Phương pháp trực tiếp tính toán kết cấu thanh thẳng có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt và lực dọc

Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA


NGUYỄN TRỌNG NHÂN

PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP TÍNH TOÁN
KẾT CẤU THANH THẲNG CÓ KỂ ĐẾN ẢNH
HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG TRƯT VÀ LỰC DỌC

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DD&CN
MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH, THÁNG 9 NĂM 2003
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 1


Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-----o0o-----

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SỸ
Họ và tên học viên : NGUYỄN TRỌNG NHÂN
Ngày tháng năm sinh :
19/01/1977.
Chuyên ngành :
XÂY DỰNG DD&CN.

Phái : nam.
Nơi sinh : An giang.
Mã số ngành : 23.04.10

I - TÊN ĐỀ TÀI :

PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP TÍNH TOÁN KẾT CẤU THANH THẲNG CÓ KỂ
ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG TRƯT VÀ LỰC DỌC
II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG.

1. Nhiệm vụ :
Trình bày cơ sở lý thuyết phương pháp trực tiếp tính toán kết cấu thanh thẳng có kể
đến ảnh hưởng của biến dạng trượt và lực dọc. Khảo sát những ví dụ tính toán cụ
thể và rút ra nhận xét.
2. Nội dung :
Luận văn gồm 6 Chương :
-

Chương 1 : Giới thiệu tổng quan.

-

Chương 2 : Cơ sở lý thuyết.

-

Chương 3 : Tính toán kết cấu thanh phẳng.

-

Chương 4 : Tính toán kết cấu thanh không gian.

-

Chương 5 : Ví dụ tính toán kết cấu thanh thẳng phẳng.

-

Chương 6 : Nhận xét và kết luận.

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

Ngày 14 tháng 03 năm 2003

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

Ngày 14 tháng 09 năm 2003

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN HÙNG.

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Ngày …… tháng…… năm 2003.
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC.

KHOA QUẢN LÝ NGAØNH.


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học :

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN HÙNG.

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc só được bảo vệ tại :
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ……………………tháng ……………………naêm 2003

Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

LỜI CẢM ƠN
Trải qua một thời gian học tập và nghiên cứu, em cũng đã
hoàn thành Luận văn thạc só chuyên ngành Xây dựng
DD&CN. Em thực sự thấy mình trưởng thành hơn về kiến thức
chuyên môn. Để có được kết quả này, em không thể nào quên
công lao to lớn của các Thầy, Cô trong trường Đại Học Bách
Khoa, đặc biệt là các Thầy, Cô khoa Kỹ thuật Xây dựng đã
trực tiếp giảng dạy những kiến thức q báo trong thời gian
qua.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Giáo sư Tiến só khoa học
Nguyễn Xuân Hùng, đã hướng dẫn tận tình trong suốt thời
gian em thực hiện luận văn. Thầy đã hướng dẫn từ những bước
đi ban đầu để hình thành đề tài đến những nội dung chính yếu
của đề tài mà em thực hiện. Bên cạnh đó, thầy còn cung cấp
tài liệu liên quan để định hướng và góp phần làm phong phú
cho đề tài. Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vì
tất cả những gì Thầy đã dành cho em.
Em xin chân thành cám ơn thầy Tiến só Bùi Công Thành, phó
chủ nhiệm khoa Kỹ thuật Xây dựng; thầy Phó giáo sư Tiến só
Chu Quốc Thắng, phó Hiệu trưởng trường Đại học Bách
Khoa; thầy Phó giáo sư Tiến só Nguyễn Văn Yên; thầy Phó
giáo sư Tiến só Đỗ Kiến Quốc là những người Thầy đã tận tâm
giảng dạy và trược tiếp truyền đạt những kiến thức q báo,
cũng như kinh nghiệm thực tiễn, là những hành trang ban đầu
không thể thiếu trên con đường khoa học của em sau này.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn Gia đình, những người
thân yêu và đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất và động
viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và
thực hiện luận văn tốt nghiệp này.

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 2


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Tên đề tài :

PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP TÍNH TOÁN
KẾT CẤU THANH THẲNG CÓ KỂ ĐẾN ẢNH
HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG TRƯT VÀ LỰC DỌC

Nội dung :
Việc tính toán chính xác kết cấu, đặc biệt là các kết cấu nhịp lớn, cao tầng … là
một yêu cầu thiết thực, có ý nghóa rất lớn trong công tác thiết kế cũng như kiểm
định, chuẩn đoán công trình. Với sự phát triển của ngành công nghệ thông tin,
việc tính toán các bài toán kỹ thuật ngày càng thuận lợi hơn.
Trong phạm vi này, luận văn trình bày phương pháp trực tiếp tính toán hệ kết cấu
thanh thẳng chịu kéo ( hoặc chịu nén ), chịu xoắn ( đối với thanh không gian ) và
chịu uốn trong 4 trường hợp : cơ bản ( theo mô hình dầm Euler-Bernoulli ); có kể
đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ( theo mô hình dầm Timôsenkô ); có ảnh hưởng

của lực dọc ( hiệu ứng P-delta ); ảnh hưởng đồng thời của biến dạng trượt và lực
dọc đến chuyển vị, cũng như nội lực trong từng phần tử của hệ kết cấu. Bên cạnh
đó, thông qua việc khảo sát những ví dụ tính toán cụ thể theo phương pháp này
và kết quả được so sánh với phần mềm SAP2000 ( phần mềm được xây dựng theo
phương pháp PTHH ) và kết quả trong môn Sức bền vật liệu, rút ra một vài nhận
xét trong việc ứng dụng tính toán kết cấu trong kỹ thuật.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp trực tiếp là dựa vào các phương trình cân bằng
ngoại lực, phương trình vi phân quan hệ giữa chuyển vị, biến dạng và nội lực.
Bằng sự trợ giúp của các chương trình tính toán, ta có thể xác định được chính xác
các nghiệm chuyển vị từ đó xây dựng các ma trận độ cứng chính xác, lực tương
đương chính xác của phần tử thanh.
Ma trận độ cứng của trường hợp có xét ảnh hưởng của biến dạng trượt có sự xuất
hiện của hệ số ảnh hưởng của biến dạng trượt α 2 , còn ma trận trong trường hợp
có xét ảnh hưởng lực dọc có sự xuất hiện của hệ số ảnh hưởng của lực dọc α 1 ,
trường hợp có xét ảnh hưởng đồng thời của biến dạng trượt và lực dọc thì có cả 2
hệ số trên.
Việc xây dựng lực tương đương được tính toán cho 2 loại phần tử thanh chịu kéo
(nén) và thanh chịu uốn, trong đó gồm một số trường hợp tải trọng cụ thể như : tải
trọng phân bố đều, tải trọng lực tập trung tại điểm, tải trọng mômen tập trung tại
điểm … trong 4 trường hợp trên.
Sau khi thiết lập được ma trận độ cứng và lực tương đương cho từng phần tử thanh
thẳng, dựa vào mô hình tương thích có thể ghép nối hệ kết cấu phẳng ( hoặc hệ
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 3


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

không gian ) nhằm xây dựng hệ phương trình quan hệ giữa ma trận độ cứng,
chuyển vị nút và lực tại nút. Khi giải hệ phương trình này có thể xác định được
các chuyển vị tại nút, để từ đó suy ra nội lực trong từng phần tử thanh thẳng.
Trước hết, tác giả sử dụng chương trình MAPLE 7.0 xây dựng chương trình
K_Qtd, để xác định ma trận độ cứng và lực tương đương chính xác. Bên cạnh đó,
để tự động hoá tính toán hệ khung phẳng trong trường hợp chịu ảnh hưởng đồng
thời của biến dạng trượt và lực dọc, tác giả xây dựng chương trình Khung2D
bằng ngôn ngữ VISUAL C++ 6.0
Luận văn gồm 6 chương :
-

Chương 1 : Giới thiệu tổng quan.

-

Chương 2 : Cơ sở lý thuyết.

-

Chương 3 : Tính toán kết cấu thanh phẳng.

-

Chương 4 : Tính toán kết cấu không gian.

-

Chương 5 : Ví dụ tính toán kết cấu thanh phẳng.

-

Chương 6 : Nhận xét và kết luận.

Tóm lại, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp trực tiếp, ví dụ áp
dụng tính toán cụ thể theo lý thuyết này, đồng thời so sánh kết quả với những kết
quả đã biết hay kết quả từ phần mềm SAP2000. Điều này xác nhận tính đúng đắn
của lý thuyết, tính cần thiết khi kể đến các ảnh hưởng biến dạng trượt hay lực dọc
trong tính toán kết cấu trong thực tế, nhằm thu hoạch kết quả chính xác hơn, gần
thực tế làm việc của kết cấu hơn.

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 4


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

2

Tóm tắt luận văn.

3

Mục lục

5

Chương 1 : GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1 Giới thiệu chung.

10

1.2 Phương pháp ma trận độ cứng.

13

1.2.1 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh.

13

1.2.2 Ma trận độ cứng của hệ kết cấu thanh.

14

Chương 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Phần tử thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ).

15

2.1.1 Chuyển vị và nội lực trong thanh chịu kéo ( hoặc chịu
nén ).

15

2.1.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu kéo ( hoặc chịu
nén ).

16

2.1.3 Lực tương đương của phần tử thanh chịu kéo ( hoặc chịu
nén ).

18

a) Trường hợp tải trọng dọc p(x) là tải trọng phân bố đều p 0
b) Trường hợp tải trọng dọc p(x) là tải trọng lực tập trung P
c) Trường hợp thanh có chuyển vị cưỡng bức và thay đổi
nhiệt độ.
2.2 Phần tử thanh chịu uốn trường hợp cơ bản ( Theo mô hình dầm
Euler-Bernoulli ).

20

2.2.1 Chuyển vị và nội lực trong thanh chịu uốn trừơng hợp cơ
bản.

20

2.2.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn trong
trường hợp cơ bản.

21

2.2.3 Lực tương đương của phần tử thanh chịu uốn trong

trường hợp cơ bản.

23

a) Trường hợp tải trọng phân bố đều
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 5


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân
b) Trường hợp tải trọng lực tập trung
c) Trường hợp tải trọng mômen tập trung
d) Trường hợp tải trọng phân bố thành đoạn
e) Trường hợp thanh có chuyển vị cưỡng bức và thay đổi
nhiệt độ

2.3 Phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến ảnh hưởng của biến dạng
trượt ( Theo mô hình dầm của Timôsenkô ).

27

2.3.1 Chuyển vị và nội lực trong thanh chịu uốn lúc có kể đến
ảnh hưởng của biến dạng trượt.

27

2.3.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến

ảnh hưởng của biến dạng trượt.

29

2.3.3 Lực tương đương của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến
ảnh hưởng của biến dạng trượt.

31

a) Trường hợp tải trọng phân bố đều
b) Trường hợp tải trọng lực tập trung
c) Trường hợp tải trọng mômen tập trung
2.4 Phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến ảnh hưởng của lực dọc.

33

2.4.1 Chuyển vị và nội lực trong phần tử thanh chịu uốn lúc có
kể đến ảnh hưởng của lực dọc ( Hiệu ứng P-delta ).

33

2.4.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến
ảnh hưởng của lực dọc.

34

2.4.3 Lực tương đương của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến
ảnh hưởng của lực dọc.

36

a) Trường hợp tải trọng phân bố đều
b) Trường hợp tải trọng lực tập trung
c) Trường hợp tải trọng mômen tập trung
2.5 Phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến ảnh hưởng đồng thời của
biến dạng trượt và lực dọc.

39

2.5.1 Chuyển vị và nội lực trong thanh chịu uốn lúc có kể đến
ảnh hưởng đồng thời của biến dạng trượt và lực dọc.

39

2.5.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến
ảnh hưởng đồng thời của biến dạng trượt và lực dọc.

40

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 6


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

2.5.3 Lực tương đương của phần tử thanh chịu uốn lúc kể đến
ảnh hưởng đồng thời của biến dạng trượt và lực dọc.

42

a) Trường hợp tải trọng phân bố đều
b) Trường hợp tải trọng lực tập trung
c) Trường hợp tải trọng mômen tập trung
2.6 Ma trận độ cứng và tải trọng tương đương của phần tử thanh
thẳng chịu xoắn.

43

2.6.1 Phương trình vi phân quan hệ giữa góc xoắn và mômen
xoắn.

43

2.6.2 Ma trận độ cứng và lực tương đương của phần tử kết cấu
thanh chịu xoắn.

44

2.7 Tóm tắt chương 2.

46

Chương 3 : TÍNH TOÁN KẾT CẤU THANH PHẲNG
3.1 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh phẳng

48

3.1.1 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh phẳng trong
hệ toạ độ địa phương.

48

3.1.2 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh phẳng trong
hệ toạ độ tổng thể.

50

3.2 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển vị của
hệ kết cấu thanh phẳng.

51

3.2.1 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển
vị của hệ kết cấu thanh phẳng tự do.

51

3.2.2 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển
vị của hệ kết cấu thanh phẳng có liên kết.

52

3.3 Tính toán chuyển vị, phản lực liên kết và nội lực của hệ kết
cấu thanh phẳng.

53

3.4 Tóm tắt chương 3.

55

Chương 4 : TÍNH TOÁN KẾT CẤU THANH KHÔNG GIAN
4.1 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh không gian .

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

55

Page 7


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

4.1.1 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh không gian
trong hệ toạ độ địa phương.

58

4.1.2 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh không gian
trong hệ toạ độ tổng thể.

59

4.2 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển vị của
hệ kết cấu thanh không gian.

60

4.2.1 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển
vị của hệ kết cấu thanh không gian tự do.

60

4.2.2 Ma trận độ cứng, vectơ lực tương đương và vectơ chuyển
vị của hệ kết cấu thanh không gian có liên kết.

60

4.3 Tính toán chuyển vị, phản lực liên kết và nội lực của hệ kết
cấu thanh không gian.

60

4.4 Tóm tắt chương 4.

61

Chương 5 : VÍ DỤ TÍNH TOÁN KẾT CẤU THANH PHẲNG
5.1 Trình tự tính toán theo phương pháp trực tiếp.

62

5.2 Giải thuật và chương trình tính toán

64

5.2.1 Sơ đồ khối giải thuật.
5.2.2 Chương trình tính toán
5.3 Ví dụ tính toán cụ thể

67

5.3.1 Bài toán 1 : Tính toán ổn định dầm đơn không xét ảnh
hưởng biến dạng trượt.

67

5.3.2 Bài toán 2 : Tính toán ổn định dầm đơn xét ảnh hưởng
biến dạng trượt.

72

5.3.3 Bài toán 3 : Tính toán ổn định dầm consol không xét
ảnh hưởng biến dạng trượt.

77

5.3.4 Bài toán 4 : Tính toán ổn định dầm consol xét ảnh
hưởng biến dạng trượt.

80

5.3.5 Bài toán 5 : Tính toán ổn định dầm đơn siêu tónh không
xét ảnh hưởng biến dạng trượt.

83

5.3.6 Bài toán 6 : Tính toán dầm liên tục.

86

5.3.7 Bài toán 7 : Tính toán khung phẳng.

88

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 8


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

5.3.8 Bài toán 8 : Tính toán khung nhà công nghiệp 1 nhịp.

91

5.3.9 Bài toán 9 : Tính toán khung nhà công nghiệp 2 nhịp.

96

5.3.10 Bài toán 10 : Tính toán khung nhà 10 tầng 3 nhịp.

99

Chương 6 : NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN
6.1 Nhận xét.

103

6.2 Kết luận.

104

Phụ lục

105

Tài liệu tham khảo

134

Lý lịch cá nhân

138

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 9


Luận văn thạc só

Chương 1 :

Nguyễn Trọng Nhân

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG :
Việc tính toán chuyển vị, nội lực và sự ổn định của kết cấu là một bài
toán cơ bản trong nhiều ngành kỹ thuật khác nhau, là nội dung của nhiều môn
học khác nhau trong các trường Đại Học Kỹ Thuật và cũng là nội dung của
nhiều đề tài nghiên cứu khoa học.
Cho đến nay, trừ một số trường hợp đơn giản người ta sử dụng phương
pháp tích phân trực tiếp để tính chính xác các nội lực và chuyển vị trong kết cấu
còn phần lớn đều dùng phương pháp năng lượng đem bài toán về dạng biến
phân và cực trị. Đối với các kết cấu phức tạp, kết cấu nằm trong môi trường đàn
nhớt, … người ta thường dùng phương pháp gần đúng, phương pháp phần tử hữu
hạn.
Việc tính toán chính xác kết cấu có liên kết phức tạp, nhịp lớn, kết cấu
đặc biệt, … là yêu cầu thiết thực, ngoài việc trợ giúp cho việc tính toán thiết kế,
nó còn giúp cho việc kiểm định và chuẩn đoán kỹ thuật, gia cường sửa chữa
công trình.
Với sự phát triển của máy tính, đặc biệt là nhờ sự trợ giúp của các phần
mềm tính toán hình thức (symbolic), việc tính tích phân trực tiếp các phương
trình vi phân cuả kết cấu, cũng như việc thực hiện các biến đổi toán học đã được
tiến hành dễ dàng hơn. Dựa vào thành tựu đó, phương pháp tính toán kết cấu
chính xác bằng cách giải trực tiếp phương trình vi phân của kết cấu và sử dụng
các giải pháp toán học hữu hiệu để tìm nghiệm trong trường hợp tải trọng và
điều kiện biên phức tạp. Phương pháp này có thể gọi là phương pháp trực tiếp.
Bằng cách tích phân trực tiếp phương trình vi phân của kết cấu, ta có thể
tính chính xác ma trận độ cứng của kết cấu và lực tương đương đặt lên các nút
của kết cấu. Biết ma trận độ cứng và lực tương đương thì việc tìm chuyển vị và

nội lực trong kết cấu được đem về một bài toán đơn giản là giải hệ phương trình
đại số tuyến tính.
Vì mục tiêu quan trọng nhất để tính toán chính xác chuyển vị và nội lực
trong kết cấu là tính toán chính xác ma trận độ cứng cho nên phương pháp này
cũng được gọi là phương pháp ma trận độ cứng.

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 10


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Từ ma trận độ cứng và lực tương đương chính xác, khai triển các hệ số
của chúng theo chuỗi lũy thừa của các tham số bé, chỉ giữ lại các số hạn bậc
nhất ta nhận được kết quả cuả phương pháp phần tử hữu hạn.
Hiện nay, phần lớn việc tính toán kết cấu đều dựa vào phương pháp
Phần tử hữu hạn, mặc dù đã có xét đến ảnh hưởng của lực dọc (hiệu ứng Pdelta) nhưng chưa xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ( biến dạng góc do lực
cắt ) và đây cũng chỉ là phương pháp tính toán gần đúng. Việc xây dựng phương
pháp trực tiếp tính toán kết cấu có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt và lực
dọc nhằm mục đích đưa nghiệm số bài toán tính toán kết cấu đến giá trị chính
xác hơn, gần với sự làm việc thực tế hơn.
Ở tài liệu [1], tác giả trình bày khá rõ ràng phương pháp tính toán ổn
định hệ khung theo phương pháp Phần tử hữu hạn. Thông qua tài liệu này, ta có
thể tham khảo phương pháp, xem xét kết quả và so sánh với phương pháp được
trình bày của luận văn.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp trực tiếp là dựa trên các phương trình
cân bằng trong cơ học lý thuyết và các phương trình quan hệ giữa chuyển vị, nội

lực và biến dạng làm cơ sở cho việc xây dựng ma trận độ cứng và lực tương
đương, trong phạm vi của luận văn chỉ tính toán hệ thanh thẳng chịu uốn gồm 4
trường hợp : không xét ( Mô hình dầm theo Euler-Bernoulli ); có xét đến ảnh
hưởng của biến dạng trượt ( Mô hình dầm theo Timôsenkô ); có xét đến ảnh
hưởng của lực dọc ( Hiệu ứng P-delta ); có xét ảnh hưởng đồng thời biến dạng
trượt và lực dọc. Các cơ sở lý thuyết về các mô hình dầm này, đã được các tác
giả Euler-Bernoulli, Timôsenkô xây dựng và được trình bày ở các tài liệu [2],
[5], [7].
Biết ma trận độ cứng và lực tương đương thì việc tìm chuyển vị và nội
lực trong kết cấu được dựa trên phương pháp ma trận độ cứng ( Stiffness matrix
Theory ). Ở các tài liệu [3], [4], [6] trình bày cơ sở của phương pháp ma trận độ
cứng để phân tích kết cấu. Tức là dựa vào quan hệ giữa ma trận độ cứng, vectơ
chuyển vị nút và vectơ lực tại nút của từng phần tử, thiết lập hệ phương trình
cho từng phần tử thanh. Dựa vào mô hình tương thích ghép nối hệ kết cấu thành
một hệ thống nhất.
Tính chính xác được thể hiện ở việc thiết lập ma trận độ cứng chính xác,
lực tương đương chính xác và việc kể đến các ảnh hưởng mà kết cấu phải chịu.
Từ đó, giá trị chuyển vị nút xác định chính xác hơn, nội lực tìm được hợp lý hơn.
Cho đến nay, ở Việt nam đã có một số nghiên cứu theo phương pháp này
như : tài liệu [11] tác giả giải quyết bài toán rung động kết cấu cầu cảng; tài
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Huøng

Page 11


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

liệu [12], [13], [14], [15], [16] tác giả từng bước cải thiện và khái quát từng bài

báo cáo nghiên cứu về bài toán rung động kết cấu được giải quyết bằng phương
pháp độ cứng động ( Dynamic Stiffness Method ); tài liệu [17], [18] là những
tổng kết về phương pháp này giải quyết hệ kết cấu tónh và động trong một số
trường hợp cụ thể.
Do một số yếu tố khách quan nên tác giả chỉ tìm được một báo cáo [19],
trong tài liệu này, tác giả trình bày cách giải quyết bài toán thanh thành mỏng
tiết diện đóng theo phương pháp độ cứng ( Stiffness method of thin-walled beams
with closed cross-section ).
Đây chính là một số tài liệu tham khảo đã được báo cáo tại các Hội nghị
khoa học trong nước cũng như trên thế giới.
Trong phạm vi luận văn, tác giả trình bày lại phương pháp trực tiếp tính
toán kết cấu. Trong đó, giải quyết 4 trường hợp kết cấu hệ thanh thẳng chịu uốn
: cơ bản, xét ảnh hưởng của biến dạng trượt, xét ảnh hưởng của lực dọc, xét cả
ảnh hưởng của biến dạng trượt và lực dọc. Những kết quả tính toán này được so
sánh, kiểm tra với các kết quả đã biết trong tài liệu [9], [10] hay phương pháp
phần tử hữu hạn ( phần mềm SAP2000 ).
Bên cạng đó, tác giả còn tiến hành khảo sát qui luật sai số khi bỏ qua
ảnh hưởng thông qua một số ví dụ đặc trưng cho một số hệ kết cấu đặc biệt (
như nhà công nghiệp 1, 2 nhịp với chiều dài nhịp thay đổi, nhà nhiều tầng …) từ
đó rút ra một số nhận xét trong việc tính toán kết cấu, đặc biệt là kết cấu hệ
thanh.
Từ việc nắm bắt phương pháp trực tiếp giải quyết bài toán hệ thanh
trong 4 trường hợp cụ thể trên, tác giả xây dựng một chương trình tính toán tự
động hoá ứng dụng vào thực tiễn. Tài liệu [8], [20] là những nền tảng hướng
dẫn cho việc hoàn thành chương trình này.
Đề tài trình bày một phương pháp tương đối mới, kết quả tính toán có thể
tin cậy, làm phong phú thêm các phương pháp tính toán và có thể xây dựng, mở
rộng cho các loại kết cấu khác. Với mục đích đưa nghiệm số bài toán chính xác
hơn, gần với thực tiễn hơn thì việc tìm hiểu và trình bày là một yếu tố khả thi
nhằm xây dựng cho các phương pháp tính toán kết cấu hợp lý hơn, hoàn thiện

hơn.
Trước hết, ta tìm hiểu về cơ sở lý thuyết của phương pháp Ma trận độ
cứng trong việc phân tích, tính toán hệ kết cấu theo mô hình tương thích.

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 12


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

1.2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG :
1.2.1. Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh :
Xét một phần tử thanh i của
hệ kết cấu như hình 1.1. Các chuyển
vị mở rộng ở 2 đầu thanh và các lực
mở rộng ở 2 đầu thanh được tập hợp
lại trong vectơ chuyển vị mở rộng
và vectơ lực mở rộng của thanh như
sau :
Hình 1.1
q(i) = (q 1 , q 2 , … , q m )T
(1.1)

Q(i) = (Q 1 , Q 2 , … , Q m )T
Đối với kết cấu thanh phẳng thì :
q(i) = ( u 1 , v 1 , ϕ 1 , u 2 , v 2 , ϕ 2 )T

(1.2)

T

(i)

Q = ( X1, Y1, M1, X2, Y2, M2)

Đối với kết cấu thanh không gian thì :
q(i) = ( u 1 , v 1 , w 1 , ϕ 1x , ϕ 1y , ϕ 1z , u 2 , v 2 , w 2 , ϕ 2x , ϕ 2y , ϕ 2z )T
T

(i)

Q = ( X 1 , Y 1 , Z 1 , M 1x , M 1y , M 1z , X 2 , Y 2 , Z 2 , M 2x , M 2y , M 2z )

(1.3)

Giữa vectơ chuyển vị q và vectơ lực Q của thanh i có quan hệ được biểu
diễn bằng phương trình sau :
{Q(i)} = [K(i)].{q(i)}

(1.4)

Ma trận [K(i)] là ma trận vuông đối xứng bậc m i là ma trận độ cứng của
phần tử thanh i.
1.2.2. Ma trận độ cứng của hệ kết cấu :
Thành lập phương trình cân bằng của tất cả các nút trong hệ kết cấu ta
được hệ phương trình biểu diễn quan hệ giữa ma trận độ cứng [K], vectơ
chuyển vị mở rộng q và vectơ lực mở rộng Q dưới dạng :

{Q} = [K].{q}

(1.5)

Trường hợp kết cấu có liên kết ngoài, một số chuyển vị mở rộng ở nút có
liên kết đó sẽ bằng không và vectơ chuyển vị của kết cấu sẽ có bậc m lk bằng số
bậc tự do của hệ có liên kết ngoài.

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 13


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Số bậc tự do của hệ kết cấu : m = 3n ( kết cấu phẳng ) hay m = 6n ( kết
cấu không gian ). Với n là số nút của hệ kết cấu.
Số bậc tự do của kết cấu có liên kết ngoài m lk laø :
m lk = m – (3ng + 2cđ + 1dđ)
trong đó : ng là số liên kết ngàm trong kết cấu.
cđ là số liên kết gối cố định trong kết cấu.
dđ là số liên kết gối di động trong kết cấu.
Vectơ chuyển vị của kết cấu có liên kết ngoài có dạng :
{qlk} = [b].{q}

hay

{q} = [bT].{qlk}

(1.6)

trong đó : [b] là ma trận mà trong đó mỗi hàng của ma trận [b] chỉ có
một số hạng khác 0 và bằng 1, các số hạng bằng 1 này nằm tại
cột tương ứng với các tọa độ mở rộng khác không của vectơ
chuyển vị q.
Vectơ lực của kết cấu có liên kết ngoài có dạng :
{Q} = [K]. [bT].{qlk}
{Qlk} = [b].{Q} = [b].[K].[bT].{qlk} = [Klk].{qlk}

(1.7)

Trong đó : [Klk] = [b].[K].[bT]
[Klk] là ma trận vuông đối xứng bậc m lk nhận được từ ma trận [K] bằng
cách bỏ đi n lk hàng và n lk cột. Những hàng và cột bỏ đi là những hàng và cột
tương ứng với các chuyển vị mở rộng bị ngăn cản của kết cấu. [Klk] được gọi là
ma trận độ cứng của kết cấu có liên kết ngoài.
Từ phương trình (1.7) việc xác định chuyển vị và góc xoay của các nút
của kết cấu được thực hiện bằng cách giải một hệ phương trình đại số, nghiệm
của chúng có dạng :
{qlk} = [Klk]-1.{Qlk}

(1.8)

trong đó : [Klk]-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận [Klk]
Vectơ lực mở rộng của kết cấu được xác định từ phương trình (1.5) và
vectơ phản lực ngoài tại các liên kết.
Có vectơ chuyển vị của hệ kết cấu q ta xác định được các vectơ chuyển
vị của từng phần tử thanh {q(i)} từ đó có thể xác định nội lực trong từng phần tử

thanh của hệ kết cấu.
Đây là nền tảng của phương pháp ma trận độ cứng.
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 14


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Chương 2 :

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong Chương 1, ta nhận thấy để tính toán kết cấu theo phương pháp độ cứng
thì cần phải xây dựng các ma trận độ cứng và lực tương đương. Trong chương
này, căn cứ trên lý thuyết cơ học, toán học thiết lập các phương trình cân bằng,
phương trình quan hệ giữa chuyển vị, nội lực và biến dạng. Từ đó, ta xây dựng
các ma trận độ cứng và lực tương đương của thanh thẳng làm cơ sở cho lý thyết
tính toán trong các chương sau.
2.1.

PHẦN TỬ THANH CHỊU KÉO ( HOẶC CHỊU NÉN ) :

2.1.1. Chuyển vị và nội lực trong phần tử thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ) :
Xét một thanh chịu lực phân bố
dọc trục như hình 2.1. Giả thuyết
chuyển vị dọc trục tại một mặt cắt
bất kỳ của thanh là u(x), lực dọc là
N(x) và biến dạng dọc là ε(x), với

p là tải trọng phân bố dọc trục.
Lực dọc N dương nếu thanh chịu
kéo và âm nếu thanh chịu nén.

Hình 2.1

Từ điều kiện cân bằng của các lực tác dụng lên phân tố có chiều dài dx cho trên
hình 2.1 ta nhận được phương trình quan hệ giữa nội lực và tải trọng sau đây :
dN
= − p (x)
dx

(2.1.1)

Phương trình quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng có dạng :
εx =

du
dx

(2.1.2)

Phương trình quan hệ giữa nội lực và biến dạng có dạng :
N = EFε x = EF

du
dx

(2.1.3)

trong đó : E là module đàn hồi và F là diện tích mặt cắt ngang của thanh, tích số
EF được gọi là độ cứng của thanh khi chịu kéo ( hoặc chịu nén ).
Từ 3 phương trình (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) ta có phương trình vi phân quan hệ
giữa chuyển vị u(x) và tải trọng p(x) là :
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 15


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân
d 2u
p(x)
=−
2
dx
EF

(2.1.4)

2.1.2. Ma trận độ cứng của thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ) :
Xét một phần tử thanh chịu lực dọc trục như trên hình 2.5

Hình 2.5
Chuyển vị và lực dọc tác dụng ở 2 đầu thanh được ký hiệu tương ứng là u 1 , u 2 ,
N 1 *, N 2 * như trên hình vẽ. Chiều dương của u 1 , u 2 , N 1 *, N 2 * là chiều của trục x.
Giả thuyết thanh chịu tải trọng phân bố dọc trục p(x)
Tích phân phương trình (2.1.4) ta được :
u ( x) =

1
P ( x) + C1 x + C 2
EF

(2.1.5)

trong đó : C 1 , C 2 là các hằng số tích phân và
P( x) = − ∫ dx ∫ p ( x)dx = EF .u r ( x)

(2.1.6)

Hàm P(x) được gọi là hàm tải trọng, nó chính bằng nghiệm riêng u r (x) của
phương trình (2.1.4) lúc đó vế phải nhân với độ cứng EF.
Từ 2 phương trình (2.1.3) và (2.1.5) ta có biểu thức của lực dọc :
N ( x) = EF

du
dP( x)
= EFC1 +
= EFC1 x + P' ( x)
dx
dx

(2.1.7)

Gọi l là chiều dài của thanh, chọn gốc toạ độ tại đầu 1 của thanh, từ 2 phương
trình (2.1.3) và (2.1.5) ta có :
1
P(0) = C 2 + u r (0)

EF
1
u 2 = u (l ) = C1l + C 2 +
P(l ) = C1l + C 2 + u r (l )
EF
N 1* = − N (0) = − EFC1 − P' (0) = − EF [C1 + u r' (0)]

u1 = u (0) = C 2 +

N 2* = N (l ) = EFC1 + P' (l ) = − EF [C1 + u r' (l )]

Các phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận như sau :

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 16


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân
u1  0 1 C1  1  P (0)
u  = l 1  C  +


  2  EF  P (l ) 
 2 
 N *1  − 1 0 C1  − P' (0)
+
 * =

0 C 2   P ' (l ) 
 N 2  1

hoaëc :

1
{P}
EF

(2.1.8)

{N*} = [W]{C} + {P’}

(2.1.9)

{u}=[U].{C} +

trong đó :
*
u1  *  N 1 
C1 
0 1
,
=
N

 * , {C} =  , [U ] = 

 N 2 
 l 1

u 2 
C 2 
 − 1 0
− P ' (0)
 P (0)
[W ] = EF 
, {P} = 

, {P '} = 

 P (l ) 
 1 0
 P (l ) 

{u} = 

{ }

(2.1.10)

Từ phương trình (2.1.8) ta có vectơ hằng số {C} là :
{C} = [U −1 ]({u} −

1
{P})
EF

(2.1.11)

trong đó : [U-1] là ma trận nghịch đảo của ma trận [U], bằng :

 1 1
−
[U ] =  l l 
 1 0



(2.1.12)

−1

Thay thế vectơ hằng số {C} từ phương trình (2.1.11) vào phương trình (2.1.9) ta
coù :
{N * } = [W ][U −1 ]{u} −

1
[W ][U −1 ]{P} + {P'}
EF

hoaëc :

{N} = {N*} + {N td } = [K]{u}

(2.1.13)

trong đó :

[ K ] = [W ][U −1 ] =

 1 − 1

− 1 1 



(2.1.14)

1
[ K ]{P} − {P'} = [ K ]{u r } − {N r }
EF

(2.1.15)

{N td } =

EF
l

u (0)
− u ' (0)
{u r } =  r , {N r } = EF  r

 u r (l ) 
 u r ' (l ) 

Ma trận [K] được gọi là ma trận độ cứng của thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ).
Vectơ N td là vectơ lực dọc ở 2 đầu thanh do tải trọng tác dụng ở giữa thanh gây
nên, gọi là vectơ lực tương đương.
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 17

Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Sau đây ta tìm lực tương đương trong một số trường hợp cụ thể :
2.1.3. Lực tương đương của phần tử thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ) :
a) Trường hợp tải trọng dọc p(x) là tải trọng phân bố đều p 0 :
Từ phương trình (2.1.6) ta có :
P( x) = −

1
p0 x 2 ,
2

P' (0) = 0,

P ' ( x ) = − p 0 x,

P(0) = 0,

 0 
{P} =  1
2 ,
− 2 p0 l 

P ' (l ) = − p 0 l ,

P (l ) = −

1
p0 l 2
2

 0 
{P ' } = 

− p 0 l 

Từ phương trình (2.1.15) ta tính được :
1  1 − 1  0   0  p 0 l 1
 1
{N td } = 
2 −
=

l − 1 1  − p 0 l  − p 0 l 
2 1

 2

(2.1.16)

Vaäy : N 1 td = N 2 td = p 0 l/2 , tổng lực phân bố p 0 l được chia đều ra 2 đầu thanh.
b) Trường hợp tải trọng dọc trục p(x) là tải trọng tập trung P :
Giả thuyết tải trọng tập trung P đặt tại điểm A có hoành độ bằng a như trên
hình 2.6
N 1td

0

A

P

N 2td
x

a

L-a

Hình 2.6
Tải trọng tác dụng lên dầm lúc này có thể biểu diễn dưới dạng hàm Dirac δ
(2.1.17)

p(x) = Pδ(x-a)
trong đó :

δ(x-a) là hàm Dirac có tính chất như sau :
δ(x-a) ≠ 0

khi x=a

δ(x-a) = 0

khi x≠ a

a +ε

∫ δ (x - a)dx = 1

với mọi ε dương bé tuỳ ý.

(2.1.18)

a −ε

hay : δ ( x − a) = lim δ ε ( x − a)

(2.1.19)

ε →a

0

∫ dx ∫ δ ( x − a)dx =  x − a
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

khi x < a
khi x ≥ a

(2.1.20)

Page 18


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Từ 3 phương trình (2.1.6), (2.1.17), (2.1.20) ta có hàm tải trọng P(x) là :
khi x < a
khi ≥ a

0
P( x) = 
 − P( x − a)

(2.1.21)

suy ra, vectơ {P}, {P’} bằng :
 0 
P' =  
− P 

0


P=
,
− P (l − a )

(2.1.22)

Từ phương trình (2.1.15) ta tìm vectơ lực tương đương N td nhö sau :
0
  0  P l − a 
1  1 − 1 

{N td } = 
− = 

l − 1 1  − P(l − a) − P  l  a 

Vaäy : N1td =

(2.1.23)

P(l − a) td Pa
; N2 =
l
l

c) Trường hợp thanh có chuyển vị cưỡng bức và thay đổi nhiệt độ :
Giả thuyết đầu 1 của thanh cố định và đầu 2 chuyển vị cưỡng bức u 2 = ∆ như
trên hình vẽ 2.8
N 1td

1

EF

2

L

N 2td

∆

Hình 2.8
Thay u 1 = 0, u 2 = ∆ vào phương trình (2.1.13)
{N td } = −[K ].{u} = −

EF  1 − 1  0  EF  1 
=
∆ 
l − 1 1  ∆ 
l − 1

Vậy lực tương đương ở 2 đầu thanh : N 1td =

(2.1.24)

∆EF
∆EF
; N 2td = −
l
l

Trong trường hợp thanh chịu ảnh hưởng của sự thay đổi nhiệt độ t, thì thanh
chịu chuyển vị cưỡng bức ∆ = α.t.l, với α là hệ số giãn nở nhiệt của thanh.
Dưới tác dụng của nhiệt độ, biến dạng cưỡng bức của thanh có dạng như
hình 2.9. Khi đó : u 1 = -∆/2, u 1 = ∆/2, N = 0.
1

N 1td

∆/2

EF, t
L

2

N 2td

∆/2

Hình 2.9
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Huøng

Page 19


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

Thay vào phương trình (2.1.13) ta coù :
EF
{N td } = [K ].{u} =
l

 ∆
 1 − 1 − 2 
− 1
− 1 1   ∆  = EFα .t  1 
 




 2 

(2.2.21)

Vaäy : N 1td = - EFα t, N 2td = EFα t.
2.2.

PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN TRƯỜNG HP CƠ BẢN ( theo mô hình
dầm Euler-Bernoulli ) :

2.2.1. Chuyển vị và nội lực trong thanh chịu uốn trường hợp cơ bản :
Xét một thanh chịu tải trọng đứng q(x) như hình 2.2

Hình 2.2
Giả thuyết chuyển vị đứng tại mặt cắt x là v(x), lực cắt và mômen uốn tại x
tương ứng là Q(x) và M(x). Xét cân bằng của các lực tác dụng lên phân tố có
chiều dài dx như trên hình 2.2
Từ điều kiện cân bằng của các lực theo phương vuông góc với trục dầm ta có :
dQ
= q (x)
dx

(2.2.1)

Từ điều kiện cân bằng về mômen ta có :
dM
= Q(x)

dx

(2.2.2)

Từ 2 phương trình (2.2.1) và (2.2.2) ta nhận được phương trình sau :
d 2M
= q( x)
dx 2

(2.2.3)

Trong trường hợp chuyển vị v là bé, ta có phương trình quan hệ giữa chuyển vị v
và mômen M như sau :

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 20


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân
d 2 v M ( x)
=
EJ
dx 2

(2.2.4)

trong đó : E là module đàn hồi, J là momen quán tính của tiết diện

ngang, tích số EJ gọi là độ cứng của dầm khi chịu uốn.
Từ 2 phương trình (2.2.3) và (2.2.4) ta có phương trình vi phân quan hệ giữa
chuyển vị v và tải trọng q là :
d 4 v q( x)
=
EJ
dx 4

(2.2.5)

2.2.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn trong trường hợp cơ bản :
y
v1 Q1*

Q *2 v2

M1*

M2*

ϕ1

1

L

2

ϕ2

x

Hình 2.10
Xét một thanh chịu uốn như hình 2.10, chuyển vị đứng, góc xoay, lực cắt
và mômen uốn ở 2 đầu thanh được ký hiệu tương ứng là v 1 , v 2 , ϕ 1 , ϕ 2 , Q 1 , Q 2
, M 1 , M 2 . Trong đó, qui định chiều dương của v 1 , v 2 , Q 1 , Q 2 là chiều dương của
trục y, còn chiều dương của ϕ 1 , ϕ 2 , M 1 , M 2 theo chiều quay kim đồng hồ.
Trong trường hợp cơ bản, phương trình vi phân của chuyển vị v là phương
trình (2.2.5). Tích phân phương trình này, ta được hàm chuyển vị như sau :
v(x) =

1
P( x) + C1 x 3 + C 2 x 2 + C 3 x + C 4
EJ

(2.2.6)

trong đó : C 1 , C 2 , C 3 , C 4 laø các hằng số tích phân
P( x) = ∫ dx ∫ dx ∫ dx ∫ q ( x)dx = EJvr ( x)

(2.2.7)

Hàm P(x) chính bằng nghiệm riêng v r (x) của phương trình vi phân của
chuyển vị (2.1.9) lúc đó vế phải nhân với độ cứng EJ.
Góc xoay ϕ của tiết diện ngang của dầm, bằng :
ϕ ( x) = −

dv
1
= −[

P' ( x) + 3C1 x 2 + 2C2 x + C3 ]
dx
EJ

(2.2.8)

Mômen uốn M(x) và lực cắt Q(x) được tính từ 2 phương trình (2.2.3),
(2.2.4) bằng :
GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

Page 21


Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân
M ( x) = EJ
Q( x) =

d 2v
= P' ' ( x) + EJ (6C1 x + 2C2 )
dx 2

dM
= P' ' ' ( x) + 6 EJC1
dx

(2.2.9)
(2.2.10)

Từ 2 phương trình (2.2.6), (2.2.8) ta có :
 v1   v(0)   0
ϕ   ϕ (0)   0
  

{v} =  1  = 
= 3
 v 2   − v(l )   l

2
ϕ 2  − ϕ (l ) − 3l

0
0
l2
− 2l

hoặc dạng thu gọn : {v} = [U ]{C} +

0 1  C1 
 P(0) 



− 1 0 C 2  1 − P' (0)


 +
l 1 C 3  EJ  P(l ) 


 − P' (l ) 
− 1 0 C 4 

1
{P}
EJ

(2.2.11)

Từ 2 phương trình (2.2.9), (2.2.10) ta coù :
 Q1   Q(0) 
 6
 M   M (0) 
 0

  

EJ
=
{Q*} =  1  = 

 −6
Q
Q
l
−
(
)
2


  

M 2  − M (l ) 
− 6.l

0
2
0
−2

0
0
0
0

0  C1 
 P' ' ' (0) 



0 C2  1  P' ' (0) 


 +
0 C3  EJ − P' ' ' (l )

 − P' ' (l ) 
0 C4 

(2.2.12)

hoặc dạng thu gọn : {Q * } = [W ]{C} + {P'}

(2.2.13)

trong đó : {P} = [P(0), -P’(0), P(l), -P’(l) ]T

(2.2.14)

{P’} = [P’’’(0), P’’(0), -P’’’(l), -P’’(l) ]T
P' ( x) =

dP
d 2P
d 3P
P
x
=
, P' ' ( x) =
,
'
'
'
(
)
dx
dx 2
dx 2

từ phương trình (2.2.11) ta có :

{C} = [U −1 ]({v} −

với :

1
{P})
EJ

 2
 l3
 3
[U −1 ] = − 2
 l
 0
 1


1
l2
2
l
−1
0

−

(2.2.15)
2
l3
3

l2
0
0

−

−

1
l2 
1 

l 
0 
0 

(2.2.16)

Thay {C} từ phương trình (2.2.15) vào phương trình (2.2.13) ta được :
{Q * } = [W ][U −1 ]{v} −

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

1
[W ][U −1 ]{P}
EJ

Page 22

Luận văn thạc só

Nguyễn Trọng Nhân

hoặc : {Q} = {Q*}+ {Q td } = [K]{v}

(2.2.17)

 12 − 6l

4l 2
EJ 
-1
trong đó : [K]=[W][U ]= 3
l 

 sym

{Qtd } =
với :

− 12 − 6l 
6l
2l 2 
12
6l 

4l 2 

(2.2.18)

1
[ K ]{P} − {P'} = [ K ]{vr } − {Qr }
EJ

(2.2.19)

{v r } = { v r (0), -v r ’(0), v r (l), -v r ’(l)}T;
{Q r } = EJ{ v r ’’’(0), v r ’’(0), -v r ’’’(l), -v r ’’(l)}T

Ma trận [K ] được gọi là ma trận độ cứng của thanh chịu uốn và {Q td } được gọi
là vectơ lực tương đương do tải trọng ngoài tác dụng ở giữa thanh gây nên.
Sau đây ta tính vectơ lực tương đương trong một số trường hợp cụ thể.
2.2.3. Lực tương đương của phần tử thanh chịu uốn trong trường hợp cơ bản :
a) Trong trường hợp tải trọng q(x) là tải trọng phân bố đều q 0 :
Xét thanh chịu lực phân bố đều q 0 như hình 2.11
y
q0

Q1td

Q 2td

M1td

M2td
1

2

l

x

Hình 2.11
Từ phương trình (2.2.7), ta có :
x4
x3
x2
P( x) = q 0
; P' ( x) = q 0 ; P' ' ( x) = q 0
; P' ( x) = q 0 x
24
6
2

(2.2.20)

Từ phương trình (2.2.14), ta coù :

{P} = 0 0


q0 l 4
24


{P ' } = 0 0 − q 0 l


q l3 
− 0 
6 

T

q l2 
− 0 
2 

T

Từ phương trình (2.2.19), thực hiện phép nhân và cộng ma trận ta có :
q l
{Qtd } =  0
 2

q0 l 2
−
12

GVHD : GS.TSKH Nguyễn Xuân Hùng

q0 l
2

q0 l 2 

12 

T

(2.2.21)

Page 23