Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

✶
..

✵✶✸✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍❯➏

❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚Ü❆ ❈❹◆ ❇➀◆●
❚✃◆● ◗❯⑩❚ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙ß ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍❯➏

❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚Ü❆ ❈❹◆ ❇➀◆●

❚✃◆● ◗❯⑩❚ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿
số
ò

ữớ ữợ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
●❙✳❚❙❑❍ ◆●❯❨➍◆ ❳❯❹◆ ❚❻◆

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼Ð ✣❺❯
✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶

▼ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✹
✹

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✸

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ t t ỗ ữỡ ss
r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

▼ët sè ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■
✷✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✶

✷✳✶✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✶✳✷

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳





tỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷✳✸

⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✸ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■■
✸✳✶

✸✳✷

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷
✸✷

✸✳✶✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✸✳✶✳✷

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



tỗ t ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✐✐

✸✳✸

⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➌❚ ▲❯❾◆
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✸✽

✹✾
✺✶






é

ỵ tt tố ữ t út ữủ sỹ q t rt ợ ừ
t ồ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐✳ ▲➼ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ t❤➙♠ ♥❤➟♣ ✈➔♦ r➜t ♥❤✐➲✉
❧➽♥❤ ✈ü❝ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ✈➔ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦➽ t❤✉➟t ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳
❚r♦♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝✉ë❝ sè♥❣ ❛✐ ❝ơ♥❣ ♠✉è♥ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❤➔♥❣ ♥❣➔② ❝õ❛
♠➻♥❤ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♠ët ❝→❝❤ tèt ♥❤➜t✱ ✈➔ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ✤➸
t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥â✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ❝ơ♥❣ ♣❤↔✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛
♠➻♥❤ t❤❡♦ ♠ët ♥❣❤➽❛ ♥➔♦ ✤â✳ ❱➜♥ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ✤➦t r❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♥â✐ r✐➯♥❣✿ ❱ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ❜➔✐
t♦→♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➔ ♥➳✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✤✐➲✉ ❣➻ s➩ ①↔② r❛❄ ▲➼ t❤✉②➳t tè✐ ữ
tỡ ữủ t tứ ỳ ỵ tữ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦✐♥❤ t➳✱ ❧➼ t❤✉②➳t ❣✐→
trà ❝õ❛ ❊❞❣❡✇♦rt❤ tø ♥➠♠ ✶✽✽✶ ✈➔ P❛r❡t♦ tø ♥➠♠ ✶✾✵✻✳ ❈ì sð t♦→♥ ❤å❝
❝õ❛ ❧➼ t❤✉②➳t ♥➔② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â t❤ù tü ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❈❛♥t♦r ♥➠♠
✶✽✾✼✱ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ♥➠♠ ✶✾✵✻✱ ✈➔ ♥❤ú♥❣ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤❛ trà tø
♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② ✈➔♦ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â t❤ù tü ❦❤→❝ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤
❝❤➜t ♥➔♦ ✤â✳ ▲➼ t❤✉②➳t trá ❝❤ì✐ ❝õ❛ ❇♦r❡❧ ♥➠♠ ✶✾✷✶ ✈➔ ❱♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥
♥➠♠ ✶✾✷✻✱ ❧➼ t❤✉②➳t ✈➲ ❧÷✉ t❤ỉ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ ❝õ❛ ❑♦♦♣♠❛♥s ♥➠♠ ✶✾✹✼ ❧➔
♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥➔②✳ ◆❤÷♥❣ ♣❤↔✐ ♥â✐ r➡♥❣ ❝❤♦
tỵ✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✺✵ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ s❛✉ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥
✈➔ ✤õ ❝❤♦ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❑✉❤♥✲ ❏✉❝❦❡r ♥➠♠ ✶✾✺✶✱ ✈➲ ❣✐→ trà ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔
tè✐ ÷✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ❉❡✉❜r❡✉ ♥➠♠ ✶✾✺✹✱ ❧➼ t❤✉②➳t tố ữ tỡ ợ tỹ
sỹ ữủ ổ ♠ët ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣
❞ö♥❣ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✳ ❈❤♦ tỵ✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❝✉è✐ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ ✷✵✱ ❤➔♥❣ tr➠♠
❝✉è♥ s→❝❤ ✈➔ ❤➔♥❣ ♥❣❤➻♥ ❜➔✐ ❜→♦ ✈✐➳t ✈➲ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥➔② ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❝❤♦ t❛
♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✷

♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t ❝ô♥❣ ♥❤÷ t❤ü❝ t➳✳
✣➛✉ t✐➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ →♥❤ ①↕ ✤ì♥
trà tø ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➔② s❛♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â
sè ❝❤✐➲✉ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤→❝ ♠➔ t❤ù tü tr♦♥❣ ♥â ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ♥â♥ ♦rt❤❛♥
❞÷ì♥❣✳ ❚rå♥❣ t➙♠ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥✿
❚➻♠ x
¯ ∈ D ✤➸ f (¯
x) = min f (x)
x∈D

tr♦♥❣ ✤â f : D → R ❧➔ ❤➔♠ sè✱ D ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ X ✳ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✈ỵ✐ ❝➜✉ tró❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ t➟♣ D ✈➔
t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ t❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥❤÷✿ q✉✐ ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ q✉✐ ❤♦↕❝❤ ♣❤➙♥ t✉②➳♥✱ q✉✐ ❤♦↕❝❤
t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✱✳✳✳❱➔ s❛✉ ✤â ♣❤→t tr✐➸♥ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤÷✿
✲ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❙t❛♠♣❛❝❤✐❛✿
❚➻♠ x
¯ ∈ D s❛♦ ❝❤♦ T (¯
x), x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ D
tr♦♥❣ ✤â D ⊂ Rn ✱ T : D → Rn ✳
✲ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❇❧✉♠✲ ❖❡tt❧✐✿
❚➻♠ x
¯ ∈ D s❛♦ ❝❤♦ f (x, x¯) ≥ 0, ∀x ∈ D
tr♦♥❣ ✤â D ❧➔ t➟♣ ỗ õ tr ổ tỡ tổ ổ X ✱ ✈➔ f :

D × D → R ❧➔ ❤➔♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✳ ❇➔✐ t♦→♥ ỗ
ữ ỳ trữớ ủ t t♦→♥✿ tè✐ ÷✉✱ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤✱ ❜➔✐
t♦→♥ ❜ị✱ ❜➔✐ t♦→♥ t tự ỗ t tử rở

❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ✈æ ❤↕♥ ợ õ t
ữ r ự ữủ sỹ tỗ t ừ ỳ
❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â t❤ù tü s✐♥❤ ❜ð✐ ♥â♥ ✤➣ ❞➝♥
tỵ✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳
❙❛✉ ✤â ❧➼ t❤✉②➳t ♥➔② ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ◆❤ú♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤
❝❤➜t✱ sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣✱✳✳✳ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà ❞➛♥ ❞➛♥ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ →♥❤
①↕ ✤❛ trà✳ ❇❡r❣❡ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✸

✣â ❧➔ t➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ữợ ừ r ữỡ
tỹ ỗ tr ỗ ữợ st tr st ữợ t
ữợ ụ ữủ ữ r ứ ỳ ♥✐➺♠ ♥➔② ♥❣÷í✐
t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐
÷✉✱ ✈➔ ❝ơ♥❣ ỹ ữủ tt tố ữ ợ t ữ
ỗ stỗ rở t q ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ♥❤÷✿ ❜➔✐ t♦→♥
tü❛ tè✐ ÷✉✱ ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱✳✳✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ừ sỹ tỗ t
ừ t tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tỹ tờ
qt ỗ tớ ự ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②
✈ỵ✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐
t♦→♥ q✉❛♥ ❤➺ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱✳✳✳❚ø ✤â ❝❤♦ t❛ ❝→❝❤ ♥❤➻♥ ❜❛♦ q✉→t ✈➲ ♠è✐
q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tỡ
ỗ ữỡ t ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈ư
t❤➸ ❧➔

❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■
❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■■
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s s tợ t
ữớ t t ữợ t ồ ú
ù tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ
♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚r÷í♥❣ ✣❍ ❙÷
♣❤↕♠ ✕ ✣❍ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ị♥❣ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣
❞↕② ❦❤♦→ ❤å❝✱ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ỗ
ũ ợ ồ ❚♦→♥ ❑✶✼ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❣✐ó♣
✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✹

❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t❤÷í♥❣
❞ị♥❣✱ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥â ❞ü❛ tr➯♥ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✻❪✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝ì ❜↔♥
❚r♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ❤❛② ❜➜t ❦➻ ♠ët ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔♦ ❦❤→❝✱ ♠ët ❜➔✐
t♦→♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ ❜❛♦ ❣✐í ❝ơ♥❣ ❣➢♥ ✈ỵ✐ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔♦ ✤â✳ ❱➻ ✈➟②
✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥ ❤å❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣✱ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ử t tr t
ồ õ r trữợ t t q✉❛♥ t➙♠ tỵ✐ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥✳ ▼é✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤↔✐ ❣➢♥ ✈ỵ✐ ♠ët ❤❛② ♥❤✐➲✉ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤➜t ✤à♥❤✳

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝ì ❜↔♥ ♠➔ tr♦♥❣ ❝→❝
❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤÷í♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥✳

✶✳✶✳✶ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

❛✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ ♣❤➛♥ tû x, y ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ X ✤➲✉ ❝â ①→❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ ♠ët q✉✐
t➢❝ ♥➔♦ ✤â✱ ♠ët sè t❤ü❝ ρ(x, y),✱ ❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ x ✈➔ y❀
❜✮ ◗✉✐ t➢❝ ♥â✐ tr➯♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿
✭✐✮ ρ(x, y) > 0, ♥➳✉ x = y❀ ρ(x, y) = 0, ♥➳✉ x = y❀
✭✐✐✮ ρ(x, y) = ρ(y, x)✱ ∀x, y❀
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✺

✭✐✐✐✮ ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)✱ ∀x, y, z.
❍➔♠ sè ρ(x, y) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❡tr✐❝ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ X ✱ ✈➔ (X, ρ) ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳

✶✳✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❝➦♣ (X,

. )✱

tr♦♥❣ ✤â X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝á♥ . ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ X → R t❤ä❛
♠➣♥
✭✐✮ ∀x ∈ X ✱ x ≥ 0 ✈➔ x = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀

✭✐✐✮ ∀x, y ∈ X ✱ x + y ≤ x + y ❀
✭✐✐✐✮ ∀x ∈ X ✱ ∀λ ∈ K ✱ λx = λ x ✳

✶✳✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t tr trữớ K

{R, C}

số

., . : X ì X K

ữủ ồ t ổ ữợ tr

=
X


y, x = x, y , ∀x, y ∈ X ✳ ✭ ❦➼ ❤✐➺✉ x, y ❝❤➾ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ sè
♣❤ù❝ y, x ✮❀
✭✐✐✮ x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y ∈ X;
✭✐✐✐✮ λx, z = λ x, z , ∀λ ∈ K;
✭✐✈✮ x, x ≥ 0; x, x = 0 ⇔ x = 0.
ổ X ữủ tr t ổ ữợ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥
❍✐❧❜❡rt✳
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲
❙❝❤✇❛r③ s❛✉

| x, y |2 ≤ x, x . y, y , ∀x, y ∈ X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✻

❚❤➟t ✈➟②✱ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t y = 0, λ ∈ K t❛ ❝â x + λy, x + λy ≥ 0✳
❈❤♦ ♥➯♥

¯ x, y + λ2 y, y ≥ 0.
x, x + λ y, x + λ
✣➦t λ = −

x,y
y,y

✱ ❦❤✐ ✤â

x, x −

| x, y |2
≥ 0.
y, y

❚ø ✤â t❛ s✉② r❛ x, x . y, y ≥| x, y |2 . ❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ t❛ ❝â x =

x, x ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X. ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤

❝❤✉➞♥✳ ❉♦ ✤â✱ tr➯♥ ✤â ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ✈➔ t➼♥❤ ✤➛② ✤õ✳ ❱➟②
t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✤➛② ✤õ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt

✶✳✶✳✹ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ t✉②➳♥ t ỗ ữỡ ssr
t ủ X ✱ ❣å✐ τ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ X ✳ ❑❤✐ ✤â

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ♥➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥
✭✐✮ ∅ ∈ τ ✱ X ∈ τ ❀
✭✐✐✮ ❱ỵ✐ {Ut}t∈T ⊂ τ t❤➻ t∈T
∪ Ut ∈ τ ❀
✭✐✐✐✮ ❱ỵ✐ ∀U1, U2 ∈ τ t❤➻ U1 ∩ U2 ∈ τ ✳
X

▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tỹ ự õ t ỗ tớ ữủ tr
ởt ❝➜✉ tró❝ tỉ ♣ỉ ✈➔ ♠ët ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ✭♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû ✈➔
♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû✮✳ ❑❤✐ ➜② t❛ ❝â ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ứ
t t ứ tổ ổ ú ỵ trú õ õ q
ợ ữ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥↔② s✐♥❤ r❛ ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠ỵ✐✳ ❚❛
❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ♠ët tỉ ♣ỉ τ ♣❤ị ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X ✱ ♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ X ❧✐➯♥ tư❝ tr♦♥❣ tỉ
♣ỉ τ ✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉✿
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✼

✭✐✮ x + y ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➳♥ x, y❀ ♥â✐ rã ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠å✐
V ừ x + y tỗ t ❧➙♥ ❝➟♥ Ux ❝õ❛ x ✈➔ ❧➙♥ ❝➟♥ Uy ❝õ❛ y
s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ x ∈ Ux, y ∈ Uy t❤➻ x + y + ∈ V ✳
✭✐✐✮ αx ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➳♥ α, x❀ ♥â✐ rã ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥
V ❝õ❛ αx ✤➲✉ ❝â ♠ët sè > 0 ✈➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉
|α − α| < , x ∈ U t❤➻ α x ∈ V.
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ X tr➯♥ õ õ ởt tổ ổ tữỡ t ợ
trú sè ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ ♣ỉ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ t✉②➳♥ t➼♥❤ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ổ
ỗ ữỡ ồ tỷ ừ X ❝â ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ t❤➔♥❤ ❧➟♣ tø ❝→❝
t➟♣ ỗ tữỡ ữỡ tỷ 0 X õ ỡ s t tứ
t ỗ
✶✳✽✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ ♣ỉ (X, τ ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍❛✉ss✲
❞♦r❢❢ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ x, y ∈ X, x = y ớ ụ tỗ t ❝➟♥ Ux ❝õ❛ x
✈➔ Uy ❝õ❛ y t❤ä❛ ♠➣♥ Ux ∩ Uy = ∅✳

✶✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥
P❤➛♥ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr t tử t
ỗ t❤❡♦ ♥â♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ❱➔ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤❡♦ ❞ã✐ ❝→❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ð ❝❤÷ì♥❣ ✷ ✈➔ ❝❤÷ì♥❣ ✸ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ →♥❤ ①↕ ❑❑▼✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ữợ ú t ổ sỷ X, Y, Z, W
ổ tổ ổ t t ỗ ♣❤÷ì♥❣✱ ❍❛✉ss❞♦r❢❢✳ D ⊂ X ✱

K ⊂ Z ✱ E ⊂ W ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ C õ tr Y
rữợ t t õ ✈➲ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥❤÷ s❛✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❑➼ ❤✐➺✉ 2Y ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ Y ✳

⑩♥❤ ①↕ F : X → 2Y ♠➔ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ X ❝❤♦ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ Y
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✽

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❈❤♦ F : D → 2Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳

❧➔ C − ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✭❤♦➦❝ C tử ữợ t x0 D ✈ỵ✐
❜➜t ❦➻ ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ 0 tr♦♥❣ Y ✤➲✉ tỗ t U ừ x0 tr X
s
ãF

F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C
(❤♦➦❝ F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C)

✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ U ∩ domf ✳
• F ❧➔ C − ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x0 ∈ D ♥➳✉ F ✈ø❛ ❧➔ C − ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ✈ø❛
❧➔ C − ❧✐➯♥ tử ữợ t x0
ã F C tử tr C tử ữợ C tö❝ tr➯♥
D ♥➳✉ ♥â ❧➔ C − ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ C tử ữợ C tử t↕✐
∀x ∈ D✳
• F ❧➔ C − ❧ã♠ tr➯♥ ✭❤♦➦❝ C ó ữợ

F (x) + (1 )F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C
(❤♦➦❝ F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C)

✈ỵ✐ ∀x, y ∈ domF ✈➔ α ∈ [0, 1]✳
• F ❧➔ C − tü❛ ỗ tr tr D ợ t x1 , x2 ∈ D✱ t ∈ [0, 1] t❛
❝â
F (x1 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C
(❤♦➦❝ F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C.

õ

ãF

C tỹ ỗ ữợ tr D ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ x1, x2 ∈ D✱ t ∈ [0, 1] t❛
F (tx1 + (1 − t)x2 )F (x1 ) ⊆ F (x1 ) − C
(❤♦➦❝ F (tx1 + (1 − t)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳ ❈❤♦ F : K × D × D → 2Y ✱ Q : D × D → 2K ❧➔ ❝→❝

→♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ❈❤♦ C : K × D → 2Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥â♥✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






ữủ ồ (Q, C) tỹ ỗ tr t ữớ ố ợ tự
ợ t t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ {x1, x2, ..., xn} ⊆ D✱ x ∈ co{x1, x2, ..., xn}✱

❝â j ∈ {1, 2, ..., n} s❛♦ ❝❤♦
•F

F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj ).

✤÷đ❝ ồ (Q, C) tỹ ỗ ữợ t ữớ ❝❤➨♦ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜✐➳♥ t❤ù
❜❛ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ {x1, x2, ..., xn} ⊆ D✱ x ∈ co{x1, x2, ..., xn}✱
❝â j ∈ {1, 2, ..., n} s❛♦ ❝❤♦
•F

F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj ).

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà F
✈ỵ✐
❜➜t ❦➻ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥
n

: D → 2X
{t1 , t2 , ..., tn } ⊂ D✱ ❞➝♥

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❑❑▼ ♥➳✉
✤➳♥ co{t1, t2, ..., tn} ⊆

∪ F (tj ).

j=1

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳ ❈❤♦ F

: K × D × D → 2X ✱ Q : D × D → 2K ❧➔

❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ Q − KKM ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥
{t1 , t2 , ..., tn } ⊂ D ✈➔ x ∈ co{t1 , t2 , ..., tn }✱ ❝â tj ∈ {t1 , t2 , ..., tn } s❛♦ ❝❤♦
0 ∈ F (y, x, tj )✱ ∀y ∈ Q(x, tj )✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳ ❈❤♦ F : K × D × E → 2X ✱ Q : D × E → 2K ❧➔ ❝→❝

→♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ Q − KKM tê♥❣ q✉→t ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ❤ú✉
❤↕♥ {t1, t2, ..., tn} ⊂ E ❝â ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ {x1, x2, ..., xn} ⊂ D ✤➸ ✈ỵ✐ ❜➜t
❦➻ x ∈ co{xi , xi , ..., xi }✱ ❝â ti ∈ {ti , ti , ..., ti } s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ F (y, x, tj )✱
∀y ∈ Q(x, ti )✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✺✳ ❈❤♦ R ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣ỉ✐ tr➯♥ K × D✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ♥â✐
r➡♥❣ R ❧➔ ✤â♥❣ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❞➣② s✉② rë♥❣ (yα, xα) → (y, x) ✈➔ R(yα, xα)
①↔② r❛ ✈ỵ✐ ♠å✐ α t❤➻ R(y, x) ①↔② r❛✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✻✳ ❈❤♦ R ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ tr➯♥ K × D × D✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ♥â✐
r➡♥❣ R ❧➔ Q − KKM ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ {t1, t2, ..., tn} ⊂ D ✈➔
x ∈ co{t1 , t2 , ..., tn } ❝â tj ∈ {t1 , t2 , ..., tn } s❛♦ ❝❤♦ R(y, x, tj ) ①↔② r❛✱ ✈ỵ✐
♠å✐ y ∈ Q(x, tj )✳
1

2

k

j

1

2

n

j

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✵

✶✳✸ ▼ët sè ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝ì ❜↔♥
P❤➛♥ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝ì ❜↔♥ ❧➔
✤à♥❤ ❧➼ P❛r❦ ✈➔ ✤à♥❤ ❧➼ rr

ỵ Pr X ổ tổ ổ t t ỗ

ữỡ

t ỗ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔
F : D → 2D ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ❝♦♠ ♣➢❝ ❛❝②❝❧✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❚❤➻
∃¯
x ∈ D s❛♦ ❝❤♦ x F (
x)
ỵ rr D t rộ ỗ
ừ X F : D → 2D ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà tọ
ữợ
x D x F (x) F (x) ỗ
y D✱ F −1(y) ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ ❉✳
❚❤➻ ∃¯x ∈ D s❛♦ ❝❤♦ F (¯x) = ∅✳
D

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✷
❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t
❧♦↕✐ ■
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t
tỗ t ừ õ ỗ t❤í✐ →♣ ❞ư♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤➸
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ ❤➺ tü❛ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ■✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ■✱✈✳✈✳✳✳ ❞ü❛ tr➯♥
t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✼❪

✷✳✶ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✷✳✶✳✶ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥
❈❤♦ X, Y, Z ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ D ⊆ X ✱ K ⊆ Z ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝
ré♥❣✳ ●✐↔ sû

S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D × D → 2Y
❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯
x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯

x, y¯);
3/ 0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✷

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ q✉→t ❧♦↕✐ ■✱ ❦➼ ❤✐➺✉ (GQEP )I ✳
❚r♦♥❣ ✤â ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà S, T ❧➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈➔ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà
t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❤♦➦❝ ❜ð✐ ❝→❝ ❜❛♦
❤➔♠ t❤ù❝ ✈➔ sü t÷ì♥❣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳

✷✳✶✳✷ t q
ữợ t ♠➔ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ (GQEP )I ❜➡♥❣
❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ F t❤➼❝❤ ❤ñ♣✳

✶✮ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ tè✐ ÷✉ ❧♦↕✐ ■

❈❤♦ D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✷✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû G : K × D × D → R ❧➔

❤➔♠ sè✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯
x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯

x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ G(¯
y , x¯, x¯) = min G(¯
y , x¯, z),
z∈S(¯
x,¯
y)

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ tè✐ ÷✉ ❧♦↕✐ ■ ✤➣ ✤÷đ❝ ❆✳ ●✉❡rr❛❣❣✐♦ ✈➔ ◆✳ ❳✳
❚➜♥ ①➨t tr♦♥❣ ❬✶❪✳
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ (GQEP )I ❧➔ t÷ì♥❣ ữỡ ợ t tr t
→♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X
♥❤÷ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ≥ G(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;
F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❚❤➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯),
s➩ trð t❤➔♥❤

G(¯
y , x¯, x¯) = min G(¯
y , x¯, z).

z∈S(¯
x,¯
y)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






t tỹ ổ ữợ

D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✶✮✳ ●✐↔ sû g : K ì D ì D R

số ợ g(y, x, x) = 0✱ ∀x ∈ D, y ∈ K ✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯
x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ g(¯
y , x¯, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯
x, y).
ữủ ồ t tỹ ổ ữợ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ❙t❛♠♣❛❝❤✐❛ ✈➔ ▼✐♥t② ✤➣ ✤÷đ❝ ❆✳ ●✉❡rr❛❣❣✐♦ ✈➔ ◆✳ ❳✳
❚➜♥ ①➨t tr♦♥❣ ❬✶❪✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2X , F : K ì D ì D ì D 2X
ữ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ D | g(y, x, z) ≥ g(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;
F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❚❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ (GQEP )I s➩ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ✈➻ ❦❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z), z S(
x, y),
tữỡ ữỡ ợ

g(
y , x¯, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯
x, y¯).

✸✮ ❇➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ ❤➺ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥

❈❤♦ D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✶✮✳ ●✐↔ sû R(y, x, t, z) ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛

y ∈ K; x, t, z ∈ D✳ R ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ t❤÷í♥❣ ❝❤♦ ❜ð✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✱ ❤♦➦❝ ❜ð✐ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝✱ sü t÷ì♥❣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕
✤❛ trà✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✶✹

❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯
x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ R(¯
y , x¯, x¯, z) ①↔② r❛, ∀z ∈ S(¯
x, y¯)
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ ❤➺ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ■ ✈➔ ✤÷đ❝ ✣✳ ❚✳ ▲ư❝ ①➨t
tr♦♥❣ ❬✺❪✳
❇➔✐ t♦→♥ tữỡ ữỡ ợ t (GQEP )I ♥➳✉ t❛ ①→❝ ✤à♥❤
❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X
♥❤÷ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) ①↔② r❛}, (y, x, z) ∈ K × D × D;
F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❚❤➻ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

R(¯
y , x¯, x¯, z) ①↔② r❛ , ∀z ∈ S(¯
x, y¯),
✈➔

0 ∈ F (¯

y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯)
❧➔ tữỡ ữỡ ợ

t tự tỹ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➼ t÷ð♥❣ tr➯♥ ❧♦↕✐ ■

❈❤♦ D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✶✮✳ ●✐↔ sû H, G ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

tr➯♥ K × D × D ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ Y ✳ ❈❤♦ C : K × D → 2Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛
trà ✈ỵ✐ ❣✐→ tr õ ỗ õ rộ
t t (
x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ H(¯
y , x¯, z) ⊂ G(¯
y , x¯, x¯) + C(¯
y , x¯), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✺

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➼ t÷ð♥❣ tr➯♥ ❧♦↕✐ ■✱ ✤➣
✤÷đ❝ ❈✳ ❏✳ ▲✐♥ ✈➔ ◆✳ ❳✳ ❚➜♥ ①➨t tr♦♥❣ ❬✷❪✳
❘ã r➔♥❣ (GQEP )I s➩ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ♥➳✉ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝
→♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X
♥❤÷ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;
F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❚❤➻ ❦❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

H(¯
y , x¯, z) ⊂ G(¯
y , x¯, x¯) + C(¯
y , x¯), ∀z ∈ S(¯
x, y¯),
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).

✺✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➼ t÷ð♥❣ tr➯♥

❈❤♦ D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✶✮✳ ●✐↔ sû G : K × D × D → 2Y ❧➔

→♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ C : K × D → 2Y ợ
tr õ ỗ rộ s❛♦ ❝❤♦ G(y, x, x) ⊆ C(y, x)✱ ∀(y, x, x) ∈ K×D×D✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯

x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ G(¯
y , x¯, z) ⊂ C(¯
y , x¯), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➼ t÷ð♥❣ tr➯♥ ❧♦↕✐ ■ ✤➣
✤÷đ❝ ❈✳ ❏✳ ▲✐♥ ✈➔ ◆✳ ❳✳ ❚➜♥ ①➨t tr♦♥❣ ❬✷❪✳
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ (GQEP )I s➩ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ♥➳✉ t❛ ①→❝ ✤à♥❤
❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✻

♥❤÷ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;
F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❱➻ ❦❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

G(¯
y , x¯, z) ⊂ C(¯
y , x¯), ∀z ∈ S(¯
x, y),
tữỡ ữỡ ợ

0 F (
y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).

✻✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝tì tê♥❣ q✉→t

❈❤♦ D, K, S, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✶✮✳ ●✐↔ sû C : K × D × D × D → 2Y

✈➔ G : K × D × D × D → 2X ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ (¯
x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦

1/ x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
2/ y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
3/ αi (G(¯
y , x¯, x¯, z), C(¯
y , x¯, x¯, z)), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).
❚r♦♥❣ ✤â

α1 = {(M, N ) ∈ 2Y × 2Y | M

N };

α2 = {(M, N ) ∈ 2Y × 2Y | M ⊆ N };
α3 = {(M, N ) ∈ 2Y × 2Y | M ∩ N = ∅};
α4 = {(M, N ) ∈ 2Y × 2Y | M ∩ N = ∅}.
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì tê♥❣ q✉→t✱ ✤➣
✤÷đ❝ P✳ ❍✳ ❙❛❝❤ ✈➔ ▲✳ ❆✳ ❚✉➜♥ ①➨t tr♦♥❣ ❬✸❪✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

M : K × D × D → 2D , F : K × D × D × D → 2Y
♥❤÷ s❛✉

M (y, x, z) = {t ∈ S(x, y) | αi (G(y, x, t, z), C(y, x, t, z))};
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✼

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❚❤➻ t❛ t❤➜② (GQEP )I trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ✈➻ ❦❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

αi (G(¯
y , x¯, x¯, z), C(¯
y , x¯, x¯, z)), ∀z ∈ S(
x, y),
tữỡ ữỡ ợ

0 F (

y , x¯, x¯, z), ∀z ∈ S(¯
x, y¯).

✷✳✷ ✣à♥❤ ❧➼ tỗ t
ỵ X, Y, Z ổ tổổ t t ỗ
ữỡ D X, K ⊆ Z ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ●✐↔ sû
S : D × K → 2D ;
T : D × K → 2K ;
F : K × D × D × D → 2Y

❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉
✭✐✮ S ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ❧✐➯♥ tư❝ ❝♦♠♣➢❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ✤â♥❣❀
✭✐✐✮ T ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tử tr ợ tr ỗ õ
ợ (x, y) ∈ D × K ❝è ✤à♥❤✱ ∃t ∈ S(x, y) s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ F (y, x, t, z)✱
∀z ∈ S(x, y)
ợ t (y, x) K ì D✱ t➟♣
A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), z S(x, y)}

ỗ
F tr õ
t tỗ t (x, y¯) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦
✶✴ x¯ ∈ S(¯x, y¯)❀
✷✴ y¯ ∈ T (¯x, y¯)❀
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✽

✸✴ 0 ∈ F (¯y, x¯, x¯, z)✱ ∀z ∈ S(¯x, y¯)✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà M : D ì K 2D ữ s
M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)}, (x, y) ∈ D × K.
❚ø (i) ✈➔ (iv) s✉② r❛ M (y, x) t ỗ rộ ớ ú t❛
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû xβ → x✱ yβ → y ✱ tβ ∈ M (xβ , yβ )✱ tβ → t✱ t❛ ❝â

t ∈ M (y, x)✳ ❚ø tβ ∈ S(xβ , yβ )✱ ✈➔ ❞♦ ❙ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥
✈ỵ✐ ❣✐→ trà ✤â♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ t ∈ S(x, y)✳
❱➻ tβ ∈ M (xβ , yβ ) ♥➯♥ 0 ∈ F (yβ , xβ , tβ , z)✱ ∀z ∈ S(xβ , yβ )✳
❚➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ữợ ừ x x t ợ t z S(x, y)
tỗ t z S(x , yβ ) s❛♦ ❝❤♦ zβ → z ✳ ❉♦ ✤â 0 ∈ F (yβ , xβ , tβ , zβ )✱
∀zβ ∈ S(xβ , yβ )✳
❚ø (yβ , xβ , tβ , zβ ) → (y, x, t, z) ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F ❧➔ ✤â♥❣✱ s✉② r❛
0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä t ∈ M (y, x)✱ ✈➻ ✈➟② M
❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà P : D × K 2DìK ữ
s
P (x, y) = M (y, x) × T (x, y), (x, y) ∈ D × K.
❘ã r➔♥❣ M ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣ ✈ỵ✐ ❣✐→ tr ỗ õ rộ
M tr ỷ tử tr ợ tr ỗ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â →♥❤
①↕ P ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ →♥❤ ỷ tử tr ợ tr ỗ õ M ✈➔

T ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈ỵ✐ ❣✐→ tr ỗ õ tr
ử s r tỗ t (
x, y) D ì K ợ (¯
x, y¯) ∈
P (¯
x, y¯) = M (¯
x, y¯) × T (¯

x, y¯) s❛♦ ❝❤♦
✶✴ x
¯ ∈ S(¯
x, y¯)❀
✷✴ y¯ ∈ T (¯
x, y¯)❀
✸✴ 0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z)✱ ∀z ∈ S(¯
x, y¯)✳
✣à♥❤ ❧➼ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✾

✷✳✸ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
❍➺ q✉↔ D t ỗ rộ ừ ổ

tổổ t t ỗ ữỡ X K t ỗ ữủ
ừ ổ tỡ tổổ t t ỗ ữỡ Z ❈❤♦
T : D × K → 2K ;
G : K × D × D → 2X

❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ◆➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ①↔② r❛✿
✭✐✮ T ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈ỵ✐ ❣✐→ tr ỗ õ
ợ (x, y) D ì K ❝è ✤à♥❤✱ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà G(y, x, .) : D → 2D ❧➔
❑❑▼❀

✭✐✐✮ G ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❱ỵ✐ (x, y) ∈ D × K ❝è
✤à♥❤✱ t➟♣ A = {t ∈ D | t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D} ❧➔ ỗ
tỗ t (x, y) D ì K s❛♦ ❝❤♦
✶✴ y¯ ∈ T (¯x, y¯)❀
✷✴ x¯ ∈ G(¯y, x¯, z)✱ ∀z ∈ D✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà
F : K ì D ì D ì D 2X
ữủ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

F (y, x, t, z) = t − G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❉♦ G(y, x, .) ❧➔ ❑❑▼ ♥➯♥ tø ✤à♥❤ ❧➼ ❋❛♥✲ ❑❑▼ ❬✺❪ t❛ s✉② r

G(y, x, z) =

zD

õ tỗ t t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ 0 ∈ F (y, x, t, z)✱

∀z ∈ D✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✷✵

❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ {t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈

G(y, x, z), ∀z ∈ D} = A ỗ

tr õ ♥➯♥ ❋ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ s r tỗ t (
x, y) D × K s❛♦ ❝❤♦
✶✴ y¯ ∈ T (¯
x, y¯)❀
✷✴ 0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, z)✱ ∀z ∈ D✱
tù❝ ❧➔ x
¯ ∈ G(¯
y , x¯, z)✱ ∀z ∈ D✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳ ❈❤♦ D, K, T ♥❤÷ tr♦♥❣ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳ G : K × D × D → 2X

❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ◆➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥✿
✭✐✮ T ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr
ợ (y, x) K ì D ố →♥❤ ①↕ ✤❛ trà x − G(y, x, .) : D → 2D ❧➔
❑❑▼❀
✭✐✐✮ G ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✤â♥❣ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ré♥❣✱ ✈➔ ✈ỵ✐ (x, y) ∈ D × K
❝è ✤à♥❤✱ t➟♣ A = {t ∈ D | t ∈ x − G(y, x, z), ∀z D} ỗ
õ tỗ t (x, y) D × K s❛♦ ❝❤♦
✶✴ y¯ ∈ T (¯x, y¯)❀
✷✴ 0 ∈ G(¯y, x¯, z)✱ ∀z ∈ D✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà
F : K × D × D × D → 2X
✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

F (y, x, t, z) = t − x + G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
❉♦ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà x − G(y, x, .) ❧➔ ❑❑▼ ♥➯♥ t❛ ❝â

∩ G(y, x, z) = ∅.

z∈D

❱➻ tỗ t t D, t (x G(y, x, z)), ∀z ∈ D✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥

0 ∈ t − x + G(y, x, z), ∀z ∈ D.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên