Đáp án HSG Toán học lớp 11 trại hè Hùng Vương 2013 - Học Toàn Tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (306.73 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu Phương pháp - Kết quả Điểm

1

Cho dãy số

 

un xác định bởi

 

4 2

1 1 3

2013
2014, ,
4026
n
n
n n
u

u u n

u u



   

  ¥

Đặt *

3
1
1
,
2013
n
n
k k
v n
u

  




¥ . Tính limvn.

5.0

Ta có













4 2

1 3 2

2013 2013

2013

2013 2013

4026 1 4026

n n

n
n

n n n n

u u

u
u

u u u u



 



   

   

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được *

2013,

n

u   n ¥ .

1.0

















 

3
1 3
2013 2013
2013 1
2013 2013
n n
n
n n
u u
u
u u

 
 
  

Từ

 

1 suy ra 3 3

1 1

1 1 1 1 1 1

2013 2013 2013 2013 2013 2013

n n n n n n

u   u  u  u  u  u  

Do đó

1 1 1 1 1

2013 2013 2013 2013 2013

n
n

k k k n n

v

u u u u u

   
 
      
    
 



1.5

Ta chứng minh limun  .

Thật vậy, ta có





2 2

1 3 3

2013
4026 2013
0,
4026 4026
n
n n
n n

n n n n

u

u u

u u n

u u u u





 

     

    ¥

Suy ra

 

un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2...

1.5

Giả sử ngược lại

 

un bị chặn trên và

 

un là dãy tăng nên limun   a thì a2014. Khi
đó
4 2
3
2013
4026
a

a
a a



   a 20132014 (vô lý). Suy ra

 

un không bị chặn trên, do đó

limun  

Vậy

lim lim 1 1

2013
n
k
v
u 
 
   

 
1.0
2

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

giao với phân giác góc ·BAC tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABE giao với BD tại F (khác B), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

J
D'

K
I

F
E

B C

Gọi D' là trung điểm của AB và M là trung điểm cạnh BC.

Ta có D' nằm trên đường trịn ngoại tiếp VBCD. Do tính đối xứng nên suy ra ¼D E' »ED suy
ra ·ABI D BE·' EBD· IBK·

Suy ra I nằm trên phân giác góc ·ABKhay BI là tia phân giác góc ·ABK

 

1.0

Ta có: · 180 · 180 · · 1· 1·

2 2

o o

DFA BFA BEAMEB CEB CDB

· ·

DFA DAF

  suy ra VAFD cân tại D và tam giác AFC vuông tại F.

2.0
Do IA.IF=IE.IB nên I thuộc trục đẳng phương của đường trịn đường kính AC và đường trịn

ngoại tiếp VBCD.

Từ đó CI đi qua giao điểm thứ hai J của hai đường tròn này.

1.0
Ta có DCJ· ·DJCDBC· nên DA2DC2 DK DB.

Suy ra DAK· ·DBA hay FAD FAK· · DFA FAB· · . Từ đó FAK· ·BFA.
Ta có (đpcm)

1.0

3

Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây
1. f x



y



 f x

 

 f y

 

với mọi ,x y¡ .

2. f x

 

 ex 1 với mỗi x¡ .

4.0





 

0 0

f x  f x f  f  và bởi vì f

 

0   e0 1 0 cho nên f

 

0 0 0.5

 





 

2 4

0 1

2 1

2 2

2 1 4 1

2 2

x

x x

f x x f x f x f x f x

x x

f x f f e

x x

f x e f x f f e

        

 

   

       

     

       

           

   

Dùng quy nạp theo n1, 2,... ta CM được

 

2 2n 1

x
n

f x  e  

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cố định x0¡ ta có

 

0 2 1

n

x
n

f x  e  

 

Xét dãy

2 n 1

x
n
n

a  e  

  ta có:

0 0

lim lim .

n

x

n

n
e

a x x

x

 

  

  

 

 

Vậy f x

 

0 x0  x0 ¡

 

1.5

Vậy f x

 

 f

 

    x x

 

x 0

 

Kết hợp (1) và (3) ta được f x

 

f

 

 x 0

Từ (2)  f

 

   x x f x

 

x

 

4 . Kết hợp (2) và (4) ta được f x

 

  x x ¡ . Thử lại

 

f x x ta thấy đúng.

1.0

4

Giải hệ phương trình sau:













2 2

, .

2 3 2 1 11

y
x x y

x y x y

x y x

   

 




    



¡ 4.0

Điều kiện 1

x ; x2 



x y



0; #x y

Từ phương trình thứ nhất suy ra y và x - y cùng dấu mà 1

y   x y x nên y0. Ta có
y = 0 từ phương trình thứ nhất suy ra x = 1 mà (1;0) không thỏa mãn pt thứ 2 nên y0

0.75



















 































2 3 2

2 2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

1 0

0
1

1 0

1 0 1

y
x x y

x y

x x y x y x x y y

x x y y

x y x y

x x y x y

x y

x x y y

x y x y

x y y x

  



         

      

  

  

   

    

 

    

        

 

      

1,75

Thay vào phương trình thứ hai ta được

4x 4x 2 3 2x 1 11 0.5

Đặt t 2x1 ta được t4    3t 10 0 t 2
Từ đó tìm được

 

; 5 3;

2 2

x y   

 

1đ

5

Trên bảng ô vuông 3 3 , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ơ vng có khơng q một

viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số các hàng, các cột, các
đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng khơng có sỏi ứng với 0 điểm.

a) Tồn tại hay khơng cách đặt sỏi sao cho ơ chính giữa bảng khơng có sỏi và số điểm
tương ứng với cách đặt đó là 8.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi
với điểm số là một số lẻ.

a) Giả sử ô chính giữa khơng có sỏi và điểm số của cách đặt là 8. Như vậy 3 hàng, 3 cột và hai
đường chéo đều có một số lẻ viên sỏi. Gọi a,b,c,d là số sỏi trong các ơ như hình vẽ, a,b,c,d

 

0,1

 . Khi đó các ơ đối xứng với a,b,c,d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là a',b',c',d' sao cho
a+a'=b+b'=c+c'=d+d'=1.

Từ đó (a+b+c)+(a'+b'+c')=3 suy ra một trong hai tổng a+b+c hoặc a'+b'+c' là một số chẵn. Khi
đó dịng thứ nhất hoặc dịng thứ ba có tổng số sỏi là một số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban
đầu.

Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán.

a b c

0 d

a b c

d' 0 d
c' b' a'

1.0

b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ơ trên cùng bên trái của chúng có số sỏi
khác nhau và các ơ cịn lại tương ứng có số sỏi như nhau.

(B) (B')

Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi một liên hợp với nhau.

Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B'). Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả
hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ. Các dịng, cột và đường chéo cịn lại của hai bảng
có số sỏi như nhau. Do đó điểm số của (B) và (B') khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của (B)
và (B') có tính chẵn lẻ khác nhau.

Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt cịn lại có điểm
số là một số lẻ suy ra điểu phải chứng minh.

a b c

f e d

g h i

a' b c

f e d

g h i

</div>