Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 25

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

l

KÕt qu¶ :

l Trước hết ta xác định các số chính
phương (SCP) nhỏ hơn 1000, có các chữ số
đôi một khác nhau (bằng cách lấy bình
phương các số từ 1 đến 32). Các số đó bao
gồm : + Các số có 1 chữ số : 1, 4, 9 ;

+ Các số có 2 chữ số :

16, 25, 36, 49, 64, 81 ;
+ C¸c sè cã 3 ch÷ sè :

169, 196, 256, 289, 324, 361, 529, 576,
625, 729, 784, 841, 961.

Theo đề bài, ta phải điền 9 chữ số khác
nhau và khác 0 vào 9 ơ của hình vng để
được 5 SCP, trong đó có 2 số có 1 chữ số,
2 số có 2 chữ số và 1 số có 3 chữ số.

Tõ danh sách các SCP nhỏ hơn 1000 ta
thấy :

+ Cỏc SCP nhỏ hơn 100 đều không chứa
chữ số 7, nghĩa là SCP có 3 chữ số duy
nhất cần tìm phải chứa chữ số 7. Có 3 số
thỏa mãn là 576, 729, 784.

+ Nếu SCP có 3 chữ số là 576 thì 2 SCP

có 2 chữ số chỉ có thể là 49 và 81. Các SCP
có 1 chữ số là 1, 4, 9 đều đã được sử dụng
trong các số 49, 81 nên trường hợp này
không thỏa mãn điều kiện đề bài.

+ Nếu SCP có 3 chữ số là 729 thì 2 SCP
có 1 chữ số chỉ có thể là 1 và 4. Chỉ cịn 36
là SCP có 2 chữ số mà các chữ số đó chưa

được sử dụng trong các số 729, 1, 4, cũng
không thỏa mãn điều kiện đề bài.

+ Nếu SCP có 3 chữ số là 784 thì 2 SCP
có 1 chữ số chỉ có thể là 1, 9. Từ đó tìm
được 2 SCP có 2 ch s l 25, 36.

Ta có hình vuông kì l¹” :

Có thể đổi vị trí của 1 và 9, 25 và 36 để
có thêm các kết quả khác.

lTrên đây là cách giải ngắn gọn và rõ ràng
nhất trong số các cách giải của các bạn.
Các bạn được thưởng kì này là : Hoàng Thị
Thanh Nga, 8A, THCS Trần Huy Liệu, Vụ
Bản ; Nguyễn Hoàng Quyền, 9A, THCS
Ngô Đồng, Giao Thủy, Nam Định; Võ Thái
Thông, 9/4, THCS Ngơ Gia Tự, Cam Nghĩa,
Cam Ranh, Khánh Hịa ; Tơ Minh Đức,
Xóm 6, Tây Giang, Tiền Hải, Thái Bình ;

Nguyễn Thị Thu Hà, 8B, THCS Đặng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghệ An.

Anh Compa
Cho tam gi¸c ABC

nội tiếp tam giác KMN
và tam giác KMN nội
tiếp tam giác PQR,
trong đó AB // QR,
BC // PQ, CA // RP (hình
vẽ). Biết rằng các tam
giác ABC, PQR lần lượt
có diện tích là 3cm2, 12cm2. Hãy tính diện tích
của tam giác KMN.

hƯNH VU NG KƯ L­

(TTT2 sè 23)

l

Kì này :

BA TAM GIÁC NỘI TIẾP

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Tiếp tục mở rộng những kết quả trong bài
sáng tạo khi tự học toán, đăng trên
TTT2 số 1, tơi đã tìm thêm được một số kết
quả. Điều này càng khẳng định lời của thầy
giáo Nguyễn Đức Tấn ở bài trên : “Tự
học nhiều khi giúp ta tìm đến những điều
thú vị trong toán học”.

Thầy Tấn đã mở rộng bất đẳng thức

(với a, b, c là ba cạnh của một tam giác)
theo hướng nâng lên lũy thừa bậc n các
mẫu số của các phân thức :

lCâu hỏi đầu tiên đặt ra là : tại sao không
thử mở rộng bất đẳng thức (I) theo hướng
ngược lại - khai căn bậc n các mẫu số của
các phân thức ?

TiÕp tơc ¸p dơng c¸ch chøng minh cđa bài
toán phụ ( với x, y > 0) ta cã :

Suy ra :

Từ đó ta có :

Kết quả 1 :Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác thì :

(víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0).

lThay đổi các tử số ở vế trái của bất đẳng
thức (I) thầy Tấn đưa ra kết quả tiếp theo :

Khai căn bậc n các tử số của các phân số
ở vế trái của (III) lại có thêm kết quả khác.

Kt qu 2 :Nu a, b, c l dài ba cạnh
của một tam giác thì :

(víi mäi sè tự nhiên n khác 0).

Chng minh : Trc hết ta phát biểu và
chứng minh bất đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số:

Ph¸t biĨu :

NÕu a₁a₂a₃và b₁b₂b₃
thì 3(a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃)

(a₁+ a₂+ a₃)(b₁+ b₂+ b₃) (1) ;
Nếu a₁a₂a₃và b₁b₂b₃

thì 3(a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃) 

(a₁+ a₂+ a₃)(b₁+ b₂+ b₃) (2).

n n n

n n 1 n n 1 n n 1

a b c

b c a c a b a b c

1 1 1

a  b  c 

  

     

  

c a b _{3 ( ).}

a b c b c a c a b         III

n n n

n n n

1 1 1

a b c b c a c a b

1 1 1

a b c

  

     

  

n_{c a b}_{ }1 n_{a b c}_{ }1  n2 ._a

n_{b c a}_{ }1 n_{c a b}_{ }1 n2 ;_c

n_{a b c}_{ }1 n_{b c a}_{ }1  n2 ;_b

n n n n _n

n

1 1 ₂ 1 1_. 2 2 _.

y y x y

x x xy

2

   



1 1 4

x y x y  

n n n

n n n

1 1 1

(a b c) (b c a) (c a b)

1 1 1 _{( )}

a b c

  

     

   II

1 1 1 _{1 1 1 ( )}

a b c b c a c a b a b c           I

TIẾP TỤC PHT HIN VAỉ M RNG

Lê hữu đin khuê

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Chøng minh :

Víi a₁a₂a₃vµ b₁b₂b₃ta cã :
(a₁- a₂)(b₁- b₂) 0

a₁b₁+ a₂b₂a₁b₂+ a₂b₁;
Tương tự ta có :

a₂b₂+ a₃b₃a₂b₃+ a₃b₂;
a₃b₃+ a₁b₁a₃b₁+ a₁b₃.

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên
ta có 2(a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃) 

a₁b₂+ a₂b₁+ a₂b₃+ a₃b₂+ a₃b₁+ a₁b₃
3(a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃) a₁b₂+ a₂b₁+ a₂b₃
+ a₃b₂+ a₃b₁+ a₁b₃+ (a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃) =
= (a₁+ a₂+ a₃)(b₁+ b₂+ b₃).

Vậy (1) được chøng minh.

Tương tự, ta cũng chứng minh được (2).
Trở li kt qu 2.

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác
nên không mất tính tổng quát, giả sử a b c
b + c - a c + a - b a + b - c

Theo các bất đẳng thức (1) ; (I) ; (2) ta cú :

Suy ra điều phải chứng minh.

lT bt ng thc (III) thầy Tấn đã nâng
lên lũy thừa bậc n các tử số của các phân

số ở vế trái để tìm kết quả mới, cịn tơi đã
mạnh dạn tiếp tục nâng lên lũy thừa bậc m
các mẫu số của chúng. ýtưởng sử dụng bất
đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số một lần nữa
lại có hiệu quả.

KÕt qu¶ 3 : NÕu a, b, c là ba cạnh của
một tam giác thì :

víi mäi sè tù nhiªn m, n.

Chứng minh : áp dụng các bất đẳng thức
(1) ; (II) ; (2) ta cú :

Suy ra điều phải chứng minh.

l Chưa dừng lại, tôi còn tìm ra và chứng
minh được các kết quả sau :

(trong đó a, b, c là ba cạnh của một tam
giác, m, n, p, q là các số tự nhiên khác 0).
Các bạn thử chứng minh xem !

n n n

m m m

n n n

m m m

n p n p

q q

m m

n p n p n p n p

m m m

q q q q

m

c a b

1)

a b c b c a c a b

a b _{c ;}

a b c

c a

2)

(a b c) (b c a)

b a b c

(c a b) a b c

  

     
  
 
   
   
 

n n n

m m m

n n n

m

m m

n n n

m m m

n m n m n m

c a b

3.

(a b c) (b c a) (c a b)
1

(a b c )

(a b c)

1 1

(b c a) (c a b)

1 1 1

(a b c )

a b c

3.(a b  c  ).

 
   
 _{ } _{ } _{ } 
 

   _{  } 


  _
    _
 
   _   _
 
  

n n n

m m m

n m n m n m

c a b

(a b c) (b c a) (c a b)
a  b  c  ,

  

     

  

n n n

n n n

n n 1 n n 1 n n 1

1 1 1

( a b c)

a b c

1 1 1

3. a. b. c.

a b c

1 1 1

3. .

a  b  c 

 
   _   _
 
 
 _   _
 
 
 
 _   _
 

n n n 1 1 1

( a b c)

b c a c a b a b c

 

   _   _

     

 

n 1 n 1 n 1

3. a. b. c.

b c a c a b a b c

 

 _   _

     

 

n_a n_b n_c

3.

b c a c a b a b c

 

 

 

 _{ } _{ } _{ } 

 

1 1 1 _.

b c a c a b a b c

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

l

Kết quả :

l

Kì này :

nguyễn đức tấn
(TP. Hồ Chí Minh)

CÓ SAI KHÔNG NAỉO ?

Bài tốn : Cho
tam giác nhọn ABC,
điểm M di chuyển
trên cạnh BC. Gọi
R₁, R₂ lần lượt là
bán kính của các đường trịn ngoại tiếp
các tam giác ABM, ACM. Xác định vị trí
điểm M để tổng R₁+ R₂nhỏ nhất.

Đây là một bài toán trong đề kiểm tra
của trường NN - BDVH Thăng Tiến,
Q. Tân Bình, TP. Hồ Chí Minh, năm học
2004-2005. Một học sinh đã giải như sau :

Lêi gi¶i :

Vẽ đường cao AH của tam giác ABC
(H thuộc BC). Ta có H là điểm cố định, độ
dài AH khụng i v AM AH.

Vì 2R₁ là đường kính của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABM nên

Tng t ta cú

Suy ra R₁+ R₂AM AH. Độ dài AH
không đổi, đẳng thức xảy ra khi v ch khi
M trựng H.

Vậy khi M là chân đường cao vÏ tõ A
cđa tam gi¸c ABC thì tổng R₁ + R₂ nhỏ
nhất.

Lời giải có sai không nào ? Các bạn hÃy
nghĩ xem !

2 AM

R .

2


1 1 AM

2R AM R .

2

  

Coự caàn giaỷi lái khõng ?

(TTT2 số 23)
Các bạn đều chỉ ra bước giải sai lầm :

Ta thÊy víi mọi x nhưng không thể suy ra
Chẳng hạn khi x = 0 th×

Tõ a b chØ suy ra được |a| |b| khi a b 0. Có thể giải l¹i nh­ sau :

2 2 2 2

2 2

1 11 1 9 1 11 1 9

A x x x x

2 4 2 4 2 4 2 4

1 11 1 9

x x 5.

2 4 2 4

       

 _  _   _  _   _  _    _ _  

       

   

 _  _  _  _  

   

2 2

1 9 1 9 1 9 9

x 0 2 2 .

2 4 2 4 4 4 4

 _  _{ }  _  _{       }

   

   

2

1 9 9

x .

2 4 4

 _  _{  }

 

 

2

1 9 9

x

2 4 4

 _  _{  }

 

 

2 2

1 11 1 9 11 9

x x .

2 4 2 4 4 4

 _  _ _  _  _{ } _{ }

   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

Bài 1 :Các chữ cái của từ ấtdậudịch
chuyển vịng trịnqua các vị trí 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
theo chiều kim đồng hồ như hình 1.1, mỗi
lần dịch chuyển 2 kí t :

ấtdậu ậuấtd tdậuấuấtdậ.
Vậy tiếp theo phải là hình 1.2, øng víi
uÊtdË.

Bài 2 :Các chữ cái của từ congàdịch
chuyển vịng trịnqua các vị trí 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
theo chiều kim đồng hồ như hình 2.1, mỗi
lần dịch chuyển 1 kí tự :

gµcon ngµco ongàccongà.
Vậy đầu tiên phải là hình 2.2, ứng với
gàcon.

Cỏc bn được thưởng kì này : Nguyễn
Như Thủy, 9E, THCS Nguyễn Thị Định,
Gia Đông, Thuận Thành, Bắc Ninh ;
Nguyễn Diễm Hằng B, 8G, THCS Lê Mao,
TP. Vinh, Nghệ An ; Trương Thanh Nga,
7/2, THCS Phước Vĩnh, TP. Huế, Thừa
Thiên - Huế; Lê Phương Thảo, 6/3, THCS
Lê Quý Đôn, TP. Hải Dương, Hải Dương;
Lê Thu Hà, số nhà 285, tổ 23, phường Gia
Sàng, TP. Thái Nguyên, Thỏi Nguyờn.

nguyễn đăng quang

l

Kết quả :

v

Kỡ naứy :

(TTT2 sè 23)

MỪNG XUÂN ẤT DẬU

Để xây được kim tự tháp
như hình vẽ bên, người ta đã
phải làm nhiều bản vẽ từng
phần nhỏ của nó. Có tất cả
7 bản vẽ từng phần và ai đó
đã để thêm vào 1 bản vẽ lạ.
Nhờ các bạn tìm giúp bản vẽ

lạ đó.

H×nh 1.1 H×nh 1.2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Một số bài tốn có những đặc điểm, tính
chất khơng thay đổi khi thay đổi các đại
lượng nào đó, mà ta gọi là tính bất biến.
Đơi khi có thể tìm ra lời giải cho một bài
tốn nhờ khai thác được tính bất biến này,
chúng ta cùng theo dõi một số bài toán số
học như vậy.

Bài toán 1 :Trên bảng viết 10 dấu cộng
và 15 dấu trừ. Với 24 lần thực hiện, mỗi lần
xóa đi 2 dấu bất kì rồi lại thêm vào 1 dấu
(cộng hoặc trừ) để cuối cùng trên bảng chỉ
còn lại 1 dấu duy nhất. Biết rằng dấu được
thêm vào sẽ là dấu trừ nếu trước đó đã xóa
đi 2 dấu khác nhau, ngược lại dấu được
thêm vào sẽ là dấu cộng. Hỏi dấu cịn lại
trên bảng là dấu gì ?

Lời giải :Ta thấy, nếu xóa đi 2 dấu cộng
thì phải thêm vào 1 dấu cộng, vì vậy số
dấu trừ trên bảng khơng thay i.

Nếu xóa đi 2 dấu trừ thì phải thêm vào 1
dấu cộng, vì vậy số dấu trừ giảm đi 2.

Nếu xóa đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì
phải thêm vào 1 dấu trừ, vì vậy số dấu trừ
trên bảng khơng thay đổi.

Như vậy, tính bất biến là : sau mỗi lần thực
hiện việc xóa và thêm dấu, số dấu trừ trên
bảng hoặc không thay đổi hoặc giảm i 2.

Mặt khác, số dấu trừ ban đầu là số lẻ
nên sau mỗi lần thực hiện thì số dấu trừ
còn lại trên bảng bao giờ cũng là số lẻ.

Sau 24 lần thực hiện, trên bảng chỉ còn lại
1 dấu duy nhất mà dấu trừ không thể mất
hết nên dấu còn lại trên bảng phải lµ dÊu trõ.

Bài tốn 2 : Một hình trịn được chia
thành 10 ơ hình quạt, trên mỗi ơ người ta
đặt 1 viên bi. Nếu ta cứ di chuyển các viên
bi theo quy luật : mỗi lần lấy ở 2 ơ bất kì
mỗi ơ 1 viên bi, chuyển sang ô liền kề theo
chiều ngược nhau thì có thể chuyển tất cả
các viên bi về cùng 1 ô hay không ?

Lời giải :Trước tiên, ta tơ màu xen kẽ
các ơ hình quạt, như vậy sẽ có 5 ơ được tơ
màu (ơ màu) và 5 ô không được tô màu
(ô trắng). Ta có nhận xét :

Nếu di chuyển 1 bi ở ơ màu và 1 bi ở ơ

trắng thì tổng số bi ở 5 ơ màu khơng đổi.

NÕu di chun ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì
tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2.

Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì
tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2.

Vy tng s bi ở 5 ô màu hoặc không
đổi, hoặc giảm đi 2 hoặc tăng lên 2. Nói
cách khác, tổng số bi ở 5 ơ màu sẽ khơng
thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu.

Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên
(là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi
theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu
luôn khác 0 và khác 10, do đó khơng thể
chuyển tất cả các viên bi v cựng 1 ụ.

Bài toán 3 :

Mỗi số trong d·y 21, 22, 23, ..., 22005

Cỏc bi toỏn s hc

hoàng ngọc đan

(Giỏo viên trường THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

đều được thay thế bởi tổng các chữ số của
nó. Tiếp tục làm như vậy với các số nhận
được cho tới khi tất cả các số đều có 1 chữ
số. Chứng minh trong dãy này : số các số
2 nhiều hơn số các số 1.

Lêi gi¶i : Ta thÊy : “Sè tù nhiên A và
tổng các chữ sè cđa A lu«n cïng sè dư
trong phép chia cho 9.

Mặt khác ta có : 21chia cho 9 d­ 2 ;
22chia cho 9 d­ 4 ; 23chia cho 9 d­ 8 ;
24chia cho 9 d­ 7 ; 25chia cho 9 d­ 5 ;
26chia cho 9 d­ 1 ; 27chia cho 9 d­ 2 ; ...

Do đó 26k + r lần lượt nhận các số dư
trong phép chia cho 9 là 2, 4, 8, 7, 5, 1
tương ứng với các giá trị của r là 1, 2, 3, 4,
5, 0. Dãy cuối cùng nhận được gồm 2005
số thuộc tập hợp {2 ; 4 ; 8 ; 7 ; 5 ; 1}.

Ta có 2005 = 334 x 6 + 1 nên dãy cuối
cùng có 335 số 2 (nhiều hơn số các số
khác 1 số). Vậy số các số 2 nhiều hơn số
các số 1 đúng 1 số.

Bài toán 4 :Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành
6 mảnh hoặc 11 mảnh. Các mảnh nhận
được lại có thể chọn để cắt (thành 6 mảnh
hoặc 11 mảnh nhỏ hơn) ... Cứ như vậy ta

có thể nhận được 2005 mảnh cắt không ?
Lời giải : Sau mỗi lần cắt một mảnh
giấy thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh thì số
mảnh giấy tăng lên là 5 hoặc 10. Như vậy
tính bất biến của bài tốn là “số mảnh giấy
luôn tăng lên một bội số của 5”. Vậy số
mảnh giấy sau các lần cắt có dạng 1 + 5k,
mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách
cắt như trên, từ một tờ giấy ban đầu, ta
không thể cắt được thành 2005 mảnh.

Sau đây là một số bài tập ứng dụng :
Bài 1 : Trên một bảng gồm 4 x 4 ô
vuông được viết các dấu cộng và dấu trừ.
Đổi dấu đồng thời các ô nằm trên cùng một
hàng hoặc trên cùng một cột hoặc trên các
ô dọc theo các đường thẳng song song với
một trong hai đường chéo. Bng cỏch nh

vậy ta có thể nhận được bảng chứa toàn
dấu cộng không ?

Bi 2 :Ti nh A₁ca mt a giác đều
12 cạnh A₁A₂A₃...A₁₂được viết dấu trừ, các
đỉnh còn lại được viết dấu cộng. Chứng minh
rằng : bằng cách đổi dấu đồng thời tại 6 đỉnh
liên tiếp bất kì với số lần tùy ý, ta không thể
nhận được đa giác mà tại đỉnh A₂viết dấu
trừ còn các đỉnh khác viết dấu cộng.

Bài 3 :Cho dãy số 1, 2, 3, ..., 2006. Ta
thay đổi vị trí các số theo nguyên tắc : mỗi
lần lấy ra 4 số bất kì rồi đặt chúng vào 4 vị
trí cũ nhưng theo thứ tự ngược lại. Bằng
cách này, ta có thể sắp xếp dãy số trên về
dãy số 2006, 2005, ..., 2, 1 không ?

Bài 4 :Mỗi người sống trên trái đất đã
thực hiện một số cái bắt tay nhất định với
những người khác. Chứng minh rằng số
người đã thực hiện một số lẻ cái bắt tay là
số chẵn.

Bài 5 :Cho các số 1, 2, 3, ..., n sắp xếp
theo một thứ tự nào đó. Tiến hành tráo đổi
vị trí của hai số bất kì đứng kề nhau.
Chứng minh rằng nếu thực hiện một số lẻ
lần như vậy thì khơng thể nhận được sắp
xếp ban đầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

Olympic Toán học các tỉnh thành thuộc
Nam Phi (South Africa Interprovincial
Mathematics Olympiad) được tổ chức lần
đầu tiên vào năm 1990, cũng là năm họ
bắt đầu thành lập đội tuyển tham dự
Olympic Toán học Quốc tế. Cuộc thi này
gồm 2 vòng. Vòng 1 diễn ra với hình thức
trắc nghiệm, thời gian làm bài là 60 phút.
Vịng 2 thơng thường gồm 10 bài tự luận.

Lần này, chúng tôi tuyển chọn và giới
thiệu với bạn đọc một số bài trong đề thi
trắc nghim nm 1999.

Bài 1 : Cho đường tròn tâm O, đường
kính BC. Điểm A nằm trên đường tròn sao

cho Khi đó số đo là :

(A) 58o; (B) 60o; (C) 64o; (D) 32o; (E) 30o
Bài 2 :Giá 2 cây bút và 3 cây thước là 1,9
đồng (tiền Nam Phi). Nếu mỗi cây bút đắt
hơn mỗi cây thước là 0,2 đồng thì giá của 2
cây thước và 3 cây bút là bao nhiêu đồng ?
(A) 2,1 ; (B) 1,9 ; (C) 2,5 ; (D) 1,5 ; (E) 2,0
Bài 3 :Một mục tiêu bắn súng hình trịn
gồm có các vành có bề rộng 1cm như hình
vẽ. Bán kính của đường trịn trong cùng là
1cm.

Hái diƯn tÝch vµnh ngoµi cïng lớn gấp
hình tròn trong cùng bao nhiêu lần ?
(A) 9 ; (B) 3 ; (C) 7 ; (D) 4 ; (E) 5

Bài 4 :Đường kính của một đường trịn
lớn được chia thành 5 phần, mỗi phần là
đường kính của một đường trịn nhỏ như
hình vẽ. Khi đó, nếu chu vi đường trịn lớn
bằng 30cm thì tổng chu vi của 5 đường

tròn nhỏ s :

(A) không lớn hơn 30cm ; (B) bằng 30cm ;
(C) b»ng 45cm ; (D) b»ng 60cm ;

(E) b»ng 30cm.

Bài 5 :Cho p(x) = x2+ bx + c, trong đó
b, c là các số nguyên. Nếu p(x) là một thừa
số trong dạng phân tích thành nhân tử của
các đa thức x4 + 6x2+ 25 và 3x4+ 4x2 +
28x + 5 thì giá trị p(1) bằng bao nhiêu ?
(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 4 ; (E) 8



OCA

 o

ABC 58 .

gIèI THIỴU

gIèI THIỴU

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Bài 1 : Trừ theo từng vế của hai phương
trình đầu ta có : a3- b3+ (a - b)x = 0
(a2+ ab + b2) + x = 0 (vì a - b 0) (1).

Tương tự ta có : (b2+ bc + c2) + x = 0 (2).
Trừ theo từng vế của (1) và (2) ta có :
a2+ ab - bc - c2= 0 (a - c)(a + b + c) = 0
a + b + c = 0 (vì a - c 0).

Bài 2 :Ta có a₀= 1 + 9 + 25 = 35 = 5 x 7.
Bây giờ ta chỉ cần kiểm tra xem 5 và 7 có
là ước số của a_n(với n nhận các giá trị từ 1
đến 1999) hay khơng.

DƠ thÊy a₁= 8 + 812+ 58không chia hết
cho 5 nên ƯCLN(a₀, a₁,a₂, ..., a₁₉₉₉) 5.

Mặt khác, với mọi n ta có 23n= 8n= (7 +1)n
khi chia cho 7 luôn dư 1 ; 36và 56khi chia cho
7 đều dư 1 nên 36n + 2 chia cho 7 dư 2 và
56n + 2chia cho 7 dư 4. Suy ra a_nchia hết
cho 7 với mọi n nhận các giá trị từ 1 đến 1999.

Vậy ƯCLN(a₀, a₁,a₂, ..., a₁₉₉₉) 7.
Bài 3 : Trước hết ta thực hiện các phép
tính 13 = 1 ; 23 = 8 ; 33 = 27 ; 43 = 64 ;
53_{= 125 ; 6}3_{= 216 ; 7}3_{= 343 ; 8}3_{= 512 ;}

93 = 729 ; 103 = 1000 ; 113 = 1331 ;
123= 1728 ; 133= 2197.

Khơng mất tính tổng quát, giả sử a b c.
Từ đó ta thấy 83+ 83+ 83= 1536 < 2001
và 133> 2001, suy ra a chỉ có thể nhận một

trong các giá trị 9, 10, 11, 12.

NÕu a = 9 b3+ c3= 1272 ;

83+ 83= 1024 < 1272 b = 9 c3= 543
c không là số nguyên.

Nu a = 10 b3+ c3= 1001 b chỉ có
thể nhận các giá trị là 8, 9, 10, từ đó ta tìm ra
một nghiệm (a ; b ; c) thỏa mãn là (10 ; 10 ; 1).
Nếu a = 11 b3+ c3= 670 b chỉ có thể

nhận các giá trị là 6 hoặc 7, từ đó ta tính được
c3và suy ra được c khơng là số nguyên.

NÕu a = 12  b3 + c3 = 273  b = 6
c3= 57 c kh«ng là số nguyên.

Vậy bộ số (a ; b ; c) tìm được là (10 ; 10 ; 1)
và các hoán vị của nó.

Bài 4 : + Nếu Chú ý X
thuộc phân giác CL cđa XAC = XBC
CA = CB, m©u thn với giả thiết.
+ Nếu Giả sử BC cắt YA tại D ;
AC cắt YB tại E.

Theo nh lớ Xê-va ta có

(ABC có H thuộc AB, E thuộc AC, D thuộc

BC và AD, BE, CH đồng quy tại Y).

Mặt khác hai tam giác CDA và CEB đồng
dạng nên

Lại có hai tam giác HCB và HAC đồng
dạng nên

Tõ (1) vµ (2) suy ra

CA = CB, mâu thuẫn với giả thiết.
Bài 5 :Đặt C = 66...68 (n - 1 ch÷ sè 6).

n

n

2 2n n

2n n

2n n

10 1 2

C 6. 2 (10 2)

9 3

4

C (10 4.10 4)

9

4₍₁₀ _{1) 2. .(10 1) 4}8

9 9

10 1 10 1

4. 2.8. 4 A 2B 4.

9 9



    

   

    

 

     

CD CE _{CD CE}

CE CD

   

CA EA CA AE CE _(2).

CB DB CB DB CD

   



2

HA HA HC_. CA
HB HC HB CB

  _{ } _

 

CA CD ₍₁₎ CB HA DB_. _. _1.

CB CE CA HB EA

   

EC HA DB_. _. ₁
EA HB DC

 

YAC YBC :



ACB

 

XAC XBC :

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Bài 1 :

(2,5 điểm)

Gii phng trỡnh :

xy

x

y + a



+



x

2

y

2

+ x

2

y + xy

2

+ xy



4b



= 0

Bµi 2 :

(2,5 ®iĨm)

Hai phương trình :

x

2

+ (a



1)x + 1 = 0 ; x

2

+ (b + 1)x + c = 0 có nghiệm

chung, đồng thời hai phương trình : x

2

+ x + a



1 = 0 và

x

2

+ cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung.

TÝnh gi¸ trị của biểu thức

Bài 3 :

(3,0 điểm)

Cho hai đường tròn tâm O

₁

và tâm O

₂

cắt nhau tại A,

B. Đường thẳng O

₁

A cắt đường tròn tâm O

₂

tại D, đường

thẳng O

₂

A cắt đường tròn tâm O

₁

tại C.

Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường

tròn tâm O

₁

tại M và cắt đường tròn tâm O

₂

tại N.

Chứng minh rằng :

1) Năm ®iĨm B ; C ; D ; O

₁

; O

₂

n»m trªn một đường

tròn.

2) BC + BD = MN.

Bài 4 :

(2,0 điểm)

Tìm các số thực x và y thỏa mÃn x

2

+ y

2

= 3 và x + y

là một số nguyên.

2004a .

_{b c}



a ( 57 3 6

38 6)( 57 3 6

38 6)

b

17 12 2

3 2 2

3 2 2

























</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Bài 1 :(6 điểm)

1) Chứng minh rằng : là số

nguyên.

2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho :
với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2 :(6 điểm)

1) Gii phng trỡnh :
2) Cho Parabol (P) :

và đường th¼ng (d) :

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gäi A, B lµ giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên
cung AB cđa (P) sao cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB lín nhất.
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA NB ngắn
nhất.

Bài 3 :(8 điểm)

1) Cho ng trũn tõm O và dây cung BC không qua
tâm O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác
B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường
vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng
H nằm trên một đường tròn cố định.

2) Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt
nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C và
tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC
và BE.

1

y x 2.

2
  

2

1

y x

4


3 2

x 2x 2 2x 2 2 0. 

2
2

abc n 1

cba (n 2)

 _ _




 


abc

2 3 5 13 48

A

6 2

  





</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn
hơn 3. Chứng minh rằng phương trình
x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm
ngun dương (x₀; y₀; z₀).

(Đề kì trước đã in nhầm là : nghim
dng (x₀; y₀; z₀)).

Lời giải :Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
hoặc p chia cho 3 d­ 1 hc p chia cho 3 d­ 2.

Trường hợp 1 :p chia cho 3 dư 1, tức là
p = 3k + 1 (k N*).

Ta cã 4p2+ 1 = 4(3k + 1)2+ 1
= 4(9k2+ 6k + 1) + 1

= 4k2+ (16k2+ 8k + 1) + (16k2+ 16k + 4)
= (2k)2_{+ (4k + 1)}2_{+ (4k + 2)}2 _(1).

Do đó : (x₀; y₀; z₀) là một hoán vị của
2k, 4k + 1, 4k + 2.

Trường hợp 2 :p chia cho 3 dư 2, tức là
p = 3k + 2 (k N*).

Ta cã 4p2+ 1 = 4(3k + 2)2+ 1
= 4(9k2+ 12k + 4) + 1

= (4k2+8k + 4) + (16k2+ 16k + 4) + (16k2+
24k + 9)

= (2k + 2)2+ (4k + 2)2+ (4k + 3)2 (2).
Do đó : (x₀; y₀; z₀) là một hoán vị của
2k + 2, 4k + 2, 4k + 3.

Từ (1) và (2), bài toán đã được chứng minh.
Nhận xét :Đây là bài toán cơ bản, hay
của học sinh THCS. Các bạn sau có lời giải
đúng : Tập thể lớp 9D, THCS thị trấn Đông
Hưng, Thái Bình; Tăng Hồng Trường, 8A,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ
An ; Trần Thanh Hiệp, số nhà 79, đường
Nguyễn ái Quốc, TX. Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh.

Nguyễn Minh Đức
Bài 2(23) :Cho ba số dương a, b, c thỏa
mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

(1).

Lêi giải :Ta có :

Mặt khác : 1 + b2 _ _{2b ; 1 + c}2 _ _{2c ;}

1 + a22a nªn :

Tõ (a  b)2+ (b  c)2+ (c  a)20 suy
ra ab + bc + ca a2+ b2+ c2

3(ab + bc + ca) (a + b + c)2= 9
ab + bc + ca 3 (4).

Tõ (3) vµ (4) ta cã :

.

Chứng tỏ bất đẳng thức (2) đúng suy ra
bất đẳng thức (1) đúng (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét :1) Chỉ có bốn bạn giải đúng :
Phan Tuấn Hiệp, 9A₁, THCS Hồng Bàng,
Hải Phòng; Trần Đức Thiện, 8H, THCS thị
trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Trần Mỹ Linh, 9/1,
THCS Trần Huỳnh, TX. Bạc Liêu, Bạc Liêu;
Vũ Hồng Lực, 9A₇, THCS Trần Đăng Ninh,
TP. Nam Định, Nam Định.

2 2 2

2 2 2

ab bc ca 3

2
1 b 1 c 1 a 

2 2 2 2 2 2

2 2 2

ab bc ca ab bc ca

2b 2c 2a

1 b 1 c 1 a

1 (ab bc ca) (3).

2

     

  

  

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

a b c

(1) a b c

1 b 1 c 1 a

3

3

2

1 1

a 1 b 1

1 b 1 c

1 3

c 1

2
1 a

ab bc ca 3 _(2).

2

1 b 1 c 1 a

 

   _   _

    

 

   

 _  _ _  _

     

 

 _  _

  

   

  

2 2 2

a b c _3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

2) Các bạn tham gia giải đã mắc rất
nhiều sai lầm :

a) V× a, b, c > 0 vµ a + b + c = 3 nªn
a = b = c = 1 (?)

b) 1 + b22b ; 1 + c22c ; 1 + a22a
nªn :

c) G(a ; b ; c) F(a ; b ; c) nên G(a ; b ; c) 
GTLN của F(a ; b ; c) = . Điều này không
đúng, chẳng hạn ta thử vận dụng điều trên
vào lập luận sau đây : “Với mọi x ta có
1 x2 x2. Vì x2lớn nhất bằng 0. Do đó
1 x20 với mọi x”. Thấy ngay kết quả là
sai vì khi x = 2 thì 1 x2= 3 < 0.

LTN
Bài 3(23) :Giải phương trình :

Lời giải :Với điều kiện để các căn bậc hai
tồn tại, phương trình (1) tương đương với :

Ta nhËn thÊy :

Víi x > 2 thì vế trái của (2) nhỏ hơn vế
phải của (2).

Với x < 2 thì vế trái của (2) lớn hơn vế
phải của (2).

Vi x = 2 thỡ (2) được nghiệm đúng.
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nht
x = 2.

Nhận xét : 1) Lời giải trên cho phÐp ta

loại trực tiếp các giá trị của x không thỏa

mãn phương trình để cuối cùng chỉ cịn lại
một giá trị duy nhất và ta chỉ cần kiểm tra
xem nó có được nghiệm đúng hay khơng.
Do đó khơng cần phải giải hệ điều kiện để
các căn bậc bậc hai tồn tại.

2) Có nhiều bạn dùng phép biến đổi
tương đương đưa phương trình (1) về dạng :

từ đó cũng suy ra được (1) có nghiệm duy nhất
x = 2. Các bạn chú ý :

và khác 0

không phải là điều hiĨn nhiªn.

3) Các bạn có lời giải tốt hơn cả là : Lê
Văn Hòa, 9A, THCS Nghĩa Liên, Nghĩa
Đàn, Nghệ An ; Trịnh Thùy Bảo Lê, 7A₁,
THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương;
Phan Thùy Linh, 9B, THCS Tản Đà, Ba Vì,
Hà Tây ; Nguyễn Thúy Hường, 9G, THCS
Xuân Đỉnh, Từ Liêm, Hà Nội ; Tạ Hồng
Sơn, 9A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phú Thọ ; Trần Mỹ Linh, 9/1, THCS Trn
Hunh, TX. Bc Liờu, Bc Liờu.

Nguyễn Anh Quân
Bài 4(23) :Cho tam giác ABC (AB < AC)
và P là ®iĨm n»m trong tam gi¸c sao cho

Gọi H và K lần lượt là chân các
đường vng góc hạ từ P xuống AB và AC ;
I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :

Lêi gi¶i : (Dựa theo bạn Nguyễn Văn
Sơn A, 7B, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Gi E, F ln lt l trung điểm của PB và

 

HIB KIC.

 

PBA PCA.

2 2

3x 7x 3  3x 5x 1

2 2

x  2 x 3x 4

2 2

2 2

3
(x 2)

x 2 x 3x 4

2 ₀

3x 7x 3 3x 5x 1




 _ 

   






 _

     

2 2

2 2

2

2

2 2

3x 7x 3 x 3x 4

3x 5x 1 x 2

(3x 5x 1) 2(x 2)

(x 2) 3(x 2)

3x 5x 1 x 2. (2)

     

    

     

    

    

2 2

2 2

3x 7x 3 x 2

3x 5x 1 x 3x 4. (1)

    

     

3
2

2 2 2

a b c a b _{c (?)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

PC. Xét các tam giác vuông HBP vµ
KPC, ta thÊy

mµ (gt) nên (1).

Mặt khác do tứ giác PEIF là hình bình

hành, suy ra (2).

T (1) v (2) ta nhận được .
Lại có EI = KF (= PC) ; IF = HE (= PB), do
đó HEI = FIK (c.g.c)  (3).
Vì AB < AC nên , kết hợp với
, từ đó PB < PC
dẫn đến IF < FC suy ra hay

(4).
Từ (3) và IF < FK suy ra hay
(5).
Từ (4) ; (5) suy ra

hay (®pcm).

Nhận xét : Các bạn sau có lời giải gọn
hơn cả : Lê Thu Hà, 91, THCS Bùi Thị
Xuân, Nha Trang, Khánh Hòa ; Đỗ Tiến
Trung, 9A, THCS Kiến Phú, Quốc Oai, Hà
Tây; Nguyễn Hằng Giang, 9B, THCS Nhân
Mỹ, Lý Nhân, Hà Nam ; Nguyễn Văn
Thành, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương ; Bùi Thúy Hằng, 9B, THCS Phùng
Chí Kiên, Diễn Châu, Nghệ An; Phan Xuân
Sơn, 9/2 ; Trần Thanh V, 9/8, THCS Lờ

Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam ; Đại
Thị ánh; Ngô Hải Hà, 8A₁, THCS Yên Lạc,
Vĩnh Phúc.

Nguyn Vn Mnh
Bi 5(23) : Cho tam giác ABC khơng
cân, ngoại tiếp đường trịn (O). Gọi D, E, F
lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các
cạnh BC, CA, AB. Gọi M là giao điểm của
các đường thẳng AO, DE ; N là giao điểm
của các đường thẳng BO, EF ; P là giao
điểm của các đường thẳng CO, DF. Chứng

minh các tam giác NAB, MAC, PBC có
cùng diện tích.

Lêi gi¶i : (của bạn Trịnh Quang Thanh,
8B, THCS Hàm Rång, TP. Thanh Hãa,
Thanh Hãa).

Gäi A, B, C là số đo các góc của tam giác
ABC.

Vì tam giác CDE cân tại C nên :

180o C A B

MDC .

2 2

 

 

HIB KIC

   

HIE EIB KIF FIC  

 

KIF HIE

 

KIF IKF

 

FIC EIB

 

FIC FCI

 

   

PBA PCA PBC PCB

 

ABC ACB

 

HIE IKF
1
2
1

2

 

HEI KFI

 

PEI PFI

 

HEP KFP

 

PBA PCA

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Mặt khác,
Vậy :

Tứ giác MOBD nội tiếp

(1).

Đặt L = BM AC.

Từ (1) ta có ABL cân tại A

(2).
Gọi H, K là hình chiếu của M, B xuống AC.
Từ (2) ta cã

Tương tự ta có :

VËy : C¸c tam gi¸c NAB, MAC, PBC cã
cïng diƯn tÝch.

NhËn xÐt : 1) Bài toán này không khó,
bởi lẽ tứ giác MOBD nội tiếp là một kết
quả quen thuộc. Tuy nhiên, chỉ có ít bạn
tham gia giải, trong số này có nhiều bạn
giải quá dµi.

2) Các bạn sau đây có lời giải tốt :
Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS
Thạch Thất, Thạch Thất ; Đỗ Tiến Trung,
9A, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ;
Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh,
TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa; Lê Tuấn Hiệp,
8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương, Nghệ An;
Trần Mỹ Linh, 9/1, THCS Trần Huỳnh,
TX. Bạc Liêu, Bạc Liêu.

Ngun Minh Hµ
1

S(PBC) S(ABC).
2



1

S(NAB) S(ABC) ;
2


1_MH.AC 1 1_{. BK.AC}

2 2 2

1

S(MAC) S(ABC).
2

 

 

1

MH BK

2


1

ML BL

2

 

  o

OMB ODB 90 

 

MDC MOB.

   A B

MOB OAB OBA .

2 2

   

15

Thi giải toán qua thư

Các bạn được thưởng kì này

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Giáo sư Đa-vít là một nhà khoa học tài
danh rất được quý mến và hâm mộ...
Vậy mà thật bất ngờ, sáng nay, mọi
người nhận được tin dữ : ông đã mất tích.
Cơ Ma-ri - con gái ơng Đa-vít đã mời
cảnh sát thành phố và mời thám tử
Sê-Lốc-Cốc đến điều tra.

Khi thám tử Sê-Lốc-Cốc đến nơi thì đã
thấy ngài cảnh sát trưởng Pi-tơ cùng một
số cộng sự có mặt tại nhà ơng Đa-vít.
Ơng Pi-tơ báo cáo ngay :

- Chào thám tử !
May quá ngài đã
đến. Chúng tôi
đang cần sự
trợ giúp của
ngài. Qua lời
kể của cô Ma-ri
và qua điều tra,

xem xét hiện trường, chúng tôi đã kết
luận chắc chắn ơng Đa-vít b bt cúc.
Tuy nhiờn...

- Sao, các anh còn băn khoăn điều gì
nữa chăng ?

- Đúng vËy, th­a th¸m tư ! Mời ngài
cùng lên phòng làm việc của ông Đa-vít
ở tÇng hai.

Thám tử Sê-Lốc-cốc, cảnh sát trưởng
Pi-tơ cùng cô Ma-ri đi lên tầng hai.
Phòng làm việc của giáo sư thật ngăn
nắp, gọn gàng, khơng hề có dấu hiệu
của sự xô xát. Gần cửa sổ là chiếc bàn
làm việc lớn, trên bàn có máy vi tính, đèn
bàn, sách bút, vài tờ giấy, có tờ cịn

trắng, có tờ viết dở. Phía bên phải bàn
làm việc là một tủ sách lớn, một giá đựng
báo, tạp chí. Phía bên trái treo tấm bản
đồ thế giới khá to.

- Thưa thám tử, rõ ràng là giáo sư đã
không hề phản ứng lại bọn bắt cóc.
Chúng tơi khơng hiểu tại sao một người
tài giỏi, thông minh như giáo sư mà lại
chịu “ngoan ngoãn” để bọn xấu bắt đi
như thế. - Cảnh sát trưởng Pi-tơ vừa
chỉ tay khắp căn phịng

làm việc vừa nói.
- Có lẽ ơng ấy
biết mình đã
tuổi cao, sức
yếu nên không

chống cự...
-Thám tử khẽ
đáp - nhưng ơng
cứ bình tĩnh, chúng ta cùng xem lại thật
kĩ căn phịng này đã.

Nói rồi thám tử Sê-Lốc-Cốc tiến sát đến
bên bàn làm việc của giáo sư. Ông đưa
mắt quan sát thật kĩ. Máy vi tính khơng
bật, đèn bàn vẫn sáng, cây bút đang viết
chưa đóng nắp, mấy tờ giấy nằm lộn xộn,
chiếc ghế ngồi hơi quay về phía bên trái...
Thám tử nhíu mày, xem chừng có vẻ căng
thẳng... Chợt ánh mắt ơng dừng lại ở mấy
tờ giấy. Ơng cầm một tờ lên xem. Trên đó
mấy chữ viết vội : “Cô-oét với Xri-lan-ca ;
Y-ê-men với Pa-ki-xtan ; Thủ đô.” Một lát
sau, thám tử reo lên :

- Cã thÕ chø ! Đời nào giáo sư lại chịu

Nguyn Duy Phng

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

l

KÕt qu¶ :

bó tay hồn tồn ! Đây chính là bản mật mã
ơng ấy để lại cho chúng ta !

Cảnh sát trưởng Pi-tơ ngạc nhiên :

- Tôi cũng có nhìn thấy tờ giấy này nhưng tơi
nghĩ nó khơng nói lên điều gì cả. Khơng thể có
chuyện bọn bắt cóc đưa giáo sư tới ngay thủ đơ
của bốn nước như thế này !

- Ngài cảnh sát trưởng thử suy nghĩ theo
hướng khác xem nào ! – Thám tử vừa nói vừa
nheo mắt cười.

- Vâng, tôi cũng đã thử ghép những chữ cái
đầu của những từ này, thử ghép chữ cái đầu
của tên thủ đô bốn nước này nhưng đều khơng
cho kết quả gì.

- Thế ơng có chú ý đến tấm bản đồ thế giới
treo cạnh bàn làm việc của giáo sư không ?

- Tôi không chú ý vì nghĩ nó khơng liên quan
gì đến việc này cả !

- Vậy mà, theo tơi, đó lại là chìa khóa giúp
chúng ta khám phá vụ án, ít nhất là giúp chúng
ta biết nơi đầu tiên thám tử bị đưa đến.

Cảnh sát trưởng Pi-tơ đến bên tấm bản đồ,
ông cau mày suy nghĩ rất lâu mà vẫn chưa tìm
ra “chìa khóa”. Cịn các thám tử “Tuổi Hồng” thì
sao ? Các bạn có đốn ra khơng ?

Trước Q ta có chữ P

Chữ A chẳng phải trước B đó à ?
Cứ làm chầm chậm là ra
PARK ROAD - đường đó nơi ta

cần tìm.
Đây là câu trả lời bằng thơ của
bạn Nguyễn Viết Công ở Hà Tĩnh.
Hầu hết các bạn khác cũng đưa
ra được câu trả lời chính xác :
Ghép những chữ cái đứng kề
trước những chữ cái đầu dòng của
8 câu thơ, ta sẽ được tên con
đường PARK ROAD. Đây chính là
đường phố mà bọn bắt cóc đưa
giáo sư tới.

Phần thưởng kì này được trao
cho những bạn có bài làm xuất
sắc hơn cả : Đặng Thùy Linh,
7C₈, THCS Trần Phú, Lê Chân,

Hải Phòng ; Lê Mai Hương, 7D,
THCS Lê Quý Đôn, TX. Bỉm Sơn,

Thanh Hóa ; Nguyễn Viết Cơng,
8/1, THCS Lê Văn Thiêm, TX. Hà
Tĩnh, Hà Tĩnh ; Phan Trọng Việt,

số 4, dãy B, khu TT sân bay Vũng
Tàu, số 40, đường 30 tháng tư,
p.9, TP. Vũng Tàu, Bà Rịa - Vũng
Tàu ; Bùi Nguyễn Trần Khôi
Nguyên, 8B₁₁, THCS Lê Vn
Tỏm, Liờn Hng, Tuy Phong,

Bình Thuận.

Thám tư Sª-Lèc-Cèc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

TỪ MỘT BÀI THI HỌC SINH GII

18

Lời giải :Không mất tính tổng quát, giả
sử a b c > 0. Ta cã :

(a2b2c2)2> 2(a4b4c4)
(a2b2c2)22(a4b4c4) > 0
2(a2b2b2c2c2a2) (a4b4c4) > 0
(a b c)(b c a)(c a b)(a b c) > 0.
Do a  b  c > 0  a  b  c > 0 ;
a b c > 0 ; c a b > 0 b c a > 0.

Suy ra a, b, c là độ dài ba cạnh của một
tam giác.

Dễ dàng nhận ra rằng, cách chứng minh
bài tốn trên vẫn cịn hiệu lực đối với bài
toán mở rộng sau :

Bài toán 2 :Cho các số dương a, b, c thỏa
mãn (a2k b2kc2k)2> 2(a4kb4k c4k).
Chứng minh rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác.

Lời giải : Theo kết quả của bài tốn 1 ta có
ak, bk, cklà độ dài ba cạnh của một tam giác.
Khi đó nếu a + b c thì ak+ bk< (a + b)kck
là điều vơ lí, suy ra a + b > c.

Tương tự ta có b + c > a và c + a > b.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tiếp tục mở rộng cho bộ n số dương
a₁, a₂, ..., a_nta có bài tốn sau :

Bài toán 3 :

Cho n s dng a₁, a₂, ..., a_nthỏa mãn :
với n  3. Chứng minh rằng : Bất kì ba số
nào trong n số trên đều là độ dài ba cạnh
của một tam giác.

Lêi gi¶i : + Với n = 3 : trở lại bài toán 1.
+ Với n > 3 : Không mất tính tỉng qu¸t, ta
chøng minh cho ba sè a₁, a₂, a₃.

Theo điều kiện đề bài và áp dụng bất
đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có :

Theo bài tốn 1 ta có a₁, a₂, a₃là độ dài
ba cạnh của một tam giác. Từ đó ta có điều
phải chứng minh.

Bài tốn 3 chính là đề thi Vơ định Tốn
Trung Quốc năm 1988.

Nếu biết rằng b₁ b₂  ...  b_k > 0 và
b₁< b₂+ ... + b_kthì b₁, b₂, ..., b_klà độ dài
các cạnh của một đa giác, các bạn sẽ
chứng minh được bài toán tổng quỏt sau :

Bài toán 4 :

Cho n s dng a₁, a₂, ..., a_nthỏa mãn :
Chứng minh rằng : Bất kì k số nào trong
n số trên đều là độ dài các cạnh của một đa
giác lồi k cạnh (n k 3).

2 2 2 2 4 4 4

1 2 n 1 2 n

(a a ... a )    (n 1)(a a ... a ). 

4 4 4 2 2 2 2

1 2 n 1 2 n

2

2 2 2 2 2

1 2 3 4 n

2 2 2 2

4 4

1 2 3

4 n

2 2 2 2

4 4

1 2 3

4 n

2

4 4 4 1

1 2 n

(n 1)(a a ... a ) (a a ... a )
1

2 (a a a ) a ... a

2

(a a a )

2 (n 3) a ... a

2
(a a a )

(n 1) a ... a

2
(a
a a ... a

        
   
 
_ _   _   _ 
   
 
 _{ } 
  _ _    

 
 _{ } 
      

 
 


     22 2 23 44 n4

2 2 2 2

4 4 4 1 2 3

1 2 3

2 2 2 2 4 4 4

1 2 3 1 2 3

a a ) a ... a
2

(a a a )
a a a

2

(a a a ) 2(a a a ).

 _{  }

 
   

     

2 2 2 2 4 4 4

1 2 n 1 2 n

(a a ... a )   (n 1)(a a ... a ). 

ph¹m quèc duẩn
(10 Toán, THPT Năng khiếu Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)
Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004
có bài toán thú vị sau :

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

1) Ta sÏ chøng minh sè tèt n 4.

Thật vậy : Ta thấy mỗi hình vng có 4
góc vng và khơng thể có một hình vng
nào có thể lấp đầy một lúc cả hai góc vng
của một hình vng lớn hơn. Do đó ta phải
cần ít nhất 4 hình vng nhỏ để lấp đầy 4
góc của hình vng đã cho. Vậy nu n l s
tt thỡ n 4.

2) Theo câu trên
thì nếu 4 hình vuông
nhỏ chưa lấp đầy
hình vuông lớn thì
phần còn lại của

hình vuông lớn
không phải là một
hình vuông (hình 1).
Vậy không thể chia
một hình vuông

thành 5 hình vuông nhỏ hay 5 không phải lµ
sè tèt.

3) Ta chứng minh 2004 là số tốt bằng
cách chỉ ra cách chia một hình vng thành
2004 hình vng nhỏ chỉ với 2 kích thước
khác nhau :

Chia hai cạnh kề nhau của hình vng,
mỗi cạnh thành 1002 phần bằng nhau rồi
dựng trên hai cạnh đó 2003 hình vng nhỏ
có kích thước bằng nhau (có độ dài cạnh

bằng độ dài cạnh hình vng đem
chia). Phần cịn lại cũng là một hình vng
(có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh
hình vng đem chia).

4) Mọi số tự nhiên n khác 1 ; 2 ; 3 ; 5 đều
là số tốt :

NÕu n ch½n :

n = 2k (k 2) ta chia nh­ h×nh 2.

NÕu n lỴ :

n = 2k + 3 (k 2) ta chia nh­ h×nh 3.

lVõ sĩ xứng đáng được đăng quang kì này
là bạn Trần Văn Thăng, 9B, THCS huyện
Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh.

vũ đình hịa
1001

1002
1

1002

(TTT2 số 23)
l Người thách đấu : Đỗ Trọng Hiển,

Giáo viên trường THCS Võ Như Hưng,
xã Điện Bàn, Điện Bàn, Quảng Nam.
l Bài toán thách đấu :Cho đường tròn
(O). A và B là hai điểm thuộc (O) và H
là trung điểm của AB. Hai điểm K, L
thuộc đoạn AB sao cho HK = HL. Điểm

M thuộc (O), MH, MK, ML lần lượt cắt
(O) tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của
AB và EF. Chứng minh rằng : SD tiếp
xúc với (O).

l XuÊt xø :S¸ng t¸c.

l Thời hạn nhận thách đấu :
Trước ngày 15 - 04 - 2005.

H×nh 2
H×nh 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Hình thức thi trắc nghiệm đã được nhiều
nước phát triển áp dụng từ lâu cho các kì
thi, từ các kì thi đánh giá chất lượng cuối
kì, tốt nghiệp, tuyển sinh đến chọn học
sinh giỏi. Trong xu hướng chung của sự
phát triển và đổi mới, hình thức thi hay
đánh giá bằng trắc nghiệm đã được xem là
một hình thức đánh giá rất tốt.

Chương trình thí điểm cải cách lớp 9
của nước ta cũng đã dự kiến đưa vào đề
thi tốt nghiệp THCS phần câu hỏi trắc
nghiệm. Để giúp bạn đọc làm quen với
hình thức thi này chúng tôi xin được giới
thiệu phần trắc nghiệm trong đề thi chọn
học sinh giỏi bậc THCS ở Sin-ga-po năm
1995 (mỗi câu trả lời đúng được 4 im ;
sai b tr 1 im).

Câu 1 :Giá trị thu gän cđa lµ :

(A) 1 (B) 4 (C) (D) 220 (E) 218

C©u 2 : Nếu (8,047)3521,077119823
thì (0,8047)3có giá trị là :

(A) 0,521077119823 (B) 52,1077119823

(C) 521077,119823 (D) 0,00521077119823

(E) 0,0521077119823

Câu 3 :Nếu x là một số dương thì biểu
thức nào sau đây có giá trị bé hơn 1 ?
(A) (B) (C) x2 (D) (E)

Câu 4 : Chữ số ở hàng đơn vị của số
(243)10(163)9(633)8là :

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

Câu 5 :Hãy xem các mệnh đề về số 
sau, mệnh đề nào đúng :

a) là số thập phân vô hạn không tuần
hoàn.

b) là số v« tØ.
c)

d) có giá trị gần đúng là 3,142.

e) là một số thực.

(A) Chỉ c) đúng ; (B) Chỉ b) và c) đúng ;
(C) Chỉ a), b), d) và e) đúng ;

(D) Chỉ c) và d) đúng ;
(E) Chỉ c) và e) đúng.

Câu 6 : Tổng của hai số dương bằng
tổng các nghịch đảo của chúng, tích của
hai số dương đó là :

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) (E)
Câu 7 : Giá trị của x là bao nhiªu biÕt :
2199521995219952199521995
2199521995219952x.

(A) 1996 (B) 1997 (C) 1998
(D) 1999 (E) 2000

Câu 8 : ởthời điểm 3 giờ 40 phút, kim
giờ và kim phút tạo thành góc tù có giá trị
tính bằng độ là :

(A) 150o (B) 160o (C) 130o
(D) 120o (E) 180o

Câu 9 : Một tứ giác có các cạnh đối
diện tương ứng bằng nhau. Mệnh đề nào
sau đây là ỳng :

(A) Nếu 4 cạnh bằng nhau thì hai đường
chéo cũng bằng nhau.

(B) Nếu các cạnh kề nhau vu«ng gãc
1
4
1

2
22.

7
 

x
x 1
1 x

x

1 x

x

1

x

20

1
2
 
 


40
20

2
4

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

với nhau thì 4 cạnh bằng nhau.

(C) Nếu các đường chéo bằng nhau thì
các cạnh kề nhau vuông góc với nhau.

(D) Nếu các đường chéo vuông góc với
nhau thì các cạnh kề nhau vuông góc với
nhau.

(E) Nếu các đường chéo bằng nhau thì
4 cạnh bằng nhau.

Câu 10 :Trong hình vẽ, M là trung điểm
của nửa đường tròn đường kính AD, hình
chữ nhật ABCD có AD 6cm ; AB 7cm.
Chu vi tam giác cân MBC bằng bao nhiêu ?

(A) 14cm
(B) 15cm
(C) 16cm
(D) 18cm
(E) 20cm

Câu 11 :Mỗi khi kim giờ và kim phút tạo
với nhau một góc 180o thì đồng hồ đổ
chuông 1 lần. Từ 12 giờ trưa hôm nay đến
12 giờ trưa hôm sau, đồng hồ đổ chuông
mấy lần ?

(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
Câu 12 :20 người lính đứng thành vịng
trịn, tất cả đều quay mặt vào tâm, được
đánh số thứ tự từ 1 đến 20 theo chiều kim
đồng hồ. Họ bắt đầu đếm số theo chiều
kim đồng hồ : người thứ nhất đếm 1, người
thứ hai đếm 2,... người kế tiếp đếm số tự
nhiên lớn hơn 1 đơn vị so với số mình vừa
nghe người bên phải đếm. Người lính có
số thứ tự bao nhiêu sẽ đếm số 1995 ?

(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
Câu 13 :Vào giờ ăn trưa của một cơng
ty, nếu mỗi người ngồi riêng 1 bàn thì cịn
1 người khơng có bàn để ngồi, vì vậy họ đã
ngồi 2 người vào 1 bàn. Lúc đó có một bàn
cịn trống. Hỏi có bao nhiêu chiếc bàn ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Câu 14 : Trong hình vẽ bên, và
đều vng. Cho biết CD  6cm ;
AD 7cm và AB  5cm. Diện tích của tứ
giác ABED là :

(A) 15cm2 _{(B) 20 cm}2 _{(C) 22,5 cm}2

(D) 27,5 cm2

(E) Khơng đủ dữ kiện để tính.

C©u 15 :NÕu 0 < x < 1 ; y xxvà z xy
thì thứ tự tăng dần của 3 số x ; y ; z lµ :

(A) x ; y ; z (B) x ; z; y (C) y ; z ; x
(D) z ; y ; x (E) z ; x ; y

Câu 16 :Hai tàu hỏa chạy ngược chiều
nhau với vận tốc của mỗi chiếc là
180km/giờ. Một người đứng trong chiếc tàu
này thì thấy chiếc tàu kia chạy qua hết 5
giây. Hỏi chiếc tàu thứ hai dài bao nhiêu ?
(A) 100m (B) 200m (C) 250m
(D) 400m (E) 500m

Câu 17 : Trên một dòng sơng có dịng
chảy ổn định. Một người bơi một khoảng a
ngược dịng mất 6 phút và bơi xi dịng

cùng khoảng cách đó mất 3 phút. Nếu
người đó thả nổi cho trơi xi dịng trên
cùng khoảng a đó thì hết mấy phút ?

(A) 8 phót (B) 9 phót (C) 10 phót
(D) 11 phót (E) 12 phút

Câu 18 :Bốn vòng tròn bằng nhau, mỗi
vòng tiếp xúc với 2 cạnh hình vuông và
tiếp xúc ngoài với 2 vòng khác (như hình
vẽ). Diện tích hình vuông là 144cm2. Nếu
vẽ vòng tròn nhỏ tiếp xúc với cả 4 vòng
tròn thì đường kính của vòng tròn nhá lµ :

(A) cm

(B) cm

(C) 3cm
(D) 2cm
(E) 1cm

(Xem tiÕp trang 25)
3( 2 1)
6( 2 1)



CDE



ABC

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

“gi¶i toán trên máy tính điện tử casio năm 2005

phiặu dỳ thi

ẵậ thi kệ thử ba

Cuộc thi giải toán trên máy tính CASIO

Họ và tên : ...

Địa chỉ : ...
...

(Bi gii gửi trước ngày 16-04-2005)
Bài 1. (Phan Ngọc Th, Tõn Bỡnh

Thạnh, Chợ Gạo, Tiền Giang)
Cho hai số

a = 3022005 và b = 7503021930.
1.1.Tìm ƯCLN(a, b) và BCNN(a, b).
1.2.Lập quy trình bấm phím liên tục tính
ƯCLN(a, b).

1.3.Tìm số dư khi chia BCNN(a, b) cho 75.
Bài 2. (Nguyễn Thị Huyền Trân, 9A₁,
THCS Võ Văn Tần, Đức Hòa, Long An)

Cho x1000 + y1000 = 6,912 vµ x2000 +
y2000= 33,76244. TÝnh x3000+ y3000.

Bµi 3.

Tính và viết kết quả dưới dạng phân số :

3.1. ;

3.2. B 5 1₁ .

1 ₁

4 ₁

3 ₁

8 ₁

2
7
 








1

A 1 ₂

2 ₃

3 ₄

4 ₅

5
6
 







đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhp khu bỡnh tõy (bitex)

Bài 4. (Ngô Phú Thanh, 11 chuyên
Toán, Quốc học Huế, Thừa Thiªn - H)

Tìm x, y ngun dương thỏa mãn phương

trình :

Bài 5. Cho dãy số {b_n} được xác định
như sau : b_n+2= 4b_n+1- b_n, b₁= 4, b₂= 14.
5.1.Chứng minh rằng diện tích tam giác
với các cạnh là b_k-1, b_k, b_k+1 là nhng s
nguyờn.

5.2. Chứng minh rằng bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác được tính theo công thức

Bài 6.

6.1. Bao nhiêu số có tám chữ số tạo
thành từ các chữ số 2 và 5 mà hai chữ số
2 không đứng cạnh nhau.

6.2. Bao nhiêu số có chín chữ số tạo
thành từ các chữ số 2 và 5 mà hai chữ số
2 không đứng cạnh nhau.

6.3. Bao nhiêu số có mười chữ số tạo
thành từ các chữ số 2 và 5 mà hai chữ số
2 không đứng cạnh nhau.

k k

k 1

r [(2 3) (2 3) ].

2 3

 

3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Bài 1.Đáp số :M 0.

Li bình : Làm tốn (biến đổi biểu thức)
hay hơn làm tính (tính trên máy chỉ được
M  1,32.109, như một số bạn đã làm).
Người ra đề muốn cảnh báo : không nên
quá lợi dụng máy tính dẫn tới khơng biết
biến đổi toán học để được đáp số đúng.

Bài 2.Các bạn đã vào chương trình giải
phương trình bậc ba để tìm được kết quả
đúng. Một số bạn dùng dãy lặp nhưng
khơng tìm được hết nghiệm. Đáp số :

2.1. 1) 8x36x 1 0 : x₁0,93969262 ;
x₂ 0,766044443 ; x₃ 0,173648177.
2) x3+ x22x 1 0 : x₁1,246979604 ;
x₂ 1,801937736 ; x₃ 0,445041867.
3)

x₁0,994521895 ; x₂ 0,587785252 ;
x₃ 0,406736643.

2.2. Trong các phương trình trên, khơng
có phương trình nào có nghiệm hữu tỉ.

Một số bạn hiểu sai, coi nghiệm gần đúng
(đến 10 chữ số) là nghiệm hữu tỉ chính xác !
2.3.Hướng dẫn :Dùng cơng thức Các-đa-nơ.
Thí dụ, phương trình

cã nghiƯm lµ : ;

;

Một số bạn hiểu sai khái niệm : đưa
nghiệm gần đúng vào trong căn bậc hai và
coi đó là nghiệm chính xác!

Bài 3. 3.1.Nếu a₁là bội của 9 thì quy
trình sẽ kết thúc bởi số 9. Nếu khơng là bội
của 9 thì quy trình kết thúc tại phần dư của
số đó khi chia cho 9.

3.2.Quy tr×nh kết thúc bởi số 1 hoặc số 89.
Bài 4.Đa số bạn làm được.

4.1.Đáp số : 182+ 192+ 202+ 212+ 222

+ 232+ 242+ 252+ 262+ 272+ 282772.
4.2.Không.

Bài 5. Đáp số :số 3.

Thử lại :329 ; 3327. Số tạo thành là
927. Đảo lại của số này là 729. 729 36.

Bài 6. Đầu bài không chính xác. Phải
sửa lại là : Tìm hai hàm số f : R R biết
f(f(x)) f(x) + x với mọi x.

Đáp số : ;
KiÓm tra :

Nhận xét : 1.Các bạn cịn mơ hồ về các
khái niệm tốn học (nghiệm gần đúng, nghiệm
chính xác của một phương trình đại số).

2. Chưa kết hợp tốt tư duy giải toán (là
chủ yếu trong các bài tốn khó) với trợ giúp
của máy tính (tính nhanh để loại bỏ nhiều
trường hợp, tính tốn với số lớn, ...).

Danh sách mười bạn đoạt giải :Nguyễn Vũ
Thanh Long, 9/1, THCS Chu Văn An, TP. Huế,
Thừa Thiên - Huế ; Nguyễn Duy Hưng, 9H,
THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội; Đào
Thu Quyên, 9A, THCS thị trấn Kì Sơn, Hịa
Bình; Bùi Đỗ Phương Tùng, 29-31, Võ Công
Tồn, thị trấn Bến Lức, Long An; Nguyễn Thảo
Nguyên và Lê Hà An, 8B, THCS Đặng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghệ An; Trần Văn Ngọc Tân,

10/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng
Nam ; Trần Văn Tuấn, THCS Yên Lạc, Yên
Lạc, Vĩnh Phúc; Trần Ngọc Minh, 9C₁, THCS
thị trấn Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh; Nguyễn Kế
Viễn, 10A₁₂, THPT Chí Linh, Hải Dương.

tạ duy phượng

1 1 1

2 2 2

2

1 5 1 5 1 5

f (f (x)) f (x) x

2 2 2

3 5_x 1 5_{x x ;}

2 2

1 5 1 5 1 5

f (f (x)) f (x) x

2 2 2

3 5_x 1 5_{x x f (x) x.}

2 2
  
 
 
  
  
 
 
    

2 1 5

f (x) x.

2



1 1 5

f (x) x

2



5 1 _{10 2 5} ( 5 1) 3_.

16   8

5 1 _{10 2 5} ( 5 1) 3

16   8

1 10 2 5( 1 5)
8

   

3

16x 12x 10 2 5 0   

3

16x 12x  10 2 5 0 : 

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

Bài toán tìm các bộ số ngun dương
có tổng các số đó bằng tích của chúng đã
được đề cập đến trong TTT2 số 19. ởđây
tơi muốn trình bày thêm một hướng khai
thác khác của bài toán này.

Bài toán 1 : Tìm n số ngun dương
có tổng bằng tích, trong đó có 2 số lớn
hơn 1.

Lời giải : Phân tích số n 1  a x b.
Khi đó ta khẳng định 2 số lớn hơn 1 (các
số còn lại đều bằng 1) cần tìm chính là
a 1 và b 1. Điều này được suy ra từ các
đẳng thức (1) và (2) sau đây :

TÝch cña n sè 1, 1, ..., 1, a 1, b 1 lµ :
(a 1)(b 1) a x b a b 1

n 1 a b 1

n a b (1) ;
Tỉng cđa n sè 1, 1, ... , 1, a 1, b 1 lµ :
1 1 ... 1 (a 1) (b 1) 

n a b (2).
øng dơng :

Bài tốn 2 :Tìm 7 số ngun dương có
tổng bằng tích.

Lời giải :Ta có 7 1 6 1 x 6 2 x 3.
Bằng cách này ta tìm được 2 bộ số là :
(1, 1, 1, 1, 1, 2, 7) và (1, 1, 1, 1, 1, 3, 4).
Bài tốn 3 : Tìm 13 số ngun dương
có tổng bằng tích.

Lêi gi¶i :

Ta cã 13 1 12 1 x 12 2 x 6 3 x 4.

Bằng cách này ta tìm được 3 bộ số là :

Bi toỏn 4 : Tỡm 14 số ngun dương
có tích lớn hơn tổng là 3.

Lời giải :Vì tích lớn hơn tổng là 3 nên
nếu thêm vào bộ số đó 3 số 1 nữa thì ta
được 17 số có tổng bằng tích, tìm 17 số này
rồi bỏ đi 3 số 1 ta được 14 số cần tìm :

Bài tốn 5 : Tìm 29 số ngun dương
có tổng lớn hơn tích là 4.

Lời giải :Ngược lại với bài toán 3, nếu bớt
đi 4 số 1 ở bộ số này thì ta được 25 số có
tổng bằng tích. Từ đó ta tính được bộ 29 số
có tổng lớn hơn tích là 4 :

Bài tốn 6 : Tìm bộ số ngun dương
có tổng bằng tích và bằng 36.

27 sè 1 27 sè 1 27 sè 1

(1,1,...,1, 3,13) ; (1,1,...,1, 4, 9) ; (1,1, ...,1, 5, 7)._{} _{} _{}

27 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 25) ;_{}

12 sè 1 12 sè 1

12 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 17) ; (1, 1, ..., 1, 3, 9) ;
(1, 1, ..., 1, 5, 5).

 


11 sè 1

(1, 1, ..., 1, 4, 5)._{}

11 sè 1 11 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 13) ; (1, 1, ..., 1, 3, 7) ;_{} _{}

LẠI BÀN VỀ CÁC BỘ SỐ NGUYÊN DƯƠNG

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Lời giải : Phân tích 36 thành tích của
các thừa sè kh¸c 0 ta cã :

Víi 36  2 x 18 ta cã 2  18  20 ;
36 20 16 nªn bé sè cã tæng b»ng tÝch
b»ng 36, chøa hai sè 2 vµ 18 gåm 18 sè
lµ :

Víi 36  3 x 12 ta cã 3  12  15 ;
36 15 21 nªn bé sè cã tỉng b»ng tÝch

b»ng 36, chøa hai sè 3 vµ 12 gåm 23 sè
lµ :

Tương tự, ta tìm được các bộ số khác có
tổng bằng tích bằng 36, gồm :

Các bạn thử giải hai bài tốn sau :
Bài tốn 7 :Tìm bộ n số ngun dương
có tổng bằng tích và bằng k.

Bài tốn 8 :Tìm bộ n số ngun dương
có tổng bằng tích, trong đó có m số lớn
hơn 1 (2 < m < n).

23 sè 1 26 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 2, 9) ; (1, 1, ..., 1, 2, 2, 3, 3)._{} _{}

24 sè 1 26 sè 1

(1, 1, ..., 1, 6, 6) ; (1, 1, ..., 1, 4, 3, 3) ;_{} _{}

23 sè 1

(1, 1, ..., 1, 4, 9) ;_{}

21 sè 1

(1, 1, ..., 1, 3, 12)._{}

16 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 18)._{}

(TiÕp theo trang 21)

Câu 19 :ABCD là một hình thang cân,
AB//CD, AC = DC, AD = BC. Nếu đường
cao AH của hình thang và AB có độ dài
bằng nhau thì tỉ số AB : CD là :

(A) (B) (C) (D) (E)

Câu 20 : Cho tam giác đều ABC có
diện tích là M là một điểm tuỳ ý ở trong
tam giác. Tổng khoảng cách từ M đến 3
cạnh của tam giác là :

(A) 1 (B) (C) (D) (E)
Các bạn có thể nào hồn tất phần làm
bài trắc nghiệm trên trong 60 phút không ?
Nếu đã thử làm, các bạn hãy đối chiếu với
đáp án sau đây xem mình được bao nhiờu
im 4 v bao nhiờu im 1 nhộ !

Đáp ¸n : C©u 1 :(A) ; C©u 2 :(A) ;
C©u 3 :(E) ; C©u 4 :(D) ; C©u 5 :(C) ;
C©u 6 :(A) ; C©u 7 :(C) ; C©u 8 :(C) ;
C©u 9 :(C) ; C©u 10 :(C) ; C©u 11 :(C) ;
C©u 12 :(C) ; C©u 13 :(B) ; C©u 14 :(C) ;

C©u 15 :(B) ; C©u 16 :(E) ; C©u 17 :(E) ;
C©u 18 :(A) ; C©u 19 :(B) ; C©u 20 :(B).
3
3
3

2
1

2
3

3,

5
9
5

7
4

5
3

5
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

(TiÕp theo trang 4)

Do đó : A đạt giá trị nhỏ nhất là 5

Như vậy kết quả của lời giải sai về giá trị nhỏ nhất của A là 5 là đúng, nhưng đó chỉ là
ngẫu nhiên mà thơi.

Nhận xét :1) Một số bạn giải lại vẫn sai vì không biết |a| + |b| = |a + b| a.b 0, thậm
chí có bạn cho rằng x2- x ln dương (?).

Có bạn còn viết :

nờn A nh nht bng khi (?). Bạn thử thay để xem A nhận giá trị nào ?
2) Nhiều bạn chỉ nói ra bước làm sai mà khơng chỉ ra phản thí dụ để chứng minh là sai.
3) Các bạn phân tích tốt hơn là : Nguyễn Trung Kiên, 9C, THCS Lê Quý Đơn, Thanh Sơn,
Phú Thọ; Nguyễn Văn Hịa, 7D, THCS Quỳnh Lương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Hoàng Văn
Huy, 9D, THCS thị trấn Đơng Hưng, Thái Bình; Mai Trung Nghĩa, 8B, THCS Lê Hữu Lập,
Hậu Lộc, Thanh Hóa; Nguyễn Hồng Quyền, 9A, THCS Ngơ Đồng, Giao Thủy, Nam Định.
Anh Kính Lúp
1

x
2

1

x
2

1

2

2 2 2 2 2

1 11 1 9 1 11 9 1 1 1 1 1

A x x 2 x 2 x 2 x

2 4 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2

         

 _  _  _  _   _  _    _  _   _  _  

         

2 2

1 9 1 9 1 3 3 1 3

x 0 x x x 1 x 2.

2 4 2 4 2 2 2 2 2

   

  _ _   _  _             

   

2 2

1 11 1 9

x . x 0

2 4 2 4

   

 _  _   _ _  

   

1. Bài giải cho mỗi bài toán, câu hỏi

viết trên một tờ giấy riêng

. Trên mỗi

tờ giấy đều ghi đầy đủ họ và tên, lớp, trường, huyện, tỉnh hoặc địa chỉ gia đình

ở góc bên trái (kể cả bài tập thể).

2. Bài tập thể là bài dành cho một lớp, một trường có xác nhận của hiệu

trưởng. Tất cả chỉ bỏ vào một phong bì lớn, khơng cần các phong bì riêng.

3. Tất cả các bài giải của một số báo để chung vào một phong bì, khơng gấp

phức tạp, ngồi phong bì có dán tem và ghi đầy đủ tên, địa chỉ người gửi và

nơi nhận.

4. Các thầy cơ giáo, các bậc phụ huynh có thể gửi bài viết cho tất cả các

chuyên mục trừ tham dự thi giải toán qua thư. Mỗi bài viết đều phải ghi rõ họ

tên, địa chỉ và số điện thoại (nếu có).

5. Thêi gian nhËn bµi lµ 30 ngµy tÝnh tõ ngày báo ra. Địa chỉ gửi bài :

Tạp

chí Toán Tuổi thơ, số nhà 38, ngõ 61, đường Trần Duy Hưng, Hà Nội.

THONG BAO

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

TẽNH Tữ TOĂN t

Nhng bài hát haycó quá nhiều “chỗ chưa ổn”. Bạn Hiếu đã lấy “râu ông nọ cắm
cằm bà kia” khi nhầm lẫn tác giả và tên tác phẩm cùng giai điệu của mỗi tác phẩm. (Chị
cũng lưu ý các em : nhạc sĩ - thầy giáo Hàn Ngọc Bích chứ khơng phải Vũ Thanh). Chị
cung cấp kiến thức chính xác về Những bài hát haynhư sau :

Năm bạn được trao giải kì này là : Nguyễn Hiếu Minh, 6Z, THCS Thịnh Quang, Đống
Đa, Hà Nội; Phạm Thị Vân Nga, 6C, THCS Chu Văn An, Chí Linh, Hải Dương; Trần
Thị Thanh Bình, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Trần Thị Thanh
Phương, 6/4 THCS Nguyễn Khuyến, TP. Đà Nẵng; Nguyễn Anh Phúc, 6A, THCS Đề
Thám, TX. An Khê, Gia Lai.

Phó B×nh
RÊt nhiỊu tÝnh tõ

-từ láy tồn tcó mặt
trong bài thơ này.
Tuy nhiên, một số từ
lại đứng khơng đúng
chỗ của mình. Bạn
hãy đặt lại cho đúng
nhé !

Xem chèo tí tách khen hay

Trời ma tung túe c ngy ln ờm

Thóc văng tấm tắc ngoài thềm
Trẻ già té tát đi xem hội làng

Ngi bỏn tóp tép chào hàng
Bão đập tất tưởi cây bàng ngồi sõn

Chó nhai tới tấp khi ăn

Cụng vic tan tỏc lm dần cũng xong
Đừng cười tao tác chỗ đông
Mẹ mắng tức tốc vì khơng học bài

Hàng rong tê tái sớm mai
Nói năng tơi tả chẳng ai đồng tình

Địch thua tục tĩu i hỡnh

Đạn bom phá hủy tan tành sân bay
Gà con tíu tít lạc bầy

Đường thẳng tộp tạp là đây một lèo
Chớ ăn túc tắc như heo

Nỗi buồn toe toét một chiều xa quê
Bạn thân tâm sự tỉ tê

Gặp bÃo tuồn tuột quay về nhà ngay.
Mai Đình Phẩm

(45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định)

l

Kết quả :

_{(TTT2 số 23)}

l

Kỡ naứy :

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Anh Khoa

ơi ! Bọn em được học khá
nhiều tác phẩm của nhà thơ Huy
Cận. Nhưng do thời lượng có hạn,
nên trong tiết học, chủ yếu chỉ đi sâu
phân tích tác phẩm của ơng là đã hết
giờ rồi, nên lại ít biết về tác giả. Huy Cận
quê ở đâu ? Cuộc đời ơng như thế nào ?

Ơng có những tác phẩm nào chính,
anh có thể phác qua đơi nét.

Qnh Anh

()
Trần Đăng Khoa :

Huy Cn l mt tỏc gi ln, với số lượng tác phẩm rất đồ sộ, nên nói về ơng, khơng
thể qua mấy dịng vắn tắt thế này. Em nên tìm hiểu thêm về ơng qua bộ sách “Tác
giả, tác phẩm” của Nhà xuất bản Giáo dục. Chỉ tiếc khi chúng ta bàn về ơng thì ơng
cũng vừa trút hơi thở cuối cùng ở tuổi 86 tại bệnh viện Hữu Nghị - Hà Nội. Thế là lại

thêm một cây đại thụ nữa của làng văn ra đi. Đây là một tổn thất khơng gì bù đắp được.
Huy Cận sinh năm 1919 tại một làng sơn cước thuộc xã Ân Phú, huyện Hương Sơn,
nay là huyện Đức Thọ, tỉnh Hà Tĩnh. Làng quê này từng in dấu trong thơ ông :

Tôi sinh ra ở miền sơn cước
Có núi làm xương cốt tháng ngày
Đất bãi tơi làm ra thịt mát

Gió sông như những mảng hồn bay...
Tuổi nhỏ tôi trùm trong nhớ thương
Cách sơng chợ Nướt, bến đị sương
Làng q sơn cước chiều về sớm
Bóng núi dài lan mát ruộng nương...

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Chủ Vườn thực
sự xúc động khi
nhận được rất
nhiều bài tham dự
câu đố kì này.
Cảm ơn các bạn
đã không mải vui
xuân mà quên
mất Vườn Anh.

Tuy khác nhau về cách thể hiện, nhưng
những kinh nghiệm mà dân gian đã đúc rút
thành những câu thành ngữ, tục ngữ ở nước
Việt Nam ta hay ở nước Anh xa xơi ln có
sự tương đồng về ý nghĩa. Vì vậy, bạn hãy
biết cách học và hiểu ca dao, tục ngữ nước

mình. Đó sẽ là cẩm nang giúp bạn rất nhiều
trong cuộc sống.

“Where there is a will, there is a way”
được hiểu như câu “Có chí thì nên” ; “Every
cloud has a silver lining” được hiểu như câu
“Trong cái rủi có cái may” ; “Actions speak
louder than words” được hiểu như câu “Hay
làm hơn hay nói” ; “Every day is not
Sunday” được hiểu như câu “Sơng có khúc
người có lúc”.

Đa số các bạn đều có lời giải đúng. Các

bạn có tên sau đây may mắn nhận được
quà của Chủ Vườn kì này : Phạm Thị Thiên
Hương, 7A, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An; Lê Duy, 8A, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Phúc ; Ngô Thị Huyền, 9C,
THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; Đào Thị
Khánh Linh, số 23 ngõ Bờ Mương Hồ Sen,
Lê Chân, Hải Phòng ; Trần Thị Tân, 8A,
THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh.

Các bạn khác chưa nhận được quà cũng
đừng nản nhé. “Where there is a will, there
is a way” !

Chủ Vườn

29

(TTT2 sè 23)

Trong mỗi hàng ngang
của ô chữ này là một hình mà
chúng ta đã biết đến trong
chương trình hình học phẳng
và hình học khơng gian. Bạn
có tìm được khơng ?

Lª Ngun Bích Nga
(17/7 quốc lộ 1, P.2.
TX. Tuy Hòa, Phú Yên)

Ghộp sao cho đúng

l

KÕt qu¶ :

Ơ chữ

HÌNH HỌC

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Đồng gì một bọc đẻ ra ?

Đồng gì hội sống xa nhà khai trương ?
Đồng gì cùng học một trường ?
Đồng gì lí tưởng một đường cùng đi ?

§ång gì chốc có bác, dì ?

ng gỡ phn u vic gì cũng xong ?
Đồng gì thống nhất ngồi, trong ?
Đồng gỡ lỳc thiu long ong ca nh ?

Đồng gì phe cánh sinh ra ?
Đồng gì đường thẳng ở xa tụ vỊ ?

Đồng gì chịu đựng trăm bề ?
Đồng gì thương xót sẻ chia vui buồn ?

Đồng gì bát ngát cánh đồng ?
Đồng gì số học, chia cùng mơ đun ?

§ång gì vang tiếng xa ngân ?
Đồng gì bản chất gần gÇn nh­ nhau ?

Đồng gì tương ứng trước, sau ?
Đồng gỡ cựng cnh tng cu em, anh ?

Đồng gì hát khúc quân hành ?
Đồng gì tấm bánh dỗ dành trẻ thơ ?

Đồng gì báo thức ngày giờ ?
HÃy mau đoán chữ, làm thơ, giải bài.

Vừ Ngc Phan
(Giỏo viờn trng THCS Đặng Thai Mai,

TP. Vinh, NghƯ An)

Th¸nh chØ :

l

KÕt qu¶ :

l

Kì này :

Đồng gì ?

qqqqqqqqqq

(TTT2 số 23)
Gà mái đẻ trứng ni con

Gà trống gáy rộn xóm thơn sớm chiều
Gà chọi gây gổ đủ điều

Gà công nghiệp trắng, đẻ nhiu, trng to
G rng sng i gũ

Gà tây vóc dáng cao to, đuôi xoè
Gà ác màu sắc đen sì

G hoa mơ đốm li ti trắng ngần
Gà giò mới lớn, tn

Gà ri bé nhỏ, thấp chân, lông vàng
Trẫm xin năm mới mở hàng
Thần dân năm vị sẽ mang quà vÒ !

Ban thưởng : Trần Minh, 6/5, THCS

Nguyễn Khuyến, TP.Đà Nẵng; Vương Thị
Thanh Mai, mẹ là Nguyễn Thị Tâm, cơng
tác tại trường THCS Cộng Hịa, Quốc Oai,
Hà Tây; Nguyễn Hoàng Thương Hiền, 7C,
THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ;
Phạm Yến Chi, 6D, THCS Đặng Thai Mai,
TP. Vinh, Nghệ An; Dương Hồng Lam, mẹ
là Trần Thị Châu, thôn II, Đại Hòa, Đức
Hòa, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Hái : Anh ¬i ! Sao gần
đây không thấy mục Thơ
tuổi chúng mình hở anh ?

Em gái

(lp 7, trng Dõn tộc nội trú
Hương Khê, Hà Tĩnh)
Đáp : Hôm nay đành
tuyên bố chính thức chia tay
với trang thơ này. Anh cũng
rất buồn vì cuộc chia tay
này. Một lí do chủ yếu là
TTT2 không kiểm tra nổi
đâu là thơ thật của các em
và đâu là thơ chép từ các
báo khác gửi về. Khá nhiều
thư bạn đọc viết về phản
ánh việc “đạo thơ” của một
số “tác giả”. Vậy có thơ

rằng :

Thơi thì đành tạm chia tay
Cịn hơn lẫn cả thơ vay

của người
Mất một xin sẽ đền mười
Mong rằng các bạn hãy cười

cïng anh.

Hái :Khi thÊy em viÕt bµi

gưi cho TTT2, mét sè bạn
lớp em liền làm bài thơ viết
về cách làm việc cđa anh” :

“Thư em anh đã

nhËn nhiỊu
Nh­ng mµ tØnh lẻ em chờ

nghe em
Thư nào Hà Nội phải xem
Còn th­ tØnh lỴ e hÌm

để sau ...”
Mai Thị Hịa
(9B, THCS Tn ,
Qung Oai, Ba Vỡ, H Tõy)

Đáp :

c th sao thấy ruột đau
Giở các số cũ trước sau rõ liền

Chẳng nơi nào được
“yêu... tiên”
Tại mình mặc cảm... đổ liền

cho anh ?
Hỏi :Thường thì người ta khi
tức giận thì nói rất nặng lời. Thế
mà chị em khi giận lại mắng rất
nhẹ nhàng, rất tử tế khiến em
càng sợ. Ti sao vy anh ?

Đoàn Thị Hoài
(7A, THCS Thanh Lộc, Can
Lộc, Hà Tĩnh)
Đáp :

Lt mm buc cht
phi khụng ?
Núi to đơi lúc tốn cơng

của mình
Chị em xử sự tài tình
Anh xin bái phục : người xinh,

nết... mềm.
Hỏi : Bạn em dự định
đăng kí thi chương trình

“Đường lên đỉnh OLYMPIA”
nhưng khơng biết thủ tục
đăng kí. Anh có biết không ?
Vũ Quang Trường
(11A9, THPT Phan Bội Châu,
Cam Ranh, Khánh Hịa)
Đáp :

Hỏi ngay chị Tạ Bích Loan
Là em sẽ biết đàng hồng

ngay thơi
Đường lên đỉnh có xa xơi
Mong em ng nn, ginh

ngôi dẫn đầu !
Hỏi :Em có bệnh là... nói rất
nhiều. Em muốn chữa bệnh
này nhưng các bác sĩ bảo là
thế giới chưa có loại thuốc này.
Anh có chữa được kh«ng ?

Qch Thị Hà My
(Thơn 2, Thanh Xá,
Thanh Hà, Hải Dương)
Đáp :

Mua ngay mớ kẹo cao su
Mười phút một chiếc, nhai

từ từ nghe...
Nhai xong là nhớ phải nhè
Lại nhai chiếc khác... bệnh
re tức thời !

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bài 1(25) :Cho với n là số tự nhiên
không nhá h¬n 2.

Biết S₁= 1, tính S = S₁+ S₂+ S₃+ ... + S₂₀₀₄+ S₂₀₀₅.
hoàng Hải dương
(Giáo viên trường THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)

n 1
n

n 1

3 S
S

1 3.S









Bài 4(25) :Chứng minh bất đẳng thức :
(với a, b, c là các số dương).

nguyễn khánh khang
(Giáo viên trường THCS Nguyễn Trãi, Phú Cường,
Định Quán, Đồng Nai)

2003 2003 2003

2004 2004 2004 (b c)a (c a)b (a b)c

a b c

2 2 2

  

    

Bµi 5(25) :Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác

ABC sao cho và

Chứng minh rằng :

nguyn quang đại(Hà Nội)
AM.AN BM.BN CM.CN 1.
AB.AC BA.BC CA.CB  

 

MBA NBC.

 

MAB NAC

Bài 2(25) :Giải hệ phương trình :

nguyễn đễ(Hải Phòng)

2005

2008 2008 ₂

x y _xy

y x

x y 8(xy) .

 _ _






 _ _



Bài 3(25) : Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp :
A, B, C, D là 48 hòn. Biết rằng : số bi đỏ và số bi xanh trong
hộp A bằng nhau ; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh
của hộp B ; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp
C ; số bi đỏ của hộp D gấp sáu lần số bi xanh của hộp D ;
trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh, một hộp
chứa 3 hòn bi xanh, một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp
chứa 5 hịn bi xanh. Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp.

t.C.t(Trung tâm GDTX huyện Thanh Miện, Hải Dương)

Đính chính : Bài 3(24)sửa “ ” thành “ ” ; Bài 4(24), ở cuối bài,
sửa “một đường thẳng cố định”thành “một đường tròn cố định”. Thành thật xin lỗi bạn đọc.

1
2003 2004
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

S

au

ña

ây

l

à đề thứ nhất (Problem E1)

S

au

đa

ââay

l

ààa đe thứ nhất (Problem E1)

<b>Rất nhiều bạn muốn trau dồi Tiếng Anh nhưng lại </b>

<b>muốn "trổ tài" qua việc giải toán. Toán Tuổi thơ mở </b>

<b>chuyên mục mới "Giải Toán - Học Anh" nhằm giúp </b>

<b>các bạn thỏa mãn nhu cầu chính đáng này. Mỗi kì, </b>

<b>các bạn sẽ được gặp một bài toán và hãy giải bài </b>

<b>toán này bằng tiếng Anh. Phần thưởng trao cho các </b>

<b>bạn giải đúng, giải hay và viết đúng... "văn phong" </b>

<b>tiếng Anh. Toán Tuổi thơ không nhận các lời giải </b>

<b>bằng tiếng Việt. </b>

<b>Problem E1 :</b>

Denote by a, b, c the lengths of the sides of

a triangle ABC and s its semi-perimeter. Identify the shape of

triangle ABC if

<b> Chú thích từ vựng và thuật ngữ :</b>

l

triangle :

tam giác (danh từ)

l

side :

cạnh (danh từ)

l

semi-perimeter :

nửa chu vi (danh từ)

l

perimeter :

chu vi (danh từ)

l

identify :

nhận dạng (động từ)

l

shape :

hình dạng (danh từ)

l

length :

độ dài (danh từ)

<i>Proposed by Ho Cong Dung, Binh Thuan province ;</i>

<i>Edited by Pham Van Thuan.</i>

Nhà giáo Hồ Công Dũng sinh ngày 20 tháng 4 năm 1962 tại
Thuận An, Thừa Thiên - Huế . Thầy giáo Hồ Công Dũng đã
dạy học tại trường THPT Hàm Thuận, Thuận Hải, trường
Chuyên tỉnh Bình Thuận và là Chủ tịch Hội đồng Quản trị
trường THPT dân lập Lê Lợi, thành phố Phan Thiết. Do căn
bệnh hiểm nghèo, thầy giáo Hồ Công Dũng đã đột ngột qua
đời hồi 6 giờ 30 phút ngày 22 tháng 2 năm 2005.

Tốn Tuổi thơ vơ cùng thương tiếc Nhà giáo Hồ Công Dũng
- người đã say sưa đề nghị và xây dựng chuyên mục "Giải
Toán - Học Anh". Thầy Dũng đã không được chứng kiến sự ra
đời của chuyên mục mới mà thầy hằng ao ước. Toán Tuổi thơ
xin chia sẻ nỗi đau thương cùng gia đình và ln ghi nhớ bao
cơng sức của thầy đã góp phần xây dựng tạp chí phát triển.

<b>Tạp chí Tốn Tuổi thơ</b>
Nhà giáo Hồ Cơng Dũng sinh ngày 20 tháng 4 năm 1962 tại
Thuận An, Thừa Thiên - Huế . Thầy giáo Hồ Công Dũng đã
dạy học tại trường THPT Hàm Thuận, Thuận Hải, trường
Chuyên tỉnh Bình Thuận và là Chủ tịch Hội đồng Quản trị
trường THPT dân lập Lê Lợi, thành phố Phan Thiết. Do căn
bệnh hiểm nghèo, thầy giáo Hồ Công Dũng đã đột ngột qua
đời hồi 6 giờ 30 phút ngày 22 tháng 2 năm 2005.

Toán Tuổi thơ vô cùng thương tiếc Nhà giáo Hồ Công Dũng
- người đã say sưa đề nghị và xây dựng chuyên mục "Giải
Tốn - Học Anh". Thầy Dũng đã khơng được chứng kiến sự ra
đời của chuyên mục mới mà thầy hằng ao ước. Toán Tuổi thơ
xin chia sẻ nỗi đau thương cùng gia đình và ln ghi nhớ bao
cơng sức của thầy đã góp phần xây dựng tạp chí phát triển.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>Lơgơ chính thức</b>

<b>của Toán Tuổi thơ</b>

Trụ sở mới

của Toán Tuổi thơ

Trụ sở mới

03 năm 2005.
Theo Quyết định

của Tổng Giám đốc
Nhà xuất bản Giáo
dục, từ tháng 3
năm 2005 tạp chí
Tốn Tuổi thơ được
chuyển tới trụ sở
mới tại số 38, ngõ
61, đường Trần Duy
Hưng, quận Cầu
Giấy, Hà Nội.

Tạp chí Tốn
Tuổi thơ xin thơng
báo tới bạn đọc và

chân thành cảm ơn
sự tạo điều kiện
của Tổng Giám đốc.

Được sự góp ý của đơng đảo
bạn đọc, Hội đồng biên tập Tốn
Tuổi thơ đã hồn chỉnh và quyết
định cơng bố lơgơ chính thức của
tạp chí.

Hình ảnh của lơgơ gợi lên một
búp măng non - tượng trưng cho
tuổi thơ. Búp măng non được tạo
nên bởi cổng lâu đài (lâu đài toán
học) và chữ M (chữ cái đầu của
Mathematics - Toán học). Trong
búp măng non là ba chữ T lồng
nhau tượng trưng cho ba chữ cái
đầu của Toán Tuổi thơ. Số 3 được
cách điệu tạo dáng thành một chú
chim đang dang cánh bay tới những
ước mơ như tên của bài hát "Nơi
chắp cánh ước mơ" mà nhạc sĩ
Phạm Tun tặng tạp chí.

Tạp chí Tốn Tuổi thơ đã đưa
lơgơ chính thức vào mẫu Huy hiệu
và Biểu trưng vàng của tạp chí.
Các cộng tác viên có thành tích
trong việc góp phần xây dựng và

phát triển tạp chí sẽ được xét tặng
Huy hiệu, Biểu trưng vàng.

Toán Tuổi thơ cảm ơn tất cả các
bạn đã tham gia sáng tác, bình
chọn mẫu lơgơ.

số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng,
Q. Cầu Giấy, Hà Nội.

<b>* Biên tập : Nguyễn Anh Quân, Phan Hương.</b>

<b>* Kĩ thuật vi tính : Đỗ Trung Kiên. * Mĩ thuật : Huy Thông. </b>
<b>* ĐT (Fax) : 04.5142648.</b>

</div>

<!--links-->