Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 46

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

(TTT2 sè 44)

Yếu cẵu cựa ệÒ ra kừ nộy rÊt râ rộng :
“hởy ệiÒn thếm cịc dÊu phĐp tÝnh ệÓ ệđĩc
kạt quờ lộ 2006”, nghỵa lộ sỳ khềng ệđĩc sỏ
dông cịc dÊu ngoẳc. RÊt tiạc, chử cã hai
bỰn khềng lỰc ệÒ vộ ệđa ra ệđĩc ệịp ịn
ệóng sau : 98 76 5432 10 2006.

Ngoài ra, bốn bạn khác (trong nhóm lạc
đề) cũng có một số đáp án đúng.

Sau đây là một số đáp án khác :
9 8 7 654 3 21 0 2006 ;
9 8 7 654 3 2 10 2006 ;

9 8 7 654 3 2 1 0 2006 ;

0 1 2 345 6 7 8 9 2006 ;
0 1 2 345 6 7 8 9 2006.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ thi nộy lộ NguyÔn
ậục Viỷt, 9C, THCS Liến Bờo, TX. Vỵnh
Yến, Vỵnh Phóc ; ậinh Thỡ Phđểng Thờo,
7A₂, THCS Vò Họu, Bừnh Giang ; Trđểng
Thộnh Cềng, 9/3, THCS Lế Quý ậền, TP. Hời
Dđểng, Hời Dđểng ; Lđu TuÊn Anh, mứ lộ
Miến, xãm 11, Nghi Trung, Nghi Léc, Nghỷ
An ; Vò Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn
Quèc, Kiạn Thôy, Hời Phưng.

Anh Compa
Dùng các chữ số từ 1 đến 9

ệÓ lẺp cịc sè cã 5 chọ sè khịc
nhau. Hởy tÝnh tững cựa tÊt cờ
cịc sè lẺp ệđĩc.

Thịi nhẺt phđĩng
(THCS Cam Nghỵa, Cam Ranh,
Khịnh Hưa)

Kết quả cuộc thi

THẾ GIỚI QUANH TA

Cịc cị nhẹn vộ tẺp thÓ xuÊt sớc nhÊt
ệđĩc trao tẳng phÈm kừ nộy lộ Lế Minh
Hoộng, 7A₆, THCS Lđểng Khịnh Thiỷn, Kiạn

An, Hời Phưng; Lế ChÝ Tội, 7G, THCS ậẳng
Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An ; Lế Quèc Anh,
4B, TH ậềng NgỰc B, Tõ Liếm, Hộ Néi;PhỰm
Xuẹn ậục, xãm 7, thền Do Nghỵa, Nghỵa An,
Ninh Giang, Hời Dđểng;Vò Vẽn Pho, 12 Vẽn,
THPT chuyến Thịi Bừnh, Thịi Bừnh; Vò Thu
Hộ, 7A₁, THCS Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến,
Vỵnh Phóc ; Ngun Huỷ Anh, 42 Lế Quý
ậền, Suèi Hoa, TP. Bớc Ninh, Bớc Ninh ;
NguyÔn ậừnh Thi, 9B, THCS Trẵn Quèc Toờn,
TP. Tuy Hưa, Phó Yến ; Lế Hoộng Vẽn, 37/1
hĨm A1, Hoộng Diỷu, Vỵnh Nguyến, Nha

Trang,Khịnh Hưa ;Cỉ Thỡ i Lế, 7/4, THCS
Lế Vẽn Thiếm, TX. Hộ Tỵnh,Hộ Tỵnh;TẺp thÓ
lắp 8A₆, THCS thỡ trÊn Thắi Bừnh, Cộ Mau ;
TẺp thÓ trđêng THCS bịn cềng Xuẹn Diỷu,
Can Léc, Hộ Tỵnh ; TẺp thĨ trđêng THCS
Trđng Vđểng, Mế Linh, Vỵnh Phóc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

ẻ ngđêi ham
thÝch giời toịn thừ
viỷc thÊy thÝch thó,
tẹm ệớc vắi mét lêi
giời, mét bội toịn
nộo ệã lộ ệiỊu hạt
sục hiĨn nhiến. Bẻi ệèi vắi hả thừ giời xong
mét bội toịn mắi lộ “bđắc 1”, sù “sung
sđắng”, con ệđêng dÉn ệạn nhọng thÝch
thó, tẹm ệớc nỪm chự yạu ẻ cịc bđắc tiạp
theo, ệã lộ từm nhọng cịch giời khịc cho
bội toịn, nhẺn xĐt ệđĩc đu nhđĩc ệiÓm
cựa tõng cịch giời hay cịc khÝa cỰnh khai
thịc, ụng dơng cựa chóng, ệẳt ra vộ giời
quyạt nhọng bội toịn mắi, nhọng vÊn ệÒ
mắi cã liến quan...

TỰo ệđĩc thãi quen tiạp cẺn bội toịn
nhđ vẺy thừ cã thĨ bỰn cịng sỳ trẻ thộnh
ngđêi giái toịn vộ ham thÝch giời toịn.

Sau đây là một bài tốn hình học phẳng

và đơi điều tâm đắc của tơi từ bài tốn đó.

Bội toịn. Cho tam giịc ABC néi tiạp
ệđêng trưn . ậđêng trưn ₁ tiạp xóc vắi
AB, BC vộ lẵn lđĩt tỰi P, Q, R. Gải K lộ
tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC.
Chụng minh rỪng

Chøng minh.

Tõ h×nh vÏ trên ta thấy nếu

thì RK phải đi qua điểm chính giữa của

Gi s ệđêng thỬng RK cớt ệđêng
trưn tỰi ệiÓm thụ hai lộ E, suy ra
ậẹy lộ mét hđắng chụng minh
cựa bội toịn.

Gải M, N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa cịc
cung Suy ra KchÝnh lộ giao ệiÓm
cựa AM, CN (cịc phẹn giịc cựa cịc gãc

).

Vẽ tiếp tuyến chung của và ₁(tạiR),
cắt BC tại D. Ta có DQ DR và các tam
giácRDC,BDRđồng dạng vì có chung góc

D vµ (g.g). Suy ra

RQlà phân giác của
R, Q,M thẳng hàng.

Tng tự ta cã RP lộ phẹn giịc cựa
vộR, P, N thỬng hộng.

Dễ thấy các tam giác BQR, MCR đồng

d¹ng (g.g), suy ra (1)

Ta cã :

suy ra tam giác MCK cân

tạiM MK MC. (2)
Ta l¹i cã BP BQ. (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra

Mặt khác, ABR AMR (hai góc nội tiếp

.

BP BR
MK MR
KCM CKM 2 2

ACB BAC
CKM KCA KAC

;

2 2

ACB BAC
KCM KCB BCM

.

BQ BR
MC MR
ARB

BRC

RC DC QC
RB DR QB

;

DR DC DQ DC DQ DC QC
DB DR DB DQ DB DQ QB

RBD RBC CRD

,

BAC ACB

, .

BC AB

.

AE CE

.

ABC

ARK CRK

.

ARK CRK

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

cïng ch¾n mét cung) hay

suy ra các tam giác BPR,MKRđồng dng

(E là trung điểm của )
(đpcm).

Lu ý. Ta cịn có thể chứng minh R, Q,
M thẳng hàng và tam giác MCK cân tại M
theo các cách khác đơn gin hn :

QthuộcRMhayR, Q, M

thẳng hàng ;

Suy ra tam giác MCK cân tại M.

1) Thấy c tm quan trng cựa viỷc
vỳ thếm tiạp tuyạn chung vắi hai ệđêng
trưn vộ ₁tỰi R, cớt BCtỰiD.

2) TÝch lòy ệđĩc mét phđểng phịp chụng
minh ba ệiĨm thỬng hộng, sỏ dơng tÝnh
chÊt cựa ệđêng trưn (ba ệiÓm R, Q, M).

3) Phán đoán rằng P, K, Q cũng thẳng
hàng do các bộ ba điểm R, P,N ;R,Q, M;
A,K,M;C,K,Nđều thẳng hàng. Nếu điều
này là đúng thì ta thấy ngay K là trung
điểm của PQ vàBKvuông góc với PQ.

Giờ sỏ phẹn giịc cựa cớt PQtỰiH,
nạu chụng minh ệđĩc H trỉng vắi K thừ
ệăng thêi suy ra ệđĩc P, K, Q thỬng hộng
vộ ậẹy chÝnh lộ hđắng chụng
minh thụ hai cựa bội toịn.

Tụ giịc ABCRnéi tiạp ệđêng trưn nến

(tam gi¸c

BPQ cân tại A)

t gic QCRHnội tip ờng trn

(R, Q,M thẳng hàng, theo cách 1)

CHlà phân giác của

Tđểng tù, AH lộ phẹn giịc cựa

Suy ra H lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp trong
tam giịc ABC hay H K

bội toịn
ệờo cựa bội toịn ban ệẵu : “Cho tam giịc
ABC néi tiạp ệđêng trưn . ậđêng trưn ₁
tiạp xóc vắi AB,BCvộ lẵn lđĩt tỰi P,Q,R.
Chụng minh rỪng giao ệiÓm cựa phẹn giịc
cựa vộ PQlộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp
tam giịc ABC”.

Theo tềi, ệẹy lộ mét bội toịn rÊt lÝ thó vừ
nã cã nhiỊu cịch giời ; tững hĩp ệđĩc nhiÒu
kiạn thục trong chđểng trừnh THCS ; qua bội
toịn ta cã thĨ rÌn luyỷn kỵ nẽng vỳ ệđêng
phơ, ệỊ cẺp ệạn nhiỊu bội toịn phơ hoẳc
thay ệữi ệđĩc kạt luẺn cựa bội toịn ệÓ cã
bội toịn mắi... vộ bội toịn nộy cưn lộ “anh
em” vắi bội toịn thịch ệÊu thụ ba mđểi sịu
ệÊy ! Cịc bỰn tiạp tôc cho ý kiạn nhĐ !

ARC

.

ARK CRK

.

BAC

.

ACB

o
o

90

2
90

2 2 2

ABC

HCQ MAC

ABC BAC ACB

o

90

2

HCQ HRQ HRC QRC
ABC MRC

o

180

CRH HQC

o

180

CRH HQC

ARH CRH BQP BQH

o o

180 90

2 2

ARC ABC
ARC ABC

.

ARK CRK

ARC

s® s® s®

2 2

s® s® s® .

2

NA MC NB MB
MKC

MN _MCN _MCK
QRB QRC

RQD QRD QBR QRB QRC DRC
ARK CRK

ABC
AE CE

NRB PRB KRM ERM

AN BN EM BN BE EM BE

EN BM CM AN EN EM CM

,

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

(TTT2 sè 44)
Lêi giời lẵn nộy ệở quến mét bđắc về

cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi
sử dụng bất đẳng thức, đó là xác định điều
kiện xảy ra đẳng thức.

Ta thấy P 42 (1) và (2) đồng thời trở
thành đẳng thức

Hệ trên vô nghiệm nên bất đẳng thức
P 42 không thể trở thành đẳng thức.

Lời giải đúng.

XÐt hiÖu 3(x2 y2 z2) (x y z)2
2(x2 y2 z2) 2(xy xz yz)

(x y)2 (y z)2 (z x)2 0 (*).
Tõ (*) suy ra :

(x y z)2 3(x2 y2 z2) 3 27

x y z 9 (1)

(đẳng thức xảy ra x y z 3).

Còng tõ (*) suy ra :

2(xy xz yz) 2(x2 y2 z2)
xy xz yz x2 y2 z2 27 (2)
(đẳng thức xảy ra x y z 3).

Tõ (1) vµ (2) suy ra :

x y z xy xz yz 36
(đẳng thức xảy ra x y z 3).

VậyP đạt giá trị lớn nhất là 36.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy : Ngun
MỰnh Quẹn, 13A, tẺp thĨ Lế Hăng Phong,
TX. Hộ ậềng, Hộ Tẹy ; ậẳng Thỡ Hộ
Giang, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,
Bớc Ninh ; Phan Thỡ Trộ Giang, 9B,
THCS BC Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh ;
Lế Duy Tỉng, 9E, THCS Chu Vẽn An,
Eakar, ậớk Lớk.

Anh kÝnh lóp

2 2 2

3
27

1.

x y z
x y z
x y z

MỘT THOÁNG BỐI RỐI ...

Bội toịn sau ệẹy
thuéc néi dung chđểng
trừnh Hừnh hảc 9 :

Bội toịn. Cho tam
giịcABCcã gãc AbỪng
60o, ệđêng cao AH. Biạt
CH a vộ BH 2a.
Hởy tÝnh AH theo a.
Mét sè hảc sinh ệở cã lêi giời nhđ sau :
Lêi giời. ậẳt AH x > 0. Theo cềng thục
tÝnh diỷn tÝch tam giịc ta cã :

2S_ABC AH BC AB ACsinA

VẺy ệé dội ệđêng cao AHlộ :
hoẳc

ậảc xong lêi giời trến, tềi ệở thoịng bèi rèi
vắi kạt quờ từm ệđĩc : Phời chẽng ệé dội AH
lỰi cã hai giị trỡ khịc nhau ?

ngun Anh hoµng
(THCS Ngun Du, QuËn 1, TP. Hå ChÝ Minh)

14 2 33 .

2 a

14 2 33

2 a

2 2 2 2 o

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2 2 4

2 2

3 4 sin60

3

3 4

2

2 3 4

12 ( )(4 )

7 4 0

7 33 7 33

2 2

14 2 33 .
2

ax a x a x
ax a x a x

ax a x a x
a x a x a x
x a x a

x a x a

x a

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Đáp số là 1. Nhðng để tới kết quả này, có
nhiều cách lập luận khác nhau.

BỰn NguyÔn Họu ậẽng, 8B, THCS Yến
Trđêng, Yến ậỡnh, Thanh Hãa cho rỪng :

Tững cựa 4 ề vẹy quanh 1 ề ẻ giọa, khịc
mộu vắi 4 ề kia, gÊp 4 lẵn ề ẻ giọa.

BỰnNguyÔn Thỡ Thịi Hộ, mứ lộ Hoộng Thỡ
Thđêng, giịo viến tữ Mịc Lế, trđêng CậSP
Nghỷ An, Nghỷ An cho rỪng : Tững cịc ề

trớng bỪng tững cịc ề xanh vộ bỪng 21.
BỰn Vò Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn
Quèc, Kiạn Thôy, Hời Phưng lỰi cho rỪng :
Nạu xĐt cịc ề mộu theo chiÒu tõ trến xuèng
dđắi vộ tõ trịi qua phời thừ cịc sè giờm dẵn
3 ệển vỡ : 6 - 3 - 0 vộ 7 - 4 - 1 ; nạu xĐt tõ
trến xuèng dđắi vộ tõ phời qua trịi thừ cịc
sè giờm dẵn 1 ệển vỡ : 7 - 6, 4 - 3 vộ 1 - 0.

Xin tẳng thđẻng cho cịc bỰn ậẽng,Hộ,Ngảc.

5

(TTT2 sè 44)

BỰn chản tiạp lộ ệỡa danh nộo trong cịc ệỡa danh sau ệẹy :
1. Vộng Danh ; 2. Bừnh ậỡnh ; 3. Hđểng Giang ; 4. Kừ Lõa

Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ, cịc
bỰn hởy gải ệạn sè 19001548 vộ lộm theo
chử dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu
3T IQ2 X Y, trong ệã X lộ ệịp ịn cựa bỰn
(cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng dÊu) ; Ylộ
sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

| | | | |

|

Giá trị tuyệt đối là một nội dung khó đối
với nhiều học sinh. Để vận dụng tốt kiến
thức về giá trị tuyệt đối trong giải toán cần
phải nắm chắc và biết vận dụng linh hoạt
định nghĩa và các tính chất của nó.

Trong bài viết này, tơi muốn trao đổi với
các bạn về việc vận dụng bất đẳng thức
|a| |b| |a b| để giải quyết các bài toán.

Ta lðu ý bất đẳng thức này trở thành đẳng
thức khi và chỉ khi ab 0.

1.

VÝ dơ 1. Cho biĨu thøc (víi xy 0) :

a) Rót gän biĨu thøc A ;
b) T×m x, y biÕt

Lêi gi¶i.

a) Víixy 0 ta cã :

. Suy ra

b) Ta cã

|x| |y| 0 x y 0.

VÝ dụ 2.Rút gọn biểu thức :

Lời giải.Vì suy ra x2 y2
x2 y2 0 (x y)(x y) 0

VËy :
2.

VÝ dô 3.Giời phđểng trừnh : 4012

Lêi giời.Phđểng trừnh tđểng ệđểng vắi :

(x2 2006x 2005)( x2 2006x 2007) 0
(x 1)(x 2005)(x 1)(x 2007) 0

1 x 1 hc 2005 x 2007.

VÝ dơ 4. Từm m ệĨ hỷ phđểng trừnh sau
cã nghiỷm duy nhÊt :

2 2

2 2

2006 2005 2006 2007

2006 2005 2006 2007

x x x x

x x x x

2 ₂₀₀₆ ₂₀₀₅ 2 ₂₀₀₆ _{2007 .}

x x x x

2 2 0.

B x x

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

V×

0
2 .

x x y x x y
x x y x x y y
x x y x x y x

2 ;

x y x y x y x y x
x y

2 2 2 2

.

B x x y x x y

x y x y

(víi x y)

2 3 3

x y _x _y
A

2 2 2

.

2 2

x y
x y x y

A xy xy

x y x y
x y

2 2

2 ( )

( ) 0

2 4

x y _xy x y

2 2

x y _xy x y _xy

.

3 3

x y
A

.

2 2 2 2

x y x y x y

A xy xy

1 1 ₀

2 x y 3 x y x y

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

Lời giải.+Điều kiện cần :Giả sử hệ trên
có nghiệm duy nhất là (x₀, y₀).

Thay nghiƯm nµy vµo hƯ, ta cã :

(2 x₀, 2 y₀) còng lộ nghiỷm cựa hỷ.
Vừ hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm duy nhÊt
suy ra x₀ 2 x₀, y₀ 2 y₀ x₀ y₀ 1.
Thayx y 1 vộo hỷ ta tÝnh ệđĩc m 8.
+ ậiÒu kiỷn ệự : Vắi m 8, h phng

trình trở thành (*)

suy ra

Mặt khác ta có :

tng tự,
suy ra

Đẳng thức xảy ra

Khi ú hệ (*) trở thành

x y. Suy ra hỷ ệở cho về sè nghiỷm.
+ Kạt luẺn : Khềng tăn tỰi m ệÓ hỷ
phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm duy nhÊt.

3.

VÝ dơ 5. Cho c¸c sè thùc a, b, c. Chøng
minh r»ng

Lêi gi¶i.Ta cã

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu
thøc

Lêi gi¶i.
Ta cã

Mặt khác, Vậy D(x) đạt
giá trị nh nht l khi x 4a.

Bài tập tự giải.

Bi 1. Giời phđểng trừnh :

Bội 2.Từma,bệÓ hỷ phđểng trừnh sau cã
nghiỷm duy nhÊt :

Bài 3. Chứng minh bất ng thc :

Bài 4. Biết đa thøc f(x) ax2 bx c
tháa m·n f(x) 1 víi mäi x [ 1 ; 1]. Chøng
minh r»ng

Bội 5. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục
vắi m lộ
sè thùc cho trđắc.

1 ... 99 ,

x n x n x n

3.

a b c

2 2 2 _1.

a b b a b b a b

2

2

.

x y a
x y b

3 2 _{1 (} 2 ₁₎₍ _1).

x x x x x

15 ,a

(4 ) 15 .

D a a

... 25 5 3 4

15 3 4 15 .

x a a x x a

a x a a

3x 9a 4a x 25a 5x 3 x 4a

( ) 2 4

D x x a x a

4 x 4a 5 x 5 .a

( ) 2 2 3 3

D x x a x a x a

3 2 3 2

.
2

a b c a d c

1 1 1 1

2 2 2 2

a b a c a c a d

1 1 1 1

2 2 2 2

a b a c a c a d
a b a c a d

3 2 3 2

.
2

a b c a d c

a b a c a d

3 5 8

5 3 8

x y

x y

( 3)(5 ) 0 3 5

( 3)(5 ) 0 3 5.

x x x

y y y

3 5 5 3 16.

x y x y

5 3 8

y y

3 5 3 5

3 5 8 ;

x x x x

x x

3 5 5 3 16.

x y x y

3 5 8

5 3 8

x y

x y

0 0

0 0

2 3 2 5

2 5 2 3

x y m

x y m

0 0

0 0

5 3

suy ra

3 5

x y m

x y m

0 0

0 0

3 5

5 3

x y m

x y m

3 5

5 3 .

x y m

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

ThS. NGUYÔN V¡N NHO (NXBGD)

Bớt ệẵu tõ nẽm 1979, vộo mẫi mỉa thu,
ậỰi hảc Maryland lỰi tữ chục mét cuéc thi
dộnh cho hảc sinh Trung hảc (University of
Maryland mathematics competition), cuéc
thi nộy dộnh cho hảc sinh néi hỰt Columbia
(nđắc Mỵ), vộ cho tÊt cờ cịc thÝ sinh muèn
ệđĩc nhẺn vộo ậỰi hảc Maryland. ậã
còng lộ cể héi cho hảc sinh giái dộnh lÊy
hảc bững Edgar Krahn Scholar, quủ hảc
bững mang tến nhộ Toịn hảc hiỷn ệỰi
xuÊt sớc ngđêi Estonia (1894 - 1961).
Quủ hảc bững nộy do ngđêi vĩ gãa cựa
ềng ta (Dorothee Krahn) thộnh lẺp tõ nẽm
1983. Cuéc thi găm hai vưng : Vưng 1
găm cịc bội tđểng ệèi dÔ ệèi vắi hảc sinh
giái. Mét sè hảc sinh vđĩt qua vưng 1 sỳ
ệđĩc tham gia vưng 2, vắi bội thi khã hển.
Trong sè nộy, chóng tềi giắi thiỷu 7 cẹu
trớc nghiỷm tuyÓn chản trong 25 cẹu cựa
vưng 1 nẽm 1999 (thêi gian lộm bội 75
phót, khềng ệđĩc sỏ dơng mịy tÝnh).

1 (C©u 1).

Hai cha con cã cỉng ngộy sinh nhẺt lộ
ngộy 20 thịng 10. Vộo ngộy nộy nẽm nay
(1999), cha ệđĩc 42 tuữi vộ con ệđĩc 11
tuữi. Hái vộo sinh nhẺt nẽm nộo thừ tuữi
cha bỪng ệóng hai lẵn tuữi con ?

A. 2009 ; B. 2011 ; C. 2013 ;
D. 2017 ; E. 2019.

2 (C©u 2).

Mét cềng nhẹn lộm viỷc trong 10 ngộy.
Ngộy thụ nhÊt, ềng ệđĩc lỵnh 2$, ngộy thụ
hai ệđĩc lỵnh 4$, ngộy thụ ba ệđĩc lỵnh 8$,
... Nhđ vẺy, cụ ngộy sau ềng ệđĩc lỵnh

gÊp ệềi ngộy trđắc. Hái tiÒn cềng cựa
ngđêi cềng nhẹn ệã trong 10 ngộy ?

A. 1023 ; B. 1999 ; C. 2000 ;
D. 2046 ; E. 2048.

3 (Câu 3).

HÃy tìm số nguyên N bé nhất sao cho
|N 9| < 3.

A. 5 ; B. 6 ; C. 7 ; D. 11 ; E. 12.
4 (Câu 4).

Nếu 3x 4y 10 và 2x 7y 11 th× x
b»ng

A. 1 ; B. 0 ; C. 1/2 ; D. 1 ; E. 2.
5 (C©u 5).

Trong mét cuéc thi, vỡt Donald cã thĨ
ẽn 2 chiạc bịnh pizza trong 3 phót, cưn vỡt
Goofy thừ cã thÓ ẽn 3 chiạc bịnh pizza
trong 2 phót. Hái cờ ai ẽn ệđĩc mÊy chiạc
bịnh pizza trong mét giê ?

A. 4 ; B. 96 ; C. 130 ; D. 216 ; E. 250.
6 (C©u 6).

Trong một chiếc túi, có 37 viên cẩm
thạch gồm bốn màu đỏ, xanh da trời, xanh
đen, vàng. Số viên màu đỏ nhiều hơn số
viên màu xanh da trời là 3, nhiều hơn số
viên màu xanh đen là 2 ; số viên màu
vàng nhiều hơn số viên màu xanh đen là 4.
Hỏi trong túi có bao nhiêu viên cẩm thạch
màu xanh da trời ?

A. 5 ; B. 7 ; C. 9 ; D. 11 ; E. 12.
7 (C©u 8).

Giờ sỏ sè nguyến dđểng Nchia hạt cho
21 vộ 9. Hái cã Ýt nhÊt bao nhiếu sè
nguyến dđểng mộ Nchia hạt cho chóng ?
A. 3 ; B. 4 ; C. 5 ; D. 6 ; E. 7.

GIỚI THIỆU CUỘC THI TOÁN CỦA ĐẠI HỌC MARYLAND

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

CUỘC THI TON QUC GIA IRAN

Bài 1.(1996)Không mất tính tổng quát,
giả sử AB > AC (nếu AB AC thì C B
vàB C) ta thÊy :

ậđêng trưn ệđêng kÝnh II’ ệi qua cịc
ệiÓm B, C (cịc phẹn giịc trong vộ ngoội
cựa mét gãc vuềng gãc vắi nhau) ;

A,I,I’thỬng hộng, nỪm trến ệđêng phẹn
giịc cựa nến C’ ệèi xụng vắi C ; B
ệèi xụng vắi B qua II’, suy ra B’, C’ còng
thuéc ệđêng trưn ệđêng kÝnh II’ ;

Các bạn có thể chứng minh :

suy ra O,I,H nm trến ệđêng trưn qua ba
ệiÓm B, C, C’, chÝnh lộ ệđêng trưn ệđêng
kÝnh II’.

VẺy tịm ệiÓm B, C, H, O, I, I’, B’, C’
cỉng nỪm trến ệđêng trưn ờng kính II.

Bài 2.(1997)Ta có hàm giảm f:
và với mọi x, y + th×

f(x y) f(f(x) f(y)) f(f(x f(y)) f(y f(x))).
Nhð vËy, nÕu thay y b»ng x th× ta cã :

f(2x) f(2f(x)) f(2f(x f(x))) ; (1)

TiÕp tơc thay x b»ng f(x) ta l¹i cã :
f(2f(x)) f(2f(f(x))) f(2f(f(x) f(f(x)))). (2)

Trõ theo tõng vÕ cña (2) vµ (1) ta cã :
f(2f(f(x))) f(2x)

f(2f(f(x) f(f(x)))) f(2f(x f(x))).
+ Nếu f(f(x)) > xthìf(2f(f(x))) < f(2x) vì f
là hàm giảm f(2f(f(x))) f(2x) < 0

f(2f(f(x) f(f(x)))) f(2f(x f(x))) < 0
2f(f(x) f(f(x))) 2f(x f(x)) > 0
f(x) f(f(x)) x f(x) < 0

f(f(x)) < x, mẹu thuÉn vắi trđêng hĩp
ệang xĐt ;

+ Nạu f(f(x)) < x thừ tđểng tù nhđ trến,
cịng dÉn ệạn ệiỊu mẹu thn (f(f(x)) > x).

Suy ra f(f(x)) x, ®pcm.

Bài 3. (1997) Ta sẽ gọi một đa giác là
đa giác xanh (đỏ) nếu nó có tất cả các

ệửnh cỉng mộu xanh (ệá) ; tđểng tù ệèi vắi
ệoỰn thỬng vắi hai ệiĨm mót cỉng mộu.

Giờ sỏ ngđĩc lỰi, ệÒu khềng tăn tỰi
ệoỰn thỬng ệá cã ệé dội ệển vỡ vộ tam
giịc xanh bỪng ABC. (1)

Kí hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của
ABCvà a có giá trị nhỏ nhất. Giả sử tồn
tạiXY là một đoạn thẳng đỏ có độ dài a.

Khi ệã theo (1), cịc ệđêng trưn ệển vỡ cã
tẹm lộ X, Y chử chụa cịc ệiÓm mộu xanh.

Gải Z lộ ệiÓm sao cho XYZ ABC.
Khi ệã, ệđêng trưn ệển vỡ tẹm Z chử chụa
cịc ệiÓm mộu ệá, vừ nạu tăn tỰi trến
ệđêng trưn tẹm Z mét ệiÓm Z’ mộu xanh
thừ luền xịc ệỡnh ệđĩc trến cịc ệđêng trưn
ệển vỡ tẹm X,Y cịc ệiÓm X’,Y’ tđểng ụng
ệÓ tam giịc X’Y’Z’ XYZ ABC mộ
X’Y’Z’ lộ tam giịc xanh, mẹu thuÉn vắi
(1). Nhđ vẺy trến ệđêng trưn ệển vỡ tẹm Z
chớc chớn cã hai ệiÓm mộu ệá cã khoờng
cịch bỪng mét ệển vỡ, mẹu thuÉn vắi (1).
VẺy khềng tăn tỰi ệoỰn thỬng ệá XYcã
ệé dội a. (2)
Theo giờ thiạt, cịc ệiÓm trến mẳt
phỬng ệđĩc tề bẻi cờ hai mộu xanh vộ ệá,
chản mét ệiÓm R mộu ệá. Suy ra ệđêng
trưn (T) cã tẹm R vộ bịn kÝnh a găm toộn
cịc ệiÓm mộu xanh. Khi ệã, tăn tỰi hai
ệiÓmDvộE(cỉng mộu xanh) trến (T) sao

cho DE a. Vừ a b vộ a c nến tăn tỰi
ệiÓm F nỪm ngoội (T) sao cho DEF

ABC, theo (1) thừ ệiÓm Fphời cã mộu ệá.
Nhđ vẺy, nạu ta quay DE quanh R, thừ
ệiÓm F sỳ vỰch nến mét ệđêng trưn bịn
kÝnh lắn hển a, cịc ệiĨm trến ệđêng trưn
nộy ệỊu mộu ệá, trến ệđêng trưn nộy luền
tăn tỰi hai ệiÓm mộu ệá cã khoờng cịch a,
mẹu thuÉn vắi (2). Suy ra giờ thiạt (1) lộ
sai, ta cã ệpcm.

o

120

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chun Tốn,

TP. Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007

(Đề đăng trên TTT2 số 45)

Cõu 1.x2 2mx m2 m 3 0. (1)
Điều kiện để (1) có nghiệm x₁,x₂là ’ 0
m 3. (2)
Theo hệ thức Vi-ét suy ra

(x₁ x₂)2 2x₁x₂ 6 0 m(m 1) 0
m 0 hoẳc m 1, ệÒu tháa mởn (2).

Cẹu 2. Giời cịc phđểng trừnh sau :
a) ậẳt y x2 x 4 thừ phđểng trừnh ệở

cho trë thµnh .

Giời phđểng trừnh nộy ta cã y 2 hoẳc
ệÒu tháa mởn y 0 vộ y 1.

Tõ ệã tÝnh nghiỷm x cựa phđểng trừnh.
b) ậiỊu kiỷn ệĨ cịc phẹn thục cã nghỵa
lộ x 1. ậẳt

Suy ra

Phđểng trừnh trẻ thộnh (5 y)y 6
y2 5y 6 0 y 2 hoẳc y 3.
Lẵn lđĩt thay cịc giị trỡ cựa y ệÓ từm cịc
giị trỡ cựa x, ta có nghim l x {1 ; 2}.

Câu 3. Vì x > 0 ; y > 0 vµ x3 y3 x y
nên xy > 0 ; x y > 0 và y3 > y3, suy ra
x y x3 y3>x3 y3 (x y)(x2 xy y2)

1 > x2 xy y2 >x2 y2 x2 y2 < 1.
Câu 4.Giả sử N có dạng .

Theo đề bài ta có :

nhð vËy, a_n 4 (6 4 24, viÕt 4 nhí 2) ;

a_n ₁ 8 (4 4 2 18, viÕt 8, nhí 1) ;
a_n ₂ 3 (8 4 1 33, viÕt 3, nhí 3) ;
a_n ₃ 5 (3 4 3 15, viÕt 5, nhí 1) ;
a_n ₄ 1 (5 4 1 21, viÕt 1, nhí 2) ;
a_n ₅ 6 (1 4 2 6, viết 6).

Vậy số cần tìm là 153846.
Câu 5.

a) XÐt (O) ta cã
XÐt (O₁) ta lại có

(ABlà tiếp tuyến với (O₁) tại A).

Suy ra AE // BF. (1)
Tđểng tù, ta cã AF// BE. (2)
Tõ (1), (2) suy ra AEBFlộ hừnh bừnh hộnh.
b) Tõ a) suy ra khềng
ệữi, mộ khi CchỰy trến cung lắn ABcựa (O)
thừF chỰy trến cung nhá AB cựa (O) nến E
chỰy trến cung chụa gãc chớn dẹy AB,
ệèi xụng vắi cung nhá ABca (O) qua AB.

Câu 6.

Ta có AH HCnên AC AH; BK KC
nênBC BK.

Mặt khác, theo giả thiết ta có AH BC ;
BK ACsuy ra AC AH BC BK AC

AC AH BC BKhay C H K
tam giác ABC vuông cân tại C

o o

45 ; 90 .

ABC BAC ACB
AEB AFB
EAB ABF

ACF ACE EAB

;

ACF ABF

1 2

1 2

... 6
4
6 ...

n
n

a a a

a a a

1 2... 6n

a a a

5 5

5 5 .

1 1

x x

y x x

x x

5 _.
1

x
y x

x

1,
2

y

3 2 ₂

1

y y

2 2
1 2 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10, THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ,

TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ, ĐH QUỐC GIA HAØ NỘI

Năm học : 2006-2007 - Thời gian : 150 phỳt

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có
nghĩa và rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu
thức nhận giá trị nguyên.

Cẹu 2. (2,0 ệiÓm)
a) Giời phđểng trừnh :

x4 4x3 2x2 4x 1 0.

b) Gii h phng trnh :

Câu 3.(2,0 điểm)

Trong mt phỬng tảa ệé Oxycho parabol
(P) cã phđểng trừnh . Gải (d) lộ ệđêng
thỬng ệi qua ệiÓm I(0 ; 2) vộ cã hỷ sè gãc k.
a) Viạt phđểng trừnh ệđêng thỬng (d).
Chụng minh rỪng ệđêng thỬng (d) luền cớt
parabol (P) tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt A vộBkhi
k thay ệữi.

b) Gäi H, K theo thứ tự là hình chiếu
vuông góc của A và B lên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho ờng trn tm O, bn kÝnh RvộAB
lộ ệđêng kÝnh cè ệỡnh cựa ệđêng trưn (O).
ậđêng thỬng d lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn
(O) tỰi B. MN lộ ệđêng kÝnh thay ệữi cựa
ệđêng trưn (O) sao cho MN khềng vuềng
gãc vắi AB vộ M A, M B. Cịc ệđêng
thỬng AM vộ AN cớt ệđêng thỬng d tđểng
ụng tỰi CvộD. Gải Ilộ trung ệiÓm cựa ệoỰn
thỬngCD,Hlộ giao ệiÓm cựa AIvộMN. Khi
MN thay ệữi, chụng minh rỪng :

a) Tích AM AC khơng đổi.

b) Bèn ệiÓm C, M, N, D cỉng thuéc mét
ệđêng trưn.

c) ậiÓm H luền thuéc mét ệđêng trưn cè
ệỡnh.

d) Tẹm J cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam
giịc HIB luền thuéc một ờng thng cố
nh.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hai sè dđểng x,ytháa mởn ệiÒu kiỷn
x y 1. Hởy từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu
thục : A ₂ 1 ₂ 1 .

xy
x y

2

2

x
y

2 2

2

3 2 0

2 3 5 0.

x xy y
x xy
Q P x

1 2

1 : 1.

1 1 1

x x

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bội 1(44).Cho sè tù nhiến cã ba chọ sè.
Mẫi lẵn ệđĩc phĐp biạn ệữi sè ệở cho bẻi
mét trong hai cịch sau :

1. Lấy chữ số đầu tiên (hoặc chữ số cuối
cùng) đặt vào giữa hai chữ số còn lại.

2. ậờo ngđĩc sè ệở cho.

Hái nạu biạn ệữi nhđ thạ 2005 lẵn thừ tõ
sè ban ệẵu lộ 123 ta cã thÓ nhẺn ệđĩc sè
312 khềng ?

Lêi gi¶i.

Thùc chÊt cựa hai cịch biạn ệữi trến ệÒu
lộ viỷc ệữi chẫ hai trong ba chọ sè mộ thềi.
Vừ vẺy, ta cã thÓ chia 6 sè cã ba chọ sè ệđĩc
viạt bẻi ệóng ba chọ sè 1 ; 2 ; 3 thộnh hai
nhãm mộ sau mẫi lẵn biạn ệữi thừ sè thuéc
nhãm nộy sỳ chuyÓn thộnh sè thuéc nhãm
kia vộ ngđĩc lỰi, ệã lộ nhãm {123 ; 231 ; 312}
vộ nhãm {132 ; 213 ; 321}.

Ta thÊy, hai sè 123 vộ 312 thuéc cỉng
mét nhãm nến tõ sè ban ệẵu lộ 123, ệÓ cã
thÓ nhẺn ệđĩc sè 312 thừ nhÊt thiạt phời qua
mét sè chơn lẵn biạn ệữi. Suy ra, vắi 2005
lẵn biạn ệữi thừ tõ sè ban ệẵu lộ 123 ta
khềng thÓ nhẺn ệđĩc sè 312.

NhẺn xĐt. NhiÒu bỰn lẺp luẺn cưn chđa
chẳt chỳ. Trong sè khị nhiÒu lêi giời gỏi vÒ
tưa soỰn, cịc bỰn cã lêi giời ngớn gản vộ
chÝnh xịc lộ : NguyÔn Huy Linh, 9B, THCS
Yến Bịi, Yến ậỡnh, Thanh Hãa ; Huúnh
Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng

Hđng, Thịi Bừnh ; ậẳng Thỉy Linh, 9A₈,
THCS Trẵn Phó, 95 Ngun ậục Cờnh ;
ậộo Thu Thựy, 7A, THCS Kiạn Quèc, Kiạn
Thôy, Hời Phưng ; Phỉng Mai Linh, 7A₄,
THCS Trn ng Ninh, TP. Nam nh, Nam

Định ; Nguyễn Ngäc Trung, 9A₁, THCS
L©m Thao, L©m Thao, Phú Thọ ; Nguyễn
Minh Châu, 9A₅, THCS Nguyễn Đăng Đạo,
TP. Bắc Ninh, Bắc Ninh.

Nguyễn anh quân
Bài 2(44). Cho x, y, z là các số thực
thuộc khoảng (0 ; 1) vµ tháa m·n :

xyz (1 x)(1 y)(1 z).

Chøng minh r»ng .

Lêi gi¶i.

Tõ gi¶ thiÕt xyz (1 x)(1 y)(1 z),
khai triÓn ta cã

xyz 1 (x y z) (xy yz zx) xyz
suy ra

2xyz 1 (x y z) (xy yz zx). (1)
Cũng từ xyz (1 x)(1 y)(1 z), trong
đóx,y,z là các số thực thuộc (0 ; 1) suy ra

(theo bất đẳng thức Cô-si)

6xyz xy yz zx. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra

3 3(x y z) 3(xy yz zx) 6xyz
xy yz zx

0 3 3(x y z) 2(xy yz zx).
Céng cờ hai vạ cựa bÊt ệỬng thục trến
vắix2 y2 z2 ta nhẺn ệđĩc

1 1 1
6

x y z

1 1 1 3 _{1 1 1}

1 3 3

3

x y z

x y z

3

1 1 1 3
3

x y z

1 1 1

1 1 1 1

x y z

2 2 2 3

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

x2 y2 z2 (x y z)2 3(x y z) 3

BÊt ệỬng thục ệở ệđĩc chụng minh.
ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi

NhẺn xĐt.Bội toịn bÊt ệỬng thục trến lộ
bội toịn hay, ệưi hái ngđêi giời phời cã cịc
kỵ nẽng thềng minh, sớc sờo. Cịc bỰn sau
cã lêi giời tèt : NguyÔn Ngảc Trung, 9A₁,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả ;
NguyÔn Cềng Dđểng, 8D ; NguyÔn MỰnh
Quẹn, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc ; Trẵn Vị Trung, 9A₉, THCS
Phỉng ChÝ Kiến, TP. Nam ậỡnh, Nam ậỡnh;

Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung,
Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh ; Dđểng ậục nh,
8G, THCS Thanh Long, Thanh Chđểng ;
Trẵn Ngảc Khịnh, 8D, THCS ậẳng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghỷ An ; Trẵn ậục Khềi,
7B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, c Th, H
Tnh.

Nguyễn Minh Đức
Bài 3(44).Cho f(x) x2 x 8.

Gii phđểng trừnh [f(x)]2 f(x) 8 x. (*)
Lêi giời.Ta cã :

(*) [f(x)]2 f(x) 8 x 0

(x2 x 8)2 (x2 x 8) 8 x 0
(x2 x 8)2 x2 0

(x2 x 8 x)(x2 x 8 x) 0
((x2 2x 1) 9)(x2 8) 0

((x 1)2 9)(x2 8) 0

(x 4)(x 2)(x 2 )(x 2 ) 0.
Do ệã phđểng trừnh (*) cã bèn nghiỷm :

x { 2 ; 2 ; 2 ; 4}.

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn giời phđểng

trừnh bỪng cịch phẹn tÝch thộnh nhẹn tỏ.
Bội toịn nộy khị ệển giờn vừ chử dỉng ba
lẵn hỪng ệỬng thục a2 b2 (a b)(a b).
Tuy nhiến trong trđêng hĩp tững quịt,
cịc bỰn cã thÓ thÊy phđểng trừnh ệở cho cã
dỰng f[f(x)] x, trong ệã f(x) ax2 bx c.
Khi ệã cịc bỰn cã thÓ ệđa phđểng trừnh vÒ
dỰng tÝch bỪng phĐp biạn ệữi sau :

f[f(x)] x

a[f(x)2 x2] b[f(x) x] f(x) x 0
[f(x) x][af(x) ax b 1] 0

[ax2 (b 1)x c][a2x2 a(b 1)x
ac b 1] 0.
Bội toịn trến lộ trđêng hĩp ệẳc biỷt khi
a 1, b 1, c 8.

Hoan nghếnh cịc bỰn sau ệẹy ệở tham
gia giời bội vộ cã lêi giời ệóng : Ngun Tiạn
Phđểng, 7B, THCS thỡ trÊn Sềng Thao,
CÈm Khế, Phó Thả ; Ngun Thỡ Phđểng
Anh; Ngun Ngảc nh; Ngề Vẽn Hoộng ;
Trẵn Minh Huy ; NguyÔn Ngảc Vinh, 7A₁,
THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Vỵnh Phóc ;
Vị Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn Quèc,
Kiạn Thôy, Hời Phưng ; NguyÔn Thỡ Vẹn
Anh ; ậẳng Ngảc Anh Tn ; Ngun
Quang Vị, 7B, THCS Bừnh An, Can Léc, Hộ

Tỵnh ;Mai Thanh TrÝ Quang, 7A, THCS Hời
Vỵnh, Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; NguyÔn Vẽn
Thờo, 7A₅, THCS thỡ trÊn Phđắc An, Krềng
Pẽk, ậớk Lớk.

Ngun Minh §øc

2
2

2
2

1 1 1

1.
2
3

2

x y z _{x y z}
x y z

2
2

3 9 3

( ) 2 ( )

2 4 4
3 _{3 3 .}

2 4 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Bội 4(44).Cho ba ệđêng trưn (O₁), (O₂),
(O₃) cỉng ệi qua ệiÓm O. Cịc ệiÓm A₁,A₂,
A₃ theo thụ tù thuéc cịc ệđêng trưn (O₁),
(O₂), (O₃) sao cho OA₁,OA₂, OA₃ theo thụ
tù song song vắi O₂O₃, O₃O₁, O₁O₂.
Chụng minh rỪng O,A₁, A₂, A₃ cng thuộc
một ờng trn.

Lời giải.

Gọi H là trùc t©m cđa O₁O₂O₃, ta cã
O₁H O₂O₃ ;O₂H O₃O₁ ; O₃H O₁O₂.

Từ đó, với chú ý rằng

OA₁ // O₂O₃ ; OA₂ // O₃O₁ ; OA₃ // O₁O₂
O₁H OA₁ ; O₂H OA₂ ;O₃H OA₃.
Nhđ vẺy O, A₁ cỉng thuéc ệđêng trưn
tẹm O₁ ; ệđêng thỬng O₁H ệi qua tẹm O₁
lỰi vuềng gãc vắi OA₁ nến ệđêng thỬng
O₁Hlộ ệđêng trung trùc cựa ệoỰn OA₁, suy
ra HO HA₁.

Tđểng tù, ta cã HO HA₂ ; HO HA₃.
Suy ra HO HA₁ HA₂ HA₃

O, A₁, A₂, A₃cïng thuéc (H, HO).
NhËn xÐt. 1) Kh«ng khã nhðng lạ, bài
toán này là một trong số ít những bài toán

chng minh bốn iểm cng thuéc mét
ệđêng trưn bỪng ệỡnh nghỵa. Vừ vẺy mẳc dỉ
khềng khã nhđng chử cã 17 bỰn tham gia
giời bội. TÊt cờ cịc bỰn ệỊu giời ệóng
nhđng mét sè bỰn cã lêi giời quị dội, mét
sè bỰn lỰi cã lêi giời quị vớn tớt.

2) BỰn Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS
Quang Trung, Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh ệở
nhẺn xĐt chÝnh xịc rỪng : bội toịn chử ệóng
khiO₁,O₂, O₃khềng thỬng hộng.

3) Mét sè bỰn cã lêi giời tèt lộ PhỰm
Quang Thỡnh, 8H, THCS Hỉng Vđểng,
TP. Tuy Hưa, Phó Yến;Lế Hăng Thóy, 9A,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;
Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng,
ậềng Hđng, Thịi Bừnh ; Vâ Quèc Phưng,
9B, THCS BC Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ
Tỵnh ; Dđểng ậục nh, 8G, THCS Thanh
Long, Thanh Chđểng, Nghỷ An.

NguyÔn Minh Hộ

Bội 5(44). Giờ sỏ M lộ mét ệiÓm bÊt kừ
trong tam giịc ABC. Qua M kĨ cịc ệđêng
thỬngDE,IJ,FGlẵn lđĩt song song vắi BC,
CA, AB (trong ệã G, J BC ; E, F CA ;
D, I AB). Chụng minh rỪng :

.
Lêi gi¶i.

2
3

AIMF BGMD CEMJ ABC

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Ta nhËn thÊy MDI JGM(g.g) suy ra

Tứ giác BGMDlà hình bình hành, suy ra

; (1)
Chụng minh tđểng tù ta cã

(2)
(3)
Từ (1), (2), (3) và áp dụng bất đẳng thức
quen thuộc xy yz zx x2 y2 z2, ta có

Suy ra 3(S_BGMD S_CEMJ S_AIMF)
2(S_MDI S_MEF S_JGM S_BGMD S_CEMJ
S_AIMF)

3(S_BGMD S_CEMJ S_AIMF) 2S_ABC
S_BGMD S_CEMJ S_AIMF S_ABC
(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Mlà trọng
tâm của ABC.

Nhận xét. Có nhiều bạn giải đúng bài
toán này, sau đây là các bạn có lời giải gọn
hơn cả : Nguyễn Minh Hiếu, 8A₁₁, THCS
Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Chu Thị Thu
Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong ;
Nguyễn Minh Châu, 9A₅, THCS Nguyễn
Đăng Đạo, TP. Bắc Ninh, Bắc Ninh ;
Nguyễn Hữu Thanh, 8A₃;Hà Quyết Thắng,
9A₁, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

2
3
2

2( ).

BGMD CEMJ AIMF MDI JGM
MEF JGM MDI MEF
MDI MEF JGM

S S S S S

S S S S

S S S

2 .

AIMF MDI MEF

S S S

2 ;

CEMJ MEF JGM

S S S

2

MDI

BGMD MDI JGM
JGM

S _S _S _S

S

1

2 BGMD BGM

JGM JGM

S _S _{BG DM IM}

S S GJ GJ MJ

;

MDI
JGM

S
DM IM

GJ MJ S

NguyÔn Minh Chẹu, 9A₅, THCS
NguyÔn ậẽng ậỰo, TP. Bớc Ninh, Bớc
Ninh ; Dđểng ậục nh, 8G, THCS
Thanh Long, Thanh Chđểng, Nghỷ An;
Mai Thanh ChÝ Quang, 7A, THCS Hời
Vỵnh, Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; Hoộng
Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung, Kiạn
Xđểng,Thịi Bừnh; NguyÔn Ngảc Trung,
9A₁, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao ;
NguyÔn Tiạn Phđểng, 7B, THCS thỡ trÊn
Sềng Thao, CÈm Khế, Phó Thả ;
Ngun Huy Linh, 9B, THCS Yến Bịi,
Yến ậỡnh, Thanh Hãa ; PhỰm Quang
Thỡnh, 8H, THCS Hỉng Vđểng, TP. Tuy

Hưa, Phó Yến ; Vâ Quèc Phưng, 9B,
THCS bịn cềng Xuẹn Diỷu, Can Léc,
Hộ Tỵnh ; NguyÔn Minh Hiạu, 8A₁₁,
THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi ;
NguyÔn Cềng Dđểng, 8D ; NguyÔn
MỰnh Quẹn, 8C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

Ngun ậẽng Thanh, 9B, THCS Yến LỰc,
Yến LỰc ; NguyÔn Cềng Thộnh, 9D, THCS
Vỵnh Yến, TX. Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc ; Lế
Anh Cềng, 9C, THCS Lế Họu LẺp, HẺu
Léc, Thanh Hãa ; NguyÔn Thỡ Loan, 9D,
THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An;
Mai Thanh TrÝ Quang, 7A, THCS Hời Vỵnh,
Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; ậoộn Cềng Khịnh,
9A, THCS Quạ Xuẹn, Quạ Sển, Quờng
Nam.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Trong mét chuyạn du lỡch tắi Viỷt
Nam, thịm tỏ Sế-Lèc-Cèc ệạn thẽm Tưa
soỰn Toịn Tuữi thể vộ chóc mõng TỰp chÝ
võa ệđĩc ệãn nhẺn BỪng khen cựa Thự
tđắng ChÝnh phự. Hềm Êy Sế-Lèc-Cèc
ệđĩc cỉng gẳp gì vắi cịc céng tịc viến
quen thuéc. TÊt nhiến lộ Sế-Lèc-Cèc
khềng biạt ai lộ ai.

Mải ngđêi rÊt vui vĨ ệãn tiạp thịm tỏ.
Theo lỳ bừnh thđêng thừ lởnh ệỰo tỰp chÝ sỳ
giắi thiỷu vắi Sế-Lèc-Cèc tõng ngđêi mét,
nhđng ềng lỰi tđểi cđêi nãi vắi thịm tỏ :

- NhiÒu vô ịn tđẻng nhđ bạ tớc mộ
ngội cưn từm ra ệđĩc nến viỷc tù từm ra ai
lộ ai trong cuéc hộn huyến hềm nay tềi
sỳ ệÓ ngội tù khịm phị. Chử xin giắi
thiỷu rỪng : ngoội tềi lộ thịm tỏ ệở biạt
răi thừ ngăi trđắc ngội cã mét chuyến gia
hừnh hảc, mét chuyến gia sè hảc vộ ệỰi
sè, mét ngđêi phô trịch chuyến môc
“Khềng chử lộ Vẽn” vộ mét hảa sỵ.

Sế-Lèc-Cèc cịng vui vĨ khềng kĐm :
- RÊt thó vỡ khi lóc nộo tềi cịng cã thĨ
ệẳt mừnh trđắc nhọng thỏ thịch. Xin hái
thẽm ngđêi bỰn gịi duy nhÊt hềm nay
nhĐ ! Chỡ cã nhắ vưng trưn chÝn ệiÓm ệđĩc
mang tến nhộ toịn hảc nộo khềng ?

Ngđêi phô nọ mửm cđêi :

- Thða ngi... ú l vũng trũn Ta-lột !

- Cảm ơn chị...

Thám tử nhìn sang một thanh niên còn
trẻ :

- Cn bi toịn bèn mộu ệđĩc phịt biĨu
thạ nộo chớc cẺu cịng biạt chụ ?

Ngđêi thanh niến hắn hẻ :

- TÊt nhiªn là biết : Chỉ cần dùng bốn
màu là chúng ta có thể pha ra tất cả các
màu !

Có bốn ngời cời vang. Thm t chm
ri :

- Đúng là Tòa soạn có những cộng tác
viên tuyệt vời. Ai cũng tâm huyết với
công việc của m×nh.

Mét ngđêi cao to nhừn Sế-Lèc-Cèc suèt
tõ nởy tắi giê, ệét ngét hái :

- Tềi rÊt Ên tđĩng vắi vô ngội gióp Vị
Minh từm ra mẺt khÈu mịy tÝnh cựa Bc
i Bng.

Thám tử nheo mắt :

- Ti sao anh li Ên tđĩng ?

- Rất đơn giản vì số tạp chí đó có đăng
bài của tơi nên tơi chú ý hơn.

Thịm tỏ phị lến cđêi :

- Anh khoe rất khéo đấy ! Cịn anh bạn
này... chða nói câu gì từ nãy tới giờ, chắc
anh đang... khám phá tôi ?

Ngđêi ệộn ềng nộy nhá nhứ :

- Tôi khâm phục ơng thì đúng hơn.

Lª ViƯt Ngäc Minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

(TTT2 sè 44)

Lẵn nộy tÊt cờ cịc “thịm tỏ Tuữi
Hăng” ệỊu cã cẹu trờ lêi ệóng. Quan sịt
cịc con sè bỡ cớt trong tê lỡch, ta dÔ dộng
từm ra nhọng chọ cịi tđểng ụng trong
bờng chọ cịi tiạng Anh. GhĐp lỰi ta sỳ
ệđĩc cịi tến Fuiji - tến ngđêi ệở lÊy chiạc
ệăng hă cựa thịm tỏ Sế-Lèc-Cèc.

Nhð vậy là không chỉ thám tử
Sê-Lốc-Cốc thông minh, nhanh nhạy mà đông
đảo bạn đọc của TTT cũng rất cừ trong
suy luận, phán đoán và quan sát.

Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho nẽm bỰn
sau : NguyÔn Thỡ Phđĩng, 8C, THCS BÝch
Sển, Viỷt Yến, Bớc Giang;Trẵn Phđểng
Thờo, 46, tữ 7, p. ậăng Tiạn, TX. Hưa
Bừnh, Hưa Bừnh ; Khững Quèc Hđng,

8A₂, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh,
Phú Thọ; Nguyễn Hải Triều, 8G, THCS
Thị trấn Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh.

Thm t S-Lốc-Cốc
Ngi trc ềng tềi phời tranh thự “chiếm

ngđìng” chụ ! NhiỊu vơ ịn ềng giời
quyạt ệứp nhđ chụng minh mét bÊt ệỬng
thục bỪng mét phđểng phịp ệéc ệịo
khềng ai ngê tắi.

Sế-Lèc-Cèc lÊy trong cẳp cựa mừnh ra
nẽm cuèn sịch vộ lÊy bót ghi vộo trang ệẵu
- ậẹy lộ cuèn sịch ghi lỰi cịc vô ịn
mộ tềi khịm phị ệở ệđĩc ệẽng trến tỰp
chÝ tõ thịng 3 nẽm 2003 tắi giê. Xin tẳng
tõng bỰn mét. ậõng ngỰc nhiến khi tềi
viạt ệóng tến cịc bỰn vộ trao ệóng cho
tõng ngđêi mét.

Mải ngđêi cẵm cuèn sịch mộ mừnh
ệđĩc tẳng vộ trẵm tră :

- ThẺt ệóng lộ Sế-Lèc-Cèc ! Thịm tỏ
nến ệẽng kÝ tham gia chđểng trừnh “Ai lộ
ai ?” trến VTV3 cựa ậội TruyÒn hừnh Viỷt
Nam !

Thịm tỏ li cời vang :

- Đây là vụ án dễ nhất trong c¸c vơ

án mà tơi đã gặp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

18

Tiạp cẺn vắi bội toịn thịch ệÊu thụ hai
mđểi bờy (TTT2 sè 35) cựa tịc giờ Huúnh
TÊn Chẹu thềng qua lêi giời trến TTT2 sè 37,
tềi cã mét vội nhẺn xĐt nhá sau ệẹy.

Bội toịn. Cho ba sè dđểng a, b, c thỏa
mn a b c 6.

Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc :

Trong lêi gi¶i cã sư dơng và chứng minh

kết quả . Ta có

th chứng minh bằng cách sử dụng trực tiếp
bất đẳng thức Cô-si, đơn giản hơn so với
cách TS. Nguyễn Minh Đức đã nêu :

Bội toịn cịng cã thĨ mẻ réng vắi a, b, c,
m,nlộ cịc sè dđểng tháa mởn a b c k.
Khi ệã ta cã

và “hình nhð” bất đẳng thức trên vẫn cịn có
thể tiếp tục mở rộng.

Trong lêi giời trến TTT2 sè 37 cưn sỏ
dông mét bÊt ệỬng thục ệẳc biỷt, ệã lộ bÊt
ệỬng thục Min-cèp-xki. Tềi từm ệđĩc khị
nhiỊu ụng dơng cựa bÊt ệỬng thục nộy, xin
giắi thiỷu vắi cịc bỰn 2 bội toịn :

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

trong ó a,b, c,d, e,flộ cịc sè dđểng tháa
mởnabcdef 1.

2) Cho ba sè dđểng x, y, z tháa mởn
x y z 1. Chụng minh rỪng :

Rất mong các bạn tiếp tục mở rộng bài
tốn và có bài viết hấp dẫn về bất đẳng
thức Min-cốp-xki. Hẹn gặp lại các bạn.

2 2 2

2 2 2

1 1 1 _82.

x y z

x y z

2 2 2 2 2 2_,

S a b c d e f

2 9

4m

nk

2 m 2 m 2 m

na nb nc

b c c a a b

3

3

1 1 1

1 1 1

3

3

( )( )( )

3 _3.

2
3

b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b

1 1 1 3

2

b c c a a b

2 1 2 1 2 1 .

S a b c

b c c a a b

PhỰm vẽn dđểng
(lắp 12C₄, THPT Lý Thđêng Kiỷt, Thựy Nguyến, Hời Phưng)

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI SÁU

19

TRẬN ĐẤU

THỨ BA MƯƠI TÁM

(TTT2 sè 44)

Bội toịn nộy khềng quị khã, tuy nhiến
chử cã bèn vâ sỵ bđắc lến sộn ệÊu, ệã lộ
NguyÔn Xuẹn Thiỷn, xãm 3, Nam Cao,
Kiạn Xđểng ; Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS
Quang Trung ; Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn
ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi Bừnh;Trẵn Vò
Trung, 9A₅, THCS Phỉng ChÝ Kiến, TP. Nam
ậỡnh, Nam ậỡnh. Cờ bèn vâ sỵ ệÒu cho lêi
giời ệóng. Tuy nhiến vừ vâ sỵ Ngun Xuẹn
Thiỷn cho tắi hai lêi giời vộ trừnh bộy gản
gộng nhÊt nến lộ ngđêi ệẽng quang trong
trẺn ệÊu nộy. Xin giắi thiỷu vắi bỰn ệảc lêi
giời cựa vâ sỵ Thiỷn (cã sỏa chọa).

Trđắc hạt xin giắi thiỷu hai bữ ệÒ.

Bữ ệÒ 1. Cho tam giịc ABC. ậđêng
thỬngdkhềng ệi qua A,B,C vộ theo thụ tù
cớt cịc ệđêng thỬng BC, CA, AB tỰi M, N,

P. Ta cã .

Bữ ệÒ 2. AB lộ mét dẹy cựa ệđêng trưn
(O). ậđêng trưn (I) tiạp xóc vắi ệoỰn ABtỰi
Kvộ tiạp xóc trong vắi (O) tỰi T. Khi ệã KT
ệi qua trung ệiÓm cựa cung AB (khềng
chụa T) cựa (O).

Bữ ệÒ 1 chÝnh lộ ệỡnh lÝ nữi tiạng
Mế-nế-la-uýt mộ phđểng phịp chụng minh
nã cã trong rÊt nhiÒu tội liỷu toịn sể cÊp.

Bữ ệÒ 2 ệở ệđĩc giắi thiỷu vộ chụng
minh trong bội “ậỡnh lÝ Lyness mẻ réng vộ
cịc hỷ quờ” (TTT2 sè 42, 43).

Trở lại lời giải của bài toán thách đấu.

1

MB NC PA

MC NA PB Vì AB AC nên EF, MT cùng cắt BC.
ĐặtK EF BC ; K MT BC.

ỏp dng b 1 cho ABC và ba điểm
thẳng hàng K, F, E ta có

(1)
(v×EA FA).

áp dụng bổ đề 2ta có TE, TFtheo thứ tự
là phân giác của các góc ATB, ATC suy ra

(v×EA FA). (2)

Tõ (1), (2) suy ra (3)

Mặt khác, dễ thấy M là trung điểm cung
BC(chứa T) TK là phân giác ngoài của

TBC (4)

T (3), (4) suy ra K K’. Điều đó có
nghĩa là BC, EF, MT đồng quy.

Ngun Minh Hµ

.

K B TB
K C TC

.

KB TB
KC TC
EB TB

EB TB

EA TA

FC TC FC TC
FA TA

1

KB FC EA KB EB
KC FA EB KC FC

Ngđêi thịch ệÊu. Lế Viạt ằn, 11A₁₂,
THPT Phan ậẽng Lđu, Phó Vang, Thõa
Thiến - Huạ.

Bội toịn thịch ệÊu. Cho tụ giịc lăi
ABCD vộI, J lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa
hai ệđêng chĐo AC vộBD.

ậẳtE AJ BI, F CJ DI. Gải H
vộKlẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa hai cỰnh
AB vộCD. Chụng minh rỪng EF// HK.

XuÊt xø. S¸ng t¸c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

4. Phđểng phịp sỏ dơng tÝnh chÊt cựa
ệđêng trưn.

Trến mét ệđêng trưn, chớn thừ
phẹn giịc cựa ệi qua trung ệiÓm Icựa

. Nhđ vẺy, nạu mét ệiÓm M nỪm trến
phẹn giịc cựa thừ A, M, I thỬng hộng.
Cịc bỰn cã thÓ tham khờo bội viạt ẻ
chuyến môc “Hảc ra sao ?” trong sè nộy.

Nhìn chung, trong điều kiện cho phép, ta
có thể sử dụng triệt để các tính chất của các
hình để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

5. Phđểng phịp sỏ dông hai tia trỉng
nhau hoẳc hai tia ệèi nhau.

Nếu hai tia MA, MBtrùng nhau hoặc đối
nhau thì ba điểm M, A, B thẳng hàng.

+ Hai tia MA, MB trïng nhau nÕu chóng
cïng n»m vỊ mét phÝa cđa tia MCvµ tạo với
tiaMC các góc bằng nhau.

+ Hai tia MA, MB ệèi nhau nạu chóng
nỪm vỊ hai phÝa cựa mét ệđêng thỬng d ệi
qua M vộ tỰo vắi d cịc gãc bỪng nhau.

VÝ dô 6. Cho ệđêng trưn tẹm O ệđêng
kÝnh AB. Trến (O) lÊy ệiÓm D bÊt kừ (khịc
A ;B). LÊy ệiÓm CbÊt kừ trong ệoỰn AB, kĨ
CH vuềng gãc vắi AD (H thuéc AD). Phẹn
giịc cựa cớt (O) tỰi E vộ cớt CHtỰiF.
ậđêng thỬng DF cớt (O) tỰi N. Chụng minh
rỪng N, C, E thỬng hộng.

Lêi gi¶i.

HthuécAD; CthuộcAB; phân giác của
là AE cắt HC tại F nên F thuộc đoạn
HCvà đoạn AE. Mặt khác, DNđi qua Fnên
C, E thc cïng mét phÝa cđa DN.

Vì thế, để chứng minh N, C, E thẳng
hàng, ta cần chứng minh tia NCtrùng với tia

NE hay ThËt vËy :

Vừ ABlộ ệđêng kÝnh nến HC // BD (cỉng
vuềng gãc vi AD) suy ra

Mặt khác, (cùng chắn )

suy ra hay

ANCF là tứ giác nội tiếp

hay (1)

Ta lại có (doAElà phân giác

của (2)

do cùng ch¾n (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra

Bội toịn ệở ệđĩc chụng minh.

VÝ dô 7. Cho tam giịc ABC, ệđêng trưn
bộng tiạp trong gãc A tiạp xóc vắi tia ABtỰi
N, kĨ ệđêng kÝnh NM. Trến tia ệèi cựa tia

.

DNC DNE

;

DE
EAD DNE

) ;

DAB

EAB EAD

.

DNC EAB
FNC FAC

ACF ANF
ACH AND

AD
AND ABD

.

ACH ABD

.

DNC DNE
DAB

BAD
BAC
BC

BAC

BC
BAC

CHỨNG MINH

BA ứIEĂM THAÚNG HAửNG

(Tiạp theo kừ trđắc)

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

AB, lÊy ®iĨm K sao cho AK BN.

Chøng minh rằng K, C, M thẳng hàng.
Lời giải.

GiI,J ln lt l tẹm cựa cịc ệđêng trưn
bộng tiạp trong cịc gãc A, B cựa tam giịc
ABC; ệđêng trưn tẹm Itiạp xóc vắi cịc tia BC,
AClẵn lđĩt tỰi P,H; ệđêng trưn tẹm Jtiạp xóc
vắi cịc tia BC,BAlẵn lđĩt tỰi Q,K’. Ta cã

CA CB AB CA CP PB AB
CA CH NB AB AH NB AB
AN NB AB AB NB NB AB
2NB, nhđ vẺy CA CB AB 2NB;
tđểng tù ta cã CA CB AB 2AK’.

Suy ra NB AK’ AK AK’ K’ K.
Ta lại có hai tam giác ICP và JCQ đồng
dạng (g.g) suy ra mặt khác
hai góc so le trong (bởi JK và
IMcùng vng góc với AB). Suy ra hai tam
giácCIMvàCJKđồng dạng

DƠ thÊy M,K nỪm vỊ hai phÝa cựa ệđêng
thỬngIJ suy ra K, C, M thỬng hộng.

6. Phđểng phịp sỏ dông ệỡnh lÝ
Mế-nế-la-uýt.

ậỡnh lÝ Mế-nế-la-uýt lộ mét ệỡnh lÝ nữi
tiạng mộ phđểng phịp chụng minh nã ệđĩc

ệÒ cẺp ệạn trong nhiÒu tội liỷu toịn sể cÊp,
ệđĩc phịt biÓu dđắi dỰng bội toịn sau :
“Cho tam giịc ABCvộ ba ệiÓm A’,B’,C’lẵn
lđĩt nỪm trến cịc ệđêng thỬng BC,CA, AB
sao cho chóng ệỊu nỪm trến phẵn kĐo dội
cựa cờ ba cỰnh tam giịc hoẳc chử mét trong
ba ệiÓm ệã nỪm trến phẵn kĐo dội cựa cỰnh
tđểng ụng mộ thềi. ậiỊu kiỷn cẵn vộ ệự ệĨ
A’,B’,C’thỬng hộng lộ ”.
VÝ dô 8. Cho ba ệđêng trưn cã bịn kÝnh
ệềi mét khịc nhau vộ ẻ ngoội nhau. Chụng
minh rỪng giao ệiÓm cựa cịc tiạp tuyạn
chung ngoội cựa tõng cẳp ệđêng trưn cỉng
nỪm trến mét ệđêng thỬng.

Lêi gi¶i.

Gải ba ệđêng trưn lộ (O₁ ; r₁), (O₂ ; r₂),
(O₃ ; r₃) ; giao ệiÓm cựa hai tiạp tuyạn
chung ngoội cựa (O₁ ;r₁) vộ (O₂ ; r₂) lộ C ;
cựa (O₁ ; r₁) vộ (O₃ ;r₃) lộ B ; cựa (O₃ ; r₃)
vộ (O₂ ; r₂) lộ A.

(Xem tiÕp trang 25)

1

AB CA BC
B C A B C A

.

ICM JCK
CIM CJK

;

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

Hộm sè lộ mét khịi niỷm trung tẹm cựa
giời tÝch toịn hảc. TÝnh chÊt cựa hộm sè
bẺc nhÊt mét biạn sè ệở ệđĩc ệÒ cẺp rÊt
sắm thềng qua nhọng bội toịn tử lỷ thuẺn,
tử lỷ nghỡch. Trong bội nộy, ta sỳ khai thịc
mét sè tÝnh chÊt ệăng biạn, nghỡch biạn
cựa hộm sè f(x) ax b, trến mét ệoỰn
[ , ] cho trđắc ệÓ giời mét sè bội toịn
chụng minh bÊt ệỬng thục nhiÒu biạn.

TÝnh chÊt 1. Nạu hộm sè f(x) ax b
cãf( ) 0 vộ f( ) 0 thừ f(x) 0 vắi mải x
[ , ]. Ngđĩc lỰi, nạu f( ) 0 vộ f( ) 0
thừf(x) 0 vắi mải x [ , ].

TÝnh chÊt trªn đây có thể thấy ngay từ
trực quan hình học.

Ta theo dõi một số bài toán sau :
Bài toán 1. Cho ba số thực không âm
x,y,zthỏa mÃn x y z 3. Chøng minh
r»ng x2 y2 z2 xyz 4.

Chụng minh. Ta viạt lỰi bÊt ệỬng thục
trến dđắi dỰng (y z)2 2yz x2 xyz 4

(3 x)2 2yz x2 xyz 4
9 6x x2 2yz x2 xyz 4
yz(x 2) 2x2 6x 5 0.

Bây giờ ta đặt w yz 0 và coi vế trái bất
đẳng thức trên là hàm số bậc nhất của w:

f(w) (x 2)w (2x2 6x 5).
Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có

w yz

Suy ra Theo tÝnh chÊt 1,

f(0) 0 vµ f(w) 0.

ThËt vËy :

VẺy bÊt ệỬng thục ệđĩc chụng minh
(ệỬng thục xờy ra x y z 1).

Bài toán 2. Cho ba số thực không âm
x,y,zthỏa mÃn x y z 1. Chứng minh
rằng 4(x3 y3 z3) 15xyz 1.

Chứng minh.áp dụng hằng đẳng thức

a3 b3 (a b)3 3ab(a b), ta có
4(x3 y3 z3) 15xyz 1

Đặtw yz 0 và coi vế trái của bất đẳng
thức trên là hàm số bậc nhất của w :

2

27 3

( ) 3 3 3 .

4 4

f w x w x x

2

27 ₃ ₃ ₃ 3 ₀

4 x yz x x 4

3 3

27 ₃ _{(1 )} 1 ₀

4 x yz x x 4

3 3 3

3 3

15 1

4 4

15 1

( ) 3 ( )

4 4

x y z xyz

y z yz y z x xyz

2
2

2 2

2

2

3 1

(0) 2 6 5 2 0 ;

2 2

(3 ) ₍ ₂₎(3 ) ₂ ₆ ₅

4 4

1 ( 1) ( 2) 0.
4

f x x x

x x

f x x x

x x

2

(3 ) ₀

4x

f

2

(3 )
0 w ₄x .

2 ₍₃ 2

) .

2 4

y z x

Phạm Văn Thuận, Triệu Văn Hng (ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội)

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Tng tự bi ton 1ta cã

Theo tính chất 1, phép chứng minh
hoàn tất nếu f(0) 0 và f(w₀) 0 (trong đó

). ThËt vËy :

Qua bội toịn 2 ta thÊy cã mét nhđĩc
ệiĨm cựa phđểng phịp sỏ dơng hộm bẺc
nhÊt lộ ệềi khi gẳp khã khẽn trong viỷc
xịc ệỡnh giị trỡ cựa cịc biạn ệĨ bÊt ệỬng
thục trẻ thộnh ệỬng thục. Tuy nhiến, trong
nhiỊu trđêng hĩp, ta khềng cẵn chó ý ệạn
ệiỊu nộy.

TÝnh chÊt 2. Cho f(x) ax b lµ hµm
sè bËc nhÊt, víi mäi x [ , ] ta lu«n cã

min{f( ) ; f( )} f(x) max{f( ) ; f( )}.
TÝnh chÊt nộy cũng tờng minh về mt

trực quan hnh hc.

Bài toán 3 (Titu Andrescu, Mathematical
Olympiad Challenge).Chøng minh r»ng nÕu
a, b, c, d [0 ; 1] th×

1 a b c d (1 a)(1 b)(1 c)(1 d).
Chứng minh. Không mất tính tổng
quát, ta coi biểu thức ở vế phải của bất
đẳng thức trên là một hàm bậc nhất với
biến số a.

Theo tÝnh chÊt 2, giị trỡ nhá nhÊt cựa
f(a) ệỰt ệđĩc tỰi mét trong hai ệiĨm mót
cựa khoờng xịc ệỡnh [0 ; 1].

NÕu a 1 th× f(1) 1 b c d > 1 ;
NÕu a 0 th×

f(0) b c d (1 b)(1 c)(1 d).
Lặp lại quá trình trên, coi f(0) là hàm số
bậc nhất g(b)...

Cuối cùng ta có nếu a b c d 0
thì vế phải bằng 1. Suy ra điều phải chứng
minh.

Cc tính chất trực quan cựa hộm sè bẺc
nhÊt trến ệẹy ệở gióp chóng ta giời ệđĩc
mét sè bội toịn tđểng ệèi khã. RÊt mong

cịc bỰn tiạp tơc phịt triĨn, mẻ réng phỰm
vi ụng dơng cựa nhọng tÝnh chÊt nộy.

Sau ệẹy lộ mét sè bội tẺp ịp dông.
Bội tẺp 1. Cho x, y, z lộ cịc sè thùc
dđểng tháa mởn x y z 1. Chụng minh
rỪng :

a) 5(x2 y2 z2) 6(x3 y3 z3) 1 ;
(Mihai Piticari, Dan Popescu, Old & New
Inequalities)
b)

(Sefket Arslanagic, CRUX MATHS)
c) 7(xy yz zx) 2 9xyz;

(BMO 1979)
d)

(USAMO 1979)
e)

(IMO 1984)
Bµi tËp 2. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c
(0 ; 1) thì abc (1 a)(1 b)(1 c) 1.

Bài tập 3. Cho bèn sè thùc x, y, z, t
[0 ; 1]. Chøng minh r»ng

x(1 y) y(1 z) z(1 t) t(1 x) 2.

Bội tẺp 4. Chụng minh rỪng nạu a,b,c
lộ ba sè dđểng thừ

2(a3 b3 c3) 3abc (a b c)(a2 b2 c2).

7

2 .

27

xy yz zx xyz

3 3 3 ₆ 1 _;

4

x y z xyz

1 1 1 _{27 ;}

1 xy 1 yz 1 zx 8

2

2
0

2
0

(27 12)(1 ) 3

( ) 3 3

16 4

16 ( ) 3 (3 1) 0.

x x

f w x x

f w x x

2 3 1 2

(0) 3 3 3( ) 0 ;

4 2

f x x x

2
0 (1 )₄x

w

2

(1 )

0 .

4x

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

Sịch Bội tẺp Toịn 8 tẺp 1, chđểng ậa
giịc cã bội toịn 6b (trang 126)nhđ sau :

Bội toịn. Chụng minh rỪng hừnh n-giịc
cã tÊt cờ ệđêng chĐo.

Lêi giời(trang 134).Tõ mẫi ệửnh cựa n-giịc
(lăi) vỳ ệđĩc n 1 ệoỰn thỬng nèi ệửnh ệã
vắi n 1 ệửnh cưn lỰi cựa ệa giịc, trong ệã
cã hai ệoỰn thỬng trỉng vắi hai cỰnh cựa ệa
giịc. VẺy tõ mẫi ệửnh cựa n-giịc vỳ ệđĩc
n 3 ệđêng chĐo. Hừnh n-giịc cã n ệửnh
nến vỳ ệđĩc n(n 1) ệđêng chĐo, trong ệã
mẫi ệđêng chĐo ệđĩc tÝnh hai lẵn. VẺy hừnh
n-giịc cã tÊt cờ ệđêng chĐo.

Tõ cềng thục trến ta nhẺn ra rỪng, nạu
cho sè cỰnh cựa mét ệa giịc thừ sỳ biạt
ệđĩc sè ệđêng chĐo cựa ệa giịc ệã. Ngđĩc
lỰi, nạu cho sè ệđêng chĐo cựa mét ệa giịc
thừ sỳ biạt ệđĩc số cnh ca nó.

Chẳng hạn :

+ Một a gic 10 cỰnh cã sè ệđêng chĐo lộ

+ Nạu ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lộ 35 thừ sè
cỰnh lộ bao nhiếu ? Ta cã

n 10 hoẳc n 7. Vừ n nguyến dđểng
suy ra n 10, ệa giịc ệã cã 10 cỰnh.
+ Nạu ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lộ 36 thừ sè
cỰnh lộ bao nhiếu ? Giời phđểng trừnh nghiỷm
nguyến dđểng nhđ trến ta ệđĩc kạt quờ về
nghiỷm, nghỵa lộ khềng tăn tỰi ệa giịc cã sè
ệđêng chĐo ệóng lộ 36.

ậạn ệẹy ta lỰi cã nhẺn xĐt : khềng phời
bÊt kừ mét sè nguyến dđểng nộo còng lộ sè
ệđêng chĐo cựa mét ệa giịc.

+ Mét cẹu hái ệẳt ra lộ cã tăn tỰi ệa giịc cã
sè cỰnh bỪng sè ệđêng chĐo khềng ?

Trờ lêi cẹu hái nộy bỪng cịch giời phđểng
trừnh nghiỷm nguyến dđểng ta
thu ệđĩc kạt quờ n 5. VẺy ệa giịc duy
nhÊt cã sè canh bỪng sè ệđêng chĐo chÝnh
lộ ngò giịc.

+ Tđểng tù nhđ vẺy, cịc bỰn còng sỳ trờ lêi
ệđĩc nhọng cẹu hái nhđ cã tăn tỰi hay
khềng ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lắn gÊp k

lẵn sè cỰnh, hay lộ từm sè cỰnh cựa mét ệa
giịc biạt sè ệđêng chĐo nỪm trong mét
khoờng xịc ệỡnh. VÝ dô :

Cho ta sỳ tÝnh ệđĩc n:

28 < n2 3n < 54

Bội toịn xịc ệỡnh sè ệđêng chĐo cựa mét
ệa giịc cưn ệđĩc ịp dông trong mét sè bội
toịn thùc tạ cuéc sèng. VÝ dô :

Mét cuéc héi nghỡ găm 20 ngđêi ngăi
xung quanh mét chiạc bộn. ThẺt từnh cê,
nhọng ngđêi khềng biạt nhau ệÒu khềng
ngăi cỰnh nhau. Hái cã tÊt cờ bao nhiếu cẳp
khềng biạt nhau ?

Khã hển, cịc bỰn thỏ lộm bội toịn : Cho ệa
giịc n cỰnh (n > 3). Cã bao nhiếu tam giịc
cã ba cỰnh lộ ba ệđêng chĐo cựa ệa giịc ?

2 2 2

11 3 15

2 2 2

11 3 15 ₇ ₉ _8.

2 2 2

n

n n n

( 3)

14 27,

2

n n

( 3) _,
2

n n _n

2 2

2 ₃ ₇₀ 3 17

2 2

n n n

( _{3) 35}
2

n n

10(10 3) 35.
2

( 3)
2

n n

( 3)
2

n n

TỪ MỘT BÀI TỐN

TRONG SÁCH BÀI TẬP TỐN 8

TRONG SÁCH BÀI TẬP TỐN 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

(TiÕp theo trang 21)

Ta có O₁ ; O₂ ; C thẳng hàng, sử dụng
tam giác đồng dạng suy ra

Tđểng tù ta cã
Suy ra

Theo định lí Mê-nê-la-t ta có ba điểm
A, B, C thẳng hàng (đpcm).

VÝ dô 9.Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A,
ệđêng cao AH. Trến cịc cỰnh ABvộAClẵn
lđĩt dùng cịc hừnh vuềng ABEF vộ ACGI
nỪm ngoội tam giịc. BG cớt AH tỰi O.
Chụng minh rng C, O, E thng hng.

Lời giải.

Gọi D là giao điểm của CO và AB ; K là
giao điểm của BO và AC ; M là giao điểm
củaEB vàGC. Đặt AC b vàAB c.

Ta cú hai tam giác ABC và CAH đồng
dạng suy ra

AC BH =AB AH ; AB CH =AC AH.
áp dụng định lí Xê-va vào tam giác ABC
vớiBK, AH, CD ta có

(*)
áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam
giác BMG với các điểm C, O, E vi chỳ ý
(*) ta cú

suy ra C,O,Ethẳng hàng.
Bài tập ¸p dơng.

Bội 1. Tõ mét ệiĨm Aẻ ngoội ệđêng trưn
(O), vỳ hai tiạp tuyạn AB, AC. Dùng ệđêng
trưn (O’) qua A, tiạp xóc vắi BC tỰi C, cớt
(O) tỰi M. Gải I lộ trung ệiÓm cựa AC.
Chụng minh rỪng B, M, I thỬng hộng.

Bội 2. Cho tam giịc nhản ABC, cịc
ệđêng cao AA₁, BB₁, CC₁. Gải I, K, P, Q
lẵn lđĩt lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa A₁ lến
cịc ệoỰn AB, AC, BB₁, CC₁. Chụng minh
rỪng I, K, P,Q thỬng hộng.

Bội 3. Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng
trưn (O). Tõ mét ệiÓm P trến cung BC
khềng chụa A, kĨ PK, PL, PM vuềng gãc
vắi BC, CA, AB. Chụng minh rỪng M, K, L
thỬng hộng.

Bội 4. Cho tam giịc ABC. Tõ A, hỰ cịc
ệđêng thỬng vuềng gãc AH, AK tắi cịc
ệđêng phẹn giịc trong vộ phẹn giịc ngoội
cựa gãc B ; hỰ cịc ệđêng thỬng vuềng gãc
AI, AJ tắi cịc ệđêng phẹn giịc trong vộ
phẹn giịc ngoội cựa gãc C. Chụng minh
rỪng H, K,I,J thỬng hộng.

Bội 5. Cho tụ giịc ABCD ngoỰi tiạp
ệđêng trưn (O). Gải I, K lẵn lđĩt lộ trung
ệiÓm cựa AC, BD. Chụng minh rỪng I,O,K
thỬng hộng.

2

( _{) 1,}

BD b c
c

BO GC ME BD GC b c
OG CM EB GC c c

.

BD c
c c b

1

BD AH AC BD c
DA AH AB DA b

1 1

BD AB CH BD AB CH
DA CG HB DA AC HB

1

BD AK CH
DA KC HB

1 2 3 3 1 2

2 3 1 1 2 3 1.

CO AO BO r r r
CO AO BO r r r

2 2 3 3

3 3 ; 1 1.

AO r BO r
AO r BO r

1 1
2 2 ;

CO r
CO r

CHỨNG MINH

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Solution E20. Letx be a given number.
xdivides 7 gives remainder 3, so we can
put

x 7k 3 (k ). (1)
or x (6k 3) k.

On the other hand, x divides 3 gives

remainder 1, while the sum in the brackets
is divisible by 3, so k divides 7 gives
remainder 1

or k 3t 1 (t ). (2)
From (1) and (2)

x 7(3t 1) 3 21t 10.

It’s easy to conclude now that x leaves
remainder 10 when divided by 21.

NhËn xÐt. Cã nhiÒu bạn gửi bài lần này,

trong ó TTT c bit hoan nghếnh tẺp thÓ
hảc sinh trđêng THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Phóc ệở tham gia rÊt tÝch cùc.
Cịc bỰn cẵn chó ý khềng chử néi dung
toịn, mộ cưn cờ ngọ phịp tiạng Anh, vÝ dô
nhđ sau Let ... thừ ệéng tõ khềng chia (Let x
BE ..., khềng phời Let x is ...) hay dỉng giắi
tõ ON (mộ khềng phời IN) trong On the
other hand, ... Nhọng mÉu cẹu nhđ vẺy ệở
cã trong cịc sè bịo trđắc.

Xin khen thđẻng cịc bỰn : Huúnh Dđểng,
tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi
Bừnh; Khững Hoộng Trang, 7D, THCS LẺp
ThỰch, Lp Thch, Vnh Phúc.

TS. Ngô ánh Tuyết

26

Problem E22. (Dam Huy Dong, Van Giang district, Hung Yen
province) On three cards, you write three numbers ; 32 on the first,
97 on the second, and another two-digit number on the third. You
arrange the three cards to make all possible six digit numbers
whose sum of digits is 3535350, determine the number written on
the third card.

If the sum of possible all six-digit numbers formed by putting
consecutively the three numbers on the cards is 3535350, what is
the number written on the third card ?

irreducible : tèi giản (tính từ)
consecutively : liên tiếp (trạng từ)
right-angled triangle :tam giác vuông

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

(TTT2 số 44)

NC QUANH TA

Nu hiểu ệóng nghỵa cựa tõ trong cẹu vộ lđu ý ệạn luẺt ẽn vẵn
cựa thể lôc bịt thừ cịc em sỳ sỏa ệóng bội thể. BỰn NHN (Vỵnh
Phóc) ệở khềng hiĨu nghỵa tõ dẺp dÒnhvộ mớc lẫi chÝnh tờ khi viạt
“RẺp rÒnh bđắm ệẺu trến tõng cịnh lan”. DẺp dÒnh cã nghỵa lộ ệđa
ệÈy lến xuèng nhỡp nhộng trến mẳt nđắc. DẺp dỊnh thay bỪng tõ

rung rinhmắi ệóng. Bội thể cã thể sa nh sau :

Suối chảy róc ráchtrên non
Rì rào cây lá, véo von chim rừng

Rộn ràng khúc hát tng bõng

Rung rinh bđắm lđĩn trến tõng cịnh lan
Ve kếu ra rờhÌ sang

Hảc sinh trư chuyỷn rẹm ran trến ệđêng
Rẵm rẺpbé ội diễu hnh

Chim hót ríu rít trong lành sáng xuân
Rộn rà trống giục đầu thôn

Cnh cy rng rc khi cn bởo vÒ
Ri rửnđắc chờy chẺm ghế
Khi buăn rẵu rỵ ự ế mẳt mộy

Rđng rđng nđắc mớt chờy răi

Löa hång rõng rực đun nồi bánh chng
Tiếng chuông điện thoại reng reng
Ráo riết chuẩn bị đẩy nhanh tiến trình.

Nm bn ệđĩc nhẺn quộ kừ nộy :
NguyÔn BÝch Diỷp, 6A, THCS ThỰch ThÊt,
ThỰch ThÊt, Hộ Tẹy ; Ngun Thỡ KiỊu
Oanh, 6A, THCS Lđểng Khịnh Thiỷn, An

Lởo,Hời Phưng;Trẵn Thỡ Nhđ , xãm 10,
Trung Léc, Can Léc, Hộ Tỵnh ; Hộ Tiạn
Cđêng, 8A, THCS Dẹn téc Néi tró, thỡ trÊn
Mđêng XĐn, Kú Sển, Nghỷ An; Ngun
Khịnh Quúnh, 212D, Ngề Gia Tù, An
Nhển, TT. Bừnh ậỡnh, Bừnh ậỡnh.

Phó B×nh

Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ, cịc bỰn hởy từm tõ thÝch hĩp ệÓ thay thạ tõ “nđắc
ngảt”trong cẹu “Nđắc ngảt phô thuéc tuẵn trẽng”, bỪng cịch gải ệạn sè 19001548 vộ
lộm theo hđắng dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu 3T V2 X Y, trong ệã Xlộ ệịp
ịn cựa bỰn (cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng cã dÊu) ; Y lộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng.
Chóc mõng bỰn NguyÔn Thỡ Hđểng, 9B, THCS CÈm Bừnh, CÈm Thựy, Thanh Hãa
(sè ệiỷn thoỰi 037876850) ệở tróng thđẻng cuéc thi trến TTT2 sè 44.

Nđắc mỰch ta dỉng thđêng xuyến
Nđắc ngẵm chử thÊy ẻ miÒn cỏa sềng

Nđắc mịy gẹy hỰi cẹy trăng

Nđắc mđa khi ệôc khi trong khềng chõng
Nđắc triÒu tinh khiạt về trỉng

Nđắc khoịng tỉ ệảng chử dỉng tđắi cẹy
Nđắc lị qua mịy dỉng ngay

Nđắc biĨn tiếu chn ệãng chai ệớt hộng
Nđắc ngảt phô thuéc tuẵn trẽng

Nđắc ệị dỉng khớp xãm lộng tõ lẹu
Nđắc cÊt tử lỷ khoịng cao

Nđắc thời ngẵu ệôc, dăi dộo phỉ sa
Nđắc lĩ dỉng ệÓ pha trộ

Nđắc ao cụng nhơn nhđ lộ mẳt gđểng
Nđắc sềng ề nhiƠm mềi trđêng

Nđắc sềi phơc vơ phè phđêng ệềng dẹn
Nđắc phÌn hụng bĨ dỉng dẵn

Nđắc cụng kho chụa muèi ẽn dăi dộo
Nđắc giạng thđêng ẻ vỉng cao

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Trần Đăng Khoa :

Cm n chu quan tm ệạn cuéc thi
rÊt thộnh cềng nộy. “ậỰo” lộ mét trong hai
truyỷn ngớn ệẳc sớc cỉng giộnh ệđĩc giời
nhÊt trong cuéc thi viạt vÒ “Thẵy giịo vộ
nhộ trđêng”, do Bé Giịo dôc vộ ậộo tỰo,
Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc vộ Héi Nhộ vẽn
Viỷt Nam ệăng tữ chục.

Cẹu chuyỷn ệđa chóng ta trẻ vÒ nhọng
nẽm thịng xa xđa. BỪng nhọng nĐt chÊm
phị chớt lảc, tịc giờ NguyÔn Lam Hăng
ệở “gẽm” ệđĩc vộo trÝ nhắ ngđêi ệảc mét

hừnh tđĩng nhẹn vẺt. ậã lộ cô ậẫ ậỰi, mét
ềng ệă giộu lưng nhẹn ịi, luền yếu thđểng
con ngđêi vộ tẺn tôy vắi hảc trư. ậèi vắi
ềng, dỰy hảc khềng phời chử lộ viỷc giờng
bội, luyỷn chọ, mộ lắn lao hển lộ phời
luyỷn cho hảc trư cã ệđĩc mét cèt cịch
vắi ệẵy ệự Tẹm, NhÉn, TrÝ, Lùc. Viạt
truyỷn ngớn nộy, mét thỏ thịch ệèi vắi tịc
giờ lộ phời tỰo dùng ệđĩc khềng khÝ cữ
xđa vắi ngền ngọ cựa con ngđêi thêi Êy.
ậã lộ mét thịch thục khềng nhá ệèi vắi
mét tịc giờ cưn rÊt trĨ vÒ tuữi ệêi vộ tuữi
nghÒ. Nãi nhđ nhộ vẽn Ma Vẽn Khịng,
mét thộnh viến trong Héi ệăng Giịm
khờo, thừ truyỷn ệở ệỰt ệạn ệé hoộn bÝch
xĐt trến gãc ệé cựa thÓ loỰi truyỷn ngớn.

Tuy nhiến, ệóng nhđ ềng chịu nãi, khi
nhớc ệạn cịc ềng ệă, ngđêi ta thđêng

hừnh dung ệã lộ nhọng ngđêi dỰy chọ Nho
cho cịc thạ hỷ hảc trư. Trong ệã cã viỷc
luyỷn chọ, lộm sao viạt cho ệứp. Cưn Thđ
phịp lộ mét nghỷ thuẺt chử dộnh cho
nhọng ngđêi ệở quị thềng thỰo chọ
nghỵa, cã thĨ biạn chọ Thịnh hiỊn thộnh
nghỷ thuẺt héi hảa. ậiỊu nộy khềng phời
ềng ệă nộo cịng cã thÓ lộm ệđĩc.

Truyỷn ngớn, vắi mét lđĩng chọ Ýt, nến

cịc từnh tiạt lỰi phời chẳt chỳ. Mẻ ệẵu
truyỷn, tịc giờ ệđa ra chi tiạt ềng ệă giọ
trong nhộ bé Vẽn Phưng Tụ Bờo về giị. ậã
lộ bịu vẺt vua ệẳc ẹn ban cho tõ xa xđa.
Bé Vẽn Phưng Tụ Bờo nộy ệđĩc xem nhđ
Ên kiạm chử trao vộo tay ai cã ệự tội ệục
xụng ệịng lộm truyÒn nhẹn nhÊt, vộ ngđêi
ệã trong ệêi còng chử ệđĩc phĐp dỉng bé
Vẽn Phưng Tụ Bờo viạt mét lẵn duy nhÊt
vắi mét nghi lÔ cùc kừ long trảng. Ngđêi ệảc
chê ệĩi ềng ệă sỳ truyÒn lỰi Bé Vẽn Phưng
Tụ Bờo cho cẺu hảc trư tội giái yếu dÊu
nhÊt cựa mừnh trong ngộy cẺu ệẽng quang.
Nhđng răi tịc giờ lỰi bá lỏng, nến chi tiạt ệở
ệđĩc “Đm” sơn nộy hãa vu vể. Thếm nọa,
bội thể ệđa vộo phẵn kạt truyỷn còng cưn
lựng cựng, bẻi vẵn lỷch vộ niếm sai. Chụng
tá tịc giờ chđa nớm ệđĩc niếm luẺt cựa thÓ
thể viạt theo lèi luẺt ậđêng. Tuy nhiến,
khềng phời vừ sù khiạm khuyạt Êy mộ
truyỷn mÊt ệi giị trỡ ...

Chó Khoa ểi ! Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc lỰi võa
tữ chục thộnh cềng cuéc thi truyỷn ngớn vÒ ệÒ
tội nhộ giịo vộ nhộ trđêng. Qua ệội phịt thanh,
chịu ệở ệđĩc nghe truyỷn ngớn “ậỰo” - mét
truyỷn ệoỰt giời cao nhÊt. Chịu rÊt thÝch truyỷn
ệã nhđng ềng chịu bờo : “Cịc ềng ệă xđa
khềng ai dỰy thđ phịp ệẹu. Thđ phịp chử dộnh
cho nhọng ngđêi khĐo tay thềi. Cưn cịc ềng ệă

thđêng chử dỰy “Tam tù kinh”. Chó thÊy ềng chịu
nãi ệóng khềng Ự ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

(TTT2 số 44)
Ngoài cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hÃy cho

bit tn vit tt ca T chc cịc nđắc xuÊt khÈu dẵu má,
bỪng cịch gải ệạn sè 19001548vộ lộm theo hđắng dÉn
hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu 3T VA2 X Y, trong
ệã X lộ ệịp ịn cựa bỰn (cịc chọ cịi viạt liÒn nhau,
khềng cã dÊu) ; Ylộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng.

Chóc mõng bỰn Lế Chiạn Thớng, sè 17 ệđêng
Yến Phóc, khèi Tẹn Phóc, P. Hđng Phóc, TP. Vinh,
Nghỷ An (sè ệiỷn thoỰi 0383849642) ệở tróng thđẻng
cuéc thi trến TTT2 sè 44.

- What is black and white pink all
over ?

- An embarrassed zebra.

Hồng Bắc (st)
(NXB ĐH SPHN)

CƯỜI TRONG VƯỜN ANH

Cét bến trịi lộ tến viạt tớt

(tiạng Anh) cựa mét sè tữ
chục quèc tạ, cưn cét bến
phời lộ tến ệẵy ệự (tiạng Viỷt)
cựa nhọng tữ chục ệã. BỰn
hởy cho biạt tến viạt tớt nộo
tđểng ụng vắi tến ệẵy ệự nộo.

TrÇn Thị Ngọc Trâm
(Con bố Trần Duy Hng,
Chi cục thuế Cẩm Xuyên,
Hà Tĩnh)

K ny cc bn vo thm Vờn Anh
c chiếu ệởi mét bọa “tiỷc cị” linh ệừnh,
găm cờ cị biÓn, cị sềng vộ cị ẻ ao hă. Cịc
bỰn ệở rÊt hộo hụng vộ gỏi bội tham gia rÊt
ệềng. Nẽm bỰn nữi bẺt nhÊt trong bọa tiỷc
nộy sỳ ệđĩc nhẺn quộ cựa Chự Vđên : Lế
Thỡ Phđểng, 89, Thềi Họu, P. Ngảc TrỰo,
TP. Thanh Hãa, Thanh Hãa ; NguyÔn
CÈm Nhung, 8₁, THCS Lế Vẽn Thiếm,
TX. Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh ; L Thanh H, 7B,

THCS Trần Hng Đạo, TP. Buôn Ma
Thuột,Đắk Lắk;Nguyễn Vũ i NhÃ, 9A₄,
THPT số 2 An Nhơn, Bình Định ; Phạm
Kiều Linh, 7A₁, THCS Hai Bà Trng, Phúc
Yên, Vĩnh Phúc.

Tên các loài cá (từ trên xuống): LOACH

- cá chạch ; SKATE - cá đuối ; CARP - cá
chép ; TUNA - c¸ ngõ ; SAILFISH - c¸ cê ;
CATFISH - cá trê ; SALMON - c¸ håi ;
SCAD - c¸ nơc.

Chự Vđên
1. OPEC

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

(TTT2 số 44)
Bàn bạc trao đổi điều hay

Bàn là quần áo phẳng ngay tức thì
Bàn thua thất bại buồn ghê

Bàn mổ dao kéo, thuốc mê sẵn sàng
Bàn c·i gay g¾t tíi cïng

Bộn ệỰp hai chiạc quay vưng trđắc sau
Bộn thớng khịn giờ hư reo

Bµn phÝm khi gâ chữ theo ra liền
Bàn tay cầm bút viết tên

Bn chi gióp bỰn sịng thếm nơ cđêi
Thờo dẹn tháa thÝch vui chểi

Bội hay lộm ệóng vui tđểi nhẺn quộ.

Ban thđẻng : Ngun Trung Dịng, sè
28, ngâ 86, Cẹy ệa, ệđêng Ngun Sinh
Sớc, Vinh, Nghỷ An ; NguyÔn Thỡ Hoội
Thể, 6B, THCS Lế Hăng Phong, An Khế,
Gia Lai ; NguyÔn ậẽng Nguyến, mứ lộ
Trỡnh Thỡ Hoa, giịo viến THCS Tam Anh,
Nói Thộnh, Quờng Nam ; NguyÔn Vẽn
Thờo, 7A₅, THCS thỡ trÊn Phđắc An,
Krềng Pẽk, ậớk Lớk ; Lế Ngảc BÝch, con
bè Lế Duy Lĩi, ệéi 4, xở Hỉng Sển, ậỰi
Tõ,Thịi Nguyến.

Vua tạu
Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ,
cịc bỰn hởy giời ệịp cẹu “Thẵn gừ nhanh
ệạn ngì ngộng ?”, bỪng cịch gải ệạn sè
19001548vộ lộm theo chử dÉn hoẳc nhớn
tin ệạn sè 8109 theo mÉu 3T RC2 X Y,
trong ệã Xlộ ệịp ịn cựa bỰn, cịc chọ cịi
viạt liÒn nhau, khềng cã dÊu ; Y lộ sè
ngđêi cã ệịp ịn ệóng.

Chóc mõng bỰn Vị Thỡ Nga, 9A,
THCS Trẵn Phó, Nềng Cèng, Thanh Hãa
(sè ệiỷn thoỰi 037680070) ệở tróng
thđẻng cuéc thi trến TTT2 số 44.

Thần gì huyền ảo khó tin ?
Thần gì vũ khí làm kinh quân thù ?

Thần gì trồng trọt cần cï ?

Thẵn gừ ngđìng mé, viạt thđ, ngớm nhừn ?
Thẵn gừ vỡ thuèc cụu tinh ?

Thần gì tài phép anh minh siêu phàm ?
Thần gì nhanh đến ngỡ ngàng ?
Thần gỡ bớ mt, xin ng l ra ?

Thần gì em bé tài hoa ?

Thần gì truyện cổ lời bà hôm nao ?
Thần gì hiểu rộng, biết cao ?
Thần gì nh có phép màu hiện ra ?

Nguyễn Hùng Linh
(8/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX. Hà Tĩnh)

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Hỏi : Cã phời bội ai gỏi
vÒ trđắc thừ ệđĩc khen trđắc
khềng ? Nạu thạ thừ bản em
ẻ xa sỳ bỡ... “hắ” hạt sao ?

(9G, THCS Lª Quý Đôn,
Hà Lam, Thăng Bình,
Quảng Nam)
Đáp :

Cc bi m chấm một khi
Ai giời hay nhÊt tục thừ ệđĩc khen

B¹n xa xin chớ vội ghen
Nhiều lần cố gắng có phen

rinh qu.
Hỏi : Em rÊt thÝch uèng
cộ phế, gióp em tửnh tịo khi
hảc hoẳc lộm viỷc. Nhđng
cã ngđêi nãi : Cộ phế cã hỰi
cho sục kháe. Theo anh thừ
em nến thạ nộo ?

L.H.A
(8B, THCS Đức Lạc,
Đức Thọ, Hà Tĩnh)
Đáp :

C ph kích thích ngời ta
Uèng nhiÒu sỳ nghiỷn ệẹm ra
“tiạn tăn”
Bẹy giê ệang tuữi lắn khền
ThÓ thao tửnh tịo cưn hển

uống nhiều.
Hỏi :Tiểu muội là con gái
nhðng chuyên “phát hành”
những trò chơi mới trong giờ
nghỉ trða. Muội nghịch nổi bật
nhất trong ỏm con gỏi nờn

bọn chúng toàn trêu muội về
giới tính. Làm sao hả anh ?

(7B, THCS Thuận Thành,
Bắc Ninh)
Đáp :

Con gái tinh nghịch đáng u
Nhðng khơng nên “phát”

qu¸ liều đâu nghe...
Nữ tính có chút rụt rè
Hay hơn là cứ toe toe cầm đầu !

Hỏi : Nhà xuất bản Giáo
dục có quản lí việc phát
hành sách của các nhà xuất
bản khác không ? Em thấy
có rất nhiều loại sách của
các nhà xuất bản khác giá
cao quá, không hợp với dân
nghèo chúng em. Anh trả lời
ngay nhé !

Trần Thị Cẩm Lài
(9C, THCS Đức Phổ,
Quảng NgÃi)
Đáp :

Mỗi nhà lo hết mọi khâu

Việc của nhà khác, ai đâu
nhúng vào
Nếu mà giá sách quá cao
Xin em quản lí hầu bao

của mình.
Hỏi : Hắn ta viết th nói
là iu em và xin em tấm ảnh
làm kỉ niƯm. Em mn nãi
cho h¾n biết là Em không
yêu hắn ! nhðng l¹i ng¹i.

Anh gióp em vắi nhĐ !
Trẵn Thỡ Hđểng
(9A, THCS Vỵnh Tiạn,
Kim Bềi, Hưa Bừnh)
ậịp :

H¾n iu em cứ lặng thinh
Tội gì cho hắn tấm hình cđa em

Mách với cơ giáo thử xem
Cơ sẽ bày cách em ra dựng.

Hỏi :

Làm thơ em cũng rất sành
Nếu mà so sánh với anh

cũng bng

Nhng em xin c hái rỪng
Bao giê em ệđĩc gải bỪng

“nhộ thể” ?
Trđểng Quèc Thanh
(10 Chuyến Tin,
THPT chuyến Hộ Tỵnh)
ậịp :

Ai ểi ! Chỡu khã ệĩi chê
Gian nan rÌn luyỷn, đắc mể

sẽ thành
Bài nào hay gửi cho anh
Để anh còn học cho “sµnh”

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bội 1(46). Giời hỷ
phđểng trừnh

Trần xuõn ỏng
(THPT chuyờn
Lờ Hng Phong,

Nam Định)
Bài 2(46).Choa,blà hai số thực không âm
vàP(x) (a2 b2)x2 2(a3 b3)x (a2 b2)2.
Chứng minh r»ng P(x) 0 víi mäi x tháa
m·n |a b| x a b.

Nguyễn hữu bằng
(THCS Bến Thủy, TP. Vinh, Nghệ An)
Bài 3(46). Cho tæng

trong ệã
n,p,qlộ sè nguyến dđểng vộ lộ phẹn sè

tối giản. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n để q
chia hết cho 2006.

ệẫ vẽn ệờm
(THCS Yến Hưa, Yến Mề, Ninh Bừnh)
Bội 4(46). Cho tam giịc ABC ngoỰi tiạp
(I) vộ néi tiạp (O). Gải cịc giao ệiÓm cựa AI,
BI,CIvắi (O) lẵn lđĩt lộ A₁,B₁,C₁ ; cịc tiạp
ệiÓm cựa (I) vắi BC, CA, AB lẵn lđĩt lộ A₂,
B₂, C₂ vộS,S₁, S₂ lẵn lđĩt lộ diỷn tÝch cựa
cịc tam gic ABC,A₁B₁C₁,A₂B₂C₂. Chng
minh rng S2 4S₁S₂.

đinh văn sơn
(số 11, ngâ 13, Ngun C«ng Trø,

TX. Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh)
Bội 5(46).Cho tam giịc ABCvuềng tỰi A
cãrvộRlẵn lđĩt lộ bịn kÝnh cựa cịc ệđêng
trưn néi tiạp vộ ngoỰi tiạp tam giịc ; h_alộ ệé
dội ệđêng cao xuÊt phịt tõ ệửnh A. Chụng
minh rỪng

Cao minh quang
(THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

(1 2) .

a

h r R

p
q

1 1 1 _... 1 _,

1 2 9 p

n n n n q

3 2

3 2

3 2

2 3

2 3

2 3 .

x x x y

y y y z

z z z x

1(46). Solve the system of equations

2(46).Let a,bbe non-negative real numbers
andP(x) (a2 b2)x2 2(a3 b3)x (a2 b2)2.
Prove that

P(x) 0

for all x satisfying |a b| x a b.
3(46). Given the sum

wheren,p,q are positive integers and
is an irreducible fraction, find the least

natural number n such that q is divisible
by 2006.

4(46).Let (I) and (O) be the incircle and
circumcircle of triangle ABC, respectively.
Let A₁, B₁, C₁ be the intersections of AI,
BI, CI and (O) respectively ; and A₂, B₂,
C₂ the points of tangency of (I) with BC,
CA, AB, respectively. Let S, S₁, S₂ be the
areas of triangles ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂

respectively. Prove that S2 4S₁S₂.

5(46).LetABCbe a right-angled triangle
at A. Let r and R be the inradius and
circumradius ; let h_a be the altitude of the
triangle from vertex A.

Prove that h_a (1 2)r R.

p
q

1 1 1 _... 1 _,

1 2 9 p

n n n n q

3 2

3 2

3 2

2 3

2 3

2 3 .

x x x y

y y y z

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->