Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 23

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1



Kì này :

hƯNH VU NG KƯ L­

Hình vng bên có 9 ơ. Bạn hãy
đặt vào trong mỗi ơ đó một trong các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (mỗi
chữ số chỉ sử dụng một lần) sao cho
5 số nhận được trên các đường nằm
ngang đều là các số chớnh phng.

nguyễn xuân bình(NXBGD)

Gi s ta phi xỏc nh im C chia đoạn
thẳng AB cho trước thành hai đoạn thẳng
AC và BC tỉ lệ với và

lĐa số các bạn đã tìm cách dựng hai đoạn
thẳng khác, tỉ lệ với và Sau đó
áp dụng định lí Ta-lét để chia đoạn thẳng đã cho.

Ví dụ :Dựng tam giác đều MNP, đường
cao MH, ta có MH = HP. Kẻ một tia qua A
(không qua B), trên đó lần lượt xác định các
điểm D, E sao cho AD = MH = HP ;
DE = NP + MH = HP, suy ra

Nèi EB, qua D kẻ đường
thẳng song song với EB cắt AB tại C, là
điểm cần dựng.

lCó rất ít bạn nêu được c¸ch chia trùc tiÕp.
Ta cã thĨ chia nh­ sau : dùng tam gi¸c ABD cã

rồi dựng C thuộc AB sao cho
DC AB. Khi đó (đề nghị các
bạn tự chứng minh).

l Các bạn được thưởng kì này : Nguyễn
Phương Đăng Tồn, 9D, THCS Thạch Thất,
Thạch Thất, Hà Tây ; Hoàng Đức ý , 9E,
THCS Trần Mai Ninh, TP. Thanh Hóa,

Thanh Hóa ; Hồng Minh Thắng, 9C,
THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An;
Phạm Quang Trọng, 9C, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc.

Anh Compa




AC 3

BC 2 3

_ o

ABD 60 )

_ o _ o _ o

BAD 30 ; ABD 15 (hc BAD 75 ;



AD _{3 .}
DE 2 3

(2 3).
3
3

2 3.
3

2 3.
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Các bạn biết không ? Định lí “Trong tam giác, đường
phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai
đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy”của lớp 8
có rất nhiều cách chứng minh đấy.

Xin được giới thiệu một số cách chứng minh định lí
trên, hi vọng rằng qua đó các bạn cũng như tơi, sẽ tích
lũy được nhiều kinh nghiệm dựng hình phụ gii
toỏn hỡnh hc.

Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC có
phân giác AD (D thuéc BC), Ta cần
chứng minh

Cách 1 : Dựng BE (E thuéc AD) sao cho
(h×nh 1).

Ta cã ABE ACD (g-g) suy ra

 BDE cân tại B
BD = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra (*).

C¸ch 2 :Dùng BE AD, CF AD (E, F thuéc AD,
h×nh 2). Ta cã ABE ACF (g-g) ; BDE CDF
(g-g) suy ra (®pcm).

Cách 3 : Dựng AH  BC, DM  AB, DN  AC
(H, M, N lần lượt thuộc BC, AB, AC, hình 3).

Ta có ADM = ADN (cạch huyền-góc nhọn) suy
ra DM = DN. Do ú :

Lại có

Từ (1) và (2) suy ra (*).

S(ABD) AH.DB DB (2).
S(ACD) AH.DC DC 

S(ABD) DM.AB AB (1).
S(ACD) DN.AC AC 

 

AB EB DB
AC FC DC

 

BED BDE

 

AEB ADC



AB EB (1) ;
AC DC

 _

ABE ACD


AB DB (*).
AC DC

 _

ABC ACB.

HỌC CÁCH DỰNG HÌNH PHỤ

QUA VIỆC CHNG MINH MT NH L

nguyn văn tiến
(Lớp 9A₃, THCS Tăng Bạt H, Hoài Ân, Bình Định)

Hình 1

Hình 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Cách 4 :Qua B vẽ đường thẳng song song với AD,
cắt đường thẳng AC tại E (hình 4).

Xét CBE, AD // BE, ta cã

Cịng v× AD // BE mµ AD lại là phân giác của
dễ dàng chứng minh được ABE
cân tại A AB = AE (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra (*).

Cách 5 :Qua D dựng các đường thẳng song song
với AB, AC, lần lượt cắt AC, AB tại E, F (hình 5). Ta cú
BFD DEC (g-g) suy ra

Mặt khác, dễ thấy AEDF là hình thoi nên suy ra

(đpcm).

lVới các cách kẻ hình phụ sau, các bạn hÃy thử tiếp

tc chng minh định lí trên bằng những cách khác :

C¸ch 6 (SGK Toán 8, tập 2, trang 66) : Qua B vẽ
đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD
tại E (hình 6).

Cách 7 :Qua D dựng đường thẳng song song với AB,
qua A dựng đường thẳng song song với BC, hai đường
thẳng này cắt nhau tại E. DE cắt AC tại F (hình 7).

Cỏch 8 :Trong ABC, dng hai ng cao CE và
BF, chúng lần lượt cắt AD tại K, H. Đường thẳng qua
C song song với AD cắt BF tại I (hình 8).

Cách 9 :Dựng qua B đường thẳng vng góc với
AB ; dựng qua C đường thẳng vng góc với AC, hai
đường thẳng này cắt nhau tại K. AD cắt BK, CK lần
lượt tại E, F. Dựng qua B đường thẳng song song với
AD, cắt CK tại G (hình 9).

Cách 10 : Qua B, C dựng các đường thẳng song
song với AD, cắt đường thẳng qua D song song với
AC lần lượt tại F, E. Đường thẳng qua F song song với
AB cắt AD tại M.



DB AB
DC AC



  


DB BF DF BF DF .
DC DE CE DE CE

 _ _

AEB ABE



BAC,



DB AE (1).
DC AC

H×nh 5

H×nh 7
H×nh 6

Hình 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

Trên lớp, cô giáo cho bài toán sau :

Đề bài :Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc
A = |x2x + 3| + |x2x 2|

Mình đã xung phong lên bảng và làm như
sau :

Lêi gi¶i :Ta cã A = |x2x + 3| + |x2x 2|

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Vy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi
Mình giải xong thì cũng vừa hết giờ. Cơ
giáo nhận xét “lời giải của em có vấn đề” và
đề nghị cả lớp về suy nghĩ, tìm ra sai lầm
của lời giải. Mình đã suy nghĩ nhưng khơng
phát hiện ra sai lầm nào cả, các bạn hãy
giúp mình với nhé !

Ngun Thi Duyên
(8C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An)
1
x .
2
 _  _{     }

 
 
2

1 1 1

x 0 x 0 x .

2 2 2

 11  9 11 9 20  

A 5.

4 4 4 4 4

 
  _{ }  
 
 
  _{ } 
 
   
 _  _   _  _ 
   
2
2
2
2
2 2

1 1 11

x 2. x

2 2 4

1 1 9

x 2. x

2 2 4

1 11 1 9

x x

2 4 2 4

l

Kì này :

(TTT2 sè 21)

Các bạn đều khẳng định được lời
giải đã nêu phụ thuộc vào hình vẽ. Đây
là một sai lầm khá phổ biến khi giải
các bài tốn hình học phẳng. Chỗ vấp
trong lời giải chính là việc nhận xét

Điều này chỉ đúng cho trường hợp

(TH) H thuộc đoạn AE và K thuộc đoạn
AD, chỉ là một trong bốn khả năng có
thể xảy ra :

TH1) H AE vµ K AD (xem lời giải
trên TTT2 số 21). Ta có

TH2)H BE và K CD, giải tương tự
như TH1 ta cũng có

TH3)H BE và K AD ta có :

vì suy ra

mµ suy ra

TH4) H AE và K CD, giải tương tự
như TH3 ta cũng có

Nh­ vËy : Nếu ABC có hai đường
phân giác trong BD và CE cắt nhau tại
I sao cho ID = IE thì :

lKì này xin trao thưởng cho các bạn :
Trần Văn Phúc, 8A, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Nguyễn
Hữu Sáng, 8A, THCS BC Chu Văn An,
Hương Khê, Hà Tĩnh; Đỗ Huỳnh Long,
7/5, THCS Nguyễn Du, Quận 1, TP. Hồ
Chí Minh ; Lê Việt, 8D, THCS Đặng

Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An; Nguyễn
Thùy Linh Trang, 8₄, THCS Nguyễn
Bỉnh Khiêm, Biên Hịa, Đồng Nai.

Anh kÝnh lóp

 

   o

B C hc B C 120 . 

 _ _ o
ABC ACB 120 .



  o

B C 120 .

_{  } o
A B C 180

 _ 1  _

A (ABC ACB)
2

 _

IEH IDK

  1   1

IEH A ACB ; IDK C ABC,

2 2
   
 _
ABC ACB.
 _
ABC ACB.
     _ _ _ _

IEH ABC BCE ; IDK ACB CBD.

Chì thặ thỏi ừ ?

Keỏt quaỷ :

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5



KÕt qu¶ :



Kì này :

Bài 1 :(Của bạn Đặng Thương Thương, 4A, tiểu học Lê Lợi, TP. Vinh, Nghệ An)
“Kính tặng thầy Thuyết, giáo viên tiếng Pháp :

Khi thầy lên lớp giảng bài

Giỏo ỏn, thc k ngay trên bàn
Giáo khoa lật mở từng trang

Phấn trắngviết bảng từng hàng đẹp sao”.

Bài 2 :(Của bạn Nguyễn Hoài Đảm, 9D, THCS Hồ Tùng Mậu, Hương Sơn, Hà Tĩnh)
Thầy cô như thể mẹ cha

Vâng lời, tin tưởngmới là biết ơn
Nhưng còn có một điều hơn
Phải ln kính trọngcơng ơn cơ thầy.

Các bạn chú ý, cả hai kết quả trên đều tuân theo quy luật số chữ cái của các từ tăng
dần : 6, 7, 8, 9.

Ngồi hai bạn trên, TTT2 cịn thưởng cho các bạn : Đinh Phương Dung, 8A, THCS
Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam; Đoàn Thế Vinh, đội 3, thụn Ni Xỏ, Tõn Quang, Ninh
Giang, Hi Dng.

Nguyễn Đăng Quang

(TTT2 số 21)

MNG XUN T DU

Bài 1 :Tiếp theo là gì ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

thái nhật phượng

(Giáo viên trường THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa)

6

Trong bài viết này, tơi đề cập đến một
dạng tốn tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và
giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức
nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của
những phương trình hoặc bất phương trình
cho trước.

Đối với dạng tốn này, ta cần xác định
và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn
đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN.

Bài tốn 1 :Tìm GTLN và GTNN của xy
biết x và y là nghiệm của phương trình

x4_{+ y}4__{3 = xy(1 }_2xy)

Lêi gi¶i :Ta cã x4+ y43 = xy(1 2xy)
xy + 3 = x4+ y4+ 2x2y2

xy + 3 = (x2+ y2)2 (1).
Do (x2y2)20 víi mäi x, y, dƠ dµng
suy ra (x2+ y2)24(xy)2víi mäi x, y (2).

Tõ (1) vµ (2) ta cã :

xy + 3 4(xy)24t2t 3 0 (víi t = xy)
(t 1)(4t + 3) 0

Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1

x = y = 1 ;

t = xy đạt GTNN bằng

Bài toán 2 :Cho x, y, z là các số dương
thỏa mãn xyz  x + y + z + 2. Tìm GTNN
của x + y + z.

Lời giải :áp dụng bất đẳng thức Cô-si
cho ba số dương x, y, z ta có :

Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi
và chỉ khi x = y = z = 2.

Bài toán 3 :Cho các số thùc x, y, z tháa
m·n x2+ 2y2+ 2x2z2+ y2z2+ 3x2y2z2= 9.
Tìm GTLN và GTNN của A = xyz.

Lời giải :

x2+ 2y2+ 2x2z2+ y2z2+ 3x2y2z2= 9
(x2+ y2z2) + 2(y2+ x2z2) + 3x2y2z2= 9 (1).

áp dụng bất đẳng thức m2+ n22|mn|
với mọi m, n ta có :

x2+ y2z22|xyz| ; y2+ x2z22|xyz| (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra :

2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)29

3A2+ 6|A| 9 0 A2+ 2|A| 3 0













  

    

      

   

     

3

3

3 ₃

3
3

2
x y z 3. xyz

x y z 3. xyz 27xyz
x y z 27(x y z 2)

t 27t 54 0 (víi t = x + y + z > 0)
(t 6)(t 3) 0 t 6.

    x y 3.
2

 

  

 


2 2
x y
3

3
4 xy

4
 
 




2 2
x y
xy 1
   3 t 1.

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

(|A| 1)(|A| + 3) 0 |A| 1

 1 A 1.

Vậy : A t GTLN bng 1

A t GTNN bng 1

Bài toán 4 :Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa
m·n x4 + y4 + x2  3 = 2y2(1  x2). Tìm
GTLN và GTNN của x2+ y2.

Lời giải :Ta có x4+ y4+ x23 = 2y2(1 x2)
(x2+ y2)22(x2+ y2) 3 = 3x20
t22t 3 0 (víi t = x2+ y20)
(t + 1)(t 3) 0 t 3

Vậy t = x2+ y2đạt GTLN bằng 3 khi và
chỉ khi x = 0 ;

Ta l¹i cã x4+ y4+ x23 = 2y2(1 x2)

(x2+ y2)2+ x2+ y23 = 3y20
t2+ t 3 0 (víi t = x2+ y20)

Vậy t = x2+ y2đạt GTNN bằng
khi và chỉ khi y = 0 ;

Bài tập tương tự
1)Cho x, y, z thỏa mãn :

2xyz + xy + yz + zx 1.
T×m GTLN của xyz.

Đáp số :

2)Cho ba s dng x, y, z thỏa mãn :
(x + y + z)3+ x2+ y2+ z2+ 4 = 29xyz
Tỡm GTNN ca xyz.

Đáp số :8 (x = y = z = 2).

3)Tìm GTLN và GTNN của S = x2+ y2
biết x và y là nghiệm ca phng trỡnh :

5x2+ 8xy + 5y2= 36
Đáp số : GTLN lµ 36

GTNN lµ 4

4)Cho x vµ y là các số thực thỏa mÃn :

Tìm GTLN của x2+ y2.

Đáp số :1 (x = 1 ; y = 0).

5)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n :
x2+ 4y2+ z2= 4xy + 5x 10y +2z 5

Tìm GTLN và GTNN của x 2y.
Đáp số :
GTLN là 4 (x = 2y + 4 ; y R ; z = 1) ;
GTNN lµ 1 (x = 2y + 1 ; y R ; z = 1).

6)Tìm các số nguyên không âm x, y, z, t để
M = x2+ y2+ 2z2+ t2đạt GTNN, biết rằng :

Đáp số :x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0.
Khi đó M đạt giá trị nhỏ nhất là 61.

2 2 2

2 2 2

x y t 21
x 3y 4z 101
   




  





x2y2



34x2y26x 1 0. 
(x y   2).
(x   y 3 2) ;

  
1 _{(x y z} 1_).

8 2


  13 1

x .
2

13 1
2
 _  _ 
 _ _  _
  

 

1 13 1 13

t t 0

2 2
13 1
t .
2
 
y 3.



 





 



 
 _ _{ }

     _{   }

 _{ } 


x yz _{x ; y ; z} _{1; 1; 1}
y xz

x ; y ; z 1; 1; 1 .
xyz 1



 





 



 
 _ _

     _ _{ }

 _ 


x yz _{x ; y ; z} _{1; 1; 1}
y xz

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

gIốI THIẻU

ThS. Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

Cuc thi Olympic Toỏn học Ban-căng

Olympic Toán học Ban-căng

(The Balkan Mathematical

Olympiad)

là cuộc thi toán, tổ chức hằng năm vào tháng

tư hoặc tháng năm cho học sinh THCS và THPT các nước

vùng Ban-căng, bắt đầu từ năm 1984 tại Hi Lạp.

Sau đây, chúng tơi xin giới thiệu một số bài tốn được

chọn từ các cuộc thi dành cho THCS lần thứ 14

(năm

1997 tại Hi Lạp)

và lần thứ 15

(năm 1998 tại đảo Sip)

.

Trong số tới, chúng tôi sẽ tiếp tục giới thiu cuc thi ny.

Bài 1

(1997)

:

Cho các số thực x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn

h·y tÝnh

theo k.

Bài 2

(1997)

:

Một tam giác có bán kính đường trịn

ngoại tiếp R và ba cạnh a, b, c thỏa mãn R(b + c) =

Tính các góc của tam giác đó.

Bài 3

(1997)

:

Cho các số nguyên dương n

₁

, n

₂

, ... ,

n

₁₉₉₈

thỏa mãn :

Chứng minh rằng có ít nhất 2 số chẵn trong các

số đã cho.

Bài 4

(1998)

:

Số N = 11...122...25 có 1997 chữ số 1 và

1998 chữ số 2. Chứng minh rằng N là số chớnh phng.

Bài 5

(1998)

:

Tìm tất cả các số nguyên m, n sao cho

m

n

= n

m n

.

2 2 2 2

1 2 1997 1998

n



n

 

... n



n

.

a. bc.

8 8 8 8
8 8 8 8

x

y

x

y

x

y

x

y



_







2 2 2 2
2 2 2 2

x

y

x

y

_k,

x

y

x

y



_





</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

(dành cho lớp 9 - năm 2004)

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

Cuộc thi Toán pa-xcan của ca-na-đa

9

Bi 1 : Câu trả lời là (D). Trong dãy hình
vng đó, hình vng đứng sau có số ơ
vng nhỏ chưa được tơ màu lớn hơn so với
hình vng đứng kề trước nó là 4 ơ. Hình
vng đầu tiên có 8 ơ vng nhỏ chưa được
tơ màu. Vậy hình vng thứ 10 có số ô vuông
nhỏ chưa được tô màu là : 8 + 4.9 = 44 (ụ).

Bài 2 :Câu trả lời là (A). Ta lËp b¶ng tÝnh :

Bài 3 :Câu trả lời là (C). Ta có nhận xét
rằng nếu ở một nước đi nào đó, kim chỉ số 6
thì kim chỉ có thể chỉ lần lượt vào ba số 6, 5,
3. Có nghĩa là tại một thời điểm kim chỉ số 6
thì trước đó 3.k nước đi kim cũng chỉ số 6.

Vậy nếu sau 21 (= 3.7) nước đi, kim chỉ

số 6 thì có nghĩa là lúc ban đầu (chưa đi
nước nào) kim cũng chỉ số 6. Suy ra sau
nước đi đầu tiên, kim chỉ số 5.

Bài 4 : Câu trả lời là (A). Các bạn chú ý,
thuế cầu đường phải trả là 30 xu nên khả năng
trả được thuế là tổng giá trị hai đồng được rút
ra ngẫu nhiên phải không nhỏ thua 30.

Gọi Q₁, Q₂là hai đồng 25 xu ; D₁, D₂là
hai đồng 10 xu ; N₁, N₂là hai đồng 5 xu.

Gọi Y là khả năng trả đủ thuế ; N là khả
năng không trả đủ thuế và X là khả năng
khơng thể xảy ra (ví dụ khả năng rút ra hai
đồng Q₁). Ta có bảng sau :

Bảng trên có tất cả 30 khả năng có thể
xảy ra và 18 khả năng trả được thuế.

Do vy ỏp s l 3/5.

Bài 5 :Câu trả lời là (B).

Gọi h là chiều cao của hình thang ABCD,
khi đó diện tích của ABCD bằng

Ta có S(AZW) = S(ABZ) S(ABW) (2).
Dễ dàng tính được XY = 1 và chứng minh
được ABZ XYZ. Mặt khác, AB = 2

nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là
2 : 1. Lại có tổng khoảng cách từ Z đến AB
và XY bằng h nên khoảng cách từ Z đến AB
bằng suy ra S(ABZ) =

Tương tự đối với hai tam giác ABW và
CYW, ta tính được S(ABW) =

Tõ (2), (3), (4) suy ra S(AZW) =
Tõ (1), (5) suy ra S(AZW)  8 .

S(ABCD) 105
4 h (5).
15
2 h (4).
5

2 h (3).
3
2 h

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Câu 1 :(3 điểm)

Cho h phng trỡnh với tham số a :
a) Giải hệ phương trình khi a = 2.

b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng hai
nghiệm.

C©u 2 :(2 ®iĨm)

a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = z2+ z(y + 1) + xy.
b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp
đường trịn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu t giỏc ABCD ngoi

tiếp đường tròn bán kính r thì

Câu 3 :(2 điểm)

Tỡm tt c các số nguyên dương n sao cho phương trình
499(1997n+ 1) = x2+ x cú nghim nguyờn.

Câu 4 :(3 điểm)

Cho tam giỏc ABC vng (AC BC). Đường trịn (C) đường kính
CD cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F (D là hình chiếu vng
góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE
với đường tròn (C), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao
điểm của đường thẳng EF và BK l P.

a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đường
tròn.

b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của
tam giác ABC.

c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của
đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác MFP.

A
2

r .

2

x 4 y x
y x a 1

  



   


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Bµi 1 :(2 ®iĨm)

Tìm các số ngun x để biểu thức sau là số chính phương :
x4x2+ 2x + 2

Bµi 2 :(2 điểm)

Gii phng trỡnh v h phng trỡnh :

Bài 3 :(2 ®iĨm)

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn chng minh

Bài 4 :(2 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên ®­êng th¼ng AB lÊy
®iĨm C n»m ngoài đoạn AB. Từ C kẻ hai tiÕp tuyÕn CE, CF với
đường tròn (O) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và
EF. Qua C kẻ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn (O) tại M và N (M
nằm giữa C và N). Chứng minh :

a) Bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn.

b) .

Bài 5 :(2 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A thuộc đường tròn (O).
Kẻ đường cao AH của tam gi¸c ABC. Gäi I, K theo thø tù lµ
giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AHB, AHC.
Đường thẳng IK cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh

(S_AMN: diện tích tam giác AMN, S_ABC: diƯn tÝch tam gi¸c ABC).
AMN 1 ABC

S S

2


 

AIM BIN
1 1 1 _{1 .}
a b c abc  

2 2 2 5

a b c ,

3

  

2

a) x 7x 14 2 x 4
x y y x 30
b)

x x y y 35

   

 _ _




 



</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bài 1(21) : Cho ba số chính phương
A, B, C. Chứng tỏ rằng :

(A B)(B C)(C A) chia hÕt cho 12.

Lời giải : Hầu hết các bạn đều dựa vào
2 nhận xét :

1) Một số chính phương chia cho 3 chỉ có
số dư là 0 hoặc 1.

2) Một số chính phương chia cho 4 chỉ có
số dư là 0 hoặc 1.

Theo ngun lí Đi-rích-lê thì trong 3 số
chính phương A, B, C phải tồn tại hai số có
cùng số dư khi chia cho 3. Do đó trong các

số A B, B C, C A ít nhất có một số chia
hết cho 3. Vì vậy (A B)(B C)(C A) chia
hết cho 3.

Tương tự cũng có (A B)(B  C)(C A)
chia hết cho 4. Mà 3 và 4 nguyên tố cùng
nhau nên (A B)(B C)(C A) chia hết cho
3 x 4 = 12.

Nhận xét : 1) Một số bạn dựa vào tính
chẵn lẻ của A, B, C chng minh nhng
li gii di hn.

2) Các bạn có lời giải ngắn gọn và trình
bày tốt hơn là : Phạm Minh Tuấn, 8A₁,
THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội ;
Nguyễn Văn Hùng, 8C₅, THCS Chu Văn
An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Đặng Minh
Trang, 9G, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú
Thọ ; Trần Ngọc Nam, 6A₄, THCS Trần
Đăng Ninh, TP. Nam Định, Nam Định; Trần
Thị Khánh Ngà, 9A, THCS Hoàn LÃo, Bố
Trạch, Quảng Bình ; Phan Thị Thanh
Thảo, 6A, THCS BC Xuân DiÖu, Can Léc,

Hà Tĩnh ; Dương Thị Thu Thảo, 7₄, THCS
Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia Lai; Trịnh Toàn
Trung, 9₁₅₀, THCS Trần Hưng Đạo, Biên
Hòa, Đồng Nai; Lương Thị Kim Thư, 9B,
THCS Nghĩa Lộ, TX. Quảng Ngãi, Quảng

Ngãi; Vân Duy Ngọc Tân, 7₁₀, THCS Phan
Chu Trinh, thị trấn Diên Khánh, Khánh Hòa;

Nguyễn Thị Hải Yến, 7A, THCS Yên Lạc,
Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Trần Thanh Vũ, 9/8,
THCS Lê Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng
Nam; Nguyễn ái Dân, 6A, THCS Chu Văn
An, Thanh Hà, Hải Dương ; Nguyễn Minh
Trang, 6E, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghệ An ; Nguyễn Thị Mai Hương, 9₄,
THCS Nguyễn Khuyến, TP. Đà Nẵng, Đà
Nẵng ; Vũ Quang Dũng, 8A, THCS Thụy
Văn, Thái Thụy, Thái Bình.

ltn

Bµi 2(21) :Chứng minh rằng :

Lời giải (của nhiều bạn): §Ỉt

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(x - 1)(x + 1)3_{= 3 (*).}

Ta cã (x - 1)(x + 1)3

= (x - 1)(x3_{+ 3x}2_{+ 3x + 1)}

= (x - 1)(2 + 3x2+ 3x + 1)

= (x - 1).3.(x2+ x + 1)
= 3.(x3- 1) = 3(2 - 1) = 3.

Vậy đẳng thức (*) đúng. Bài toán đã được
chứng minh.

Nhận xét : Cách giải trên sử dụng
phương pháp hữu tỉ hóa. Rất nhiều bạn giải
theo cách biến đổi từ vế phải sang vế trái,
không sáng sủa như cách giải trên. Các bạn
lớp 6, lớp 7 sau có lời giải tốt : Tạ Hồng Hà,
7A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;
Nguyễn Hải Sơn, 6C, THCS Trần Nguyên
Hãn, TX. Bắc Giang, Bắc Giang; Đỗ Văn

  

    



     

2 3

3 3

3 3

3

3 3

1 x x 1 x

x 1 x 1

9 9(1 x)

x 1.(1 x) 3 (v× 1 x 3)

3_{2 x.}
3 3_{2 1} ₃1 ₃2 ₃4_.

9 9 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Đạt, 7A, THCS Đông Thọ, Đông Thọ, Yên
Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị ánh Ngọc,
7A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh
Phúc ; Vũ Hồng Hạnh, 6A₁, THCS Bình
Minh ; Nguyễn Văn Tuân, 7/1, THCS Hợp
Tiến, Nam Sách, Hải Dương; Nguyễn Thị
Thảo, 6A, THCS thị trấn Yên Định, Thanh
Hóa ; Nguyễn Thanh Hoàng, 7C, THCS
Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Phan Thị
Thanh Thảo, 6A, THCS BC Xuân Diệu,
Can Lộc ; Nguyễn Hùng Linh, 7/4, THCS Lê
Văn Thiêm, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Trương
Xuân Nhã, 7A, THCS Nguyễn Huệ, Đông

Hà, Quảng Trị ; Dương Thị Thu Thảo, 7₄,
THCS Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia Lai.

nguyễn minh đức

Bµi 3(21) : Cho a  b, a  c, b  c.
Chøng minh r»ng :

Lời giải : Đa số các bạn đã giải như sau :
Ta có

Tương tự ta có

Céng theo tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã :

Vậy đẳng thức (*) được chứng minh.

Nhận xét : 1) Một số bạn dùng cách biến
đổi từng vế (quy đồng mẫu số, giản ước tử
số), cách này tuy dài nhưng cho ta thêm
một kết quả đẹp, ú l :

2) Các bạn có thể tham khảo thêm lêi gi¶i :

Khi đó vế trái của (*) trở thành

b»ng vế phải của (*).

3) Các bạn có lời giải tốt : Đoàn Thu Hà,
8A₃, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang,

Hng Yờn; Nguyn Bỏ Thc, 8A₁, THCS
giấy Phong Châu, Phù Ninh ; Trần Ngọc
Khánh, 7A₁, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,

Phú Thọ; Phan Thị Thanh Minh, 8A, THCS
Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ;
Nguyễn Văn Tuân, 7/1, THCS Hợp Tiến,
Nam Sách ; Vũ Hồng Hạnh, 6A₁, THCS Bình
Minh, TP. Hải Dương, Hải Dương; Trần Đức
Minh, 8A₁, THCS Tế Tiêu, Mỹ Đức, Hà Tây;
Phạm Thị Thu Hiền, 8A₁, THCS Nghĩa
Hưng, Nghĩa Hưng, Nam Định ; Đặng Văn
Tuấn, 7D, THCS Cao Thượng, Tân Yên, Bắc
Giang ; Huỳnh Thị Mai Thảo, 8E, THCS
Lương Thế Vinh, TX. Tuy Hòa, Phú Yên; Đỗ
Văn Đạt, 7A, THCS Đơng Thọ, n Phong,

B¾c Ninh ; Ngun ViƯt Long, 7C₂, THCS
thị trấn Tiên LÃng, Hải Phòng; Nguyễn Thị
Cẩm Duyên, 7A, THCS Phan Huy Chó,
Th¹ch Hà, Hà Tĩnh.

nguyễn anh quân

 


        
Y(X Z) Z(Y X) X(Z Y)

XZ XY YZ

Y Y Z Z X X X Z Y X Z Y
Z X X Y Y Z Y Z X

    
 
 _{ }  _{  }
 
 _{ }  

a b X b c X Z

Đặt b c Y suy ra c a Y X
c a Z a b Z Y.

 _  _ 

     

     

   

     

2 2 2 2 2 2

b c c a a b

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
b c c a a b (a b)(a c)(b c) .
b c c a a b (a b)(b c)(c a)

 _  _ 
     
     
     
     
  
  
  

2 2 2 2 2 2

b c c a a b

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
b a a c c b b a a c c b
a c a b a b b c c b c a
b c c a a b.

b c c a a b

 _  _ 
   
 _  _ 
   

2 2
2 2

c a c b b a _{(2) ;}

(b c)(b a) a b b c

a b a c c b _{(3) ;}

(c a)(c b) c b c a

 _  _ 

     

 

 

 

2 2 2 2 2 2

b c b a a c

(a b)(a c) (a b)(a c) (a b)(a c)
b a a c _{(1) ;}
a c a b

 _  _ 

     

  

  

  

2 2 2 2 2 2

b c c a a b

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bài 4(21) :Cho tam giác ABC có BC = a,
CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần
lượt là độ dài các phân giác trong của các
góc A, B, C. Chứng minh rằng :

Lêi gi¶i : Gäi AD là phân giác của
Dựng qua B đường thẳng song song với AD
cắt đường thẳng AC tại E.

Khi ú : (hai góc đồng vị) ;
(hai góc so le trong) mà
nên

 ABE c©n tại A AB = AE = c.
Mặt khác :

suy ra

Trong tam gi¸c ABE cã BE < AB + AE
hay BE < 2c (2).
Tõ (1), (2) ta cã

Tương tự
Do đó

áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho ba s
dng ta cú :

kết hợp với giả thiết a + b + c = 9 ta được

Từ (3), (4) suy ra

,

điều
phải chứng minh.

Nhn xột : 1) Hai bạn Nguyễn Tiến
Thanh, 9C, THCS Nguyễn Quang Bích,
Tam Nơng, Phú Thọ; Vũ Hồng Hạnh, 6A₁,
THCS Bình Minh, TP. Hải Dương đã đề
xuất bất đẳng thức mạnh hơn là :

Tuy nhiên để chứng minh được bất đẳng
thức trên, các bạn phải sử dụng đến định lí
hàm số Cơ-sin trong tam giác của chương
trình Tốn THPT.

2) Các bạn sau có lời giải gọn hơn cả : Lê
Trường Giang, 9H₁, THCS Trưng Vương,
Hoàn Kiếm, Hà Nội; Nguyễn Thị Hồng Hà,

8B, THCS Phong Châu, TX. Phú Thọ, Phú
Thọ; Bùi Thị Bích Phượng; Nguyễn Thị Thu
Hiền, 9A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh
Phúc ; Tường Thế Nghĩa, 9A₁, THCS Ngô
Gia Tự, TP. Hải Dương, Hải Dương ; Lê
Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương ;
Nguyễn Khánh Hồng, 9A, THCS Bạch Liêu,
Yên Thành ; Phạm Anh Minh, 8A, THCS Hồ
Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Lưu
Thị Kim Hân, 9₇, THCS Lê Q Đơn, Thăng
Bình, Quảng Nam; Trần Hồ Phương Dung,
9A, THCS Nguyễn Trãi, Mộ Đức, Quảng
Ngãi; Bùi Bảo Khang, 8A₃, THCS số 2 An
Nhơn, An Nhơn, Bỡnh nh.

nguyễn văn mạnh

Bài 5(21) :Cho tam giác nhọn ABC, trực
tâm H. Chứng minh rằng :

Lời giải (của bạn Hoàng Vũ Hạnh, 10T,
THPT chuyên Lam Sơn, TP. Thanh Hãa,

Thanh Hãa) :

HB.HC HC.HA HA.HB 1.
AB.AC BC.BA CA.CB  

  
 

1 1 1 _{6 3 .}
x y z a b c

  
1 1 1 1
x y z

1 1 1 1 (4).

a b c  

     

 

   _   _

 

3 1 1 1 ₃ 1

a b c 3. abc ; 3.
a b c abc
1 1 1

(a b c) 9,

a b c

1 1 1 1 1 1 _(3).

x y z a b c    

   

 _  _  _  _

   

1 1 1 1 1 1 1 1_; _.
y 2 a c z 2 a b

 

   _  _

 _ _

2bc 1 1 1 1

x .

b c x 2 b c


x.(b c)

BE (1).

b

 


AD CA _hay x b
BE CE BE b c

 _
ABE AEB
 _
DAB CAD
 _
DAB ABE
 _
CAD AEB

BAC.
1 1 1 1.

x y z  

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân các đường
cao hạ từ A, B, C của ABC. Vì ABC nhọn
nên H nằm trong tam giỏc. Vy :

S(HBC) + S(HCA) + S(HAB) = S(ABC).
Mặt khác, dÔ thÊy CHB’ CAC’ (g.g)

Tương tự :

VËy :

Nhận xét : 1) Bài tốn này khơng khó,
rất nhiều bạn tham gia giải và đều giải
đúng. Tuy nhiên bạn Hạnh có lời giải ngắn
nhất. Các bạn khác đều giải hoặc dài hơn
hoặc bằng những kiến thức cao hơn kiến
thức mà bạn Hạnh đã sử dụng trong lời giải
của mình. Xin thống kê chi tiết :

+ Phải dùng tới hai cặp tam giác đồng dạng.
+ Phải dùng tới các kiến thức về đường tròn.
+ Phải vẽ thêm những đường kẻ phụ.
+ Phải dùng tới công thức và
khái niệm hàm số lượng giác của một góc tù.
2) Các bạn sau đây có lời giải tương đối
tốt : Phm Phng Thanh, 9A₇, THCS Trn

Đăng Ninh, TP. Nam Định, Nam Định ;
Trịnh Toàn Trung, 9₁₅₀, THCS Trần Hưng
Đạo, TP. Biên Hòa, Đồng Nai; Nguyễn Sơn
Tùng, 9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam
Nông; Trần Văn Thành, 8A₂; Nguyễn Thùy
Dung, 8A₁, THCS L©m Thao, L©m Thao,

Phú Thọ ; Lưu Thị Kim Hân, 9₇, THCS Lê
Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam; Phạm
Ngọc Trâm, 9A, THCS Th¸i Phóc, Th¸i
Thơy, Th¸i Bình ; Phan Thùy Linh, 9B,
THCS Tản Đà, Ba Vì, Hà Tây.

nguyễn minh hà

1

S .b.c.sin A
2

S(HAB) S(HCA) S(HAB) 1.
S(ABC)

  

HB.HC HC.HA HA.HB
AB.AC BC.BA CA.CB

 

HC.HA S(HCA) HA.HB S(HAB)_; _.
BC.BA S(ABC) CA.CB S(ABC)

 

  

CH CB'

CA CC'

1HB.CB'

HB.HC ₂ S(HAB) _;
1

AB.AC _AB.CC' S(ABC)
2

Vũ Hồng Hạnh, 6A₁, THCS Bình Minh,
TP. Hải Dương ; Nguyễn Văn Tuân, 7/1,
THCS Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương;
Dương Thị Thu Thảo, 7₄, THCS Nguyễn
Du, TP. Pleiku, Gia Lai ; Trịnh Toàn
Trung, 9₁₅₀, THCS Trần Hưng Đạo,
TP. Biên Hòa, Đồng Nai ; Lưu Thị Kim
Hân, 9₇, THCS Lê Q Đơn, Thăng Bình,

Quảng Nam; Phan Thị Thanh Thảo, 6A,
THCS BC Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh;
Phạm Minh Tuấn, 8A₁, THCS Ngơ Sĩ
Liên, Hồn Kiếm, Hà Nội; Phạm Phương
Thanh, 9A₇, THCS Trần Đăng Ninh,
TP. Nam Định, Nam Định; Tạ Hồng Hà,
7A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Hoàng Vũ Hạnh, 10T, THPT chuyên
Lam Sơn, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa ;
Nguyễn Minh Trang, 6E, THCS Đặng
Thai Mai, TP. Vinh ; Nguyễn Thanh

Hoàng, 7C, THCS Bạch Liêu, n Thành,

NghƯ An ; Ngun Văn Hùng, 8C₅,
THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải
Phòng; Trần Thị Khánh Ngà, 9A, THCS
Hoàn LÃo, Bố Trạch, Quảng Bình ;
Nguyễn Hải Sơn, 6C, THCS Trần Nguyên
HÃn, TX. B¾c Giang, B¾c Giang.

Các bạn được thưởng kì này

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

M

ét bi

sáng mùa
đơng, thám tử
S ê - L ố c - C ố c
đang châm lửa
cho chiếc tẩu thuốc
thì chng điện thoại
réo vang.

- A lô ! Xin chào thám tử ! Tôi là thanh
tra Mác-tin đây ! Xin lỗi đã làm phiền ngài,
nhưng thực sự tôi đang rất cần sự giúp đỡ
của ngài. Ngài có thể đến ngay Sở Cảnh
sát được không ạ ?

- ồ! Rất sẵn lịng, tơi sẽ đến ngay !
15 phút sau thám tử đã có mặt tại phịng

làm việc của thanh tra Mác-tin. Trong
phịng, ngồi vị thanh tra cịn có một phụ
nữ trạc 50 tuổi, ánh mắt đầy lo lắng. Thanh
tra Mác-tin đứng lên, bắt tay thám tử :

- Rất cám ơn ngài đã đến ! Đây là phu
nhân Bây-len. Bà đến đây từ sáng sớm để
trình báo việc ơng nhà - giáo sư Bây-len bị
mất tích.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc quay sang người
phụ nữ :

- Xin bµ h·y bình tĩnh. Tôi sẽ cố gắng
giúp bà. Bà kể cho tôi nghe mọi chuyện đi !
- Thưa thám tử ! Sáng sớm nay tôi thấy có
lá thư gài ở cửa... chắc bọn chúng bắt cóc
ông nhà tôi thật rồi ! - Bà Bây-len nức nở.

- Bà bình tĩnh đi nào ! Bọn chúng là ai ?
Thấy phu nhân quá xúc động, thanh tra
Mác-tin vội trả lời thám tử thay bà :

- Gần đây, có một tổ chức đề nghị giáo
sư Bây-len nghiên cứu cho chúng về một
vấn đề gì đó... nhưng giáo sư khơng nhận

lời vì biết đó là
ý định xấu.
Bọn chúng

quay sang đe
dọa, giáo sư vẫn
kiên quyết không
nghe. Phu nhân cũng
biết chuyện này. Cách đây 3
hôm, giáo sư nói là sang chơi nhà ông
Pi-tơ ở quận bên và sẽ ở lại vài hụm vỡ lõu
lm hai ngi cha gp nhau.

Bà Bây-len tiếp lêi :

- Ngay sau khi đọc lá thư, tôi đã gọi điện
sang nhà ơng Pi-tơ. Ơng ấy nói chồng tôi
đã về từ sáng sớm hôm qua. Tôi cho rằng
bọn người xấu đã bắt cóc ơng nhà tơi rồi...
Bà cho phép tôi xem lá thư chứ ?
-Thám tử đề nghị.

Thanh tra Mác-tin đưa lá thư cho thám tử :
- Đây, xin mời ngài. Bà Bây-len khẳng
định đây là nét chữ của chồng.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc chăm chú đọc lá
thư : “Em yêu, anh đang ở chỗ “những
người bạn” mà anh đã nhiều lần kể cho
em. Anh vẫn khỏe. Có lẽ anh phải ở đây
một thời gian em ạ. Em hãy chăm sóc các
con giúp anh nhé. Xong việc anh sẽ về
ngay. Sắp Nô-en rồi, anh nhờ em một việc
nhé. Trước hôm Nô-en một ngày, em hãy

đọc cho thằng Ni-ke nhà mình nghe bài thơ
anh làm tặng nó. Nó rất thích thơ mà em.
Anh đặt tên bài thơ này là “Phía trước”.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17



KÕt qu¶ :

Song đến một ngày kia
Phía trước đường cịn dài
Buồn vui ai biết trước
E còn nhiều gian nan

Tạm biệt em
Anh Bây-len”
- Chà ! Lá thư hơi lạ đấy ! - Thám tử nhận xét.
- Có lẽ ơng nhà tơi ám chỉ điều gì đó - Phu nhân
nói thêm - vì chúng tơi khơng có đứa con nào tên
Ni-ke cả.

- Thế thì đúng rồi, giáo sư muốn nói điều gì đó
qua lá thư... mà sao bọn bắt cóc lại chuyển thư cho
phu nhân ? - Thanh tra Mác-tin thắc mc.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc trầm ngâm :

- Chắc giáo sư yêu cầu chuyển thư thì mới chấp
nhận nghiên cứu cho bọn chúng. Lời nhắn nhủ của
giáo sư có lẽ nằm ở ®o¹n ci cđa bøc th­...

Cau mày suy nghĩ một lúc, thám tử nói :
- Nơ-en là 24 tháng 12. Trước đó một hơm nghĩa
là 23 tháng 12... Rất có thể 2312 là số nhà nơi bọn
xấu giam giữ giáo s.

Thanh tra Mác-tin sốt sắng :

- Nhưng chúng ta đâu biết được tên đường phố...
thành phố lớn thế này... !

- Ngài cứ bình tĩnh ! Còn cả bài thơ nữa kia mà !
- Một bài thơ quá lủng củng, chẳng vần điệu gì
cả ! - Thanh tra nhận xét.

Thám tư gi¶i thÝch :

- Giáo sư cố tình viết như thế để có được những
chữ cái đầu dịng theo chủ ý y !

- Nhưng bảy chữ cái đầu dòng của bài thơ có
ghép được thành tên con đường nào đâu ? - Vị
thanh tra ngạc nhiªn.

- Thì giáo sư phải khéo léo để bọn bắt cóc khơng
phát hiện được chứ ! Ngài thanh tra hãy chú ý đến
tên bài thơ...

Nghe đến đây, thanh tra Mác-tin reo lên :
- Phải rồi... tơi đã đốn ra... đó chính là đường...
Chúng ta hãy tiến hành giải thốt cho giáo sư ngay !

* Vậy là theo gợi ý của thám tử Sê-Lốc-Cốc tài
ba, vị thanh tra đã đoán ra tên con đường. Cịn
các thám tử “Tuổi Hồng” thì sao ? (Nhớ là tên
bằng tiếng Anh đấy nhé)

Ngun Xu©n Q
(2D - K53, Toán - Tin, ĐH Sư phạm Hà Nội)

Cú lẽ do am hiểu đời sống
động vật nên kì này hầu hết các
thám tử “Tuổi Hồng” đều trả lời
đúng : Đà điểu là lồi chim có
trọng lượng cơ thể quá lớn, đôi
cánh lại nhỏ nên khơng thể bay
được. Một số ít bạn do q chú ý
vào chi tiết “đà điểu ba tháng
tuổi” nên lại cho rằng với độ tuổi
non nớt đó, lồi chim này chưa
bay được. Rất nhiều bạn đã có
câu trả lời bằng thơ. Xin trích
đăng một đoạn thơ của bn Mai
Th Hũa (H Tõy) :

Câu chuyện ngỡ hợp lí
Nhưng này chàng trai ơi !
Đà điểu bay lên trời

L cõu chuyện không tưởng
Học ngất nga ngất ngưởng

Chắc là chỉ ham chơi
Bịa câu chuyện dở hơi
Lọt tai Sê-Lốc-Cốc ?

Năm bạn có bài làm khá hơn
cả được nhận phần thưởng kì này :
Huỳnh Thị Ngọc Huyền, 6H,
THCS TX Bắc Kạn, Bắc Kạn ;
Nguyễn ánh Quỳnh Hoa, 6B,
THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình,

B¾c Ninh ; Mai Thị Hòa, 9B,
THCS Tản Đà, Quảng Oai, Ba
Vì, Hà Tây ; Võ Thành Văn, 8B,
THCS Hoàn LÃo, Bố Trạch,

Quảng Bình ; Đặng Thị Thanh
Hòa, 47/62 Trần Quốc Toản, Q.3,
TP. Hồ Chí Minh.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

V MẤT BA CON ĐAØ

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

18

Bài toán 1 :Cho a, b, c là các số dương
thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a4+ b4+ c4a3+ b3+ c3.

Bài toán 2 :Cho x₁, x₂, x₃, x₄là bốn số
dương thay đổi thỏa mãn iu kin :

x₁+ x₂+ x₃+ x₄= 1.

HÃy tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

lKhi giải bài tốn 1 tôi đã thành công khi

sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
(sau này tơi cịn biết nhiều cách giải khác) :
Ta có (a3+ b3+ c3)2= (a.a2+ b.b2+ c.c2)2
(a2+ b2+ c2)(a4+ b4+ c4) suy ra

(a + b + c)(a3+ b3+ c3) suy ra

(a + b + c)23(a2+ b2+ c2) suy ra

Tõ (1), (2), (3) suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.

lSau đó tơi gặp bài tốn 2 trong TTT2 số

6, cách giải hoàn toàn tương tự như trên
với kết quả giá trị nhỏ nhất của T là Tơi
đã có nhận xét ban đầu về hai bài toán
trên như sau : ở bài toán 1 ta cũng tìm

được giá trị nhỏ nhất của là 1 ;
hai bài toán chỉ khác nhau về số các số

dương ; giá trị của tổng các số dương đó
khơng ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải.

Từ đó tơi nghĩ hai bài tốn trên có thể mở
rộng cho n số dương và đề xuất bài toán 3
(chứng minh tương tự hai bài toán trên) :

Bài toán 3 :Cho x₁, x₂, ... , x_nlà các
số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
x₁+ x₂+ ... + x_n= k. Chứng minh rằng :

lTiÕp tơc suy nghÜ, t«i nhËn thÊy víi mäi

số a dng thỡ ta luụn cú

và với cách chứng minh trên ta có thể tiếp
tục mở rộng bài toán 3 :

Bài toán 4 :Cho m, n là các số nguyên
dương ; x₁, x₂, ... , x_nlà các số dương thỏa
mãn điều kiện x₁+ x₂+ ... + x_n= k. Chng
minh rng :

Hng dn :

Đẳng thức xảy ra x1x2 ... xnk_n.

  
     
 

  
  
 

m 1 m 1 m 1

1 2 n

m 2 m 2 m 2

1 2 n

1 2 n

x x ... x _...

x x ... x

x x ... x _{k .}

n n

 _  _{ }  

m m m

1 2 n

m 1 m 1 m 1

1 2 n

x x ... x
x x ... x
 _  _{ }  

m m m

1 2 n

m 1 m 1 m 1

1 2 n

x x ... x _{k .}
n
x x ... x

 


n n 1 n 1
a a . a

   _

  

4 4 4

1 2 n

3 3 3

1 2 n

x x ... x _{k .}
n
x x ... x

 

 

4 4 4
3 3 3
a b c
a b c

1 .
4

  _   _{ }

 
2 2 2

a b c _{a b c 3 1} _(3).

a b c 3 3

  _  

 

 

3 3 3 2 2 2

2 2 2

a b c a b c _{(2) ;}

a b c
a b c

    

2 2 2 2 3 3 3 2

(a b c ) ( a a b b c c )

4 4 4 3 3 3

3 3 3 2 2 2

a b c a b c _{(1) ;}

a b c a b c

  _  

   

  



  

4 4 4 4

1 2 3 4

3 3 3 3

1 2 3 4

x x x x

T .

x x x x

Xâu chuỗi các bài tốn

Đối với tơi việc xâu chuỗi, tìm tịi các mối liên hệ của
những bài toán đã gặp để phát hiện ra các kết quả mới là
cơng việc rất hứng thú. Ví dụ, trong q trình học tốn tơi
đã gặp hai bài tốn :

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

Đây là bài tốn tương đối khó. Chỉ có bảy
võ sĩ tham gia giải. Tất cả các võ sĩ đều có
lời giải đúng. Tuy nhiên, chỉ có hai võ sĩ cho
lời giải gọn và hay. Đó là các võ sĩ : Phan Lê
Hoàng Linh, 10C₁, THPT chuyên Phan Bội
Châu, TP. Vinh, Nghệ An và Trần Quốc
Hồn, 12 Tốn, THPT Nguyễn Trãi, Hải
Dương. Tôi đã phải cân nhắc rất nhiều
trước khi đi đến quyết định chọn người đăng
quang trong trận thách đấu này là võ sĩ
Linh, bởi lẽ lời giải của võ sĩ Hoàntuy khá
hay nhưng phụ thuộc hình vẽ.

Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải của võ
sĩ Linh.

1) Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì PA = PC.
Giả sử các tia đối của các tia PB, PD
theo thứ tự cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ABCD tại E, F (hình 1).

Theo gi¶ thiÕt :

ED // FB // CA

H×nh 1

 BFED là hình thang cân và CA song

song với hai đáy ED, FB. Từ đó, dễ dàng
suy ra : PA = PC.

(Xem tiÕp trang 26)
 

 

 
 

PBC DBA s® CE s® AD ED // CA
FB // CA
PDC BDA s® CF s® AB



 _ _ _

 _ _

  



 

 

 

(TTT2 số 21)
lNgười thách đấu :TSKH. V ỡnh

Hòa, ĐHSP Hà Nội 1, Hà Nội.

l Bi toán thách đấu : Một số tự
nhiên n được gọi là số tốt nếu ta có thể
chia hình vng bất kì thành n hình
vng nhỏ với khơng q hai kích thước
khác nhau.

1) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè tèt th×

n {1 ; 2 ; 3}.

2) Chøng minh rằng số 5 không phải
là số tốt.

3) Chứng minh rằng 2004 là số tốt.
4) Tìm tất cả các số tốt.

lXuất xø :S¸ng t¸c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài tốn về sự tương giao giữa đường
thẳng và đường parabol là một chủ đề hay
gặp trong các kì thi cuối cấp. Nắm vững
loại tốn này, các bạn sẽ thấy mối liên hệ
giữa vị trí tương đối của hai đồ thị với
nghiệm của một phương trình bậc hai.

Trước hết, các bạn cần nhớ những kiến
thức cơ bản :

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và
điểm A(x_A; y_A) ta có :

A (C) y_A= f(x_A)
A (C) y_Af(x_A)

Tọa độ điểm chung của đồ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của hệ :

Do đó : Hồnh độ điểm chung của hai
đồ thị chính là nghiệm của phương trình
f(x) = g(x). Từ đó ta có thể xét được vị trí
tương đối giữa hai đường thẳng, vị trí tương
đối giữa một đường thẳng và một parabol.
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

(D) : y = ax + b (a 0)
(D’) : y = a’x + b’ (a’ 0)

Phương trình hồnh độ điểm chung của
(D) và (D’) là : (a a’)x = b’ b (1)

(D) // (D’) Phương trình (1) vơ nghiệm

a = a’ vµ b b’.

(D) (D’) Phương trình (1) có vơ số

nghiƯm a = a’ vµ b = b’.

 (D) cắt (D’) tại một điểm  Phương

tr×nh (1) cã mét nghiƯm a a’.

(D) (D’) a.a’ = 1.

2.Vị trí tương đối giữa đường thẳng (D) :
y = f(x) và parabol (P) : y = g(x).

Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là
nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc
hai. Ta thấy :

 (D) vµ (P) không có điểm chung

Phng trình (2) vơ nghiệm  < 0.

(D) tiếp xúc với (P) Phương trình (2)

cã nghiƯm duy nhÊt (nghiƯm kÐp)  = 0.

(D) cắt (P) tại hai điểm Phương trình

(2) có hai nghiệm phân biệt  > 0.
Sau đây là một số dạng bài tập về biện

luận sự tương giao giữa đường thẳng và
parabol.

D¹ng 1 : Bài toán chứng minh

Ví dụ :Chứng minh rằng đường th¼ng
(D) : y = 4x 3 tiÕp xóc víi parabol (P) :
y = 2x24(2m 1)x + 8m23.

Giải :Hoành độ điểm chung của (P) và
(D) là nghiệm của phương trình :

2x24(2m 1)x + 8m23 = 4x 3
2x28mx + 8m2= 0 x24mx + 4m2= 0.

Ta cã ’ = 4m24m2= 0 víi mọi giá trị
của m nên parabol (P) luôn luôn tiếp xúc
với đường thẳng (D).

Dạng 2 :Bài toán tìm điều kiện

Ví dụ :Cho đường thẳng (D) : y = 2(m x)
và parabol (P) : y = x2+ 2x + 4m.

a) Víi giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc
với parabol (P).

b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ giao
điểm A và B khi

Giải :a) Hoành độ điểm chung của (P)
và (D) là nghiệm phương trình :

3

m .

2
 
y f(x)

y g(x)


 


Nguyễn Phước
(Hiệu trưởng trường THCS Hương Long, TP. Huế)

20

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

x2+ 2x + 4m = 2(m x)

x24x 2m = 0 (3)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)
Phương trình (3) có nghiệm kép  ’ = 0
4 + 2m = 0 m = 2.

b) (D) cắt (P) tại hai điểm  Phương
trình (3) có hai nghiệm phân biệt  ’ > 0
4 + 2m > 0 m > 2.

Khi thì hồnh độ hai giao điểm
A và B là nghiệm của phương trình :

Từ đó suy ra tọa độ giao điểm A, B của
(D) và (P) là :

Dạng 3 :Xác định tọa độ tiếp điểm.

Ví dụ :Cho parabol (P) : y = x22x 3.
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của
(P) tại điểm đó song song với đường
thẳng (D) : y = 4x.

Giải :Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P)
là (d).

Do (d) song song víi (D) nên (d) có
dạng y = 4x + b (b 0)

Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là
nghiệm phương trình :

x22x 3 = 4x + b

x2+ 2x 3 b = 0 (4)

Ta thấy : (d) tiếp xúc với (P) Phương
trình (4) có nghiệm kép  ’ = 0 4 + b = 0
b = 4. Khi đó, nếu gọi điểm A(x₀; y₀)
là tiếp điểm của (P) và (d) thì ( do A (P)

và A (d)) ta có hệ phương trình :

VËy tiếp điểm cần tìm là A(1 ; 0).

Dng 4 :Lp phng trỡnh tip tuyn.

Ví dụ :Cho đường thẳng (D) : y = ax + b.
Tìm a và b biết :

a) Đường thẳng (D) song song với
đường thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xóc víi
parabol (P) : y = x2.

b) §­êng thẳng (D) vuông góc với
đường thẳng x 2y + 1 = 0 vµ tiÕp xóc víi
parabol (P) : y = x2.

c) Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol
(P) : y = x23x + 2 tại điểm C(3 ; 2).

Gi¶i :a) Ta cã 2y + 4x = 5

(D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5
nên (D) có dạng : y = 2x + b .

Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được
Vậy đường thẳng (D) có phương
trình là

b) Ta cã x 2y + 1 = 0

(D) vng góc với đường thẳng có
phương trình là x 2y + 1 = 0



Suy ra (D) : y = 2x + b.

Theo cách làm của dạng 2, ta tìm được
b = 1. Vậy đường thẳng (D) có phương
trình là y = 2x + 1.

(Xem tiÕp trang 26)
1

a. 1 a 2.
2     

1 1

y x .

2 2

  

1
y 2x .

4
  
1
b .
4

5
(b )
2

5
y 2x .

2
   

2 ₀

0 0 0

0

0 0

x 1

y x 2x 3

y 0
y 4x 4

      
 _
 _{ }
  
 


A(2 7 ; 1 2 7) ; B(2   7 ; 1 2 7) 

2 3 2

x 4x 2. 0 x 4x 3 0
2

x 2 7
x 2 7

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

giải toán trên máy tính điện tử casio năm 2005

Thể lệ cuộc thi

i tng d thi : Tất cả học sinh bậc
THCS và THPT.

Hình thức dự thi : 12 đề thi sẽ đăng
trên các số tạp chí Tốn Tuổi thơ 2 từ
tháng 1 đến tháng 12 năm 2005. Mỗi đề
thi gồm 6 bài, trong đó có 3 bài trung bình
(ngang với các bài thi học sinh giỏi cấp
tỉnh, thành phố hoặc khu vực) và 3 bài
tương đối khó (mang đậm chất toán hơn).

Thời hạn : 30 ngày kể từ ngày 15
(tháng cụng b thi).

Địa chỉ gửi bài :

Tạp chí Toán Tuổi thơ,
187B, Giảng Võ, Hà Nội.

Bài dự thi hợp lệ : Ngoài phong bì
phải dán phiếu dự thi (cắt từ tạp chí).

Các bài không thuộc phạm vi cuéc
thi kh«ng bá chung trong phong bì
này.

Gii thng

Gii thng cho từng kì : Mỗi kì 10
giải, trị giá mỗi giải 50.000 đồng.

Giải thưởng cho cả năm 2005(trên cơ
sở tổng điểm dự thi của 12 kì trong năm) :

lBa giải Nhất :mỗi giải trị giá 1.000.000 đồng.
lSáu giải Nhì :mỗi giải trị giá 600.000 đồng.
lChín giải Ba :mỗi giải trị giá 300.000 đồng.
lMười hai giải khuyến khích :mỗi giải trị

giá 100.000 đồng.

Các bạn được giải đều được nhận Bằng
chứng nhận của Ban Tổ chức và Huy hiệu
Toán Tuổi thơ.

Ngoài ra, Ban Tổ chức sẽ trao Giải
Đồng đội cho các nhà trường, các Phòng
Giáo dục, Sở Giáo dục và Đào tạo có
nhiều học sinh tham gia cuộc thi.

§Ị thi

Các thầy giáo, các bạn học sinh và các
bạn u Tốn Tuổi thơcó thể gửi đề thi (phải
kèm theo đáp án). Đề được sử dụng sẽ ghi
tên tác giả và hưởng chế độ nhuận bút. Đề
thi nên tập trung vào các vấn đề sau :

lSö dụng thành thạo máy tính điện tử bỏ

túi (MTĐTBT).

lPhát huy vai trò tích cực của MTĐTBT

trong học toán và các môn học khác (bậc
Trung học Cơ sở).

l Sử dụng sáng tạo MTĐTBT (sử dụng

sỏng tạo các phím bấm để giải toán
nhanh, giải nhiều dạng toán mà các nh
thit k khụng lp trỡnh trc).

lVai trò của MTĐTBT trong nâng cao và

tìm hiểu sâu hơn các kiến thức toán học
bậc Trung học Cơ sở.

lMTĐTBT và các bài toán thực tế.

phiặu dỳ thi

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Bài 1.Tính giá trị của biĨu thøc M :

Bµi 2.

2.1.Tìm gần đúng (đến 10 chữ số) tất cả các nghiệm thực của các
phương trình bậc ba :

1) 8x36x 1 = 0 ; 2) x3+ x22x 1 = 0 ;
3)

2.2. Trong các phương trình trên, phương trình nào có
nghiệm hữu tỉ. Chứng minh.

2.3.Tính chính xác nghiệm của các phương trình trên dưới dạng
biểu thức chứa căn.

Bµi 3.

3.1.Dãy số a₁, a₂, ... , a_k, ... được xây dựng như sau : chữ số
a_n+1là tổng các chữ số trong cơ số 10 của a_n. Hãy chọn 5 số
bất kì (có số chữ số lần lượt là 6, 7, 8, 9, 10) và thực hiện quy
trình trên. Điều gì xảy ra ? Hãy chứng minh nhận định ấy.

3.2.Dãy số a₁, a₂, ... , a_k, ... có tính chất : chữ số a_n+1là tổng
bình phương các chữ số trong cơ số 10 của a_n. Hãy chọn 5 số
bất kì (có số chữ số lần lượt là 6, 7, 8, 9, 10) và thực hiện quy
trình trên. Điều gì xảy ra ? Hãy chứng minh nhận định ấy.

Bµi 4.

4.1. Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của
chúng là một số chính phương.

4.2.Có hay khơng n số tự nhiên liên tiếp (2 < n < 11) có tổng
bình phương của chúng là một số chính phương ?

Bài 5.Tìm một số tự nhiên có tính chất : Nếu viết liên tiếp
bình phương và lập phương của nó, sau đó đảo ngược số nhận
được thì ta nhận được số là lũy thừa bậc sáu của số ban đầu.

Bµi 6.Mét hµm f : N N cho mỗi số tự nhiên n một giá trị
f(n) cũng là số tự nhiên, theo công thức f(f(n)) = f(n) + n.

6.1.HÃy tìm hai hàm số như vậy.

6.2.Chứng minh rằng không có các hàm số khác tháa m·n.
3

16x 12x 10 2 5 0. 
3

M (12 6 3) 3 2(1 2 3 4 ) 2 4 2 3 .
14 8 3

       



</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

H×nh 4

H×nh 5

Thêm một ví dụ về

_{S PHT TRIN KT QU}

nguyễn minh hà(ĐHSP Hà Nội)
& Nguyễn Đễ(Hải Phòng)

(Tip theo kỡ trc)

Bài toán 4 : Cho h×nh thang ABCD
(AB // CD), AC cắt BD tại O. Chứng minh r»ng :

S(OAD) + S(OBC) S(OAB) + S(OCD).

Lêi gi¶i : Qua A kẻ đường thẳng song
song với BD, cắt CD tại E (hình 4).

Qua D kẻ đường thẳng song song với
AC, cắt AE tại F.

Dễ thấy S(AFD) = S(AOD) = S(BOC) ;
S(OAB) = S(FDE).

Từ đó, áp dụng kết quả trong BT1 ta có :
S(AOD) + S(BOC) = S(AOD) + S(AFD)
= S(AFDO)

S(FDE) + S(OCD) = S(OAB) + S(OCD).
VËy S(AOD) + S(BOC) S(OAB) + S(OCD).
Đẳng thức xảy ra D là trung ®iĨm cđa
EC  DE = DC AB = DC ABCD là
hình bình hành.

Bi toỏn 5 :Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD.
Các điểm M, N lần lượt chạy trên các cạnh
AB, CD. Điểm P là giao của MC và NB ;
điểm Q là giao của MD và NA. Tìm vị trí của
M, N sao cho S(MPNQ) ln nht.

Lời giải :(hình 5)

Dễ thấy S(MNQ) = S(ADQ) ;
S(MNP) = S(BCP)

 2S(MPNQ) = 2S(MNP) + 2S(MNQ) =
(S(MNP) + S(BCP))+ (S(MNQ) + S(ADQ))
 S(BMNC) + S(AMND) = S(ABCD)
S(MPNQ)  S(ABCD).

VËy S(MPNQ) lớn nhất bằng S(ABCD)
AMND và BMNC là các hình bình hành
AM = DN.

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC. Các
điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh BC,
CA, AB sao cho tø gi¸c DEAF néi tiÕp.

Chøng minh rằng :

Lời giải : Qua D kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt AC tại K (hình 6).

Theo BT1 ta có

Mặt khác tứ giác DEAF nội tiếp và DK // AB

    

FED FAD ADK ; EFD KAD  

S(KDA) 1 . (1)
S(ABC) 4

 

 _ _
2
S(DEF) 1 EF_. _.
S(ABC) 4 AD

1
4
1

4

1
2
1

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

 DEF KDA

Tõ (1) vµ (2) suy ra

Đẳng thức xảy ra đẳng thức xảy ra ở (1)
D là trung điểm của BC.

Bài toán 7 :Cho tam giác ABC và điểm
M nằm trong tam giác. Qua M kẻ các đường
thẳng song song với BC, CA, AB, chúng lần
lượt cắt CA, AB tại B₁, C₂; AB, BC tại C₁,
A₂; BC, CA tại A₁, B₂. Chứng minh rằng :
S(MA₁A₂) + S(MB₁B₂) + S(MC₁C₂)  S(ABC).

Lời giải : Đặt S, S_a, S_b, S_c lần lượt là
diện tích các tam giác ABC, MA₁A₂, MB₁B₂,
MC₁C₂; S’_a, S’_b, S’_clần lượt là diện tích các
hình bình hành AB₂MC₁, BC₂MA₁, CA₂MB₁
(hình 7).

Theo BT1 ta cã :

S_b+ S_cS’_a; S_c+ S_aS’_b; S_a+ S_bS’_c
2(S_a+ S_b+ S_c) S’_a+ S’_b+ S’_c

2(S_a+ S_b+ S_c) S - (S_a+ S_b+ S_c)
S_a+ S_b+ S_c S (đpcm).

Đẳng thøc x¶y ra  M cïng là trung
điểm của B₁C₂; C₁A₂; A₁B₂M là trọng
tâm của tam gi¸c ABC.

Bài tốn 8 :Cho tam giác đều ABC, điểm M
nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MA,

MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác và
diện tích tam giác ú khụng ln hn S(ABC).

Lời giải :Qua M kẻ các đường thẳng song
song với BC, CA, AB. Ta kí hiệu các điểm A₁,
A₂, B₁, B₂, C₁, C₂như trong BT7 (hình 8).

Dễ thấy AB₁MC₁, BC₁MA₁, CA₁MB₁ là
các hình thang cân, vậy :

MA = B₁C₁; MB = C₁A₁; MC = A₁B₁.
Suy ra MA, MB, MC là độ dài ba cạnh
của một tam giác (tam giác A₁B₁C₁).

Ta cã : S(A₁B₁C₁) =

= S(MB₁C₁) + S(MA₁C₁) + S(MA₁B₁)
= S(MAC₁) + S(MBA₁) + S(MCB₁)

= (S(MC₁AB₂) + S(MA₁BC₂) + S(MB₁CA₂))

= (S(ABC) (S(MA₁A₂) + S(MB₁B₂) + S(MC₁C₂)))

 (S(ABC) (S(ABC)) (theo BT7)
= (S(ABC) (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trọng
tâm tam giác ABC.

(Kì sau đăng tiếp)

1

3

1
3
1

2
1
2
1
2

1
3

1
3

1
3

 
2
S(DEF) 1 EF_. _.
S(ABC) 4 AD

2
S(DEF) _{EF (2)}
S(KDA) AD

 _{ } _

 

H×nh 6

H×nh 7

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

(TiÕp theo trang 19)

2) NÕu PA = PC thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Hình 2

Gi s đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD theo thứ tự cắt các tia đối của các tia
PB, PD tại E, F (hình 2). Ta có :

MỈt khác, theo giả thiết :

CEF ADB (1)
Chó ý,

PEF PDB (2)

Tõ (1), (2) dƠ dµng suy ra : PCF PAB
PCF = PAB (v× PC = PA) FB // CA.

Tương tự như vậy : ED // CA.

Tóm lại : BFED là hình thang cân và CA
song song với hai đáy ED, FB. Từ đó, với
chú ý rằng PA = PC, ta có A thuộc đường
trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tứ giác
ABCD nội tiếp.

Lời bình của bạn Linh :Bài toán thật hay !
Xứng đáng là đề thi toán quốc tế (?!)

Ngun Minh Hµ

  

  

PFE PBD (cïng ch¾n ED)
PEF PDB (cïng ch¾n FB)

 _




 
 

CFE DBA
CEF BDA
 _




 
 
CBE DBA
CDF BDA
 _




  
  

CFE CBE (cïng ch¾n cung CE)
CEF CDF (cïng ch¾n cung CF)

 _







(TiÕp theo trang 21)

c) Ta cã : C(3 ; 2) (D) 2 = 3a + b 
b = 2 3a.

Khi đó phương trình của (D) có dạng :
y = ax + 2 3a.

Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được
a = 3 và suy ra b = 7. Vậy đường thẳng
(D) có phương trình là : y = 3x - 7.

Dạng 5 :Xác định parabol.

Ví dụ : Xác định parabol (P) : y = ax2+
bx + c thỏa mãn :

a) (P) tiÕp xóc với đường thẳng (D) :
y = 5x + 15 và đi qua hai điểm (0 ; 1) vµ
(4 ; 5).

b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x 1
tại hai điểm có hồnh độ l 1 v 3.

Giải :a) (P) đi qua hai điểm (0 ; 1) vµ (4 ; 5)


Do đó parabol (P) là đồ thị của hàm số
y = ax2(1 + 4a)x 1.

Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là
nghiệm phương trình :

ax2(1 + 4a)x 1 = 5x + 15
ax24(a 1)x 16 = 0 (5)

Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol
(P)  Phương trình (5) có nghiệm kép

 ’ = 0 4(a 1)216a = 0
(a + 1)2= 0 a = 1.
Do đó : a = 1 ; b = 3 và c = 1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = x2+ 3x 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 2 nên (P) đi qua điểm (0 ; 2).
(P) cắt đường thẳng (D) : y = x  1 tại hai
điểm có hồnh độ là 1 và 3 Giao điểm của
(P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ;
(1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi

Do đó a = 1 ; b = 3 và c = 2.

2 c c 2 c 2

0 a b c a b 2 a 1

2 9a 3b c 3a b 0 b 3

  
  
 _{  } _ _{   } _
  
 _ _ _  _{ }  _{ }
  

1 c c 1

5 16a 4b c b 1 4a

   

 _

_{ } _ _  _{  }

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Nhùng b¡i hŸt hay

Sửa thơ cho đúng động từ

Để sửa lại “cho đúng... động từ” các em
cần hiểu : động từ là những từ chỉ hoạt
động hay trạng thái của sự vật. Sau đó các
em phải xem xét động từ định thay đã chỉ
đúng hoạt động của sự vật chưa. (Ví dụ :
NTQ - Hà Tĩnh sửa vót hành là gọt hành
hoặc NTCV - Hà Tĩnh sửa vóthành thành

đẵnhành là sai). Chỉ có thể thay vótlà bóc,
thái, băm...

Bài thơ có thể sửa lại là :
Ra vườn tỉalá, chặtcành

Vào bếp tháithịt, nhặt(băm) hành, gọt
(cạo) khoai
Tờ giấy to rọclàm đôi

Phát(đẵn) cây, đẵngốc trên đồi làm nương
Giết lợn chọctiết, cạolông

Mổbụng, phathịt, lọcxương, lngbỡ
Sỏch bỏo xộnmộp phng lỡ

Chích(chặt) cành sung, nhựa tức thì chảy ra

Yêu nhau cau sáu bổba

Dúng mớa tc(rúc) v, tinra khúc trịn
Chẻtre, đầu mặt rócln

Chặtkhúc, chẻmỏng, vóttrơn đan sề
Bác thợ cày đẽosay mê

Người khắccon dấu tay nghề phải cao
Dưa chuột xắt(cắt, thái) lát đều nhau
Thầy thuốc thận trọng chíchvào khối u.

Năm bạn được trao giải kì này là : Chế
Thị Thµnh Giang, 9A, THCS TT. Quán
Hành, Nghi Lộc ; Nguyễn Hồng Trung Kiên,
9H, THCS TT. Q Hỵp ; Đậu Thị Hà
Trang, 7A, THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn
Ch©u, NghƯ An ; Ph¹m Thđy Tróc, 6/5
THCS Ngun Khuyến, TP. Đà Nẵng ;
Trần Thu HiỊn, 8C₄, THCS V¹n Sơn, Đồ
Sơn, Hải Phòng.

Phú Bình
Các bạn yêu ca

hát có thể tìm ra
những chỗ chưa ổn
trong bài viết sau :

Tui hc trũ của
chúng mình thật
hạnh phúc ! Nhiều
nhạc sĩ đã viết tặng
chúng mình rất nhiều bài hát hay. Những
bài hát ấy đã nâng bước chúng ta vui đến
trường, động viên chúng ta trong học tập,
rèn luyện. Qua những bài hát đó, chúng ta
thêm tự hào và kính u Bác Hồ, u Đảng,
u đất nước, gia đình...

Mình rất thích ca hát, mình có thể kể cho
các bạn một số ca khúc hay nhé ! Mình

thích nhất là những bài hát Ai u Bác Hồ
Chí Minh hơn chúng em nhi đồng của chú
Mộng Lâncó giai điệu vừa phải, tha thiết ;
Em đi trong tươi xanh của chú Phong Nhã

thật tha thiết hoặc bài Khi tóc thầy bạc trắng
của thầy giáo Vũ Thanhthật đằm thắm, nhẹ
nhàng ; bài Em bay trong đêm pháo hoa
của nhạc sĩ Trịnh Cơng Sơnnghe thật rộn
ràng, bạn nhỉ ? à... cịn bài Em là mầm non
của Đảngcủa chú Hàn Ngọc Bíchcũng rất
rộn ràng, phải không nào ? Càng lên các
lớp trên, mình càng thấy thích các bài
Không dám đâu của chú Nguyễn Văn Tý;
bài hát Màu áo chú bộ đội của chú Hoàng
Vân; rồi bài Em là bông hồng nhỏcủa nhạc
sĩ Lưu Hữu Phước thật vui, tình cảm thật
trong sáng ; mình cịn thích bài Mùa hoa
phượng nở của chú Trần Đứcvà Thiếu nhi
thế giới liên hoan của chú Nguyễn Văn
Hiên, nghe vui, nhịp nhàng làm sao !

Mong các bạn cũng yêu thích ca hát như
mình.

Nguyễn Văn Hiếu
(80, đường Xuân 68, TP. Huế)

Kết quả :

(TTT2 số 21)

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Trần Đăng Khoa :

Cuc thi truyn ngắn về đề tài học sinh sinh viên đã kết thúc tốt đẹp. Cái
thành công lớn nhất trong cuộc thi này, chú nghĩ khơng chỉ ở chỗ chúng ta đã
tìm ra được nhiều truyện ngắn hay, nhiều tác giả mới, mà quan trọng hơn, Nhà
xuất bản Giáo dục đã kéo được đông đảo người viết và cả người đọc, thuộc đủ
mọi tầng lớp, mọi thành phần trong toàn xã hội đến với “cuộc chơi” rất sáng tạo
của mình. Những truyện ngắn qua vịng sơ khảo ngồi việc cơng bố rộng rãi
trên báo chí trong nước, Ban Tổ chức cịn đưa lên mạng, tổ chức tiếp cuộc thi
bình chọn tác phẩm hay trên mạng, thu hút hàng triệu độc giả người Việt ở khắp
mọi nơi trên trái đất và cả những người nước ngoài biết tiếng Việt trong phạm vi
toàn cầu. Và như thế, bạn đọc không chỉ đơn thuần thưởng thức cái hay, cái đẹp
của văn chương mà còn tham gia thẩm định, “đãi cát tìm vàng”. Đó là một Ban
giám khảo ở ngoài Ban Giám khảo, cùng tham gia lựa chọn những tác phẩm
xuất sắc trong số những tác phẩm tham gia dự giải.

Cháu đã theo dõi cuộc bình chọn trên mạng thì thấy đấy. Phải nói nhiều lời
bình khá hay, phát hiện được nhiều vẻ đẹp cịn chìm khuất sau những con chữ
cịn thơ tháp. Khơng ít những kiến giải khá bất ngờ và thú vị, chứng tỏ bạn đọc
rất am tường văn chương và hiểu đời sống rất sâu sắc. Cách bình luận cũng đa
dạng, biến hố. Có bài, tác giả bám sát tác phẩm, tìm cái hay và cả cái dở để
mổ xẻ, đánh giá và định vị. Có bài, người bình chỉ tựa vào tác phẩm để bàn đến
những vấn đề rộng hơn mà tác phẩm khơng đề cập tới. ởđây, tác phẩm đã có
vai trò như một tác nhân, một cái cớ đánh thức cả một vùng ký ức trong tâm hồn
độc giả. Không ít trường hợp, chúng ta nhận thấy người đọc và người viết thực
sự là bạn tâm giao. Họ như hai tấm gương cùng soi vào nhau, điểm tô nhan sắc
cho nhau và cả hai cùng sáng lấp lánh.

Đấy mới đúng là những người tài chiêm ngưỡng những người tài !

Chú Khoa ơi ! Cháu biết chú là một
trong những thành viên trong Ban
Chung khảo cuộc thi truyện ngắn cho
học sinh sinh viên và cả cuộc thi bình
chọn trên mạng. Chú có nhận xét gì khi
đọc những tác phẩm tham gia các cuộc
thi ấy ?

Ngun ThÞ HiĨn

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

l

KÕt quả :

l

Kì này :

Ghộp sao cho ỳng

(TTT2 số 21)

vệ sao ?

Trên 8 quả bóng bay này là 4 câu thành ngữ Tiếng Anh và 4
câu dịch nghĩa những thành ngữ đó sang Tiếng Việt. Bạn hãy
ghép những quả bóng thành từng cặp để mỗi câu thành ngữ đi
cùng với li dch ca mỡnh.

Nhóm Mây Ngọc

(8A, THCS Trần Hưng Đạo, TX. Quảng NgÃi, Quảng NgÃi)

Cỏc v khỏch quý “Vào thăm Vườn
Anh” kì này khơng những giỏi tiếng Anh
mà cịn rất thông minh và giỏi thơ văn
nữa. Hầu hết các bài tham dự đều được
trình bày bằng thơ. Chủ Vườn phải rất khó
khăn mới chọn ra được những bạn xuất
sắc nhất để tặng quà kì này : Nguyễn
Thùy Dung, 8A₁, THCS Lâm Thao, Phú
Thọvới bài thơ :

Ghế tựa là từ CHIAR
Khi chặt đầu cịn HAIR
Tóc trên đầu mình nhé
Đúng khơng chủ vườn E ?
Bạn Phan Nữ My Ly, 8B, THCS Hồn

Lão, Bố Trạch, Quảng Bìnhcó ỏp ỏn :
Xin ỏp rng gh l CHAIR

Chặt đầu còn lại chữ HAIR một mình
May thay cũng thật tài tình

HAIR là tóc, ở đầu mình hiển nhiên.
Ngồi ra các bạn : Nguyễn Quang Tùng,
số 12, ngách 38, ngõ 515 Hoàng Hoa
Thám, Hà Nội ; Dương Thu Thủy, 8A,
THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Lê

Thị Ngoan, 7A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia
Bình, Bắc Ninh cũng xứng đáng nhận
được tặng phẩm của Chủ Vườn.

Chóc mõng các bạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Nhân năm ất Dậu, mừng xuân

vui bạn trẻ vài vần véo von :
Gà gì đẻ trứng ni con ?

Gà gì gáy rộn xóm thơn sớm chiều ?
Gà gì gây gổ đủ điều ?

Gà gì trắng, đẻ nhiều, trứng to ?
Gà gì sống ở đồi gị ?

Gà gì dáng vóc cao to, đuôi xòe ?
Gà gì màu sắc đen sì ?

G gỡ lm m hoa chi trắng ngần ?
Gà gì mới lớn, để tần ?

Gà gì bé nhỏ, thấp chân, lơng vàng ?
Bạn nào nhanh nhẹn, giỏi giang ?
Điền tên đúng cả, bảng vàng lưu danh !

Nguyễn Ngọc Sinh
(46 E Đê La Thành, Hà Nội)

Kết quả :

Kỡ naứy :

VAấN Gè ?

Thaựnh chổ

Văn thư lưu trữ giÊy tê

Văn bằng chứng nhận bạn vừa học xong
Văn minh nếp sống cộng đồng
Văn nghệ ca hát cho lòng rộn vui

Văn tự khơng nói bằng lời
Văn bản cam kết giữa người với ta

Văn hào nức tiếng gần xa
Văn đàn hội hp cỏc nh vn nhõn

Văn thơ ghép lại thành vần
Văn Miếu lịch sử bao lần hội thi

Thần dân thông tỏ cực kì
Trẫm xin có chút lì xì đầu năm !

Ban thưởng : Phạm Đức Cảnh, 8A₁,
THCS Khánh Nhạc, Yên Khánh, Ninh
Bình; Vũ Thị Thu Hương, 6A₃, THCS Nam

Cao, Lý Nhân,Hà Nam ; Bùi Tùng Lâm,
6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ;
Nguyễn Anh Phúc, 6A, THCS Đề Thám,
An Khê, Gia Lai; Cao Việt Đức, 6B, THCS
Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hỏi : Anh ơi ! Sao anh
mất công bằng thế ? Chúng
em ai cũng yêu TTT... vậy
sao có người chỉ nói một câu
thơi mà anh đã cho “hắn” cả
một tập báo ? Chúng em thì
sao ? Tội nghiệp chúng em
lắm ! Anh ơi ! Anh i...

Con của mẹ Lan
(Tổ 14, TT. Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh)

Đáp :

Thật là khó quá em ơi !
Hắn bị mất của... anh thời

mới cho
Chỉ còn một bộ trong kho...
Làm ơn mình hắn, bao trò

ti thõn

Cm thụng cỏc bn xa gần
Một lời “đại xá” cho lần này

th«i...

Hái : Năm ngoái chị em
đeo cái cặp hồng bị học sút
đi. Năm nay em đeo cái cặp
ấy thì liệu có bị học sút đi
như chị không ?

Đặng Mai Ly
(6A, THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội)

Đáp :

Cp hng i ! Hi cp hng
Mt nm gỏnh vác mất cơng
bao ngày ?
Thế mà “vạ gió tai bay”
Người ta học sút... đổ ngay :

cỈp hång !?
Hái r»ng : Ai cã tin kh«ng ?

Hỏi :Em thường bị “ngất
ngây con gà tây” những bài
trong TTT vì rất hay và lí
thú. Vì thế em mang ra lớp
đề nghị các bạn cùng làm...

Nhưng ai ngờ các bạn lớp
em bảo : “Lớp 9 rồi mà cịn
làm Tốn Tuổi thơ, đúng là
con nít !” Vậy ý anh thế nào ?
Vũ Thị Hương Lan
(9A, THCS th trn Bn, Hng Yờn)

Đáp :

Không sợ là con nít
Chỉ sợ đầu... như mít
Làm Toán Tuổi thơ nhiều
Sẽ giỏi thêm không ít !

Hi :Em l a cao nht
lp nên một số bạn gọi em
là “khủng long cổ dài”. Anh
thy th no ?

Khủng long cổ dài
(213 Lê Duẩn, Phú Thuận, Huế)

Đáp :

Nhìn tên em ở cuối bài
Em ghi rất rõ Cổ dài khủng long

Chắc là em cũng vừa lòng
Cảm ơn các bạn là xong thôi mà.

Hỏi : Chúng em là học
sinh lớp chuyên Văn, tuy thÕ

em và các bạn vẫn tham
khảo thêm bài vở của các
bạn chuyên Toán. Nhưng
các bạn ấy cười và bảo :
“Lớp Văn mà địi đi học
Tốn, làm sao các cậu có bài
đăng trên báo Toán ?”
Chúng em quyết tâm giải bài
trên TTT để mang về danh
dự cho lớp Văn. Anh bảo như
vậy có được khơng ?

Nguyễn Bá Thước
(8A, THCS Giấy Phong Chõu,
Phự Ninh, Phỳ Th)

Đáp :

Ai bo hc Vn khụng giỏi Tốn ?
Chê người ? Liệu có... dám thi đua ?
Khơng khéo lớp Tốn bị thua
Đành mua một rổ khế chua về

nghiền...
Mở trang giải tốn thấy liền :
Danh “Nguyễn Bá Thước” hiện trên

b¶ng vµng !

Hỏi :Anh Phó ơi ! Em hỏi
khí khơng phải : Anh đã có
em bé chưa ? Ch Phú cú
xinh khụng ?

Lê Thị Hải Yến
(thôn 3, Xuân Viên,
Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

Đáp :

Em bộ có... “em bé” rồi
Anh đây nay đã lên ngơi “bố chng

Về nhà có cháu gọi ông
Bà nội nhan sắc cũng không nỗi nào

Ngày xưa anh bị nốc-ao
Bây giờ anh vẫn khen vào,

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bài 1(23) :Cho p là số
nguyên tè lín h¬n 3.

Chứng minh rằng phương
trình x2+ y2+ z2= 4p2+ 1 ln
có nghiệm dương (x₀, y₀, z₀).

Trần Anh Đức
(Toán, K26D, ĐHSP Hà Nội 2,

Vĩnh Phóc)

Bài 2(23) :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng :

Trần Xuân Đáng
(Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)

2 2 2

a b c _3.

2
1 b 1 c 1 a 

Bài 3(23) : Giải phương trình :

Đường Thị Liên Phượng
(Giáo viên trường THCS Nam Hà, TX. Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)

2 2 2 2

3x 7x 3  x  2 3x 5x 1  x 3x 4.

Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) và P là điểm nằm
trong tam giác sao cho Gọi H và K lần lượt là chân

các đường vng góc hạ từ P xuống AB và AC ; I là trung điểm
của BC. Chứng minh rằng :

Lê Thị Liễu
(Giáo viên trường THCS Lê Lợi, TP. Quy Nhơn, Bình Định)

 

HIB KIC.

 

PBA PCA.

Bài 5(23) :Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường
tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các
cạnh BC, CA, AB. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng AO,
DE ; N là giao điểm của các đường thẳng BO, EF ; P là giao
điểm của các đường thẳng CO, DF. Chứng minh các tam giác
NAB, MAC, PBC có cùng diện tích.

Bùi Văn Chi
(Giáo viên trường THCS Lương Thế Vinh,

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->