
2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

1
2
)

(xbx 2b2 x6x4 x2

)
1
)(
1
(
2
)
1

( 2 2 2  2 4 

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

















)
(
0

1
1
1

2
4
2

loai
x

x
b

Suy ra

1
2

2 3 2 2

6     

x
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3

3 x ax

Suy ra

1
0

3
2
0
1

2
2
2
2
3

3
6
2

2
3
4
6

3
3





























x
x

x
x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 1 nghiệmx1

Thí dụ 43 Giải phương trình

2
3
4
6

2
2
2

5
.

4x x x x x x

x      

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 4x33a0

0
2

2
2

5 4 3 2








b
x
x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

4 2(*)

2 2 6 4 2

2    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

2
4
2
2

)

(xbx 2 b2 x6 x4 x2

0
)
2

)(

1
(
2
)
2

( 2 2 2  2 4 2  

 x b x b x x x



















)
(
0
2

2
1

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
2

2
2

5 4 3 2 2









x
b
x
x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

0
3

4x3 a

Suy ra




































3
3

6
2

2
3
4
6

3
3

3
1
0

3
4
0
1

2
2
2

5
3
4

x
x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx1;x 3 3
Thí dụ 44 Giải phương trình

2
3
4
6

2
4
2

5
3
.
1
3
8

x
x
x
x

x
x

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 1 0

8 3   

a

x

0
2

4
2

3 4 3 2








b
x
x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

4 2(*)

2
3
2

3a2 b2  x6 x4 x2

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

2
4
2
3
2
)
(

3 xbx 2  b2  x6 x4 x2

0
)
2
3

)(
1
(
6
)
2
3

( 2  2 2  2 4 2  

 x b x b x x x



















)
(
0
2
3

2
3

2
2
4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
2

4
2

3 4 3 2 2









x
b
x
x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

0
1

8 3   

a
x

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

3
3

3
7

4
0

3
8
3

0
1

2
4
2

5
3

1
3
8


































x
x

x
x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

3
7
4


x

Thí dụ 45 Giải phương trình

2
4
3

6
3

2
2

9
3
.
1

3x x x x x x

x      

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 3x31a0

0
2

2
5
9

3 4 2

3
6









b
x
x
x

x

Suy ra mối liên hệ:

4 2(*)

2
3
2

3a2 b2  x6 x4 x2

Pt đã cho trở thành:

(**)

x
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

2
4
2
3
2
)
(

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

0
)
2
3

)(
1
(
6
)
2
3

( 2  2 2  2 4 2  

 x b x b x x x




















)
(
0
2
3

2
3

2
2

4
2

loai
x

x
x
b

x
b

Suy ra

1
2

2
5
9

3 4 2 2

3
6










x
b
x
x
x

x

Thay vào (**) đƣợc:

0
1

3x3 a

Suy ra

3
3

6
2

2
4

3
3

2
5
3
0

1
3
0
1

2
2

5
9
3

1
3
































x
x

x
x
x

x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
5
3


x

Thí dụ 46 Giải phương trình

4
2
5
3

13 x3  x6x4 x3 x2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
Đặt 3 5x33a

0
4

5 3 2

6     

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)

2 2

4
6
2

3    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)
1


b
a

Thay a vào (*) ta được

)
1
(
1
2

)

(b 3b2 x6x4 x2

0
)
2
)(

(  2  4 2  2  

 b x x x b b b

2

b x

)
,
,
0
2

(x4x2bb2 b  x b

Cách khác giải (1):

)
1
(
1
2
)

(b 3b2 x6x4 x2

1
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1
3

2 2 2 3 2 2 2

3         

b b b x x x

)
1
(
)

(  2

 f b f x b x21

Vì

1
3
2
)

(t t3 t2 t
f

0
3
4
3
)
(

' t  t2 t 
f

f(t) là hàm đồng biến

Suy ra

1
4

5 3 2 2

6      

x
b
x

x
x
x

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3
3 3

5x  ax

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

3
3 3

2
13
5
3

5
1

4
2
5

5 






















x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
13
5


x

Thí dụ 47 Giải phương trình

2
2
5
3

13 3  6 4 3 2

x

x
x
x
x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
Đặt 3 5x33a

0
2

5 3 2

6      

b
x

x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

1(*)
2 2

4
6
2

3    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)
1


b
a

Thay a vào (*) ta được

)
1

(
1
2
)

(b 3b2 x6x4 x2

0
)
2
)(

(  2  4 2  2  

 b x x x b b b

2

b x

)
,
,
0

(x4x2bb2 b  x b

Cách khác giải (1):

)
1
(
1
2
)

(b 3b2 x6x4 x2

1
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1

2 2 2 3 2 2 2

3         

b b b x x x

)
1
(
)

(  2

 f b f x b x21

Vì

1
3
2
)

(t t3 t2 t
f

0
3
4

3
)
(

' t  t2 t 
f

f(t) là hàm đồng biến

Suy ra

1
2

5 3 2 2

6      

x
b
x

x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3 3

5x  a x

Suy ra

3
3

6
2

2
3
4
6

3
3 3

2
37
5
0

3
5

2
2
5
3

5 























x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệm 3

2
37
5


x

Thí dụ 48 Giải phương trình

2
3
4
6

3 3

2
2
2

5
3

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Hướng dẫn. 
Đặt 3 4x33a

0
2

2
2

5 4 3 2









b
x
x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

4 2(*)

2 2 6 4 2

3    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)
1


b
a

Thay a vào (*) ta được

)
1
(
2
4
2
2

)
1

(b 3 b2 x6  x4  x2 

0
)
3
)(

(  2 4 2  2 2 

 b x x x b b x

2

b x

)
,
,
0
3

(x4x2bb2x2  x b

Cách khác giải (1):

)
1
(
2
4
2
2

)
1

(b 3 b2 x6  x4  x2 

1
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
1

3 2 3 2 2 2

3         

b b b x x x

)
1
(
)

(  2

 f b f x b x21

Vì

1
3
)

(t t3t2 t
f

0
3
2
3
)
(

' t  t2 t 
f

f(t) là hàm đồng biến

Suy ra

1
2

2
2

5 4 3 2 2









x
b
x
x
x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3 3

4x  ax

Suy ra





























3
3

6
2

2
3
4
6

3
3 3

3
1
0

3
4
1

2
2
2

5
3
4

x
x
x

x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx3 3;x1

Thí dụ 49 Giải phương trình

2
3
4
6

3 3

2
2
3

11
8

1 x   x  x  x  x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
Đặt 3 x3 a

8
6

0
2

2
3

11 4 3 2








b

x
x
x
x

Suy ra mối liên hệ:

6 3(*)
3

3 2 6 4 2

3    

x
x
x
b
a

Pt đã cho trở thành:

(**)
1

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Thay a vào (*) ta được

)
1
(

3
6
3
3

)
1

(b 3 b2 x6  x4 x2

0
)
4
2

)(
1

(  2 4 2  2 2  

 b x x x b x b b

2

b x

)
,

.
0
4
2

(x4x2b x2 b2 b  x b

Cách khác giải (1):

)
1
(
3
6
3
3

)
1

(b 3 b2 x6  x4 x2

1
)
1
(
3
)
1
(

3 2 3 2

3      

b b x x

)
1
(
)

(  2

 f b f x b x21

Vì

1
3
)

(t t3 t
f

0
3
3
)

(

' t  t2 
f

f(t) là hàm đồng biến

Suy ra

1
2

2
3

11 4 3 2 2









x
b
x
x

x
x

Thay vào (**) đƣợc:

3
3 3

4x  ax

Suy ra































3
3
3

6
2

2
3
4
6

3
3 3

4
2
0

8
6
1

2
2
3

11
8
6

x
x
x

x
x

x
x
x
x

x
x

PT đã cho có 2 nghiệmx3 2;x3 4
Thí dụ 50 Giải hệ phương trình

























)
2
(
2

1
2
2
)
1
(

2
4
4

)
1
(
5
4
.

4
3

2
4

2
2

3 2 2

x
x

x
x
x

x
y

x
y
xy

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn tạo PT.

Chọn dạng my3 n  p

Chọn các căn sau khi biến đổi: m x2y;3 n 2;px
Suy ra mối liên hệ:

4 8(*)
4 2

2
3

2    

xy
y

x
b
a

Pt cần tạo trở thành:

(**)

yb
x
a 

Thử giải hệ PT gồm(*) và (**) ta thấy cần chọn để có đk xy và b dương thì sẽ loại bỏ được 
trường hợp phức tạp nên có thể chọn: m3xy4

Từ(*) suy ra: nx24y25

Việc chọn n hay m trước ta phải linh động 
Hướng dẫn.

Đặt

4
3


xy

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

0
5

3 x2 y2 b

Suy ra mối liên hệ:

4 8(*)
4 2

2
3

2    

xy
y

x

b
a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

yb
x

a 

Thay a vào (*) ta được

8
4
4
)

(xyb 2b3 x2  y2 xy

0
4
4

8 2 2 2

3     

b xyb xy y b y

0
)
2
2

4
2
)(
2

(  2     2  2 

 b b b xy y b y


b

0
2
)

2
4
(
2

;
4

3   2    2  2 

 b b b xy y b y

xy

y
x
a

b2  2

Ta có:

























3
4

0
2
2

5
4

2
4

2
2

3 2 2 x y

y
x
y

x

y
x
xy

2
2

4y  x



Thay vào PT(2) có

2
2

1
2
2

)
1
(

2
1

2
4

2
2












x
x

x

x
x



2 2



(2 2 2) 2 2 1
)

( 2  4  2  2   2 

 x x x x x x x

1
2
2
1
2
2
)
1
2
2
(
)
1
(
)

( 2 3 2   2  2   2  

 x x x x x x x x

)
1
2
2
(
)
1

( 2  2  

 f x f x x

t
t
t

f( ) 3 f'(t)3t210

Suy ra f(t) đồng biến nên

)
1
2
2

(
)
1

(x2   f x2 x
f



















3
3

2
2

2
0
0

)
2
(
1
2
2
1

x
x
x

x
x

Với

2
3
4

0 2   

 y y

x

Đối chiếu các đk ; 2 0
4

3  

 x y

xy ta lấy )

2
3
;

0
(x y

Với

2
4
3
4

4
3
2

3
3

3      

 y y

x

Đối chiếu các đk ; 2 0
4

3  

 x y

xy ta lấy )

2
4
3
;

(

3  

 y

x

Hệ PT đã cho có 3 cặp nghiệm )
2

3
;

(x y

;

)

2
4
3
;

2
(

3  

 y

x

Thí dụ 51 Giải hệ phương trình
























)
2
(
8
16
4
3
8
2

)
1
(
3
4
.

4
5

2
2

1
4
3
8

3 2 2

2
2

y
x

x

x
y

x
y
xy

x
x
x

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Hướng dẫn. 
Đặt

4
5



xy

Đặt 54xy a0

0
3

3 x2 y2 b

Suy ra mối liên hệ:

4 8(*)
4 2

2
3

2    

xy
y

x
b
a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

yb
x

a 

Thay a vào (*) ta được

8
4
4
)

(xyb 2b3 x2 y2 xy

0
4
4

8 2 2 2

3     

b xyb xy y b y

0
)

2
2

4
2
)(
2

(  2     2  2 

 b b b xy y b y


b

0
2
)

2
4
(
2
0

;
4

5   2    2  2 



 b b b xy y b y

xy

y
x
a

b2  2

Ta có:


























5
4

0
2
2

3
4

2
4

2
2

3 2 2 x y

y
x
y

x

y
x
xy

2
2

4y  x



Thay vào PT(2) có

6
2
4
3
8

2 1 2 2

3
8

2
2











x
x

x

x
x
x

4
)
2
2
4

3
8
(

2 1 2 2

4
3
8

2
2








 




x
x

x

x
x
x

Với 8x23x42(x21)

4
0
2
)
2
2
4
3
8
(

2 1 2 2 2

4
3
8

2
2











 




x
x

x

x
x
x

Với 8x23x42(x21)

4
0
2
)
2
2
4
3
8

(

2 1 2 2 2

4
3
8

2
2










 




x
x

x

x
x
x

Với 8x23x42(x21)

4
0
2
)
2
2
4
3
8
(

2 1 2 2 2

4
3
8

2
2











 




x
x

x

x
x
x





















4
3

2
2

4
3
0
0

)
3
4
(
)
1
(
2
4
3
8

x
x
x

x
x

Với

2
5
4

0 2   

 y y

x

Đối chiếu các đk ; 2 0
4

5  



 x y

xy ta lấy )

2
5
;

0
(x y 

Với

2
16

9
5
4

16
9
5
4

2
3










 y y

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Đối chiếu các đk ; 2 0
4

5  



 x y

xy ta lấy )

2
16

9
5
;

4
3
(

3
3




 y

x

Hệ PT đã cho có 2 cặp nghiệm )
2

5
;

(x  y  )

2
16

9
5
;

4
3
(

;

3
3




 y

x

Thí dụ 52 Giải hệ phương trình




























)
2
(
)
5
4
(
4

2
2
11
2

)
1
(
1
2
.
3
2

2
4

2
2

4
6
11

2
2

x
x

xy
x

y
x

y
xy

x
y

xy
x

x
x
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn. 
ĐK:

2
1



xy

Đặt 4x22xyy23a 3

2xy1b0

Suy ra mối liên hệ:

(*)
4
4

4 2 2

2    

xy
y

x
b
a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

y
xb

a 

Thay a vào (*) ta được

(*)
4
4
4

)

(xby 2b2  x2y2 xy

0
)
2
2
2
(
2
2

)
1

( 2 2   2  

 x b xyb x xy


















)
(
0
1

)

2
2
2
(
2

2
2

loai
x

xy
x

b
b

y
x
a

b2 2 

Ta có:
























3
2

0
2

2
3
2

2
1
2

2 xy

y
x
y

x
y

xy
x

xy

Thay vào PT(2) có

)
5
4
(
4

6
11
2

2
4

6
112
2












x
x

x
x
x



2 2



2 2





2 112 6 4

2
4
6
11
1
2

)
2
(

1    







   






 x x x

x
x
x

)
4
6
11
(
)
2

( 2  2 

 f x f x x












































4
3
2

2
3
1

)
0
2

(
2
1
3

0
)
2
3

)(
3
(
4
6
11

2 2 2 2

y
x

y
x
loaivi
y

x

khơngcóy
x

x
x
x

x
x

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

)
5
4
(
4

5
6
11

2 4 2

2
4

6
112













x
x

x
x
x

0
5
4

5
6
11
1
1

2 4 2

6
11

2 2











    

x
x

x
x
x

0
5

)
2
3
)(
3
(
1

2 4 2

2
2

4
6
11
2

)
2
3
)(
3
(

2
2













    





x
x

x
x
x

x
x
x
x

Xét 3 trƣờng hợp……….

Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta có thể tạo ra hệ PT gồm PT thứ nhất đặt ẩn phụ

khơng hồn tồn kiểu của tác giả và PT thứ 2 đơn giản,quen thuộc chẳng hạn:

Thí dụ 53 Giải hệ phương trình























)
2
(
3
2
3

)
1
(
1

2
.
3
2
2
4

2
2

x

y
y
xy

x
y

xy
x

x
y
xy
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (TốnB K35 ĐHSP.TN)

Hướng dẫn.

ĐK 2xy1y2 2xy1

Đặt 4x22xy2y23a 3

2xy1y2 b0

Suy ra mối liên hệ:

(*)
4
4

4 2 2

2    

xy
y

x
b
a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

y

xb

a 

Thay a vào (*) ta được

(*)
4
4
4

)

(xby 2b2  x2y2 xy

0
)
2
2
2
(
2
2

)
1

( 2 2   2  

 x b xyb x xy


















)
(
0
1

)
2
2
2
(
2

2
2

loai
x

xy
x

b
b

y
x
a

b2 2 

Ta có:





























0
3
2

0
2

2
3
2
2
4

2
1

2
2

xy
y

y
x
y

x
y

xy
x

y
xy

Thay vào PT(2) có

3
2
3

2x  3x  x

0
3
2
3

2  3   

 

x

x
x

3
2
3
2
)

(t   3  x

f x x

2
3
ln
3
2
ln
2
)
(

' t  x  3x 

f

0
3
ln
3
2
ln
2
)
(

" t  x 2  3x 2 
f

Suy ra f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu 
Vì thế f(t) có tối đa 2 nghiệm. suy ra x=2,x=3 là tất cả các nghiệm của f(t)

Với x=2 có: 











3
1
0

3
4

y
y
y

y

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Thí dụ 54 Giải hệ phương trình

































(**)
1

3
2
4

3
3
2
8
2
3

3
4

(*)
3

4
)

(
6
3
8
9

2
2
2

2
2

x
x

x
y
xy
x

y
xy

y

y
x
y

xy
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong

Hướng dẫn.

Đk y24xy30;9x28xy3y260

Đặt 9x2 8xy3y26 a0

y24xy3b0

Suy ra mối liên hệ:

)
1
(
9
4
12

9 2 2

2    

y
xy
x

b
a

Pt (*)đã cho trở thành:

y
b
y
x

a(  ) 

Thay a vào (1) ta được



(xy)by



2 b2 9x2 12xy4y29



(  )21



22 (  ) 3(3 34  23)0

 x y b y x y b x xy y





















0
1

)
(

)
3
4

3
(
3

2
2

y
x

y
xy
x

b
b

vì có y24xy30;3x2 0 vày24xy3;3x2 không đồng thời bằng 0 
với b=3 suy ra a3x2y

Ta có:



























6
4

0
2
3
3

3
4

2
3
6
3
4

2
2

xy
y

y
x
xy

y

y
x
y

xy
y

Thay vào PT(**) có

1
3
2
4

15
3
2
3
9
3

2
2
2












x
x

x
x
x

x

1
3
2
4

)
4
1
3
2
)(
1
3
2
4
(
3
9
3

2
2
2



















x
x

x
x
x

x
x

x

4
1
3

2
3
9

3 2

2    



 x x

x
x

0
)
1
(
2
1
3
2
)
2
1
(
1
3

2 2   2  2   2 

 x x x x x x
















2
1
3
2

1
1

3
2

2
2

x
x

x































4
33
3
3
0

0
3
3
2

0
)
3
(

x
x
x
x

x
x
x

Với x0 có:y2 6 y 6

Với x3 3

có: 2 3 3 3

9
4
6
3
2
6

4     

 y y

y
Với

4
33
3




x có:





33
3
24
33
3
6

)
33
3
(

2          

y
y

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Với

4
33
3




x có:





33
3
24
33
3
6

)
33
3
(

2         

y
y

y

Kiểm tra đk: 3x2y0 ta lấy 4 cặp nghiệm:



x ;y  6

4
33
3




x





33
3

24
33
3
;







y

4
33
3




x





33
3
24
33

3
;







y

Thí dụ 55 Giải hệ phương trình



























(**)
1
2

3
2

(*)
1
.

2
2
2

2
2
2
2

y
x
y
x
y

y

x
y

x
y
x
x
y

y
x
y
x
y
x

y

Tác giả:Vũ Hồng Phong

Hướng dẫn.

Đk x2yx2y1

Đặt x2y2 x2yx2y2y2a0

x2yx2 y1b0

Suy ra mối liên hệ:

)
1
(
1
2

2
2
2
2

2     

y
y
y

x
b
a

Pt (*)đã cho trở thành:

x
xb

a 

Thay a vào (1) ta được

1
2
)

(xbx 2b2 x2y2y2 y



21



22 2 ( 1)( 2  2 1)0

 x b x b y x y x y





















)
(
0
1

)
1
(

2
2
2

l
x

y
x
y
x
b

y
b

Ta có:



















2
2

2
2
2
2
2

y
y

x
y
x

xy
y

y
x
y
x
y
x






















1
2
1

1
0

2
2

y
y
y
x
y
y
xy

Thay x2yx2 y1 y1 vào PT(**) có

0
2
2y y2y 

2
2

)

(y  y2y

f y

1
2
2
ln
2
)

(

' y   y

f y

2
2
ln
2
)
(

" y  y 2 
f

2
ln

2
ln
0

2
2
ln
2
)
(

" y  2    y 2

f y

suy ra f’(y) có tối đa 2 khoảng đơn điệu suy ra f’(y) có tối đa 2 nghiệm suy ra f(y) có tối đa 3 
khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 3 nghiệm

suy ra y=1;y=2;y=3 là tất cả các nghiệm của f(y) 
ta loại y=1

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Đối chiếu các điều kiện suy ra hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm:

)
3
;
7
(

),
2
;
2
2

(x y x y

Thí dụ 56 Giải hệ phương trình





































(**)
1
2
2
2

)
1
2
(

2
4
3

(*)
1
1
2

2
2

)
1
(

2
2

1
2
2

1
1

2
2

2
2
2

y
x
xy

y
xy

y
x
xy
xy

y
x

x
y
xy
y

x
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn. 
Đk xy22y0

Đặt x2y2 xy2 2xyx22y1a0

2 0

2  

b
y
xy

Suy ra mối liên hệ:

)
1
(
1

2 2

2
2
2
2

x
xy

y
x
b

a     

Pt (*)đã cho trở thành:

1
)

1
(
1

2
)

(      






x
b
y
a
a

x
b
y

Thay a vào (1) ta được





2 2 2 2 2

1
2
1

)
1

(y yx b x y  xy x



( 1)2 1



22( 1)( 1)  ( 2 2 2)0

 y b x y b x xy y






















)
(

0
1
)
1
(

)
2
2
(

2
2

l
y

y
xy
b

xy
a
x
b

Ta có:

















x
y
xy

xy
y

x
xy
xy

y
x

1
1

2
2















2
2

2
0

x
y
xy
x
xy

Thayxy2 2yx2 vào PT(**) có

0
1
2
2

)
1
(
5
2

2
1

2
2

1
2
1
2
2

2
2
2








  









x
x

x

x
x

Đặt 0

1
2
2

2
2








t
x

x
x

Có:

0
5
2

3t  2t  t 
t
t

f( )3t 22t 5

5
2
ln
2

3
ln
3
)
(

' t  t  2t 

f

2
ln
2
3
ln
3
)
(

" t t 2 2t 2

f   

suy ra f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu nên f(t) 
có tối đa 2 nghiệm

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Với t 1 có:















































3
3
3

3
2

2
3
1

)
1
(

3
1
2

0
0

0
)
2
(
1
1
2
2

y

loaivixy
y

x

y
x

x
x

x

x
x

Với t 1 có:














































)
(
0
1

3
7
2
1

)
1
(

3
7
2
1
3

0
)
1
)(
3
(
2
1
2
2

1 3

2
2

loai
x

y

loaivixy
y

x
x

hệ Pt đã cho có 3 cặp nghiệm (x;y): )

3
7
2
1
;
3
(
),
2

3
1
;
2

(
),
0
;
0
(

3    

Sau đây tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng 2 phương pháp đặt ẩn phụ đều của tác giả nghĩ 
ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép thế Ơ-le trong tính tích phân)

Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép thế Ơ-le các bạn có thể tìm ở tạp chí: 
Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hồn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh)

Thí dụ 57 Giải hệ phương trình























(**)
9
16

15
1

4
)
1
8
(
16
16

(*)
1
1

2
2

4
2

2
2
4

x
x

y
y

x
y

y
x
y

y
x
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh)

Hướng dẫn.

Đk  yx4 0 yx4 0 y0(đk:y0)

Đặt 2x42x2 y2 y1a0

yx4 b0

Suy ra mối liên hệ:

)
1
(
1
2 2

2
4
2

2    

x
y
x
b
a

Pt (*)đã cho trở thành:



 b

y
x
a

Thay a vào (1) ta được

)
1
(
1
2

1 2 4 2 2

2
2














 b x y x

b
y
x

0
)
2
(

1 4 2 2

2
2
2















 

 b x y x

y
x
b

y

x

0
)
2
(

1 4 2 2

2
2
2


















 b x y x

y
x
b
y

x

0
)
2
(

1 2 2 4 2 2

2
4


















 b x b y x y x

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>





















 0( )

)
1
(

)
2
(

2
4

2
2
4

l
y

y
x

x
y
x
b

x
a
y
b

Ta có:

















y
x
y

x
y

y
x
x

2
2

2
4

1
1

2
2










 02 4

x
y
y
y

Thayyy2 x4 vào PT(**) có

9
16

15
1

4
)
1
8
(

16 3 2 2








x
x

Điều kiện

16
9



x

*)
*
(*
9
16

30
1

4
)
2
16
(

32 3 2 2









x
x

Ta có

1
4
)
1
4
(
)
1
4
(
6

1
4
12
8
)
1
4
2
(

2
2

2
2
3
3
2














x
x

x
x
x
x

x

1
4
)
1
16
(
6

32 3   2  2 

 x x x x

Suy ra

)
1
4
2
(
3
1
4
)
1
16
(
6
32
*)
*

(*  x3 x x2 x2  x x2

VT

)
1
4
2
(
3

)
1
4
2

(  2  3  2 

 x x x x

Đặt

2x 4x21t  x2 1t2x













2
2

)
2
(
1

0
2

x
t
x

x
t












1
4

0
2

t
tx

x
t

(i)

+ Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (i)

+ Xét

t0















t
t
x

t
t
i

4
1
0
2
1
)
(

2
2











t
t
x
t

4
1
0

Khi này PT(***) trở thành

9
4

1
.
16

3 2







t
t

4
9
4

3 2







t
t

t

4
9
4

3 2







t
t

t

(do

t0

)

30
)
4
9
4
)(
3

( 2 2  

 t t t

0
18
27
16
9

4 4 3 2  

 t t t t

0
)
3
5
4
)(
3
)(
2

(   2  

 t t t t















0
3
5
4

3
2

t
t
t
t

Xét phƣơng trình

4t25t30

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Do

t0

nên ta chỉ lấy

t2

-Với

t2

thay vào (1) ta đƣợc

8
3


x

Vậy PT(***) có 1 nghiệm

8
3


x

Với

8
3



x có:

64
943
32

4096
81

2    

 y y

y

hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y): 







 

64
943
32

;
8
3

Thí dụ 58 Giải hệ phương trình


































(**)
3

30
10

11
1

3
2
3

7
1

(*)
1
2
3

2
1
2
3

2
2

3
3

2
2
2

y
x

x
x

x

y
x
y
x
x

y
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn.

Dễ thấy x2y10 thì

0
0

3
2

(*) x2 y2  x y (không xảy ra)

0
1
2
(*)x y 

Đặt 3x2y2 2x1a0

2x23y2 b0

Suy ra mối liên hệ:

2
2

)
2
(
)
1

(x y

b

a    

Pt (*)đã cho trở thành:

y
x

b

a  12

Ta có hệ:





















0
2
1

)
2
1
)(
2
1
(
)
)(
(

y
x

b
a

y
x

b
a
b
a
















y
x

b
a

y
x

b
a

2
1










y
b

x
a

2
1
















y
y
x

x
x

y
x

2
3
2

2
3

2
2














2
2

2
0

x
y
y
x

Thayy2 2x2 vào PT(**) có :

*)
*
(*
3

70
11
1

3
2
3
7
1

2
3

2 x x

x

x   












+Dễ thấy

x0

không thoả mãn PT (***)

+ Xét

x0

Đặt

1 1

3
2
3

7 2    

tx
x

x
















1
2
1

3
2
3
7

0
1

2
2

xt
x
t
x
x
tx












x
tx
x
x
t
tx

2
6

7
3

0
1

2
2

2 (1)

2
6
)
7
3
(

0
1













t
x
t

tx

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

khơng thoả mãn (1)

Khi

3
7




t

thì


















0
1
7
3

2
6
.

7
3

2
6
)

1
(

2
2

t
t
t

t
t
x



















7
3

7
2
3

7
3

2
6

2
2

t
t
t

t
t
x




























3
7
3
7
7
3

t
t

t
t
x

(2)

Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta đƣợc

3
70
11
)
1
1

(

2
3

3 x x

tx  



2
3

.
3

70
11

x
x
x

t  



70
11

3 3  

 t x x

7
3

2
6
.
11
7
3

2
6
.

3 3 2 2 









t
t
t

t
t

)
7
3
(
70
)
2
6
(
11
)
2
6
(

3  3    2

 t t t t

0
468
66
210

18 4 3 2  

 t t t t

0
)
13
4
3
)(
2
)(
3
(

6   2  

 t t t t















0
13
4
3

2
3

2
t
t
t
t





















3
43
2
2
3

t
t
t

đối chiếu điều kiện của t ở (2) ta loại

3
43
2



t

Với t còn lại thay vào (2) ta đƣợc

775
,
0
43
2

43
3
3
;

2
;

1 








 x x

x

đối chiếu điều kiện

0,775

43
2
13

3
3
;

1 









 x x

x

Với

















)
(
0
2
2
2

1 2 2

l
y

y
x

Với

( 0)

2
13

86
3
6
3
43

2
13

43
3

3 










 y y

x

hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):

)
2
:
1
(

;

)
43
2
13

86
3
6
3
;
43
2
13

43
3
3
(





</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Thí dụ 59 Giải hệ phương trình
























(**)

14
41
28
27
11
17
2
2
11
17
2
(*)
2
1
2
4
9
6
5
2
2
2
2
2
2
2
x
x
y
x

x
y
x
y
x
y
x
x
y
x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn.

Dễ thấy xy20 thì

)
(
0
5
2
4
....
0
2
1
2
4
9

6
5

(*) x2y2 x  x2 y xy    x2  x  vn 
(không xảy ra)

0
2
(*)xy 

Đặt 5x2 y26x9a0

4 2 1 0

2   

b
y

x

Suy ra mối liên hệ:

2
2
2
2
2
2
)

1
(
)
3
(
1
2
9

6        




b x x y y x y

a

Pt (*)đã cho trở thành:

3 




b x y

a

Ta có hệ:



















0
1
3
)
1
3
)(
1
3

(
)
)(
(
y
x
b
a
y
x
y
x
b
a
b
a















1
3
)
1
(
3
y
x
b
a
y
x
b
a








1
3
y
b
x
a















1
1
2
4
3
9
6
5
2
2
2
y
y
x
x
x
y
x











2
2
4
1
3
x
y
y
x

Thayy2 4x2 vào PT(**) có :

14
41
28
27
)
11
6
)(

1
(
2
11
17

6 2  






x
x
x
x
x

Dễ thấy x1 khơng là nghiệm của phƣơng trình
Với x1 đặt

0
)
1
(
)
11
6
)(

(x x  x t (1)

2
2
)
1
(
)
11
6
)(
1

(x x  x t


2
)
1
(
11

6x  x t

2
2
11
)

(t  x t

 (2)

Dễ thấy t 6 không thoả mãn (2)
Với t 6suy ra

6
11
2
2



t
t
x (3)

thay vào (1) ta đƣợc:

0
6
5
)
11
6
)(
1

( 2 





t
t
x
x
Suy ra








0
6
6
t
t
(4)
Phƣơng trình đã cho trở thành

14
41

6
11
.
28
27
6
5
2
6
5
2
2
2
2
2













t
t

t
t
t
t
)
12
5
2
)(
195
55
(

700 2 2 2 

 t t t t





</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

0
468
195
350

224 3 2  

 t t t t

0
)
156
143
22

)(
3
)(
1

(   2  

 t t t t



















44
6721
143

3
1

t
t
t

Kiểm tra điều kiện ở (4) ta lấy t 3 và

44
6721
143




t

Thay các giá trị t vào (3) ta đƣợc

3
2



x

và

6721
286
15554

5874
6721

286





x

6721
143
7777

2937
6721

143





Với

3
4
1

;
9
16
4

2 2 2









 y x y y

x

Với

6721
286
15554

5874
6721

286





x ;y2 4x2;y1

6721
143
7777

5874
6721

286





 y

hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):

3
4
;
3
2



 y

x

6721
143
7777

2937
6721

143





x

6721
143
7777

5874
6721

286
;





y

Thí dụ 60 Giải hệ phương trình

























(**)
75
2
20

(*)
2

1
4

.
15
4

2
4

1
2
3
1

2
2

y
x
y

e
e

y
y

x
x
xy

y
y
y

Hướng dẫn. 
Đk:

4
15



xy

Đặt: 4xy15 a0

3 4 2 1 0
2






b
y

x

Suy ra mối liên hệ:

16
)
2
(

2 3 2

2   

y
x
b

a

(1)

Từ phƣơng trình (*) có:

y

xb
a  

Thay vào (1) đƣợc:



xb y



22b3(2x y)216



2 2 4 2 8



)
2

(  2  2 2   

 b x b x b b xy

2


b



2 2 22 24 2 80



xy
b
b
x
b
x
vì

Suy ra

y
x
a2 

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>



























15
4

0
2

2
2

2
15
4

2
2
3

2
2

y
x

y
x
y

x

y
x
xy

15 2

2 y

x  



Thay vào(**) đƣợc:

y
y
y
e

ey21 3y22y1  4 5 2 2

)
1
2
3
(
)

( 2 2 3 2 1 2

1 2









   

y
y
e

y

ey y y

)
1
2
3
(
)
1

( 2   2  

 f y f y y

)

(t e t

f  t 
t
e
t

f'( ) t 2
2
)

(
'

' t et 
f

2
ln
0

2
)

(
'

' t e   x

f t

t

Ln2

f”(t)

-

0 +

f’(t)

2-ln4>0

f(t)

Nhƣ vậy f(t) là hàm đồng biến. suy ra

)
1
2
3
(
)
1

(y2  f y2 y
f































2
1
2

)
1
2
)(
2
(

0
1
1

2
3
1

2
2

y
y
y

y
y

2
11
4

2 2   

 x x

y

2
2
2
12
4

2
2
12
2

1  2     



 x x

y

Đối chiếu đk suy ra nghiệm hệ đã cho:























2
1
;
2

</div>

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ của tác giả Vũ Hồng Phong

<i><b>KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG </b></i>

<b>(</b>

<b>đây là một dạng trong tài liệu:</b>

MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ )

Từ bài viết của tác giả:

<i>DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI</i>

<i>MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐẶC BIT</i>

Khi gặp một ph-ơng trình có dạng

<i>u</i>

<sub>.</sub>

<i>P</i>

<i>v</i>

<sub>.</sub>

<i>Q</i>

<i>w</i>

(với u,v, w,P,Q là các biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc

các hằng số e,f và các biểu thøc

,

chøa Èn tho¶ m·n:

(*)

thì ta xử lí ph-ơng trình đó nh- sau:

Đặt

;

<sub>suy ra </sub>

<sub>; </sub>

Ta cã hƯ PT:

(**)

Gi¶i hệ PT(**) ta tìm đ-ợc các nghiệm (a;b)

n õy PT,hệ PT đã cho sẽ trở nên đơn giản hơn !

<b>L-u ý</b>

: tõ (*) ta thÊy hƯ PT(**) lu«n cã nghiệm (a,b) =

Sau đây l

các ví dụ

<b>Ví dụ 1: </b>

Giải ph-ơng trình

1

7

6

2

4

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>Phân tích</b>

:

Ta có:

nên PT này ta nhẩm đ-ợc e =f =1 và

=

<b>Lời giải </b>

Đặt

;

Suy ra

(1)

Từ PT đã cho ta có

(2)

Thay vào (1) ta đ-ợc:

hc

(3)

+Từ (2) có

thay vào PT(3) đ-ợc

(4)

Cã

Suy ra PT(4) v« nghiƯm. Do

đó PT(3) vụ nghim

+Với b = 2 thay vào (2) đ-ợc

Suy ra

Vậy PT đã cho có 1 nghim

<b>Ví dụ 2: </b>

Giải ph-ơng trình

<b>Ph©n tÝch</b>

: Víi PT này ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 và

=

vì

<b>Lời giải </b>

Đặt a =

, b =