Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 40

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 38)}_{(TTT2 sè 38)}

GẤP TAM GIÁC

l

Kì này :

lCách dựng khá đơn giản như sau :

- LÊy trªn đường thẳng d một điểm O
bất kì và dựng đường tròn (O, r) có rOA,
cắt d tại hai điểm phân biệt B, C (BC là
đường kính).

- K cỏc đường thẳng AB và AC, lần
lượt cắt đường tròn vừa dựng tại C’ và B’.

- Nèi BB’ và CC, cắt nhau tại H.
- Kẻ đường thẳng qua A và H, đường
thẳng này chính là đường thẳng cần dựng
(vuông góc với d) bởi vì Hlà trực tâm của
tam giác ABC (xem hình vẽ).

lRõ ràng cách dựng đường thẳng qua A

vng góc với đường thẳng d ở trên chỉ
một lần phải dùng đến compa nên thỏa
mãn yêu cầu của đề bài (chú ý rằng phải
có điều kiện rOAvì nếu rOAthì AH).
Có nhiều bạn tham gia thử tí tốn kì này

nhưng chỉ có 20% các bạn có lời giải đúng
và đều giải theo cách trên. Các bạn khác
đều mắc phải lỗi đã sử dụng compa quá
một lần vì cho rằng các thao tác sau là
hiển nhiên thực hiện được mà khơng phải
dùng đến compa ít nhất một lần :

- Dùng trung điểm của một đoạn thẳng,
- Dựng hai đường thẳng song song,
- Dựng đường tròn tâm A tiếp xúc với
đường th¼ng d, ...

lCác bạn được thưởng kì này là Nguyễn
Thành Đạt, 9A, THCS Nghĩa Trung, Tư
Nghĩa, Quảng Ngãi; Ngô Đức Chiến, 9D,
THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ;
Nguyễn Minh Công, 7A₁₁, THCS Giảng
Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Dương Hồng
Hưng, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ
Lương ; Nguyễn Anh Hồng, 9A, THCS
Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An.

Anh Compa

Người ta đưa cho Toán và Thơ mỗi bạn
một mảnh giấy hình tam giác đều và yêu
cầu mỗi bạn chia thành ba phần bằng
cách sau đây :

- Gấp mảnh giấy sao cho hai đỉnh của

tam giác trùng nhau và cắt theo vết gấp
để được hai mảnh.

- Lấy một mảnh để gấp sao cho hai
đỉnh trùng nhau và cắt theo vết gấp.

Sau đó người ta u cầu các bạn cho
biết diện tích phần lớn nhất gấp mấy lần
diện tích phần nhỏ nhất. Toán cho kết
quả là 4 còn Thơ cho kết quả là 3. Liệu
hai bạn có thể cùng đúng được khơng ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

BT NG SAU MI LI GII

Đằng sau mỗi lời giải của các bài toán
luôn ẩn chứa nhiều điều bất ngờ dành cho
các bạn say sưa tìm tòi, sáng tạo.

lCác bạn hÃy theo dõi một lời giải của bài

toán sau (trong k× thi häc sinh giái líp 9,
TP. Hå ChÝ Minh 2005-2006)xem có phát
hiện được điều gì thú vị không nhé !

Bài toán. Cho tam giác đều ABC. Từ
một điểm M trên cạnh AB, vẽ hai đường
thẳng song song với hai cạnh AC, BClần
lượt cắt BC, ACtại Dvà E. Tìm vị trí điểm

M trên cạnh AB để đoạn DE có độ dài
ngắn nhất.

Lêi gi¶i.

Do ME// BCnên (hai góc
đồng vị). Suy ra AMElà tam giác đều.

Tương tự ta có BMDlà tam giác đều.
Dựng DH, EKvng góc với ABlần lượt
tại H, K; dựng DNvng góc với KEtại N.
Tam giác đều AME nhận EK là đường
cao nên EK cũng là đường trung tuyến,
suy ra AM2MK.

Tương tự, tam giác đều BMDnhận DH
là đường cao, suy ra BM2MH.

T ú ta cú :

ABAMBM2MK2MH2KH.

Ta lại thấy KHDNlà hình chữ nhật, suy
ra KHDN.

Mặt khác, vì DNvuông góc với EKnên
DEDN, suy ra

Đẳng thức xảy ra Etrùng với N
DE// AB

AMDEvà BMEDlà các hình bình hành
MAMBDE

Mlà trung điểm của AB.

Vy khi Mlà trung điểm của ABthì DE
có độ dài ngắn nhất, bằng

l Khi xem xét kĩ lại lời giải trên, tôi đã

nhận ra rằng, điểm mấu chốt của bài toán
là dựng được KH, phát hiện KH khơng
đổi và DEKH.

Vì vậy lời giải trên không cần sử dụng
đến giả thiết ABClà tam giác đều mà chỉ
cần đến giả thiết ABClà tam giác cân tại C.

Từ đó ta có bài tốn “mạnh hơn”.
Thế cịn các bạn, các bạn có phát hiện
thêm được điều gì đằng sau lời giải trên
nữa khơng ? Rất mong được tiếp tục trao
đổi với các bạn !

2
AB
.
2
AB

 .

2
AB
DE

 _

AME ABC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI

Lời giải.Đây là bài tốn khó. Chỉ có hai
võ sĩ bước lên sàn đấu và chỉ có một võ sĩ
có lời giải đúng, đó là võ sĩ Bùi Minh Trí,
8C, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ
An. Tuy nhiên lời giải của võ sĩ Trí hơi dài
và thiếu sáng sủa. Xin giới thiệu với bạn
đọc lời giải của võ sĩ Trí (có sửa chữa).

Trước hết xin phát biểu không chứng
minh một bổ đề quen thuộc.

Bổ đề :Trong tam giác ABCcó :
,

trong đó h_a, h_b, h_ctheo thứ tự là độ dài các

đường cao hạ từ A, B, C ; r là bán kính
đường trịn nội tiếp của tam giác ABC.

Trở lại việc giải bài tốn thách đấu. Để
cho đơn giản, ta dùng kí hiệu d(X, ) để
chỉ khoảng cách từ điểm X tới đường
thẳng và kí hiệu r(XYZ) để chỉ bán kính
đường trịn nội tiếp XYZ.

Giả sử ABAC. Có hai trường hợp cần
xem xét.

Trường hợp 1 :AB> AC.

Theo tÝnh chất đường phân giác ta có :

AC ; AB .

T đó, với chú ý rằng AB> AC, ta có :
AC’> AB’. (1)
Lấy B”thuộc tia BAsao cho :

AB”AB’.
Theo (1), B”thuộc đoạn AC’.
Từ đó, dễ thấy :

r(IA’B”) < r(IA’C’). (2)
MỈt kh¸c, ta cã IA’B” IA’B’

r(IA’B”) r(IA’B’). (3)

Từ (2), (3) suy ra : r(IA’B’) < r(IA’C’),
mâu thuẫn với đề bài.

Trường hợp 2 :AB< AC.

Tương tự như trường hợp 1, cũng dẫn
đến mâu thuẫn.

VËy : ABAC(®pcm).

Nhận xét. ýtưởng sử dụng đẳng thức
trong lời giải trên là ý
tưởng hay và độc đáo. Võ sĩ Bùi Minh Trí
rất xứng đáng là võ sĩ đăng quang trong
trận đấu này.

Ngun Minh Hµ

1 1 1 1

a b c

h h h r

1 1 _{(theo bổ đề)}

( ) ( )

r IA B r IA C

 

’ ” ’ ’

1 1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1 1

( , ( , ) ( , )
d I A B d A B I d B IA
d I A C d A C I d C IA

   

  

)

’ ” ’ ” ” ’

’ ’ ’ ’ ’ ’

( , ) ( ,
( , ) ( , )
( , ) ( , )
d I A B d I A C
d A B I d A C I
d B IA d C IA




 _



 _



)

’ ” ’ ’

’ ” ’ ’

” ’ ’ ’

AB AC
AB BC
AB AC

AC BC

1 1 1 1

a b c

h h h  r

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

l

Kết quả :

_{(TTT2 sè 38)}

l

Kì naøy :

TƯỞNG CHỪNG ĐƠN GIẢN ...

Sai lầm trong lời giải của bài tốn lần
này khá đơn giản, có rất đơng bạn phát
hiện ra, đó là lời giải thiếu phần chứng
minh M, O, Nthng hng.

Có rất nhiều cách chứng minh bài toán.
Chẳng hạn, do AMO BNO (c.g.c),

suy ra OMON (1)

và .

Vậy M, O, Nthẳng hàng. (2)
Tõ (1), (2) suy ra Olà trung điểm của MN.
Các bạn lớp 8 có thể nhận xét AMBNlà
hình bình hành, suy ra trung điểm Ocủa
ABcũng là trung điểm của MN.

Xin trao giải cho các bạn : Hoàng Thị
Mỹ Linh, 6E, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Hà

Tĩnh; Vũ Văn An, 6A, THCS Nguyễn Hiền,
Nam Hồng, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn
Thùy Linh, 8A, THCS Đồng Phong, Nho
Quan, Ninh Bình ; Nguyễn Khánh Linh,
7A₁, THCS Lê Lợi, TX. Hà Đông, Hà Tây;
Huỳnh Ngô Loan, 8/1, THCS Nguyễn Du,
Phan ThiÕt, B×nh Thn.

Anh KÝnh Lóp

    ₁₈₀o

AOM AON BON AON
Cho bài toán :

Bi toỏn.Gii phương trình

(1)
Mét häc sinh cã lêi gi¶i nh­ sau :

Lời giải.Ta có (1) tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm là x0 và x1.

Với lời giải trên thì ta thấy đây là bài tốn khá đơn giản vì con
đường đi tới kết quả thật suôn sẻ ! Các bạn có ý kiến gì khác khơng ?

Hồ bá hiếu (THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An)

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3

3 2

2 2 2

3 1 1 3 3 1 1 ( 3 1 1) 2

3 3 1 1 ( 3 1 1) 6

3 1 1 ( 3 1 1) 2

3 1 1 2 2

2 (3 1)( 1) 8 [(3 1)( 1) 4 ] 0

0 0

(3 1)( 1) 4 0 3 2 1 4 0

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

             

          

         

     

        

 

 

 

       

 

 

2 2

0 0 0

1.

2 1 0 ( 1) 0

x x x

x

x x x

 

   

  _{ }

    

  

 

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

LOẠI BỎ HÌNH NÀO ?

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 38)

v

Kì này :

Bài 1.TTT đăng bài giải của bạn Lê Thanh Sơn, 8/3,
THCS Lê Quý Đôn, TP. Hải Dương, Hi Dng :

Tam, tứ, ngũ giác rõ ràng

Hỡnh trũn õu lại lang thang đứng vào ?
Chẳng là khác loại lắm sao !

Đáp án Dđó, nhặt vào bài thi.

Bµi 2. TTT đăng bài giải của bạn Đoàn Thị Huyền
Vân, 7B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh:

Tam giác nào có đường cao ?
A liền ngả nón : Xin chào ! Có tôi !

Đường cao B có đây thôi !
D bèn la lớn : Có tôi đây nè !

Vậy thì còn mỗi hình C

Đường cao không có nên Clạc loài.

Ngoi hai bn trờn, ln này TTT thưởng thêm cho các
bạn : Nguyễn Thị Khánh Hịa, 92, THCS Qn Hàu, Quảng
Ninh, Quảng Bình ; Trần Thị Phương Hải, 33 Nguyễn
Hữu Cầu, TP. Hải Dương, Hải Dng.

Nguyễn Đăng Quang

1. lu bỳt
2. liờn hoan
3. xa trng
4. nh trường

1. gặp nhau cuối tuần
2. chiếc nón kì diệu
3. bảy sắc cầu vồng
4. người xây tổ ấm

Bạn chọn phương án no thay vo du chm hi ?

ve sầu
nắng hạ

vn c tớch
nh ch nht

ai là triệu phú
trò chơi âm nh¹c

?

chia tay

phượng đỏ
?

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Hình học là một công cụ để giải quyết
được nhiều bài tốn Đại số, trong đó có bài
tốn Bất đẳng thức. Tìm hiểu về vấn đề này
cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa hai
phân mơn Hình học và Đại số trong bộ mơn
Tốn.

Hãy xuất phát từ một ví dụ rất đơn giản.
Ví dụ 1. (Bất đẳng thức Cô-si trong
trường hợp n 2)

Chứng minh rằng : Nếu a, b là cỏc s
dng thỡ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab.
Chứng minh.

Vẽ nửa đường tròn đường kính ABab.
Trên ABlấy điểm Hthỏa mÃn AHa, HBb.
Từ Hkẻ đường vuông góc với ABcắt nửa

đường tròn tại Cthì CH .
Hiển nhiên CHkhông lớn hơn bán kính đường

tròn nên (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CHlà bán
kính hay Htrùng tâm đường tròn, điều này

chính là ab.

Ví dụ 2.(Đề thi vào Đại học năm 1980)
Chứng minh rằng : Nếu a > c, b > c và

c> 0 thì .

Chøng minh.

Trên đường thẳng dlấy lần lượt các điểm
B, H, Csao cho : BH , HC .
Trên đường vuông góc với BCkẻ từ Hlấy A
sao cho HA . Sử dụng định lí Py-ta-go
cho các tam giác vng AHB, AHC ta có
AB , AC . Do đó :

(đpcm).

Ví dụ 3. (Đề thi vào Đại học Huế năm 1999)
Chøng minh r»ng : NÕu 0 < a, b, c< 1 th×

a(1 c) b(1 a) c(1 b) < 1

Chứng minh. Vẽ tam giác đều ABCcó
độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, BC,
CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
AMa, BNb, CPc. Vì a, b, cthuộc (0 ; 1)

( ) ( ) 2( )

2 sin

ABH ACH
ABC

c a c c b c S S

S AB AC A AB AC ab

    

      

b
a

c

b c
a c

( ) ( )

c a c  c b c  ab

1

2 a b2
ab CH  AB 

AH HB  ab
2

a b_{ } _ab

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

nên tam giác MNPcó diện tích dương.

Do đó :

VÝ dơ 4. Chøng minh r»ng : Víi mäi sè a,
b, c, dta cã :

Chứng minh.Trên mặt phẳng tọa độ xét
các điểm O(0 ; 0), A(a; b), B(ac; bd).
Ta có bất ng thc tam giỏc :

OAABOB.

Vì OA ,AB ,

OB nên ta có điều
phải chứng minh.

Ví dụ 5. (Đề thi vào Học viện Quan hệ
Quốc tế năm 2000)

Chøng minh r»ng : NÕu các số a, b, c
thỏa mÃn abc3 thì

Chứng minh.Ta có

Xét các điểm O(0 ; 0), A(a b; b),
B(ab b c; b c),

C(a bb cc a; b
 c a), ta cã :

VÕ tr¸i  OA  AB  BC  OC 

Mong các bạn hãy vận dụng những ý
tưởng trên để giải quyết nhiều bài toán bất
đẳng thức bằng phương pháp hình học.
Trước hết các bạn thử giải các bài tập sau
đây.

Bµi tËp 1. Chøng minh r»ng : Víi mäi số
x, y, zta có :

Bài tập 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
số

Bài tập 3.Chứng minh với mọi giá trÞ cđa

x ta cã : x2  x 1 x2  x 1 1.

2 ₁ 2 _1.

y  x   x x  x

2 2 2 2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x

2
2

3 1 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 VÕ ph¶i.

a b c  b c a

 _ _  __ _ _ _
  _ _
  _ _
 
3
2
3
2
3

2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2

1 3 _,

2 2

1 3 _,

2 2

1 3 _.

2 2

a ab b a b b

b bc c b c c

c ca a c a a

 
 
   _  _  _ _
  _ _
 
 
   _  _  _ _
  _ _
 
 
   _  _  _ _
  _ _

2 2 2 2

2 2 _{3 3}

a ab b b bc c
c ca a

     

   

2 2

(a c )  (b d)

2 2

c d

2 2

a b

2 2 2 2 ₍ ₎2 ₍ ₎2

a b  c d  a c  b d

1 _sin 1 _sin

2 2

1 _sin 3

2 4

3 _{(1 )} _{(1 )} _{(1 )} 3

4 4

(1 ) (1 ) (1 ) 1

AMP BNM CPN ABC

S S S S

AM AP A BN BM B
CP CN C

a c b a c b

a c b a c b

  

      

   

 _      _

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

(Tiếp theo kì trước)

ThS.NGUN V¡N NHO (NXBGD)
Sè này sẽ giới thiệu thêm 8 bài khác

ca thi tuyn sinh vo trng i hc
quc gia Sin-ga-po nm 2005.

Bài 1.(câu 1, phần A, cải biên)

Biu thc c xỏc
nh ti những giá trị của

(A) toµn bé tËp

(B) toµn bé tËp , trõ sè 1

(C) toàn bộ tập , trừ các số 1 và 2
(D) toàn bộ tập , trừ các số 1 và 0
(E) Tất cả các câu trên đều sai.
Bài 2.(câu 13, phần A)

Hàm số f(x) x24x2 là hàm số đơn
điệu tăng trên khoảng (chọn khoảng lớn
nhất) : (A) [0 ; ) (B) (; 0]
(C) [2 ; ) (D) (; 2] (E) (2 ; ).

Bài 3.(câu 17, phần A)

Bt ng thc |3 2x| 19 có nghiệm

(A) (8 ; 11) (B) (; 8) (C) [8 ; 11]
(D) (11 ; ) (E) [11 ; ).

Bài 4.(câu 18, phần A)

Biểu thức b»ng

(A)
(B)
(C)

(D)

(E) Tất cả các câu trên đều sai.
Bài 5.(câu 19, phần A, cải biên)
Nếu a3bằng 64 thì sẽ bằng
(A) 16 (B) 0,25 (C) 0,0625
(D) 0,125 (E) 0,45.

Bài 6.(câu 21, phần B)

(a) Xỏc nh k để phương trình sau
khơng có nghiệm bằng 6 :

x2_₂₍_k_₂₎_x_₂₍_k_₅₎__0.

(b) Chøng minh r»ng, với mọi giá trị
thực của x thì giá trị của biểu thức

nằm giữa và 3.

Bài 7.(câu 33, phần C, cải biên)
Cho điểm Pnằm trên cạnh BCcủa tam
giác ABCsao cho PC2BP,

và . Hãy tính .
Bài 8.(câu 38, phần C, cải biên)
(a) Hãy tìm một tập hợp gồm 4 số
nguyên dương liên tiếp, trong đó số lớn
nhất là một ước số của bội chung nhỏ
nhất của 3 số cịn lại (chỉ cần tìm, khơng
cần lập luận).

(b) Hãy tìm một tập hợp gồm 3 số
nguyên dương liên tiếp, trong đó số lớn
nhất là một ước số của bội chung nhỏ
nhất của 2 số còn lại. Chứng minh nếu
khơng tìm được.


ACB
 ₆₀o

APC

 ₄₅o

ABC
1

3

 

 

2

2 2₂ 4₄

x x

x x

2

1
a

  



2 32

2 10 27

3

x x

x

  



2 91

2 10 27

3

x x

x

  



2 23

2 8 29

3

x x

x

  



2 91

2 10 27

3

x x

x

  



3 2

2 4 3 10

3

x x x

x

2
2

sin

( ) 2

( 1)
x
f x

x

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

CUỘC THI TUYỂN SINH VAØO TRƯỜNG ĐẠI HC QUC GIA SIN-GA-PO

Bài 1.(câu 2, phần A)

Chọn : (B) 5.

Bài 2.(câu 4, phần A)
Chọn : (D) 107358.

Tng ca tt cả các số nguyên dương
không lớn hơn 500 là

Tổng các bội của 7 nằm trong khoảng
từ 1 đến 500 là 7 14 21 ... 497 

Vậy tổng của tất cả các số nguyên

dương không lớn hơn 500 và không chia
hết cho 7 l 125250 17892 107358.

Bài 3.(câu 11, phần A, cải biên)
Chọn : (E) một kết quả khác.

Gi cỏc im chõn thang và đầu thang
ở vị trí ban đầu (khi thang hợp với tường
góc 45o) lần lượt là A và B ; O là chân
đường vng góc từ Btới chân tường.

Khi chân thang trượt đều trên mặt đất
(với tốc độ 0,02 m/s) thì đầu thang sẽ trượt
trên tường với tốc độ không đều. Ta sẽ
chứng minh điều này bằng cách tính tốc
độ trung bình của đầu thang trong giây

đầu tiên và khi đầu thang trượt hết từ B
đến O:

l Gọi C và D lần lượt là các điểm chân

thang và đầu thang trượt tới sau 1 giây,
theo đề bài ta có AC0,02 m ; CDAB
 10 m. Mặt khác, tam giác AOB vng
cân tại O nên ta tính được :

Vậy đầu thang trượt trong giây đầu tiên
với tốc độ trung bình là 0,02 m/s (đúng
bằng độ dài đoạn DB).

lĐầu thang trượt hết từ Bđến Okhi chân

thang trượt từ Ađến O’(OO’AB10 m).
Ta có AO’OO’ AO

2,93 (m) suy ra thời gian chân thang trượt
từ Ađến O’là (giây), cũng là
thời gian đầu thang trượt từ Bđến O.

VËy vËn tèc trung b×nh cđa đầu thang
trên đoạn BOlà 5 2 0.048 (m/s).

146,5

2,93 146,5
0.02

10 5 2 2,93 
2 2 ₁₀2 _7,092

2 _{5 2 7,07 (m) ;}
2

5 2 0.02 7,09 (m) ;
7,05 (m) ;
7,07 7,05 0,02 (m).

CD OC

OA OB AB
OC OA AC
OD

DB OB OD

   
    
    
    



7(1 2 3 ... 71) 7     71 7217892.
2


    500 501

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

(TTT2 sè 39)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT, tỉnh Thái Bình

năm học 2005-2006

Bµi 1. 1. Ta cã :
suy ra

2. Đặt tx20, phương trình trở thành
t2 5t  36  0, có nghiệm dương t  4.
Suy ra x24 x 2.

Bµi 2.(d) : y(2m3)xn4
1.a) Ta cã (d) ®i qua A(1 ; 2), B(3 ; 4)

(m; n) (2 ; 5).
1.b) Ta cã (d) ®i qua
(d) ®i qua

VËy (m; n) 

2. Với n0 ta có (d) : y(2m3)x4.
Tọa độ của M thỏa mãn hệ phương
trình

(víi m2).

(m24m4).P4m24m17 (m2)

(P4)m24(P1)m4P17 0. (1)
Víi P4 th×

Với P4, phương trình (1) có nghiệm
 ’_m0 72 9P0 P8.

Vậy Pđạt giá trị lớn nhất là 8
 (thỏa mãn m2 và ).

Bài 3. Gọi chiều dài mảnh vườn là x(mét),
suy ra chiều rộng mảnh vườn là (mét).

Theo giả thiết ta có phương trình :
x26x1080 0.

Do x> 0, giải ra ta được x30 (mét).
Vậy kích thước mảnh vườn là 30 m 24 m.
Bài 4. 1.a) Ta có CDCMDM;
CMCA; DMDBsuy ra CDACBD.

1.b) (c¸c c¹nh

tương ứng vng góc), OMCD(theo giả
thiết), suy ra ACBDCMDMOM2R2
(hệ thức lượng trong tam giác vuông COD).
2. Ta thấy ABDC là hình thang vng
nên 2S_ABDCAB(ACBD) 2RCD.

  ₉₀o

COD AMB 
720

(x 6) 4 720
x
 
 _  _
 

720
x
 3
2
m
7
2
m
11.
4
m

   
  _ _  _ _
 
   
 

 
2 2
2 2
2
2

2 1 3

2 2

2 2

4 4 17

4 4

m

P y x

m m
m m
m m

 
 _{ } _
 
 

3 2 1

( ; ) ;

2 m 2
x y
m m
  

   


(2 3) 4

2 0

y m x

x y

 

(2 2 2 ; 3 3 2).

     

       

     



(2 3)(1 2) 4 0

2(1 2) 3 3 2 3 3 2 4 0
2 _{2( 2 1) 2 2 2.}
1 2

m n

m
m



(1 2 ; 0)

  n 4 3 2 1   n 3 3 2 ;

(0 ; 3 2 1)

     

 

 _{   }  _{ }

 

2 3 4 2 2 9

3(2 3) 4 4 6 17.

m n m n

m n m n

3
( ).

2
m

     

5 9 4 5 5 5 2 2.

   2   

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỐN,

THPT CHUN NGUYỄN BỈNH KHIÊM, TỈNH VĨNH LONG

Năm học 2005-2006 ; Thời gian : 150 phút

Bài 1.(1,5 điểm)
Cho hàm số
a) Tính f(1), f(5)
b) Tìm xđể f(x) 10

c) Rót gän khi x 2.
Bài 2.(1 điểm)

Tỡm nghim nguyờn dng x, y, z, tca
phng trỡnh

Bài 3.(1 điểm)

Cho hai s dương a, b. Chứng minh
rằng :

Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Bài 4.(2 điểm)

Cho phương trình bậc hai (ẩn x) sau :
x2mxm1 0.

a) Xác định giá trị của m để phương
trình trên ln có hai nghiệm x₁, x₂.

b) TÝnh theo m.

Bài 5. (2,5 điểm)

T im Pnm ngoi ng trịn tâm O
bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA, PB. Gọi
H là chân đường vng góc hạ từ A đến
đường kính BC.

a) Chøng minh r»ng PC cắt AH tại
trung điểm Ecủa AH.

b) Giả sử POd. Tính AHtheo Rvà d.
Bài 6. (2 điểm)

Cho tam giác ABCvuông ở A,

®­êng cao Chøng minh r»ng
ABClà tam giác vuông cân.

2 .
2
AH

2,

BC

1 2
2 2

1 2 1 2

2 3

2(1 )

x x
A

x x x x

 2 _  _ _

( ) _.

2 4

a b _{a b a b b a}

   

2 2 2 2

1 1 1 _{1 1.}

x y z t




2( )₄

f x
A

x

 2 

( ) 4 4.

f x x x

Suy ra S_ABDCRCDRAB2R2.
VËy ABDCcã diƯn tÝch nhá nhÊt lµ 2R2
 AB  CD M là trung điểm của nửa
đường tròn (O) đường kính AB.

3. Từ kết quả trên ta tính được CD16 cm
suy ra 2S_CODOMCDS_COD16 cm2.
H·y chøng minh ABM CDO. Suy ra

Bµi 5.Ta cã nhËn xÐt :

4(2x2xy2y2) 5(xy)23(xy)2
5(xy)2. Do x, ydương, suy ra :

Tương tự :

Do xyz1, cộng theo từng vế 3 bất
đẳng thức trên ta suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra đẳng thức xảy ra ở
cả ba bất đẳng thức trên xyz 1.

3

   

2 2 5

2 2 ( ).

2

z zx x z x

   

2 2 5

2 2 ( ) ;

2

y yz z y z

   

2 2 5

2 2 ( ).

2

x xy y x y

2 2

2

2 16 2 1 cm .

ABM

ABM
CDO

S AB _S AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

l

_{KÕt qu¶ :}

THI GIẢI TỐN QUA TH

Bi 1(38).Gii phng trỡnh

(1)
Lời giải.Nhận xét rằng x0 không phải
là nghiƯm cđa (1).

Với x0, ta viết (1) dưới dạng :

(2)
Với điều kiện hay 0 < x < 1,
bình phương hai vế của (2) ta cú :

Đặt thì (3) trở thành :
t22t8 0 t4 (do t> 2).
Suy ra

(do 0 < x< 1).
VËy (1) cã nghiƯm duy nhÊt lµ

Nhận xét. Nhiều bạn không để ý đến
điều kiện 0 < x< 1 nên đưa ra đáp số sai là
phương trình (1) có hai nghiệm

Sau đây là những bạn có lời giải đúng và
gọn : Hồng Tuấn Anh, 9H, THCS Lê Hồng
Phong, TP. Yên Bái, Yên Bái; Nguyễn Mạnh
Đức, 9A, THCS Lê Quý Đôn, TX. Tuyên
Quang, Tuyên Quang; Lê Hoàng Long, số
nhà 37B, phường Trưng Trắc, TX. Phúc

Yên, Vĩnh Phúc ; Ngô Việt Hùng, 8A₃,
THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng
Yên; Nguyễn Doãn Tiến Đạt;Nguyễn Hữu
Nam, 8C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải
Dương ; Vũ Quốc Uy, 9A, THCS Thị Trấn
Đơng Hưng, Thái Bình ; Dương Hoàng
Hưng;Hoàng Thị Lệ Quyên, 8B, THCS Lý
Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nguyễn
Thị Xuân Thảo, 8A₁, THCS Nhơn Lộc,
Nhơn Lộc, An Nhơn, Bỡnh nh.

Nguyễn Văn Mạnh

Bài 2(38). Cho

trong ú x, y, zlà các số nguyên, x> y> z.
Chứng minh rằng Alà số nguyên dương.
Lời giải.Ta có :

x4(yz) y4(zx) z4(xy)
x4(yxxz) y4(zx) z4(xy)
(xy)(z4x4) (zx)(y4x4)
(xy)(zx)((zx)(z2x2) 

(xy)(x2y2))
(xy)(zx)((z3y3) 

x(z2y2) x2(zy))
(xy)(xz)(yz)(z2zy

y2xzxyx2)
 (xy)(xz)(yz)((xy)2

(yz)2(zx))2.
Suy ra :

Theo gi¶ thiÕt x> y> z, suy ra A> 0.
Mặt khác vì trong ba sè nguyªn x, y, z
1(  )(  )(  ).

2 x y x z y z

    



    

4 4 4

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y
A

x y y z z x

1
2

4 4 4

2 2 2

( ) ( ) ( _),

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y
A

x y y z z x

    



    

 2 3.
x

 2 3.
x

  x 2 3

  1 4 24  1 0

x x x

x
1 2
t x
x
  
2
2 2

4 3 2

2
2
2

8 2 1

1

2 6 2 1 0

1 ₂ 1 _{6 0}

1 ₂ 1 _{8 0.} ₍₃₎

x x

x x

x x x x

x x
x
x
x x
x x
 


     
   
_  _ _  _ 
 
 
   
_  _  _  _ 
   
 
1 x ₀

x


 2

2 2 1 _.

1

x
x
x

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

có ít nhất hai số cùng tính chẵn, lẻ nên
(x y)(xz)(yz) là số nguyên chẵn. Bởi
vậy Alà số nguyên dương.

Nhận xét. Thực chất đây là bài tốn
“phân tích đa thức ra thừa số”. Rất nhiều
bạn tham gia giải và đều có lời giải như
trên. Hoan nghênh các bạn sau có lời giải
tốt : Nguyễn Thị Thúy Hoa, 7D, THCS Thị
Trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ;
Nguyễn Ngọc Long;Lê Doãn Phương, 7A,
THCS Thuận Thành, Bắc Ninh ; Nguyễn
Thị Hoa Mai, 6C, THCS Lập Thạch ; Lê Thị

Tuyết Mai, 7A₁, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc;
Bùi Phúc Tiến, 7A₁, THCS Nguyễn Trực,
Thanh Oai, Hà Tây ; Nguyễn Ngọc Huy,
7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải
Phịng; Hồng Văn Sáng, 7A₁, Phân hiệu
học sinh giỏi Kiến Xương, Thái Bình ; La
Hồng Quân, 7B, THCS Nguyễn Chích,
Đơng Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Hịa Lam,
7C, THCS Kỳ Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Trần
Văn Thành, 7A, THCS Nguyễn Huệ, Cam
Lộ, Quảng Trị ; Phạm Quang Thịnh, 7H,
THCS Hùng Vương, TP. Tuy Hịa, Phú n.

Ngun Minh §øc

Bài 3(38). Cho ba số dương a, b, c và
T(x) x2004__x2002__{3. Chứng minh rằng :}

T(a)T(b)T(c) 9(abbcca).
Lời giải.Với số thực dương xta có :
T(x) x22 x2004x2002x21
(x20021)(x21) (x1)2(x1)(x2001

x2000... x1) 0.
Do ú T(x) x22.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1.
Bëi vËy ta cã :

T(a)T(b)T(c) (a22)(b22)(c22). (1)

Vì các số a, b, c có vai trị bình đẳng
trong bài tốn đang xét nờn khụng mt tớnh

tổng quát, giả sử hai số a, b cùng không
nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1, tức
là (a1)(b1) 0. Ta cã :

(a22)(b22)(c22) 9(abbcca)
a2b2c22(a2b2b2c2c2a2) 

4(a2b2c2) 8 9(abbcca)
c2(a2b2a2b21) 

3(b2c22bc1) 3(c2a22ca1) 
2(a2b22ab1) (a22abb2) 
3(a2b2c2abbcca)
c2(a21)(b21) 3(bc1)2

3(ca1)22(ab1)2(ab)2
 ((ab)2(bc)2(ca)2) 0. (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra đpcm. Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi abc 1.

Nhận xét. Khơng có khó khăn với nhiều
bạn học sinh để nhận được bất đẳng thức
(1), nhưng lại rất khó khăn với đa số các
bạn học sinh để biến đổi được (2).

Nhấn mạnh với các bạn rằng : đó là một
phương pháp quan trọng, khá hấp dẫn

trong chứng minh bất đẳng thức - phương
pháp “phân tích thành tổng các biểu thức
không âm”. Trong các lời giải gửi về tòa
soạn, chỉ có một lời giải đúng của bạn
Nguyễn Thái Hoàng, 7/2, THCS Lê Văn
Thiêm, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.

Ngun Minh §øc

Bài 4(38) :Cho tam giác ABCcó BC7 cm,
ACAB1 cm. Gọi Ilà giao điểm của các
đường phân giác của tam giác, H là chân
đường vng góc kẻ từ Iđến BC. Tính các
độ dài HB, HC.

Lêi gi¶i : Ta có I là giao điểm của các
đường phân giác, cũng chính là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Gọi H, K, L lần lượt là tiếp điểm của
đường tròn này với các cạnh BC, CA, AB, ta
có : AKAL ; BLBH; CHCK.

Suy ra ACABAKCKALBL
CKBLCHBH1 cm. (1)

Ta lại có CHBHBC7 cm. (2)
Từ (1), (2) suy ra BH3 cm; CH4 cm.
Nhận xét : 1) Bài tốn này khơng khó

nhưng cũng rất cần có sự lựa chọn hướng
giải quyết “tỉnh táo”. Cũng rất tự nhiên, nếu
sử dụng giả thiết ACAB 1 cmtrước thì
thơng thường sẽ dẫn đến việc xác định hai
điểm phụ Mtrên AC, Ntrên BCsao cho AM
 AB và HN HB để rồi phải chứng minh
CM CN. Tuy nhiên việc chứng minh điều
này khó và dài dịng hơn.

2) Các bạn giải tốt và có nhiều lời giải là
Nguyễn Thị Hạnh Thúy, 8B, THCS Thị Trấn
Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Tạ Đức Thành,
8A₃, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ; Võ Thị
Bảo Phương, 9A₂, THCS Trà Lân, Con
Cuông ; Lưu Tuấn Anh, con mẹ Miên, xóm
11, Nghi Trung, Nghi Lộc, Nghệ An ; Đỗ
Công Nguyên, 9B, THCS Thị Trấn Neo,
Yên Dũng, Bắc Giang ; Trần Kiều Trang,
TT điều dưỡng thương binh Duy Tiên, Yên
Nam, Duy Tiên, Hà Nam ; Tạ Hương
Quỳnh, 99 Nguyễn Trãi, TX. Hưng Yên,
Hưng Yên ; Nguyễn Thanh Huyền, 9C,

THCS Thị Trấn Tiền Hải, Tiền Hải, Thái
Bình ; Nguyễn Văn Cường, 7G, trường
Marie-Curie, Hà Nội ; Vũ Thanh Tú, 9A₂,
THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ;
Phùng Minh Vũ, 9C, THCS Thanh Thủy,
Thanh Thủy ; Nguyễn Ngọc Tuấn, con mẹ
Đinh Thị Ngân, khu 10, Sai Nga, Cẩm Khê,

Phú Thọ ; Nguyễn Hữu Kiên, 9A, THCS
n Phong, Bắc Ninh.

ngun anh qu©n

Bài 5(38).Cho tam giác ABCvng ở A,
ngoại tiếp đường trịn (I, r). Kẻ đường cao
AH; Gọi Mlà trung điểm của BC; Qlà giao
điểm của AHvà MI; Evà Flần lượt là hình
chiếu của Atrên IBvà IC.

Chøng minh r»ng AQEF.

Lời giải. (theo bạn Nguyễn Thị Quyên,
con bố Nguyễn Đức Độ, Thượng Vũ, Kim
Thành, Hải Dương)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Vì suy ra AEIFnội tiếp
đường tròn tâm L, đường kính IA. (1)

Tam gi¸c AEBcã
suy ra

(2)
Tương tự ta có suy ra :

(3)
Tõ (1), (2) suy ra

EF// BC(hai gãc so le trong b»ng nhau)
KEKF(v× MBMC) ; (4)
kÕt hỵp víi (3) suy ra EF2LK. (5)
Tõ (1) vµ (4) suy ra LKEFLKBC
LK // AHLK// AQAQ2LK(vì L
là trung điểm của IA). (6)

Tõ (5), (6) suy ra AQEF.

Nhận xét. 1) Đây là bài tốn hay nhưng
khơng khó, rất nhiều bạn tham gia giải và
đều giải đúng.

2) Nhiều bạn giải theo phương án sau :

Đây cũng là một phương án giải hay.
3) Một số bạn có lời giải tốt : Trần Bá
Trung, 9A₁, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ;
Phạm Thị Bích Ngọc, 9C, THCS Tam
Dương, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Ngọc Tuấn,
mẹ là Đinh Thị Ngân, khu 10, Sai Nga, Cẩm
Khê, Phú Thọ; Trần Trí Hiệp, 9G, THCS Kì
Anh, Hà Tĩnh; Lê Thị Nguyệt, 9A₃, THCS
Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên.

NguyÔn Minh Hµ

.
AQ r _{AQ EF}
EF r



 _ _

 _



   _ _ _

2
C
EFI EAI ICB

 ₂ ₉₀o

ELF EAF

  

     ₄₅o

2 2
B C
EAF IAE IAF    

 _ _,

2

B
IAF

  

 45o  .
2 2
B C
IAE

 

  

o o

45 90

2
B
IAE

 _ __{90 ,}o

BAE ABE

  ₉₀o

AEI AFI 

Thi giải toán qua thư

Các bạn được thưởng kì này

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Một buổi sáng chủ nhật, thám tử
Sê-Lốc-Cốc đang lái xe đưa các con ra
ngoại ơ chơi thì bỗng chng điện thoi di
ng reo vang.

Xin chào thám tử ! Tôi là Giôn, chủ nhà
băng Uy Tín. Làm phiền ông trong ngày
nghỉ thế này thật không nên, nhưng tôi
không biết phải nhờ ai nữa... Xin ông giúp
cho... Nhà tôi vừa bị mất trộm...

Tri, nh ụng ch nh băng mà cũng bị
mất trộm ư ? Bọn trộm quả là có tay nghề
cao thật đấy ! Ơng bị mất gì vậy ?”

“Thưa thám tử, két sắt bị cậy, tồn bộ đồ
nữ trang đắt giá của vợ tôi bị mất trắng ! Vợ
tơi đang khóc lóc rầu rĩ, sốt ruột quá !”

“Tôi sẽ đến nhà ông sau 40 phút, ông
đọc địa chỉ đi. Bây giờ tôi đưa các con đến
nhà nghỉ đã !”

40 phút sau, đúng như lời hẹn, thám tử
đã đến nhà ông Giôn. Bà Li-na - vợ ông

Giôn - mừng quýnh :

- Cảm ơn ông đã đến ! Số nữ trang của
tơi trị giá rất lớn, hơn nữa đó lại là quà tặng
của chồng tôi hàng năm nhân dịp ngày
cưới, ngày Valentin, ngày 8 tháng ba...

Mong thám tử giúp đỡ ! Tơi hi vọng ơng sẽ
tìm được thủ phạm vì hắn có để lại một lá
thư. Thú thật, đọc thư hắn vợ chồng tôi
không hiểu được.

- Bà đừng lo lắng quá, tôi xin hứa sẽ cố
gắng hết sức. Bà vừa nói hắn để lại lá thư
ư ? Kì lạ nhỉ, ăn trộm xong lại để thư lại !
Có vẻ như mt v trm kỡ quc õy ! - thỏm
t núi.

Ông Giôn sốt sắng :

- Thỏm t cú th vo ngay phịng riêng
của vợ tơi. Két sắt để trong phịng đó mà !

- Vâng, ông bà đưa tôi vào luôn đi.
Theo chân chủ nhà, thám tử Sê-Lốc-Cốc
vào phòng bà Li-na. Bà chủ mở cánh tủ và
chỉ cho thám tử chiếc két được giấu trong
tường, bên trong chiếc tủ.

- Mời ông xem ! Lá thư chúng tôi đọc

xong lại để vào trong két rồi đấy ạ.

- Chà ! Kín đáo thế này mà tên trộm vẫn
tìm được sao !? Để tơi xem nào !

Thám tử lấy lá thư ra đọc :

“Chào ông chủ nhà băng ! Cả nhà băng
và nhà riêng của ông đều được canh gác
hết sức cẩn thận với những thiết bị vơ cùng

Ngun TiÕn Trung

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

l

Kết quả :

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

_{(TTT2 số 38)}

Lần này, nhiều bạn đã có câu trả lời

chính xác : Khi ngồi trời rất lạnh cịn trong
phịng lại rất ấm thì hơi nước trong phịng
sẽ ngưng tụ thành những giọt li li, bám trên
mặt trong của kính cửa sổ, khiến kính mờ
đi. Điều này trái với lời khai của tên Pen là
“cửa kính trong suốt nên tơi nhìn thấy rất rõ”.
Tuy nhiên, vẫn có khơng ít bạn đưa ra
câu trả lời chưa đúng khi cho rằng cửa sổ
mờ là do tuyết bám trên cửa sổ, sương mù,
bụi bặm. Một số bạn cũng trả lời kính bị mờ
do hơi nước ngưng tụ nhưng lại khẳng định

hơi nước bám bên ngồi cửa kính.

Phần thưởng kì này được trao cho năm
bạn sau đây : Hoàng Tuấn Anh, 7A₂,
THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú
Thọ ; Lại Đắc Hợp, 7A, THCS huyện
Thuận Thành, Bắc Ninh; Lê Bá Sơn, 7B,
THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh
Hóa ; Hồ Xuân Anh Ngọc, 9/1, THCS
Nguyễn Tri Phương, TP. Huế, Thừa Thiên
- Huế ; Huỳnh Ngô Loan, 85 Phạm Ngọc
Thạch, Phan Thiết, Bình Thuận.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc
hiện đại. Thế nhưng tơi muốn chứng tỏ cho

ông biết rằng “vỏ quýt dày có móng tay
nhọn”. Tơi ăn trộm vụ này chỉ để chứng
minh điều đó và tơi sẵn sàng trả lại tài sản
nếu ơng tìm được nơi ở của tơi. Tơi đang ở
trong một phịng đặc biệt của một khách
sạn đặc biệt, nằm trên phố “Khách Sạn”,
ngay trong thành phố này : số nhà (của
khách sạn) là một số có hai chữ số mà khi
đổi vị trí của chúng thì ơng sẽ biết được số
phịng tơi ở. Nếu ông ghép số nhà vào
trước số phịng thì ơng sẽ được một số là

lập phương của một số tự nhiên. Nếu ơng
giỏi tốn thì ơng sẽ tìm ra tơi ngay !”.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc cau mày suy nghĩ
một lát rồi thốt lên “Đúng là một tên trộm kì
quặc ! Nhưng tơi đốn ra số nhà của khách
sạn và số phịng của hắn rồi. Nếu ơng bà
muốn, chúng ta có thể tới đó bây giờ”.

Hai vỵ chồng ông Giôn ngơ ngác không
hiểu tại sao thám tử Sê-Lốc-Cốc lại tìm ra
nhanh thế !

Các thám tử Tuổi Hồng có thể đưa ra ẩn
số và giải thích được không ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

18

BÀN VỀ MỘT BÀI TỐN CŨ

Đó là tơi muốn nói đến một bài tốn đã
từng xuất hiện hai lần trên TTT2.

Bài toán 1.Cho x₁, x₂, x₃, x₄là bốn số
dương có tổng bằng 1. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

Trên TTT2 số 6, bạn Trường Sơn
(TP. Hồ Chí Minh) đưa ra một lời giải khá
hay, chỉ sử dụng kiến thức lớp 8, bằng cách
áp dụng bất đẳng thức a4b4a3bab3.
Hơn nữa, lời giải đó cịn giải quyết được bài

tốn chỉ với giả thiết x₁x₂x₃x₄1
và

Đến TTT2 số 23, bạn Phạm Tiến Đồng
(Quảng Bình) đưa ra lời giải áp dụng bất
đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski hai lần, khá
phức tạp. Tuy nhiên lời giải này lại có ưu
điểm lớn là giải được bài toán tổng quát :

Bài toán 2.Cho m, nlà các số nguyên
dương ; x₁, x₂, ..., x_n là các số dương có
tổng bằng k. Chứng minh rằng :

Đọc hai bài trên, tôi băn khoăn : “liệu có
lời giải nào hội đủ các ưu điểm của cả hai
lời giải trên không ?”. Câu trả lời là cú :

Lời giải bài toán 1.Ta có :

với mọi x, suy ra

¸p dơng cho x₁, x₂, x₃, x₄ta cã :

Vì và x₁x₂x₃
x₄1 nên ta có

Đẳng thức xảy ra x₁x₂x₃x₄
Vậy giá trị nhỏ nhất của Tlà

Li gii trên khơng những đơn giản, giải

được bài tốn 1 với giả thiết yếu hơn mà
cịn giải được bài tốn 2 nh sau :

Lời giải bài toán 2.Đặt knhta có :
x₁x₂... x_nnh.

NhËn xÐt : víi

mäi x, suy ra xmhxm1hm1xhm.

¸p dông cho x₁, x₂, ..., x_nta cã :

1 1 1

1 2

1
1 2

( ... )

( ... ) .

m m m

n

m m

n

h x x x

h x x x nh

  



   

    

   

1m 2m ... nm

x x x

1 1

(xm hm )(x h ) 0
1.
4
1.
4
   _
  

4 4 4 4

1 2 3 4
3 3 3 3
1 2 3 4 41.

x x x x

x x x x

   

3 3 3 3
1 2 3 4 0

x x x x

       

    

4 4 4 4 3 3 3 3

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

3 4

1 ( )

4

1 ₍ ₎ 4 _.

4 4

x x x x x x x x

x x x x

   
   
4 3
3 4
4 3
3 4

1 1 _{1 0}

4 ₄ ₄

1 1 _{1 .}

4 ₄ ₄

x x x

x x x

 
 _  _ _

 
 
  
3
3

1 1 ₀

4 ₄

x x

11_ 21 _{ } 1 

1 2

... _.

...

m m m

n

m m m

n

x x x k

n

x x x

   

3 3 3 3
1 2 3 4 0.

x x x x

  



  

4 4 4 4
1 2 3 4
3 3 3 3
1 2 3 4.

x x x x

T

x x x x

Lê hữu điền khuê

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

TRN U TH BA MƯƠI HAI

Vì x₁, x₂, ..., x_ndương và x₁x₂... x_nnh
nên ta cú :

lTừ lời giải trên ta thấy, nếu mchẵn thì bµi

tốn chỉ cần tới các giả thiết sau là đủ :
x₁x₂... x_nk ;

l Cũng từ lời giải trên, ta còn có thể giải

c nhng bi toỏn m rộng hơn nữa :
Bài toán 3.Cho m, n, plà các số nguyên
dương, pm; x₁, x₂, ..., x_nlà các số dương

tháa m·n Chøng

minh r»ng

Gợi ý.Sử dụng bất đẳng thức :
với mọi x.
Bài toán 4.Cho m, n, plà các số nguyên
dương, pm; x₁, x₂, ..., x_nlà các số dương
thỏa mãn x₁x₂... x_nk. Chứng minh
rằng

Gợi ý.Sử dụng bất ng thc :

với mọi x và
bài toán 3.3 (trang 3, TTT2 sè 28).

(xp m hp m )(xmhm) 0



   _{ }

  _{ }

  

1 2
1 2

...

.
...

p p p p m

n

m m m

n

x x x k

n

x x x

(xp m hp m )(xmhm) 0

  

  



  

1 2

1 2

...

.
...

p p p

n

p m p m p m

n

x x x _k

n

x x x

   

1m 2m ... nm .

x x x k

1_ 1_{ } 1_
1m 2m ... mn 0.

x x x

11_ 21 _{ } 1  

1 2

.. _.

...

m m m

n

m m m

n

x x x _h k

n

x x x

l Người thách đấu. Nguyễn Minh H,

ĐHSP Hà Nội.

l Bi toỏn thách đấu. Cho tam giác

nhän ABC, trùc tâm H. Phân giác ngoài
của cắt các cạnh AB, ACtheo thứ tự
tại D, E. Phân giác trong của cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEtại K
(K khác A). Chứng minh rằng HKđi qua
trung ®iĨm cđa BC.

lXuất xứ. Đề thi chọn đội tuyển quốc gia

năm học 2005 - 2006 (ngày 1).

lThi hn nhn thỏch đấu.

Trước ngày 15 - 07 - 2006.


BAC


BHC

KÕt qu¶

(TTT2 sè 38)

- Giải đặc biệt :200.000 đồng

Lê Văn Phường, thôn Đề On, xã Hành Phước,
Nghĩa Hành, Quảng Ngãi (số máy 0914908854) ;

- Gii khuyn khớch :100.000 ng

1. Nguyễn Thị Thúy Ngân, số nhà 61 Trần
Phú, TP. Vinh, Nghệ An (số máy 0915489992) ;
2. Lê Bá Hùng, số nhà 44 đường 198, thị trấn
Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh (số máy 0912389818) ;
3. Vũ Tuấn Anh, mẹ là Phạm Kim Thục,
Chủ tịch Hội Phụ nữ huyện ýYên, Nam Định
(số máy 0915444707).

Cuộc chơi cùng tin nhắn trên tạp chí

Toán Tuổi thơ sẽ tiếp tục với hình thức mới :

l Số máy nhắn tin mới là 8109. Mọi

mng di ng đều có thể nhắn tin được
đến số máy này.

lTrả lời trực tiếp bằng cách gọi đến số
19001548và làm theo chỉ dẫn.

l Néi dung dù thi qua 8109 hc

19001548 được hướng dẫn trực tiếp và có
phần thưởng riêng cho từng chun mục.

l Thêi h¹n dù thi tròn 1 tháng kể từ

ngy ra tp chí. Kết quả được thơng báo :
trên tạp chí cách sau một số hoặc gọi
đến 19001548 ; gửi tin nhắn 2 DSTTđến
8109.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

ÔN TẬP CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương trình vơ tỉ là một trong những
nội dung rất quen thuộc và quan trọng đối
với học sinh phổ thơng. Khi giải phương

trình dạng này, ta thường áp dụng các
phương pháp sau :

lNhóm, tách, thêm, bớt và biến đổi các số

hạng ở hai vế của phương trình đã cho v
nhng dng ó bit cỏch gii.

lĐặt ẩn phụ.

la v h phương trình.
láp dụng bất đẳng thức.

lSử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến

cđa hµm sè.

Bài viết này sẽ giúp các bạn ơn tập dạng
tốn giải phương trình vơ tỉ thơng qua một
phương trình được giải bằng nhiều cách,
nhờ vận dụng linh hoạt các phương pháp
nói trên.

Bài tốn.Giải phương trình :

(*)
Lời giải. Tập xác định : x1.

Cách 1.Với x1 ta có x34 > x7 > 0
nên hai vế của (*) đều dương, suy ra

(*) 

(x34)(x7)

Thử lại, ta thấy x2 đúng là nghiệm của
phương trình (*).

Cách 2.Ta có (*) tương đương với

x234xx34 x28x16
25x50 x2.

Thử lại, ta thấy x2 đúng là nghiệm của

     _{ }
  
     

  
     
 
     
 
     
 
     
 _{ } _{ } _ _ _

 
      


     
   

( 2 1)( 2 1)

2 1

( 34 7)( 34 7)

34 7

( 2) ( 1) ( 34) ( 7)

2 1 34 7

3 27

2 1 34 7

1 9

2 1 34 7

9 2 9 1 34 7

2 1 34 7

10 2 8 1 2 34

5 2 3

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x  

     
  
      
    

    
2 2

4 4 1

(5 2) ( 34 4 1)

25( 2)

( 34) 8 ( 34)( 1) 16( 1)
8 ( 34)( 1) 8 32

( 34)( 1) 4
x

x x x

x

x x x x

x x x

x x x

2 2

4 ( 1)( 2)

16 8 2 2

2.

x x x

x x x x x

x
    
      
 
2
2

400 2 1

40 ( 1)( 2) 34 7 238
160 40 40 ( 1)( 2)

x x x

x x x x x

x x x

     

      

    

400 40 ( x1)(x  2) (x 1)(x 2)

       

      

      

1 2 2 ( 1)( 2)

34 7 2 ( 34)( 7)
20 ( 1)( 2) ( 34)( 7)

x x x x

x x x x

x x x x

   2     2

( x 1 x 2) ( x 34 x 7)
 1  2 34 7.

x x x x

ts. đỗ hồng anh

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

phương trình (*).

Cách 3.Ta có (*) tương đương với

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
cho 6 số

ta cã

suy ra 6x 6  3x 6  2x 14 x 34
10x20 x2. (1)

Tõ (1) suy ra

9 x7 x2. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra x2.

Thử lại, ta thấy x2 đúng là nghim ca
phng trỡnh (*).

Cách 4.Theo cách 1ta có

Mặt khác, theo c¸ch 2ta cã x2, suy ra

Thử lại, ta thấy x2 đúng là nghiệm của
phương trình (*).

C¸ch 5.Ta cã

(do x34 > x1 > 0 với x1 nên

)

Đặt

Ta nhận thấy f(x) là hàm đồng biến khi
x1 và x2 là một nghiệm của (*), do đó
(*) có nghiệm duy nhất x2.

` Đề nghị các bạn hãy tiếp tục thử tìm
những cách giải khác cho phương trình (*)
và giải các phương trình sau để luyện tập :
a)

b)
c)
d)
e)

(với 1 < x < 2) ;
g)

Chúc các bạn thành công !

  

2

2

2 6₆ 15₁₁ 6 18.

x x _x _x

x x

   

 

2

2 1

2(2 6 5) 5

3 2

x x

x x

   

2

2x 2x 1 4x 1 ;

    

2x 9 3x 4 25 x ;

 x26x34 ;

     

2 ₆ ₂₅ 2 ₆ ₁₀

x x x x

    2  
6 x x 4 x 10x 27 ;

 2   2 

( ) 9 14 33 34

f x x x x x

 x29x14 x233x34 12.

       

      

2 2 ( 2)( 7) 7

34 2 ( 34)( 1) 1

x x x x

x x x x

34  1 0

x x

       

    2     2

(*) 2 7 34 1

( 2 7) ( 34 1)

x x x x

x x x x

     
      
      
 
2 2
2 2
2 2

2 2 ; 41 238 18

2 41 238 20

2 2 ; 41 238 18
2.

x x x x

x x x x

x x x x

x

      

 2   2  

(*) ( 1)( 2) ( 34)( 7) 20

2 41 238 20.

x x x x

x x x x

18 6 x  7 3 x7

    

    

      

34 7 3

34 3 7

34 9 6 7 7

x x

x x

x x x

 1  2 3

x x

( x 1 x 2 x7)2 ( x34) ,2

 

 

  _    _

 

2 7

(1 2 3) (x 1) x₂ x₃

 

 2 7

1, 2, 3, 1, ,

2 3

x x

x

 1  2  7 34,

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

giải toán trên máy tính điện tư

THỬ TÀI

Bµi 1.Ta cã 77 74 1.0405405405...

hay .

Ta lại có 7774(78 1)74(26 3 1)74.
Theo khai triển Niu-tơn thì

(26 3 1)741 (26 3)74 (26 3)74
...  (26 3)731 k3 1,
tøc lµ 77741 chia hÕt cho 3.

Suy ra, chữ số thứ 7774 sau dấu phẩy
của khi viết nó dưới dạng số thập phân
vơ hạn tuần hồn là chữ số 5.

Bµi 2.1) Ta cã S₁81 (2.127)2;
S₂S₁225 S₁(2.227)2;
S₃S₁S₂625 S₁S₂(2.327)2;
S₄S₁S₂S₃1521 S₁S₂S₃

(2.427)2;

S₅S₁S₂S₃S₄3249 S₁S₂
S₃S₄(2.527)2; ... ;

S_nS₁S₂... S_n₁(2.n27)2.
Quy trình bấm phím liên tục tính S_n(trên
Casio fx-570MS) : 0 0

1

2

7 . LỈp lại 50 lần phím
được S₂₅ 9770505 ; Lặp lại 100 lần phím

được S₅₀263871010 ; Lặp lại 200 lần

phím được S₁₀₀8210812020.

Giải thích : Gán M0 ; A0 thì M: M1

2
x
)
+

2
x

A
ALPHA
(

+
A
ALPHA

ALPHA

A
ALPHA
:

ALPHA
+

M
ALPHA

ALPHA
M

ALPHA
A

STO
SHIFT

M
STO
SHIFT

77
74

1
74

C

73
74

C
77 1,0(405)

74

l

Kết quả

(TTT2 số 38)

(Từ đề thi học sinh giỏi Giải tốn trên máy
tính điện tử cấp khu vực, 2006)

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên
dương (m; n) có ba chữ số thỏa mãn :

1) Hai chữ số của mcũng là hai chữ số
của nở vị trí tương ứng ; chữ số cịn lại của
mnhỏ hơn chữ số tương ứng của nđúng 1
đơn vị.

2) Cả hai số m và n đều l s chớnh
phng.

Bài 2.Cho đa thức

P(x) x3ax2bxc.

a) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức
P(x), biết rằng khi xlần lượt nhận các giá

trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương
ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653.

b) Tìm số dư r của phép chia đa thức
P(x) cho 2x5.

c) Tìm giá trị của xkhi P(x) 1989.
Bài 3. Cho dãy số (với nnguyên dương) :

,
a) TÝnh c¸c gi¸ trị U₁, U₂, U₃, U₄;
b) Xác lập công thức truy håi tÝnh U_n_₂
theo U_n_₁vµ U_n.

c) LËp quy trình ấn phím liên tục tÝnh
U_n_₂ theo U_n_₁vµ U_nråi tÝnh U₅, U₆, ... ,
U₁₆.

(10 3) (10 3)
2 3

n n

n

U    

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

sẽ bằng 1 ở lần bấm phím thứ nhất, khi
đó AA(2A27)2sẽ bằng 0 (2.127)2
(S₁) và S₁được nhớ vào A. Tương tự, tiếp
tục sau hai lần bấm phím nữa được S₂; ... ;
sau 2nlần bấm phím c S_n.

Bài 3. 1) Giả sử nlà số tốt, tức là tồn tại
ksố tự nhiên a₁, a₂, ... , a_ksao cho

a₁a₂... a_kn (1)
vµ . (2)
Khi Êy :

l(2a₁) (2a₂) ... (2a_k) 2 2n2

vµ .

VËy 2n2 lµ sè tèt.

l(2a₁) (2a₂) ... (2a_k) 4 4 2n8

vµ .

VËy 2n8 lµ sè tèt.

l(2a₁) (2a₂) ... (2a_k) 3 6 2n9

vµ .

VËy 2n9 lµ sè tèt.

Tương tự, ta cũng có 3n  6 ; 3n  8 ;
4n6 ; 4n13 ; 6n5 đều là những số tốt
(chú ý phân tích 6 3 3 2 4 ; 8 2 6 ;
13 3 4 6 ; 5 2 3).

2) Vì 1 là số tốt nên 4 2.1 2 ; 9 3.1 6
vµ 10  2.1 8  4.1 6 ; 17  4.1 13 ;
11 2.1 9 3.1 8 6.1 5 ;

Vì 4 là số tèt nªn 16 2.4 8 ; 18 3.4 6 ;
20 3.4 8 ; 22 4.4 6.

Vậy 4 ; 9 ; 10 ; 11 ; 16 ; 17 ; 20 ; 22 đều
là những số tốt.

Nhận xét : n2bao giờ cũng là số tốt vì
nn... nn2 (1)
và . (2)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :

n(a₁a₂... a_k)
hay .

Ta chøng minh 19, 21, 23 không phải là
số tốt. Thật vậy, với n nhận các giá trị 19,

21, 23, ta có nên k chØ cã thĨ lµ 1,
2, 3, 4.

DƠ thÊy k1 bị loại.

Với k 2 ta có . Suy ra a₁
a₂ , kh«ng tháa m·n a₁a₂... a_kn.

Víi k3 ta cã ,

cã thÓ coi a₁a₂a₃, khi Êy .
Suy ra hay a₃3.

VËy a₃chØ cã thĨ lµ 2 hoặc 3.

Với a₃2 thì a₁a₂21 (khi n23) và
, vô nghiệm.

Với a₃3 thì a₁a₂20 (khi n23) và
, vô nghiệm.

Tng t, vi k 4, hệ (1) ; (2) cũng vô
nghiệm.

Vậy 19, 21, 23 không phải là những số tốt.
3) Gợi ý.Chứng minh bằng quy nạp.
Các bạn được thưởng kì này là Lê Mạnh
Cường, 9G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân,
Hà Tĩnh; Nguyễn Mạnh Hưng, 10A₁, THPT
Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Hoàng

Minh Thắng, 10A₁, THPT Phan Bội Châu,
TP. Vinh, Nghệ An ; Vũ Minh Tuấn, 9A₁,
Phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến
Xương, Thái Bình.

TS. Tạ Duy Phượng

1 2

1 1 2

3
a a 

1 2

1 1 1

2
a a 

3

3
1

a

 1 2 3

1 1 1

a  a a

1 2 3

1 1 _{1 1}

a a a 
1

2

1 2

1 _{1 1}

a a 
k n

k n

2
1 2

1 1 _... 1

k k

a a a

 _ _{ } _

 

 

1 1 _... 1 ₁
n n   n

1 2

1 1 _... 1 1 1 ₁

2a 2a  2ak   3 9

1 2

1 1 _... 1 1 1 ₁

2a 2a  2ak   4 4

1 2

1 1 _... 1 1 ₁

2a 2a  2ak  2

1 2

1 1 _... 1 ₁

k

a a  a 


</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

BÀI TỐN RAmSEY VỀ TƠ MÀU CÁC CẠNH CỦA ĐỒ THỊ

Bài viết này đề cập tới một bài toán nổi
tiếng trong lịch sử toán học. Từ một bài
tốn đơn giản, nó đã trở thành một lí
thuyết lớn của tốn học hiện đại và có rất
nhiều ứng dụng. Trong lịch sử toán học
hiện đại khơng thiếu những bài tốn như
vậy, nhưng bài tốn chúng ta muốn nói tới
ở đây là bài tốn Ramsey. Bài tốn này
được phát biểu trong ngơn ngữ đời sống
như sau :

Bài toán 1 (bài toán Ramsey). Chứng
minh rằng trong sáu người bất kì ln tồn
tại ba người đơi một quen nhau hoặc đơi
một khơng quen nhau.

Bµi toán trên được phát biểu ở nhiều
dạng khác nhau. Chẳng hạn :

Bi toỏn 2. Có sáu nhà khoa học viết
thư trao đổi về hai đề tài khoa học khác
nhau. Mỗi người viết thư cho tất cả các
người khác. Các thư chỉ trao đổi với nhau
về cùng một đề tài. Chứng minh rằng tồn
tại ba nhà khoa học chỉ viết thư trao đổi về
đúng một đề tài khoa học.

Chúng ta có thể thấy có sự tương tự
giữa bài tốn Ramsey với ngun lí
Đi-rích-lê, vẫn được phát biểu như sau :
“Nếu nhốt n  2 chú thỏ vào n  1 cái
chuồng thì bao giờ cũng có hai con thỏ bị
nhốt vào cùng một chuồng”.

Cũng tương tự như vậy, nguyên lí
Đi-rích-lê được mở rộng cho nhiều chuồng
thỏ hơn : “Nếu nhốt n con thỏ vào m  2
chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất
con thỏ”([a] được dùng để kí hiệu số
ngun nhỏ nhất khơng bé hơn số thực a
cho trước).

Tuy nhiên, bài toán Ramseyđược phát
triển trên cơ sở của lí thuyết đồ thị. Để
hiểu một đồ thị là gì, chúng ta tạm quy ước
đơn giản : một đồ thị là một tập hợp các
điểm được đánh dấu đặc biệt trên mặt
phẳng và các đường cong nối chúng (mà
ta gọi là cạnh). Hình vẽtrên biểu diễn một

đồ thị 5 đỉnh và 10 cạnh. Đồ thị được phân
loại thành nhiều loại khác nhau tùy theo
tính chất của cạnh nối. Nhưng trong phạm
vi bài viết này, chúng ta chỉ đề cập tới một
loại đồ thị đơn giản là đồ thị đầy đủ nđỉnh.
Một đồ thị đầy đủ nđỉnh là một đồ thị mà
giữa hai đỉnh bất kì chỉ có đúng một cạnh
nối. Đồ thị đầy đủ n đỉnh được kí hiệu là
K_n. Trong hình vẽ, ta có đồ thị đầy đủ K₅.
Bài toán Ramsey đã nêu trên thực chất
là bài toán chia các cạnh của đồ thị đầy
đủ K₆ vào hai tập hợp “quen biết” và
“không quen biết”. Khi đó Ramsey khẳng
định là ln tồn tại một tam giác (một đồ
thị đầy đủ 3 đỉnh) có 3 cạnh cùng thuộc
một tập hợp. Thơng thường bài tốn này
được phát biểu dưới dạng bài tốn tơ màu
cạnh đồ thị, và được phát biểu thành định
lí tốn học :

n
m
 
 
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Cảm ơn các bạn đã nhiệt tình hưởng ứng
cuộc thi và tiếp tục gửi hàng ngàn bài dự thi
về Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa

(45 Hàng Chuối, Hà Nội).

Hầu hết các bạn đều giải đúng ô chữ
“thi tài” :

Tuy nhiên rất nhiều bạn trả lời sai câu
hỏi phụ. Câu trả lời đúng là : Tài liệu của
Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa có
nêu tồn bộ các sự kiện liên quan đến ơ
chữ là “Những sự kiện chính trong tiến trình
lịch sử Việt Nam”. Trong số các bạn chưa
trả lời đúng câu hỏi phụ, có các bạn Trịnh
Văn Phong và Hoàng Minh Tuấn, 8G,
THCS Trần Mai Ninh, TP. Thanh Hóa,
Thanh Hóacó bài dự thi làm khá cơng phu
và trình bày rất ấn tượng ; bạn Lê Thị Hồng
Hạnh, 7A₁, THCS n Lạc, n Lạc, Vĩnh
Phúccó phần giải ơ chữ bằng thơ :

“Nhà Trần, triều đại lừng vang
Phổ Minh, tháp cổ hiên ngang giữa trời

Vạn Kiếp, đánh giặc tơi bời
Bài Hịch tướng sĩ đời đời không quên

Hàm Tử, đuổi giặc Mông Nguyờn
i Vit s kớ lu truyn n nay.

Hoan nghênh các bạn và hi vọng tên
của các bạn sẽ được ghi trong danh

sách các bạn được trao tặng phẩm trong
các số tiếp theo.

Cỏc cỏ nhân và tập thể xuất sắc nhất
được trao tặng phẩm kì này là Tập thể lớp
7E, trường THCS Phương Mai, Q. Đống
Đa, Hà Nội; Phạm Văn Tùng, 8/3, THCS
Lê Quý Đôn, TP. Hải Dương, Hải Dương;
Nguyễn Huyền Ngọc, 8A₂, THCS Hạ Hòa,
Hạ Hòa, Phú Thọ; Diệp Bảo Cường, 7B,
THCS Nguyễn Viết Xuân, TX. An Khê, Gia
Lai; Nguyễn Đức Trung, 7C, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn
Thị Thương, 7D, THCS Thạch Đài, Thạch
Hà, Hà Tĩnh; Đậu Xuân Việt, 8B, THCS
Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An; Lương
Thị Thu Minh, 7B, THCS Minh Tân, Đông
Hưng, Thái Bình ; Lê Quang Hiển, 9C,
THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ;
Bùi Tứ Quý, 15 Phan Kế Bính, phường 9,
TP. Vũng Tàu, Bà Rịa - Vũng Tàu; Đặng
Thị Quỳnh Trang, 15/142 Nguyễn Thái
Học, phường 5, TP. Tuy Hòa, Phú Yên.

(TTT2 sè 38)

Kết quả cuộc thi

THẾ GIỚI QUANH TA

Bài tốn 3 (định lí Ramsey). Tơ màu
các cạnh của đồ thị K₆ bởi hai màu sẽ

luôn tồn tại một đồ thị đầy đủ K₃có 3 cạnh
cùng màu.

Chứng minh.Ta chọn đỉnh Abất kì. Từ
A có 5 cạnh xuất phát, cho nên theo
nguyên lí Đi-rích-lê tồn tại 3 cạnh cùng
màu, chẳng hạn màu đỏ, nối A với các
đỉnh B, Cvà D.

Nếu trong đồ thị đầy đủ với các đỉnh B,
C và D có một cạnh được tơ màu đỏ,
chẳng hạn BCmàu đỏ, thì đồ thị đầy đủ

với đỉnh A, Bvà C có cả 3 cạnh được tơ
màu đỏ. Nếu khơng có cạnh nào của đồ
thị đầy đủ đỉnh B, Cvà Dđược tô màu đỏ
thì các cạnh của nó đều sẽ được tơ màu
xanh.

Lưu ý ở đây là con số 6 là con số nhỏ
nhất để bài tốn cịn đúng. Trong hình vẽ
ta có một cách tô màu các cạnh của đồ thị
K₅bởi hai màu (trên hình vẽ là nét đậm và
nét nhạt) sao cho khơng có một đồ thị K₃
nào đó có 3 cạnh cùng màu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

lContain :chứa, có (động từ)
lRemaining :cịn lại (tính từ)

lRemove :lấy ra (động từ)
lAcquainted :quen (tính từ)
lYields :cho, dẫn tới (động từ)
lTriple :bộ ba số (danh từ)

Solution E14. Denote by x the number of
ladies participating in the meeting (xis a natural
number, x< 47). In addition, 47 people present
in the meeting, so there are 47  x men. By
hypothesis, Mrs. Le, the first lady, knows 15 1
men, Mrs. Dao, the second lady, knows 15 2
men, Mrs. Hoa, the third lady, knows 15  3
men. It follows that Mrs. Hue is acquainted with
15 xmen, which is the number of men in the
meeting, therefore 15 x47 x. Solving the
equation yields x  16. Thus, the number of
men is 47 16 31.

In conclusion, there are 16 ladies and 31
men in the meeting.

Nhận xét.Có rất nhiều bạn đã tham
gia giải bài lần này và đều giải đúng.
Lưu ý các bạn thận trọng trong việc
dùng tiếng Anh, từ việc nhỏ như phân
biệt danh từ số ít, số nhiều đến việc lớn
như cách diễn đạt sao cho chuẩn.
Chuyên mục của chúng ta mang tên là
“Giải Toán học Anh” mà. Chẳng hạn,
“the numbers of ladies”hay “the sum of

ladies”(!) đều không đúng.

Các bạn sau có lời giản ngắn gọn,
lơgic và trình bày tương đối tốt : Trần
Trung Kiên, số nhà 18, ngõ 21, đường
Lê Công Thanh, TX. Phủ Lý, Hà Nam;
Nguyễn Công Khánh Vân, 8/12, THCS
Trưng Vương, 88 Yên Bái, TP. Đà
Nẵng, Đà Nẵng ; Võ Hồng Phương,
183C, phố Thủ Khoa Huân, Phan
Thiết, Bình Thuận; Lương Minh Trang,
9D, THCS Lê Lợi, TX. Hưng Yên, Hưng
Yên; Nguyễn Văn Quyết, 8A, THCS Lý
Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc.

ts. ngô ánh tuyết (NXBGD)
Problem E16. (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi
Education Publishing House)A bag contains some red balls and
blue balls. If we remove 1 red ball from the bag, then of the
remaining balls in the bag are red. If, instead of 1 red ball, we
remove 2 blue balls from the bag, then of the remaining balls
in the bag are red. How many balls are there in the bag at first ?

1
5

1
7

Rất đơn giản : bạn hãy dùng điện thoại

gọi đến số 19001548 và làm theo hướng
dẫn hoặc nhắn tin tới số 8109với nội dung
NTT X Y, trong đó X là mã đội vô địch
(danh sách mã đội được in ở cột bên), Ylà
số người đoán đúng. Sau khi trận chung kết
kết thúc bạn có thể biết kết quả ngay qua
điện thoại hoặc tin nhắn. Nhà tiên tri giỏi
nhất sẽ được tặng 1 xe đạp, 1 máy gia sư
điện tử đa năng, 1 Kim Từ điển, văn phòng
phẩm và sách giáo khoa cho năm học mới.
Nhiều phần quà giá trị tặng cho các
Nhà tiên tri có triển vọng.

Danh sách mã đội :ANG (Angola) ; ENG
(Anh) ; ARG (Argentina) ; AUS (úc) ; KSA
(ảrập Saudi) ; POL (Ba Lan) ; POR (Bồ Đào
Nha) ; CIV (Bờ biển Ngà) ; BRA (Brazil) ; CZE
(Cộng hòa Czech) ; CRC (Costa Rica) ; CRO
(Croatia) ; GER (Đức) ; ECU (Ecuador) ; GHA
(Ghana) ; NED (HààLan) ; KOR (Hàn Quốc) ;
ITA (Italia) ; IRN (Iran) ; MEX (Mexico) ; USA
(Mỹ) ; JPN (Nhật Bản) ; PAR (Paraguay) ; FRA
(Pháp) ; SCG (Serbia & Montenegro) ; ESP
(Tây Ban Nha) ; SWE (Thụy Điển) ; SUI (Thụy
Sĩ) ; TOG (Togo) ; TRI (Trinidad & Tobago) ;
TUN (Tunisia) ; UKR (Ukraine).

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

l

Kì này :

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 38)

CÂY MAỉ KHÔNG... CÂY

Nhiều đồ vật được gọi là cây mặc
dù không phải là cây đang có mặt
trong bài thơ dưới đây. Tuy nhiên,
chúng đứng sai vị trí hết rồi. Bạn hãy
sửa lại cho thật đúng nhé !

Cây cầu từng sợi vàng tươi
Cây s giỳp bn ghi li thy cụ

Cây rơm nối giữa hai bê

Cây nến gìn giữ đất trời quê hương
Cây súng tỏa sáng đêm đơng
Cây bút thánh thót, vang ngân, êm m

Cõy n bỏo hiu xa gn

Cây kem xây dựng phải cần dùng luôn
Cây cột mát lạnh thật ngon
Bao nhiêu cây ấy bạn còn biết chăng ?

Nguyn Th Thu Hng

(7A₂, THCS ThÞ trÊn Thanh Ba,
Thanh Ba, Phó Thä)

Dù có mặt “đơng vui” các từ láy phụ âm

N cũng cần phải đặt đúng chỗ. Hầu hết bài
gửi đến sửa đúng. Chị chỉ sắp xếp các bài
viết đúng chính tả, trình bày sạch đẹp để
bốc thăm chọn ra năm bài trao thưởng.
Nhầm chỗ hết rồicó thể sửa lại như sau :

Nói nănglễ phép nhẹ, nhàng
Nông nổi tính cách vội vàng hỏng ngay

Nịnh nọt đâu phải điều hay

Ni nimmong mi ngày ngày đêm đêm
Năng nổhoạt động tiến lên

Nao núngý chí khơng bền quyết tâm
Niềm nởđón tiếp ân cần

Nấu nướngthì có món ăn tuyệt vời
Nơ nứctrẩy hội đi chơi

Nói nonbiĨn c¶, chân trời mênh mông
No nêăn uống là xong

Nn nỏch i chưa xong chưa về
Nứt nẻruộng hạn mùa hè
Nơm nớplo sợ tai nghe, mắt nhìn.

Các bạn được thưởng kì này là : Võ Thị
Thái, 9A, THCS Thiên Lộc, Thiên Lộc, Can
Lộc, Hà Tĩnh; Phạm Thị Hồng Nhung, 6A₁,

THCS Trần Phú, TP. Thái Bình, Thái Bình;
Nguyễn Thu Trang, 20 Đào Đức Thông,
P. Trường Thi, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa;
Vũ Văn Duy, xóm 3, Việt Hồng, Thanh Hà,
Hải Dương ; Nguyễn Quỳnh Trang B, 8A,
THCS Yên Biên, TX. Hà Giang, Hà Giang.

Phó B×nh

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Chó Khoa ơi !

Chúng cháu đang học bài thơ Khi con tu
hú... của nhà thơ Tố Hữu. Bài thơ có câu : Trời
xanh càng rộng càng cao - Đôi con diều sáo lộn
nhào tầng không... thì nên hiểu như thế nào hả
chú ? Diều sáo là chim diều, chim sáo hay là cái
diều có gắn sáo ?

Hà Hải Anh

()

Trần Đăng Khoa :

Nh th Tố Hữu có cả một mảng thơ viết trong tù. Trong chùm thơ viết trong tù, nhà thơ
có ba bài rất đặc sắc : “Nhớ đồng”, “Tiếng hát đi đầy” và “Khi con tu hú”... Trong ba bài
đặc sắc này, bài “Khi con tu hú”... là “siêu” nhất.

Bài thơ bắt đầu từ một âm thanh. Đó là tiếng chim tu hú. Mà cũng phải thôi. Người tù bị
giam cầm trong xà lim, nên khơng nhìn thấy gì, mà chỉ nghe thơi. Chính tiếng chim của
mùa hè đã đánh thức trong lòng người tù những cảnh sắc quen thuộc của đời sống tự do :
“Lúa chim đang chín trái cây ngọt dần - Vườn râm dậy tiếng ve ngân - Bắp rây vàng hạt
đầy sân nắng đào...”. Đây không phải cảnh thật, mà là cảnh sắc trong ký ức. Rồi tiếng
diều sáo với cánh diều chao liệng trên bầu trời cao rộng, gợi khơng khí tự do. Diều sáo ở
đây là cái diều có gắn sáo. Chính nhờ tiếng sáo mà người tù nhận ra khoảng trời lồng lộng
có cánh diều chao liệng ngồi cánh cửa xà lim kia. Có lẽ vì nhà thơ gọi “Đơi con diều
sáo...”, nên có người mới nhầm là động vật. Thực chất, chim diều, chim sáo không bao giờ
bay đôi với nhau. Trông thấy sáo là diều thịt liền. Và lại, chim diều (diều hâu) thường khơng
mấy khi hót, vậy thì làm sao người tù biết được ? Bài thơ chỉ có âm thanh và cảnh sắc.
Đến cuối cùng, người tù mới lồ lộ hiện

lên. Người tù đã được đánh thức nhờ
tiếng chim tu hú : “Ta nghe hè dậy bên
lòng - Mà chân muốn đạp tan phịng hè
ơi ! - Ngột làm sao, chết uất thơi - Con
chim tu hú ngoài trời cứ kêu ...”

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

l

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 38)}

CệễỉI

TRONG

VệễỉN

ANH

Từ ở hàng dọc thì chắc nhiều bạn đã biết, còn trên mỗi hàng
ngang là một từ liên quan đến t hng dc.

Bạn sẽ tìm ra chứ ?

Hoàng Nam §Þnh

(126K₁, LiƠu §Ị, NghÜa H­ng, Nam §Þnh)

Có thể dịch câu hỏi trong Vườn Anh kì trước như sau : “Bạn có thể tìm thấy gì ở cả
hình tam giác và hình ngũ giác, nhưng khơng thấy ở hình vng ?”. Một số bạn đã đưa
ra đáp án là góc nhọn(acute angle). Đây là câu trả lời chưa đúng.

Chủ Vườn xin tặng quà cho những bạn đưa ra đáp án là các chữ cái : T, N, G. Những
chữ cái này xuất hiện trong từ TRIANGLE và từ PENTAGON nhưng không xuất hiện
trong từ SQUARE : Hà Thị Thanh Vân, 10 Bảo Quốc, TP. Huế, Thừa Thiên - Huế;
Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Phan Thị Thúy Hằng,
8A₁, THCS Hai BàTrưng, TX. Phúc Yên, Vĩnh Phúc.

Chủ Vườn

- Why do tigers eat
raw meat ?

- Because they
don’t know to cook.

Hång B¾c(st)

Ơ chữ : HĨA HỌC

l

Kì ny :

WHAT IS IT ?

Ngoài cách gửi bµi dù thi vỊ

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

(TTT2 sè 38)

SÔNG GÌ ?

Sơng Hồng đỏ nặng phù sa

Cưu Long dịch nghĩa hiểu ra chín rồng
Sông Cầu quan họ sang sông
Sông MÃ nghe tiếng ngựa lồng lên phi

Sụng Bộ tng nhỏ tí ti

Sơng Hàn nghe tiếng cực kì lạnh ghê
Sơng Thương tình cảm mọi bề
Thái Bình no ấm chẳng hề chiến tranh

Sông Lam tên thật biếc xanh
Sông Đà điện đã sinh thành từ đây

Sơng Hương thơm mát ngất ngây
Kì Cùng xứ Lạng sớm ngày thuyền qua

Sơng Lơ có bản trường ca

Sông Gianh (hoặc Bến Hải) chia cắt nước
ta một thi
ng Nai tờn tnh th thụi

Sông Ngân ở tít trên trời xa xăm

Sông Tiền muốn gửi nhà băng

Sụng Hiu con cháu phải năng nhắc lịng
Sơng gì ai đã điền xong

Nhận quà Trẫm thưởng, khỏi mong chờ nhiều.
Ban thưởng : Vũ Thu Thảo, số nhà 111,
đội xe khách, Phố Long Xuyên, P. Hùng
Vương, TX. Phú Thọ, Phú Thọ; Phan Nữ
Quỳnh Trang, 7A, THCS Chu Văn An,
Hương Khê, Hà Tĩnh; Mai Thị Ngọc, mẹ là
Đinh Thị Lý, Công ty Mơi trường và Dịch vụ
đơ thị, TX. Ninh Bình, Ninh Bình; Trương
Hồng Minh Anh, 8D, THCS Yên Lạc,
Vĩnh Phúc; Đỗ Thị Minh Huệ, 7A, THCS
Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh.

Vua TÕu

l

KÕt qu¶ :

Thánh chỉ :

Lá gì có gió tung bay ?

Lỏ gỡ phân định rủi may rõ ràng ?
Lá gì phịng vệ che ngang ?
Lá gì mà cử tri mang đi bầu ?

Lá gì tình cảm dạt dào ?

Lỏ gỡ nguyn vng ghi vào gửi đi ?
Lá gì giúp thuyền chuyển di ?
Lá gì giáp trận cận kề tay đơi ?

Lá gì lúc rỗi cầm chơi ?
Lá gì đẩy kéo đóng rồi mở ra ?

Lá gì trong mũi người ta ?
Lá gì khụng khớ y ra hớt vo ?

Lá gì tím, tạo hồng cầu ?
Lá gì tiết mật, lọc bầu máu qua ?

Đẹp giàu Tiếng Việt của ta
Lá gì mời bạn chỉ ra xem nào !

Mai Đình Phẩm

(45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định)
Ngoài cách gửi bài dự thi về tạp chí, các b¹n

hãy giải đáp câu “Lá gì trong mũi người ta ?”,
bằng cách gọi đến số 19001548 và làm theo
chỉ dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109 theo mẫu
2 RC X Y, trong đó Xlà đáp án của bạn (ví dụ
RAU, KHOAI, ..., các chữ cái viết liền nhau,
khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Hỏi : Huynh à ? Mấy số

gần đây toàn in đề thi học
sinh giỏi lớp 9. Vậy tụi lớp 8
chúng em thất nghiệp à ?

Sát thủ mặt trăng
(8G, THCS Nguyễn TrÃi,
Nghi Xuân, Hà Tĩnh)
Đáp :

Thất nghiệp ?

Thất nghiệp làm sao ?
Bao nhiêu trang cã

biết bao nhiêu bài
Sang năm lớp chín mình xài
Gom từ nay để luyện tài về sau.

Hỏi :Anh có thể ngi búc
tem tng em c khụng ?

Lê Thị Thúy Hång

(9C, THCS Vĩnh Tường,
Vĩnh Phúc)
Đáp :

Giá như em đến bên anh
Bao nhiờu tem cng

xin dành tặng em
Nhưng mà em tù bãc tem
Chø chê anh bãc... e hÌm...

chê l©u.
Hái :Anh ơi ! Tên Quỳnh
Nga và tên Kim Anh thì tªn

nào hay hơn ? Tên Nga có
phải hơi già hơn không ?
Anh nhớ trả lời y !

Mèo nhỏ
(9C, THCS Vân Phú,
Việt Trì, Phú Thọ)
Đáp :

Qunh Nga tên đẹp làm sao
Kim Anh cũng đẹp lẽ nào

chịu thua
Tên Nga nào thấy già nua
Hay là có bạn nµo...

đùa em chăng ?
Hỏi :Kì trước cả bàn em
đều giải chung một bài và
định gửi chung. Nhưng có
hai bạn tách ra gửi riêng.
Các bạn ấy nói : “Gửi chung

mai kia nhận tiền thưởng
chia ra thì được... ít lm.
Bn kiu gỡ vy anh ?

Em gái nhỏ
(THCS Yên Phong,
Bắc Ninh)
Đáp :

Bạn này bạn kiểu chi li
Bạn này bạn kiểu

“so bì thiệt hơn”
Bạn này bạn kiểu “đánh đơn”
Bạn này bạn kiểu

“thị trường”, phải không ?
Hỏi : Nếu ngày nào đó
anh nhận được một lá thư vơ
danh với lời lẽ đường mật :
“Anh Phó Gỡ ơi ! Em yêu
anh nhiều lắm ! Em không
thể sống thiếu anh ! Anh là
ánh sao đêm sáng tỏ bầu

trời. Anh là ngọn lửa sưởi
ấm trái tim em. Yêu anh
nhiều. Em : CAT”

Khi đó anh sẽ gỡ rối ra

sao ?

Hồ Linh Giang

(9A, THCS Lâm Hợp,
Kỳ Anh, Hà Tĩnh)
Đáp :

Anh chẳng thấy rối chút nào
Bởi vì em CAT đã trao hết... lời
Đọc xong anh vỡ bụng cười :
“CAT sao dại thế ?

Yêu người như anh ?”
Hỏi : Nếu em xin làm
Phó Gỡ và đề nghị anh lờn
Trng G thỡ anh cú ng
ý khụng ?

Đỗ Hồng Huệ

(Xóm Đình, Yên Hậu, Hòa Tiến,
Yên Phong, Bắc Ninh)
Đáp :

Có em làm Phó giúp anh
Bao nhiêu câu hỏi xin dành

cho em
Cịn anh thong thả bóc tem

Chức Trưởng nhàn vậy

là tiên mất rồi !

Anh Phó Gỡ

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bi 2(40).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa3b3c3, trong đó a, b, clà các số
thực thỏa mãn a 1, b 1, c 1 v abc

Trần tuấn anh(Khoa Toán - Tin, §HKHTN, §HQG TP. Hå ChÝ Minh)

3_{4 1.}

Bài 3(40).Chứng minh rằng không tồn tại 6 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng
của bốn số tùy ý trong chúng ln chia hết cho tổng của hai số cịn lại.

Nguyễn trọng tuấn(THPT Hùng Vương, Pleiku, tỉnh Gia Lai)
Bài 4(40).Cho tam giác ABCcó đường trịn nội tiếp (I, r) và đường trịn bàng tiếp (I_a)
trong góc A. Gọi Dlà tiếp điểm của cạnh BCvới (I_a). Dựng đường tròn () tiếp xúc trong
với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với DA, DBlần lượt tại E, F. Chứng
minh rằng E, I, Fthẳng hàng và bán kính pcủa () bằng r.

Hạ vũ anh(THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc)
Bài 1(40).Cho bộ ba số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn
a2b2c2(bộ ba Py-ta-go). Chứng minh : a)

b) Không tồn tại số ngun dương nsao cho có thể tìm được
ít nhất một bộ ba Py-ta-go (a; b; c) thỏa mãn

nguyễn c trng

(THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội - Sưu tÇm)

2

.

c c _n

a b
 _  _

 

 

2

8 ;
c c

a b
 _  _

 

 

Bài 5(40).Cho tam giác ABCcó điểm Ethuộc trung tuyến AMvà Flà hình chiếu của
Etrên BC. Gọi X, Ylần lượt là hình chiếu của E, Ftrên AB; Z, Tlần lượt là hình chiếu của
E, Ftrên AC. Chứng minh rằng tam giác EXYvà tam giác EZTđồng dng.

nguyễn Minh hà(ĐHSP Hà Nội)

English version translated by Pham Van Thuan

1(40). Given a triple of integers (a, b, c)
such that a2 b2 c2 (a Pythagorean triple),
prove that a)

b) there is not an integer n such that we
can find at least a Pythagorean triple (a, b, c)
such that

2(40).Find the minimum value of Pa3

b3c3, where a, b, care real numbers such that

a 1, b 1, c 1 and abc

3(40).Prove that there are not six distinct
positive integers such that the sum of any four

of the six numbers is divisible by the sum of
the other two numbers.

4(40). Let ABC be a triangle with incircle
(I, r) and excircle (I_a) in the angle A. Let Dthe

point of tangency of BCand (I_a). A circle () is
constructed externally tangent to circumcircle of

ABC, and tangent to DA, DBat E, Frespectively.
Prove that E, I, Fare collinear and the
semi-perimeter pof () is equal to r.

5(40).Let ABCbe a triangle with point Eon
the median AM, Fthe projection of Eon BC.
Let X, Y be the projections of E, F on AB

respectively ; Z, Tbe the projections of E, Fon

AC in that order. Prove that triangle EXY is
similar to triangle EZT.

3_{4 1.}_
2

.

c c _n
a b

 _  _

 

 

2

8 ;

c c
a b

 _  _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>

<!--links-->