Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.34 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Câu 1. </b>
Tìm tất cả các bộ số thực
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Câu 2. </b>
Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>BAC</i>90 .0 Gọi <i>E</i> là chân đường cao hạ từ đỉnh <i>A</i> của tam giác <i>ABC</i>,
<i>Z</i> là điểm trên đường thẳng <i>AB</i> sao cho <i>AB</i><i>BZ</i>. Đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>AEZ</i> cắt <i>CZ</i>
tại điểm <i>D</i> và <i>FD</i> là đường kính của
<b>Câu 3. </b>
Alice và Bob chơi một trò chơi như sau: Alice chọn một tập <i>A</i>
Hỏi ai là người chơi có chiến lược để thắng?
<b>Câu 4. </b>
Tìm tất cả các số nguyên tố <i>p</i> và <i>q</i> sao cho 1
<i>q</i> <i>p</i>
<i>p</i> <i>q</i>
<i>p</i> <i>q</i>
là số nguyên tố.
<b>Câu 1. </b>
Tìm tất cả các bộ số thực
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Lời giải </b>
Ta có: <i>abc</i>0.
Theo giả thiết, ta có:
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>abc ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
Mặt khác <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1 1 1,
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
nên:
2 2 2
1 1 1
1
1 .
0
<i>abc ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>abc</i>
<i>abc</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Nếu <i>ab</i><i>bc</i><i>ca</i>0 thì <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 0. Suy ra <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>20 hay <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 0, vơ lí.
Nếu <i>abc</i> 1 thì <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i><i>bc</i><i>ca</i>0. Khi đó ta có:
Khơng mất tính tổng quát giả sử <i>a</i> 1. Ta có <i>bc</i>1. Khi đó
<sub></sub>
<sub> </sub><sub></sub> với <i>t</i>,<i>t</i>0.
Trong trường hợp này, nghiệm của hệ là hoán vị của bộ 1; ;<i>t</i> 1 .
<i>t</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
Nếu <i>abc</i>1 thì <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i><i>bc</i><i>ca</i>. Khi đó ta có:
Khơng mất tính tổng qt, giả sử <i>a</i>1. Ta có <i>bc</i>1. Khi đó
<sub></sub>
<sub></sub><sub> </sub><sub></sub> với <i>t</i>,<i>t</i>0.
Trong trường hợp này, nghiệm của hệ là hoán vị của bộ 1; ;<i>t</i> 1 .
<i>t</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
Tóm lại
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
hoặc là hoán vị của bộ
1
1; ;<i>t</i> .
<i>t</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<b>Câu 2. </b>
Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>BAC</i>90 .0 Gọi <i>E</i> là chân đường cao hạ từ đỉnh <i>A</i> của tam giác <i>ABC</i>,
<i>Z</i> là điểm trên đường thẳng <i>AB</i> sao cho <i>AB</i><i>BZ</i>. Đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>AEZ</i> cắt <i>CZ</i>
tại điểm <i>D</i> và <i>FD</i> là đường kính của
<b>Lời giải </b>
<i><b>T</b></i>
<i><b>P</b></i>
<i><b>F</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>O</b></i>
<i><b>E</b></i>
<i><b>Z</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>A</b></i>
Tứ giác <i>AEDZ</i> nội tiếp nên <i>EDC</i><i>EAZ</i><i>EAB</i>.
Mặt khác <i>ABC</i> đồng dạng với <i>EAB</i> nên <i>EAB</i><i>BCA</i>. Suy ra <i>EDC</i><i>BCA</i>.
Do 0
90
<i>FED</i> nên 0
90 .
<i>PED</i> Khi đó ta có: 0 0
90 90 .
<i>EPD</i> <i>EDC</i> <i>BCA</i><i>EAC</i>
Hay tứ giác <i>ACPE</i> nội tiếp. Suy ra 0
90 .
<i>CPA</i><i>CEA</i>
Tam giác <i>APZ</i> vng tại có <i>B</i> là trung điểm <i>AZ</i> nên <i>PB</i> là trung tuyến.
Suy ra <i>AB</i><i>BZ</i><i>PB</i> hay tam giác <i>PBZ</i> cân tại <i>B</i>. Suy ra <i>BPZ</i><i>BZP</i>.
Lại có: 2
,
<i>CA</i> <i>CE CB</i> <i>CP CZ</i> nên tứ giác <i>PEBZ</i> nội tiếp (1).
Suy ra <i>EPD</i><i>EAC</i><i>CBA</i><i>EBA</i>.
Khi đó, ta có: <i>PAE</i><i>PCE</i><i>ZPB</i><i>PBE</i><i>PZB</i><i>PZE</i><i>EZB</i>.
Suy ra <i>PA</i> là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>AEZ</i>.
Do đó <i>TZ</i><i>TA</i> hay tam giác <i>TZA</i><i>TAZ</i><i>PAB</i><i>APB</i>.
Do đó <i>PTZB</i> là tứ giác nội tiếp (2).
Từ (1) và (2) suy ra <i>T E P Z</i>, , , đồng viên.
<b>Câu 3. </b>
Alice và Bob chơi một trò chơi như sau: Alice chọn một tập <i>A</i>
Hỏi ai là người chơi có chiến lược để thắng?
<b>Lời giải </b>
Alice có chiến lược chiến thắng có nghĩa là cơ ấy có thể tìm một số <i>n</i> để tạo thành tập <i>A</i> sao cho
cơ ấy có thể trả lời một cách chính xác tất cả các lựa chọn của Bob và luôn luôn nhận được tổng
hợp các số của cô ấy là hợp số.
Nếu <i>n</i> không tồn tại, điều này có nghĩa là Bob có một chiến lược chiến thắng.
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 1 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 6 7 8
3 2 1 4 5 6 7 8
3 2 4 5 1 6 7 8
3 2 4 5 6 1 7 8
4 5 3 6 2 1 7 8
4 5 3 6 7 8 2 1
4 5 6 7 3 2 1 8
4 5 6 7 3 2 8 1
4 5 6 7 8 3 2 1
5 4 3 2 1 6 7 8
5 4 3 2 6 7 1 8
5 4 3 2 6 7 8 1
5 4 6 3 2 1 7 8
5 4 6 3 7 8 2 1
6 7 5 4 3 8 2 1
6 7 5 4 8 3 2 1
6 7 8 5 4 3 2 1
7 6 8 5 4 3 2 1
7 6 5 8 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2 1
Trong mọi trường hợp, tổng của Alice là số chẵn lớn hơn 2 hoặc là khác 15 hoặc 21, do đó Alice
ln thắng.
<b>Câu 4. </b>
Tìm tất cả các số nguyên tố <i>p</i> và <i>q</i> sao cho 1
<i>q</i> <i>p</i>
<i>p</i> <i>q</i>
<i>p</i> <i>q</i>
là số nguyên tố.
<b>Lời giải </b>
Rõ ràng: <i>p</i><i>q</i>. Đặt 1 ,
<i>q</i> <i>p</i>
<i>p</i> <i>q</i>
<i>r</i>
<i>p</i> <i>q</i>
khi đó <i>r</i> là số nguyên tố.
Ta có: 1
<i>q</i> <i>p</i>
<i>q</i> <i>p</i>
<i>p</i> <i>q</i>
<i>r</i> <i>p</i> <i>q</i> <i>r</i> <i>p</i> <i>q</i>
<i>p</i> <i>q</i>
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: <i>pq</i><i>qp</i> <i>q</i>
Suy ra <i>pq</i><i>qp</i>
Nếu <i>p</i> là số nguyên tố lẽ, áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có: <i>q</i> <i>p</i>
<i>p</i> <i>q</i> <i>p</i> <i>q</i>
Mà
1 mod .
<i>p</i> <i>p</i><i>q</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>q</i> Suy ra: 2
mod 2 0 mod .
<i>p</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>q</i> <i>p p</i> <i>q</i>
Do <i>p</i><i>q</i> nên <i>p</i> 2 0 mod
<i>p</i> <i>q</i> <i>p</i> <i>p</i><i>q</i> suy ra:
Mà gcd
Khi đó ta có: <i>q</i> 1 0 mod
Do đó <i>p</i> chẵn, suy ra <i>p</i>2. Khi đó ta có: 2<i>q</i> <i>q</i>2 <i>q</i> 2.
Với mọi số nguyên <i>q</i>6, ta có 2<i>q</i><i>q</i>2 <i>q</i> 2. Suy ra <i>q</i>5.
Thử trực tiếp ta thấy <i>q</i>5 thỏa mãn.
Thử lại thấy <i>p</i>2, <i>q</i>5 là hai số nguyên tố cần tìm.
0 mod 1 1 0 mod 1 1 mod 1 .
<i>q</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>p</i>