Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt có dòng đối lưu với hệ số liên tục và giai đoạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH : TỐN CƠNG NGHỆ

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN
NHIỆT CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ
GIÁN ĐOẠN

PHẠM NGỌC BẮC

HÀ NỘI 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH : TỐN CƠNG NGHỆ

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN
NHIỆT CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ
GIÁN ĐOẠN

PHẠM NGỌC BẮC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Nguyễn Đình Bình

HÀ NỘI 2009


Luận văn thạc sĩ

1

Mục lục
Chương I ............................................................................................................ 5
XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC 5
1. Bài toán đạo hàm riêng .............................................................................. 5
2. Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới .................................................. 7
2.1. Lưới sai phân [2, 3, 4, 10] ................................................................... 7
2.2. Hàm lưới .............................................................................................. 8
2.3. Đạo hàm lưới ....................................................................................... 8
3. Bài toán sai phân ........................................................................................ 9
3.1. Ký hiệu chung ..................................................................................... 9
3.2. Xấp xỉ các đạo hàm riêng .................................................................. 10
3.3. Phát biểu bài toán sai phân ................................................................ 19
4. Phương pháp giải bài toán sai phân ......................................................... 20
4.1. Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo ....... 20
4.2. Phương pháp truy đuổi ...................................................................... 24
4.3. Sơ đồ thuật toán giải bài tốn (I.28) ÷(I.30) .................................... 27
Chương II ........................................................................................................ 28
XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN
BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN ............. 28
1. Bài toán đạo hàm riêng [5,8,9,10] ........................................................... 28

2. Lưới sai phân và hàm lưới ....................................................................... 29
3. Bài tốn sai phân ...................................................................................... 30
3.1. Một số kí hiệu và quy ước tại điểm gián đoạn ξ ............................. 30
3.2. Điều kiện của bài toán tại biên xN0= ξ + 0 ..................................... 30
3.3. Điều kiện bài toán tại biên xN0= ξ − 0 ............................................... 33

3.4. Phát biểu bài toán sai phân ................................................................ 35
3.5. Cách giải bài toán sai phân (II.12-II.15) ........................................... 36
Chương III ....................................................................................................... 39
NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN TỪ ĐÓ SUY
RA TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN SAI
PHÂN TỚI NGHIỆM ĐÚNG CỦA BÀI TỐN VI PHÂN .......................... 39
1. Tính đơn điệu ........................................................................................... 39
2. Một số bổ đề .......................................................................................... 43

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

2

2.1. Bổ đề 1............................................................................................... 43
2.2. Bổ đề 2............................................................................................... 48
3. Sự ổn định của phương pháp sai phân ..................................................... 58
3.1. Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định .............................. 58
3.2. Xét bài toán ....................................................................................... 59
3.3. Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định: .................................................. 65
4. Sự hội tụ và sai số .................................................................................... 65
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 67

Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 69
Phụ lục: Tin học hóa bài tốn .......................................................................... 71

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

3

Lời nói đầu
Ngày nay, trong q trình phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều vấn
đề thông qua khảo sát thực nghiệm, thí nghiệm (như thăm dị nghiên cứu dòng
nước chảy, trong luyện kim, khai thác,…) đưa ra mơ hình thực tế, từ đó được
các nhà tốn học chuyển đổi thành mơ hình tốn học. Trong lớp các mơ hình
tốn học ta gặp là mơ hình bài tốn dạng phương trình vật lý tốn (dạng đạo
hàm riêng). Một số bài tốn đơn giản thì việc tìm nghiệm trong dạng biểu
thức giải tích khơng khó khăn, tuy nhiên nhiều bài tốn chỉ có thể nghiên cứu
sự tồn tại duy nhất nghiệm, khơng thể tìm được nghiệm trong dạng tường
minh, trong khi đó kỹ thuật cần có những con số cụ thể. Để giải quyết vấn đề
trên, các nhà khoa học đã đề xuất nhiều giải pháp khác nhau.
Trong luận văn tôi đã sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm
nghiệm gần đúng của bài tốn biên với phương trình parabolic có dịng đối
lưu trong hai trường hợp hệ số liên tục và hệ số gián đoạn, đồng thời chứng
minh sự hội tụ của nghiệm gần đúng tới nghiệm đúng của bài toán xuất phát
theo chuẩn nào đó trong khơng gian mà ta sẽ xét, cụ thể luận văn được trình
bày theo bố cục sau:
Chương I: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần đúng nghiệm của bài
tốn biên vi phân có dịng đối lưu với hệ số liên tục.
Chương II: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần đúng bài tốn biên

vi phân có dòng đối lưu với hệ số gián đoạn.
Chương III: Nghiên cứu sự ổn định của lược đồ sai phân từ đó suy ra
tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng của bài toán sai phân tới nghiệm đúng của
bài toán vi phân.
Phần cuối là phần phụ lục, mô tả thuật tốn bằng ngơn ngữ Visual
Studio .NET và một số ví dụ minh họa.

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

4

Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Đình Bình và
các thầy cơ giáo trong khoa Tốn Tin ứng dụng đã giúp tơi hồn thành luận
văn này.
Hà Nội, ngày 01 tháng 04 năm 2009
Người thực hiện
Ks. Phạm Ngọc Bắc

Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

5

Chương I
XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ
LIÊN TỤC
Trong chương này sẽ trình bày về “bài tốn biên loại 3” (bài toán về
truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài 1 đơn vị
dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miền xét là 1 đơn vị dài và
khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian [8, 9, 10].
1. Bài tốn đạo hàm riêng
Tìm hàm số u ( x, t ) thỏa mãn các điều kiện:

∂u
∂
∂u
∂u
( x, t ) −  A ( x, t )  − B ( x, t ) + D ( x, t ) u = f ( x, t )
∂t
∂x 
∂x 
∂x
0 ≤ x ≤ 1,0 < t ≤ 1;

(I.1)

u=
( x,0 ) g ( x ) , x ∈ [0,1] ;

(I.2)

∂u
l0 u =
− A ( 0, t ) ( 0, t ) + σ 0 ( t ) u ( 0, t ) =

g0 ( t ) ;
∂x

(I.3)

Lu =

l1 u= A (1, t )

∂u
(1, t ) + σ1 ( t ) u (1, t )= g1 ( t ) ;
∂x

(I.4)

Trong đó:

A ( x, t ) , B ( x, t ) , D ( x, t ) , f ( x, t ) ,σ 0 ( t ) ,σ 1 ( t ) , g ( x ) , g0 ( t ) , g1 ( t ) là những
hàm số cho trước thỏa mãn:

0 < C0 ≤ A( x, t ) < C1

 B( x, t ) < C2

, C, C0, C1, C2, C3, là các hằng số dương
0 ≤ D( x, t ) < C3
σ (t ) ≥ C > 0, σ ≥ 0
0
 1
σ 0 (t ) ≥ C > 0, σ 1 ≥ 0



Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

(I.5)


Luận văn thạc sĩ

6

∂A
∂B
∂D
( x, t ) ≤ C4 ,
( x, t ) ≤ C5 ,
( x, t ) ≤ C6
∂t
∂t
∂t

và

(I.6)

trong đó C4, C5, C6 là các hằng số dương.
Giả sử bài tốn (I.1)÷(I.4) có nghiệm duy nhất u(x,t) và nghiệm đó đủ trơn
đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp 4 đối với x, cấp 2 đối với t).
(I.7)
Nhận xét về bài toán đạo hàm riêng đã đặt ra:

*

∂
∂u 
A( x, t )  là đại lượng khuếch tán (ở đây là khuếch tán nhiệt), với

∂x 
∂x 

A(x,t) là hệ số khuếch tán nhiệt.
* B(x,t)

∂u
là đại lượng đối lưu, với B(x,t) là hệ số đối lưu.
∂x

Chính vì 2 lý do trên mà bài toán đạo hàm riêng (I.1) ÷ (I.4) có tên gọi là bài
tốn “khuếch tán i lu.
ã Bi toỏn o hm riờng (I.1) ữ (I.4) có nghiệm duy nhất u(x,t), hàm u(x,t)
chính là hàm nhiệt độ của thanh vật chất ở vị trí x và thời điểm t.
• Hàm A(x,t) khơng thể khuyết, cịn các hàm số khác: hàm B(x,t), D(x,t) và
hàm f(x,t) có thể khuyết trong phương trình (I.1).
• Nếu bài tốn cho trên đoạn a≤x≤b, 0≤t≤T thì bằng cách đổi biến như sau:

 x =(b − a) x '+ a

t = Tt '
ta đưa được bài tốn đã cho có biến x và t về bài tốn có biến x’ và t’ xác định
trên đoạn 0 ≤ x ' ≤ 1,0 ≤ t ' ≤ 1.
Do đó, từ đây về sau chỉ cần quan tâm đến x và t xác định trên đoạn [0,1] là

đủ.

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

7

2. Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới
2.1. Lưới sai phân [2, 3, 4, 10]
Đặt QT :=

{0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ 1} . Theo phương diện hình học,

QT là một miền

được xác định trên một hình chữ nhật.
Có nhiều cách chia miền QT khác nhau, trong bài này sẽ dùng cách chia đều
trên mỗi trục 0x, 0t.

t

t

t

tM≡1

t

tj

t

t1
t

*

0≡x0 x1
t

t

xi

t

x

Hình vẽ I.1
Chia QT thành các miền nhỏ bởi các đoạn thẳng song song với các trục 0x, 0t.
0x: gọi là chiều của không gian (không gian 1 chiều).
0t: gọi là chiều của thời gian.
Giả sử chia đoạn [0,1] thành N đoạn bằng nhau với các điểm chia

=
xi ih=
,h

1
, h gọi là bước chia theo không gian.
N

Giả sử chia đoạn [0,1] thành M đoạn con bằng nhau với các t j = jτ , τ =

τ gọi là bước chia theo thời gian.
Giao điểm của 2 đường x=xi, và t = tj tạo thành 1 nút lưới (xi, tj).

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

1
,
M


Luận văn thạc sĩ

i = 0, N
Tập các điểm ( xi ,t j ), 
 j = 0, M

8

gọi là lưới sai phân.

Tập hợp nút lưới Ωh, Ωt được xác định:

{Ωh=: {( xi , t j ), i= 1, N − 1,

j= const}

=
i const}
{Ωt : {( x=
i , t j ), j 1, M , =
Cho i = 1, N − 1, j = 1, M ta được tập điểm Ω ht gọi là tập các điểm lưới trong.
Ωht = Ωh x Ωt = {(xi, tj), i = 1, N − 1, j = 1, M }.
Γ 0 = {(0,tj), j = 1, M }, Γ 1 = {(1,tj), j = 1, M } gọi là tập các điểm lưới biên.

Ωh0 = {(xi,0), i = 0, N }, gọi là điểm lưới ban đầu ứng với t = 0 (thời điểm
đầu).
Ω ht = Ω ht ∪ Γ 0 ∪ Γ 1 ∪ Ω h 0 , gọi là lưới phủ được QT :=

{0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ 1} .

2.2. Hàm lưới
Xét hàm ϕ(x,t) xác định tại mọi (xi,tj), i = 1, N − 1, j giữ nguyên.
Ta viết là ϕ i j = ϕ(xi,tj) i = 1, N − 1, gọi là hàm lưới.

=
x x=
xN , j = 0, M .
ϕi j = ϕ ( xi , x j ) , i = 0, N - hàm lưới kể cả trên biên
0, x
2.3. Đạo hàm lưới
Đạo hàm lưới của các hàm lưới Vi j được định nghĩa như sau:

( )

j
Vx i

( Vx )i

j

Vi +j1 − Vi j
, gọi là đạo hàm sai phân tiến theo biến số x.
=
h
Vi j − Vi −j1
, gọi là đạo hàm sai phân lùi theo biến số x.
=
h

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

=

Vi j +1 − Vi j

=

Vi j − Vi j −1

( )

j
Vt i

(Vt )i

j

9

τ

τ

, gọi là đạo hàm sai phân tiến theo thời gian t.

, gọi là đạo hàm sai phân lùi theo thời gian t.

Trong đó:=
i 1, N −=
1 j 1, M − 1 .
3. Bài toán sai phân
3.1. Ký hiệu chung
Đặt:
B+ = 0.5(B+|B|), B- = 0.5(B-|B|) ⇒ B+ ≥0, B- ≤0,B= B++ B-,|B|= B+- BXét các hàm lưới a, a(+1), d, b-, b+, R, r, S0, S1, s0, s1, xác định như sau:

di j = D( xi , t j ) ;
=
aij A( xi − 0.5h, t j ) ;
(a ( +1) )ij = =

aij+1 A ( xi + 0,5h, t j ) ;

=
(b + )ij

B + ( xi , t j ) − j B − ( xi , t j )
;
=
,(b )i
A( xi , t j )
A( xi , t j )

Ri j =
0.5h

B ( xi , t j )
A( xi , t j )

( S0 ) j =
0.5h
( S1 ) j =
0.5h

, ri j =−
1 Ri j + ( Ri j )2 ;

B (0, t j ) j
, s0 =
1 + ( S0 ) j + (( S0 ) j )2 ;
A(0, t j )

B (1, t j )
A(1, t j )

, s1j =
1 − ( S1 ) j + (( S1 ) j ) 2 .

Theo cách đặt này thì với mọi h>0 và τ >0, ta ln ln có: ri j , s0j , s1j ≥

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

3
.
4


Luận văn thạc sĩ

10

3.2. Xấp xỉ các đạo hàm riêng
Theo giả thiết, hàm u(x,t) thỏa mãn điều kiện có đạo hàm riêng liên tục
đến cấp 4 đối với x, cấp 2 đối với t và hàm số A(x,t) thỏa mãn điều kiện có
đạo hàm liên tục đến cấp 3 đối với x và cấp 1 đối với t. Do đó, ta sử dụng
được công thức khai triển Taylor cho các hàm số u(x,t) và A(x,t) như sau:
a. Tại các nút lưới trong xi (i≠0 và i ≠N)
Khai triển hàm u ( x, t ) theo t tại điểm ( xi , t j ) ta có:

u ( xi , t j=
τ ) u ( xi , t j ) − τ

−1 ) u ( xi , t j −=
⇒

∂u
xi , t j ) + O τ 2
(
∂t

( )

u ( xi , t j ) − u ( xi , t j −1 ) ∂u
=
( x , t ) + O(τ )
τ
∂t i j

⇒=
ut ( xi , t j )

∂u
( xi , t j ) + O(τ ) .
∂t

(I.8)

Khai triển hàm u ( x, t ) theo x tại điểm (xi,tj) với bước h ta có:

u ( xi +1 , t j ) =u ( xi + h, t j ) =
h 2 ∂ 2 u h 3 ∂ 3u
∂u

u ( xi , t j ) + h ( xi , t j ) +
x , t + O h4
+
2
3( i j)
2 ∂x
6 ∂x
∂x

( )

⇒

u ( xi +1 , t j ) − u ( xi , t j )
h

=

=

∂u
h∂ u
h ∂u
xi , t j ) +
x ,t +
x , t + O h3
(
2 ( i j)
3( i j)
∂x

2 ∂x
6 ∂x
2

2

3

( )

Khai triển hàm A ( x, t ) theo x tại điểm ( xi , t j ) với bước h/2, ta có:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

(I.9)


Luận văn thạc sĩ

11

h 

A ( xi +1/2=
, t j ) A  xi + , t j 
2 

h ∂A
h2 ∂3 A
=

A ( xi , t j ) +
xi , t j ) +
x , t + O h3
(
2 ( i j)
2 ∂x
8 ∂x

( )

(I.10)

Từ (I.9) và (I.10), ta suy ra:

u ( xi +1 , t j ) − u ( xi , t j )
=
h

∂u
∂A
∂u
∂ 2u
h
A ( xi , t j ) ( xi , t j ) +  A( xi , t j ) 2 ( xi , t j ) +
( xi , t j ) ( xi , t j )  +
∂t
∂x
∂x
2
∂x



A ( x i +1/2 , t j )

1

∂u 2
∂u
∂ 3u
1 ∂A
1 ∂2 A
+ h  A( xi , t j ) 3 ( xi , t j ) +
x
t
x
t
( xi , t j ) 2 ( xi , t j ) +
(
,
)
(
,
)

4 ∂x
8 ∂x 2 i j ∂x i j 
∂x
∂x
6
2

+O ( h3 )
⇒

h  ∂  ∂u  
 ∂u 
( +1)
( a=
u x )( xi , t j )  A  ( xi , t j ) +   A   ( xi , t j ) + ∆ ij + O(h3 )
2  ∂x  ∂x  
 ∂x 

(I.11)

Trong đó:

∆ij

2 1


∂ 3u
1 ∂A
∂u 2
1 ∂2 A
∂u
h  A( xi , t j ) 3 ( xi , t j ) +
( xi , t j ) 2 ( xi , t j ) +
( xi , t j ) 
2 ( xi , t j )

4 ∂x
8 ∂x
∂x
∂x
∂x
6


Khai triển hàm u(x,t) theo x tại điểm (xi,tj) ta có:

h 2 ∂ 2u
h3 ∂ 3u
∂u
4
) A( xi , t j ) − h ( xi , t j ) +
u ( xi − h, t j=
2 ( xi , t j ) −
3 ( xi , t j ) + O ( h )
2 ∂x
6 ∂x
∂x
⇒

u ( xi , t j ) − u ( xi −1 , t j )
=
h
∂u
h ∂ 2u
h 2 ∂ 3u
= ( xi , t j ) −

( xi , t j ) +
( xi , t j ) + O(h3 )
2
3
∂x
2 ∂x
6 ∂x
Khai triển hàm A(x,t) theo x tại điểm (xi,tj) , ta có:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

(I.12)


Luận văn thạc sĩ

12

h 

A ( xi −1/2=
, t j ) A  xi − , t j 
2 


h ∂A
h2 ∂ 2 A
A ( xi −1/2 , t j ) = A ( xi , t j ) −
( xi , t j ) +
( xi , t j ) + O(h3 )

2
2 ∂x
8 ∂x

(I.13)

Từ (I.12) và (I.13), ta suy ra:

u ( xi , t j ) − u ( xi −1, t j )
=
h

∂u
∂ 2u
∂A
∂u
h
= A ( xi , t j ) ( xi , t j ) −  A( xi , t j ) 2 ( xi , t j ) +
( xi , t j ) ( xi , t j )  +
∂x
∂x
∂x
2
∂x


(

A xi −1/2 , t j

)

1

∂ 3u
∂u 2
∂u
1 ∂A
1 ∂2 A
+ h  A( xi , t j ) 3 ( xi , t j ) +
x
t
x
t
( xi , t j ) 2 ( xi , t j ) +
(
,
)
(
,
)
i j
i j 
2
∂
x
6
4
8
∂

∂
∂
∂
x
x
x
x


2

+O(h3 ).
h  ∂  ∂u  
 ∂u 
=
(au x )( xi , t j )  A  ( xi , t j ) −   A   ( xi , t j ) + ∆ ij + O(h3 )
2  ∂x  ∂x  
 ∂x 

(I.14)

Từ (I.11) và (I.14), ta suy ra:

 ∂  ∂u  
(a ( +1) u x )( xi , t j ) − (au x )(
xi , t j ) h   A   ( xi , t j ) + O(h2 )
=
 ∂x  ∂x  

(a ( +1) u x − au x )( xi , t j )  ∂  ∂u  

⇒
=   A   ( xi , t j ) + O(h 2 )
h
 ∂x  ∂x  
 ∂  ∂u  
⇒ ((au x ) x )( xi , t j ) 
A   ( xi , t j ) + O(h 2 )
=

 ∂x  ∂x  

(I.15)

Sử dụng các kết quả trên, ta có công thức sau:

 ∂ h | B | ∂  ∂u  
(b + a ( +1) u x + b − au x )( xi , t j ) =
A   ( xi , t j ) + O(h 2 ) .
B +

 ∂x 2 A ∂x  ∂x  
(I.16)
Thật vậy:
Theo (I.11), (I.14) và cách đặt b+, b- ở trên, ta có:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

13

(b + a ( +1)u x + b − au x )( xi , t j ) =
h ∂  ∂u  
 ∂u h ∂  ∂u  
−  ∂u
2
(b +  A +
 A   ( xi , t j ) + (b  A −
 A   ( xi , t j ) + O(h )
 ∂x 2 ∂x  ∂x  
 ∂x 2 ∂x  ∂x  

 ∂u
h ∂  ∂u  +
− 
=  A (b + + b − ) +
(
)  ( xi , t j ) + O(h 2 )
A
b
b
−


2 ∂x  ∂x 
 ∂x


 ∂u B h ∂  ∂u  B 

2
= A
A
(
x
,
t
)
O
(
h
)
+
+

i
j


 ∂x A 2 ∂x  ∂x  A 


⇒ (b

+ ( +1)

a

 ∂u h B ∂  ∂u  
u x + b − au x )( xi , t j ) =

+
A   ( xi , t j ) + O(h 2 )
 B

 ∂x 2 A ∂x  ∂x  

⇒ (đpcm).

Ta cịn có:

 ∂u  ∂u  h B ∂  ∂u  
A −
A   ( xi , t j ) + O(h 2 )


 ∂x  ∂x  2 A ∂x  ∂x  

(r (au x ) x )( xi , t j ) = 

(I.17)
Thật vậy:
Vì

h B( xi , t j )
(r )ij (1 − R + R 2 , Ri j =
2 A( xi , t j )

và kết hợp với công thức (I.15)

⇒

(r (au x ) x )( xi , t j ) =
2

 h B   ∂u  
B
u
u
h
u
∂
∂
∂
∂




2
 A −
A  + 
  A   ( xi , t j ) + O(h )

 ∂x  ∂x  2 A ∂x  ∂x   2 A   ∂x  



⇒

 ∂u  ∂u  h B ∂  ∂u  

A   ( xi , t j ) + O(h2 ) (đpcm).
(r (au x ) x )( xi , t j ) =
  A  −

 ∂x  ∂x  2 A ∂x  ∂x  
Các kết quả (I.15)÷(I.17) ở trên cho ta biểu thức sau:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

14

(u x − r (au x ) x − (b + a ( +1)u x + b − au x ) + du ( xi , t j )
 ∂u ∂u  ∂u 

∂u
=
−  A  − B + Du  ( xi , t j ) + O(h 2 )
∂x
 ∂x ∂x  ∂x 


(I.18)

b. Tại nút lưới biên x0 = 0
Khai triển hàm u(x,t) theo x tại điểm (x0,tj) với bước h ta có:

u ( xi , t j ) − u ( x0 , t j ) ∂u

h 2 ∂ 2u
2
=( x0 , t j ) +
⇒
2 ( x0 , t j ) + O ( h )
∂x
h
2 ∂x
A ( x1/2 , t j ) =
A ( x0 , t j ) +

h ∂A
x0 , t j + O h 2 .
2 ∂x

(

)

( )

Do đó:
⇒ A(x1/2,tj)

=
A( x0 , t j )

u ( xi , t j ) − u ( x0 , t j )
=
h


∂u
h
∂ 2u
∂A
∂u
( xi , t j ) +  A( x0 , t j ) 2 ( x0 , t j ) + ( x0 , t j ) ( x0 , t j )  + O(h 2 )
∂x
2
∂x
∂x
∂x


h  ∂u  ∂u  
 ∂u 
2
=
+
A
(
x
,
t
)
  A   ( x0 , t j ) + O(h )
0
j
 ∂x 

2  ∂x  ∂x  


⇒

h  ∂u  ∂u  
 ∂u 
2
a1j u xj0 =
 A ∂x  ( x0 , t j ) + 2  ∂x  A ∂x   ( x0 , t j ) + O(h )



 
h  ∂u
∂u
 ∂u 
=  A  ( x0 , t j ) +  − B + Du −
∂x
2  ∂x
 ∂x 
j

j

⇒ a1 u x 0

h  ∂u
∂u
−  − B + Du −

∂x
2  ∂x




f  ( x0 , t j ) + O(h 2 )


 ∂u 
2
f=
 ( x0 , t j )  A ∂x  ( x0 , t j ) + O(h ) .




Đổi dấu 2 vế của phương trình này, rồi thêm cả 2 vế với σ 0 (tj)u(x0,tj), ta có:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

15

∂u
h  ∂u
−a1j u xj0 +  − B + Du −
∂x

2  ∂x




f  ( x0 , t j ) + σ 0 (t j )u ( x0 , t j ) =

 ∂u 
=
−  A  ( x0 , t j ) + σ 0 (t j )u ( x0 , t j ) + O(h 2 )
 ∂x 
(I.19)
Theo (I.3) thì




− A

∂u 
( x , t ) + (σ 0u )( x0 , t j ) =
g0 (t j ) thay biểu thức này vào (I.19)
∂x  0 j

⇒

h  ∂u
∂u
−a1j u xj0 +  − B + Du −
2  ∂x

∂x




f  ( x0 , t j ) + σ 0 (t j )u ( x0 , t j ) = g0j + O(h 2 )

⇒

∂u
h
−a1j u xj0 + σ 0 (t j )u ( x0 , t j ) +  ut − B + Du −
∂x
2




f  ( x0 , t j ) = g0j + O(h 2 + τ )

⇒

h
h
−a1j u xj0 + σ 0j u0j + ((ut )0j + d0j u0j − f 0j ) − B(0, t j )(u xj0 + O(h))
2
2
=
g0j + O(h 2 + τ )
(I.20)

Xét

 B(0, t )  B(0, t ) 2 
h
h
j
j
( S0j + ( S0j )2 )a1j = 
+
  A(h / 2, t j ) .
 2 A(0, t j )  2 A(0, t j )  

 

Vì

=
a1j A(h =
/ 2, t j ) A(0, t j ) + O(h) .
Nên

 B(0, t )  B(0, t ) 2 
h
h
h
j
j
( S0j + ( S0j )2 )a1j = 
+
  A( , t j ) .

 2 A(0, t j )  2 A(0, t j )   2

 


Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

( S0j + ( S0j )2 )a1=j

16

h B(0, t j )
h
)
A(0, t j ) + O(h 2=
B(0, t j ) + O(h 2 ) .
2 A(0, t j )
2

Thay biểu thức này vào (I.20) ta được:

h
−a1j u xj0 + σ 0j u0j + ((ut )0j + d0j u0j − f 0j ) − {( S0j + ( S0j )2 )a1j + O(h 2 )(u xj0 + O(h))
2
=
g0j + O(h 2 + τ )

⇒

h
−a1j u xj0 + σ 0j u0j + ((ut )0j + d0j u0j − f 0j ) − ( S0j + ( S0j )2 )a1j u xj0 =g0j + O(h 2 + τ )
2
h
⇒ −(1 + S0j + ( S0j )2 )a1j u xj0 + σ 0j u0j + ((ut )0j + d 0j u0j − f 0j ) = g 0j + O(h 2 + τ )
2
⇒ − S0j a1j u xj0 + σ 0j u0j +

h
((ut )0j + d0j u0j − f 0j ) =g0j + O(h 2 + τ )
2
j

h
h  
h

⇒  ut 0 − s0 a1u x 0 + σ 0 + d 0 u0  =g 0j + f 0j + O(h 2 + τ ) .


2  
2

2

(I.21)

c. Tại nút lưới biên xN = 1

Khai triển hàm u ( x, t ) theo x tại điểm ( xN , t j ) , ta có:

∂u
h2 ∂ 2u
u ( xN −1 , t j ) =
u ( xN , t j ) − h ( xN , t j ) +
x , t + O h3
2 ( N j)
∂t
2 ∂x

( )

u ( xN , t j ) − u ( xN −1, t j ) ∂u
h ∂ 2u
2
⇒
= ( xN , t j ) −
2 ( xN , t j ) + O ( h ) .
2 ∂x
h
∂x
Với hàm A ( x, t ) thì

A ( xN −1/2 , t j ) =
A ( xN , t j ) −

Do đó, ta suy ra:

A ( xN −1/2 , t j )

u ( xN , t j ) − u ( xN −1 , t j )
=
h

Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ 2006 - 2008

h ∂A
xN , t j ) + O h 2 .
(
2 ∂x

( )


Luận văn thạc sĩ

17

∂u
(x ,t ) −
∂x N j

h
∂ 2u
∂A
∂u
−  A( xN , t j ) 2 ( xN , t j ) + ( xN , t j ) ( xN , t j )  + O(h 2 )
2
∂x

∂x
∂x


A( xN , t j )

⇒

A ( xN −1/2 , t j )

u ( xN , t j ) − u ( xN −1 , t j )
=
h
h  ∂u  ∂u  
 ∂u 
2
=
 A ∂x  ( xN , t j ) − 2  ∂x  A ∂x   ( xN , t j ) + O(h ).



 

Từ đó, ta suy ra:

h  ∂u  ∂u  
 ∂u 
j
2
=

aNj u xN
 A ∂x  ( xN , t j ) − 2  ∂x  A ∂x   ( xN , t j ) + O(h )



 
h  ∂u
∂u
 ∂u 
=  A  ( xN , t j ) −  _ B + Du −
2  ∂x
∂x
 ∂x 
j

j

⇒ aN u xN

h  ∂u
∂u
+  − B + Du −
∂x
2  ∂x




f  ( xN , t j ) + O ( h 2 )


 ∂u 
2
f=
 ( xN , t j )  A ∂x  ( xN , t j ) + O(h ) .




Thêm cả 2 vế biểu thức này với σ 1(tj)u(xN, tj), ta có:

h  ∂u
∂u
j
aNj u xN
+  − B + Du −
∂x
2  ∂x



 ∂u 
=  A  ( xN , t j ) + σ1 (t j )u ( xN , t j ) + O(h 2 )
 ∂x 

f  ( xN , t j ) + σ 1 (t j )u ( xN , t j ) =

(I.22)
Theo (I.14) thì

 ∂u 
g1 (t j )
 A ∂x  ( xN , t j ) + σ 1 (t j )u ( xN , t j ) =


thay biểu thức này vào (I.22) ta suy ra:

h  ∂u
∂u
j
aNj u xN
+  − B + Du −
2  ∂x
∂x




f  ( xN , t j ) + σ 1 (t j )u ( xN , t j ) = g1j + O(h 2 )

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

18

⇒

∂u

h
j
+ σ 1 (t j )u ( xN , t j ) +  ut − B + Du −
aNj u xN
∂x
2




f  ( xN , t j ) = g1j + O(h 2 + τ )

⇒
j
aNj u xN
+ σ 1j u Nj +

(

)

h
(ut ) Nj + d Nj u Nj − f Nj −
2
h
j
g1j + O(h 2 + τ ).
− B( xN , t j )(u xN
+ O(h)) =
2

(I.23)

Xét

 B( x , t )  B( x , t ) 2 
h
h
N j
N j
−
( S0j − ( S0j )2 )aNj= 
  A( xN − h / 2, t j ) .

 2 A( xN , t j )
2 A( xN , t j )  




Vì

aNj =
A( xN , t j ) =
A( xN − h / 2, t j ) + O(h)

nên

 B( x , t )  B( x , t ) 2 
h
N j

N j
j
h
( S0j − ( S0j )2 )a=
−

  A( xN − h / 2, t j ) + O(h)
N
 2 A( xN , t j )  2 A( xN , t j )  

 

⇒
j
( S0j − ( S0j )2 )a=
N

h B ( xN , t j )
h
2
A( xN , t j ) + O(h=
)
B ( xN , t j ) + O ( h 2 ) .
2 A( xN , t j )
2

Thay biểu thức này vào (I.23), ta được:
j
aNj u xN
+ σ 1j u Nj +

(

)

(

)

h
j
(ut ) Nj + d Nj u Nj − f Nj − {S1j − ( S1j )2 aNj + O(h 2 )}(u xN
+ O(h))
2

gbj + O(h 2 + τ )
=
⇒
j
aNj u xN
+ σ 1j u Nj +

⇒

h
j
(ut ) Nj + d Nj u Nj − f Nj − {S1j − ( S1j )2 aNj u xN
=g1j + O(h 2 + τ )
2

j
(1 − S1j − ( S1j )2 )aNj u xN
+ σ 1j u Nj +

(

)

h
(ut ) Nj + d Nj u Nj − f Nj = g1j + O(h 2 + τ )
2

⇒

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

19

j

h
h  
h j

j
2
 utN + s1aN u xN + σ 1 + d N  u N  =g1 + f N + O(h + τ ) .

2  
2

2

3.3. Phát biểu bài toán sai phân
Từ (I.18), ta đặt:

Lhτ Vi j :=
{Vt − r (avx − (b+ a(+1)Vx + b− avx ) + dv}

j

i

(I.25)

Từ (I.21), ta đặt:

h
h  

l0 hτ V0j=:  Vt 0 − S0a1vx 0 + σ 1 + d0  v0 
2  

2

j

(I.26)

Từ (I.24), ta đặt:

l1hτ VNj=:

h
h  

−
+
+
σ
V
S
a
v
 tN
1 N xN
 1 2 d N  vN 

 
2

j

(I.27)

Như vậy, bài toán sai phân thay thế cho bài toán đạo hàm riêng (I.1) ÷ (I.4)
có dạng:
j

Lhτ V=
fi j ,0 < i < N ,0 < j < M
i

=
Vi0 g ( xi ),0 < i < N

h j
f
2 0
h
l1hτ VNj =
g1j + f Nj ,
2

(I.28)
(I.29)

j
l0 hτ V=
g0j +
0

Trong đó lhτ Vi j được xác định theo (I.25).
Và ta cũng có mối liên hệ sau:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

(I.30)

0≤ j≤M


Luận văn thạc sĩ

20


j
Luij + O(h 2 + τ ),
 Lhτ Vi=

h j

j
j
2
l0 hτ u0 =l0u0 + f 0 + O(h + τ )
2

h j

j
j
l
u
=
l
u
+

f N + O(h 2 + τ )
1
τ
1
h
N
N

2

0 < i < N ,0 < j < M
(I.31)

Cơng thức (I.31) có nghĩa là tốn tử đạo hàm riêng được xấp xỉ bằng toán tử
sai phân với sai số là O(h2+ τ ).
4. Phương pháp giải bài toán sai phân
4.1. Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo
Theo (I.28), ta có:

fi j
(Vt − r (avx ) x − (b + a ( +1)Vx + b − avx ) + dv)ij =
hay:

Vi j − Vi j −1

τ

j
j
 ( +1) j Vi +j1 − Vi j

j Vi − Vi −1 
− ri  a i
− ai
−
2
2
h
h



V j − Vi j
V j − Vi −j1 
j j
−  (b + a ( +1) )ij i +1
− (b − a)ij i
fi j
 + di vi =
h
h


j

⇒


aij j
1  h2
j

− j
− 2 (ri − h(b )i )Vi −1 + 2  + ri j (a ( +1) + a)ij + h(b + a ( +1) )ij − h(b − a)ij + h 2 di j 
h
h τ


Với =
γ

τ

 j Vi j −1 
(a ( +1) )ij j
j
+ j
r
h
b
V
−
(
+
(
)
)
)
=
 f i +

i

i
i +1
τ 
h2


= const , ta có:
h2

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

21

γ aij (ri j − h(b − )ij )Vi−j1 −

(

)

− 1 + γ aij (ri j − h(b − )ij ) + γ (a ( +1) )ij (ri j + h(b + )ij ) + τ di j vij +
+γ (a ( +1) )ij (ri j + h(b + )ij )vij+1 =
−(τ fi j + vij −1 ).

Đặt:

Ρij γ aij (ri j − h(b − )ij )
=

 j
1 + γ aij (ri j − h(b − )ij ) + γ (a ( +1) )ij (ri j + h(b + )ij ) + τ di j
Qi =
 j
+ j
j
( +1) j
=
Κ i γ (a )i (ri + h(b )i )
 j
τ fi j + vij −1
i
Φ=

(I.32)

Ta có:

Ρij vij−1 − Qi j vij + Κ ij vij+1 = −Φij ,0 < i < N ,0 < j ≤ M
Từ (I.32), ta có:

Qi j = 1 + Ρij + Κ ij + τ di j ,
Ρij > 0,
Κ ij > 0,
Qi j − Ρij − Κ ij = 1 + τ di j > 0.
Theo (I.30), ta có:
j

h

h  
h j

j
 Vt 0 − S1a0vx 0 + σ 0 + d0  v0  =g0 + f 0
2  
2

2
j
j
h v0j − v0j −1
h 
h

j j v1 − v0
⇒
− s0 a1
+ σ 0j + d0j  v0j =g0j + f 0j
τ
h
2
2 
2


 h s0j a1j
h j  j s0j a1j j h j −1
h
j

⇒
+
+ (σ 0 + d0 )  v0 −
v=
v0 + g0j + f 0j .
1
h
2
h
2τ
2
 2τ

nhân cả 2 vế với

2τ
h

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

(I.33)


Luận văn thạc sĩ

22

Ta được:

h j  j


j j
j
j j j
v0j −1 + 2γ hg0j + τ f 0j
1 + 2γ s0 a1 + 2γ h(σ 0 + 2 d0 )  v0 − 2γ s0 a1 v1 =


⇒

v0j

2γ s0j a1j

h


1 + 2γ s0j a1j + 1 + 2γ h(σ 0j + d0j ) 
2



v1j +

v0j −1 + 2γ hg0j + τ f 0j
h
1 + 2γ s0j a1j + 2γ h(σ 0j + d0j )
2
(I.34)
j

h
h  
h

Theo (I.30), ta có:  VtN − S1aN vxN + σ 1 + d N  vN  =g1j + f Nj
2  
2

2
j
j
h vNj − vNj −1
h 
h

j j vN − vN −1
+ sN a1
+ σ Nj + d Nj  vNj =g1j + f Nj
τ
h
2
2 
2


 h s0j a1j
h j  j s0j a1j j
h j −1
h

j
d N )  vN −
v N=
vN + g Nj + f Nj .
+
+
+
(
σ

1
−1
h
h
2
2τ
2
 2τ

nhân cả 2 vế với

2τ
h

h j  j

j j
j
j j j
vNj −1 + 2γ hg Nj + τ f Nj

1 + 2γ s1 aN + 2γ h(σ 1 + 2 d N )  vN − 2γ s1 aN vN =


⇒

vNj

2γ s1j aNj
h
1 + 2γ s1j aNj + 2γ h(σ 1j + d Nj )
2

vNj −1

vNj −1 + 2γ hg1j + τ f Nj
+
h
1 + 2γ s1j aNj + 2γ h(σ 1j + d Nj )
2
(I.35)

Từ (I.34) và (I.35), ta đặt:

Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008


Luận văn thạc sĩ

23

2γ s0j a1j

Ρ0j

=
h
1 + 2γ s0j a1j + 2γ h(σ 0j + d0j )
2
j −1
j
v0 + 2γ hg0 + τ f 0j
j
Φ0 =
h
1 + 2γ s0j a1j + 2γ h(σ 0j + d0j )
2

(I.36)

2γ s1j aNj

Ρ1j

=
h
1 + 2γ s1j aNj + 2γ h(σ1j + d Nj )
2
j −1
j
vN + 2γ hg1 + τ f Nj

j
Φ1 =
h
1 + 2γ s1j aNj + 2γ h(σ1j + d Nj )
2

(I.37)

Do đó (I.34) và (I.35) được viết gọn như sau:

v0j p0j v1j + Φ 0j
=


(I.38)

j
j j
j
=
vN p1 vN −1 + Φ N

Như vậy, các công thức (I.33) và (I.38) cho ta một hệ phương trình dạng 3
đường chéo. Cách giải tối ưu nhất cho dạng hệ phương trình này là phương
pháp truy đuổi (bởi vì các điều kiện trong bài tốn sai phân ln ln đảm bảo
cho thuật tốn này ổn định) [1, 2, 10].
Hình ảnh các nút lưới phải tính tại lớp thứ j+1 trên lưới sai phân có dạng như
sau:
t

t

t

* **
**

j+1
j
t

t

0

t

t

t

Hình vẽ I.2
Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008

x