Đáp án HSG Toán học lớp 12 Quảng Ninh 2012-2013 bảng A - Học Toàn Tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH </b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 </b>

<b>Mơn Tốn – Bảng A (đề thi chính thức) </b>

<b>Bài </b> <b>Sơ lược lời giải </b> <b>ðiểm </b>

<b>Bài 1 </b>
<i><b>6ñiểm </b></i>

<b>1. Giao hai tiệm cận I( 1;1) </b>

Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hồnh độ x0

=>phương trình tiếp tuyến có dạng: 0

0
2

0 0

3 2

( )

( 1) 1

<i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

− +

= − +

− −

0,5

Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại A( 0
0

5
1;

1
<i>x</i>
<i>x</i>

+
− )
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B(2<i>x</i>0−1;1)

0,5

Ta có 0

0 0

5 6

1 ;

1 1

<i>x</i>
<i>IA</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+
= − =

− − <i>IB</i>= 2<i>x</i>0− −1 1) =2 <i>x</i>0−1

Nên 0

0
6

. .2 1 12

1

<i>IA IB</i> <i>x</i>

<i>x</i>

= − =

−

0,5

Do vậy diện tích tam giác IAB : 1 . 6
2

<i>S</i> = <i>IA IB</i>=

Gọi p là nửa chu vi ∆IAB => bán kính đường trịn nội tiếp ∆IAB : <i>r</i> <i>S</i> 6
<i>p</i> <i>p</i>

= =
=> r lớn nhất <= > p nhỏ nhất. Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên

0,5

2 2

2<i>p</i>=<i>IA</i>+<i>IB</i>+<i>AB</i>=<i>IA</i>+<i>IB</i>+ <i>IA</i> +<i>IB</i> ≥2 <i>IA IB</i>. + 2<i>IA IB</i>. =4 3+2 6
Dấu “ = ” xảy ra <=><i>IA</i>=<i>IB</i> ⇔(<i>x</i>0−1)2 = ⇔ = ±3 <i>x</i> 1 3

0,5
Với <i>x</i>= −1 3ta có tiếp tuyến d1 : <i>y</i>= − −<i>x</i> 2( 3 1)−

Với <i>x</i>= +1 3ta có tiếp tuyến d2 : <i>y</i>=2( 3 1)+ −<i>x</i>

0,5

2. L =

2 7 2 2

0

( 2012) 1 2 ( 2012)

lim
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

→

+ − − + + ₁

<b> =</b>

7
2

0

1 2 1

lim ( 2012)

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
→

 − − 

+ +

 

 

Ta có L1 =

2
0

lim( 2012) 2012

<i>x</i>→ <i>x</i> + = ; L3 = lim<i>x</i>→0<i>x</i>=0

1

Tính L2 =

7
0

1 2 1

lim
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

→

− −

ðặt

7

7_{1 2} 1

2
<i>t</i>
<i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> −
− = => =
Và khi x → 0 thì t → 1

=> L2 = ₁ 7 ₁ 2 3 4 5 6

2( 1) 2 2

lim lim

1 1 7

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

→ →

− −

= = −

− + + + + + +

Vậy L = 2012. 2 0 4024

7 7

₋ _{+ = −}
 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 2 </b>
<i><b>3ñiểm </b></i>

ðiều kiện:

2
2

0
4

4 2 4

8 2 0

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+

 _≥

 ₋


≠ ⇔ − ≤ <



 + − ≥




0,5

Với đ/k đó phương trình đã cho tương đương với

⇔ 2 2 2

( <i>x</i> 2<i>x</i> 8) <i>m</i> 8 2<i>x</i> <i>x</i> 2 8 2<i>x</i> <i>x</i> 6 <i>m</i> 0

− − + + − + − + + − − − = . (1) 0,5

ðặt t = 2

8+2<i>x</i>−<i>x</i> ; Khi x ∈[ – 2; 4) thì t ∈[ 0; 3] . (2)

Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – 6 – m = 0 0,5

⇔

2

2 6
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>m</i>

<i>t</i>
− + −
=

+ .

Xét hàm số

[ ]

2 ₂ ₆

( ) ; 0;3

1
<i>t</i> <i>t</i>

<i>f t</i> <i>t</i>

<i>t</i>
− + −

= ∈

+ ; f’(t) =

2
2
2 8
( 1)
<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>
− − +

+

0,5

f’(t) = 0 ⇔ 4
2
<i>t</i>
<i>t</i>

= −

 =


Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên ñoạn [ 0 ; 3 ].

t <b>–</b>∞ <b>–</b>4 <b>–</b>1 0 2 3 +∞

f’(t) <b>–</b> 0 + + + 0 <b>–</b>

f(t)

- 2

<b>–</b>6 9

4

−

<b> </b>

0,5

Phương trình đã cho có nghiệm x∈[–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈[0; 3]
⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈[ 0; 3 ] ⇔ – 6 ≤ m ≤ – 2

Vậy với – 6 ≤ m ≤ – 2 thi phương trình có nghiệm 0,5

<b>Bài 3 </b>
<i><b>3điểm</b></i>

Ta có:

sin 45 _sin
2

<i>r</i> <i>r</i>

<i>x</i>

<i>B</i> <i>C</i>

= _o = ₊ ;

;

sin

2
<i>r</i>
<i>y</i>

<i>B</i>
=

sin
2
<i>r</i>
<i>z</i>

<i>C</i>
=

<i><b>r</b></i>

<i><b>r</b></i>

<i><b>_r</b></i>

<i><b>B</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>A</b></i>

<i><b>I</b></i>

1

Suy ra:

sin sin sin

2 2 2 2 2 ₍ ₎

sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2

<i>B</i> <i>C</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>B</i>

<i>cos</i> <i>cos</i>

<i>yz</i> <i>r</i> <i>r</i>

<i>r</i> <i>r</i> <i>a</i>

<i>B</i> <i>C</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>B</i> <i>C</i>

<i>x</i> <i>_tg</i> <i>_tg</i>

+

+

= = = + = =>

2 2

2

2
<i>y z</i>
<i>a</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ngồi ra định lý hàm cos trong tam giác BIC cho :
<i>_a</i>2 ₌ <i>_y</i>2₊<i>_z</i>2₋₂<i>_yz</i>_cos<i>_BIC</i>

<=> 2 2 2 ₂ ₍₁₈₀ ₎
2
<i>B</i> <i>C</i>
<i>a</i> = <i>y</i> +<i>z</i> − <i>yzcos</i> − +
<=> 2 2 2

2 135
<i>a</i> = <i>y</i> +<i>z</i> − <i>yzcos</i> o
<=> 2 2 2 2

2 .
2

<i>a</i> = <i>y</i> +<i>z</i> + <i>yz</i> (2)
Từ (1) và (2) ta có :

2 2

2 2

2 2

<i>y z</i>

<i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i>

<i>x</i> = + + <=> 2 2 2

1 1 1 2

<i>x</i> = <i>y</i> + <i>z</i> + <i>yz</i>
1

<b>Bài 4 </b>
<i><b>5ñiểm</b></i>

a)

( )

<i>CM</i> <i>BM</i>

<i>CM</i> <i>ABM</i> <i>BH</i>
<i>CM</i> <i>AB</i>



 ⊥

 _=> _⊥ _⊃



 ⊥




=> <i>BH</i> <i>CM</i> <i>BH</i> (<i>ACM</i>) <i>AC</i>

<i>BH</i> <i>AM</i>



 ⊥

 _=> _⊥ _⊃



 ⊥




=> <i>AC</i> <i>BH</i> <i>AC</i> (<i>BHK</i>)

<i>AC</i> <i>BK</i>



 ⊥

 _=> _⊥



 ⊥




1

Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố định và
vng góc với AC cố định nên

mp(BHK) cố định

0,5

∆BHK vng tại H => SBHK= (1/2) BH.HK

2 2 2

4 4

<i>BH</i> <i>HK</i> <i>BK</i>

(const)

+

≤ =

vậy ∆BHK có diện tích lớn nhất  BH = HK ∆BHK vng cân.
Khi đó

2
<i>BK</i>
<i>BH</i> =

1

Mà 1 ₂ 1₂ 1 ₂

<i>BH</i> = <i>AB</i> + <i>BM</i> 2 2 2

1 1 1

<i>BK</i> = <i>AB</i> + <i>BC</i>

=> 1 ₂ 1 ₂ 1₂ 1₂ 1 ₂ 1 ₂

2 2 2

<i>BK</i> = <i>BH</i> <=> <i>AB</i> + <i>BC</i> = <i>AB</i> + <i>BM</i>

1

<=>

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

2 2 4 4

<i>h</i> <i>R</i>

<i>BM</i> <i>BC</i> <i>AB</i> <i>R</i> <i>h</i> <i>h R</i>

+

= + = + =

=>

2 2
2

2 2 ₂ ₂

4 2

2 ₂

<i>h R</i> <i>hR</i>

<i>BM</i> <i>BM</i>

<i>h</i> <i>R</i> <i>_h</i> <i>_R</i>

= <=> =

+ ₊

(với R là bán kính đường trịn (C), AB = h )

1

Mà B cố định => M thuộc đường trịn tâm B bán kính

2 2

2
2
<i>hR</i>
<i>h</i> + <i>R</i>

=> có hai vị trí của M làm cho diện tích ∆BHK đạt GTLN đó là giao của
đường trịn (C) và đường trịn (B;BM)

0,5

H
B

C

M
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 5 </b>
<i><b>3ñiểm</b></i>

2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2

4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

P <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c a</i>

+ + − + + − + + −

= + +

+ + + + + +

Nhận xÐt: Do <i>abc</i>=2 2 nªn a2_{, b}2_{, c}2_{là các số thực dơng}

0,5

Xét : A =

2 2
2 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

+ −

+ + với x,y > 0

Chia tử và mẫu cho y2_{v t t =} <i>x</i>

<i>y</i> ta đợc A =

2
2

1
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
− +

+ + víi t > 0

0,5

XÐt hàm sè f(t) =

2
2

1
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
− +

+ + trªn (0;+∞)

Ta cã : f’_{(t) =}

2

2 2

2( 1)

0 1

( 1)
<i>t</i>

<i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>

−

= ⇔ =
+ +

Bảng biến thiên:

t 0 1 +

f’_(t) _{– 0 +}

f(t)

1<b></b>1<b></b>

<b> </b>1
3
<b> </b>

0,5

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) 1
3

<i>f t</i> ≥ với mọi t > 0
Từ đó A =

2 2
2 2

1
3

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

+ −
≥

+ + với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y.
Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta có

4 4 2 2
4 4 2 2

1
3

<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>

+ −
≥
+ +
Tương tự

4 4 2 2
4 4 2 2

1
3
<i>b</i> <i>c</i> <i>b c</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>b c</i>

+ −
≥

+ + ,

4 4 2 2
4 4 2 2

1
3
<i>c</i> <i>a</i> <i>c a</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c a</i>

+ −
≥
+ +

0,5

=> _P 1₍ 2 2₎ 1₍ 2 2₎ 1₍ 2 2₎ 2₍ 2 2 2₎

3 <i>a</i> <i>b</i> 3 <i>b</i> <i>c</i> 3 <i>c</i> <i>a</i> 3 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

≥ + + + + + = + + 0,5

Áp dụng BðT Cơsi ta có 2 2 2 3 2 2 2

3 6

<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> ≥ <i>a b c</i> = với <i>abc</i>=2 2

=> P ≥ 4 dấu ñẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a = b = c = 2
<b> </b>Vậy Pmin = 4 khi chẳng hạn a = b = c = 2

0,5
<b> </b>

<b>Chú ý: </b>

<i><b>1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải .Bài làm của học sinh phải chi </b></i>
<i><b>tiết,lập luận chặt chẽ,tính tốn chính xác mới được điểm tối ña. </b></i>

<i><b>2. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thơng nhất chi tiết </b></i>
<i><b>nhưng khơng được q số điểm dành cho câu, phần đó. </b></i>

<i><b>3. Có thể chia điểm thành từng phần nhưng khơng dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong </b></i>
<i><b>cả tổ chấm. </b></i>

<i><b>4. ðiểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Khơng làm trịn điểm </b></i>

</div>

<!--links-->