Tổng hợp đề thi và lời giải vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Trị từ năm 2000

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.13 MB, 79 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>



Sưu tầm

TUYỂN TẬP ĐỀ TOÁN VÀO 10

TỈNH QUẢNG TRỊ QUA CÁC NĂM

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN
Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020

Mơn thi: TOÁN

Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1. (1,5 điểm)

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau :

(

)

2. 7

81

14

0

1 .

1 A

x

B

x

=

+

−

>









=



−



− 



≠

−









Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

2

3

8 )9

2

7

0 )

5

3

1 x

y

a

x

b

x

y

+

=



−

− =

 − = −



Câu 3. (1,5 điểm) Cho hàm số 2

2 y

=

x

có đồ thị

( )

P

a) Vẽ đồ thị

( )

P

b) Tìm các giá trị của tham số

m

để đường thẳng

( )

d

:

y

=

m

cắt

( )

P

tại hai điểm

phân biệt

A B

,

sao cho

AB

=

10

Câu 4. (1,5 điểm)

Một tàu du lịch xuất phát từ cảng Cửa Việt đến đảo Cồn Cỏ, tàu dừng lại ở đảo 40
phút rồi quay về điểm xuất phát. Tổng thời gian của chuyển đi là 3 giờ. Biết rằng vận tốc
của tàu lúc về lớn hơn lúc đi là 4 hải lý/ giờ và cảng Cửa Việt cách đảo Cồn Cỏ 16 hải lý.
Tính vận tốc của tàu lúc đi

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác

ABC

nhọn

(

AB

≠

AC

)

nội tiếp đường tròn

(

O R

;

)

.

Các đường cao

BD

và

CE

(

D

∈

AC E

,

∈

AB

)

của tam giác

ABC

cắt nhau tại H. Gọi

I

là giao điểm thứ

hai của

CE

và đường tròn

( )

O

.

Chứng minh rằng:

AEHD

là tứ giác nội tiếp

 

AHB

=

AIB

c) 2 2 2

4 AH

+

BC

=

R

Câu 6. (0,5 điểm) Cho các phương trình bậc hai 2 2

(

)

0;

0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐÁP ÁN
Câu 1.

(

)

(

) (

)(

)

(

)

2. 7

81

14

9

14

9

0

1 .

1 A

x

x

B

x

=

+

−

=

+ −

=

>





−

+





=



−



−





=

+

−

≠

−









+

=

+ =

Câu 2.

(

) (

)

(

)(

)

2 2

)9

2

7

0

9

7

0

9

1

7

1

0 1 9

7

0

1

7

9 a

x

x x

x

−

− = ⇔

−

+

− =

⇔

− +

− = ⇔

−

+

=





⇔

 = −



Vậy

1;

7

9 S

=





−









7

2

3

8

1 )

8 2

5

3

1

2

3 x

y

x

b

x

x

y

=



+

=



⇔



⇔





−

=



=

−



=







Vậy

( ) ( )

x y

;

=

1;2

Câu 3.

a) Học sinh tự vẽ hình

b) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là :

1 1
2
2 2

2 ;

2 m

x

y

m

x

m

A

m

B

m

x

y

m



=

⇒

=





 





= ⇔

⇒



 

−







 



= −

⇒

=



. Vì

AB

=

10 (

) (

)

(

)

( )

2 2
2
2

10

2

100

2

100

2

100

50

A B A B

y

x

m

⇒

−

+

−

=





⇔

−

+



+



=





⇔

=

⇔

=

⇔ =

Câu 4. Gọi

x

là vận tốc lúc đi

(

x

>

4 )

⇒

vận tốc lúc về:

x

−

4

Suy ra thời gian lúc đi :

16 ,

x

thời gian lúc về:

16

4

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nên tổng thời gian đi và về là :

3

2

7 ( )

3 h

− =

nên ta có phương trình

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

16

7 3 16

4

16

7

4

3 3. 32

64

7

28

7

124

192

0

7

112

12

192

0

7

16

12

16

0 16(

)

16 7

12

0 12

(

)

7 x

x x

x

x x

x

tm

x

ktm

+

= ⇔





−

+





=

−

⇔

−

=

−

⇔

−

+

=

⇔

−

+

= ⇔

−

=





⇔

−

= ⇔

 =



Vậy vận tốc lúc đi là 16 hải lý / 1 giờ.
Câu 5.

a) Ta có: 0 0 0

90

180 ADH

AEH

∠

+ ∠

=

+

=

⇒

tứ giác

AEHD

nội tiếp

b) Ta có :

 

AIC

=

ABC

(tứ giác

AIBC

nội tiếp cùng chắn cung AC)
0

90 (

)

BEC

BDC

gt

BEDC

∠

= ∠

=

⇒

là tứ giác nội tiếp

 

EBC

EDA

⇒

=

(góc trong tại 1 đỉnh bằng góc ngồi tại đỉnh đối diện)

 

(1)

EIA

AHE

⇒

=

Mặt khác

 

ADE

=

AHE

(do tứ giác

AEHD

nội tiếp)

Tương tự ta có:

BIC

 

=

BAC AIBC

(

là tứ giác nội tiếp)

 

(

BAC

=

DHC HEAD

là tứ giác nội tiếp);

DHC

 

=

IHB

(đối đỉnh)

Nên

BIC

 

=

IHB

( )

2 M

H

A'

I

E

D

O

A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ (1) và (2) suy ra

 

AIB

=

AHB

c) Kẻ đường kính

AOA

',

chứng minh được

BHCA

'

là hình bình hành nên

HA

'

đi qua

trung điểm M của BC

1

2 OM

AH

⇒

=

mà

1

2 BM

=

BC

⇒ ∆

OMI

vuông tại I

(

OM

⊥

BC

- tính chất đường kính dây cung)

Áp dụng định lý Pytago và các biến đổi ta có:

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

2

4 BC

=

BM

=

BM

=

BO

−

OM

=

R

−

OM

Mà 2

(

)

2 2

2

4 AH

=

OM

=

OM

2 2 2 2 2 2

4 AH

BC

OM

R

OM

R

⇒

+

=

+

−

=

Câu 6.

Gọi

m

là nghiệm chung của phương trình:

ax

+

bx

+ =

c

0 1

( )

và

cx

+

bx

+ =

a

0 2

( )

0 3

0 4

am

bm

c

cm

bm

a



+

+ =



⇒ 

+

+ =



. Lấy

( ) ( )

3 −

4

ta được:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

0

1

0 1 0

1 a

c m

a

c

m

a

c m

m

do a

c

m

−

=



⇔

−

− = ⇔

− =

≠

⇒  = −



Với

m

=

1,

pt

(1)

có hai nghiệm

x

2

=

1;

x

1thỏa mãn

x x

1 2

c

a

=

1 1

1. x

c

x

c

a

⇔

= ⇒ =

, tương tự:

x

2

a

c

=

. Áp dụng định lý Cô si ta có:

2 .

2 a

c

a c

c

+

a

≥

c a

=

. Dấu

" "

=

xảy ra

(

)

a

c

a

c ktm

c

a

⇔ = ⇔ =

Với

m

= −

1,

chứng minh tương tự như trên

x

1

c

,

x

2

a

c

⇒ = −

= −

Áp dụng bđt Cô – si

x

1

x

2

c

a

2 a

c

⇒

+

= − + − ≥

. Dấu

" "

=

xảy ra

⇔ =

a

c ktm

(

)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 1. (2,0 điểm)

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

18 50.

A= −

1 1 4

2 2

a
B

a a a

−

 

= + 

− +

  với a>0, 4.a≠

Câu 2. (2,5 điểm)

Cho hàm số 2

y= −x có đồ thị ( ).P

a) Vẽ ( ).P

b) Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và đường thẳng ( ) :d1 y=2x−3.

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d2) :y=2x+m cắt ( )P tại

hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn

1 2

1 1 2

.
5
x +x =

Câu 3. (1,5 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 58 m và diện tích là 190 .m2

Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Câu 4. (3,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn ( ),O kẻ đến ( )O các tiếp tuyến

MP MQ và cát tuyến MAB không đi qua tâm (A B P Q, , , thuộc ( )O ). Gọi I là trung điểm

của AB, E là giao điểm của PQ và AB.

a) Chứng minh MPOQ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh hai tam giác MPE và MIP đồng dạng với nhau.

c) Giả sử PB=a và A là trung điểm của MB. Tính PA theo a.

Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình 2

2x− +4 6 2− x =4x −20x+27.

--- HẾT---

Họ và tên thí sinh: ...Số báo danh:...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa ngày 04 tháng 6 năm 2019
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀTHI CHÍNH THỨC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Khóa thi ngày 04 tháng 6 năm 2019
Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng cho điểm theo quy định
của ý (câu) đó. Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25.

CÂU Ý YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐIỂM

1 
(2 điểm)

18 50
3 2 5 2

2 2

A= −

= −

0,5
0,5

1 1 4

2 2

a
B

a a a

−

 

= + 

− +

 

2 2 4

( 2)( 2)

a a a

+ + − −

− +

2 4

.
4

a a

a a

−
=

−
2
=

0,25
0,5
0,25

2 
(2,5 điểm)

Lập bảng các giá trị tương ứng

x -2 -1 0 1 2

y= −x -4 -1 0 -1 -4

Vẽ đồ thị

0,25

0,75

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )P và ( ) :d1

2 3

x x

− = − 2

2 3 0

x x

⇔ + − =

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=1; 3x2 = −

Suy ra giá trị tương ứng y1= −1; 9y2 = −

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vậy tọa độ giao điểm là: (1; 1)− và ( 3; 9)− − 0,25

0,25

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )P và (d2) :

2 2

x x m

− = + 2

2 0 (1)

x x m
⇔ + + =

( )P cắt ( )d tại 2 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có

hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − >' 1 m 0⇔m<1 (*)Ta có:
1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

5 5

x x

x x x x

+ = ⇔ =

2 2

5 m

m
−

⇔ = ⇔ = − (thỏa mãn (*))
Vậy m= −5

0,25

3 
(1,5 điểm)

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x m( ), 0.x>

Khi đó chiều dài của mảnh đất là 29−x m( ).

Diện tích của mảnh đất là 2

190 (m ), ta có phương trình:

(29 ) 190.

x −x =

Biến đổi ta được phương trình 2

29 190 0.

x − x+ =

Giải phương trình ta được x1 =19, 10.x2 =

Vậy kích thước mảnh đất là 10mvà 19 .m

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

4 
(3,0 điểm)

a) Ta có

  0

90 .

MPO=MQO=

Suy ra tứ giác MPOQnội tiếp(đường trịn đường kính OM

0,5
0,5

Xét ∆MPEvà ∆MIPcó



IMP chung (1)

Ta có MPE =MQP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì Ilà trung điểm của ABnên OI⊥ ABsuy ra Ithuộc

đường trịn đường kính MO.

Do đóMIP =MQP (cùng chắn cung MPcủa đường trịn

đường kính OM ).

Suy ra MIP =MPE (2)

Từ (1) và (2) ta được∆MPE∽∆MIP g ( −g).

0,25
0,25

0,25
0,25
Xét ∆MPAvà∆MBPcó

E
I
A

P
Q

M O

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



PMBchung

 

MPA=MBP(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra ∆MPA∽∆MBP g ( −g).

Do đó 2 2

2
2

MP MA MB

MP MB MP

MB = MP⇒ = ⇒ =

Ta lại có 1

2 2 2

PA MP PB a

PA

BP = MB= ⇒ = =

0,25
0,25
0,25

0,25

5

(1,0 điểm)

2x− +4 6 2− x =4x −20x+27.

ĐK: 2≤ ≤x 3

Ta có: 2

(

)

4x −20x+27= 2x−5 + ≥2 2

(

)

2 4 6 2

2 4 6 2 2 (2 4).(6 2 )

x x

x x x x

− + −

= − + − + − −

2 2 (2x 4).(6 2 )x 2 2x 4 6 2x 4

= + − − ≤ + − + − =

(2x 4).(6 2 )x 2.

⇒ − − ≤

Do đó 2

2x− +4 6 2− x =4x −20x+27.

5
(2 4).(6 2 ) 2

2
4 20 27 2

x x

x

x x

 − − =



⇔ ⇔ =

− + =

 (TMĐK).

Vậy phương trình có nghiệm 5.
2

x=

Chú ý: học sinh có thểsửdụng bất đẳng thức phụkhác.

0,25
0,25
0,25
0,25

Tổng điểm 10

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTKhóa ngày 04 tháng 6 năm 2019
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phátđề)

Câu 1. (2,0 điểm)

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

5 8 2 50.

A= −

1 1 4

2 2

a
B

a

a a

−

 

= + 

− +

  với a>0 và a≠4.

Câu 2. (2,5 điểm)

Cho hàm số 2

y=x có đồ thị ( ).P

a) Vẽ parabol ( ).P

b) Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và đường thẳng y=3x−2 ( ).∆

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=2x+m d( ) cắt ( )P tại hai

điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 sao cho

2 2
1 2 10.
x +x =
Câu 3. (1,5 điểm)

Một hình chữ nhật có chu vi là 66 .m Nếu tăng chiều rộng 9 m và giảm chiều dài

18 m thì được hình chữ nhật mới có diện tích bằng 108 .m2 Tính chiều dài và chiều rộng

của hình chữ nhật ban đầu.
Câu 4.(3,0 điểm)

Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( ),O kẻ đến ( )O các tiếp tuyến AB AC, và cát

tuyến ADE không qua tâm (B C D E, , , thuộc ( )O ). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt
BC tại F. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Hai tam giác ABF và AHB đồng dạng với nhau.

c) AD AE. = AF AH. .

Câu 5. (1,0 điểm)

Giải phương trình 2

6 13 1 7 .

x − x+ = x+ + −x

--- HẾT ---

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀTHI CHÍNH THỨC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Khóa thi ngày 04 tháng 6 năm 2019
Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng cho điểm theo quy định
của ý (câu) đó. Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25.

CÂU Ý YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐIỂM

Câu 1. 
(2 điểm)

5 2.4 2 25.2

A= −

5.2. 2 2.5. 2

= −

10 2 10 2

= −

=

0,25
0,25
0,25
0,25
Với a>0 và a≠4, ta có

1 1 4

2 2

a
B

a

a a

−

 

= + 

− +

 

2 2 4

.
( 2)( 2)

2 4

.
4
2

a a a

B

a

a a

a a

a a

a

+ + − −
=

− +

−
=

0,25
0,5
0,25

Câu 2.

(2,5 điểm)

Bảng giá trị

x -2 -1 0 1 2

2
x

y= 4 1 0 1 4

Vẽ (P)

0,25

0,75
4

1

0
y

x
2
1
-1

-2 >

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )P và đường thẳng
( )∆ là:x2 =3x−2

3 2 0
1

x x
x
x

⇔ − + =
=


⇔  =



Với x=1 thì y=1

Với x=2 thì y=4

Vậy tọa độ các giao điểm là (1;1)và (2; 4) .

0,25
0,25
0,25
0,25

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )P và đường thẳng
( )d là: x2 =2x+m ⇔x2−2x− =m 0 (1)

( )P cắt ( )d tại 2 điểm phân biệt ⇔phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔' 0 1 m 0 m> −1 (*).

Khi đó 1 2
1 2

x x
x x m

+ =


 = −



Ta có 2 2 2

1 2 10 ( 1 2) 2 1 2 10
x +x = ⇔ x +x − x x =

4 2m 10 m 3

⇔ + = ⇔ = (thỏa mãn (*))
Vậy m=3 là giá trị cần tìm

0,25

Câu 3:(1,5 
điểm)

Gọix m ( ) là chiều rộng của của hình chữ nhật ban đầu,

x>

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là 33−x m( ).

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi tăng là x+9 ( ).m

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi giảm là

33− −x 18 15= −x m( ).

Diện tích của mảnh đất mới là

(

15−x

)(

x+9

)

=108.

Giải phương trình này ta được x1=9 và x2 = −3(loại).

Vậy kích thước của mảnh đất ban đầu 9m và 24 .m

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 4:
(3 điểm)

a) Tứ giác ABOC có

  0

ABO= ACO= (AB AC, là các tiếp

tuyến)

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (đường trịn đường kính AO)

0,5
0,5
F

H
D

C
B

O
A

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Xét ABFvà AHBcó:


BAHchung. (1)

Vì H là trung điểm của DE nên OH ⊥DE suy ra Hthuộc

đường tròn đường kính AO.

Do đó  AHB= ACB(cùng chắn cung AB của đường trịn

đường kính AO).

Mà  ABC=ACB (tính chất hai tt cắt nhau).

suy ra  AHB= ABC. (2)

Từ (1) và (2) ta được ∆ABF∽∆AHB g ( −g).

0,25
0,25

ABF AHB

∆ ∽∆

. . (3)
AB AF

AB AH AF
AH AB

⇒ = ⇒ =

Xét ABD và AEB có

Trong ( )O có  ABD=AEB (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung).


BAE chung.

Suy ra ∆ABD∽∆AEB g ( −g).
2

. . (4)
AB AD

AB AD AE
AE AB

⇒ = ⇒ =

Từ (3) và (4) suy ra: AD AE. =AF AH. .

0,25

0,25
0,25
Câu 5

(1điểm)

6 13 1 7

x − x+ = x+ + −x

Điều kiện: − ≤ ≤1 x 7.

2 2

6 13 ( 3) 4 4

x − x+ = x− + ≥ . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x= (1)

(

)

2 2

1 7 8 2 ( 1)(7 )

8 2 6 7 8 2 16 ( 3)
8 2.4 16

x x x x

x x x

+ + − = + + −
= + − + + = + − −
≤ + =

1 7 4

x x

⇒ + + − ≤ . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=3.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2

6 13 1 7

x − x+ = x+ + −x khi và chỉ khi

x=

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là x=3.

0,25

0,25
0,25
0,25

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

MA TRẬN ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Nội dung Nhận biết Thông

hiểu Vận dụng V

ận dụng

cao Tổng điểm
Căn thức (rút gọn, tính

giá trị) 1 đ 1 đ 2 đ

Đồ thị, phương trình

bậc hai 1đ 1đ 0,5 đ 2,5 đ

Giải bài tốn bằng cách
lập trình, hệ phương

trình 1,5 đ 1,5 đ

Hình học phẳng (nội
tiếp, đồng dạng, tiếp

tuyến,..)

1 đ 1 đ 1 đ 3 đ

Phương trình, hệ

phương trình 1 đ 1 đ

Tổng điểm 3 đ 3,5 đ 2,5 đ 1 đ 10 đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
Khóa ngày 04 tháng 6 năm 2019

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUNKhóa ngày 04 tháng 6 năm 2019
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Cho biểu thức 2

(

)

2 2 2

1 1 1

x x x x x

A

x x x x

− + −

= + −

+ − + − với x≥0, x≠1.

Tìm tất cả các giá trị của x để A≤0.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình 2

2( 1) 2 0

x − m+ x− = có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x1<x2 và |x1|−|x2|= −4.

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình

(

)(

)

6 13

2 2 3 2

x y

x x y x

+ =



 = + − −



2. Giải phương trình 6

(

)

3 5 2

3 3 9 1.

x + x − = x − x −

Câu 3. (2,0 điểm)

1. Cho số tự nhiên có 3 chữ số abc. Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 khi và

chỉ khi a−2b+4c chia hết cho 21.

2. Tìm tất cả các số nguyên tố x y z, , thỏa mãn xy = −z 1.

Câu 4. (3,0 điểm) Trên đường trịn ( )O đường kính

AB

lấy điểm C (C khác

A

và

B

),
điểm

D

nằm trên đoạn thẳng

AB

sao cho BD= AC. Kẻ

DE

vuông góc với AC tại

E

,

đường phân giác trong của góc BAC cắt

DE

và ( )O lần lượt tại G và

F

(

F

khác

A

).
Đường thẳng CG cắt

AB

và ( )O theo thứ tự tại

I

và

H

(

H

khác C). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AGDH nội tiếp đường tròn.

b) Ba điểm H D, và

F

thẳng hàng.

c) Điểm

I

là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a+ + + =b c 2 abc.

Chứng minh 1 1 1 3.
2

ab + bc + ca ≤

--- HẾT---

Họvà tên thí sinh ...Sốbáo danh......

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa ngày 04 tháng 6 năm 2019.

Mơn thi: Tốn.
(Hướng dẫn này có 2 trang)

HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng cho điểm theo quy định
của ý (câu) đó. Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25.

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1

2,0

điểm

1

2( 1) 2

A= x− + +x x− x 0.25

2 ( 1)( 2)

x x x x

= + − = − + 0,25

( x−1)( x+ ≤ ⇔2) 0 x− ≤ ⇔ ≤ ≤1 0 0 x 1. 0,25

Đối chiếu điều kiện giá trị cần tìm 0≤ <x 1. 0,25

2

Vì ac= − <2 0 nên PT có hai nghiệm phân biệt và vì x1<x2 nên x1< <0 x2 0,25

do đó − − = − ⇔ +x1 x2 4 x1 x2 =4. Theo định lí Vi et x1+x2 =2(m+1). 0,5

Nên 2(m+ = ⇔1) 4 m=1. 0,25

2 
2,0 
điểm
1

(

)(

)

(

)

2
2
13

6 13 6

2 2 3 2

2 2. 3 2

6
x
y

x y

x

x x y x

x x x

−
 =

+ =
 ⇔
 = + − −   − 
  = + −  −
  

.

(

)

2
13
6
2 4
2
3
x
y
x
x
−
 =

⇔  −
 =

 0, 5

13
6
1
x
y
x
−
 =

⇔ 
 = ±

.

Vậy nghiệm

(

x y;

)

của hệ phương trình là:

( )

1; 2 , 1; 7 .
3

− 

 

  0,5

2

(

)

6 3 5 2

3 3 9 1

x + x − = x − x −

( ) (

2 3 3

)

3 2

(

)

3 1 3 3

x x x x

⇔ + − + = −

Đặt: 2 3

, 3

x =a x − =b

Ta có phương trình: 3 3

(

)

(

)

1 3 1 3 3 0

a + + =b ab⇔ a b+ + − ab a b+ − ab= 0.25

(

) (

)

(

)

1 1 3 1 0

a b  a b a b  ab a b
⇔ + +  + − + + −  + + =

(

)

(

2 2

)

1 1 0

a b a b ab a b

⇔ + + + − − − + = 0,25

(

) (

)

2
2 2

) a b ab a b 1 0 a b a 1 b 1 0 a b 1

+ + − − − + = ⇔ − + − + − = ⇔ = =
2 3

1 1
x x

⇒ = − = (VN) 0,25

+) 2 3

(

)

(

)

1 0 3 1 0 1 2 2 0 1.

a b+ + = ⇒x + − + = ⇔x x− x + x+ = ⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=1. 0,25

3

2,0 1

Ta có 4.abc=21 19

(

a+2b

) (

+ a−2b+4c

)

0,25

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

điểm mà

(

4, 21

)

=1 nên abc21⇔ 4.abc21⇔

(

a−2b+4c

)

21 0,25

2

Ta có y 1

z=x + , mà x y, là các số nguyên tố nên x≥2,y≥ ⇒ ≥2 z 5. Do đó z là

số ngun tố lẻ.

Vì xy = −z 1 nên xy là số chẵn, vậy x=2. Khi đó z=2y+1

0,25
0,25
Nếu y lẻ thì 2y ≡2(mod 3)⇒2y+1 3 ⇒z3 vơ lý vì z là số ngun tố.

Nếu y chẵn, y nguyên tố suy ra y=2 và z=22+ =1 5. 0,25

Vậy các số cần tìm là x= =y 2, 5.z= 0,25

4

3,0

điểm

a) Vì DE/ /BC nên
   

ADE= ABC=AHC= AHG do đó tứ giác

AGDH nội tiếp. 1,0

b) Từ tứ giác AGDH nội tiếp, ta có:
     

DHG=DAG=BAF=FAC=CHF=FHG 0,75

Suy ra hai tia HD và HF trùng nhau.

Vậy H, D, F thẳng hàng. 0,25

Gọi M là giao điểm của CD và AF.

Ta có: IA MD EC. . 1

ID MC EA = (Định lý Ceva)

MD AD

MC = AC (Phân giác)

EC DB AC

EA = DA= DA (Talet) 0,75

Suy ra: IA AD AC. . 1 IA 1
ID AC DA = ⇔ ID = .

Vậy I là trung điểm AD. 0,25

5

1,0

điểm

1 1 1

2 1.

1 1 1

a b c abc

a b c

+ + + = ⇔ + + =

+ + +

0.25
Đặt 1 , 1 , 1 .

1 1 1

x y z

a b c

= = =

+ + +

Ta có x+ + =y z 1 và a 1 1 y z,b z x,c x y.

x x y z

+ + +

= − = = =

0,25

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2

2 xy 2 yz 2 xz

x z y z y x z x x y z y

ab + bc + ca = + + + + + + + + 0,25

x y y z x z

x z y z y x z x x y z y

≤ + + + + + =

+ + + + + + 0,25

Tổng sốđiểm toàn bài là 10 điểm.

--- Hết ---
M

E

H
I
G

D
F

B
O

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Khóa thi ngày 04 tháng 6 năm 2018

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao

đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Bằng các phép biến đổi đại số hãy rút gọn biểu thức: A=2 5+3 45.

b) Giải phương trình: 2

6

5

0. x

−

x

+ =

Câu 2.(1,5 điểm)

Cho hai hàm số y x= 2 và

= − +

y x

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó bằng phương pháp đại số.
Câu 3.(1,5 điểm)

Cho phương trình 2

( )

2

3 0 1

x

−

x

+ + =

m

(với x là ẩn, m là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

( )

1

có nghiệm.

b) Gọi

x x

,

2 là nghiệm của phương trình

( )

1 . Tìm tất cả các giá trị của m để
2 2

1 2

3

1 2

4

0. x

+

x

−

x x

− =

Câu 4.( 1,5 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 2

360m . Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm

chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất khơng đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc đầu.
Câu 5.(3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O đường kính AB=6cm. Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AB

sao cho AH =1cm. Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng này cắt

đường tròn

( )

O tại C và D. Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M. Gọi N là

hình chiếu vng góc của điểm M trênđường thẳng AB.

a) Chứng minh tứ giác MNACnội tiếp.

b) Tính độ dài CH và tanABC.

c) Chứng minh

NC

là tiếp tuyến của đường tròn

( )

O

.

d) Tiếp tuyến tại

A

của đường tròn

( )

O

cắt NCở E. Chứng minh đường thẳng

EB

đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

---HẾT---

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Khóa thi ngày 04 tháng 6 năm 2018. Mơn thi: Tốn

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1 
2,0 
điểm

a

A=2 5+3 9.5 0,25

=

2 5

+

9 5

0,5

=11 5. 0,25

b Phương trình

6

5

0 x

−

x

+ =

là phương trình bậc hai với các hệ số

1; 6; 5

= = − =

a b c có a+ + = + − + =b c 1

( )

6 5 0 0,5

Suy ra phương trình có nghiệm

x

=

1,

x

=

5

. 0,5

2 
1,5 
điểm

a

Vẽ đồ thị:

- Bảng giá trị của hàm số = 2
y x

x -2 -1 0 1 2

y=x 4 1 0 1 4

- Đồ thị hàm số = 2

y x là một đường cong parabol đi qua các điểm có toạ

độ:

(

−2; 4

) (

, −1;1 0; 0 1;

) ( ) ( ) ( )

, , 1 2; 4 .,

0,25
- Bảng giá trị của hàm số y= − +x 2

x 0 2

y= − +x 2 0

- Đồ thị hàm số y= − +x 2 là đường thẳng đi qua hai điểm có toạ độ

( ) ( )

0; 2 , 2; 0 . 0,25

- Vẽ đúng đồ thị hàm số 2

y=x 0,25

- Vẽ đúng đồ thị hàm số y= − +x 2 0,25

b

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình

( )

1
2 2

y x
y x
 =



= − +


Thế

( )

1 vào

( )

2 ta được phương trình: 2 2

2 2 0

x = − + ⇔x x + − =x

Phương trình có nghiệm: x=1, x= −2 .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Với x=1 thay vào (1) ta có y=1

Với x= −2 thay vào (1) ta có y=4.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị là A

( )

1;1 , (-2; 4)B . 0,25

3 
1,5 
điểm

a Phương trình (1) có

' 1 m 3 m 2.

∆ = − − = − −

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ ≥' 0

' 0 m 2 0 m 2.

∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ −

0,25
0,25
0,25

b

Với m≤ −2 phương trình

( )

1 có nghiệm

x x

1

,

2.
Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 .

3 x

x x

m

+

=





= +



0,25

Mặt khác theo bài ra: 2 2

1 + 2 −3 1 2 − =4 0

x x x x

(

)

1 2 5 1 2 4 0

⇔ x +x − x x − =

0,25
⇔ −4 5(m+ − =3) 4 0

⇔ + =m 3 0

⇔ = −m 3 (thỏa mãn điều kiện m≤ −2).

Vậy với m= −3 là giá trị cần tìm. 0,25

4 
1,5 
điểm

Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất lúc đầu (x > 0).
Khi đó chiều dài của mảnh đất lúc đầu là 360( )m

x . 0,25

Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng thêm 2m là: x+2 ( )m .

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm 6m là: 360 6 ( )m

x − . 0,25

Vì khi tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất

khơng đổi nên ta có phương trình:

(

)

360

2 6 360.

x

 

+  − =

  0,25

Giải phương trình ta được x1=10 (chọn) x2 = −12(loại). 0,25

Vậy chiều rộng của mảnh đất lúc đầu là 10 .m

Chiều dài của mảnh đất là 360 36
10 = m.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

5 
3,5 
điểm

a

Vẽ hình đúng để giải câu a 0,5

Ta có



ACB

=

90

(góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) 0,25

 0

ACM 90 ,

⇒ =  0

ANM=90 (vì MN ⊥ AB). 0,25

Do đó   0

ACM+ANM=180 . Vậy tứ giác MNACnội tiếp. 0,25
b

Từ giả thiết ta có: HO=2cm OC, =3cm. 0,25

Xét tam giác vng OHCcó:

CH

=

OC

−

OH

2 = 32−22 = 5

( )

cm . 0,25

Trong tam giác vng BHCcó tanABC= CH
HB

5
.
5

= 0,25

c

Vì tứ giác MNACnội tiếp nên ta có:

 ACN = AMN ( hai góc nội tiếp cùng chắn NA).

Mặt khác  ADC = ABC( hai góc nội tiếp cùng chắn CA)
OBC

∆ cân tại O nên   ADC = ABC =BCO.

Lại có: MN ⊥ AB CD; ⊥ AB⇒MN / /CD 0,25

nên  ADC = AMN (hai góc so le trong) ⇒  ACN = BCO 0,25

    0

BCO ACO ACN ACO NC OC

⇒ + = + = ⇒ ⊥ .

Vậy NC là tiếp tuyến của đường tròn

( )

O . 0,25

d

Gọi I là giao điểm của BE và CH , K là giao điểm của tiếp tuyến AE và
BM.

Vì AElà tiếp tuyến của

( )

O nên   0

OAE =OCE = nên tứ giác OAECnội

tiếp do đó   AOE = ACE= ABC ⇒OE BK// . 0,25

Mà O là trung điểm của AB do đó E là trung điểm của AK.

Vì HC AK// (cùng vng góc với AB). 0,25

Ta có: IC BI IH

EK = BE = EA mà EK =EA do đó IC =IH.

Vậy đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. 0,25

Tổng sốđiểm toàn bài là 10 điểm

I
E

O
M

N A H B

C

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lưu ý:

Nếu học sinh làm câu 3b theo đề: 2 2

1 1 3 1 2 4 0

x +x − x x − = thì giám khảo chấm theo hướng dẫn 
sau:

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

3 
b

Với m≤ −2 phương trình

( )

1 có nghiệm

x x

1

,

2.

Theo định lí Vi-ét 1 2
1 2

2 (1).

.

3 x

x x

m

+

=





= +



2 2

1 2 1 3 0 1 2 1 3 (2)

x − x + + = ⇔m x = x − −m

Mặt khác theo bài ra: 2 2

1 1 3 1 2 4 0

x +x − x x − = 2

1 1 2

2x 3x x 4 0 (3)

⇔ − − = 0,25

Thế (1), (2) vào (3) ta có: 1 1

5 19

2(2 3) 3( 3) 4 0

4
m

x − − −m m+ − = ⇔ x = +

Thế vào phương trình đã cho ta có phương trình:

5 19 5 19

2 3 0

4 4

m m

m

+ +

  −  + + =

   

   

25m 166m 257 0

⇔ + + =

0,25
Giải phương trình này ta có:

83 4 29
25

m= − + hoặc 83 4 29.
25
m= − +

Đối chiếu điều kiện m≤ −2 ta có 83 4 29

m= − + hoặc 83 4 29
25

m= − + . 0,25

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23></div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊNKhóa ngày 04 tháng 6 năm 2018
Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức 1 1 :
4

4 4 2

x x x

P

x

x x x

 + − 

= − 

−

+ + +

  với

x

là số dương khác 4.

b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng

y

=

2 x

+

1

cắt đồ thị hàm số y=ax2

tại hai điểm A và B sao cho AB= 15.

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

(

)

3 3

7
.
2

x y

xy x y

 − =



 − =



b) Giải phương trình 2 2

2 2 1 0.

x − x + x− − =x

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn:

(

x−1

)

(

x2+4

) (

=4 y2+6y+9

)

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n+234 và n−37 là lập

phương của một số nguyên dương.
Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn ( ; ),O R  0

45 .

BAC= Đường tròn
( ; )I r tiếp xúc với hai cạnh của góc BOC và đường trịn (O). Đường thẳng OC cắt đường

tròn ( )O tại D(D khác C). Gọi E là điểm tiếp xúc của đường tròn ( )I và OC.

a) Chứng minh rằng ba điểm A O I, , thẳng hàng và tính r theo R.

b) Chứng minh rằng DBA   = ABO=OBE=EBC.
Câu 5. (1,0 điểm)

Từ một hình nón có chiều cao bằng 30 cm, người thợ tiện ra
một hình trụ như hình vẽ (Hình 1). Tính chiều cao của hình trụ sao
cho vật liệu bị loại bỏ (khơng thuộc hình trụ) là ít nhất.

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện x2+ −

(

3 x

)

2 ≥5. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức: 4

(

)

4 2

(

)

3 6 3 .

Q=x + −x + x −x

--- HẾT---

Họvà tên thí sinh ...Sốbáo danh......

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa ngày 04 tháng 6 năm 2018.

Mơn thi: Tốn.
(Hướng dẫn này có 4 trang)

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1

2,0

điểm

a)

(

) (

)(

)

1 1

2 2

x x x

P
x
x x
x
 
+ −
 
= − 
+
− +
 + 
 

(

)(

) (

)(

)

(

) (

)

1 2 1 2 2

2 . 2

x x x x x

x
x x
 + − − − + 
+
 
=  
+ −
 
0,25

(

)

(

) (

)

2 2 1

2 . 2

x x x x

x
x x
 − − − + − 
 
=

 + − 
 
0,25

(

) (

)

. 1

2 . 2

x
x
x x
 − 
 
=
 + − 
 
2
4
x
−
=
−
0,5
b)

Gọi

( )

d và

( )

P lần lượt là đồ thị của hai hàm số đã cho.

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

( )

2 2

2 1 2 1 0 1 .

ax = x+ ⇔ax − x− = 0,25

Để

( )

d cắt

( )

P tại hai điểm phân biệt thì phương trình

( )

1 phải có 2 nghiệm

phân biệt.

( )

1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 0 .

1 0 1

a a

≠ ≠

 

⇔

 + >  > −

  0,25

Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình (1). Khi đó tọa độ giao điểm là

(

1; 2 1 1

)

A x x + và B x

(

2; 2x2+1

)

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2
2
.
1
.
x x
a
x x
a
 + =


 = −

0,25

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 2

4 4

4 5 4 5

AB x x x x x x x x

a a

 

 

= − + − =  + −  =  + 

 .

Theo đề ra:

2 2

4 4

15 15 5 15 4 4 3 2.

3
a

AB AB a a

a a a

=

  
= ⇔ = ⇔  + = ⇔ + = ⇔
 = −
 


</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2 
2,0 
điểm
a)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

3 3

7 ( ) 3 7

2 2 2

x y x xy y x y x y xy

x y

xy x y xy x y xy x y

 − + + =  − − + =
 − =
 ⇔ ⇔
  
− = − = − =
  

   0,25

Đặt u x y

v xy

= −


 =

 . Hệ trở thành

(

)

2 6

3 7 7

u u v u u

u
uv
uv
  
 + = + =
 ⇔  
 
 
=
 

  = 0,25

3
1
1
.
2
2
u
u
v
uv

=
 = 
⇔ ⇔ =
= 
 0,25

Ta có hệ phương trình:

2
1
1
.
2 1
2
x
y
x y
xy x
y
 =

 =
− =
 ⇔
 = 
= −

 
= −




Vậy hệ đã cho có nghiệm 2

1
x
y
=

 =

 hoặc

1
.
2
x
y
= −

 = −
 0,25 
b)

Giải phương trình: 2 2

2 2 1 0.

x − x + x− − =x

Điều kiện xác định 2

2x +2x− ≥1 0.

Ta có 2 2 2 2

2 2 1 0 2 2 1 .

x − x + x− − = ⇔x x + x− = x −x

Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả:

4 3 2

2 2 1 0.

x − x −x − x+ =

x= khơng thỏa mãn phương trình, chia hai vế cho x2 ta có phương trình:

2
2

1 1

2 1 0.

x x

x x
 
+ −  + − =
 
0,25

Đặt t x 1
x

= + . Phương trình trở thành 2 1

2 3 0

3
t
t t
t
= −

− − = ⇔  =
 0,25

Với t = −1 ta có phương trình 1 2

1 1 0

x x x

x

+ = − ⇔ + + = ptvn.

Với t =3 ta có phương trình 2

3 5

1 2

3 3 1 0

3 5

2
x

x x x

x
x
 −
=


+ = ⇔ − + = ⇔
 +
=


0,25
Thử lại ta có nghiệm của phương trình: 3 5

x= + .

Lưu ý: Nếu học sinh biến đổi 4 3 2

2 2 1 0

x − x −x − x+ = thành

(

)(

)

3 1 1 0

x − x+ x + + =x và giải đúng nghiệm mà không thểhiện cách biến đổi 
thì chỉcho tối đa 0,5 điểm.

0,25

3 a) Viết lại:

(

)

(

2

)

(

)

1 4 2 3

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

2,0

điểm *Xét

1 0 1

x− = ⇔ =x ta có

y

= −

3.

0,25

*Xét x− ≠ ⇔ ≠1 0 x 1.

Từ đẳng thức

(

)

(

2

)

(

)

1 4 2 3

x− x + =  y+  suy ra x2+4 là số chính

phương.

Do 2 2

(

)

4 2

x <x + ≤ x + nên chỉ xảy ra các trường hợp sau:

(

)

2
2

4 2

x + = x + hoặc x2+ =4

(

x +1

)

0,25

Trường hợp 1: 2

(

)

4 2 0.

x + = x + ⇔ =x

Lúc đó

(

)

2 2

2 3 4 .

y
y

y
= −


+ = ⇔

  

  = −

 0,25

Trường hợp 2: 2

(

)

4 1 2 3.

x + = x + ⇔ x = Khơng có số ngun

x

nào thỏa
mãn.

Vậy các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn bài toán là:

(

1; 3 ,−

)

(0; 2), (0; 4)− − . 0,25

b)

Giả sử tìm được số n thỏa mãn yêu cầu. Gọi a b, là hai số nguyên dương sao

cho

3
3

234
37

n a

n b

 + =




− =



Trừ vế theo vế ta có 3 3

(

2 2

)

271 ( ) 271.

a −b = ⇔ a−b a +ab+b = 0,25

Vì 271 là số nguyên tố, a>b và a b− <a2+ab b+ 2 nên

(

2 2

)

2 2

1 (1)

( ) 271

271 (2)
a b

a b a ab b

a ab b

− =


− + + = ⇔ 

+ + =

 0,25

Thế (1) vào (2) ta có pt: 2 9

3 270 0 .

10
b

b b

b

=


+ − = ⇔ 

= −

 0,25

Với b= − <10 0 loại. Với b=9 tìm được a=10.

Vậy số tự nhiên cần tìm n=766. 0,25

4

2,0

điểm

a)

r
r
D

E

I

K

C
B

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Gọi K là điểm tiếp xúc của

( )

O và

( )

I . Suy ra O I K, , thẳng hàng (1).

Từ giả thiết suy ra ∆BOC vuông cân tại O và OB OC, là hai tiếp tuyến của

( )

I nên OK là đường phân giác của BOC ⇒OK ⊥BC(2).

0,25
Ta có ∆ABO= ∆ACO c

(

− −c c

)

suy ra AO là đường phân giác BAC do đó

(3).

AO⊥BC Từ (2) và (3) ta có A O K, , thẳng hàng (4)

Từ (1), (4) suy ra A O I K, , , thẳng hàng. 0,25

Trong tam giác OIE vuông cân tại E có: r2+r2 =OI2 ⇔OI =r 2. 0,25

Từ đó ta có 2

(

2 1 .

)

1 2

R

r + = ⇔ =r R r =R −

+ Vậy r=R

(

2 1−

)

. 0,25

b)

 

AK ⊥BC⇒AK DB⇒BAO=ABD mà BAO =ABO⇒ ABD= ABO (4). 0,25

Có OE= ⇒r DE= + = +R r R R 2− =R R 2.
2

DB=R , suy ra DB=DE hay DBE =DEB. 0,25

Mặt khác     0

DBE+EBC=DEB OBE+ = ⇒OBE =CBE (5).

  0

45 (6).

DBO=OBC= 0,25

Từ (4), (5), (6) suy ra    DBA= ABO=OBE=EBC. 0,25

5

1,0

điểm

Gọi r R, lần lượt là bán kính đáy của hình trụ và hình nón.

Đặt DE= x, 0

(

< <x 30 .

)

Ta có ME BE
AD = BD hay

(

)

30 30

R x

r x

r
R

−
−

= ⇒ = 0,25

Thể tích hình trụ

(

)

(

)

2 2

2
2

30 .

30 30

R x R

V =π −  x=π −x x

  0,25

Phần vật liệu bỏ đi nhỏ nhất khi thể tích hình trụ lớn nhất hay

(

)

30−x .x lớn

nhất (vì π,R là hằng số).

Ta có

(

)

2 1

(

)

30 . . 30 .2

x x x x

− = − và 30− +x 30− +x 2x=60 nên

(

)

30−x .x đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 30− =x 2x⇔ =x 10. 0,25

Vậy chiều cao của hình trụ là 10 .cm 0,25

6

1,0

điểm

Đặt y= −3 x bài tốn đã cho trở thành: Tìm GTNN của biểu thức:
4 4 2 2

Q=x +y + x y trong đó x y, là các số thực thay đổi thỏa mãn:
2 2

3
.
5

x y
x y

+ =



+ ≥



Gọi m≥0 sao cho 2 2

x +y = +m khi đó hệ trên trở thành

E

D

A C

B

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2 2

3 (1)

(*)
5 (2)

x y

x y m

+ =



+ = +


0,25
Từ (1) ta có y= −3 x thế vào (2) ta có:

2 2 2

(3 ) 5 2 6 4 0

x + −x = + ⇔m x − x+ − =m .

Phương trình có ∆ =' 2m+ ≥ ∀ ≥1 0 m 0 nên hệ (*) có nghiệm với mọi m≥0. 0,25

Mặt khác 2 2 5 ( )2 2 5 4

m
x +y = + ⇔m x+y − xy= + ⇔m xy= − .

Từ đó 4 4 2 2

(

2 2

)

2 2 2

6 4

Q=x +y + x y = x +y + x y

(

)

2 4 2 2

5 4 2 2 41 41

2
m

m  −  m m

= + +   = + + ≥

  với m≥0.

Hay Q≥41. Đẳng thức xảy ra khi m=0. Thế vào hệ (*) ta có: 2 23 .

x y
x y

+ =



+ =


Hệ có nghiệm 1

x
y

=

 =

 hoặc

2
.
1

x

y

=

 =


Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 41, đạt được khi x=1 hoặc x=2.

Lưu ý: Nếu học sinh biến đổi 2 2

(2 6 4)(4 12 10) 41

Q= x − x+ x − x+ + và đánh giá

đúng giá trị nhỏ nhất của Q mà khơng thể hiện cách biến đổi thì chỉcho tối đa 0,5

điểm.

0,25

Tổng sốđiểm toàn bài là 10 điểm.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2017-2018

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút(khôngkểthờigiangiaođề)

Câu 1.(2,0 điểm) Dùng các phép biến đổi đại số để giải các bài toán sau:
a) Rút gọn các biểu thức:

A = 2

27 −

2

3 −

48 +

1

B =

1 x

:

x

1 x

+













−

−

+

(với

x

>

0

)
b) Giải phương trình:

x

+

3 x

−

4 =

0

Câu 2.(1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (P) là đồ thị hàm số 2

x

y

=

.
a) Vẽ (P).

b) Xác định hệ số a để đường thẳng

y

=

ax

+

3

(d), sao cho (d) cắt (P) tại điểm có

hồnh độ

x

=

1

.
Câu 3.(1,5 điểm)

Cho phương trình sau:

x

−

6 x

+

m

+

1 =

0

(1) (với x là ẩn số, m là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của

m

để phương trình (1) có nghiệm.

b) Gọi

x

1

,

x

2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm

m

để

x

12

+

x

22

=

20

Câu 4.(1,5 điểm) Một chiếc ca nô xuôi theo dịng sơng từ A đến B, rồi lại ngược dịng từ B
về A hết 5 giờ. Tìm vận tốc riêng của ca nô (vận tốc của ca nô khi dòng nước đứng yên).
Biết rằng, vận tốc của dòng nước là 4km/h và khoảng cách từ A đến B là 48km.

Câu 5.(3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB với O là tâm, M là điểm trên (O)

(M khác A và B, MA < MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa
điểm M, vẽ hai tia tiếp tuyến Ax và By của (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt hai tia Ax, By
lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh tứ giác OMCA nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của CD với AB. Chứng minh EC.EM = EA.EO.

c) Gọi I là giao điểm của BM với tia Ax. Chứng minh C là trung điểm của AI.
d) Gọi H là giao điểm của AM với tia By. Chứng minh ba điểm E, I, H thẳng hàng.

……… HẾT ……….

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017-2018

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI CHÍNH THỨC MƠN TỐN

Câu Tóm tắt lời giải Điểm

Câu 1:
(2 điểm)

a) A = 2 27−2 3− 48+1 = 2 3.9−2 3− 16.3+1

= 6 3 - 2 3 - 4 3 + 1

= 1
0.25
0.25
0.25

B =
1
:
1

1  +




 −
−
+ x
x
x
x
x

x (với

>
x )

Với x>0 ta có: B =

1
:
)

1
(
1
)
1
(  +




+
−
−
+ x
x
x
x
x
x
x
x
= 




 +







+ x
x
x
x
1
)
1
(
1
=
x
1
0.25
0.25
0.25
b) Phương trình x2 +3x−4=0 là phương trình bậc 2 theo x có các hệ số

a = 1, b = 3, c = - 4 => a + b + c = 0

=> Phương trình có nghiệm x = 1 và x = - 4.

0.25
0.25

Câu 2:

(1,5

điểm)

a) Bảng giá trị

x -2 -1 0 1 2

2
x

y= 4 1 0 1 4

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

b) Xác định hệ số a để đường thẳng (d): y=ax+3 cắt (P) tại điểm có

hồnh độ x=1.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 =ax+3

Vì (d) và (P) cắt nhau tại điểm có hồnh độ x=1 nên x=1 là nghiệm của

phương trìnhx2 =ax+3

=> 1 = a + 3 => a = - 2

0.25
0.25
0.25

Câu 3:

(1,5

điểm)

Cho phương trình ẩn x sau: x2 −6x+m+1=0 (1) (với m là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.

Phương trình (1) có: ∆’ = 9 - (m + 1) = 8 - m

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆’ ≥ 0  8 - m ≥ 0

 m≤ 8

0.25
0.25
0.25
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1).

ta có:





+
=

=
+

1
6

2
1

m
x
x

x
x

Mặt khác: x12 +x22 =20 

(

x1 +x2

)

2 −2x1x2 = 20

 36 - 2(m + 1) = 20 => m = 7 (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)

0.25
0.25
0.25

Câu 4:

(1,5

điểm)

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x(km/h). x > 4

Khi đó:

Vận tốc ca nơ khi xi dịng từ A đến B là: x + 4 (km/h)

Vận tốc ca nô khi ngược dòng từ B về A là: x - 4 (km/h)

Thời gian ca nơ xi dịng hết quảng đường từ A đến B là:

4
48

x (giờ)

Thời gian ca nơ ngược dịng hết quảng đường từ B về A là:

4
48

−

x (giờ)

Thời gian cả xi và ngược dịng là 5 giờ, nên ta có phương trình

4
48

x + 4
48

−
x = 5

=> 5x2 −96x−80=0 => x=20;

5
4
−
=

x (loại)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là: 20km/h

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

Câu 5:

(3,5

điểm)

x y

C

H

I D

E A O B

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

a) Chứng minh tứ giác OMCA nội tiếp.
Có:

CA ⊥ OA tại A, CM ⊥ OM tại M (tính chất tiếp tuyến)
=> ∠CAO = ∠CMO = 900 => Tứ giác CMOA nội tiếp.

0.5
0.5
b) Chứng minh EC.EM = EA.EO.

Xét hai tam giác: EMA và EOC có
+ Góc E chung

+ ∠EMA = ∠EOC (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

=> hai tam giác EMA và EOC đồng dạng

EC
EA
EO

EM = => EC.EM = EA.EO

0.5
0.5
c) Gọi I là giao điểm của BM với tia Ax. Chứng minh C là trung điểm của

AI.
Ta có:

CA = CM; OA = OM => OC là đường trung trực của đoạn AM
=> OC ⊥ AM

∠AMB = 900 => AM ⊥ BM => AM ⊥ BI

=> OC // BI => C là trung điểm đoạn AI (Vì O là trung điểm AB)

0.25
0.25
0.25
d) Gọi H là giao điểm của AM với tia By. Chứng minh ba điểm E, I, H

thẳng hàng.

Ta có:

DM = DB; OB = OM => OB là đường trung trực của đoạn MB
=> OD ⊥ BM

∠AMB = 900 => AM ⊥ BM => AH ⊥ BM

=> OD // AH => D là trung điểm đoạn BH (1) (Vì O là trung điểm AB)
Gọi H’ là giao điểm của EI và By.

Ta có: AI//BH’ (vì cùng vng góc với AB)
=>

ED
EC
DB
CA
ED
EC
DH

CI = =

;
'

DB
CA

DH

CI =

' , mà CI = CA (vì I là trung điểm của AI)

=> DH’ = DB => D là trung điểm BH’ (2)

Từ (1) và (2) => H’ ≡ H => ba điểm E, I, H thẳng hàng

0.25
0.25

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 QUẢNG TRỊ Năm học 2017 – 2018

Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (không kểthời gian giao đề)
Câu 1. (1,0 điểm) Rút gọn:

𝐴 =

�3 +�5− �13 +√48

√6 +√2 .

Câu 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức 𝑃 =𝑥𝑦2+𝑦𝑥2+𝑥+𝑦1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃

trong các trường hợp sau:

a. 𝑥,𝑦 là các số thực dương.
b. 𝑥,𝑦 là các số nguyên dương.
Câu 3. ( 2,0 điểm).

a. Giải phương trình: 2√3− 𝑥+√2 +𝑥= 5.
b. Giải hệ phương trình: � 𝑥3 +𝑦3+ 1 = 3𝑥𝑦

𝑥2+ 2𝑥𝑦+ 2𝑦2 = 5.
Câu 4.(1,5 điểm)

a. Tìm chữ số tận cùng của 𝑎 = 201764.

b. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 7(𝑥+𝑦) = 3(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2). 
Câu 5. (2,5 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường kính BC. A là một điểm thuộc đường
tròn ( A khác B,C), H là hình chiếu của A lên BC. Vẽ đường trịn (I) có đường kính
AH cắt AB và AC lần lượt tại M và N.

a. Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.

b. Vẽ đường kính AK của đường trịn (O). Gọi E là trung điểm của HK.
Chứng minh rằng EM = EN.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH⊥AC

)
AC
H

( ∈ . Đường thẳng vng góc với AM tại A cắt BH tại E. Gọi F là điểm đối xứng

với E qua A, K là giao điểm của CF và AB. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác CHK.

--- HẾT ---

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT 
 KHĨA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1. (2,5 điểm) Cho 1

1
1

x x x x

P

x
x x x x x

− +

= + +

−

+ − với

0 < ≠

x

1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị P khi x=2.

b) Tìm giá trị của x để P=2.

Câu 2. (2,5 điểm) Cho parabol (P): 2

y=x và đường thẳng d: y=3x+m2 (m là tham số).

a) Vẽ parabol (P).

b) Chứng minh (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x x1, 2 là các hoành độ giao điểm của (P) và d. Tìm m để

2 2
1 2 17
x +x = .

Câu 3. (1,5 điểm) Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B rồi ngược dòng trở lại bến A. Biết
khoảng cách giữa hai bến là 90 km, vận tốc dòng nước là 2km/h, vận tốc riêng của ca nô là
không đổi, thời gian ca nơ xi dịng ít hơn thời gian ca nơ ngược dịng là 15 phút. Tính vận
tốc ca nô lúc nước yên lặng.

Câu 4. (3,5 điểm)

1) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì
(H khác O, B); trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy điểm M nằm ngồi đường
trịn; MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn tại C và D (C khác A, D khác B). Gọi I là giao
điểm của AD và BC; K là trung điểm MI.

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BC và MH đồng quy tại I.
b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm trên một đường tròn.

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD và CD > AB. Gọi E,

F là các điểm lần lượt nằm trên các dây cung BC và CD sao cho BE = AD, DF = AB; M là
trung điểm EF. Chứng minh rằng BM vng góc DM.

---HẾT---

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC chỉ trình bày các bước chính của một lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm,
thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, nếu có cách giải khác đúng cho điểm theo quy
định của ý (câu) đó.

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm
của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

a) Ta có

(

)(

1 1

) (

)

x x x x

P

x

x x x x x

− +

= + +

−

+ − + − 0,25

1 1 1 1 3

1 1 1

1 1

x x x x x

x x x

x x

− + + +

= + + = =

− − −

+ − 0,75

c) Với P=2. Ta có

( )

2
3

2 2 3 2 0 1 4

x
x

x x x

x x

 =


= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2
2,0
đ

a) vẽ đúng 0,5

b) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2 2 2

3 3 0

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có 2

9

4 m

0 , m

∆ = +

> ∀

0,25

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt do đó (P) ln cắt d tại 2 điểm 0,25

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

phân biệt với mọi m.

c) Vì x x1, 2 là hai nghiệm phương trình (1) nên

2
1 2 3; 1 2

x +x = x x = −m 0,25

nên 2 2 2

1 2 17 ( 1 2) 2 1 2 17

x +x = ⇔ x +x − x x = 0,25

do đó 2 2 2

1 2 17 9 2 17 2

x +x = ⇔ + m = ⇔ = ±m 0,25

53
1,0
đ

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là x (km/h, x > 0).

Vận tốc ca nơ lúc xi dịng và ngược dòng lần lượt là x + 2, x-2
thời gian lúc ca nơ xi dịng và ngược dịng là

90

2 ,

2 x

+

x

−

0,25

vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút = 0,25 giờ, nên
có phương trình

90 0 25

2 ,

x

−

x

+

=

0,25

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMDK), x = -38 (loại). 0,25

Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là 38 km/h. 0.25

Dựng hình bình hành ABND.
Đặt α = ABK =ADK.

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α

 180o

BND= −α

0,5

M
F

E
N

B C

D

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Cộng các đẳng thức về góc trên và do

  180o

ABC+ADC= nên ta được

   0  0

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF. Suy ra MN =ME=MF.

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE. Tương tự DM ⊥NE.

Vậy suy ra BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

---HẾT---

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN 
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên 
Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kểthời gian phát đề)

(Đềthi gồm có 01 trang)

Câu 1. (2,0điểm) Cho biểu thức 1 1 2

1 1

x x x

M

x

x x x

+ +

= − +

−

− − .

a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
b) Rút gọn M.

c) Tính giá trị của M khi x= +3 2 2.

Câu 2. (2,0điểm) Cho parabol (P): 1 2
2

y= x và đường thẳng (d): y= − +3x m2 (m là tham số).

a) Chứng minh (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x x1, 2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để 2x1 −x2 =12.

Câu 3. (1,5 điểm) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 120km. Vân tốc ô tô

thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10km/h, nên ô tô thứ hai đến B muộn hơn ô tô thứ
nhất là 24 phút. Tìm vận tốc của mỗi ơ tơ.

Câu 4. (3,5 điểm)

1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O; các đường cao BE

và CF cắt (O) lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp được đường tròn.
b) AB.AF=AC.AE

c) Hai đường thẳng EF và MN song song với nhau.
d) Hai đường thẳng OA và EF vuông góc với nhau.
Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình 2

(

)

8 15 8 15

x + x+ = x+ x +

---HẾT---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………....; số báo danh:………

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
Năm học: 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo khơng làm thay đổi tổng số điểm
của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25.

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1.

0,5
Ta có

(

)(

1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1 1 3

1 1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8. Ta có 3 8 6 2

8 1 7

P= =

− 0,5

mỗi ý: 0,25đ

a) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2 2 2

3 3 0

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có 2

9

4 m

0 , m

∆ = +

> ∀

0, 5

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

phân biệt với mọi m.

c) Vì x x1, 2 là hai nghiệm phương trình (1) nên

1 2 3; 1 2

x +x = x x = −m 0,25

Cùng với bài ra ta có hệ 1 2 1
1 2 2

3 10 1

6 7

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25

nên

( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 7 0,5

5C3
1,5
đ

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là x (km/h, x > 0).

Vận tốc ca nô lúc xi dịng và ngược dịng lần lượt là x + 2, x-2
thời gian lúc ca nơ xi dịng và ngược dịng là

90

2 ,

2 x

+

x

−

0, 5

vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dịng là 15 phút = 0,25 giờ, nên
có phương trình

90 0 25

2 ,

x

−

x

+

=

0, 5

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại). 0,25
Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là 38 km/h. 0.25

C4
3,5đ

a) Ta có   0

ACB= ADB= (góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn), nên   0

180

ECM+EDM = .

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp được đường tròn.

0,5

Các tam giác ECM, EDM vng có chung
cạnh huyền EM, vói I là trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM Vậy trung điểm I của EM là

tâm của đường tròn ngoại tiếp CMDE .

0,5

b) Ta có

∆Μ

CB

∽

∆Μ

DA

(g.g) 0,5
nên MC MB MA MC. MB MD.

MD = MA⇒ = .

0,5
c) Theo trên ta có AD, BC là hai đường cao của tam giác ABM nên E là trực

tâm.

0,5

I

E

C

D

B H O A

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Vì MH vng góc AB nên MH là đường cao của tam giác ABM, do đó MH

đi qua E. Vậy các điểm M, E, H thẳng hàng.

0,5
d) Theo trên, có IC = ID và OC = OD suy ra OI là trung trực của CD nên

OI ⊥CD

Các tam giác ICM, OAC lần lượt cân tại I và O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy ra     0

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì

∆ΑΗΜ

vng tại H) do đó
IC⊥CO

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

0,25

C5
1,0
đ

6 9 4 4 0

PT ⇔ −x x+ + x− x y+y = 0,25

(

) (

)

3 2 0

x x y

⇔ − + − = 0,25

3 0 9

2 0

x x

y
x y

 − =  =


⇔ ⇔ =

− = 

 Vậy ⇔

( ) ( )

x y; = 9; 6 .

0,5

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút(khơng kểthời gian phát đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (2,0điểm) Cho biểu thức 1 1

1 1

x x x

P

x

x x x

− +

= + +

−

+ − .

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.

c) Tính giá trị của P khi

x

=

8.

Câu 2.(2,0điểm)Cho parabol (P): 2

y

=

x

và đường thẳng (d): 2

6 y

= − +

x

m

(m là tham số).

a) Chứng minh (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi

x x

,

2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P), định m để

3 x

−

x

=

10

Câu 3. (1,5điểm) Một ca nô chuyển động thẳng xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau
90km, rồi ngược dòng từ bến B trở lại bến A. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h, vận tốc riêng
của ca nô là không đổi, thời gian ca nô xi dịng ít hơn thời gian ca nơ ngược dịng là 15
phút. Tính vận tốc riêng của ca nơ.

Câu 4. (3,5 điểm)Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H

(H khác O và khác B); trên đường thẳng vng góc với OB tại H lấy điểm M nằm ngồi
đường trịn (O); MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D (C khác A, D khác B).
Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CMDE nội tiếp được đường tròn, xác định tâm I của đường trịn đó.

b) MA.MC = MB.MD

c) Ba điểm M, E, H thẳng hàng.

d) IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 5. (1,0điểm) Tìm tất cả cặp số

( )

x y

;

thỏa mãn 2

5 x

−

2 x

(3 2 )

+

y

+

y

+ =

9

0

.
---HẾT---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh:………....; số báo danh:………

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)

Câu Đáp án Điểm

1
2,0

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1. 0,5

Ta có

(

)(

1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1 1 3

1 1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8. Ta có 3 8 6 2

8 1 7

P= =

− 0,5

2,0đ

a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P):

2 2 2 2

6 6 0

x = − +x m ⇔x + x m− = (1)

0,25
Ta có 2

9

0 '

m

, m

∆ = +

> ∀

0, 5

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt với mọi m.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

2
1 2 6; 1 2
x +x = − x x = −m

Cùng với bài ra ta có hệ 1 2 1
1 2 2

3 10 1

6 7

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25

nên

( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 7 0,5

5 3
1,5
đ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h ( x > 2).

Vận tốc ca nơ xi dịng và ngược dịng lần lượt là x + 2 và x-2 (km/h)
thời gian ca nơ xi dịng, ngược dịng là

90

2 ,

2 x

+

x

−

(h)

0, 5

vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dịng là15 ' 1h
4

= , nên có
phương trình

90

1

2

4 x

−

x

+

=

0, 5

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại). 0,25
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 38 km/h. 0.25

4
3,5đ

a) Ta có   0

ACB= ADB= (chắn cung nửa

đường tròn).

0,25
Nên các tam giác ECM, EDM vng có chung

cạnh huyền EM, vói I là trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM . 0, 5

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp đường trịn tâm I. 0,25
b) Ta có ∆ΜCB∽∆ΜDA(g.g) 0,5

Nên MC MB MA MC. MB MD.

MD = MA⇒ = .

0,5
c) Theo trên ta có AD, BC là hai đường cao của tam giác ABM nên E là trực

tâm.

0,5

I

E

C

D

B H O A

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Vì MH vng góc AB nên MH là đường cao của tam giác ABM, do đó MH

đi qua E. Vậy các điểm M, E, H thẳng hàng.

0,5
d) Các tam giác ICM, OAC lần lượt cân tại I và O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy ra     0

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì ∆AHM vng tại H) do đó
IC⊥CO

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

0,25

5
1,0
đ

Phương trình đã cho được viết:

6 9 4 4 0

x− x+ + x− x y+y = 0,25

(

) (

)

3 2 0

x x y

⇔ − + − = 0,25

3 0 9

2 0

x x

y

x y

 − =  =


⇔ ⇔ =

− = 

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT 
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh thi vào chun tốn

Thời gian làm bài: 150 phút(khơng kểthời gian phát đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (2,0điểm) Cho biểu thức 2 1 2

1 1 2 1

a a a a a a a a

E

a a a a

 + − − +  −

= − 

− − −

 

a) Với điều kiện nào của a thì E có nghĩa.
b) Rút gọn E.

c) So sánh E với 1

Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình 2

1 0

x + − =x có hai nghiệm a, b (a < b). Tính giá trị

các biểu thức sau:

a) 3 3

( 1) ( 1)

M =a b+ +b a+

b) 8

4 52

N = a + a+ +a

Câu 3. (1,5điểm) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (x;y) sao cho 1

x
xy

− là số tự nhiên.

Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB và CD khơng vng góc với
nhau. Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại E, đường thẳng ED cắt (O) tại điểm thứ hai là G,
đường thẳng EG cắt AE tại F. Chứng minh rằng:

a) BC.BE= BG.BF

b) Bốn điểm C, E, F, G cùng nằm trên một đường tròn.
c) OA CB FE. . 1

OB CE FA =

Câu 5. (1,0 điểm)Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2

4 a

+

b

+

c

+

abc

=

.
Chứng minh

a b c

+ + ≤

3

---HẾT---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh:………....; Số báo danh:……….

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN THPT
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh thi vào chuyên toán

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kểthời gian phát đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (2,0điểm) Cho biểu thức 1 1 12 1 1

1 1

x x

E

x x

 

+ + −

=  − − 

+ − −  

a) Với điều kiện nào của x thì E có nghĩa.
b) Rút gọn E.

c) Tính giá trị của E khi 1

2
x=− .
Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 3

(

)

10 2 2

1 2 8

16 3

x

+

−

x

+ =

x

+

−

x

2) Giải hệ phương trình

4 4 7

3 8 4 12 16

x y

y y x y x x

 = − −




− − = − −



Câu 3. (1,5điểm)

1) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2

4

14

7 A

=

n

+

n

+

là một số chính phương.

2) Cho đa giác lồi chu vi không vượt quá 4 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một hình
trịn bán kính 1 đơn vị chứa đa giác đó.

Câu 4. (3,5 điểm)

1) Bên trong tam giác ABC vuông cân tại A lấy điểm P sao cho góc  0

135 .

APB=

Đường thẳng BP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E. Chứng minh rằng:
a) PB=EC

b) 2 2 2
2
PC =PB + PA

c) 2

2
PC PA

PB

− ≥

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD và CD > AB. Trên
các dây cung BC, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho BE = AD, DF = AB; gọi M là trung
điểm EF. Chứng minh rằng BM vng góc DM.

Câu 5. (1,0điểm) Xét các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

a b c
b +c +a ≥ b + c + a ≥ + +

---HẾT---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh:……….; Số báo danh:………

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm
của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25.

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

1 1 1 1

1 1

x x

E

x x

 

+ + −

=  − − 

+ − −  

a) Điều kiện 1 1

x
x
− ≤ ≤



 ≠

 0,5

b) rút gọn

(

)

1 1 1 1

1
2

x x

E x

x x x

+ + −  

=  − − 

 

1 1 1 1

1
x

x

x x x

 

+ −

=  − − 

  0, 5

Nếu 0< ≤x 1 thì E= −1 0,25

Nếu − ≤ <1 x 0thì

(

)

2
2
2

1 1

E x

x
−

= + − 0,25

c) Khi 1

2
x=− thì

4 1 1 7 4 3

E= −  + −  = − −

  0,5

2,0 1) Giải phương trình

(

)

10 2 2 1 2 8 16 3

x + − x+ = x+ − x (1)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

ĐKXĐ: 1 16

2 x 3

− ≤ ≤

( )

(

)

(

)

1 ⇔x −16x+ x+ −2 2 2x+ +1 8− −x 2 16 3− x =0 0,25

2 2

3 4 4

16 0

2 2 2 1 8 2 16 3

x x x x

x x

x x x x

− −

⇔ − + + =

+ + + − + −

(

)

1 1

4 4 0

2 2 2 1 8 2 16 3

x x x

x x x x

 

⇔ −  + + + =

+ + + − + −

 

0,25

Vì 1 16

2 x 3

− ≤ ≤ nên 1 1

4 0

2 2 2 1 8 2 16 3

x

x x x x

+ + + >

+ + + − + − 0,25

Do đó

( )

1 ⇔x −4x= ⇔ =0 x 0 hoặc x=4 0,25

2) Giải hệ phương trình

( )

4 4 7 1
3 8 4 12 16 2

x y

y y x y x x

 = − −




− − = − −



ĐKXĐ x≥0,y≥4

( )

2 ⇔

(

y− −4 4 x

)(

y− +4 x

)

0,25
Dễ thấy x=0,y=4không thỏa mãn hệ nên từ điều kiện suy ra y− +4 x >0.

Do đó

( )

2 ⇔ − −y 4 4 x = ⇔ − =0 y 4 4 x

0,25

Thay vào (1): 4 4

8 7 0 1

x− x+ = ⇔ x = hoặc 4

x = 0,25

Vậy nghiệm (x,y)của hệ

( )

(

4 2

)

1;8 , 7 ; 4+4.7 0,25

C3
1,5đ

1) Với

n

=

0

khơng thỏa mãn bài tốn. 0,25

Xét

n

≥

1

ta có:

(

2 n

+

3 )

≤

4 n

+

14 n

+ <

7 (

2 n

+

4 )

Do A là số chính phương nên 2

(

)

4 n

+

14 n

+ =

7

2 n

+

3 ⇔ =

n

1

Vậy số cần tìm là

n

=

1

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

2) Gọi A, B là hai điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho đường thẳng AB chia
biên đa giác thành hai đường gấp khúc có độ dài bằng nhau và bằng 2.
Gọi O là trung điểm AB. Vẽ đường trịn tâm O bán kính 1.

0,25
Ta chứng minh hình trịn này chứa đa giác đã cho.

Thật vậy giả sử tồn tại điểm M thuộc cạnh đa giác và M nằm ngồi (O). Khi
đó MA+MB ≤ 2 (*).

0,25
Gọi N là điểm đối xứng của M qua O.

MA+MB = MA + NA≥ MN > 2r = 2 mâu thuẫn với (*) suy ra điều phải chứng
minh.

0,25

C4
3,5đ

a) chứng minh PB = EC
Từ giả thiết có  0

APE=

và  0

AEP=ACB= nên ∆AEP vuông cân tại A.

0,5

Suy ra: AP = AE và  BAP=CAE (cùng phụ với CAP

). 0,25

Mặt khác AB = AC (gt)

nên

∆

ABP

= ∆

ACE c g c

(

. .

)

⇒

PB

=

EC

0,25

b) 2 2 2
2
PC =PB + PA

 0

BEC= (chắn nửa đường trịn) ⇒ ∆PEC vng tại E nên
2 2 2 2 2

PC =EC +PE =PB + PA (vì ∆APEvng cân tại A)

0,5

c) 2

2
PC PA

PB

− ≥ .

Áp dụng BĐT

(

)

2
2 2

, ,
2

a b

a +b ≥ + ∀a b 0,25

Ta được

(

)

2 2 2 1

2 2 2( )

PC =PB + PA ≥ PB+ PA ⇒ PC−PA ≥PB 0,5

P
A

C
B

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

2
.
2
PC PA

PB
−

⇒ ≥ 0,25

2) Dựng hình bình hành ABND.
Đặt α =  ABN = ADN.

Ta có BE=AD=BN; DF =AB=DN

nên

 1  1

(



)

90 90

2 2

o o

BNE= − EBN = − ABC−α

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α
 180o

BND= −α

0,5

Cộng các đẳng thức về góc trên và do

  180o

ABC+ADC= nên ta được

   0  0

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF. Suy ra MN =ME=MF.

0,25

Ta có BN=BE MN; =ME⇒BM ⊥NE. Tương tự DM ⊥NE.

Vậy suy ra BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25
C5

1,0đ

a,b,c dương theo BĐT AM-GM ta có a2 b 2 ;a b2 c 2 ;b c2 a 2c

b + ≥ c + ≥ a + ≥ . Cộng

vế theo vế các BĐT trên ta được a2 b2 c2 a b c

b + c + a ≥ + + 0,5

Với a,b,c dương, ta có 3 3

(

)

3 2
2

a a

a b ab a b b a

b b

+ ≥ + ⇒ + ≥ +

Tương tự b23 c b2 b;c32 c2 c
c + ≥ c + a + ≥ a +

Cộng vế theo vế các BĐT ta được a32 b32 c32 a2 b2 c2

b +c +a ≥ b + c + a

Vậy ta được điều phải chứng minh.

0.5
M

F

E
N

B C

D

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT 
 KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho thí sinh thi vào chuyên toán)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề
Câu 1. (2,5 điểm) Cho 2 2 1 : 2 1

1 1 1 1

x x x x

P

x x x x x x x

 + +  + +

= + + 

− + + − + +

  với

0 ≤ ≠

x

1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2. (2,5 điểm)

1) Giải phương trình 2 2

15

3

2

8 x

+

−

x

+ =

x

+

2) Giải hệ phương trình

(

)(

)

2 2

4 5

4

0

5

4

16

8

16

0 y

x

y

x

xy

x

y

 +

+

=





−

+

−

+

=



Câu 3. (1,5 điểm)

1) Tìm số nguyên dương n sao cho

(

)

(

)

3 4

14

7 A

=

n

+

n

+

n

+

là một số chính phương.
2) Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn

a

≠

0 ,b

≠

0

và

(

a

+

b ab

)

=

a

−

ab

+

b .

2 Chứng

minh

1

3

1

3

16 a

+

b

≤

Câu 4. (3,5 điểm)

1) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì
(H khác O, B); trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy điểm M nằm ngồi đường
trịn; MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn tại C và D (C khác A, D khác B). Gọi I là giao
điểm của AD và BC; K là trung điểm MI.

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BC và MH đồng quy tại I.
b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm trên một đường tròn.

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD và CD > AB. Gọi E,

---HẾT---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

a) Ta có

0,25

0,75

c) Với P=2. Ta có

( )

2 2

2 2 3 2 0 1 4

x
x

x x x

x x

 =


= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2
2,0

0,5
0,25
0,25

(

)(

)

2 2

5

4

16

8

16

0

4

5

4

0 y

−

x

−

xy

+

x

−

y

+

= ⇔

y

+ −

x

y

−

x

−

=

0,25
Với

y

= −

4 x

thế vào phương trình đầu 0,25

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

(

) (

)(

)

2

4 −

x

+

x

−

4 5

x

+

4 = ⇔ −

0

6 x

+

24 x

= ⇔ =

0 x

0

hoặc

x

=

4

Với

y

=

5 x

+

4

thế vào phương trình đầu

(

) (

)(

)

2

5 x

+

4 +

x

−

4 5

x

+

4 = ⇔

0

30 x

+

24 x

= ⇔ =

0 x

0

hoặc

4

5 x

=

−

0,25

vậy nghiệm

(

x; y

)

của hệ

( ) ( )

0 4

4 0

4

0

5 ;

, ;

,





−

;









0,25

53
1,0
đ

Ta có 2

(

)(

)

4 n

+

14 n

+ =

7 n

+

3 4

n

+

2 +

1

và do n là số nguyên dương nên

3 n

+

và

4 n

+

14 n

+

7

nguyên tố cùng nhau. Nên A là số chính phương thì
2

4 n

+

14 n

+

7

là số chính phương.

0,25

Ta có

(

)

2 2

(

)

2 n

+

3 ≤

4 n

+

14 n

+ <

7

2 n

+

4 , n

∀ ∈



nên 2

(

)

4 n

+

14 n

+ =

7

2 n

+

3 ⇒ =

n

1

0,25

với

n

=

1

ta có

A

=

10

2 là số chính phương. Vậy số cần tìm là

n

=

1

. 0,25

Từ giả thiết có

a

+ ≠

b

0

và

(

)

2 2

(

) (

)

4 a

+

b ab

=

4 ( a

−

ab

+

b )

=

3 a

−

b

+

a

+

b

≥

a

+

b

>

0 .

do đó

0 a

b

4 .

ab

+

<

≤

Nên Ta có

(

)

(

)

2 2 2

3 3 3 3

1

16 a

b a

ab

b

a

b

.

a

b

a b

ab

+

−

+



+



+

=





≤





</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Dựng hình bình hành ABND.
Đặt α = ABK =ADK.

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α
 180o

BND= −α

0,5

Cộng các đẳng thức về góc trên và do

  180o

ABC+ADC= nên ta được

   0  0

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF. Suy ra MN =ME=MF.

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE. Tương tự DM ⊥NE.

Vậy suy ra BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

---HẾT---
M

F

E
N

B C

D

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT 
 KHĨA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1. (2,5 điểm) Cho 1

1
1

x x x x

P

x
x x x x x

− +

= + +

−

+ − với

0 < ≠

x

1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị P khi x=2.

b) Tìm giá trị của x để P=2.

Câu 2. (2,5 điểm) Cho parabol (P): 2

y=x và đường thẳng d: 2

y= x+m (m là tham số).

a) Vẽ parabol (P).

2 2
1 2 17
x +x = .

Câu 3. (1,5 điểm) Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B rồi ngược dòng trở lại bến A. Biết
khoảng cách giữa hai bến là 90 km, vận tốc dịng nước là 2km/h, vận tốc riêng của ca nơ là
khơng đổi, thời gian ca nơ xi dịng ít hơn thời gian ca nơ ngược dịng là 15 phút. Tính vận
tốc ca nơ lúc nước n lặng.

Câu 4. (3,5 điểm)

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BC và MH đồng quy tại I.
b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm trên một đường tròn.

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD và CD > AB. Gọi E,

---HẾT---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………....; số báo danh:………
Chữ kí của giám thị 1:………...; chữ kí của giám thị 2:...……….

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG 6 NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm
của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.

Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

a) Ta có

(

1

)(

1 1

) (

1

)

x x x x

P

x

x x x x x

− +

= + +

−

+ − + − 0,25

1 1 1 1 3

1 1 1

1 1

x x x x x

x x x

x x

− + + +

= + + = =

− − −

+ − 0,75

c) Với P=2. Ta có

( )

2
3

2 2 3 2 0 1 4

x

x x x

x x

 =


= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2
2,0
đ

a) vẽ đúng 0,5

b) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2 2 2

3 3 0

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có 2

9

4 m

0 , m

∆ = +

> ∀

0,25

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt do đó (P) ln cắt d tại 2 điểm
phân biệt với mọi m.

0,25
c) Vì x x1, 2 là hai nghiệm phương trình (1) nên

2
1 2 3; 1 2

x +x = x x = −m 0,25

nên 2 2 2

1 2 17 ( 1 2) 2 1 2 17

x +x = ⇔ x +x − x x = 0,25

do đó 2 2 2

1 2 17 9 2 17 2

x +x = ⇔ + m = ⇔m= ± 0,25

53
1,0

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là x (km/h, x > 0).

Vận tốc ca nô lúc xi dịng và ngược dịng lần lượt là x + 2, x-2 0,25

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

thời gian lúc ca nơ xi dịng và ngược dịng là

90

2 ,

2 x

+

x

−

vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút = 0,25 giờ, nên
có phương trình

90 0 25

2 ,

x

−

x

+

=

0,25
Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMDK), x = -38 (loại). 0,25 
Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là 38 km/h. 0.25
4

Dựng hình bình hành ABND.
Đặt α = ABK =ADK.

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1

(



)

90 90

2 2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α
 180o

BND= −α

0,5

Cộng các đẳng thức về góc trên và do

  180o

ABC+ADC= nên ta được

   0  0

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF. Suy ra MN =ME=MF.

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE. Tương tự DM ⊥NE.

Vậy suy ra BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

---HẾT---
M

F

E
N

B C

D

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

(Đềthi gồm có 01 trang)
Câu 1. (2,0điểm)

Cho biểu thức 1 1 2

1 1

x x x

M

x

x x x

+ +

= − +

−

− − .

a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
b) Rút gọn M.

c) Tính giá trị của M khi x= +3 2 2.

Câu 2. (2,0điểm)

Cho parabol (P): 1 2
2

y= x và đường thẳng (d): y= − +3x m2 (m là tham số).

a) Chứng minh (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x x1, 2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để 2x1 −x2 =12.
Câu 3. (1,5 điểm)

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 120km. Vân tốc ô tô thứ nhất
lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10km/h, nên ô tô thứ hai đến B muộn hơn ơ tơ thứ nhất là 24
phút. Tìm vận tốc của mỗi ô tô.

Câu 4. (3,5 điểm)

1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O; các đường cao BE

và CF cắt (O) lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp được đường tròn.
b) AB.AF=AC.AE

c) Hai đường thẳng EF và MN song song với nhau.
d) Hai đường thẳng OA và EF vng góc với nhau.
Câu 5. (1,0 điểm)

Giải phương trình 2

(

)

8 15 8 15

x + x+ = x+ x +

---HẾT---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………....; số báo danh:………

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
Năm học: 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Đáp án Điểm

C1
2,0
đ

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1.

0,5
Ta có

(

)(

1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1 1 3

1 1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8. Ta có 3 8 6 2

8 1 7

P= =

− 0,5

mỗi ý: 0,25đ

a) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2 2 2

3 3 0

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có 2

9

4 m

0 , m

∆ = +

> ∀

0, 5

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt do đó (d) ln cắt(P) tại 2 điểm
phân biệt với mọi m.

0,25
c) Vì x x1, 2 là hai nghiệm phương trình (1) nên

2
1 2 3; 1 2

x +x = x x = −m 0,25

Cùng với bài ra ta có hệ 1 2 1
1 2 2

3 10 1

6 7

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25
nên

( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 7 0,5

5C3
1,5

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là x (km/h, x > 0).

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

thời gian lúc ca nơ xi dịng và ngược dịng là

90

2 ,

2 x

+

x

−

vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dịng là 15 phút = 0,25 giờ, nên
có phương trình

90 0 25

2 ,

x

−

x

+

=

0, 5
Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại). 0,25 
Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là 38 km/h. 0.25

C4
3,5đ

a) Ta có   0

ACB= ADB= (góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn), nên   0

180

ECM+EDM = .

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp được đường tròn.

0,5

Các tam giác ECM, EDM vng có chung
cạnh huyền EM, vói I là trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM Vậy trung điểm I của EM là

tâm của đường tròn ngoại tiếp CMDE .

0,5

b) Ta có

∆Μ

CB

∽

∆Μ

DA

(g.g) 0,5

nên MC MB MA MC. MB MD.

MD = MA⇒ = .

0,5

c) Theo trên ta có AD, BC là hai đường cao của tam giác ABM nên E là trực

tâm.

0,5
Vì MH vng góc AB nên MH là đường cao của tam giác ABM, do đó MH

đi qua E. Vậy các điểm M, E, H thẳng hàng.

0,5
d) Theo trên, có IC = ID và OC = OD suy ra OI là trung trực của CD nên

OI ⊥CD

Các tam giác ICM, OAC lần lượt cân tại I và O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy ra     0

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì

∆ΑΗΜ

vng tại H) do đó
IC⊥CO

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

0,25

C5
1,0
đ

6 9 4 4 0

PT ⇔ −x x+ + x− x y+y = 0,25

(

) (

)

3 2 0

x x y

⇔ − + − = 0,25

3 0 9

2 0

x x

y

x y

 − =  =


⇔ ⇔ =

− = 

 Vậy ⇔

( ) ( )

x y; = 9; 6 .

0,5

I

E

C

D

B H O A

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 Khóa ngày 10 tháng 6 năm 2015

MƠN: TỐN (dành cho mọi thí sinh dựthi chuyên)

Thời gian: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức

3

1

4

2 a

P

a

= +

−

+

−

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi

a

= −

3.

Câu 2.(2,0 điểm)

1. Giải phương trình

1 .

4

3 x

−

+

x

+

=

2. Gọi

x x

1, 2 là hai nghiệm của phương trình
2

2 x

−

5 x

+ =

1 0.

Tính giá trị các biểu
thức sau: 2 2

1 2

;

x

+

x

1

x

2

+

x

2

x

1 .

Câu 3.(1,5 điểm)

1. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho parabol (P):

y

= −

x

2. Gọi

A

B

là hai điểm

thuộc parabol (P) có hồnh độ lần lượt là 1 và

−

2

. Hãy viết phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm

A

và

B

2. Cho ba số nguyên

a b c

, ,

. Chứng minh rằng nếu

(

a

+ +

b

c

)

chia hết cho 6

thì 3 3 3

(

a

+

b

+

c

)

chia hết cho 6.

Câu 4.(1,5 điểm) Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc A với mức 420 ngày cơng. Hãy
tính số cơng nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hồn thành
cơng việc A sẽ giảm đi 7 ngày (cho rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như
nhau).

Câu5.(3,0 điểm) Cho tam giác không vuông ABC

(

AB

<

AC

)

, đường cao

AH

. Từ

H

kẻ

HE

vng góc với

AB

HF

vng góc với

AC

(

E

∈

AB F

,

∈

AC

)

. Đường thẳng

EF

cắt đường thẳng

BC

tại

D

. Trên nửa mặt phẳng bờ

CD

chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn
đường kính

CD

. Qua B vẽ đường thẳng vng góc với

CD

cắt nửa đường tròn trên tại
K.

a) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp được.

b) Chứng minh rằng tam giác

DEK

đồng dạng với tam giác

DKF

.

---HẾT---

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
 Khoá ngày10 tháng 6 năm 2015

MÔN TOÁN(CHUNG)
---

Lưu ý : HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm
theo quy định của câu ( hoặc phần) đó. Điểm tồn bài cho lẻ đến 0,25đ, khơng làm trịn

Câu 1.(2,0 điểm)

a) P=1 3 2 4 4
2

a

a a

a

+ − +

− Điều kiện a≠2

0,25đ
3 2 3

1 ( 2) 1 2

2 2

a a

= + − = + −

− −

0,5đ
=  −+ >



1 3 nÕu 2 (1)
1 3 nÕu < 2 (2)

a a

0,5đ
b) Thế giá trị của a= − 3 vào (2) vì a= − 3<2

ta được P= −1 3a= − −1 3( 3)= +1 3 3

0,25đ
0,5đ

Câu 2.(2,0 điểm)

1. Điều kiện x≠ ±4

1 1 1

4 4 3

x− + x+ =

Khi đó khử mẫu ta có phương trình : 3( 2

4 4) 16

x+ + −x =x −

0,25đ

6 16 0

x x

⇔ − − =

2
x

⇔ = − hoặc x=8 ( thỏa mãn điều kiện)

0,25đ
0,5đ
2. Theo định lý Vi-ét ta có 1 2 5

x +x = ; 1. 2 1
2

x x = 0,25đ

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ta có 2 2

1 2

x

2
2

1 2 1 2

5 1 21

( ) 2 2.

2 2 4

x x x x  

= + − =  − =

 

0,25đ
Ta có

x

1 x2 +x2 x1 = x x1 2( x1 + x2)

Đặt 2

1 2 1 2 1 2

5 5 2 2

2 2

S = x + x ⇒S = +x x + x x = + ⇒ =S + 0,25đ

Do đó

x

1 x2 +x2 x1 1 5 2 2
2

= + 0,25đ

Câu 3. (1,5 điểm)

1.Ta có: xA =1,A∈( )P ⇒ yA = − ⇒1 A(1; 1)−

xB = −2,B∈( )P ⇒ yB = − ⇒4 B( 2; 4)− − 0.25đ

Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax b+ (d)

Vì A(1; 1)− ∈ (d) nên: − = +1 a b (1)

Vì B( 2; 4)− − ∈ (d) nên: − = − +4 2a b(2) 0.25đ

Từ (1), (2) ta có hệ: 1 3 3 1

2 4 1 2

a b a a

a b a b b

+ = − = =

  

⇔ ⇔

− + = −  + = −  = −

   0.25đ

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y= −x 2 0.25đ

2. Ta có 3

( 1) ( 1)

a − =a a− a a+ là tích ba số nguyên liên tiếp nên

a −a , tương tự b3−b6; c3−c6

0.25đ

3 3 3

( ) 6

a b c a b c

⇒ + + − + + 

Mà (a+ +b c) 6 ⇒a3+ +b3 c36

0.25đ

Câu 4. (1,5 điểm)

Gọi số công nhân của đội là x ( x> 0 và x nguyên)

Sau khi tăng, đội có

x

+5 (người)

Số ngày hồn thành cơng việc với x người là 420

x (ngày)

Số ngày hồn thành cơng việc với (x+5) người là 420
5

x+ (ngày)

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Theo đầu bài ta có phương trình 420

x −

420
5
x+ = 7

Biến đổi, rút gọn ta được phương trình 2

5 300 0

x + x− = (*)

0,25đ
Giải phương trình (*) ta được x1=15 ; x2 = −20(loại)

Trả lời : Số công nhân của đội là 15 người 0,5đ

Câu 5. (3,0 điểm)

a) Từ giả thiết ta thấy tứ giác AEHFnội tiếp ,

nên  AEF = AHF( cùng chắn cung AF)

 AHF = ACB ( cùng phụ với góc HAF)

⇒  AEF =ACB. Suy ra tứ giác BEFCnội tiếp

0,5đ
0,5đ

0,5đ
b) Tứ giác BEFCnội tiếp

 

DEB DCF DEB

⇒ = ⇒ ∆ đồng dạng với ∆DCF g g( . ) 0,25đ

, . .

DE DB

hay DB DC DE DF

DC DF

⇒ = = (1) 0,25đ

Mặt khác trong tam giác vuông DKC, ta có :DK2 =DB DC. (2)

Từ (1), (2) 2

DK DE DF

⇒ =

DE DK

DK DF

⇒ = màKDE (chung)

⇒∆DEKđồng dạng với ∆DKF c g c( . . )

0,25đ
0,25đ

0,5đ
 ---HẾT---

B C

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT
 QUẢNG TRỊ Khoá ngày 10 tháng 6 năm 2015

MƠN: tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn)

Thời gian làm bài: 150 phút(khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức 1 4 : 1 2 .

1 1 1

P x

x

x x x x x x

   

=     



 − − − + −  − − −

a) Tìm

x

để P có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức P .

Câu 2.(2,0 điểm) Cho Parabol ( )P :

x

y= − và đường thẳng (d) : y=m x( − −1) 2.

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

khi m thay đổi.

b) Tìm các giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm

( A; A), ( B; B)

A x y B x y thỏa mãn điều kiện x yA B+x yB Ađạt giá trị lớn nhất và

tính giá trị lớn nhất ấy.
Câu 3.(1,5 điểm)

1. Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2n2.

Chứng minh rằng n2 +d khơng là số chính phương.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x

−

3

y

+

2

xy

−

2

x

−

10

y

+ =

4 0

. 
Câu 4.(1,5 điểm)

1. Cho 3 3 ,

1 1

x y

A

y x

= +

+ + trongđó

x y

,

là các số dương thỏa mãn

xy

=

1.

Chứng minh rằng A≥1.

2. Giải phương trình x− +1 2x− =1 5.

Câu 5.(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại C có  0

ACB< . Gọi O, I theo thứ tự là tâm đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho
DO vng góc với BI.

1) Chứng minh rằng tứ giác

OIBD

nội tiếp.
2) Chứng minh rằng DI song song với AC.
---HẾT---

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 Khóa ngày 10 tháng 6 năm 2015 
 ĐỀCHÍNHTHỨC MƠN TỐN ( CHUN)

---

Lưu ý : HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm

theo quy định của bài hoặc câu đó. Điểm tồn bài cho lẻ đến 0,25đ- khơng làm trịn. 
Câu 1 (2,0 điểm)

a) Điều kiện x > 0 ;

x

≠

1

b) Đặt P M
N

= ; Ta có 1 4 2

1 ( 1)( 1)

x
M

x x x

 
= − 
− − +
 =

2
2
( 1)

( 1)( 1)

x
x x
−
− +
0,5đ
0,5đ
1 2

1 ( 1)( 1)

N

x x x

 

= − 

− − +

 

( 1)( 1)

x

x x

−
=

− + 0,5đ

P M
N

= = ( 1)2 2

( 1)( 1)

x

x x

−

− + ×

( 1)( 1) 1

1 1

x x x

x x

− + = −

− +

0,5đ

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm của pa rabol (P) và đường thẳng (d) là

( 1) 2 4 4( 2) 0

x

m x x mx m

− = − − ⇔ + − + =

Vì 2 2

4( 2) (2 1) 7 0

4m + m+ = m+ + >

′

∆ = với mọi m nên PT(1) ln có hai
nghiệm phân biệt . Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau. Tại hai điểm phân biệt A, B

0,25đ
0,5đ
b) Ta có y xA B +y xB A

2 2 2 2

1 1 1 1

( ) ( )

4x xA B 4x xB A 4 x xA B x xB A 4x xA B xA xB

= − − = − + = − +

Theo định lý Vi-ét y xA B +y xB A=

2
1

( 4( 2).( 4 )) 4( 1) 4 4

4 m m m

− − + − = − + + ≤

0,25đ
0,5đ
Vậy max(y xA B+y xB A)=4 đạt được khi m= −1 0,5đ

Câu 3 (2,0 điểm)

3.1. Giả sử tồn tại số nguyên m để 2 2

(1)

n + =d m

Vì d là ước của 2

2n nên 2n2= kd, với k là một số nguyên dương

0,25đ
Từ (1) suy ra 2 2 2 2 2

n k +dk =m k hay n k2 2+2n k2 =m k2 2 ⇔n k2( 2+2 )k =(mk)2 0,25đ

Suy ra (mk)2 2
n

 .Do đó mk n Từ đó

2
2
2 mk
k k
n
 
+ =  

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Mà 2 2 2 2

2 2 1 ( 1)

k <k + k<k + k+ = k+ vơ lí

Vậy n2 +d khơng là số chính phương. 0,25đ

3.2. 2 2

3 2 2 10 4 0

x − y + xy− x− y+ = ⇔x2+2(y−1)x−(3y2+10y−4)=0

2 2

(x y 1) (2y 2) 7

⇔ + − − + = −

⇔(3y+ +x 1)(y− + = =x 3) 7 1.7=(-1).(-7) 0,25đ

Ta có các trường hợp sau :

3 1 7 3 1 1 3 1 7 3 1 1

; ; ;

3 1 3 7 3 1 3 7

y x y x y x y x

+ + = + + = + + = − + + = −

   

 − + =  − + =  − + = −  − + = −

   

Xét các trường hợp ta được phương trình có các nghiệm nguyên ( ; )x y là

(3;1); (1; 3); ( 3;1); (7; 3).− − − 0,5đ
Câu 4 (2,0 điểm)

4.1 Với giả thiết xy=1 ta có

3 3 4 4 3 3

1 1 (1 )(1 )

x y x y x y

A

y x x y

+ + +

= + =

+ + + +

( 2 2 2) 2 2 2 ( )( 2 2)

x y x y x y x xy y
x y xy

+ − + + − +

+ + +

( 2 2 2) 2 ( )( 2 2 1)

x y x y x y

x y

+ − + + + −

+ +

0,25đ

Theo bất đẳng thức Côsi ta có 2 2

2 2.

x +y ≥ xy= 0,25đ

Suy ra 4 2 ( )(2 1) 1
2

x y
A

x y

− + + −

≥ =

+ + ⇒ đpcm 0,5đ

4.2

Đk 1 0 1.

2 1 0

x

x
x

− ≥


⇔ ≥
 − ≥



Bình phương hai vế ta được x− +1 2x− +1 2 (x−1)(2x− =1) 27 3− x

⇔2 (x−2)(2x−2) =27 3− x 0,25đ

(đkx≤9 ),bình phương hai vế ta được 2

4(x−1)(2x− =1) (27 3 )− x

150 725 0

x x

⇔ − + = (1) 0,5đ

Giải phương trình (1) ta được x1=145(loai);x2 =5 thỏa đk

Vậy phương trình có nghiệm x=5 0,5đ

Câu 5 ( 3,0 điểm)
5.1

Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác ACB cân tại C nên C, I, O, M thẳng
hàng và vì  0

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

vẽ thì vẫn cho 0,25đ) 0,25đ
Gọi H là giao điểm của DO và BI, ta có

 

HOI =IBM( cùng phụ với BIM =HIO)

=IBD( do IB là phân giác của ABC)

  0

180

IOD IBD

⇒ + = nên tứ giác OIBD nội tiếp

0,5đ
 5.2

Tứ giác OIBD nội tiếp ⇒OID =OBD

Mà OBD =OCD(do OB = OC) nên OID =OCB

Suy ra OID =OCA do đó ID/ /CA

0,25đ
0,5đ
Cho các số thực

x y

,

thỏa mãn 0≤ ≤ ≤

y

x

1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x y y x

A

x y xy

−
=

− − + .

Vì 0≤ ≤ ≤y x 1nên 2− x− y+ xy = + −1 (1 x)(1− y) 1.≥ (1)

Vì 2

x ≥x nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được
2 2

1 1 1

2 .

4 4 4

y x+ ≥ yx + ≥ yx =x y
1

.
4
x y y x

⇒ − ≤

Kết hợp với (1) suy ra 1

4
A≤

0 1

(1 )(1 ) 0 1

1
4

4
1

y x

x y x

A x x

y
y x

≤ ≤ ≤




− − =  =

 

= ⇔ = ⇔

 

 =



</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 QUẢNG TRỊ Khóa ngày 10 tháng 6 năm 2015

MƠN: TỐN (cho tất cảcác thí sinh dựthi chuyên)
 Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)

Câu 1: ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức

2

1 :

1

2

1 

+



−

=



+



−

+

−





x

P

x x

x

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

P

=

2

Câu 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai: 2 2

( )

2 x

+

2 mx

+

m

-

2 =

0

1

a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình (1) với m = 1.

c) Gọi

x x

1

,

2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 1 2

2

4 =

+ +

−

P

x x

x

Câu 3: (1,5 điểm)

Hai đội công nhân xây dựng, nếu làm chung thì mất 12 ngày sẽ làm xong cơng
trình. Nếu làm riêng thì đội thứ nhất làm xong cơng trình nhanh hơn đội thứ hai 7 ngày.
Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày để làm xong cơng trình.

Câu 4: (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

(

) (

)

(

1)(

1)

8

1

17 x

y

x x

y y

xy

+

+ =





+ +

=



Câu 5: (3,0 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN
của đường trịn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN, H là giao điểm của AO và BC. Chứng
minh:

a) Năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) 2

AB

=

AM.AN

và

AHM

 

=

ANO

---HẾT---

Họvà tên thí sinh:……….SBD……….

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 QUẢNG TRỊ Khóa ngày 10 tháng 6 năm 2015

MƠN: TỐN (cho tất cảcác thí sinh dựthi chuyên)
 Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)

Lưu ý: HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm
theo quy định của câu ( hoặc phần) đó. Điểm tồn bài cho lẻ đến 0,25đ, khơng làm tròn.

Câu 1.
(2,0 điểm)

a) Điều kiện: x≥0,x≠1 0,25đ

2 1 1

:
2

1 1 1

 +  −

= + + 

− + + −

 

x x x

P

x x x x x

(

) (

)

(

)(

)

2 1 1 2

1 1

 + + − − + + 

 

= ⋅

 − + +  −

 

x x x x x

x

x x x

(

2 1

)(

)

1 2 1

 + + − − − − 

 

= ⋅

 − + +  −

 

x x x x x

x

x x x

(

)(

2 1 1

)

2 1

− +

= ⋅

−

− + +

x x

x

x x x

2
1

+ +

x x

0,5đ

0,25đ

0,25đ
b)

P

=

1

ta có 2 2

+ +

x x

(

)

1 1 0 1 0 0

⇔ +x x+ = ⇔ +x x = ⇔ x x+ = ⇔ =x

0,25đ

0,25đ
Câu 2

(2,0 điểm)

a) 2 2 2

'

2(

2)

4 ∆ =

m

−

m

−

= −

m

Phương trình có nghiệm

'

0

4

0

2 ⇔ ∆ ≥ ⇔ −

m

≥ ⇔ − ≤ ≤

m

0,25đ
0,25đ
b) Với m = 1

(1) 2

( )

2 2 -1

0 1

⇔

x

+

x

=

' 1

2.( 1)

3

0 ∆ = −

− = >

0,25đ

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

1

3

2 − +

⇒ =

x

; 2

1

3

2 − −

=

x

0,25đ

c) Ta có: x1 +x2 = −m;

2
1 2
2
.
2
−
= m
x x

(

)(

)

2
2
2

2. 4 6 2 3

−

= m − − = − − = + −

P m m m m m

Vì

− ≤ ≤

2 m

2 (

m+2

)(

m− ≤3

)

(

)(

)

2 1 25 25

2 3 6

2 4 4

 

= + − = − + + = − −  + ≤

 

P m m m m m

Vậy GTLN của P là 25 1

4 ⇔m= 2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3

(1,5 điểm)

Gọi thời gian đội thứ nhất làm xong công trình là x (ngày), x > 12.
Thời gian đội thứ hai làm xong công việc là: x + 7 (ngày)

Một ngày đội thứ nhất làm được: 1

x (công trình)

Một ngày đội thứ hai làm được: 1

x ( cơng trình)

Một ngày cả hai đội làm được : 1

12( cơng trình)

Ta có phương trình: 1 1 1

7 12

+ =

x x (x ≠ 0; x ≠ - 7)

Biến đổi phương trình trên ta được: x2 - 17x - 84 = 0

Giải phương trình ta có: x1 =21 (TM); x2 = −4(loại)

Vậy đội một hồn thành cơng trình trong 21 ngày, đội hai hoàn
thành trong 28 ngày

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4

(1,5 điểm)

(

) (

)

( 1)( 1) 8

1 1 17

x y

x x y y xy

+ + =



 + + + + =



2 2

xy x y 1 8

x x y y xy

+ + + =


⇔ 

+ + + + =



(

)

xy x y 7

x y x y xy

+ + =


⇔ 

+ + + − =

 (1)

Đặt S = +x y, P=xy

(1) 2 7

S P

S S P

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Giải hệ trên ta được: 4

S
P

=

 =

 hoặc

6
13
S
P

= −

 =


Theo định lý Viét đảo ta có x, y là nghiệm của phương trình:

4 3 0

X − X + = hoặc X2+6X +13=0

Từ đó được hai nghiệm (x;y)của hệ là: (1:3); (3;1)

0,25đ

0,25đ
0,25đ
Câu 5

(3,0 điểm)

a) Ta có: I là trung điểm của dây cung MN

OI MN

⇒ ⊥

Vì OBA  =OCA=OIA=1v,nên B, C, I, O, A ở trên đường trịn

đường kính OA.

0,5đ

0,5đ
b) Xét hai tam giác ABM và ANB có:



A chung, ABM =BNA (cùng chắn BM)=> ∆ABM ∆ANB(gg)

Suy ra: AB AM 2

AB AM.AN

AN = AB ⇔ = (1)

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của (O), nên ABC là tam giác cân
tại A, AO là phân giác góc BAC, cũng là đường cao của tam giác

ABC, nên OA vng góc với BC tại H.
Trong tam giác vng OBA, ta có: 2

AB =AH.AO (2)

Từ (1) và (2), suy ra: AM.AN AH.AO AM AH

AO AN

= ⇔ =

Mà A (chung) => ∆AMH ∆AON

=> AHM =ANO

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT
 QUẢNG TRỊ Khoá ngày 10 tháng 6 năm 2015

MƠN: tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn)

Thời gian làm bài: 150 phút(khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức 1 4 : 1 2 .

1 1 1

P x

x

x x x x x x

   

=     



 − − − + −  − − −

a) Tìm

x

để P có nghĩa.

c) Rút gọn biểu thức P .

Câu 2.(2,0 điểm) Cho Parabol ( )P :

4
x

y= − và đường thẳng (d) : y=m x( − −1) 2.

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

khi m thay đổi.

b) Tìm các giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm

( A; A), ( B; B)

A x y B x y thỏa mãn điều kiện x yA B+x yB Ađạt giá trị lớn nhất và

tính giá trị lớn nhất ấy.
Câu 3.(1,5 điểm)

1. Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2n2.

Chứng minh rằng n2 +d khơng là số chính phương.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x

−

3

y

+

2

xy

−

2

x

−

10

y

+ =

4 0

. 
Câu 4.(1,5 điểm)

1. Cho 3 3 ,

1 1

x y

A

y x

= +

+ + trongđó

x y

,

là các số dương thỏa mãn

xy

=

1.

Chứng minh rằng A≥1.

2. Giải phương trình 2

3+ +x 2− −x 2 − − + + =x x 6 1 0.

Câu 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung

AB

. Lấy điểm

E

trên dây cung

AB

(

E

khác

A

và

B

). Qua

E

vẽ dây cung

CD

của đường tròn (O). Trên hai tia

DA

và

DB

lần lượt lấy hai điểm

P

Q

đối xứng nhau qua

E

1) Chứng minh rằng tam giác

CMA

đồng dạng với tam giác

QED

2) Chứng minh rằng đường tròn (

I

) tâm

I

tiếp xúc với

PQ

tại

E

và đi qua

C

luôn
đi qua một điểm cố định khi

E

di động trên dây cung

AB

---HẾT---

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN 
 Khóa ngày 10 tháng 6 năm 2015 
 ĐỀCHÍNHTHỨC MƠN TOÁN ( CHUYÊN)

---

Lưu ý : HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm

theo quy định của bài hoặc câu đó. Điểm tồn bài cho lẻ đến 0,25đ- khơng làm tròn. 
Câu 1 (2,0 điểm)

c) Điều kiện x > 0 ;

x

≠

1

b) Đặt P M
N

= ; Ta có 1 4 2

1 ( 1)( 1)

x
M

x x x

 
= − 
− − +
 =
2
2
( 1)

( 1)( 1)

x
x x
−
− +
0,5đ
0,5đ
1 2

1 ( 1)( 1)

N

x x x

 

= − 

− − +

 

( 1)( 1)

x

x x

−
=

− + 0,5đ

P M
N

= = ( 1)2 2

( 1)( 1)

x

x x

−

− + ×

( 1)( 1) 1

1 1

x x x

x x

− + = −

− +

0,5đ

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của pa rabol (P) và đường thẳng (d) là

( 1) 2 4 4( 2) 0

4
x

m x x mx m

− = − − ⇔ + − + =

Vì 2 2

4( 2) (2 1) 7 0

4m + m+ = m+ + >

′

∆ = với mọi m nên PT(1) ln có hai
nghiệm phân biệt . Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau. Tại hai điểm phân biệt A, B

0,25đ
0,5đ
d) Ta có y xA B +y xB A

2 2 2 2

1 1 1 1

( ) ( )

4x xA B 4x xB A 4 x xA B x xB A 4x xA B xA xB

= − − = − + = − +

Theo định lý Vi-ét y xA B +y xB A=

2
1

( 4( 2).( 4 )) 4( 1) 4 4

4 m m m

− − + − = − + + ≤

0,25đ

0,5đ
Vậy max(y xA B+y xB A)=4 đạt được khi m= −1 0,5đ

Câu 3 (1,5 điểm)

3.1. Giả sử tồn tại số nguyên m để 2 2

(1)

n + =d m

Vì d là ước của 2

2n nên 2n2= kd, với k là một số nguyên dương

0,25đ
Từ (1) suy ra 2 2 2 2 2

n k +dk =m k hay n k2 2+2n k2 =m k2 2 ⇔n k2( 2+2 )k =(mk)2

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Suy ra (mk)2 2
n

 .Do đó mk n Từ đó

2
2
2 mk
k k
n

 
+ =  

  là một số chính phương

Mà 2 2 2 2

2 2 1 ( 1)

k <k + k<k + k+ = k+ vơ lí

Vậy n2 +d khơng là số chính phương. 0,25đ

3.2. 2 2

3 2 2 10 4 0

x − y + xy− x− y+ = ⇔x2+2(y−1)x−(3y2+10y−4)=0

2 2

(x y 1) (2y 2) 7

⇔ + − − + = −

⇔(3y+ +x 1)(y− + = =x 3) 7 1.7=(-1).(-7) 0,25đ

Ta có các trường hợp sau :

3 1 7 3 1 1 3 1 7 3 1 1

; ; ;

3 1 3 7 3 1 3 7

y x y x y x y x

+ + = + + = + + = − + + = −

   

 − + =  − + =  − + = −  − + = −

   

Xét các trường hợp ta được phương trình có các nghiệm ngun ( ; )x y là

(3;1); (1; 3); ( 3;1); (7; 3).− − − 0,5đ
Câu 4 (1,5 điểm)

4.1

Với giả thiết xy=1 ta có

3 3 4 4 3 3

1 1 (1 )(1 )

x y x y x y

A

y x x y

+ + +

= + =

+ + + +

( 2 2 2) 2 2 2 ( )( 2 2)

x y x y x y x xy y
x y xy

+ − + + − +

+ + +

( 2 2 2) 2 ( )( 2 2 1)

x y x y x y

x y

+ − + + + −

+ + 0,25đ

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có 2 2

2 2.

x +y ≥ xy= 0,25đ

Suy ra 4 2 ( )(2 1) 1
2
x y
A
x y
− + + −
≥ =

+ + ⇒ đpcm 0,25đ

4.2

Vì 2

(3+x)(2−x)= − − +x x 6 nên có ĐK 3 0 3 2.

2 0
x
x
x
+ ≥

⇔ − ≤ ≤
 − ≥


Đặt t= 3+ +x 2−x t ( >0) và t2 = +5 2 (3+x)(2−x) = +5 2 − − +x2 x 6 
2 2

2 x x 6 t 5

⇒ − − + = −

0,25đ
Thay vào phương trình ta được 2 2

( 5) 1 0 6 0

t− t − + = ⇔ − − =t t

3
2.
t
t
=


⇔  = −

 Vì t>0 nên t=3

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Từ đó 3+ +x 2− =x 3

Bình phương hai vế và rút gọn ta được
2 2

6 2 6 4

x x x x

− − + = ⇔ − − + =
2 1

2 0

x
x x

x
=

⇔ + − = ⇔ 

= −

 (thỏa ĐK)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x=1, 2x= 0,25đ
Câu 5 ( 3,0 điểm)

Gọi M là giao điểm của AB và đường trịn (I). Vì tam giác CME nội tiếp (I),
EP là tiếp tuyến của (I) nên CMA  =PEC=QED (1)

Mặt khác ,  BAC=BDC( cùng chắn cung BC) (2)

0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra tam giác CMA đồng dạng với tam giác QED (g-g)

(3)

AM

DE

CM

QE

⇒

=

0,5đ
0,25đ
Tương tự DEP   =BMC, ADC=ABC nên tam giác BMC đồng dạng

với tam giác DEP ( g-g) BM DE DE (4)

CM PE QE

⇒ = =

0,5đ
0,25đ
Từ (3) và (4) ta có AM BM AM BM.

CM =CM ⇒ =

Do đó đường trịn (I) luôn đi qua trung điểm M của AB là điểm cố định 1,0đ

5.1

Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác ACB cân tại C nên C, I, O, M thẳng
hàng và vì  0

ACB< nên O nằm giữa I và C ( nếu thể hiện đúng trên hình

vẽ thì vẫn cho 0,5đ)

0,5đ
Gọi H là giao điểm của DO và BI, ta có

 

HOI =IBM( cùng phụ với BIM =HIO)

=IBD( do IB là phân giác của ABC)

  0

180

IOD IBD

⇒ + = nên tứ giác OIBD nội tiếp

1,0đ
 5.2

Tứ giác OIBD nội tiếp ⇒OID =OBD

Mà OBD =OCD(do OB = OC) nên OID =OCB

Suy ra OID =OCA do đó ID/ /CA

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Cho các số thực

x y

,

thỏa mãn 0≤ ≤ ≤

y

x

1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x y y x

A

x y xy

−
=

− − + .

Vì 0≤ ≤ ≤y x 1nên 2− x− y+ xy = + −1 (1 x)(1− y) 1.≥ (1)

Vì 2

x ≥x nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được
2 2

1 1 1

2 .

4 4 4

y x+ ≥ yx + ≥ yx =x y
1

.
4
x y y x

⇒ − ≤

Kết hợp với (1) suy ra 1

A≤

0 1

(1 )(1 ) 0 1

1
4

4
1

y x

x y x

A x x

y
y x

≤ ≤ ≤




− − =  =

 

= ⇔ = ⇔

 

 =



</div>

Tổng hợp đề thi và lời giải vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Trị từ năm 2000



<b> </b>

<b>Sưu tầm</b>

<b>TUYỂN TẬP ĐỀ TOÁN VÀO 10 </b>

<b> </b>

<b>TỈNH QUẢNG TRỊ QUA CÁC NĂM </b>

(

)

2. 7

81

14

0

1

1

.

1

1

1

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

=

+

−

>









=

<sub></sub>

−

<sub></sub>

<sub>− </sub>

<sub></sub>

≠

−









2

3

8

)9

2

7

0

)

5

3

1

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

+

=



−

− =

<sub> − = −</sub>



2

<i>y</i>

=

<i>x</i>

( )

<i>P</i>

( )

<i>P</i>