Sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ VĂN BÌNH

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG
BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ
CHUYÊN NGÀNH

: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH

: 23.04.10

TP. HỒ CHÍ MINH – THÁNG 06/2003


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hường dẫn khoa học
PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Người chấm nhận xét 1

Người chấm nhận xét 2

Luận văn Thạc só được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN
VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ngày ……… tháng ……… năm 2003
Có thể tìm Luận văn tại Thư viện Trường Đại Học Bách Khoa
Đại học Quốc gia Tp. Hồ chí minh


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐH QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
---oOo---

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên
Ngày tháng năm sinh
Chuyên ngành
Khóa

:
:
:
:

LÊ VĂN BÌNH

08/02/1978
Xây dựng DD&CN
2000

I. TÊN ĐỀ TÀI

:

SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG

Phái
Nơi sinh
Mã số

:
:
:

Nam
Bình Định
23.04.10

BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
• Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương pháp dải hữu hạn.
• So sánh phương pháp dải hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn.
•
•
•
•

•

Nghiên cứu lý thuyết phương pháp dải hữu hạn với các bài toán ứng suất phẳng, bài
toán uốn.
Sử dụng các phần tử dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi.
Khảo sát các thành phần ứng suất, chuyển vị của bài toán phẳng và so sánh kết quả
với lời giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp giải tích.
Xây dựng chương trình tính toán bài toán phẳng với phương pháp dải hữu hạn.
Nhận xét kết quả và kết luận về phương pháp dải hữu hạn.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ

:
:

29/11/2002
07/6/2003

V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
VI. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT 1
VII. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

:
:
:

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CÁN BỘ NHẬN XÉT 1

CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG
Nội dung và Đề cương Luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.
PHÒNG QLKH – SĐH

Tp.HCM ngày ……… tháng ……… năm 2003
CHỦ NHIỆM NGÀNH

PGS.TS. CHU QUỐC THAÉNG


LỜI CẢM ƠN

Chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Công ty Xây dựng Giao thông
Sài Gòn – Sở Giao thông Công chánh Tp. Hồ Chí Minh và Ông Giám
đốc Xí nghiệp Tư vấn Xây dựng Giao thông Sài Gòn đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi làm việc và học tập trong suốt 3 năm qua.
Chân thành cảm ơn PGS.TS. Chu Quốc Thắng đã hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp này.
Chân thành cảm ơn những người thân, các bạn bè đồng nghiệp đã
động viên và chia sẻ với tôi những khó khăn trong công việc cũng như
trong quá trình học tập nghiên cứu tại Trường.
Lê Văn Bình


MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn................................................................................................................................0
CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN .........................................1
1.1. Đặt vấn đề........................................................................................................................1
1.2. Tổng qua về phương pháp FSM....................................................................................1
1.3. Quá trình phát triển FSM trên thế giới........................................................................5
CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH BÀI TOÁN CỦA
PHƯƠNG PHÁP FSM...............................................................................................................6
2.1. Lựa chọn hàm chuyển vị................................................................................................6
2.2. Thành lập các hàm chuyển vị.......................................................................................8
2.2.1. Phần chuỗi của hàm chuyển vị......................................................................8
2.2.2. Phần hàm dạng của hàm chuyển vị.......................................................... 10
2.3. Thành lập các phương trình cơ bản của FSM bằng nguyên lý thế năng toàn
phần dừng.............................................................................................................................. 16
2.3.1. Các hàm chuyển vị....................................................................................... 17
2.3.2. Biến dạng ....................................................................................................... 17
2.3.3. Ứng suất ......................................................................................................... 18
2.3.4. Cực tiểu tổng thế năng ................................................................................ 18
2.4. Trình tự phân tích bài toán bằng FSM..................................................................... 21
2.5. Phương pháp FSM với bài toán tấm chịu uốn.......................................................... 22
2.5.1. Dải uốn hình chữ nhật.................................................................................. 23
2.5.2. Dải uốn dạng cong........................................................................................ 28
2.6. FSM với bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi ....................................................... 31
2.7. Phương pháp FSM với bài toán ứng suất phẳng ..................................................... 34
2.7.1. Dải ứng suất phẳng hình chữ nhật ............................................................ 36
2.7.2. Dải ứng suất phẳng cong............................................................................. 41
2.8. Lắp ghép phần tử – ma trận độ cứng & vectơ tải tổng thể................................. 44
2.9. Ví dụ tính toán .............................................................................................................. 47

CHƯƠNG III : SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ
THUYẾT ĐÀN HỒI ................................................................................................................ 56
3.1. Phép nội suy ................................................................................................................. 56
3.2. Dải bậc cao với 3 đường nút ...................................................................................... 57
3.2.1. Ma trận độ cứng phần tử ............................................................................ 58
3.2.2.Vectơ tải trọng phần tử.................................................................................. 60
3.3. Dải bậc cao với 2 đường nút ...................................................................................... 72
3.4. Lời giải của lý thuyết đàn hồi..................................................................................... 74
3.5. So sánh FSM với kết quả tính toán giải tích và FEM ............................................ 78
3.6. Nhận xét kết quả.......................................................................................................... 81
3.7. Nhận xét phương pháp FSM....................................................................................... 90
CHƯƠNG IV : XÂ Y DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN BÀI TOÁN
PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI .................................................................................. 91
4.1. Xây dựng mô hình thuật toán..................................................................................... 91
4.2. Chuẩn bị dữ liệu............................................................................................................ 93
4.3. Tính toán các ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải trọng phần tử ................... 93
4.4. Lắp ghép ma trận độ cứng và vectơ tải tổng thể................................................... 95
4.5. Đưa vào các chuyển vị cưỡng bức ............................................................................. 97
4.6. Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính.......................................................... 98
4.7. Tính toán các thành phần nội lực ............................................................................. 98
4.8. Chương trình tính toán................................................................................................. 99
CHƯƠNG V : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................103
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................104


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD)
1.1. Đặt vấn đề
Để giải quyết một bài toán cơ học vật rắn biến dạng tổng quát cần thiết phải
tìm được 15 ẩn hàm (gồm 3 phương trình cân bằng nội, 6 phương trình liên tục, 6
phương trình quan hệ giữa ứng suất – biến dạng) phải thỏa mãn các điều kiện biên
động học và tónh học. Điều này rõ ràng không thực hiện được đối với những bài toán
tổng quát do khó khăn về mặt toán học. Vì thế có nhiều phương pháp tính ra đời
nhằm giải quyết vấn đề trên.
Có thể chia làm hai nhóm phương pháp tính là các phương pháp giải tích và các
phương pháp số, trong đó phương pháp số tỏ ra khá tốt trong việc tính toán các kết
cấu phức tạp. Hiện nay phương pháp số được ứng dụng nhiều nhất trong phân tích
kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM).
Tuy nhiên phương pháp nào cũng có những ưu khuyết điểm nhất định trong
từng bài toán cụ thể. Đề tài này hướng đến việc giải quyết bài toán phẳng của lý
thuyết đàn hồi bằng phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM). Phương
pháp này được sử dụng khá hữu hiệu đối với các loại kết cấu có mặt cắt ngang
không đổi chạy dọc theo một hoặc hai trục cố định như các loại cầu dầm hộp, tấm
mỏng, tấm dày, các kết cấu dạng lăng trụ...
Vì nghiên cứu về phương pháp tính nên người viết sẽ phân tích cụ thể cơ sở lý
thuyết của phương pháp trong việc thành lập các phương trình tính toán ứng với
nhiều loại phần tử khác nhau và so sánh với các phương pháp tính khác về mức độ
chính xác, độ hội tụ của các nghiệm tìm được, khối lượng tính toán và khả năng tự
động hóa tính toán.
1.2. Tổng quan về phương pháp FSM
Như chúng ta đã biết phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ rất mạnh mẽ
và linh hoạt trong việc phân tích kết cấu đã được phát triển nhanh chóng và ứng
dụng giải quyết rất nhiều những bài toán cơ học. Tuy nhiên đối với những kết cấu có
đặc tính hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản, nếu phân tích bằng
phương pháp phần tử hữu hạn một cách đầy đủ là không cần thiết và thường dẫn đến
việc phân tích một bài toán bậc cao để có thể thu được nghiệm tốt. Chính vì vậy kích

thước bài toán chính xác đòi hỏi nhiều công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế,
bà i toán được giải quyết một cách cứng nhắc hoặc phải thực hiện nhiều bước tính
toán trung gian dài dòng và tốn thời gian. Điều này thể hiện rõ trong các bài toán

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

1


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

phân tích kết cấu ở trạng thái tónh (static analysis) của vật rắn 3 chiều hay những bài
toán phân tích dao động và ổn định của các kết cấu không gian. Do đó chúng ta cần
lựa chọn một phương pháp tính có thể giảm bớt khối lượng tính toán bằng cách sử
dụng linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích các loại kết cấu mong
muốn.
Từ những vấn đề nêu trên, gần đây đã phát triển một phương pháp phân tích
kết cấu có thể thỏa mãn những yêu cầu của bài toán đó là phương pháp dải hữu hạn.
Trong phương pháp này, kết cấu được chia thành những dải (strip) hoặc những miền
con (subdomain) 3 chiều như lăng trụ (prism) hoặc lớp (layer) mà các dải đó có một
cặp cạnh đối diện (2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với nhau ở các biên
của kết cấu. Do đặc tính của phương pháp, các kết cấu thường có dạng hình học
không thay đổi dọc theo một hoặc hai trục tọa độ để kích thước mặt cắt ngang của
các dải (hoặc của lăng trụ hay lớp) không thay đổi từ đầu đến cuối. Vì vậy các kết
cấu như dầm cầu dạng hộp (box girder bridge) hoặc các loại tấm mỏng (voided slab)
rất dễ dàng chia thành các dải hoặc lăng trụ, hay các loại kết cấu tấm và vỏ dày
nhiều lớp đẳng hướng rất thuận tiện khi chia thành các lớp để nghiên cứu.
Phương pháp dải hữu hạn có thể xem là trường hợp đặc biệt của phương pháp

phần tử hữu hạn bằng cách sử dụng hàm gần đúng của chuyển vị (displacement
approach). Không như phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn là sử dụng một hàm
chuyển vị đa thức trong tất cả các chiều mà phương pháp này sử dụng các đa thức
đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác và các chuỗi đạo hàm riêng liên tục với
điều kiện các chuỗi phải thỏa mãn một điều kiện tiên quyết (priori) về điều kiện
biên tại biên của các dải (lăng trụ, lớp). Công thức tổng quát của hàm chuyển vị
được cho bởi tích của các đa thức và chuỗi. Vì vậy đối với các dải trong bài toán 2
chiều được giảm xuống bài toán một chiều. Hàm chuyển vị được viết như sau :
r

w = ∑ f m ( x )Ym

(1.1a)

m =1

Tương tự cho trường hợp “dải” lăng trụ, bài toán ba chiều được giảm xuống
thành bài toán 2 chiều :
r

w = ∑ f m ( x, z )Y m

(1.1b)

m =1

Đối với “dải layer” bài toán ba chiều được phân tích như bài toán 1 chiều :
r

w=∑

m =1

t

∑f

mn

( z ) X m Yn

(1.1c)

n =1

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

2


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Trong biểu thức trên, các chuỗi đã được cắt bớt ở bậc thứ r và số hạng thứ t;
f m ( x), f m ( x, z ), f mn ( z ) là các biểu thức đa thức với các hằng số không xác định cho số
hạng thứ m và n của chuỗi. X m , Ym tương ứng là các chuỗi thỏa mãn các điều kiện
biên theo phương x và y và chỉ rõ hàm độ võng trong các phương này. Chính vì thế
bậc tự do của hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm. Bài toán trở nên đơn giản
hơn. Các dạng kết cấu sau đây sẽ minh họa cách chia phần tử theo dải và áp dụng
phương pháp tính toán FSM.

1

2

3

4

5

6

7

8

1

9

2
3
4
5

(Plate Strips)

2

4

3

11
7

12

8

13

(QuadrilateralFinitePrisms)

6

5

9
10

(b) Tấm rỗng khoét lỗ tròn

(a) Tấm phẳng

1

6

7

8

9

10

12

11

1
2
3
4
5

(c) Cầu dầm hộp cong

(d) Tấm dày nhiều lớp

(Shell Strips)

(Finite Layers)

Hình 1 : Các loại kết cấu có thể tính toán bằng FSM

Tư tưởng chủ yếu của phương pháp FSM cũng tương tự như phương pháp FEM
là tìm dạng gần đúng của ẩn hàm trong các miền con Ve thuộc miền V của nó. Tuy

nhiên dạng Ve của phương pháp FSM có tính chất không thay đổi trong toàn miền V
do đó chỉ áp dụng trong các bài toán như đã nêu ở trên. Các miền con Ve này liên
kết với nhau bởi các đường gọi là đường nút (nodal line). Các thông số của đường
nút có thể gọi là bậc tự do của phần tử và xem là các ẩn số cần tìm.

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

3


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Để rõ hơn về phương pháp này, ta xem bảng so sánh sự khác nhau của phương
pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn.
Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp dải hữu hạn

(FEM)

(FSM)

Có thể áp dụng phân tích kết cấu với
mọi dạng hình học, mọi điều kiện biên
và vật liệu khác nhau. Là công cụ rất
mạnh và linh hoạt.

Trong bài toán tónh, thường được áp

dụng cho các kết cấu với gối tựa có hai
cạnh đối diện nhau, có hoặc không có
gối tựa đàn hồi trung gian, đặc biệt là
cầu. Trong bài toán động, thường sử
dụng cho kết cấu với mọi điều kiện
biên nhưng không có gối tựa rời rạc.

Thường có số lượng phương trình nhiều
và ma trận có dải rộng (bandwith) tương
đối lớn. Có thể không tìm được lời giải
vì giới hạn của các công cụ tính toán.

Số lượng phương trình ít hơn và ma trận
có dải hẹp, đặc biệt đúng cho bài toán
có cặp gối tựa đối nhau. Do đó thời gian
tính toán ít hơn nhiều để tìm ra lời giải
tương đối chính xác.

Số lượng dữ kiện đưa vào rất lớn và dễ Số lượng dữ kiện đưa vào rất ít vì các
gây ra các lỗi lầm. Đòi hỏi sự tự động đường lưới ít do việc giảm kích thước
hoá việc phủ lưới và phát sinh tải trọng. bài toán phân tích.
Số lượng dữ liệu xuất ra lớn bao gồm tất Dễ dàng chỉ rõ các chuyển vị và ứng
cả các chuyển vị nút và ứng suất phần suất cần tìm và xuất ra kết quả một
tử. Các phần tử bậc thấp hơn sẽ không cách chính xác
có được ứng suất chính xác tại các nút
và ứng suất trung bình được nội suy.
Đòi hỏi một số lượng lớn các yếu tố cốt
lõi và rất khó khăn để lập trình. Thông
thường cần có những kỹ thuật tính cao
phải dùng đến như phương pháp thu gọn

khối lượng hay phương pháp lặp để
giảm các yêu cầu chính.

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

Cần một số nhỏ các yếu tố cốt lõi và dễ
lập trình hơn. Bởi vì chỉ cần một vài trị
riêng thấp nhất nên từ 2 đến 3 số hạng
đầu tiên của chuỗi cũng cho kết quả
khá chính xác, có thể giải các ma trận
bằng các ma trận con trị riêng chuẩn.

4


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

1.3. Quá trình phát triển của FSM trên thế giới
FSM là phương pháp mới được nghiên cứu gần đây và ứng dụng nhiều trong
lónh vực phân tích kết cấu :
Phương pháp FSM lần đầu tiên được nghiên cứu một cách có hệ thống do giáo
sư Y. K Cheung biên soạn và xuất bản vào các năm 19681 và năm 19712. Đến năm
1976 đã hoàn thành một tài liệu nghiên cứu khá chi tiết về FSM3 và ứng dụng của
phương pháp trong phân tích các loại kết cấu.
Tháng 2/1997 tác giả Dr. Eng. Christo T. Christov đã báo cáo một vấn đề về
phương pháp dải hữu hạn trong phân tích bài toán tónh đàn hồi tuyến tính của kết cấu
vỏ lăng trụ phức tạp trực hướng (complex prismatic orthotropic shell structure) và sử
dụng phương pháp FSM trong bài toán này.

Tháng 12/1999 tác giả J. Petrolito của trường đại học quốc gia Australia cùng
cộng sự B.W. Golley đã công bố một bài báo về vấn đề phân tích dao động của bài
toán tấm dày chịu uốn sử dụng phương pháp FEM và FSM kết hợp.
Luận án tiến só của nghiên cứu sinh X. Wang nghiên cứu về đề tài “Thiết lập
dải hữu hạn phân tích về độ bền, độ ổn định của tấm sàn được gia cố4” nghiên cứu
về kết cấu tường mỏng (thin-wall structure), sàn gia cường... đã sử dụng phương
pháp FSM để khảo sát.
Phần mềm DESCUS (Design anh rating for Curved Steel I and box girder
bridge structures) cuûa trường đại học Maryland ứng dụng phương pháp FSM trong
tính toán cầu dầm hộp và dầm thép I.
Ở Việt Nam, phương pháp FSM vẫn còn khá mới mẻ, hầu như những nghiên
cứu gần đây chỉ mới là bước đầu do sự thiếu thốn về tài liệu và các điều kiện nghiên
cứu. Trong tính toán kết cấu cầu dầm hộp, một số các đơn vị thiết kế trong nước vẫn
sử dụng các phần mềm áp dụng phương pháp FEM như Sap2000, Leap5.0... mà
không ứng dụng kết quả tính toán của FSM.
Đề tài “Phân tích kết cấu tấm và ứng dụng trong kết cấu cầu dầm hộp” của
Phạm Sanh (Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh) sẽ được bảo vệ trong thời
gian tới là đề tài nghiên cứu phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng của nó.

1

“Finite Strip Method In The Analysis Of Elastic Plates With Two Opposite Ends” (5/1968) vaø “Finite Strip
Method Analysis Of Elastic Slabs” (12/1968)
2
“Orthotropic Right Brigdes by Finite Strip Method” (1971)
3
“Finite Strip Method in Structural Analysis” (1976)
4
“Finite Strip Formulations for Strength, Buckling and Post-Buckling Analysis of Stiffened Plates”

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

5


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH BÀI TOÁN CỦA
PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN
2.1. LỰA CHỌN HÀM CHUYỂN VỊ
Việc chọn hàm chuyển vị cho các dải trong FSM tương tự như việc chọn hàm
xấp xỉ cho phần tử trong FEM. Từ các công thức (1.1a,b,c) có thể thấy rằng việc lựa
chọn hàm chuyển vị cho một dải là phần quyết định nhất của việc phân tích. Để đảm
bảo sự hội tụ đến kết quả chính xác, hàm chuyển vị cần phải thỏa mãn những điều
kiện sau đây:
(i) Phần chuỗi Ym của hàm chuyển vị phải thỏa mãn một điều kiện tiên quyết
về điều kiện biên của dải (trong bài toán dao động chỉ điều kiện chuyển vị phải thỏa
mãn). Ví dụ, một dải chịu uốn tựa đơn, hàm chuyển vị phải thỏa mãn cả hai điều
kiện độ võng w và momen ∂2w/∂y2 bằng 0 tại hai đầu. Như vậy khi chọn hàm chuyển
vị ta đã áp đặt điều kiện biên của kết cấu vào trong công thức của hàm chuyển vị.
Do đó khi thành lập các phương trình cơ bản của kết cấu, điều kiện biên sẽ tự động
thỏa mãn.
(ii) Phần đa thức của hàm chuyển vị (fm(x)) phải được đại diện cho một giai
đoạn của biến dạng hằng số theo phương ngang (x). Nếu điều này không thỏa thì
biến dạng sẽ không hội tụ về sự phân phối biến dạng đúng trong khi lưới được chia
càng nhỏ. Đa thức (fm(x)) chính là phần hàm dạng mô tả xấp xỉ trường chuyển vị theo

phương x (mặt cắt ngang của dải).
Điều kiện về biến dạng hằng số có thể được kiểm tra bằng 1 trong 2 cách sau:
(a) Nếu chuỗi đa thức f(x) có dạng a1 + a 2x + a 3x2 + … thì biến dạng hằng số sẽ
tồn tại ở bậc bằng hoặc cao hơn bậc của một số hạng hằng số thật sự đạt được khi
thực hiện tính toán đạo hàm cần thiết cho biến dạng. Ví dụ, trong trường hợp dải chịu
uốn đa thức phải đạt đến ít nhất số hạng bậc 2. Nếu hàm đa thức được chọn a1 + a 2x
+ a 3x3 + a 4x4 thì độ cong uốn theo phương ngang:
χx = −

∂2 w
= −6a 3 x − 12a 4 x 2
∂x 2

Biểu thức này cho thấy rằng χx luôn bằng 0 tại x = 0 và χx sẽ không bao giờ hội
tụ tới nghiệm chính xác.
(b) Nếu f(x) sử dụng hàm dạng (ta sẽ xét phần hàm dạng sau) chưa thể kết luận
hàm đa thức có thể sử dụng được hay không hoặc phải sử dụng đến một cách xấp xỉ
khác.
THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

6


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Nhìn chung các thông số chuyển vị nút của dải biến dạng sẽ nhận một giá trị
tùy ý mang theo mối quan hệ không cố định với giá trị khác. Tuy nhiên, trong trường
hợp như bài toán uốn trụ, cắt thuần tuý…, các thông số chuyển vị nút sẽ liên hệ với

các thông số khác trong một vài ứng xử đặc biệt nhận một vài giá trị quy định. Nếu
một tập hợp các thông số tương thích với một điều kiện cưỡng bức được thay thế vào
trong hàm chuyển vị, hằng số biến dạng thật sự đạt được nếu hàm dạng được thành
lập chính xác và ứng xử tốt.
Ví dụ, hàm chuyển vị cho dải tấm chịu uốn được cho bởi:
r

[(

{ f } = {w} = ∑ 1 − 3x
m =1

)

(

)

(

)

(

) ]

+ 2 x w1m + x − 2 xx + x x θ1m + 3x − 2 x w2 m + x x − xx θ 2 m Ym (2.1)

2

3

2

2

3

2

trong đó x = x / b , b là bề rộng dải.
Cho w1m = w2m = 0 và θ1m = -θ2m, một giai đoạn của độ cong hằng số theo
phương x có thể tìm được. Nếu các thông số chuyển vị nút này được thay thế vào
(1.1) ta coù:
r

(

)

w = ∑ x − xx θ1 m Ym
m =1

r
∂2 w
2
=
− θ1 m Ym
∑
2

∂x
b
m =1

Vì vậy biến dạng uốn hằng số theo phương x là thật sự tồn tại.
(iii) hàm chuyển vị phải thỏa mãn sự tương thích của chuyển vị dọc theo biên
với những dải lận cận, và điều này bao gồm sự liên tục của đạo hàm riêng phần bậc
nhất cũng như giá trị chuyển vị.
Phát biểu trên đây còn có thể nói một cách khác như sau “hàm chuyển vị phải
được chọn sao cho những biến dạng cần thiết đưa vào công thức năng lượng vẫn phải
hữu hạn tại các giao diện giữa các dải”.
Vì vậy trong bài toán đàn hồi 2 chiều, biến dạng bao gồm các đạo hàm riêng
phần bậc nhất cho nên chỉ những chuyển vị cần thiết phải liên tục. Mặt khác, trong
những bài toán uốn, biến dạng bao gồm cả đạo hàm riêng phần cấp 2 và cả chuyển
vị và đạo hàm riêng phần cấp 1 của nó phải liên tục tại các giao diện.
Nếu các điều kiện như vậy được thỏa mãn thì sẽ không có biến dạng vô hạn tại
các giao diện và vì vậy không có sự góp phần vào công thức năng lượng từ các giao
diện, mà có thể xem như một dải hẹp có diện tích hội tụ đến 0. Chỉ bằng cách này,
chúng ta mới đảm bảo rằng sự tổng hợp đơn giản của tổng thế năng của tất cả các
dải sẽ thật sự bằng với tổng thế năng của vật thể đàn hồi. Tổng thế năng của đại

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

7


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

diện các dải như vậy luôn cung cấp một năng lượng xấp xỉ lớn hơn giá trị thật sự vì
thế đưa ra một biên tổng thế năng tuyệt đối cho hệ đàn hồi.
2.2. THÀNH LẬP CÁC HÀM CHUYỂN VỊ
Đối với FEM, bậc tự do của nút chính là giá trị của hàm xấp xỉ tại nút và các đa
thức xấp xỉ được biểu diễn qua vectơ các bậc tự do của phần tử. Tương tự như vậy,
FSM cũng biểu diễn các hàm chuyển vị qua các thông số của đường nút.
Các hàm chuyển vị luôn được tạo thành từ 02 phần :
Đa thức fm(x) bị chi phối bởi hình dạng mặt cắt ngang của dải (như đường thẳng,
tam giác…) cũng như sự sắp xếp các nút bên trong mặt cắt ngang.
Chuỗi Ym được xác định bởi các điều kiện biên. Dưới đây chúng ta sẽ khảo sát
riêng mỗi phần của hàm chuyển vị.
2.2.1. Phần chuỗi của hàm chuyển vị
Vì dải có dạng hình học gần như một thanh dầm chịu uốn nên cách chung nhất
là sử dụng hàm cơ bản thường đi từ nghiệm của phương trình đạo vi phân chủ đạo
của bài toán dầm chịu uốn.
Y ( 4) =

µ4
Y
a4

(2.2)

trong đó a là chiều dài của dầm (dải) và µ là thông số.
Dạng tổng quát nghiệm của phương trình cơ bản (2.2) là:
µy
µy
µy
µy
Y ( y) = C1 sin   + C2 cos  + C 3 sinh   + C 4 cosh  

 a 
 a 
 a 
 a 

(2.3)

với các hệ số C1. C2… được xác định từ điều kiện biên.
Ta sẽ xem xét các điều kiện biên khác nhau của dải:
(a) Cả hai gối tựa đơn
Điều kiện Y ( 0) = Y '' (0) = Y ( a) = Y '' ( a ) = 0 (chuyển vị và momen bằng 0)
µ y
Ym ( y) = sin  m  , µm = π, 2π,..., mπ
 a 

(2.4a)

(b) Cả hai đầu ngàm
Điều kieän Y ( 0) = Y ' ( 0) = Y ( a) = Y ' (a ) = 0 (chuyển vị và góc xoay bằng 0).
 µ y 
µ y 
µ y
 µ y 
Ym ( y) = sin  m  − sinh  m  − αm cos  m  − cosh m 
 a 
 a 
 a 
  a 

trong đó αm =

(2.4b)

sin µm − sinh µm
3 5
2m + 1
, µm = π, π,...,
π
cos µm − cosh µm
2 2
2

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

8


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

(c) Một đầu ngàm, một đầu tựa đơn
Điều kieän Y ( 0) = Y '' (0) = 0, Y (a ) = Y ' ( a) = 0
µ y
µ y
Ym ( y) = sin  m  − αm sinh  m 
(2.4c)
 a 
 a 
sin µm

5 9
4m + 1
trong đó αm =
, µm = π, π,...,
π
sinh µm
4 4
4

(d) Cả hai đầu tự do
Điều kiện Y '' (0) = Y ''' ( 0) = Y '' (a ) = Y ''' (a ) = 0 (momen vaø lực cắt bằng 0).


Y1 ( y) = 1, µ1 = 0

Y2 ( y ) = 1 − 2 y / a, µ2 = 1

Y ( y) = sin  µm y  + sinh  µm y  − α  cos µm y  + cosh  µm y  
m

 m
 a 
 a 
 a 
  a 

trong đó αm =

(2.4d)

sin µm − sinh µm
3 5
2m − 3
, µm = π, π,...,
π, m ≥ 3
cos µm − cosh µm
2 2
2

(e) Một đầu ngàm, một đầu tự do
Điều kiện Y ( 0) = Y ' ( 0) = 0, Y '' ( a) = Y ''' (a ) = 0
 µ y
µ y 
 µ y
 µ y 
Ym ( y) = sin  m  + sinh  m  − αm  cos m  − cosh  m 
 a 
 a 
 a 
  a 

trong đó αm =

(2.4e)

sin µm − sinh µm
1 3
2m − 1
, µm = π, π,...,
π

cos µm − cosh µm
2 2
2

(f) Một đầu tựa đơn, một đầu tự do
Điều kiện Y ( 0) = Y '' (0) = 0, Y '' ( a) = Y ''' ( a) = 0
Y1 ( y) = y / a, µ1 = 1


 µm y 
 µm y 
Ym ( y) = sin  a  + αm sinh  a 






trong đó αm =

(2.4f)

sin µm
5 9
4m − 3
, µm = π, π,...,
π, m ≥ 2
sinh µm
4 4
4

Những hàm trên đây trước hết được dùng cho dải uốn. Trong bài toán đàn hồi 2
và 3 chiều, cả Ym và Y’m sẽ được dùng cho cả chuyển vị u,v (và w). Chúng ta sẽ xét
riêng bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi vì có thể sử dụng các hàm chuyển vị khác
với các hàm đã nêu nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác.

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

9


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Những hàm cơ bản này có tính chất trị trực giao:
a
 ∫ Ym Yn dy = 0
0
với m ≠ n
a
 Y ''Y ''dy = 0
∫ m n
0

(2.5)

Các tích phân này luôn xuất hiện trong các công thức tiếp theo sau, và sự tận
dụng tính chất này sẽ giảm bớt khối lượng tính toán rất nhiều.
Trong thực hành tất cả các hàm thích hợp được lưu giữ trong các bước tính toán

trung gian giống nhau, và những tích phân của các tổ hợp các hàm khác nhau được
tích phân bằng số học (phương pháp tích phân cầu phương Gauss hay phương pháp
Simson để tính tích phân kép). Bởi vậy các nhiều bài toán với những điều kiện biên
khác nhau có thể giải bằng một chương trình.
2.2.2 Phần hàm dạng của hàm chuyển vị
Hàm dạng là một đa thức liên kết với thông số chuyển vị nút, và nó mô tả
trường chuyển vị tương ứng bên trong mặt cắt ngang của dải khi thông số chuyển vị
nút được cho bằng đơn vị. Thật ra nhiều hàm dạng được bắt đầu từ việc chỉ định rõ
giá trị đơn vị được tuyến tính hóa của thành phần chuyển vị phù hợp tại các chính
các nút của dải đó, và giá trị bằng 0 cho tất cả các thành phần chuyển vị đó tại tất cả
các nút khác.
Ví dụ:
Công thức hàm chuyển vị (2.1) có thể viết như sau:

r
2
{δ1 } 
w = ∑ [[C1 ][C 2 ]]
 Ym = ∑ Ym ∑ [C k ]{δk }m
{
δ
}
m =1
m =1
k =1
 2 m
r

(2.6)

{δ1 }
 laø vectơ đại diện cho các thông số chuyển vị nút của số hạng
{δ 2 } m

Trong đó 

thứ m (chuyển vị và góc xoay) tại nút 1 và 2. [C1 ][C 2 ] là hàm dạng tương ứng liên kết
với {δ1 } và {δ 2 }.

Từ (2.1) và (2.6), ta thấy tại x = 0 có:

[[C1 ][C2 ]] = [1 0 0 0]
 ∂[C1 ] ∂[C 2 ]
= [1 0 0 0]
 ∂x


∂x 

taïi x = b

[[C1 ][C2 ]] = [0 0 1 0]

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

10


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

 ∂[C1 ] ∂[C 2 ]
= [0 0 0 1]
 ∂x
∂x 


Vì vậy thỏa mãn các tiêu chuẩn đã phát biểu.
Mục đích chính của việc sử dụng hàm dạng trực tiếp thay vì sử dụng hàm đa
thức với các hằng số không xác định là hai phần :
• Để tránh quá trình dài dòng của việc liên hệ các hằng số không xác định
với các thông số chuyển vị nút.
• Để đảm bảo rằng có sự tương thích của những chuyển vị dọc theo giao
diện của các dải nối tiếp.
Phát biểu đầu tiên rõ ràng là đúng và chấp nhận được. Điểm thứ hai có thể
được giải thích tốt nhất bằng cách chú ý rằng những chuyển vị dọc theo bất cứ giao
diện nào của các dải nối tiếp được xác định một cách duy nhất bởi các thông số
chuyển vị tại một nút (hoặc các nút) chung của các dải, từ sự định nghóa hàm dạng
cho các thông số chuyển vị của các nút khác sẽ chấp nhận giá trị 0 tại giao diện đã
nói. Đối với FEM, có thể xem hàm dạng này là hàm dạng của các phần tử bậc cao.
Bậc của hàm dạng phụ thuộc vào việc sử dụng các loại phần tử dải và các
thông số của đường nút. Nhiều hàm dạng đã lập sẵn, và những hàm dạng thông
thường sẽ được liệt kê dưới đây:
1

2

x

1

b

(a)

1

2

x

(b)

(c)

1

x

b/2

2

x
b

2

3

b/2

(d)

b/2

(e)

3

y

1

b

3

b/2

2

x

y

6

5

η ξ

1
4

2
x

(f)

x
(g)

H.2-1 - Mặt cắt ngang dạng dải và dạng lăng trụ

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

11


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Bậc tự do của đường nút được ký hiệu trên hình vẽ (H.2-1) như sau:
∂f
∂f ∂ 2 f
¡ = f ; ă = f,
; Â = f,
,

.
x
x x 2

(a) Đường thẳng với 2 nút với các chuyển vị là thông số nút (H.2-1a)
(2.7a)

C1 = (1 − x), C 2 = x

(b) đường thẳng với 2 nút; các chuyển vị và đạo hàm bậc nhất

[(
[(

) (
) ( )]

[C ] = 1 − 3x 2 + 2 x 3 , x 1 − 2 x + x 2
1

2
3
2
[C2 ] = 3x − 2 x , x x − x

)]

(2.7b)

(c) đường thẳng với 2 nút; chuyển vị, đạo hàm cấp 1 và cấp 2

[(
[(

) (
)(

) (
) (

[C ] = 1 − 10 x 3 + 15 x 4 − 6 x 5 , x 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 , x 2 0.5 − 1.5 x + 1.5x 2 − 0.5x 3
1

3
4
5
2
3
4
2
3
[C2 ] = 10 x − 15x + 6 x , x − 4 x + 7 x − 3 x , x 2 0.5 x − x + 0.5 x

)]

)] (2.7c)

(d) đường thẳng với 3 nút; chỉ có chuyển vị
C = (1 − 3x + 2 x 2 )
 1

2

C 2 = ( 4 x − 4 x )

2
C3 = (− x + 2 x )

(2.8d)

(e) đường thẳng với 3 nút; chuyển vị và đạo hàm bậc nhất

[(
[(
[(

) (

[C ] = 1 − 23 x 2 + 66 x 3 − 68 x 4 + 24 x 5 , x 1 − 6 x + 13 x 2 − 12 x 3 + 4 x 4
 1
2
3
4
2
3
4

[C2 ] = 16 x − 32 x + 16 x , x − 8x + 32 x − 40 x + 16 x

2
3

4
5
2
3
4
[C3 ] = 7 x − 34 x + 52 x − 24 x , x − x + 5 x − 8 x + 4 x

)(

)]

)(

)]

)]
(2.7e)

(f) tam giác với 6 nút, chỉ có chuyển vị
1-các nút góc:
C1 = (2 Li − 1)Li

(i = 1,2,3)

2-Các nút chính giữa:
(2.7f)

C4 = 4 L1 L2 , C5 = 4 L2 L3 , C6 = 4 L3 L1

trong đó Li là tọa độ diện tích.

Một công thức rất hữu ích cho việc tích phân một số lượng lớn tọa độ diện tích
của diện tích tam giác:
a!b! c!

∫∫ L L L dxdy = (a + b + c + 2)! 2 ∆
a
1

b
2

c
3

∆

trong đó ∆ là diện tích tam giác.
THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

12


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

(g) tứ giác cong đẳng tham số với 8 nút; chỉ có chuyển vị
1-Các nút góc:
Ci =

1
(1 + ξ0 )(1 + η0 )(ξ0 + η0 − 1)
4

2-Các nút giữa (ξi = 0)
Ci =

1
(1 − ξ 2 )(1 + η0 )
2

3-Các nút giữa (ηi = 0)
Ci =

1
(1 − ξ0 )(1 − η2 )
2

(2.7g)

với ξ0 = ξξi , η0 = ηηi , ξi và ηi là tọa độ ξ và η của nút thứ i.
Ta sẽ xem xét cách tìm hàm dạng cho từng trường hợp cụ thể. Thường có hai
phương pháp tìm là cách nghịch đảo trực tiếp ma trận biểu diễn hàm f qua các thông
số nút fi hoặc dùng phép kiểm tra các hàm thử. Dưới đây sẽ trình bày 2 cách tìm này
ứng với trường hợp (d) ở trên. Đối với các trường hợp khác cách tìm hàm dạng cũng
tiến hành tương tự.
(i) Đa thức đơn giản và phép nghịch đảo trực tiếp
Có 3 bậc tự do cho trường hợp (d), và vì lý do đó một đa thức bậc 2 với 3 hằng
số chưa xác định sẽ thích hợp cho việc mô tả chuyển vị.
(2.8)

f = A1 + A2 x + A3 x 2

Hay bieåu diễn ở dạng ma trận:
 A1 
 
f = 1 x x  A2 
A 
 3

[

2

]

(2.9)

Áp dụng (2.9) lần lượt vào 3 nút, ta có:
 f1 
 
 f2  =
f 
 3

1 x1

1 x 2
1 x 3


x12 

x 22 
x 32 

 A1 
 
 A2  =
A 
 3

1

1

1

0
b
2
b

0
b2 

4
b2 

 A1 

 
 A2 
A 
 3

(2.10)

Với x i là tọa độ của nút thứ i. Ta coù x1 = 0 ; x 2 = b / 2 ; x 3 = b ;
trong đó fi là giá trị của f tại 3 nút.
Các hằng số {A} có thể được biểu diễn qua các số hạng thông số nút fi bằng
cách nghịch đảo (2.10). Có thể tính toán bằng số với máy tính hay tính bằng phương
pháp đại số.

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

13


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Khai triển biểu thức (2.10) ở dạng tường minh nhö sau:
f 1 = A1
b
b2
+ A3
2
4
2

f 3 = A1 + A2 b + A3 b

(2.10a)

f 2 = A1 + A2

Biểu diễn các hằng số {A} theo f i ta coù:
A1 = f 1
1
A2 = (− 3 f 1 + 4 f 2 − f 3 )
b
2
A3 = 2 ( f 1 − 2 f 2 + f 3 )
b

(2.10b)

Ta có biểu thức nghịch đảo ở dạng ma trận:

 1
 A1 
−3
 
 A2  == 
 b
A 
 3
 2
 b 2


0   f1 
−1  
  f2 
b  
2   f3 
b 2 

0
4
b
−4
b2

(2.10c)

Phương trình (2.10c) được thay thế vào trong (2.9) tìm được:

 1
−3
f = 1 x x2 
 b
 2
 b 2

[

]

0

4
b
−4
b2


0   f1 
−1  
  f2 
b  
2   f3 
b 2 

(2.11)

Tích số của 2 ma trận đầu tiên trong (2.11) rõ ràng là cho hàm dạng tại tất cả 3
nút. Vì vậy, thực hiện việc nhân ma trận, ta được:
f 
 3x 2 x 2   4 x 4 x 2   − x 2 x 2    1 
f = 1 −
+ 2 , 
− 2 , 
+ 2    f 2 
b
b   b
b   b
b   

 f3 

[(

2

)(

2

)(

= 1 − 3x + 2x , 4x − 4x , − x + 2x

2

)]

 f1 
 
 f 2  = [C1
f 
 3

với C1 = 1 − 3x + 2 x ; C 2 = 4 x − 4 x ; C 3 = − x + 2 x
2

2

C2

 f1 

 
C3 ]  f 2 
f 
 3

(2.12)

2

vaø x = x / b

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

14


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Vì vậy hàm dạng của (2.8d) đã được đạt đến bằng cách giả sử một đa thức đơn
giản và qua các bước tính toán kế tiếp của quá trình liên kết các hằng số chưa xác
định với các thông số nút.
Trong những trường hợp đơn giản, cách làm trên đây tương đối nhanh và dễ
thực hiện. Trong những trường hợp phức tạp, quá trình nghịch đảo ma trận đại số
diễn giải trong công thức (2.10) trở nên dài dòng và khó khăn, đôi khi không thực
hiện được. Vì vậy phương pháp thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng bằng
cách kiểm tra các hàm thử thường có nhiều lợi thế hơn. Phần (ii) sẽ trình bày cách
thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng. Ngoài ra trong một số trường hợp ma
trận nghịch đảo không tồn tại nên không thể áp dụng phương pháp trên.

(ii) Cách thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng
Trong phương pháp gần đúng trực tiếp này, đa thức Larange và Hermitian đã
được dùng để tạo ra những họ hàm dạng đặc biệt. Tuy nhiên trong trường hợp tổng
quát, những hàm dạng thường nhận được một cách đơn giản bằng cách kiểm tra.
Lại lấy trường hợp (d) làm một ví dụ. Sự tương thích đòi hỏi nó cần thiết phải
thỏa mãn các điều kiện sau:
Tại nút 1

C1 = 1

(2.13a)

Tại nút 2 và 3 C1 = 0

(2.13b)

…
Những hàm nội suy tuyến tính được dùng như một nền tảng và được kết nối
bằng nhiều cách để các điều kiện biên đặt ra trước trong (2.13) có thể được nhận
thấy. Quá trình xây dựng hàm dạng thích hợp được tóm tắt trong bảng 2.1. Như vậy
các hàm tuyến tính có giá trị bằng 0 tại một nút nào đó sẽ gây ra việc hàm liên kết
có giá trị bằng 0 tại nút đó.
Bảng 2.1 Xây dựng hàm dạng cho trường hợp (d) bằng cách trực tiếp
Stt

C1

Hàm thử
1 − x 



 b
1 − 2 x 


b 


(

)(

1 x 1 2 x  1 x 1 2 x
−
 −  −
= −
b 
 b 

)

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

Nút 1

Nút 2

Nút 3

Thỏa (2.13)

1

½

0

Không

1

0

-1

Không

1

0

0

Thỏa

15


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

x
b

0

1

2

Không

2

1

0

Không

0

1

0

Thỏa

x
b

0

½

1

Không

2x 

− 1 −

b 


-1

0

1

Không

0

0

1

Thỏa

2

x
21 − 
 b

C2
4

C3
−

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

(

x  x
1 −  = 4 x 1 − x
b  b

(

)

)

x  2x 
1 −
 = −x 1 − 2x

b
b 

Với cách này, việc tìm ra hàm dạng là tương đối dễ dàng chỉ cần nhân các hàm
thử tương ứng với nhau. Do đó có thể thực hành để tìm những hàm dạng của các
phần tử có bậc cao và sử dụng nhiều thông số nút khác nhau để tính toán đặc biệt
đối với các phần tử biên cong đẳng tham số.
2.3. THÀNH LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA FSM BẰNG NGUYÊN
LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN DỪNG
Thành lập công thức các phương trình cơ bản của dải được thực hiện dựa trên
nguyên lý thế năng toàn phần dừng đã được biết đến trong cơ học kết cấu. Nguyên
lý này phát biểu như sau: “trong tất cả các chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều
kiện biên, chuyển vị nào làm thỏa mãn phương trình cân bằng sẽ làm cho tổng thế
năng đạt giá trị dừng”.
Về mặt toán học có thể viết như sau:
 ∂φ 
 ∂{δ} 
1


 ∂φ   ∂φ 

=
 = {0}
 ∂{δ}  ∂{δ}2 
 ... 
 ... 



(2.14)

Trong đó tổng thế năng φ được định nghóa là tổng thế năng của ngoại lực W và
năng lượng biến dạng U. {∂}m là vectơ thông số chuyển vị đường nút tại tất cả các
đường nút cho số hạng thứ m của chuỗi. Phương trình (2.14) có thể được làm sáng tỏ
như phương pháp gần đúng Raleigh-Ritz ứng dụng để phân tích đàn hồi.

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

16


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

2.3.1. Các hàm chuyển vị
Dạng chung của hàm chuyển vị có thể được viết như sau:
{∂ 1 }
r
s
{ f } = ∑ [[C1 ][C 2 ] ...] {∂ 2 } Ym = ∑ Ym ∑ [Ck ] {∂ k }m
m =1
m =1
k =1
 ... 

m
r

(2.15)

Thực hiện kết nối phần chuỗi Y m và hàm dạng [C ] với nhau ta coù:

{ f } = ∑∑ [N k ]m {∂ k }m = ∑ [ N ]m {δ }m = [N ] {δ}
r

s

r

m =1 k =1

(2.16)

m =1

trong đó k = 1, 2, …, s là số đường nút.

Có thể xem ma trận [N ] là ma trận các hàm dạng đã được liên kết với phần
chuỗi của hàm chuyển vị.
Trong trường hợp dải ứng suất phẳng với 2 đường nút u và v như các thông số
chuyển vị nút, phương trình sau đây được áp dụng:

u 
{ f } =  , s = 2
v 


T

{∂ k }m = {u k v k }m

(2.17)

2.3.2. Biến dạng
Một hàm chuyển vị được biết có thể thu được biến dạng bằng phép lấy đạo
hàm với các biến tọa độ thích hợp x, y, hay z. Vì vậy:

{ε} = [B] {δ} = ∑ [B]m {δ}m = ∑∑ [Bk ]m {δk }m
r

m =1

r

s

(2.18)

m =1 k =1

Trong công thức này, biến dạng thật ra là biến dạng được tổng quát hóa bao
gồm biến dạng cắt và biến dạng thông thường cũng như độ cong uốn và xoắn. Ma
trận [B] được xem là ma trận biến dạng.
Ví dụ, trong trường hợp dải uốn, ta có:
 − ∂ 2w 

2 
 χx   ∂x2 
{ε} =  χy  =  − ∂ 2w 

 2χ   ∂y2 
 xy   ∂ w 
2 ∂x∂y 



THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

(2.19a)

17


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Vì vậy:
 − ∂ 2 [N ]


2
 ∂x2

 − ∂ [N ]
[B] =  2 
 ∂y2

 ∂ [N ] 
 2 ∂x∂y 




(2.19b)

Với bài toán dải phẳng (2 chieàu):
 ∂u 


 ε x   ∂x 
{ε} =  εy  =  ∂v 
ε   ∂y 
 xy   ∂u ∂v 
 ∂y + ∂x 



(2.20)

2.3.3. Ứng suất
Ứng suất quan hệ với biến dạng bằng công thức:

{σ} = [D ] {ε} = [D][B] {δ} = [D] ∑ [B]m {δ}m = [D] ∑ ∑ [Bk ]m {δk }m
r

m =1

r

s

(2.21)

m =1 k =1

Ma trận [D] là ma trận đàn hồi hay ma trận tính chất. Với bài toán tấm đẳng
hướng chịu uốn ta có:


1 ν
0 

[D] = Et 2 ν 1 0 
12(1 −ν ) 
1 −ν
 0 0
2 
3

(2.22)

với bài toán ứng suất phẳng đẳng hướng, ma trận [D] như sau:


1 ν
0 

[D] = E 2 ν 1 0 
(1 − ν ) 
1 −ν 

0 0


2 

(2.23)

Trong phạm vi hiện tại, thuật ngữ ứng suất suy rộng bao gồm các ứng suất
thông thường và ứng suất tiếp gồm có momen uốn, momen xoắn và các lực cắt.
2.3.4. Cực tiểu tổng thế năng
(a) Thế năng biến dạng
Thế năng biến dạng của một vật thể đàn hồi được cho bởi công thức:

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

18


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11

U=

GVHD : PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

1
{e}T {σ}dV
∫
2

(2.24a)

Sử dụng các công thức (2.18), (2.21), (2.24a), có thể viết lại như sau:
U=

T
1
{
δ
}
[B]T [D][B]{δ}dV
∫
2

(2.24b)

(b) Thế năng do ngoại lực
Thế năng do ngoại lực {q} có thể viết dưới dạng:
W = − ∫ { f }T {q}dA

(2.25a)

thay (2.16) vào (2.25a), ta có:
W = −∫ {δ}T [N ]T {q}dA

(2.25b)

Với trường hợp lực tập trung công thức trên được đơn giản hóa bằng cách nhân
tải trọng với chuyển vị tương ứng.
(c) Tổng thế năng
Như đã phát biểu ở trên, tổng thế năng bao gồm thế năng biến dạng đàn hồi

tích lũy trong quá trình biến dạng và công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời
của ngoại lực do vật thể biến dạng. Vì vậy ta có:
φ =U +W =

T
T
1
T
{
δ
}
[
B
]
[
D
][
B
]
{
δ
}
dV
−
{
δ
}
[N ]T {q}dA
∫
∫

2

(2.26)

(d) Quá trình cực tiểu hóa thế năng
Theo nguyên lý tổng thế năng toàn phần dừng, cần có:
 ∂φ 

 = {0}
 ∂{δ}

(2.15)

Thay thế (2.26) vào (2.15) và thực hiện phép tính đạo hàm riêng, ta có
 ∂φ 
T
T

 = ∫ [B] [D][B]{δ}dV − ∫ [N ] {q}dA = {0}
 ∂{δ}

(2.27)

hay viết gọn ở dạng:

[S ]{δ} − {F } = {0}

(2.28)

trong đó

[S ] = ∫ [B]T [D ][B]dV = ∫ [[B]1 [B]2 ...[B]r ]T [D][[ B]1 [B]2 ...[B]r ]dV

THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11

19