Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 42

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>42</b>

HÃY THAM GIA CÁC CUỘC THI

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 40)}_{(TTT2 sè 40)}

l

Kì này :

lDo hai mảnh giấy ban đầu
có hình tam giác đều nên
sau lần cắt thứ nhất (đường
cắt là đường trung trực của
một trong ba cạnh của
mảnh giấy), chúng đều
được chia thành hai mảnh
giấy bằng nhau (hình tam
giác vng có một góc 60o).
Vì vậy việc chọn mảnh nào
để cắt tiếp đều không tác
động đến sự khác nhau của
kết quả cuối cùng và mảnh
để lại khơng cắt chính là
mảnh có diện tích lớn nhất
trong ba mảnh được tạo ra.

lTuy nhiªn, sau lần cắt thứ
hai thì kết quả thu được có
thể khác nhau, phụ thuộc và
cách gấp khác nhau.

Trng hp 1 :Một trong
hai đỉnh trùng nhau khi gấp

là đỉnh góc vng (đường cắt
là đường trung trực của một
trong hai cạnh bên của mảnh
giấy hình tam giác vng).

Khi đó các bạn có thể xác
định được diện tích phần lớn
nhất gấp 4 lần diện tích
phần nhỏ nhất.

Trường hợp 2 :Hai đỉnh
trùng nhau khi gấp đều không
là đỉnh góc vng (đường
cắt là đường trung trực của
cạnh huyền của mảnh giấy
hình tam giác vng).

Khi đó các bạn có thể xác
định được diện tích phần lớn
nhất gấp 3 lần diện tích
phần nhỏ nhất.

Đến đây chắc các bạn đã
có được câu trả lời. Đó là với
hai kết quả khác nhau, Tốn
và Thơ đều có thể cùng tính

đúng (nếu mỗi bạn đã chọn
một cách cắt thuộc một
trong hai trường hợp trên).
l Nhiều bạn suy luận còn
thiếu chặt chẽ. Các bạn
được thưởng kì này là Đồn
Thanh Hương, 8A, THCS
Phú Thái, Kim Thành, Hải
Dương ; Nguyễn Ngọc
Hạnh Châu, con mẹ Hồ Thị
Hà, bộ môn Mô Phôi, đại
học Y - Huế, Thừa Thiên
-Huế; Phan Nghĩa Hiếu, 9G,
THCS Nguyễn Trãi, Nghi
Xuân, Hà Tĩnh ; Dương
Hoàng Hưng, 8B, THCS Lí
Nhật Quang, Đơ Lương,
Nghệ An.

Anh Compa
Cho một đường tròn có dây cung

ABkhụng i qua tõm. Bạn có thể xác
định được điểm M trên cung lớn AB

sao cho MA =3MBđược không ?
Nguyễn đức tấn

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

lBài toán sau khá đơn giản và quen thuộc :

Bài tốn 1.Cho tam giác ABCcân tại A.
Qua điểm Mbất kì trên cạnh BC, dựng các
đoạn MH, MK lần lượt vuông gúc vi AB,

AC (H thuộc đường thẳng AB, K thuộc
đường thẳng AC). Chứng minh rằng

MHMKcó giá trị không phụ thuộc vào vị
trí của điểm M trên cạnh BC.

Lời giải.

Trc ht ta dng BD, CElần lượt vng
góc với AC, AB(Dthuộc AC, Ethuộc AB),
ta nhận thấy BDCEvà nếu M trùng với

Bhoặc Cthì MH  MK BD CE. Ta sẽ
chứng minh điều này luôn đúng với mọi
điểm Mnằm trên đoạn BC.

ThËt vËy, ta cã S_ABMS_ACMS_ABC

AB(MHMK) ABCE

MHMKCEBD. Suy ra ®pcm.

lBây giờ, chúng ta hãy thử đặt những câu

hỏi nghi vấn nhé ! Đầu tiên ta có thể thấy
giả thiết cho biết điểm M thuộc cạnh BC,
vậy nếu điểm M nằm trên đường thẳng BC
thì sao ? Liệu kết quả trên có cịn đúng
khơng hay nó sẽ biến đổi như thế nào ?

Tương tự như lời giải trên, ta sẽ tìm ngay
được câu trả lời cho câu hỏi này, đó là kt
qu ca bi toỏn sau :

Bài toán 2.Cho tam giác ABCcân tại A.
Qua điểm Mbất kì trên đường thẳng BCvà
nằm ngoài cạnh BC, dựng các đoạn MH,

MKln lt vuụng gúc với AB, AC(Hthuộc
đường thẳng AB, K thuộc đường thng

AC). Chứng minh rằng |MHMK| có giá trị
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Hng dn.

Ta có |S_ABMS_ACM| S_ABC, suy ra
|MHMK| BDCE. Suy ra ®pcm.
lTa cịng thÊy ngay r»ng nÕu ABC lµ tam

giác đều thì các kết quả trên đương nhiên

 1(    ) 1

2 AB MH AC MK 2AB CE

Đặng Văn Biểu
(THCS Đông Dư, Gia Lâm, Hà Nội)

Lt i lt li mt vấn đề bằng cách tự đặt ra và giải quyết các
câu hỏi nghi vấn, sẽ giúp chúng ta hệ thống, nắm vững và mở
rộng được kiến thức ; tạo được cách học tập chủ động, sáng tạo.
Xin đơn cử bằng một ví dụ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

vẫn đúng, khơng những vậy chúng còn
đúng khi M chạy trên cả ba cạnh của tam
giác hoặc cả ba đường thẳng chứa ba
cạnh đó. Nhưng nếu M là điểm bất kì thuộc
miền trong ca tam giỏc ABC thỡ sao nh ?

Câu trả lời cũng dễ dàng được tìm ra và
ta có bài to¸n sau :

Bài tốn 3.Cho tam giác đều ABC. Qua
điểm M bất kì thuộc miền trong của tam
giác, dựng các đoạn MH, MK, MPlần lượt
vng góc với các cạnh AB, BC, CA(H, K, P

lần lượt thuộc AB, BC, CA). Chứng minh
rằng MH MK MP có giá trị khơng phụ
thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền
trong của tam giác ABC.

MHMKMPcó giá trị khơng đổi, luôn
bằng độ dài đường cao của tam giác ABC.
Các bạn hãy tự chứng minh nhé.

l TiÕp tôc xem xÐt kÕt quả của bài toán

trờn khi im M thuc min ngồi của tam
giác đều ABC, ta tìm được kết quả sau :

Bài toán 4.Cho tam giác đều ABC. Qua
điểm M bất kì thuộc miền ngồi của tam
giác, dựng các đoạn MH, MK, MPlần lượt
vng góc với AB, BC, CA(H, K, Plần lượt
thuộc các đường thẳng AB, BC, CA).
Chứng minh rằng một trong các biểu thức
sau có giá trị khơng đổi khi điểm Mthuộc
miền ngoài của tam giác ABC:

Q₁|MHMKMP| ;

Q₂|MPMHMK| ;

Q₃|MKMPMH|.
Hướng dẫn.

Lần lượt xét các trường hợp điểm M

thc c¸c miỊn (1), (2), (3), (4), (5), (6).

l ThÕ còn khi ABC là tam giác bất kì thì

iu gỡ sẽ xảy đến với các kết quả ở bài
toán 1 v bi toỏn 3 ?

Đề nghị các bạn chứng minh bài toán 4

v hai bi toỏn sau õy, xem như bài tập.
Bài tốn 5.Cho tam giác ABCcó độ dài
các cạnh ABc, ACb(c b) và độ dài
các đường cao xuất phát từ B, Clần lượt là

h_b, h_c. Qua điểm M bất kì trên cạnh BC,
dựng các đoạn MH, MKlần lượt vng góc
với AB, AC (H thuộc đường thẳng AB, K

thuộc đường thẳng AC). Chứng minh rằng

h_bMHMKh_c.

Bi toỏn 6.Cho tam giác ABCcó độ dài
các cạnh ABc, BCa, CAb(cba)
và độ dài các đường cao xuất phát từ A, C

lần lượt là h_a, h_c. Qua điểm Mbất kì thuộc
miền trong của tam giác, dựng các đoạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

l

Kết quả :

_{(TTT2 sè 40)}

l

Kì này :

Bài tốn đã cho là : giải phương trình
(1)
lSai lầm trong lời giải bài toán là ở phép
biến đổi phương trình

Thực chất, phép biến đổi (2) sang (3) là
phép biến đổi hệ quả chứ không phảp là
phép biến đổi tương đương, vì ta đã sử dụng
điều kiện của chính đề bài toán, điều này
chưa chắc đã đúng với mọi x.

Khắc phục điều này, sau khi tìm được
nghiệm của (3) là 0 và 1, ta thử trực tiếp vào
(1) để loại trường hợp x1 và kết luận (1)

cã nghiƯm duy nhÊt lµ x0.

l Có thể giải phương trình (1) bằng cách
khác như sau : Gọi vế trái và vế phải của (1)
lần lượt là Tvà P.

Víi x 0 th× TP0 ;

Với x> 0 thì T> 0 còn P< 0, suy ra T> P;
Với x < 0 thì T< 0 cịn P> 0, suy ra T< P.
Vậy (1) có nghiệm duy nhất là x 0.
l Các bạn được thưởng kì này là Đặng

Xuân Trường, 6A, THCS Thị Trấn Tiền Hải,
Thái Bình; Trần Anh Ngọc, Đội 2, Liên Lộc,
Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Nguyễn Phương
Thảo, 8D, THCS Quách Xuân Kì, Bố Trạch,
Quảng Bình ; Trần Quốc Luật, 9B, THCS
Sơn Hồng, Hương Sơn, Hà Tĩnh.

Anh kÝnh lóp

3 3 3 3

3 3 3

3 1 1 ( 3 1 1) 2 (2)

3 1 1 2 2 . (3)

x x x x x

x x x x

        
     

3₃_x_{ }₁ 3_x_{  }₁ 3 _{2 .}_x

XEM XẫT MT LI GII

Bài toán. Cho tam
giác nhọn ABCnội tiếp

trong đường tròn tâm

O. Từ một điểm M

chạy trªn cung nhá

BC, dựng các đường
thẳng MH, MKlần lượt
vng góc với AB, AC(H, Klần lượt thuộc các
đường thẳng AB, AC). Tìm vị trí của điểm M

để đoạn thẳng HKcó độ dài lớn nhất.

Bài tốn này nằm trong đề thi tuyển sinh vào
lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong,
TP. Hồ Chí Minh, năm học 2005-2006. Một
bạn học sinh đã có lời giải như sau :

Lêi giải.

Ta có nên tứ giác

AHKM nội tiếp đường tròn đường kính AM,
suy ra HKAM.

Mặt khác, gọi R là bán kính đường tròn
tâm Ongoại tiếp tam giác ABCthì dây cung

AM2R. Suy ra HK2R.

ng thc xy ra AMlà đường kính của
(O; R) Mđối xứng với Aqua O.

Vậy : khi M đối xứng với A qua Othì HK

đạt di ln nht (bng 2R).

Các bạn hÃy xem xét lời giải trên và cho ý
kiến của mình nhé !

tạ thËp
(TP. Hå ChÝ Minh)

  ₉₀o

AHM AKM 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 40)}

v

Kì này :

TTT đăng bài giải của bạn Hồ Thị Trâm Anh, xóm 7, Tăng Thành, Yên Thành, Nghệ An:

Li gii quỏ đẹp, cả nghĩa đen lẫn nghĩa bóng, phải khơng các bạn ?

Ngồi bạn Trâm Anh, TTT cịn thưởng cho các bạn : Nguyễn Hồng Thy Vân, tổ 5, thơn I,
Đức Chính, Đức Linh, Bình Thuận ; Đồn Thái Quỳnh, 7/3, THCS Lê Q Đơn, TP. Hải
Dương, Hải Dương; Nhóm ba bạn (Nguyễn Đăng Việt Dương, Ngô Thị Thúy Nga, Nguyễn

Kim Hương), 9A₁, THCS Hai Bà Trưng, TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc.

Nguyễn Đăng Quang
Bạn hãy quan sát từng hình vẽ và con số ghi dưới mỗi hình để
điền một chữ số vào dấu chấm hỏi cho hợp lơgic.

Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy gọi đến số 19001548và làm theo
chỉ dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T IQ2 X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn ;
Ylà số người có đáp án đúng.

Chúc mừngbạn Tăng Thị Thúy, đội 11, xã Thanh Lang, Thanh Hà, Hải Dương (số
điện thoại 0320510459) đã trúng thưởngcuộc thi trên TTT2 số 40.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

u u u u u u u u u u u u u u u u u u

Trong số trước, chúng ta đã đề cập đến

ứng dụng của bất đẳng thức trong giải
phương trình. Kì này, chúng ta sẽ tiếp tục
với ứng dụng của bất đẳng thức trong giải
hệ phương trình.

lứng dụng bất đẳng thức trong giải hệ

phương trình

Ví dụ 5.Giải hệ phương trình

Lời giải. Từ phương trình thứ nhất, ta
nhận thấy x, y cùng dấu, kết hợp phương
trình thứ hai suy ra x, y cùng dương. áp
dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta
có 16 x3yxxxy

Đẳng thức xảy ra  x  y  2. Vậy hệ
phương trình có nghiệm duy nhất là (2 ; 2).

Ví dụ 6.Giải hệ phương trình

Lời giải.Cộng theo từng vế hai phương
trình của hệ ta được

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Suy ra

MỈt kh¸c y26y21 (y3)212 12.
Suy ra

Thử lại, ta thấy (x ; y)  (16 ; 3) nghiệm
đúng hệ phương trình. Vậy hệ phương trình
có nghiệm duy nhất (x; y) (16 ; 3).

Ví dụ 7. Tìm các số thực dương x, y, z

thỏa mãn hệ phương trình

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta
có

suy ra
Tương tự,

Mặt khác, vì xyz3 nên cộng theo
từng vế ba bất đẳng thức trờn ta cú

x2y2z2 3(xyz)

(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)

suy ra xyyzzx.

Đẳng thức xảy ra

xyz3 xyz1.
Vậy bộ số thực dương (x; y; z) duy nhất



2 _;

z z

x2  x y; 2  y ;

  

x y z

  

2( x y z)

   

2 ₂ _{3 ;} 2 ₂ _{3 .}

y y y z z z

 
2 ₂ _{3 .}

x x x

33 2x x x 3x

    

2 ₂ 2

x x x x x

  

 _ _ _ _ _


3
.

x y z

x y z xy yz zx

 _ _
 _ _

   _{ }

  

4 4
32
16

(*) 32 )

3.
3 0
x x
x
x x
y
y

   4 4  

( x 32 x) ( x 32 x) 12 ;

 2 (1 1)( x32x) 4.

      
4_x 4₃₂ _x _{(1 1)(} _x ₃₂ _x₎

 32  (1 1)( 32 ) 8 ;

x x x x

     
  
4 4

2

( 32 ) ( 32 )

6 21 (*)

x x x x

y y
 _ _{ } _{ }


   


2
4
4
32 3

32 6 24.

x x y

x x y


 
_ _  
 
4 4
4

3 8 _16.

4 ₄
x y
 

 

3 ₁₆
3 8.
x y
x y

Cao minh quang
(THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

thỏa mãn hệ phương trình là (1 ; 1 ; 1).

Ví d 8.Gii h phng trỡnh

(Phần Lan _ 1997)
Lời giải.

Ta cú các bất đẳng thức quen thuộc :
3(x2y2z2) (x yz)2
suy ra 1 (xyz)2; (1)

3(x2y2y2z2z2x2) (|xy| |yz| |zx|)2
suy ra

x2y2y2z2z2x2x2|yz| y2|zx| z2|xy|.
Suy ra 1(x2y2y2z2z2x2) 

(xyz)2(x2|yz| y2|zx| z2|xy|) 
xyz(x yz)3

x2y2y2z2z2x2xyz(xyz)3. (2)
Đẳng thức xảy ra ở (2) đẳng thức xảy
ra ở (1)  đều nghiệm
đúng hệ phương trình. Vậy hệ phương trình
có hai nghiệm (x ; y ; z) là và

Tác giả bài viết rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp và trao đổi của bạn
đọc. Để kết thúc bài viết này xin nêu một số
bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình

Bài 2. Giải các hệ phương trình

Bài 3.Tìm các số thực dương x, y, zthỏa
mãn hệ phương trình

(Đài Loan - 1998)
Bài 4. Tìm các số thực dương x, y, z, t

thỏa mãn hệ phương trình

(Anh - 1996)
Ghi chú.Hướng dẫn giải các bài tập này
sẽ được đăng trên TTT2 số 43.

   

 _ _ _ _{ } _{ }

12
27 .

x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt

  

 _{   }

12
2 .

xy yz xz

xyz x y z

     


  

 _ _{ }


   


  


  


  
 _{  }


2 2 2 2

3 3 3

2006 2005

2 2

4 4 4

( 3 4 ) 26( )

1)

92 ;

2005 2006 1 0

2) _{3 (}

) ;
2

1
3)

;

2 2 1

4)

2.

x y

x y z x y z

x y z

x y

x xy y x y

x y z

x y z xyz

x y
     
     
     
     
  
   
2

2
2 2
2 2
2

4 4 2

1) 2 4 6 11;

2) 6 4 10 27 ;

3) 2 5 2 10 29 ;

4) 17 8 2 4 12 3

4 13 ;

5) 2 3 3.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

_ _ _ 

 

 

1_; 1_; 1 _.

3 3 3

 

 

 

1 1 1_{; ;}
3 3 3

   1,

3

x y z

 _ _ _




    



2 2 2

2 2 2 2 2 2 3

3( ) 1

( ) .

x y z

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

ThS.NGUN V¡N NHO (NXBGD)

Cuộc thi Olympic Tốn Quốc gia Ai-len
(Irish Mathematical Olympiad) được tổ
chức lần đầu tiên vào năm 1989. Mỗi cuộc
thi gồm có hai vịng. Thơng thường, đề thi
vịng một gồm 12 bài tốn, làm trong 180
phút. Các thí sinh đoạt giải ở vòng một sẽ
được dự thi tiếp ở vòng hai. Đề thi vịng
hai khó hơn nhiều, chỉ gồm 3 bài toán,
nhưng thời gian làm bài vẫn là 180 phút.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số bài
tốn ở vịng một, phù hợp với trình độ

THCS nước ta.

Bµi 1. (Problem 3, 1989)

Gọi Elà trung điểm cung BCcủa đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC(Evà Anằm
khác phía i vi ng thng BC). Cho

DElà một đường kính của đường tròn này.
Chứng minh rằng góc DEAbằng nửa hiệu
số của hai góc Cvà B(có thể giả sử góc

Clớn hơn góc B).

Bµi 2. (Problem 9, 1989)

Với năm 1978, số 1978 có tính chất
19 78 97, nghĩa là tổng của số tạo bởi
hai chữ số đầu tiên (19) và số tạo bởi hai
chữ số cuối cùng (78) sẽ bằng số tạo bởi
hai chữ số đứng giữa (97). Hãy tìm hai
năm trước và sau, gần với năm 1978 nhất,
có tính chất như thế.

Bµi 3. (Problem 12, 1989)

Cho S là hình vuông có cạnh bằng 1.
Các điểm A, B, C, Dtheo thứ tự vòng tròn
nằm trên các cạnh của S, mỗi cạnh chứa
một điểm. Chứng minh r»ng :

2 AB2__BC2__CD2__DA2__4.

Bµi 4. (Problem 4, 1990)

Cho n là số nguyên dương. Chứng tỏ

r»ng lµ sè

nguyên dương nếu và chỉ nếu tồn tại s

nguyờn dng m sao cho .

(Kì sau đăng tiÕp)

2

( 3)

2

m m

n 

1 1

2 ₃ 2 ₃

(n n 1)  (n n 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

CUỘC THI CHỌN TAØI NNG TON HC

Bài 1.(Problem 5, 14 - 2 - 2004)

ơ ­ ® x ¯

Số 1 có thể thấy phía trước anh ta có
một người đội mũ trắng (số 2) và một
người đội mũ đen (số 3). Vì vậy anh ta
khơng thể biết chắc màu mũ mình đang
đội và sẽ khơng nói gì.

Khi số 2 nhận thấy số 1 khơng biết
mình đội mũ gì thì đốn ngay được rằng
anh ta đã nhìn thấy được hai người (số 2
và số 3) đội mũ khác màu nhau. Mặt
khác, số 2 lại nhìn thấy trước anh ta có
một người đội mũ đen (số 3) nên anh ta
biết được chắc chắn mình phải đội mũ
trắng.

Như vậy số 2 chính là người có thể biết
chắc chắn màu mũ mình đang đội.

Bµi 2. (Problem 1, 14 - 2 - 2006)

Gọi x và x  11 lần lượt là tuổi của

Thomas Jefferson và George Washington
vào năm 1770. Như vậy tuổi của Jefferson
và năm 1748 là x1748 1770 x22
(tuổi).

Theo gi¶ thiÕt ta cã x11 7(x22) 3

x11 7x154 3

6x 154 11 3 162

x27 (ti).

Nh­ vËy vµo năm 1770, Jefferson được
27 tuổi, có nghĩa là vào năm 1776,
Jefferson được 33 ti.

Bµi 3.(Problem 3, 14 - 2 - 2006)

Gäi Mlµ trung điểm của BC, qua M kẻ
đường thẳng vuông góc với BC, cắt CDtại

N. di np gp cn tớnh chớnh l di
on thng MN.

Gọi Elà giao điểm của ADvà BC; Flà
chân đường vuông góc kẻ từ Btới CD.

D thy Flà trung điểm của CD, từ đó
ta có BC2BF2FC22423221600,

suy ra BC40 (cm) MC20 (cm).

Cũng từ Flà trung điểm của CD, suy ra

B và Alần lượt là trung điểm của CEvà

DE, suy ra DE48 (cm).

Ta nhËn thÊy hai tam giác MCN và

DCE ng dng nên MCDE  MNDC,
suy ra 2048 MN64 MN15 (cm).

Vậy độ dài nếp gấp là 15 cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10,

THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương,

năm học 2005-2006

(Đề đăng trên TTT2 số 41)

Bài 1.1) Ta có

Suy ra
2)

(thỏa mãn điều kiện bài tốn).

Bài 2.Ta có h phng trỡnh

Bài 3.Đồ thị hàm số đi
qua điểm (1 ; 2)

Đồ thị hàm số y(4m21)x2đi qua điểm
(1 ; 2) 24m21

Vy với thì đồ thị hai hàm số trên
đi qua điểm (1 ; 2).

Với thì hồnh độ giao điểm của đồ
thị hai hàm số trên là nghiệm của phương
trình

Từ đó ta tìm được giao điểm thứ hai của
đồ thị hai hàm số trên là

Bµi 4. 1) Tø gi¸c AEIF néi tiÕp, suy ra

2) Ta nhËn thÊy :

  5 ®iĨm

B, H, I, O, Ccïng thc mét ®­êng tròn.
3) Ta có BOC cân tại O, BOC120o

 ₁₂₀o

BOC BIC BHC  

  ₁₈₀o  ₁₂₀o

BIC BHC  BAC

 ₂ _{120 ;}o

BOC BAC

   
    
  
o o
o o
180 180
2

90 60 .

2

BAC EIF BAC BIC

ABC ACB
BAC IBC ICB

BAC
BAC BAC
    


   
    
 
 
 

5 25_; _.
4 8
 


  _{    }


2 1 5 1

2 ₂ ₂ 0 5_.

4
x
x x
x
 
  _   _
 
2

1 1 9 ₄ 1 ₁

2x 4 4 4 x

1
2
m
1
2
m

 1.

2

m

2 1 ₀ 1_;

4 2

m     m m

   29

2

4

m m

  29

4

y mx m

( 2) ( 2)( 4)
( 3)(2 7) (2 7)( 3)

2 2 4 8

2 6 7 21 2 7 6 21

4 2

0 2.

x y x y

x y x y

xy x xy y x

xy y x xy y x

x y x

x y y

   

     


    

  _ _ _ _ _ _ _

    
 
 _{ }  _
 

 4

9

x

 3 3    2 0 2

3

P x x x

  

   



2 1 2 _.

1

A x x x

P

B x x x

1 1 2 _;

1 1 1

.

1 1

x x x x

x x x

x x
B x
x x
   
  
  
  
 
 
  

 
1 1
1 1

x x x

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10,

THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM, TỈNH VĨNH LONG

Năm hc 2005-2006 ; Thi gian : 150 phỳt

Bài 1.(1 điểm)

Tính giá trị của biểu thức

với x8.
Bài 2.(2 điểm)

Cho phng trỡnh bậc hai đối với x:

x22(m1)xm3 0. (1)
a) Giải phương trình (1) với m0.
b) Chứng minh rằng phương trình (1)
ln có hai nghiệm x₁, x₂với mọi m.

c) T×m mét hƯ thức liên hệ giữa x₁, x₂

không phụ thuộc m.

d) Xác định giá trị của m sao cho
phương trình có hai nghiệm bằng nhau về
giá tr tuyt i v trỏi du nhau.

Bài 3.(2 điểm)

Mt ca nơ đi xi dịng 48 km rồi đi ngược
dịng 22 km. Biết rằng thời gian đi xi dịng
lớn hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và
vận tốc đi xi lớn hơn vận tốc đi ngược là
5 km/h. Tính vn tc ca nụ lỳc i ngc dũng.

Bài 4.(1 điểm)

Chứng minh rằng
nếu

thì .

Bài 5. (2 điểm)

Cho đường tròn tâm Ođường kính AC.
Trên đoạn OClấy điểm Bvà vẽ đường tròn
tâm Ođường kính BC. Gọi Mlà trung điểm
của AB, từ M kẻ dây cung DEvuông góc
với AB; DCcắt đường tròn t©m O’ë I.

a) Chøng minh tø giác DMBI nội tiếp
được trong một đường tròn.

b) Chứng minh BI// AD.

c) Chứng minh ba điểm I, B, Ethẳng hàng.
Bài 6. (2 điểm)

Cho hình thoi ABCD có gãc A b»ng
120o. Gäi M lµ mét điểm trên cạnh AB.
Các đường thẳng DMvà BCc¾t nhau ë N.
a) Chøng minh hai tam giác AMD và

CDN ng dng, t ú suy ra h thc :

AC2AMCN.

b) Hai đường thẳng CMvà ANc¾t nhau
ë E. Chøng minh tø giác AEBC nội tiếp
được trong một đường tròn.

c) Khi hình thoi ABCD cố định, M

chuyển động trên cạnh AB. Chứng minh
rằng điểm E chuyển động trên một cung
tròn cố định.

2 2 2

0

a b c

b c c a a b     

1

a b c

b c c a a b     
2

2

2 4₁₆ 4 ( 8 16)

x x

A x x

x

nên suy ra

;
(vì tứ giác BHOCnội tiếp).

Mặt khác,

Suy ra MBHcân tại M, NCHcân t¹i N

MBMH, NCNHMBNCMN.
Bài 5.Theo định lí Vi-ét ta có

suy ra

Do đó :

Suy ra M0.

x32x26(x2x22 3) 3(x2x x2 22 3) 0.
   

 _{ } _{ }   
   

2 3

3 3

M c c b b c

a a a a a

a

      
      

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 3

1 2 2 2 2

( ) 0

; .

b c

x x x x x x x x

a a

b c

x x x x x

a a

   
1 2 b; 1 2 c,

x x x x

a a

  ₉₀o  _{30 .}o

ABH ACH  BAC

  _{30 .}o

CHO CBO 
  _{30 ;}o

BHM BCO 

  _{30 ,}o

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

l

KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(40). Cho bộ ba số nguyên dương
(a ; b ; c) thỏa mãn a2  b2  c2 (bộ ba
Py-ta-go). Chứng minh rằng :

a) ;

b) Khơng tồn tại số ngun dương nsao
cho có thể tìm được ít nhất một bộ ba

Py-ta-go (a; b; c) tha món .

Lời giải. (theo bạn Lê Thị Nguyệt, 9A₃,
THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)

a) T cỏc bất đẳng thức quen thuộc :

a2b22abvµ (ab)24ab

suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab. Khi
đó (điều này không xảy ra với

a, clà các số nguyên dương).

NghÜa lµ .

b) Giả sử tồn tại số nguyên dương nsao

cho . Ta cã

Từ điều giả sử trên ta suy ra
là số ngun dương.

Gi¶ sư (a, b) d, ta cã aa₁.d; bb₁.d,
víi a₁, b₁* vµ (a₁, b₁) 1 (d*).

Từ đó là số

nguyên dương. Suy ra , mà
(a₁, b₁) 1 a₁b₁1 abd.

Theo câu a) ta thấy điều này là vơ lí. Do
đó khơng tồn tại số nguyên dương n thỏa

m·n (®pcm).

Nhận xét. Ngoài bạn Nguyệt, các bạn
sau cũng có lời giải tốt : Nguyễn Xuân
Hùng, 9B, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân
Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Văn Linh, 7A₁,
THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP. Bắc Ninh,
Bắc Ninh ; Nguyễn Ngọc Trung, 8A₁ ; Tạ
Đức Thành, 8A₃, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ ; Phạm Việt Hùng, 8C,
THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ;

Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lý Nhật
Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn
Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh,
Kỳ Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Xuân Thảo,
8A₁, THCS Nhơn Lộc, An Nhơn, Bình Định.
Nguyễn Văn Mạnh
Bài 2(40).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Pa3b3c3, trong đó a, b, clà các
số thực thỏa mãn a 1, b 1, c 1 và

abc  .

Lời giải. Trước hết ta chứng minh nhận
xét sau : Nếu x, y là các số thực thỏa mãn

xy0 th× . (1)
Thật vậy

áp dụng vào bài toán : do vai trò như
nhau của a, b, cnên giả sử abc.

2 2 2 2

2

( )(4( ) ( 2 ))

8

3 ( )( ) 0.

8

x y x xy y x xy y

x y x y

     

   
3
3 3

2 2

x y _x y  _
 
 
3
3 3

2 2

x y _{ }x y 

 
3_{4 1}_

2

c c _n

a b

 _  _
 
 

2 2

1 1 vµ 1 1

a b b a

2 2
2 2

1 1
1 1 1

a b

a b ab

ab a b

  _ _

 
2 2

a b ab

ab

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

2 2 2
2 2

( ) 2 ( )

( ) _1.

a b ab a b a b a b

a b

a b ab

a b
    

 
 
2
c c
a b
 _  _
 
 
2

c c _n

a b
 _  _
 
 
2
8
c c

a b
 _  _
 
 
  2

c a

 

 _  _ _

 
 

2 2 2 2

2 2

( )( ) ₈

c c a b a b

a b _{a b}

2

c c _n

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Do 3(ab) 2(ab) (ab) 

2(abc)2 > 0.

Suy ra ab> 0 và theo bất đẳng thức (1)
ta có

Chú ý :
Từ đó suy ra

Bởi vậy P0. Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ
khi c 1, ab .

Tóm lại : vì a, b, c có vai trị như nhau
nên trong ba số đó có một số bằng 1 và
hai số còn lại bằng .

Nhận xét. Đây là bài tốn hay, nhưng
khơng q khó. Các bạn sau có lời giải
đúng : Tạ Đức Thành, 8A₃; Nguyễn Ngọc
Trung, 8A₁, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phú Thọ; Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS
Thị Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh.

Nguyễn Minh Đức
Bài 3(40). Chứng minh rằng không tồn
tại 6 số nguyên dương phân biệt sao cho
tổng của 4 số tùy ý trong chúng luôn chia
hết cho tổng của hai số còn lại.

Lời giải. Giả sử tồn tại 6 số nguyên
dương phân biệt a > b> c> d> e> fthỏa
mãn điều kiện bài tốn. Theo giả thiết ta có

cdefchia hÕt cho ab.
Mặt khác, c d < a b và e f< a b

suy ra cdef< 2(ab)

cdefab. (1)
Tương tự ta có bdefac. (2)
Trừ theo từng vế hai đẳng thức (1) và (2)
suy ra cbbcbc, mâu thuẫn với
giả thiết b> c.

Vậy không tồn tại 6 số nguyên dương

phân biệt thỏa mãn điều kiện bài tốn.
Nhận xét. Khơng có nhiều bài gửi về
tòa soạn, nhưng hầu hết các lời giải đều
đúng. Có nhiều cách lập luận để chứng
minh, trên đây là cách ngắn ngọn nhất của
một số bạn.

Các bạn có lời giải ngắn gọn, chặt chẽ
hơn cả là Nguyễn Mạnh Tuấn ; Dương
Hồng Hưng, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ
Lương, Nghệ An; Nguyễn Hoàng Hiệp, số
nhà 127B, Tiểu Khu 3, thị trấn Neo, Yên
Dũng, Bắc Giang ; Vương Thị Mỵ, đội 16,

Đồng i, i ng Thnh, Thun Thnh ;

Nguyễn Văn Linh, 7A₁, THCS Nguyễn
Đăng Đạo, TP. B¾c Ninh, B¾c Ninh ;

Ngun Ngọc Trung, 8A₁; Tạ Đức Thành,
8A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phó Thä;

Nguyễn Dỗn Tiến Đạt, 9C, THCS Phan
Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương ; Lê Thị
Nguyệt, 9A₃, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn
Giang, Hưng Yên; Bùi Thị Hiền, 9A₁, THCS
Nguyễn Trực, Kim Bài, Thanh Oai, Hà Tây.
Nguyễn anh qn
Bài 4(40). Cho tam giác ABCcó đường
trịn nội tiếp (I, r) và đường tròn bàng tiếp
(I_a) trong góc A. Gọi D là tiếp điểm của
cạnh BCvới (I_a). Dựng đường tròn () tiếp
xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC và tiếp xúc với DA, DBlần lượt tại E,

F. Chøng minh r»ng :
1) E, I, Fthẳng hàng ;
2) Bán kính pcủa () bằng r.

LTS. Bài tốn này quả là khó, khơng có
một bạn nào gửi lời giải về tòa soạn. Tuy
nhiên kết quả của bài toán lại là hệ quả của
một định lí khá nổi tiếng và quen thuộc. Các

bạn sẽ tìm thấy lời giải của bài toán này
trong bài viết của TS. Nguyễn Minh H
(trang 24, 25).

Bài 5(40). Cho tam giác ABCcó điểm E

thuộc trung tuyến AMvà Flà hình chiếu của

E trờn BC. Gi X, Y lần lượt là hình chiếu
của E, Ftrên AB; Z, Tlần lượt là hình chiếu
của E, F trên AC. Chứng minh rằng tam
giác EXYvà tam giỏc EZTng dng.

Lời giải. (của bạn Tăng Văn Bình, 8B,

3₄

2

3₄

2

3
3

3 3 3 4

( ) ( 4 ) 2 0.

2

a b c

a b  c  _    _ 

 

3

( 1) ( 4 1) 0 (v× c c 1).

      

3₄ 3_{4 1} 3₄

a b   c   c  c

3

3 3 3 3

3 3 3

2
2
1 (( ) ( 4 ) ).
4

a b

P a b c c

a b c


 

    _ _  
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Ngh An)

Qua E kẻ đường thẳng HK song song
với BC(Hthuộc AB ; Kthuộc AC).

Vì HK// BC; EFBCnên HKEF. (1)
Chó ý r»ng (v× HK// EF)

1 (v× MBMC)

EHEK. (2)
Tõ (1), (2) suy ra : FHKcân tại F

. (3)

Mặt khác, vì nên

t giỏc EHYFnội tiếp . (4)

Tương tự như vậy, . (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra :

 EXY EZT.

NhËn xét. 1) Bài toán này không khã
nh­ng chØ cã 16 b¹n tham gia.

2) ChØ có 3 bạn phát hiện ra đường kẻ

HK, mặc dù đường kẻ này rất tự nhiên.
3) Xin nêu tên một số bạn có lời giải tốt :

Nguyn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn
Kỳ Anh, Kỳ Anh ; Đinh Văn Học, 9C, THCS
Sơn Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh; Vũ Thanh Tú,
9A₂, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải
Dương ; Đoàn Thu Hà, 9A₃, THCS Chu
Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Trịnh
Quang Thanh, 9B, THCS Hàm Rồng,
Thanh Hóa.

Ngun Minh Hµ

 

EYH ETK
 

ETK EFK

 

EYH EFH

 

 _{90 ;}o  ₉₀o

HEF  HYF 

 

EFH EFK

EH MB
EK MC

Thi giaỷi toaựn qua thử

Các bạn được thưởng kì này

Ngun Ngäc Trung, 8A₁ ; T¹ Đức
Thành, 8A₃, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Trung Thành,
8B, THCS ThÞ TrÊn Kú Anh, Kú Anh ;

Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can
Lộc, Hà Tĩnh ; Lê Thị Nguyệt, 9A₃,
THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang,
Hưng Yên ; Nguyễn Văn Linh, 7A₁,

THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP. Bắc Ninh,
Bắc Ninh ; Nguyễn Mạnh Tuấn ; Tăng
Văn Bình, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An; Nguyễn Xuân Hùng,
9B, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân
Yên, Bắc Giang ; Vũ Thanh Tú, 9A₂,
THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương;

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Kết quả cuộc thi

THẾ GIỚI QUANH TA

Sau đây là đáp án câu hỏi kì 4 - Điền
vào chỗ trống “lời của dịng sông” :
Tớ là sông NIN-CAGHÊRA. Tớ dài
nhất thế giới. Chiều dài của tớ là 6695 km.
Tớ đổ ra biển ĐịA TRUNG HảIvà tạo nên
đồng bằng châu thổ sơng NIN. Tớ có hai
nhánh chính là NIN trắng,NIN xanh.

Nhiều bạn còn sưu tầm thêm được
nhiều thơng tin, hình ảnh về con sơng lớn
nhất thế giới này và trình bày rất ấn tượng.
Các cá nhân và tập thể xuất sắc nhất
được trao tặng phẩm kì này là Hồng
Minh Tuấn- Trịnh Văn Phong, 374/77 phố
Hải Thượng Lãn Ông, phường Đơng Vệ,
TP. Thanh Hóa; Lê Thị Thảo, đội 8, thơn
Quảng Giang, Đại Hợp, Tứ Kì, Hải Dương;

Nguyễn Anh Phúc, số nhà 40, đường Bùi
Thị Xuân, TX. An Khê, Gia Lai ; Nguyễn
Minh Thúy, số nhà 347, tổ 11, phường
Trần Phú, TX. Hà Giang, Hà Giang ;

Nguyễn Hữu Trang, 15 Biệt Thự, Nha
Trang, Khánh Hòa ; Đặng Thị Quỳnh
Trang, 15/142 Nguyễn Thái Học, phường 5,
TP. Tuy Hòa, Phú Yên ; Đặng Huy Việt,
số nhà 10 Lê Hồng Phong, TP. Nam
Định ; Lê Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy
Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình ; Lưu
Quang Thắng, 96 Nguyễn Lương Bằng,
Kiến An, Hải Phịng ; Nguyễn Huy
Hồng, 19 Nguyễn Phi Khanh, TP. Quy
Nhơn, Bình Định ; Phịng Giáo dục
TX. An Khê, Gia Lai.

Kì này có rất nhiều bạn tham gia giải
câu đố Hồng Hà. Hầu hết các bạn đều có
đáp án đúng. Dãy số đã cho chính là địa
chỉ của hệ thống cửa hàng giới thiệu và
bán sản phẩm của công ty trên cả nước.
Bốn chữ số cuối là 2729 - địa chỉ Trung
tâm Thương mại PLAZA Thanh Hóamới
khai trương. Bạn Vương Thúy Nga, khu
Xuất khẩu, cạnh sân vận động, Gia Lộc,
Hải Dương cịn có lời chúc : “Chúc cho
sản phẩm Hồng Hà mãi bền đẹp để sát
cánh với chúng cháu trong những năm

học tới”. Bạn Lê Phong Vũ, thơn 1b, Hịa
Tiến, KRơng Pắc, Đắk Lắklại chúc rng :

Chúc cho dÃy số này ngày càng dài hơn !.
Sau đây là bài giải bằng thơ của bạn

Hoàng Thị Yến, 7A₂, THCS Yên Lạc, Yên
Lạc, Vĩnh Phúc:

Nhng con số đó chính là

Phần đầu địa chỉ Hồng Hà, đốn ngay !
Nơi mà học sinh rất say

Mua văn phòng phẩm, thường ngày ghé qua
“Bốn số cuối đích thị là

2, 7, 2, 9 ấy mà !... phải không ?

Ngoài các bạn cã tªn nªu ë trªn, Hång

Hà xin tặng quà cho các bạn sau : Lê
Thanh Loan, 13 Hoàng Văn Thụ, thị trấn
Vân Đình, ứng Hịa, Hà Tây ; Ngơ Tuấn
Anh, số nhà 316, tổ 11, phường Xuân
Hòa, TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phạm
Xn Đức, xóm 7, thơn Do Nghĩa, xã
Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Lê
Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh,
Thái Thụy ; Lưu Mạnh Hùng, thôn Kim

Sơn 1, xã Kim Trung, Hưng Hà, Thái Bình;

Nguyễn Thị ánh Nguyệt, thôn Nàng
Đồng, xã Ngọc Lý, Tân Yên ; Hoàng Thị
Giáng Thu, 8A, THCS Quang Thịnh, Lạng
Giang, Bắc Giang ; Lương Xuân Huy,
9A₁, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ ; Vũ Công
Cương, con bố Vũ Văn Lục, đội 3, xóm
Chợ, Dị Chế, Tiên Lữ, Hưng Yên; Nguyễn
Thị Nga, con bố Hùng, xóm 6, Đơng Sơn,
Đơ Lương ; Hà Thị Hương Trà, 9C, THCS
Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ;

Dương Thị Thu Hà, tiểu khu 3, thị trấn
Hoàn Lão, Bố Trạch, Qung Bỡnh ;

Nguyễn Quang Vĩnh, con bố Nguyễn Văn
Nhung, thôn An Điềm, xà Cát Lâm, Phù
Cát, Bình Định.

(TTT2 số 40)

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Vũ Minh là thành viên đội đặc nhiệm
thành phố. Trong chuyên án mới đây, đội
của anh được giao nhiệm vụ phá đường
dây trộm cắp, vận chuyển ô tô qua hải
cảng. Đường dây hoạt động rất tinh vi,
chúng đánh cắp những chiếc xe đắt tiền,
thay biển số giả rồi xuất đi nước ngoài

bằng đường biển.

Tuy đã khoanh vùng được địa bàn hoạt
động của những kẻ tình nghi, song do
chúng hoạt động rất khôn ngoan nên mãi
mà các chiến sĩ đặc nhiệm vẫn chưa bắt
được chúng. Cuối cùng, đội trưởng quyết
định cài Vũ Minh vào băng nhóm tội phạm
này với hi vọng anh sẽ tìm được bằng
chứng kết tội chúng.

Vốn thơng minh, nhanh nhẹn, lại có võ
nghệ cao cường nên chẳng bao lâu sau Vũ
Minh đã được cả nhóm và nhất là tên đầu
đảng Bắc Đại Bàng tin tưởng. Do thường
xuyên tiếp cận với Bắc Đại Bàng nên Vũ
Minh đã biết được rằng mọi thông tin về
những chiếc ô tô đắt tiền trong thành phố
đều được hắn lưu giữ trong máy tính. Hắn
cũng ln ghi chép cẩn thận và lưu trong
máy những phi vụ làm ăn quan trọng. Tất
nhiên, chiếc máy tính được Bắc Đại Bàng
cất giữ rất cẩn thận và hắn không bao giờ
cho ai đến gần máy cả.

Một hơm, rình mãi mới có cơ hội Bắc Đại
Bàng sơ hở. Vũ Minh lẻn đến, bật máy tính.
Lập tức máy yêu cầu mật khẩu. Trước đó,
đã có lần Vũ Minh lén nhìn Bắc Đại Bàng
nhập mật khẩu. Tuy nhiên, vì đứng ngồi

nên anh chỉ biết được đó là một dãy số
gồm 6 hoặc 7 chữ số. Vũ Minh đoán Bắc
Đại Bàng không thể nhớ được mật khẩu do
hắn thường xuyên phải quan tâm đến
những con số trên biển số ô tô. Chắc chắn
mật khẩu phải được ghi lại ở chỗ nào đó dễ
thấy quanh bàn làm việc. Bất giác, anh
ngẩng lên và phát hiện có mảnh giấy dán
trên tường. Trên mảnh giấy là dịng chữ
đánh máy vi tính : Hoa Kì, áo, Anh, Nhật
Bản, Pháp, Tây Ban Nha.

Vũ Minh thầm nghĩ : “Chắc những tên
nước này có liên quan đến mật khẩu. Có 6
nước tất cả. Hơm nọ mình thấy hắn nhập 6
hay 7 chữ số. Như vậy, mỗi tên nước tương
ứng với một chữ số chăng ? Hay ta thử lấy
tổng các chữ cái của các tên nước xem sao ?
Hoa Kì có 5 chữ, áo thì 2 chữ... vậy là
523749”.

Mừng quá, Vũ Minh thử ngay... nhưng
tiếc thay, máy tính vẫn khơng nhận. Vì cịn
ít thời gian nên Vũ Minh đành tắt máy, chép
lại hàng chữ rồi rời khỏi phòng.

Về đến nhà, Vũ Minh gọi điện ngay cho
Nguyn Xuõn Quý

(K53D, Toán-Tin, ĐHSP Hà Nội)

Mt hụm, rình mãi mới có cơ hội Bắc Đại
Một hơm, rình mãi mới có cơ hội Bắc Đại
Một hơm, rình mãi mới có cơ hội Bắc Đại
Vũ Minh là thành viên đội đặc nhiệm

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

l

Kết quả :

TÊN TRỘM Kè QUAậC

(TTT2 số 40)

Lấy trộm đồ chỉ để... chứng tỏ “vỏ quýt

dày có móng tay nhọn” và cịn bắt “khổ
chủ” giải tốn thì quả là một tên trộm kì
quặc. Chắc rằng thời cịn đi học, tên trộm
này cũng khá thích tốn. Bài tốn đặt ra đã
làm đau đầu vợ chồng ông Giôn nhưng
khơng thể làm khó dễ cho thám tử
Sê-Lốc-Cốc và các cộng sự Tuổi Hồng của ông.
ẩn số đã được tìm ra, số nhà là 13 cịn số
phịng là 31 :

Nếu gọi số nhà là và số phòng là
thì ta có suy ra 10 n21 (vì
n3là số có 4 chữ số). Mặt khác có
tổng các chữ số ở hàng chẵn bằng tổng
các chữ số ở hàng lẻ nên chia hết cho 11,

suy ra n3chia hết cho 11 (là số nguyên tố)

n chia hết cho 11  n  11 

Phần thưởng kì này được trao cho năm
bạn là Hồng Văn Sáng, xóm 14, xã
Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình ;

Nguyễn Minh Hiếu, đội 4, xã Thái Học,
Bình Giang, Hải Dương; Đậu Thế Vũ, 7B,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ
An ; Nguyễn Anh Tuấn, 7B, THCS Hồng
Quang, Ân Thi, Hưng Yên; Trần Thị Hồng
Nhung, 8A₁, THCS Nguyễn Khuyến, tiểu
khu Bình Thắng, Bnh M, Bỡnh Lc, H
Nam.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

11 1331.3

abba

abba

3,
abba n

ba
ab

thám tử Sê-Lốc-Cốc. Sau khi nghe Vũ
Minh trình bày cụ thể mọi chun, th¸m tư

nãi “Anh thư nhËp sè 6238411 xem nhÐ !.
Vũ Minh ghi lại con số này và thấp thỏm
chờ cơ hội lẻn vào bật máy tính của Bắc
Đại Bàng.

Mấy hôm sau, thời cơ đã đến. Vũ Minh
vui mừng khơn xiết vì con số đó đúng là
mật khẩu. Anh đã thu thập được nhiều
thông tin để làm bằng chứng kết tội bọn tội
phạm. Khi gọi điện cảm ơn thám tử
Sê-Lốc-Cốc, anh được nghe ơng nói “Lúc đọc
mảnh giấy, anh suy luận đúng rồi nhưng do
“đếm” chưa hết nên chưa tìm ra ú thụi.

các thám tử Tuổi Hồng giải thích cho anh
nhÐ !”

Nào, các bạn hãy mau gửi lời giải thích
của mình về tịa soạn TTT ! Theo các bạn
thì thám tử Sê-Lốc-Cốc đã căn cứ vào đâu
để “giải mã” hàng chữ trên tờ giấy ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

18

Bất đẳng thức chúng tơi muốn nói đến là :

|ab| |ab| 2 (*)
(với mọi  0 và a; b[; ]).
Sử dụng bất đẳng thức này ta có thể
chứng minh được nhiều kết quả thú vị. Xin
giới thiệu với các bạn một phép chứng minh

bất đẳng thức (*) và một ứng dụng của nó.

Chứng minh.Gọi max {x; y} là giá trị lớn
nhất trong hai số x; y, trước hết ta có

xy|xy|

nªn xy|xy| 2max {x; y}. (1)
¸p dơng (1) ta cã (|ab| |ab|)2
(ab)2(ab)22|ab||ab|

2(a2b2|a2b2|) 4max {a2; b2},
suy ra

|ab| |ab| 2max {|a| ; |b|}. (2)
Từ (2) suy ra bt ng thc (*).

Bài toán 1. Cho đa thức f(x) ax2bxc

tháa m·n ®iỊu kiƯn |f(x)|   víi mäi 

dương và x[1 ; 1]. Chứng minh rng :
|a| |b| |c| 3.

Lời giải.Đặt f(1) M; f(1) N; f(0) P

ta cã |M| ; |N| ; |P|   vµ
suy ra

|a| |b| |c|      

2 2

M N _P M N _P

 

M N₂  ; M N₂ ; 

a P b c P

  


   


 


M a b c
N a b c
P c

2 víi
2 víi

x x y

y x y




  _


(áp dụng bất đẳng thức (*))

|| 2|| 3|| 3
|a| |b| |c| 3(đpcm).

Bài toán 2. Cho đa thøc

f(x) ax3bx2cxd

tháa m·n ®iỊu kiƯn |f(x)|   víi mäi 

dương và x[1 ; 1]. Chng minh rng :
|a| |b| |c| |d| 7.

Lời giải.Đặt

ta cã |M| ; |N| ; |P| ; |P|  vµ

M = abcd; N= abcd;

6(|a| |b| |c| |d|) 

4|MN2P2Q| 4|MNPQ| 

|MN8P8Q| |MN4P4Q|

4|MN| 8|PQ| 4|MN| 4|PQ|

|MN| 8|PQ| |MN| 4|PQ|

5(|M N| |MN|) 

8(|PQ| |PQ|) 8|PQ|

52 82 8|P| 8|Q| 26 1642
|a| |b| |c| |d| 7(®pcm).

Hẹn gặp lại các bạn với các dụng khác
của bất đẳng thức (*).

        
   



    


      _
 _{   } _


;

8 4 2 8 4 2

6 4( 2 2 )

6 4( )

6 8 8

6 4 4

a b c a b c

P d Q d

a M N P Q

b M N P Q

c M N P Q

d M N P Q

   
   _{ } _ _

   

1 1

(1) ; ( 1) ; ;

2 2

f M f N f P f Q

  

  2 2 2

2 2 2

M N M N _P _P

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI HAI

19

TRẬN ĐẤU

THỨ BA MƯƠI TƯ

l Người thách đấu. Trần Tuấn Anh,
khoa Tốn-Tin, trường ĐHKHTN, ĐHQG
TP. Hồ Chí Minh.

lBài tốn thách đấu. Cho a, b, c là
các số thực dương. Chứng minh :
Có thể thay bởi số lớn hơn khơng ?
lXuất xứ. Sáng tác.

lThời hạn nhận thách đấu.

Trước ngày 15 - 9 - 2006.

1
2

1 _1.

2 2 a ba 2b cb 2c ac 

(TTT2 sè 40)

Bài tốn này khơng khó. Có tới 37 võ sĩ
bước lên sàn đấu. Tất cả các võ sĩ đều có
lời giải đúng và cùng nhận thấy thực chất
đây là bài tốn về định lí Ta-lét. Có 36 võ sĩ
sử dụng định lí Ta-lét theo cùng một cách.
Có duy nhất võ sĩ Phạm Mạnh Cường, 9C,
THCS Thị Trấn Quỳnh Côi, Quỳnh Phụ,
Thái Bình, sử dụng định lí Ta-lét theo một
cách khác ngắn gọn hơn. Xin giới thiệu với
bạn đọc lời giải của võ sĩ Cường.

Để bạn đọc tiện theo dõi, xin nhắc lại
định lí Ta-lét dưới dạng tổng quát nhất :

Cho hai đường thẳng , ’. Ba đường
thẳng a, b, ccắt lần lượt tại A, B, C; cắt

’ lần lượt tại A’, B’, C’và a// b. Khi đó :

a// b// c (hình 1).
Trở lại việc giải bài toán.

Đặt PBHAC; QCHAB (hình 2).

Ta cú (i nh)

(giả thiết)

ADEcân tại AAKlà
đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADE KDA90 ; o KEA 90o

 

QDH PEH

 



PHE



 

QHD CHE

AB A B

BC B C

  ’ ’

’ ’

KD// HQ; KE// HP. (1)
Qua B kỴ đường thẳng song song với

KD, HQ và gọi L là giao điểm của đường
thẳng này víi HK.

Theo định lí Ta-lét ta có (2)
Dễ thấy, HBQ HCP. Từ đó, theo
tính chất của đường phân giác ta có

. (3)

Tõ (2), (3) suy ra (4)

Từ (1), (4), theo định lí Ta-lét ta có

CL// KE// HP.

Tãm l¹i : BL// HC; CL// HBsuy ra HBLC

là hình bình hành HLđi qua trung ®iĨm
cđa BCHK®i qua trung ®iĨm cđa BC.

Đương nhiên, Phạm Mạnh Cườnglà võ

sĩ đăng quang trong trận đấu này.

NguyÔn Minh Hµ
.

KL EC
KH EP
DB HB HP EC
DQ HQ HC EP  

.

KL DB
KH DQ
H×nh 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Một nội dung khá phổ biến trong các kì thi
cuối cấp THCS, đó là so sỏnh biu thc.

Sách bài tập Toán 9, tËp 1 cã bµi 29
(trang 7), nội dung như sau :

Bài toán 1. So sánh (không dùng bảng
số hay máy tính bỏ túi)

lBài tốn có khá nhiều lời giải, tuy nhiên
bài viết muốn nhắc đến lời giải sử dụng

đẳng thức (*)

(đã được đề cập trên tạp chí TTT2 số 38) :
Lời gii. ỏp dng ng thc (*) ta cú

Mặt khác,

lKhai thác, mở rộng bài toán 1sẽ củng cố
và rèn lun thªm cho chóng ta về dạng
toán này.

Trc ht ta m rng bài toán 1:

Bài toán 2. Với mọi số nguyên dương a,
hãy so sánh

Tương tự lời giải bài toán 1, ta có kết quả
(1)
Với a2nthì (1) trở thành

(2)
Lần lượt cho ncác giá trị 1, 2, 3, ... từ (2)
ta có

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức
trên ta có

Từ đó ta có bài tốn :

Bài tốn 3. Với mọi số ngun dương n,
chứng minh rằng

Víi a2n1 th× (1) trë thµnh

(3)
Lần lượt cho ncác giá trị 0, 1, 2, ... từ (3)
ta có

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên
ta có 2 2 2 4 ... 2 2   n 2n 2

   

2n 2n 2 2 2n 1.

   

0 2 2 1 ; 2 4 2 3 ; ... ;

   

2n 2n 2 2 2n 1.

 

 

 

1 2 1 1

... .

2

2 1 2

n

n n

 

 

1 1 _...

1 2 3 4

      
    

 
   

... 2 2 1 2 1 2( 2 4 ... 2 )

2 1 4 3 ...

2 1 1

... 2 2 1 .

2

n n n

n

n n

  

1 2 3 2 5 ...

   

2 1n 2n 1 2 2 .n

   

1 3 2 2 ; 3 5 2 4 ; ... ;

   

2 1n 2n 1 2 2 .n

 1  1 2 .

a a a

 1 1 vµ 2 .

a a a

  

 

 

   

  

2005 2004 2004 2003

1 1

2005 2004 2004 2003

2005 2004 2004 2003

2005 2003 2 2004.

 



 



1

2005 2004 ;

2005 2004
1

2004 2003 .

2004 2003

  

 

1
1

1

n n

n n



2003 2005 vµ 2 2004.

Nguyễn cơng chuẩn
(THPT Phúc Trạch, Hương Khê, Hà Tĩnh)

s s s s s s s s s s s s s s s

MỘT DẠNG TOÁN

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

T ú ta cú bi toỏn :

Bài toán 4. Với mọi số tự nhiên n, chứng
minh rằng

Đặc biệt hóa các kết quả trên cũng cho
ta nhiều bài toán thú vị.

Bài toán 5. So sánh giá trị của hai biểu

thức vµ

Lời giải. áp dụng bất đẳng thức

víi n49 ta có A < B.

Bài toán 6. Tìm phần nguyên của tổng :
Lời giải. áp dụng bài toán 3và bài toán 4

ta có , suy ra

phần nguyên của Abằng 4.

9 100 1 101 1 _{100 5}
2 2   2   A 2 

  
101 1 100

2 A 2

1 1 _... 1 _.

1 2 3 4 99 100

A   

  

2( 1 3 ... 2 n1)

     

2 2 2 4 ... 2 2n 2n 2

2( 1 3 ...  99).

B

2( 2 4 ...  98) 100

A



 

  

1 2 2

... .

2

2 1 2 2

n

n n

 

 

1 1 _...

1 2 3 4

2( 1 3 ... 2 1)

2 1 4 3 ...

2 2

... 2 2 2 1 .

2

n

n

n n

   

    



     trúng thưởng cuộc thi “Nhà tiên tri của WorldNhiệt liệt chúc mừng các bạn đã may mắn
Cup 2006” do Tạp chí Tốn Tui th t chc.

Nhà tiên tri chính thức :

Nguyễn Văn Sơn, 8A₄, THCS Hai Bà
Trưng, thị xà Phúc Yên, Vĩnh Phúc (số điện
thoại 0211871224).

Các nhà tiªn tri cã triĨn väng :

1) Trần Thị Trúc, 26/10 khu phố 4, phường
Tân Chánh Hiệp, quận 12, TP. Hồ Chớ Minh
(s in thoi 0903133959) ;

2) Văn Ngọc Duy, 146 đường 9B, Đông
Hà, Quảng Trị (số điện thoại 053853672) ;

3) Hong Quc Vnh, b là Hoàng Tiến Dũng,
Bác sĩ bệnh viện Xuân Trường, Xuân Trường,
Nam Định (số điện thoại 0350886551).

Ngày 20/7/2006, tại trường THCS Hai Bà
Trưng, Phúc n, Vĩnh Phúc, Tạp chí Tốn
Tuổi thơ đã long trọng tổ chức Lễ Trao giải
cho em Nguyễn Văn Sơn. Dự lễ trao giải có
các đại diện của cơng ty 3E ; nhà giáo Phạm
Văn Dũng, Phó Chủ tịch UBND thị xã Phúc
Yên kiêm Trưởng Phòng Giáo dục ; Ban
Giám hiệu Nhà trường, các thầy cô giáo, phụ
huynh học sinh cùng nhiều học sinh có thành
tích tham gia giải bài trên tạp chí. Phó Tổng
biên tập Tạp chí, TS. Lê Thống Nhất đã công
bố quyết định khen thưởng và trao giải gồm :
1 xe đạp, 1 máy Gia sư điện tử đa năng, 1 Kim
từ điển, 1 bộ sách giáo khoa lớp 9, 1 bộ văn
phịng phẩm, 1 trái bóng có in quốc kì 32 nước
tham dự vịng chung kết World Cup 2006 và
Bằng Chứng nhận của Tạp chí.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

giải toán trên máy tính điện tử

TH TAỉI

Bài 1. Đáp số : m576 ; n676.
Giả sử mcó dạng . Theo bµi ra, nchØ
cã thĨ lµ mét trong ba sè ,

vµ .

Vì m, n là những số chính phương nên

mp2vµ nq2(10 < q< p< 32).
Ta có nmq2p2(qp)(qp).
Vì qp (qp) 2pnên qpvà qp

cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Nếu và thì

1 nmq2p2(qp)(qp). Suy ra

p0 ; q1 không thỏa mÃn.

Nếu và thì

10 nmq2p2(qp)(qp). Suy ra

qp10 ; qp1 hc qp5 ; qp

2 đều khơng tha món.

Nếu và thì

100 nmq2p2(qp)(qp). Mặt
khác, vì q p và q p cùng tính chẵn lẻ
nên chỉ có thể là :

hoặc qp10 ; qp10 suy ra q10 ;

p0 không thỏa mÃn ;

hoặc qp50 ; qp2 suy ra q26 ; p

 24 tháa m·n (n 262 676 ; m 242

576).

Bài 2. a) Thay x bởi các giá trị 1,2 ; 2,5 ;
3,7 vào P(x) ta được hệ :

Vào chương trình giải hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn trên Casio fx-500MS :

hoặc
trên Sharp EL-506W :

Ln lt khai bỏo hệ số và bấm phím
để được a, b, c(trên cả hai máy) :

1.44 1.2 1 1993 6.25 2.5 1
2045 13.69 3.7 1 2123 (x10)

(y 3) (z 1975).

Vậy P(x) x310x23x1975.
Lời bình.Sau khi tìm được x, y, zta bấm
trên Sharp EL-506W thì được định thức là

3,9 (det  3.9). Do đó Sharp EL-506Wrất
thuận tiện khi tính định thức và giải phương
trình bậc ba.

b) Sè d­ cđa phÐp chia P(x) cho 2x 5
chính là giá trị P(2,5) của P(x) tại x 2,5.
Tính P(2,5) trên máy được giá trị là
2014,375.

c) Phng trỡnh P(x) 1989 hay

x310x23x14 0
cã c¸c nghiƯm x₁1 ;

Dùng chương trình giải phương trình bậc
ba trên Sharp 506Whoặc Casio fx-500MS

cũng được x₁ 1 ; x₂ 9,531128874 ;

x₃ 1,468871126.

Bài 3. a) Đáp sè : U₁  1 ; U₂  20 ;

U₃303 ; U₄4120.

b) Gi¶ sư U_n_₂aU_n_₁bU_n.

Ta có U₃aU₂bU₁và U₄aU₃bU₂

hay 303 20abvà 4120 303a20b.
Giải trên máy ®­ỵc a20 ; b 97.

 


2, 3 11₂ 65 .

x

















1
2

MODE
3
1
MODE
MODE
  

 _ _{ }

 _ _{ }


1,44 1,2 1993

6,25 2,5 2045

13,69 3,7 2123

a b c

a b c

a b c

 ( 1)  2

n a bc q

  2

m abc p

 ( 1)  2

n a b c q

  2

m abc p

 ( 1)  2

n ab c q

  2

m abc p

(a1)bc



( 1)

a b c

( 1)

ab c

abc

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

lTrong thời gian qua, hưởng ứng chủ trương đưa máy tính điện tử vào nhà

trường của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tạp chí Tốn Tuổi thơ 2 đã mở chun mục

“Giải tốn trên máy tính điện tử”, cung cấp cho bạn đọc từ những kiến thức mở
đầu đến nhiều dạng tốn thơng qua các bài viết và đề thi có hướng dẫn lời giải.
Đến nay, những nội dung về giải tốn trên máy tính điện tử đăng trên Tạp chí đã
tương đối đầy đủ để các bạn có thể tiếp tục tự nghiên cứu. Vì vậy kể từ số này
Tạp chí sẽ tạm dừng chuyên mục và hẹn gặp lại các bạn trong thời gian sớm nhất.

lThay vào đó, để phục vụ bạn đọc tốt hơn, chúng tơi sẽ tăng cường các bài

viết hoặc hướng dẫn giải các bài tập áp dụng của các bài viết đã đăng trên Tạp
chí (đây là yêu cầu của rất nhiều bạn đọc).

lVì vậy, để nghị các tác giả bài viết có lời giải đầy đủ cho phần bài tập áp dụng.

Mong các tác giả và bạn đọc tiếp tục ủng hộ Tp chớ.

Ban biên tập tạp chí toán tuổi thơ

THONG BAO

Vậy U_n₂20U_n₁97U_n.
c) Khai báo U₁1 ; U₂20 :

1 20

Khai báo và tÝnh U_n_₂20U_n_₁97U_n:

20 97

(303)20 97

(4120) (*)
Liên tiếp dùng để được U₃, ... , U₉

vµ U₁₀1,38300481 1010.

Để được đáp số chính xác, ta bấm tiếp :
1.38 10 (30048100).

VËy U₁₀13830048100.

Trë vỊ c«ng thøc (*) vµ tÝnh U₁₁:
(1.6374754571011) 1.63
11 (747545743).

VËy U₁₁163747545743.
Trở về công thức (*) và tính U₁₂:

(1.9334362491012) 1.93
12 (3436249160).

Tiếp tục như tính U₁₂ta được :

U₅53009 ; U₆660540 ; U₇8068927 ;

U₈97306160 ; U₉1163437281 ;

U₁₀13830048100 ; U₁₁163747545743 ;

U₁₂1933436249160 ;

U₁₃22785213046129 ;

U₁₄268160944754060 ;

U₁₅315305329606687 ;

U₁₆37049452950989920.

Nhận xét. Nhiều bạn không đến được
đáp số chính xác vì khơng bit lm tip

1.38 10,

Các bạn đoạt giải kì này là Tạ Đức
Thành, 8A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phú Thọ; Hoàng Minh Thắng, 10A₁, THPT
Phan Bội Châu, TP. Vinh, NghƯ An ;

Ngun Ngäc Long, 7A, THCS hun
Thn Thµnh, Thn Thành, Bắc Ninh ;

Nguyễn Minh Công, 7A₁₁, THCS Giảng Võ,
Ba Đình, Hà Nội.

ts. t duy phng
EXP

EXP

EXP

EXP

B
STO
SHIFT
B

ALPHA

A
ALPHA
A

STO

SHIFT
A

ALPHA

B
ALPHA

B
STO
SHIFT
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

Trong hình học phẳng có mt nh lớ
khỏ ni ting v quen thuc.

Định lí Lyness. Nếu đường tròn ()
tiÕp xóc trong víi ®­êng tròn ngoại tiếp
tam giác ABCvà tiếp xúc với cạnh AB, AC

của tam giác tại Evà Fthì EFđi qua tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác.

Định lí Lyness có một cách mở rộng rất
tự nhiên và hấp dẫn.

Định lí Lyness mở rộng.Nếu đường tròn
() tiếp xúc trong với đường tròn ngoại
tiếp của tứ giác nội tiếp ABCDvà tiếp xúc
với các đoạn OB, OC(Olà giao điểm của

ACvà BD) tại E, Fthì EFđi qua tâm đường
tròn nội tiếp các tam giác ABC, DBC.

chng minh định lí Lyness mở rộng,
ta cần có hai bổ đề.

Bổ đề 1.ABlà một dây của đường tròn
(O). Đường tròn (I) tip xỳc vi on AB

tại Kvà tiếp xúc trong với (O) tại T; KTcắt
(O) tại L(Lkhác T). Ta có

a) Llà trung điểm của cung AB(không
chứa T).

b) LA2LKLT.

Chứng minh.Ta có O, I, Tthẳng hàng
.

T ú, vi chỳ ý rng cỏc tam giác KTI,

LTO theo thứ tự cân tại I, O, ta có
, suy ra KI// LO(hai góc đồng
vị bằng nhau) LOAB(vì KIAB)

Llà trung điểm cung AB(không chứa T).
Suy ra

hai tam giác ATL, KALđồng dạng

LA2LKLT.

 _hay 

LAB LTA LAK LTA

 

TKI TLO

 

KTI LTO

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Bổ đề 2. Điểm M là trung điểm cung

BC(không chứa A) của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Điểm Ithuộc đoạn MA

và thỏa mÃn điều kiện MIMB. Ta có Ilà
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Chứng minh.Vì MIMBnªn ,

suy ra .

Từ đó với chú ý rằng các góc

cïng b»ng , ta cã .

Vậy I là tâm đường tròn néi tiÕp tam
gi¸c ABC.

Trở lại việc chứng minh nh lớ Lyness
m rng.

Gọi () là đường tròn ngoại tiếp tứ giác

ABCD ; T là tiếp điểm cđa () vµ (’) ;

Plà giao điểm của TEvà (’) (Pkhác T).
Theo bổ đề 1, CPlà phân giác của góc

BCD. (1)

Gọi Qlà giao điểm của CPvà EF; Tx

là tiếp tuyến chung cđa () vµ (’).
Ta cã :

Từ đó, với chú ý rằng , ta có
suy ra QFCTlà tứ giác nội tiếp

.

Từ đó, với chú ý rằng , ta có
suy ra PQT PEQ

PQ2PTPEPD2(theo

bổ đề 1)PQPD. (2)
Từ (1), (2), theo bổ đề 2ta có Qlà tâm
đường trịn nội tiếp tam giác BCD. Điều đó
có nghĩa là EFđi qua tâm đường trịn nội
tiếp tam giác DBC.

Tương tự EF cũng đi qua tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Định lí Lyness
mở rộngđã được chứng minh.

Ta thấy kết luận “E, I, F thẳng hàng”
trong bài 4(40)là hệ quả trực tiếp của định
lí này (bạn đọc tự kiểm tra).

Những hệ quả đáng chú ý của định lí
Lyness mở rộng sẽ được giới thiệu dưới
đây.

Hệ quả 1.Tam giác ABCnội tiếp đường
tròn (O), (I_a) là đường tròn bàng tiếp đối
diện với đỉnh Acủa tam giác. (I_a) tiếp xúc
với BCtại D. Các đường tròn (I₁), (I₂) cùng
tiếp xúc trong với (O) ; cùng tiếp xúc với
đoạn DA và theo thứ tự tiếp xúc với các
đoạn DB, DC; ta có các đường trũn (I₁),

(I₂) cú bỏn kớnh bng nhau.

Tác giả của hệ quả 1 chính là nhà giáo
Hạ Vũ Anh, THPT chuyên Vĩnh Phúc.

(Kì sau đăng tiếp)
PQ PE

PT PQ

TQC TEF



TFC TEF

 

TQC TFC

 

 

QFT QCT

 

ETx PTx

  
  

QFT EFT ETx
QCT PCT PTx

 _ _




 


 

CBI IBA



1
2BAC

 _,

CBM IAB

   

CBI CBM IBA IAB  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Solution E16. Denote by x the number
of balls in the bag at first (x is a natural
number, x> 2).

By hypothesis, if one red ball is removed,
then the red balls make up of the balls left.
Hence the number of red balls at first is
. (1)
Similarly, if two blue balls are removed,

of the remaining are red.

So the number of red balls is . (2)
From (1) and (2), we have the equation :

.

Solving this equation, we have : the only
root is x22 (satisfied).

In conclusion, there is a total of 22 balls
in the bag at first.

Nhận xét. Mặc dù đang diễn ra World
Cup, kì này Tịa soạn vẫn nhận được số
lượng bài giải khổng lồ và phải thực hiện
một cơng việc khó khăn là trong những bài
làm đúng chọn ra các bài tốt nhất để khen
thưởng. Đó phải là những bài ngắn gọn,
chính xác về tốn (có đặt điều kiện và kiểm
tra điều kiện), cách diễn đạt tiếng Anh
chuẩn xác (kể cả các chi tiết như dùng a
hay the, is hay are, ...).

Lưu ý một số cách viết không đúng :

“The number of remaining red balls are ...”
(The number of remaining red balls is...) ;

“x is the natural number” (x isa natural
number) ;

“sum of red balls” (total number of red
balls).

Các bạn sau đây có bài làm tương đối tt :

Nguyễn Văn Linh, 7A₁, THCS Nguyễn Đăng
Đạo, TP. Bắc Ninh ; Trần Văn Khang, 8A,
THCS Từ Sơn, huyện Từ Sơn, Bắc Ninh ;

Nguyn Ngc Hnh Chõu, m l H Thị Hà,
Bộ môn Mô phôi, Trường Đại học Y khoa,

TP. Huế, Thừa Thiên - Huế ; Đào Minh
Hằng, chị là Đào Thu Hiền, số 34, ngách
49/46, phố Huỳnh Thúc Kháng, P. Láng Hạ,
Q. Đống Đa, Hà Nội; Hà Thị Phương Hồng,
tổ 19, P. Tân Giang, TX. Cao Bằng, Cao
Bằng ; Nguyễn Thị Lý, Xóm Trại, Vn Lụi,
Tam ng, Mờ Linh, Vnh Phỳc.

ts. ngô ánh tuyết (NXBGD)

1₍ _{1) 1} 1₍ ₂₎
7 x  5 x

1( 2)
5 x
1

5

1( 1) 1
7 x 

1
7

26

lremaining :cịn lại (tính từ)
lmake up :chim (ng t)

lconcyclic : (các điểm) cùng nằm trên

một đường trßn (tÝnh tõ)

lconvex :låi (tÝnh tõ)

lquadrilateral :tứ giác (động từ)
l concyclic quadrilateral : tứ giác nội

tiÕp (danh tõ)

linscribe :nội tiếp (động từ)

Problem E18.

(Proposed by Ngo Anh
Tuyet, Hanoi Education
Publishing House) There are
10 points on the 4 sides of a

rectangle as shown. How
many triangles can be

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

l

Kết quả :

(TTT2 số 40)

Chỉ cần nắm được đặc điểm, công
dụng của mỗi đồ vật có trong Cây mà
không... câylà bạn sẽ sửa đúng bài thơ.
Bài giải đúng kì này nhiều nhưng bài được

trao giải phải là bài viết sáng tạo (Viết tiếp
được vài đồ vật được gọi là “cây”). Ví dụ :

Cây rơm từng sợi vng ti
Cõy bỳt giỳp bn ghi li thy cụ

Cây cầu nèi gi÷a hai bê

Cây súng gìn giữ đất trời q hương
Cây nến tỏa sáng đêm đơng

Cây đàn thánh thót, vang ngân, êm đềm
Cây số báo hiệu xa gần

Cây cột xây dựng phải cần dùng luôn
Cây kem mát lạnh thật ngon
Cây sáo ai thổi véo von ngoài đồng

Cây đèn điều khiển giao thụng
Cõy then ci ca khi khụng nh

Cây văn nghệ chuyên hát ca
Cây chổi em quét sạch nhà sạch s©n.

...

Năm bạn được thưởng kì này là Đỗ
Thanh Bình(con bố Đỗ Minh Tiến), đội 2,
thôn Phương Thượng, xã Lê Hồ, Kim
Bảng, Hà Nam; Nguyễn Ngọc Anh(con

bố Nguyễn Trung Kiên), khu 4, xã Đồng
Xuân, Thanh Ba, Phú Thọ; Nguyễn Văn
Chung(con bố Nguyễn Văn Tấn), đội 5,
thôn Hiệp An, xã Cư An, huyện ĐăkPơ,
Gia Lai ; Cao Thị Hiền Thương (mẹ là
Cao Thị Thoan), xóm 14, Diễn An, Diễn
Châu, Nghệ An ; Dương Khánh Linh,
xóm 11, thơn Minh Khai, xã Đại Tập,
Khoái Châu, Hưng n.

Phú Bình
Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy tìm từ thích hợp để thay thế từ “cày”
trong câu “Cái cày đựng nước có quai”, bằng cách gọi đến số 19001548và làm theo
hướng dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T V2 X Y, trong đó Xlà đáp án của
bạn (các chữ cái viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.

Chúc mừngbạn Nguyễn Trần Quốc Thị Kim Dương, 66/2, khu phố 1, phường Thới
An, Q.12, TP. Hồ Chí Minh (số điện thoại 087173502) đã trúng thưởng cuộc thi trên
TTT2 s 40.

l

Kỡ naứy :

XIN

Đồ vật tên có vần cờ (c)

Đứng nhầm chỗ hết, xin nhờ sửa ngay
Cái cúp còn gäi con quay

Đoạt giải vô địch, nhận ngay cù vàng
Tài xế mua một cặp xăng

Cái ca đựng sách vở mang tới trường
Cưỡi ngựa cần có dây cung

Cái cương giúp nước có đường chảy qua
Cái cống bắn tên đi xa

Cần câu chống đỡ cho nhà thẳng ngay
Cái cày đựng nước có quai

Con trâu đi trước cái còi đi sau
Cái cuốc xay giã giỏi sao
Câu cá phải có cái cân với mồi

Träng tài điều khiển bằng cồng
Quả còng tung ném ngoài trời hội xuân

Cái còn tra tay phạm nhân

Mun nh khi lng dùng can biết liền
Cái cột - nhạc cụ Tây Nguyên
Dây ci nhiu si thộp bn bờn trong

Trăm nhát cót giật vào trong

Cái cáp quây thóc gọn trong góc buồng.
Nông Thị Hà
(35 tổ 17 Quan Hoa, Cầu Giấy, Hà Nội)

NH

SA

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Trần Đăng Khoa :

n tng nht đối với chú là
ngày đầu vào lớp một. Khi ấy Mỹ
bắt đầu mở rộng chiến tranh bằng
không quân ra miền Bắc. Lúc ấy
bom chưa rơi xuống quê chú,
nhưng Quảng Ninh, Hải Phòng,
Hà Nội đã bị bom rồi. Chú nhớ bài
học đầu tiên là thầy dạy bọn chú
cách tránh bom, rồi cách băng bó
vết thương. Bọn chú “thuộc” bài rất
nhanh, thao tác thực hành rất
thuần thục. Buổi học vui lắm, cứ
như chơi trận giả, nên đứa nào
cũng cười. Học trị thì cười, cịn
thầy thì khóc. Vì thầy khơng nghĩ
lại phải dạy các em những bài học
chưa kịp có trong giáo án. Tình
hình như thế là rất nghiêm trọng.
Quả sau đó bom đạn mù trời. Thầy
lên đường nhập ngũ. Lúc ấy thì cả
lớp khóc như có đám ma, cịn thầy
lại cười, lại múa hát và làm trò cho
các em vui. Sau này thầy đã hi
sinh anh dũng khi bắn đến viên
đạn cuối cùng, mở đường máu cứu

đồng đội ở mặt trận. Chú đã làm
rất nhiều thơ về thầy và cũng đã
có lần kể về thầy trên tạp chí Tốn
Tuổi thơ.

Håi líp mét, líp hai, chó rÊt nhớ
thầy, nhớ cô, còn lớn hơn, khi học
THCS, THPT, thì chú lại nhớ bạn

Chú Khoa ơi !

Chỳ cú ấn tượng như thế nào về ngày đầu
tiên đến lớp ? Buổi học đầu tiên của chú như thế
nào ? Còn cháu nhớ nhất hồi học lớp 7A. Đến
năm lớp 8, nhà trường lại chia thành nhiều lớp
như hồi lớp 6, nên chúng cháu rất buồn và nhớ
bạn bè. Tuy chỉ học với nhau một năm nhưng đã
có những tình cảm rất đặc biệt. Giờ đây, mỗi lần
nhớ đến hai chữ 7A, cháu lại nhớ cồn cào, nhớ
da diết. Có lần cháu đã khóc khi nhắc đến nó.
Cháu chỉ biết thả hồn vào những câu thơ để xoa
dịu nỗi nhớ ấy. Cháu viết như thế này, nó là thơ
tuổi học trị. Chú hãy “tham mưu” cho cháu xem
có cách nào lưu giữ được những kỉ niệm khơng ?

Tuổi học trị
Tuổi học trị người nào cũng thế
Biết yêu thương biết quý trọng nhau
Rồi mai từ giã mái trường

Ơn thầy, nhớ bạn vấn vương cõi lòng.
Trần Văn Đức
(8B, THCS Mỹ Phúc, Mỹ Lộc, Nam Định)

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 40)}

TÊN CÁC NƯỚC

l

Kì này :

Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy đốn từ
ở hàng ngang thứ ba từ trên xuống, bằng cách gọi đến số
19001548và làm theo hướng dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109
theo mẫu 3T VA2 X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn (các chữ
cái viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.
Chúc mừng bạn Hồ Thị Thịnh Khương, 12/3A, tổ 5, ấp
Tân Thành, xã Tân Quy Tây, TX. Sa Đéc, Đồng Tháp (số điện
thoại 067762709) đã trúng thưởngcuộc thi trên TTT2 số 40.

- What do you get if you cross a cow
whit an octopus ?

- Something that can milk itself.
Hång B¾c(st)

CƯỜI TRONG VƯỜN ANH

Trên mỗi hàng ngang của ô chữ này

là tên một nước trên thế giới. Bạn s
tỡm c ch ?

Phạm Thành Quốc Huy
(47 Lê Lai, Đà N½ng)

Ô chửừ : HÓA HOẽC

Hình như đối với các bạn học sinh

THCS như chúng mình, Hóa học là mơn
học khá mới mẻ và hơi trừu tượng thì phải !
Có khơng nhiều bạn gửi bài tham dự Vườn
Anh kì này. Trong số đó chỉ ít bạn có đáp
án đúng. Chủ Vườn xin tặng quà cho ba
bạn : Phạm Thị Như Quý, xóm 12, xã
Quỳnh Mĩ, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Đoàn
Xuân Trung, số 51 Dân Lập, P. Dư Hàng

Kênh, Lê Chân, Hải Phòng ; Nguyễn Thị
Tường Vy, s 3A, Yersin, TP. Phan Thit,
Bỡnh Thun.

Chỉ cần học chăm chỉ, bạn sẽ thấy Hóa
học không khó như bạn nghĩ đâu.

Giải nghĩa các từ (từ trên xuống) :
MOLECULE - Phân tử ; HALOGEN - Nhãm
mét sè nguyªn tè phi kim ; REFINE - Läc,
tinh chÕ ; ATOM - Nguyªn tư ; MIX - Hỗn
hợp ; SOLUTION Dung dịch ; METAL

-Kim lo¹i ; ARGON - KhÝ tr¬ agon ;
WATERY - ThĨ láng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

(TTT2 sè 40)
L¸ cê cã giã tung bay

Lá thăm phân định rủi may rõ ràng
Lá chắn phòng vệ che ngang
Lỏ phiu ca c tri mang i bu

Lá thư tình cảm dạt dào

Lỏ n nguyn vng ghi vo gi i
Lỏ buồm giúp thuyền chuyển di
Lá cà giáp trận cận kề tay đơi

Lá bài lúc rỗi cầm chơi
Lá gió đẩy kéo đóng rồi mở ra

Lá mía trong mũi người ta
Lá phổi khụng khớ y ra hớt vo

Lá lách tím, tạo hồng cầu
Lá gan tiết mật, lọc bầu máu qua

Tho dõn nhanh trí đốn ra
Hãy cùng vui vẻ nhận q trẫm trao.
Ban thưởng : Nguyễn Hoài Đức, cháu

ơng Nguyễn Xn Vy, xóm Lương Ninh,
Xuân Đan, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn
Anh Phúc, 7A, THCS Đề Thám, An Khê,
Gia Lai ; Hoàng Lan Phương, số 80 ngõ
75 đường Hồng Hà, phường Phúc Xá, Ba
Đình, Hà Nội ; Nguyễn Thảo Ngọc, số 4,
ngõ 6, tổ 12, Trưng Trắc, TX. Phúc Yên,
Vĩnh Phúc ; Phạm Thị Hồng Nhung, số
1/10, ngõ 162, tổ 41b, phường Kì Bỏ, TP.
Thỏi Bỡnh, Thỏi Bỡnh.

Vua Tếu

l

Kết quả :

Thánh chỉ :

Ngoài cách gửi bài dự thi vỊ t¹p chÝ,

các bạn hãy giải đáp câu “Đồng gì khơng
trước khơng sau tí nào ?”, bằng cách gọi
đến số 19001548 và làm theo chỉ dẫn
hoặc nhắn tin đến số 8109 theo mẫu
3T RC2 X Y, trong đó X là đáp án của
bạn (các chữ cái viết liền nhau, khơng có
dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.

Chúc mừng bạn Nguyễn Hùng Linh,
số 07, ngõ 05, tổ 13, phường Bắc Hà,
TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh (số điện thoại
039858654) đã trúng thưởng cuộc thi
trên TTT2 số 40.

l

Kỡ naứy :

Đồng gì ca hát vui chơi ?
Đồng gì vất vả mới thời làm ra ?

Đồng gì màu mỡ phù sa ?
Đồng gì lịch sử ngà ba oai hùng ?

Đồng gì khăng khít đến cùng ?

Đồng gì người có cùng chung một nghề ?
Đồng gì người ở cùng quê ?

Đồng gì giờ giấc dễ bề biết ngay ?
Đồng gì cùng giúp một tay ?
Đồng gì tươi tốt cấy cày lúa rau ?

Đồng gì tương tự giống nhau ?

Đồng gì khơng trước, khơng sau tí nào ?
Đồng gì lng ly phong tro ?

Đồng gì một tốp cùng vào ngân nga ?
Đồng gì bằng tuổi thôi mà ?
Đồng gì - khái niệm khi ta học hình ?

Trần Thị Thanh Tâm
(8C, THCS Di Trạch, Hoài Đức, Hà Tây)

NG Gè ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Hái :T¹i sao tơi con trai
chóng em lại viết chữ xấu
hơn con gái ? Có phải chỉ số
IQ của con gái cao hơn con
trai không anh ?

Đào Văn Toại
(8D, THCS Lạc Đạo,
Văn Lâm, Hưng Yên)
Đáp :

C gỡ l gỏi hay trai
Ch p nh luyn mit mi,

em ơi !
Xin em hÃy bớt giờ chơi
Chịu khã lun ch÷, ch÷ thêi

đẹp ngay !
Hỏi :Ngày xưa mỗi ngày
hắn tặng em một thanh kẹo.
Từ đó em và hắn thân nhau.
Nhưng sau đó hắn ít tặng
em và đến nay thì mất hẳn.
Em gọi thì hắn vờ khơng
nghe thấy. Anh khuyên em
điều gì đi...

Vũ Thị Mai Uyên

(Phúc Thnh, Kim Thnh,
Hi Dng)
ỏp :

Xưa thì kẹo ngọt ngày ngày
Tình thân bắc bởi cầu này...

rung rinh
Bây giờ kẹo chẳng tới mình
Dẫu thèm thì cũng dứt tình...

cai luôn !

Hỏi : Trong bµi viÕt em
dïng bót xãa chót xÝu cã
sao kh«ng anh ?

Nhóc con Xứ Nghệ
(xin giấu địa chỉ và tên)
Đáp :

Giá như khơng xóa thì hơn
Lỡ xóa chút cũng bình thường,
chẳng sao
Quan trọng là viết thế nào
Dù xóa nhưng phải lọt vào

mắt anh.
Hỏi : Tủ sách Toán Tuổi
thơ có những 4 cuốn cho

Tiểu học mà mới chỉ có 1
cuốn cho THCS. Sao các
anh thiên vị Tiểu học thế ?
Chúng em rất hâm mộ cuốn
“Tuyển tập các đề thi mơn
Tốn THCS”. Chúng em
mong có nhiều cuốn nữa
dành cho chúng em. Liệu anh
có “can thiệp” được không ?
Phạm Thị Ngọc Anh
(9B, THCS An Thanh,

Tứ Kỳ, Hải Dương)
Đáp :

Ước mơ em đã sắp thành
Có tỏm cun na phỏt hnh

đầu năm :
Ôn kiến thức -

Luyện kĩ năng”
Tên hay, sách viết từng trang
tuyệt vời !
Hỏi : Các câu hỏi của
chúng em anh đều trả lời
được , có phải khơng ? Nhỡ
anh khơng trả li c thỡ

sao ?

Nguyễn Thị Thanh Tâm
(7B, THCS Thị trấn Anh Sơn,
Nghệ An)
Đáp :

Bí quá anh hỏi «ng Trêi :
“Tuæi hång hái thÕ xin mêi
«ng xem !
Trời rằng : Trời cũng

chẳng quen
Phó Gỡ mà chịu thì... em

cng hng !
Hi :Mi ngi bo em :
“Khi gửi bài nên gửi chung
một phong bì cho đỡ tn
tin tem. Liu th cú c
khụng anh ?

Nhất Địa Kê Mao
(7C, THCS Lập Thạch,
Vĩnh Phúc)
Đáp :

Li khuyờn y quý nh vng
Giỳp em phi

viêm màng túi... ngay

Phong bì nặng chút vẫn bay
Bài anh vẫn nhận

chng thay i gì.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bài 2(42).Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng :
Trần Xuân Đáng
(THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)

3 3

1 1 1 3 _.

(1 ) (1 ) (1 ) ₍₁ ₎

a b b c c a  _abc _ _abc

Bµi 3(42).Chøng minh r»ng :

Nếu phương trình x2  ax  b  0 có nghiệm thì
nghiệm thỏa mãn |x| < .

Trần Phương Nam
(TP. Mỹ Tho, Tiền Giang)

2 2 ₁

a b 

Bài 4(42).Cho ABCđều. Các điểm M, N, Ptheo thứ
tự thuộc các cạnh BC, CA, AB. Biết S(ANP) S(BMP)

S(CMN). Chøng minh rằng : ANP BPM CMN.
Thái Thị Thanh Hoa
(Khối THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội)

Bài 1(42). Có bao nhiêu số tự nhiên ncó 5 chữ số, thỏa mÃn :
2 là ước cđa n; 3 lµ ­íc cđa n 1 ; 4 lµ ­íc cđa n 2 vµ 5 lµ
­íc cđa n3 ?

Nguyễn Trọng Tuấn
(THPT Hùng Vương, Pleiku, Gia Lai)

English version translated by Pham Van Thuan

1(42). Find the number of natural five
digit numbers nthat has the property that

ndivides 2, n1 divides 3, n2 divides
4, and n3 divides 5.

2(42).Let a, b, cbe positive real numbers,
prove that

3(42).Prove that if the equation

x2axb0 has real root x, then
|x| < .

4(42). Points M, N, and P are chosen
on the sides BC, CA, ABof an equilateral
triangle ABCsuch that S(ANP) S(BMP)

 S(CMN), where S(XYZ) denotes the
area of triangle XYZ. Prove that triangle
(ANP) triangle (BPM) triangle (CMN).
5(42). Prove that if a concyclic convex
quadrilateral is inscribed in an equilateral
triangle of side length 2006, then it’s
impossible that all of its four sides are
greater than 1003.

2 2 ₁

a b 

3 3

1 1 1 3 _.

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

a b b c c   a  abc  abc

Bài 5(42). Chứng minh rằng một tứ giác lồi nội tiếp
trong một tam giác đều có cạnh bằng 2006 thì khơng
thể có cả bốn cạnh đều lớn hơn 1003.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>* Biên tập :</b> Nguyễn Anh Quân, Phan Hương.

<b>* Kĩ thuật vi tính :</b> Đỗ Trung Kiên. <b>* Mĩ thuật :</b> Ngọc Linh.

<b>* Trị sự - Phát hành :</b> Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết
Trang, Mạc Thanh Huyền.

<b>* Địa chỉ liên lạc :</b> số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng,
Q. Cầu Giấy, Hà Nội. <b>* ĐT :</b> 04.5567125.

<b>* Fax :</b> 04.5567124. <b>* Đường dây nóng :</b> 0903436757.

<b>* Website :</b> <b>E-mail :</b> toantt@ fpt.vn

<b>* Giấy phép xuất bản :</b> 31/GPBVHTT ngày 23/1/2003
-Bộ Văn hóa và Thông tin.

<b>* In tại :</b> Công ti cổ phần in Sách giáo khoa TP. Hà Nội.
Nộp lưu chiểu tháng 8 năm 2006.

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc : NGƠ TRẦN ÁI
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập : NGUYỄN QUÝ THAO

<b>NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ BỘ SÁCH MỚI</b>

Sau khi Toán Tuổi thơ 2 số 41 giới thiệu
bộ sách "Ôn kiến thức - Luyện kĩ năng",
nhiều bạn đọc đã điện trực tiếp hỏi tịa
soạn. Tốn Tuổi thơ xin trả lời các bạn :

l Điều gì mới trong bộ sách mới ?
o Các cuốn sách của bộ sách này có

nhiều điểm mới. Cấu trúc mỗi cuốn tuy
bám sát từng chương của sách giáo khoa
nhưng mỗi chương được chia thành các
chủ đề. Trong mỗi chủ đề đều có nhấn
mạnh các kiến thức và kĩ năng quan trọng
được thể hiện qua các thí dụ chọn lọc (hầu
hết khác các bài toán trong sách giáo
khoa). Mỗi thí dụ ngồi việc đưa ra lời giải
cịn có những lưu ý cần thiết về việc phát
triển bài toán và đặc biệt là các sai lầm
thường mắc phải. Mỗi vấn đề đều có thêm
các bài tập tự luyện nhưng chỉ có hướng
dẫn giải hoặc đáp số. Kết thúc mỗi
chương là hai đề kiểm tra (trắc nghiệm và
tự luận) để bạn đọc tự đánh giá. Tập thể
tác giả đề cao tính sư phạm khi thể hiện
nội dung cuốn sách : từng trang sách như

những bài giảng dễ hiểu, các đơn vị kiến
thức đi từ thấp tới cao một cách lôgic, trao
đổi nhiều kinh nghiệm giải toán và dạy
toán, cách viết thống nhất từ lớp dưới lên
các lớp trên.

l Thời điểm phát hành sách ?

o Hai cuốn Đại số 9, Hình học 9 sẽ

phát hành vào đầu năm học và sau đó là
lần lượt các cuốn lớp 8, lớp 7, lớp 6.

l Các địa chỉ phát hành ?

o Tạp chí Tốn Tuổi thơ là đơn vị độc

quyền phân phối cho các đơn vị phát
hành. Bạn đọc có thể mua tại các cửa
hàng sách của các Công ty Sách và Thiết
bị trường học ở địa phương mình hoặc
đăng kí mua tập thể theo đơn vị trường,
Phịng Giáo dục, Sở Giáo dục và Đào tạo.
Các phiếu đăng kí mua tập thể hoặc đăng
kí phát hành xin gửi về :

<b>Tạp chí Tốn Tuổi thơ, số 38 ngõ 61, </b>
<b>Trần Duy Hưng, Hà Nội.</b>

Có thể hỏi thêm mọi chi tiết qua số máy

<b>0903436757</b> hoặc số máy <b>19001548</b>.

</div>

<!--links-->