Tuyển tập các bài toán hình học phẳng trong các đề thi ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (527.46 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tuyển tập các bài tốn hình học trong các

đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 1)

Lời nói đầu: Như vậy là cũng đã tới tháng 11 và cũng chẳng lâu nữa lại tới một
kì thi vào lớp 10 chuyên rất khắc nghiệt. Để giúp các bạn lớp 9 chuẩn bị, mình viết
tuyển tập này nhằm giúp các bạn có định hướng tốt hơn khi đối mặt với những bài
tốn tương tự cũng như từ đó giúp các bạn có nguồn tư liệu ơn thi. Mỗi tháng mình
sẽ đăng lời giải cho 5 bài tốn hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời
cũng sẽ đề nghị 5 bài toán cho tháng sau như các bài toán để các bạn luyện tập.
Mong các bạn tiếp tục ủng hộ mình trong những thời gian sắp tới.

Bài tốn 1(Trích đề tuyển sinh vào 10 chuyên THPT TPHCM 2016-2017):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) có AC∩BD =E. Giả sử tia AD cắt
tia BC tại F. Dựng hình bình hành AEBG.

a) Chứng minh rằng: F D.F G=F B.F E.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠GBF =∠F BA−∠GBA =∠ADC−∠BDC =∠ADE.
Lại để ý rằng: F B

GB =
F B

AE. Ta cần chứng minh:
F B
AE =

F D
DE ⇔

F B

F D =

AE. Mà lại
thấy4EAB∼ 4EDC(g.g)và4F AB ∼ 4F CD(g.g)nên hiên nhiên DE

AE =
AB
CD =
F B

F D. Vậy từ đó thu được 4GBF ∼ 4EDF(c.g.c) từ đây dễ thấy đpcm.

b) Tương tự câu a) ta chứng minh được: 4F GA ∼ 4F EC(c.g.c) do đó ∠F GA =
∠F EC = 180◦−∠F EA= 180◦−∠AHF ⇒∠F GA+∠AHF = 180◦do đóA, G, H, F
đồng viên(đpcm).

Nhận xét: Bài toán rất nhẹ nhàng với các biến đổi góc hết sức tinh tế. Có lẽ xu
hướng ra đề thi vào 10 đối với các bài toàn hình học nên là như thế này thì sẽ rất có
lợi cho các kì thi cấp cao hơn như VMO, IMO.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời giải: Hiển nhiên rằng E và F lần lượt thuộc AB và AC. Ta có: AB
AE =

AB
BD =
AC

CF do đóEFkBC (theo định líT hales đảo). Bây giờ ta sẽ chứng minhM P N J là 1

tứ giác nội tiếp. Thật vậy ta có: M J, M N, J N lần lượt là các đường trung bình của
tam giácDEF do đó ta có:∠M J N =∠EDF mà ∠M P A+∠EAP = 180◦ đồng thời:
∠N P A+∠AF N = 180◦ hay là ∠M P N = 360◦ −(∠AED+∠AF D) = ∠DEF +
∠DF E = 180◦−∠EDF(chú ý rằng: EFkBC nên ED, F D lần lượt là phân giác các
góc F EB và EF C) do đó dễ thấy∠M J N +∠M P N = 180◦ hay làM, N, P, J đồng
viên. Vậy ta có: ∠M P J =∠M N J =∠DEF =∠EDB = 180◦−∠AED=∠M P A
hay là A, J, P thẳng hàng(đpcm).

Nhận xét: Cả bài toán là một chuỗi biến đổi góc liên tục từ đầu đến cuối. Điểm khó
là nếu ta khơng tìm ra điểm mấu chốt là ở đoạn chứng minhM P N J nội tiếp thì rất
khó đến với đpcm.

Bài tốn 3(Trích đề thi vào chun Toán ĐHSP TPHCM 2012-2013): Cho
tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc BC ở điểm D. Đường trịn
bàng tiếp góc A tiếp xúcBC ở E.

a) Gọi AE∩DE =F. Chứng minh rằng: F ∈(I).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải: a) Gọi DI∩(I) = D, F0. Ta chứng minh rằng: A, F0, E thẳng hàng. Gọi
X, Y là tiếp điểm của(I)vớiAC, AB, (J) tiếp xúcAC, AB lần lượt tại Z, T. Thế thì
áp dụng định líT hlesthì: IY

J T =
AI
AJ =

IF0

J E do đó thu được: 4AIF

0 ∼ 4AJ E(c.g.c)
do đó A, F0, E thẳng hàng. Do đó F ≡F0 hay là thu được đpcm.

b) Trước tiên ta dễ nhận ra kết quả khá quen thuộc là BD= EC do đó M cũng là
trung điểm của DE. GọiK là trung điểm của đoạnAD. Thế thì dễ dàng nhận thấy
K, I, M là trung điểm củaAD, F D, DE nên chúng cùng nằm trên đường trung bình
tam giác ADE (lưu ý việc chứng minh A, F, E thẳng hàng ở trên)(đpcm).

Bài tốn 4(Tuyển sinh vào chun KHTN, vịng 1 năm 2012-2013): Cho
tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là 1 điểm thuộc cung nhỏ
BC(M 6=B, C,AM không là đường kính của (O)). Giả sử P là 1 điểm thuộc đoạn
AM sao cho (M P) cắt BCd nhỏ tại điểm N 6=M.

1) Gọi D đối xứngM qua O. Chứng minh rằng: N, P, D thẳng hàng.

2)(M P)∩M D=M, Q. Chứng minh rằng: P là tâm nội tiếp tam giác AQN.

Lời giải: Lời giải: 1) Câu này khá là đơn giản. Ta có: ∠M N P =∠M N D = 90◦ do
đóN, P, D thằng hàng(!!!).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

là phân giác góc ∠AN Q. Ta có: ∠AP Q = 90◦ +∠AM D ⇒ ∠AP Q+∠ADQ =
90◦ + ∠AM D +∠ADQ = 180◦ do đó tứ giác ADQP nội tiếp do đó ∠P AQ =
∠M DN = ∠P AQ do đó hiển nhiên AP là phân giác góc N AQ do đó P là tâm nội
tiếp tam giác AN Q(đpcm).

Bài tốn 5(Trích đề thi Vịng 2 chun KHTN năm 2012-2013): Cho tam
giácABC nhọn (AB > AC) nội tiếp (O). Giả sử các điểmM, N lần lượt thuộc cung
nhỏ BC của (O) sao cho M NkBC sao cho tia AN nằm giữa 2 tia AM, AB. Gọi P
là hình chiếu của C lên AN và Q là hình chiếu vng góc củaM lên AB.

a) Chứng minh rằng: CP cắt QM trên (O).

b) GọiN Q∩(O) =R, N. Giả sử AM∩P Q=S. Chứng minh rằng: A, R, Q, S đồng
viên.

Lời giải: a) Ta gọi CP ∩QM = T thế thì: ∠T P A = ∠T QA = 90◦ do đó T QP A
nội tiếp thế nên ∠P T Q = ∠P AB = ∠CAM(chú ý việc M NkBC nên BNd =CMd)
do đó T ACM cũng nội tiếp do đó T ∈(O)(đpcm).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Quay trở lại bài tốn, từ câu a) ta có: ∠P QA=∠CT A=∠ABCdo đóP QkBCkM N
áp dụng bổ đề trên cho 6 điểm là R, A, T, M, N, C thì P, Q, S thẳng hàng do đó
QSkM N. Gọi RQ∩BC =K, thế thì: ∠RQS =∠RKC = RCd+BNd

2 = ∠RBC +
∠CAM = 180◦−∠RAC+∠CAM = 180◦−(∠RAC−∠CAM) = 180◦−∠SAR do
đó∠RQS +∠RAS = 180◦ do đóR, A, Q, S đồng viên(đpcm).

Nhận xét: Bài toán này rất thú vị bởi nếu bạn nào quen sẽ thấy cấu hình này cịn
xuất hiện trong đề thi VMO 2016 ngày 2, các biến đổi góc trong bài toán thực sự
rất tinh tế và tận dụng triệt để giả thiếtM NkBC.

Các bài toán đề nghị tháng sau

Bài toán 6(Trích đề thi vào chuyên ĐHSP năm 2011-2012,ngày 2): Cho tam
giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). BE, CF lần lượt là các đường cao của tam
giác. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau ởS. BC∩OS =M.

1) Chứng minh rằng: AB
AE =

BS
M E.
2) Chứng minh rằng: 4AEM ∼ 4ABS.

3) GọiN là giao điểm củaAM vàEF,P =AS∩BC. Chứng minh rằng: N P ⊥BC.
Bài toán 7(Thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên Bà Rịa Vũng
Tàu,2012-2013): Cho tam giác ABC và điểm O cố định nằm trong tam giác và
không thuộc các cạnh của tam giác. M là 1 điểm di động trên tia OA(M 6= O, A)
sao cho (ABM)∩OB =N, B và (ACM)∩OC =P, C.

1) Chứng minh rằng: ON

OP không đổi.

2) Gọi I, J lần lượt là tâm (ABC),(M N P). Chứng minh rằng: O, I, J thẳng hàng.
Bài toán 8(Đề thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chun Phan Bội
Châu,2012-2013): Cho đường trịn tâmO có đường kính AB. Trên đường trịn lấy
điểm D sao cho: ∠DAB > 60◦. Trên đường kính AB lấy điểm C(C 6= A, B) và kẻ
CH ⊥AD=H. Phân giác trong góc∠DAB cắt (O)tại E và cắtCH tại F. Đường
thẳng DF cắt (O) tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh rằng: N, C, E thằng hàng.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài toán 9(Đề thi vào chuyên Toán THPT chuyên Vĩnh Phúc,2013-2014):
Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ
A, B, C. Gọi P =BC∩EF. Đường thẳng quaDkEF cắt AB, AC, CF lần lượt tại
Q, R, S. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b)D là trung điểm QS.

c)(P QR) chia đơi BC.

Bài tốn 10(Trích đề vòng 2 THPT chuyên KHTN, 2012-2013): Cho tam
giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H. Gọi P là 1 điểm nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC(P 6= H, C, B) và nằm trong tam giác
ABC. Gọi P B∩(O) = M, B. P C ∩(O) =C, N. BM ∩AC =E,CN ∩AB = F.
(AM E)∩(AN F) = A, Q.

1) Chứng minh rằng: M, N, Q thẳng hàng.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tuyển tập các bài tốn hình học trong các

đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 2)

Nguyễn Duy Khương-chuyên Tốn khố 1518-THPT chun Hà Nội Amsterdam

Tóm tắt nội dung: Để giúp các bạn lớp 9 chuẩn bị, mình viết tuyển tập này nhằm
giúp các bạn có định hướng tốt hơn khi đối mặt với những bài toán tương tự cũng
như từ đó giúp các bạn có nguồn tư liệu ôn thi. Mỗi số mình sẽ đăng lời giải cho
5 bài tốn hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời cũng sẽ đề nghị 5
bài toán để các bạn luyện tập. Mong các bạn tiếp tục ủng hộ mình trong những thời
gian sắp tới. Ở số này mình muốn giới thiệu một số bài tốn trong các đề thi thử
vào 10 của các trường chuyên-các bài tốn này rất chất lượng khơng kém gì các bài
thi thật.

Bài tốn 11(Thi thử vịng 1 chun KHTN 2011-2012): Cho tam giác ABC

nội tiếp đường tròn (O). P là 1 điểm nằm trong tam giác ABC sao cho BA cắt

(P AC)tại điểm D6=A thì A nằm giữa B, D. Gọi CD∩(O) = C, E.

1) Chứng minh rằng: DP cắt BE tại điểm F thuộc(P AB).

2) Chứng minh rằng: C, P, E, F đồng viên.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Lời giải: 1) Ta có: ∠AP F = ∠ACE = ∠ABF do đó ABP F nội tiếp hay là

F =P D∩BE ∈(P AB)(đpcm).

2) Từ câu 1) thì hiển nhiên DF.DP =DA.DB=DE.DC(theo hệ thức lượng trong

đường trịn) do đó P F EC nội tiếp(đpcm).

3) Nếu F ∈ AC thế thì áp dụng tính chất của tứ giác toàn phần AF CEDB(chú ý

từ 1) 2) ta đã có: AF P B và P F EC nội tiếp) do đó B, P, E, D đồng viên.

Nhận xét: Bài tốn khơng khó. Các bạn có thể tham khảo các tính chất tứ giác tồn

phần trong bài viết Các chuyên đề hình học dành cho các bạn THCS(Số 2).

Bài toán 12(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 2/2008-2009): Cho tam giác

ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC.

1. Chứng minh rằng: ∠BAH =∠OAC.

2. Đường tròn qua A, C và tiếp xúc BC cắt AO kéo dài tại P. Chứng minh rằng:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Lời giải: 1. Ta thấy rằng: ∠OAC = 180

◦−

∠AOC

2 = 90

◦ −

∠B do đó ∠HAB =

∠OAC(đpcm).

2. Gọi CP ∩AB = T. Ta áp dụng tính chất tiếp tuyến thì: ∠P CB = ∠P AC =

∠OCA. Như vậy từ câu 1) dễ thấy rằng CT ⊥AB(đpcm).

Bài toán 13(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 4/2010): Cho tam giác ABC nội

tiếp đường trịn (O) có H là trực tâm tam giác. Lấy điểm M thuộc BC sao cho

HMkAB. Qua M kẻ đường thẳng vng góc BC cắt AB tại N. Gọi P đối xứng C

qua O.

1) Chứng minh rằng: BP AH là 1 hình bình hành.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Lời giải: 1) Ta cóCP là đường kính của (O) do đó AP ⊥AC hay làAPkBH. Lại

có: BPkAH(cùng vng góc BC) do đóBP AH là 1 hình bình hành.

2) Ta dễ thấy tứ giác AN M H có các cặp cạnh đối song song do đó nó là 1 hình bình

hành. Vậy M Nk=AHk=P B do đó tứ giác P N BM là 1 hình bình hành có 1 góc

vng do đó nó là 1 hình chữ nhật vậy là ∠QP B = 90◦ do đóBQ là đường kính của

(O)(đpcm).

Bài tốn 14(Thi thử mơn Tốn dành cho thí sinh thi vào chun Tốn
ĐHSP 2014-2015): Cho đường trịn (O) có dây cung BC khơng là 1 đường kính.

Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BC. Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau

ở S. Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB, M là trung điểm của CH.

AM ∩(O) =A, N.

a) Gọi SA∩BC =D. Chứng minh rằng: CM DN nội tiếp.

b) Tia SAcắt (O) tại điểm tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng: CEkSA.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Lời giải: a) Ta dễ thấyDlà trung điểm của BC. Do đó ta thấyDM là đường trung

bình của tam giác CHB suy ra: ∠DM N = ∠BAN = ∠DCN do đó DN CM nội

tiếp.

b)c) Ở bài này câu c) có thể dùng để làm câu b). Vậy tơi xin trình bày hai câu gộp

vào nhau cũng không ảnh hưởng nhiều lắm. Gọi CN ∩SD = K. Ta thấy rằng:

∠KCD=∠M AH. Lại gọiK0 là trung điểm SD thế thì do ∠SDC =∠CHA= 90◦

và∠SCD =∠HAC nên theo tính chất đồng dạng trung tuyến thì∠K0CD =∠M AH

do đóK ≡K0. Từ đây để ý rằng: ∠DN C = 90◦ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam

giác vng KDC thì: KN.KC = KD2 = KC2 do đó ∠KSN =∠SCN = ∠CEN

hay là CEkSA(đpcm).

Bài tốn 15(Trích thi tuyển sinh vào 10 THPT TPHCM 2013-2014): Cho

tam giác ABC nhọn(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B, C

cắt nhau ởM. Từ M kẻ đường thẳng song song AB cắt (O)tại D, E(D thuộc cung

nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I. Gọi OI cắt (O) tại P, Q(P thuộc cung nhỏ

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lời giải: Bài toán này khá hay và rất ấn tượng với tôi trong các bài thi vào 10

năm đó. Do ABkDE do đó ∠M IC = ∠BAC = ∠M BC do đó M BIC nội tiếp

suy ra F I.F M = F B.F C = F D.F E. Áp dụng hệ thức M aclaurin đảo(các bạn

có thể xem kĩ trong chuyên đề 3 dành cho THCS mà tơi viết về vấn đề hàng điểm

điều hồ dưới góc nhìn kiến thức THCS) thì I là trung điểm DE. Do đó dĩ nhiên

OI hay P Q chính là đường kính của (O). Lại để ý rằng: F I.F M = F T.F Q do đó

∠QT M =∠QID= 90◦ mà ∠P T Q = 90◦(Cmt) do đó P, T, M thẳng hàng(đpcm).

Một số bài tập đề nghị:

Bài toán 16(Thi thử vào chuyên Toán KHTN 2012): Cho tam giácABC(AB <
AC)nội tiếp đường trịn(O). Phân giác góc∠BAC cắt(O)tạiD, A. LấyEđối xứng

DquaO. GọiF là 1 điểm thuộc cung BDkhông chứa A, C của(O),F E∩BC =G.

LấyH ∈AF :GHkAD. Chứng minh rằng: HGlà phân giác góc ∠BHC.

Bài tốn 17(Thi thử vào chun KHTN 2015): Cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn (O). AD là phân giác BAC với D nằm giữa B, C. AD cắt (O)tại điểm

E 6=A. EF là đường kính của(O). P là 1 điểm nằm giữaA, D. GọiF P∩(O) =Q, F.

Đường thẳng qua P vng góc AD cắt CA, AB tại M, N.

a) Chứng minh rằng: P BQN, P QCM là các tứ giác nội tiếp.

b) Giả sử QN cắt P C trên (O). Chứng minh rằng: QM cũng cắt P B trên (O).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

vuông tạiA với phân giác BE(E ∈CA). Giả sử (BCE)∩AB=F, B.

1) Chứng minh rằng: BC =AB+AF.

2) Gọi K là hình chiếu của Alên BC. Trên đoạnAB lấy điểmL sao choBL=BK.

Chứng minh rằng: AL

AF =
r

BK
BC.

Bài toán 19(Thi tuyển sinh vào 10 chuyên ĐHSP cho mọi thí sinh 2015):

Cho tam giác ABC có các góc nhọn và ∠BAC = 60◦. Các đường phân giác trong

BB1, CC1 cắt nhau tạiI.

1. Chứng minh rằng: AB1IC1 nội tiếp.

2. Gọi K, B =BC∩(BC1I). Chứng minh rằng: CKIB1 nội tiếp.

3. Chứng minh rằng: AK ⊥B1C1.

Bài tốn 20(Trích đề thi thử vào chun Toán KHTN đợt 3-2015): Cho tam

giác ABC nhọn nội tiếp(O). Gọi P là 1 điểm nằm trên phân giác góc ∠BAC. Gọi

đường trịn đường kínhAP cắt (O)tại các điểm A, P. GọiAH là đường cao của tam

giácABC. GọiLlà hình chiếu củaP lên AH. Giả sửGLchia đôi HP. Chứng minh

</div>

Tuyển tập các bài toán hình học phẳng trong các đề thi ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán

Tuyển tập các bài tốn hình học trong các

đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 1)

Các bài toán đề nghị tháng sau

Tuyển tập các bài tốn hình học trong các

đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 2)

Một số bài tập đề nghị:

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về