Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 43

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.17 MB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1 l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 41)

l

Kì này :

lĐể xác định số chữ số 0 tận cùng của A,

ta cần phân tích AB10nB(2 5)n,
trong đó B khơng có ước là 10. Nói cách
khác, ta cần xác định được số thừa số 2 và
số thừa số 5 trong phân tích của Ara thừa
số nguyên tố.

Ta cã A((3!)!)! (6!)! 720!

1 2 3 ... 720.

Mặt khác, từ 1 đến 720 chỉ có các số tự
nhiên là bội của 5kvới 0 < k< 5 :

Số các bội của 54là (cứ 54số
tự nhiên liên tiếp lại có một số như vậy) ;

Số các bội của 53mà không là bội của

54là

Số các bội của 52mà không là bội của
53, 54là

Số các bội của 5 mà không là bội của 52,

53, 54là

Suy ra sè thõa sè 5 trong ph©n tÝch cđa

Ara thõa số nguyên tố là

1 4 4 3 23 2 116 178.
Mặt khác, số các số chẵn trong các số tự
nhiên từ 1 đến 720 là 360 > 178 nên số
thừa số 2 trong phân tích của Ara thừa số
nguyên tố chắc chắn lớn hơn 178.

VËy AB10178hay Acã 178 ch÷ sè
0 tËn cïng.

     
 

720 1 4 23 116.5 
    

 

720 1 4 23 ;52 
   

 

720 1 4 ;53 

  
 
 4 

720 1

5 lsố 5 trong phân tích của Với lời giải trên, ta có thể xác định số thừaA ra thừa số
nguyên tố bằng công thức :

và các bạn có thể phát biểu, chứng minh
cơng thức trên trong trường hợp tổng quát.

l Tuy bµi toán không khó, nhưng còn cã

khá nhiều bạn đã mắc phải những sai lầm
đáng tiếc để rồi đưa ra kết quả chưa chính
xác. Các bạn được thưởng kì này là Nguyễn
Thị Ngọc Huyền, 7A2, THCS II Thị Trấn
Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; Nguyễn
Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ
Lương, Nghệ An ; Lê Thanh Nga, 6A1,
THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phỳc;

Phùng Mạnh Linh, 7A4, THCS Trần Đăng
Ninh, TP. Nam Định ; Lại Đắc Hợp, 7A,
THCS Huyện Thuận Thành, Thuận Thành,

Bắc Ninh.

Anh Compa

   
       
 4   3   2 

720 720 720 720 178

5 5 5

Cho bốn bánh xe A, B, C, Dcó đường kính lần lượt là 12 cm,
36 cm, 9 cm, 27 cm liên kết với nhau bởi các dây cơ-roa và hai
bánh xe B, Cđồng trục (như hình vẽ dưới đây). Các bạn hãy
tính vận tốc quay của bánh xe D, biết rằng bánh xe Aquay với
vận tốc 450 vịng/phút.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2

Bài tốn 1.Cho hai số dương x, ythỏa
mãn xy2. Chứng minh rằng :

x2y2(x2y2) 2. (1)

Lêi gi¶i.

Từ xy2 suy ra x2y24 2xy;
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơ-si, ta
có 2 xy

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy1.

C¸ch 1.Ta cã (1) 2 x2y2(x2y2) 0

2 x2y2(4 2xy) 0

(2)

áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số

dương và vì ta có

Suy ra (2) đúng (1) đúng, đpcm.

Cách 2.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si
cho hai số dương 2xy; x2y2ta có

2xy(x2y2) 4 xy(x2y2) 2, (3)
mµ 0 < xy1 suy ra 0 < x2y2xy1

x2y2(x2y2) 2 (đpcm).

Cách 3.Xét tỉ số

(do 0 < xy1)

(do (3)) x2y2(x2y2) 2.

C¸ch 4.XÐt hiƯu Hx2y2(x2y2) 2

x2y2(4 2xy) 2.

Đặt txy(0 < t1) ta có Ht2(4 2t) 2

2t34t22 2(1 t)(t2t1)

2(1 t)[(t21) t] 0.

H0 suy ra x2y2(x2y2) 2.

C¸ch 5.XÐt biÓu thøc M xy(x2y2)

Mxy(4 2xy) 2(xy)24xyM0.
Nếu coi đây là phương trình bậc hai đối
với ẩn xythì phương trình phải có nghiệm

 ’  0 4  2M  0 M  2 suy ra

x2y2(x2y2) 2 (theo c¸ch 2).

lTõ c¸ch giải bài toán trên ta giải được
các bài toán sau :

Bài tốn 2.Tìm nghiệm dương của hệ

Bài tốn 3.Cho hai số dương x, ythỏa
mãn xya. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức xy(x2y2).

 



 
 2 2 2 2

( ) 2.

x y
x y x y

  2 1


 ( 2 2)

xy x y
T


 2 2 2( 2) :

x y x y
T

   

    

  

2 2 2 2
2 2

2 2

2 2 ( ) 2 ( )

2 2 ( ) 2 4 2

2 ( ) 2

xy x y xy x y

xy x y xy xy

xy x y

    

2 22 2xy 2 2 22 2xy 4xy 4.

x y x y

0 xy 1

2 22 ; 2xy
x y

 2 22 2xy 4 0.

x y

   

2 xy xy 1 xy 1,

Phạm văn vượng
(THCS Nam Thái, Nam Trực, Nam Định)

Vâng ! Các bạn đã làm gì sau mỗi kì thi ? Các bạn có trao đổi,
so sánh lời giải với nhau, trình bày với thầy giáo về bài làm của
mình khơng ? Các bạn có sưu tầm và giải thử các đề thi của các
trường, các tỉnh khác khơng ? Theo tơi, chắc chắn có nhiều bạn
sẽ không bỏ qua cơ hội “ngàn vàng” này, bởi vì việc đó giúp cho
các bạn củng cố và tự đánh giá lại kiến thức của mình.

Sau đây là kết quả của quá trình suy nghĩ về một bài toán trong đề thi tuyển sinh
vào trường THPT của Sở GD-ĐT Hà Nội năm học 2006-2007.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3

(TiÕp theo trang 19)

AD và BC, đồng thời O là trung điểm của

O1O2 ; O2C// O1A// O1A’ ; O2C O1A

O1A’. Suy ra O1A’CO2 là một hình thang
cânnên nội tiếp được đường tròn. Tương tự
như trường hợp 1 ta cũng thu được

suy ra t1// t2.

l B¹n Ngun Ngäc Trung, 9A1, THCS

Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ đưa ra
cách giải độc đáo sau :

Gọi M; N; E; Flần lượt là giao điểm của

AO1vµ DO2 ; BO1vµ CO2 ; AO1 vµ CD;

BO1 và CD. Sau khi chứng minh được
suy ra MN song song,
cách đều ABvà CD, rồi tứ giác O1MO2Nnội
tiếp, dẫn đến các cặp tam giác sau đồng
dạng : O1O2Nvà DAM ; O1CN và O2AM,

suy ra Chøng minh

thu ®ỵc
råi t1// t2.

Cách giải này của bạn Ngọc Trungrõ ràng
là khơng địi hỏi phải xét hai trường hợpnhư
trên. Về giải pháp thì cách này cũng nhằm
đến chứng minh đẳng thức “góc” (8).

l Lêi gi¶i thø ba của bạn Trần Vũ Trung,

nh s 13 ngõ 289, Lê Hồng Phong,
TP. Nam Định, Nam Địnhcũng khá độc đáo,
tuy nhiên chưa hồn chỉnh vì đã xét thiếu
trường hợp ABCD:

Giả sử AB< CD, gọi A’ là điểm đối xứng
của Aqua O1O2và Slà giao im ca AD

và BCthì Sthuộc O1O2. Dựng DF// AO1, F

thuộc O1O2suy ra CF// BO1(bạn đọc tự vẽ
hình). Từ AO1 vng góc với DO2và BO1

vng góc với CO2suy ra CO2DFlà tứ giác
nội tiếp và do đó tứ giác

AO1O2A’ cịng néi tiÕp.

Từ đó suy ra rồi

Gọi H; Klần lượt là giao điểm
của t1và AB; t2và CDthì chứng minh được

vµ

(do O1và O2lần lượt là tâm các đường tròn
nội tiếp của các tam giỏc ADKv BCH).

Suy ra CHAK là

hình bình hµnh vµ CH// AKhay t1// t2.

lĐăng quang trong trận đấu ny chớnh l

hai bạn Đỗ Trung Kiên và Nguyễn Ngọc
Trung vì có những lời giải sáng tạo, ngắn
gọn và chặt chÏ.

Chú thích.Ngồi ba lời giải trên đây, bài
tốn vẫn cịn những lời giải khác, trong đó
có lời giải sử dụng điều kiện (cần và đủ) để
một tứ giác ngoại tiếp được đường tròn,
nghĩa là trong chứng minh khơng sử dụng
gócmà sử dụng độ dài đoạn thẳng. Nếu có
điều kiện thì tơi sẽ giới thiệu tiếp để bạn đọc
thấy được sự phong phú trong việc tiếp cận
một bài toán mới, nhất là những bài toán
haynhư kiểu bài toán thỏch u ny.

Nguyễn Đăng Phất

AKC CHA HCD

 o 

1 90 12

BOC  BHC

 o 

2 90 12
AO D  AKD

 2  1 .

AO D BO C

  1 2 1 2 1 2

O AO O AO’ O CO

 1 2 ,

AO S O AS ’

 

DCE BAF

 2 1 ; 22 ,

DCE O CN BAF O AM

 2  1 .

O AM O CN

  90 ,o

BNC AMD 

  ,
CED FAD

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4 l

Kết quả :

(TTT2 sè 41)

l

Kì này :

Hầu hết các bạn đều phát hiện ra điểm
xuất phát của lời giải sai, đó là ngộ nhận tứ
giác NPRL là hình bình hành, do đã sử
dụng hình vẽ trong trường hợp đặc biệt
-ngũ giác ABCDEđều.

lLời giải ỳng.

Gọi Llà trung điểm của BE, ta có NPLR

là hình bình hành, suy ra K là trung điểm
của PLHKlà đường trung bình của tam

giác PMLHK// MLvà

Mặt khác, MLlà đường trung bình của tam
giác BAEsuy ra ML// AEvà

Vậy HK// AEvà đpcm.

l Cỏc bn c thưởng kì này là Dương
Hồng Hưng, 8B, THCS Lý Nhật Quang,
Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn Thùy Linh,
9A, THCS Đồng Phong, Nho Quan, Ninh
Bình ; Hoàng Phương Thảo, 50/3, Phan
Chu Trinh, TP. Huế, Thừa Thiên - Huế ;

Ngun Minh ViƯt, 9D, THCS Nguyễn Tự
Tân, Bình Sơn, Quảng Ng·i ; Vâ Xu©n
Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam
Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hßa.

Anh kÝnh lóp

1 ,
4

HK AE

1 .
2

ML AE

1 .
2

HK ML

KẾT LUẬN NHƯ THẾ ĐƯỢC KHÔNG ?

ĐIỂM XUẤT PHÁT CỦA LỜI GIẢI SAI

Có một bài toán cùng lời giải như sau :

Bài toán.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Li gii.iu kiện của xđể Pcó nghĩa là

NhËn xÐt :Víi 1 x 5 ta cã

Do đó, với 1 x  5 thì
nờn Pkhụng cú giỏ tr nh nht.

Theo các bạn thì kết luận như thế có được không ?

T quang hng
(THCS Nghĩa Hưng, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)

 28 3  2 5 4  2 0,

P x x x x

2 2

5 4 (4 )(7 ) 0 suy ra 5 4 0 ;

28 3 (4 )(7 ) 0 suy ra 28 3 0.

x x x x x x

        

        

       

 

    


  



  


      


2
2

28 3 0 (4 )(7 ) 0

(1 )(5 ) 0

5 4 0

4 7 1 5.

1 5

x x x x

x x

x x

 28 3  2  5 4  2.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

5 l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 41)

v

Kì naøy :

Đây là bài làm của em Nguyễn Thị
Tường Vy, 3A, Yersin, Phan Thiết, Bình
Thuận:

Sáng nay mua Toán Tuổi thơ
Về nhà ngồi đọc, mong chờ bài đăng

IQ bốn mốt (41) hơi căng

Nhỡn cỏc n thc lng nhng làm sao
Số mũ từng ẩn nháo nhào

Quy luËt bÝ mËt thế nào ở đây ?
Nghĩ đi, nghĩ lại... ngất ngây
Ai ngờ lóe sáng ở giây cuối cùng :

Bc tng n thức lại chung
Con số 11 chân dung rõ ràng

ThÕ lµ lời giải nhẹ nhàng

Phng ỏn 2 chn ! Bỏc Quang chắc... cười !

Ngoài bạn Tường Vy, TTT cịn thưởng
cho các bạn : Nguyễn Văn Bình, tổ 8 khu
phố II, thị trấn Hà Lam, Thăng Bình, Quảng
Nam; Hà Thị Thanh Bình, số 10 Bảo Quốc,
TP. Huế, Tha Thiờn - Hu. c bit, bn

Vũ Văn Duy, xóm 3, ViƯt Hång, Thanh Hµ,

Hải Dương, sau bài giải bạn có viết : “Bác
Quang ơi ! Tuy cháu giải mục này đúng
nhiều lần nhưng chưa được thưởng lần nào.
Nếu lần này được thưởng, cháu nhờ bác
chuyển phần thưởng của cháu tới Quỹ nạn
nhân bị chất độc màu da cam, được không
ạ ? Cháu cảm ơn bác nhiều !”. Bác đọc
xong, cảm động quá ! Bác vẫn cứ gửi phần
thưởng đến tận tay để cháu trực tiếp thc
hin hnh ng ngha hip ca mỡnh nhộ !

Nguyễn Đăng Quang

Bạn chọn hình nào thay vào dấu chấm hỏi để hợp lơgic ?

Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy gọi đến số 19001548và làm theo
chỉ dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T IQ2 X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn ;

Ylà số người có đáp án đúng.

Chúc mừngbạn Phạm Thị Phương Nhung, mẹ là Phạm Thị Thu Dung, Ban Tuyên giáo
Tỉnh ủy Gia Lai (số điện thoại 0902157439) đã trúng thưởngcuộc thi trên TTT2 số 41.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

6 SO SÁNH HAI BIỂU THỨC

QUA BIỂU THỨC TRUNG GIAN

u u u u u u u u u u u u u u u u u u

Trong thực tế cuộc sống, chúng ta cũng
đã thấy được tầm quan trọng của yếu tố
trung gian và việc lựa chọn được yếu tố
trung gianphù hợp cho từng trường hợp, đối
tượng cụ thể. Nhân dịp TTT2 số 42 đề cập
đến một dạng toán so sánh biểu thức trong
sách giáo khoa, tôi muốn nhắc lại với các
bạn một phương pháp quan trọng để so
sánh giá trị của hai biểu thức, đó chính là
phương pháp xét biểu thức trung gian. Mời
các bạn hãy theo dõi các ví dụ sau.

VÝ dơ 1.Với mọi số tự nhiên n2, hÃy so

sánh với 1.

Lời giải.

Cách 1.Do với mọi n2 nên

Mặt khác,

Vậy A< 1.

Cách 2. Do với mọi n 2
nên

Mặt khác,

Vậy A < 1.

Nhn xột. Hai cỏch giải trên đều chọn
được biểu thức trung gian có thể so sánh
trực tiếp được với biểu thức A và so sánh
được với 1 chỉ qua các bước biến đổi khá
đơn giản và quen thuộc.

Trong bài toán cụ thể này, rõ ràng cách 2

ngn gn và đơn giản hơn cách 1, tuy nhiên
nếu bài toán bắt so sánh Avới thì đương
nhiên khơng thể dùng được cách 2.

VÝ dơ 2.Víi mäi sè tù nhiªn n2, hÃy so
sánh

Lời giải.

Cỏch 1.Tng t cỏch 1ca vớ d 1, ta cú

Mặt khác, 1 1 2

2n1 2 n1 (2 n1)(2n1)

21 21 ... 12 .

2 1 4 1 (2 ) 1

P Q

    

  

2 2 2 2

1 1 1 ... 1 víi .1
2

2 4 6 (2 )

    

3
4

1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1 2 2 3 3 4 1

1
1 1.
C
n n
n
        

  

1 1 1 ... 1 .

1 2 2 3 3 4 ( 1)

A C
n n
     
   
2
1 1

(n 1)n

n  

1 1 1 ... 1

1 3 2 4 3 5 ( 1)( 1)

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

2 1 3 2 4 3 5 1 1

1 1 1 1 1 1 3 3 1.

2 2 1 2 2 4

B
n n
n n
n n
    
    
 
          
 
 
 
        

 

21 21 21 ... 21 .

2 1 3 1 4 1 1

A B

n
     
   
2 2
1 1
1

n  n 

2 2 2 2

1 1 1 ... 1

2 3 4

    

2 2 2

nªn 2 ...

1 3 3 5 (2 1)(2 1)

n n

   

   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

7

Suy ra

Cách 2.Thử nghĩ đến việc sử dụng kết
quả trong ví dụ 1ta biến đổi Pnhư sau :

Suy ra

Nhận xét. Cách 2 trong ví dụ 1 là một
lựa chọn tốt, nhưng áp dụng vào ví dụ 2thì
sẽ là một cơng việc khó khăn. Khi ú ta cú

và ta phải so sánh Rvới

Như vậy, việc chọn biểu thức trung gian
cơ bản phải thỏa mÃn được những điều
kiện thn lỵi cho viƯc rót gọn, so sánh
hoặc gắn kết được với biểu thức cần so
s¸nh ...

Qua các ví dụ trên, phần nào chúng ta
thấy được yêu cầu và lợi thế của phương
pháp sử dụng biểu thức trung gian trong bài
toán so sánh giá trị hai biểu thức. Chúc các

bạn thành công và để kết thúc, đề nghị các
bạn thử làm bài tập sau :

H·y so s¸nh :

1 3 5 7 ... 999999 vµ 1 .
2 4 6 8    1000000 1000

1 .
2

1 1 1 ... 1

1 2 3 4 5 6 (2 1) 2

P R

n n

     

    

1 (1 1) 1.
2
2

P  

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2

1 1 1 ... 1

2 4 6 (2 )

1 1 1 1 1 ... 1

2 2 3 4

1 (1 ).
2

n
n
A

    

 

       

 

 

1 .
2

P Q 

1 1 1 1 1 ... 1 1

1 3 3 4 5 2 1 2 1

1 1.

2 1

n n

      

Sản phẩm mới của Hồng Hà

Giỳp nhau rất dễ nhận ra cùng trường

Mọi người chắc đã tỏ tường

Gọi tên sản phẩm u thương đó là :

§ång phơc häc sinh Hång Hµ

Vải tốt, kiểu dáng thật là dễ thương.

Kì này có rất nhiều bạn tham gia giải
câu đố. Tất cả đều trả lời đúng đáp án.
Hồng Hà xin tặng quà cho các bạn trả lời
bằng thơ hay nhất : Nguyễn Thị Hà, Bưu
điện Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ; Lê Thị
Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái
Thụy, Thái Bình; Hồng Văn Đơng, xóm 1,
Xn Sơn, Đơ Lương ; Hồng Thu Phương,
mẹ là Nguyễn Thị Dương, giáo viên THCS
Đông Sơn, Đô Lương ; Trần Thái Sơn, bố
là Trần Thanh Biên, xóm 7, xã Nghi Hoa,
Nghi Lộc, Nghệ An; Phạm Kiều Linh, 140
Trưng Trắc, Phúc Yên ; Lê Thái Sơn, khu 2,
xã Tề Lỗ, Yên Lạc ; Nguyễn Thị Ngọc, 7A1,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ;

Trịnh Việt Hùng, xóm 5, Thọ Trường, Thọ
Xuân ; Lê Thị Mai Phương, số nhà 01
đường 30 tháng 4, tiểu khu 4, Thị trấn Hà
Trung, Hà Trung, Thanh Hóa ; Đỗ Kiều
Linh, đội II, xóm 4, thơn Tảo Khê, xã Tảo
Dương Văn, ứng Hòa, Hà Tây; Kiều Hồng

Vân, tổ 2, khối 8, Bắc Hồng, Hồng Lĩnh,
TX. Hà Tĩnh ; Ngô Thu Hường, số 31, Hà
Huy Tập, P. Nam Hà, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh;

Ngun ThÞ Mü Linh, 48D/212, Đà Nẵng,
Ngô Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn Diệu
Thắm, Đông Lễ, Đông Tảo, Khoái Châu,

Hng Yờn ; Nguyn Kiu My, con bố
Nguyễn Văn Thức, Ban Dân vận Tỉnh ủy
Quảng Ngãi, 146 Lê Trung Đình, TP. Quảng
Ngãi, Quảng Ngãi ; Trần Hoàng Phương
Thảo, 50/3 đường Phan Chu Trinh, TP. Huế,

Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Đình Cương,
mẹ là Nguyễn Thị Xuân, số 6 Tống Duy
Tân, phường Ngọc Châu, TP. Hải Dương,

Hải Dương.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

8

ThS.NGUYÔN V¡N NHO (NXBGD)

Trong số này, chúng tôi tiếp tục giới thiệu với các bạn một số
bài tốn ở vịng 1 của cuộc thi này trong các năm 1990, 1991,
1992, phù hợp với kiến thức của học sinh khá giỏi THCS nước ta.
Hi vọng các bạn có thể giải được chúng !

Bµi 1.(Problem 3, 1990)

Giả sử rằng số nguyên tố pcó thể viết được thành hiệu hai lập
phương của hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng
khi đem 4p chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư đi thì sẽ nhận được
số là bình phương của một số nguyên lẻ.

Bµi 2.(Problem 1, 1991)

Chứng minh rằng tổng các bình phương của msố tự nhiên liên
tiếp khơng thể là số chính phương, với m {3 ; 4 ; 5 ; 6}. Khi

m11, hãy cho một ví dụ để chứng tỏ tổng các bình phương của

msố tự nhiên liên tiếp là số chính phương.

Bµi 3.(Problem 3, 1991)

Khi số 1 có thể viết được thành tổng của Nphân số Ai Cập
khác nhau từng đôi một, ta nói N là số chấp nhận được

(acceptable). Hãy chứng minh rằng mọi số nguyên dương Nđều
chấp nhận được, với N3.

Chú thích (của người biên tập). Phân số Ai Cập là phân số
có tử số bằng 1. Như vậy, ta có thể phát biểu bài toán theo cách
khác : Chứng minh rằng số 1 có thể được phân tích thành tổng
của N phân số Ai Cập khác nhau từng đôi một, với N là số
ngun dương bất kì.

Bµi 4.(Problem 2, 1992)

Cho một số nguyên dương. Ta lập số mới bằng cách nhân các
chữ số của số đó. Q trình này được lặp lại nhiều lần cho đến
khi số nhận được là số có một chữ số. Lúc đó, ta nói chữ số sau
cùng này là căn chữ số (digital root) của số nguyên dương đã
cho.

VÝ dô :24378 1344 48 32 6. VËy 6 là căn chữ số
của 24378.

Chng minh rng nu s ngun dương ncó căn chữ số bằng
1 thì nphải có tất cả các chữ số bằng 1.

gIèI THIỴU

Ỵ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

9 CUỘC THI OLYMPIC TỐN QUỐC GIA AI-LEN

Bµi 1.(Problem 3, 1989)

Xét trường hợp tam giác ABCcó
các điểm A và D nằm cùng phía đối với
đường thng BC.

Khi ú

Mặt khác, suy ra

(pcm).

Cỏc trường hợp khác chứng minh tương tự.

Bµi 2. (Problem 9, 1989)
Đáp số :1868 ; 2307.

Gi nm cn tỡm l Khi đó :
10ab10cd10bc

suy ra 9(b c a)  a da d là bội
của 9 adchỉ có thể bằng 9 hoặc 18.

Nếu a 1 thì d 8 và bc 2, suy ra
năm cần tìm gần nhất và trước năm 1978
là năm 1868.

Nếu a 2 thì d 7 và bc 3, suy ra
năm cần tìm gần nhất và sau năm 1978 là
năm 2307.

Bài 3.(Problem 12, 1989)Gọi các đỉnh
của hình vng Slà M, N, P, Qtrong đó A,

B, C, Dlần lượt thuộc các cnh NM, MQ,

QP, PN(các bạn tự vẽ hình).

Đặt NAa, MBb, QCc, PDd.

Khi đó, theo định lí Py-ta-go ta có :

AB2BC2CD2DA2(b2(1 a)2) 

(c2 (1 b)2)  (d2(1 c)2)  (a2(1

d)2) 4 2(a(1 a) b(1 b) c(1 c)

d(1 d)).

Từ đây ta có điều phải chứng minh (áp
dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai s dng
cú tng bng 1).

Bài 4. (Problem 4, 1990)Đặt :

Gi¶ sư

ngun dương với mngun
dương, suy ra k2mk1 0

(vỡ kdng)

Do là số vô tỉ nên 8n4m312m

hay

Đảo lại, giả sử tồn tại số nguyên dương

m thỏa mãn đẳng thức khi

đó suy ra

VËy ta có điều phải chứng minh.

3 2 2
2 3 3

8 8 1

(4 12 ) (4 4) 4

( 4) 8 .

n n

m m m m

m m k k m

  

    

      

   

2 2 2

8 n 1 (4m 4) m 4,

( 3) ,
2

m m

n 

( 3) .
2

m m

n 



2 1
n

       

    

2 3 2 3
3 2 2

8 8 1 8 ( 4)

(4 12 ) (4 4) 4.

n n k m m

m m m m

2k m  m24
1

k m

  

    

3n n2 1 3n n2 1
3 2 1 1 3 2 1.

k n n n n

       

abcd

   

DEA ACB ABC

 

DEB DEC

      .

ACB AEB DEB DEA

      ;

ABC AEC DEC DEA

  ;

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

10 Hướng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10,

THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khieõm, tổnh Vúnh Long,

naờm hoùc 2005-2006

(Đề đăng trên TTT2 số 42)

Bài 1.Có thể tính trực tiếp hoặc rút gọn A:

Với x8, ta tính được

Bi 2.a) Vi m0, phương trình trở thành

x22x3 0, có hai nghiệm là 1 ; 3.
b) Phương trình

x22(m1)xm3 0 (1)
cã ’ (m1)2(m3) m23m4

với mọi m nên phương
trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2phân biệt.

c) Theo định lí Vi-ét ta có x1x22(m1)
và x1x2m3, suy ra mx1x23

x1x22(x1x23 1)

x1x22x1x24 (hệ thức giữa x1, x2

không phụ thuéc m.

d) x1 x2x1x22

2(m1)0 m1.

Bài 3.Gọi vận tốc của ca nơ khi đi ngược
dịng là xkm/h, suy ra vận tốc của ca nơ khi
đi xi dịng là x5 km/h. Ta có

Phương trình có hai nghiệm là 10 và 11,
thử lại đều thỏa mãn. Vậy vận tốc lúc ca nô
đi ngược dịng là 10 km/h hoặc 11 km/h.

Bµi 4.Ta cã suy ra

Bài 5.

a) Dễ thấy nên DMBIlà

tứ giác nội tiếp.

b) Ta lại có suy ra BI// AD

(cïng vu«ng gãc víi CD).

c) Từ giả thiết ta có M đồng thời là trung
điểm của AB và DE suy ra ADBE là hình
bình hành AD// BEI, B, Ethẳng hàng
vì theo câu b) thì AD// BI.

Bµi 6.

  90o
ADC BIC 

  90o

DMB DIB 

        

  

   

  

2 2 2

a a b b c c a b c

b c c a a b

a b c

b c c a a b

 

       

  

 

(a b c) a b c a b c

b c c a a b

  

   1

a b c

b c c a a b

     

 2

48 22 1 21 110 0.

5 x x

x x

 

    

 

3 7 0

2 4

10.

 

  



  

  

  

2
2

4 4 ( 8 16)

( 2) ( 4) | 2 | ( 4)

( 4)( 4) 4

x x

A x x

x x x x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 (Vòng 2),

KHỐI THPT CHUYÊN, ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HAØ NỘI

Năm học 2006-2007 ; Thời gian : 150 phỳt

Câu 1.(2,5 điểm)

Gii phng trỡnh

(3x4)(x1)(6x7)26.

Câu 2.(1,5 điểm)

Tỡm tt cả các cặp số nguyên khụng
õm x, ytha món phng trỡnh

(y1)4y4(x1)2x2.

Câu 3.(1,0 điểm)

Gi s x1v x2là hai số nguyên dương
đã cho ; a và b theo thứ tự là trung bình
cộng và trung bình nhân của x1và x2. Biết
rằng tỉ số là một số nguyên dương.
Chứng minh rng x1x2.

Câu 4.(4,0 điểm)

Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cắt
nhau tại hai điểm A, B. Biết rằng (C1) có
tâm O1và bán kính r11 cm ; (C2) có tâm

O2và bán kính r2 2 cm ; AB1 cm và

hai điểm O1, O2 ở hai phía của đường

thẳng AB.

Xột ng thẳng (d) qua A, cắt (C1) và
(C2) lần lượt tại các điểm M và Nsao cho

A n»m trong đoạn MN. Tiếp tuyến của
(C1) tại Mvà tiếp tuyến của (C2) tại Ncắt
nhau tại điểm E.

1) Chứng minh rằng tứ giác EMBNlà tứ
giác nội tiếp.

2) Tớnh dài các cạnh của tam giác

AO1O2.

3) Chøng minh r»ng

cm.
4) Gi¶ thiết thêm rằng ba điểm A, B, E

thẳng hàng. Chứng minh rằng (d) là
đường phân giác ngoài của .

Câu 5.(1,0 điểm)

Cho X l một tập hợp gồm 700 số
nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số

không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong
tập hợp X ln tìm được hai phần tử x, y

sao cho xythc tËp hỵp E{3 ; 6 ; 9}.

1 2

O AO

2EM EN 4( 3 15)

a
b

a) Hai tam giác AMDvà CDNđồng dạng
theo trường hợp g.g vì có (so

le trong) vµ Suy ra

CDADAMCN.

Mặt khác, dễ thấy ADClà tam giác đều
nên ACADCD, suy ra AC2AMCN.

b) Ta cũng có tam giác ABClà tam gi¸c

đều nên Mặt khác,

AC2  AMCN nên hai tam giác MAC và

ACN đồng dạng theo trường hợp một cặp
góc bằng nhau có hai cạnh bên tương ứng
tỉ lệ. Suy ra

AEBC lµ tứ giác
nội tiếp.

c) Từ câu b) suy ra Ethuộc cung nhỏ AB

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


AEC ACB ABC  

    
AEC ANC ECN ACM ECN   

 

ACM ANC

  60 .o

ACB BAC 

  120 .o

ADM MNC 

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

12 l

KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(41). Cho x, y, z là các số thc
dng tha món iu kin

Tìm giá trị nhỏ nhất cña x yz.

Lời giải. áp dụng bất đẳng thức cô-si
cho các số dương ta có

(1)
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2)
đồng thời trở thành ng thc

kết hợp với giả thiết ta

suy ra

Vậy xyzđạt giá trị nhỏ nhất là 1.

Nhận xét. Cách phân tích để áp dụng
bất đẳng thức Cơ-si trong bài tốn này khá
quen thuộc, các bạn giải đúng đều làm như

trên. Sau đây là các bạn có lời giải gọn nhất :

Hoµng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy
Thông, Ân Thi ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS
Tăng Bạt Hổ, Hoài Ân, Bình Định; Lê Anh
Công, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc ; Lê
Văn Tuấn, 8C, THCS Lê Thánh Tông, Thọ
Xuân, Thanh Hãa ; Vâ Xu©n Minh, 81,
THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam
Ranh, Khánh Hòa; Nguyễn Ngäc Huy, 7A,

THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải
Phòng ; Tạ Quang Trung, 8A, THCS Đại
Thịnh, Thường Lệ, Mê Linh, Vĩnh Phúc; Lê
Duy Tùng; Lê Hồng Thiện; Nguyễn Hoàng
Phương, 9E, THCS Chu Văn An, Eakar,

Đắk Lắk.

Nguyễn anh quân
Bài 2(41).Chứng minh 321224681
chia hết cho 1930.

Lời giải.Đặt A321224681

(37)3(28)338281

(37)3(28)313337(2)8(1).

ỏp dng hng ng thc quen thuc :

a3b3c33abc

(abc)(a2b2c2abbcca), (1)

ở đây a37, b 28, c 1, suy ra Achia
hÕt cho 37281 1930.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Nhận xét.Một số bạn học sinh do không
liên hệ đến hằng đẳng thức (1) nên có lời
giải dài hơn (phân tích 1930  25193 và
xét phần dư của các số 2n, 3n(n *) khi
chia cho 5, chia cho 193). Các bạn có lời
giải tốt là Triệu Thị Quỳnh Mai, 7A3, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Lê Thị
Tuyết Mai; Nguyễn Thị Ngọc; Phùng Ngọc
Quý, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh
Phúc ; Hoàng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê
Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Trần Việt
Cường; Trần Phương Thảo, 7C, THCS Thị
Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Phạm
Quang Thịnh ; Phan Long Tri Yên, 7H,
THCS Hùng Vng, TP. Tuy Hũa, Phỳ Yờn;

Đỗ Thị Thùy Linh, 6A6, THCS Đồng Nai,
Cát Tiên, Lâm Đồng.

Nguyễn Minh Đức

16 ; 4 ; 1.

21 21 21

x y z

 3  4

x xy xyz

  4 ,
4

x y z

   

        

   

      

1 2 1 4

2 2 3 4

4 ( ) 1.

x x

x y y z

x y z x y z

  3

3 x xy xyz

 

       

 

3 3 4 1 4 .

4 3 4

x x

xyz y z y z

 

     

 

2 2 ;

2 2 2

x x

xy y y

 3 4 .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

13

Bài 3(41). Tìm nghiệm nguyên dương
của phương trình :

Lời giải.Với a, b, c, ddng, ta cú

Mặt khác :

2(a2b2c2 d2ab ad bc cd)

(abc d)2a2b2c2d22ac

2bd(ac)2(bd)20. (3)
KÕt hỵp (2) vµ (3) ta suy ra F2. (4)
Đẳng thức xảy ra ac, bd.

áp dơng víi a  2005, b  x, c y,

d2004 ta có

Đẳng thức xảy ra y2005, x2004.

Kt luận :Phương trình (1) có nghiệm (x; y)
ngun dương duy nhất là (2004 ; 2005).

Nhận xét. Các bạn có lời giải tốt là Lê
Phương, 8A6, THCS Ngô Sĩ Liên, TP. Bắc
Giang, Bắc Giang ; Vũ Thị Thu Hà, 8A,
THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc;

TrÇn Thu Thđy, 8A4, THCS Trần Đăng
Ninh, TP. Nam Định, Nam Định ; Nguyễn
Văn Tuân, 8/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách ;

Nguyễn Sơn Tùng, con bố Nguyễn Văn

c, thôn Nghĩa Xã, Đại Đồng, Tứ Kỳ, Hải
Dương; Nguyễn Thị Trang, 8B, THCS Nam
Hưng, Tiền Hải, Thái Bình ; Hồng Tiến
Dũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc,

Thanh Hóa ; Lê Công Minh, 7A, THCS
Bình An, Can Lộc ; Nguyễn Trung Thành, 8B,
THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ;

Phm Vit Hựng; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS
Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Nguyễn
Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ
Lương, Nghệ An; Huỳnh Văn Nhật Huy, 61,
THCS Nguyễn Tri Phương, TP. Huế, Thừa
Thiên - Huế; Đào Lê Vy, 8A1, THCS Tăng
Bạt Hổ, Hồi Ân, Bình Định.

Ngun Minh Đức
Bài 4(41). Cho tam giác vu«ng ABC

( ), BCa, ACb, ABc. Gọi hclà
độ dài đường cao của tam giác đó kẻ từ C.

Chøng minh .

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải. Do tam giác ABC vuông tại C

nên c2a2b22ab, hay .

Ta nhận thấy abchc(2SABC), suy ra
Do đó

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

        

 

  

( ) ( )

2 2 2 2( 2 1).

a b c a b c c a b c c

h ab ab

ab ab ab

ab
.

c ab
h
c
2


c ab
2(1 2)
c
a b c

   
 90o

C

2005 2004 2.

2004 4009 2005

   

 x y 

x y y x

2 2 2 2
2

4( ). (2)

( )

      



  

a b c d ab ad bc cd

a b c d
2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

1( ) 1( )

4 4

(theo bất đẳng thức ( ) )
4
    
   
   
     
   

   
     
  
   
     
 
     
 

a b c d

b c c d d a a b

a c b d

b c d a c d a b

a d a c b c b a b d c d

b c d a c d a b

a c ad bc b d ab cd

b c d a c d a b

xy x y

2005 2004 2. (1)

2004 4009 2005

   

 x y 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

14

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abhay
tam giác ABCvuông cân tại đỉnh C.

Nhận xét. 1) Từ bài toán trên, bạn Đỗ
Việt Hùng, số nhà 11, ngõ 1/1, đường
Trường Chinh, TX. Phủ Lý, Hà Namđã đề
xuất và giải đúng bài tốn mạnh hơn : “Cho
tam giác ABCcó ; BCa, ACb,

AB  c ; R, rlần lượt là bán kính của các
đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp. Chứng minh

”.

Lu ý : .

2) Ngoài bạn Hùng, các bạn sau có lời
giải đúng và gọn : Nguyễn Hữu Thanh, 8A3,
THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ;

Nguyễn Văn Tú, 9B, THCS Lập Thạch ; Lê

Sơn Hải, 9B, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh
Phúc; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần
Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng; Nguyễn
Lâm Phúc, 8A, trường Hà Nội - Amsterdam,

Hµ Néi ; Đoàn Thu Hà, 9A3, THCS Chu
Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yªn ;

Nguyễn Duy Cường, 24D Tam Giang, P. Trần
Hưng Đạo, TP. Hải Dương, Hải Dng ;

Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy
Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Nguyễn Mạnh
Quyết, 9A2, THCS Trần Đăng Ninh, TP. Nam
Định, Nam Định ; Hoµng TiÕn Dịng, 7A ;

Lê Anh Cơng, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu
Lộc, Thanh Hóa; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS
Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Cao Thị
Thanh Hoa, 8C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn
Châu ; Dương Hồng Hưng, 8B, THCS Lý
Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Nguyễn
Quốc Đạt, 91, THCS Kim Đồng, Q. Hải
Châu, TP. Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Phạm
Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương,
TP. Tuy Hòa, Phú Yên ; Đào Lê Vy, 8A1,
THCS Tng Bt H, Hoi n, Bỡnh nh.

Nguyễn Văn Mạnh

Bi 5(41).Cho tam giác ABCcó .
Đường trịn tâm O nội tiếp tam giác ABC,
tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BClần lượt
tại các điểm D, E, F. Đường thẳng DEcắt
các đường thẳng BO, CO lần lượt tại các
điểm N, M. Tính diện tích tam giác MNF

theo diƯn tÝch tam gi¸c ABC.

Lời giải. (của bạn Phan Long Tri Yên,
7H, THCS Hùng Vương, Tuy Hòa, Phú Yên)
Trong lời giải này, kí hiệu S(.), r(.) lần lượt
chỉ diện tích, bán kính đường trịn nội tiếp
của tam giác.

Trường hợp 1 : AB  AC. Ta có ABC

đều, dễ thấy S(FMN)  S(ABC), bạn đọc
tự kiểm tra.

Trường hợp 2 :ABAC.

Vì ; ADAEnờn ADEu

DMOBlà tứ giác nội tiếp

. (1)

Mặt khác , suy ra

BDOFlà tứ giác nội tiếp BDMOFnội tiÕp
. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra NMF B  .

  

  

B
FMO FBO

  ( 90 )o
BDO BFO 
  

  

B
NMO DBO

    
  

o o

60 (v× 120 )

2 2

B C

ADE B C

OBC OCB MOB

    

  

 60o
A

1
4

 60o
A

;

2 2

c a b c

R r   

(2 2)( )

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

15

Tương tự, ta có .
Vậy FMN ABC(g.g), suy ra

. (3)
Dễ thấy hai tam giác này đều có Olà tâm
đường trịn nội tiếp. Gọi Hlà hình chiếu của

Otrªn FM, suy ra r(FMN) OH

(v× )

 . (4)

Tõ (3) vµ (4) suy ra .

Nhận xét.1) Bài tốn này khơng khó, có
30 bạn tham gia giải v u gii ỳng.

2) Xin nêu tên một số bạn có lời giải tốt :

Nguyễn Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Thị Ngäc
Mai, 9A, THCS Yªn Phong, Yªn Phong,

Bắc Ninh; Hồng Lan Phương, 9D, trường
Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Hoàng Văn

Sáng, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Kiến
Xương, Thái Bình ; Vũ Thanh Tú, 9A2,
THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương.

Ngun Minh Hµ

( ) ( )

S FMN  S ABC
2

( ) 1

( ) 4

r FMN
r ABC

  

 

 

 1 1 30o

2 2

HFO MFN  BAC 

( ) 1

( ) 2

r FMN OH
r ABC OF

  

( ) ( )

S FMN r FMN
S ABC  r ABC 

 

MNF C

Thi giaỷi toaựn qua thử

Các bạn được thưởng kì này

Phan Long Tri Yên, 7H, THCS Hùng
Vương, Tuy Hòa, Phú Yên ; Nguyễn

Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS
Tăng Bạt Hổ, Hồi Ân, Bình Định ;

Hồng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê Hữu
Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Nguyễn
Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn,
Hồng Bàng,Hải Phòng; Hồ Hữu Quân,
8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,

Nghệ An; Đỗ Việt Hùng, số 11 ngõ 1/1,
đường Trường Chinh, TX. Phủ Lý, Hà
Nam ; Lê Phương, 8A6, THCS Ngô Sĩ
Liên, TP. Bắc Giang, Bắc Giang ; Vũ
Thị Thu Hà, 8A, THCS Vĩnh Tường,
Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị
Ngọc Mai, 9A, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh; Hoàng Lan Phương,
9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội;

TrÇn Thu Thđy, 8A4, THCS Trần Đăng
Ninh, TP. Nam Định, Nam Định.

Vỡ giỏ vt tư và cước vận chuyển tăng,
được sự đồng ý của cơ quan quản lí, kể
từ tháng 10-2006, giá bán lẻ Tạp chí
Tốn Tuổi thơ 2 ra ngày 15 hàng tháng
sẽ là 3000 đồng(ba nghìn đồng) / số.

Rất mong bạn đọc xa gần thơng cảm

và tiếp tục ủng hộ Tạp chí.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

16

Đêm qua, Sở Công an thành phố đã phá
một đường dây buôn lậu đồ trang sức. Qua
xét hỏi, công an biết được bọn buôn lậu
đang cất giấu tang vật ở một thị trấn nhỏ ở
ngoại ô. Biết đây là những tên tội phạm rất
khôn ngoan và gian giảo nên cơ quan công
an đã nhờ thám tử Sê-Lốc-Cốc đi cùng với
hai chiến sĩ trinh sát Triệu Ngôn và Vũ Hân
đến thị trấn này để tiếp tục điều tra.

Tranh thủ từng giờ từng phút, với quyết
tâm khơng để bọn chúng tẩu thốt, nên 5
giờ sáng hôm sau, thám tử Sê-Lốc-Cốc
cùng hai chiến sĩ đã tới bến xe thị trấn.
Ngay lập tức, Triệu Ngôn phát hiện hai tên
trong đường dây buôn lậu đang bình thản
đi dạo trong vườn hoa phía bên phải bến
xe. Vũ Hân nhận xét :

- Có lẽ chúng đang muốn thủ tiêu tang
vật trước khi rời khỏi đây. Cấp trên báo là
đêm qua chúng nghỉ tại một khách sạn nhỏ
và vừa rời khách sạn lúc 4 giờ 30 sáng nay.
- Như vậy là chúng rời khách sạn khi trời
cịn tối, mới cách đây có nửa tiếng - thám
tử nói.

Triệu Ngơn bước nhanh đến trước mặt
hai tên buụn lu :

- Đừng diễn kịch nữa, các anh hÃy mau
giao nép hµng lËu !

Nhng, thËt bÊt ngê, mét trong hai tên
lại hất hàm hỏi :

- Anh ựa y ? Ai buôn lậu ? Đừng đổ

oan cho người tốt !

Tên kia cũng nói thêm vào :

- Cỏc ụng phi bắt được tận tay rồi hãy
nói. Khơng có chứng cớ làm sao dám vu vạ
cho người khác ?

Chứng cứ ư ? Bằng kinh nghiệm nghề
nghiệp, Triệu Ngôn biết chắc chắn tang vật
buôn lậu đang nằm trong những chậu hoa
hồng đặt trong vườn hoa kia, nhưng giữa
hàng mấy trăm chậu, biết trong chậu nào
có giấu đồ trang sức ? Khơng thể đập vỡ
tất cả các chậu hoa được. Triệu Ngôn hỏi ý
Vũ Hân nhưng Vũ Hân cũng đang rất lúng
túng, chưa biết phải làm thế nào.

- Chúng ta phải hỏi thám tử Sê-Lốc-Cốc
thôi ! - hai anh bàn nhau. Nhưng khi họ
quay lại tìm thám tử thì thấy ơng đang
thong thả dạo bước bên những chậu hoa
hồng trong vườn hoa. Trời ơi ! Sao lúc này
mà thám tử lại có thể ung dung ngắm hoa
thế kia ? Triệu Ngôn và Vũ Hân cảm thấy
vơ cùng sốt ruột và lo lắng.

Đúng lúc đó, hai anh thấy thám tử cúi
người xuống, bưng một chậu hoa lên. Rồi
ơng đi nhanh về phía hai tên bn lậu.

- Các người đòi chứng cứ ư ? Đây, chậu
hoa này chính là chứng cứ - Vừa nói, thám
tử vừa ném chậu hoa xuống đất.

Chậu vỡ, đồ trang sức bên trong rơi ra
tung tóe. Sắc mặt hai tên bn lậu biến sắc.
- Các người đã chuẩn bị sẵn chậu hoa

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

17 l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 41)

Căn cứ vào chiếc lông chim và bãi
phân chim trong nhà vệ sinh, thám tử
Sê-Lốc-Cốc đã đoán ngay được ai là thủ
phạm lấy cắp viên đá quý. Tên Péc đã lợi
dụng khả năng đưa thư của chim bồ câu

để phục vụ ý đồ ăn cắp viên đá của
mình. Hắn giấu chim trong hộp đựng thức
ăn để mang vào phòng trưng bày. Sau
khi lấy được viên đá, hắn buộc viên đá
vào chân chim rồi thả ra. Chim bồ câu
khôn ngoan sẽ bay về nhà.

Phần thưởng kì này được trao cho năm

bạn sau đây : Lê Ngọc Bích, con bố Lê
Duy Lợi, đội 4, Hùng Sơn, Đại Từ, Thái
Nguyên ; Mai Thị Hà, 7A2, THCS II Thị
trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ;

Nguyễn Ngọc Minh, con bố Nguyễn
Ngọc Tới, khu II, Thị trấn Bích Động, Việt
Yên, Bắc Giang ; Phạm Thị Vân Nga,
8C, THCS Chu Văn An, Chí Linh, Hải
Dương ; Nguyễn Đức Thắng, con bố
Nguyễn Minh Tấn, xóm 1, Thiệu Đơ,
Thiệu Hóa, Thanh Húa.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

ny, giu tang vt vào đây từ đêm qua.
Sáng sớm nay, khi trời còn tối, các người
đem chậu ra trà trộn vào vườn hoa. Đúng
không ?

- Thưa đúng ạ !

Sau khi bắt xong hai tên buôn lậu tinh
ranh, Triệu Ngôn và Vũ Hân hỏi thám tư
Sª-Lèc-Cèc :

- Trong hàng trăm chậu hoa ở vườn hoa,
ơng làm sao tìm được chậu có giấu tang

vËt ?

Thám tử cười :

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

18

C¸c kÝ hiƯu dùng trong bài : S(.) : diện tích đa giác ;

m(.) : miền đa giác ; mt(.) : miền trong đa giác.
Trước hết ta xét hai bài toán quỹ tích có điểm trong.

Bài tốn 1.Cho ABCcó Omt(ABC) ; K, Hlần lượt là giao
điểm của COvà AB, BOvà AC. Tìm qu tớch nhng im Osao
cho S(ABH) S(ACK).

Lời giải.

Gọi D là trung điểm của BC ; L là giao
điểm của AO và BC. Qua O kẻ MN // BC

(MAB, NAC). Ta thấy :

S(ABH) S(ACK) S(BOK) S(COH)

LBDOm(ABD).
Vậy quỹ tích những điểm Othỏa mÃn điều
kiện S(ABH) S(ACK) là m(ABD) trừ hai
đoạn AB, BDvới Dlà trung điểm của BC.

Ghi chú. Trong lời giải trên đã sử dụng
kết quả quen thuộc sau : “Nếu ABC và

A’B’C’ có thì khi đó ta có
”

Bài tốn 2. Cho ABC. Tìm quỹ tích
những điểm Onằm trong tam giác sao cho
tồn tại hai điểm E, F lần lượt nằm trên hai
cạnh AB, ACsao cho Olà trung điểm của EF.

Lêi gi¶i.

Gọi A1, B1, C1lần lượt là trung điểm của
các cạnh BC, CA, AB. Ta sẽ chứng minh
quỹ tích những điểm Othỏa mãn điều kiện
đề bài là m(AB1A1C1).

Thuận.Giả sử tồn tại hai điểm E, F lần
lượt nằm trên hai cạnh AB, ACsao cho Olà
trung điểm của EF. Qua O, kẻ đường thẳng
song song với AC, cắt ABtại I.

Suy ra OIlà đường trung bình của EFA

Đảo. Qua điểm O bất khì thuộc
m(AB1A1C1), kẻ OI// AC(I AB) ; lÊy ®iĨm

Eđối xứng với A qua I (E AB) ; ni EO

kéo dài, cắt ACtại F(F AC). Ta dễ dàng
chứng minh được Olà trung điểm của EF.

Đến đây, các bạn đã có thể đốn ra bài
tốn nào in trên Tạp chí sẽ được mở rộng
nhờ hai bi toỏn qu tớch trờn cha ?

(Kì sau đăng tiếp)

  

 

1
1
1 1 1

1 1 ;

2 2

1 1

2 2

m( ).

IA EA AB AC

IO AF AC AB

O AB A C

( ) .

( )

S BAC AB AC

S B AC’ ’ ’  A B AC’ ’ ’ ’
 

BAC B AC ’ ’ ’

BL
CL

  

( ) 1 1

( )

S BOK BO OK BO CO

S COH CO OH OH OK

BH CK BC BC OM

OH OK ON OM ON



     



     

Lª hữu điền khuê
(Lớp 12 Toán, THPT Quốc học Huế, Thõa Thiªn - H)

TỪ HAI BÀI TỐN QUỸ TÍCH

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

19

(TTT2 sè 41)

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI BA

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI LĂM

l Người thách đấu. Nguyn Thy

Hưng, 9H, THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy,
Hà Néi.

l Bài toán thách đấu. Cho tam giác

đều ABC. Các điểm M, N, P theo thứ tự
thuộc các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh

r»ng c¸c tam gi¸c ANP, BPM, CMNb»ng
nhau, biÕt r»ng chóng cã chu vi b»ng
nhau.

lXuÊt xø. S¸ng t¸c.

lThời hạn nhận thỏch u.

Trc ngy 15 - 10 - 2006.

l Lần này Tòa soạn chỉ nhận được ba lời

gii ca ba bn nhưng lại là các lời giải khác
nhau, đều đúng và đều ngắn gọn. Sau đây là
lời giải đầy đủ, dựa theo bạn Đỗ Trung Kiên,
9B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây.

Trước tiên, ta đưa vào các kí hiệu sau :

Axlµ tia thuéc t2vµ n»m trong

Cylµ tia thuéc t1vµ n»m trong

Cycắt DAtại Ecòn Axcắt BCtại F;
độ lớn các góc A, B, C, D của hình thang

ABCDlần lượt là 2, 2, 2, 2.
Thế thì ta có :

(1)
(2)
V× hai tiÕp tun chung ngoµi ADvµ BC

của hai đường trịn (O1) và (O2) đối xứng
với nhau qua đường nối tâm O1O2nên điểm

A’ đối xứng với Aqua O1O2phải thuộc BC,
đồng thời ta có :

(3)
Xét hai trường hợp có thể xảy ra :

Trường hợp 1. ABCD: Như vậy ABCD

lµ mét hình thang thực sự (không là hình
bình hành). Không mất tính tổng quát, giả

sử AB> CD(hình bên).

Gi S l giao im ca ADv BC ; đặt

ThÕ th× dƠ thÊy r»ng :

             90o. (4)

Từ (4) và định lí góc ngồi của tam giác

suy ra (5)

Tõ (3) và (5) suy ra O1ACO2 là một tứ

giác nội tiÕp (6)

Từ (3) và (6) suy ra (7)
Từ (1), (2) và (7) suy ra (8)
Cuối cùng, từ (8) và định lí góc ngồi của

tam gi¸c suy ra 

t1// t2(®pcm).

Trường hợp 2. ABCD: Như vậy ABCD

là một hình bình hành. Gọi Olà giao điểm
của hai đường chéo AC, BD(bạn đọc tự vẽ
hình). Ta thấy O1O2 song song, cách đều

(Xem tiÕp trang 3)

   //

CED FAD CE AF

  .

DCE BAF

 1 2 1 2.

O CO O AO

 1 2 1 2.

O CO O AO

  ’

2      .

CO S

   2 .

ASB DSC

   1 ' 2  1 2; ' 1 1 .

O A O O AO CA O DAO

 

DCE2O CO1 2.

    2( 2  1 )

DCE DCB ECB O CB O CB

 

BAF 2O AO1 2 ;

    2( 1  2 )

BAF BAD FAD O AD O AD

;

DCB

;

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

20

Trong nội dung hàm số và đồ thị có một
dạng tốn cũng hay được đề cập đến ở các
kì thi cuối cấp, đó là xác định khoảng cách
giữa hai điểm ; hai đường thẳng song song

trên mặt phẳng tọa độ.

lTrên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm

A(xA ; yA), B(xB ; yB). Khoảng cách giữa A

và Bđược tính bởi công thức :

(*)

Chứng minh.

Gọi Clà giao điểm của AyAvà BxB. Ta có

ABC vuông tại C và AC |xB xA| ;

BC|yByA|. Suy ra AB2AC2BC2

lKhoảng cách giữa hai đường thẳng d1// d2

chớnh l khong cỏch gia hai điểm Avà B,
trong đó A thuộc d1, B thuộc d2 v AB

vuông góc với d1và d2.

Ví dụ 1.Cho A(3 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 4).
Chøng minh r»ng tam giác ABCvuông cân

và tính diện tích của nó.

Lời giải.áp dụng (*) ta có

AB2(1 3)2(3 1)220

CA2(3 2)2(1 4)210

CB2(1 2)2(3 4)210.

Suy ra CACBvà AB2CA2CB2hay
tam giác ABCvuông cân tại C

Vớ dụ 2 (đề thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định,
1997-1998). Cho đường thẳng (d) có
phương trình ymxm1 và parabol (P)
có phương trình yx2. Tìm giá trị của mđể
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Avà Bsao

cho

Lời giải.Hoành độ giao điểm của (d) và
(P) là nghiệm của phương trình :

mxm 1 x2x2mxm1 0,
cã hai nghiệm là x11 ; x2m1.

Giả sử xAx1và xBx2thì ta có

A(1 ; 1) và B(m1 ; (m1)2).
Từ đó, với giả thiết áp dụng (*)

ta có AB2(m2)2[(m1)21]2
m44m35m24m4 3.

Suy ra m44m35m24m1 0,

m0 khơng là nghiệm của phương trình
này nên chia cả hai vế của phương trình
cho m2ta được phương trình tương đương :

 3,

 3.

  1   1 10 10 5. 

2 2

ABC

S CA CB

AB (xBxA)2(yByA) .2

 ( B A)2( B  A) .2

AB x x y y

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

21

Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d) có phương
trình y mx 2 và parabol (P) có phương
trình Chứng minh rằng (d) luôn
cắt (P) tại hai điểm A, Bphân biệt. Với giá
trị nào của m thì đoạn thẳng ABcó độ dài
ngắn nhất ? Tìm giá trị đó.

Lời giải.Hồnh độ giao điểm của (d) và
(P) là nghiệm của phương trình :

có ’ 4m28 > 0 với mọi m nên phương
trình ln có hai nghiệm phân biệt. Nói cách
khác, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
Theo định lí Vi-ét ta có xB  xA  4m ;

xBxA8. Từ phương trình đường thẳng (d)
ta có yB  yA  (mxB  2)  (mxA  2) 

m(xBxA) nªn theo (*), AB2(xBxA)2

(yByA)2(xBxA)2(1 m2) [(xBxA)2

4xBxA](1 m2) [(4m)24(8)](1 m2)

(16m232)(1 m2).
Suy ra

Vậy AB có độ dài ngắn nhất là

khi m0.

VÝ dô 4. Cho hai đường thẳng d1 và d2

ln lt cú phương trình là :

yx2 và y(2m2m)xm2m.
a) Xác định giá trị của mđể d1// d2.
b) Biết A thuộc d1có hồnh độ bằng 2.
Viết phương trình đường thẳng d3đi qua A

vu«ng gãc với d1và d2.

c) Tính khoảng cách giữa d1và d2.

Lời giải.

a) d1// d2

b) Ta cã A(2 ; 4) ; d3vu«ng gãc với d1và
đi qua A suy ra d3có dạng y xb

4  2 bb6 d3: y x6.
c) Gäi B lµ giao điểm của d3 và d2 thì

(l nghiệm của hệ hai phương

tr×nh ). Khoảng cách

gia d1v d2chớnh l di on AB:

Các bạn làm thêm một số bài tËp sau :

Bài 1. Cho parabol (P) : và hai
điểm I(0 ; 2), M(m ; 0). Viết phương trình
đường thẳng (d) đi qua Ivà M. Chứng minh
rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

A, Bvµ AB> 4.

Bµi 2. Cho (P) : ; (d) :

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm điểm Mtrên cung ABcủa (P) sao
cho tam giác MABcó diện tích lớn nhất.

c) Tìm trên trục hoành Ox điểm N sao
cho NANBcó độ dài nhỏ nhất.

Bµi 3.Cho (P) : y x2vµ ®êng th¼ng
(d) cã hƯ sè gãc k, ®i qua I(0 ; 1). Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, Bvà tam giác AOBvuông.

Bài 4.Cho hai đường thẳng y x2 và

y 2mxm24. Tỡm giỏ tr ca m hai
đường thẳng song song với nhau. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

  2.
2
x
y
 2
4
x
y
 2
2
x
y
   
       
   
2 2

25 2 23 4 9 2.

8 8 8

 1 ;   6
4

y x y x

25 23

( ; )

8 8

 1 2  1

(víi th× d : ).

2 4

m y x

  

   
 

2
2

2 1 1

2
2

m m m

m m



32 4 2,

 (16 232)(1 2) 32.

AB m m

  2 2  24  8 0,
4

mx x mx

  2.
4

x
y


   1   3 3 5.

t m m

   t2 4 3 0 víi t t m  1 ; t 2

m
      
   
 
2
2

1 4 1 5 0

m m

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

22

Bài 1. Giải các phương trình

1)áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
ta có

2 (x3)22 x26x11. Đẳng thức

xảy ra

Phng trỡnh cú nghim duy nhất x3.

2)Hồn tồn tương tự như bài 1.1. Phương

tr×nh cã

nghiÖm duy nhÊt x5.

3)Từ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho
bốn số a, b, c, d ta dễ dàng suy ra

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Do đó

đẳng thức xảy ra

Phương trình có nghiệm duy nhất

4)Ta cã

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2. Vậy
phương trình có nghiệm duy nhất x2.

5)Ta cã

¸p dơng bÊt

đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski :

 2 (x 1)2 2 x22x + 3, đẳng thức

x¶y ra

Phương trình có nghiệm duy nhất x1.

Bài 2. Giải các hệ phương trình

1)áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
ta có (x  3y  4z)2  26(x2  y2  z2),
đẳng thức xảy ra

Kết hợp với phương trình thứ hai của hệ
là x3y3z392, ta tìm được nghiệm duy
nhất của hệ là : (x; y; z) (1 ; 3 ; 4).

2)Biến đổi vế trái phương trình 2 của hệ :

đẳng thức xảy ra

xy0.

Do đó phương trình 1 của hệ trở thành :
2005x20062006x20051 0 x1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1).

3)áp dụng bất đẳng thức

a2b2c2abbcca,

 


    00

x y
x y

2 2 2 2

1 3( ) ( )

1 3( ) 3 3( ),

2 2 2

x xy y x y x y

x y x y x y

      

     

.
1 3 4

x y z

  




  

  
  
  


4 4 4 4
4 4
0
2 1.
2
1 0
x

x x x

x x

    

     

      

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4
2 2

2 2

2( 2 ) 2 2( 2 )

2 ( 1) 2 2 3,

x x x x

x x x

 x 42x4 x22x3,

   

42 x4 x2 3x 3

       

     

2 2

25 2( 2) 16 3( 2) 5 4

( 2) 9 4 13,

x x

x x x

  2    2

17 8x 2x 4 12x 3x

1 .
5

x 

1 2 1.

1xx 3 x 5

   



     

        

2 2 2 2

2 2

(1 ) 2 (1 ) 3

(1 ) (1 ) (2 3) 29,

x x

     

2 2 5 2 2 10

x x x x

a b
c d

 2  2  2 2  2 2

(a c) (b d) a b c d ,

    2 

6 x x 4 x 10x 27

   



  

 


2 4 3.

3 0

x x x

 2 4  2(   2 4 )

x x x x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

23

ta cã x4 y4 z4 (xy)2 (yz)2 (zx)2
xyyzyzzxzxxyxyz(xyz) xyz

(vì xyz1), đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi Vậy hệ phương trình có
nghiệm

4)áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1).

Bài 3.áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
hay xyz8 ;
hay xyz8.
Suy ra xyz8, xảy ra xyyzzxvà
2 xyz. Vậy các số thực dương cần tìm
(x; y; z) là (2 ; 2 ; 2).

Bài 4.Hoàn toàn tương tự như bài 3. Các
số thực dương thỏa mãn hệ phương trình
là (3 ; 3 ; 3 ; 3).

   


       


12
27

x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt

    2 4 24

xyz x y z xyz

    3 2

12 xy yz xz 3 (xyz)

     


  


2 2 1.

x y

x y
x y

 

     2 

1 2x 2y 2 2 2x y 2 2x y 2 2 1,

1 1 1; ; .
3 3 3

 

 

 

1 .
3

x y z

Keỏt quaỷ cuoọc thi

TH GII QUANH TA

Câu hỏi kì 5 :

hồ nào sâu nhất ?

ú chớnh l h Bai-can. Hồ sâu nhất
thế giới này nằm ở trung tâm Si-bia-ri (có
tọa độ địa lí là 52o45’B 107o15’Đ). Nó
vốn là một chỗ lõm sâu 7000 m đã bị một
lớp trầm tích lấp trong 25 triệu năm, trên
trầm tích là nước. Đến nay, chỗ sâu nhất
của hồ đo được 1637 m, gấp hơn 2 lần độ
sâu của biển Bắc và gấp 8 lần chiều cao
của tòa cao ốc Canary Whart - cao nhất
châu Âu.

Hồ Bai-can dài 636 km, rộng 80 km,
chứa nhiều nước hơn bất kì một hồ nước
nào khác với trữ lượng 23000 km3, do
336 nhánh sông cung cấp, dự trữ 20%
nước ngọt của Trái Đất, nhiều hơn tổng
số nước ngt ca Ng Hcng li.

Các cá nhân và tập thể xuất sắc
nhất được trao tặng phẩm kì nàylà Lê
Thùy Dung, số 34, ngõ 01, đường Tản
Đà, Đông Sơn, TP. Thanh Hóa; Nguyễn
Mạnh Khôi, 11 Toán, THPT chuyên Bắc
Giang, Bắc Giang; Lê Thanh Thủy, 74
Trần Phú, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Võ Xuân
Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam
Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa; Nguyễn
Thùy Linh, mẹ là Đặng Thị Mai Lanh,
phòng khám Nội Khoa, BV Tâm Thần
TWII, Biên Hòa, Đồng Nai; Lê Nam Anh
Tuấn, 103 Bùi Thị Xuân, TP. Phan Thiết,

Bình Thuận; Thiều Thị Thanh Vân, thôn
Trung, An Vỹ, Khoái Châu, Hưng Yên ;

Lờ Văn Phường, số 20 đường Bùi Thị
Xuân, TP. Quảng Ngãi; Nguyễn Thị Mơ,
9A2, THCS Thị Trấn Tiên Lãng, Tiên
Lãng, Hải Phòng ; Lê Nguyễn Hạnh Vy,
9A5, THCS Thị Trấn Bình Định, An Nhơn,

Bình Định ; Tập thể trường THCS
Nguyễn Tri Phương, TP. Huế, Thừa
Thiên - Huế.

(TiÕp theo b×a 4)

Ngồi cách gửi bài về Công ty Bản
đồ - Tranh ảnh Giáo khoa, các bạn hãy
gọi đến số 19001548 và làm theo chỉ
dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109 theo
mẫu 3T TG2 X Y, trong đó Xlà đáp án
của bạn cho cột dọc (các chữ cái viết
liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người
có đáp án đúng.

Chúc mừng bạn Lin Mỹ Lệ, 6A10,
THCS Tân Thới Hịa, đường Lê Văn
Quới, phường Bình Trị Đơng A, Q. Bình
Tân, TP. Hồ Chí Minh (số điện thoại

084260194) đã trúng thưởng cuộc thi
trên TTT2 số 41.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

24

Để chứng minh hệ quả 1, ta cần có một
bổ đề.

Bổ đề 3.Tam giác ABCcó (I) là đường
trịn nội tiếp, (Ia) là đường tròn bàng tiếp

đối diện với đỉnh A. (I), (Ia) theo thứ tự tiếp
xúc với BC tại M, N. L là điểm đối xứng
của Mqua I. Khi đó A, L, Nthng hng.

Chứng minh.

Dễ thấy A, I, Iathẳng hàng. (1)
Mặt khác ta có :

(2)
Gọi H, Klà tiếp điểm của (I), (Ia) với AB.

Ta có : (3)

(v× IH// IaK).

Từ (1), (2), (3), theo định lí Ta-lét, dễ
dàng suy ra A, L, Nthẳng hàng.

Trë l¹i viƯc chøng minh hệ quả 1.

Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác

ABC ; gọi E, Ftheo thứ tự là tiếp điểm của
(I1) với BD, BA; Mlà tiếp điểm của (I) với

BC; Llà điểm đối xứng của Mqua I.
Qua L, kẻ tiếp xúc với (I).
Đặt K  EF; H  EI1.
Theo bổ đề 3, LAD. Suy ra :

LFLK. (1)
Theo định lí Lyness mở rộng, I  EF.
Suy ra (vì // BC)

1 (v× ILIM)

KL IL
EM IM

  



(đối đỉnh)
( cân tại D)
( // )

LFK AFK DFE
DEF DEF

FKL BC

 

 

a a a

IL IH IA
I N I K I A 

// a .

IL BC IL I N
I N BC



 

 


ts.NguyÔn Minh Hà (ĐHSP Hà Nội)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

25

KLEM. (2)
Mặt khác, dễ thấy EMLH là hình chữ
nhật. Suy ra EMLH. (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra LFLH

 LFI1 LHI1FI1HI1DtiÕp xóc
víi (I1) t¹i H.

Gọi r, r1, r2là bán kính của (I), (I1), (I2).
Ta có 2r1EHML2rr1r.
Tương tự r2r. Vậy r1r2.

Hệ quả 1đã được chứng minh. Dễ thấy
kết luận “bán kính pcủa () bằng r” trong

bài 4(40)đã được chứng minh trong phép
chứng minh hệ quả 1.

So víi hƯ qu¶ 1, hệ quả sau đây có vẻ
thú vị hơn nhiều.

Hệ quả 2.Tam giác ABCnội tiếp đường
tròn (O), Dlà một điểm bất kì trên cạnh BC

của tam giác. Các đường trßn (O1), (O2)
cïng tiÕp xóc víi (O) ; cïng tiÕp xúc với
đoạn DA và theo thứ tự tiếp xúc với các
đoạn DB, DC. Ta có O1O2 đi qua tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Tác giả của hệ quả 2là một nhà toán
học Mĩ, rất tiếc là tôi không nhớ tên. Để
chứng minh hệ quả 2, ta cần có một bổ đề.

Bổ đề 4.MN, PQtheo thứ tự là tiếp tuyến

chung ngoài, tiếp tuyến chung trong của
các đường tròn (O1), (O2) (M, P(O1) ;

N, Q(O2)). Ta cú MP, NQ, O1O2ng quy.

Chứng minh.

Đặt K MP  NO2; L  NQ MO1;

RMNPQ. DÔ thấy RO1RO2 (1)
(phân giác của hai góc kề bù).

Từ (1), víi chó ý r»ng NQ  RO2,

MPRO1, ta cã RO1// NQ; RO2// MP

(2)
MỈt kh¸c ta cã :

LM// KN. (3)
Từ (2), (3), theo định lí về chùm đường
thẳng đồng quy, ta có MP, NQ, O1O2

ng quy.

Trở lại việc chứng minh hệ quả 2.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC; gọi E1, F1là tiếp điểm của (O1)
với các đoạn DB, DA ; gọi E2, F2là tiếp

điểm của (O2) với các đoạn DC, DA.

Theo nh lí Lyness mở rộng, ta có

IE1F1vµ IE2F2. Suy ra :

IE1F1E2F2. (1)
Theo bổ đề 4 ta có E1F1, E2F2, O1O2

đồng quy. (2)
Từ (1), (2) suy ra I  O1O2. Nói cách
khác, O1O2đi qua tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.

LM MN
KN MN


 


1 2
1 2 .
O M RM O K

O L RN O N

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Solution E17

The pupils on the right of Chold 23 flags altogether and Cis the first on the left, so

Cholds a number of 30 23 7 (flags).

Notice that the number of flags held by pupils on the left of Dis less than that of flags
held by pupils on the left of B, which implies that Bis on the right of D, together with E.

We have so far the following order C D B E

Pupils on the left of D(excluding C) hold 12 7 5 (flags). Thus, there is at least
one person between Cand D. That can be no one but A.

In conclusion : Aholds 5 flags.

Nhận xét. 1) Với giả thiết cho trong bài có thể tính được số cờ từng bạn cầm.
2) Chỉ có duy nhất một bạn khơng làm đúng đáp số, nhưng đa số các bạn trình bày
bài bằng tiếng Anh ở mức trung bình. Một số lỗi các bạn hay mắc :

lDon the left of B(thiếu động từ is).
lThe pupils on the left D(thiếu giới từ of).

lThe number ….. is smaller(bigger) than the number ….. (dïng tõ cha chuÈn,

trong trường hợp này cần dùng less(greater)).

3) Các bạn sau đây có bài làm tương đối tốt : Nguyễn Thị Hồng Na, 8A ; Bạch Nguyễn
Trà My, 6C, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh ; Nguyễn Thị Thái Hà, mẹ là Hoàn Thị
Thường, giáo viên tổ Mác - Lê, trường CĐSP Nghệ An, Nghệ An; Đồn Khánh Huyền,
con bố Đồn Văn Tốn, 12B khu phố Tư Môi, thị trấn An Bài, Quỳnh Ph, Thỏi Bỡnh.

TS. Ngô ánh Tuyết(NXBGD)

26

lflag :lá cờ (danh từ)

laltogether :tổng số (trạng từ)
lexclude :trừ ra, không kể (động từ)
lhypotenuse :cạnh huyền (danh từ)
lcentroid :trọng tâm (danh từ)
lintersect :cắt (động từ)

Problem E19. (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi
Education Publishing House)

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

27 l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 41)

l

Kì này :

CÂY

TRÁI

CŨNG

NHẦM

CHỖ !

Trong bài thơ sau có rất nhiều từ ghép
có tên cây ăn quả. Tuy nhiên, chúng đứng
nhầm chỗ hết rồi. Bạn hãy sắp xếp lại cho
thật đúng để thấy được cái hay của tiếng

Việt thân yêu nhé !

Vượt qua thử thách caugo
Ăn uống mít độ, vừa no, khỏe người

Nét mặt camcó khó cười

Đầu óc điềuđặc, biếng lười đáng chê
La lêngồi phố qn về

H¬i đâu nghe chuyện càthê dông dài
Chân sáo nhảy quýtsuốt ngày
Sửa chữa qua nhótsơ sài cốt xong

Rối rắm như mớ bíbong

Hnh động bỉ táokhó lịng dung tha

Bịngmật chẳng để lộ ra

Chuột bọ lẩn cócquanh nhà kiếm ăn
Bọn cướp ổitợn, hung hăng
Đời sống nhotúc, khó khăn qua rồi

Sungnhoe tính chuyện học địi
Tiếng mừ lúc quttng hi vang xa

Hồngvóc nhà máy dệt ra
Mặt bé vảibĩnh, sắc da nahào

Chị em mơná giống nhau

Bầu màng nhớ lại ngày nào còn thơ.

Trng Hi
(33A, quc l 60, khu phố I, phường 6,
TP. Mỹ Tho, Tiền Giang)

Nếu em nắm chắc đặc điểm địa lí và lịch
sử của mỗi địa danh trong Chuyến du lịch
thú vịlà em sẽ sắp xếp đúng. (Dĩ nhiên cũng
cần đến cả hiểu biết của em về luật ăn vần
thơ 6-8). Bạn NTH (Hà Tây) viết : “Đồi A1
rừng núi trong mây / Núi cao nhất ở nước
đây bạn à”đã sai cả đặc điểm địa lí, lịch sử
lẫn luật ăn vần. (Thơ 6-8 bạn đã sửa sai là
7-8 ; Đồi và núi khác nhau ; Và “núi cao nhất
nước” phải gắn với địa danh Lào Cai - núi
Phan-xi-păng. Bài thơ có thể sửa là :

Cao Bằngcó suối Lê-nin
Có núi Các Mác tên in sử vµng.

Lạng Sơncó ải Chi Lăng
Qn xâm lược đã bao lần bỏ thây.

Lào Cairừng núi trong mây
Núi cao nhất nước là đây bạn à.

Cà Maumảnh đất thật xa

Ba bề biển bạc mặn mà yêu thương.

Phú Thọsâu nặng quê hương
Một miền đất tổ thiêng liêng bao đời

Điện Biên- Tây Bắc xa vời
Đồi A1 đó một thời lừng vang.

Quảng Ninhmiền đất của than

Vùng mỏ bất khuất muôn ngàn chiến công.
Năm bạn được thưởng kì này : Nguyễn
Hồng Hạnh, phòng 305, nhà NƠ14B, khu
Định Công, Hà Nội; Nguyễn Thị Tường Vi,
74, THCS Trần Hưng Đạo, TX. ụng H,

Quảng Trị ; Hà Thị Thanh Bình, 10, Bảo
Quốc, TP. Huế, Thừa Thiên - Huế; Nguyễn
Thị Khánh An, 77 đường số 3, khóm Thánh
Gia, Vĩnh Nguyên, Nha Trang, Khánh Hòa;

Trn Vn Khang, đội 12, Vĩnh Kiều, Đồng
Ngun, Từ Sơn, Bắc Ninh.

Phó B×nh

Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy tìm từ thích hợp để thay thế từ “cau”

trong câu “Vượt qua thử thách cau go”, bằng cách gọi đến số 19001548 và làm theo

hướng dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T V2 X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn
(các chữ cái viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

28

Trần Đăng Khoa :

Mui l ngi ca x quan họ nổi tiếng,
mà đa nghi quá, cứ như hậu duệ của cụ
Tào Tháo vậy.

Thực tình thì huynh trả lời tất cả mọi
câu hỏi của bạn đọc, khơng bỏ sót ai cả.
Chỉ tiếc những câu hỏi trùng lặp với câu
hỏi huynh đã trả lời rồi thì huynh đành
phải để lại vậy. Vì nếu cứ lặp mãi những
điều đã nói thì bạn đọc sẽ thấy kinh
hồng, khơng dám nhìn vào mặt huynh:
“Ơi dào, cứ tưởng lão là người, hóa ra lão
đích thị là một con bò già, cứ trệu trạo
nhai đi nhai lại cái điều đã cũ rích”.

Nếu có gì băn khoăn, thì cũng là điều
đáng tiếc, vì một tháng mới có một số
Toán Tuổi thơ. Câu hỏi lại nhiều, cứ dào
dạt như nước biển Đông, nên lại phải chờ
đợi thôi. Nhiều cuộc đợi chờ khá lâu, nên
khi huynh hầu chuyện thì người hỏi
chuyện cũng đã quên mất câu chuyện rồi.
Buồn thế chứ ! Có lẽ vì vậy mà bạn bè
muội đã nghi ngờ huynh chăng ?

Cuộc hát đúm với độc giả, huynh gom
lại trong vi tính, cũng đã thành một cuốn
sách dày đến hơn một... ngàn trang rồi.
Huynh định sẽ công bố cuốn sách này
đấy. Cuốn sách sẽ có tên : “Hầu chuyện
Thượng Đế”.

Hầu Thượng Đế thì lắm chuyện rồi. Bởi
Thượng Đế rất qi chiêu. Muội có cơng
nhận với huynh điều này không : Mọi

cuộc trò chuyện, nếu muốn hay, phải nhờ
người “mồi chuyện”. Câu hỏi hay thì sẽ có
câu trả lời hay. Câu hỏi nhạt thếch, hoặc
hỏi khơng có nội dung thì người hầu
chuyện khơng làm sao lèo lái cho câu
chuyện mặn mà được. May sao các
Thượng Đế của huynh đều rất thông
minh, nên huynh cắp tráp chạy theo cũng
vã mồ hôi đấy.

Muội nghi ngờ huynh, nên đến với
huynh, muội chỉ đem theo mỗi nỗi nghi
ngờ mà lại bỏ quên câu hỏi, là cái nhân tố
quan trọng làm nên câu chuyện. Vậy thì
huynh còn biết xoay sở ra sao ? Thơi
đành đóng tráp chờ muội vậy.

Anh Khoa ơi ! Mấy lần, muội định viết thư “tâm

sự” cùng huynh, nhưng bạn bè muội bảo huynh
sẽ chẳng bao giờ trả lời những câu hỏi “bình
thường” của muội mà chỉ trả lời những câu hỏi
chung chung. Nhưng hôm nay muội vẫn quyết
định viết thư gửi huynh. Nếu quả như bạn bè nói
thì muội thất vọng về huynh lắm. à khơng, ý
muội muốn nói rằng, muội sẽ rất lấy làm tủi thân.
(Mà không biết có phải thế khơng nhỉ ?). Nếu
huynh có ý định trả lời muội thì trả lời nhanh
nhanh lên nhé.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

29 ĐƠN VỊ ĐO

l

Kì này :

Ngồi cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy đoán từ ở hàng ngang thứ ba từ
trên xuống, bằng cách gọi đến số 19001548và làm theo hướng dẫn hoặc nhắn tin đến
số 8109 theo mẫu 3T VA2 X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn (các chữ cái viết liền
nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.

Chúc mừngbạn Vương ái Phương, nhà 15L, đường Quang Trung, TX. An Khê, Gia
Lai (số điện thoại 0913450818) đã trúng thưởng cuộc thi trên TTT2 số 41.

- What is black and white and has
sixteen wheels ?

- A zerba on roller stakes.

Hång B¾c(st)

Trên mỗi hàng ngang của ơ
chữ này là tên một đơn vị đo.
Bạn có thể tìm được không ?

Nguyễn Quang Diệu
(Khu tập thể trường THPT
Vũ Tiên, Vũ Thư, Thái Bình)

Với bạn đọc của Tốn Tuổi thơ, chắc hẳn khái niệm TRIANGLE - Tam giác đã rất
quen thuộc. Ô chữ lần này được rất nhiều bạn quan tâm gửi bài tham dự và gần như
tất cả đều có đáp án đúng. Chủ Vườn xin tặng quà cho năm bạn may mắn nhất : Phan
Quốc Việt, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định; Nguyễn Văn Quyết, 9A,
THCS Lý Tự Trọng, Hương Canh, Vĩnh Phúc; Lê Minh Trí,17/7, quốc lộ 1, phường 2,
Tuy Hịa, Phú n; Nguyễn Thị Lan Hương, 8A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam;

Nguyễn Kim Ngọc Khánh, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.

Giải nghĩa các từ hàng ngang : ALTITUDE - Đường cao ; BISECTOR - Đường phân
giác ; SIDE - Cạnh ; MEDIAN - Đường trung tuyến ; ORTHOCENTER - Trùc t©m ;
ANGLE - Gãc ; SIMILAR - §ång d¹ng ; VERTEX - §Ønh.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

30

(TTT2 sè 41)

Chim chích nghiện ngập đáng chê
Chim cắt dao kéo tay nghề tinh thơng

Chim ng rÊt dƠ b»ng lßng
Chim kÐt cÊt giữ tiền không lo gì

Chim cút luôn bị đuổi đi
Chim câu bắt cá mỗi khi thả mồi

Chim khỏch thm ving mọi nơi
Chim cò mách mối lừa người kiếm ăn

Chim yến nặng hàng chục cân
Chim ác gây chuyện bất nhân hại người

Chim cú cay đắng ngậm ngùi

Chim quyên kêu gọi giúp người khó khăn
Chim khuyên nhắn nhủ ân cần
Chim trả chẳng n nn dõy da

Chim sáo tấu nhạc say sưa

Chim lợn ăn cám sớm trưa trong chuồng
Ôi ! Tên các loại chim muông

ựa vui din ngha cng bun ci ghờ
Nm thảo dân, Trẫm đã phê

Được quà của Trẫm, hả hê chưa nào ?
Ban thưởng :Vũ Bảo Linh, số nhà 42, tổ 7,
P. Hùng Vương, TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc;

Nguyễn Thùy Dương, 7C, THCS Hoàng
Liệt, Hoàng Mai, Hà Nội; Mai Thị Hà, 7A2,
THCS thị trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú
Thọ ; Hoàng Hà Trang, 8H, THCS Vạn
Thắng, Ba Vì, Hà Tây; Đinh Phương Dung,
10A, THPT Lý Nhõn,H Nam.

Vua Tếu

l

Kết quả :

Thánh chỉ :

Ngoi cỏch gửi bài dự thi về tạp chí,
các bạn hãy giải đáp câu “Hoa gì thu hoạch
xiết bao vui mừng ?”, bằng cách gọi đến số

19001548và làm theo chỉ dẫn hoặc nhắn
tin đến số 8109 theo mẫu 3T RC2 X Y,
trong đó Xlà đáp án của bạn, các chữ cái
viết liền nhau, khơng có dấu ; Y là số
người có đáp án đúng.

Chúc mừng bạn Phan Thị Linh Chi,
nhà 20/10, đường Lê Lợi, TX. Trà Vinh,
Trà Vinh (số điện thoại 074851190) đã

trúng thưởngcuộc thi trên TTT2 số 41.

l

Kì này :

Hoa g× chØ dÉn tàu đi ?

Hoa gì là muội than khi bấc tàn ?
Hoa gì thi chọn mĩ nhân ?

Hoa gỡ eo làm duyên cho mình ?
Hoa gì đêm hội sáng đèn ?
Hoa gì mái tóc bà em nhuốm màu ?

Hoa gì v tranh p sao ?

Hoa gì thu hoạch xiết bao vui mừng ?
Hoa gì choáng váng khó nhìn ?
Hoa gì trang trí trên nền gạch men ?

Trn Th Thu Hng
(10 Anh, THPT chuyên Lương Văn Tụy,
TX. Ninh Bình, Ninh Bình)

HOA Gè ?

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

31

Hỏi : Năm ngoái, em

được giải nhì học sinh giỏi
cấp huyện. Em rất vui...
nhưng một số bạn lại nói
sau lưng em : “Từ ngày nó
được giải đến giờ, mặt của
nó vênh hẳn lên !”. Em buồn
quá ! Có bao giờ em như

vậy õu... Hu... hu...

The girl is heartfelt

Đáp :

Bit l em chng hề “vênh”
Cứ vui lên để nhẹ tênh

trong lòng
Thua người, lo học cho xong
Cớ gì ghen tị nói vịng

sau lưng ?
Hỏi : Nhà em không có
điện thoại di động để nhắn
tin thì em gửi bài qua thư
được không ?

G-B-T
(6B, THCS Nguyễn TrÃi,
Nghi Xuân, Hà Tĩnh)
Đáp :

Xin em cứ gửi tưng bừng
Mở thêm Tin nhắn,

chng dng nhn th
Mong em giải giỏi, giải cừ
Vào danh sách thưởng,

vui như... được mùa.
Hỏi : Khi ngồi vào học
em toàn mất tập trung thôi.
Phải làm thế nào cha
cn bnh ny ?

Tô Minh Đức
(8D, THCS Nguyễn Công Trứ,
Tiền Hải, Thái Bình)

Đáp :

Bệnh này bác sĩ cũng thua
Nên anh chẳng biết phân bua
kiểu gì
Mọi chuyện khác

phải quên đi
Chỉ còn chuyện học

chc thỡ... tp trung !
Hỏi :Dì em bảo : “Ai đã
được khen trên Tốn Tuổi
thơ thì sẽ khơng được khen
nữa !”. Điều đó có đúng
khơng anh ?

Huỳnh Ngô Loan
(81, THCS Nguyễn Du,

Phan Thiết, Bình Thuận)
Đáp :

Dì ơi ! Thưa với dì cùng...
Hay thì vẫn thưởng, s trựng

tên đâu !
Dì xem thật kĩ, thật lâu
Nhiều bạn nhận được

cả xâu quà rồi...

Hỏi :Huynh à ! §· cã bao
giê huynh thÊy buån phiền
trong lòng chưa ? Còn muội thì
rồi... Huynh có thể giải tỏa nỗi
buồn của muội được không ?

Nguyễn Thị Thanh Tâm
(7B, THCS Thị trấn Anh Sơn,
Nghệ An)

Đáp :

Buồn gì thì cũng qua thôi
Khuyên em xin chớ có ngồi...
nghĩ quanh
Sẻ chia kinh nghiƯm

của anh

Thấy buồn... cười nói thả

phanh, hÕt bn !
Hái : Khi mn trß
chun với anh mà không
muốn gửi thư thì em phải
làm thế nào ?

Em gái Phú Yên

()
Đáp :

Thế thì em cứ việc phôn
Số đường dây nóng anh luôn

sn sng
Nhng m nh núi gn gàng
Đường xa, phí đắt...

tiền càng dễ hao...
Hỏi : Mọi người nói trong
cuộc sống có vơ vàn những
khó khăn nhưng em thấy là
mình đã đạt được những thành
quả khá đáng kể mà lại chưa
gặp một sự “ thỏch thc no
c. Nh vy cú tt khụng ?

Nguyễn Văn Thành

(7B, THCS Võng Xuyên, Hà Tây)

Đáp :

Như vậy tốt quá chứ sao...
Mừng em luôn gặp ngọt ngào

xa nay
Nh luụn rèn luyện hàng ngày
Kẻo hơi vướng đã lăn quay

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

32

Bài 2(43).Cho ba số dương a, b, cthỏa món a2b2c21.
Chng minh rng :

nguyễn khánh nguyên(THCS Hồng Bàng, Hải Phßng)

  

     

2 2 2

1.
1 ab a 1 bc b 1 ca c

Bài 3(43).Cho x1; x2là hai nghiệm của phương trình x2pxq 0 và x3; x4là hai
nghiệm của phương trình x2rxs0, trong đó p, r, q, slà các số thực khác 0.

Chøng minh r»ng, nÕu x1x4x2x3th×

Đường thị liên phượng(THCS Nam Hà, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)
2

p q

r s

  
 
 

Bài 4(43). Cho tam giác ABC, (J) là đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A. (J) tiếp
xúc với AB, AClần lượt tại E, F; JB, JCcắt EFlần lượt tại K, L; BLvà CKcắt nhau tại H.

Chøng minh r»ng Hlµ trùc tâm của tam giác JBC.

Trn minh hin(THPT chuyờn Quang Trung, Bỡnh Phc)
Bi 1(43).Gii phng trỡnh

Cao Xuân Nam(THPT chuyên Hà Giang, Hµ Giang)

  


3 3

3 3 2 0.

2 x

English version translated by Pham Van Thuan
1(43).Solve the equation

2(43).Let a, b, cbe positive real numbers
such that a2b2c21. Prove that

3(43). Let x1; x2be roots of equation

x2pxq0 and x3; x4roots of equation

x2rxs0, where p, r, q, sare nonzero
real numbers. Prove that if x1x4  x2x3