Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.27 MB, 36 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thì
(Vi iu kin cỏc mu s u khỏc 0).
1. Sai lầm do áp dụng sai tính chất dÃy tỉ số
bằng nhau
Bài toán 1. Tìm x, y biết và xy 90.
Lời giải sai lầm:áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng
nhau ta cã
Suy ra x 2.9 18; y 5.9 45.
Phân tích sai lầm:Lời giải trên đã áp dụng tính
Li gii ỳng:
Cách 1: Đặt thì x 2k; y 5k.
Vì xy 90 nên 2k.5k 90
10k2 90 k2 9 k 3.
+ Víi k 3 th× x 6; y 15.
+ Víi k 3 th× x 6; y 15.
VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15).
C¸ch 2: Ta cã x2 36
x 6.
+ Víi x 6 th× y 15.
+ Víi x 6 th× y 15.
VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15).
2. Sai lẵm do khềng xĐt trđêng hĩp tỏ sè bỪng 0
Bội toịn 2. Tm x, y bit
Lời giải sai lầm:áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng
nhau ta cã
Suy ra 6x 12 x 2 y 3.
Phẹn tÝch sai lẵm: Lêi giời trến cưn thiạu trđêng
hĩp 2x 3y 1 0.
Lời giải đúng: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau ta có
+ NÕu 2x 3y 1 0 th× 6x 12 x 2, y 3.
+ NÕu 2x 3y 1 0 th× 2x 1 3y 2 0
VËy (x, y) (2, 3);
Bài toán 3.Cho dÃy tỉ số bằng nhau:
Tính
Lời giải sai lầm:Từ giả thiết suy ra
a <sub>1</sub> b <sub>1</sub>
b c d a c d
c <sub>1</sub> d <sub>1</sub>
a b d b c a
a b b c c d d a
B .
c d a d a b b c
a b c d <sub>.</sub>
b c d a c d a b d b c a
1 2<sub>;</sub> <sub>.</sub>
2 3
1 2
x ; y .
2 3
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
(2x 1) (3y 2) 2x 3y 1.
5 7 12
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
(2x 1) (3y 2) 2x 3y 1.
5 7 12
2x 1 3y 2 2x 3y 1.
5 7 6x
2
x <sub>xy 90 18</sub>
2 5 5
x y k
2 5
x y xy .
a b ab
x y <sub>xy 90 9.</sub>
2 5 2.5 10
x y
2 5
a b c a b c a b c
x y z x y z x y z
Phẹn tÝch sai lẵm:Lêi giời trến cưn thiạu trđêng
hĩp a b c d 0.
Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta cẵn xĐt
thếm trđêng hĩp a b c d 0 thừ a b (c d);
b c (a d)
3. Sai lẵm do khềng xĐt trờng hp mẫu số
bng 0
Bài toán 4. Cho c¸c sè x, y, z kh¸c 0 tháa mÃn
điều kiện
HÃy tính giá trị của biểu thức
Lời giải sai lầm:
Ta có
áp dụng tính chất dÃy tỉ số b»ng nhau ta cã:
Phẹn tÝch sai lẵm:Khi ịp dông tÝnh chÊt dởy tử sè
bỪng nhau lêi giời trến ệở khềng xĐt trđêng hĩp
x y z 0.
Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta ệđĩc
+ Nạu x y z 0 thừ:
¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
Suy ra M 2.2.2 8.
+ Víi x y z 0 th× y x z; z y x;
x z y.
Do đó
4. Sai lầm do khơng nắm chắc định nghĩa về
giá trị tuyệt đối
NhËn xÐt. x2 a (a 0) |x| a x a.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biÕt r»ng vµ
2x2 3y2 5z2 405.
Lời giải sai lầm:Đặt thì x 2k, y 3k,
z 4k.
Mà 2x2 3y2 5z2 405 nên
2(2k)2 3(3k)2 5(4k)2 405
8k2 27k2 80k2 405
45k2 405 k2 9 k 3.
Do ệã x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12.
Phẹn tÝch sai lẵm: Cịch giời trến cưn thiạu
trđêng hĩp k 3, tõ ệã ta cã thếm kạt quờ
x 2.( 3) 6; y 3.( 3) 9; z 4.( 3) 12.
Cịc bỰn hởy giời cịc bội tẺp sau vộ ừng mc cc
sai lm nh trn nh:
Bài 1. Tìm các sè x, y, z biÕt r»ng vµ
xyz 648.
Bµi 2. T×m x biÕt
Bài 3. Cho a, b, c khỏc nhau ụi mt tha món
Tính giá trị biểu thức
Bài 4.Tìm x, y, z biết
y z 1 x z 2 x y 3 1 <sub>.</sub>
x y z x y z
a b c
P 1 1 1 .
b c a
a b b c c a.
c a b
x 1 <sub>60 .</sub>
15 x 1
x y z
2 3 4
x y z k
2 3 4
x y z
2 3 4
x y z y x z y x z
M 1 1 1
y z x y z x
z x y ( 1).( 1).( 1) 1.
z x y
y z z x x y 2(x y z) 2.
x y z x y z
y z z x x y .
x y z
y z z x x y 2(x y z) 2
x y z x y z
x y z
M 1 1 1
y z x
y x z y x z
y z x
y x z y x z 2.2.2 8.
z x y
y z z x x y .
x y z
y z <sub>1</sub> z x <sub>1</sub> x y <sub>1</sub>
x y z
y z x z x y x y z
x y z
x y z
M 1 1 1 .
y z x
y z x z x y x y z .
x y z
a b b c c d d a
B 4.
c d a d a b b c
a b c d a b c d
b c d a c d
a b c d a b c d.
Lêi giời ệóng. Lêi giời ệở cho mắi chử ra ệđêng
thỬng BM cớt ệđêng thỬng xy, cưn phời chụng
minh tia BM cớt xy. Do ệã ta cẵn bữ sung nhđ sau:
Vừ xy qua a vộ song song vắi BC nến xy nỪm trến
mét nỏa mẳt phỬng bê BC chụa A. Mẳt khịc, tia
BM cã gèc B trến BC vộ M nỪm giọa A, C nến tia
BM còng nỪm trến mét nỏa mẳt phỬng bê BC
chứa A, nghĩa là tia đối của tia BM nằm trên nửa
mặt phẳng bờ BC khơng chứa A do đó tia đối của
tia BM không cắt xy. Vậy tia BM cắt xy.
BỰn PhỰm Thu HđểngnhẺn giời kừ nộy.
anh kÝnh lóp
Bµi to¸n. Cho tam gi¸c
ABC, ệđêng cao AH. ậẳt
BC a, CA b, AB c.
TÝnh chiÒu dội ệoỰn thng
BH theo a, b v c.
Lời giải.Đặt BH x th× CH a x.
áp dụng định lí Pytago ta có
AH2 AB2 BH2 AC2 CH2.
Suy ra c2 x2 b2 (a x)2
c2 x2 b2 a2 2ax x2
c2 a2 b2 2ax
VËy
Theo bạn, lời giải trên đã hoàn chỉnh chða?
Cao ngọc toản
(GV. THPT Tam Giang, Phong Điền,
Thõa Thiªn - HuÕ)
2 2 2
a c b
BH .
2a
2 2 2
a c b
x .
2a
(TTT2 sè 137+138)
en i trước chiếu hết sau 2 nước.
VŨ ĐÌNH HÒA
(TTT2 sè 139)
NhËn xÐt.Quy lt bµi 1 rÊt dƠ, tất cả các bài gửi
u cho ỏp ỏn ỳng. Bi 2: Hầu hết các bạn đều
chọn đúng số cần điền là 92, nhðng một số bạn
chỉ cho kết quả mà khơng giải thích, hoặc chỉ nêu
mối liên hệ cụ thể giữa các số, không nêu quy luật
khái quát.
Quy luËt.
Bài 1.Tổng các số trong bốn ơ vng nhỏ của hai
hình đầu đều bằng 30, do đó số cịn thiếu cần
điền vào ơ trống ở hình thứ ba là 14.
Bµi 2.XÐt d·y sè
95, 98, 89, 95, 83, ... , 77, 89.
Các số ở vị trí lẻ giảm dần và cách đều nhau 6
đơn vị, các số ở vị trí chẵncũng giảm dần và cách
đều nhau 3 đơn vị. Theo quy luật đó, số cần điền
vào chỗ trống là 92.
Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn nh Linh,
7A2;ậỰi Vẽn Thđẻng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến
LỰc;Lế nh Tuyạt, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng,Vỵnh Phóc;Ngề Thỡ Ngảc nh, 8A, THCS
Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Trung
Dòng, 8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc
Ninh; NguyÔn Huy Quang, 6A, THCS Hoộng
Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Tróc
Quúnh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế Minh
Viỷt Anh, 6A, THCS Vỵnh Yến, TX. Vỵnh Yến;
Nhãm bỰn Trẵn ậan Trđêng, NguyÔn Mai Chi,
NguyÔn Thỡ Minh Nguyỷt, NguyÔn Thỡ Ninh
Hđểng, ậộo Ngảc Hời ậẽng, 6A, THCS Lý Tù
Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Vị Trang Nhung,
8A;Trẵn ậục Hiạu, 6A, THCS Mc nh Chi, Ba
nh,H Nội.
nguyễn Xuân Bình
Bạn hÃy tìm quy luật của các số trong hình vẽ rồi điền tiếp một số vào ô trống.
Bội toịn mộ tõ viỷc ệo ệỰc ệđĩc mét sè tÝnh chÊt
gừ ệã (vÝ dô nhđ lộ mẺt ệé theo cịc hđắng) cựa
mét hừnh thÓ, từm ra ệđĩc hừnh dỰng cựa hừnh thÓ
ệã, trong toịn nãi chung ệđĩc gải lộ bội toịn
ngđĩc. VÊn ệÒ bội toịn ngđĩc lộ mét trong
nhọng vÊn ệÒ quan trảng ệẵy ụng dông cựa toịn
hảc hiỷn ệỰi, tõ viỷc dư mừn cho ệạn dư dẵu khÝ
cho ệạn ệự cịc thụ khịc (Mải thụ mộ khềng nhừn
thÊy ệđĩc trùc tiạp, mộ chử ệoịn qua cịc chử sè
ệo ệđĩc giịn tiạp thềi).
§Ĩ làm ví dụ, ta có thể thử giải một baby Radon
transform sau.
Cho một hình vng mà mỗi ô viết một số nhð
trong hình vẽ (hình dung là mỗi ơ đựng một thứ gì
đó, và các số đó là mật độ của thứ đó):
Bẹy giê khềng ệđĩc gì cịc thụ ra ệÓ xem ề nộo
ệùng thụ gừ, nhđng cã mịy chiạu xiến qua hừnh
vuềng ệÓ ệo mẺt ệé. Xiến theo cịc hộng ngang thừ
biạt ệđĩc cịc tững a b c, d e f, g h k.
Xiến theo cịc hộng dảc thừ biạt a d g, b e h,
c f k. Xiến 45 ệé thừ biạt d b a, g e c,
h k f. Xiến 45 ệé theo ệđêng chĐo khịc thừ biạt
thếm 3 tững nọa lộ d h g, a e k, b f c.
Cẹu hái lộ: Nạu biạt 12 tững ệã thừ cã thÓ từm
ệđĩc 9 sè a, b,..., k khềng?
Nạu từm ệđĩc thừ tục lộ lộm ệđĩc mét biạn ệữi
baby Radon.
ậÓ giời bội toịn nộy, ta chó ý trong mẫi cịch chiạu
xiến thừ tững cựa ba tững con bỪng tững cựa 9 sè.
VẺy ta lÊy mét cịch chiạu xiến ệẵy ệự 3 phđểng
trừnh, ba cịch chiạu xiến cưn lỰi, mẫi cịch ta lÊy 2
phđểng trừnh. Ta cẵn giời hỷ 9 phđểng trừnh ệÓ từm
ra 9 sè.
VÝ dô ta cã hỷ găm 9 phđểng trừnh sau:
a b c m<sub>1</sub>, d e f m<sub>2</sub>, g h k m<sub>3</sub>,
a d g m<sub>4</sub>, b e h m<sub>5</sub>, d b a m<sub>6</sub>,
g e c m<sub>7</sub>, d h g m<sub>8</sub>, a e k m<sub>9</sub>
(với m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>,... , m<sub>9</sub>là các số đã biết).
GS. Ngun TiÕn Dịng
Bµi 1.Rót gän biĨu thøc víi x vµ 0 a b 2a.
Bµi 2. a) Chøng minh rằng không có các số nguyên x và y nào tháa m·n hÖ thøc
2008x2009 2009y2010 2011.
b) XĐt dởy sè a<sub>1</sub> 1, a<sub>2</sub> 3 vộ a<sub>n 2</sub> 2a<sub>n 1</sub> a<sub>n</sub> 1 vắi mải sè nguyến dđểng n. Chụng minh rỪng
A 4a<sub>n</sub>a<sub>n 2</sub> 1 lộ sè chÝnh phđểng.
Bội 3. a) Giời hỷ phđểng trừnh
b) Từm cịc nghiỷm tù nhiến (x, y) cựa phđểng trừnh (x2 4y2 28)2 17(x4 y4 14y2 49).
Bội 4.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn a3 b3 c3 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục
Bội 5. Cho tam giịc nhản ABC, gải H lộ trùc tẹm vộ O lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC.
Chụng minh rỪng AH AO khi vộ chử khi
Bội 6. Trong hừnh chọ nhẺt ABCD kÝch thđắc 4 5, cho 6 ệiÓm phẹn biỷt. Chụng minh rỪng tăn tỰi hai
ệiÓm mộ khoờng cịch giọa chóng khềng vđĩt quị 17.
o
ABC 60 .
2 2 2 2010
A a b c .
a b c
3xy 2(x y)
5yz 6(y z)
4zx 3(z x).
1 2a b
a b
1 ax 1 bx
A ,
1 ax 1 bx
1.V bẹy giê Mini 8 tuữi nến tuữi cựa Mini bẹy giê
lộ 2 lẵn mét sè chÝnh phđểng, tõ ệã tuữi cựa Max
sau ệẹy mét nẽm còng lộ 2 lẵn mét sè chÝnh
phđểng. Vừ tuữi cựa Mini sau ệẹy mét nẽm lộ 9 lộ
mét sè chÝnh phđểng nến tuữi cựa Max bẹy giê lộ
mét sè chÝnh phđểng lĨ. Chó ý rỪng 9 1, 25 1
vộ 81 1 khềng lộ 2 lẵn mét sè chÝnh phđểng nến
2.Chóng ta bớt ệẵu tõ cịc phẹn sè Ta sỳ céng
tỏ sè cựa hai phẹn sè nộy vắi nhau vộ céng mÉu sè
cựa hai phẹn sè nộy vắi nhau ta ệđĩc mét phẹn sè
mắi nỪm giọa hai phẹn sè ban ệẵu. Ta cã
Quị trừnh ệã cụ lẳp lỰi, ta ệđĩc
vộ
Ta thÊy ph©n số nằm giữa và là
Vy số tr em tham gia dộn hĩp xđắng nhá nhÊt
lộ 7 vộ sè trĨ em nam lộ 3.
3. Giờ sỏ cã 13 cề gịi vộ 10 con ngùa thừ ta cã
tững sè chẹn lộ 13.2 10.4 66. Vừ 990 : 66 15
nến cã (13 10).15 45 cề gịi phời ệĩi ệạn lđĩt
mừnh cđìi ngùa.
4.Trđắc hạt chóng ta từm hiỷu cựa hai tỏ sè 57 23
34, hiỷu cựa hai mÉu sè 78 30 48. ậÓ ệđĩc
ệỬng thục ệóng thừ cịc phẹn sè mắi cã kạt quờ
b»ng Mµ vµ
Do đó số phải trừ đi là 6.
5.Sè tÊt cờ cịc ệéi, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi
nộo lộ 210 1024. Sè tÊt cờ cịc ệéi khềng cã bỰn
nọ nộo, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi nộo lộ 26 64.
Sè cịc ệéi chử cã mét bỰn nọ lộ 4. 26 256. Do ệã
sè cịc ệéi cã Ýt nhÊt mét bỰn nọ lộ 1024 64
256 704.
6. Chú ý rằng 2014 2.19.53. Nếu trong tích đó
có 2 thừa số là 1 thì ta có 1 giá trị của tổng. Nếu
trong tích đó có 3 thừa số là 1 thì ta có 3 giá trị của
tổng. Nếu trong tích đó có bốn thừa số là 1 thì ta
có 1 giá trị của tổng. Vậy số các tổng khác nhau
là 5.
7.Mét ngộy sau, chử cưn lỰi 54 chuét ệen. Trẻ lỰi
nhọng ngộy vÒ trđắc, mẫi ngộy sè chuét trớng
tẽng thếm 4 con vộ hiỷu giọa sè chuét ệen vộ
chuét trớng mẫi ngộy tẽng thếm 2 con. Ta cẵn cã
54 : 2 27 ngộy ệÓ sè chuét ệen vộ sè chuét trớng
bỪng nhau. Vừ ban ệẵu sè chuét ệen gÊp 3 lẵn sè
chuét trớng nến thêi gian ệÓ sè chuét trớng bỪng
sè chuét trớng ban ệẵu lộ 27 : 3 9 ngộy. Do ệã
ban ệẵu cã 4.9 36 chuét trớng vộ cã 3.36 108
chuét ệen. VẺy sè chuét mộ mÌo bớt ệđĩc lộ
36 108 144 con.
8.
Gọi N là trung điểm của AB. Ta có AN 12 cm.
Theo tính chất đối xứng thì điểm P phải nằm trên
đoạn thẳng MN để có PA PB. Nếu điểm P càng
2 2
PA 12 9 15 cm
57 6 51 17 .
78 6 72 24
23 6 17
30 6 24
34 17 .
48 24
2 1 3.
5 2 7
1
2
2
5
0 1 1 2 1 3 2 3 1
1 5 4 7 3 8 5 7 2
4 3 5 2 5 3 4 1.
7 5 8 3 7 4 5 1
0 1 1 2 1,
1 3 2 3 1
0 1 1.
1 2 1
0 1.
1 1
DTH(DÞch vµ giíi thiƯu)
10.Ta thÊy tững sè tiÒn vĐ cho mét ngđêi lắn vộ
mét trĨ em bỪng sè tiỊn vĐ cho 2 thanh thiạu niến.
Chóng ta sỳ thay thạ mét ngđêi lắn vộ mét trĨ em
bỪng hai thanh thiạu niến. Nạu nhđ khi ệi xem
nhỰc giao hđẻng chử cã 131 thanh thiạu niến thừ sè
tiÒn mua vĐ lộ $18.131 $2358, khi ệã sè tiÒn
chếnh so vắi thùc tạ lộ $2358 $2014 $344.
Tiạp tôc ta sỳ thay mét sè thanh thiạu niến bỪng
nhọng trĨ em. Mẫi trĨ em thay thạ cho mét thanh
thiạu niến thừ sè tiÒn mua vĐ giờm ệđĩc $18 $10
$8. VẺy sè trĨ em ệđĩc thay thạ cho cịc thanh
thiạu niến lộ 344 : 8 43. VẺy sè trĨ em nhiỊu hển
sè ngđêi lắn lộ 43 em.
11.
Diện tích hình vng lớn là 9.4 36 cm2nên hình
vng lớn có cạnh là 6 cm. Diện tích hình vng
nhỏ là 4.4 16 cm2 nên hình vng nhỏ có cạnh
là 4 cm. Chu vi của hình 8 cạnh tạo bởi hai hình
vng chồng lên nhau bằng tổng chu vi hai hình
vng trừ đi chu vi hình chữ nhật là phần chung
của hai hình vng đó. Để chu vi của hình 8 cạnh
nhỏ nhất thì chu vi của hình chữ nhật tơ màu phải
lớn nhất, khi đó diện tích hình chữ nhật tơ màu lớn
nhất. Mà hình chữ nhật tơ màu có diện tích là
4 cm2 và có độ dài một cạnh là 4 cm nên độ dài
cạnh còn lại là 4 : 4 1 cm. Vậy chu vi nhỏ nhất
12.Sè ng«i sao trên bầu trời là
(10 2)(10 2) (100 2)(100 2) ...
(100...00 2)(100...00 2)
(100 4) (10000 4) ... (100...00 4)
1010...10100 4.2015
1010...10100 8060 1010...12040.
Số các chữ số 1 của số trên là 2015 2 2013.
Vậy tổng các chữ số của số các ngôi sao trên bầu
trời là 2013 2 4 2019.
13.
Ta cã S<sub>DFPQ</sub> S<sub>ABC</sub> (S<sub>BDF</sub> S<sub>AFP</sub> S<sub>CDQ</sub>)
S<sub>ABC</sub> (S<sub>DFK</sub> S<sub>AFP</sub> S<sub>CDQ</sub>)
S<sub>ABC</sub> (S<sub>DFPK</sub> S<sub>KPQ</sub> S<sub>AFP</sub> S<sub>CDQ</sub>)
Do đó
Suy ra S<sub>ABC</sub> 3.10 30 cm2.
14. Vắi mẫi km cựa ệoỰn ệđêng Nadia mÊt 15
phót ệĨ ệi lến dèc, mÊt 10 phót ệĨ ệi xng dèc,
15.Trđắc tiến cã 5 cịch ệÓ tề mộu cho 2 mẳt cỉng
mộu. Hai mẳt ệã cã thÓ lộ hai mẳt ệèi diỷn hoẳc
hai mẳt kÒ nhau.
Nạu hai mẳt ệèi diỷn cỉng mộu thừ bèn mẳt cưn lỰi
ệđĩc tề cịc mộu khịc. Cã ba cịch khịc nhau ệÓ
tề mộu hai mẳt ệèi diỷn trong bèn mẳt ệã, hai mộu
cưn lỰi tề cho hai mẳt ệèi diỷn cưn lỰi.
Nạu hai mẳt ệđĩc tề cỉng mộu lộ hai mẳt kÒ nhau
thừ sè cịch ệÓ tề mộu cho hai mẳt ệèi diỷn vắi hai
mẳt ệã lộ 4.3 : 2 6 cịch. Trong mẫi cịch tề mộu
hai mẳt ệã cã 2 cịch ệÓ tề mộu hai mẳt cưn lỰi.
VẺy sè cịch ệÓ tề mộu hừnh lẺp phđểng ệã lộ
5.(3 6.2) 75 cịch.
KPQ AFP CDQ 1 ABC
S S S S .
3
ABC 2 ABC 1 ABC
S S S .
Khi ệã hai vạ cựa phđểng trừnh khềng ẹm, bừnh
phđểng hai vạ ta ệđĩc
(3 x)2(3 x)(9 x2) 80(3 x)
(3 x)[(9 x2)(9 x2) 80] 0
(3 x)(81 x4 80) 0
(3 x)(1 x4) 0
x {3, 1, 1} (tháa mÃn điều kiện).
b) Vì x 1 nên
Phng trnh cho tr thnh
Bài 2: a) Điều kiện: y 7. Ta thÊy
vµ (x2 9) (y 7) x2 y 2.
b) Gäi O là trung điểm BD.
Ta có
Vy chu vi hnh thoi ABCD lộ 4.AB 24 (m), bịn
kÝnh ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC lộ DA 6 (m).
b) XĐt phđểng trừnh mx2 (m 3)x 2m 1 0. (2)
Giờ sỏ (2) cã hai nghiỷm phẹn biỷt x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>.
Ta cã
Bµi 4: a) Ta cã hay
2
( a b) 400 a b 20 S 20.
a b <sub>ab 200</sub>
2
2
2 2 2
1 2 1 2
7 mx (m 3)x (2m 1) 21x 7 58
17
21x 21x 7 58 x x
7
3 m 17 <sub>m</sub> 7<sub>. Thư l¹i tháa m·n.</sub>
m 7 8
2
1 2 2 1
21x 7m(2 x x ) 58 21x
2
x <sub>4x 3 0 x 1.</sub>
x 3
2
ABCD
OAB OB.OA 3OB S 9 3
S
2 2 4 2
OB 3 AB 6.
AB 2OB, AO 3OB
2 2
x y 2 0 x 9 y 7
*)
x 9 y 7 8 x 9 y 7 8
x 9 y 7 16 x 7, y 9
x 7, y 9 (tháa m·n).
(x 9)(y 7) 15 x 9 y 7 15
*)
x 9 y 7 8 x 9 y 7 8
x 9 5, y 7 3 x 16, y 2
x 0, y 18
x 9 3, y 7 5
x 4, y 2<sub>(tháa m·n).</sub>
x 0, y 18
2
x 9 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
(x y)(x y)(x xy y ) <sub>6</sub> x y <sub>6</sub>
y (y xy y ) y
x <sub>7</sub> x <sub>7 (v×</sub> x <sub>0).</sub>
y y
y
2 <sub>|1</sub> <sub>|</sub> <sub>1.</sub>
(1 4x 1) 4x 1 4x 1
1 0
4x 1
Bài 5:a) Vì BE BC BA nên ABE cân tại B.
Gọi O là trung điểm CD thì O là tâm của T.
Vì OB EC và DE EC nên OB // DE.
Mà DO // FB nên tứ giác DOBF là hình bình hành.
Vậy BF DO a nên AF a.
b) Gọi K là trung điểm BP.
Ta cã
Mộ KO lộ ệđêng trung bừnh cựa hừnh thang vuềng
BCDP nến KO CD.
VẺy ệđêng trưn ệđêng kÝnh BP tiạp xóc vắi CD tỰi
O hay ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABP tiạp xóc
vắi CD.
Vì EP.EB EO2, EB 2a, EO a nên
Do đó
c) Ta có
Vậy M là trung điểm của cung CD.
Suy ra AM AF2 FM2 a2 9a2 a 10.
o o <sub>o</sub> <sub>o</sub>
o o
180 ABE 180 EBC <sub>180</sub> ABC <sub>135</sub>
2 2 2
MEC 45 MED 45 .
AEC AEB BEC
a 3a AP
PD AP 3.
2 2 PD
a
EP .
2
o
1<sub>DOC 90</sub> <sub>KO</sub> 1<sub>BP.</sub>
2 2
1 1
POB POE EOB DOE EOC
2 2
10000 100a
100 m m .
100 a 100 a
C©u 1: (1,5 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên a và b biÕt:
BCNN(a, b) 300; ¦CLN(a, b) 15;
b) Tìm x, y biết (x 1)(2y 5) 143.
Câu 2: (1,5 ®iĨm)
Cho S 3 32 33 ... 3100.
a) Tính 2S 3;
b) Tìm chữ số tận cùng của S.
Câu 3: (1,5 điểm) Cho (với n ).
a) Tìm n để A có giá trị là một số nguyên;
b) Tìm n để A đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị
Cẹu 4: (2 ệiÓm) Cho ệiÓm O nỪm giọa A vộ B.
Trến cỉng nỏa mẳt phỬng bê lộ ệđêng thỬng AB
vỳ ba tia OC, OD, OE sao cho
a) Chøng tá tia OD là tia phân giác của gãc
COE;
b) Vỳ OM lộ tia phẹn giịc cựa gãc AOD; tia OK
lộ phẹn giịc cựa gãc DOC. TÝnh sè ệo gãc MOK.
Cẹu 5: (2 ệiÓm)Từm sè cã bèn chọ sè , biạt
rỪng lộ sè chÝnh phđểng vộ nạu céng thếm
72 vộo sè thừ ệđĩc mét sè chÝnh phđểng.
Cẹu 6: (1,5 ệiÓm) Từm cịc sè tù nhiến a, b, c
khịc 0 tháa mởn ệiÒu kiỷn a b c abc.
abcd
abd
abcd
o o o
BOC 38 , AOD 98 , AOE 54 .
4n 1
A
2n 3
Lời giải.Ta có
Vì y * nên y 1 x 2014.
VËy x nhá nhÊt b»ng 2014 khi y 1.
NhẺn xĐt.Cã mét vội bỰn nhẵm quến ệiÒu kiỷn x,
y nguyến dđểng nến xĐt cờ x y 0. Cịc bỰn cẵn
lđu ý khi kạt luẺn GTNN cựa x ệỰt ệđĩc khi y 1.
Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ trừnh bộy ệứp:
Phan Lế Vẹn Nhi, NguyÔn An Na, 6A, THCS
Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Trẵn Thỡ
Hoộng Minh, 7C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu,Nghỷ An; NguyÔn nh Linh, 7A2; Lế ậục
Thịi, 6A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế ậục Anh,
Trẵn Thanh HuyÒn, 7A1, THCS - THPT Hai Bộ
Trđng, TX. Phóc Yến, Vỵnh Phóc.
Phïng kim dung
Bµi 2(139). So s¸nh biĨu thøc P víi biÕt
(víi 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3,... ).
Lêi giải.Với mỗi số tự nhiên n 0, ta có
p dông vắi n 1, 2,... , 2012 ta ệđĩc
VËy
Nhận xét. Hầu hết các bài giải gửi về Tòa soạn
đều cho đáp số đúng. Các bạn sau có lời giải tốt:
Đỗ Đức Anh, 6A2; Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc;Nguyễn Chí
Cơng, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Nguyễn Ngọc nh, Phạm Hiếu Ngân,
Nguyễn Hải Ly, Phạm nh Tuyết, Nguyễn An Na,
Thái Thị Thu Sang, Hoàng Tuấn Tài, Phạm Yến
Nhi, 6A; Nguyễn Văn Việt, 6B, THCS Hoàng Xuân
Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
hå quang vinh
Bội 3 (139).Gii phng trnh
Lời giải.Điều kiện
ỏp dng bt ng thc AM - GM cho hai số khơng
âm, ta có
2
2
1 x (4 4x) 4 3x
x x x. 4 4x ;
2 4 4
1 9x (4 4x) 4 13x
x x 9x. 4 4x .
6 12 12
2
2
x x 0 <sub>0 x 1.</sub>
x x 0
2 2
13 x x 9 x x 16.
1
P .
2
1 1 1 1 1 1
P ...
2! 3! 3! 4! 2013! 2014!
1 1 <sub>1 1.</sub>
2! 2014! 2! 2
n 2 n 2
n! (n 1)! (n 2)! n!(1 n 1) (n 2)!
n 2 1 (n 2) 1
(n 2)(n! (n 1)!) n!(n 2) (n 2)!
1 <sub>1 .</sub>
(n 1)! (n 2)!
3 4 2014
P ...
1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014!
1,
2
x y y 2015 1 <sub>1</sub> y <sub>1</sub> 1
x y 2015 x y 2015
y 1 <sub>x 2014 x 2014y.</sub>
x y 2015 y
x 2y 2016
x y 2015
Đẳng thức xảy ra khi và chØ khi
(tháa mởn ệiÒu kiỷn).
VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm duy nhÊt lộ
Nhận xét. Có nhiều bạn gửi bài giải và hầu hết
làm theo cách trên. Có thể giải bài toán bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.
Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Quèc LẺp,
Trẵn Thỡ Thu Hun, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao,Phó Thả;Vị Ngảc Duy, Kim Thỡ Hăng Lỵnh,
Ngun Anh Dịng
Bài 4(139).Tìm x để biểu thức
đạt giá tr nh nht.
Lời giải.Điều kiện x 0.
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vy vi thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét. Đây là một bài cơ bản và không khó
nên có nhiều bạn tham gia giải bài. Hầu hết các
bạn đều giải đúng, một số bạn giải thiếu giá trị của
x, cã nhiÒu bỰn lộm bội gièng hỷt nhau. Nhọng
bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng: Trỡnh ậục Viỷt, 8A,
cao văn dũng
Bi 5(139). Cho n là một số tự nhiên. Ta định
nghĩa n! (đọc là n giai thừa) nhð sau:
a) NÕu n 0 th× n! 1
b) Nếu n 0 thì n! n.(n 1)!.
1) Hãy tính 5! theo định nghĩa trên.
2) Hãy viết 2014! thành một tích các số tự nhiên từ
định nghĩa trên.
Lêi gi¶i.1) Ta cã 5! 5.(5 1)! 5.4!
5.4.(4 1)! 5.4.3! 5.4.3.(3 1)! 5.4.3.2!
5.4.3.2.(2 1)! 5.4.3.2.1! 5.4.3.2.1.(1 1)!
5.4.3.2.1.0! 5.4.3.2.1.1 120.
2) Ta cã 2014! 2014.(2014 1)! 2014.2013!
... 2014.2013...3.2.1.
NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc bội ệỊu giời ệóng, tuy nhiến
cã mét sè bỰn quến khềng ghi ệỡa chử nến khềng
ệđĩc khen kừ nộy.
Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: ậẺu Anh Kiến, TỰ
Họu Tiạn Thộnh, 8A; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS
Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Phan Trẵn
Hđắng,9A, THCS Quịch Xuẹn Kừ, Hoộn KÌo, Bè
TrỰch, Quờng Bừnh;ậẳng Quanh Anh, 8A, THCS
NguyÔn ChÝch, ậềng Sển; NguyÔn Thỡ Thờo Linh,
8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;
Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng, 9A, THCS
Phó Phóc; Ngun Thỡ Lan Hđểng, 9A, THCS
Nam Cao; Trẵn Duy Long, 8D, THCS Nhẹn HẺu,
LÝ Nhẹn, Hộ Nam; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8E, THPT
chuyến Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dịng, 8A15;
Ngun Duy Khđểng, 9A9; Ngun Quang Bin,
9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa,
2
x x .
2
x 2 0
2 4 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
x (x 4x 4) 4x 4
x
1
x (x 2) 2x x (x 2)
x
x x 2 x 2 x 2.
2 4
2
1
A x x
x
2 4
2
1
A x x
x
4
x .
5
x 4 4x <sub>x</sub> 4
9x 4 4x 5
13(4 3x) 3(4 13x) 16.
4 4
2 2
TRÞNH HOàI DƯƠNG
Bi 6(139). Cho tam giỏc ABC cú t s giữa hai
cạnh chung đỉnh A là 3 : 2. Vẽ trung tuyến AM và
phân giác AK. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác
AKM và AKB.
Lêi gi¶i.Trong lêi gi¶i này, kí hiệu S(XYZ) chỉ diện
tích tam giác XYZ.
Có hai trđêng hĩp xờy ra.
Trđêng hĩp 1.
Chó ý r»ng vµ ta cã
Trđêng hĩp 2.
Chó ý r»ng vµ ta cã
NhẺn xĐt.RÊt nhiÒu bỰn tham gia giời, tuy nhiến
nhiÒu lêi giời quị dội. Xin nếu tến mét sè bỰn cã
ngun minh hµ
S(AKM) KM KC KB 1 KC 1<sub>S(AKB) KB</sub> <sub>2KB</sub> <sub>2 KB</sub>
1 AC <sub>1</sub> 1 3 <sub>1</sub> 1<sub>.</sub>
2 AB 2 2 4
KC AC ,
KB AB
KC KB
KM
2
AC 3.
AB 2
S(AKM) KM KB KC 1 <sub>1</sub> KC
S(AKB) KB 2KB 2 KB
1 <sub>1</sub> AC 1 <sub>1</sub> 2 1<sub>.</sub>
2 AB 2 3 6
KC AC,
KB AB
KB KC
KM
nguyÔn hưa
(Sè 1, ệđêng Trẵn Hđng ậỰo,
TP. Vinh, Nghỷ An)
Ta cã CBQ DCE (c.g.c)
Do đó
Vậy các tam giác vng DCE, DMC, CME đồng
dạng.
Mµ DC 2CE nên DM 2MC, CM 2ME
DM 4ME.
Vì EI // AD nªn
Vậy AM 4MI. Đáp án c) đúng.
NhẺn xĐt.Cã nhiÒu bỰn gỏi lêi giời vÒ Tưa soỰn.
Cịc bỰn ệở giời bội nộy bỪng nhiÒu cịch giời khịc
nhau. Mét sè bỰn cưn giời dội. Cịc bỰn sau cã lêi
giời tèt ệđĩc thđẻng kừ nộy: Phan Vẽn ậỰt, 9C,
THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;ậẳng
Quang Anh, 8C, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa; Trẵn nh Dđểng, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Vò Ngảc nh,
6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Vẽn Cao, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng
HiÒn,ụng Hưa, Hộ Néi.
Ngoội ra, cịc bỰn sau còng ệđĩc khen: Trỡnh
Hđểng Giang, 9A2, THCS PhỰm Huy Quang,
ậềng Hđng, Thịi Bừnh; Khững Tó Uyến, 9A,
THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả; ậẳng
ANh com pa
AM DM 4.
MI ME
o
EMC 90 .
o o
Nhê kạt quờ bội toịn nộy ta cã thĨ dƠ dộng giời
ệđĩc cịc bội toịn sau ệẹy:
Bội toịn 1.1.Chụng minh rỪng vắi mải sè nguyến
n thừ n3 5n 6. (ậÒ thi vộo 10 trđêng THPT
chuyến ậHKHTN nẽm 1997).
Lời giải.Ta có n3 5n n3 n 6n 6.
Bài toán 1.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a, b thì a3b ab3 6.
Lêi gi¶i. Ta cã a3b ab3 a3b ab ab ab3
b(a3 a) a(b3 b) 6.
Bài toán 1.3. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa
mÃn a b c 20111982.
Chøng minh r»ng M a3 b3 c3 6.
Lêi gi¶i.Ta cã a3 b3 c3
(a3 a) (b3 b) (c3 c) (a b c) 6
(vì a3 a, b3 b, c3 c đều chia hết cho 6 và
Bài toán 1.4.Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a, b thì ab(ab 1)2 ab(a b)2 36.
Lời giải.Ta có ab(ab 1)2 ab(a b)2
ab(ab 1 a b)(ab 1 a b)
ab(a 1)(b 1)(a 1)(b 1)
(a3 a)(b3 b) 36.
Bài toán 1.5. T×m sè dð trong phÐp chia sè
A 20142014201420143 2014201420142016
cho 30.
Lêi giải. Đặt a 2014201420142014 thì ta cã
A a3 a 2 (a3 a) (2a 2).
Vì a3và a đều có chữ số tận cùng là 4 nên a3 a
5 và a3 a 6 nên a3 a 30.
Mặt khác B 2a 2 4028402840284030 chia
hết cho 10 vµ chia cho 3 dð 1 suy ra B 20 chia
hÕt cho 30. VËy A chia cho 30 dð 10.
Bài toán 2. Với a 0, b 0. HÃy so sánh
và (Bài 26b SGK toán 9 tËp 1).
Lêi gi¶i. Ta cã
Từ đó suy ra nếu a 0, b 0 thì ta có
(2)
DÊu xảy ra khi a 0 hoặc b 0.
Sau đây là các bài toán áp dụng (1) và (2).
Bài toán 2.1. Chứng minh rằng
Li gii.ỏp dng bt ng thức (1) ta có
Bài tốn 2.2. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một
tam giác. Chứng minh rằng
Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
Céng theo v 3 bất ng thc trn ta c
Bài toán 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Đề thi vào lớp 10 chuyên
ngữ - ĐHQGHN năm 2011).
(Xem tiếp trang 29)
y x 3 6 x.
a b c b c a c a b
2a 2b 2c a b <sub>c .</sub>
2 2
a b c b c a 2b;
b c a a c b 2c;
a b c c a b 2a.
a b c
a b c b c a c a b .
2
2 2
2(x 4x 4) 8 2(x 2) 8 2 2.
2 2 2
x x 2 x 7x 14 2x 8x 16
2 2
x x 2 x 7x 14 2 2.
a b a b.
a b a b. (1)
2
( a b) a b 2 ab a b
a b.
a b
phan d©n
Xin giới thiệu lời giải bài tốn thách đấu, chỉ dùng
kiến thức hình học 8.
Ta cần có hai bổ đề (bạn đọc tự chứng minh).
Bổ đề 1. Nếu điểm X nằm trong và các điểm Y, Z
nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác
XBC, YAC, ZBA đồng dạng thì tứ giác AZXY là
hình bình hành.
Bổ đề 2. Nếu P là trung điểm của BC và điểm S
nằm trong tam giác ABC sao cho thì
Trở lại giải bài tốn thách u.
Gọi S là giao điểm của AX và YZ; K, H theo thứ tự
là hình chiếu của Y, Z trên AC, AB.
Điều kiện cần.
Vì ABZ CAY và YN ZM nªn
VËy ABC ANM. (1)
Vì tứ giác AYXZ là hình bình hành (theo bổ đề 1)
nên SY SZ. Mà YN ZM nên SN SM.
KÕt hỵp víi (1) ABP ANS.
VËy
Điều kiện đủ. Gọi U, V theo thứ tự là hình chiếu
của S trên AB, AC.
Vì và ABZ CAY nên theo bổ đề 2,
ta có
Suy ra
KÕt hỵp víi SU // ZH, SV // YK suy ra
KÕt hỵp víi SY SZ suy ra
VËy YN ZM.
ngun minh hµ
ZM SM ZM SM SZ 1.<sub>YN SN YN SN SY</sub>
SM SU SV SN.
ZM ZH YK YN
SU SV .
ZH YK
2
2
SU S(SAB)<sub>.</sub> AC AB AC AB ZH<sub>.</sub> <sub>.</sub>
SV AB S(SAC) <sub>AC</sub> AB AC YK
PAB XAC
PAB SAN XAC.
YK.AN AM S(AYN) AM YN AM AM<sub>.</sub> <sub>.</sub> <sub>.</sub> <sub>.</sub>
ZH.AM AN S(AZM) AN ZM AN AN
AC YK
AB ZH
2
2
S(SAB) AB .
PAB SAC
Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV. THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.
Bội toịn thịch ệÊu: Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC. ậđêng trưn néi tiạp (I) tiạp xóc vắi
BC tỰi D. ậiÓm M thuéc ệoỰn BC. (I<sub>1</sub>, r<sub>1</sub>) vộ (I<sub>2</sub>, r<sub>2</sub>) theo thụ tù lộ ệđêng trưn néi tiạp cịc tam giịc
ABM, ACM. (I<sub>1</sub>, r<sub>1</sub>) theo thụ tù tiạp xóc vắi MB, MA tỰi X, Y. (I<sub>2</sub>, r<sub>2</sub>) theo thụ tù tiạp xóc vắi MC, MA
tỰi Z, T. XY cớt ZT tỰi S. Giờ sỏ r<sub>1</sub> r<sub>2</sub>. Chụng minh rỪng IS BC.
XuÊt xø: S¸ng t¸c.
Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.12.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.
Víi a, b, m là các số nguyên, m 0, kÝ hiÖu a b
(mod m) nÕu (a b) m.
Định lí.Nếu p là số nguyên tố thì
(p 1)! 1 (mod p). (1)
Chứng minh.Ta thấy (1) đúng với p 2 và p 3.
Xét p là số nguyên tố lớn hơn 3.
XĐt j lộ mét sè nguyến dđểng bÊt kừ, j p 1.
Khi chia p 1 sè lộ j, 2j, 3j,... , (p 1)j cho p sỳ
ệđĩc cịc sè dđ khịc 0 vộ khịc nhau. ThẺt vẺy,
cịc sè dđ ệÒu khịc 0 vừ p lộ mét sè nguyến tè vộ
cịc sè 1, 2,..., p 1, j ệÒu nhá hển p. Cịc sè dđ
ệÒu khịc nhau vừ nạu ngđĩc lỰi, tăn tỰi 2 sè lộ
mj nj (mod p), vắi 1 n m p 1. Khi ệã
(m n)j p: về lÝ vừ 1 m n p.
VẺy tăn tỰi sè nguyến dđểng k p 1 mộ kj 1
(mod p).
Nạu k j thừ j2 1 (mod p) nến j 1 hoẳc j 1.
Vắi 2 j p 2 thừ tăn tỰi k j, 2 k p 2 sao
cho kj 1 (mod p). Khi ệã tẺp hĩp cịc sè {2, 3,...,
p 2} sỳ ệđĩc chia thộnh cẳp sè cã tÝnh chÊt
trến. Suy ra (p 2)! 1 (mod p).
Mà (p 1) 1 (mod p) nên (p 1)! 1 (mod p).
NhẺn xĐt.ậiÒu ngđĩc lỰi cựa ệỡnh lÝ Wilson cịng
ệóng, tục nạu (p 1)! 1 (mod p) thừ p lộ mét sè
nguyến tè. ThẺt vẺy, nạu p lộ hĩp sè thừ tăn tỰi mét
đắc sè lộ x cựa p, vắi 1 x p.
Suy ra (p 1)! x. Mà p x nên 1 x: vơ lí.
Thí dụ 1. Chứng minh rằng nếu p là một số
nguyên tố lẻ thì (p 1)! p 1 (mod p(p 1)).
Lời giải.Từ chứng minh định lí Wilson ta có
ThÝ dô 2.Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố
lớn hơn 3 thì 6(p 4)! 1 (mod p).
Lời giải.Ta có 6(p 4)! ( 1)( 2)( 3)(p 4)!
1.(p 1)(p 2)(p 3)(p 4)! (mod p)
1.(p 1)! (mod p) 1 (mod p) (theo (1)).
ThÝ dô 3.Cho a, n *, n 2 vµ (a, n) 1. Chøng
minh r»ng an 1 (n 1)! 0 (mod n) khi vµ chØ
khi n là số nguyên tố.
Li gii. Nu n là số nguyên tố thì theo định lí
Fermat ta có an 1 1 (mod n).
Theo (1) ta có (n 1)! 1 (mod n).
Do đó an 1 (n 1)! 0 (mod n).
Ngđĩc lỰi, giờ sỏ an 1 (n 1)! 0 (mod n). Nạu n
khềng phời lộ sè nguyến tè thừ n xy, vắi 1 x n.
Vừ an 1 (n 1)! n nến an 1 (n 1)! x.
Mộ (n 1)! x nến an 1 x: về lÝ vừ (a, n) 1.
ThÝ dô 4. Chụng minh rỪng
61! 63! 1 (mod 71).
Lời giải.Với p là số nguyên tố, k *, k p ta cã
1 (p 1)! k!(k 1)(k 2)...(p 1)
k!(k 1 p)(k 2 p)...(p 1 p)
k!( 1)p k 1(p k 1)(p k 2)...1
k!( 1)p k 1 2k(p k 1)!
( 1)kk!( 1)p 1(p k 1)! (mod p).
p 3
2
KIỊU §×NH MINH
(p k 1)! 1 (mod p).
ịp dông vắi p 71 vộ k 7, k 9 ta ệđĩc
61! 63! 1 (mod 71).
ThÝ dô 5. Chøng minh r»ng nÕu p là một số
nguyên tố lẻ vµ n *, n p, ta cã
(n 1)!(p n)! ( 1)n(mod p).
Lêi gi¶i.Theo (1), tÝnh theo mod p, ta cã
1 (p 1)! (n 1)!n(n 1)...(p 1)
(n 1)!(p (n p))(p (p n 1))...(p 1)
(n 1)!( 1)p n(p n)(p n 1))...1
(n 1)!( 1)p n(p n)!
(n 1)!( 1)n 1(p n)! (v× p lẻ).
Thí dụ 6. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh
rằng
Lời giải.a) Theo (1), tính theo mod p, ta cã
1 (p 1)! 1.3...(p 2).2.4...(p 1)
1.3...(p 2).(2 p)(4 p)...1
12.32...(p 2)2
b) Tng tự cu a).
Thí dụ 7.Tìm tất cả các sè nguyªn tè p sao cho
nÕu a, b * và a2 b2 p thì a p và b p.
Lời giải.Với p 2 thì chọn a, b lẻ: loại.
Xét p 3.
TH1.p 4k 1.
Theo (1) ta có (p 1)! 1 p hay (4k)! 1 p. TÝnh
theo mod p, ta cã
1 (4k)! 1.2.3...(2k).(2k 1)(2k 2)...(4k)
1.2.3...(2k).( 2k)( 2k 1)...( 1)
12.22.32...(2k)2 ((2k)!)2.
Tức là ((2k)!)2 12 p.
Vậy các số nguyên tố có dạng p 4k 1 không
thỏa mÃn.
TH2.p 4k 3. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử a hoặc b không chia hết cho p. Suy ra cả
hai số a, b đều không chia hết cho p.
Theo định lí Fermat, ta có
ap 1 1 p, bp 1 1 p.
Suy ra ap 1 bp 1 2 p hay
a2(2k 1) b2(2k 1) 2 p.
Mµ a2(2k 1) b2(2k 1) (a2 b2), (a2 b2) p nên
2 p, vô lí.
Vậy p 4k 3 là những số cần tìm.
Bài tập.
Bài 1.Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có
dạng p 4k 1 thì tồn tại một số tự nhiên a nhỏ
hơn p sao cho a2 1 p.
Bài 2.Cho p 4q 1, q * là số nguyên tố lẻ.
Chứng minh r»ng (q!)2 ( 1)q p.
Bài 3.Tìm n * để với mọi a, b phân biệt thuộc
{1!, 2!,... , (n 1)!} thì (a b) khơng chia hết cho n.
p 1
2 2 2 2
1 .3 ...(p 2) ( 1) .
p 1
2
.( 1)
p 1
2 2 2 <sub>2</sub>
p 1
2 2 2 <sub>2</sub>
18 May 2013 (Saturday)
Instructions to Contestants:
- The contest comprises a 3 hours written test.
Contestants should answer all ques
- Put your answers on the answer sheet.
- The use of calculators is NOT allowed.
- Measuring instruments like rulers, compasses,
etc. can be used.
1. Let a, b, c, d be positive numbers such that
Find d.
2. How many three-digit positive integers are
there such that, the three digits of every integer,
taken from left to right, form an arithmetic
sequence?
3. Let
Find the value of x [x], where [x] denotes the
greatest integer not exceeding x.
4.Let x, y, z be non-negative numbers such that
Find the minimum value of x y z.
5. Peter, Paul and David joined a table tennis
tournament. On the first day, two of them were
randomly chosen to play a game against each
other. On each subsequent day, the loser of the
that Peter had played?
6.The sequence 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2,
2, 2, 1, ... is formed as follows: write down
infinitely many 1s, insert a 2 between the first
and the second 1s, insert two 2s between the
second and the third 1s, insert three 2s
between the third and the fourth 1s, and so on.
If denotes the n-th term of the sequence, find the
value of a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> a<sub>2</sub>a<sub>3</sub> ... a<sub>2013</sub>a<sub>2014</sub>.
7. There are n different positive integers, each
one not greater than 2013, with the property that
the sum of any three of them is divisible by 39.
Find the greatest value of n.
8.If x is a real number, find the smallest value of
9.The equation 9x3 3x2 3x 1 0 has a real
root of the form where a, b, c are
positive integers. Find the value of a b c.
10. By permuting the digits of 20130518, how
many different eight-digit positive odd numbers
can be formed?
(Xem tiÕp trang 26)
3<sub>a</sub> 3
b 1,
c
2 2
x 4x 5 x 8x 25.
2 2 2 13
x y z x 2y 3z .
4
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
x 1 1
1 2 2 3
1 1
... 1 .
2012 2013
3 3 3 3
1 512 125 d <sub>.</sub>
a b c (a b c)
ThS.Phïng Kim Dung
Ta có
Đặt thì M N 1.
Do b, q nên tõ q b ta cã q b 1. KÕt hỵp
víi 0 r 1 ta cã q r b
* NÕu q b 1 vµ r 0.
Ta cã
.
Do 0 r 1 vµ b 1 nªn .
* NÕu q b 1 hc r 0.
NÕu r 0 th× q r 1 q 1.
Tõ q b ta cã q b 1 hay q 1 b.
Do b 0 nªn .
Mặt khác q 0 nên q 1 0 do đó .
Từ đó . Vậy N 1.
NÕu q b 1 th× q b 2, suy ra q 1 r
b 1 r
Do 0 r 1 và b 1 nên .
Khi ú .
Vậy N 1. Do đó M N 1.
VËy biểu thức M nhận hai giá trị là 3; 2.
Nhận xét.Đây là bài tốn hay và khó, chỉ có bạn
Hoàng Thị Thu Uyên, 9A3, THCS Từ Sơn, TX. Từ
Sơn,Bắc Ninhcú li gii ỳng.
Bài14NS.ĐKXĐ x 1.
Ta thấy x 1 khềng lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh.
Đặt t x x 1 ta cã
x 1
2x 5 x 1 7 x x 1 0
3( x 1) 2(x x 1) 7 ( x 1)(x x 1) 0
x x 1 x x 1
3 2. 7. 0.
x 1 x 1
q 1 r q 1 r
1 0 1
b b
1 r
0 1
b
q 1 r <sub>1</sub> 1 r<sub>.</sub>
b b
q 1 <sub>1</sub>
b
q 1 0
b
q 1 <sub>1</sub>
b
r <sub>1</sub>
b
r
1 0
b
q r 1 r r
q 1 b 1 1
b b b
q r q r
0 1 0.
b b
q r q r 1
N
b b
q r q r 1 q r q r 1
c 1 c 1
b b b b
a b a 1 cb q r b cb q r 1
M
b b b b
Bội 19NS.Hởy tÝnh tững cịc đắc tù nhiến cựa sè 27 000 001.
Trẵn bị duy linh (SV. lắp K34 ậỰi hảc Kinh tạ TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 20NS.Giời phđểng trừnh:
trÇn anh Tuấn (GV. THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam)
Bài 21NS.Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lÊy ®iĨm D sao cho CD AB. Gäi E là hình
chiếu của D trên AB. Tia phân giác của góc ABC cắt DE tại F. Tia AF cắt BC tại M. Chứng minh rằng
M là trung điểm của BD.
thn vẽn chđểng (GV THCS Vâ Nhđ Hđng, ậiỷn Bộn, Quờng Nam)
2 x 1 (x 1) x 1 1 2 (x 1) 4x 4 .
x
4 x 3 x
Bội 15NS. Theo lêi giời cựa bỰn Kim Thỡ Hăng
Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Phóc.
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho thì
tam giác AEC vng cân tại A và tam giác EBA
cân tại E, từ đó ta có
Suy ra
NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng cho
bội toịn trến: Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Hoộng Thỡ Thu
Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;
Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả.
Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy:Hoộng Thỡ Thu
Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;
Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh
nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 4.
Ngun Ngäc H©n
CA 1 <sub>2 1.</sub>
CB 2 1
CB ( 2 1)AC.
o
EAC 90
x 22 8 6.
2 t 3
2t 7t 3 0 <sub>t</sub> 1
2
11. Let , and be the three roots of the
equation 8x3 2012x 2013 0. Find the value
of ( )2 ( )2 ( )2.
12. ABCD is a square on the rectangular
coordinate plane, and (31, 27), (42, 43), (60, 27)
and (46, 16) are points on its sides AB, BC, CD
and DA respectively. Find the area of ABCD.
14. Let ABCD be a convex quadrilateral and E
be a point on CD such that the circumcircle of
ABE is tangent to CD. uppose AC meets BE at
F, BD meets AE at G, and AC meets BD at H. If
FG CD, and the areas of ABH, BCE and
ADE are 2, 3 and 4 respectively, find the area
of ABE.
15.Let I be the in-centre of ABC. If BC AC AI
and find
16.A, B, C, M, N are points on the ircumference
of a circle with MN as a iameter. A, B are on the
same side of MN and C is on the other side, with
A being the midpoint of arc MN. CA and CB
meet MN at P and Q respectively. If MN 1 and
, find the greatest length of PQ.
17.How many pairs (m, n) of non-negative integers
are there such that m n and is an odd
positive power of 2?
18.A positive integer is said to be good if each
digit is 1 or 2 and there is neither four consecutive
1s nor three consecutive 2s. Let denote the
19. Let p and q be positive integers. If
0.123456789... (i.e. when is expressed as a
decimal the first 9 digits after the decimal point
are 1 to 9 in order), find the smallest value of q.
20. Let a and b be real numbers such that
17(a2 b2) 30ab 16 0. Find the maximum
value of 16a2 4b 16ab 12a 6b 9.2
p
q
p
q
10 8 5
7 6
a a <sub>a .</sub>
a a
50688
m n
12
MB
13
BAC.
o
ABC ACB 13 ,
HIO.
Vị ậục Duy, 7E2, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.
Vị ậục Dịng, Ngề Thỡ Ngảc nh, 7A,
THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;
NguyÔn Phđểng Thờo Vy, 8A1, THCS Hăng
Bộng, Hăng Bộng, Hời Phưng; Bỉi Hđểng
Giang, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả;Ngun Duy Khịnh, 9A1, THCS Sềng Lề,
Sềng Lề, Vỵnh Phóc; Dđểng Lẹm Anh, 8A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;
Ngun Thỡ HiỊn, GV. THCS Nhẹn ChÝnh, Lý
Nhẹn,Hộ Nam.
NhẺn xĐt.Mét sè bội toịn cã thÓ cã lêi giời khc
p n nhng úng vẫn c tính iểm.
Toán Tuổi thơ
Ngun An Na, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn,
ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3,
THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh; Hoộng
ậục ThuẺn, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả;Ngun Vẽn Quẹn, Ngun Thỡ HỪng,
Lế Phđểng Nam, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề
Lđểng,Nghỷ An;Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy
Thớng, 9A, THCS Phó Phóc; NguyÔn Thỡ Lan
Hđểng, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam;
NguyÔn Quang Bin, 9A1; NguyÔn Duy Khđểng,
9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng
Hưa, Hộ Néi; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS
Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (2) ta có
Dấu xảy ra khi x 3 hoặc x 6.
Vậy Miny 3 khi x 3 hoặc x 6.
Bài toán 2.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc
(§Ị thi häc sinh giỏi
lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2008).
Li gii.ỏp dụng bất đẳng thức (2) ta có
DÊu x¶y ra khi x 1.
VËy MinA 2 khi x 1.
Bội toịn 2.5. Giời phđểng trừnh
Lêi giời. ậKXậ
áp dụng bất đẳng thức (2) ta có
.
DÊu x¶y ra khi hoặc
Mặt khác 4x2 28x 47 2 (2x 7)2 2.
DÊu x¶y ra khi
VẺy phđểng trnh cho có nghim duy nhất l
Bài tập áp dụng
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
2n3 3n2 n 6.
Bài 2.Cho số tự nhiên M 20032004. Viết M thành
tổng của k số tự nhiên n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, ....n<sub>k</sub>. Đặt S n<sub>1</sub>3
n<sub>2</sub>3 ... n<sub>k</sub>3. Tìm số dð khi chia S cho 6.
Bội 3.Chụng minh rỪng phđểng trừnh sau khềng cã
nghiỷm nguyến x6 2x4 6x3 x2 6x 2010 0.
Bội 4.Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục
Bội 5.Giời phđểng trừnh
x 2 2 5 x 3 x 4 4 x 7 3 3.
A x 1 2 x 6 3 10 x.
7
x .
2
7
x .
2
7
x .
2
3
2x 3 7 2x 2x 3 7 2x 2
3 <sub>x</sub> 7<sub>.</sub>
2 2
2
2x 3 7 2x 4x 28x 47.
2
2 2
A x 1 2x 5x 7
2x 4x 6 2(x 1) 4 2.
2
A x 1 2x 5x 7.
y x 3 6 x x 3 6 x 9 3.
Bội 1(141).BỰn An vỳ mét sè tia chung gèc A. BỰn Bừnh vỳ mét sè tia chung gèc B.
Biạt bỰn Bừnh vỳ nhiỊu hển bỰn An ệóng 1 tia vộ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ
100. Hái mẫi bỰn ệở vỳ bao nhiếu tia?
bùi văn tuyên(Long Biên, Hà Nội)
Bài 2(141).Cho tam giác ABC có Dựng điểm D bên ngoài tam giác ABC
sao cho ACD là tam giác đều. Chứng minh rằng AB2 BC2 BD2.
chu tn (GV. THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ng Hưa, Hộ Néi)
Bội 3(141).Giời hỷ phđểng trừnh
nguyÔn tiạn lẹm (GV. trđêng THPT chuyến ậỰi hảc KHTN Hộ Néi)
Bội 4(141).Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn xy yz zx 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu
thục
lế phóc lọ (SV. ậỰi hảc FPT, TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 5(141).Tững cựa 5 sè thùc khềng ẹm bỪng 1. Chụng minh rỪng ta cã thÓ xạp 5 sè nộy trến mét
ệđêng trưn sao cho tững cịc tÝch cựa 5 cẳp sè ệụng cỰnh nhau khềng lắn hển
vò ệừnh hưa(GV. ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi)
Bội 6(141).Cho hừnh vuềng ABCD. Cịc ệiÓm E, F lẵn lđĩt thuéc cỰnh AB, BC sao cho EF AE CF.
Dùng hừnh chọ nhẺt EBFG. AC cớt EG tỰi M, DE cớt FG tỰi N. Dùng MP AD (P AD). Chụng minh
rỪng NP // AC.
trần quang hùng (GV. THPT chuyên Đại học KHTN Hµ Néi)
1.
5
2 2 2
3 3 3
x y z
P .
x 8 y 8 z 8
x 3 y 7 5
y 1 z 1 3
z 6 x 4.
o
B 30 .
1(141).An drew some rays from the point A. Binh drew some rays from the point B. Given that Binh
drew one ray more than An, and the total number of angles drawn is 100. Find the number of rays each
person drew.
2(141).LetABCbe a triangle having B 30o. Let Dbe the point outside the triangle such that ACD
is an equilateral triangle. Prove that AB2 BC2 BD2.
3(141).Solve the following simultaneous equations
4(141). Let x,y, and z be positive real numbers such that xy yz zx 3.
Find the minimum value of the expression
5(141).Given 5 non-negative real numbers having a sum of 1. Prove that the
5 numbers can be arranged on a circle such that the sum of the products of
pairs of adjacent numbers is not greater than
6(141). Given a square ABCD. Let the points E and F be on AB and BC
respectively such that EF AE CF. Draw the rectangle EBFGand let Mbe the intersection of ACand
EG, and Nbe the intersection of DEandFG. Let PonADsuch that MP AD. Prove that NP//AC.
1.
5
2 2 2
3 <sub>8</sub> 3 <sub>8</sub> 3 <sub>8</sub>.
x y z
P
x y z
3 7 5
1 1 3
6 4.
x y
y z
z x