Thuật toán bầy kiến giải bài toán vrp (cehicle routing problem) với hạn chế thời gian

bộ giáo dục v đo tạo
trờng đại học bách khoa h nội
--------------------------------------NGUYN TH H

NGUYN TH H

CÔNG NGHệ THÔNG TIN

THUT TON BẦY KIẾN GIẢI BÀI TOÁN VRP
(VEHICLE ROUTING PROBLEM) VỚI HẠN CH
THI GIAN

luận văn thạc Sỹ khoa học
2007-2009
H nội
2009

H Nội Năm 2009


bộ giáo dục v đo tạo
trờng đại học bách khoa hμ néi
--------------------------------------NGUYỄN THỊ HÀ

THUẬT TOÁN BẦY KIẾN GIẢI BÀI TOÁN VRP (VEHICLE
ROUTING PROBLEM) VI HN CH THI GIAN

Chuyên ngnh :

công nghệ thông tin

luận văn thạc sĩ KHOA HọC

ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYN C NGHA

H Nội - Năm 2009


Trang 1

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu, kết
qủa nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kì cơng
trình nào khác.

Nguyễn Thị Hà


Trang 2

Mục lục
Lời cam đoan ...............................................................................................................1
Mục lục........................................................................................................................2
Danh mục thuật ngữ và từ viết tắt ...............................................................................5
Danh mục hình ảnh .....................................................................................................7
Danh mục bảng ...........................................................................................................8
Mở đầu ........................................................................................................................9
Chương 1 - BÀI TỐN LỘ TRÌNH VẬN TẢI (VRP) ........................................ 11
1.1. Những đặc trưng cơ bản của bài toán VRP.............................................. 11
1.1.1. Mạng lưới đường đi ................................................................................ 12

1.1.2. Các xe vận tải .......................................................................................... 13
1.1.3. Các khách hàng ....................................................................................... 13
1.1.4. Những yếu tố không xác định trong bài toán VRP ................................. 14
1.2. Các dạng cơ bản bài toán VRP .................................................................. 15
1.2.1. Bài toán VRP với hạn chế về trọng tải xe (CVRP) ................................. 16
1.2.2. VRP với hạn chế về thời điểm phục vụ (VRPTW) ................................. 16
1.2.3. VRP với nhận và chuyển hàng kết hợp (VRPPD) .................................. 17
1.2.4. VRP với chi phí phụ thuộc thời gian (TDVRP) ...................................... 18
1.2.5. VRP với yêu cầu đặt hàng chưa biết (DVRP)......................................... 19
1.3. Mơ hình tốn học cho bài tốn VRP ......................................................... 19
1.3.1. Mơ hình lưu lượng xe vận tải .................................................................. 20
1.3.2. Cải tiến mơ hình lưu lượng xe vận tải ..................................................... 26
1.4. Các phương pháp heuristic và metaheuristic giải bài toán VRP ........... 29


Trang 3

1.4.1. Các thuật toán heuristic cho bài toán VRP ............................................. 29
1.4.2. Một số thuật toán metaheuristic cho bài toán VRP................................. 34
1.5. Bài toán VRPTW và thuật toán Đa bầy kiến ........................................... 37
Chương 2 - THUẬT TOÁN BẦY KIẾN ............................................................... 38
2.1. Giới thiệu thuật toán bầy kiến ................................................................... 38
2.1.1. Dạng bài toán cho thuật toán Bầy kiến. .................................................. 39
2.1.2. Đặc điểm chung của mỗi con kiến. ......................................................... 41
2.1.3. Cấu trúc chung của họ thuật toán Bầy kiến ............................................ 43
2.2. Bầy kiến cơ sở .............................................................................................. 45
2.3. Thuật toán Đa bầy kiến cho bài toán VRPTW ........................................ 50
2.3.1. Bầy kiến ACS-VEI và ACS-TIME ......................................................... 53
2.3.2. Lộ trình đường đi cho bài tốn VRP ....................................................... 57
2.3.3. Chương trình con sinh phương án ........................................................... 58

Chương 3 - THỰC NGHIỆM TÍNH TỐN ......................................................... 61
3.1. Phân tích thiết kế chương trình ................................................................. 61
3.1.1. Xác định u cầu ..................................................................................... 61
3.1.2. Thiết kế chức năng chương trình ............................................................ 63
3.1.3. Các chức năng chính của chương trình ................................................... 63
3.1.4. Thiết kế file kết quả................................................................................. 65
3.2. Cài đặt chương trình ................................................................................... 70
3.2.1. Lớp Vertex: lưu dữ liệu về khách hàng................................................... 71
3.2.2. Lớp Ant: lớp trừu tượng biểu diễn các con kiến nói chung .................... 72
3.2.3. Lớp AntColony: lớp trừu tượng biểu diễn bầy kiến. .............................. 74
3.2.4. Lớp AntGraph ......................................................................................... 77


Trang 4

3.2.5. Lớp Ant4VRPTW ................................................................................... 78
3.2.6. Lớp ACS-TIME và ACS-VEI ................................................................. 80
3.2.7. Lớp MACS-VRPTW .............................................................................. 82
3.3. Kết quả thực nghiệm và đánh giá .............................................................. 83
3.3.1. Lựa chọn dữ liệu kiểm thử ...................................................................... 83
3.3.2. Lựa chọn tham số kiểm thử ..................................................................... 85
3.3.3. Lựa chọn điều kiện dừng......................................................................... 87
3.3.4. Kết quả thực nghiệm ............................................................................... 88
Chương 4 - KẾT LUẬN .......................................................................................... 93
Tài liệu tham khảo .....................................................................................................94
Phụ lục: Kết quả thực nghiệm chi tiết .......................................................................96


Trang 5

Danh mục thuật ngữ và từ viết tắt
Thuật ngữ tiếng anh

Thuật ngữ Tiếng việt và ý nghĩa

Exploitation

Khai phá đường đi

Exploration

Thăm dị đường đi

global updating

Cập nhật tồn cục

local updating

Cập nhật cục bộ

pheromone traits

Dấu vết đặc trưng

local search

Tìm kiếm cục bộ

Deposit

Lưu vết

construction graph

Đồ thị xây dựng phương án

heuristic*

Thuật toán cho phép xây dựng phương án tốt
của bài toán trong khoảng thời gian ngắn
Phương pháp heuristic được thiết kế để áp dụng

metaheuristic*

cho nhiều bài toán khác nhau.
Genetic Algorithms – GA

Thuật toán di truyền

Tabu Search – TS

Thuật tốn tìm kiếm Tabu

Ant Colony Optimization – ACO

Thuật tốn Bầy kiến.

Simulated Annealing - SA

Thuật tốn mơ phỏng luyện thép

Traveling Salesman Problem – TSP Bài toán Người du lịch
Vehicle Routing Problem – VRP

Bài tốn lộ trình giao nhận hàng hóa

Capacitated VRP – CVRP

Bài tốn VRP với ràng buộc trọng tải xe

VRP with Pick-up and Delivery – Bài toán VRP với giao và nhận hàng kết hợp
VRPPD
Windows

– Bài toán VRP với hạn chế thời điểm phục vụ

Time Dependent VRP –TDVRP

Bài tốn VRP với chi phí phụ thuộc thời gian

Dynamic VRP -DVRP

Bài toán VRP với yêu cầu đặt hàng chưa biết

VRP

with

Time

VRPTW


Trang 6

Stochastic VRP

Bài toán VRP với thành phần chưa xác đinh

Ant Colony System -ACS

Thuật toán bầy kiến cho bài toán TSP.

MACS-VRPTW

Thuật toán Đa bầy kiến cho bài toán VRPTW

Ghi chú: Những từ đánh dấu * được giữ nguyên bản tiếng Anh do ý nghĩa
q dài và khơng thể tìm thấy từ Tiếng việt tương ứng.


Trang 7

Danh mục hình ảnh
Hình 1-1: Minh họa thuật tốn trao đổi chéo ............................................................32
Hình 1-2: Trường hợp riêng của trao đổi chéo .........................................................33
Hình 2-1: Cấu trúc chung của các thuật tốn bầy kiến. ............................................45
Hình 2-2: Lựa chọn đường đi dựa trên hai tham số ηij và τij. ....................................47
Hình 2-3: Mơ hình thuật tốn Đa bầy kiến giải bài tốn VRPTW ...........................51

Hình 2-4: Thuật tốn MACS-VRPTW .....................................................................52
Hình 2-5: Thuật tốn cho ACS-TIME. .....................................................................54
Hình 2-6: Thuật tốn cho ACS-TIME ......................................................................56
Hình 2-7: Phương án cho bài tốn VRPTW .............................................................57
Hình 2-8: Phương thức xây dựng phương án mới của mỗi con kiến. .......................59
Hình 3-1: Cấu trúc file đầu vào .................................................................................61
Hình 3-2: Mơ hình chương trình mơ phỏng .............................................................62
Hình 3-3: Thiết kế chức năng chương trình ..............................................................63
Hình 3-4: Cấu trúc file kết quả..................................................................................66
Hình 3-5: Ví dụ file đầu ra cho các con kiến ............................................................68
Hình 3-6: Cấu trúc file lưu kết quả cho Bầy kiến .....................................................70
Hình 3-7: Cấu trúc lớp Ant .......................................................................................72
Hình 3-8: Lớp AntColony .........................................................................................75
Hình 3-9: Cấu trúc lớp AntGraph .............................................................................77
Hình 3-10: Cấu trúc lớp Ant4VRPTW .....................................................................79
Hình 3-11: Cài đặt hai lớp ACS-TIME và ACS-VEI ...............................................81
Hình 3-12: Cấu trúc lớp MACS-VRPTW .................................................................82
Hình 3-13: Đồ thị so sánh kết quả thực nghiệm với kết quả tốt nhất hiện biết ........89
Hình 3-14: Đồ thị so sánh kết quả thực nghiệm với tác giả ......................................90
Hình 3-15: Đồ thị so sánh kết quả với hai thuật toán CR và PB ..............................92


Trang 8

Danh mục bảng
Bảng 3-1: Các thuộc tính của lớp Vertex ..................................................................71
Bảng 3-2: Các biến tĩnh trong lớp Ant để lưu phương án tốt nhất ...........................72
Bảng 3-3: Kết quả thực nghiệm tìm tham số ............................................................86
Bảng 3-4: Kết quả chạy so với phương án tốt nhất hiện biết. ...................................88
Bảng 3-5: So sánh kết quả thực nghiệm tốt nhất với kết quả của tác giả .................90

Bảng 3-6: So sánh kết quả thực nghiệm với hai thuật toán CR và PB .....................91
Bảng 3-7: Kết quả thực nghiệm chi tiết ....................................................................96


Trang 9

Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài


Trong họat động kinh doanh thương mại việc phân phối hàng hóa đóng

vai trị rất quan trọng và được chun mơn hóa để tìm ra một đường đi với
chi phí hiệu quả nhất để phân phối hàng hóa trong cùng hệ thống mạng cung
ứng..


Cùng với sự phát triển của máy tính và khoa học kỹ thuật, các nhà khoa

học đã tập trung nghiên cứu và xây dựng các thuật toán mới để đưa ra lời
giải cho những bài toán tối ưu với một chi phí nhất định như là: phương pháp
heuristics, metaheuristics, thuật toán bầy kiến,… để áp dụng được cho các
bài toán lớn.


Ưu thế của thuật toán bầy kiến so với thuật tốn tối ưu hóa thơng thường

là khả năng sinh ra một phương án tối ưu cục bộ tốt trong một thời gian rất
ngắn, với các thực nghiệm chứng minh trong trường hợp cho bài tốn TSP,
VRP.

2. Mục đích ( các kết quả cần đạt được)


Hiểu bài toán VRP với hạn chế thời gian, thuật toán bầy kiến và các cách

tiếp cận hiện có để giải bài tốn VRP


Phát triển thuật tốn, thực nghiệm tính tốn với thuật tốn và đánh giá

được hiệu quả đạt được.
3. Ý nghĩa thực tiễn


Cơ sở khoa học: đề tài tiếp cận các lý thuyết về thuật tốn bầy kiến, bài

tốn lộ trình vận tải (VRP) và các cách tiếp cận hiện có để giải bài tốn VRP
với hạn chế thời gian. Từ đó phát triển thuật toán dựa trên sơ đồ thuật toán
bầy kiến để bài bài toán VRP và tiến hành thực nghiệm tính tốn để đưa ra
các đánh giá về hiệu quả của thuật toán.


Trang 10



Ý nghĩa thực tiễn: kết quả hướng đến của đề tài là phát triển thuật toán

dựa trên sơ đồ thuật toán bầy kiến giải bài toán VRP, trên cơ sở thực nghiệm
tính tốn và đánh giá hiệu quả của thuật toán đưa ra đề xuất ứng dụng.

4. Các vấn đề cần giải quyết


Tìm hiểu bài tốn VRP với hạn chế thời gian.



Tìm hiểu các cách tiếp cận hiện có để giải bài tốn VRP.



Tìm hiểu thuật tốn bầy kiến.



Phát triển thuật toán dựa trên sơ đồ thuật toán bầy kiến để giải bài tốn.



Thực nghiệm tính tốn với thuật toán đã đề xuất để đánh giá kết quả đạt

được.
5. Kết quả


Cơ sở lý thuyết về: các dạng của bài toán VRP, thuật toán bày kiến, thuật

toán đa bầy kiến, các cách tiếp cận để giải bài toán đã đề xuất.


Xây dựng được phân mềm ứng dụng thuật toán đa bầy kiến cho bài toán

VRP với hạn chế thời gian và thực nghiệm trên các bộ dữ liệu đề xuất
(Solomon).
6. Cấu trúc của luận văn


Luận văn gồm 4 chương, 102 trang, 15 hình, 7 bảng.


Trang 11

Chương 1 - BÀI TỐN LỘ TRÌNH VẬN TẢI
(VRP)

Bài toán VPR là bài toán về việc vận chuyển hàng hóa từ kho chứa hàng đến
khách hàng bằng một đồn xe vận tải. Rất nhiều vấn đề trong cuộc sống có thể quy
về bài tốn này, ví dụ như đưa thư, phân phối gas đến các đại lý, phân phối hàng
hóa đến các siêu thị, xe buýt đưa đón nhân viên… Nói chung, giải quyết bài tốn
VRP tức là phải tìm ra tuyến đường tốt nhất để phục vụ tất cả khách hàng sử dụng
một đoàn xe nhất định. Ngoài việc đảm bảo tất cả mọi khách hàng được phục vụ, lời
giải bài tốn cịn phải chú ý đến nhiều vấn đề ràng buộc như: trọng tải của xe, thời
gian làm việc của lái xe và tối thiểu hóa chi phí vận chuyển.
Bài tốn VRP có thể đưa về dạng một bài tốn quy hoạch tuyến tính, định
nghĩa bằng một hàm mục tiêu và một tập các ràng buộc.

1.1. Những đặc trưng cơ bản của bài toán VRP
Cũng giống như những bài tốn quy hoạch tuyến tính những đặc trưng cơ
bản của bài toán VRP là hàm mục tiêu, các ràng buộc và các phương án.
Mục tiêu của bài toán là tìm ra lời giải thích hợp nhất. Trong thực tế, mục

tiêu của bài tốn VRP có thể rất phức tạp và đôi khi mâu thuẫn lẫn nhau. Mục tiêu
chung nhất là tối thiểu hóa chi phí vận chuyển. Mục tiêu này được biểu diễn như là
một hàm của khoảng cách hay thời gian vận chuyển, chi phí này phụ thuộc vào chi
phí cho việc vận hành xe và cho tài xế do đó nói chung cần phải tối thiểu số lượng
xe. Một số mục tiêu khác có thể tính đến như là hiệu quả của xe, tính bằng tỷ lệ sử
dụng của trọng tải xe (tỷ lệ càng cao thì hiệu quả sử dụng xe càng cao). Bên cạnh
đó, cũng có thể có những hàm mục tiêu phức tạp hơn liên quan đến những ràng


Trang 12

buộc mà nếu vi phạm phải trả một cái giá nào đó, ví dụ như xe đến chậm làm khách
hàng phải chờ, khi đó, một khoản phí đền bù phải trả tùy theo hợp đồng. Trong
những bài toán thực tế, có thể phải tính đến chi phí phụ thuộc vào loại đường đi: ví
dụ như đi trong thành phố tốn thời gian và chi phí hơn so với đường cao tốc.
Hàm mục tiêu là một hàm số bao gồm những biến tự do (biến quyết định),
được quyết định bởi người lập kế hoạch: ví dụ như biến biểu diễn đoạn đường giữa
hai khách hàng có trong lộ trình hay không, và biến phụ thuộc là kết quả của các
quyết định trong q trình tính tốn. Lời giải của bài toán được biểu diễn dựa trên
tập các biến quyết định cho đánh giá tốt nhất của hàm mục tiêu. Trong trường hợp
của bài toán VRP, quyết định được đưa ra là thứ tự đưa hàng tới khách hàng, tức là
tập các tuyến đường. Một tuyến đường bắt đầu từ kho chứa hàng và là một dãy có
thứ tự của ghé thăm các khác hàng và thực hiện yêu cầu của họ. Một phương án
phải thỏa mãn tính khả thi tức là không vi phạm các ràng buộc như ràng buộc về số
lượng hàng không được vượt quá trọng tải xe.
Để tìm giá trị của các biến quyết định, chúng ta cần một mơ hình tín tốn cho
bài tốn. Mơ hình này được xây dựng dựa trên các ràng buộc biểu diễn mối quan hệ
giữa các biến tự do và biến phụ thuộc và tập hợp các giá trị có thể nhận của các
biến. Với bài tốn VRP, mơ hình này gồm có các thành phần chính như: hệ thống
đường mơ tả sự liên kết giữa các khách hàng và các kho chứa; tập xe vận tải và các

khách hàng người đưa ra yêu cầu và nhận hàng.

1.1.1. Mạng lưới đường đi
Mạng lưới đường được biểu diễn như là một đồ thị với các kho và các khách
hàng là các đỉnh, và các cạnh biểu diễn khoảng cách (theo thời gian, khơng gian
hoặc cả hai) giữa các đỉnh. Mơ hình mạng lưới đường đi này có thể xây dựng dựa
trên một bản đồ thực tế của khu vực chứa các kho và khách hàng. Một thuật tốn
tìm đường đi ngắn nhất có thể được sử dụng để tìm tất cả các đường đi ngắn nhất
giữa các cặp đỉnh (theo thời gian hoặc khơng gian), dựa trên đó xây dựng ma trận


Trang 13

khoảng cách. Tùy theo cách xây dựng khoảng cách giữa các đỉnh chúng ta có thể
phát triển nhiều dạng khác nhau của bài tốn VRP. Ví dụ như khi chi phí đi lại giữa
các đỉnh thay đổi theo thời gian (đặc điểm phổ biến trong các thành phố như Hà
Nội) ta có dạng bài tốn VRP với chi phí phụ thuộc thời gian (TDVRP).

1.1.2. Các xe vận tải
Các xe vận tải và các đặc tính của chúng được thể hiện trong các ràng buộc
của mơ hình bài tốn. Đội xe này có thể là đồng nhất nếu tất cả xe là giống nhau về
tính chất. Tuy nhiên trên thực tế hầu hết đặc tính của các xe là khác nhau do đó các
xe vận nói chung là khơng đồng nhất. Ngồi các đặc tính quan trọng về trọng tải,
giá vận chuyển, các đặc tính về máy móc như: chiều cao, khối lượng, chiều rộng, số
trục… đều có thể được tính đến như là các ràng buộc cho xe. Ví dụ như xe tải có tải
trọng lớn khơng thể đi vào thành phố vào giờ cao điểm. Ngoài ra cũng có thể có
những phụ kiện trên xe dùng để tháo dỡ hàng cho những loại hàng đặc biệt theo yêu
cầu của khách hàng. Tải trọng của xe có thể được biểu diễn theo tùy theo loại hàng
hóa được vận chuyển (ví dụ như lít với xăng dầu, kilogram hoặc mét khối).

1.1.3. Các khách hàng
Khách hàng là trung tâm của bài toán VRP. Một phương án chấp nhận được
của bất kỳ dạng nào bài toán đều phải phục vụ được tất cả các khách hàng. Bằng
việc khai thác các đặc điểm khác nhau của mỗi khách hàng ta có thể xây dựng rất
nhiều bài tốn VRP khác nhau. Ví dụ như khi mỗi khách hàng yêu cầu phải được
giao (delivery) một lượng hàng hóa hay thu gom hàng (pick-up) tại địa điểm của
khách hàng rồi vận chuyển đến nơi khác ta có bài tốn VRP với nhận và chuyển
hàng kết hợp (VRPPD). Khi tính đến koảng thời gian mà khách hàng có thể được
phục vụ (time windows) ta có bài tốn VRP với hạn chế thời điểm phục vụ
(VRPTW). Đối với bài tốn VRP có giới hạn thời điểm phục vụ, bài tốn cần nhiều
thêm rất nhiều xử lý, vì khi đó xe khơng thể đến muộn hơn thời gian cho phép
nhưng nó có thể đến sớm và đợi cho đến giờ để phục vụ khách hàng. Trong trường


Trang 14

hợp này, một khoản phí phạt có thể được tính đến khi xe đến chậm hơn giờ quy
định. Khi đó hàm mục tiêu phải thay đổi để tính đến khoản tiền phạt này. Ngoài ra,
đối với mỗi khách hàng cịn cần phải tính đến thời gian bốc dỡ hoặc xếp hàng hóa,
thời gian này phụ thuộc vào loại hàng hóa, số lượng khi đặt hàng và người bốc dỡ.
Thời gian phụ vụ này được dùng để tính tốn thời gian mà mỗi xe cần trước khi đi
đến chỗ khách hàng kế tiếp.

1.1.4. Những yếu tố không xác định trong bài tốn VRP
Trong những dạng bài tốn VRP trình bày ở trên, ta chưa nhắc đến vai trò
của những yếu tố chưa xác định. Trong nhiều trường hợp hàm mục tiêu phụ thuộc
vào nhiều yếu tố chưa xác định, khi đó hàm mục tiêu sẽ có tính biến thiên rất lớn.
Lớp bài tốn dạng này được gọi là VRP khơng xác định (stochastic VRP). Những
yếu tố chưa biết có thể là có khách hàng hoặc khơng, khối lượng hàng hóa khách
hàng yêu cầu hay thời gian di chuyển và thời gian phục vụ.

Trong thực tế, các yếu tố chưa xác định thường là khách hàng hoặc lượng
hàng hóa yêu cầu. Đặc biệt là trong trường hợp người lập kế hoạch kinh doanh
muốn lập kế hoạch cho khoảng thời gian xa hơn so với dữ liệu hiện có. Thơng
thường, một cơng ty thường muốn lập kế hoạch vận chuyển trong một vài tháng sắp
tới nhằm xây dựng chiến lược kinh doanh phù hợp. Các tuyến đường được lập trước
này sẽ được sử dụng vào thực tế khi các yêu cầu của khách hàng xuất hiện. Vì tính
ứng dụng thực tiễn cao như vậy nên lớp bày toán dạng này được nghiên cứu rất
nhiều trong thời gian gần đây. Ví dụ như những nghiên cứu của M. Gendreau, G.
Laporte, và R. S´eguin và của Bianchi .
1

0F

2

1F

Ngoài ra các yếu tố chưa biết có thể là thời gian vận chuyển và thời gian
phục vụ. Những yế tố này, đặc biệt là thời gian vận chuyển, thường xuất hiện trong
1

Xem thêm tại: M. Gendreau, G. Laporte, và R. S´eguin. Stochastic vehicle routing. European
Journal of Operational Research, 88(1):3–12, 1996
2
Xem thêm tại: L. Bianchi và các cộng sự. Metaheuristics for the vehicle routing problem with
stochastic demands. Technical Report TR-12-04, IDSIA, Galleria 2, Manno, 6928, Switzerland,
2004


Trang 15

thực tế tại các thành phố lớn và có mật độ giao thông cao như Hà Nội và TP. Hồ
Chí Minh. Trên thực tế, sự biến đổi của thời gian vận chuyển này có thể ảnh hưởng
rất lớn đến kết quả của các phương án đã được xây dựng cho bài toán. Sự ảnh
hưởng của việc thời gian vận chuyển chưa xác định có thể được làm đơn giản hóa
nếu chúng ta có thể giả sử là thời gian di chuyển gần như là hằng số trong những
khoảng thời gian trong ngày. Điều này là hoàn toàn hợp lý do mật độ giao thông tại
các thành phố thường rất cao ở giờ cao nhưng lại bình thường ở những khung giờ
khác. Bài toán tiêu biểu cho những bài toán dạng này, VRP với chi phí phụ thuộc
thời gian (TDVRP) sẽ được giới thiệu ở phần 1.2.4.
Cuối cùng, trong nhiều trường hợp, yếu tố chưa xác định cần phải tính đến là
do sai số trong mơ hình bài tốn. Vấn đề này xuất hiện do sai số tính tốn khoảng
cách giữa các khách hàng. Vì chi phí để tính tốn chính xác khoảng cách giữa các
khách thường là rất cao đối với một lượng khách hàng lớn, nên trong nhiều trường
hợp, một mơ hình bài tốn được xây dựng dựa trên khoảng cách xấp xỉ giữa các
đỉnh. Do đó khi áp dụng vào thực tế, thời gian vận chuyển có thể lớn hơn hoặc nhỏ
hơn so với thời gian tính tốn lý thuyết. Hơn nữa thời gian di chuyển cịn phụ thuộc
vào tài xế. Khi tuyến đường vận chuyển là cố định, tài xế sẽ “thạo đường” hơn và
thời gian di chuyển nhanh hơn. Còn khi các khách hàng thay đổi nhiều dẫn đến các
tuyến là khơng cố định thì việc đánh giá chính xác thời gian di chuyển sẽ trở thành
vấn đề lớn.

1.2. Các dạng cơ bản bài toán VRP
Trong phần này, em sẽ giới thiệu qua về một số dạng cơ bản của bài toán
VRP. Những bài toán này được sinh ra bằng việc thêm các đặc trưng vào các thành
phần cơ bản như mơ hình đường đi, loại xe vận tải, và các khách hàng.


Trang 16

1.2.1. Bài toán VRP với hạn chế về trọng tải xe (CVRP)
Đây là dạng cơ bản nhất của bài tốn VRP trong đó chỉ tính đến giới hạn về
trọng tải của mỗi xe. Chú ý là nếu khơng có ràng buộc này, và giới hạn rằng tất cả
mọi khách hàng phải được phục vụ trên một tuyến đường, bài tốn CVRP trở thành
bài tốn Người du lịch. Từ đó có thể thấy bài tốn CVRP là bài tốn NP-khó.
Dạng cơ bản của bài tốn CVRP có các đặc điểm sau:


Yêu cầu của khách hàng được biết trước



Việc phân phối không bị chia nhỏ, tức là một khách hàng chỉ được phục

vụ bởi tối đa một xe.


Đội xe là đồng nhất và chỉ có duy nhất một kho chứa hàng.

Mục tiêu là tối thiểu chi phí vận chuyển, thường được biểu diễn bằng quãng
đường cần phải đi để phục vụ tất cả các khách hàng.
Bài tốn có thể được biểu diễn như là một bài toán đồ thị với G = (V,A) là
một đồ thị đầy đủ, V = {0, ..., n} là tập các đỉnh (đỉnh i = 1,...,n biểu diễn khách
hàng, đỉnh 0 là kho chứa) và A là tập các cạnh (đường nối tất cả các khách hàng và
kho chứa). Số không âm di gắn với mỗi đỉnh biểu diễn số lượng hàng hóa yêu cầu,
cùng với ma trận chi phí cij (biểu diễn khoảng cách hoặc thời gian) tương ứng với
mỗi cạnh trong A. Nếu ma trận chi phí là khơng đối xứng chúng ta có bài tốn
CVRP khơng đối xứng.
Bài tốn CVRP là dạng được nghiên cứu nhiều nhất của bài toán VRP.
Những nghiên cứu này sau đó thường được mở rộng để áp dụng cho các dạng bài

tốn khác có nhiều ý nghĩa thực tiễn hơn.

1.2.2. VRP với hạn chế về thời điểm phục vụ (VRPTW)
Trong bài tốn VRPTW vẫn cịn ràng buộc về trọng tải của xe chứa ngoài ra
với khách hàng thứ i có tương ứng với một khoảng thời gian [ai, bi], được gọi là


Trang 17

khung thời gian phục vụ, và khoảng thời gian si là thời gian cần thiết để phục vụ.
Dạng này của bài toán thường thấy trong thực tế khi khách hàng khó mà có thể rảnh
rỗi trong mọi lúc để chờ được phục vụ. Khung thời gian có thể có đơn vị là phút,
giờ hay ngày, tuy nhiên nó thường tương ứng với thời gian lập kế hoạch vận
chuyển. Ví dụ như khi ta cần lập kế hoạch cho 5 ngày tới thì với khung thời gian là
vài giờ, việc tính tốn sẽ dễ hơn nhiều so với khi khung thời gian là vài phút.
Hạn chế về thời điểm phục vụ này có thể ở dạng mềm tức là thời điểm phục
vụ nếu bị vi phạm sẽ phải chịu một chi phí phạt nào đó, hoặc ở đạng cứng tức là
không cho phép xe vận tải đến sau khung thời gian tương ứng và xe đến sớm phải
đợi cho đến khi khách hàng sẵn sàng. Trên thực tế, dạng thứ hai được quan tâm
nhiền hơn và đã có rất nhiều nghiên cứu trong vài thập kỷ gần đây. Do đó khi nhắc
đến VRPTW, ta ngầm hiểu ràng buộc về thời điểm phục là không thể vi phạm.
Một điểm nữa cần chú ý là với hạn chế khung thời gian phục vụ, ta đã đã
ngầm định một thứ tự các khách hàng cần được phục vụ. Khi đó, bài tốn VRPTW
là khơng đối xứng dù ma trận giá có đối xứng hay khơng. Tức là một lộ trình cho
bài tốn khơng thể giữ nguyên kết quả khi đi theo thứ tự ngược lại dù chi phí đi lại
có là đối xứng hay khơng.
Bài tốn VRPTW cũng là bài tốn NP-khó, thậm chí để tìm một phương án
chấp nhận được của bài toán với số lượng xe vận tải xác định cũng đã là một bài
tốn NP-khó . Ràng buộc về thời điểm phục vụ trong bài toán VRPTW cần nhiều
3

2F

thay đổi phức tạp trong các cách tiếp cận để giải chính xác bài tốn CVRP do đó kết
quả tính tốn thường tồi hơn nhiều.

1.2.3. VRP với nhận và chuyển hàng kết hợp (VRPPD)
Trong dạng này, đội xe phải phục vụ một tập các yêu cầu về vận chuyển
hàng hóa từ nơi này đến nơi khác. Trong đó, hàng hóa khơng nhất thiết phải tập
3

Xem chi tiết tại: M.W.P. Savelsbergh. Local search in routing problems with time windows.
Annals of Operations Research, 4:285–305, 1985.


Trang 18

trung ở kho chứa mà có thể phân bố ở tại các nút của mạng lưới đường đi. Một yêu
cầu vận chuyển ở dạng này của bài toán là lấy hàng từ điểm nguồn và vận chuyển
đến điểm đích. Với dạng này của bài tốn có thể vận chuyển hàng hóa hoặc đưa đón
người. Nếu cần vận chuyển người (ví dụ: xe bus đưa đón nhân viên) bài tốn ln
có gắn với khung thời gian giới hạn phục vụ ở cả điểm nhận hàng và giao hàng,
đồng thời phải có ràng buộc thể hiện sự khơng hài lịng của khách hàng khi phải chờ
quá lâu ở điểm nhận hàng và ràng buộc thể hiện giới hạn về thời gian vận chuyển.
Nếu vận chuyển hàng hóa, bài tốn có thể đơn giản hơn so với vận chuyển người,
tùy thuộc vào đặc tính của q trình vận chuyển. Ví dụ như khi vận chuyển thư tín,
thư ln được vận chuyển đi từ bưu điện và mọi thư thu gom tại các hòm thư đều
đưa về bưu điện. Hơn nữa, trong nhiều trường hợp có thể giả sử là việc giao hàng
ln được thực hiện trước khi nhận hàng, khi đó sẽ làm giảm sự ảnh hưởng của ràng
buộc về trọng tải của xe.

1.2.4. VRP với chi phí phụ thuộc thời gian (TDVRP)
Đây là một dạng mở rộng của dạng VRPTW trong mơi trường thành phố.
Trong bài tốn TDVRP, chi phí trên mỗi cạnh của đồ thị thay đổi theo thời gian.
Ràng buộc này thường thấy trong thực tế khi việc đi lại từ điểm này đến điểm kia
trong thành phố phụ thuộc rất nhiều vào khoảng thời gian trong ngày. Đối với dạng
này của bài toán cần phải chú ý đến việc xác định sự phụ thuộc thời gian của hàm
chi phí. Một cách tiếp cận cho bài tốn này là chia nhỏ thời gian trong ngày thành
4

3F

các khoảng nhỏ, thời gian (hay chi phí vận chuyển) thay đổi khi chuyển từ khoảng
thời gian này sang khoảng thời gian khác. Tuy nhiên cách tiếp cận này có thể dẫn
đến trường hợp trái với cảm nhận thơng thường, đó là khi một xe đi sau có thể đến
nơi trước một xe đi trước đó dù 2 xe đi cùng một tuyến đường. Do đó hàm thời gian
vận chuyển phải được xây dựng một cách cẩn thận trước khi bắt đầu tính tốn.

4

Xem thêm: S. Ichoua, M. Gendreau, và J.-Y. Potvin. Vehicle dispatching with time-dependent travel times.
European Journal of Operational Research, 144(2):379–396, 2003


Trang 19

1.2.5. VRP với yêu cầu đặt hàng chưa biết (DVRP)
Bài toán VRP với yêu cầu đặt hàng chưa biết là một mở rộng khác của bài
toán VRP chuẩn, với nhiều ràng buộc tương ứng với nhiều ứng dụng trong thực tế.
Trong đó, u cầu phục vụ khơng hồn tồn được biết trước khi bắt đầu một tuyến

đương, yêu cầu này có thể xuất hiện trong q trình phân phối. Bởi vì một u cầu
mới có thể xuất hiện khi xe đang trong quá trình vận chuyển, quãng đường cần phải
tính tốn lại ngay lập tức. Thơng thường trong thực tế sẽ có một hệ thống thơng tin
giữa tài xế và trung tâm điều vận (nơi tính tốn lộ trình vận chuyển). Khi đó, trung
tâm có thể thơng tin cho tài xế về nơi đến tiếp theo nhờ đó tại mỗi thời điểm tài xế
có thể biết một phần về lộ trình phải đi tiếp theo.
Một ứng dụng điển hình cho bài toán này là hệ thống đưa thư, khi mà bưu
kiện được thu gom ở chỗ khách hàng và mang trở về trung tâm cho xử lý và chuyển
hàng. Trong q trình thu gom có thể xuất hiện u cầu mới của khách hàng, khi đó
lộ trình cần phải được tính tốn lại cho phù hợp.

1.3. Mơ hình tốn học cho bài toán VRP
Đối với họ bài toán VRP, rất nhiều mơ hình tốn học được xây dựng để phục
vụ cho việc thích kế các thuật tốn thích hợp. Trong phần này, em sẽ giới thiệu về
mơ hình tốn học cho bài tốn VRP cơ bản. Nhìn chung, có nhiều mơ hình tương
ứng với các dạng khác nhau của bài tốn VRP, ở đây, em xin trình bày mơ hình
tốn học lưu lượng xe vận tải (Vehicle flow model) được sử dụng nhiều để giải
quyết bài toán CVRP. Mặc dù thuật toán Đa bầy kiến mà em nghiên cứu khơng sử
dụng trực tiếp mơ hình tốn học này nhưng việc tìm hiểu một mơ hình cơ bản sẽ
giúp hiểu rõ hơn về bài tốn VRP. Từ đó sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hoặc cải
tiến các thuật toán sau này. Ở phần sau em sẽ trình bày mộ số kỹ thuật cải tiến cũng
như cách kết hợp thêm các ràng buộc hoặc thay đổi hàm mục tiêu để áp dụng cho
các dạng bài toán khác.


Trang 20

1.3.1. Mơ hình lưu lượng xe vận tải
Mơ hình toán học phổ biến nhất được xây dựng cho bài tốn VRP là mơ hình
lưu lượng xe vận tải (vehicle flow model). Trong mơ hình này, một tập các biến

nhận giá trị nguyên tương ứng với mỗi cạnh của đồ thị để biểu diễn số lần cạnh đó
được đi qua bởi một xe. Mơ hình này phù hợp cho trường hợp hàm chi phí của bài
tốn là tổng của các chi phí tương ứng với mỗi cạnh. Đồng thời các ràng buộc của
bài tốn có thể được biểu diễn một cách rõ ràng thông qua tập các cạnh và chi phí
tương ứng. Tuy nhiên, mơ hình này khơng thể giải quyết được nhiều vấn đề phức
tạp trong thực tế, ví dụ như khi chi phí của một lộ trình phụ thuộc vào toàn bộ các
đỉnh được thăm hoặc thay đổi tùy thuộc vào loại xe được sử dụng cho lộ trình đó.
Do đó khi có thêm ràng buộc, sẽ rất khó để sử dụnng mơ hình này vào việc thiết kế
thuật toán.
Để đơn giản ở đây ta quy ước mọi đồ thị được nhắc đến như là G(V, A) hay
G(V, E) nếu khơng nói rõ đều là đồ thị đầy đủ.
Đầu tiên mơ hình lưu lượng xe vận tải được xây dựng cho bài tốn CVRP
khơng đối xứng. Mơ hình này có dạng hai chỉ số (mỗi biến x được đặc trưng bởi cặp
chỉ số i, j) tức là sử dụng O(n2) biến nhị phân x để chỉ ra nếu một xe đi qua một
cạnh trên phương án tối ưu. Nói cách khác, biến xij bằng 1 nếu cạnh (i, j) ∈ A nằm
trong phương án tối ưu, và giá trị 0 nếu ngược lại.
G = (V, A) là một đồ thị đầy đủ, V = {0... n} là tập các đỉnh (các đỉnh i = 1...
n biểu diễn các khách hàng còn đỉnh 0 để chỉ kho chứa) và A là tập các cạnh (đường
nối tất cả các khách hàng và kho chứa).
Một giá trị không âm cij tương ứng với mỗi cạnh (i, j) ∈ A biểu diễn chi phí
phải trả khi đi từ đỉnh i đến đỉnh j. Nói chung, cạnh vịng (i, i) là khơng được phép
xuất hiện trong phương án nên cij = +∞ với mọi i ∈ V.


Trang 21

Mỗi khách hàng thứ i (i = 1… n) tương ứng với một số không âm di biểu
diễn số hàng hóa được yêu cầu, với kho chứa có d0 = 0. Với mỗi tập đỉnh S ⊆ V ta
có d(S) =

biểu diễn tổng yêu cầu của tập S đó.

Ở kho chứ có một tập K xe vận tải, mỗi xe có trọng tải C. Để đảm bảo khả
năng thực hiện của bài toán, ta giả sử di ≤ C với mỗi i = 1… n. Mỗi xe chỉ thực hiện
nhiều nhất một lộ trình, và ta giả sử là K là không nhỏ hơn Kmin là số lượng xe nhỏ
nhất cần thiết để phục vụ tất cả mọi khách hàng.
Với mỗi tập S ⊆ V \ {0}, ta có r(S) là số lượng nhỏ nhất xe cần để phục vụ

tất cả mọi khách hàng trong tập S. Ta có r(V \ {0}) = Kmin. Thông thường, r(S)

được thay bằng giá trị cận dưới:
Mơ hình VRP1:

(1.1)

Thỏa mãn:
(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)
(1.7)


Trang 22

Ràng buộc (1.2) và (1.3) là ràng buộc về bậc của một đỉnh, nghĩa là mỗi đỉnh
chỉ có một đường đi vào và một đường đi ra (hay mỗi khách hàng chỉ được phục vụ
một lần). Tương tự, ràng buộc (1.4) và (1.5) thể hiện bậc của đỉnh tương ứng với
kho chứa.
Ràng buộc (1.6) thể hiện sự liên kết trong phương án tối ưu và ràng buộc về
trọng tải của xe. Ràng buộc này quy định với mỗi nhát cắt (V \ S, S) tương ứng với

một tập khách hàng S bất kỳ thì tập S được đi qua bởi khơng ít hơn r(S) cạnh ( với
r(S) là số lượng xe vận tải nhỏ nhất cần thiết để phục vụ tập S).

Mơ hình trên có thể thay đổi để áp dụng cho bài tốn đối xứng SCVRP. Khi
đó lộ trình là khơng có hướng, tức là với mỗi cạnh (i, j) ∈ A, i, j ≠ 0, chỉ một trong
hai biến xij hoặc xji được sử dụng (ta chọn xij với i < j). Khi đó có thể có lộ trình cho
một xe mà chỉ phục vụ một khách hàng, tức là sẽ có cạnh (0, i) hoặc (j, 0) được đi
hai lần, do đó x0j và xi0 có thể nhận giá trị 0, 1, 2.
Mơ hình VRP2:
(1.8)

Thỏa mãn:
(1.9)

(1.10)

(1.11)
(1.12)
(1.13)


Trang 23

Mơ hình hai chỉ số này có thể được chuyển về dạng một chỉ số (ij thay bằng
cạnh e ∈ E) ta có mơ hình tương đương sau (trong đó δ(i) là tập cách đỉnh kề với
đỉnh i).
Mơ hình VRP3:
(1.14)

Thỏa mãn:
(1.15)

(1.16)

(1.17)
(1.18)
(1.19)

Mơ hình lưu lượng xe vận tải được sử dụng rộng rãi cho dạng cơ bản SCVRP
và ACVRP của bải toán VRP. Tuy nhiên đối với những dạng phức tạp hơn của bài
tốn, mơ hình này có một vài điểm khơng thích hợp. Thứ nhất là nó chỉ có thể sử
dụng khi chi phí của cả phương án là tổng của chi phí trên từng cạnh đã đi qua.
Ngồi ra mơ hình này cũng khơng cho biết xe nào xe đi qua một cạnh xác định. Do
đó nó khơng phù hợp nếu chi phí phụ thuộc vào loại xe được sử dụng.
Để tăng thêm tính ứng dụng cho mơ hình này, ta có thể biến đổi mơ hình để
chỉ ra loại xe đi trên từng cạnh (quãng đường giữa hai khách hàng). Khi đó có thể
thêm nhiều ràng buộc tương ứng với các bài tốn thực tế. Một mơ hình như vậy
được gọi là mơ hình lưu lượng xe vận tải ba chỉ số. Mơ hình này sửa dụng O(n2K)
biến nhị phân x: biến xijk biểu diễn số lần cạnh (i, j) ∈ A được đi qua bởi xe thứ k (k
= 1… K) trong phương án tối ưu. Ngồi ra cịn có O(nK) biến nhị phân y: biến yik (i