BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 4

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHỦ ĐỀ</b>

<b>4.</b>

<b>GIỚI HẠN</b>

 Baøi 01

<b>GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ</b>

<b>I </b>

<b>–</b>

<b> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ</b>

<b>1. Định nghĩa</b>

<b>Định nghĩa 1</b>

Ta nói dãy số

( )

<i>un</i> _{có giới hạn là}0_khi<i>n</i>_{dần tới dương vơ cực, nếu}<i>un</i> _có
thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng no ú tr i.

Kớ hiu: <i>n</i>limđ+Ơ<i>un</i>=0_hay<i>un</i>đ0_khi<i>n</i>đ +¥.

<b>Định nghĩa 2</b>

Ta nói dãy số

( )

<i>vn</i> _{có giới hạn là}<i>a</i>_(hay<i>vn</i> dn ti <i>a</i>) khi <i>n</i>đ +Ơ,nu

(

)

lim <i>_n</i> 0.

<i>n</i>đ+Ơ <i>v</i> - <i>a</i> =

Kớ hiu: <i>n</i>limđ+Ơ<i>vn</i>=<i>a</i>_hay<i>vn</i>đ<i>a</i> khi <i>n</i>đ +Ơ.

<b>2. Mt vi gii hn c bit </b>

a)

1
lim 0;

<i>n</i>đ+Ơ <i>n</i>= 
1
lim <i>_k</i> 0

<i>n</i>đ+Ơ <i>n</i> = _vi<i>k</i>_{nguyờn dng;}

b) lim 0

<i>n</i>

<i>n</i>đ+Ơ<i>q</i> = _nếu <i>q</i><1;

c) Nếu <i>un</i>=<i>c</i> (<i>c</i> là hằng số) thỡ <i>n</i>limđ+Ơ<i>un</i>=<i>n</i>limđ+Ơ<i>c c</i>= .

<b>Chỳ ý:</b> T nay v sau thay cho <i>n</i>limđ+Ơ<i>un</i>=<i>a</i> _{ta vit tt l}lim<i>un</i>=<i>a</i>.

<b>II </b>

<b></b>

<b> NH Lí VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN</b>

<b>Định lí 1</b>

a) Nếu lim<i>un</i>=<i>a</i>_vàlim<i>vn</i>=<i>b</i>_thì

(

)

lim <i>u_n</i> <i>v_n</i> <i>a b</i>

· + = + · lim

(

<i>u_n</i>- <i>v_n</i>

)

= -<i>a b</i>

(

)

lim <i>u v_n</i>.<i>_n</i> <i>ab</i>.

à = lim

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i> <i>a</i>
<i>v</i> <i>b</i>

ổ ử_ữ
ỗ ữ
à _{ỗ ữ}_{ỗ ữ}=

ỗố ứ _(nu<i>_b</i>_ạ ₀_).

b) Nu

lim
0,

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i> <i>a</i>

<i>u</i> <i>n</i>

ì =

ïï

íï ³ "

ïỵ _thì

lim

.
0

<i>n</i>

<i>u</i> <i>a</i>

<i>a</i>

ìï =

ïí
ï ³
ïỵ

<b>III </b>

<b>–</b>

<b> TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN</b>

Cấp số nhân vơ hạn

( )

<i>un</i> _{có cơng bội}<i>q</i>_{, với}<i>q</i><1_{được gọi là cấp số nhân}
lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

(

)

1 2 3 <i>n</i>

₁

1

1 .

<i>S u</i>

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>q</i>

<i>q</i>

= + + + +

=

-¼

<

¼

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

·

Ta nói dãy số

( )

<i>un</i> _{có gii hn l}+Ơ _khi<i>n</i>đ +Ơ _{, nu}<i>un</i>_{có thể lớn hơn}
một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim<i>un</i>= +¥ hay <i>un</i>đ +Ơ _khi<i>n</i>đ +Ơ.

Ã

Dóy số

( )

<i>un</i> _{có giới hạn là}- ¥ _khi<i>n</i>đ +Ơ _{, nu}lim

(

- <i>un</i>

)

= +Ơ
.
Kớ hiu: lim<i>un</i>=- Ơ _hay<i>u_n</i>đ - Ơ _khi<i>n</i>đ +¥.

Nhận xét: <i>un</i>= +¥ Û lim

(

- <i>un</i>

)

=- ¥.

<b>2. Một vài giới hạn đặc biệt</b>

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim<i>nk</i>= +¥ với <i>k</i> nguyên dương;
b) lim<i>qn</i>= +¥ nếu <i>q</i>>1.

<b>3. Định lí 2</b>

a) Nếu lim<i>un</i>=  <i>a</i>_vàlim<i>vn</i>= ±¥ _thì

lim <i>n</i> 0

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>v</i> = _.

b) Nếu lim<i>un</i>= ><i>a</i>  0, lim<i>vn</i>=0 và <i>vn</i>> " >0, <i>n</i> 0 thì

lim <i>n</i> .

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>v</i> = +¥

c) Nếu lim<i>un</i>= +¥ và lim<i>vn</i>= ><i>a</i> 0 thì lim .<i>u vn</i> <i>n</i>=+¥.

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC</b>

<b>Câu 1.</b> Kt qu ca gii hn

sin5

lim 2

3

<i>n</i>
<i>n</i>

ổ ử_ữ

ỗ _{- ữ}

ỗ _ữ

ỗố ứ_bng:

<b>A. </b>- 2. <b>B. </b>3. <b>C. </b>0. <b>D. </b>

5_.
3

<b>Câu 2.</b> Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn <i>k</i> để

1
2 cos ₁

lim .

2 2

<i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

-=

<b>A. </b>0. <b>B. </b>1. <b>C. </b>4. <b>D. </b>Vô số.

<b>Câu 3.</b> Kết quả của giới hạn

3sin 4cos
lim

1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

+

+ _bằng:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>2. <b>D. </b>3.

<b>Câu 4.</b> Kết quả của giới hạn 2

cos 2
lim 5

1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

ổ ử_ữ

ỗ - ữ

ỗ _ữ

ỗố + ứ_bằng:

<b>A. </b>4. <b>B. </b>

1

.

4 <b>_C.</b>_5. <b>_D.</b>- 4.

<b>Câu 5.</b> Kết quả của giới hạn

2 3

lim sin 2
5

<i>n</i>

<i>n</i> <i>p</i> <i>n</i>

ổ ử_ữ

ỗ _- _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ_l:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Cõu 6. </b>Giá trị của giới hạn

( )

1
lim 4

1

<i>n</i>

<i>n</i>

æ _- ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ + ữ

ỗ _ữ

ỗ + ữữ

ỗố ứ_bng:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>3. <b>C. </b>4. <b>D. </b>2.

<b>Câu 7. </b>Cho hai dãy số

( )

<i>un</i> _và

( )

<i>vn</i> _có

( )

2

1
1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i>

<i>n</i>

-=

+ _và 2

1
.
2

<i>n</i>

<i>v</i>
<i>n</i>

=

+ _{Khi đó}

(

)

lim<i>u_n</i>+<i>v_n</i> _{có giá trị bằng:}

<b>A. </b>3. <b>B. </b>0. <b>C. </b>2. <b>D. </b>1.

<b>Câu 8. </b>Giá trị của giới hạn 2

3
lim

4<i>n</i> 2<i>n</i> 1

-- + _là:
<b>A. </b>

3_.
4

<b>-B. </b>- ¥. <b>C. </b>0. <b>D. </b>- 1.

<b>Câu 9. </b>Giá trị của giới hạn

2

3
2
lim

3 1

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

+

+ - _bằng:

<b>A. </b>2. <b>B. </b>1. <b>C. </b>

2_.

3 <b>_D.</b>_0.

<b>Câu 10. </b>Giá trị của giới hạn

3

4

3 2 1

lim

4 2 1

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

- +
+ + _là:

<b>A. </b>+¥. <b>B. </b>0. <b>C. </b>

2
.

7 <b>_D.</b>

3_.
4
<b>Câu 11. </b>Giá trị của giới hạn

1
lim

2

<i>n n</i>
<i>n</i>2

+

+ _bằng:
<b>A. </b>

3
.

2 <b>_B.</b>_2. <b>_C.</b>_1. <b>_D.</b>_0.

<b>Câu 12. </b>Cho hai dãy số

( )

<i>un</i> _và

( )

<i>vn</i> _có

1
1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>n</i>

=

+ _và

2
.
2

<i>n</i>

<i>v</i>
<i>n</i>

=

+ _{Khi đó}lim

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>v</i>
<i>u</i> _có

giá trị bằng:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>2. <b>C. </b>0. <b>D. </b>3.

<b>Câu 13.</b> Cho dãy số

( )

<i>un</i> _với

4
5 3

<i>n</i>

<i>an</i>
<i>u</i>

<i>n</i>

+
=

+ _{trong đó}<i>a</i>_{là tham số thực. Để dãy số}

( )

<i>un</i> _{có giới hạn bằng}2_{, giá trị của}<i>a</i>_là:

<b>A. </b><i>a</i>=10. <b>B. </b><i>a</i>=8. <b>C. </b><i>a</i>=6. <b>D. </b><i>a</i>=4.

<b>Câu 14.</b> Cho dãy số

( )

<i>un</i> _với

2
5 3

<i>n</i>

<i>n b</i>
<i>u</i>

<i>n</i>

+
=

+ _{trong đó}<i>b</i>_{là tham số thực. Để dãy số}

( )

<i>un</i> _{có giới hạn hữu hạn, giá trị của}<i>b</i>_là:

<b>A. </b><i>b</i> là một số thực tùy ý. <b>B. </b><i>b</i>=2.

<b>C. </b>không tồn tại <i>b</i>. <b>D. </b><i>b</i>=5.

<b>Câu 15.</b> Tính giới hạn

2

2
5

lim .

2 1

<i>n</i> <i>n</i>
<i>L</i>

<i>n</i>

+ +

=

+
<b>A.</b>

3_.
2

<i>L</i>=

<b>B.</b>

1_.
2

<i>L</i>=

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Câu 16.</b> Cho dãy số

( )

<i>un</i> _với
2
2
4 2
.
5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>an</i>
+ +
=

+ _{Để dãy số đã cho có giới hạn}

bằng 2, giá trị của <i>a</i> là:

<b>A.</b> <i>a</i>=- 4. <b>B.</b> <i>a</i>=4. <b>C.</b> <i>a</i>=3. <b>D.</b> <i>a</i>=2.

<b>Câu 17.</b> Tính giới hạn

2 3

3
3

lim .

2 5 2

<i>n</i> <i>n</i>
<i>L</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-=
+
<b>-A.</b>
3
.
2
<i>L</i>
<b>=-B.</b>
1_.

5
<i>L</i>=
<b>C.</b>
1
.
2
<i>L</i>=

<b>D.</b> <i>L</i>=0.
<b>Câu 18.</b> Tìm tất cả các giá trị của tham số <i>a</i> để

(

)

2 4

4

5 3

lim 0.

1 2 1

<i>n</i> <i>an</i>
<i>L</i>

<i>a n</i> <i>n</i>

-= >

- + +

<b>A.</b> <i>a</i>£0;<i>a</i>³ 1. <b>B.</b> 0< <<i>a</i> 1. <b>C.</b> <i>a</i><0;<i>a</i>>1. <b>D.</b> 0£ <<i>a</i> 1.

<b>Câu 19.</b> Tính giới hạn

(

)(

)

(

)

(

)

3 2

4

2 3 1

lim .

2 1 7

<i>n n</i> <i>n</i>
<i>L</i>
<i>n</i> <i>n</i>
- +
=
-
<b>-A.</b>
3_.
2
<i>L</i>

<b>=-B.</b> <i>L</i>=1. <b>C.</b> <i>L</i>=3. <b>D.</b> <i>L</i>= +¥.

<b>Câu 20.</b> Tính giới hạn

(

)(

)

(

)

(

)(

)

2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim .

3 1 3 7

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>L</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

+ + +

=

- -

<b>-A.</b> <i>L</i>=0. <b>B.</b> <i>L</i>=1. <b>C.</b>

8_.
3

<i>L</i>=

<b>D. </b><i>L</i>= +¥.
<b>Câu 21.</b> Tính giới hạn

3
3
1
lim .
8
<i>n</i>
<i>L</i>
<i>n</i>
+
=
+
<b>A.</b>
1
.
2
<i>L</i>=

<b>B.</b> <i>L</i>=1. <b>C.</b>

1_.
8

<i>L</i>=

<b>D.</b> <i>L</i>= +¥.
<b>Câu 22.</b> Kết quả của giới hạn

3
2
2
lim
1 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

-- _là:
<b>A. </b>

1
.
3

<b>-B. </b>+¥. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>

2
.
3

<b>Câu 23.</b> Kết quả của giới hạn

3

2
2 3
lim

4 2 1

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

+

+ + _là:
<b>A. </b>

3
.

4 <b>_B.</b>+¥. <b>_C.</b>₀ <b>_D.</b>

5_.
7
<b>Câu 24.</b> Kết quả của giới hạn

4
3
lim

4 5
<i>n n</i>
<i>n</i>

-- _là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>

3
.
4
<b>Câu 25. </b>Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

<b>A. </b>
3
2
3 2
lim .
2 1
<i>n</i>
<i>n</i>
+
- <b>_B.</b>
2
3
2 3
lim .
2 4
<i>n</i>
<i>n</i>

-- - <b>_C.</b>

3
2
2 3
lim .
2 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

-- - <b>_D.</b>

2 4
4 2
2 3
lim .
2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-- +

<b>Câu 26. </b> Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng

1
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>B. </b>
2
2
2
.
3 5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>

-=

+ <b>_A.</b>

4 3

3 2

2 1

.

3 2 1

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>

- +
-=

+ - <b>_C.</b>

2 3
3 2
3
.
9 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-=
+
<b>-D. </b>
2
3
2 5
.

3 4 2

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
- +

-=
+

<b>-Câu 27. </b>Dãy số nào sau đây có giới hạn là +¥ ?

<b>A. </b>
2
1 _.
5 5
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
+
=
+ <b>_B.</b>
2
3
2 _.
5 5
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-=
+ <b>_C.</b>
2
2
2 _.

5 5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-=

+ <b>_D.</b> 2

1 2 _.
5 5

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

+
+
<b>Câu 28. </b>Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ¥ ?

<b>A. </b> 2

1 2 _.
5 5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
+
+ <b>_B.</b>
3
3

2 1_.

2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
+
-=

- + <b>_C.</b>

2 4
2 3
2 3
.
2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>

-=
+ <b>_D.</b>
2 ₂
.
5 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>

-=
+

<b>Câu 29. </b>Tính giới hạn

(

)

2

lim 3 5 3 .

<i>L</i>= <i>n</i> + <i>n</i>

<b>-A. </b><i>L</i>=3. <b>B. </b><i>L</i>=- ¥. <b>C. </b><i>L</i>=5. <b>D. </b><i>L</i>= +¥.

<b>Câu 30.</b> Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số <i>a</i> thuộc khoảng

(

- 10;10

)

để

(

(

)

)

2 3

lim 5 3 2

<i>L</i>= <i>n</i>- <i>a</i> - <i>n</i> =- ¥

.

<b>A. </b>19. <b>B. </b>3. <b>C. </b>5. <b>D. </b>10.

<b>Câu 31.</b> Tính giới hạn

(

)

4 2

lim 3<i>n</i> +4<i>n</i> - <i>n</i>+1 .

<b>A. </b><i>L</i>=7. <b>B. </b><i>L</i>=- ¥. <b>C. </b><i>L</i>=3. <b>D. </b><i>L</i>= +¥.

<b>Câu 32. </b>Cho dãy số

( )

<i>un</i> _với

( )

( )

2

2 2 ... 2 .<i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i> = + + +

Mệnh đề nào sau đây
đúng?

<b>A. </b>lim<i>un</i>=- ¥. <b>_B.</b>

2
lim .
1 2
<i>n</i>
<i>u</i> =

<b>-C. </b>lim<i>un</i>= +¥. <b>_D.</b>_{Khơng tồn tại}lim .<i>un</i>

<b>Câu 33. </b>Giá trị của giới hạn 2

1 ₁ 3 _...

2 2 2

lim

1

<i>n</i>
<i>n</i>

+ + + +

+ _bằng:

<b>A. </b>
1_.

8 <b>_B.</b>1. <b>_C.</b>

1
.
2 <b>_D.</b>
1
.
4

<b>Câu 34. </b>Giá trị của giới hạn 2 2 2

1 2 1

lim ... <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

ổ _{- ữ}ử

ỗ + + + ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ_bng:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>

1
.

3 <b>_C.</b>

1_.

2 <b>_D.</b>_1.

<b>Cõu 35. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2

1 3 5 2 1

lim
3 4
<i>n</i>
<i>n</i>
ổ+ + + + _{+ ữ}ử
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ ữữ
ỗ +
ố ứ
L
bng:

<b>A. </b>0. <b>B.</b>

1_.

3 <b>_C.</b>

2_.

3 <b>_D.</b>_1.

<b>Cõu 36. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

1 1 1

lim ...

1.2 2.3 <i>n n</i> 1

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ + + + _ữ

ỗ _ữ_ữ

ỗ +

ố ứ_l:

<b>A.</b>
1

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Cõu 37. </b>Giá trị của giới hạn

(

)(

)

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2<i>n</i> 1 2<i>n</i> 1

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ + + + _ữ

ỗ _ữ_ữ

ỗ - +

ố ứ_bng:

<b>A. </b>
1

.

2 <b>_B.</b>

1
.

4 <b>_C.</b>_1. <b>_D.</b>_2.

<b>Câu 38. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

1 1 1

lim ...

1.4 2.5 <i>n n</i> 3

é ù

ê ₊ ₊ ₊ ú

ê ₊ ú

ê ú

ë û_bằng:

<b>A. </b>
11

.

18 <b>_B.</b>_2. <b>_C.</b>_1. <b>_D.</b>

3_.
2

<b>Câu 39. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2 2

2
1 2 ...
lim

1

<i>n</i>
<i>n n</i>

+ + +
+

bằng:

<b>A. </b>4. <b>B. </b>1. <b>C. </b>

1_.

2 <b>_D.</b>

1
.
3

<b>Câu 40.</b> Cho dãy số có giới hạn

( )

<i>un</i> _{xác định bởi}

1
1
2

.
1

, 1
2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i>

<i>u</i> <i>n</i>

<i>u</i>

+
ìïï =
ïïï
íï

ï ₌ _³

ïï

-ïỵ _Tính

lim .<i>u_n</i>

<b>A. </b>lim<i>un</i>=- 1. <b>_B.</b>lim<i>un</i>=0. <b>_C.</b>

1
lim .

2

<i>n</i>

<i>u</i> =

<b>D. </b>lim<i>un</i>=1.

<b>Câu 41.</b> Cho dãy số có giới hạn

( )

<i>un</i> _{xác định bởi}

1

1
2

.
1

, 1
2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u</i>
<i>u</i>

<i>u</i>+ <i>n</i>

ì =
ïï

ïïí +

ï ₌ _³

ïïïỵ _Tính

lim .<i>u_n</i>

<b>A. </b>lim<i>un</i>=1. <b>_B.</b>lim<i>un</i>=0. <b>_C.</b>lim<i>un</i>=2. <b>_D.</b>lim<i>un</i>= +¥.

<b>Câu 42. </b>Kết quả của giới hạn

2

9 1

lim

4 2

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

- +

- _bằng:

<b>A. </b>
2_.

3 <b>_B.</b>

3
.

4 <b>_C.</b>_0. <b>_D.</b>_3.

<b>Câu 43. </b>Kết quả của giới hạn

2

4
2 1
lim

3 2

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

- + +

+ _bằng:

<b>A. </b>

2_.
3

<b>-B. </b>
1

.

2 <b>_C.</b>

3_.
3

<b>-D. </b>
1

.
2

<b>-Câu 44. </b>Kết quả của giới hạn

2 3
lim

2 5

<i>n</i>

<i>n</i>

+
+ _là:
<b>A. </b>

5_.

2 <b>_B.</b>

5
.

7 <b>_C.</b>+¥. <b>_D.</b>1.

<b>Câu 45. </b>Kết quả của giới hạn

1 4
lim

1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+

-+ -+ _bằng:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>- 1. <b>D. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Câu 46. </b>Biết rằng

2

2
1

lim sin .

4
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>p</i>

+ +

= +

- - _Tính<i>_S</i>₌<i>_a</i>3₊<i>_b</i>3_.

<b>A.</b> <i>S</i>=1. <b>B.</b> <i>S</i>=8. <b>C.</b> <i>S</i>=0. <b>D.</b> <i>S</i>=- 1.

<b>Câu 47. </b>Kết quả của giới hạn 4 2

10
lim

1

<i>n</i> +<i>n</i> + _là:

<b>A. </b>+¥. <b>B. </b>10. <b>C. </b>0. <b>D. </b>- ¥.

<b>Câu 48. </b>Kết quả của giới hạn

(

)

4 2

2 2
lim 1

1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+
+

+ - _là:

<b>A. </b>+¥. <b>B. </b>1. <b>C. </b>0. <b>D. </b>- ¥.

<b>Câu 49. </b>Biết rằng

3 2

3

2

5 7

lim 3

3 2

<i>an</i> <i>n</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+

-= +

- + _với<i>a b c</i>, , _{là các tham số. Tính giá}

trị của biểu thức 3 .

<i>a c</i>
<i>P</i>

<i>b</i>

+
=

<b>A. </b><i>P</i>=3. <b>B. </b>

1_.
3

<i>P</i>=

<b>C. </b><i>P</i>=2. <b>D. </b>

1
.
2

<i>P</i>=
<b>Câu 50. </b>Kết quả của giới hạn lim 200 35 - <i>n</i>5+2<i>n</i>2 là:

<b>A. </b>+¥. <b>B. </b>1. <b>C. </b>0. <b>D. </b>- ¥.

<b>Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC</b>

<b>Câu 51. </b>Giá trị của giới hạn lim

(

<i>n</i>+ -5 <i>n</i>+1

)

bằng:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>1. <b>C. </b>3. <b>D. </b>5.

<b>Câu 52. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2

lim <i>n</i> - <i>n</i>+ -1 <i>n</i>

là:

<b>A. </b>
1

.
2

<b>-B. </b>0. <b>C. </b>1. <b>D. </b>- ¥.

<b>Câu 53. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

lim <i>n</i> - -1 3<i>n</i> +2

là:

<b>A. </b>- 2. <b>B. </b>0. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 54. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

lim <i>n</i> +2<i>n</i>- <i>n</i> - 2<i>n</i>

là:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>2. <b>C. </b>4. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 55. </b>Có bao nhiêu giá trị của <i>a</i> để

(

(

)

)

2 2 2

lim <i>n</i> +<i>a n</i>- <i>n</i> + +<i>a</i> 2<i>n</i>+ =1 0.

<b>A. </b>0. <b>B. </b>2. <b>C. </b>1. <b>D. </b>3.

<b>Câu 56. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

lim 2<i>n</i> - <i>n</i>+ -1 2<i>n</i> - 3<i>n</i>+2

là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>

2
.

2 <b>_C.</b>- ¥. <b>_D.</b>+¥.

<b>Câu 57. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

lim <i>n</i> +2<i>n</i>- -1 2<i>n</i> +<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>1- 2. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.
<b>Câu 58. </b>Có bao nhiêu giá trị ngun của <i>a</i> thỏa

(

)

2 2

lim <i>n</i> - 8<i>n n a</i>- + =0

.

<b>A. </b>0. <b>B. </b>2. <b>C. </b>1. <b>D. </b>Vô số.

<b>Câu 59. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2

lim <i>n</i> - 2<i>n</i>+ -3 <i>n</i>

là:

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>1. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 60. </b>Cho dãy số

( )

<i>un</i> _với<i>un</i>= <i>n</i>2+<i>an</i>+ -5 <i>n</i>2+1_{, trong đó}<i>a</i>_{là tham số}
thực. Tìm <i>a</i> để lim<i>un</i>=- 1.

<b>A. </b>3. <b>B. </b>2. <b>C. </b>- 2. <b>D. </b>- 3.

<b>Câu 61. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3 3

3 3

lim <i>n</i> + -1 <i>n</i> +2

bằng:

<b>A. </b>3. <b>B. </b>2. <b>C. </b>0. <b>D. </b>1.

<b>Câu 62. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3 2 3

lim <i>n</i> - <i>n</i> +<i>n</i>

là:

<b>A. </b>
1

.

3 <b>_B.</b>+¥. <b>_C.</b>0. <b>_D.</b>1.

<b>Câu 63. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3 3 2

lim <i>n</i> - 2<i>n</i> - <i>n</i>

bằng:

<b>A. </b>
1_.

3 <b>_B.</b>

2_.
3

<b>-C. </b>0. <b>D. </b>1.

<b>Câu 64. </b>Giá trị của giới hạn lim <i>n n</i>

(

1 <i>n</i> 1

)

é _{+ -} _- ù

ê ú

ë û_là:

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b>0. <b>D. </b>1.

<b>Câu 65. </b>Giá trị của giới hạn lim <i>n n</i>

(

1 <i>n</i>

)

é _{+ -} ù

ê ú

ë û_bằng:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>

1
.

2 <b>_C.</b>

1_.

3  <b>_D.</b>

1
.
4

<b>Câu 66. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

limé_ê<i>n n</i> + -1 <i>n</i> - 3ù_ú

ë û_bằng:

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>2. <b>C. </b>4. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 67. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

liméê_ë<i>n n</i> + + -<i>n</i> 1 <i>n</i> + -<i>n</i> 6ùú_û

là:

<b>A. </b> 7 1.- <b>B. </b>3. <b>C. </b>

7
.

2  <b>_D.</b>+¥.

<b>Câu 68. </b>Giá trị của giới hạn 2

1
lim

2 4

<i>n</i>2_{+ -} <i>n</i> ₊

là:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 69. </b>Giá trị của giới hạn

2

9 2

lim

3 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

- - +
- _là:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>3. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 70. </b>Giá trị của giới hạn 3 3

1
lim

1

<i>n</i> + - <i>n</i>_là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA</b>

<b>Câu 71.</b> Kết quả của giới hạn

2

2 5
lim

3 2.5

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+

-+ _bằng:

<b>A. </b>
25_.

2

<b>-B. </b>
5_.

2 <b>_C.</b>1. <b>_D.</b>

5_.
2

<b>-Câu 72.</b> Kết quả của giới hạn

1

1
3 2.5
lim

2 5

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+

+

-+ _bằng:

<b>A. </b>- 15. <b>B. </b>- 10. <b>C. </b>10. <b>D. </b>15.

<b>Câu 73.</b> Kết quả của giới hạn

1
3 4.2 3
lim

3.2 4

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+

-

-+ _là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>1. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 74.</b> Kết quả của giới hạn

3 1
lim

2 2.3 1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

-- + _bằng:

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>

1

.
2

<b>-C. </b>
1

.

2 <b>_D.</b>

3
.
2

<b>Câu 75.</b> Biết rằng

( )

( )

1 ₂

1 2

5 2 1 ₂ ₃ ₅

lim

1

5.2 5 3

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>n</i>

+

+

ổ ử_ữ

ỗ - + ₊ _ữ

ỗ _ữ

ỗ ₊ _ữ₌ ₊

ỗ ữ

ỗ - ữ

ỗ + - ữ_ữ

ỗố ứ _vi<i>a b c</i>, , ẻ Â._Tính

giá trị của biểu thức <i>S</i>=<i>a</i>2+ +<i>b</i>2 <i>c</i>2.

<b>A. </b><i>S</i>=26. <b>B. </b><i>S</i>=30. <b>C. </b><i>S</i>=21. <b>D. </b><i>S</i>=31.

<b>Câu 76.</b> Kết quả của giới hạn

2

2 2
3 2
lim

3 3 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>p</i>

<i>p</i> +

+ +

- + _là:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>

1_.

3 <b>_C.</b>+¥. <b>_D.</b>

1
.
4
<b>Câu 77.</b> Kết quả của giới hạn lim 3 5

<i>n</i>
<i>n</i>

é _- ù

ê ú

ë û_là:

<b>A. </b>3. <b>B. </b>- 5. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 78.</b> Kết quả của giới hạn

(

)

4 1

lim 3 .2<i>n</i>+ _- 5.3<i>n</i>
là:

<b>A. </b>
2

.

3 <b>_B.</b>- 1. <b>_C.</b>- ¥. <b>_D.</b>

1
.
3
<b>Câu 79.</b> Kết quả của giới hạn

1
3 4.2 3
lim

3.2 4

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

+

-

-+ _là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>1. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 80.</b> Kết quả của giới hạn

1

2

2 3 10
lim

3 2

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+ ₊ ₊

- + _là:

<b>A. </b>+¥. <b>B. </b>

2_.

3 <b>_C.</b>

3
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Câu 81.</b> Tìm tất cả giá trị nguyên của <i>a</i> thuộc

(

0;2018

)

để

1

4 1 .

1024
4 2

lim

3 4

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n a</i>

+

+
+

+ £

<b>A. </b>2007. <b>B. </b>2008. <b>C. </b>2017. <b>D. </b>2016.

<b>Câu 82.</b> Kết quả của giới hạn

( )

2 ₂ ₁

lim

3 1 3

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

ổ ₊ _- ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ ₊ _ữ

ỗ _ữ

ỗ - ữữ

ỗố ứ_bng:

<b>A. </b>
2

.

3 <b>_B.</b>- 1. <b>_C.</b>

1

.

3 <b>_D.</b>

1
.
3

<b>-Câu 83.</b> Kết quả của giới hạn

( )

3 1 cos3
lim

1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

ổ _{+ -} ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _- _ữ_ữ

ỗố ứ_bng:

<b>A. </b>
3_.

2 <b>_B.</b> 3. <b>_C.</b> 5. <b>_D.</b>- 1.

<b>Câu 84.</b> Có bao nhiêu giá trị nguyên của <i>a</i> thuộc

(

0;20

)

sao cho

2

2
1 1
lim 3

3 2<i>n</i>

<i>an</i>
<i>n</i>

-+

-+ _{là một số nguyên.}

<b>A. </b>1. <b>B. </b>3. <b>C. </b>2. <b>D. </b>4.

<b>Câu 85.</b> Kết quả của giới hạn lim 2.3<i>n</i>- <i>n</i>+2 là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>2. <b>C. </b>3. <b>D. </b>+¥.

<b>Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN</b>

<b>Câu 86. </b>Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng
đầu tiên của cấp số nhân bằng

9

4_{. Số hạng đầu}<i>u</i>1_{của cấp số nhân đó là:}

<b>A. </b><i>u</i>1=3. <b>_B.</b><i>u</i>1=4. <b>_C.</b> 1

9_.
2

<i>u</i> =

<b>D. </b><i>u</i>1=5.

<b>Câu 87. </b>Tính tổng 3

1 1 1

9 3 1

3 9 3<i>n</i>

<i>S</i>= + + + + + +L _- +L

.

<b>A. </b>
27

.
2

<i>S</i>=

<b>B. </b><i>S</i>=14. <b>C. </b><i>S</i>=16. <b>D. </b><i>S</i>=15.

<b>Câu 88. </b>Tính tổng

1 1 1 1

2 1

2 4 8 2<i>n</i>

<i>S</i>= ổỗỗ_ỗố+ + + + +L + ữLửữ_ữ_ứ

.

<b>A. </b><i>S</i>= 2 1.+ <b>B. </b><i>S</i>=2. <b>C. </b><i>S</i>=2 2. <b>D. </b>

1

.
2

<i>S</i>=

<b>Câu 89. </b>Tính tổng

2 4 2

1

3 9 3

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>S</i>= + + + +L +L

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Câu 90. </b>Tổng của cấp số nhân vô hạn

( )

1
1
1
1 1 1

, , ,..., ,...
2 6 18 2.3

<i>n</i>
<i>n</i>

+

bằng:

<b>A. </b>
3_.

4 <b>_B.</b>

8
.

3 <b>_C.</b>

2
.

3 <b>_D.</b>

3
.
8
<b>Câu 91. </b>Tính tổng

1 1 1 1 _... 1 1 _...
2 3 4 9 2<i>n</i> 3<i>n</i>

<i>S</i>=ổ_ỗ_ốỗỗ - ử ổ_ữữ_{ứ ố}ữ+ỗ_ỗỗ - ữ_ứữ_ữử+ +_ỗỗỗ_ốổ - _ứ_ữữữử+

.

<b>A. </b>1. <b>B. </b>

2_.

3 <b>_C.</b>

3
.

4 <b>_D.</b>

1
.
2

<b>Câu 92. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2

2

1 ...

lim 1, 1

1 ...

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>_a</i> <i>_b</i>

<i>b b</i> <i>b</i>

+ + + + _< _<

+ + + + _bằng:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>

1
.
1

<i>b</i>
<i>a</i>

-- <b>_C.</b>

1

.
1

<i>a</i>
<i>b</i>

-- <b>_D.</b>_{Không tồn tại.}

<b>Câu 93. </b>Rút gọn <i>S</i>=1+cos2<i>x</i>+cos4<i>x</i>+cos6<i>x</i>+ +L cos2<i>nx</i>+L với cos<i>x</i>¹ ±1.

<b>A.</b> <i>S</i>=sin .2<i>x</i> <b>B.</b> <i>S</i>=cos .2<i>x</i> <b>C.</b> 2
1

.
sin

<i>S</i>

<i>x</i>

=

<b>D.</b> 2

1
.
cos

<i>S</i>

<i>x</i>

=
<b>Câu 94. </b>Rút gọn 1 sin2 sin4 sin6

( )

1 .sin2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>S</i>= - <i>x</i>+ <i>x</i>- <i>x</i>+ + -L <i>x</i>+L _với_sin<i>_x</i>_{¹ ±}_1.
<b>A.</b> <i>S</i>=sin .2<i>x</i> <b>B.</b> <i>S</i>=cos .2<i>x</i> <b>C.</b> 2

1 _.
1 sin

<i>S</i>

<i>x</i>

=

+ <b>_D.</b> <i>_S</i>₌_{tan .}2<i>_x</i>

<b>Câu 95. </b>Thu gọn <i>S</i>= -1 tan<i>a</i>+tan2<i>a</i>- tan3<i>a</i>+¼ với 0 <i>a</i> 4.

<i>p</i>

< <

<b>A.</b>

1 _.
1 tan

<i>S</i>

<i>a</i>

=

- <b>_B.</b>

cos
.
2sin

4

<i>S</i> <i>a</i>

<i>p</i>
<i>a</i>

= _æ _ử

ữ
ỗ + ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ <b>_C.</b>

tan _.
1 tan

<i>S</i> <i>a</i>

<i>a</i>

=

+ <b>_D.</b> <i>_S</i>₌_{tan .}2<i>_a</i>

<b>Câu 96. </b>Cho <i>m n</i>, là các số thực thuộc

(

- 1;1

)

và các biểu thức:

2 3

1

<i>M</i>= + +<i>m m</i> +<i>m</i> +L

2 3

1

<i>N</i>= + +<i>n n</i> + +L<i>n</i>

2 2 3 3

1

<i>A</i>= +<i>mn m n</i>+ +<i>m n</i> +L

Khẳng định nào dưới đây đúng?

<b>A.</b> 1.

<i>MN</i>
<i>A</i>

<i>M</i> <i>N</i>

=

+ - <b>_B.</b> 1.

<i>MN</i>
<i>A</i>

<i>M</i> <i>N</i>

=

+ +
<b>C.</b>

1 1 1 _.
<i>A</i>

<i>M</i> <i>N</i> <i>MN</i>

= +

<b>-D.</b>

1 1 1 _.
<i>A</i>

<i>M</i> <i>N</i> <i>MN</i>

= + +

<b>Câu 97. </b>Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111L được biểu diễn bởi phân số
tối giản

<i>a</i>

<i>b</i>_{. Tính tổng}<i>T</i> = +<i>a b</i>.

<b>A. </b>17. <b>B. </b>68. <b>C. </b>133. <b>D. </b>137.

<b>Câu 98. </b>Số thập phân vơ hạn tuần hồn <i>A</i>=0,353535... được biểu diễn bởi
phân số tối giản

<i>a</i>

<i>b</i>_{. Tính}<i>T</i>=<i>ab</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Câu 99. </b>Số thập phân vơ hạn tuần hồn <i>B</i>=5,231231... được biểu diễn bởi
phân số tối giản

<i>a</i>

<i>b</i>_{. Tính}<i>T</i>= -<i>a b</i>.

<b>A. </b>1409. <b>B. </b>1490. <b>C. </b>1049. <b>D. </b>1940.

<b>Câu 100.</b> Số thập phân vô hạn tuần hồn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi
phân số tối giản

<i>a</i>

<i>b</i>_{. Khẳng định nào dưới đây đúng?}

<b>A. </b><i>a b</i>- >2 .15 <b>B. </b><i>a b</i>- >2 .14 <b>C. </b><i>a b</i>- >2 .13 <b>D. </b><i>a b</i>- >2 .12

 Baøi 02

<b>GIỚI HẠN CỦA HAØM SỐ</b>

<b>I </b>

<b>–</b>

<b> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM</b>

<b>1. Định nghĩa</b>

<b>Định nghĩa 1</b>

Cho khoảng <i>K</i> chứa điểm <i>x</i>0 và hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

xác định trên <i>K</i> hoặc

trên <i>K</i>\

{ }

<i>x</i>0 .

Ta nói hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

có giới hạn là số <i>L</i> khi <i>x</i> dần tới <i>x</i>0_{nếu với dãy số}

( )

<i>xn</i> _{bất kì,}<i>xn</i>Ỵ <i>K</i>\

{ }

<i>x</i>0 _và<i>xn</i>®<i>x</i>0_{, ta có} <i>f x</i>

( )

<i>n</i> ®<i>L</i>.

Kí hiệu: 0

( )

lim

<i>x x</i>® <i>f x</i> =<i>L</i>_hay <i>f x</i>

( )

®<i>L</i>_khi<i>x</i>®<i>x</i>₀.

Nhận xét: 0 0

lim ;

<i>x x</i>® <i>x</i>=<i>x</i>  0

lim

<i>x x</i>® <i>c c</i>= _với<i>c</i>_{là hằng số.}

<b>2. Định lí về giới hạn hữu hạn</b>

<b>Định lí 1</b>

a) Giả sử 0

( )

lim

<i>x x</i>® <i>f x</i> =<i>L</i>_và 0

( )

lim

<i>x x</i>® <i>g x</i> =<i>M</i> _{. Khi đó:}

( )

( )

0

lim ;

<i>x x</i>® é<i>f x</i> <i>g x</i>ù <i>L</i> <i>M</i>

· _ë + _û= +

( )

( )

0

lim ;

<i>x x</i>® é<i>f x</i> <i>g x</i>ù <i>L M</i>

· _ë - _û=

-( ) -( )

0

lim . . ;

<i>x x</i>® é<i>f x g x</i>ù <i>L M</i>

· _ë _û=

( )

( )

0

lim

<i>x x</i>

<i>f x</i> <i>L</i>
<i>g x</i> <i>M</i>

®

· =

(nếu <i>M</i> ¹ 0).
b) Nếu <i>f x</i>

( )

³ 0 và 0

( )

lim

<i>x x</i>® <i>f x</i> =<i>L</i>_{, thì}<i>L</i>³ 0_và 0

( )

lim .

<i>x x</i>® <i>f x</i> = <i>L</i>

<b>3. Giới hạn một bên</b>

<b>Định nghĩa 2</b>

·_{Cho hàm số}<i>y</i>= <i>f x</i>

( )

_{xác định trên}

(

<i>x b</i>0; .

)

Số <i>L</i> được gọi là giới hạn bên phải của hàm số <i>y</i>=<i>f x</i>

( )

khi <i>x</i>®<i>x</i>0_{nếu với}

dãy số

( )

<i>xn</i> _{bất kì,}<i>x</i>0<<i>xn</i><<i>b</i> và <i>xn</i>®<i>x</i>0, ta có <i>f x</i>

( )

<i>n</i> ®<i>L</i>.
Kí hiệu: 0

( )

lim .

<i>x x</i>_® + <i>f x</i> =<i>L</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Số <i>L</i> được gọi là giới hạn bên trái của hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

khi <i>x</i>®<i>x</i>0_{nếu với}

dãy số

( )

<i>xn</i> _{bất kì,}<i>a x</i>< <i>n</i><<i>x</i>0_và<i>xn</i>®<i>x</i>0_{, ta có} <i>f x</i>

( )

<i>n</i> ®<i>L</i>.
Kí hiệu: 0

( )

lim .

<i>x x</i>_® - <i>f x</i> =<i>L</i>

<b>Định lí 2</b>

( )

( )

( )

0 0 0

lim

lim

lim

.

<i>x x</i>_®

<i>f x</i>

= Û

<i>L</i>

<i>x x</i>_® +

<i>f x</i>

=

<i>x x</i>_® -

<i>f x</i>

=

<i>L</i>

<b>II </b>

<b>–</b>

<b> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC</b>

<b>Định nghĩa 3</b>

a) Cho hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

xác định trên

(

<i>a</i>;+¥

)

.

Ta nói hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

có giới hạn là s <i>L</i> khi <i>x</i>đ +Ơ nu vi dóy s

( )

<i>xn</i>
bt kỡ, <i>xn</i>><i>a</i>_v<i>xn</i>đ +Ơ _{, ta cú} <i>f x</i>

( )

<i>n</i> đ<i>L</i>.

Kớ hiu: <i>x</i>limđ+Ơ <i>f x</i>

( )

=<i>L</i>.

b) Cho hàm số <i>y</i>=<i>f x</i>

( )

xác định trên

(

- ¥; .<i>a</i>

)

Ta nói hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

có gii hn l s <i>L</i> khi <i>x</i>đ - Ơ nếu với dãy số

( )

<i>xn</i>
bất kì, <i>xn</i><<i>a</i>_và<i>xn</i>® - Ơ _{, ta cú} <i>f x</i>

( )

<i>n</i> đ<i>L</i>.

Kớ hiu: <i>x</i>limđ- Ơ <i>f x</i>

( )

=<i>L</i>.

<b>Chỳ ý:</b>

a) Vi <i>c k</i>, là hằng số và <i>k</i> nguyên dương, ta ln có:

lim ; lim ; lim <i>_k</i> 0; lim <i>_k</i> 0.

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>c</i> <i>c</i>

<i>c c</i> <i>c c</i>

<i>x</i> <i>x</i>

đ+Ơ = đ- ¥ = ®+¥ = ®- ¥ =

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi <i>x</i>đ<i>x</i>0_{vn cũn ỳng khi}

<i>n</i>

<i>x</i> đ +Ơ _hoc<i>_x</i>_{đ - ¥} _.

<b>III </b>

<b>–</b>

<b> GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ</b>

<b>1. Giới hạn vô cực</b>

<b>Định nghĩa 4</b>

Cho hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

xác định trên

(

<i>a</i>;+¥

)

.

Ta nói hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

có giới hạn là - ¥ khi <i>x</i>đ +Ơ nu vi dóy s

( )

<i>xn</i>
bt kỡ, <i>xn</i>><i>a</i>_v<i>xn</i>đ +Ơ _{, ta cú} <i>f x</i>

( )

<i>n</i> đ - Ơ.

Kớ hiu: <i>x</i>limđ+Ơ <i>f x</i>

( )

=- Ơ.

<b>Nhn xột: </b><i>x</i>limđ+Ơ <i>f x</i>

( )

= +Ơ <i>x</i>limđ+Ơ

(

- <i>f x</i>

( )

)

=- ¥.

<b>2. Một vài giới hạn đặc biệt</b>

a) lim
<i>k</i>

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> = +Ơ _vi<i>k</i>_{nguyờn dng.}

b) đ- Ơ

ỡù +Ơ
ù
=ớ

ù - Ơ
ùợ

neỏu chaỹn

lim .

neỏu leỷ

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích <i>f x g x</i>

( ) ( )

.

( )

0

lim

<i>x</i>®<i>x</i> <i>f x</i> =<i>L</i> 0

( )

lim

<i>x</i>®<i>x</i> <i>g x</i> <i>x</i>lim®<i>x</i>₀éë<i>f x g x</i>

( ) ( )

ùû

0

<i>L</i>> +¥_{- ¥} _{- ¥}+¥
0

<i>L</i>< +¥_{- ¥} - ¥_+¥

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

( )

( )

<i>f x</i>
<i>g x</i>

( )

0

lim

<i>x</i>®<i>x</i> <i>f x</i> =<i>L</i> 0

( )

lim

<i>x</i>®<i>x</i> <i>g x</i> Dấu của <i>g x</i>

( )

( )

( )

0

lim

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>
<i>g x</i>

đ

<i>L</i> Ơ Tựy ý 0

0

<i>L</i>>

0

+ +Ơ

- _{- Ơ}

0

<i>L</i>< +_- - ¥_+¥

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>Vấn đề 1. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN</b>

<b>Câu 1.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

2
2

lim 3 7 11

<i>x</i>® <i>x</i> + <i>x</i>+ _là:

<b>A. </b>37. <b>B. </b>38. <b>C. </b>39. <b>D.</b> 40.

<b>Câu 2.</b> Giá trị của giới hạn

2
3
lim 4

<i>x</i>® <i>x</i> - _là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>1. <b>C. </b>2. <b>D.</b> 3.

<b>Câu 3.</b> Giá trị của giới hạn

2
0

1
lim sin

2

<i>x</i>® <i>x</i> _là:

<b>A. </b>
1
sin .

2 <b>_B.</b>+¥. <b>_C.</b>- ¥. <b>_D.</b> 0.

<b>Câu 4.</b> Giá trị của giới hạn

2

3
1

3
lim

2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

®
-+ _là:

<b>A. </b>1. <b>B.</b> - 2. <b>C. </b>2. <b>D. </b>

3
.
2

<b>-Câu 5.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

(

)

3

4
1

lim

2 1 3

<i>x</i>

<i>x x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

®

--

là:

<b>A. </b>1. <b>B.</b> - 2. <b>C. </b>0. <b>D. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>-Câu 6.</b> Giá trị của giới hạn 1 4
1
lim

3

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

®

-+ - _là:
<b>A. </b>

3
.

2

<b>-B. </b>
2_.

3 <b>_C.</b>

3
.

2 <b>_D.</b>

2_.
3

<b>-Câu 7.</b> Giá trị của giới hạn

2

1

3 1

lim

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

®+
-- _là:
<b>A. </b>

3
.
2

<b>-B. </b>
1

.

2 <b>_C.</b>

1
.
2

<b>-D. </b>
3

.
2

<b>Câu 8.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

(

)

2

4
3

9
lim

2 1 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

®

--

là:

<b>A. </b>

1
.

5 <b>_B.</b> 5. <b>_C.</b>

1 _.

5 <b>_D.</b>5.

<b>Câu 9.</b> Giá trị của giới hạn

2
3

2
2

1
lim

2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

®

- +
+ _là:
<b>A. </b>

1_.

4 <b>_B.</b>

1_.

2 <b>_C.</b>

1
.

3 <b>_D.</b>

1
.
5

<b>Câu 10.</b> Giá trị của giới hạn

3 2

2

3 4 3 2

lim

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

đ

- -

-+ _l:

<b>A. </b>
3_.
2

<b>-B. </b>
2

.
3

<b>-C.</b> 0. <b>D. </b>+Ơ.

<b>Vn đề 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN</b>

<b>Câu 11.</b> Kết quả của gii hn 2
15
lim

2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

+

đ

-- _l:

<b>A</b>. - Ơ. <b>B.</b> +Ơ. <b>C.</b>

15_.
2

<b>-D.</b> 1.
<b>Câu 12.</b> Kết quả của giới hạn 2

2

lim

2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

+

®
+
- _là:

<b>A. </b>- ¥. <b>B</b>. +¥. <b>C. </b>

15_.
2

<b>-D. </b>Khơng xác định.

<b>Câu 13.</b> Kết quả của giới hạn ( 2)

3 6
lim

2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

+

đ

-+
+ _l:

<b>A. </b>- Ơ. <b>B</b>. 3. <b>C. </b>+Ơ. <b>D. </b>Không xác định.

<b>Câu 14.</b> Kết quả của giới hạn 2 2
2
lim

2 5 2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

-®

-- + _là:

<b>A. </b>- ¥. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b>

1
.
3

<b>-D. </b>
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Câu 15.</b> Kết quả của giới hạn

(

)

(

)

2

2
3

13 30
lim

3 5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+

®-+ +

+ +

là:

<b>A.</b> - 2. <b>B.</b> 2. <b>C.</b> 0. <b>D.</b>

2
.
15

<b>Câu 16.</b> Cho hàm số

( )

2

2 ₁

1

3 1 1

.

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<

-=ìïïïï_íï
ï

ï + ³

ïỵ

víi

víi _{Khi ú}<i>_x</i>lim_đ₁+ <i>f x</i>

( )

l:

<b>A. </b>+Ơ. <b>B. </b>2. <b>C. </b>4. <b>D. </b>- ¥.

<b>Câu 17.</b> Cho hàm số

( )

2 ₁

1
1

2 2

.
1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+
ìïï
ïï

í <

=

-- ³

ïï
ïïỵ

víi

víi _{Khi ú}<i>_x</i>lim_đ₁- <i>f x</i>

( )

l:

<b>A. </b>+Ơ. <b>B. </b>- 1. <b>C. </b>0. <b>D. </b>1.

<b>Câu 18.</b> Cho hàm số

( )

2 3 2

1 2.

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìïï
íï
ï

- ³

=

- <
ỵ

víi

víi _{Khi đó}lim<i>_x</i>_®₂<i>f x</i>

( )

_là:

<b>A. </b>- 1. <b>B. </b>0. <b>C. </b>1. <b>D. </b>Không tồn tại.

<b>Câu 19.</b> Cho hàm số

( )

2 3 2

1 2.

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>ax</i> <i>x</i>

- +

=

-ỡùù

ớù <

ùợ

với

với _Tỡm<i>a</i>_{tn ti}lim<i>x</i>đ2<i>f x</i>

( )

.

<b>A. </b><i>a</i>=1. <b>B. </b><i>a</i>=2. <b>C. </b><i>a</i>=3. <b>D. </b><i>a</i>=4.

<b>Câu 20.</b> Cho hàm số

( )

2

2

2 3 3

1 3

2

.

3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + >

= =

- <

ìïï
ïï
íï
ïï
ïỵ

víi
víi
víi

Khẳng định nào dưới đây sai?

<b>A. </b><i>x</i>lim_®3+ <i>f x</i>

( )

=6. <b>_B.</b>_{Khơng tồn tại}lim<i>_x</i>_®₃<i>f x</i>

( )

.

<b>C. </b><i>x</i>lim_®3- <i>f x</i>

( )

=6.

<b>D. </b><i>x</i>lim_®3- <i>f x</i>

( )

=- 15.

<b>Vấn đề 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC</b>

<b>Câu 21.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

3

lim 1

<i>x</i>®- ¥ <i>x x</i>- + _là:

<b>A. </b>1. <b>B. </b>- ¥. <b>C. </b>0. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 22.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

3 ₂

lim 2 3

<i>x</i>đ- Ơ <i>x</i> + <i>x</i> + <i>x</i> là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b>1. <b>D. </b>- ¥ .

<b>Câu 23.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

2

lim 1

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> + +<i>x</i> _l:

<b>A.</b> 0. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b> 2 1.- <b>D. </b>- ¥ .

<b>Câu 23.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

3 3 2

lim 3 1 2

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> - + <i>x</i> + _l:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Câu 25.</b> Giá trị của giới hạn

(

)

2

lim 4 7 2

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> <i>x</i> + <i>x</i>+ <i>x</i> _là:

<b>A. </b>4. <b>B. </b>- ¥. <b>C. </b>6. <b>D. </b>+¥ .

<b>Vấn đề 4. DẠNG VÔ ĐỊNH </b>

0

0

<b>Câu 26. </b>Giá trị ca gii hn

3
2
2
8
lim
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
đ

-- _l:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>+Ơ. <b>C. </b>3. <b>D. </b>Không xác định.

<b>Câu 27. </b>Giá trị của giới hạn

5
3
1
1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

®-+
+ _là:
<b>A. </b>
3
.
5

<b>-B. </b>
3
.
5 <b>_C.</b>
5
.
3

<b>-D.</b>

5
.
3
<b>Câu 28. </b>Biết rằng

3

2
3

2 6 3

lim 3 .

3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>_a</i> <i>_b</i>

<i>x</i>

®-+ ₌ ₊

- _Tính<i>_a</i>2₊<i>_b</i>2_.

<b>A. </b>10. <b>B. </b>25. <b>C. </b>5. <b>D.</b> 13.

<b>Câu 29. </b>Giá trị của giới hạn

2
2
3
6
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

®-- - +
+ _là:
<b>A. </b>
1
.
3 <b>_B.</b>
2
.
3 <b>_C.</b>
5
.
3 <b>_D.</b>
3
.
5
<b>Câu 30. </b>Giá trị của giới hạn 3 3

3

lim
27
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

-®

-- _là:
<b>A. </b>

1_.

3 <b>_B.</b>0. <b>_C.</b>

5_.

3 <b>_D.</b>

3_.
5
<b>Câu 31. </b>Giá trị của giới hạn

(

2 21

)

7 21

0
1 2
lim
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>p</i> <i>p</i>
®
+ -
là:
<b>A. </b>
21
2
.
7
<i>p</i>

<b>-B. </b>
21
2
.
9
<i>p</i>

<b>-C. </b>
21
2
.
5
<i>p</i>

<b>-D. </b>
21
1 2

.
7
<i>p</i>

<b>-Câu 32. </b>Giá trị của giới hạn

2

2
0

lim

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

+

®

+

là:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>- ¥. <b>C. </b>1. <b>D.</b> +¥.

<b>Câu 33. </b>Giá trị của giới hạn

3

3
1

1
lim

4 4 2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

®

-+ - _là:

<b>A.</b> - 1. <b>B.</b> 0. <b>C.</b> 1. <b>D.</b> +¥.

<b>Câu 34. </b>Giá trị của giới hạn

3

0

2 1 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>-Câu 35. </b>Biết rằng <i>b</i>>0,<i>a b</i>+ =5 và

3

0

1 1

lim 2

<i>x</i>

<i>ax</i> <i>bx</i>

<i>x</i>

®

+ -
-=

. Khẳng định nào
dưới đây sai?

<b>A.</b> 1< <<i>a</i> 3. <b>B. </b><i>b</i>>1. <b>C. </b><i>a</i>2+<i>b</i>2>10. <b>D. </b><i>a b</i>- <0.

<b>Vấn đề 5. DẠNG VƠ ĐỊNH </b>

¥

¥

<b>Câu 36.</b> Kết quả của gii hn

2

2

2 5 3

lim

6 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

đ- Ơ

+
-+ + _là:

<b>A.</b> - 2. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 3. <b>D.</b> 2.

<b>Câu 37.</b> Kết quả của giới hạn

3 2

2

2 5 3

lim

6 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

đ- Ơ

+
-+ + _l:

<b>A. </b>- 2. <b>B. </b>+¥. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>2.

<b>Câu 38.</b> Kết quả của giới hạn

3 2

6 5

2 7 11

lim

3 2 5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

đ- Ơ

- +

+ - _l:

<b>A.</b> - 2. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 0. <b>D.</b> - ¥.

<b>Câu 39.</b> Kết quả ca gii hn 2

2 3
lim

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

đ- Ơ

-+ - _là:

<b>A.</b> - 2. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 3. <b>D.</b> - 1.

<b>Câu 40. </b>Biết rằng

(

)

2

2 3

1

<i>a x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

-

-+ - _{cú gii hn l}+Ơ _khi<i>x</i>đ +Ơ _(với<i>a</i>_{là tham}

số). Tính giá trị nhỏ nhất của <i>P</i>=<i>a</i>2- 2<i>a</i>+4.

<b>A. </b><i>P</i>min=1. <b>_B.</b> <i>P</i>min=3. <b>_C.</b><i>P</i>min=4. <b>_D.</b> <i>P</i>min=5.

<b>Câu 41.</b> Kt qu ca gii hn

2

4 1

lim

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

đ- Ơ

- +
+ _là:

<b>A.</b> - 2. <b>B.</b> - 1. <b>C.</b> - 2. <b>D.</b> +¥.

<b>Câu 42.</b> Kết quả của giới hạn

2

2

4 2 1 2

lim

9 3 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

đ+Ơ

- + +
-- + _là:
<b>A. </b>

1_.
5

<b>-B. </b>+¥. <b>C. </b>- ¥. <b>D. </b>

1
5_.

<b>Câu 43. </b>Biết rằng

2

2

4 2 1 2

lim 0

3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>L</i>

<i>ax</i> <i>x bx</i>

đ- Ơ

- + +

-= >

- + _{là hữu hạn (với}<i>a b</i>, _{là tham}

số). Khẳng định nào dưới đây đúng.

<b>A. </b><i>a</i>³ 0. <b>B. </b>

3

<i>L</i>

<i>a b</i>

=-+ <b>_C.</b>

3

<i>L</i>

<i>b</i> <i>a</i>

=

- <b>_D.</b><i>b</i>>0.

<b>Câu 44.</b> Kết quả của gii hn

3 2

3

2

2 1

lim

2 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

đ- Ơ

+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>A. </b>
2_.

2 <b>_B.</b>0. <b>_C.</b>

2_.
2

<b>-D. </b>1.
<b>Câu 45. </b>Tìm tất cả các giá trị của <i>a</i> để

(

)

2
lim 2 1

<i>x</i>đ- Ơ <i>x</i> + +<i>ax</i> _l+Ơ.

<b>A.</b> <i>a</i>> 2. <b>B.</b> <i>a</i>< 2. <b>C.</b> <i>a</i>>2. <b>D.</b> <i>a</i><2.

<b>Vấn đề 6. DẠNG VƠ ĐỊNH </b>

¥ - ¥

<b>Câu 46. </b>Giá trị ca gii hn

(

)

3 2

lim 2

<i>x</i>đ- Ơ <i>x</i> - <i>x</i> _là:

<b>A.</b> 1. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> - 1. <b>D.</b> - ¥ .

<b>Câu 47. </b>Giá trị của giới hạn 2 2

1 1

lim

2 4

<i>x</i>_đ- <i>x</i> <i>x</i>

ổ ử_ữ

ỗ _- _ữ

ỗ _ữ

ỗố - - ứ_l:

<b>A. </b>- Ơ. <b>B. </b>+Ơ. <b>C. </b>0. <b>D.</b> 1.

<b>Câu 48. </b>Biết rằng <i>a b</i>+ =4 và 1 3

lim

1 1

<i>x</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i>

đ

ổ ử_ữ

ỗ _- _ữ

ỗ _ữ

ỗố- - ứ_{hữu hạn. Tính gii hn}
3

1
lim

1
1

<i>x</i>

<i>b</i> <i>a</i>

<i>L</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

đ

ổ ử_ữ

ỗ

= ỗ_ỗố _- - _- ÷_÷_ø

.

<b>A. </b>1. <b>B. </b>2. <b>C.</b> 1. <b>D. </b>- 2.

<b>Câu 49. </b>Giỏ tr ca gii hn

(

)

2
lim 1 2

<i>x</i>đ+Ơ + <i>x</i> - <i>x</i> _là:

<b>A.</b> 0. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 2 1.- <b>D.</b> - ¥ .

<b>Câu 50. </b>Giá trị của gii hn

(

)

2

lim 1

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> + - <i>x</i> _là:

<b>A. </b>0. <b>B.</b> +¥. <b>C. </b>

1
.

2 <b>_D.</b>- ¥ _.

<b>Câu 51. </b>Biết rằng

(

)

2

lim 5 2 5 5 .

<i>x</i>đ- Ơ <i>x</i> + <i>x x</i>+ =<i>a</i> +<i>b</i>_Tớnh<i>S</i>=5<i>a b</i>+ .

<b>A.</b> <i>S</i>=1. <b>B. </b><i>S</i>=- 1. <b>C. </b><i>S</i>=5. <b>D. </b><i>S</i>=- 5.

<b>Câu 52. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

2 2

lim 3 4

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> + <i>x</i>- <i>x</i> + <i>x</i> _là:

<b>A.</b>
7_.

2 <b>_B.</b>

1_.
2

<b>-C. </b>+¥. <b>D. </b>- ¥.

<b>Câu 53. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3 3 2

lim 3 1 2

<i>x</i>đ- Ơ <i>x</i> - + <i>x</i> + l:

<b>A.</b> 33 1.+ <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 33 1.- <b>D.</b> - ¥ .

<b>Câu 54. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3

2 3 2

lim

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i> + -<i>x</i> <i>x</i> - <i>x</i> _l:

<b>A. </b>

5

.

6 <b>_B.</b>+¥. <b>_C.</b>- 1. <b>_D.</b>- ¥ _.

<b>Câu 55. </b>Giá trị của giới hạn

(

)

3 3

lim 2 1 2 1

<i>x</i>đ+Ơ <i>x</i>- - <i>x</i>+ _l:

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Vấn đề 7. DẠNG VƠ ĐỊNH </b>

0.¥

<b>Câu 56.</b> Kết qu ca gii hn 0

1
lim 1

<i>x</i>đ <i>x</i> <i>x</i>

ộổ_ỗ ử_ữự
ờỗ_ỗ- ÷_÷ú
êè øú
ë û_là:

A. +¥. B. - 1. C. 0. D. +¥ .

<b>Câu 57.</b> Kết quả của giới hạn <i>x</i>lim2

(

2

)

2 4

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

+

đ - - _l:

<b>A.</b> 1. <b>B.</b> +Ơ. <b>C.</b> 0. <b>D.</b> - ¥ .

<b>Câu 58.</b> Kết quả của gii hn 3 2

2 1
lim

3 2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

đ+Ơ

+

+ + _là:
<b>A. </b>

2_.

3 <b>_B.</b>

6_.

3 <b>_C.</b>+¥. <b>_D.</b>- ¥ _.

<b>Câu 59.</b> Kết quả của giới hạn

2

2
0

1
lim sin

<i>x</i>® <i>x</i> <i>px</i> <i>_x</i>

ổ ử_ữ

ỗ _- _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ_l:

<b>A. </b>0. <b>B. </b>- 1. <b>C. </b><i>p</i>. <b>D. </b>+¥.

<b>Câu 60.</b> Kết quả của giới hạn ( )

(

)

3

2
1

lim 1

1

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

+

® - + - _là:

<b>A.</b> 3. <b>B.</b> +¥. <b>C.</b> 0. <b>D.</b> - ¥ .

 Bài 03

<b>HÀM SỐ LIÊN TỤC</b>

<b>I </b>

<b>–</b>

<b> HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM</b>

<b>Định nghĩa 1</b>

Cho hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

xác định trên khoảng <i>K</i> và <i>x</i>0Ỵ <i>K</i>.

Hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

được gọi là liên tục tại <i>x</i>0_nếu 0

( )

( )

0

lim .

<i>x x</i>® <i>f x</i> =<i>f x</i>

<b>II </b>

<b>–</b>

<b> HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG</b>

<b>Định nghĩa 2</b>

Hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

được gọi là liên tục trên đoạn

[

<i>a b</i>;

]

nếu nó liên tục trên
khoảng

(

<i>a b</i>;

)

và

( )

( )

( )

( )

lim , lim .

<i>x a</i>_®+ <i>f x</i> =<i>f a</i> <i>x b</i>_®- <i>f x</i> =<i>f b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Hàm số liên tục trên khoảng

(

<i>a b</i>;

)

Hàm số không liên tục trên khoảng

(

<i>a b</i>;

)

<b>III </b>

<b>–</b>

<b> MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN</b>

<b>Định lí 1</b>

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ¡ .

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng
xác định của chúng.

<b>Định lí 2</b>

Giả sử <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

và <i>y</i>=<i>g x</i>

( )

là hai hàm số liên tục tại điểm <i>x</i>0_{. Khi đó:}

a) Các hàm số <i>y</i>=<i>f x</i>

( )

+<i>g x</i>

( )

, <i>y</i>=<i>f x</i>

( )

- <i>g x</i>

( )

và <i>y</i>= <i>f x g x</i>

( ) ( )

. liên tục tại

0

<i>x</i> _;

b) Hàm số

( )

( )

<i>f x</i>

<i>g x</i> _{liên tục tại}<i>x</i>₀_nếu<i>g x</i>

( )

0 ¹ 0_.

<b>Định lí 3</b>

Nếu hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>

( )

liên tục trên đoạn

[

<i>a b</i>;

]

và <i>f a f b</i>

( ) ( )

. <0, thì tồn tại ít
nhất một điểm <i>c</i>Ỵ

(

<i>a b</i>;

)

sao cho <i>f c</i>

( )

=0.

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số <i>y</i>=<i>f x</i>

( )

liên tục trên đoạn

[

<i>a b</i>;

]

và <i>f a f b</i>

( ) ( )

. <0, thì phương
trình <i>f x</i>

( )

=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng

(

<i>a b</i>;

)

.

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>Vấn đề 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ</b>

<b>Câu 1.</b> Hàm số

( )

1
3

4

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

= - +

+ _{liên tục trên:}

<b>A. </b>

[

- 4;3 .

]

<b>B.</b>

[

- 4;3 .

)

<b>C. </b>

(

- 4;3 .

]

<b>D.</b>

[

- ¥ -; 4

] [

È 3;+¥

)

.
<i>O</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>y</i>

<i>O</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Câu 2.</b> Hàm số

( )

3 _cos _sin

2sin 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

+ +

=

+ _{liên tục trên:}
<b>A. </b>

[

- 1;1.

]

<b>B.</b>

[ ]

1;5 . <b>C. </b>

3
; .
2

ổ ử_ữ

ỗ- +Ơ ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ <b>_D.</b> _Ă_.

<b>Cõu 3.</b> Cho hm s <i>f x</i>

( )

xác định và liên tục trên ¡ với

( )

2 ₃ ₂

1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i>

- +
=

- _với

mọi <i>x</i>=/ 1. Tính <i>f</i>

( )

1 .

<b>A.</b> 2. <b>B.</b> 1. <b>C.</b> 0. <b>D.</b> - 1.

<b>Câu 4.</b> Cho hàm số <i>f x</i>

( )

xác định và liên tục trên

[

- 3;3

]

với

( )

<i>x</i> 3 3 <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

+ -
-=

với <i>x</i>¹ 0. Tính <i>f</i>

( )

0 .

<b>A.</b>
2 3_.

3 <b>_B.</b>

3_.

3 <b>_C.</b> 1. <b>_D.</b> 0.

<b>Câu 5.</b> Cho hàm số <i>f x</i>

( )

xác định và liên tục trên

(

- 4;+¥

)

với

( )

4 2

<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i>

=

+ - _với<i>x</i>¹ 0_{. Tính}<i>f</i>

( )

0 _.

<b>A.</b> 0. <b>B.</b> 2. <b>C.</b> 4. <b>D.</b> 1.

<b>Vấn đề 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM</b>

<b>Câu 6.</b> Tìm giá trị thực của tham số <i>m</i> để hàm số

( )

2 ₂

khi 2
2

khi 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

ỡùù
ù -
-ùớ
ùù
ùùợ

ạ

=

-=

liờn tc ti <i>x</i>=2.

<b>A. </b><i>m</i>=0. <b>B. </b><i>m</i>=1. <b>C. </b><i>m</i>=2. <b>D. </b><i>m</i>=3.

<b>Câu 7.</b> Tìm giá trị thực của tham số <i>m</i> để hàm số

( )

3 2 ₂ ₂

khi 1
1

3 khi 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x m</i> <i>x</i>

ỡù - +

ùù - ạ

=

-+
ớ

=
ù

ùù

ùùợ _{liờn tc tại}<i>x</i>=1.

<b>A. </b><i>m</i>=0. <b>B. </b><i>m</i>=2. <b>C. </b><i>m</i>=4. <b>D. </b><i>m</i>=6.

<b>Câu 8.</b> Tìm giá trị thực của tham số <i>k</i> để hàm số

( )

11 khi 1
1 khi 1

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>y</i> <i>f x</i> <i>_x</i>

<i>k</i> <i>x</i>

-ạ

= = 

-+
ỡùù
ùùớ

=
ùù

ùùợ

liờn tc tại <i>x</i>=1.

<b>A. </b>
1

.
2

<i>k</i>=

<b>B.</b> <i>k</i>=2. <b>C. </b>

1
.
2

<i>k</i>

<b>=-D.</b> <i>k</i>=0.

<b>Câu 9.</b> Biết rằng hàm số

( )

3 _khi ₃

1 2

khi 3

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

ỡùù

ù - ạ

=ùớ +
ùù
ùùợ

-= _{liờn tc tại}<i>_x</i>₌₃_(với<i>_m</i>_là

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>A. </b><i>m</i>Ỵ -

(

3;0 .

)

<b>B. </b><i>m</i>£ - 3. <b>C. </b><i>m</i>Ỵ

[

0;5 .

)

<b>D. </b><i>m</i>ẻ

[

5;+Ơ

)

.

<b>Cõu 10.</b> Tỡm giỏ tr thc ca tham số <i>m</i> để hàm số

( )

2
1

sin khi 0
khi 0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

ỡùù

ùớ ạ

=

=
ùù

ùợ

liờn tc tại <i>x</i>=0.

<b>A. </b><i>m</i>Ỵ -

(

2; 1 .-

)

<b>B. </b><i>m</i>£ - 2. <b>C. </b><i>m</i>ẻ -

[

1;7 .

)

<b>D. </b><i>m</i>ẻ

[

7;+Ơ

)

.

<b>Câu 11. </b>Biết rằng 0

sin
lim 1.
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

® = _{Hàm số}

( )

tan

khi 0
0 khi 0

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

ạ
=

=
ỡùù

ùớ
ùù

ùợ _{liên tục trên}

khoảng nào sau õy?

<b>A. </b>
0; .

2

<i>p</i>

ổ ử_ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ

ỗố ứ <b>_B.</b> ;4 .

<i>p</i>

ổ ử_ữ
ỗ- Ơ ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ <b>_C.</b> 4 4; .

<i>p p</i>

ổ ử_ữ
ỗ- ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ <b>_D.</b>

(

- Ơ +Ơ;

)

.
<b>Cõu 12. </b>Bit rng 0

sin
lim 1.
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

đ = _{Tìm giá trị thực của tham số}<i>m</i>_{để hàm số}

( )

sin

khi 1
1

khi 1

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

<i>p</i>

ỡùù

ù ạ

=

-=
ớù

ùùợ _{liờn tc ti}<i>x</i>=1.

<b>A. </b><i>m</i>=- <i>p</i>. <b>B.</b> <i>m</i>=<i>p</i>. <b>C. </b><i>m</i>=- 1. <b>D.</b> <i>m</i>=1.

<b>Câu 13. </b>Biết rằng 0

sin

lim 1.
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

® = _{Tìm giá trị thực của tham số}<i>m</i>_{để hàm số}

( )

(

)

2

1 cos _khi
khi

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

<i>p</i>
<i>p</i>

<i>p</i>

ỡùù
ùù +
ớù
ùù
ùợ

ạ

=

-= _{liờn tc tại}<i>_{x p}</i>₌ _.
<b>A. </b><i>m</i> 2.

<i>p</i>

=

<b>B.</b> <i>m</i> 2.

<i>p</i>

<b>=-C. </b>

1_.
2
<i>m</i>=

<b>D.</b>

1_.
2
<i>m</i>

<b>=-Câu 14.</b> Hàm số

( )

42

3 khi 1

khi 1, 0

1 khi 0

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

ỡùù

ùù ₊

=-=ùùớ
ùù
ùù
ùùợ

ạ - ạ
+

=

liên tục tại:

<b>A.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0, <i>x</i>=1. <b>B.</b> mọi điểm <i>x</i>Ỵ ¡.

<b>C.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=- 1. <b>D.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0.

<b>Câu 15.</b> Số điểm gián đoạn của hàm số

( )

(

2

)

0,5 khi 1

1

khi 1, 1
1

1 khi 1

<i>x</i>
<i>x x</i>

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

ỡùù

ùù ₊

=-=ùù_ớù ạ

ùù
ùùùợ

- ạ

-=

l:

<b>A.</b> 0. <b>B.</b> 1. <b>C.</b> 2. <b>D</b>. 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Câu 16.</b> Có bao nhiêu giá trị thực của tham số <i>m</i> để hàm số

( )

(

)

2 2 _khi ₂

1 khi 2

<i>m x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>m x</i> <i>x</i>

ìï £

=

-í

>
ï

ïïỵ liên tục trên ¡ ?

<b>A.</b> 2. <b>B. </b>1. <b>C. </b>0. <b>D.</b> 3.

<b>Câu 17.</b> Biết rằng hàm số

( )

[

]

(

]

khi

1 khi
0;4

4;6

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>m</i> <i>x</i>

ỡù ẻ

ùớ

ẻ
=

+

ùùợ _{tc trờn}

[

0;6 .

]

_{Khẳng định}

nào sau đây đúng?

<b>A.</b> <i>m</i><2. <b>B. </b>2£<i>m</i><3. <b>C. </b>3< <<i>m</i> 5. <b>D.</b> <i>m</i>³ 5.
<b>Câu 18.</b> Có bao nhiêu giá trị của tham số <i>a</i> để hàm số

( )

2 ₃ ₂

khi 1
1

khi 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>a</i> <i>x</i>

ỡù - +

ù _ạ

ùù 
-=ớ

ùù

ù =

ùợ _{liờn tc trên}¡.

<b>A.</b> 1. <b>B. </b>2. <b>C. </b>0. <b>D.</b> 3.

<b>Câu 19.</b> Biết rằng

( )

2 ₁

khi 1
1

khi 1

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>x</i>

ỡùù
ùù
-ớù
ùùùợ

ạ

=

-= _{liên tục trên đoạn}

[ ]

0;1_(với<i>_a</i>_là

tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị <i>a</i> là đúng?

<b>A.</b> <i>a</i> là một số nguyên. <b>B.</b> <i>a</i> là một số vô tỉ.

<b>C.</b> <i>a</i>>5. <b>D.</b> <i>a</i><0.

<b>Câu 20.</b> Xét tính liên tục của hàm số

( )

1

khi 1

2 1 .

2 khi 1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìïï

ïï - <

= -

-- ³

íï

ïïïỵ _{Khẳng định}

nào dưới đây đúng?

<b>A. </b><i>f x</i>

( )

không liên tục trên ¡. <b>B. </b> <i>f x</i>

( )

không liên tục trên

(

0;2 .

)

<b>C. </b> <i>f x</i>

( )

gián đoạn tại <i>x</i>=1. <b>D. </b> <i>f x</i>

( )

liên tục trên ¡.

<b>Câu 21.</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của <i>a</i> để hàm số

( )

2

2
5 6

khi 3
4 3

1 khi 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a x</i> <i>x</i>

- +

>
=ìïïïï_íï -

-ïïïỵ - £

liên tục tại <i>x</i>=3.

<b>A. </b>
2

3

-. <b>B.</b>

2_.

3 <b>_C.</b>

4
.
3

<b>-D. </b>
4

.
3

<b>Câu 22. </b>Tìm giá trị lớn nhất của <i>a</i> để hàm số

( )

3

2

3 2 2

khi 2
2

1 _khi ₂
4

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>a x</i> <i>x</i>

+

->

-=
+
ìïï
ïïï
í

£
ïï

ïï

ïỵ _liên

tục tại <i>x</i>=2.

<b>A. </b><i>a</i>max=3. <b>B. </b><i>a</i>max=0. <b>C. </b><i>a</i>max=1. <b>D. </b><i>a</i>max=2.

<b>Câu 23. </b>Xét tính liên tục của hàm số

( )

1 cos khi 0
1 khi 0.

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>f</i>

<i>x</i>

<i>x</i> - £

+
ìïï
í

>
=

ïïỵ _{Khẳng định}

nào sau đây đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>C. </b> <i>f x</i>

( )

không liên tục trên ¡. <b>D. </b> <i>f x</i>

( )

gián đoạn tại <i>x</i>=1.

<b>Câu 24. </b>Tìm các khoảng liên tục của hàm số

( )

cos 2 khi 1
1 khi 1
.

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>p</i>

£

- >

ìïï

ïï
=í
ïï

ïïỵ _Mệnh

đề nào sau đây là sai?

<b>A. </b>Hàm số liên tục tại <i>x</i>=- 1.

<b>B. </b>Hàm số liên tục trên các khoảng

(

- ¥ -, 1 1;

) (

; +¥

)

.

<b>C. </b>Hàm số liên tục tại <i>x</i>=1.

<b>D. </b>Hàm số liên tục trên khoảng

(

- 1,1

)

.

<b>Câu 25. </b>Hàm số <i>f x</i>

( )

có đồ thị như hình bên
khơng liên tục tại điểm có hoành độ là bao
nhiêu?

<b>A.</b> <i>x</i>=0.
<b>B. </b><i>x</i>=1.
<b>C.</b> <i>x</i>=2.
<b>D.</b> <i>x</i>=3.

<i>x</i>

2
3

<i>y</i>

1

<i>O</i>

1

<b>Câu 26.</b> Cho hàm số

( )

2

khi 1, 0

0 khi 0 .

khi 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìïï _< _ạ
ùù

ùùù

=_ớù =

ùù 

ùù

ùùợ _{Hm s} <i>f x</i>

( )

_{liên tục tại:}

<b>A.</b> mọi điểm thuộc ¡ . <b>B.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0.

<b>C.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=1. <b>D.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0 và <i>x</i>=1.

<b>Câu 27.</b> Cho hàm số

( )

2 ₁

khi 3, 1
1

4 khi 1

1 khi 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ỡù

-ù _< _ạ

ùù
-ùùù

=_ớù =

ùù ₊ 

ùù

ùùợ _{. Hàm số} <i>f x</i>

( )

_{liên tục tại:}

<b>A.</b> mọi điểm thuộc ¡ . <b>B.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=1.

<b>C.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=3. <b>D</b>. mọi điểm trừ <i>x</i>=1 và <i>x</i>=3.

<b>Câu 28.</b> Số điểm gián đoạn của hàm số

( )

2

2 khi 0
1 khi 0 2
3 1 khi 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>h x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì <

ïï
ïï

=_íï + £ £
ïï - >

ïỵ _là:

<b>A.</b> 1. <b>B.</b> 2. <b>C.</b> 3. <b>D.</b> 0.

<b>Câu 29.</b> Tính tổng <i>S</i> gồm tất cả các giá trị <i>m</i> để hàm số

( )

2

2

khi 1

2 khi 1
1 khi 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>m x</i> <i>x</i>

ìï + <
ïïï

=_íï =

ïï + >

ïỵ _{liên tục tại}<i>x</i>=1_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Câu 30.</b> Cho hàm số

( )

2
3

cos khi 0
khi 0 1.
1

khi 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì - <
ïï

ïï
ïï

=_{íï +} £ <
ïï

ï _³

ïïỵ _{Hàm số} <i>f x</i>

( )

_{liên tục tại:}

<b>A.</b> mọi điểm thuộc <i>x</i>Ỵ ¡. <b>B.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0.

<b>C.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=1. <b>D.</b> mọi điểm trừ <i>x</i>=0; <i>x</i>=1.

<b>Vấn đề 5. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH</b>

<b>TRÊN MỘT KHOẢNG</b>

<b>Câu 31.</b> Cho hàm số <i>f x</i>

( )

=- 4<i>x</i>3+4<i>x</i>- 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

<b>A.</b> Hàm số đã cho liên tục trên ¡.

<b>B.</b> Phương trình <i>f x</i>

( )

=0 khơng có nghiệm trên khoảng

(

- ¥;1 .

)

<b>C.</b> Phương trình <i>f x</i>

( )

=0 có nghiệm trên khoảng

(

- 2;0 .

)

<b>D.</b> Phương trình <i>f x</i>

( )

=0 có ít nht hai nghim trờn khong

1
3; .

2
ổ ử_ữ
ỗ- ữ

ỗ _ữ

ỗố ø

<b>Câu 32.</b> Cho phương trình 2<i>x</i>4- 5<i>x</i>2+ + =<i>x</i> 1 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

<b>A.</b> Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng

(

- 1;1 .

)

<b>B.</b> Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng

(

- 2;0 .

)

<b>C.</b> Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng

(

- 2;1 .

)

<b>D.</b> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng

(

0;2 .

)

<b>Câu 33.</b> Cho hàm số <i>f</i>(<i>x</i>)=<i>x</i>3- 3<i>x</i>- 1. Số nghiệm của phương trình <i>f x</i>

( )

=0
trên ¡ là:

<b>A. </b>0. <b>B.</b> 1. <b>C</b>. 2. <b>D. </b>3.

<b>Câu 34.</b> Cho hàm số <i>f x</i>

( )

liên tục trên đoạn

[

- 1;4

]

sao cho <i>f</i>

( )

- 1=2,

( )

4 7

<i>f</i> = _{. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình} <i>f x</i>

( )

=5_{trên đoạn}

[ 1;4]- _:

<b>A.</b> Vơ nghiệm. <b>B.</b> Có ít nhất một nghiệm.

<b>C.</b> Có đúng một nghiệm. <b>D.</b> Có đúng hai nghiệm.

<b>Câu 35.</b> Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số <i>m</i> thuộc khoảng

(

- 10;10

)

_{để phương trình}<i>_x</i>3_- ₃<i>_x</i>2₊

₍

₂<i>_m</i>_- ₂

₎

<i>_{x m}</i>_{+ -} _{3 0}₌

có ba nghiệm phân biệt

1, , 2 3

<i>x x x</i> _{thỏa mãn}<i>x</i>₁<- <1 <i>x</i>₂<<i>x</i>₃_?

</div>

<!--links-->