Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm không khí

...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
VÀ TRUYỀN THƠNG

VƯƠNG TỒN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN Ô NHIỄM
KHÔNG KHÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01.01

Thái Nguyên - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN
VÀ TRUYỀN THƠNG

VƯƠNG TỒN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM
KHƠNG KHÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

Cán bộ hướng dẫn: GS. TS Đặng Quang Á

Thái Nguyên - 2015


LỜI CẢM ƠN

Bằng tấm lịng thành kính, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng
tới:
- Thầy giáo, GS TS. Đặng Quang Á đã quan tâm, tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ tơi trong q trình triển khai nghiên cứu đề tài và hoàn thành luận
văn này.
- Các thầy cơ trong Khoa CNTT cùng tồn thể các cán bộ , nhân viên trường
ĐH Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông - Đại Học Thái Nguyên, trung
tâm học liệu của Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
học tập, nghiên cứu khoa học, tạo thuận lợi các thủ tục hành chính, tài liệu
cần thiết để tơi hồn thành luận văn.
- Ban Giám hiệu trường THCS Cộng Hịa, các thầy cơ giáo trong tổ Khoa
học Tự nhiên và anh em bè bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ, động
viên tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2015.
Học viên

Vương Toàn Dũng

1

Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

Mở đầu

3

1 Mơ hình tốn học của bài tốn ơ nhiễm khí quyển

7

1.1

Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất trong khơng khí
và bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng

1.2
1.3

. . . . . . . . . . .

8

Sự tồn tại nghiệm của bài tốn khuếch tán truyền tải dừng .

9

Nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán-truyền tải dừng trong

trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải
2.1

Giới thiệu một số phương pháp giải bài tốn ơ nhiễm . . . . .

2.2

Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình

2.3

12
14
14

đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Phương pháp sai phân giải bài toán khuếch tán - truyền tải .

27

2.3.1

Xây dựng lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.2

Giải hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . .

31

3 Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong khơng
khí

35

3.1

Thiết kế chương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2

Kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3

Đánh giá kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài liệu tham khảo

50

2


Danh sách hình vẽ
2.1

18

2.3

Nghiệm số xấp xỉ trên lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π
Nghiệm chính xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 =
. . .
6
Nghiệm số với h = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Nghiệm số với h = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Nghiệm số với h = 0.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.6

Sai số với h = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.7

Sai số với h = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.8

Sai số với h = 0.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1

Giao diện chính của chương trình

. . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Nhập các dữ liệu của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3

Nhập hoàn chỉnh các dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Thực hiện tính nồng độ của chất gây ơ nhiễm . . . . . . . . .

38

3.5

Các tùy chọn để lấy dữ liệu đầu ra . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.6

Đường bình độ khi vận tốc gió u = 4 × (z + 0.2)0.15

. . . . .

45

Mặt phân bố nồng độ x và z . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.8

Phân bố nồng độ khí thải theo x thì cố định z . . . . . . . .

46

3.9

Phân bố nồng độ khí thải theo z tại x = jhx . . . . . . . . .

46

2.2

3.7

3

17
21


Mở đầu
Ngày nay thế giới nói chung và Việt nam nói riêng đang phải đối mặt
với một thực tế là mơi trường khơng khí, nước và đất ngày càng bị ô nhiễm

nghiêm trọng. Với sự công nghiệp hóa ngày càng cao nhiều nhà máy, xí nghiệp
được mọc lên và đi vào hoạt động đã và đang thải ra môi trường nhiều chất
độc hại ảnh hưởng trực tiếp đến sức khỏe con người và hủy hoại mơi trường
sinh thái. Vì thế việc tính tốn dự báo mức độ ơ nhiễm mơi trường là vô
cùng quan trọng trong quy hoạch phát triển các xí nghiệp cơng nghiệp.
Để làm việc này cần nghiên cứu mơ hình tốn học của bài tốn lan truyền
khí thải trong mơi trường khí, phương pháp giải bài tốn này và xây dựng
chương trình tính tốn các kịch bản có thể xảy ra phục vụ cho thẩm định
mơi trường trong các dự án đầu tư phát triển các khu cơng nghiệp.
Phương pháp sai phân giải bài tốn ơ nhiễm mơi trường có nhiều ứng dụng
trong trong thực tế. Chẳng hạn, đó là những bài tốn về cơ học lượng tử,
năng lượng hạt nhân, hóa học và một số bài toán trong các lĩnh vực khác.
Trong phạm vi đề tài này, chúng tơi nghiên cứu các bài tốn liên quan
đến mơi trường và khí hậu. Sự tác động qua lại của các phần tử khí trong
mơi trường chính là trọng tâm cần nghiên cứu mang tính khoa học và thực
tiễn cao vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống của trái đất. Trong mơi trường
khơng khí, khí quyển, các thành phần khí cũng như các thành phần khác
được pha trộn lẫn nhau (theo một tỷ lệ nào đó) dưới tác động của gió và
hiện tượng khuếch tán trong mơi trường.
Khí thải cơng nghiệp là tác nhân lớn nhất gây ô nhiễm không khí. Các
thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lị hạt nhân, núi
lửa . . . ) được lan truyền, khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau dưới
sự ảnh hưởng của nhiệt độ và độ ẩm tạo thành một hợp chất phức tạp, gọi
chung là hợp chất khí. Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp
4


chất khí tác động với nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở
thành độc hại đối với đời sống sinh vật. Q trình này dẫn đến ơ nhiễm các
lục địa và đại dương.

Để giải quyết được vấn đề đó ta cần biết được những q trình lan truyền
và khuếch tán ác thực thể nhiễm bẩn trong môi trường vì khi di chuyển chúng
sẽ khơng biến thành những thành phần có hại và ngược lại. Đó là vấn đề
rất đáng quan tâm. Vì thế giới khơng ngừng hồn thiện, bên cạnh đó là nền
cơng nghiệp phát triển. Chính vì vậy, để bảo vệ mơi trường chúng ta phải
điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong thiên nhiên để ít bị mất đi, mà cịn
nâng cao nó, cải thiện mơi trường. Tuy nhiên, địi hỏi một lượng kinh phí rất
lớn, cần sự chung tay, góp sức của cả quốc gia và sự quan tâm của nhân loại.
Nội dung của đề tài này, chúng tơi trình bày những phương trình liên hợp
được phân tích dựa trên các phương trình đã được thừa nhận các điều kiện
biên, điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu các phương pháp giải các bài
toán thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ
tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ.
Phần trình bày của luận văn gồm có 03 chương, cụ thể
Chương 1: Mơ hình tốn học của bài tốn ơ nhiễm
Nội dung là phân tích mơ hình tốn học của bài tốn ơ nhiễm khơng khí.
Phương trình khuếch tốn-truyền trải vật chất trong khí quyển, bài tốn
khuếch tán-truyền tải dừng, nghiệm giải tích trong trường hợp riêng
Chương 2: Phương pháp số giải bài tốn lan truyền khí thải.
Nội dung của chương này trình bày một số phương pháp khác nhau giải
bài tốn ơ nhiễm. Trong đó, luận văn tập trung chính vào phương pháp
sai phân giải bài tốn khuếch tán - truyền tải. Lược đồ sai phân cho bài
toán khuếch tán - truyền tải được xây dựng. Đồng thời phương pháp giải
hệ phương trình sai phân thu được từ được từ việc rời rạc hóa phương
trình sai phân được đưa ra.
Chương 3: Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong khơng
khí.
Trong chương này, xây dựng phương pháp giải các bài toán đã đặt ra
5

ở Chương 1. Do độ phức tạp của phương trình, với những giả thiết về
điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm
chính xác của bài toán. Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thường
rộng hơn, phức tạp hơn. Do đó, việc tìm các phương pháp giải số cho
lớp các bài tốn trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được
sử dụng. Luận văn trình bày phương pháp sai phân của bài toán khuếch
tán đặt ta ở Chương 1 bằng toán tử sai phân với độ chính xác cấp hai
theo các biến khơng gian và thoả mãn tính khơng âm.
Trong luận văn này các lược đồ sai phân giải bài toán ô nhiễm môi trường
được cài đặt bằng ngôn ngữ MatLab trên máy tính PC.

6


Chương 1

Mơ hình tốn học của bài tốn ơ
nhiễm khí quyển
Mơi trường, các trạng thái của nó và vấn đề ô nhiễm từ lâu đã trở thành
vấn đề trọng tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Các chất thải công
nghiệp với các thành phần nhiễm bẩn được thải vào khí quyển và đại dương
gây tác động xấu đến mơi trường khơng khí, mơi trường nước, đất và mơi
trường sinh thái của các vùng công nghiệp lớn. Điều này đã làm tăng nồng
độ cacbondioxit và các thành phần khác trong khí quyển. Những thay đổi
của q trình sinh thái được biểu hiện rõ nét ở những khu công nghiệp lớn
như ”mưa a - xít” . . .
Sự lan truyền các thực thể nhiễm bẩn trong khí quyển là do các luồng gió
và sự chuyển động rối. Dịng chảy trung bình của các thực thể vật chất ấy
được trung bình hố và được xem như là hiện tượng khuếch tán trên nền

chuyển động trung bình.
Ta sẽ xét các mơ hình tốn học khác nhau của sự truyền tải và khuếch
tán vật chất trong mơi trường lỏng và mơi trường khí.
Bài tốn 1. Cho một nguồn phát thải với công suất f , cho trường gió với
−
vận tốc →
u = u, v, ω . Giả sử hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang là

µ, hệ số khuếch tán theo phương thẳng đứng là ν . Ta cần xác định nồng độ
khí thải tại điểm (x, y, z) tại thời điểm t , ký hiệu là ϕ(x, y, z, t).
Các kết quả của phần này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á và Ngô
Văn Lược (xem [8]).

7


1.1

Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất trong khơng
khí và bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng

Trong mục này chúng ta giới thiệu về bài toán khuếch tán - truyền tải vật
chất trong khơng khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng. Như chúng
ta đã biết, quá trình khuếch tán - truyền tải các chất gây ơ nhiễm trong khí
quyển có thể được mơ tả bằng phương trình đạo hàm riêng có dạng (xem
[8])

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ

∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
+u
+v
+ (ω − ωg )
− µ∆ϕ −
ν
+ σϕ = f,
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z ∂z

(1.1)

trong đó

• ϕ là nồng độ của chất gây ơ nhiễm.
• u, v, ω là các thành phần của vận tốc gió.
• f là cơng suất của nguồn phát thải.
• ωg = const là vận tốc rơi của chất gây ô nhiễm bởi trọng lực.
• σ = const ≥ 0 là hệ số biến đổi của chất gây ô nhiễm, ν, µ là các hệ số
khuếch tán.
∂2
∂2
• ∆ = 2 + 2 là tốn tử Laplace.
∂x
∂y
Phương trình (1.1) là cực kỳ phức tạp. Khơng có hi vọng tìm được nghiệm

chính xác. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản (được chấp nhận
trong thực tế) chúng ta có thể tìm được nghiệm giải tích của (1.1) (xem [8]).
Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong mục 1.3 cuối chương này.
Bây giờ, chúng ta xét bài toán khuếch tán - truyền tải (1.1) với các giả
thiết
1. Nguồn phát thải có công suất phát thải không đổi Q và tập trung tại
một điểm. Tức là f = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ), trong đó δ là ký hiệu của
hàm Dirac.

2. Q trình lan truyền đã ổn định (tức là khơng cịn phụ thuộc thời gian)
∂ϕ
= 0.
∂t
8


3. Hướng gió trùng với trục Ox và tốc độ gió chỉ phụ thuộc vào độ cao,

u = u(z) > 0, v = ω = 0.
Với các giả thiết (i), (ii), (iii) như trên, hệ số khuếch tán theo hướng của
trục Ox có thể được bỏ qua. Vì thế, phương trình (1.1) có thể đưa về dạng

∂ϕ
∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ
u
− ωg
−µ 2 −
ν
+ σϕ = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ).

∂x
∂z
∂y
∂z ∂z

(1.2)

Bài toán (1.2) được gọi là bài toán khuếch tán - truyền tải dừng. Cùng với
phương trình (1.2), chúng ta xét điều kiện biên sau:

ϕ = 0,

x, y → ±∞,

(1.3)

z → +∞,

(1.4)

ϕ = 0,

∂ϕ
= αϕ,
z = 0.
(1.5)
∂z
Trong đó, α = const ≥ 0 là hệ số đặc trưng cho sự phản xạ và hấp thụ của
bề mặt đáy.
Trong phần tiếp theo chúng ta trình bày một số kết quả định tính liên

quan đến nghiệm của bài tốn khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5). Cụ
thể, đó là sự tồn tại nghiệm và một cách biểu diễn nghiệm bài toán (1.2) (1.5) thơng qua nghiệm của bài tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình
parabolic.
1.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán khuếch tán truyền tải dừng

Đầu tiên, chúng ta ký hiệu

D+ = (x, y, z), z ≥ 0 ,

H = H 1 (D+ ).

Định lý sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược (xem [8]) chỉ ra rằng
trong lớp H bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có khơng q
một nghiệm.
Định lý 1.1. Trong lớp H bài toán bài toán khuếch tán - truyền tải dừng
(1.2) - (1.5) có khơng q một nghiệm.
9


Chứng minh. Giả sử rằng bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5)
có hai nghiệm ϕ1 , ϕ2 ∈ H . Chúng ta sẽ chỉ ra ϕ1 − ϕ2 ≡ 0. Thật vậy, đặt

ψ = ϕ1 − ϕ2 , . Khi đó ψ thỏa mãn phương trình thuần nhất:
u

∂ψ
∂ 2ψ
∂ ∂ψ

∂ψ
− ωg
−µ 2 − ν
+ σψ = 0,
∂x
∂z
∂y
∂z ∂z

(1.6)

với các điều kiện biên (1.3) - (1.5).
Nhân phương trình (1.6) với ψ , sau đó thực hiện lấy tích phân trong miền
ta thu được.
+∞

ωg
−∞
+∞

ψ 2 (x, y, 0)
dxdy+
2

−∞

ν(0)
−∞
+∞

+σ

∂ψ
(ψ ) |z=0 dxdy +
∂z
+∞

dxdy
−∞

+∞

∞

dxdy
0

∂ψ 2
µ( ) dz +
∂y

+∞

+∞

dxdy
0

−∞

∂ψ 2
ν( ) dz
∂z

(1.7)

ψ 2 dz = 0.

0

Từ (1.5) ta thu được
+∞

∂ψ
(ψ ) |z=0 dxdy = α
∂z
−∞

+∞

ψ 2 (x, y, 0)dxdy.

(1.8)

−∞

Kết hợp (1.7) và (1.8) ta thu được ψ ≡ 0. Từ đó, Định lý được chứng
minh.

Bây giờ ta xét bài toán dưới đây

u

∂ ϕ˜
∂ ϕ˜
∂ 2 ϕ˜
∂ ∂ ϕ˜
− ωg
−µ 2 − ν
+ σ ϕ˜ = 0,
∂x
∂z
∂y
∂z ∂z
uϕ˜ = Qδ(y)δ(z − z0 ),

x=0

x > 0,

(1.9)
(1.10)

y → ±∞,

(1.11)

ϕ˜ = 0,
z → +∞,
∂ ϕ˜

= αϕ,
˜
z = 0.
∂z

(1.12)

ϕ˜ = 0,

10

(1.13)


Bài toán (1.9) - (1.13) là bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình
parabolic. Giả sử ϕ˜ là nghiệm của bài toán này. Ta đặt

ψ(x, y, z) =


˜ y, z),
ϕ(x,

0,

x ≥ 0,

(1.14)

x < 0.

Kết quả sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược([8]) chỉ ra rằng hàm

ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tải
dừng (1.2) - (1.5).
Định lý 1.2. Hàm số ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toán
khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5).
Chứng minh. Xem [8].
Tiếp theo, chúng ta xem xét bài tốn (1.9) - (1.13) dưới giả thiết

µ = k0 u,

k0 = const > 0.

(1.15)

Giả thiết (1.15) được đề xuất bởi các nhà vật lý, giả thiết này phù hợp với
các điều kiện trong thực tế (xem [9]). Kết quả sau đây của Đặng Quang Á
và Ngô Văn Lược ([8]) cho ta một cách biểu diễn nghiệm của bài toán (1.9)
- (1.13).
Định lý 1.3. Nếu u = u(z), ν = ν(z) và µ thỏa mãn (1.15) thì nghiệm của
bài tốn (1.9) - (1.13) có thể biển diễn dưới dạng

ϕ(x,
˜ y, z) = ϕ(x,
¯ z).P (x, y),

(1.16)

trong đó

−y 2
1
(4k0 x)
√
P (x, y) =
e
,
2 πk0 x
và ϕ(x,
¯ z) là nghiệm của bài toán

u

∂ ϕ¯
∂ ϕ¯
∂ ∂ ϕ¯
− ωg
− ν
+ σ ϕ,
¯
x>0
∂x
∂z
∂z ∂z
uϕ¯ = Qδ(z − z0 ),
x = 0,
ϕ¯ = 0,
z → ∞,
∂ ϕ¯

= αϕ,
¯
z = 0.
∂z
11

(1.17)

(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)


Định lý 1.2 và 1.3 cho ta một cách biểu diễn nghiệm của bài toán khuếch
tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) thơng qua nghiệm của bài tốn biên giá trị
đầu cho phương trình parabolic (bài tốn (1.9) - (1.13) và bài toán (1.18) (1.21)). Trong phần cuối của chương này ta sẽ đưa ra biểu thức nghiệm giải
tích (chính xác) cho bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong
trường hợp cụ thể.

1.3

Nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán-truyền tải dừng
trong trường hợp riêng

Như ta đã phân tích trước đó, bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng (1.2)
- (1.5) là cực kỳ phức tạp, khơng có hi vọng tìm được nghiệm chính xác
trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, trong trường hợp riêng xét ở mục
này chúng ta sẽ đưa ra được biểu thức giải tích cho nghiệm của bài tốn
khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5).

Đối với các chất gây ơ nhiễm bảo tồn các dạng khí và các hạt mịn (gaseous
and fine - particle conservative pollutants) (ωg = σ = 0) ta có thể biết một
nghiệm giải tích của bài toán (1.18) - (1.21) khi u(z) và ν(z) là các hàm công
∂ϕ
suất trong các trường hợp α = 0 (tương ứng với điều kiện biên
= 0) và
∂z
α = ∞ (tương ứng với trường hợp ϕ = 0). Ở đây, ta xét trường hợp tổng

quát với α ≥ 0. Nhưng bên cạnh giả thiết ωg = σ = 0 ta giả sử thêm rằng

u = const > 0, ν = const > 0.
Trong kết quả của mình, Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược chỉ rằng (xem
[8]):

Định lý 1.4. Nghiệm giải tích của bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng
(1.2) - (1.5) Đối với các chất gây ô nhiễm bảo tồn các dạng khí và các hạt
mịn trong trường hợp khi u = const > 0, µ = const > 0, ν = const > 0 là

−uy 2
−a2 (z+z0 )
−a2 (z−z0 )
Q
1

4µx
√
4x
√
ϕ(x, y, z) = 4 πνµx e

{ πx (e
+ e 4x )




√
a2 x

a(z+z
− 2α e a2 +a(z+z
√ 0 ) + a x )},
0 ) erf c(
x>0
a
a
2 x
(1.22)







ϕ(x, y, z) = 0,
x < 0,
12

trong đó

2
erf c(x) = √
π

∞

2

e−u du.

x

Chứng minh. Xem [8].
Định lý 1.4 cho ta cơng thức nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong trường hợp riêng. Thực tế cho thấy các
bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Nói chung, khơng thể xác
định được nghiệm giải tích của bài tốn. Do đó, việc tìm các phương pháp
giải gần đúng bài tốn khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) là thực sự
quan trọng và cần thiết. Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ trình bày về
phương pháp sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong các trường hợp tổng quát hơn.

13


Chương 2

Phương pháp số giải bài tốn lan
truyền khí thải
2.1

Giới thiệu một số phương pháp giải bài tốn ơ nhiễm

Trong thời kỳ đầu của sự phát triển về khoa học mơi trường, đối với việc
tính tốn khuếch tán chất gây ô nhiễm từ các nguồn điểm trên cao (ống
khói, ống xả khí), có thể kể đến một vài cơng thức tính tốn khuếch tán
được áp dụng trong thực tế như công thức của Sutton (1947), công thức của
Bosanquet và Pearson (1936). Trong thời kỳ này, các công thức của Sutton
và Bosanquet và Pearson được áp dụng rộng rãi để đánh giá phân bố nồng
độ của chất gây ô nhiễm xuôi theo chiều gió của nguồn điểm liên tục (nguồn
hoạt động liên tục) . Các công thức này được đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyết
khuếch tán của Taylor G. I (1915) và Shmidt W (1917) (xem [2], Chương 3).
Ngoài ra, cịn có thể kể đến một số cơng thức khác như công thức xác định
phân bố nồng độ chất gây ô nhiễm theo luật phân bố chuẩn Gaus hay công
thức của Berliand và cộng sự (xem [2], Chương 3 ). Các công thức này được
đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyết khuếch tán của Taylor G. I (1915) và Shmidt
W (1917) kết hợp với phương trình khuếch tán chất gây ơ nhiễm (dạng khí
và dạng lơ lửng).
Dưới góc độ của tốn học thì việc xác định nồng độ của chất gây ơ nhiễm
trong khơng khí thực chất là việc giải phương trình đạo hàm riêng khuếch
tán - truyền tải (1.2). Như chúng ta đã biết thì các phương trình vi phân
đạo hàm riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết
thủy động lực, đàn dẻo, cơ học, lượng tử, chất lỏng, điện - từ trường . . . Đa
số các bài toán này rất phức tạp, khơng có phương pháp giải đúng. Chỉ có
14


một lớp phương trình rất hẹp là có thể tìm được nghiệm giải tích trong một
số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn, phương trình khuếch tán - truyền tải
dừng ta xét trong Chương 1 là một ví dụ. Chính vì vậy việc nghiên cứu các

phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là một trong những
vấn đề quan trọng của tốn học lý thuyết nói chung và tốn học tính tốn
nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học,
các nhà tốn học đã tìm ra rất nhiều các phương pháp giải gần đúng phương
trình đạo hàm riêng.
Có thể kể đến hai lớp phương pháp truyền thống, được sử dụng phổ biến
và rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phương
pháp sai phân hay còn gọi là phương pháp lưới và phương pháp phần tử hữu
hạn. Nhìn chung, cả hai phương pháp này đều có những ưu điểm và nhược
điểm riêng khác nhau tùy theo các lớp phương trình đạo hàm riêng khác
nhau. Có thể đối với nhiều phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp sai
phân có có ưu thế hơn so với phương pháp phần tử hữu và ngược lại.
Đối với bài tốn ơ nhiễm khí quyển nói riêng thì cả hai lớp phương pháp
phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân đều đã được xây dựng. Cụ thể,
trong luận án tiến sĩ của Supot Witayangkurn năm 2002 (xem [12]), tác giả
đã xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn cho các bài tốn ơ nhiễm khơng
khí. Trước đó, năm 1994 trong kết quả của Đặng Quang Á, Ngô Văn lược
(xem [7]), các tác giả đã xây dựng phương pháp sai phân cho bài tốn ơ nhiễm
khí quyển dừng. Trong khn khổ của luận văn ta không xét đến phương
pháp phần tử hữu hạn mà chỉ xét đến phương pháp sai phân cho bài tốn ơ
nhiễm khí quyển. Phần trình bày này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á
và Ngô Văn Lược (xem [7]).
Trong phần tiếp theo, trước khi trình bày về phương pháp sai phân giải
phương trình truyền tải - khuếch tán dừng, chúng ta sẽ trình bày một cách
sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng.

15


2.2

Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương
trình đạo hàm riêng

Ý tưởng chính của các phương pháp sai phân là rời rạc hóa các đạo hàm
xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các cơng thức sai phân và thay
thế các hàm số (liên tục) xuất hiện trong phương trình bằng các hàm số rời
rạc xác định trên các nút lưới.
Khi đó, bài tốn vi phân được rời rạc hóa thành bài tốn sai phân. Việc
tìm nghiệm số gần đúng lúc này dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số
tuyến tính. Việc nghiên cứu các phương pháp giải các hệ đại số tuyến tính
nhận được từ việc rời rạc hóa các phương trình đạo hàm riêng cũng là một
vấn đề quan trọng được các nhà toán học hết sức quan tâm ([10], [11]).
Để minh họa cho việc sử dụng phương pháp sai phân giải các phương trình
đạo hàm riêng ta xét hai ví dụ đơn giản sau đây.
Ví dụ 2.1. Xét bài tốn vi phân đơn giản: Tìm hàm u(x) xác định trên đoạn

[0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân
−u (x) = f (x),

0 < x < 1,

(2.1)

với các điều kiện biên

u(0) = µ0 ,

u(1) = µ1 .

(2.2)

Bài tốn (2.1) - (2.2) được gọi là bài tốn biên hai điểm đối với phương
trình vi phân cấp hai. Các kết quả liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm
và tính chất của nghiệm của bài tốn (2.1) - (2.2) được trình bày trong tất
cả các giáo trình về phương trình vi phân. Trong ví dụ này ta giả sử bài tốn
(2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất xác định trên đoạn [0, 1].
Để giải gần đúng hay cụ thể hơn là tìm nghiệm số của bài tốn (2.1) (2.2), đầu tiên ta rời rạc hóa trục thời gian bằng phân hoạch (không nhất
thiết đều)

π = {0 = x0 < x1 < x2 < . . . xk < xk+1 < . . . < xN = 1}.
Các giá trị hn = xn+1 − xn được gọi là bước lưới. Để đơn giản ta xét bước
đều, tức là hn = hn+1 = h với mọi n = 1, N − 1. Chúng ta xẽ tìm cách xây
16


dựng các giá trị xấp xỉ vn ≈ u(xn ) ≡ un tại các nút lưới t0 , t1 , . . . TN . Ta
gọi các giá trị vn

n=N
n=0

nghiệm số xấp xỉ, hay ngắn gọn là nghiệm số của

phương pháp trên lưới π .

vk ≈ u(xk )

v0

x0

vk+2 ≈ u(xk+2) vN

xk

xk+1

xk+2

xN

Hình 2.1: Nghiệm số xấp xỉ trên lưới

Với mục tiêu này xuất phát từ phương trình vi phân (2.1) ta có

i = 1, N − 1.

−u (xi ) = f (xi ),

(2.3)

Bây giờ, ta xấp xỉ u (xi ) bằng các công thức sai phân. Chẳng hạn, ta sử
dụng công thức sai phân sau để xấp xỉ đạo hàm cấp hai ([1], [3], [10])

u(xi−1 ) − 2u(xi ) + u(xi+1 )
,
h2
ký hiệu ui = u(xi ) thì ta có
u (xi ) ≈

ui−1 − 2ui + ui+1
.
h2
Khi đó, từ (2.3) ta nhận được hệ phương trình sai phân sau
u (xi ) ≈

 u −2u +u
− i−1 h2i i+1 ≈ f (xi ),

u0 = u(x0 ) = µ0 ,

i = 1, N − 1,

(2.4)

uN = u(xN ) = µ1 .

Ký hiệu vi ≈ ui , fi = f (xi ) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính xác định

vi

 v −2v +v
− i−1 h2i i+1 = fi ,

v0 = µ0 ,

i = 1, N − 1

(2.5)

v N = µ1

Hệ phương trình sai phân (2.5) được gọi là lược đồ sai phân cho bài toán
(2.1) - (2.2). Ta chú ý rằng hệ (2.5) là hệ phương trình đại số tuyến tính
dạng ba đường chéo ([1]).
17


Chúng ta xét bài toán (2.1) - (2.2) trong trường hợp cụ thể với hàm

f (x) = −(x + sin πx),

µ0 = 0,

µ1 =

π
.
6

Khi đó bài tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm chính xác

x3 sin πx
u(x) =
−
.
6
π2
Nghiệm chính xác của bài tốn trong trường hợp này được biểu diễn trong

hình 2.2
0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Hình 2.2: Nghiệm chính xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 =

Ta viết lại lược đồ sai phân (2.5) cho bài toán dưới dạng


i = 1, N − 1,
−vi−1 + 2vi − vi+1 = h2 fi ,

v0 = µ0 ,

1

π
6

(2.6)

vn = µ1 .

Ta cần xác định v1 , . . . , vN −1 từ (2.6). Hệ (2.6) được viết trong dạng tường

minh

18



2v1 − v2 = h2 f1 + µ0 ,








−v1 + 2v2 − v3 = h2 f2 ,




−v2 + 2v3 − v4 = h2 f3 ,





...






−vn−2 + 2vn−1 = h2 fN −1 + µ1 ,

hay được viết dưới dạng ma trận Av = F , trong đó




v1





 v 
 2 

v=


 ... 


vn−1



2


−1

A=

 .

0

−1
2

...



−1 . . .









0

.

.

0

0

2







F =






h2 fi + µ0
2

h f2
.
.
.
h2 fN −1 + µ1














Bây giờ, để xác định nghiệm rời rạc thu được từ lược đồ sai phân ta cần

giải hệ đại số tuyến tính thu được từ việc rời rạc hóa phương trình vi phân.
Việc nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói
chung và các hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ việc rời rạc hóa
các phương trình đạo hàm riêng là một trong những vấn đề quan trọng được
nhiều nhà toán học quan tâm. Như chúng ta đã biết, người ta phân biệt các
phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính (trường hợp tổng qt)
làm hai loại phương pháp, đó là
1. Các phương pháp trực tiếp: là những phương pháp cho nghiệm đúng của
hệ phương trình đại số tuyến tính sau hữu hạn bước. Với các giả thiết
khơng có sai số làm trịn, chẳng hạn, phương pháp khử Gauss, phương
pháp Gauss cải biên, phương pháp phân tích LU , phương pháp Cholesky,
phương pháp trực giao hóa . . . Phương pháp trực tiếp thường sử dụng
để giải hệ kích thước nhỏ với các số liệu {A, b} cho đúng. Trong trường
hợp còn lại, các phương pháp lặp lại có ưu thế hơn.

2. Các phương pháp lặp: là phương pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp
xỉ x(k) mà giới hạn của dãy là nghiệm đúng của hệ. Phương pháp này
19


thường sử dụng để giải hệ có kích thước lớn và số liệu chỉ biết gần đúng.
Trong thực hành ta buộc phải dừng lại tại một bước k cụ thể nào đó và
xem x(k) là nghiệm gần đúng của hệ với sai số có thể ước lượng được.
Ngồi ra cịn một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ đại số tuyến tính điều
kiện xấu. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ việc
rời rạc hóa các phương trình vi phân đạo hàm riêng thì cần một số các
phương pháp hiệu quả hơn dành riêng cho các hệ loại này. Ví dụ, phương
pháp Gradient liên hợp cho hệ phương trình với ma trận đối xứng xác định
dương, các phương pháp giải hệ phương trình với ma trận thưa . . . .
Đối với ví dụ ta đang xét, hệ phương trình đại số tuyến tính nhận được

có ma trận hệ số là ma trận dạng ba đường chéo. Một trong những phương
pháp giải quyết hiệu quả hệ ba đường chéo là phương pháp truy đuổi ([1]).
2
Khối lượng tính tốn của phương pháp truy đuổi chỉ là cỡ 8n (so với n3
3
của phương pháp khử Gauss). Định lý về tính khả thi và ổn định của phương
pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo được trình bày trong chi tiết trong
(xem [1], Định lý 1, Trang 24).
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng: Trong trường hợp này hệ ba đường chéo
trong trường hợp này thỏa mãn định lý về tính khả thi và ổn định của phương
pháp truy đuổi. Sau đây ta xét một vài trường hợp với bước lưới cụ thể.
Đầu tiên, với bước lưới h = 0.1 nghiệm số thu được từ lược đồ sai phân
(2.5) được biểu diễn trong hình 2.3. Tiếp theo, bước lưới h = 0.01, nghiệm
số xấp xỉ thu được từ lược đồ sai phân (2.5) được biểu diễn trong hình 2.4.
Cuối cùng, h = 0.001 nghiệm số xấp xỉ thu được biểu diễn trong hình 2.5.
So sánh nghiệm số xấp xỉ trong hình 2.3 - 2.5 với nghiệm chính xác trong
hình 2.2 chúng ta thấy rằng khi h càng nhỏ (h → 0) thì nghiệm số càng gần
với nghiệm chính xác. Lấy các bước lưới nhỏ hơn nữa, tức là lấy lưới mịn hơn
thì ta hình dung được rằng nghiệm số gần như trùng với nghiệm chính xác.
Để thấy rõ hơn điều này ta sẽ xét đến sai số tuyệt đối |ui − vi |, i = 1, . . . N .

Đồ thị của sai số tương ứng với các trường hợp h = 0.1, h = 0.01, h = 0.001
được biểu diễn trong các hình 2.6 - 2.8. Ở đây ta kí hiệu

e = max {|ui = vi |} .
i=1,N

20

0.25
difference scheme, h = 0.1
0.2

0.15

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Hình 2.3: Nghiệm số với h = 0.1

0.25

difference scheme, h = 0.01

0.2

0.15

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

0

0.2

0.4

0.6

Hình 2.4: Nghiệm số với h = 0.01

21

0.8

1


0.25
difference scheme, h = 0.001
0.2

0.15

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Hình 2.5: Nghiệm số với h = 0.001
−3

1

x 10

do thi cua sai so, h = 0.1, e = 8.3746e−004

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

0.2

0.4

0.6

Hình 2.6: Sai số với h = 0.1

22

0.8

1


−6

x 10

9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

do thi cua sai so, h = 0.01, e = 8.3337e−006
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Hình 2.7: Sai số với h = 0.01
−8

9

x 10

do thi cua sai so, h = 0.001, e = 8.3333e−008

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Hình 2.8: Sai số với h = 0.001

23

0.8

0.9

1