Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 143

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Mét số công thức tổng quát

Với a, n thì

Chứng minh
Ta có

Một sè vÝ dơ minh häa
VÝ dơ 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
Lêi giải. áp dụng (1) ta có

Ví dụ 2.Thực hiện phép tính

Lời giải. áp dụng công thức (1) ta có

Ví dụ 3. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của
dÃy các phân số sau

Lời giải. Ta có 6 1.6; 66 6.11; 176 11.16;
336 16.21; ...

Mẫu số của phân số thứ 100 là
(99.5 1)(99.5 6) 496.501.
¸p dơng (1) ta cã

1 1 1 1 1

A ...

6 66 176 336 496.501

1 1 1 _... 1

1.6 6.11 11.16 496.501

1 5 5 5 _... 5

5 1.6 6.11 11.16 496.501

1 ₁ 1 1 1 1 1 _... 1 1

5 6 6 11 11 16 496 501

1 ₁ 1 100_.

5 501 501

1 1_; _; 1 _; 1 _{; ...}
6 66 176 336

2 2 2 2

P ...

1.3 3.5 5.7 99.101
1 1 1 1 1 1 _... 1 1

1 3 3 5 5 7 99 101

1 100

1 .

101 101

2 2 2 2

P ... .

1.3 3.5 5.7 99.101

1 1 1 1

S ...

1.2 2.3 3.4 100.101

1 1 1 1 1 1 _... 1 1

1 2 2 3 3 4 100 101

1 1 _100.
1 101 101

1 1 1 1

S ... .

1.2 2.3 3.4 100.101

n (a n) a a n a

a(a n) a(a n) a(a n) a(a n)
1 _{1 .}

a a n
2n
a(a n)(a 2n)

a 2n a

a(a n)(a 2n) a(a n)(a 2n)

1 1 _.

a(a n) (a n)(a 2n)
n 1 _{1 , (1)}
a(a n) a a n

2n 1 1 _{. (2)}

a(a n)(a 2n) a(a n) (a n)(a 2n)

Một số dạng tốn về

PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUAT

hà văn nhân

(GV. THCS Hoằng Xuân, Hoằng Hóa, Thanh Hóa)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Ví dụ 4.Thực hiện phép tính

Lời giải.áp dụng (2) ta cã

VÝ dơ 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
Lêi gi¶i.Ta cã

VÝ dụ 6.Thực hiện phép tính

Lời giải.Ta có

Bài tập

Bài 1.Tìm số tự nhiên x biết rằng:

Bài 2.Chứng minh rằng

Bài 3.Thực hiện phép tính

Bài 4.Chứng minh rằng với n thì

1 1 1 1 n

b) ... .

3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3

1 1 1 1 n

a) ... ;

2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4
2014 2014 2014 2014

e) E ... .

1.3.5 3.5.7 5.7.9 49.51.53

4 4 4 4

d) D ... ;

8.13 13.18 18.23 253.258

10 10 10 10

c) C ... ;

7.12 12.17 17.22 502.507

1 1 1 1

b) B ... ;

6.10 10.14 14.18 402.406

3 3 3 3

a) A ... ;

5.8 8.11 11.14 2006.2009

2 2 2 2

1 1 1 1

b) ... 1.

2 3 4 100

1 1 1

a)100 1 ...

2 3 100

1 2 3 _... 99 _;

2 3 4 100

1 1 1 1 15

e) ... .

3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93

7 4 4 4 4 29

d) ... ;

x 5.9 9.13 13.17 41.45 45

x 1 1 1 1 5

c) ... ;

2008 10 15 21 120 8

1 1 1 2 101

b) ... ;

5.8 8.11 11.14 x(x 3) 1540

1 1 1 2 1998

a) ... ;

3 6 10 x(x 1) 2000
20 27 35 1325

M ...

21 28 36 1326
40 54 70 _... 2650
42 56 72 2652
5.8 6.9 7.10 _... 50.53
6.7 7.8 8.9 51.52
5.6.7...50 8.9.10...53

6.7.8...51 7.8.9...52

5 53 265.
51 7 357

1 1 1 1

M 1 1 1 ... 1 .

21 28 36 1326

2 2 2 2

3 8 15 9999

A ...

4 9 16 10000
1.3 2.4 3.5 _... 99.101

2 3 4 100

1.2.3...99 3.4.5...101
2.3.4...100 2.3.4...100

1 101 101.
100 2 200

3 8 15 9999

A ... .

4 9 16 10000

2 2 2 2

2B ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 99.100.101

1 1 1 1 _... 1 1

1.2 2.3 2.3 3.4 99.100 100.101

1 1 50.101 1 5049

1.2 100.101 100.101 10100
5049

B .

20200

1 1 1 1

B ... .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

ẻlêi giời ệở ệẽng, khi ệẳt BC x thừ CH a x
khi vộ chử khi H thuéc ệoỰn thỬng BC. Lêi giời ệã

xĐt thiạu trđêng hĩp H nỪm ngoội ệoỰn thỬng BC.
Lêi giời ệóng. TH1.H thuéc ệoỰn thỬng BC. Khi
ệã giời nhđ bội ệở cho, ta ệđĩc

TH2.H thuộc tia đối của tia CB.

Khi ệã CH x a. Giời tđểng tù, ta còng tÝnh ệđĩc
TH3.H thuéc tia ệèi cựa tia BC.

Khi ệã CH x a. Giời tđểng tù, ta ệđĩc

Nhận xét. Nhiều bạn gửi lời giải đã khơng chia

ệóng cịc trđêng hĩp. Mét sè bỰn giời quị dội. Mét
sè bỰn nhẵm lÉn vÒ vỡ trÝ cựa H trến BC khi so sịnh
sè ệo cịc gãc B, C vắi 90o. Lđu ý rỪng khi

thừ H B nến BH 0. Khi thừ H C nến
BH a. Cờ hai vỡ trÝ nộy cựa H vÉn ệóng trong
trđêng hĩp 1 nến khềng cẵn xĐt riếng. ẻ trđêng
hĩp 2 vộ 3, tđểng ụng vắi cịc gãc C hay B tỉ.
Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Thẹn ậừnh Phong, 9C,
THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; ậẳng
Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,
ụng Hưa; PhỰm Thỡ Minh Lý, 9A1, THCS Trđng
Vđểng, ậỰi Thỡnh, Mế Linh, Hộ Néi;Ngề Thỡ nh
HiÒn, 8D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh
Phóc.

anh kÝnh lóp

o

C 90

o
B 90

2 2 2

b a c

BH .

2a
2 2 2

a c b

BH .

2a

2 2 2

a c b

BH .

2a

Bài tốn.Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M bên trong tứ giác sao cho biểu
thức P MA MB MC MD t giỏ tr nh nht.

Lời giải.Xét tam giác MAC ta cã MA MC AC.
XÐt tam gi¸c MBD ta cã MB MD BD.

Do đó P MA MB MC MD (MA MC) (MB MD) AC BD.
Bởi vậy không tồn tại điểm M để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Theo bạn thì lời giải trên đã đúng chða?

trÇn anh tn(GV. THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam)
(TTT2 số 141)

KHONG CO GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TÌM CHIỀU DÀI ĐOẠN THẲNG

Điều lệ cuộc thi đăng ở TTT2 số 140. Câu hỏi đăng trên các số tạp chí trong cả năm 2015.
Câu 1.Khi gia nhập ASEAN, Việt Nam trở thành thành viên thứ mấy của hiệp hội này?
Câu 2.Nêu tên thủ đô của 10 quốc gia trong ASEAN.

Câu 3.Liệt kê diện tích của 10 quốc gia trong ASEAN (sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn).

BTC

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

(TTT2 sè 141)
NhẺn xĐt.Quy luẺt kừ nộy tđểng ệèi dÔ nhđng khị

thú vị, rất đông các bạn tham gia gửi bài và đều
cho đáp án đúng. Tuy nhiên, hầu hết các bạn chỉ
nêu kết quả các phép tính mà khơng đặt tên cho
các ơ trong mi hỡnh nờu rừ quy lut.

Quy luật.Đặt tên các ô trong mỗi hình nh sau

Cc số (trong tđểng ụng) ẻ hừnh thụ nhÊt vộ hừnh
thụ hai cã tÝnh chÊt: a e c d b f.

Theo quy luật đó, số cần điền vào ơ trống d là
(16 14) 8 22.

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn: NguyÔn Thỡ nh My,
Triỷu Phđểng Uyến, Trẵn ậan Trđêng, 6A, THCS
Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; ậộo Vẽn Hiạu, 6A2,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; Ngun nh Linh,
7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc.
Cịc bỰn sau ệđĩc khen: Hoộng Bờo Ngẹn, 6A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Thỡ
Dung, 9E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Phóc;Ngun ậừnh Cềng, 9A, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh; Lế Quang Hoộn, 7A,
THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An; Phan
Trẵn Hđắng, 9A, THCS Quịch Xun Kỳ, Bố
Trch, Qung Bnh.

nguyễn Xuân Bình

QUY LUAT KÌ LẠ

Bµi 1.D·y sè Fibonacci tháa m·n tÝnh chÊt tỉng hai sè liªn tiÕp b»ng sè tiÕp theo
cđa d·y: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Biết dãy số sau liên quan đến dãy số Fibonacci, hãy tìm số tiếp theo:
2, 3, 5, 7, 10, 14, ...

Bài 2.Tìm phân số tiÕp theo cđa d·y ph©n sè:

ệộo ịnh dđểng(HS. 10A5, THPT chuyến Vỵnh Phóc)
1 1 1 1_{, , ,} _, 1 _{, ...}

2 3 7 25 121

Từ dãy số FIBONACCI

(TTT2 số 140)
Bài 1. Các số tự nhiên có trị tuyệt đối nhỏ hơn

2014 gåm cã 4027 sè lµ: 2013, 2012, ..., 1, 0,
1, ..., 2012, 2013. Các số trên có tổng bằng 0.
Tổng cần tìm b»ng 1 2 3 ... 4027
8110378.

Bµi 2.Ta cã |x 10| |x 6| |x 2014|
0 x 6 2014 x 2008 2008 |3y 8|.
DÊu b»ng x¶y ra khi x 10 vµ

Bµi 3.Ta cã 10001000 M 1001 1002 1003
... 1001000

Suy ra

Vậy ba chữ số đầu tiên bên trái của M là 100.
Bài 4.Ta có

Vy gi tr nhỏ nhÊt cựa A lộ khi x 0.
Bội 5.Gải O lộ giao ệiÓm cựa AC vộ BD. Vỳ AH
CD tỰi H. Trến tia ệèi cựa tia HA lÊy ệiÓm E sao
cho HE HA. Ta chụng minh ệđĩc cịc tam giịc
CAE vộ AHO ệÒu, tam giịc ADH vuềng cẹn tỰi H,
tam giịc HDO cẹn tỰi H.

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt vộ ệđĩc
thđẻng kừ nộy: TỰ Lế Ngảc Sịng, NguyÔn Hăng
Sển, 8A, trđêng THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam;
NguyÔn Quang Huy, 8A6, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu
GiÊy, Hộ Néi; Lế Hoộng Phóc, 8C, THCS Phan
Chu Trinh, TP. Buền Ma Thuét, ậớk Lớk.

NguyÔn Ngäc Minh
o o

o

o o o

OHC 90 60

Do đó BDC 15

2 2

DBC 45 15 30 .
17

4

4 2

2

21 4x 215x 17 17

A x 4 .

4 4

x 4 4(x 4)

3000 ch÷ sè 3000 ch÷ sè
100000...00 M 1001001...100.

8

y .

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

iờ sỏ cã sịu ngđêi

gẳp nhau trong
mét cuéc héi thờo.
Trong nhọng ngđêi ệã, cã
thÓ cã nhọng cẳp hai ngđêi
quen nhau hoẳc khềng
quen nhau. Ta coi rỪng nạu
A quen B thừ B còng quen A vộ nạu A khềng quen
B thừ B còng khềng quen A.

Mét bội toịn khị quen thuéc lộ chụng minh rỪng
trong sịu ngđêi ệã, luền chản ệđĩc ba ngđêi hoẳc
ệềi mét quen nhau, hoẳc ệềi mét khềng quen
nhau.

ậÓ chụng minh bội toịn nộy, ta vỳ lôc giịc
ABCDEF, vắi 6 ệửnh lộ ệỰi diỷn cựa 6 ngđêi vộ nạu
hai ngđêi quen nhau thừ ệoỰn thỬng nèi hai ệiÓm
lộ ệđêng nĐt liÒn. Ngđĩc lỰi, nạu hai ngđêi khềng
quen nhau thừ ệoỰn thỬng nèi hai ệiĨm lộ ệđêng
nĐt ệụt.

Từ A, có 5 đoạn thẳng nối đến 5 điểm B, C, D, E,
F. Ta thấy có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng vẽ bằng
nét liền hoặc nét đứt.

Giờ sỏ AB, AC, AD vỳ bỪng nĐt liÒn. Khi ệã, nạu
cã mét trong ba ệoỰn thỬng BC, BD, CD vỳ bỪng
nĐt liÒn, chỬng hỰn lộ BC thừ ba ngđêi A, B, C ệềi
mét quen nhau. Ngđĩc lỰi, nạu BC, BD, CD cỉng
vỳ bỪng nĐt ệụt thừ ba ngđêi B, C, D ệềi mét khềng

quen nhau.

Tõ vÝ dơ trến, ta kÝ hiỷu R(3, 3) ệĨ biÓu thỡ rỪng tõ
mét nhãm ngđêi, luền từm ệđĩc Ýt nhÊt ba ngđêi
quen nhau hoẳc ba ngđêi khềng quen nhau. Ta

thÊy tõ nẽm ngđêi thừ khềng thÓ từm ệđĩc R(3, 3)
trong hừnh vỳ sau. Bẻi vẺy R(3, 3) 6.

Đơn giản nhất là R (2, 2) 2.

Bạn hÃy chøng minh r»ng R (4, 4) 18.

ẻ ệẹy, kÝ hiỷu R lộ ệẳt tến theo nhộ toịn hảc
Frank Ramsey, ngđêi ệở nghiến cụu vÊn ệÒ nộy tõ
nhọng nẽm 1920.

Bội toịn tững quịt từm R(a, b) n lộ rÊt khã: Từm
sè ngđêi n nhá nhÊt ệÓ trong n ngđêi bÊt kừ, luền
từm ệđĩc hoẳc a ngđêi ệềi mét quen nhau hoẳc b
ngđêi ệềi mét khềng quen nhau. ChỬng hỰn viỷc
từm R(5, 5) cịng chđa cã ệịp sè cơ thÓ. Ngđêi ta
mắi chụng minh ệđĩc rỪng ệã lộ mét sè nỪm giọa
42 vộ 49.

Ngộy nay, vắi sù trĩ gióp cựa mịy tÝnh, ngđêi ta cã
thĨ vỳ ệă thỡ vÒ mèi quan hỷ giọa mét nhãm găm
n ngđêi vộ thỏ hạt cịc trđêng hĩp ệÓ từm xem n
bỪng R(a, b) nộo. Tuy vẺy, bội toịn tững quịt vÉn
cưn bá ngá.

BÀI TỐN

người quen nhau

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

C©u 1. (2 ®iĨm)

1. Chøng tá r»ng (víi n ).
¸p dơng kết quả trên, hÃy tính giá trị của biểu thức
2. Cho d·y tØ sè b»ng nhau

H·y tÝnh gi¸ trị của biểu thức
Câu 2. (2 điểm)

Vi mi số nguyến dđểng n, ệẳt trong ệã kÝ hiỷu [a] lộ sè nguyến lắn nhÊt
khềng vđĩt quị a.

1. TÝnh S₁, S₂, S₃,... , S₆.

2. Gi¶ sư a, n . Chøng minh r»ng:

a) NÕu n a th× b) NÕu n không chia hết cho a và a 0 thì
Câu 3. (2 điểm)

1. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng tỏ rằng, các tổng sau là các sè ch½n:
a) S |a b| (a b); b) R ||a b| c| (a b c).

2. Cho ®a thøc f(x) có các hệ số nguyên thỏa mÃn f(3).f(4) 5. Chứng minh rằng đa thức f(x) 6 không
có nghiệm nguyên.

Câu 4. (3 điểm)

1. Cho ABC có A 90o, ệđêng cao AH, ệđêng phẹn giịc AD cựa gãc HAC cớt ệđêng phẹn giịc BE
cựa gãc ABC tỰi G. Chụng minh rỪng BG AG.

2. Cho ABC cân tại A có A 80o. Lấy điểm I trong ABC sao cho IAC 10o, ICA 20o. Tính số
đo của CBI.

Câu 5. (1 điểm)

Một cu bĐ tinh nghỡch lÊy mét mờnh bừa cớt ra lộm 6 mờnh hoẳc 11 mờnh. Cịc mờnh nhẺn ệđĩc cẺu
Êy lỰi cớt ra thộnh 6 mờnh hoẳc 11 mờnh nhá hển. CẺu ta mong rỪng cụ lộm nhđ thạ ệạn mét lóc nộo
ệã sỳ nhẺn ệđĩc sè mờnh lộ 2014. Hái rỪng cẺu Êy cã thùc hiỷn ệđĩc mong muèn ệã khềng? Vừ sao?

n _{n 1 .}

a a

n _{n 1 1;}

a a

n n n n n

S ... ,

1 2 3 n

2
1 2 3 2013

2 2 2 2

1 2 3 2013

(a a a ... a )

B .

a 2a 3a ... 2013a
3 2013
1 2

2 3 4 1

a a

a a _... _.

a a a a

2.2012

A ₁ ₁ ₁ .

1 ...

1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2012
n(n 1)

1 2 3 ... n

2

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 7 CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

B. Đề thi đồng đội

1. ậÓ ệđĩc kạt quờ lộ lắn nhÊt thừ dÊu trõ phời ệẳt
ệỪng trđắc cẳp dÊu ngoẳc ệã, kạt quờ ẻ bến trong
dÊu ngoẳc phời lộ sè ẹm vộ sè trõ cã giị trỡ tuyỷt
ệèi lắn nhÊt.

Có hai cách đặt dấu ngoặc là

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) 24 hoẳc
2 2 2 2 2 2 2 2 2) 2 36.
VẺy giị trỡ lắn nhÊt cã thÓ cựa biÓu thục nhẺn
ệđĩc lộ 36.

2.

Trong hừnh vỳ ta cã 18 sè ệđĩc viạt trong 18 ề
vuềng. Cụ hai sè cã tững lộ mét sè chÝnh phđểng
thừ ta nèi hai ề vuềng chụa hai sè ệã vắi nhau bẻi
mét ệoỰn thỬng. Cã 3 cẳp sè ệẵu tiến lộ (18, 7),
(17, 8) vộ (16, 9). Tiạp ệã lộ cịc cẳp sè sau:
(2, 14), (11, 5), (4, 12), (13, 3), (6, 10) vộ (15, 1).
3.Bớt ệẵu tõ cịc hừnh vuềng cã ệé dội cỰnh lộ 1 cm,
chóng ta cã thÓ xịc ệỡnh ệđĩc ệé dội cỰnh cựa

cịc tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu. Tững diỷn
tÝch cựa cịc tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu lộ
4.Chó ý rỪng con mÌo 1 tuữi cã thĨ ệđĩc bÊt cụ
gia ệừnh nộo nhẺn nuềi. Con mÌo 4 tuữi cã thÓ
ệđĩc cịc gia ệừnh sèng ẻ cịc cẽn hé sè 4 hoẳc 12
nhẺn nuềi. Chóng ta xĐt hai trđêng hĩp:

* Trđêng hĩp 1. Con mÌo 4 tuữi ệđĩc gia ệừnh ẻ
cẽn hé sè 12 nhẺn nuềi.

Con mÌo 6 tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn
hé sè 6 vộ con mÌo 3 tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia
ệừnh ẻ cẽn hé sè 3. Do ệã con mÌo 2 tuữi ệđĩc
nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn hé sè 2 hoẳc sè 4.
Cã 2 cịch nhẺn nuềi.

* Trđêng hĩp 2. Con mÌo 4 tuữi ệđĩc gia ệừnh ẻ
cẽn hé sè 4 nhẺn nuềi.

Con mÌo 6 tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn
hé sè 6 hoẳc 12. Gia ệừnh ẻ cẽn hé sè 12 hoẳc sè
6 cưn lỰi cã 3 cịch nhẺn nuềi cịc con mÌo 1 tuữi,
2 tuữi vộ 3 tuữi. Mét trong hai gia ệừnh cưn lỰi cã 2
cịch nhẺn nuềi mét trong 2 con mÌo cưn lỰi, gia
ệừnh cuèi cỉng chử cã mét cịch nhẺn nuềi con
mÌo cưn lỰi. Do ệã cã 3 2 1 6 cịch nhẺn nuềi.
VẺy cã 8 cịch nhẺn nuềi cịc con mÌo theo bờng
sau:

2 2 2 2 2

1(9 4 4 7 ) 81cm .
2

DTH(Dịch và giới thiu)

LI GII THI OLYMPIC

TON HC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HÀN QUỐC

(KIMC 2014)

Junior Section

Con
mÌo
1 ti

Con
mÌo
2 ti

Con
mÌo
3 tuổi

Con
mèo
4 tuổi

Con

mèo
6 tuổi
Căn hộ

số 4 Căn hộsố 2 Căn hộsố 3 Căn hộsố 12 Căn hộsố 6
Căn hộ

số 2 Căn hộsố 4 Căn hộsố 3 Căn hộsố 12 Căn hộsố 6
Căn hộ

số 12 Căn hộsố 2 Căn hộsố 3 Căn hộsố 4 Căn hộsố 6
Căn hộ

số 2 Căn hộsố 12 Căn hộsố 3 Căn hộsố 4 Căn hộsố 6
Căn hộ

số 3 Căn hộsố 2 Căn hộsố 12 Căn hộsố 4 Căn hộsố 6
Căn hộ

số 6 Căn hộsố 2 Căn hộsố 3 Căn hộsố 4 Căn hộsố 12
Căn hộ

số 2 Căn hộsố 6 Căn hộsố 3 Căn hộsố 4 Căn hộsố 12
Căn hộ

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

5.ể c số nhỏ nhất th sè ệã phời cã chọ sè
tẺn cỉng bến trịi lộ 1 vộ ệỪng sau sè ệã cã cộng
nhiÒu sè 0 cộng tèt. Ta bớt ệẵu tõ sè 100 ta cã sè
1001011, sè nộy chia hạt cho 11. ậÓ ệđĩc sè bĐ

hển nọa ta bớt ệẵu tõ sè 1000, ta ệđĩc sè
1000100, sè nộy khềng chia hạt cho 11. VẺy sè
nhá nhÊt cẵn từm lộ 1001011.

6.a) Cã 6 tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh khịc nhau
ệđĩc thÓ hiỷn trong hừnh vỳ sau

b) Cã 2 tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh lắn nhÊt. Cã
2 tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh tiạp theo lộ trung
ệiĨm cịc cỰnh cựa hừnh lơc giịc ệÒu lắn nhÊt. XĐt
ệé dội cỰnh tiạp theo mét trong ba ệửnh cựa tam
giịc ệã lộ ệửnh cựa hừnh lơc giịc ệỊu lắn nhÊt nến
cã 6 tam giịc. Tam giịc cã ệé dội cỰnh tiạp theo lộ
tam giịc cã 2 trong 3 ệửnh lộ ệửnh cựa lơc giịc ệỊu
lắn nhÊt hoẳc cã mét ệửnh lộ trung ệiĨm cựa hừnh
lơc giịc ệÒu ệã nến cã 12 tam giịc. Tam giịc cã
ệé dội cỰnh tiạp theo lộ tam giịc cã 1 trong 3 ệửnh
lộ ệửnh cựa lơc giịc ệỊu lắn nhÊt hoẳc cã mét ệửnh
lộ trung ệiĨm cựa hừnh lơc giịc ệÒu ệã nến cã 12
tam giịc. Cã 24 tam giịc cã ệé dội cỰnh nhá nhÊt.
7. ậiÓm cao nhÊt ệéi A cã thÓ cã khi ệéi A thua
ệéi B, hưa vắi ệéi C vộ thớng hai ệéi cưn lỰi lộ
3 3 1 7 ệiÓm. ậiÓm thÊp nhÊt ệéi B cã thÓ cã
lộ 3 1 1 1 6 ệiÓm. Vừ ệéi A ệđĩc ệiÓm cao
nhÊt nến ệéi A ệđĩc 7 ệiÓm vộ ệéi B ệđĩc 6 ệiÓm.
Vừ ệiÓm cựa cịc ệéi khịc nhau nến ệéi C hưa 4
trẺn vộ ệđĩc 4 ệiÓm (Vừ sè ệiÓm cựa ệéi C nhá hển
6 vộ Ýt ệiÓm hển ệéi D). Do ệã ệéi D ệđĩc 5 ệiÓm.
Tục lộ ệéi D thớng ệéi E. ậéi E thua 2 trẺn vộ cã
2 trẺn hưa vắi ệéi B vộ C. VẺy ệéi E ệđĩc 2 ệiÓm.

8. Trđắc hạt ta từm vỡ trÝ cựa ệiÓm P ệÓ cịc tam
giịc ệã cã diỷn tÝch khềng nhá hển 8 cm2. Gải O
lộ tẹm cựa hừnh vuềng vộ M lộ trung ệiÓm cựa CD.
Gải P lộ trung ệiÓm cựa OM. Khi ệã S_PBC S_PDA
vộ S_PAB S_PCD.

Ta cã S_PAC S_PBD 2S_POD S_PCD

Giả sử tồn tại điểm P nằm trong hình vng sao
cho giá trị lớn nhất có thể của diện tích tam giác
có diện tích bé nhất trong các tam giác đó lớn hơn
8 cm2. Chẳng hạn điểm P nằm trong hoặc trên
cạnh của tam giác COD. Khi đó

Do đó điều gi s l sai.

Vậy giá trị lớn nhất có thể cđa diƯn tÝch cđa tam
gi¸c cã diƯn tÝch bÐ nhÊt trong các tam giác PAB,
PBC, PCD, PDA, PAC và PBD lµ 8 cm2.

9.Sè cã hai chọ sè lộ béi cựa 19 hoẳc 23 lộ cịc
sè: 19, 23, 38, 46, 57, 69, 76, 92 vộ 95. Ta cã mét
chu kừ (57, 76, 69, 95) ệđĩc lẳp ệi lẳp lỰi. Sè 19 vộ
46 chử cã thÓ ệụng ẻ vỡ trÝ ệẵu tiến cựa dởy ệã, sè
38 chử cã thÓ ẻ tẺn cỉng cựa dởy sè ệã vộ cã hai
sè ệụng trđắc nã lộ 23 vộ 92. Vừ sè thụ 2014 lộ 23
nến sè thụ 2013 lộ 92 vộ sè thụ 2012 lộ 69. Vừ
2014 503 4 2 nến sè cẵn từm lộ sè ệẵu tiến
trong chu kừ (95, 57, 76, 69) tục lộ sè 95.

10.Ta chia cịc ệăng xu ệở cho thộnh 4 nhãm A,
B, C vộ D, mẫi nhãm cã 3 ệăng xu vộ ệem cẹn
tõng nhãm ệăng xu ệã. Ta xĐt 2 trđêng hĩp.
* Trđêng hĩp 1. Cờ bèn nhãm ệăng xu ệã cã tững
khèi lđĩng bỪng nhau. Khi ệã tững khèi lđĩng hai
ệăng xu thẺt bỪng tững khèi lđĩng hai ệăng xu
giờ.

* Trđêng hĩp 2. Chử cã hai nhãm ệăng xu cã tững
khèi lđĩng bỪng nhau. Giờ sỏ hai nhãm A vộ B cã
tững khèi lđĩng bỪng nhau, vộ tững khèi lđĩng cịc
ệăng xu trong nhãm C lắn hển tững khèi lđĩng cịc
ệăng xu trong nhãm D. Khi ệã cờ hai ệăng xu giờ
ệÒu thuéc nhãm C vộ nhãm D. Ta sỳ so sịnh tững
khèi lđĩng cịc ệăng xu trong hai nhãm A vộ B vắi
tững khèi lđĩng cịc ệăng xu trong hai nhãm C vộ
D. Tõ ệã ta sỳ cã cẹu trờ lêi.

PCD POC POD
PCD PAC PBD

16 S S S

1 1

S S S 8 4 4 16 (vô lí).

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bi 1.T Do ú

Bài 2.a) Điều kiện x 1.

Cách 1.Đặt (u, v 0).

Ta cã

Từ đó (u 1)2 0 nên u 1 (thỏa mãn).
Suy ra x2 x 1 0

(v× x 1).

Cách 2.áp dụng BĐT AM - GM cho hai số không
âm, ta có

Từ ó ta tm c

b) Ta cã x2 y2 xy x (x y)2 xy x
(x y)2 (x y) (xy y 5) 5.
Đặt u x y, v xy y 5.

Ta ệđĩc

Tõ (1) u 0 vµ Thay vµo (2) ta suy ra
u3 u2 2u 8 0 (u 2)(u2 u 4) 0

u 2 (v×

Do đó

y2 y 1 0. Tõ ệã ta từm ệđĩc

Bội 3.a) Vừ a b c nến a b c 2c hay 2 2c
c 1. Tđểng tù a 1, b 1.

Suy ra (1 a)(1 b)(1 c) 0

abc 1 ab bc ca (a b c)
abc ab bc ca 1.

Do đó a2 b2 c2 2abc a2 b2 c2 2(ab
bc ca 1) (a b c)2 2 2.

Mẳt khịc, ịp dông bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba
sè dđểng, ta cã

3
1 a 1 b 1 c 1
(1 a)(1 b)(1 c)

3 27

26
abc ab bc ca (a b c)

27
28

abc ab bc ca .
27

3 5 1 5 3 5 1 5

(x; y) ; , ; .

2 2 2 2

x y 2 x 2 y

xy y 1 ( 2 y)y y 1
8

v 4.

u

2

2 1 15

u u 4 u 0)

2 4

8

v .

u

2

uv 8 (1)

u u v 2. (2)

1 5

x .

2

1 1 1 1

x 1 x 1 (x 1)

x x x x

1 _x 1 ₁ 1 _{x 1} 1 _x.

2 x 2 x

1 5
x
2
1
x 1
x

2

x 1 1

2u x x 1 u 1.

x x

2 2

u v x
u v x

x 1
u v

u v x 1 _x

1 1

u x , v 1

x x
2
4 2
2
2
4 2

1 a 1 a

a a 1 a a 1

2 2 2 2

a 6a 9 1 a a 3 1 a

8 2 2 2 2 2 2

a 3 1 a a 1 a 1 _2.

2 2 2 2 2 _a _{a 1 a}

2 2 1 a

4a 2(1 a) a .

2 2

(Đề đăng trên TTT2 số 142)

Năm học 2013 - 2014

THI CHN ĐỘI TUYỂN HSG TỐN LỚP 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Do đó a2 b2 c2 2abc a2 b2 c2 2(ab
bc ca (a b c)2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b) Với x, y là hai số thực bất kì, ta cã

(x y)2 0 2xy x2 y2; (x y)2 2(x2 y2).
ịp dông hai kạt quờ trến, ta ệđĩc

(a2 b2 c2)2. Suy ra

Viạt hai bÊt ệỬng thục tđểng tù răi cộng li theo
v, ta c pcm.

Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ khi a b c.
Bµi 4.

a) Ta thÊy MBD MAC (g.g)

Tđểng tù Mộ AC AB BC nến
MA MB MC.
b) Vừ MBD MAC nến

Tđểng tù
Do ệã

c) KỴ BH AM (H AM). Đặt MB x, MC y.
Vì ABM có các góc A, M nhọn nên H nằm trên
cạnh AM.

XÐt BMH cã
Suy ra

Theo định lí Pythagore ta có AH2 BH2 AB2

Do đó MA2 MB2 MC2 (x y)2 x2 y2

2(x2 y2 xy) 6R2.

d) Ta cã MA4 MB4 MC4 (x y)4 x4 y4
[(x2 y2 xy) xy]2 [(x2 y2 xy) xy]2 2(xy)2

(3R2 xy)2 (3R2 xy)2 2(xy)2 18R4.
Bài 5.a) Vì nên tứ giác BPNC
nội tiếp. Suy ra

Mặt khác

Do đó nên AK PN.

b) Ta cã 2S_ABC 2(S_OPAN S_OMBP S_ONCM)
OA.PN OB.MP OC.MN R.C_MNP, với C_MNPlà
chu vi tam giác MNP.

Từ đó C_MNPlớn nhất khi và chỉ khi S_ABClớn nhất.
Khi đó A là trung điểm của cung lớn BC.

o
ANP KAC 90

o o

KAC 90 AKC 90 B.
ANP B.

o
BNC BPC 90

2
2

2 2 2 2

x _y x 3 _{(R 3)} _x _{y xy 3R .}

2 2

x x

AH AM MH (x y) y.

2 2

BM x BM 3 x 3

MH , BH .

2 2 2 2

MD MD CD BD CD BD BC 1.
MB MC AB AC AB AB AB

MD CD.
MB AB

MD BD .
MC AC

MB MC BD CD BC 1

MA MA AB AB

MC CD.
MA AB

MB BD .
MA AC

3 4 2

3 a 3 4 a 3 2 a2 2.

a (b c) a a(b c) a b c

2

4 3 4

2

4 2

4 2 2

(b c)
a a(b c) a 2[a(b c)].

2

(b c) (b c)

a [a(b c)] a

4 2

2

a b c .

3
56 52.
27 27
28)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bội 1(141).BỰn An vỳ mét sè tia chung gèc A. BỰn
Bừnh vỳ mét sè tia chung gèc B. Biạt bỰn Bừnh vỳ
nhiÒu hển bỰn An ệóng 1 tia vộ tững sè gãc hai bỰn
vỳ ệđĩc lộ 100. Hái mẫi bỰn ệở vỳ bao nhiếu tia?
Lêi giời.Gải sè tia bỰn An vỳ lộ n (vắi n , n 2).
Suy ra sè tia bỰn Bừnh vỳ lộ n 1.

Sè gãc bỰn An vỳ ệđĩc lộ
Sè gãc bỰn Bừnh vỳ ệđĩc lộ

Vừ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ 100 nến ta cã
hay n2 100.

Do đó n 10 (thỏa mãn).

Vậy số tia bạn An đã vẽ là 10, số tia bạn Bình đã
vẽ là 11.

NhẺn xĐt. ậẹy lộ mét bội toịn khị quen thuéc
nến cã gẵn 100 bỰn tham gia giời vộ ệÒu giời
ệóng. Tuy nhiến cã mét sè bỰn quến khềng ghi
ệỡa chử cựa mừnh. Cịc bỰn sau cã bội giời sỰch vộ
trừnh bộy ệứp hển cịc bỰn khịc: ậẳng Phđểng
Anh, Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 7C, THCS Cao Xuẹn
Huy, DiÔn Chẹu; Chu TuÊn Nghỵa, 7C, THCS
BỰch LiÔu, Yến Thộnh; Hă Xuẹn Viỷt Anh, 7A,
THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu; NguyÔn Thỡ
Trộ My, 6A, THCS thỡ trÊn Nghỵa ậộn, Nghỵa ậộn,
Nghỷ An;Trẵn ậừnh Hoan, 6/1; NguyÔn Sủ Huẹn,
7/4, THCS Lế Vẽn Thiếm, TP. Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh;
TỰ Viỷt Hoộn, 7C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ,
Bớc Ninh; Ngun Thu HiỊn, Bỉi Hđểng Giang,
Ngun Họu Trung Kiến, 7A3; Khững Doởn Hđng,
6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; NguyÔn Sển
Lẹm, 7A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh,
Phó Thả.

Phïng kim dung

Bài 2(141).Cho tam giác ABC có Dựng
điểm D bên ngoài tam giác ABC sao cho ACD là
tam giác đều.

Chøng minh r»ng AB2 BC2 BD2.
Lêi gi¶i.Ta xÐt các khả năng sau.
Khả năng 1.

V ra phớa ngoi ABC tam giác đều BCE.
Ta thấy ABE là tam giác vng tại B.

Theo định lí Pytago, ta có AB2 BE2 AE2. (1)
Mặt khác, vì BC EC, CD CA,

nên

BCD ECA (c.g.c) BD AE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB2 BC2 BD2.

Khả năng 2.
Khi đó

Vỳ ra phÝa ngoội ABC tam giịc ệÒu ABE răi
chụng minh tđểng tù nhđ khờ nẽng 1, ta ệđĩc
AB2 BC2 CE2 BD2(ệpcm).

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: TỰ Kim
Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế
Ngảc Hoa, NguyÔn Quèc Huy, Chu Thỡ Thanh,
7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;
Ngun Hđểng Giang, Lế Thỡ Vẹn Anh, 7E, THCS
Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa; Hoộng Hộ My, 7A, THCS
Chu Vẽn An, Nga Sển, Thanh Hãa;Vò ậục Dòng,

7A, THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu, Nghỷ An;
NguyÔn Tỉng Lẹm, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao,Phó Thả.

hå quang vinh

Bội 3(141).Giời hỷ phng trnh

Lời giải. Điều kiện x 0, y 1, z 1.

x 3 y 7 5 (1)
y 1 z 1 3 (2)
z 6 x 4. (3)

o
BAC 30 .

o
ACB 120 .

o

BCD ECA ( 60 ACB)

o
ACB 120 .

o
B 30 .

n(n 1) (n 1)n 100

2 2

(n 1)n.
2
n(n 1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Ta thÊy nÕu x 1 th× y 2, z 3.

NÕu x 1 th× tõ (1) suy ra y 2.
Víi y 2, tõ (2) suy ra z 3.

Víi x 1, z 3 thì không thỏa mÃn (3).
Nếu x 1 thì từ (1) suy ra y 2.

Víi y 2, tõ (2) suy ra z 3.

Víi x 1, z 3 thì không thỏa mÃn (3).
Vậy (x; y; z) (1; 2; 3).

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn khềng khã vộ cã nhiÒu
cịch giời. Cịch giời trến ệẹy lộ ngớn gản hển cờ.
Vắi cịch giời nộy, ta cã thÓ khịi quịt bội toịn sau:
Hỷ phđểng trừnh dỰng

sÏ v« nghiƯm hc cã nghiƯm duy nhÊt.

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Hoộng ChÝ Hiạu,

9A6, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP. Thịi Bừnh, Thịi
Bừnh;Trẵn Thỡ Thóy Hộ, 8C, THCS Liến Hđểng, Vị
Quang, Hộ Tỵnh;Ngun Tỉng Lẹm, 9A3, THCS
Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;Trẵn Quèc LẺp, 8A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun
Khời Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa,
Thanh Hãa;TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến
Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;NguyÔn Lế Sển, 9A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc.

ngun anh dịNG

Bội 4(141). Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng
tháa mởn xy yz zx 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa
biĨu thục

Lêi giời.ịp dơng bÊt ệỬng thục AM - GM cho cịc
sè thùc dđểng, ta cã

Tđểng tù:

Céng theo vạ ba bÊt ệỬng thục ta ệđĩc

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy
-Schwars, ta có

Ta chøng minh R 1.

Thật vậy, R 1 2(x y z)2 x2 y2 z2 (x
y z) 18 x2 y2 z2 x y z 6.

Bất đẳng thức này đúng do ta áp dụng các bất
đẳng thức quen thuộc là

x2 y2 z2 xy yz zx 3 vµ

Do đó P 1. P 1 khi và chỉ khi x y z 1.
Vậy P_min 1.

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn bÊt ệỬng thục khềng quị
khã vừ thạ cã nhiÒu bỰn tham gia giời bội. MÊu chèt
cựa bội toịn lộ kỵ thuẺt chản ệiÓm rểi vộ khỏ cẽn ẻ
mÉu thục. Hẵu hạt cịc bỰn tham gia giời ệỊu ệóng,
mét sè bội biạn ệữi dội mắi ệi ệạn ệiÒu phời chụng
minh. Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn
gản: TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A; ậoộn Ngảc Hiạu, 9B,
THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; PhỰm Thỡ Minh
Lý, 9A1, THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Hộ Néi;Lế
ậừnh Linh, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng,
Nghỷ An;NguyÔn Trung ậục, Lế Quang Bờo, 9A,
THCS Yến Phong; NguyÔn Thu Thựy, 9A5, THCS
NguyÔn ậẽng ậỰo, TP. Bớc Ninh, Bớc Ninh;
Hoộng ậục ThuẺn, Hă Quang Huy, 9A, THCS Vẽn
Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả; NguyÔn Lế Sển, 9A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Lế
Hoộng Phóc, 9C, THCS Phan Chu Trinh, TP. Buền
Ma ThuẺt, ậớk Lớk;Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3,
THCS Thỡ TrÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh; Trẵn
Thỡ Thu Hộ, 9B, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ
Nam; Hoộng ChÝ Hiạu, 9A6, THCS Lđểng Th
Vinh, TP. Thi Bnh, Thi Bnh.

cao văn Dũng

Bi 5(141).Tng ca 5 sè thùc khềng ẹm bỪng 1.
Chụng minh rỪng ta cã thÓ xạp 5 sè nộy trến mét
ệđêng trưn sao cho tững cịc tÝch cựa 5 cẳp sè
ệụng cỰnh nhau khềng lắn hển

Lời giải.Giả sử khơng có cách xếp nào thỏa mãn
tổng các tích của 5 cặp số đứng cạnh nhau không
lớn hơn Nghĩa là với bất kì cách xếp nào ta
cũng có tổng các tích của 5 cặp số đứng cạnh
nhau lớn hơn hoặc bằng

Gọi 5 số thực đó là a, b, c, d và e.
Ta có a b c d e 1.

Ta xÐt hai c¸ch sắp xếp là a, b, c, d, e và a, c, e,
b, d trên vòng tròn.

1.
5
1.
5
1.
5

x y z 3(xy yz zx) 3.3 3.
2

2 2 2(x y z)2

Q R.

x y z (x y z) 18

2 2 2

22x 22y 22z

P Q.

x x 6 y y 6 z z 6

2 2 2 2

2 2

3 3

y 2y _, z 2z _.

y y 6 z z 6

y 8 z 8

3 2

2 2

2 2

2
3

x 8 (x 2)(x 2x 4)

x 2 x 2x 4 x x 6

2 2

x 2x _.

x x 6

x 8

2 2 2

3 3 3

x y z

P .

x 8 y 8 z 8

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x a y b c

y a z b c

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Khi đó ab bc cd de ea v

ac ce eb bd da

Mặt khác ta cã 1 (a b c d e)2

a2 b2 c2 d2 e2 2(ab ac ad ae bc
bd be cd ce de)

2(ab bc cd de ea) 2(ac ce eb bd da)
3(ab bc cd de ea) 2(ac ce eb bd

da) mÉu thuÉn.

Chøng tỏ điều giả sử là sai, suy ra đpcm.

Nhn xt.y lộ bội toịn hay vộ khã. BỰn TỰ Lế
Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi
-Amsterdam, Hộ Néi ệở sỏ dông phđểng phịp
phờn chụng nhđ lêi giời trến nhđng sỏ dơng giờ
thiạt phờn chụng ệĨ suy ra

a2 b2 c2 d2 e2 mâu thuẫn với việc sử
dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 5 số
để chỉ ra a2 b2 c2 d2 e2

Ngoội bỰn Sịng, cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Vđểng
Tiạn ậỰt, 9C, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng
Hưa,Hộ Néi; NguyÔn Sển Lẹm, 7A4, THCS GiÊy
Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Ngun Ngảc
Lan, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh.
trỡnh hoội dđểng

Bội 6(141).Cho hừnh vuềng ABCD. Cịc ệiÓm E, F
lẵn lđĩt thuéc cỰnh AB, BC sao cho EF AE CF.
Dùng hừnh chọ nhẺt EBFG. AC cớt EG tỰi M, DE
cớt FG tỰi N. Dùng MP AD (P AD). Chụng
minh rỪng NP // AC.

Lời giải. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao
cho AK CF. Gọi Q là giao điểm của AC và FN.
Vì AK CF, AD CD, nên

KAD FCD (c.g.c) DK DF.

KÕt hỵp víi EK EA AK EA FC EF, suy ra
DEK DEF (c.c.c).

KÕt hỵp víi EA // NF, suy ra

KÕt hỵp víi EK EF, suy ra EK EF NF. (1)
Vì ABC vuông cân tại B và BA // FQ nên FQC

vuông cân tại F.

KÕt hỵp víi KAD FCD, suy ra KA FC FQ. (2)
Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng AEMP lµ hình chữ nhật,
suy ra PM AE EK KA NF FQ NQ.
KÕt hỵp víi PM // NQ, suy ra PMQN là hình bình hành.
Vậy NP // QM hay NP // AC.

Nhận xét. Ngoài cách giải trên, cịn có thể giải
bằng cách sử dụng định lí Pytago.

Xin nếu tến mét sè bỰn cã lêi giời tèt: TỰ Lế Ngảc
Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ
Néi;NguyÔn Lế Sển, 9A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh
Xuyến, Vỵnh Phóc; Lế ậừnh Linh, 9B, THCS Lý
NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An;Trẵn Thỡ Thóy
Hộ, 8C, THCS Liến Hđểng, Vò Quang, Hộ Tỵnh;
Trẵn Quèc LẺp, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,
Phó Thả; Trẵn Nhđ Quúnh, Hoộng Thỡ Thđểng,
8D; NguyÔn Khời Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sủ,
HoỪng Hãa, Thanh Hãa.

nguyÔn minh hµ
FNE KED FED FEN.

o

KAD 90 FCD
1.
5

1,

5

1 1

3. 2. 1:

5 5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b b c c d d e e a

2 2 2 2 2

1.
5

1
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Bài toán. Cho 2015 số thực. Biết rằng
tổng của 4 số tùy ý trong 2015 số đã
cho lớn hơn tổng của 3 số tùy ý trong
2011 số còn lại. Chứng minh rằng tổng
của 3 số tùy ý trong 2015 số đã cho lớn
hơn tổng của 2 số tùy ý trong 2012 số
còn lại.

nguyễn đức tấn(TP. Hồ Chí Minh)

DÃY SỐ LẠ

DỰNG TỨ GIÁC

(TTT2 sè 141)

Phẹn tÝch.Giờ sỏ dùng ệđĩc tụ giịc ABCD tháa
mởn yếu cẵu bội toịn.

Ta thÊy MN lộ ệđêng trung bừnh cựa ABC nến

Do ệã ta cã sè ệo ba cỰnh cựa ABC nến sỳ dùng
ệđĩc tam giịc nộy.

Dùng h×nh

- Dùng ABC biạt AB a, BC b, AC 2m.
- Dùng nỏa ệđêng trưn tẹm C, bịn kÝnh c khịc
phÝa B so vắi AC. LÊy ệiÓm D bÊt kừ trến nỏa
ệđêng trưn sao cho D, B, C khềng thỬng hộng vộ
D, A cỉng phÝa so vắi BC.

BiÖn luËn

- Ta dùng ệđĩc ABC khi vộ chử khi a b 2m,
a 2m b, b 2m a.

Do ệã nạu a b 2m hoẳc a 2m b hoẳc b 2m
a thừ ABC khềng dùng ệđĩc.

- Vừ PQ lộ ệđêng trung bừnh cựa ACD nến
Do ệã nạu n m thừ bội toịn khềng dùng ệđĩc.
NhẺn xĐt.Mét sè bỰn khi giời bội toịn nộy ệở thiạu
biỷn luẺn. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn
Ngảc Lan, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc
Ninh; ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu,
Phỉ Ninh, Phó Thả.

ANh com pa
1

PQ AC hay n m.
2

1

MN AC hay AC 2m.
2

Cịc bỰn sau giời ệóng thạ cê kừ 66: Phan Vẽn
Tội, 6B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ
Tỵnh;NguyÔn Quèc Huy, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Dđểng Lẹm Anh, 8A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong; Vò Quang Phong,
8A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Vò
Ngảc Quang Huy, 9D, THCS Sển Tẹy, TX. Sển
Tẹy, Hộ Néi.

Lª Thanh Tó

Trắng đi trước chiếu hết sau 2 nước.

LÊ THANH TUÙ

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

ềm nay trêi ẹm u suèt tõ sịng. Cộng
vÒ chiÒu, bẵu trêi cộng ờm ệỰm. Mắi
hển 5 rđìi mộ cụ nhđ ệở tèi. “Hõm!
RĐt mđắt thạ nộy, cã lỳ mừnh nến vỊ sắm mét
chót!” - thịm tỏ Sếlềccềc nghỵ thẵm răi quyạt
ệỡnh khãa cỏa vẽn phưng. ậóng lóc ệã, chuềng
nãi luền vắi thịm tỏ vÒ mèi nghi ngê cựa mừnh
ệèi vắi ệụa chịu hả tến lộ Giền. Nghe ềng Ben
trừnh bộy, thịm tỏ cịng nghiếng vỊ hđắng nghi
ngê nộy. Răi, khềng quờn giị rĐt, thịm tỏ véi vở
tắi nhộ Giền. ậi hạt con hĨm nhá sẹu hun hót,
cuèi cỉng thịm tỏ còng tắi nểi. Trêi u ịm, hai
bến ngâ lỰi toộn nhộ cao tẵng nến tõ ngoội nhừn
vộo, ngềi nhộ cựa Giền rÊt tèi. Thịm tỏ bÊm
chuềng. Giền mẻ cỏa mêi thịm tỏ vộo nhộ. Sau
vội lêi chộo hái, thịm tỏ bớt ệẵu cẹu chuyỷn:
- Anh Giền, ta vộo viỷc luền nhĐ! Lóc gẵn
6 giê, tục lộ cịch ệẹy chõng 40 phót, ềng Ben
bịo cho tềi lộ kĐt sớt nhộ ềng Êy võa bỡ phị
khoờng nỏa tiạng trđắc ệã. Nhđ vẺy lộ cã thÓ kĨ

gian đã ra tay lúc 5 giờ. Anh có thể kể cho tơi
nghe anh đã làm những gì trong khoảng thời
gian từ lúc đó đến bây gi?

- Tha thám tử, rét quá nên tôi chỉ ở nhà. Ngài
cứ hỏi vợ tôi mà xem. Cô ấy đang xem TV ở
phòng bên.

Gin a thm t sang. Trong nh sịng mê mê
cựa bãng ệÌn trang trÝ trến tđêng, thịm tỏ thÊy
vĩ Giền ệang chẽm chó xem TV. Cề ta chử gẺt
ệẵu chộo thịm tỏ răi lỰi tẺp trung vộo mộn hừnh.
em vội ệiÒu.

BÊy giê vĩ Giền mắi quay ra. Cẽn phưng quị tèi
- Anh cã thĨ bẺt ệÌn lến cho sịng ệđĩc khềng?
- Mong ngội thềng cờm, ệÌn bỡ háng ba hềm nay
răi mộ tềi lđêi quị, chđa ệi mua bãng mắi ệđĩc.
Hềm nay thÊy trêi tèi quị, ệỡnh thay nhđng lỰi
ngỰi rĐt, thạ lộ...

Thịm tỏ cđêi răi quay sang hái vĩ Giền:
- Cề cã biạt tõ lóc 5 giê chiÒu ệạn giê, chăng cề
ệở lộm gừ, ẻ ệẹu?

TỰ LÀM

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

- DỰ thđa, chóng tềi chử ẻ nhộ thềi Ự. Mét ngộy
ẹm u nhđ hềm nay thừ chỬng ai cã hụng thó ra
ệđêng...

- Thế hai vợ chồng đã làm gì trong khoảng thời

gian đó?

- Thða, tơi chuẩn bị vài món ăn nhẹ để hai vợ
chồng ăn vặt. Rét thế này rất nhanh đói mà.
- Cịn chồng cụ thỡ sao?

- Anh ấy may quần áo ạ.
- Sao cơ? Giôn biết cắt may à?

- Võng. ú l s thích của anh ấy mà. Lúc rảnh
rỗi, anh Giơn ln tự cắt may quần áo cho hai vợ
chồng. Cái bàn bên cửa sổ kia là bàn cắt may
đấy ạ.

Nh×n theo tay vợ Giôn chỉ, thám tử thấy cạnh cửa
sổ có chiếc bàn, trên bàn có chiếc máy khâu
nho nhỏ và mấy tấm vải.

Vợ Giôn nói thêm:

- Lỳc nóy anh y va mới may xong cho tơi cái
áo khốc. Khi ngài bấm chuông, anh ấy còn
đang thùa khuyết đấy ạ.

Nghe đến đây, thám tử nghiêm mặt nói:

- Anh Giơn ạ, tốt nhất anh hãy thú thật mọi
chuyện đi. Càng sớm càng tốt, đừng để đến lúc
bác của anh phải báo cảnh sát.

* Hai vĩ chăng Giền ngể ngịc, khềng hiÓu tỰi
sao thịm tỏ ệở phịt hiỷn ệđĩc sù gian dèi? Cịc
bỰn hởy giời thÝch giỉm!

Lêi khai gian dèi cựa anh chộng Brad ệở bỡ tÊt cờ
cịc thịm tỏ Tuữi Hăng phịt hiỷn: Ngao khềng hÒ
sinh sèng ẻ sềng suèi, vẺy thừ lộm sao cã chuyỷn
mua ệẳc sờn ngao ẻ suèi ậị Trớng ệđĩc. Nhê
hiÓu biạt thùc tạ cuéc sèng mộ kừ nộy tÊt cờ cịc
bỰn ệỊu lộm ệóng. Anh chộng Brad ệở gian dèi lỰi
cưn thiạu kiạn thục thùc tạ nến ệở tù lộm lé mừnh.
Phẵn thđẻng kừ nộy ệđĩc gỏi tắi: Trẵn Hời Nam,

6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;ậinh
Vẽn Hiạu, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc;Ngun NhẺt Nam, 6A1, THCS Cẵu
GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;Hoộng ậớc Huy Hoộng,
6C, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh;
Trẵn Ngảc Hđng, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn,
ậục Thả, Hộ Tỵnh.

Th¸m tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

3. Fractions

In a fraction , n is the numerator and d is the
denominator. The denominator of a fraction can
never be 0, because division by 0 is not defined.
Two fractions are said to be equivalent if they

represent the same number. For example, and

are equivalent since they both represent the
number . In each case, the fraction is reduced
to lowest terms by dividing both the numerator
and the denominator by their greatest common
divisor (GCD). The GCD of 4 and 18 is 2 and GCD
of 6 and 27 is 3.

Addition and subtraction of fractions

Two fractions with the same denominator can be
added or subtracted by performing the required
operation with the numerators, leaving the
denominators the same. For example,

and

If two fractions do not have the same denominator,
express them as equivalent fractions with the
same denominator. For example, to add and ,
multiply the numerator and denominator of the first
fraction by 7 and the numerator and denominator
of the second fraction by 5, obtaining and ,

respectively;

For the new denominator, choosing the least common
multiple (LCM) of the denominators usually lessens
the work. For , the LCM of 3 and 6 is 6 (not

3 6 18), so

Bạn hÃy dịch đoạn trên. Sau đây là các từ vựng
bạn cần.

4. Maths terms

fraction phân số

numerator tử số

denominator mẫu số

not defined khơng định nghĩa,
khơng có nghĩa

equivalent tđểng ệđểng

case trđêng hĩp

reduced to ệđĩc rót gản

lowest terms dỰng tèi giờn
greatest common divisor đắc chung lắn nhÊt
least common multiple béi chung nhá nhất

addition cộng

subtraction trừ

multiply nhân

operation phép tính, phép toán
Tạp chí chờ bài dịch các bạn gửi về và tặng 5 suất
quà cho các bạn dịch tốt nhất.

2 1 2 2 1 4 1 5 .
3 6 3 2 6 6 6 6
2 1

3 6

21 25 46 .
35 35 35

25
35
21

35

5
7
3

5
5 2 5 2 3.

7 7 7 7

3 4 3 4 7

5 5 5 5

2
9
6

27

4
18
n

d

ARITHMETIC

Vị Kim Thđy

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Đường cong

Kappa

Phđểng trừnh trong hỷ tảa ệé Descartes

vuềng gãc:

y

2

(x

2

y

2

) a

2

x

2

.

Phđểng trừnh trong hỷ tảa ệé cùc:

r acot .

Cịc ệđêng cong Kappa còng ệđĩc gải lộ

ệđêng cong cựa Gutschoven. Nã lẵn ệẵu tiến

ệđĩc nghiến cụu bẻi G. van Gutschoven

(1629 - 1695) khoờng nẽm 1662.

Cịc ệđêng cong nộy còng ệđĩc cịc nhộ toịn

hảc Newton, Johann Bernoulli vộ Sluze

nghiến cụu.

Trong hừnh vỳ OC a, d lộ mét ệđêng thỬng

qua C song vắi Ox. Vắi mẫi ệiÓm D trến d, ta

lÊy ệiÓm P thuéc tia OD sao cho OP CD.

ậđêng cong Kappa ệđĩc ệỡnh nghỵa lộ tẺp

hĩp cịc ệiÓm P tháa mởn OP CD.

Hoàng Nguyên Linh

Số nguyn l một sè nộo ệã thuéc tẺp hĩp
{ ... , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... }. Nạu x vộ y lộ hai
sè nguyến vộ x 0, thừ x lộ sè chia (hay đắc sè)
cựa y vắi ệiÒu kiỷn tăn tỰi sè nguyến n tháa mởn
y xn. Trong trđêng hĩp nộy y chia hạt cho x
hay y lộ mét béi sè cựa x. VÝ dô, 6 lộ đắc cựa 18
vừ 18 6.3. Nạu x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng,
thừ tăn tỰi duy nhÊt hai sè nguyến q vộ r gải lộ
thđểng vộ sè dđ tđểng ụng sao cho y xq r

vộ 0 r x. VÝ dô, khi 18 chia cho 5, ệđĩc
thđểng lộ 3 vộ cưn dđ 3 vừ 18 5.3 3.

Chó ý rỪng y chia hạt cho x nạu vộ chử nạu r
bỪng 0. VÝ dô, 16 cã sè dđ lộ 0 khi chia cho 8
bẻi vừ 16 chia hạt cho 8. Ngoội ra, chó ý rỪng khi
chia mét sè nguyến nhá hển cho mét sè nguyến
lắn hển thừ ệđĩc thđểng lộ 0 vộ sè dđ lộ sè
nguyến nhá hển. VÝ dô, 3 chia cho 5 thừ ệđĩc
thđểng lộ 0 vộ sè dđ lộ 3 vừ 3 5.0 3.

Cã rÊt nhiÒu bỰn gỏi bội dỡch vÒ Tưa soỰn vộ
ệÒu dỡch tđểng ệèi chÝnh xịc, cịc bỰn sau ệđĩc
thđẻng kừ nộy vừ cã bội dỡch sắm nhÊt vộ sịt
nhÊt: NguyÔn Thỡ Ngảc nh, 6E2, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ Thỡ Thu Hoộn, 6A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;
Ngun Thỡ Minh Thu, 7A1, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh; Vò Ngảc nh, 6A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; PhỰm
ậục Dịng, 7C, THPT chuyến Hộ Néi
-Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;ậinh Thỡ Hun
Trang, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam;
Ngun HuyÒn Phđểng, 7C, THCS Lế Họu LẺp,
HẺu Léc, Thanh Hãa; ậđêng Minh Quẹn, 6C,
THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; ậinh
Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng,
Hđng Hộ, Thịi Bừnh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

NhẺn xĐt. Bội toịn nộy hểi lỰ. Trong cịc vâ sỵ
nhẺn lêi thịch ệÊu, chử cã vâ sỵ NguyÔn Minh
Hiạu, 9D, THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến, Vỵnh
Phóccã lêi giời tèt nhÊt. Vâ sỵ Hiạu lộ ngđêi ệẽng
quang trong trẺn ệÊu nộy. Lêi giời cựa vâ sỵ Hiạu
vÒ cẽn bờn gièng lêi giời dđắi ệẹy.

Ta xét hai bổ đề sau.

Bữ ệÒ 1. Nạu ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC
tiạp xóc vắi BC tỰi D thừ

(Bạn đọc tự chứng minh)

Bữ ệÒ 2. Nạu MP, NQ theo thụ tù lộ tiạp tuyạn
chung ngoội, tiạp tuyạn chung trong cựa cịc
ệđêng trưn (O₁), (O₂) (M, N thuéc (O₁) vộ P, Q
thuéc (O₂)) thừ MN, PQ, O₁O₂ệăng quy.

Bạn đọc có thể chứng minh dựa vào hình vẽ, với
S MP NQ, T MN O₁O₂, T’ PQ O₁O₂,
H MN O₁S, K PQ O₂S và chứng minh
T’ T dựa vào định lí Talét để có

Suy ra T’ T hay MN, PQ, O₁O₂ đồng quy.
Trở lại giải bài tốn thách đấu.Gọi D là hình chiếu
của I trên BC. Theo bổ đề 1, ta có

VËy DZ MX. (1)

Theo bổ để 2 thì S thuộc I₁I₂.

Vì r₁ r₂và I₁X BC, I₂Z BC nên XI₁I₂Z là hình
chữ nhật. Do đó I₁I₂ // XZ.

Mà MI₂// XY nên MXSI₂ là hình bình hành.
Do đó XM SI₂. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SI₂ DZ.

Kết hợp với XI₁I₂Z là hình chữ nhật, suy ra SD BC.
Kết hỵp víi ID BC, suy ra IS BC.

ngun minh hµ
CA CB AB

DZ CD CZ

2

CA CM AM MB MA AB MX.

2 2

1 1 1

2 2 2 2

T’O KS HO TO _.

T’O KO SO TO

BA BC AC CA CB AB

BD , CD .

2 2

Ngđêi thịch ệÊu: Trẵn Quang Hỉng,
GV. trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Khoa
hảc Tù nhiến Hộ Néi.

Bội toịn thịch ệÊu: Trong hừnh vỳ, cịc
ệđêng trưn tẹm O, I, J ệỊu tiạp xóc vắi cịc
cỰnh cựa hừnh chọ nhẺt ABCD vộ tiạp xóc
vắi ệđêng thỬng CE. Biạt hai ệđêng trưn
tẹm I, J cã cỉng bịn kÝnh, tÝnh

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn: Trđắc ngộy 08.2.2014 theo
dÊu bđu ệiỷn.

AB .
AD

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM

với các biến số là số tự nhiên

ậộo Huy Trđêng

(GV. THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc)
rong các đề thi học sinh giỏi lớp 9 và thi

vộo lắp 10 THPT chuyến, bội toịn chụng
minh bÊt ệỬng thục (BậT) hay cùc trỡ
thđêng lộ bội toịn khã. ậÓ giời bội toịn nộy, ta
thđêng hay sỏ dông BậT AM - GM.

BĐT AM - GM

Với các số thực không ©m x₁, x₂,... , x_n ta cã
Ngoµi viƯc sư dơng BĐT AM - GM với các biến số
là những số thực không âm, ta còn gặp các bài
toán với các biến số là những số tự nhiên. Bài viết
này giúp các bạn củng cố thêm kiến thức về BĐT
AM - GM với các biến là số tự nhiên.

Bài toán 1.Cho x, y và z là các số tự nhiên thỏa
mÃn x y z 2010. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN)
cđa biĨu thøc P xyz.

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các
số thực khơng âm, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 670.
VËy P_max 6703khi x y z 670.

Bµi toán 2. Cho x, y và z là các số tự nhiên thỏa
mÃn x y z 2008.

Tìm giá trị lín nhÊt cđa P xyz.

Nhận xét.Ta khơng thể áp dụng BĐT AM - GM
nhð bài tốn 1 vì khi đó x y z khơng
phải là số tự nhiên.

Cẹu hái ệẳt ra.Phời chẽng, ta khềng thĨ ịp dơng
ệđĩc BậT AM - GM cho 3 sè thùc khềng ẹm vộo
bội toịn nộy? Nạu ịp dông ệđĩc BậT AM - GM thừ
ịp dơng nhđ thạ nộo? ậĨ trờ lêi cẹu hái nộy mêi
cịc bỰn theo dâi cịch lộm sau:

Bằng suy luận ta thấy P đạt GTLN khi các biến
dồn về gần nhau (bằng nhau hoặc hơn kém nhau

1 đơn vị). Ta có lời giải sau.

Lời giải. Do vai trị bình đẳng của x, y và z, ta có
thể giả sử x y z.

Vì x, y, z và x y z 2008 nên không xảy
ra khả năng x y z.

Do ú
Suy ra

(do áp dụng BĐT AM - GM với 2 số thực không
âm)

(do áp dụng BĐT AM - GM với 3 số thực không
âm)

Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ khi

VẺy P_max 670.6692, ệỰt ệđĩc khi vộ chử khi
(x; y; z) (670; 669; 669) vộ cc hon v.

Bài toán 3. Cho x, y và z là các số tự nhiên thỏa
mÃn x y z 2009. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P xyz.

Nhn xĐt.BỪng suy luẺn tđểng tù bội toịn 2 ta cã
cịch giời cho bội toịn nộy nhđ sau.

x 670

669_x 2008 x _{x 670}

670 2 _{y z 669.}

y z

x y z 2008
3
3

2
670 1_{. . 2008} x

669 3 670

670 1_{. . 2008} 670 _{670.669 .}

669 3 670

3
670 669x 2008 x 2008 x_.

669 670 2 2

670 1 669x_{. .} _{2008 x}
669 3 670

2 2

y z 2008 x

P xyz x x

2 2

2008

x 1 670.

3

2008 ,
3
3

3
x y z

P xyz 670 .

3

1 2 n _{n 1 2 n}
x x ... x _{x x ...x .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Lời giải. Do vai trị bình đẳng của x, y và z, ta có
thể giả sử x y z.

V× x, y, z vµ x y z 2009 nên

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ khi x y 670 vµ
z 669.

VẺy P_max 669.6702, ệỰt ệđĩc khi vộ chử khi
(x; y ; z) (670; 670; 669) vộ cịc hoịn vỡ.

NhẺn xĐt. BỪng cịch tđểng tù, cịc bỰn hởy giời

bội toịn sau.

Bội toịn 4.Cho trđắc sè nguyến dđểng n. Giờ sỏ
x, y vộ z lộ nhọng sè tù nhiến thay ệữi tháa mởn
x y z n. Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa biÓu thục
P xyz.

3
3
3

2
669 2009 z 2009 z 670z_.

670 2 2 669

669 1 _{2009 z} 670z

670 3 669

669 1 ₂₀₀₉ z

670 3 669

669 1 ₂₀₀₉ 669 _{669.670 .}

670 3 669

2 2

x y 2009 z

P xyz z z

2 2

2009

z 669.

3

Câu 1.(1,5 điểm)Cho ba số a, b, c đôi một khác
nhau thỏa mãn điều kiện (a b c)2 a2 b2 c2.
Chứng minh rằng

Cẹu 2.(2 ệiÓm)Giời phđểng trừnh
Cẹu 3.(1,5 ệiÓm) Giời hỷ phđểng trừnh

Cẹu 4.(1,5 ệiÓm)Cho x, y lộ cịc sè thùc dđểng
tháa mởn x y 1. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu
thục

Cẹu 5.(2,5 ệiÓm)Cho tam giịc ABC vuềng tỰi B.
Trến tia AB lÊy ệiÓm D sao cho AD 3AB.
ậđêng thỬng qua D vuềng gãc vắi CD cớt ệđêng
thỬng qua A vuềng gãc vắi AC tỰi E. Chụng minh
EBD lộ tam giịc cẹn.

Cẹu 6.(1 ệiÓm)BỰn Nam cẵn thiạt kạ mét logo

nhđ hừnh vỳ. Hái bỰn Nam cã thÓ thiạt kạ ệđĩc
logo nộy tõ mét miạng bừa hừnh vuềng cã cỰnh
bỪng 40 cm ệđĩc hay khềng? Biạt rỪng cịc hừnh
vuềng nhá cã cỰnh bỪng 16 cm.

2 2
2 1 2 4x y 1

P .

xy
x xy y

x xy y 17
y yz z 23
z zx x 11.

2 2

1 3 2 _2.

x 1

x (x 1)

2 2 2

2a 2b 2 c 1.

a 2bc b 2ca c 2ab

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỐN LỚP 9

QUẬN GÒ VẤP, TP. HỒ CHÍ MINH

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

INTERNATIONAL

MATHEMATICAL OLYMPIAD

Outline of Solutions

13.

Since

we have A 60o. As a result we have

and BOC 60o 2 120o.

Hence B, H, I, O, C are concyclic. Let D be a
point on AC such that ABD is equilateral. Then
we have HIO 180o HBO 60o C DBC.
Applying cosine law in BCD (with BD 8 and
DC 7), we have

and so

14. Let [PQR] denote the area of PQR and

[ABE] x. Then

and

This yields and similarly

Using Menelaus’ Theorem, we have
or

This gives

Similarly, implies
or

This gives

Using the relation [ABH] [AHE] [BHE] [ABE],
we have This simplifies to
the quadratic equation x2 2x 14 0, which
has a unique positive solution 1 15.

4x 3x

2 x.

x 7 x 7

BH 3x

BHE BGE .

BG x 7

BH x 3.

HG 4

BH x _{4 1}

HG x 3 x
BH GA EF 1

HG AE FB

AH 4x

AHE AFE .

AF x 7

AH x 4.

HF 3

AH FB EG _{1, i.e.}AH x 3 ₁

HF BE GA HF x 4 x

GE 3x

BGE ABE .

AE x 3

FE 4x

AFE ABE

BE x 4

ABE

AG AF _{x .}

GE FC CBE 3

ABE

BF BG x

FE GD ADE 4

2

23 7 3

sin HIO sin DBC 1 .

26 26

2 2 2

8 13 7 23

cos DBC

2(8)(13) 26

o o o

o

o o

BHC 180 60 120 ,
60

BIC 90 120 ,

2

2 2 2

8 15 13 1

cosA ,

2(8)(15) 2

ThS.Phïng Kim Dung

(Tữ trđẻng tữ toịn trđêng THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam)
Sđu tẵm vộ giắi thiỷu

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Remark.The condition that CD is tangent to the
circumcircle of ABE is not needed. In fact it can
be shown that subject to the remaining given
conditions such tangency must hold.

15.

Extend CA to D so that AD AI. Join IB, IC and
ID. Then we have BC AC AI AC AD CD.
It follows that IBC and IDC are congruent and
so BAC 2 IAC 4 ADI 4 IBC 2 ABC.
Let BAC x.

The and

It follows that which
gives x 96.5o.

16.

Let and d be the length of PQ. Then we
have

Since MN 1, we have

Similarly, and this

gives

It follows that

To find the maximum value of d, we rewrite the
above as a quadratic equation in r, namely,
12dr2 (17d 7)r 5d 0. Since r is a real number,
the discriminant must be non-negative, i.e.
(17d 7)2 4(12d)(5d) 0. Bearing in mind that
d 1, solving the inequality gives

and it is easy to check that such maximum is
indeed attainable (by choosing the corresponding
value of r which determines the position of C).
17.Since 50688 29 99, we must have m n

2k 99 where k is one of 0, 2, 4, 6, 8. Forgetting
about m n for the moment, there are 2k 99 1
choices of m for each k, as m can range from
0 to 2k 99. This leads to a total of (20 22 24

26 28) 99 5 33764 pairs of (m, n).
Among these, 4 pairs violate the condition m n,
as m n is possible only when k is 2, 4, 6 or 8.
Hence the answer is 33764 4 33760.

Kì sau đăng tiếp
17 4 15

d

7

1 5

d PQ .

r 1 12r 5
1

NP .

r 1
AMC

MP _{AM CM r}

NP BNC AN CN

5

NQ .

12r 5
BMC

MQ _{BM CM 12r .}

NQ BNC BN CN 5

CM r
CN

o o

x x

x 13 180 ,

2 2

o
x
ACB 13 .

2
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Bµi 19NS.Ta cã 27000001 3003 1

(300 1)(3002 300 1)

301(3002 2.300 1 900) 301(3012 302)
301(301 30)(301 30) 301.271.331

7.43.271.331.

Do ệã sè 27000001 cã (1 1)(1 1)(1 1)(1 1)

16 đắc lộ: 1, 7, 43, 271, 331, 7.43, 7.271, 7.331,
43.271, 43.331, 271.331, 7.43.271, 43.271.331,
7.43. 331, 43.271.331, 7.43.271.331.

Tững cịc đắc tù nhiến cựa 27000001 lộ 31787008.
NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế
Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Vâ NguyÔn
ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ
Mủ, Bừnh ậỡnh;NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS
ậẳng Thai Mai, TP. Vinh, Ngh An.

Bài 20NS.ĐKXĐ 1 x 3.

Đặt ĐK: a, b 0.

Ta cã a2 b2 2.

Phđểng trừnh biạn ệữi thộnh

(a3 1)(b 1)2 2(a 1)2(a 1) 0.

Tõ ệã a b 1 nến phđểng trừnh cã nghiỷm x 2.
NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: NguyÔn Thỡ Dung, 9E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Vâ Ngun ậan
Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ,
Bừnh ậỡnh.

Bµi 21NS. Ta cã

Mµ AB CD nªn MB MD.

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ
trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh; Hoộng Thu
Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;
Trẵn Thỡ Tđêng Vy, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn,
ậục Thả, Hộ Tỵnh; Lế Thuẵn Phđểng Uyến, 8A,
THCS Phan Huy Chó, ThỰch Hộ, Hộ Tỵnh.

Chử cã bỰn Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS
Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnhệđĩc khen kừ
nộy.

NguyÔn Ngäc H©n

BM FM DM.
BA FA DC
a x 1, b 3 x.

Bội 25NS.Từm cịc nghiỷm nguyến cựa phđểng trừnh
4x4 8x3 36x2 3y2 6x2y2 4x 19 0.

trỡnh phong quang (GV. THCS Quờng LỰc, Nho Quan, Ninh Bừnh)
Bội 26NS.Cho x, y lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn x y 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu thục

ngun vẽn dđểng (GV. THCS Giao Thiỷn, Giao Thựy, Nam ậỡnh)
Bội 27NS.Cho hai ệđêng trưn (O) vộ (O’) cớt nhau ẻ A vộ B. ậđêng thỬng qua A cớt ệđêng trưn (O) tỰi
C vộ cớt ệđêng trưn (O’) tỰi D (C vộ D khịc A). Gải M, N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa cung BC, BD khềng

chụa A. Chụng minh rỪng MK vuềng gãc vi KN.

Trần bá duy linh(SV lớp Marketing 1, K34, Đại häc Kinh tÕ TP. Hå ChÝ Minh)

2 3

A .

3xy y 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Vui cười

- Này, hôm

nọ em xem trộm nhật kí

của chị phải không?

- À... à... Mà sao chị biết?

- Thì... thì chị đọc nhật kí của em,

thấy em viết như vậy...

- Em ra đầu ngõ mua hộ

chị 1 cân xoài. Mẹ dặn chị tí nữa phải

mang xồi đến nhà bà ngoại.

- Mua loại nào hả chị?

- Loại nào cũng được nhưng chọn

quả nhỏ thôi. Quả to nặng lắm, chị

khơng xách được.

?!?

- Có cách nào để răng

khơng bị sâu không chị nhỉ?

- Đánh răng sau khi ăn và trước

khi đi ngủ.

- Thế thì một ngày em phải đánh

răng đến chục lần mất!

NGUYỄN VŨ CƯƠNG

- Lạ thật! Tại

sao Trái Đất lại hình cầu chị nhỉ?

- Chắc là để

dễ làm quả địa cầu đấy mà.

- Có cách nào để không

bị đi theo vết xe đổ của người khác

không chị?

- Quá đơn giản! Đừng bao giờ đi

xe đạp là xong.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

hịng 12 võa răi tỰp chÝ Toịn hảc vộ

Tuữi trĨ kử niỷm 50 nẽm. Nẽm nay

Toịn Tuữi thể kử niỷm 15 nẽm ra sè

ệẵu tiến. Dỡp nộy lộ lóc thÝch hĩp kÓ vắi cịc

bỰn chuyỷn lộm bịo ngộy xđa. Gải lộ thêi xđa

thừ còng chđa xa lớm. Nhđng ệã lộ lóc nhiỊu

bỰn nhá ệảc bịo bẹy giê chđa ra ệêi cể. Thạ

thừ còng ệịng gải lộ “ngộy xỏa, ngộy xđa” răi.

Bẹy giê thừ ngđêi ngđêi lộm bịo, nhộ nhộ lộm

bịo. Nộo bịo giÊy, bịo hừnh, bịo mỰng. Bội

viạt nộy chử nãi vÒ bịo giÊy theo nghỵa ban

ệẵu cựa tõ bịo mộ thềi.

Sau một số ngày đắn đo, ngày 23.4.1991 tôi

tới 70 Trần Hðng Đạo, Hà Nội nhận làm biên

tập cho tờ Toán học và Tuổi trẻ. Nơi đó là

Phịng Tạp chí trực thuộc Viện Khoa học Việt

Nam. Có 10 tờ tạp chí cùng làm việc trong 2

phịng chỉ rộng chừng 50 m

2

. Tạp chí Tốn

học và Tuổi trẻ lúc đó chỉ có 1 cái bàn làm

Ngề ậỰt Tụ lóc ệã 55 tuữi lộ Phã Tững biến

tẺp lộ thự trđẻng mắi cựa tềi vộ tềi lộ nhẹn

viến, biến tẺp viến, phãng viến duy nhÊt cựa

trong nghÒ bịo: mẽng sĐt

lộ phẵn cè ệỡnh ẻ

ệẵu tê bịo gải lộ tến cựa bịo, vi nhĐt

lộ cịc

hừnh vỳ lẳp ệi lẳp lỰi ẻ cịc sè ệÓ thÓ hiỷn tõng

chuyến mơc,

xi nhế

lộ lộ néi dung thĨ hiỷn

cịc thềng tin cể bờn ệÓ ngđêi quờn lÝ vộ ệéc

giờ hiĨu vỊ tê bịo,

fi lế

lộ mét nĐt kĨ thỬng,

tia ra lộ sè lđĩng phịt hộnh mẫi kừ,

tÝt

lộ tến

cựa bội,

bềng

lộ bờn in thỏ ệÓ biến tẺp viến

sỏa lẫi,

can

lộ bờn ệđa nhộ in ệÓ tõ ệã bừnh

bờn

tục lộ sớp xạp cho chửnh cịc chọ, tÝt bội,

hừnh vỳ... Sau ệã phểi bờn

tục tỰo ra bờn kim

loỰi (kỳm) ệÓ cã thÓ in ra hộng vỰn bờn gièng

nhau. Nhđng tềi lỰi hểi ệi quị thêi gian vỊ sau

răi. Lóc ệã bịo Toịn hảc vộ Tuữi trĨ (THTT)

vÉn cưn in bỪng cịch sớp chọ con chừ. Viỷc

nộy sỳ nãi sau. Tềi ệđĩc hđắng dÉn cịch

biến tẺp, cớt dịn bờn thờo. Cịc cềng thục

toịn kĨ cờ cịc chọ ệụng mét mừnh ệỊu ệđĩc

gỰch chẹn 1 nĐt ệÓ hiÓu lộ italic

(in nghiếng).

Cịc tiÓu mơc ệđĩc gỰch chẹn 2 nĐt ệĨ hiĨu

lộ

bold

(in ệẺm). KÝ hiỷu chử cịi viỷc xãa bá.

Sau khi biến tẺp vộ gỰch chẹn xong bờn thờo

ệđĩc chuyÓn ệi ệịnh mịy. Sau ệã lỰi ệảc lỰi

bờn thờo mắi theo bờn gèc viạt tay, tõng

dưng, tõng chọ. Tiạp ệã lộ lộm

maket

tục lộ

xạp ệẳt bội vẻ, hừnh vỳ vộo cịc vỡ trÝ cựa tõng

trang. Biến tẺp viến phời ệạm sè chọ ệÓ hừnh

THỜI XƯA

THỜI XƯA

làm báo như thế nào?

làm báo như thế nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

dung bội, hừnh chiạm nhọng chẫ nộo mẫi

trang. Bội dội quị sè chọ phời cớt bắt. Mét

cuèn sữ giÊy trớng nhá 16 trang ệđĩc gÊp ệÓ

maket ệđĩc thÓ hiỷn trến ệã. Thụ tù in mộu

xanh (hoẳc ệá) cựa cịc trang ệđĩc thÓ hiỷn

nhđ sau:

1 4, 5 8, 9 12, 13 16

2, 3 6, 7 10, 11 14, 15

Tức là nếu trang 1 in màu đỏ thì các trang

trên dịng kẻ ở sơ đồ trên đều màu đỏ (trang

16 là trang cuối cùng và cũng màu đỏ). Nếu

trang 2 in màu xanh thì các trang 3, 6, ..., 15

đều màu xanh.

Maket cỉng bờn ệịnh mịy ệđĩc ệđa ệạn nhộ

in. Cềng nhẹn sỳ nhẳt tõng con chọ bỪng chừ

xạp thộnh bờn ệđa lến khuền in. Trđắc ệã

phời ệđa hừnh vỳ cho ngđêi chuyến khớc gẫ,

khớc hừnh. Hừnh ệđĩc khớc ệã còng ệđĩc bã

thộnh mét khèi trong vỡ trÝ ệở quy ệỡnh vộ cè

ệỡnh bỪng dẹy cho khái xế lỷch. Thạ nến nạu

cịc bỰn xem tê bịo cò ngộy xđa thÊy cã

nhọng khoờng giÊy ệÓ trớng lộ bẻi lóc ệạm

chọ ệở khềng sịt nến ghĐp chọ vộo cưn thõa

giÊy. Hăi ệã mịy vi tÝnh mắi bớt ệẵu thẹm

nhẺp vộo nghÒ in, xuÊt bờn. Viỷc thay ệữi co

chọ, giởn trang, giởn dưng trẻ nến dÔ dộng.

Viỷc xãa mét sè chọ về cỉng ệển giờn. Ngđêi

lộm biến tẺp khềng phời lo cớt, dịn, ghĐp lỰi

tõng mờnh giÊy nhđ xđa nọa. BỰn còng Ýt

thÊy cịc bịo cưn yếu cẵu bờn thờo phời viạt

trến giÊy mét mẳt. Cịc thuẺt ngọ: chạ bờn,

cẽn trịi, cẽn phời, mẳc ệỡnh,... ra ệêi cỉng

mịy vi tÝnh lộm ệữi mắi cềng viỷc cựa nghÒ

biến tẺp, in, phịt hộnh vộ lộm phong phó

Tiạng Viỷt. Tõ nhuẺn bót mét bội bịo 2 hộo,

5 hộo ệạn 500 000 ệ, 1 000 000 ệ cho nhọng

bội viạt hay ệở lộ bđắc tiạn dội cựa nhẺn thục

vÒ vai trư cựa bịo chÝ. Nẽm 1992 THTT

chun vỊ NXB Giịo dơc. Tềi cịng ngỰc

nhiến lộ mừnh ệở lộm biến tẺp, sỏa bềng, bãc

phong bừ, chia bội giời cựa hảc sinh, lến danh

sịch giời bội, ệđa bội cho céng tịc viến

chÊm, ệđa bội ệịnh mịy, ệạn nhộ in, lÊy lỰi

bội, trờ nhuẺn bót, gỏi bịo biạu, tữ chục hảp,

thanh toịn hảp, chử thỡ mộu in, ệẳt khớc hừnh,

lộm cềng vẽn phịt hộnh, ệi cềng tịc... tÊt tẵn

tẺt cịc viỷc nhđ thạ mộ chử cã 2 ngđêi suèt tõ

1991 ệạn 1997 vộ sè lđĩng phịt hộnh mẫi

thịng tõ 1500 bờn ệÈy lến tắi 20 100 bờn.

Răi lẵn lđĩt nẽm 1997 TS. Lế Thèng NhÊt,

Ngun Thỡ Oanh, 1998 Vị Anh Thđ,

TS. Ngun Viỷt Hời vỊ thếm. Bé mịy tỰp chÝ

Toịn hảc vộ Tuữi trĨ dẵn tẽng lến ệạn 6, cã

lóc lộ 7 ngđêi. Sè lđĩng phịt hộnh ệỰt ệạn

cùc ệiÓm lộ 32 000 bờn mét kừ vộo nẽm 2003.

Ngộy nay lộm bịo thẺt nhộn vắi về vộn cềng

nghỷ mắi. KÓ chuyỷn ngđêi xđa lộm bịo ệÓ

bỰn ệảc nhá tuữi hiĨu vỊ nghỊ bịo, giời ệịp

ệđĩc nhọng thớc mớc khi từnh cê cã trong tay

tê bịo giÊy ệen nhđ mộu mùc in ệđĩc in bỪng

cềng nghỷ ti p xa.

Câu hỏi kì này:

1.

Bn cú bit s u tiờn Toán Tuổi thơ dành

cho tiểu học ra đời ngày nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Cẹy bộng, cẹy phđĩng bao nẽm nay táa bãng
xuèng sẹn trđêng.

Sẹn trđêng lộ nểi vui ệỉa giê ra chểi, bao lắp hảc
trư cđêi nãi, ệÓ cẹy bộng, cẹy phđĩng thếm vui.
Răi cã ngộy mừnh xa trđêng, xa mờnh sẹn cỉng
cẹy bộng, cẹy phđĩng vắi bao kử niỷm thuẻ hảc trư.
Mờnh sẹn Êy cã cưn vđểng nớng ngộy nhẺp hảc, cã
cưn ệảng mđa trến nhọng vưm lị ngộy chia tay...
Mừnh cụ hái mộ biạt nhọng ệiÒu Êy, tõ lẹu ệở theo
bỰn theo bÌ ệi khớp bèn phđểng trêi ệĨ nhọng cẹu
trờ lêi cụ ngẹn mởi cỉng thêi gian.

Cã lóc nộo mừnh quay lỰi ngềi trđêng cò vắi mờnh
sẹn Êy khềng nhử? Biạt ệẹu bãng thẵy, bãng bỰn,
bãng mừnh vÉn cưn lung linh trn mi vng cỏ,

trn mi hng cy...

Để gặp lại mà thấy gần hơn những hoài niệm,
những ngọt bùi của ti häc trß.

Để thấy u hơn một mảnh sân ngày nào mình hị
reo xả láng khơng nghĩ đến lúc lại trầm lắng, ðu tð
nhớ về...

Nạu chđa vỊ ệđĩc thừ cịng gải lến mét cẹu: NHắ
LớM- cho bắt vớng vĨ, quỰnh hiu, nhđ lóc nộy...

SÂN TRƯỜNG

BẠN CÓ BIẾT?

10 HOẠT ĐỘNG CHÍNH NM 2014 CA TON TUI TH

Nguyễn Đức Quang

(Phó Tổng biên tập báo Thiếu niên Tiền phong)

1. Tổ chức thành công Olympic Toán Tuổi thơ
toàn quốc tại Đắk Lắk với 34 tØnh thµnh tham
gia. KØ niƯm 10 năm Olympic Toán Tuổi thơ
2. Phối hợp với Công ty Cổ phần đầu t và phát
triển Giáo dục Đà Nẵng tổ chức Hội thảo về
Toán Tuổi thơ tại miền Trung

3. Phối hĩp vắi Vẽn phưng Héi ệăng Quèc gia

Giịo dôc vộ Phịt triĨn nhẹn lùc, Vơ Giịo dơc
Trung hảc, NXB Kim ậăng, tẺp ệoộn TH True
Milk, cềng ty Thịi Hộ Books, cềng ty cữ phẵn
VPP Hăng Hộ, Phưng GD&ậT quẺn Ba ậừnh vộ
trđêng THCS MỰc ậỵnh Chi, THCS NguyÔn
Cềng Trụ tữ chục LÔ phịt ệéng hảc sinh ệảc
sịch - bịo, nẹng cao nẽng lùc tù hảc.

4. Đến với các Sở Giáo dục và Đào tạo Sơn La,
Điện Biên để hiểu thêm về nhu cầu của độc giả

vïng T©y B¾c.

5. Họp mặt Hội đồng biên tập, cộng tác viên
trong dịp ngày Báo chí Việt Nam 21.6.

6. Hợp tác với Smart Ebook, Trung tâm toán
POMath, VTV live để đða các nội dung TTT lên
điện thoại di động, VTV...

7. ậẳt ệỰi diỷn chÝnh thục tỰi TP. Hă ChÝ Minh
8. Tham gia lộm cềng tịc tõ thiỷn tỰi phđêng
Khđểng Trung, Q. Thanh Xuẹn, Hộ Néi, chđểng
trừnh “Tiạp bđắc cho em ệạn trđêng” vộ ựng hé
Trđêng Sa

9. Hỗ trợ các cuộc thi Olympic cấp tỉnh tại Hà
Tĩnh, Đà Nẵng, Đắk Lắk, Thái Bình...

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hỏi:

Anh Phã ểi! Nạu em viạt 2 cẹu hái gỏi

“Rubic hái... ệịp” vộo cỉng 1 tê giÊy th có

c khng ?

Nguyễn Đăng Mạnh

(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

Đáp:

Em vit c 10 cu

Cng gi cho anh Phã

Thừ cịng lộ ệđĩc ệã

Riếng gỏi cho mơc khịc

Phời viạt riếng nhắ chđa

GiÊy chử viạt mét mẳt

Nhắ ệiÒn tn từng tờ.

Hỏi:

Em muốn gửi bài thơ thì phải ghi là gửi

cho chuyên mục nào hả anh?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Rằng thơ thì gửi mục thơ

Toán thì gửi toán còn chờ chi đây

Rubic Hỏi Đáp nếu hay

Gửi cho anh Phó đăng ngay tức thì

Thơ đâu gửi gấp ngay đi...

Hỏi:

Khi lm bi em có c vit tt khng ?

Đặng Quang Dũng

(6A, THCS Vnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc)

Đáp:

Em ừng nn viạt tớt

Trõ nhọng tõ quị quen

TÊt cờ ệỊu hiĨu ệđĩc

Thi cộng nến viạt râ

Trõ tõ dỉng nhiỊu lẵn

Thừ cịng cẵn chó thÝch

Lẵn viạt tớt ệẵu tiến

VÝ dơ Tửnh Vỵnh Phóc

Mẻ ngoẳc: (TVP).

Hái:

Anh Phã ểi! Giờ sỏ mét bỰn chĐp bội

cựa em răi gỏi vÒ tưa soỰn dù thi vộ nạu bội

ệã ệđĩc ệẽng thừ tến tịc giờ sỳ lộ tến em hay

tến bn ý?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Em cho bạn khác xem

Làm sao tòa báo biết

Chỉ căn cứ bài viết

Cứ hay là đăng lên

Em nhớ giữ bản quyền

Bài mình, mình mình biết.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bội 1(143).Cho n lộ mét sè nguyến dđểng tháa mởn n 1 vộ 2n 1 ệăng thêi
lộ hai sè chÝnh phđểng (Sè chÝnh phđểng lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến).
Chụng minh rỪng n chia hạt cho 24.

Lđu lý tđẻng (GV. THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả)
Bội 2(143).Từm cịc bé sè nguyến tè tháa mởn tÝch cựa cịc sè ệã bỪng 10 lẵn
tững cựa chóng.

trẵn bị duy linh (SV. Marketing 1, K34, ậỰi hảc Kinh tạ TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 3(143).Giời phđểng trừnh

Thịi nhẺt phđĩng
(GV. THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)
Bội 4(143).Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa
biĨu thục

ngun ệục trđêng (GV. THCS ậa Tèn, Gia Lẹm, Hộ Néi)
Bội 5(143). Hởy mề tờ mét cịch râ rộng ệă thỡ sau

vò kim thựy

Bội 6(143).Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, néi tiạp ệđêng trưn tẹm O. M lộ ệiÓm thay ệữi trến cung
nhá AB. Vỳ AD MC (D MC). Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa M ệÓ tững MB MD ệỰt giị trỡ nhá nhÊt, lắn nhÊt.
nguyÔn ệục tÊn (TP. Hă ChÝ Minh)

2 2 2 2 2 2

P 2x 3xy 4y 2y 3yz 4z 2z 3zx 4x .

xy yz zx 1.

2 2

x x 2 x x 2.

1(143).Letnbe a positive integer such that n 1 and 2n 1 are both perfect squares (A perfect square
is the square of an integer). Prove that nis divisible by 24.

2(143).Find all sets of prime numbers such that the product of the numbers in the set equals ten times
their sum.

3(143).Solve the following equation

4(143).Letx,y, and zbe positive real numbers such that Find the minimum value of
the expression

5(143).Describe the following graph clearly.

6(143). Given an isosceles right triangle ABC with the right angle at A, and
its circumcircle centered at O.Mis a point moving on the minor arc AB. Let
Dbe a point on MCsuch that AD MC. Determine the positions of the point

Msuch that the sum MB MDis at its minimum and maximum values.

2 2 2 2 2 2

2 3 4 2 3 4 2 3 4 .

P x xy y y yz z z zx x

1.

xy yz zx

2 ₂ 2 _2.

x x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36></div>

<!--links-->