Bài tập bất đẳng thức giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0≥x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0≤x
Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0
≤
a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0
≥
a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0a b a b
> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết
ba
≥
. Ta có:

0b-a
≥⇔≥
ba
2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥

" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤

được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
a b
a c
b c
>

⇒ >

>


2. Tính chất 2:
a b a c b c
> ⇔ + > +
Hệ quả 1:
a b a c b c> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c
+ > ⇔ > −
3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>

> ⇔

<


Hệ quả 3:
a b a b> ⇔ − < −
27
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Hệ quả 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c

>


> ⇔


<


5. Tính chất 5:
0
0
a b
ac bd
c d
> >


⇒ >

> >

6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
nn
baNnba >⇒∈>>
*
,0

8. Tính chất 8:
n
baNnba >⇒∈>>
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba >⇔>
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba ≥⇔≥

IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0
≥

= ∈

−

x
x R
x
2. Tính chất :
2
2
0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤
3. Với mọi
Rba ∈,
ta có :
•
a b a b+ ≤ +
•
a b a b− ≤ +
•
. 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥
•
. 0a b a b a b− = + ⇔ ≤
V. Bất đẳng thức trong tam giác :

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0
•
b c a b c− < < +
•
c a b c a− < < +
•
a b c a b− < < +
•
a b c A B C> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
28
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số
1 2
( , , )
n
a a a

và
1 2
( , , , )
n
b b b
ta có :

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + +
với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b
0≥
, chứng tỏ rằng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b+ +
≥

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
16)1
21
()1(

2
2
≥+++
x
x
x

2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )+ + < + +a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+ yx
. Chứng minh rằng:

5
4
14
≥+
xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx 53423 ++≥++
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22

yx
yx
yx +≥+++
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
29
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

0)2()2()2( ≥−++−++−+ baccaacbbccbaab
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
zyxzyx ++≥++
333

Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
33≥xyx
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
9≥
++
+
++
+
++
c
cba
b
cba
a
cba
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
1≤++ zyx
. Chứng minh rằng :

10
111
≥+++++
zyx
zyx
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x −>
với mọi x > 0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức:
xtgxx 2sin >+
với mọi
)
2
;0(
π
∈x

Ví dụ 4: Với
2
0
π
<< x
, chứng minh
1
2
3
sin2
222
+
>+
x
tgxx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
33
1
11
33
3333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz

yz
zy
xy
yx
Khi đẳng thức xảy ra?
Bài 2: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng :
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx
Bài 3: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức
abccabcab
=++
, chứng minh rằng:

3

222
222222
≥
+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
30