Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần số tự nhiên

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.65 MB, 89 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6

SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chương I . ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 
§1. Tập hợp. Tập hợp con

Kiến thức cơ bản

1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Để viết một tập hợp, thường có hai

cách:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp.

- Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

2. Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử, cũng có thể

khơng có phần tử nào, gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅.

3. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A là tập hợp con của

tập hợp B. Ký hiệu A⊂B.

Nâng cao :

1. Mọi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó.

2. Quy ước ∅ ⊂ A với mọi A.

3. Nếu A⊂B và B⊂ A thì A=B

Thí dụ 1: Cho hai tập hợp :

{6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}

A= B={x ; 9 ; 7 ; l0 ; y}

a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
b) Điền kí hiệu ∈ ∉; vào các ơ trống để có cách viết đúng :

9 A ; x A ; y B

c) Tìm x và y để có A=B.

Giải :

a) A={x∈|5 < x < 11}

b) 9∈A ; x∉A ; y B∈

c) A=B ⇔ =x 6 ; y=8 hoặc x=8 ; y=6

Nhận xét : Vì thứ tự liệt kê các phần tử không quan trọng nên ở câu c ta có 2 đáp số.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giải : A⊂M nên với mọi x∈A thì x∈N (1)
M ⊂N nên với mọi x∈M thì x∈N (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi x∈A thì x∈N, do đó A⊂N

Nhận xét : Quan hệ ⊂ giữa hai tập hợp có tính chất bắc cầu.

BÀI TẬP

1. Các tập hợp A và B được cho bởi sơ đồ ở hình bên.

a) Viết các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
b) Điền chữ A hoặc B vào ơ trống để có cách viết đúng.

4 ∈ ; 4 ∉ ; m∈

c) Viết tập hợp H những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó.

2. Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; ...

a) Nêu quy luật của dãy số trên.

b) Viết các tập hợp B các phần tử là 8 số hạng đầu tiên của dãy đó.

3. a) Viết tập hợp M các chữ cái của chữ “GANG”

b) Với tất cả các phần tử của tập hợp M hãy viết thành một chữ thuộc loại danh từ.

4. Cho tập hợp D={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 20}

a) Viết tập hợp D bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
b) Tập hợp D có bao nhiêu phần tử.

c) Viết tập hợp E các phần tử là số chẵn của D (số chẵn là số chia hết cho 2).
Tập hợp E có bao nhiêu phần tử ?

d) Viết tập hợp F các phần tử là số lẻ của tập hợp D (số lẻ là số không chia hết cho 2). Tập
hợp F có bao nhiêu phần tử ?

5. Cho A={a , b} ; B={1 ; 2 ; 3}. Viết tập hợp có ba phần tử trong đó có một phần tử
thuộc tập hợp A ; hai phần tử thuộc tập hợp B.

6. Cho H là tập hợp 3 số lẻ đầu tiên ; K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) Tập hợp M sao cho H ⊂M ; M ⊂K.

- Hỏi tập M có ít nhất mấy phần tử ? Có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn các điều kiện trên ?

7. Dùng dấu ⊂ =; để thể hiện mối quan hệ giữa các tập sau

P là tập hợp các số tự nhiên x mà x+ ≤3 10.
Q là tập hợp các số tự nhiên x mà x.3=5.
R là tập hợp các số tự nhiên x mà x.3 0= .
S là tập hợp các số tự nhiên x mà x.3 24< .

8. Cho tập hợp K ={5 ; 6 ; 7 ; 8}. Viết các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó phải
có ít nhất một số lẻ, một số chẵn.

9. Tập hợp M có 4 tập hợp con có 1 phần tử. Hỏi tập M có mấy tập hợp con có 3 phần tử ?

§2. Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên

Kiến thức cơ bản :

1. Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là 
={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}

2. Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu *
={1 ; 2 ; 3 ; ...}

3. Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, ta dùng 10 kí hiệu (gọi là 10 chữ số) là :

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

Trong hệ La mã dùng 7 kí hiệu là :

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Nâng cao :

Số Ký hiệu Các biểu diễn thập phân

Có 2 chữ số ab = 10 .a +b

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Có 4 chữ số abcd = 1000 .a +100 .b +10 .c + d

(chữ số

(

a≠0

)

Thí dụ 3: Phố Hàng Ngang là một trong những phố cổ của Hà Nội. Các nhà được đánh số
liên tục, dãy lẻ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 61 ; dãy chẵn 2 ; 4 ; 6 ; ...tới 64.

a) Bên só nhà chẵn, trong một phòng gác nhỏ, chủ tịch Hồ Chí Minh đã khởi thảo bản

quyền tuyên ngôn độc lập khai sinh ra nước Việt Nam dân chủ cộng hịa. Ngơi nhà có căn

phịng đó là nhà thứ 24 kể từ đầu phố (số 2). Hỏi ngơi nhà này có số nào ?

b) Bên số nhà lẻ, chữ số nào chưa được dùng ? chữ số nào được dùng nhiều nhất ?

c) Phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để viết số nhà của phố này ?

Giải:

a) Ngơi nhà đó có số 2 . 24= 48

b) Bên số nhà lẻ, chữ số 0 không dùng ở hàng đơn vị cũng như hàng chục.

Chữ số 8 không dùng ở hàng đơn vị, cịn ở hàng chục thì chưa dùng tới.

Vậy chữ số 0 và chữ số 8 chưa được dùng đến. Chữ số 1 dùng tới 7 lần ở hàng đơn vị (nhiều

nhất so với các chữ số khác), dùng tới 5 lần ở hàng chục (không kém so với các chữ số

khác). Vậy chữ số 1 được dùng nhiều nhất (12 lần).

c) Tạm chưa tính nhà 64 thì dãy phố này có 62 nhà từ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 62. Trong dãy số này
có 9 số có một chữ số và 62 9 53− = số có hai chữ số.

Số chữ số cần dùng là : 9.1 53.2+ =9.106 115= .

Nhận xét : Cơng thức tính số chữ số cần dùng để ghi chép các số tự nhiên liên tiếp :
Gọi số các số có 1 chữ số là a1.

Gọi số các số có 2 chữ số là a2.
…….

Số các số có n chữ số là an, thì số chữ số cần dùng S là:

1 . 1 2 . 2 ... n .

S =a + a + + a n

BÀI TẬP

10. Viết tập hợp 4 chữ số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 94 nhưng không quá 100.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục

b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4.

c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục.

12. a) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 20 ?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ?

(

n∈

)

c) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n ?

(

n∈

)

13.a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều giống nhau ?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ?

c) Có bao nhiêu số có n chữ số

(

n∈*

)

14. Bảng hiện số của đồng hồ điện tử có 3 nhóm số chỉ giờ, phút, giây (mỗi nhóm có 2 chữ

số). Nếu chỉ nhìn vào phần hiện số của nhóm chỉ giây thì trong một phút có :
a) Bao nhiêu lần thay đổi các số ?

b) Bao nhiêu lần thay đổi các chữ số ?

15. Hãy chia các số trên bề mặt đồng hồ làm 2 nhóm : Nhóm I gồm các số tự nhiên liên tiếp và
nhóm II gồm các số còn lại sao cho :

a) Tổng các số của nhóm I bằng tổng các số của nhóm II.

b) Tổng các chữ số của nhóm I bằng tổng các chữ số của nhóm II.

c) Tổng các chữ số của nhóm I bằng một nữa tổng các chữ số của nhóm II.

16. Cho một số có 3 chữ số là abc (a b c, , khác nhau và khác 0). Nếu đổi chỗ các chữ số cho
nhau thì ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ? (Kể cả số ban
đầu).

17. Cho 4 chữ số a b c, , và số 0 (a b c, , khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể
lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ?

18. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ

số ?

19. Quyển sách giáo khoa Tốn lớp 6 có 132 trang. Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải

dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này ?

20. Dùng từ 1 đến 4 que diêm có thể ghi được bao nhiêu số trong hệ La Mã ?

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) Có giá trị lớn nhất.
b) Có giá trị nhỏ nhất.

22. Có 13 que diêm sắp xếp như sau :
XII – V = VII

a) Đẳng thức trên đúng hay sai ?

b) Hãy đổi chỗ chỉ một que diêm để được 1 đằng thức khác.

§3. Phép cộng và phép nhân

Kiến thức cơ bản :

1. Tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân :

; . .

a + = +b b a a b=b a

)

. . .

a b+c =a b + a c

Nâng cao :

1. Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ :

(

a b−

)

.c=a b. −a c.

(

a≥b

)

2. Kí hiệu n!(đọc là giai thừa)

(

)

! 1 . 2 . 3 ...

n = n n∈

Thí dụ 4 : Cho a b, ∈. Biết a b. =0 và a+4b=41. Tìm a b, .

Giải:

Vì a b. =0 nên a=0 hoặc b=0.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Suy ra a=41.

Thí dụ 5 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng hành như trong
phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng.

Tìm tích đúng.

Giải :

Gọi số bị nhân là a, tích đúng sẽ là :

(

)

( )

. 31 . 30 1 30 1

a =a + = a+a

Nếu đặt các tích riêng thẳng hàng như trong phép cộng thì tích sẽ là

(

)

( )

. 3 1 3 2

a + = a+a

So sánh (1) và (2) ta thấy tích giảm đi :

30a−3a=27a=540 ; a=20

Vậy tích đúng là 30 . 31 620=

Nhận xét : a) Khi viết 30a−3a=27a là ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép trừ. Thực vậy, 30a−3a=

(

30 3 .−

)

a=27a

b) Tích 1 .a được viết gọn thành a.

BÀI TẬP

23. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số
kia viết theo thứ tự ngược lại.

24. Cho a c+ =9. Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc+cba là một số có 3 chữ số.

25. Từ 10 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3... ; 9 hãy gép lại thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại.
a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng.

26. Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0.

a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau.

b) Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho.

27. Có 5 sơ tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng có tận cùng bằng 8 khơng ?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) 38 41 117 159 62+ + + +

b) 73 86 968 914 3032+ + + +

c) 341.67 341.16 659.83+ +

d) 42.53 47.156 47.114+ −

29. Tính giá trị biểu thức :

30. Khơng tính giá trị cụ thể, hãy so sánh hai biểu thức :
a) A=199 . 201 và B=200 . 200

b) C=35 . 53 18− và D=36 53 . 34+

31. Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

a) 12 ; b) 1122 ; c) 111222

32*.Tìm các chữ số biết a bcd. =abcabc

33*.Cho *

, ; 2 ; 2

a b∈ a> b> . Chứng tỏ rằng a b+ <a b.

§4. Phép trừ và phép chia

Kiến thức cơ bản :

1. Điều kiện để phép trừ a b− thực hiện được là a≥b.

2. Điều kiện để phép chia a b: khơng có dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu a b ) là

a=b q (với a b q, , ∈;b≠0).
3. Trong phép chia có dư :

Số bị chia = Số chia * Thương + Số dư

(

)

. 0 ; 0

4. Nếu phép chia khơng cịn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối với phép

−318=200

b) 3636 : 12

(

x−91

)

38. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

)

2003 1003 : 999

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

39. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a≥b. Chứng tỏ rằng

(

a b−

)

m

40. Trong một phép chia có số bị chia là 155 ; số dư là 12. Tìm số chia và thương.

41. Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số dư.

42. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm
số chia.

43. Để đánh số các trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển

sách có bao nhiêu trang.

44*. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 : 1, 2, 3, 4, 5 ... Hỏi chữ số thứ
659 là chữ số nào ?

45. Cho S = + + + +7 10 13 ... 97 100+

a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng ?
b) Tìm số hạng thứ 22.

c) Tính S.

46. Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3 :

{x | x = 7 . q + 3 ; q ; x 150}

A= ∈ ∈ ≤

a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn.

b) Tính tổng các phần tử của A.

§5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Kiến thức cơ bản :

1. Định nghĩa

(

)

. ...
n

a = a a a n∈

(n thừa số )

: , ; ; 0

m n m n

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nâng cao :

1. Lũy thừa của một tích

(

a b.

)

n =an.bn
2. Lũy thừa của một lũy thừa

( )

m n m n.

a =a

3. Lũy thừa tầng n ( )mn

m

a =a

Chẳng hạn 23 8

2 =2 =256

17 1

5 =5 =5

Như vậy trong một lũy thừa tầng ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa từ trên xuống dưới.

4. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.

Chẳng hạn 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ...

Thí dụ 8 : Tìm x, biết 2.3x =162
Giải :

2 . 3x =162 ⇒ 3x =162 : 2

3x =81 ; 3x =3

Vậy x=4

Nhận xét :

Trong cách giải trên ta đã dùng tính chất : Trong hai lũy thừa bằng nhau, nếu cơ số bằng

nhau thì số mũ bằng nhau ; ngược lại nếu số mũ bằng nhau thì cơ số bằng nhau.

BÀI TẬP

47. Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương.

48. Trong các số sau, những số nào bằng nhau ? Số nào nhỏ nhất ? Số nào lớn nhất ?

(

)

4 4 2 3 0 99 *

2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 99 ; 0 ; 1n n∈

49. Kiểm tra xem đẳng thức sau đúng hay sai ? Nếu sai hãy di chuyển 1 chữ số đến vị trí khác
để được đẳng thức đúng.

2 2

152 5− =10

50. Chứng tỏ rằng mỗi tổng hoặc hiệu sau đây là một số chính phương :

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) 2 2

13 −5

c) 3 3 3 3

1 + + +2 3 4

51. Viết các tổng hoặc hiệu sau đây dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 .
a) 172−152

b) 43− +23 52

52. Viết số 729 dưới dạng một lũy thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn 1 .

53. Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số.

a) 5 4

2 . 8 b) 6 3

25 . 125 c) 5 7

625 : 25 d) 3 3

12 . 3

54. Tính :

4 0

3 1

1 3 2 0

)

22 7 15

2
14

11 . 3 . 3 9
2 . 3

A= −

§6. Chuyên đề 1 : So sánh hai lũy thừa

1.Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số

mũ.

- Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m>n thì m n

(

)

a >a a>

- Nếu hai lũy thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn

hơn.

Nếu a>b thì n n

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2.Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn

điệu của phép nhân (a<b thì a c. <b c. với c>0)

Thí dụ 9 :

So sánh số 19

16 và 25

8 , số nào lớn hơn ?

Giải :

Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là lũy thừa của 2 nên ta tìm cách đưa

16 và 25

8 về lũy thừa cùng cơ số 2.

( )

19 4 76

16 = 2 =2

( )

25 3 75

8 = 2 =2

Vì 76 75

2 >2 nên 1619 >825.

BÀI TẬP 
58. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?

a) 11

27 và 8

81 b) 5

625 và 7

125

c) 36

5 và 24

11 d) 2

3n và 3

2n

(

n∈*

)

59. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?
a) 23

5 và 22

6.5 b) 13

7.2 và 16

2 c) 15

21 và 5 8

27 .49
60. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?

a) 20

199 và 15

2003 b) 99

3 và 21

61. So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn ?

45 44

72 −72 và 44 43

72 −72
62. Tìm x∈ biết :

a) 16x <1284 b) 1 2 18

5 .5 .5x x+ x+ ≤100...0 : 2

(18 chữ số 0)

63. Cho 2 3 9

1 2 2 2 ... 2

S = + + + + + .

Hãy so sánh S với 8

5.2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Hãy so sánh m với 8

10.9

65*. Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1 , 2 , 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một
lần và chỉ một lần.

§7. Chuyên đề 2. Chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa

1. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay

nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay

khơng ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2, 4, 8
hoặ chia hết cho 5, 15, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem Bài
10).

2. Tìm chữ số tận cùng của tích

- Tích các số lẻ là một số lẻ

Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng
là 5.

- Tích của một số chẵn với với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số
tận cùng là 0.

3. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ
nguyên chữ số tận cùng của nó.

- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3,7,9 khi nâng lân luỹ thừ 4n đều có chữ

số tận cùng là 1.

… 4 4 4

3 n =1; ...7 n =1; ...9 n =1.

Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n (n≠0) đều

có tận cùng là 6.

4 4 4

2 n =6; ...4 n =6; ...8 n =6.

(Riêng đối với các chữ số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ thừa lẻ
đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6
và 1).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Thí dụ 10:

Cho A = 102

(

)

51n 47

n

+ ∈

Chứng tỏ rằng A  10.

Giải:

51n =...1

102 100 2 4.25 2

47 =47 .47 =47 .47 =...1 ...9×

Vậy A = ...1 ...9+ =...0; A  10.

Thí dụ 11: Ta đã biết ngồi Dương lịch, Âm lịch người ta cịn ghi lịch theo hệ đếm CAN

CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của năm.

Có 10 CAN là:

Hàng can Giáp Ất Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý

Mã số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(0)

Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu kết

quả với bảng trên:

(*)

(Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10).

Bây giờ bạn hãy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lịch sử giành độc lập

của nhân dân ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CVN ra đời và nằm 1945 chiến

thắng Điện Biên Phủ.

Giải: 10 - 3 = 7 ⇒ CANH; 1930 là năm CANH NGỌ.

4 – 3 = 1 ⇒ GIÁP; 1945 là năm GIÁP NGỌ.

BÀI TẬP

66. Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là một

năm Dậu. Hãy tìm hàng CAN của năm Dậu đó.

67. Em tuổi gì? Tìm hàng CAN của tuổi đó.

68. Tìm chữ số tậncùng của các số sau:

30 31 32 33 35

74 ; 49 ; 87 ; 58 ; 23

69. Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n

(

n>1

)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

70. Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.
a) A = 98.96.94.92 91.93.95.97 ;−

b) B = 405 2

(

)

405n 2 , ; 0

m m n n

+ + ∈ ≠

71. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)

7
6

234 ; b)

5
7

579

72. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?

73. Tích A = 2 3 10 2 4 6 14

2.2 .2 ...2 ×5 .5 .5 ...5 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

74*. Cho S = 1 2 3 30

1 3+ + + + +3 3 ... 3 .

Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S khơng phải là số chính phương.

§8. Thứ tự thực hiện các phép tính

Kiến thức cơ bản

1. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức khơng có dấu ngoặc:
Luỹ thừa → Nhân chia → Cộng trừ

2. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có các loại dấu ngoặc:
( ) → [ ] → { }

Nâng cao:

Nếu trong biểu thức có n! thì phải coi như có phép nhân 1.2.3…n, ta thực hiện các phép

tính theo quy ước.

Thí dụ 12:

Dùng một chữ số 1 và dấu ngoặc của các phép tính kể cả dấu ngoặc để viết thành một

biểu thức có giá trị bằng 100 sao cho dùng ít chữ số 1 nhất.

Giải:

111 11 100− =

(

)

1 1

11 1− + =100

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(

2 2 2

) (

2 2

)

10 +11 +12 : 13 +14

b) 2

9! − 8! − 7!.8

(

)

2
16

13 11 9

3.4.2
11.2 .4 −16

76. Với 6 chữ số 3 và dấu của các phép tính kể cả dấu ngoặc hãy viết thành một biểu thức có

giá trị là 1 000 000.

77. Tìm x biết

(

)

(

)

2 2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b) 12 4

2.3x =10.3 +8.27

78. Một xà lan chở hàng từ bến A đến bến B cách nhau 60km rồi lại trở về bến cũ với vận

tốc riêng không đổi là 25km/h. Vận tốc dịng nước là 5km/h. Tính vận tốc trung bình cảu xà

lan trong cả thời gian đi và về.

79. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai

mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ băng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện

nay.

80. Có một bình 4 lít và một bình 5 lít. Làm thế nào để lấy được đúng 3 lít nước từ một bể

nước.

81. Một thùng có 16 lít nước. hãy dùng một bình 7 lít và một bình 3 lít để chia 16 lít làm hai

phần bằng nhau.

82. Người bán hàng chiều khách.

Ba người vào cửa hàng sách, tình cờ mua một quyển sách giá là 7.900 đồng. Mỗi người
đều đưa một tờ 100 nghìn đồng và yêu cầu được trả lại tiền thừa như sau:

Người thứ nhất: Có số tờ trả lại ít nhất.

Người thứ hai: Có số tờ trả lại ít nhất nhưng có đủ các loại tiền nhỏ hơn.

Người thứ ba: có số tờ trả lại là trung bình cộng số tờ của hai người kia nhưng khơng có
các loại tờ 100 đồng, 1000 đồng, 10.000 đồng.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

§9. Tính chất chia hết của một tổng

Kiến thức cơ bản:

4. Tính chất 4 a m b n ;  ⇒ab mn

Đặc biệt: a b ⇒a bn n.
Nâng cao:

1. Các tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng số có nhiều số hạng.

2. a m b m ;  ⇒k a1 +k b m2  (Thí dụ 13)

3. a m b m ;  ; a+ +b c m ⇒c m

a m b m ;  ; a+ +b c m/ ⇒c m/ (Thí dụ 14).

Thí dụ 13:

Cho a m b m ;  , hãy chứng minh rằng k a1 +k b m2  .

Giải:

a m ⇒k a m (tính chất 3)
2

b m ⇒k b m (tính chất 3)
Vậy k a1 +k b m2  (tính chất 1)

Thí dụ 14:

Chứng minh rằng:

a) Nếu a m b m ;  và a+ +b c m thì c m .
b) Nếu a m b m ;  và a+ +b c m/ thì c m/

Giải.

a) Giải sử c m/ . ta có a m b m ;  nên a+ +b c m/ (tính chất 2). Điều này trái với đề bài

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

b) Giải sử c m . ta có a m b m ;  nên a+ +b c m (tính chất 1). Điều này trái với đề bài

a+ +b c m/ . Vậy điều giải sử là sai, suy ra c m/ .

Nhận xét:

Phương pháp giải thí dụ 14 là phương pháp phản chứng. Nó có ba bước:
- Giải sử có điều trái với điều chứng minh.

- Từ đó suy ra (nhờ các tính chất đã biết) một kết quả mâu thuẫn với điều đã cho, đã biết.
- Kết luận: Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng.

BÀI TẬP

83. Chứng minh rằng với mọi n∈N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho

30.

84. Cho A = 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40

Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho 5 không?

85. Cho B = 23! 19! 15!+ − . Chứng minh rằng:
a) B  11

b) B  110

86. Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 cịn tổng của bốn số
tự nhiên liên tiếp thì khơng chia hết cho 4.

87. Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 cịn tổng của 5 số lẻ liên
tiếp chia cho 10 dư 5

89. Cho C = 1 3 3+ + + + +2 33 ... 311. Chứng minh rằng:
a) C  13

b) C  40.

90. Chứng minh rằng:

a) Tích của hai số tự nhiên tiên tiếp thì chia hết cho 2.
b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.

91. Tìm n ∈Nđể:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

c) 27 – 5n  n

93. Tìmn ∈N sao cho:
a) n + 6  n + 2
b) 2n + 3  n – 2
c) 3n + 1  11 – 2n.

94*. Cho 10k−1  19 với k > 1. Chứng minh rằng:

a) 2

10 k−1 19

b) 3

10 k−1  19

§10. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Kiến thức cơ bản:

1. Dấu hiệu chia hết cho 2

a  2 ⇔ a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5.

a  5 ⇔ a có chữ số tận cùng bằng 0; 5.

Nâng cao:

1. a  4 (hoặc 25) ⇔ 2 chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25).
2. a  8 (hoặc 125) ⇔ 3 chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc
125).

Thí dụ 15:

Chứng minh rằng với n ∈N thì số 2

9 n−1 chia hết cho 2 và cho 5.

Giải:

( )

2 2

9 n− =1 9 n− =1 81n− =1 ...1 1 ...0− =

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 2; 5.

BÀI TẬP

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

96. Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a) Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho 125
b) Số 9xy4 chia hết cho 2; cho 4; cho 8.

97. Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số

a) Chia hết cho 4 ; b) Chia hết cho 8 ;
c) Chia hết cho 25 ; d) Chia hết cho 125.

98. Chứng minh rằng:

a) 60 37

942 −351 chia hết cho 5.

b) 995−984+973−962 chia hết cho 2 và 5.

99. Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không?

100. Cho a, b ∈N. Hỏi số ab(a + b) có tận cùng bàng 9 khơng?

101. Cho n ∈N, chứng minh rằng 5n−1 4 .

102. Cho n∈N, chứng minh rằng n2+ +n 1 không chia hết cho 4 và khơng chia hết cho 5.

§11. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Kiến thức cơ bản:

1. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

a  3 (hoặc 9) ⇔Tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9).

2. Số dư trong phép chia số a cho 3 (hoặc 9) bằng số dư trong phép chia tổng các chữ số

của a cho 3 (hoặc 9)

Nâng cao:

Dấu hiệu chia hết cho 11

a  11 ⇔Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia
hết cho 11.

Thí dụ 16: Cho số 76a23

a) Tìm chữ số a để số 76a23 9

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Giải:

a) 76a23 9 ⇔ + + + +7 6 a 2 3 9 tức là a+18 9 do đó a∈

{ }

0;9 .
b) Với a = 0 thì số 76023 có

(

7+ +0 3 – 6

) (

)

=2 11/

Với a = 9 thì số 76923 có

(

7 9 3 – 6+ +

) (

)

=11 11

Vậy với a = 9 thì số 76a23 11 .

BÀI TẬP

103. Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để:

a) Số 35*8 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
b) số 468* chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 5.

104. Hãy tìm:

a) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 2 và 3
b) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 5 và 9
c) Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 9 và 11.

105. Tìm các chữ số a, b sao cho số b851a chia hết cho 3 và 4.

106. Một số tự nhiên có chữ số đầu tiên lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Khi viết số đó theo thứ tự
ngược lại thì được số mới kém số cũ là một trong ba số 2002, 2003, 2004. Hiệu của chúng là
số nào trong ba số đó?

107. Cho số abc/ 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để được một số chia hết
cho 3?

108. Cho biểu thức A = 1494 1495 1496× × .

Khơng thực hiện phép tính hãy giải thích vì sao?

a) A  180?

b) A  495.

109. Chứng minh rằng với n∈N thì các số sau chia hết cho 9.
a) 10n−1

b) 10n +8

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

111. Chứng minh rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

112*. Cho A =

8 111...1
n chu so

n+ (n ∈N*)
Chứng minh rằng A  9

113*. Lấy một mảnh giấy cắt ra làm 4 mảnh nhỏ. Lấy một mảnh bất kì cắt ra thành 4 mảnh
khác. Cứ thế tiếp tục nhiều lần.

a) Hỏi khi ngừng cắt theo quy luật trên thì có thể được tất cả 60 mảnh giấy nhỏ không?
b) Phải cắt tất cả bao nhiê mảnh giấy theo quy luật trên để được tất cả 52 mảnh giấy nhỏ?

§12. Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Kiến thức cơ bản:

1.Ước và bội

a  b ⇔a là bội của b ⇔ b là ước của a.

2. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

3. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số, ta chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.

4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số

nguyên tố.
Đặc biệt:

100 0... =2 5n. n

n chu sè

, chẳng hạn 1000=2 .53 3.

Nâng cao:

1. Cách xác định số lượng các ước của một số:

Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax . by … cz thì số lượng các ước của
M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1).

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố

mũ chẵn. Từ đó suy ra.

- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22.
- Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

- Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52.
3. Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a  p hoặc b  p.
Đặc biệt nếu an  p thì a  p.

Thí dụ 17:

Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601.

Giải:

Tổng của hai số nguyên tố là 601, là một số lẻ nên một trong hai số phải là số nguyên tố
chẵn, đó là số 2. Số thứ hai là 601 – 2 = 599 (Tra bảng ta thấy 599 là số nguyên tố).

Thí dụ 18: Cho A = 2 3 100

5 5+ + + +5 ... 5 .

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?

b) Số A có phải là số chính phương khơng?

Giải:

a) A > 5 ; A  5 (vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.
b) 2

5 25 nên 3 100

5 25,..., 5 25.

Nhưng 5 / 25 nên A / 25 nên A không phải là số chính phương.

Thí dụ 19:

Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó.

Giải: 54 = 2 . 33

Số ước của 54 là (1 + 1) (3 + 1) = 8 (ước).
Để liệt kê tất cả các ước của 54 ta viết như sau:

1 3 32 33

1 2

1 3 32 33

hay

1 3 9 27

2 2.3 2.32 2.33 2 6 18 54

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

- Trong cách giải trên, để viết tất cả các ước của 54 ta dùng phương pháp phân tích số 54

ra thừa số nguyên tố. Mỗi thừa số nguyên tố là một ước nguyên tố. Ngoài 1 ra cịn có các ước

gọi là ước hợp. Cách trình bày như trên giúp ta khơng bỏ sót một ước nào.

- Còn một phương pháp khác là đem 54 chia lần lượt cho 1, 2, 3,…, 54 ; mỗi lần chia hết

thì số chia chính là một ước của 54.

BÀI TẬP

Số nguyên tố. Hợp số:

114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.

115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a = 1. 3. 5. 7 … .13. + 20

b = 147. 247. 347 – 13

116. Cho n ∈N*. Chứng minh rằng

s 1 s 1

111...1 2111...1
chu o n chu o

  là hợp số.

117. Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau:

9** : 17 = **, Biết rằng thương là một số nguyên tố.

118. Cho a, n ∈N*, biết an  5. Chứng minh rằng a2 + 150  25.

119*. a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n2 chia hết cho 3 dư 1.
b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?

120. Cho n > 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1 không thể
đồng thời là số nguyên tố.

121*. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.

b) Biết 8p + 1 cũng là số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số.

122. Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) . Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay hợp số.
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

123. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lí nhất:

a) 700 ; 9000 ; 210 000

b) 500 ; 1600 ; 18 000

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

90 ; 540 ; 3675

125. Tìm các ước của số:

a) 119 ; b) 625 ; c) 200

126. Tính cạnh của một hình vng biết diện tích của nó là :

a) 5929m2 ; b) 32400m2

127. Tính cạnh của một hình lập phương biết thể tích của nó là 1728cm3.

128. Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước là một số lẻ thì số tự nhiên
đó là một số chính phương.

129. Tìm n ∈N* biết:

a) 2 + 4 + 6 + … + 2n = 210

b) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = 225.

§13. Ước chung và ước chung lớn nhất

Kiến thức cơ bản:

1. Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp tạo thành bởi các phần tử chung của hai tập

hợp đó, kí hiệu A ∩ B.

2. Ước chung và ước chung lớn nhất

a) ƯC(a,b) = Ư(a) ∩ Ư(b)

b) Ước chung lớn nhất của a và b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a và b,

kí hiệu ƯCLN(a,b) hoặc gọn hơn (a,b).

3. Cách tìm ước chung lớn nhất của một nhóm số.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó
là ƯCLN phải tim.

4. Chú ý.

a) Nếu a  b thì (a,b) = b

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

c) Muốn tìm ước chung của số đã cho, ta tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Nâng cao:

1. Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a,b) = 1; (b, c) = 1; (c, a) = 1.
2. Tính chất chia hết liên quan đến ƯCLN:

a) Cho (a,b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng

nhau.

b) Nếu ab  m mà (a,m) = 1 thì b  m.

Thí dụ 20: Tìm số tự nhiên b biết rằng chia 326 cho b thì dư 11; cịn chia 553 cho b thì
dư 13.

Giải:

326 chia cho b dư 11 ⇒ 326 – 11 = 315  b ; b > 11
553 chia cho b dư 13 ⇒ 553 – 13 = 540  b ; b > 13
Vậy b là ƯC(315,540) với b > 13

Muốn tìm ƯC(315,540) trước tiên tìm ƯCLN(315,540)

315 = 32 . 5. 7

540 = 22 . 33 . 5

ƯCLN(315,540) = 32

.5 = 45

ƯC(315,540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}.

Vì b > 13 nên bài tốn có hai đáp số b = 15 và b = 45.

Thí dụ 21: Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giải:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n + 1 (n ∈N).
Ta phải chứng minh (n, n + 1) = 1.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Nhận xét: Phương pháp chung để giải loại toán chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

là đặt ƯCLN của chúng là d, thế thì mỗi số đều chia hết cho d, sau đó tìm cách chứng minh d
= 1.

BÀI TẬP

130. Cho A là tập hợp các số nguyên tố
B là tập hợp các hợp số

M là tập hợp các ước của 20
N là tập hợp các ước của 50
a) Tìm A ∩ B

b) Tìm M ∩ N

131. Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C ∩ D.

132. Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504; 720.

133. Một căn phịng hình chữ nhật kích thước 630×480 (cm) được lát loại gạch hình vng.

Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước

lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phịng đó cần bao nhiêu viên gạch?

134. Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:

a) Hai số lẻ liên tiếp.

b) 2n + 5 và 3n + 7 (n ∈ N)

135*. Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a) (a, a – b ) = 1

b) (ab, a + b) = 1

136. Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau, a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n ∈ N)
Tìm (a, b)

137.ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.

138. Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng bằng 18.

139. Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng là 15.

140. Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27.

141*. Cho a+5 7b ( ,a b∈N) . Chứng minh rằng 10a b+ 7. Mệnh đề đảo lại có đúng khơng?

142. Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau. Chứng minh rằng a9

143*.Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi, hỏi mỗi loại

có mấy chiếc xe?

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Kiến thức cơ bản

1.Bội chung và bội chung nhỏ nhất
a)BC a b( , )=B a( )∩B b( )

b) Bội chung nhỏ nhất của a và b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a

và b, kí hiệu BCNN(a, b) hoặc gọn hơn [a, b]

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất của một nhóm số.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.
Tích đó là BCNN phải tìm.

3. Chú ý:

a) Nếu số lớn nhất trong một nhóm số chia hết cho các số cịn lại thì số này là BCNN của

nhóm số cịm lại.

b) Nếu các số đã cho đơi một ngun tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích các số đó.

c) Muốn tìm bội chung của các số đã cho, ta tìm BCNN của các số đó.

Nâng cao:

1. Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.

ab = BCNN(a, b) . ƯCLN(a, b)

2. Nếu lấy BCNN(a, b) chia cho từng số a, b thì các thương là các số nguyên tố cùng nhau.

3. Nếu a m và a n thì a chia hết cho BCNN(m, n). Từ đó suy ra:

- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng.

- Nếu một số chia hết cho các số ngun tố cùng nhau đơi một thì nó chia hết cho tích của

chúng.

Thí dụ 22: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho 18; 30; 45có số dư lần lượt là 8;
20; 35.

Giải:

Gọi số phải tìm là a. Dễ thấy a + 10 chia hết cho 18; 30 và 45. Vậy a + 10 ∈ BC(18; 30; 45)
BCNN(18; 30; 45) = 2.32.5 = 90

Suy ra a + 10 = 90k (k ∈ N*)
Hay a = 90k – 10

Với k = 1 thì a = 80 (mới có hai chữ số)
Với k = 2 thì a = 170 ( đã có 3 chữ số)
Vậy số phải tìm là 170.

Nhận xét:

Trong cách giải của thí dụ này, ta thấy a + 10 là bội chung của ba số 18; 30; 45. Muốn tìm các

bội chung của chúng, trước tiên ta tìm BCNN của ba số đó rồi nhân kết quả với số tự nhiên k.

Lần lượt cho k = 1; 2; 3; …ta được các bội chung từ nhỏ đến lớn. Ta lấy gí trị nhỏ nhất có ba

chữ số của a.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

144. Một xe lăn dành cho người tần tật có chu vi bánh trước là 63 cm, chu vi bánh sau là 186
cm. người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất của hai bánh xe này. Hỏi bánh trước và bánh sau phải
lăn ít nhất bao nhiêu vịng thì hai điểm được đánh dấu lại cùng tiếp đất một lúc?

145. Ba học sinh, mỗi học sinh mua một loại bút. Giá ba loại bút lần lượt là 1200 đồng, 1500

đồng, 2000 đồng. Biết tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút.

146. Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số 126; 140; 180.

147. Một số tự nhiên chia cho 12; 18; 21 đều dư 5. Tìm số đó biết rằng nó xấp xỉ 1000.

148. Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đêu dư 3 nhưng

nếu xếp hàng 11 thì khơng dư. Tính số học sinh khối 6.

149. Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN(a, b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15.

150. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng bằng 2940 và BCNN của chúng là 210.

151*. Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.

152*. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có ba chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư
8.

153. Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ khơng chia hết cho 3 thì 2

a −1 6

154. Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.

§15. Chun đề 3. Ngun lý Điriclê và bài tốn chia hết

1. Có một số thìa để trong một số cốc. Nếu số thìa nhiều hơn số cốc thì ít nhất cũng có

một chiếc cốc chứa khơng ít hơn hai chiếc thìa.

Như vậy, nếu có n + 1 thìa để trong n cốc thì ít nhất cũng có một cốc đựng khơng ít hơn hai
thìa. Từ đẳng thức 7 = 3 . 2 + 1 ta thấy nếu nhốt 7 con thỏ vào ba chiếc lồng thì ít nhất cũng có

một chiếc lồng có chứa nhiều hơn hai con thỏ. Đó chính là ngun lý Điriclê được phát biểu

dưới dạng đơn giản

Tổng quát: Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b . q + r (0 < r < b) thì ít nhất cũng
có một lồng nhốt từ q + 1 con thỏ trở lên

2. Chú ý: Khi giải các bài toán vận dụng nguyên lý Điriclê ta cần suy nghĩ để làm xuất

hiện khái niệm “thỏ” và “lồng”, khái niệm “nhốt thỏ vào lồng” nhưng khi trình bày lời giải ta

cố gắng diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học thơng thường.

Thí dụ 23: cho 7 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra hai số
mà hiệu của chúng chia hết cho 6.

Phân tích: Coi 7 là 7 con thỏ. Bảy con thỏ này được nhốt trong mấy lồng? Ta biết rằng khi
chia một số cho 6 thì số dư chỉ là một trong sáu số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có 7 số tự nhiên khi chia

cho 6 mà chỉ có 6 so dư nên theo nguyên lý Điriclê thì ít nhất cũng có 2 số có cùng số dư.

Hiệu hai số này chia hết cho 6 (xem bài 39).

Trình bày lời giải :

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Nhận xét: Từ cách giải của thí dụ này ta có thể nói trong n + 1 số tự nhiên, bao giờ cũng
có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia het cho n (n ∈ N*)

BÀI TẬP

155. Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ số
tận cùng giống nhau.

156. Chứng minh rằng tồn tai một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.

157. Cho dãy số : 10, 2 3 4 30

10 ,10 ,10 ,...,10 .

Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1.

158*. Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19.

159. Cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.

160. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia

hết cho 12.

161. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kìln chọn được hai số có tổng chia hết

cho 2.

162. Cho bảy số tự nhiên bất kì, chứng minh rằng ta ln chọn được 4 số có tổng chia hết

cho 4.

163.Cho năm số tự nhiên bất kì, chứng minh rằng ta ln chọn được 3 số có tổng chia hết

cho 3.

164.Cho năm số tự nhiên bất kì, chứng minh rằng ta ln chọn được 4 số có tổng chia hết

cho 4.

165*. Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc

xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt

để tổng các số trên đó chia hết cho 5.

§16. Ơn tập chương I 
Thí dụ 24 :Để tìm hàng chi của một năm ta dùng công thức :

hàng CHI = (Năm – 4) : 12 +1
Rồi đối chiếu kết quả với bảng sau:

Hàng
chi

Tí Sửu Dần Mão Thìn Tị Ngọ Mùi Thân Dậu Tuất Hợi

Mã số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Chẳng hạn năm 2005 có hàng CHI là :

Dư của 2005 4

−

 

 

  + 1 = 9 + 1 = 10 → Dậu

Năm 2010 kỉ niệm 1000 năm Thăng Long – Hà Nội, năm đó là năm nào theo hệ đếm

CAN CHI ?

CANnăm = 10 – 3 = 7 => Canh ( Xem thí dụ 11)

CHInăm = Dư của 2010 4

−

 

 

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Vậy năm 2010 là năm Canh Dần

Thí dụ 25 : Chứng minh rằng tích các ước của 50 là 503
Giải :

50 = 2 . 2

Số 50 có 6 ước là 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 50.

Tích các ước của 50 là 1 . 2 . 5 . 10 . 25 . 50 = (1 . 50) . (2 . 25) . (5 . 10) = 50 . 50 . 50 =
3

BÀI TẬP

166. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lí nhất :

23sohang 19sohang

19 19 ... 19 77 77 ... 77 + + + + + + + ( 23 số hạng 19; 19 số hạng 17)
b) 1000 ! . (456 . 789789 – 789 . 456456)

167. Cho biểu thức 252 – 84 : 21 + 7
a) Tính giá trị của biểu thức đó.

b) Nếu dùng thêm dấu ngoặc thì có thể được những giá trị nào khác ?

168. Tìm x ∈ N biết.

a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 + … + x = 210

169. Chiến thắng Đống Đa vào mùa xuân năm 1789. Trong hệ đếm CAN CHI, năm đó là năm

nào?

170. Chứng minh :
a) 10n+53  9 
b) 4343−1717 10

c) 555…5 (2n chữ số 5) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 125.

171. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5, chia nó cho 19 thì dư 12.

172. Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là thứ bẩy.

a) Hỏi ngày 1 tháng 3; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?

b) Ngày 1 tháng 2 năm 2004 là ngày thứ mấy?

173. Cho A= + + + +4 43 43 ... 423+4 .24 Chứng minh rằng A 20;A 21;A 420  

174. Cho n = 29k với k ∈ N. Với giá trị nào của k thì n là:
a) Số nguyên tố.

b) Hợp số.

c) Không phải số nguyên tố cũng khơng phải hợp số.

175. Tìm x, y ∈N biết (x + 1)(2y – 5) = 143

176*. Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số nguyên tố khác
nhau là P1 và

P . Biết a3 có tất cả 40 ước hỏi a2có bao nhiêu ước?

177. Tìm a ∈N biết 355 chia a dư 13 và 836 chia a hì dư 8.

178*. Một số tự nhiên chia 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia 91 thì dư bao nhiêu?

179. Cho các số 12; 18; 27

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Chương II. SỐ NGUYÊN

§1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z

Kiến thức cơ bản

1. Tập hợp

{

...; 3; 2; 1;0;1; 2;3;...− − −

}

gồm có số 0, các số 1; 2; 3 …(số nguyên dương) và
các số -1; -2; -3; … (số nguyên âm) được gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu Z.

2. Biểu diễn trên trục số.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a.

3. Số đối.

Trên trục số, hai điểm 3 và –3 cách đều gốc 0. Ta nói 3 và –3 là hai số đối nhau. Số đối của a
kí hiệu là –a.

4. Thứ tự trong Z.

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì a a. Từ đó suy ra:
Số nguyên âm < 0 < số nguyên dương.

5. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, kí hiệu là a
Nếu a = 0 thì a = 0

Nếu a > 0 thì a = a
Nếu a < 0 thì a = -a

Nhận xét:

- Giá trị tuyệt đối của bất kì số nguyên nào cũng lớn hơn hoặc bằng 0, nghĩa là với a∈Z thì a

là một số tự nhiên.

- Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Nâng cao:

1. Với a, b ∈ Z bao giờ cũng có một và chỉ một trong ba truong hợp a = b hoặc a > b
hoặc a < b.

2. Với a, b, c ∈ Z nếu a < b; b < c thì a > c (tính chất bắc cầu)
3. Kí hiệu “hoặc”; kí hiệu “và”

A
B




 nghĩa là A hoặc B

A
B




 nghĩa là A và B

Chẳng hạn x > -3 hoặc x < 3 viết là x 3

x 3

> −

 <


x > -5 và x < 5 viết là -5 < x < 5 hay x 5

x 5

> −

 <

Thí dụ 26:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Nếu a < b thì a < b
Giải:

Mệnh để nếu a < b thì a < b là mệnh đề sai.
Chẳng hạn: Với a = -7 ; b = 1

Thì a =7; b =1; 7 > 1
Rõ ràng a < b nhưng khơng có a < b

Nhận xét:Để chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai ta chỉ cần đưa ra một thí dụ cụ thể mà mệnh

đề sai. Một thí dụ cụ thể được gọi là một phần thí dụ.

Thí dụ 27: Tìm x∈ Z biết:
a) x =4

b) x <4
c) x >4
Giải:

⇔x > 4 hoặc x < -4

x
x

>

⇔  < −



Trong trường hợp tổng quát, ta cũng chứng minh được rằng :
Vớia ∈ Z; k ∈ N* thì a k a k

a k

>

> ⇔  < −



BÀI TẬP

180. Kí hiệu Z+ là tập hợp các số nguyên dương; Z- là tập hợp các số nguyên âm. Tìm :

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

181. Các suy luận sau đúng hay sai ?

a) a∈ ⇒ ∈N a Z b) a∈ ⇒ ∈Z a N c) a∉Z+⇒ ∈a Z−

182. Trên trục số, điểm A cách gốc 2 đơn vị về bên trái; điểm B cách điểm A là 3 đơn vị . Hỏi
:

a) Điểm A biểu diễn số nguyên nào ?
b) Điểm B biểu diễn số nguyên nào ?

Tìm A∩B; B∩C; C∩A

184. Viết tập hợp 3 số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.

185. Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số có phải là hai
số ngun liền nhau khơng ?

186. Tìm các giá trị thích hợp của a và b :

a) 00a > −111 b) −a99> −600
c) −cb3> −cba d) −cab>c85 .

187. Cho 3 số nguyên a, b và 0. Biết a là một số âm và a < b. Hãy sắp xếp 3 số đó theo thứ tự

tăng dần.

188. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ?

a) Nếu a = b thì a = b

b) Nếu a = b thì a = b
c) Nếu a < b thì a < b .

189 Tìm x biết :

a) x + = −5 37 b) −6 .x = 54.

190. Tìm x, y, z ∈ Z biết x + y + z =0.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

a) x <10 b) x >21 c) x > −3 d) x < −1

§ 2: Phép cộng hai số nguyên

Tính chất phép cộng hai số nguyên 
Kiến thức cơ bản

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu : Ta cộng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt trước kết quả dấu

chung

2. Cộng hai số nguyên khác dấu:

- Cộng hai số nguyên đối nhau : Tổng bằng 0

- Cộng hai số nguyên khác dấu khơng đối nhau : Ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối và đặt

trước kết quả dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

3. Tính chất của phép cộng các số nguyên

- Tính chất giao hốn : Với mọi a, b ∈ Z thì a + b = b + a

- Tính chất kết hợp : Với mọi a, b, c ∈ Z thì a + (b + c) = (a + b) + c
- Cộng với số 0 : Với mọi a ∈ Z thì a + 0 = a

- Cộng với số đối : Nếu a và b đối nhau thì a + b = 0
Ngược lại , nếu a + b = 0 thì a = -b; b = -a

Chú ý: Phép cộng nhiều số nguyên có các tính chất giao hốn , kết hợp tổng qt.

Nâng cao

1. Người ta thường viết ( 0)

( 0)

a a
a

a a

≥

= − <



2. Ta chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên thì nhỏ hơn hoăc

bằng tổng các giá trị tuyệt đối của chúng :
Với mọi a, b ∈ Z thì a+ ≤b a + b

(dấu = xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0 hoặc khi b = 0).

Thí dụ 28 : Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149

Giải:

Cách 1: S = [(-351) + (-74) + (-126)] + (51 + 149)

S = -551 + 200 = -351

Cách 2: S = [(-351) + 51] + [ (-74) + (-126)] + 149

S = (-300) + (-200) + 149 = -500 + 149 = -351

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

- Trong cách giải thứ nhất để cộng nhiều số ta cộng số âm với số âm, số dương với số
dương rồi cộng hai kết quả lại . Cách này có ưu điểm là đỡ nhầm dấu.

- Trong cách giải thứ hai, ta kết hợp từng nhóm có tổng là một số trịn trăm . Cách giải

này có ưu điểm là có thể nhẩm ra kết quả.

BÀI TẬP

192. Cho x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ...; 10}
y ∈ { -1; 0; 1; 2; ...; 5}.

Biết x + y = 3, tìm x và y

193. Tính nhanh

a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 246 ;

b) -359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) ;

c) -69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78.

194. Tính tổng các số nguyên x biết :
a) − ≤ ≤17 x 18;

b) x ≤25.

195. Cho S1 = 1 + (-3) + 5 + (-7) + ... + 17 ;
S2 = -2 + 4 + (-6) + 8 + ... + (-18)

Tính S1 + S2 .

196. Cho x và y là những số ngun có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
tổng x + y.

197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng

198. Cho x =5 ; y =11 . Tính x + y.

199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tính x + y biết x + y =10.

200. Tính tổng:

a) S1 = a+ a với a ∈ Z ;

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

201. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm. Giải

thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm ?Bài tốn cịn đúng khơng nếu thay 18 số bởi

19 số .

§ 3 . Phép trừ hai số nguyên

Kiến thức cơ bản

Hiệu hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b.
a – b = a + (-b)

Nâng cao : Ta chứng minh được với a, b ∈ Z thì :
1) a > b ⇔ a – b > 0: a < b ⇔ a – b < 0

2) Giá trị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt
đối của chúng

a b− ≥ a −b

(Dấu = khi và chỉ khi a≥ ≥b 0 hoặc a≤ ≤b 0

Thí dụ 29:

Chứng minh rằng với a, b ∈ Z thì :
a) a – b và b – a là hai số đối nhau
b) a b− = −b a

Giải:

a) Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0
Ta có (a – b) + (b – a) = [a + (-b)] + [b + (-a)]

= [a + (-a)] + [b + (-b)] = 0

b) a – b và b – a là hai số đối nhau nên có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Vậy a b− = −b a

Nhận xét: Do a – b và b – a là hai số đối nhau nên nếu biết hiệu a – b thì khơng cần làm phép
trừ ta cũng tìm được hiệu b – a một cách nhanh chóng .

Chẳng hạn 10 – 1 = 9 thế thì 1- 10 = -9

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

202. Cho a và b các giá trị trong bảng sau . Tìm hiệu a – b. Khơng cần thực hiện phép tính cho
biết b – a

a b a – b b - a

77 55

-29 1

-13 -6

0 -19

203. Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1- 2 – 3 – 4

204. Cho x =7; y =20với x, y ∈ Z. Tính x - y

205. Cho x ≤3; y ≤5với x, y ∈ Z. Biết x – y = 2, tìm x và y.

206. Tìm x ∈ Z biết
a) x+ =8 6

b) x− =a a với a ∈ Z

207. Tìm x ∈ Z biết 1< − <x 2 4.

208. Tìm x , y∈ Z biết x+45 40− + +y 10 11− ≤0.

209*. Cho x < y < 0 và x − y =100, tính x – y.

210. Cho x ∈ {-2; -1; 0; 1; ... ; 11}

y ∈ {-89; -88; -87; ... ; -1; 0; 1}

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hiệu x – y.

211. Cho x, y ∈ Z

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - x+5 có GTLN; tìm GTLN đó.

b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = y− +3 50 có GTNN; tìm GTNN đó.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

§4. Quy tắc “Chuyển vế”. Quy tắc “Dấu ngoặc”

Kiến thức cơ bản:

1. Tính chất của đẳng thức
.

a= ⇔ + = +b a c b c

2. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức

ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

3. Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước ta phải đổi dấu tất cả các

số hạng trong dấu ngoặc” dấu “+” thành dấu “–”; dấu “–” thành dấu “+”.

Nâng cao: Tính chất của đẳng thức và quy tắc “chuyển vế” vẫn đúng đối với bất đẳng thức.

a b a c b c

a b c m a b m c

> ⇔ + > +

− + > ⇔ − > −
Thí dụ 30:

Cho A= − + +a b c 1; B= +a 2với a, b, c∈Z.

Biết A = B, chứng minh rằng b và c là hai số nguyên liền nhau.

Giải: Vì A = B nên a− + + = +b c 1 a 2

⇔ − + + =b c 1 2 (bỏ a ở hai vế)

c= + −b 2 1 (quy tắc chuyển vế)

c= +b 1.

Vậy c là số liền sau của b.

Thí dụ 31: Cho M= − +( a b)−(b+ −c a)+ −(c a)

Trong đó b, c ∈ Z còn a là một số nguyên âm.

Chứng minh rằng biểu thức M luôn luôn dương.

Giải:

M a b b c a c a

M ( a a) ( b b) ( c c) a

M a

= − + − − + + −

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Vì a là số nguyên âm nên – a là số nguyên dương.

Vậy M luôn luôn dương.

Nhận xét:

- Quy tắc “chuyển vế” giúp ta đỡ phải nhớ cách tính thành phần của một tổng hay hiệu.

- Quy tắc “dấu ngoặc” giúp ta đỡ phải nhớ các tính chất cộng, trừ với một tổng hay một

hiệu.

BÀI TẬP

212. Tính bằng cách hợp lí nhất.
a) −2003+ − +( 21 75+2003).

b) 1152−(374 1152)+ + − +( 65 374).

213.Đặt dấu ngoặc một cách thích hợp để tính các tổng đại số sau:

a) 942 2567 2563 1941.− + −

b) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −

214. Tìm x biết:

a) 461 (x+ −45)=387

b) 11 (53− +x)=97

c) − +(x 84)+213= −16.
215. Chứng minh đẳng thức:

( a b c) (b c 1) (b c 6) (7 a b) x

− − + + + + − = − + − − + +

216. Cho A= + −a b 5 B= − − +b c 1

C= − −b c 4 D = −b a

Chứng minh rằng A B+ = +C D

217. Cho a > b ; tính S biết:

S= − − − + − + +(a b c) ( c b a)−(a+b)

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

219. Viết 5 số nguyên vào đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của hai số tại
hai đỉnh liền nhau luôn bằng – 6. Tìm 5 số ngun đó.

§5. Phép nhân hai số nguyên

Kiến thức cơ bản:

1. Quy tắc nhân

∗ a . 0= 0 . a =0

∗ Nếu a, b cùng dấu thì a . b= a . b

∗ Nếu a, b khác dấu thì a . b= −( a . b )
Chú ý: Nếu a . b 0= thì hoặc a=0 hoặc b 0= .
Nếu đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu.

Nếu đổi dấu hai thừa số thì tích khơng đổi.
2. Tính chất của phép nhân:

Các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với

phép cộng các số tự nhiên đều có thể mở rộng cho phép nhân hai số nguyên.

Chú ý:

• Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép trừ.
a (b− =c) ab−ac

• Phép nhân nhiều số có tính chất giao hốn, kết hợp tổng qt.

• Nếu số thừa số âm chẵn thì mang dấu “+”. Nếu số thừa số âm lẻ thì tích mang dấu “–”.

Nâng cao:

1. Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương;

Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm.
2. a≥ ⇔b ac≥bc nếu c>0

a≥ ⇔b ac≤bc nếu c<0

3. Giá trị tuyệt đối của một tích các giá trị tuyệt đối, nghĩa là a . b = a . b
4. Với a∈Zthì 2

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Thí dụ 32:

Tìm a, b∈Z biết a . b 24= và a+ = −b 10

Giải: Ta thấy ab 0> nên 2 số a và b cùng dấu
a+ <b 0 nên 2 số a và b cùng âm.

Nhận xét: Trong bài tập trên ta có thể biểu diễn số –10 dưới dạng tổng của hai số nguyên

âm. Tất cả có 9 trường hợp đó, có một trường hợp cho đáp số như trên. Cách này chưa

hay vì phải xét nhiều trường hợp hơn.

Thí dụ 33:

Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích.

Giải:

Gọi hai số nguyên đó là x, y.
Theo đầu bài ta có:

xy= +x y

⇔ xy− − =x y 0
⇔ xy− − + =x y 1 1
⇔ x(y 1)− −(y 1)− =1

(y 1)(x 1) 1 y 1 x 1 1 x 2; y 2

y 1 x 1 1 x 0; y 0

− = − = = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇔ 

− = − = − = =

 

BÀI TẬP

220. Tìm x∈Z biết:
a) x(x+3)=0

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

c) (x 1)(x− 2+ =1) 0

221. Thu gọn các biểu thức sau:
a) 7x 19x 6x− +

b) ab ab.− −

222. Cho A=(5m2−8m2−9m )( n2 − +3 4n )3

Với giá trị nào của m và n thì A≥0.

223. Tìm x biết:

a) −12(x− +5) 7(3−x)=5

b) 30(x+2)−6(x− −5) 24x=100
224. Tìm x∈Z biết:

a) 2x− =5 13

b) 7x+ =3 66

c) 5x− ≤2 13.

225. Tìm x, y∈Z biết:
a) (x−3)(2y 1)+ =7

b) (2x 1)(3y+ −2)= −55
226. Tìm x∈Z sao cho

(x−7)(x+3)<0

227. Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí.
a) 125. ( 61). ( 2) . ( 1) (n− − 3 − 2n ∈N )*

136. ( 47) 36. 47

−

+

( 48). 72 36. ( 304).

−

+

−

228. Tìm x∈Z biết:

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

b) (x− +3) (x−2)+(x 1)− + +... 10 11 11+ =
229. Cho m và n là các số nguyên dương;

A 2 4 6 ... 2m;

+ + + +

= B 2 4 6 ... 2n

+ + + +
=

Biết A < B, hãy so sánh m và n.

230*. Cho 16 số ngun. Tích của 3 số bất kì ln là một số âm. Chứng minh rằng tích
của 16 số đó là một số dương.

231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a)

(a b) (a b)

+

(a b) (a b)

−

(a b) (a b)

+

−

232. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương của số ở giữa hơn

tích của hai số kia đúng 1 đơn vị.

233. Cho

a

= −

20 ; b c

− = −

5

; hãy tìm A biết

A2 =b (a− −c) c (a−b).

234. Biến đổi tổng thành tích:
a)

ab ac ad

− +

b) ac+ad−bc−bd.

235. Cho

a, b, c

∈

Z

. Biết ab−ac+bc−c2 = −1.

Chứng minh rằng hai số a và b đối nhau.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

§6. Bội và ước của một số nguyên

Kiến thức cơ bản:

1. Định nghĩa: Cho a, b∈Z và b≠0. Nếu có một số nguyên q sao cho

a

=

bq

thì ta nói

a chia hết cho b. Ta cịn nói a là bội của b và b là ước của a. Ta cũng nói a chia cho b

được q và viết

a : b

=

q

.
2. Tính chất:

a) a b và b c thì a c
b)

a b



⇒

a. m c (m



∈

Z)

c) a c và b c ⇒(a±b) c.
Nâng cao:

1. Các tính chất khác về chia hết (hay khơng chia hết) đối với số tự nhiên vẫn đúng đối

với số nguyên.

2. Nếu a là bội của b thì –a cũng là bội của b. Nếu b là ước của a thì –b cũng là ước của a
do đó nếu một số nguyên m có k ước tự nhiên thì m có thêm k ước âm (đó là số đối của
các ước tự nhiên).

3. Chú ý:

- Trong tập hơp Z, một số chia 3 dư 1; dư 2 được biểu diễn bởi biểu thức

3k 1 ; 3k

+

2

hoặc viết gộp lại là

3k 1

±

(với k∈Z).

Cũng như vậy, một số lẻ được viết là

2k 1

+

hoặc

2k 1

−

(với k∈Z).

Thí dụ 34:

Tìm tất cả các ước của –24.

Giải:

Vì Ư (–24) = Ư(24) nên chỉ cần tìm Ư(24). Các ước tự nhiên của 24 là 1; 2; 3; 4; 6; 8;
12; 24.

Thêm các ước đối của chúng ta được:

Ư (–24) = Ư(24) = = ± ±

{

1 ; 2; ± ±3; 4; ±6; ± ±8; 12; ±24

}

Nhận xét: Để tìm tất cả các ước của một số nguyên âm ta chỉ cần tìm tất cả các ước của

số đối của số ngun âm đó. Trước tiên, tìm các ước tự nhiên rồi thêm các ước đối của

chúng.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Cho a và b là hai số nguyên khác 0. Biết

a b



và

b a



, chứng minh rằng a= ±b.

Giải:

1 1

a b



⇒ =

a

b . q (q

∈

Z)

2 2

b a



⇒ =

b

a . q (q

∈

Z)

Vậy

a

=

b . q

1

=

(aq ) . q

2 1

=

a . (q q ).

1 2

Vì a≠0 nên ta có

1 q q

=

1 2, suy ra

q

1

=

q

2

=

1

hoặc

q

1

=

q

2

= −

1

do đó a b= hoặc
a = −b

Hay a = ±b.

BÀI TẬP

237. Các số sau có bao nhiêu ước?

a) 54 ; b) –196.

238. Chứng minh rằng nếu

a b



thì a  b

239. Với n Z∈ , các số sau là chẵn hay lẻ?

A

= −

(n 4) (n 15)

−

B=n2 − −n 1.

240. Cho

a, b, x, y

∈

Z

trong đó x ; y không đối nhau.

Chứng minh rằng nếu

ax by x

−



+

y

thì

ay bx x

−



+

y.

241. Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x 4y− = −21.

242. Cho 2 3 98 99

S= − +1 3 3 −3 + +... 3 −3 .

a) Chứng minh rằng S là bội của –20

b) Tính S, từ đó suy ra 3100chia cho 4 dư 1.

243. Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n – 2 là bội của 11.

244. Tìm n∈Z để cho.
a)

4n 5 n

−



</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

245. Tìm n∈Z sao cho:

n 1− là bội của n+5và n+5 là bội của n 1− .

246*. Tìm n∈Z để:

a) 2

n −7 là bội của n 3+

b) n 3+ là bội của 2

n −7.

§7. Ơn tập chương II 
Thí dụ 36:

Tìm x, y, z∈Z biết:

x− = −y 9 ; y z 10− = ; z+ −x 11.

Giải: (x−y)+(y− +z) (z+x)= − + −9 ( 10) 11+

2x= −8

x= −4

Vì x− = −y 9nên y= + = − + =x 9 4 9 5.
Vì x+ =z 11 nên z=11 x− =11 ( 4)− − =15.

Thí dụ 37: Cho x∈Z, hãy so sánh x2 và x3.

Giải:

Với x<0 thì x2 >0; x3 <0 nên 2 3

x >x .

Với x=0 hoặc x 1= thì 2 3

x =x .

Với x 1> thì x2 −x3 =x (1 x)2 − <0 nên x2 <x .3

Nhận xét:

1. Trong cách giải trên ta đã phân chia tập hợp các số nguyên thành 3 tập hợp con của nó

là tập hợp các số nguyên âm; tập hợp các số 0 và 1; tập hợp các số nguyên lớn hơn 1.

Cách phân chia như vậy đảm bảo được u cầu khơng bỏ sót phần tử nào cũng như
khơng có phần tử nào thuộc hai tập hợp.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

8 số hạng 8 số hạng

Nếu A B− >0 thì A>B; nếu A B− =0 thì A=B ; Nếu A B− <0 thì A<B.

BÀI TẬP

247. Tính giá trị của biểu thức A với x= −43 ; y=17.

A= −125 (x+ + + − − − −x ... x y y ... y)

248. Chi biểu thức

B 1

=

 

10

100

. Hãy điền vào các ô trống dấu của các phép tính

cộng, trừ, nhân, chia và thêm dấu ngoặc (nếu cần) để B là số nguyên lớn nhất; số nguyên

nhỏ nhất.

249. Tìm x∈Zbiết 2 x 5≤ ≤

250. Tìm x∈Z
a) − + =3x 5 41

b) 52− x =80

c) 7x 1+ =20.

251. Cho A=

{

6 ; 7 ; 8 ; 9

}

; B= − −

{

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 8−

}

a) Có bao nhiêu hiệu dạng a b− với

a

∈

A ; b B

∈

b) Có bao nhiêu hiệu chia hết cho 5.

c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm?

252. Số ( 3)− 20 +1 có phải là tích của hai số ngun liên tiếp khơng?

253. Tìm x∈Zbiết

(x 5) (3x 12)

+

−

>

0.

254. Tìm x∈Zbiết 3 3 3 3 3

(x +5) (x +10) (x +10) (x +15) (x +30)<0.

255. Tìm x, y∈Z biết

(x 7) (xy 1)

−

+ =

9.

256. Cho

a, b, c, d

∈

Z

. Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a b c d.+ = +

Chứng minh rằng a b.=

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

ĐÁP SỐ 
PHẦN SỐ HỌC

Chương 1: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN

1. a) A=

{

1; 2; 4;5;m

}

; B=

{

m n p, , ,5

}

b) 4 ∈A;4∉B; m∈A; m∈ B

2. a) Số hạng đầu là 1; số hạng sau hơn số hạng trước 4 đơn vị.
b) B=

{

1;5;9;13;17; 21; 25; 29

b;1; 2 ;

}

{

b;1;3 ;

}

} {

11. a)

{

12; 24;36; 48

}

{

40;51;62;73;84;95

}

{

12;13;....;19; 23;....; 29;34;...;39; 45;..; 49;57;58;59;67;68;69;78;79

}

Tập hợp này có tất cả 8 7 6 5 4 3 2 1 36+ + + + + + + = phần tử

12. a) 20
b) n

c) Xét hai trường hợp :

- n là số chẵn; lúc đó số số chẵn nhỏ hơn n là
2

n

- n là số lẻ, lúc đó số số chẵn nhỏ hơn n là 1

n+

13. a) Có 9 số là 1111; 2222; …; 9999
b) Có 9999 1000 1 9000− + = ( số)
c) Có 99....9 - 100...0 1+ = 9 000...0

n chữ số 9 n- 1 chữ số 0 n-1 chữ số 0

14. a) 60 lần

b) Hàng đơn vị thay đổi 60 lần; hàng chục thay đổi 6 lần.
vậy tổng cộng có 60+ 6= 66 lần thay đổi chữ số.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Nhóm II: 1+2+3+10+11+12= 39

b) Tổng các chữ số của cà 12 số là 51, đó là một số lẻ; không thể chia làm 2 phần bằng nhau

c) Tổng các chữ số của nhóm I là 51:3=17, tổng các chữ số của nhóm II là 34. Nhóm I gồm 2

số 8 và 9; nhóm II gồm 10 số: 1; 2; 3; 4;5;6;7; 10; 11; 12.

16. Có 3 cách chọn chữ số hàng tram ( hoặc a, hoặc b hoặc c). Sau khi chọn chữ số hàng tram

thì ta chỉ cịn hai cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng tram thì chỉ cịn hai

cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng tram và chữ số hàng chục rồi, chỉ còn

một cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy có tất cả: 3.2.1= 6 số. Đó là : abc acb bac bca cab cba; ; ; ; ; .

17. Chữ số 0 khơng thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, ba cách chọn chữ

số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chục, ba cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn
chữ số hàng chục và 1 cách chọn chữ số hàng đợn vị. Vậy có tất cả: 3.3.2.1 =18 số

18. Chỉ dẫn: - Trong trường hợp khơng có chữ số 0 thì có : 5.4.3.2.1 120= số
Trường hợp có chữ số 0 thì có: 4.4.3.2.1 96= ( số)

19. Từ trang 3 đến trang 9 có 9 3 1 7− + = trang có 1 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 99 10 1 90− + = trang có 2 chữ số.
Từ trang 100 đến trang 132 có 132 100 1 33− + = trang có 3 chữ số
Số chữ số cần dùng là: 7.1 90.2 33.3 286+ + = chữ số

20. Dùng 1 que diêm ghi được 1 số: I

Dùng 2 que diêm ghi được 4 số: II, V, X, L

Dùng 3 que diêm ghi được 7 số: III; IV; IX; LI; C

Dùng 4 que diêm ghi được 10 số: VII. XII, LII, CI; M; XV; XX; XL;LV; LX
Vậy ghi được tất cả 1 4 7 10 22+ + + = ( số)

21.a) M M I ( 2001) ; b) X X VIII ( 28)

22. a) Đúng vì 12 5 7− =

b) XI −IV =VII( 11 4− =7)

hoặc XII−VI =VI ( 12 6− =6)

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

176

ab
ba

Từ cột hàng chục ta thấy a+ >b 10, vậy từ cột hàng đơn vị ta suy ra: b+ =a 16.
Vì a≠b nên a=9; b=7 hoặc a=7; b=9

Hai số cần tìm là 97 và 79.

24. Ta đặt phép tính cộng dưới dạng thực hành. Để tồng là 1 số có 3 chữ số thì
a) a+ b< 10

2b< 10; b< 5

25. Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục của 5 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt

chọn 9,8,7,6,5. Năm chữ số còn lại sẽ là các chữ số hàng đơn vị.
Ta có: 90 81 72 63 54+ + + + =360.

Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 370. Các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chon nhau 1 cách hợp

lý.

b) 180

26.

a) Lập luận tương tự bài 16 ta được 4.3.2.1 4!= số

b) Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có tất cả: 4.3 12=
số.

27. Giả sử có 5 số tự nhiên có tích bằng 2003; tich là một số lẻ nên cả 5 số đều lẻ, khi đó tổng

của chúng là 1 số lẻ, khơng thể có tận cùng bằng 8. Vậy không tồn tại 5 số tự nhiên nào như

vậy.

28.

a) (38 62) (41 159) 117 100 200 117 417

b) (86 914) (968 3032) 73 1000 4000 73 5073

) 341.(67 16) 659.83 83.(341 659) 83000

d) 42.53 47.(156 114) 42.(53 47) 4200

c

+ + + + = + + =

+ + = + =

+ − = + =

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

30. a) A=199.(200 1)+ =199.200 199+ (1)

(199 1).200 199.200 200

B= + = + (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra, A<B

b) C =(34 1).53 18+ − =34.53 53 18+ − =34.53 35+ =D

31.

a) 12=3.4

b) 1122 1100= +22 11.(1000= +2)=111.1002 111.3.334= =333.334

32. abcabc=abc.1000+abc=1001.abc=7.143.abc

Vậy .a bcd abc. =7.143.abc suy ra a=7;b=1;c=4;d =3
Thử lại 7.143.714 714714=

33. Vì a>2 và b>2 nên a= +2 m b; = +2 n (m, n∈*)

(2 ) (2 ) 4

a+ =b +m + +n = + +m n (1)

. (2 ).(2 ) (2 ).(2 n) 4 2 m 2 n mn 4 2.(m n) mn

a b= +m +n = +m + = + + + = + + + (2)

Vì m n, ∈* nên 2(m+n) > +m n và m n. >0
Do đó từ (1) và (2) suy ra a+ <b ab

34. Số bị trừ + ( số trừ + hiệu) = số bị trừ + số trừ = 2. Số bị trừ 2

35. Vì x− >y 30 nên x>30 suy ra x=52
Vì x− >y 30 nên 52− >y 30 suy ra y<22
Vì x− <y 40 nên 52− <y 40 suy ra y>12

Từ (1) và (2) suy ra 12 < y <22. Trong các phần tử của M có 13 và 21 thỏa mãn điều kiện đó,
vậy y∈

{

12; 21

}

Tóm lại x=52;y=13 hoặc x=52;y=13.

36. a) x=444; b) y= 16 c) y= 2024

37. a) 64 b) 0 c) 0

38. B có GTNN khi và chỉ khi 1003: (999−x) có GTNN

999 x

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

39. Gọi số dư là r, ta có a = mq1+r; b = m.q2+r
Vậy a b− =m q( 1−q2) m

40. Gọi số bị chia là, số chia, thương và số dư lần lượt là a,b, q, r.

Vậy a=b q. +r b( ≠0;r<b).

. 13.11

b q= − =a r

Vì b>12 nên ta chọn b= 143; q=1 hoặc b= 13; q=11

41. Ta phải tìm x∈ sao cho x= 12.q+q hay x= 13 q ( với q<12)
Lần lượt cho q= 0;1;2;…;11; ta tìm được x.

{

0;13; 26;....;143

}

C =

42. Gọi số bị chia là b, theo đầu bài ta có :

1 1

2 1

129 10 . 119 119.1 17.7

61 . 10 . 51 51.1 17.3

bq b q

b q b q

= + ⇒ = = =

Vì b>10 vàq1≠q2 nên ta chọn được b=17

43. 99 trang đầu cần dùng 9.1+ 90.2= 189 chữ số

999 trang đầu cần dùng 9.1+ 90.2+ 900.3=2889 chữ số
Vì 189< 600< 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số.
Số chữ số cần dùng để đáng các trang có 3 chữ số là
600 – 1889=411 ( chữ số)

Số trang có 3 chữ số là : 411: 3 137= ( trang )
Số trang của quyển sách là 99 137 236+ = ( trang)

44. Vì 189< 659< 2889 nên ta đã viết đến các số có 3 chữ số
Số chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số là 659 – 189 = 470
Số số có 3 chữ số là 470 : 3= 156 dư 2

Điều đó có nghĩa là người đó đã viết được 156 số có 3 chữ số và viết được đến chữ số thứ 2
của số tiếp theo.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

45. a) Số số hạng của tổng là: 32
b) Gọi số hangj thứ 22 là x, ta có:

7
1 22
3
x−
+ =

70
x=

c) S = +7 10 .. 97 100+ + +
100 97 .. 10 7

S = + + + +

2S =(7 100)+ +(10 97) ... (100 7)+ + + + với 32 nhóm
2S =(7 100).32+

(7 100).32
2

S = +

Nhận xét:

Dãy số 7; 10; …; 97;100 (1) có số hạng sau hơn số hạng liền trước cùng 1 đơn vị được gọi là

dãy cộng.

- Số số hạng của dãy cộng kí hiệu là n

- Số hạng thứ nhất , thứ hai,… thứ n của dãy (1) kí hiệu là u u1; 2;...; un

- Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp chính là hiệu của chúng , kí hiệu là d

- Tổng của n số hạng đầu tiên kí hiệu là Sn. Ta có cơng thức tổng quasrt như sau

1 1
n
u u
n
d
−

= + un = + −u1 (n 1).d

( ).

n
n

u u n

S = +

46. a) A=

{

3;10;...;143;150

}

b) Dễ thấydãy số 3;10; …; 159 là một dãy cộng với u1=3; d =7

số hạng của dãy (1) là n un u1 1 22

d
−

= + =

Tổng các số hạng của dãy (1) là 1683

47. 49

48. 24 =(4 )2 =(16); (99 )0 = =1n 1
Số nhỏ nhất là 099 =0

Số lớn nhất là 34 =81

49. Đẳng thức trên sai vì 152- 12 ≠ 100
Sửa lại : 152−53 =102

50.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

c) 13+23+ +33 43 =100 10= 2

51. a) 172−152 =64=82 =43 =26
b) 43− +23 52 =81 9= 2 =34

52. 729=272 =93 =36

53. a) 2 .85 4 =2 .(2 )5 3 4 =217
b) 25 .1256 3 =(5 ) .(5 )2 6 3 3 =521
c) 625 : 255 7 =(5 ) 5 : (5 )4 2 7 =56
d) 12 .33 3 =

(

12.3

)

3=363=

( )

62 3 =66

54. 31 3

6 =6 =216; 323 =38 =6561;

4 4

3 3 )

2 ( 2

1 1 1

7 =7 =7 =7

0
1

0 0

2 2 1

2003 =2003 =2003 =2003

Ta có nhận xét:

Số 1 dù nâng lên lũy thừa nào cũng bằng 1, vì vậy trong một lũy thừa tầng, nếu ở một tầng
nào đó có

số mũ 1 thì tất cả các số tầng trên đó có thể bỏ đi.

55. a) 2x −15 17;= 2x =32; 2x =2 ;5 x = 5.

(

7x−11

)

3 =32.25 200 1000+ =

(

7x−11

)

3=103; 7x− =11 10; x = 3

56.a) Xét các trường hợp x = 0; x = 1; x > 1

Đáp số x = 1
b) x = 0 hoặc x = 1
c) x = 8

57.

29 2 15 29 30 29

2 28 2 28 28

11.3 (3 ) 11.3 3 3 (11 3)

2 .3 2 .3 4.3

A= − = − = − =

58. a) 2711 =(3 )3 11 =3 ; 8133 8 =(3 )4 8 =332
Vì 333 >332 nên 2711 >818

b) 6255 =(5 )4 5 =5 ;20 1257 =(5 )3 7 =521
Vì 521 >520 nên 1277 >6255

c) 536 =(5 )3 12 =12512; 1124 =(11 )2 12 =12112
Vì 12512 >12112 nên 536 >1124

d) 32 =9; 23 =8 Ta có 9 > 8

nên 32 >23 suy ra (3 )2 n >(2 )3 n (vì n∈N*)
hay 32n >23n

59. a) 523 =5.522 <6.522 Vậy 6.522 >523

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

27 .495 8=(3 ) .(7 )3 5 2 8 =3 .715 16
Vì 3 .715 16 >3 .715 15 nên 27 .495 8 >2115

60. a) 19920 <20020 =(8.25)20 =(2 .5 )3 2 20 =2 .560 40
200315 >200015 =(16.125)15 =(2 .5 )4 3 15=2 .560 45
Vì 2 .560 45 >2 .560 40 nên 200315 >19920

b) 399 <340 =(3 )4 10 =8110
1121 >1120 =(11 )2 10 =12110
Vì 12110 >8110 nên 1121 >399

61. A=7245 −7244 =72 (72 1)44 − =72 .7144 (1)
B=7244 −7243 =72 (72 1)43 − =72 .7143 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A > B

62. a) (2 )4 x <(2 ) ; 27 4 4x <228 suy ra 4x < 28 hay x < 7; x∈{0; 1; 2;... 6}
b) 53x+3≤10 : 218 18

53x+3≤518 suy ra 3x+ ≤3 18; x≤5. Vậy x∈{0; 1; 2; 3; 4; 5}

63. S = + +1 2 22+23++29

2.S = +2 22+23+24++29+210

2S− =S 210 −1 hay S =210 − <1 210 =2 .22 8 =4.28 <5.28

64. m=99 =9.98<10.98

65. Trường hợp khơng dùng lũy thừa: Số lớn nhất có thể viết được là 321.

Trường hợp có dùng lũy thừa:

Ta bỏ qua các lũy thừa có cơ số hoặc số mũ là 1; bỏ qua các lũy thừa tầng vì giá trị của các
số này quá

nhỏ so với 321.

- Xét các lũy thừa mà số mũ có 1 chữ số, được 4 số là 13 ; 31 ; 122 2 3 và 21 . 3

Chỉ cần so sánh 21 v3 ới 31 . Ta tính trực tiếp được 2 213 =9261; 312 =961. Vậy 213 >312
- Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số, được 4 số là 2 ; 2 ; 3 ; 3 13 31 12 21

Chỉ cần so sánh 3 v21 ới 31

2 .

Ta có 321 =3.320 =3.(3 )2 10 =3.910 (1)

231=2.230 =2.(2 )3 10 =2.810. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 321 >231

Bây giờ ta so sánh 3 v21 ới 2 31
321 >39 =(3 )3 3 =273>213
Vậy số lớn nhất là số 3 21

66. 5 3− =2=> Ất; 1945 là năm Ất Dậu.

67. Chắc chắn em biết mình sinh năm nào. Giải tương tự bài 66.

68. 7430 =...6; 4931 =...9; 8732 =874.8 =...1

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2335 =23 .2332 3=(...1).(...7)=...7

69. 25

70. a) A=(...4) (...5)− =...9 => A10
b) 405n =...5

2405 =2 .2404 =24.101.2=(...6).2=...2
m2 có chữ số tận cùng khác 3

Vậy A có chữ số tận cùng khác 0 => A10

71. a) Số 234 có tận cùng là 4, nâng lên lũy thừa lẻ nên có chữ số tận cùng là 4.
b) Số 579 có tận cùng là 9, nâng lên lũy thừa chẵn nên có tận cùng là 1.

72. Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số 5, do đó tích phải
tận cùng

bằng 5, trái đề bài, vậy số thừa số của tích nhỏ hơn 5.

Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5, hoặc tận cùng bằng 9,
trái đề bài.

Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề bài.

Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số. Ví dụ (…9).(…1).(…3)=…7

73. 2.2 .2 ...22 3 10 =21 2 3 ... 10+ + + + =255
5 .5 .5 ...52 4 6 14 =52 4 6 ... 14+ + + + =556

A=2 .555 56 =2 .5 .5 10 .555 55 = 55 . Vậy A có tận cùng bằng 55 chữ số 0.

74. Tổng có 31 số hạng, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm 4 số hạng, còn thừa 3

số hạng cuối là 328+329 +330. Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0. Vậy chữ số tận
cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng 328+329+330.

Có 328 =34.7 =...1

29 28

3 =3 .3=...1 3× =...3

30 28 2

3 =3 .3 =...1 9× =...9

Tổng S có chữ số tận cùng là 1 3 9 ...3+ + =

Số chính phương khơng tận cùng bằng 3 suy ra S khơng phải là số chính phương.

75.a) Đáp số 1

b) 1. 2 . 3 ... 9 1. 2 . 3 ... 8 7!. 8− − 2

=8! (9 1)− −7!. 82 =8!.8 7!. 8− 2 =7!82−7!. 82 =0
c)

18 2 36 36

13 22 36 35 36 35

(3.2 ) 9.2 9.2

11.2 .2 −2 =11.2 −2 = 2 .(11 2)− =

76. (33.3 3 : 3) ;+ 3 (3.3 3 : 3)+ 3 3+ ; [(33 3) : 3]− 3 3+

77. a) (19x+50) :14=9. Đáp số x = 4
b) 2.3x =10.312 +8.312

2.3x =3 (10 8)12 + ; 2.3x =3 .1812

3x =3 .312 2 ; 3x =314. Vậy x = 14

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Thời gian sà lan đi và về cả quãng sông AB là: 60 : 30 60 : 20 5+ = (giờ)
Vận tốc trung bình của sà lan trong cả hành trình đi và về là:

(60 60) : 5+ =24 (km/h)

79. Tổng số tuổi của ba người sau 10 năm nữa là: 66 10.3 96+ =
Tuổi của bố lúc đó là: (96 8) : 2 44− =

Tổng số tuổi của hai mẹ con lúc đó là: 96 44 52− =
Tuổi của con lúc đó là: 52 : 4 13=

Vậy tuổi hiện nay của bố là: 44 10 34− =
Tuổi của con hiện nay là: 13 10 3− =
Tuổi của mẹ hiện nay là: 66 (34 3) 29− + =

80. Phân tích: 3=4 . 2 5 .1−

Muốn có 3 lít nước ta có thể lấy 2 bình 4 lít bớt đi một bình 5 lít.

Bình 4 lít Bình 5 lít Giải thích cách làm

4 0 Đong đầy bình 4 lít

0 4 Đổ hết nước từ bình 4 lít sang bình 5 lít

4 4 Đong đầy bình 4 lít (lần thứ hai)

3 5 Đổ nước từ bình 4 lít sang bình 5 lít

Như vậy ở bình 4 lít cịn lại đúng 3 lít nước.

81. Mỗi phần có 8 lít nước.
8=7 . 2 3 . 2−

Thùng 16 lít Bình 7 lít Bình 3 lít Giải thích cách làm

16 0 0 Bắt đầu

9 7 0 Đong đầy bình 7 lít

9 4 3 Đổ nước từ bình 7 lít cho đầy bình

3 lít

12 4 0 Đổ hết nước từ bình 3 lít vào

thùng

12 1 3 Đổ nước từ bình 7 lít cho đầy bình

3 lít

15 1 0 Đổ nước từ bình 3 lít vào thùng

15 0 1 Đổ nước từ bình 7 lít vào bình 3 lít

8 7 1 Đổ nước từ thùng vào đầy bình 7

lít

Như vậy số nước trong thùng cịn lại là 8 lít và số nước trong hai bình là

7 1 8+ = lít

82. Số tiền phải trả lại cho mỗi người 100 000 7900 92100− = (đồng)
Tờ
50
000
Tờ
20
000
Tờ
10 000
Tờ
5000
Tờ
2000
Tờ
1000
Tờ
500
Tờ
200
Tờ
100
Tổng
số tờ

Khách I 1 2 1 1 5

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

II
Khách

III

1 2 3 3 9

83. 60 15 ⇒60n15 ; 45 15 ⇒60n+45 15 (tính chất 1)
60n30 ; 45 30 ⇒60n+45 30 (tính chất 2)

84. Dùng tính chất 1 và 2

6 ; 8 ; 5

A A A

85. B=1. 2 . 310.1123 1. 2. 3+ 10.1119 1. 2. 3.10.11− 15
a) Mỗi số hạng đều có thừa số 11 11 nên B11

b) Mỗi số hạng đều có thừa số (10. 11) = 110 110 nên B110

86. Hướng dẫn: gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1; n + 2.
Tính tổng được 3n+3 3

(tính chất 1). Phần sau dùng tính chất 2.

87. Hướng dẫn: gọi 5 số chẵn liên tiếp là 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8.

Tính tổng được 10n+20 10

Gọi 5 số lẻ liên tiếp là 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9.
Tính tổng được 10n+25 10(= n+ +2) 5 10 (dư 5)

88. Hướng dẫn: Có thể gọi 4 số đó là 5a + 1; 5b + 2; 5c + 3; 5d + 4.

Tính tổng được 5a+5b+5c+5d+10 5 (tính chất 1)

89. a) C = + +(1 3 3 )2 +(33+ +34 3 )5 + + (39+310+3 )11
C = + +(1 3 3 ) 3 (1 3 3 )2 + 3 + + 2 + + 3 (1 3 3 )9 + + 2
C =13.(1 3+ +3 3 ) 139 

b) C = + + +(1 3 32 3 ) (33 + 4+ + +35 36 3 ) (37 + 8+ +39 310 +3 )11
C = + + +(1 3 32 3 ) 3 (1 3 33 + 4 + + +2 3 ) 3 (1 3 33 + 8 + + +2 3 )3
C =40.(1 3+ +4 3 ) 408 

90. Hướng dẫn:

a) Ta phải chứng minh (a a+1) 2
Xét các trường hợp a=2 ;n a=2n+1
b) Ta phải chứng minh (a a+1)(a+2) 3

Xét các trường hợp a=3 ;n a=3n+1 ;a=3n+2

91. Giả sử có số a∈N thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho thì a=15q1+6 (1) và a=9q2+1 (2)
Từ (1) suy ra 3a ; Từ (2) suy ra a 3. Đó là điều mâu thuẫn. Vậy khơng có số tự nhiên
nào

thỏa mãn đầu bài.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

b) 3n+7n; 3n n nên 7n. Vậy n∈{1 ; 7}

c) 27 5− n n ; 5n n nên 27n. Số 27 chia hết cho các số 1, 3, 9, 27 nhưng 5n < 27; n < 6
Vậy n∈{1 ; 3}

93. a) n+6n+2 mà n+2n+2 nên theo tính chất 1 ta có (n+ − +6) (n 2)n+2
Hay 4n+2 suy ra n+ ∈2 {1 ; 2 ; 4} do đó n∈{0 ; 2}

b) 2n+3n−2 mà 2(n−2)n−2 nên (2n+ −3) 2(n−2)n−2 hay 7n−2.
Suy ra n− ∈2 {1 ; 7} do đó n∈{3 ; 9}

c) 3n+1 11 2 − n (n < 6)

Suy ra 2(3n+ +1) 3(11 2 ) 11 2− n  − n

Hay 35 11 2 − n suy ra 11 2− n∈{1 ; 5 ; 7 ; 35}. Nhưng vì n < 6 nên n∈{5 ; 3 ; 2}

94. a) 102k − =1 102k −10k +10k − =1 10 (10k k − +1) (10k −1) 19 (tính chất 1)

b) 3 3 2

19 19

10 k − =1 10 k −10k +10k − =1 10 (10k k − +1) (10k −1) 19

 



 

95. Bạn đọc tự tìm những số chia hết cho 2; cho 5.
Những số chia hết cho 4 là 1076; 1984; 3452; 7800.
Những số chia hết cho 8 là 1984; 7800.

Những số chia hết cho 25 là 6375; 7800.
Những số chia hết cho 125 là 6375.

96. a) 275x5 ⇔ ∈x {0; 5}
275x25 ⇔ ∈x {0}
275x125 ⇔ ∈x {0}

b) 9xy4 2 ⇔ x y, ∈{0 ; 1 ; 2 ;, 9}
9xy4 4 ⇔ ∈x {0 ; 1 ; 2 ;, 9}

{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}

y∈

9xy4 8 ⇔ hoặc x∈{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} và y∈{2 ; 6}
Hoặc x∈{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} và y∈{0 ; 4 ; 8}

97. a) 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276.

b) 6752; 2576; 5672; 7256.
c) 6725; 7625; 2675; 6275
d) 7625.

98. a) 9424.15−35137 =   6− 1= 5 5

b) 995−984+973−962 = 9− 6+ 3− 6=0

Số này có tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 và 5.

99. Số lớn gấp 4 lần số nhỏ thì tổng của chúng bằng 5 lần số nhỏ sẽ chia hết cho 5,
mà 3456 5 nên khơng có hai số tự nhiên nào như vậy.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Nếu a và b đều lẻ thì a + b chẵn, tích (ab a+b) là một số chẵn, không thể tận cùng bằng 9.

101. Với n = 0 thì 5 1 0 4n− = 
Với n = 1 thì 5 1 4 4n− = 

Với n > 1 thì 5n có tận cùng bằng 25 nên 5 1n− = 24 4

102. n2+ + =n 1 n n( + +1) 1

( 1)

n n+ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra (n n+ +1) 1 là một số lẻ
nên

không chia hết cho 4.

( 1)

n n+ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên khơng có tận cùng là 4 hoặc 9 nên

( 1) 1

n n+ +

khơng có tận cùng là 5 hoặc 0, do đó khơng chia hết cho 5.

103. a) 5; 8 ; b) 9

104. a) 1002; b) 1035; c) 990.

105. a = 2 ; b∈{2 ; 5 ; 8} hoặc a = 6 ; b∈{1 ; 4 ; 7}

106. Số mới và số cũ có cùng tổng các chữ số nên có cùng số dư khi chia cho 3.

Vậy hiệu của chúng chia hết cho 3. Trong ba số 2002; 2003; 2004 chỉ có số 2004 chia hết

cho 3 nên hiệu cần tìm là 2004.

107. Phải viết liên tiếp nhau ít nhất 3 lần được số abcabcabc có tổng các chữ số là

3(a+ +b c) 3 nên abcabcabc3

108. a) Số 1494 9 ;1495 5 ;1496 4   nên A chia hết cho 9 5 4 180× × =
b) Số 1494 9 ;1495 5 ;1496 11   nên A chia hết cho 9 5 11 495× × =

109. a)

cs 0 cs 9

10n 1 100…0 1 99 9 9

n n
− = − = 

cs 0 1 cs 0

10n 8 100…0 8 100 08 9

n n−
+ =+ =  

110. n là số chẵn

111. Gọi một số là a và tổng các chữ số của nó là b (a≥b). Số dư trong phép chia số a cho 9

bằng số dư trong phép chia số b cho 9. Như vậy a và b chia cho 9 có cùng số dư nên hiệu của

chúng chia hết cho 9.

112.

cs 1

8 111 1

n
A= n+

cs 1

9 (111 1 )

n

A= n+  −n

Vì

cs 1

111 1

n



 có tổng các chữ số là n nên

cs 1

(111 1 )

n

n
−



 chia hết cho 9 (xem bài 111).

Cả hai số hạng đều chia hết cho 9 nên tổng A9

113. a) Khi cắt một mảnh giấy thành 4 mảnh nhỏ thì số mảnh đã tăng thêm 3. Cắt nhiều lần
như thế thì số mảnh tăng thêm là 3.k ( k là só mảnh giấy đem cắt). Ban đầu chỉ có 1 mảnh

giấy, vậy tổng số các mảnh giấy sẽ là 3k + 1. Số này chia cho 3 dư 1, vậy khơng thể có tất cả

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

b) Ta có 3k + 1 = 52; 3k = 51; k = 17. Vậy ta phải cắt tất cả 17 mảnh giấy.

114. a∈{2 ; 3}

115. a > 5 và a5 nên a là hợp số.

247 13 nên số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 13.
b > 13 và b13 nên b là hợp số.

116.

cs 1 cs 1 1 cs 1 cs 0 1 cs 1

111 1 2 111 1 111 11 00 0 + 111 1

n n n n n
a

+ +

=   =   

1 cs 1

111 1

n
a

> và

1 cs 1

111 1

n
a

 nên a là hợp số.

117. Dễ thấy thương phải lớn hơn 50 vì 50 17 850 9× = < ∗∗
Thương phải nhỏ hơn 60 vì 60 17 1020 9× = > ∗∗

)(

k+2

)

hay n2 =3k

(

3k+2

) (

+2 3k+2

)

=3k

(

3k+2

)

+6k+4

Hai số hạng đầu chia hết cho 3, số hạng cuối chia cho 3 dư 1 nên n2 chia hết cho 3 dư 1.
b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Vậy p2 chia cho 3 dư 1 tức là

3 1

p = k+ do đó p2+2003=3k+ +1 2003=3k+2004 3 . Vậy p2+2003 là hợp số.

120. Xét ba số n2 −1 ;n2;n2+1 là ba số tự nhiên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3.

(n2 3 ( vì n3)) nên trong hai số còn lại là n2−1 và n2+1 phải có một số chia hết cho 3;
(số này là hợp số) nên chúng không thể đồng thời là số nguyên tố.

121. a) Mọi số tự nhiên lớn hơn 3 khi chia cho 6 chỉ có thể xảy ra một trong 6 trường hợp: dư
0, dư 1, dư 2, dư 3, dư 4, dư 5.

- Nếu p chia cho 6 dư 0 thì p = 6k, p là hợp số.

- Nếu p chia cho 6 dư 1 thì p = 6k +1

- Nếu p chia cho 6 dư 2 thì p = 6k +2, p là hợp số.
- Nếu p chia cho 6 dư 3 thì p = 6k + 3, p là hợp số.
- Nếu p chia cho 6 dư 4 thì p = 6k + 4, p là hợp số.

- Nếu p chia cho 6 dư 5 thì p = 6k +5

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 chia hết cho 6 thì chỉ có thể dư 1 hoặc dư 5 tức là p = 6k
+1

hoặc p = 6k + 5

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

4p + 1 là hợp số.

122. p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
Nếu p có dạng 3k+1 thì p+ =8

(

3k+ + =1

)

8 3k+9 3 , số này là hợp số.

Vậy p khơng có dạng 3k+1 mà có dạng 3k+2, khi đó

(

)

100 3 2 100 3 102 3

p+ = k+ + = k+  điều

này chứng tỏ p+100 là hợp số.

123. a) 700=7.100=7.2 .52 5 =2 .5 .72 2

2 3 3 3 2 3

9000=9.1000=3 .2 .5 =2 .3 .5

4 4 4 4

210 000=21.10 000=3.7.2 .5 =2 .3.5 .7

b) 500=5.100=2 .52 3

+ =

)

18 (ước)

125. 119=7.17 có 4 ước là 1; 7; 17; 119.

625=5 có 5 ước là 1; 5; 25; 125; 625.

3 2

200=2 .5 có 12 ước.

1 2 2

2 2 3

1 5 5 2

1 2 2

2 2 3 1 2 4 8

5.1 5.2 5.2 2 5.2 3 hay 5 10 20 40

5 .1 5 .2 2 5 .2 2 2 5 .2 2 3 25 50 100 200

126. 5929=7 .112 2 =

(

7.11

)

2 =772

Cạnh hình vuông dài 77m.

32400=2 .3 .54 4 2 =

(

2 .3 .52 2

)

2 =1802

Cạnh hình vng dài 180m.

127. 1728=2 .36 3 =

( )

2 .32 3 =123

Cạnh của hình lập phương dài 12cm.

128. Gọi số tự nhiên đó là M, phân tích M ra thừa số nguyên tố, giả sử M =a bx. ycz

Số lượng các ước của M là

(

x+1

)(

y+1

) (

 z+1

)

. Tích này là một số lẻ nên các thừa số
đều lẻ, suy ra x, y, …z đều chẵn: x=2 ' ;x y=2 ' ;y ;z=2 'z .

Lúc đó 2 ' 2 ' 2 '

(

' ' '

)

. .

x y z x y z

M =a b c = a b c . Điều này chứng tỏ M là một số chính

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

129. a) 2 4 6 2

(

2 2

)

(

)

n n

n + n n

+ + ++ = = +

Ta có n n

(

+ =1

)

210.

Ta phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số lại để được tích của hai số tự
nhiên liên tiếp.

210=2.3.5.7=

( )( )

2.7 3.5 =14.15

Vậy n n.

(

+ =1

)

14.15 ;n=14

b) 1 3 5

(

2 1

) (

1 2 1

)

n n

n + − n

+ + + + − = =

Ta có n2 =225

n2 =3 .52 2 =

( )

15 2;n=15

130. a) A∩ = ∅B

b) M ∩ =N {1 ; 2 ; 5 ; 10}

131. C∩ =D D

132.ƯCLN

(

)

3 2

432, 504, 720 =2 .3 =72

ƯCLN

(

432, 504, 720

)

={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72}

133. Độ dài lớn nhất của cạnh viên gạch hình vng phải là ƯCLN

(

630, 480

)

=30(cm)
Số gạch cần để lát căn phịng đó là:

(

630 : 30

) (

× 480 : 30

)

=21 16× =336 (viên)

134. a) Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n+1 và 2n+3

)

d hay 2d, suy ra d∈{1 ; 2}. Nhưng d ≠2 vì
d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng
nhau.

b) Ta đặt

(

2n+5, 3n+7

)

=d suy ra

(

)

2n+5d ⇒3 2n+5 d

(

)

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

(

)

4n+3d⇒5 4n+3 d

(

)

5n+1d ⇒4 5n+1 d

Vậy 5 4

(

n+ −3

) (

4 5n+1

)

d hay 11d mà d ≠1 nên d = 11, do đó (a, b) = 11.

137. Gọi số lớn là a, số nhỏ là b. Vì (a, b) = 45 nên a = 45m; b = 45n trong đó (m, n) = 1 và m
> n.

Ta có 45m=270⇒ =m 6. Từ đó tìm được n∈{1 ; 5}. Do đó b∈{45 ; 225}.

138. Gọi hai số phải tìm là a và b

(

a≤b

)

. Vì

( )

a b, =18 nên a = 18m; b = 18n trong đó

(

m n,

)

3 4 81 108

7 nên

5 7

a+ b . Vậy mệnh đề đảo cũng đúng.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

5a−a9 hay 4a9. Vì

( )

4, 9 =1 nên a9

143. Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi và gọi y là số xe 7 chỗ ngồi

(

x y, ∈∗

)

Số người đi xe loại 12 chỗ ngồi là 12x.

Số người đi xe loại 7 chỗ ngồi là 7y.

Theo đầu bài ta có 12x+7y=64 (1)

Ta thấy 12 4 ; 64 4x  ⇒7y4 mà

( )

7, 4 =1 nên y4 (2)

Từ (1) suy ra 7y<64 hay y<10 (3)

Từ (2) và (3) suy ra y∈{4 ; 8}

Thay y=4 vào (1) được x=3

(

∈∗

)

; a=60k+3
Ta xem với giá trị nào của k thì a<400 và a11

k 1 2 3 4 5 6 7

a 63 123 183 243 303 363 423

Trong các giá trị trên, chỉ có a=363<400 và a11
Vậy số học sinh khối 6 là 363 học sinh.

149. Ta có ab=300 .15=4500 (1)

Giả sử a≤b. Vì ƯCLN

( )

a b, =15 nên a=15m b; =15n với

(

m n,

)

=1 và m≤n.
Từ (1) suy ra 15 .15m n=4500 ;mn=20.

Ta có bảng liệt kê sau

m n a b

1 20 15 300

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

150. Ta đặt

( )

a b, =d suy ra a=d m b. ; =d n. trong đó

(

m n,

)

=1. Giả sử a≤b thì m≤n.
Ta có ab=dm dn. =d m n2 .

[ ]

(

)

2 . .

;

ab d mn

a b d m n

a b d

= = =

Theo đầu bài

[ ]

a b, =210 nên d m n. . =210

Trong đó

[ ]

2940 14

, 210

ab
d

a b

= = = . Vậy 210 15

mn= = .

Ta có bảng liệt kê sau:

m n a b

1 15 14 210

3 5 42 70

151.Đặt (a,b) = d suy ra a =dm; b = dn với (m,n)=1. Lúc đó [a,b]= dmn (xem bài 150)

Vậy [a;b] + (a; b) = dmn + d = d(mn+1) = 15. Giả sử a ≤ b thì m ≤ n và mn +1 ≥2

d mn+1 mn m n a b

1 15 14 1 14 1 14

2 7 2 7

3 5 4 1 4 3 12

5 3 2 1 2 5 10

152. a+6 11 ⇔ + +(a 6) 77 11 ⇔ +a 83 11 (1)
a+5 13 ⇔ + +(a 5) 78 13 ⇔ +a 83 11 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 83  BCNN(11,13)
a + 83 143

a = 143k – 83 (k ∈ Ν*)

Để được a nhỏ nhất có 3 chữ s, ta chọn k =2, được a = 203

153. a là số lẻ nên a2 là một số lẻ, suy ra a2 – 12 (1)

a là một số không chia hết cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 (xem bài 119) suy ra a2 –13
Các số 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra a2 – 1 6

154. Trong năm số tự nhiên liến tiếp có một số chia hết cho 3, có một số chia hết cho 5 nên

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên tích của
chúng chia hết cho 8.

Tích của năm số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 8

mà các số 3,5,8 ngun tố cùng nhau đơi một nên tích này chia hết cho 3.5.8 =120.

155. Trong 11 số tự nhiên bao giờ cũng chọn được hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10

(xem ví dụ 23). Hiệu này phải tận cùng bằng những số 0, do đó có ít nhất hai số mà chữ số tận

cùng phải giống nhau

156. Xét 14 số: 2; 22; 222; …;

14 2

22 2

chữ số
…



Có 14 số mà chỉ có 13 số dư trong phép chia cho 13, do đó tồn tại hai số có cùng số dư trong

phép chia cho 13. Gọi hai số đó là

22 2

m chữ số
…

 ;

22 2

n chữ số
…

 (1≤ < ≤n m 14). Hiệu của chúng là


0
2

22 2 00..

n chữ số
m n chữ số−

…

 13 hay

.10 1

2 3

2 2 n

m n chữ số−

… 


Vì (10n; 13) = 1 nên

22 2 3

m n chữ số−
… 

 tức là tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.

Nhận xét: Bài toán vẫn đúng nếu ta thay chữ số 2 bằng bất cứ chữ số nào .

157. Dãy số 10; 102; 103; …; 1020 (1) ó tất cả 20 số. Có 20 số khác nhau mà chỉ có 19 số dư
trong phép chia cho 19, do đó tồn tại hai số ó cùng số dư trong phép chia cho 19. Gọi hai số đó
là 10m và 10n (1≤ < ≤n m 20).

Như vậy 10m –10n  19 hay 10n (10m-n – 1)19.

Vì (10n; 19) = 1 nên 10m-n – 119 hay 10m-n chia cho 19 dư 1. Rõ ràng 10m-n là một số của dãy
(1) vì 1≤ < ≤n m 20.

Nhận xét: Qua bài này, ta thấy tồn tại một số tự nhiên k > 1 để cho 10k –119

158. Với k > 1, bao giờ ta cũng có 10k –119 (bài 157).
Suy ra 102k – 119

103k – 119 (xem bài 94)
….

1019k – 119

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

1 00 0

k chữ số
…

 +

2 0

00 0

k chữ số
…

 +… +

19 0

00 0

k chữ số
…



Tổng này có 49 số hạng, tổng các chữ số của nó đúng bằng 19.

159. Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốm số 1; 3; 5; 7. Ta chia bốn số dư
này làm hai nhóm (hai “lồng”)

Nhóm I: dư 1 hoặc dư 7
Nhóm II: dư 3 hoặc dư 5

Có ba số lẻ (ba “thỏ”) mà chỉ có hai nhóm số dư (hai”lồng”) nên tồn tại hai số thuộc cùng một

nhóm.

- Nếu hai số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
- Nếu hai số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8

160. Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số 1; 5; 7;

11. Chia thành hai nhóm: Nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5 hoặc dư 7. Giải tiếp như bài 159

161. Ba “thỏ” mà chỉ có hai “lồng” chẵn, lẻ.

162. Gọi 7 số đó là a1; a2;…a7. Áp dụng kết quả bài 161, ta chọn được hai số có tổng chia hết
cho 2, chẳng hạn a1 + a2 =2 k1. Còn lại năm số, lại chọn được hai số c tổng chia hết cho 2,

chẳng hạn a3 + a4 =2 k2

Còn lại ba số, lại chọn được hai số có tổng chia hết cho 2, chẳng hạn a5 + a6 =2 k3
Xét ba số k1; k2; k3. Ta chọn được hai số có tổng chia hết cho 2, chẳng hạn k1+ k2=2q
Như vậy: 2k1+2 k2 = 4q

Hay a1 + a2 + a3 + a4 = 4q 4

163. Bất kì một số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k; 3k+1; 3k+2 (k∈N)
Trường hợp 1: có ít nhất 3 số thuộc cùng một dạng, tổng của ba số này chia hết cho 3
Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó, suy ra mỗi dạng có ít nhất là một số
Tổng ba số ở ba dạng chia hết cho 3

164. Một số lẻ chia cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3, tức là số lẻ chỉ có một trong hai dạng 4k +
1 hoặc 4k + 3.

- Nếu có ít nhất bốn số cùng thuộc một dạng thì tổng của bốn số đó chia hết cho 4.

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

165. Gọi các số trên 5 mặt là a1; a2; a3; a4; a5
Xét 5 tổng: s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2+ a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

s5 = a1 + a2 + a3 + a4+ a5

- Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài tốn đã giải xong.

- Nếu khơng có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 5 (vì 5
tổng mà chỉ có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4). Hiệu của hai tổng này chia hết cho 5. Gọi hai tổng
đó là sm và sn (1≤ < ≤n m 5) thì sm - sn 5 hay

(a1 + a2 + …+ am) - (a1 + a2 + …+ an) = an+1 + an+2 + …+ am5

166. a) 19.23 +77.19 = 19 (23 +77) = 1900

b) Xét thừa số thứ hai
456.789789 – 789.456456

= 456.1001.789 -789.1001.456 = 0

Vậy tích bằng 0.

167.Đáp số a)255; b)241 ; 15 ; 6
168. Vận dụng các cơng thức của dãy cộng để tính:

(

30 31

)

) 1240; 25

x x

a + + = x=

(

)

) 210; ( 1) 420 20.21; 20

x x

b + = x x+ = = x=

169. KỈ DẬU

170. a) Tổng các chữ số của 10n +53 là 9
b) Số bị trừ và số trừ đều có tận cùng là 7

c) Tổng các chữ số hang lẻ đúng bằng tổng các chữ số hang chẵn nên hiệu của chúng bằng 0

chia hết cho 11. Ba chữ số tận cùng là 555 không chia hết cho 125.

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Ta có 17m 17; 17n17 nên 2n +717

Vì a phải nhỏ nhất nên ta chọn n là số nhỏ nhất sao cho 2n+ 7 17, ta chọn n = 5. Vậy a = 107.

172. a) Tháng 2/2003 có 28 ngày là bội của 7 nên ngày 01/3/2003 là ngày thứ bảy. Tháng ba

có 31 ngày, chia cho 7 dư 3 nên ngày 01/4/2003 là ngày thứ ba.

b) Từ 1/2/2003 đến 1/2/2004 có 365 ngày chia cho 7 dư 1, nên ngày 1/2/2004 là ngày chủ

nhật.

173. Nhóm các số hạng thành 12 nhóm, mỗi nhóm có hai số hạng.

Mỗi nhóm chia hết cho 20 nên A 20

Nhóm thành 8 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng. Mỗi nhóm chia hết cho 84 nên A84

Mà 8421 nên A21

A 20 và A 21 mà (20,21)=1 nên A 20.21 hay A 420

174.Đáp số: a) k = 1; b) k>1; c) k = 0

175.Hướng dẫn: 143 = 11.13 =13.11 =1.143 = 143. 1

Đáp số: x = 10; y = 9 hoặc x = 12, y = 8 hoặc x = 0; y = 74 hoặc x = 142; y = 3

176. a = p1m. p2n => a3 = p13m. p23n. Số ước của a3 là (3m+1)(3n+1) = 40, suy ra m =; n =3

(hoặc m =3; n =1)

Số a2 =p12m. p22n có số ước là (2m+1)(2n+1) = 3.7 = 21 (ước)

177.Hướng dẫn: a là ƯC của 355 -13 = 342 và 836 – 8 = 828; a >13.

Đáp số a = 18

178. Gọi số đó là a. Ta có a = 7m +5 và a = 13n +4 với m,n ∈N. Cộng thêm 9 vào số a ta

được:

(

)

a + =9 7 14 m + = 7 m +2 7

(

)

a + =9 13n 13 + = 13 n +1 13
9 7

a+  và a+9 13 mà (7,13) = 1 nên a+9 7 hay a+9 91

Vậy a = 91k – 9 = 91k – 91 +82; a = 91(k -1) +82 do đó a chia cho 91 dư 82.

179.Hướng dẫn BCNN (12, 18,27) = 108

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

a) Số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho các số đã cho là 972

b) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1 là 1080+1 = 1081

c) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi s đó ều thiếu 2 là 1080 -2 =1078 .

Chương II. SỐ NGUYÊN

180. a)Ζ+ b)Ν* c)Ζ− d)φ

181. a) Đúng b) Sai c) Sai, ví dụ 0∉ Ζ+, nhưng 0∉ Ζ−

182. a) Điểm A biểu diễn số -2

b) Điểm B biểu diễn số -5 hoặc 1.
183.

{

}

{

}

5; 6; 7; 8

2; 1;0;1; 2;...

A B

B C

C A

187. Nếu b là số nguyên âm thì a<b<0
Nếu b là số tự nhiên thì a< ≤0 b

188. a) Đúng; b) Sai; c) Sai

189. a) x + = ⇒ =5 37 x 32⇒ = ±x 32
b) 6.x= ⇒ = ⇒ = ±54 x 9 x 9

190. Vì ; ;x y z∈Ζ nên x∈Ν ; y ∈Ν ; z ∈Ν;

Vậy x + y + z≥0 (1)

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Từ (1) và (2) suy ra x = y = =z 0
Do đó x = y = z = 0

191.

a) x< ⇔ −10 10< <x 10⇔ ∈x

{

0; 1; 2;...; 9± ± ±

}

{

}

) 21 22; 23; 24;...

x

b x x

x
>


> ⇔ < − ⇔ ∈ ± ± ±


c) x> − ⇔ ∈ Ζ3 x

d) Vì x +y = 3 nên khơng có x để x< −1
192. Vì x + y = 3 nên ta có bảng sau:

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 5 4 3 2 1 0 -1

193. a) (54 + 246) +[(–37) + (–163)] + (–70) = 300 + (–200) + (–70) = 30

b) (181 +350) + [ –359 + (–172)] + (–123) = 531 + (–531) + (–123) = –123

c) [–69+(–94) + (–14)] + (53+46+78) = – 177 + 177 = 0

194. a) (17+17) + (16 +16) + … + (1 +1) + 0 + 18 = 18

b) x∈

{

0; 1; 2; 3;...; 24± ± ± ±

}

S = 0 + (–1+1) + (–2 +2) + … + (–24+24) = 0

195. S1 + S2 = [1+ (–3)+ (–2) + 4] +[5+(–7) + (–6) + 8] + … +[13+(–15)+(–14) +16] + [17+

(–18] = 0 + 0 + .. + 0+(–1) = –1

196. Giá trị lớn nhất của x + y là 999+ 999 = 1998

Giá trị nhỏ nhất của x + y là (–999) + (–999) = -1998
197. Ta phải chứng minh – (x+ y) = (–x) + (–y)

Xét tổng (x+ y) + [(–x) + (–y)] = [x + (–x)] + [y + (–y)] = 0

Tổng của hai số bằng 0. vậy hai số đối nhau, suy ra –(x+ y ) = (–x) + (–y)
198. x = ⇒ = ±5 x 5 ; y = ⇒ = ±11 y 11 ;

Xét 4 trường hợp:

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

x = –5; y = –11 thì x + y = (–5) + (–110 = –16

x = 5; y = –11 thì x + y = 5 + (–11) = –6

x = – 5; y = 11 thì x + y = –5 + 11 = 6

199. Vì x và y là hai số nguyên cùng dấu nên x+ = +y x y (xem phần nâng câo)

Vậy x+ =y 10⇔ + = ±x y 10

200. a) Nếu a≥0thì a =a; do đó S1 = a + a = 2a
Nếu a < 0 thì a = −a; do đó S1 = a + (–a) = 0

b) Cứ hai số hạng nhóm thành một nhóm, được 50 nhóm; thừa số hạng cuối cùng.

Vì a < 0 nên a + | a | = 0. Mỗi nhóm có tổng bẳng 0 nên S2 = a

201. Ta chia 18 số làm 3 nhóm, mỗi nhóm 6 số. Vì tổng của 6 số bất kì là ột số âm nên tổng

các số trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tổng của ba nhóm tức là tổng của 18 số là một số

âm.

Nếu thay 18 số bằng 19 số thì trong 19 số, ít nhất cũng có một số âm (vì nếu khơng có

một số âm nào thì tổng của 6 số bất kì khơng thể là số âm). Ta tách riêng số âm đó ra, cịn lại

18 số. Theo chứng minh trên thì tổng của 18 số là một số âm. cộng với số âm đã tách riêng ra

từ đầu sẽ được một số âm, tức là tổng của 19 số đã cho là một số âm.
202. Đáp số: 22 và – 22; –30 và 30; –7 và 7; 19 và –19

203. Đáp số: – 306

204. x = ⇒ = ±7 x 7 ; y = ⇒ = ±20 y 20

Xét 4 trường hợp. Đáp số: 13; 27± ±

205. x≤ ⇔ − ≤ ≤3 3 x 3; y ≤ ⇔ − ≤ ≤5 5 y 5;
Vì x – y =2, ta có bảng sau:

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1

206.

) 8 6 8 6

8 6 6 8 2

8 6 6 8 14

a x x

x x

+ = ⇔ + = ±
+ = ⇔ = − = −
+ = − ⇔ = − − = −

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

- Nếu a < 0 thì khơng có x thỏa mãn đề bài vì x a− ≥0
- Nếu a = 0 thì x = 0

- Nếu a > 0 thì x – a = a hoặc x – a = – a . Suy ra x = 2a hoặc x = 0.
207. 1< − < ⇔ − ∈x 2 4 x 2

{ }

2;3

2 2 4

2 2

2 2 0

2 3 5

2 3

2 3 1

x x

x

x x

x

x x

− = =

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

− = =

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

208. x+ + + − ≤5 y ( 1) 0 (1)

Vì x+ ≥5 0; y+ − ≥( 1) 0nên x+ + + − ≥5 y ( 1) 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x+ + + − =5 y ( 1) 0.

Vậy x+ =5 0 và y+ − =( 1) 0
Do đó x = –5 và y =1

209. Vì x < y < 0 nên x− = − =y x y 100 (xem phần nâng cao)

Vậy x – y = 100± . Nhưng vì x < y nên x – y < 0 do đó x – y = –100

210. GTLN của x- y là 11 –(–89) = 100

GTNN của x – y là –2–1 = –3

211. a) Vì x ∈ Ζ nên x+ ∈ Ν5 , do đó A =1000 –|x+5| 1000≤
Khi x = –5 thì A = 1000. vậy GTLN của A là 1000 khi x = –5

b) Vì y∈ Ζ nên |y –3|∈ Ν, do đó B = | y –3 | + 50 ≥50. KHi y = 3 thì B = 50.

Vậy GTNN của A là 50 khi y =3

c) Vì x, y ∈Z nên |x–100|∈ N; |y+200|∈N do đóC = |x –100|+|y+200|–1≥–1.

Khi x = 100; y = –200 thì C = –1. Vậy GTNN của C là –1, khi x = 100 và y = –200.
212.a) (2003–2003) + (75–21) =54

b) 1152 –374 –1152–65 +374 = (1152 –1152 + (374 –374) – 65 = –65

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

b) 13 – (12–11–10+9) + (8-7-6+5) – (4-3-2+1) = 13

214. a) x = –29; b ) x = –33; c) x =145

215. Bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn từng vế, mỗi vế đều là a –1

216. A +B = a – c – 4; C-D = a – c – 4. Vậy A +B = C – D

217. S = – a +b+c –c+b+a – a – b = (–a+a) + (–b+b) + (–c+c) + (b – a) = b – a

Vì a > b nên b – a < 0 do đó S = − = − −b a (b a) hay |S| = a – b
218. Vì M > N nên a + b – 1 > b + c –1

 a > c  a – c > 0. Vậy a – c là số dương.

219. Gọi 5 số đã cho là a1; a2; a3; a4; a5. Theo đề bài ta có:
a1 + a2 = a2 + a3 suy ra a1 = a3 ;

a2 + a3 = a3 + a4 suy ra a2 = a4 ;

a3 + a4 = a4 + a5 suy ra a3 = a5 ;

a4 + a5 = a5 + a1 suy ra a4 = a1 ;

Vậy a1 = a2 = a3 = a4= a5 = -3
220. a) x = 0 hoặc x = -3
b) x = 2 hoặc x =5

c) Vì x2 + 1≠0 nên x – 1 = 0; x = 1
221. a) x (7 –19 +6) = – 6x

b) ab (–1 –1) = –2ab

222. A = –12m2 . (3n3) = –36 m2n3

Vì m2 ≥0 nên 36m2n3≥0  m = 0, n ∈ Ζ hoặc m ∈ Ζ, n ≤ 0
223. a) –12x + 60 +21 – 7x = 5; –19x = –76; x =4

b) 30x + 60 –6x + 30 –24x = 100; 0x =10; khơng có x thỏa mãn đẳng thức đã cho.
224. a) Xét hai trường hợp:

2x – 5 = 13; 2x – 5 = –13

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

c) − ≤13 5x− ≤2 13 − ≤11 5x≤15⇔ − ≤ ≤ ⇔ ∈ − −2 x 3 x

{

2; 1;0;1; 2;3

}

225. a)

x – 3 1 –1 7 – 7

2y+ 1 7 –7 1 –1

x 4 2 10 –4

y 3 –4 0 –1

2x+1 1 –1 5 –5 11 –11 55 –55

3y -

2 –55 55 –11 11 –5 5 –1 1

x 0 –1 2 –3 5 –6 27 –28

y 19 –3 –1 1

Có 4 đáp số: (x = –1; y = 19); (x = 2; y = –3)
(x = 5; y = –1); (x = –28; y = 1)

226. (x – 7) (x +3) < 0  x – 7 và x +3 trái dấu.

Ta thấy x – 7 < x +3 nên 7 0 3 7

3 0

x

x
x

− <

 ⇔ − < <
 + >



227. a) 125. (– 8). (– 61).1 = 61000

b) (– 47).(136 – 36) = – 4700

c) (– 48).72 +72 . (– 152) = 72. (– 48 – 152) = 72. (– 200)= – 14400

228. a)

(

)

( 99) .50 0;( 50).50 0; 50 0 50

x x

x x x

 + + + 

  = + = + = ⇒ = −

b) Bỏ số hạng 11 ở hai vế ta được: (x-3)+(x-2) + (x - 1)+ …+10 = 0

Gọi số số hạng ở vế trái l n (n>0) ta có:

(

)

10 . 0
2

x n

 − + 

  =

Hay (x+7 ). n = 0

Vì n khác 0 nên x + 7 = 0, do đó x = –7.

229. (2 2 ). 2(1 ). 1

2 2

m m m m

A m

m m

+ +

= = = +

(2 2 ). 2(1 ).

2 2

n n n m

B n

n n

+ +

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Vì A < B nên 1 + m <1 + n hay m < n

230. Tích của ba số bất kì là một số âm nên trong ba số đó ít nhất cũng có một số âm. Ta tách

riêng số âm đó ra, cịn lại 15 số. Ta chia 15 số này làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 số. Tích 3 số

trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tích của 5 nhóm với một số âm để tách riêng ra là tích của

6 số âm, do đó tích của chúng là một số dương.

231. a) (a + b)(a + b) = a (a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2= a2 + 2ab + b2

b) (a – b)(a – b) = a (a-b) – b(a – b) = a2 – ab – ab +b2 = a2 - 2ab + b2

c) (a + b)(a – b) = a (a –b) + b(a – b) = a2 – ab +ab – b2= a2 – b2

Từ các kết quả trên, ta nên nhớ ba hằng đăcngr thức sau:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab +b2

a2 – b2 = (a – b).(a + b)

232. Gọi ba số nguyên liên tiếp là (a –1); a; (a+1)

Ta có: a2 – (a –1)(a +1) = a2 – (a2 – 1) = a2 – a2 +1 = 1

233. A2 = ab – bc – ac +bc = ab – ac = a (b – c )

A2 = –20.(–5) = 100 do đó A = 10 hoặc A = –10
234.a) ab – ac + ad = a(b – c + d)

b) ac + ad – bc – bd = a(c + d) –b(c + d)= (c +d )(a – b)

235. a) ab – ac + bc – c2 = –1

b) a(b – c ) + c(b – c ) = –1

(b – c)(a+c) = –1

Suy ra trong hai thừa số (b – c); (a+c) có một thừa số bằng 1, thừa số kia bằng -1, nghĩa là
chúng đối nhau. Vậy b – c = – (a + c) hay b – c = – a – c; suy ra b = – a tức là a và b đối nhau.
236. a) xy + 3x – 7y – 21 =0

x(y + 3) – 7(y + 3) = 0

(

x– 7

)(

y 3+

)

=0, 7,suy r xa = y∈Z ; hoặc x∈Z; y =-3
b) xy + 3x – 2y –6 = 5

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

(y + 3)(x – 2) =5

237. a) 16 ước; b) 18 ước.
238. a b ⇒ =a b q q. ( ∈Z)

Vậy | a | =| b . q| = | b |.| q |. Vì q thuộc Z nên | q | thuộc Z do đó | a | chia hết cho |b|
239. A là số chẵn vì một trong hai thừa số là số chẵn.

B = n(n – 1) – 1

n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên là một số chẵn; do đó B = n( n -1) – 1 là
một số lẻ.

240. Xét tổng S = (ax –by) + (ay – bx) = (ax +ay ) – (bx + by) = a(x +y –b(x +y) = (x + y) (a –
b)

Vì x + y khác 0 nên S chia hết cho x +y. vậy nếu ã –by chia hết cho x +y thì ay – bx chia
hết cho x + y.

241. Cách 1: 3x – 4 y = – 21 (1). Ta thấy 3 3; 21 3x −  nên 4y3

Vì (4,3) = 1 nên y3=> y = 3k (0 < k < 4) . Thay y = 3 k vào (1) ta được
3x – 4. 3k = –21suy ra x – 4k = – 7; x = 4k –7 (1< k <5)

Kết hợp lại ta được 1 < k < 4 suy rak∈

{ }

2;3
Với k = 2 thì x = 1; y = 6

Với k = 3 thì x = 5; y = 9

Cách 2: 3x – 4y =-21 suy ra 3x = 4y – 21

3x =3y – 21 +y; 3 21

y y

x= − + ; x = y – 7 +

y

Vì x, y là số nguyên dương nhỏ hơn 10 nên 3y suy ray∈

{ }

6;9
Với y = 6 thì x = 1

Với y = 9 thì x = 5.

242. a) Tổng S có 100 số hạng, nhóm thành 25 nhóm mỗi nhóm có 4 số hạng, có tổng chia hết

cho

-20

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

3S = 3 – 32 + 33 –…– 398 +399 – 3100

Cộng từng vế của hai đẳng thức ta được:
4S = 1 – 3100; S =

100

1 3
4

−

S là một số nguyên nên 1 -3100 4hay 3100 -1 4 suy ra 3100chia cho 4 dư 1.
243. Các ước của 11 là 3; 37± ±

n+ 2 – 3 3 –37 37

n – 5 1 –39 35

n – 2 là bội của 11 nên n –2 = 11k (k ∈Z)
hay n = 11 k + 2. Với k =3 ta được n =35.
Vậy n = 35 thì n +2 = 37 là ước của 111
n –2 = 33 là bội của 111

244. a) 4n−5 ; 4n n n ⇒5n⇒ ∈ ± ±n

{

1; 5

}

c) 3n+2 2 n−1; 2n−1 2 n−1

Vậy 2(3n+ −2) 3(2n−1) 2 n−1 hay 7 2 n−1 nên 2n− ∈ ± ±1

{

1; 7

}

2n-1 1 –1 7 –7

n 1 0 4 –3

245. Vì n –1 là bội của n +5 và n +5 là bội của n –1 nên n – 1 và n +5 là hai số đối nhau hoặc
bằng nhau. Nhưng n –1 < n+ 5 nên n –1 = – (n + 5); n – 1 = – n – 5;

2n = – 4; n = –2

246. a) n2 – 7=n2 +3n – 3n – 9 + 2; n2 – 7= n(n +3) – 3 (n +3) +2

Vì n2 –7 là bội của n +3 nên 2 là bội của n +3. Vậy n +3 ∈ ± ±

{

1; 2

}

n+3 1 – 1 2 – 2

n – 2 – 4 – 1 – 5

b) n + 3 là bội của n2 –7 nên (n+3)(n - 3) là bội của n2 – 7 hay n2 – 9 n2 −7; n2− −7 2n2−7
Suy ra 2n2−7. Vậy n2− ∈ ± ±7

{

1; 2

}

n -1 –1 1 –11 11

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

247. A = –125 (8x –8y) = –125 . 8 (x – y) = –1000 (–43 –17) = 60000

248. - Nếu khơng dung dấu ngoặc thì GTLN của B là 1 10 . 100 1001+ = ;

GTNN của B là 1 10 . 100− = −999

- Nếu dùng thêm dấu ngoặc thì có 2 cách:
Cách 1: Kết hợp hai số đầu.

GTLN của B là

(

1 + 10

)

. 100=1100
GTNN của B là

(

1 − 10

)

. 100= −900
Cách 2: Kết hợp hai số cuối

GTLN của B là 1 + (10 . 100)=1001

GTNN của B là 1 − (10 . 100)= −999

Vậy GTLN của B là 1100 và GTNN của B là -999

249. | x | ∈

{

2;3; 4;5

}

x∈ ± ± ± ±

{

2; 3; 4; 5

}

250. a) x = -12; b) x∈∅; c) x = -3

251. a) Có 4 cách chọn số bị trừ và 5 cách chọn số trừu nên có 4.5 =20 hiệu
b) Có 5 hiệu chia hết cho 5 là 7 – (–3) =10; 8 –(–2) = 10;

8 – 8 = 0 ; 9 – (–1) =10; 9– 4 =5

d) Có 2 hiệu là số nguyên âm là 6 – 8 = – 2 và 7 – 8 = –1

252. Gọi 2 số nguyên liên tiếp là a và a + 1. Tích của chúng là a (a +1)
Nếu a = 3k hoặc a =3k +2 thì a (a+1) 3

Nếu a = 3k +1 thì a(a +1) = (3k +1)(3k+2) = 9k2+ 6k + 3k + 2; chia cho 3 dư 2

Số (-3)20 + 1 chia cho 3 dư 1 nên khơng phải là tích của 2 số nguyên liên tiếp.

253. Ta phải có 5 0 5 4

3 12 0 4

x x

x

x x

+ > > −

 

⇔ ⇔ >

 − >  >

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

hoặc 5 0 5 5

3 12 0 4

x x

x

x x

+ < < −

 ⇔  ⇔ < −

 − <  <

 

Vậy x > 4 hoặc x < – 5 thì (x+ 5)(3x –12) > 0

254. Tích của bốn thừa số là một số âm nên phải có một thừa số âm hoặc ba thừa số âm.

Dễ thấy x3 + 5 < x3 +10 < x3 + 15 < x3 + 30

- Nếu có một thừa số âm thì x3 + 5 < 0 < x3 +10 nên x3 = –8 do đó x = –2
- Nếu có ba thừa số âm thì x3 + 15 < 0 < x3 + 30 nên x3 = –27 do đó x = –3
Vậy x∈ − −

{

2; 3

}

255. Có 9 = 9 .1 = (–1) (–9) = 3.3 = (–3)(–3) = 9. 1 =(–9).(–1)

Ta lập bảng giá trị:

x –7 1 –1 3 –3 9 –9

xy +1 9 –9 3 –3 1 –1

x 8 6 10 4 16 –2

y 1 –1 0 1

Vậy có 4 cặp số (x; y) là (8; 1); (4; –1); (16;0) và (–2; 1)
256. Từ a + b = c + d suy ra d = a +b – c

Vì ab là số liền sau của cd nên ab – cd =1. Suy ra ab –c. (a + b – c) = 1
ab – ac –bc +c2 = 1

a(b – c)– c(b – c) = 1

(b – c). (a – c) = 1

Suy ra a – c = b – c(vì cùng bằng 1 hoặc –1) hay a =b

257. Cách 1: Gọi hai số nguyên đó là x và y. Theo đầu bài ta có xy = x – y
xy – x + y = 0

x (y – 1) + (y –1) = –1

(y – 1)(x +1) = –1

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

xy + y =x

y(x +1) = x

1 1 1

x x

y

x x x

+ −

= = = −

+ + +

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

M

Ụ

C L

Ụ

C

Chương I . ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN ... 1

§1. Tập hợp. Tập hợp con ... 1

§2. Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên ... 3

§3. Phép cộng và phép nhân ... 6

§4. Phép trừ và phép chia ... 8

§5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên ... 11

§6. Chuyên đề 1 : So sánh hai lũy thừa ... 13

§7. Chuyên đề 2. Chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa ... 15

§8. Thứ tự thực hiện các phép tính ... 17

§9. Tính chất chia hết của một tổng ... 19

§10. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 ... 21

§11. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 ... 22

§12. Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố ... 24

§13. Ước chung và ước chung lớn nhất ... 27

§14. Bội chung và bội chung nhỏ nhất. ... 29

§15. Chuyên đề 3. Nguyên lý Điriclê và bài tốn chia hết ... 31

§16. Ôn tập chương I ... 32

Chương II. SỐ NGUYÊN ... 35

§1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z ... 35

§ 2: Phép cộng hai số nguyên ... 38

§ 3 . Phép trừ hai số nguyên ... 40

§4. Quy tắc “Chuyển vế”. Quy tắc “Dấu ngoặc” ... 42

§5. Phép nhân hai số nguyên ... 44

§6. Bội và ước của một số nguyên ... 48

§7. Ơn tập chương II ... 50

</div>

Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần số tự nhiên



<b>Sưu tầm</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6</b>

<b>SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (