ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT NĂM HỌC: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Chuyên) - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI pot

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT
TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
( )
( ) ( )
3
3
x y
2x x y y
x y 3 xy y
P
x y
x x y y
−
+ +
+ −
= +
−
+
. (với x > 0; y > 0; x
≠
y).
2. Tính x biết x
3
=
3 3
1 3 4 3 2
− +

Câu II: (2,0 điểm). Cho f(x) = x
2
– (2m+1)x + m
2
+ 1 (x là biến, m là tham số)
1. Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 1.
2. Tìm tất cả các giá trị m
∈
Z để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao
cho biểu thức P =
1 2
1 2
x x
x x+
có giá trị là số nguyên.
Câu III: (2,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình sau :
( ) ( )
1 4
2
3x y 2x y
12y 4x 7 2x y 3x y

+ =

− +



+ = + −

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x
2
+ y
2
= 17 + 2xy
Câu IV: (3,0 điểm). Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M không trùng với O và không trùng với hai đầu mút A
và B). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. Chứng minh rằng :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Tích CM.CN không đổi.
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Câu V: (1,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a
4
+ 4b
4
là số nguyên tố.
Hết
Giải
C©u 4 (3 ®iÓm):
ĐỀ CHÍNH THỨC
p
n
m
a

O
D
C
B
A
(Bi ny l cõu 5 thi 2007-2008 TS Lo Cai)
1) Chứng minh rằng tứ giác OMNP nội tiếp đợc đờng tròn.
ã
ã
0
0 2
OMP 90 (do MP AB)
ONP 90 (t / ct )

=


=



M, N cùng nhìn PO dới 1 góc không đổi bằng 90
0
nên tứ giác
OMNP nội tiếp đợc đờng tròn đờng kính OP.
2) Chứng minh rằng OP // a.
Tam giác OCN cân tại O nên
ã
ã
OCN ONC=

(1)
MP // CP nên
ã
ã
OCN PMN=
(2)
Do tứ giác OMNP nội tiếp nên
ã
ã
PON PMN=
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
ã
ã
ONC PON=
, hai góc này ở vị trí so le trong nên OP // a do ú T giỏc
CMPO l hỡnh bỡnh hnh.
3) hai tam giỏc COM v CND vuụng cú gúc C chung nờn ng dng
suy ra
CM CO
CD CN
=
do ú CM.CN=CO.CD=R.2R=2R
2
khụng i.
4) Tìm tập hợp những điểm P khi M di động.
Tứ giác MODP là hình chữ nhật nên P luôn cách AB một khoảng không đổi bằng bán kính (O)
do đó P thuộc đờng thẳng d // AB cách AB một khoảng không đổi OD
Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A và B của (O).
d