Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.59 MB, 41 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

C Á C B À I T O Á N

B

Ấ

T

Đ Ẳ

N G T H

Ứ

C - C

Ự

C T R

Ị

T R O N G

Đ Ề

T H I C H U Y Ê N T O Á N

N

Ă

M 2 0 2 0 - 2 0 2 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 1.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

3 .

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 – 2021 
Bài 2.

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 .

1 1 1

x y y z z x

xyz
x y z 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021 
Bài 3.

Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 1 4 4 4

.
8

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 
Bài 4.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 2 2

2021.

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng:

2 2 2

1 2012
.

2 2

a b c

bccaab

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021 
Bài 5.

Cho x y, là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









2 2

2 2 .

x y x y

A

x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tốn tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021 
Bài 6.

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3

(ab) 4ab12. Chứng minh rằng:
1 1 2020 2021.

1a1b ab

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 7.

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 3 .z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













2 2 2

1 8 4

1 3 1 2

z
P

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021 
Bài 8.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z 3. Chứng minh rằng:













2 2 2 2 2 2

3 2 .

x y y z z x x y y z z x

xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

             


 



    

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021 
Bài 9.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

a b b c c a

P

c ab a bc b ca

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021 
Bài 10.

a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 m 0.

n

  Chứng minh rằng:





3 11 3

11 m .

n mn



 

b) Với a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021 
Bài 11.

a) Tìm tất cả các số thực a b c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện a2b2c2 38,a b 8 và b c 7.

b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn a2b2c2 2



a bc ca 



.
Chứng minh rằng: a b c  3 23 abc.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 12.

a) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

8 1 1

.
3

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6

 

      

b) Xét các số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn 2 2
5

x xyy  và 2 2

21.

y yzz 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxyyzzx.

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021 
Bài 13.

Với các số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



2 2







2 4 7.

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tốn tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021 
Bài 14.

Với a b c, , 0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

3 a 3 b 3 c 2.

bc ca  ab 

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 
Bài 15.

Xét a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

2 2 2 2 2 2

P a abb  b bcc  c caa

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 
Bài 16.

Tìm tất cả các số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 17.

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













1 1 1

a b c

P

b c c a a b

  

  

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 
Bài 18.

Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1 2.

x  y z Chứng minh rằng:

1 1 1.

x  y z x  y  z

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021 
Bài 19.

a) Với a b, là những số thực dương thỏa mãn: 22a3b5 và 8a12b2a23b25ab10.
Chứng minh rằng: 3a28b210ab21.

b) Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

















2 2 2

2 2 2 4.

2 2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn trường THPT chun KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 
Bài 20.

Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:
2

1 1 1 4

3 1 1 3 a b c .

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 
Bài 21.

a) Cho hai số thực dương a b, . Chứng minh rằng:





2
2 2

2 2 .

2 2

a b
a b

ab

a b


  

 

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a 20 7.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 22.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:













2 2 2

1
.
3

5 5 5

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021 
Bài 23.

Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:





2 1 2 2 1 2

2 2

S a b

a ab b b ab a

 

 



    


     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020 – 2021 
Bài 25.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 2020.

xy yz zx

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

y x z y x z

P

xy yz zx

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021 
Bài 26.

Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn ab và ab1. Chứng minh rằng:

2 2

2 2.

a b

a b






Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021

Bài 27.

Cho a b c, , là các số thực lớn hơn 1.
3

 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 6

1 3 1 3 1 3 5

a b c

b c c a a b

  

  

     

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 28.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



 



2 2 2
3

ab bc ca a b c

P

a b c abc

   

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021 
Bài 29.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



1 2



1 2



A  a  bc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021

Bài 30.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



















a b c

P

a b a c b c b a c a c b

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Yên Bái năm 2020 – 2021 
Bài 31.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:















2 2 2

8 27

16.

a b c a b b c c a

ab bc ca a b c

    

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021 
Bài 32.

Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 1 , 1, 1

18 7 2020

x y z và 18 7 2020 2.

18x177x62020z2021

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A



18x1 7



y1 2020



z1 .



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021 
Bài 33.

Cho a b c, , là các số thực dương a3b5c2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 15 5

3 3 5 5

ab bc ca

P

a b b c c a

  

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 34.

Cho a b c, , là các số thực có tổng bằng 0 và  1 a b c, , 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

2 .

Pa  b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021 
Bài 35.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn 3a23b28c2 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021 
Bài 35.

Cho x y, là các số thực thỏa mãn x25y24xy3x4y27.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x 2 .y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021 
Bài 36.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a b c  2020. Chứng minh rằng:

2 2 2

4 4 4 1 1 1

2020 2020 2020

a b c

a b  b c  ca  abc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Quảng Nam năm 2020 – 2021 
Bài 37.

Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













T  a  b  c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021 
Bài 38.

a) Tìm tất cả các cặp số thực



x y,



thỏa mãn x2y28xy2xy 3 0 sao cho y đạt giá trị lớn
nhất.

b) Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn xy4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









3 3

4 2 4 2

x y

Q

y x

 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 39.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3
.

3 3 3 2

x y z

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 
Bài 40.

Cho x y z, , 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức:

2
1

1 1

xy yz

yz  xy yz  xy 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 
Bài 41.

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 0, 3, 5
2

a b c và

2 2
2

12.

2 9

b c

a    Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:

2 3 8 2 5.

M  ab a ca c c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021 
Bài 41.

Cho các số thực a b c d e, , , , . Chứng minh rằng:





2 2 2 2 2

a b c d e a b c de

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021 
Bài 42.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  ab bc ca  6abc. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021 
Bài 43.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:













2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 .

a b c

a b b c c a

c a a b b c

  

       

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 44.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx5. Chứng minh rằng:





2 2 2

3 2 6

.
3

5 5 6 5

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hải Phịng năm 2020 – 2021

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

**********************************

Bài 1.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

3 .

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 - 2021

Lời giải

Ta có: P3xyyz2zx2x y2 



xyz xy



yz2zx2x y2 xy2yz2 zx2xyz.
Khơng mất tính tổng qt giả sử 0x yz, khi đó ta có:







2 2 2 2 2 2

0 .

xy yz yz  xy yz zx x yy zz x
Khi đó ta có:



2 2 2



2 2 2 2 2 2







2P2 xy yz zx xyz xy yz zx x yy zz x2xyz xy yz zx .
Suy ra







x y y z z x

P    Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:





1 1

4.
2 3 2 27

x y z
x y y z z x

P            

 

Suy ra P4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi xyz1.

Bài 2.

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 .
1 1 1

x y y z z x

xyz
x y z 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:





2 2 2 2 2 2 2 2 2

(1)
1 1 1

xy yz zx
x y y z z x x y y z z x

x y z xy y yz z zx x xy yz zx x y z

 

     

          

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mặt khác

3
2 2 2 2 2 2

3 .

xy yz zx
xyyzzx x y z x y z    

 

Đặt txyyzzx với t0, từ giả thiết suy ra:









2 3

2 2 2 4 3

4 1 1 .
27 4

t

x y z   xyyzzx   t   t

Hay 3.
4

xyyzzx Mà 2 1





1 3 1.
4 4

xyz  xyyzzx    Suy ra 1.
8

xyz

Do đó xyyzzx6xyz



xyyzzx



26xyz xy



yzzx



(2).

Lại có



xyyzzx



23



xy yz yz zx  zx xy



3xyz x



 y z



Suy ra 2



xyyzzx



26xyz x



 y z



(3).

Từ (2) và (3) suy ra



xyyzzx



22xyz x



  y z xyyzzx



(4).

Từ (1) và (4) suy ra

2 2 2

2 .
1 1 1

x y y z z x

xyz

x  y z  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1
.
2

x  y z

Bài 3.

Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 1 4 4 4

.
8

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

























3 3 3 3 3 3

1 1

1 1 1

8a  a b  b c   c 8 a b c b c a c ab

Ta có:













2 2 2 3 3

(a b c )(abbcca)



a b c abc a  b c



a bc .
Do đó cần chứng minh:



2 2 2







a b c abbcca 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2 2 2 2 2

1(a b c) a b  c 2(abbcca)2 (a b c )2(abbcca)

Suy ra



2 2 2







a b c abbcca  Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 4.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 2 2

2021.

a b  b c  c a 
Chứng minh rằng:

2 2 2

1 2012
.
2 2

a b c
bccaab

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt

2 2 2

a b c
P

b c c a a b

  

   và

2 2 2

b c a
Q

b c c a a b

  

  

Suy ra:

2 2 2 2 2 2

a b b c c a
P Q

b c c a a b

  

   

   Đặt x b c y,  c a z,  a b. Khi đó ta có:



y x z





z y x





x z y



yz zx xy





P Q x y z

x y z x y z

  

         

Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2

m n p mnnppm ta có:

yz zx xy yz zx zx xy xy yz

x y z
x  y  z  x  y  y  z  z  x   

Từ đó suy ra P Q 0 hay PQ.

Khi đó ta có:

2 2 2 2 2 2

2P P Q a b b c c a (1).

b c c a a b

  

    

  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:













2 2 2 2 2 2

2021
.

2 2

a b b c c a
a b b c c a

b c c a a b a b c a b c

    

      

      

Mặt khác 2021 2 2 2 2 2 2 2





.
2 2 2

a b b c c a

a b b c c a    a b c

           

Suy ra:





2 2 2 2 2 2

2021 2021 2021
(2).

2 2 2

a b b c c a
a b c b c c a a b

  

    

    

Từ (1) và (2) suy ra: 1 2021
2 2

P hay

2 2 2

1 2021
.
2 2

a b c
bccaab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2021.
3 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 5.

Cho x y, là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









2 2

2 2 .

x y x y
A

x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:









2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 .

x y x y x y xy x y xy xy x y
A

x y xy x y xy x y xy

      

      

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2

2.
2

xy x y
x y xy



 



Suy ra: A4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 đạt được khi xy.

Bài 6.

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3

(ab) 4ab12. Chứng minh rằng:
1 1

2020 2021.
1a1b ab

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021

Lời giải

Với mọi x y, 0 và xy1, ta có: 1 1 2 .
1x1y1 xy

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:



































1 1 1 1

0
1 1 1 1

0 0

1 1 1 1
1 1 1 1

0 0

1 1 1 1

x xy y xy

xy x xy y y x y x x y
y xy x xy
x xy y xy

xy
y

x

x y x y

   

   

   

       

   
   

  

 



       


    

 

Do xy1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Đẳng thức xảy ra khi xy hoặc xy1.

Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:





3





</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Đặt t ab với 0 t 1. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1 1 2 2 .
1a1b1 ab 1t

Ta cần chứng minh 2 2020 2 2021.
1t t 

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương:









3 2 2

2020t 2020t 2021t2019  0 t 1 2020t 4040t2019 0.

Bất đẳng thức cuối đúng do t1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t1 hay x y 1.

Bài 7.

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 3 .z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













2 2 2

1 8 4
.
1 3 1 2

z
P

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021

Lời giải

Với a b, 0, ta có:





2 2

1 1 2 8 8
.
4

a b ab ab ab

Do đó





2 2

1 1 8
.

a b  ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab.

Áp dụng bất đẳng thức trên liên tiếp, ta có:













2 2 2 2 2 2

1 4 1 1 8 8
1 1 2 1 1 1 1

1 1 1 2
2 2 2

z

x z x

x x

z z z

    

     

              

  

     

  

     





2 2 2 2

8 8 64 64

.
1 3 1 1

2 2 3 5

2 2 2

y

x x y x y

z z z

  

      

              

     

  

     

Từ đó suy ra 64 2.
1

5
2

P

x y
z



 

    

 

 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:



 



2 2 2 2 2 2

3 1 4

3z 1 x z y z 6 4 x 1 y 1 2x 2 .y

z z z

 


</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Suy ra: 6 3 4 2 2 3 1 .
2

x y x y
z z z

        Do đó





1.
3 5

P 



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 1.

x y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi 1, 1.
2

x y z

Bài 8.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z 3. Chứng minh rằng:













2 2 2 2 2 2

3 2 .

x y y z z x x y y z z x
xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

             


 



    

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:





















2 2 2 2

2 2
2 2

2 x y x y

x y x y

xy x y x y xy x y x y xy x y xy

   

       



 



      

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi công lai theo vế ta được:









2 2

2 x y

x y

xy x y x y xy




  

 



Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là bài tốn hồn tất.

2 2 2
3

xy  yz  zx 

Thật vậy, ta có:





2 4 4
.
2

2 2

xy  xy   x y

Do đó:





2 1 1 1 4 9 4 9

4 3.

2 2 2 2 6 2 3 6

x y x y y z z x x y z

   



      



             



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 9.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

a b b c c a
P

c ab a bc b ca

  

  

  

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:













3 6

3 3 a b b c c a 3 ,

a b a b b c c a

P Q

c ab c ab a bc b ca c ab a bc b ca

  

   

   

      



Trong đó













a b b c c a
Q

c ab a bc b ca

  


   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:













 





 



2 2 2

1
.

4 4 4

b a c a c

c ab a bc a c b
c ab a bc

    

      

    

Viết hai bất đẳng thức tương tự ta có:









 



2 2

1
4

a b c

abc bca    và









 



2 2

.
4

b c a
cab bca   

Suy ra:













.
8

a b b c c a a b c
cab abc cab       

Mà















3 3 3

1 1 1 3 6
1 1 1 8.

27 27 27

a b c a b c

a b c            

Từ đó suy ra:



cab a



bc c



ab

 

 a b b



c c



a



 Q 1.
Dẫn đến P36 Q3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a  b c 1.

Bài 10.

a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 m 0.

n

  Chứng minh rằng: 11 m 3



11 3



n mn


 

b) Với a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Với mọi số nguyên a thì a2 chia 11 dư 0, 1, 3, 4, 5, 9.
Ta có: 11 m 0 11n2 m2 0.

n

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:





 









 

2 2

3 11 3 9 11 3
11n m 1 11n m 6 11 3 2 .

m m

 

      

 Nếu m3 thì  



 



2 2 2

2 6 11 3 11 3 2 11 .

VP m     m   n Bất đẳng thức

 

2 đúng.

 Nếu m1 thì

 

1  11n3 11 8 11n 8 3 11. Do 2 2 3

11 2

n m   n nên

 

đúng.

 Nếu m2 thì

 

1 2 11n3 115. Do 11 2 2 2 6
11

n m   n nên

 

1 đúng.

Tóm lại trong mọi trường hợp ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m3,n1.

b) Ta chứng minh abbcca   a b c abc. Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:















1    a b c 1 abbcca  1 abc  1 1 a 1b 1 c 1.

Khơng mất tính tổng qt giả sử a b c.

Ta có: 4   a b c abc3c  c3 c 1. Ngoài ra 4   a b c abc3aa3 a 1.
Khi đó



1a



1 c



 Nếu b   1 1 b 0. Khi đó



1a



1b



1  c



0 1. Ta có điều phải chứng minh.

 Nếu b1, kết hợp với c0 và áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:





 



 





2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1.

2 2

a b a b c abc
a b c a b c a b          

              

   

Từ đó suy ra: abbcca   a b c abc4. Do đó P4.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2, c0 và các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi a b 2,c0 và các hoán vị.

Bài 11.

a) Tìm tất cả các số thực a b c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện a2b2c2 38,a b 8 và b c 7.
b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn a2b2c2 2



a bc ca 



Chứng minh rằng: a b c  3 23 abc.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a) Từ giả thiết thứ nhất, ta có 2

38 49.

b   Do đó b7. Từ đây, kết hợp với các giả thiết thứ hai và thứ
ba, ta có a 8 b và c  7 b 0.

Do đó: 38a2b2c2(8b2)b2(7b) .2

Hay 3(b5)20. Vì 3(b5)2 0 nên dấu đẳng thức trong các đánh giá xảy ra, tức ta có b5,a3

và c2.

Vậy có duy nhất một bộ số ( , , )a b c thỏa mãn yêu cầu là (3, 5, 2).

b) Khơng mất tính tổng qt, giả sử a b c.

Từ giả thiết, ta có (a b c  )2 4ab. Từ đó, với chú ý a b c  0, ta có a b c  2 ab.
Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

( ) 2 2 2 2 3 2 .

a b c   a b c   c ab c ab ab c abc

Đây chính là kết quả cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a
b c hoặc

b

ca hoặc .
4

c
ab

Bài 12.

a) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

8 1 1
.
3
3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6

 

      

b) Xét các số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn x2xyy2 5 và y2yzz2 21.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxyyzzx.

Trích đề thi thử vào lớp 10 chun Tốn trường Archimedes năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có: a22bc 6 a24bc2ab2aca2 



b c



22ab2ac



a b c



Suy ra:

1 1
.
2 6 a b c

a bc

  

 

Mặt khác 2b22bc5c2 b24c22bc



b2c2



b24c24bc 



b 2c



2.
Suy ra: 2b22bc5c2  b 2 .c

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>







2 2







2 2 2 2

4 3 2 4a 3b2c  4a3b2c 3 4a 3b 2c 4a3b2 .c

Từ đó ta có:





2 2 2 2 2

8 8 2

.
4 3 2 2

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a b c b c a b c

 

     

    

Từ đó ta suy ra:

2 2 2 2 2 2

8 1 1 1
.
3
3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6 a b c

  

 

      

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:







2 2

2 2 2 2 3 2 3 2 3 3

2 4 4 2 2 2 2 2

x z z x z

x xy y y yz z y x z y y x y

           

           

                   

 

     

   

Suy ra: 105



2 2



2 2







2.
4

x xy y y yz z xy yz zx

       

Hay Pxyyzzx2 35.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 35.

Bài 13.

Với các số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



2 2







2 4 7.

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:



2 2



















2 4 7 2 4 7 2 1 5 5.

P x y  x y xy   xy  x  y x y  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi





1
1

.
0; 4
1 5

y x
y x

x
x y



     
 

 

     
 

Chẳng hạn x2; y3 hoặc x3; y4.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 14.

Với a b c, , 0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

3 a 3 b 3 c 2.

bc ca  ab 

Trích đề thi thử vào chun Tốn trường THPT chun KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Khơng mất tính tổng qt giả sử c0, khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: 3 a 3 b 2.
b a 

Bất đẳng thức này đúng theo AM – GM. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi ab c, 0.

Xét a b c, , 0 ta chỉ cần chứng minh: 3 a 3 b 3 c 2.
bc ca ab 

Đặt

3
3
3

a x
b y
c z

 

 

 


với x y z, , 0, bất đẳng thức trở thành:

3 3 3 3 3 3 3

3 3

x y z
y z z x x y

  

  

Xét x y z, , 0. Ta có:

3 3 2 2

x x
y z y z



 

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tường đương với: yz2



y2z2



 



y z



20.
Bất đẳng thức cuối đúng do x y, 0 nên ta có điều phải chứng minh.

Từ đó ta cần chứng minh:

2 2 2 2 2 2 2.

x y z
y z z x x y

  

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2 2

2 2 2

2 2 2 2

.
2

x x x

x y z
y z x y z

 

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi

2 2 2

x y z

y z x x y z
z x y

  


      



  


Do x y z, , 0 nên đẳng thức khơng xảy ra.
Do đó:

3 3 3 3 3 3 3

3 3

x y z
y z z x x y

  

  

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 15.

Xét a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a2abb2  b2bcc2  c2caa2.

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:













36 a 1 b 1 c1 3 a     1 b 1 c 1 3 a  b c 3 .

Suy ra a  b c 9.

Mặt khác 2 2 3





2 1





2 3





2 2 2 3





4 4 4 2

a abb  ab  ab  ab  a abb  ab

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được P 3



a  b c



9 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b c 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 3 đạt được khi a  b c 3.

Bài 16.

Tìm tất cả các số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

3
1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Từ giả thiết, ta có 1yzxx2xyxzx x( yz). Suy ra:
1
1 ( )

x x

y zx x x y z  x y z

      .

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 1
1

y

z xy  x y z

    và

1
.
1

z

x yz x y z

   

Do đó 3
1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 17.

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













1 1 1
.

a b c
P

b c c a a b

  

  

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

















3 9 9

3 2 3 6
2 2 2 2 2

a b c a b c a b c
P

a b c a b c a b c

      

       

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.
3

a b c

a b c
a b c

  

    

   


Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 đạt được khi a  b c 1.

Bài 18.

Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1 2.

x  y z Chứng minh rằng:

1 1 1.

x  y z x  y  z

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.
1

x y z
x y z x y z x y z

  

             

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:





x 1 y 1 z 1



1 1 1



x y z x y z x y z
x y z

    



             

 

Suy ra: x  y z x 1 y 1 z1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 19.

a) Với a b, là những số thực dương thỏa mãn:

22a3b5 và 8a12b2a23b25ab10.
Chứng minh rằng: 3a28b210ab21.

b) Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

















2 2 2

2 2 2 4.

2 2 2

a a bc b b ca c c ab
b ab c c bc a a ca b

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn trường THPT chun KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có: 8a12b2a23b25ab104 2



a3b

 

 2a3b a



 b



10 1 .

 

Đặt x2a3 ,b y a b với 2 x 5. Ta có:

 

1 trở thành: 4 10 5 2.
2

y
x xy

x

    

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x2y221x2 4 y225.
Ta có:

2
2

2 2 2 2

25 4 5 4 4
25 4 25 1 2 25 1 8 25 1 .

4 2

y y

y

x x x x x

         

         

                  

Ta cần chứng minh: 8 25 1 42 x2 4.

x

 


     Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:







4 2

29 100 0 2 2 5 5 0.

x  x    x x x x 

Bất đẳng thức cuối đúng do 2 x 5.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x5, y2 hay a b 1.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

















2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3
2 2 2

a abc a b c abc

a a bc a b c abc

ab bc ca
b ab c ab ab c ab ab c

 

   

     

    

 

    





Ta cần chứng minh:

2 2 2

a b c abc
ab bc ca

  

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a  b c 3, ta có:





2 2 2 2 2 2 9

3 abc 2 .

a b c abc a b c ab bc ca
a b c

         

 

Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a  b c 1.

Bài 20.

Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

1 1 1 4

3 1 1 3 a b c .

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho viết lại thành

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 4 3( )

3 6 4 a b c

a b c a b c abc abc

     
          

   

 

    hay

2 2 2 2

1 1 1 4 3( 2 2 2 ) 31
3 4 a b c ab bc ca .

a b c abc abc abc

      

       
 

 

Đặt x 1,y 1,z 1
a b c

   thì ta có 1 1 1 3

x  y z hay xyyzzx3xyz. Ta đưa về chứng minh

3(x y z)  4 31xyz.

Đặt p  x y z q, xyyzzx và rxyz thì ta có q3r. Ta cần có

3p  4 31 .r

Theo bất đẳng thức Cơ-si thì (x y z xy)( yzzx)9xyz nên x  y z 3 hay p3.

Ta có xyz(x y z y)(  z x z)(  x y) nên r(p2 )(x p2 )(y p2 )z .

Khai triển ra ta được r p32p x2(   y z) 4 (p xyyzzx)8xyz hay

9r p 12pr và

.
12 9

p

r
p 

Ta đưa về chứng minh

2 31

3 4 ,
12 9

p
p

p

 

 quy đồng và khai triển, ta có

(p3)(5p 12p12)0, đúng do p3.
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng, ta có điều phải chứng minh.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 21.

a) Cho hai số thực dương a b, . Chứng minh rằng:





2 2

2 2 .

2 2

a b
a b

ab

a b


  

 

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

20 7
.

Q b a

a b

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP HCM năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có:





































2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2
2

2 2 2

2 2
2

a b a b

a b

ab a b ab

a b a b

a b

a b a b a b a b
a b

a b a b

 

      

   



        

 

   

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab.

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

20 20

5a 20 20 5 .a
a a

    

7 7

7b 14 14 7 .b
b b

    

Do đó: Q  b a 205a 14 7b346



a b



34  6 3 16.
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a2,b1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 16 đạt được a2,b1.

Bài 22.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:













2 2 2

1
.
3
5 5 5

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Đặt













2 2 2

5 5 5

a b c

P

a b c b c a c a b

  

     

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:



2 2 2

 



2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 . 9

2 2

a b c a bc a bc

 

           
   
       
Suy ra:







 



2 2
2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 9 1 2

2
2 2

a a

a

a b c a bc
a b c a bc a bc

b b c

 


    

  
     
 

Chứng minh tương tự, ta được:









2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

9 1 2 9 1 2
,

2 2

5 5

b c

a b c b ac a b c c ab

b c a c a b

   

 

             

   

Khi đó ta có:













2 2 2 2 2 2

2 2 2

9 9 9 2 2 2

2 2 2

5 5 5

a b c a b c

a bc b ca c ab
a b c b c a c a b

 
 
      
  
 
     

Suy ra 9 4 2 2 2
2 2 2

bc ca ab
P

a bc b ca c ab

 



       

Ta có :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

bc ca ab b c c a a b
a bc b ca c ab a bc ab cc a  abc a b

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:









2 2 2 1

2 2 2

ab bc ca
bc ca ab

a bc b ca c ab ab bc ca

 

   

    

Vậy 9 3 1
3

P  P . Đẳng thức xảy ra   a b c.
Ta có điều phải chứng minh.

Bài 23.

Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:





2 2 2 2

1 1

2 2

S a b

a ab b b ab a

 

 



    
     

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Lời giải

Theo bất đẳng thức



mn



22



m2n2



, ta có:









2
2

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

4 .

2 2
2 2

S a b a b

a ab b b ab a
a ab b b ab a

   
   


       
 

    
       

Mà













2 2

2 2 2 2

1 1 1 1
,
2 2

1 1

a b

b b a a a b
a ab b b ab a

a b a b

 

 
   
       
   
 
nên đặt:









2 2 , 2 2 .

b b a a a b
x y

a b a b

 

 

 

Ta có:





















2 2 4

2 2

2 2 2 2 2 2

; 2 2 0

a b ab a b a b
x y xy x y xy

a b a b a b

  

        

  

Suy ra : 2 4 1 1 4 2 4 2 8.
1 1 1 1

x y x y
S

x y
x y x y xy x y

 
 

         
  
         

     
        

 

Do đó S2 2. Đẳng thức xảy ra  a b.

Vậy giá trị lớn nhất của S là 2 2 đạt được khi ab.

Bài 24.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc8. Chứng minh rằng:



2 2 2



1
4 4 4 16

a b c

a b c
ca ab bc   

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hà Nam năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: 1 .
4 4 4 8 4 2

a ab ab ab
ca  abc b  b   b



Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 ,
4

x y x y

 

   

   ta có









1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 2 2 4 4 2 4 2 4 2 16 32

ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca

b c a b c a

 

       

             

           

        

Do đó ta cần chứng minh:



2 2 2







2 a b c 2 a b c  ab bc ca 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

























2 2 2 3

4 12 2 2 6 2 2 3 6 2 .

a b c  a b c    a b c   a b c    a b c   abc  a b c 

Từ đây suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 2.

Bài 25.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 2020.

xy yz zx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

y x z y x z
P

xy yz zx

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:













2 2

2 2 2 2 2 1 1 2

3 2

3 3

y x y x
y x x y x x y x

xy xy x y

   

            

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta suy ra:
1 1 1
3 .

P

x y z

 

    

 

Mặt khác: 2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
4 4 4 2

x y y z z x x y y z z x x y z

       

                

          

Suy ra P 3 4040 4040 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 .
4040

x yz
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4040 3 đạt được khi 3 .

4040

x yz

Bài 26.

Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn ab và ab1. Chứng minh rằng:

2 2

2 2.

a b
a b






Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021

Lời giải

Vì ab1 nên





2 2 2 2

2 2 2
.

a b
a b a b ab

a b

a b a b a b a b

 

   

    

   

Ta có: a b 0 nên áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2 2

2 2 a b 2 2.

a b

a b a b



    

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi





6 2
2 2

.
1 6 2

2
a
a b
ab
b
 


  
 

 
 
 
 




Bài 27.

Cho a b c, , là các số thực lớn hơn 1.
3

 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 6
.
1 3 1 3 1 3 5

a b c

b c c a a b

  

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đồng Nai năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:









2 2 2

2 1 2 3 1 2 5 3 2

1 0 1 3 1 .

2 2 2

b

b b c

b  b    b c    c   
Do đó:













2
2

2 2 2

2 1
1

.
1 3 3 1 2 1

a
a

b c b c






     Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:





































2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1
1 1 1

.
1 3 1 3 1 3 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1

a b c

b c c a a b b c c a a b

  

    

              

Đặt x 1 a2, y 1 b2, z 1 c2 với x y z, , 1. Ta cần chứng minh:

2 2 2 6 3
3 2 3 2 3 2 5 3 2 3 2 3 2 5

x y z x y z

y z z x x y   y z z x x y

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

















2 2 2 3

3
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 5 5

x y z xy yz zx
x y z x y z

y z z x x y xy zx yz xy zx yz xy yz zx xy yz zx

   

       

         

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ ab c 1.

Bài 28.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



 



2 2 2

ab bc ca a b c
P

a b c abc

   

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:





















3 2 2 2 2

2 2 1 1 1 9 9

a b c
a b c a b c a b c

a b c a b c

abc abc ab bc ca ab bc ca ab bc ca

 

       

            

   

 

Suy ra









2 2 2

18.

a b c
ab bc ca

P

a b c ab bc ca

 

  

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:







2 2 2









2 2 2



2 2 2 2 2 2

3 3

2 6

a b c a b c

ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

   

    

       

Ngoài ra a2b2c2 ab bc ca  nên





2 2 2

a b c
ab bc ca

 



  Từ đây suy ra P  6 6 1830.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 đạt được khi ab c 1.

Bài 29.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



1 2



1 2



A  a  bc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có





 





2 2











1 2 a 1 2 bc  1 2 a 1b c  1 2 a 2a .
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 9 3 10
1 2 1 3 1 3 .

3 2 2 9

a

a a a



 

          

 

Suy ra:





2 2 2 2

3 10 3 10 98

2 2 .

2 9 8 9 27

A a   a  a   a  

   

Đẳng thức xảy khi và chỉ khi 2, 10.

3 6

a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 30 đạt được khi 2, 10.
3 6

a b c

Bài 30.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



















a b c

P

a b a c b c b a c a c b

  

     

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Lời giải

Ta có:





















b ab bc c ac bc
b c b a c c a b

b c a b a c b c a b a c
b a b c c a c b

  

  

     

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:



































b ab bc c ac bc b c ab bc ca b a c c a b b c
a b a c a b a c
b c a b a c a b b c c a

        

   

   

     

Suy ra:













b c b c

a b a c
b a b c c a c b

  

 

   

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:







2 2 .

a a a a a b c
a b a c a b a c a b a c
a b a c

 

        

       

 

Đặt t b c
a b a c

 

  với t0, ta có:

2 1 9 9

2 .

2 4 4

P t   t t   
 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 7 7 .
2

b c

a b c
b c

a b a c






  



 



 



Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

4 đạt được khi a7b7 .c

Bài 31.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:















2 2 2

8 27

16.

a b c a b b c c a
ab bc ca a b c

    

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021

Lời giải

Với mọi a b c, , 0 ta có:













,
9

a b b c c  a  a b c  ab bc ca  suy ra:



















3 2

27 24

a b b c c a ab bc ca
a b c a b c

    



</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Mặt khác 2 2 2 1





a b c  a b c  nên













2 2 2

8 8

.
3

a b c a b c
ab bc ca ab bc ca

   

   
Suy ra:































2 2 2

3 2

8 27 8 24

.
3

a b c a b b c c a a b c ab bc ca
ab bc ca a b c ab bc ca a b c

        

  

       

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta lại có:

































2 2
2 2

8 24 8 24

2 16.

3 3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca
ab bc ca a b c ab bc ca a b c

       

   

       

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi abc.

Bài 32.

Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 1 , 1, 1
18 7 2020

x y z và 18 7 2020 2.
18x177y62020z2021
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A



18x1 7



y1 2020



z1 .



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

18 7 2020 18 7 2020
2 1 1

18 17 7 6 2020 2021 18 17 7 6 2020 2021
18 7 1 2020 1 7 1 2020 1

18 17 7 6 2020 2021 7 6 2020 2021

x y z x y z

y z y z

x y z y z

       

     

   

    

    

Từ đây suy ra: 18 2 7 1 2020 1 .
18 17 7 6 2020 2021

y z
x y z

 

 

  

Chứng minh tương tự ta cũng có:

7 18 1 2020 1
2

7 6 18 17 2020 2021

x z

y x z

 

 

   và

2020 18 1 7 1

2 .

2020 2021 18 17 7 6

x y
z x y

 

 

  

Từ đây nhân các bất đẳng thức vế theo vế ta được:







18 7 2020 7 1 2020 1 18 1 2020 1 18 1 7 1
2

18 17 7 6 2020 2021 7 6 2020 2021 18 17 2020 2021 18 17 7 6
18 1 7 1 2020 1 31815.

y z x z x y

x y z y z x z x y

x y z

     

        

        

    

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5, 9 , 1009.

9 14 2020

x y z

Vậy giá trị lớn nhất của A là 31815 đạt được khi 5, 9 , 1009.
9 14 2020

x y z

Bài 33.

Cho a b c, , là các số thực dương a3b5c2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 15 5
.
3 3 5 5

ab bc ca
P

a b b c c a

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Thái Nguyên năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 ,
4

x y x y

 

   

   ta có:





3 15 5 3 1 1 15 1 1 5 1 1 1

3 5
3 3 5 5 4 3 4 3 5 4 5 2

ab bc ca ab bc ca

a b c
a b b c c a a b b c c a

     

             

        

Suy ra: 1



3 5



2020 1010.

2 2

P a b c   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 2020, 2020, 404.
3 9 3

a b c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1010 đạt được khi 2020, 2020, 404.

3 9 3

a b c

Bài 34.

Cho a b c, , là các số thực có tổng bằng 0 và  1 a b c, , 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

2 .

Pa  b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: P



a c



22b2 2ac3b22ac.

Nếu ac0 thì P3b22ac3b2 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

0, 1.

ac b 
Chẳng hạn



a b c, ,

 

 0, 1, 1 .



Nếu ac0 thì một trong hai số a hoặc c cùng dấu với b. Khơng mất tính tổng qt giả sử ab0.
Khi đó: P



a b



22ab b 2c2 2c22ab b 22c2b2  2 1212 3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0, b2 1,c2 1 hay a0,b1,c 1.

Tóm lại trong mọi trường hợp giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a và c là hoán vị của



0; 1



và
1.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 35.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn 3a23b28c2 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

2 2 2 2 2 2

1 4 1 4

, 2 , 2 .
2 2 4 2 4

a b b c c a

ab  bc  b c  ca  c a  
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 3 3 8 32
8
2 4 4 4 4

a b b c c a a b c

P          
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab2,c1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 đạt được khi ab2, c1.

Bài 35.

Cho x y, là các số thực thỏa mãn x25y24xy3x4y27.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: Px2 .y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

























2 2 2 2 2

2 2

5 4 3 4 27 4 4 3 2 2 1 28
1 28 2 3 2

x y xy x y x xy y x y y y
y x y x y

             

      



y1



2 0 nên 28



x2y



2 3



x2y



0  7 x2y4.
Vậy giá trị lớn nhất của x2y là 4 đạt được khi x2, y1.
Giá trị nhỏ nhất của x2y là 7 đạt được khi x 9, y1.

Bài 36.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a b c  2020. Chứng minh rằng:

2 2 2

4 4 4 1 1 1
2020 2020 2020

a b c

a b  b c  ca  abc

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Lời giải

Ta có:

























2 2

4 4 4 1 1 1
2020

1 1 1
.

a a a a

a

a b a b c a b a a c b b a a a c b b a a c b b a

c a b a b

 

      

            

  

 

Hay 4 2 1 1 1 .

2020

a

a b caba b Chứng minh tương tự ta cũng có:

4 1 1 1
2020

b

b c a b cb c và 2

4 1 1 1
.
2020

c

ca b c cca

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2020.

ab c

Bài 37.

Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













T  a  b  c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021

Lời giải

Nếu xy z 0 thì 3 3 3

3 .

x y z  xyz Cho xa1, y b 1, z c 1 thì ta có:









 







3 1 1 3 1 3 2

T  a b c   a b c   ab bc ca  abc  abc ab bc ca   
Hay T 3ab c



1



c a b







23ab c



1



c



3c



2 .

Khơng mất tính tổng qt giá giử cmin



a b c, ,



0 c 1. Khi đó ta có:



 









 











2 2 2

3 3 3

1 3 1 4 3 3 3

3 3 2 3 2 .

4 4 4 4 4

c c c
a b c c c c c

T     c c              

   

   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3, 0.

ab c
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 3

 đạt được khi 3, 0.
2

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài 38.

a) Tìm tất cả các cặp số thực



x y,



thỏa mãn 2 2

8 2 3 0

x y  xy xy  sao cho y đạt giá trị lớn
nhất.

b) Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn xy4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức;









3 3

.
4 2 4 2

x y
Q

y x

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Yên năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có phương trình tương đương: x22



y4



xy2y 3 0.

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn x có y là tham số. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi:









4 3 0 .

y y y y



        
Với 13

y thì 23.
9

x  Vậy





13, 23
9 9

x y   

  là cặp giá trị cần tìm.

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có:









3 3

2 1 2 1 3

3 .

4 2 8 2 4 2 8 2 4

x y x y x

y y

 

     

 

Suy ra:





3 3
.
4 2 4 8 4

x x y

y    Tương tự ta cũng có:





3 3
.
4 2 4 8 4

y y x
x   

Do đó 5





3 5 2 3 1.
8 2 8 2

Q xy    xy  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 đạt được khi xy2.

Bài 39.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3
.

3 3 3 2

x y z

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ta có: xy yz zx 3xyz 1 1 1 3.

x y z

       Đặt a 1,b 1,c 1
x y z

   với a b c, , 0 và a b c  3.
Bài toán trở thành chứng minh: 3.

2
3 3 3

bc ca ab
a bc  b ca  cab 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:











1 1
.
2

bc bc bc bc

a b c a
a bc a b c a bc a b c a

 

     

 

       

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

1 1 1 1 1 1

2 2 2

3 3 3

bc ca ab bc ca ab

a b c a b c a b c a b c
a bc b ca c ab

     

           

     

        

Chú ý rằng 1

2 2 2

bc ca c
a b

 
 
 
  

do đó:

1 1 1 1 1 1 3
.

2 2 2 2 2

bc ca ab a b c
a b c a b c a b c a b c

 

     

      

     

     

     

Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 hay x yz1.

Bài 40.

Cho x y z, , 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức: 1 2 2.

1 1

xy yz

yz xy yz  xy 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt a x b, 1 ,c z,

y

   bài toán quy về chứng minh:
2

a b c

b c ca a b 

Ta có:





2 4 4
.
2
2 2

c c c

a b  c a b a b  c Mặt khác:





1 1 2 4





a b c
a b

a b c

b c c a b c c a a b c

 

 

        

       

Suy ra: 2 4





4 2 2.
2

a b c c
a b c

b c c a a b a b c

  

    

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc hay x 1 z.

y

 

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 41.

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 0, 3, 5
2

a b c và

2 2

12.
2 9

b c

a    Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:

2 3 8 2 5.

M  ab a ca c c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:













2 3 8 4 5

2 3 8 2 5 2 3 8 4 5

2 2 2

a b c a c
M  ab a ca c c  a b c a  c         

Hay

2 2 2 2 2

1 4 81 1

2 2 8 14.
2 4 18 2 2 9

a b c b c

M a b c           a    

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1,b2, c9.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 14 đạt được khi a1,b2,c9.

Bài 41.

Cho các số thực a b c d e, , , , . Chứng minh rằng: a2b2c2d2e2a b c



 de



Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:















 



















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 0
2 2 2 2 0.

a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e

a ab b a ac c a ad d a ae e

a b a c a d a e

                

            

        

Bất đẳng thức cuối đúng.
Suy ra điều phải chứng minh.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Bài 42.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  ab bc ca  6abc. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1
3.

a b c 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt x 1, y 1, z 1.

a b c

   Ta có x y z, , 0 và xy z xyyzzx6. Khi đó cần chứng minh:

2 2 2

x y z 
Ta có: 6 1





x y z xy yz zx x y z x y z

           

Suy ra:



xyz



23



xyy



180xy z 3.
Khi đó 2 2 2 1





2 3.

x y z  xyz 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xyz1 hay ab c 1.
Ta có điều phải chứng minh.

Bài 43.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:













2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 .

a b c

a b b c c a
c a a b b c

  

       

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Kiên Giang năm 2020 – 2021

Lời giải

Do abc1 nên ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c

a b b c c a a b c
c a a b b c a b c a b b c c a

  

             

Ta có: a b2 2b c2 2c a2 2 ab bc bc ca ca ab     abc a b c



 



a b c  .
Ngoài ra: 2 2 2

a b c ab bc ca 

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bài 44.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx5. Chứng minh rằng:





2 2 2

3 2 6
.
3
5 5 6 5

x y z
x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hải Phịng năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:













2 2 2 2 .

5 5

x y x y x y

x y z x y z x y
x y x xy yz zx y xy yz zx

    

   

       

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:







































x xy zx y yz xy x y xy yz zx

x y

x y z x y z x y x y y z z x x y y z z x

     

  

         

Hay





















2 2

.
5 5

y x z x y z

x y xy yz zx y x
y z z x y z z x y z z x
x y

  

 

    

     

 

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:





3 3 3 3

2 .
6 2 6 2 6

6 5

z z z z z y x

z x z y z x z y y z z x
z

   

          

         



Đặt t y x

y z z x

 

  ta có





2 .
2 6

VT  t t Ta cần chứng minh:









2 2

2
2

3 2 6 3

2 3 6 4

3 2
2 6

3 2 6 2 0 3 2 0.

t t t t
t t t

      

      

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 2 2

</div>

Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

C Á C B À I T O Á N

B

<b>Ấ</b>

T

<b>Đ Ẳ</b>

N G T H

<b>Ứ</b>

C - C

<b>Ự</b>

C T R

<b>Ị</b>

<i>T R O N G </i>

<i><b>Đ Ề</b></i>

<i> T H I C H U Y Ê N T O Á N </i>

N

<b>Ă</b>

M 2 0 2 0 - 2 0 2 1

<b> </b>











































































































 













