Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (296.37 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>QUẢNG NGÃI </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
<b>LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 </b>
<b>MƠN TỐN </b>
<i>Thời gian làm bài : 150 phút </i>
<b>Bài 1. </b>
a) Cho <i>a b c</i>, , là ba số nguyên thỏa mãn <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>3 2018 .<i>c</i> Chứng minh rằng
3 3 3
<i>A</i><i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> chia hết cho 6
b) Tìm các số nguyên dương ,<i>x y</i>thỏa mãn 4<i>x</i> 1 3<i>y</i>
c) Cho <i>B</i>1.2.3 2.3.4 3.4.5 .... <i>n n</i>
<b>Bài 2. </b>
a) Giải phương trình : 3<i>x</i>2 4<i>x</i> 11
2 2
3 3 2 2
5
6
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i> <i>xy</i>
<b>Bài 3. </b>
a) Rút gọn biểu thức
2
2
2
1
1
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>C</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
với <i>x</i>0.
b) Cho các số thực <i>a b c</i>, , thỏa mãn <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1.Tìm GTLN của <i>D</i><i>ab</i><i>ac</i>
c) Với , ,<i>x y z</i>là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
<b>Bài 4. </b>Cho tam giác <i>ABC</i>nhọn
<i>F</i>lần lượt chuyển động trên các caanhj <i>AB AC</i>, sao cho <i>BE</i><i>CF</i>.Trên cạnh <i>BC</i>lấy các
điểm <i>P</i>và Q sao cho <i>EP</i>và <i>FQ</i> cùng song song với AD
a) So sánh <i>BP</i>và <i>CQ</i>
b) Chứng minh rằng trọng tâm <i>G</i>của tam giác <i>AEF</i>thuộc một đường thẳng cố định
<b>Bài 5. </b>Cho nửa đường trịn tâm O đường kính <i>AB</i>2 .<i>R</i> Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia
<i>Cx</i>vuông góc với <i>AB</i>cắt nửa đường trịn (O) tại I. Lấy <i>K</i>là điểm bất kỳ trên đoạn <i>CI</i>(K
khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia <i>Cx</i>tại D. Vẽ tiếp tuyến
với đường tròn
a) Chứng minh rằng <i>KMN</i>cân
b) Tính diện tích <i>ABD</i>theo R khi K là trung điểm của CI
c) Khi <i>K</i>di động trên <i>CL</i>.Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp <i>AKD</i>đi qua điểm
<b>ĐÁP ÁN </b>
<b>Bài 1. </b>
a) Ta có: <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>3 2018<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
b) Xét <i>x</i> 1 <i>y</i> 1
Xét <i>x</i>2thì 4 8.<i>x</i> Nếu <i>y</i>chẵn , đặt <i>y</i>2<i>k k</i>
Vậy <i>x</i> <i>y</i> 1thỏa mãn bài tốn
c) Ta có :
4<i>B</i>1.2.3.42.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 ....<i>n n</i>1 <i>n</i>2 <sub></sub> <i>n</i> 3 <i>n</i>1 <sub></sub>
1 2 3 6 11 6 6 11 6 1 3 1
<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Mặt khác:
4 3 2 4 3 2 2
6 11 6 6 9 3
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i><i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
3 4 3 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>B</i> <i>n</i> <i>n</i>
Do đó <i>B</i>khơng thể là số chính phương
<b>Bài 2. </b>
a) ĐKXĐ: 7.
3
<i>x</i> Phương trình tương đương
2
3 3 3 3 7 4 4 4 3 7 3 7 3 7 3 7 0
3 1 3 7 4 1 3 7 3 7 1 3 7 0
1 3 7 3 4 3 7 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Xét
2
3 7 1
3 7 1 3
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
Xét
3 7 4 3
3 5
3 7 4 3 <sub>7</sub> <sub>4</sub>
2
3 3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
Vậy 3;3 5
2
<i>S</i>
b) Hệ phương trình
1 5
6
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
Đặt <i>x</i> <i>y</i> <i>a</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>b</i>
ta có:
Nếu <i>b</i> 0 <i>x</i> <i>y</i>,vơ nghiệm . vậy <i>b</i>0ta có: <i>ab</i>2 6 <i>a</i> 6<sub>2</sub>.
<i>b</i>
Thế vào
2
7
3
3 <sub>4</sub>
2 2
1
2
2
4
5 6 0
11
2
2 6
3 3
7
3
3
6
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
<b>Bài 3. </b>
a) Ta có
2
2 2
2 2
2 2 1 2 1
1 1 1
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1 1 1 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
b) Ta có:
2
2 1 1 1
1 .
2 4 4
<i>D</i><i>a b</i><i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <sub></sub><i>a</i> <sub></sub>
GTLN của <i>D</i> là 1
4, đạt được khi và chỉ khi
1
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
c) Vì , ,<i>x y z</i>là độ dài ba cạnh của tam giác nên <i>y</i> <i>z</i> <i>x z</i>; <i>x</i> <i>y x</i>; <i>y</i> <i>z</i> 0
Áp dụng BĐT Cơ si ta có:
<i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
Nhân vế theo vế các BĐT này ta có đpcm
<b>Bài 4. </b>
a) Vì <i>AD</i> là phân giác nên <i>BD</i> <i>BA</i> <i>BD</i> <i>CD</i>
<i>CD</i> <i>CA</i> <i>BA</i> <i>CA</i>
Lại có <i>PF</i> / /<i>AD</i>/ /<i>QE</i> <i>BP</i> <i>BD</i> <i>CD</i> <i>CQ</i>
<i>BE</i> <i>BA</i> <i>CA</i> <i>CF</i>
, Mà <i>BE</i><i>CF</i><i>BP</i><i>CQ</i>
b) Gọi <i>M N</i>, lần lượt là trung điểm của <i>BC EF</i>, thì MN là đường trung bình của hình
thang <i>PEFQ</i><i>MN</i> / /<i>PE</i>/ /<i>AD</i>, Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định. Gọi
<i>O</i>là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: 2 / /
3
<i>AG</i> <i>AO</i>
<i>OG</i> <i>MN</i>
<i>AN</i> <i>AM</i> mà O cố định nên G di động trên đường thẳng qua O
song song với MN cố định
a) Ta có: <i>KMN</i> <i>MBA</i>, tứ giác <i>BMKC</i>có <i>BMK</i> <i>BCK</i> 900nên nội tiếp
<i>MKN</i> <i>MBA</i> <i>MKN</i> <i>KMN</i> <i>KMN</i>
cân tại N
b) Ta có: <i>KAC</i> <i>BDC ACK</i>; <i>BCD</i> <i>ACK</i> <i>DCB</i> <i>AC</i> <i>KC</i>
<i>DC</i> <i>CE</i>
2
2
. 3 <sub>4</sub>
. : 3
2 2 2
<i>R</i>
<i>R</i>
<i>AC CB</i> <i>R</i> <i>R</i>
<i>DC</i> <i>R</i>
<i>KC</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Do đó: . 3.2 2
3
2 2
<i>ABD</i>
<i>DC AB</i> <i>R</i> <i>R</i>
<i>S</i> <i>R</i>
c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C. Ta có <i>CDE</i><i>CDB</i><i>CAK</i>nên tứ giác <i>AKDE</i>
nội tiếp. Do đó đường trịn ngoại tiếp <i>AKD</i>cũng là đường trịn ngoại tiếp tứ giác
.
<i>AKDE</i> Ta có <i>A C B</i>, , cố định nên AE cố định. Vậy đường tròn ngoại tiếp <i>AKD</i>đi