Đề cương ôn tập chương II Đại số 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> Hệ phơng trình</b>
<b>I. Hệ phơng trình không chứa tham số.</b>

<b>Dạng 1: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng, phơng pháp thế.</b>
<b>Ví dụ : Giải các hệ phơng trình sau: </b>

a)

2x y 3
3x y 7
 




 

 _§S:
x 2
y 1





 _b)

2x 3y 2

5x 2y 6
 





 

 _§S:
x 2
y 2




 
c)

5x 2y 9

4x 3y 2
 




 


§S: (x ; y ) = ( -1 ; 2 )
<b> </b>

<b>Bµi 1</b>
a)

2x 3y 2

3x 2y 3

 




 

 _b)

4x 3y 6
2x y 0

 




 

 _c)

9x 8y 6
2x y 2

 


 

d)

x 6y 17
5x y 23

 




 

 _e)

7x 4y 74
3x 2y 32

 




 

 _f)

x 3y 6
2x 6y 12

 


  

<b>Bµi 2</b>
a)
x y
2 0
3 4

5x y 11

  


 _ _
 _b)

a b 1

5 3 3

4a 5b 10 0


 


 _ _ _
 _c)
x y
2 3

x y 10 0




   

<b>Bµi 3:</b>
a)

x 2 y 3 1

x y 3 2

 _ _


 

 _b)

( 2 1)x y 2

x ( 2 1)y 1

 _ _ _


  

 _c)

x 2 3y 1

2x y 2 2

 _ _


 


d)

x 2 y 3 1

x y 3 2

  


 


 _e)

(x 5 (1 3)y 1
(1 3)x y 5 1

   


  

 _f)

5x 3 y 2 2
x 6 y 2 2

  


 


<b>Bµi 4:</b>
a)

6(x y) 8 2x 3y
5(y x) 5 3x 2y

   




   

 _b)

(x 1)(y 2) (x 1)(y 3)
(x 5)(y 4) (x 4)(y 1)

    




    

 _c)

(x 2)(y 1) xy
(x 8)(y 2) xy

  




  



<b>Bµi 5 a) </b>

5x 3 y 2 2 (1)
x 6 y 2 2 (2)

 _ _


 

 _b)

(2 3)x 3y 2 5 3 (1)
4x y 4 2 3 (2)

 _ _ 





<b>Đáp số: </b>

a) Nghim ca h phng trình là (x; y) = (1/ 6; -1/ 2)
b) Nghiệm của hệ phơng trình là (x; y) = (1; -2 3)
<b>Dạng 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.</b>
<b>Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình </b>

a)

2 3

1
x 1 y

2 5

1
x 1 y

 
 


 _ 

_{Đáp số: ĐK:}x1, y 0 _{. NghiƯm lµ}

3
x
2
y 1




 


b)
1 3
2
x 2 y

2 1

1
x 2 y

 
 _


  
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Gi¶i: Điều kiện </b>x 0, y 2
Đặt

1 1

a , b

x  2 y  _{ta cã hÖ phơng trình :}

1
a

a 3b 2 a 3b 2 5a 1 ₅

2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3

b 2a 1 2. 1

5 5



    
   
  
   
     
   _{   } _ _


Do đó
1 1
x 5
x 5
5 11

1 3 _{y 2}

3 3

2 y 5



  

 

 
  
  

_{( thỏa mÃn các điều kiện )}

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là

x; y

5;11
3

 
 
<b>VÝ dô 2: </b>

a)
2 3
5
x y
2 1
1
x y

 




  


 _b)

6 2

3
x 2y x 2y

3 4

1
x 2y x 2y

 
 _ _


 _ _
  

 _c)

x 3 2 y 1 2

2 x 3 y 1 4

 _{ } _{ }


 

Đáp số: a) (1; -1) b) (

1 29
;
36 72
 

) c) (1; -1)
<b>D¹ng thø nhÊt:</b>

a)
1 1
1
x y
3 4
5
x y

 




  

 _b)
6 5
3
x y
9 10
1
x y

 



  

 _c)

1 1 1

x y 4

10 1
1
x y

 




 _ _


d)

1 1 1

x y 24

2 3
x y

 



 _

 _e)
1 1
2
x 2 y 1

2 3

1
x 2 y 1

 
  



 _ _
  
 _f)
4 5
2
x 3 y 1

5 1 29

x 3 y 1 20

 
  


 _ _
  

g)
8 1
1
x y 12

1 5

3
x y 12


 
 _


  
 
 _h)
4 9
1
2x 1 y 1

3 2 13

2x 1 y 1 6


 
 _ _


 _ _
  
 _i)
1 1
2
x 1 y 2

2 3

1

y 2 x 1

 
  


 _ _
  


<b>D¹ng thø hai:</b>

a)

2x y

2
x 1 y 1

x 3y

1
x 1 y 1

 
  


 _ _
  

 _b)
4 5
2
2x 3y 3x y

3 5

21
3x y 2x 3y

 
 _ _


 _ _
  
 _c)

7 5 9

x y 2 x y 1 2

3 2

4
x y 2 x y 1

 
    



 _ _
    

d)
x x
1
y y 12

x x

2
y 12 y

 
 _


 _ _
 
 _e)
3 6
1
2x y x y

1 1

0
2x y x y


 
 _ _


 _ _
  
 _f)

4 5 5

x y 1 2x y 3 2

3 1 7

x y 1 2x y 3 5


 
    


 _ _


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 1: Gải hệ phơng trình </b>
| x y | 2

(II)

2x y 1

 




 


 _{Híng dÉn: Gi¶i hƯ (II) ta quy vỊ gi¶i hai hƯ sau:}

x y 2

(*)

2x y 1

  




 


 

y x 2

(**)

2x y 1

  




 




NghiƯm cđa (II) lµ: ( 1 2; -1-2 2) vµ ( 1  2; 1 2 2) 
<b>II. Hệ phơng trình chứa tham số.</b>

<b>Dạng 1: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số.</b>
<b>Bài 1: Cho hÖ pt </b>

x ay 1
a.x y 2

 




 

 _(I)

a) Giải hệ pt khi a = 2

b) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
<b>Giải:</b>

Khi a = 2 hÖ pt cã nghiÖm (x;y) = (1;0)
2
x 1 ay

(I) (1 a )y 2 a (*)

a(1 ay) y 2
 



 _    

  


HÖ cã nghiƯm duy nhÊt khi vµ chØ khi pt (*) cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ 1 - a2₀ _{a 1}
<b>Bài 2.</b>

Giải hệ phơng trình sau với m=1



m 1 x y 2



2mx 3y 5

  





 



 <b>_{Đáp số :}</b>

1
x

4
3
y

2

<b>Dạng 2: Giải biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số.</b>
<b>Chú ý:</b>

<b>Phơng trình a</b><i><b>x</b></i><b> = b (1)</b>

+ Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b.

- Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm.
- Khi b 0 phơng trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu a 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
b
a

<b>Ví dụ 1 : Giải và biện luận phơng trình theo m :</b>
(m - 2)x + m2_{- 4 = 0 (1)}

(m - 2)x = (2 - m)(2 + m)

+ NÕu m 2 th× (1)  x = - (m + 2).
+ NÕu m = 2 thì (1) vô số nghiệm.

<b>Ví dụ 2: Giải và biện luận số nghiệm của mỗi hệ phơng trình sau theo tham sè m</b>
a)

2x my 1 (1)
mx 2y 1 (2)

 




 

 _b)

mx 4y 10 - m (1)
x my 4 (2)

 




 



Ta cã (1)<=> x=
1 my

2


(1’)
Thay (1’) vµo (2) ta cã:

2

2
1 my

m 2y 1 m m y 4y 2

2

(4 m )y 2 m

(2 m)(2 m)y 2 m (3)


     
   

    

Ta cã (2) <=> x = 4-my (2’)
Thay (2’) vµo (1) ta cã:

m(4-my)+4y=10-m
<=>(4-m2_{)y=10-5m (3)}
*) NÕu m =2,

pt (3) thành : 0y = 0 (vô sè nghiƯm)
=> HƯ pt v« sè nghiƯm: (x=4-my; yR)
*) NÕu m = -2,

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

*) NÕu m=2,

pt(3) thành 0y = 0 (vô số nghiệm )
=> Hệ phơng trình vô số nghiệm

(x=
1 2y

; y R
2

)

*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4 (vô nghiệm)
Hệ phơng trình vô nghiệm

*) Nếu m 2 thì pt(3) cã nghiƯm duy nhÊt

y=
1

2 m _{thay vµo (1’) ta cã x =}
1
2 m _.

*) NÕu m  2 th× pt(3) cã nghiƯm duy nhÊt±

y =
5

2 m _{. Thay vµo (2’) cã}

x=
8 m
2 m




<b>VËy</b>

*) NÕu m=2, th× hƯ phơng trình có vô số nghiệm .

Nghiệm TQ: (
1 2y

; y
2

) với yR

*) Nếu m =-2, hệ phơng trình vô nghiệm

*) Nếu m 2 thì hệ phơng trình cã nghiÖm duy

nhÊt (x=
1

2 m _{, y =}
1
2 m _.)

<b>Vậy</b>

*) Nếu m=2, thì hệ phơng trình có vô số
nghiệm .

NghiƯm TQ: (4-my; y) víi yR
*) NÕu m =-2, hệ phơng trình vô nghiệm
*) Nếu m 2, hệ phơng trình có nghiệm

duy nhất (x=
8 m
2 m

_{,y =}
5
2 m ₎

(Cần lu ý, sử dụng phơng pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên, bắt buộc phải nhân
<i>hai vế của một trong hai phơng trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót nếu nh khơng phân trờng</i>
<i>hợp m=0 hay m</i><i>0.)</i>

<b>Bµi 1:</b>
Cho hệ pt:

mx y 2
2x y 1

Giải và biƯn ln hƯ theo m.
<b>Bµi lµm:</b>

2x y 1
mx y 2

 




 

 

(2 m)x 3 (1)

2x y 1 (2)

 






+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3

- NÕu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)
Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm.

- Nếu 2 + m 0 m - 2.

Thì phơng trình (1) cã nghiÖm duy nhÊt x =
3
2 m

+ Thay x =
3

2 m _{vào phơng trình (2) ta có:y = 2x - 1 = .}
6

2 m _{.- 1 =}
4 m

2 m




VËy víi m  - 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

3
x

2 m
4 - m
y

2 m





 




<b>Bài 2:</b>

Cho hệ pt:

nx+y=2n
nx+ny=n

Giải và biện luận hệ theo n.
<b>Bài 3. Cho hệ phơng trình :</b>

x - (m 3)y 0
(m - 2)x 4y m - 1

 




 

 _{(m là tham số).}
a) Giải hệ khi m = -1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 4. Cho hệ phơng trình.</b>
mx 2y 1
2x - 4y 3

 







a) Gi¶i hƯ víi m=1

b) Tỡm m h cú nghim duy nht.

<b>Đáp số: a) </b>
5
x=

4
-1
y=

8







 <b>_b)</b>

2x - 3
y

4
2(m 1)x 5






 _ _

 <b>_{hệ có nghiệm duy nhất khi}</b>m1
<b>Dạng 3: Tìm giá trÞ tham sè khi biÕt dÊu cđa nghiƯm cđa hƯ phơng trình.</b>

<b>B</b>

<b> c 1: Tỡm iu kin để hệ phơng trình có nghiệm (có thể đề bài yêu cầu nghiệm duy nhất)</b>
<b>B</b>

<b> íc 2: Gi¶i hƯ theo tham sè</b>
<b>B</b>

<b> ớc 3: Từ điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà bài toán đặt ra ta tìm tham số </b>
<b>Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình: </b>

x my 2
mx 2y 1

 




 

 _.

Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) duy nhất thoả mãn (x>0;y<0).
<b>H</b>

<b> íng dÉn gi¶i :</b>
XÐt hệ phơng trình

x my 2(1)
mx 2y 1(2)

_.

*) Tõ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vµo (2) ta cã: m(2-my)-2y=1 => (m2_{+2)y = 2m-1 (3).}

Do m2_{+2> 0}__m _{=> (3) lu«n cã nghiƯm duy nhÊt. Suy ra: hƯ lu«n cã nghiƯm (x,y) duy nhÊt.}

*) Khi đó y = 2
2m 1

m 2



 _{, thay vµo (1’) ta cã}

1
4 m

2
  

x = 2
m 4

m 2




*) §Ĩ (x>0;y<0) th× :
2

2
m 4

m 4

0 _{m 4 0}

1

m 2 _{4 m}

1

2m 1 2m 1 0 m 2

0 ₂

m 2




 

 

 _ _{ }

  

     

  

 _   

 _ 






Vậy với

1
4 m

2

thì hệ phơng trình cã nghiƯm (x;y) duy nhÊt tho¶ m·n (x>0;y<0).

<b>VÝ dơ 2: </b> Cho hệ phơng trình:

mx 2my m 1
x (m 1)y 2

  




  

 _{. Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) duy nhất}
thoả mãn điểm M(x;y) nằm trong góc phần t thứ nhất.

<b>H</b>

<b> íng dÉn giải :</b>
Xét hệ phơng trình

mx 2my m 1(1)
x (m 1)y 2(2)

  




  

 _.

*) Tõ (2) <=> x = 2 -(m+1)y (2’)

Thay (2’) vµo (1) ta cã m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt <=> pt(3) cã nghiƯm duy nhÊt <=> m0 vµ m1.(*)

*) Khi đó, (3) => y =
1

m_{thay vµo (2’) ta cã x =}
m 1

m

*) Điểm M(x;y) nằm trong góc phần t thø nhÊt khi vµ chØ khi (x>0,y>0)

<=>

m 1

0 _{m 1 0} _{m 1}

m _{m 1}

1 m 0 m 0

0
m






 _ _ _ _ _



   

  

 

 

 _



VËy víi m > 1 th× hƯ phơng trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mÃn điều kiện điểm M (x;y) nằm
trong góc phần t thứ nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2x - y m - 2
x 2y 3m 4

a) Giải hệ phơng trình sau theo m

b) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm x>0 và y>0.

<b>Đáp số: a) </b>
x=m
y=m+2

<b>_{b) m>0}</b>

<b>Bài 2. Cho hệ phơng trình</b>
2
x my 3m

mx y m 2

a) Giải hệ phơng trình sau theo m

b) Tỡm m h phng trỡnh cú nghim x>0 v y>0.

<b>Đáp số: a) </b>

x m
y 2







 <b>_{b) m>0}</b>

<b>Bµi 3.</b>

Cho hƯ pt:

x 2y 5
mx y 3

 




 

 

Tìm m để x < 0, y < 0
<b>Bài 4.</b>

Cho hƯ pt:

2

2
x+ay=a +a+1
ax+3y=a +4a






 

Tìm m x > 0, y < 0

<b>Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>

<b>D.4.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>
<b>Phơng pháp: </b>

Cho hệ pt:

ax by c (1)
a x b y c (2)

 




    

 _{cã nghiÖm}

0

0
x x
y y






Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.

<b>Bài 1. Cho hệ phơng trình </b>

2

3x - 2y = 7 (1)

(5n +1)x - (n - 2)y = n - 4n - 3 (2)





Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

<b>Gi¶i: Thay (x; y) = (2; 1) vµo (1) ta cã: 3 - 2.(- 2) = 7</b> 3 + 4 = 7
VËy (2; 1) lµ nghiƯm cđa (1).

Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2_{- 4n - 3}

 _{7n - 3 = n}2_{- 4n - 3} _{n(n -11) = 0}

n 0
n 11



 _


Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

<b>Bµi 2. Cho hệ phơng trình </b>

2

2
1

5m(m -1)x + my = (1- 2m) (1)

3

4mx + 2y = m + 3m + 6 (2)







Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

5m2_{- 5m + m = 1 - 4m + 4m}2  _m2 _{= 1}

m 1

m 1



 _
 _(I)
Thay x = 1; y = 3 vµo (2) ta cã:

4m + 6 = m2_{+ 3m + 6} _{m(m - 1) = 0}

m 0
m 1



 _
 _(II)
Từ (I) và (II) Với m = 1(TMĐK) th× hƯ pt cã nghiƯm x = 1 ; y = 3

<b>D.4.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>
<b> Phơng pháp: </b>

Cho hệ pt:

ax by c
a x b y c

 




    

 _{cã nghiÖm}

0

0
x x
y y







Thay x = x0; y = y0 vào cả hệ pt ta đợc

0 0

0 0

ax by c

a x b y c

 




    


 _{Gi¶i hƯ pt chøa Èn lµ tham sè.}
<b>Bµi 1.</b>

Cho hƯ pt:

2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5

  




  

 _{Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1}
Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:

(m 3).3 2n.( 1) 5
6m (n 2).( 1) 9

   




   

 

3m 2n 4

12m 2n 14
 




 

 

m 2
n 5







VËy víi m = 2 vµ n = 5 th× hƯ cã nghiƯm x = 3; y = - 1.
<b>Bµi 2: </b>

a) Xác định hệ số a và b, biết rằng hệ phơng trình

2x by 4

bx ay 5

 




 

 _{cã nghiƯm lµ (1; -2)}
b) Cũng hỏi nh vậy nếu hệ phơng trình cã nghiƯm



2 1; 2



<b>Bµi 3: Cho hệ phơng trình </b>

2x ay b
ax by 1

a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2

b) Tìm a;b để h cú nghim l (x;y)=( 2; 3)

<b>Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.</b>
<b>Bài 1. Cho hệ phơng trình </b>

mx + y = 5 (1)
2mx + 3y = 6 (2)




 _(I)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m - 1)x + (m + 1)y = m (3)

<b>Giải:</b>

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.32.m  m  0.
Từ (1)  y = 5 - mx. Thay vào (2) ta có:

2mx + 3(5 - mx) = 6  x =
9

m_(m₀₎

Thay x =
9

m_{vµo y = 5 - mx ta cã: y = 5 -}
9m

m _{= - 4}

VËy víi m0 hÖ (I) cã nghiÖm x =
9

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Thay x =
9

m_{; y = - 4 vào pt (3) ta đợc:}

(2m - 1).
9

m_{+ (m + 1)(- 4) = m}

 _{18 -}
9

m_{- 4m - 4 = m}_5m2_{- 14m + 9 = 0} _{(m - 1).(5m - 9) = 0}



m 1
9
m

5



 

 _{(tho¶ mÃn)}

Vậy với m = 1 hoặc m =
9

5_{thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mÃn pt (3).}
<b>Bài 2. Cho hệ phơng trình.</b>

2x - y m - 2
x 2y 3m 4







  



Tìm m để hệ phơng trình cú nghim (x; y) tho món
2 2
x +y =10

<b>Đáp sè: </b>

x m
y m 2





 

 _{thay x, y vào hệ thức giải phơng trình ta đợc m =1 hoc m=-3}

<b>Bài 4. Cho hệ phơng trình: </b>



3x m 1 y 12
m 1 x 12y 24

 

a) Giải hệ phơng trình với m = 2
b) Giải và biện luận hệ phơng trình.

c) Tỡm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.

e) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
f) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
g) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

h) Với ( x ; y ) là nghiệm duy nhất của hệ .Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc
vào m.

<b>Gi¶i :</b>

<b>a. Gi¶i hƯ phơng trình với m = 2 ( tự làm )</b>
<b>b. Giải và biện luân hệ phơng trình.</b>



2









36x 12 m 1 y 144

3x m 1 y 12 1

m 1 x 12y 24 2 m 1 x 12 m 1 y 24 m 1

  



  



 



 

       

 

 

Trõ tõng vÕ cđa hai ph¬ng trình trên ta có :





 



 

2 2

m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144

m 7 m 5 x 24m 168 3

 

          

 

    

NÕu m = 7 thay vµo hƯ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6y 12 x 2y 4

x 2y 4 x 4 2y

6x 12y 24 x 2y 4

   

 

      

 

   

  

HÖ vô số nghiệm dạng ( 4 - 2t ; t ) víi t R

 NÕu m = -5 thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6y 12 x 2y 4

6x 12y 24 x 2y 4

   

 



 

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 NÕu m5 vµ m 7 tõ (3) ta cã :



 









 



24 m 7

24m 168 24

x

m 7 m 5 m 7 m 5 m 5




  

    

Thay vµo (2) ta cã:



m 1 .



24 12y 24 12y 24 24 m 1





y 2 2 m 1





y 12

m 5 m 5 m 5 m 5

 

 

 _ _         

   

 

Tãm l¹i :

 Nếu m = -5 hệ phơng trình đã cho vơ nghiệm

 Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vơ số nghiệm x = 4 - 2t , y = t với t R

 Nếu m5 và m 7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất:

24 12

x , y

m 5 m 5

 

 

<i>Chú ý : Khi tìm đợc </i>

24

x

m 5


 <i>_{ta không nên thay vào (1) để tìm y vì khi đó hệ số của y vẫn còn m}</i>
<i>và ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng và khác 0 để tìm y</i>

<b>c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.</b>
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5; m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

24 12

x , y

m 5 m 5

 

 

 

24 12

x y 1

m 5 m 5

  

  

Với m5; m 7 ta có (x + 5)2_{>0 . Nhân hai vế của (1) với (x + 5)}2_{>0 ta đợc bất phơng trình}









24 m 5 12 m 5  24m 120 12m 60 12m 60 m 5
Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 là giá trị cần t×m

<b>Chó ý : </b>

<i>Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một biểu thức ta phải chú ý xem biểu thức</i>
<i>đó dơng hay âm để đổi chiều hay không đổi chiều bất đẳng thức</i>

<i>Nếu đề bài cho làm câu c ( hoặc d, e, f, g ) mà khơng cho câu b thì khi làm, b ớc 1 ta phải tìm</i>
<i>điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, khi đó ta trình bày nh câu b tới (3) và lập luận hệ có nghiệm</i>
<i>duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất </i> m5 và m 7

<b>d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nht õm.</b>

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhÊt khi m5 vµ m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

24 12

x , y

m 5 m 5

 

 

HƯ cã mét nghiƯm duy nhÊt ©m khi
24

0 _{m 5 0}

m 5 _{m 5 0} _m ₅

12 m 5 0

0
m 5




 _ _{ }

 

      

 

 


 _

 _


KÕt hỵp víi các điều kiện ta có m < -5 là giá trị cần tìm

<b>Chỳ ý: Nghim ( x ; y ) của hệ đợc gọi là âm nếu x < 0 và y < 0. Nghiệm dơng, không âm,</b>
<i>không dơng của hệ cũng tơng tự.</i>

<b>e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Khi đó nghiệm của hệ là :

24 12

x , y

m 5 m 5

 

 

HƯ cã nghiƯm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1

24 12 36 m 5 31 m

1 0 0

m 5 m 5 m 5 m 5

  

      

   





31 m 0 m 31

m 5 0 m 5 m 31

5 m 31

m 5

31 m 0 m 31

v« nghiƯm

m 5 0 m 5

    

 

 

     

 

 

   _    

_ _ _ _ _ _ _{ }

_ _

   

 

 

Kết hợp với các điều kiện ta có  5 m 31 và m 7 là giá trị cần tìm
<b>f.</b> <b>Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa món x + y = -1.</b>

Theo câu trên, phơng trình cã mét nghiÖm duy nhÊt khi

m 5

m 7







 _.

Khi đó nghiệm của hệ là :

24 12

x , y

m 5 m 5

 

 

HƯ cã nghiƯm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = -1





24 12 36 2m 10 46 2m

2 0 0

m 5 m 5 m 5 m 5

46 2m 0 do m 5 m 23

  

      

   



Kết hợp các điều kiện ta có m = - 23 là giá trị cần tìm

<b>g. Tìm m ngun để hệ có nghiêm duy nhất là nghim nguyờn</b>

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhÊt khi m5 vµ m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

24 12

x , y

m 5 m 5



Hệ có nghiêm duy nhất là nghiệm nguyên khi

24 12

và

m 5 m 5 _{là các số nguyên}

Vì m nguyên nên m + 5 là ớc của 24 vµ 12  m 5  



12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12    







m 17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 7

           

Kết hợp điều kiện ta có m 



17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1        



là các giá trị cần tìm
<b>h. Với ( x ; y ) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ </b>

<b>thc vµo m.</b>

Ta cã









 

3x m 1 y 12 3x my y 12 my y 3x 12

I

mx x 12y 24 mx x 12y 24

m 1 x 12y 24

  

        



 

  

     

   _ _




Thay y = 0 vµo hƯ ta cã :





3x 12 x 4

m 1 x 24 m 7



  





 

  

 



Thay m = 7 vào hệ ta đợc

3x 6y 12 x 2y 4

x 2y 4

6x 12y 24 x 2y 4

   

 

   

 

   

  _{( hÖ v« sè nghiƯm )}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 

2 2 2

y 3x 12

m _{y 3x 12}

y

I .x x 12 24

y
mx x 12 24

xy 3x 12x xy 12y 24y 3x 12x 12y 0 x 4x 4y 0

 


 _ _



 _    

 _ _ _


              

VËy biểu thức cần tìm là x2_{- 4x + 4y = 0}

<b>Bài 5. Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm thoả mãn: </b>x2 2x y 0 
2

x my 3m

mx y m 2

 




  


<b>Đáp số: Giải hệ theo x, y sau đó thay vào hệ thức. Ta có </b>

m 3 1

m 3 1

 _ _


  


Bài 6: Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2

Tìm các giá trị cđa a tho¶ m·n 6x2_{- 17y = 5.}

<b>Dạng 6: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.</b>
<b>Chú ý: </b>

+)
a

Z

m  _m_{¦(a) (a, m}_Z)

+)
a

Z
m

b
Z
m



_m_Ư(a,b)

<b>Bài 1</b>

Cho hÖ pt:

(m 2)x 2y 5
mx y 1

  




 

 

Tìm m Z để hệ có nghiệm nguyên
<b>Giải:</b>

Từ (2) ta có: y = mx - 1. Thay vào (1) ta đợc:
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5

 _{3mx + 2x = 7}

 _{x.(3m + 2) = 7 (m}

2
3


)

 _{x =}
7
3m 2 _.

Thay vµo y = mx - 1  y =
7

3m + 2_{.m - 1} _{y =}
4m - 2
3m + 2

§Ĩ x Z 
7

3m + 2_Z _{3m + 2}_{¦(7) =}



7; 7;1; 1 



+) 3m + 2 = - 7 m = - 3

+) 3m + 2 = 7 m =
5

3_(Lo¹i)

+) 3m + 2 = 1 m =
1
3


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Thay m = - 3 vµo y =

4m - 2

3m + 2  _{y = 2 (t/m)}

Thay m = - 1 vµo y =

4m - 2

3m + 2  _{y = 6 (t/m)}

Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1
<b>Bài 2</b>

Cho hÖ pt:

(m 3)x y 2
mx 2y 8

  




 

 

Tìm m để hệ có nghiệm ngun.
<b>Giải:</b>

Tõ (1) ta cã y = 2 - (m - 3).x  y = 2 - mx + 3x

Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 - mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4
 _{x.(6- m) = 4 (m}₆₎

 _{x =}
4

6 m _{. Thay vµo y = 2 - (m - 3).x ta cã: y =}

24 6m
6 m




§Ĩ x Z 
4

6 m _Z _{6 - m}_{¦(4) =}



1; 1; 2; 2; 4; 4  



+) 6 - m = 1  m = 5
+) 6 - m = -1 m = 7
+) 6 - m = 2  m = 4
+) 6 - m = - 2 m = 8
+) 6 - m = 4 m = 2
+) 6 - m = - 4 m = 10

Thay m = 5 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = - 6 (t/m)}

Thay m = 7 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = 18 (t/m)}

Thay m = 4 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = 0 (t/m)}

Thay m = 8 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = 17 (t/m)}

Thay m = 2 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = 3 (t/m)}

Thay m = 10 vµo y =

24 6m
6 m



  _{y = 9 (t/m)}

Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m

5;7;4;8;2;10

<b>Bài 4: Cho hệ phơng trình </b>

x y m

2x my 0

 




 

 ₍₁₎
1. Giải hệ phơng trình (1) khi m = -1 .
2. Xác định giá trị của m để:

a) x = 1 vµ y = 1 lµ nghiƯm cđa hƯ (1).
b) HƯ (1) v« nghiƯm.

3. Tìm nghiệm của hệ phơng trình (1) theo m.
4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
<b>Đáp số: 1. Khi m = - 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.</b>

2a) HƯ (1) cã nghiƯm x = 1 vµ y = 1 khi m = 2.
2b) m = - 2: HÖ (1) v« nghiƯm.

<i>3.</i> HƯ (1) cã nghiƯm: x =
2
m

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>4.</i> HÖ (1) cã nghiÖm (x, y) tháa: x + y = 1 
2
m
m 2

+
2m
m 2

= 1
 m2_{+ m - 2 = 0}

m 1(thỏa ĐK có nghiệm)

m 2(không thỏa ĐK có nghiệm)
 





 _.

VËy khi m = 1, hÖ( 1 cã nghiÖm (x,y) tháa: x + y = 1.

<b>Bài 5 : Cho hệ phơng trình </b>

x y 4

2x 3y m

 




 

 ₍₁₎

1. Giải hệ phơng trình (1) khi m = -1.

2. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) tha

x 0

y 0

_.

<b>Đáp số: </b>

1. Khi m = -1, hƯ(1) cã nghiƯm: x = 13 vµ y = - 9.
2. T×m:

NghiƯm cđa hƯ (1) theo m: x = 12 - m ; y = m - 8 .

Theo đề bài:

x 0

y 0







 

12 m 0

m 8 0

 




 

 

m 12

m 8







  _{m < 8.}

<b>Bµi 6: Cho hệ phơng trình </b>

2x y 3m 1

3x 2y 2m 3

  




  

 

1. Giải hệ phơng trình khi m = - 1.

2. Với giá trị nào của m thì hÖ pt cã nghiÖm (x; y) tháa

x 1

y 6







 _.

<b>Đáp số:</b>

1. Khi m = - 1 , hệ pt cã nghiƯm: x = 1 vµ y = - 4.
2. T×m:

NghiƯm cđa hƯ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = - 9 - 5m .

Theo đề bài:

x 1

y 6







  

m 1

m 3

 



 

  _{- 3 < m < - 1 .}

<b>Bµi 7: Cho hệ phơng trình : </b>

2mx y 5

mx 3y 1






 

 ₍₁₎

1. Gi¶i hƯ (1) khi m = 1.

2. Xác định giá trị của m để hệ (1):

a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
b) Có nghiệm (x, y) tha: x - y = 2.

<b>Đáp số:</b>

1. Khi m = 1, hÖ (1) cã nghiÖm: x = - 2 ; y = 1.

2a) Khi m  0, hÖ (1) cã nghiƯm:

2
x

m
y 1






 

 _.

2b) m =
2
3


.

<b>Bµi 8 : Cho hệ phơng trình : </b>

mx 2 y m

2x y m 1

 




   

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

b) Tính giá trị của tham số m để hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất và tớnh nghim

duy nht ú theo m.

<b>Đáp số:</b>

a) Khi m = - 2, hÖ (I) cã nghiÖm: x =
2
3_{; y =}

1
3_.
b)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi m 4.

Khi đó hệ (I) có nghiệm duy nhất:

3m 2
x

m 4




;

2

m 3m

y

m 4





<b>Dạng 7: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ </b>
<b>nhất.</b>

<b>Bµi 1. Cho hƯ pt: </b>
2

2
mx - y = m (1)

2x + my = m + 2m + 2 (2)






 

a) CMR hƯ pt lu«n cã nghiƯm duy nhÊt víi mäi m

b) Tìm m để biểu thức: x2_{+ 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.}
Giải:

a) Do m2 0_{víi mäi m}

 _m2_{+ 2 > 0 víi mäi m.}
Hay m2_{+ 2}_{0 víi mäi m}

VËy hƯ pt lu«n cã nghiƯm duy nhÊt víi mäi m
b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx - m2₍₃₎

Thế vào (2) ta đợc

2x + m(mx - m2_{) = m}2_{+ 2m +2} _{2x + m}2_{x - m}3_{= m}2_{+ 2m +2}
 _{2x + m}2_{x = m}3_{+ m}2_{+ 2m +2} _{x(2 + m}2_{) = (m}3_{+ 2m) + (m}2_{+ 2)}
 _{x(2 + m}2_{) =(m + 1)(m}2_{+ 2) do m}2_{+ 2}₀

 _{x = m + 1}

Thay vào (3)  y = m.(m + 1) - m2_{= m}
Thay x = m + 1; y = m vào x2_{+ 3y + 4 ta đợc:}
(m + 1)2_{+ 3m + 4 = m}2_{+ 5m + 5}

= (m2_{+ 2.}

5 25 5

m )

2  4  4

=

2

5 5 5

(m )

2 4 4



  

Do

2
5

(m ) 0

2

 

VËy min (x2_{+ 3y + 4) =}
5
4


khi m =

5
2

<b>Bµi 2. Cho hÖ pt: </b>

2

2

3mx y 6m m 2 (1)

5x my m 12m (2)

    




  



 

Tìm m để biểu thức: A = 2y2_{- x}2_{nhận GTLN. Tìm giá trị đó}
Giải:

Tõ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2_{+ m + 2. Thay vµo (2) ta cã:}
5x + m.( 3mx - 6m2_{+ m + 2) = m}2_+12m

 _{x.(5 + 3m}2_{) = 6m}3 _{+ 10m (5 + 3m}2 _{0 víi mäi m)}



3
2
6m 10m

x 2m

3m 5



 



Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2_{+ m + 2 ta đợc y = m + 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

= -2(m2_{- 4m + 4) +16 = .}

2

2(m 2) 16 16

    _{. Do}2(m 2) 2 0



m



VËy max A = 16 khi m = 2

<b>Dạng 8: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số.</b>

<b>Bài 1. Cho hệ pt:</b>

2mx 3y 5
x 3my 4
 




  



a) CMR hƯ lu«n có nghiệm duy nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Giải:

a) Để hệ có nghiÖm duy nhÊt ta xÐt:

2m.3m - 3.(-1) = 6m2_{+ 3 > 0 víi mäi m}

VËy 6m2_{+ 3 .}_{.0 víi mäi m. Hay hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt}

b) Rút m từ (1) ta đợc m =
5 3y

2x


thay vµo (2) ta cã: -x + 3.
5 3y

2x


= 4
 _2x2_{+ 8x -15y + 9y}2 _{= 0 là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.}

<b>Bài 2. Cho hệ pt: </b>

(m-1)x+y=m
x+(m-1)y=2

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phơ thc vµo m.
<b>Bµi 3</b>

Cho hƯ pt:

2

2
5x+ay=a +12a
3ax-y=6a -a-2






 

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào a.
<b>Bài tập về nhà:</b>

<b>Bài 1: Giải hệ phơng trình:</b>

( 2 -1) 1

- = 2

m -1 n
1 ( 2 +1)

+ = 1

m -1 n

<b>Bµi 2: Cho hệ phơng trình </b>

2
2x -3y = 7

3mx + (m + 3)y = m - 6m - 3





Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)

<b>Bµi 3: </b>
Cho hƯ pt:

(m+1)x+2ny=2
3mx+(n-2)y=9





a) Gi¶i hƯ pt víi m = 1; n = - 3

b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
<b>Bài 4: </b>

Cho hệ phơng trình

2
3x + 2y = -8

mx + (3m +1)y = m -1




 _(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x - 2y = -6 (3)
<b>Bài 5: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Cho hệ phơng trình

x my 3
2x 3my 5



Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m2_{- 1)x - 10my = 4m + 5}
<b>Bài 6: </b>

Cho hÖ pt:

(m 2)x y 3
mx 3y 7

  




 

 

a) Giải hệ pt với m = -1
b) Tìm m để x > 0, y > 0
<b>Bài 7: </b>

Cho hÖ pt:

mx my m
mx y 2m

 




 


Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.

<b>Bµi 8: </b>
Cho hÖ pt:

(m 1)x 2y 5
mx y 1

  




 

 

a) Gi¶i hƯ pt víi m = 2

b) Tìm m Z để hệ có nghiệm ngun.
<b>Bài 9: </b>

Cho hƯ pt:

(m 3)x y 2
mx 2y 5

  




 

 

Tìm m để hệ có nghiệm ngun
<b>Bài 10: </b>

Cho hÖ pt:

2

2

3mx y 6m m 2 (1)

5x my m 12m (2)

    




  



 

Tìm m để biểu thức: A = 2y2_{- x}2_{nhận GTLN. Tìm giá trị đó}
<b>Bài 11: </b>

Cho hƯ pt:

2

2

3mx y 3m 2m 1

x my 2m

  

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
HD:

2

2

3mx - y = 3m - 2m +1
x + my = 2m









2

2

6mx - 2y = 6m - 4m + 2
3x + 3my = 6m






  2

6mx - 3x - 2y - 3my = -4m + 2
x + my = 2m






Rút m từ (1) ta đợc:

3x + 2y + 2
m =

6x - 3y + 4 _{. Thay vµo (2) ta cã:}

2
3x + 2y + 2 3x + 2y + 2

x + .y = 2.( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>---giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.</b>
<b>Giải bài toán bằng cách lập phơng trình </b>

<b>hoặc hệ phơng trình</b>
<b>DạNG 1: DạNG TOáN CHUYểN ĐộNG</b>

A. KIếN THøC CÇN NHí

<b>1. Cơng thức chuyển động đều:</b>
S = v.t (1)

Trong đó: S - Quãng đờng (km, m, cm...)
v - Vận tốc (km/h, m/s...)
t - Thời gian (giờ, phút, giây)

Më réng tõ (1) ta cã:

s
v

t


(2);
s
t

v


(3)
<b>2. Chuyển động trong môi trờng động (dũng nc, giú:</b>

Vxuôi = Vthực + Vnớc
Vngợc = Vthực - Vníc

<b>3. Bài tốn có sự tham gia của nhiễu động tử:</b>
Sau 1 giờ khoảng cách giữa 2 động tử thay đổi:

1 2
dv v

(Nếu chuyển động ngợc chiều)
1 2

dv  v

(Nếu chuyển động cùng chiều)

<b>4. Kỹ năng phân chia thời gian của quá trình chuyển động:</b>
<b>B. BàI TOáN áP DNG:</b>

<b>Bài toán 1:</b>

Anh Hựng i xe p t nh n Hà Nội theo con đờng dài 48km. Lúc về anh đi theo con
đ-ờng khác ngắn hơn 13km. Do đđ-ờng khó đi nên vận tốc chỉ bằng 5/6 vận tốc lúc đi. Tuy nhiên thời
gian về vẫn ít hơn thời gian đi 1/2 giờ.

TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa anh Hùng?
<b>Hớng dẫn học sinh:</b>

<b>1. Phân tích bài toán:</b>

- Hc sinh thấy rõ hai quá trình chuyển động đi và về.
- Có 3 đại lợng tham gia: S, v, t

- Mèi liên hệ giữa hai quá trình: Svề + 13 = Sđi

vvề =
5
6_vđi

tvề = tđi -
1
2_(h)
<b>2. Công thức sử dông:</b>

S = v.t;
s
t

v


;
s
v

t


<b>3. KÕt luận bài toán: Tìm vận tốc lúc đi?</b>
<b>Lời giải:</b>

Gọi vận tốc lúc đi của anh Hùng là: x(km); (x>0)

Khi ú:- Vận tốc lúc về là:
5

6_{x (km/h)}

- Thêi gian lóc ®i lµ:
48

x _(h)

- Thêi gian lóc vỊ lµ: 48-13:

5
6_{x =}

42
x _(h)

V× thêi gian vỊ Ýt hơn thời gian đi
1

2_{(h) nên ta có phơng tr×nh:}
48 42 1

x  x 2_

6 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Một ca nơ chạy trên sơng. Nếu xi dịng 1km và ngợc dịng 1km thì hết 3,5 phút. Nếu ca nơ
đó chạy xi dịng 20km và ngợc dịng 15km thì hết 1 gi.

Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng?
<b>Hớng dẫn học sinh:</b>

- Học sinh thấy đợc sự chuyển động ở đây có hai q trình xi dịng và ngợc dịng.
- Mỗi q trình thực hiện trong hai lần

- C«ng thøc vËn dụng: S = v.t

Vxuôi = Vthực + Vnớc
Vngợc = Vthực - Vnớc
Kỹ năng giải hệ phơng trình.

<b>Lời giải:</b>

Gi vn tc thực của ca nơ và vận tốc của dịng nớc là x và y (km/h); (x>y>0).
Khi đó: - Vận tốc xi dịng của ca nơ là: x + y (km/h)

- Vận tốc ngợc dòng của ca nô là: x - y (km/h)

Vì: Ca nô xuôi dòng 1km và ngợc dòng 1km hÕt 3,5 phót =
7

120_{giê nªn ta cã phơng trình:}

1 1 7

x y x y 120 ₍₁₎

Mặt khác: Ca nô xuôi dòng 20km và ngợc dòng 15 km hết 1 giờ nên ta có phơng trình:

20 15

1
x y x y ₍₂₎

Vậy ta có hệ phơng trình:

1 1 7

x y x y 120

20 15

1
x y x y


 

  




 _ 

_(I)

Đặt:

1
X

x y
1
Y

x y





_{Hệ phơng trình trở thành}

7
X Y

120
20X 15Y 1


 




 _ _

 _(II)

Giải hệ (II) ta đợc:

1
X

40
1
Y

30






 _



Hay

1 1

x y 40 x 35

x y 40

1 1 x y 30 y 5

x y 30





 _ _ _{ } _ _



 

  

  

 

 _

 


Víi x = 5, y = 35 thoả mÃn điều kiện bài toán.

Vậy: - Vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng là 35 (km/h)
- Vận tốc của dòng nớc chảy là 5 (km/h).

<b>Chỳ ý: Khi gii h phng trỡnh trên ngồi dùng phơng pháp đặt ẩn phụ ta có thể quy đồng</b>
mẫu thức đa hệ phơng trình về dạng phơng trình bậc 2. Tìm giá trị thích hợp của n.

<b>Bài toán 3: </b>

Nh Nam v nh Lan cựng nm trên đờng quốc lộ 6 và cách nhau 7km. Nếu Nam và Lan đi
xe đạp cùng một lúc và ngợc chiều nhau thì sau 15 phút họ gặp nhau. Tính vận tốc mỗi ngời biết vận
tốc của mối ngời biết vận tốc của Nam hơn vận tốc của Lan 4km/h.

<b>Híng d·n häc sinh:</b>

- Bài tốn có hai động tử chuyển động ngợc chiều nhau
- Biết tổng quãng đờng của hai động tử

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

- Sau 1 giờ hai động tử đi đợc quãng đờng là: v1 + v2 (km)
<b>Lời gii:</b>

Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) và vận tốc của LAn là y (km/h)
điều kiện (x>y>0)

Sau 1 giờ hai bạn đi đợc tổng quãng đờng là: x + y (km)

Sau 15 phút hai bạn đi đợc tổng quãng đờng là:

1
(x y)

4


(km)

Theo bµi ra ta có phơng trình:

1

(x y) 7

4

(1)

Mặt khác vận tốc của Nam hơn vận tốc của Lan là 4km/h nên ta có phơng trình: x -y =4 (2)

Vậy ta có hệ phơng trình:

1

x y 28 x 16

(x y) 7

4

x y 4 y 12

x y 4


  

   



 

  

  

 

  


Víi x = 16, y = 12 thoả mÃn điều kiện bài toán.

Vy vn tc ca hai bn Nam v Lan là 16 km và 12 km.
Chú ý: Bài tốn có thể giải bằng cách lập phơng trình, đặt ẩn gián tiếp.
<b>Cách 2: Gọi quãng đờng bạn Nam đi đợc sau 15 phút là x (km)</b>
Thì quãng đờng Lan đi đợc là: 7 - x (km)

VËn tèc cña Nam:
x

4x

1/ 4  _(km/h)

VËn tèc cña Lan:
7 x

4(7 x)
1/ 4



 

(km/h)
Theo bài ra ta có phơng trình: 4x - 4(7-x) = 4
Giải ra ta đợc: x = 4 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy quãng đờng Nam đi đợc 4km

Bài tập cùng dạng:

<b>Bi 1:</b> Hai ngi i trờn hai con đờng vng góc với nhau và xuất phát cùng một lúc từ cùng
một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đờng biết rằng nếu hai ngời đó cùng
xuất phát từ một điểm và đi ngợc chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km.

<b>Bài 2:</b> Một ngời dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu ngời đó
tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng AB giảm đi 1giờ. Nếu ngời đó giảm vận
tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng AB tăng 2giờ so với dự định. Hỏi ngời đó đi với vận
tốc và thời gian dự định là bao nhiêu?

ĐS: Vậy vận tốc mà ngời đó dự định đi là: 30 (km/h)
<b> Và thời gian mà ngời đó dự định đi là: 4giờ</b>

<b>Bài 4:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ng ời đó</b>
chọn con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên
thời gian về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính SAB lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: S<i>AB</i>

<i>=30km)</i>

<b>Bài 5:Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B với vận tốc 30 km/h rồi từ B quay về A. Biết</b>
rằng thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngợc dịng là 40 phút Tính SAB .Biết vận tốc của dịng là
3km/h và vận tốc thật khơng đổi

<b>Bài 6:Lúc 7h30 phút một ôtô đi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết</b>
quãng đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của
ơtơ trên qng đờng AB, BC (Gọi vận tốc ....quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ;
<i>40km/h</i>

<b>DạNG 2: TOáN Về NĂNG SUấT LAO ĐộNG</b>
<b>A. KIếN THứC CầN NHớ.</b>

<b>1. Quy tắc giải bài toán:</b>

<b>2. Mi liờn hệ giữa các đại lợng: K, N, T</b>
K = N.T;

K
N

T


vµ
K
T

N

Trong đó:

K: Khối lợng cơng việc
N: Năng suất lao động
T: Thời gian lao động

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

- Sự tỷ lệ giữa K và T là thuận nếu N không đổi
- Sự tỷ lệ giữa N và T là nghịch nếu K khơng đổi
<b>3. Sự phân tích trong q trỡnh lao ng:</b>

<b>B. BàI TOáN áP DụNG</b>
<b>Bài toán 1: </b>

Mt đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40ha, khi thực hiện đợc mỗi ngày cày đợc 52ha. Vì
vậy khơng những đội cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà cịn cày thêm đợc 4ha nữa. Tính diện tích
thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch?

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- Đây là bài toán năng suất lao động thể hiện mối quan hệ của: K, N, T

- Bài toán phân chia hai quá trình thực hiện: Theo kế hoạch và thực tế khi thực hiện công việc.
- Bảo đảm sự hởng ứng của hai q trình làm việc.

<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x (ha); (điều kiện x>0)

Thế thì: Thời gian đội cày theo kế hoạch là:
x

40_(ngày)
Thực tế diện tích đội cày đợc là: x + 4 (ha)

Thời gian thực tế đội cy ht:
x 4

52

(ngày)

Theo bài ra ta có phơng tr×nh:

x x 4

2

40 52



 



x x 4

2

40 52



 

13x 10(x 4) 520.2 13x 10x 1040

      

3x 1080 x 360

   

Víi x=360 tho¶ mÃn điều kiện bài toán.

Vy din tớch tha rung i dự định cày theo kế hoạch là: 360ha
<b>Bài toán 2: </b>

Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất cùng làm đợc 400 chi tiết máy. Sang tháng sau, tổ 1 vợt mức
10%, tổ II vợt mức 15%, nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm
đợc bao nhiêu chi tiết máy?

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- Bài tốn có hai đối tợng tham gia (hai tổ sản xuất)

- Đề cập tới năng suất lao động của hai tổ khác nhau (phức tạp hơn)

- Sự tăng năng suất ở dạng phần trăm (học sinh hiểu đợc 10%, 15%)
- Biết khối lợng công việc ban đầu và khi vợt mức.

<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi số chi tiết máy là đợc trong tháng đầu của tổ I là x (chi tiết) (điều kiện 0<x<400).
Thì số chi tiết máy làm đợc trong tháng đầu của tổ II là: 40-x (chi tiết)

Trong th¸ng sau:

- Tổ I làm đợc: (100%+10%)x=

110 11

x x

100 10 _{(chi tiết)}
- Tổ II làm đợc:

115 23

(100% 15%)(400 x) (400 x) (400 x)

100 20

    

(chi tiết)
Theo bài ra ta có phơng trình:

11 23

x (400 x) 448 22x 23(400 x) 8960

10 2

22x 9200 23x 8960 x 240 x 240

      

        

Với x=240 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy trong tháng đầu tổ I làm đợc 240 chi tiết
Tổ II làm đợc 400 - 240 = 160 chi tit

<i>Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình</i>

Bài tập cùng d¹ng

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

tăng năng suất lên 5 sản phẩm trong 1 giờ. Vì vậy họ đã hồn thành số sản phẩm đó trớc thời hạn là
6 giờ. Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm đợc bao nhiêu sản phẩm.

<b>Bài 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch đợc tất</b>
cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một 1ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới
thu hoạch đợc ít hơn 4 ha trng lỳa c l 1 tn.

<b>DạNG III. DạNG TOáN Về CÔNG VIệC LàM CHUNG, LàM RIÊNG</b>
<b>A. KIếN THứC CầN NHí.</b>

<b>1. Mèi quan hƯ: K, N, T</b>

<b>2. Sù t¬ng quan tû lƯ gi÷a K, N, T</b>

<b>3. Kỹ năng chọn ẩn, đa dữ kiện quy về đơn vị chung (phần việc)</b>

<b>4. Phân tích các giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn và đơn vị đã chọn.</b>
<b>B. BàI TOỏN ỏP DNG.</b>

<b>Bài toán 1 </b>

Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau
1
4

4_{giờ bể đầy. Mỗi giờ lợng nớc chảy ở vòi I bằng}
1
1

2
lợng nớc chảy ở vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy?

<b>Hớng dẫn học sinh:</b>

- Phõn tớch rõ, đúng hớng bài toán.
- Biểu thị quan hệ giữa K, N, T

- Chon đại lợng quy về đơn vị, chọn ẩn thích hợp (phần bể I).
<b>Lời giải:</b>

Gäi thêi gian một mình vòi II chảy đầy bể là x (giờ); (điều kiện x>
4
4

5₎

Mt gi vũi II chy c:
1

x_{(phần bĨ)}

Khi đó vịi I chảy đợc:

1 1 3

1 .

2 x 2x_{(phÇn bĨ)}

Một giờ cả hai vịi chảy đợc:

1 3

x 2x _{(phần bể)}
Theo bài ra ta có phơng tr×nh:

1 3 5

x 2x 24_{(vì đổi}

4 24
4

5 25
)

5x 24 36 5x 60 x 12

   

Với x = 12 thoả mÃn điều kiện bài toán.
Vậy: Một mình vòi II chảy đầy bể là 12 giê

Còn vòi I một giờ chảy đợc

1 1 1

1 .

2 12 8 _{(bể). Nên một mình vòi I chảy đầy bể là 8 giờ.}
<b>Bài toán 2: </b>

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ
cùng làm với nhau đợc 8 ngày thì đội I đợc điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm. Do cải tiến
kỹ thuật, năng suất lao động tăng gấp đôi, nên đội II làm xong phần cơng việc cịn lại trong 3 ngày
rỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong cơng việc? (Với năng suất bình thờng)
<b>Hớng dẫn học sinh:</b>

- Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng đội làm một mình xong cơng việc.
- Chọn tồn bộ khối lợng cơng việc quy v n v mt cụng vic.

- Lập và giải hệ phơng trình.
<b>Lời giải:</b>

Gi thi gian cn thit i I và đội II làm xong cơng việc một mình là: x (ngày) và y
(ngày); (điều kiện x, y 12)

Mỗi ngy: i I lm c
1

x_{(phần công việc)}

i II làm đợc
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Một ngày cả hai i lm c:
1 1

xy_{(phần công việc)}

Nên ta có phơng trình:

1 1 1

xy 12 ₍₁₎

Tỏm ngy c hai đội làm đợc:

1 1

8( )

xy _{(phần công việc)}
Do năng suất tăng gấp đôi nên ba ngày rỡi đội II lm c:

2 7

.3,5

y y_{(phần công việc)}

Vậy ta có phơng trình:

1 1 7

8( ) 1

xy y ₍₂₎
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

1 1 1

(1)
x y 12

1 1 7

8( ) 1(2)

x y y

1 1 1 1 1 1

1 1 1

x 8

x y 12 x y 12

x y 12

8 7 7 4 y 21

1 y 21

12 y y 12



 





 _ _ _




 

    _

  _ _ _ _

  

 _  _  _  _




 _ _  _  _



 

 

Víi
x 8
y 21







 _{thoả mÃn điều kiện bài toán.}

Vy thi gian i I làm một mình xong cơng việc là 28 ngày
Và thời gian đội II làm một mình xong cơng việc là 21 ngày
<b>Bài tốn 3: </b>

Hai cơng nhân cùng làm chung để hồn thành một cơng việc trong 7 ngày. Trong đó, ngời

thø 2 lµm sau ngêi thø nhÊt lµ
1
1

2_{ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu xong cơng}
việc. Biết rằng ngời thứ 2 có thể hồn thành cơng việc đó một mình nhanh hơn ngời thứ nhất là 3
ngày.

<b>Lêi gi¶i:</b>

Gäi thêi gian ngêi thø 2 làm một mình xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x>7)
Thế thì ngời thứ nhất làm hết: x+3 (ngày)

Ngi th hai lm trong 5,5 ngy c
1
5,5

x_{(công việc)}
Theo bài ra ta có phơng trình:

2

7 5,5

1 7x 5,5(x 3) x(x 3) 2x 19x 33 0

x 3 x

6
x 1; x

4

         

Với x=11 thoả mÃn điều kiện bài toán

Vậy: Ngời thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày)
Ngời thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày)
<i>Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình.</i>

<b>Bài tập cùng dạng</b>

<b>Bi 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm</b>
trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hồn thành cơng việc. Hỏi
mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong cơng việc?

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>§S: VËy thêi gian ngêi thø nhất làm một mình hoàn thành công việc là: 24giờ, thời gian </b></i>
<i><b>ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ</b></i>

<b>Bi 2: Trong mt b nc cú một vòi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai vịi thì sau 6</b>
giờ sẽ đầy bể. Hỏi vịi chảy vào chảy trong bao nhiêu lâu thì đầy bể. Biết rằng thời gian vòi chảy vào
chảy đầy bể ít hơn thời gian chảy ra hết bể nớc đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vũi khụng i.

<b>Bài 3: Hai ngời thợ cùng xây một bøt têng trong 7 giê 12 phót th× xong ( vôi vữa và gạch có </b>
công nhân khác vận chuyển) . NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 5 giê vµ ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì

c 2 xõy c
3

4_{bức tờng . Hỏi mỗi ngời làmmột mình thì bao lâu xây xong bức tờng .}

1 1 5

x y 36

5 6 3

x y 4



 





  



( 12 ; 18 )

<b>Bài 4: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cong trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu ng ời thứ</b>
nhất làm một mình trong 9 ngày và ngời thứ hai đến làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc . Hỏi
mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong việc

1 1 1

x y 4

10 1
1

x y



 





 _ _


 _{( 12 ; 6 )}

<b>Bài 5: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ thì có thêm 5 cần cẩu bé </b>
( công suất bé hơn ) cùng làm việc. cả 7 cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong . Hỏi mỗi cần cẩu làm
việc một mình thì bao lâu xong việc , biết rằng nếu cả 7 cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ
xong việc.

12 15
1

x y

2 5 1

x y 4



 





  


 _{( 24 ; 30 )}

<b>Bài 6: Hai tổ côngnhân cùng làm chung một cơng việc và dự định hồn hành trong 6 giờ .</b>
Nhng khi làm chung trong 5 giờ thì tổ II đợc điều động đi làm việc khác . Do cải tiến cách làm,
năng suất của tổ I tăng 1,5lần, nên tổ I đã hồn thành nốt phần việc cịn lại trong 2 giờ . Hỏi với
năng suất ban đầu , nếu mỗi tổ làm một mình thì sau bao nhiêu giờ mới xong công việc .

1 1

6 1

x y

1 1 3

5 1

x y x

  
 
  
  


 

 _ _ _

 

 _ _

 _{( 18; 9)}

<b>DạNG IV. DạNG TOáN Về Tỷ Lệ, CHIA PHầN, TĂNG GIảM, THÊM BớT Tỷ</b>
<b>Số CáC ĐạI LƯợNG</b>

<b>A. KIếN THứC CầN NHí</b>

<b>1. Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các i lng.</b>

<b>2. Biểu diễn các tỷ lệ dới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức...</b>
<b>3. Các tính chất của tỷ lệ thức</b>

<b>4. Sự tăng giảm, thêm bớy qua các biểu thức</b>
<b>B. BàI TOáN áP DụNG.</b>

<b>Bài toán 1: </b>

Hợp tác x· Hång Ch©u cã hai kho thãc. Kho thø nhÊt nhiều hơn kho thứ hai là 100 tấn. Nếu

chuyn t kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất bằng
12

13_{số thóc ở}
kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu?

<b>Lời giải:</b>

Gọi số thóc lúc đầu ở kho thứ hai là: x (tấn); (điều kiện: x>0)
Thì số thóc lúc đầu ở kho thứ nhất là: x+100 (tấn)

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

x 40 12

13x 520 12x 720 x 200
x 60 13



      



Víi x = 200 thoả mÃn điều kiện bài toán

Vậy: Số thóc lúc đầu ở kho thứ hai là: 200 (tấn)
Số thóc lúc đầu ở kho thứ nhất là: 300 (tấn)
<i>Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình.</i>
<b>Bài toán 2: </b>

Một đội xe cần chuyển 120 tấn hàng. Khi làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe
phải chuyển thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc?

<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi số xe lúc đầu của đội là: x (chiếc); (điều kiện: x>2; x nguyên)

Theo dự định mỗi xe phải chở:
120

x _{(tÊn hµng)}

Thùc tÕ khi làm việc có x-2 (chiếc) chở

Nên mỗi xe phải chë:
120

x 2 _{(tÊn hµng)}
Theo bµi ra ta cã phơng trình

2

2

2

1 2

120 120

16 120(x 2) 16x(x 2) 120x

x 2 x

120x 240 16x 32x 120x
16x 32x 240 0

x 2x 15 0 x 5; x 3

      



    

   

      

Với x = 5 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy: Số xe lúc đầu của đội là 5 chic

<b>Bài tập cùng dạng</b>

Bi 6: Dõn s mt khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình
hàng năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x %
<i>Kq:4%)</i>

Bµi 7: Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt
tØ lệ học sinh tiên tiến 9A thấp hơn 9B là 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến của mỗi lớp ,và mỗi lớp có
bao nhiêu học sinh

<i>Gọi x % là tỉ lệ học sinh tiên tiến của lớp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105</i>
<i>Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs</i>

Bài 8: Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ
IIvợt mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong
tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

Bài 9: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ .Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền
sản xuất nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả
2 đã làm đợc 400 dụg cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và thực tế làm?

<b>D¹NG V. D¹NG TOáN Có NộI DUNG Số HọC</b>
<b>A. KIếN THứC CầN NHớ</b>

Ngoài kiến thức chung về giải toán, học sinh cần nắm các kiến thức sau:
<b>1. Cấu tạo thập phân của một sè</b>

<b>2. Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số.</b>
<b>3. Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại</b>
<b>B. BàI TOáN áP DụNG </b>

<b>Bµi to¸n 1: </b>

Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị. Nếu đặt ở giữa hai
chữ số đó bởi chữ số 1 thì ta đợc một số mới lớn hơn số đã cho 370 đơn vị. Tìm số đã cho?

<b>Híng dÉn học sinh:</b>

- Cấu tạo thập phân của một số tự nhiên
Số có hai chữ số: ab 10a b

Số có ba ch÷ sè: abc 10a 10b c  

- Chän ẩn và điều kiện cho ẩn; các chữ số: 0#a,b,c#9; a,b,c nguyên
<b>Lời giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Số ban đầu là: x(2x) 10x 2x 12x  

Sè míi lµ: x1(2x) 100x 10 2xx 102x 10    
Theo bµi ra ta có phơng trình:

102x 10 12x 370 90x 360 x 4
Với x=4 thoả mÃn điều kiện bài to¸n

Nh vậy: Chữ số hàng chục là 4 và chữ số hàng đơn vị là 8.
Do đó: Số đã cho l 48.

<i>Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình.</i>

- iu kin 0<x4 l do x nguyên và chữ số hàng đơn vị luôn nhỏ hơn hoặc bằng 9.
<b>Bài toán 2: </b>

Tổng của hai chữ số hàng đơn vị và 2 lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số bằng
10. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số ban
đầu?

<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi chữ số hàng chục là: x, chữ số hàng đơn vị là y (điều kiện: 0<x#9; 0#y#9; x, y N)
Thì số đã cho có dạng: xy 10x y 

Số mới khi đổi chỗ có dạng: yx 10y x 
Theo bài ra ta có phơng trình:

(10x y) (10y x) 18     9x 9y 18   x y 2  ₍₁₎

Mặt khác: Tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục là 10.
Nên ta có phơng trình: 2x+y=10 (2)

KÕt hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

x y 2 x y 2 x 4

2x y 10 3x 12 y 2

    

  

 

  

   

  

Víi:
x 4
y 2






 _{thoả mÃn điều kiện bài toán.}
Nh vậy: Chữ số hàng chơc lµ 4

Chữ số hàng đơn vị là 2

Do đó s ó cho l 42.

<b>Bài tập cùng dạng</b>
<b>Dạng một số cã hai ch÷ sè</b>

Bài 1: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số , biết rằng 2 lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1
đơn vị và nếu 2 chữ số ấy viết theo chiều ngợc lại thì đợc 1 số mới (có 2 chữ số ) bé hơn số cũ 27
đơn vị .

Bài 2: Cho một số có 2 chữ số . Nếu đổi chổ 2 chữ số của nó thì đợc một số lớn hơn chữ số đã cho
là 63. tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 . Tìm số đã cho .

x y 7
x y 11
  




 

 _{( 18 )}

Bài 3: Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chổ 2 chữ số của nó thì đợc một số lớn hơn số đã

cho là 36. tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110. Tìm số đã cho .

9x 9y 36
11x 11y 110

  




 

 _{( 3}

;7 )

Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng tổng các chữ số là 16, nếu đổi chổ 2 chữ số cho nhau ta

đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị .

x y 16
x y 2

 






_{( 9; 7)}

<b>Dạng hai số</b>

Bài 1: Tìm 2 số tù nhiªn , biÕt r»ng tỉng cđa chóng b»ng 1006 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá

thì đợc thơng là 2 số d là 124.

x y 1006
x 2y 124

 




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài 2: Tổng của 2 số bằng 59 . Hai lần của số này bè hơn 3 lần của số kia là 7. Tìm 2 số đó .
x y 59

3x 2y 7
 




 

 _{( 34 ; 25)}

Bài 3: tìm 2 số tự nhiên , biÕt r»ng hiƯu cđa chóng b»ng 1275 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá th×

đợc thơng là 3 số d 125 .

x y 1275
x 3y 125



_{( 1850 ; 575 )}

<b>DạNG VI. DạNG TOáN Có NộI DUNG HìNH HọC.</b>
<b>A. KIếN THứC CầN NHớ.</b>

Ngoi kin thức chung, đối với học sinh cần nhớ các kiến thc sau:

<b>1. Công thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ</b>
<b>nhật, hình vuông, hình thang....)</b>

<b>2. Các hệ thức lợng trong tam giác vuông...</b>
<b>B. BàI TOáN áP DụNG.</b>

<b>Bài toán 1: </b>

Mt mnh vng hình chữ nhật có chu vi là 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m
thì diện tích tăng thêm 255m2_{. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.}

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- C«ng thøc tÝnh chu vi hình chữ nhật: P=2(a+b)
- Công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=a.b

(Trong ú: a, b l cỏc kớch thc ca hỡnh ch nht)
<b>Li gii:</b>

Gọi chiều dài của mảnh vên lµ: a (m)

Và chiều rộng của mảnh vờn là: b (m); (điều kiện: a, b>0).
Khi đó chu vi của mnh vn l: 2(a+b)

Ta có phơng trình: 2(a+b)=124 a+b = 62 (1)
Chiều dài của mảnh vờn khi tăng: a+5 (m)
Chiều rộng của mảnh vờn khi tăng: b+3 (m)
Diện tích của mảnh vờn khi tăng:

(a+5)(b+3)=ab+5b+3a+15 (m2₎

Diện tích ban đầu của mảnh vờn là: a.b (m2₎
Theo bài ra ta có phơng trình:

ab+5b+3a+15-ab = 255 3a+5b = 240 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

a b 62 2a 70 a 35

3a 5b 240 2b 54 b 27

   

  

 

  

   

  

Víi

a 35
b 27







 _{tho¶ mÃn điều kiện bài toán.}

Vy: Chiu di v chiu rng của mảnh vờn đã cho là: 35(m) và 27(m).
<i>Chú ý: - Bài tốn có thể giải bằng cách lập phơng trỡnh.</i>

<b>Bài toán 2: </b>

Cho tam giỏc vuụng cú cnh huyn bằng 5cm và diện tích của tam giác đó bằng 12cm2_{. Hãy}
xác định tam giác vng trên?

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- C«ng thøc sư dơng (Pitago): a2_{= b}2_{+ c}2

- Công thức tính diện tích tam giác vuông:

1

S bc

2


(Trong đó: a là độ dài cạnh huyền; b, c: độ dài các cạnh góc vng).
<b>Lời giải:</b>

Gọi độ dài hai cạnh góc vng lần lợt là: x(cm) và y(cm) (điều kiện: 0<x, y<5).
Theo định lý Pitago ta có: x2_{+ y}2_{= 5}2_{hay x}2_{+ y}2_{= 25 (1)}

Mặt khác: Diện tích của tam giác vuông là 12cm2_{nªn ta cã:}
1

xy 12 xy 24

2    ₍₂₎

Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

2
2 2

2
(x y) 73

x y 25

xy 24 (x y) 23

  

   



 



Hệ phơng trình này vô nghiệm, vì: (x-y)2_{# 0 víi mäi x, y}
VËy: Kh«ng cã tam giác vuông nào có tính chất trên.
<b>Bài toán 3: </b>

ng cao của một tam giác vuông cso độ dài bằng 9,6m. Và nó định ra trên cạnh huyền hai
đoạn thẳng có độ dài hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vng đó?

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- Nắm hệ thức lợng trong tam giác vuông:
2 ' '

h b .c

- Căn cứ hiệu độ dài hai hình chiếu hai cạnh góc vng:
' '

b c 5,6
<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi độ dài các đoạn thẳng mà đờng cao định ra trên cạnh huyền lần lợt là: x(m) và y(m);
(điều kiện: x>y>0)

Theo bµi ra ta có phơng trình: x-y = 5,6 (1)

Mặt khác: áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông ta có phơng trình: x.y = 9,62₍₂₎
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

2 2

2 2

2 2 2

2

x y 5,6 (x y) 5,6

x.y 9, 6 4.x.y 4.9, 6
(x y) 4xy 19, 2 5,6

x y 20
(x y) 400

x y 20

    

 _



 

  

 

    

 


   _

Với x+y = 20 thoả mÃn điều kiện bài to¸n.

Vậy: Độ dài cạnh huyền của tam giác vng đó là: 20(cm)
<b>Bài tập cùng dạng</b>

Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m .Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc đất của
v-ờn) rộng 2m ,diện tích cịn lại là 4256m2_{.Tính các kích thớc của vờn (rộng x=60m, dài =80m}

Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta
đ-ợc hcn mới có diện tích bằng diện tích hcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho

(réng x=15m, dµi =30m)

Bài 3:Một hcn .Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m2_{. Nếu}
cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2_{.Tính diện tích thửa rộng đó}
(Kq:22m;14m)

Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2_{, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng ,}
biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tớch khụng i (cnh ỏy
x=36m)

Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi là 30m , cạnh huyền là 13m .Tính các cạnh góc vuông của
tam giác

<b>DạNG VII. DạNG TO¸N Cã NéI DUNG VËT Lý, HO¸ HäC</b>
<b>A. KIÕN THøC CầN NHớ.</b>

Ngoài kiến thức chung của quy tắc giải, học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
<b>1. Công thức tính nhiệt lợng:</b> <b>Qtoả = C.m(t1-t2)</b>

<b>Qthu = C.m(t2-t1)</b>

<b>2. Nng dung dịch: </b>

ct
dd
m

C% .100%

m


<b>3. Nồng độ mol/l: </b> M
M
C

V


<b>4. TÝnh theo phơng trình hoá học, công, công suất.</b>
<b>II. BàI TOáN áP DụNG.</b>

<b>Bài toán 1: </b>

Trong 200g dung dch cú cha 50g muối. Cần phải pha thêm bao nhiêu gam nớc để đợc một
dung dịch chứa 10% muối.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

- Nồng độ dung dịch:

ct
dd
m

C% .100%

m


Gäi sè gam níc pha thªm là x(g) thì mdd = x+200(g)
Số gam muối 50g mct = 50(g)



50

C% .100%

x 200



<b>Lêi gi¶i:</b>

Gọi số gam muối cần pha thêm là x(g); (điều kiện: x>0)
Khi đó số gam dung dịch mới là: x+200(g)

Khèi lỵng mi trong dung dịch mới là: 50(g)

Nng dung dich:

50

C% .100%

x 200

Theo bài ra ta có phơng trình:

50 10 50 1

x 200 100 x 200 10

500 x 200
x 300

  

 



Với x = 300 thoả mÃn điều kiện bài toán.
Vậy: Số gam nớc cần pha thêm là 300(g)
<b>Bài to¸n 2: </b>

Dùng hai nhiệt lợng mỗi nhiệt lợng 168KJ để đun nóng hai khối nớc hơn kém nhau 1kg. Thì
khối nớc nhỏ nóng hơn khối nớc lớn là 200_{C. Tính xem khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm bao nhiêu}
độ?

<b>Híng dÉn häc sinh:</b>

- Cơng thức sử dụng: Q Cm(t 2 t )1  _{Nhiệt độ tăng lên là; t2 - t1}

Khối lợng cần đun nóng: 2 1
Q
m

C(t t )



- Nhiệt dung riêng: C =4,2(KJ/kg độ)
<b>Lời giải:</b>

Gọi độ tăng thêm của khối nớc nhỏ là: x0_{C; (điều kiện: x>0)}

Khối lợng của khối nớc nhỏ là:

Q 168

C.x4, 2x_(kg)

Khối lợng của khối nớc lớn là:

Q 168

C(x 2) 4, 2(x 2) _(kg)
Theo bài ra ta có phơng tr×nh:

2

1 2

168 168

1 x 2x 80 0 x 10; x 8

4, 2x 4, 2(x 2)       
Vậy: Nhiệt độ tăng thêm của khối nớc nhỏ là: 100_C

</div>

<!--links-->