Giải một số bài toán về số nguyên tố với sự trợ giúp mathematica

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------

PHẠM THÁI HỒNG

GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
VỚI SỰ TRỢ GIÚP MATHEMATICA

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH LÊ HÙNG SƠN

Hà nội-2016


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này là kết quả sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội. Bản thân tôi đã được tiếp cận với những kiến thức chuyên
sâu về các môn học trong tốn ứng dụng, đặc biệt là những ứng dụng cơng nghệ
thơng tin để giải quyết các bài tốn liên quan trong lý thuyết lẫn thực tiễn giảng dạy.
Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô đã
tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 2013B Tốn tin, cùng các phịng ban liên quan
của Viện đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, các đồng nghiệp, bạn bè và gia
đình đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong qua trình học tập nghiên
cứu.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Lê Hùng Sơn,

người đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khơng thể tránh
khỏi những thiết sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp bổ sung
của quý thầy cô giáo cũng như các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn
nữa.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Thái Hoàng

1


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

học sinh

SGK

sách giáo khoa

CNTT

công nghệ thông tin

THCS

trung học cơ sở

THPT

trung học phổ thông

2


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn .......................................................................................................... 1
Danh mục các chữ viết tắt ................................................................................. 2
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 5
I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 5
II. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận văn ............................... 6
III. Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả ..................................... 6
IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 7
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA .............. 8
1.1 Giới thiệu về phần mềm Mathematica ......................................................... 8
1.2 Các phép tính tốn học với số, biểu thức và hàm ........................................ 10
1.2.1 Tính tốn số ............................................................................................ 10
1.2.2 Tính tốn với biểu thức .......................................................................... 13
1.2.2.1 Các phép tính đại số trên các biểu thức .......................................... 13
1.2.2.2 Đặt tên và tính tốn các biểu thức ................................................... 14
1.2.3 Tính toán với hàm .................................................................................. 20
1.2.3.1 Một số hàm số cơ bản có sẵn .......................................................... 20
1.2.3.2 Định nghĩa các hàm ......................................................................... 21
1.3 Vẽ đồ thị các hàm, các biểu thức ................................................................. 24
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ
HÌNH HỌC ......................................................................................................... 29

2.1 Số nguyên tố ................................................................................................. 29
2.2 Giải phương trình và hệ phương trình.......................................................... 30
2.2.1 Giải phương trình ................................................................................... 30
2.2.2 Giải hệ phương trình .............................................................................. 36
2.3 Phép tính tích phân ....................................................................................... 40
2.3.1 Phép tính giới hạn .................................................................................. 40
2.3.2 Phép tính vi phân .................................................................................... 41

3


2.3.2.1 Đạo hàm của hàm và biểu thức ....................................................... 41
2.3.2.2 Tiếp tuyến........................................................................................ 43
2.3.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số ................................................. 44
2.2.3 Phép tính tích phân ................................................................................. 46
2.2.3.1 Tích phân bất định ........................................................................... 46
2.2.3.2 Tích phân xác định .......................................................................... 47
2.4 Vẽ đồ thị ....................................................................................................... 49
2.4.1 Vẽ đồ thị trên mặt phẳng ........................................................................ 49
2.4.1.1 Vẽ đồ thị hàm xác định từng khúc .................................................. 51
2.4.1.2 Vẽ đồ thị hàm tham số .................................................................... 51
2.4.2 Vẽ đồ thị trong không gian ba chiều ...................................................... 53
2.4.2.1 Lệnh Plot3D .................................................................................... 53
2.4.2.2 Lệnh ListPlot3D .............................................................................. 55
2.4.3 Vẽ đồ thị dạng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0 ................................................. 55
2.4.4 Vẽ miền đúng của bất đẳng thức ............................................................ 59
CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VỚI SỰ TRỢ
GIÚP CỦA PHẦN MỀM MATHEMATICA .................................................. 62
3.1 Kiến thức cơ bản về số nguyên tố ................................................................ 62
3.1.1 Định nghĩa .............................................................................................. 62

3.1.2 Tính chất................................................................................................. 62
3.1.3 Cách nhận biết một số nguyên tố ........................................................... 62
3.1.4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố ................................................... 62
3.1.5 Số các ước số và tổng các ước số của một số ........................................ 62
3.1.6 Số nguyên tố cùng nhau ......................................................................... 63
3.1.7 Sàng Ơ-RA-TƠ-XTEN (Euratosthène) .................................................. 63
3.2 Giải một số bài tốn về số nguyên tố thường gặp trong chương trình THCS với
sự trợ giúp của Mathematica ................................................................................ 64
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..........................��n từ bài 3 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường trung học thực hành Đại
học Sư Phạm Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014):
Giải cặp nghiệm nguyên tố cũng nhau của hệ phương trình:

 x 2  4 x  3 y  0

4
 x  2   25 y  450
Bài giải
- Sử dụng lệnh giải hệ phương trình trong Mathematica ta tìm được nghiệm:

76


Solve[{𝑥^2 + 4𝑥 − 3𝑦 == 0, (𝑥 + 2)^4 − 25𝑦 == 450}, {𝑥, 𝑦}]
{{𝑥 → −7, 𝑦 → 7},
{𝑥 → 3, 𝑦 → 7},
1
62
(−6 − 5ⅈ√6), 𝑦 → − },
3
9

1
62
{𝑥 → (−6 + 5ⅈ√6), 𝑦 → − }}
3
9
{𝑥 →

x  3
- Do cặp nghiệm cần tìm là cặp nghiệm nguyên tố cùng nhau nên: 
y  7
Bài 14 (Cải tiến từ bài 3 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường trung học thực hành Đại
học Sư Phạm Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014):
Cho biểu thức: P 

3x  5 x  11
x 2


x x 2
x 1

2
 1 với x  0; x  1 . Tìm
x 2

các giá trị nguyên tố của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên tố.
Bài giải
𝑃 = (3𝑥 + 5𝑥 1⁄2 − 11)⁄(𝑥 + 𝑥 1⁄2 − 2) − (𝑥 1⁄2 − 2)⁄(𝑥 1⁄2 − 1)
+ 2⁄(𝑥^(1⁄2) + 2) − 1
−1 −

−2 + √𝑥
−1 + √𝑥

+

2
2 + √𝑥

+

−11 + 5√𝑥 + 3𝑥
−2 + √𝑥 + 𝑥

Simplify[𝑃]
7 + √𝑥
2 + √𝑥
Apart[%]
1+

5
2 + √𝑥

Để giá trị biểu thức P là số nguyên tố thì

x  2 là ước của 5

Mà Ư(2) = 1; 5
Mặt khác:
Nên

x 22

x 25

x  0, x  1

 x  9 (loại do 9 không phải số nguyên tố)

77


Vậy khơng có x ngun tố để giá trị biểu thức P là số nguyên tố.
Bài 15 (Cải tiến từ bài 2 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chun Lê Q
Đơn – Bình Định năm học 2013 – 2014):
Nghiệm của hệ phương trình sau có ngun tố cùng nhau không?

 2
x 2 


 5 
 x  2

1
7

y  4 30
2
2


y  4 15

Bài giải
- Ta sử dụng Mathematica để tìm kết quả trước:
Solve[{2⁄(𝑥 + 2) + 1⁄(𝑦 − 4) == 7⁄30 , 5⁄(𝑥 + 2) − 2⁄(𝑦 − 4) == 2⁄15}, {𝑥, 𝑦}]
{{𝑥 → 13, 𝑦 → 14}}
Vì 13, 14 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên nghiệm của hệ nguyên tố cùng nhau.
- Bài làm:

 2
x 2 


 5 
 x  2

1
7

y  4 30
2
2

y  4 15

 4
x 2 



 5 
 x  2

2
7

y  4 15
2
2

y  4 15

9
 9
 x  2  15

 1  7  2
 y  4 30 x  2

1
 1
 x  2  15

 1  7  2  1
 y  4 30 15 10

 x  2  15

 y  4  10

 x  13

 y  14

Vì 13, 14 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên nghiệm của hệ nguyên tố cùng nhau.

78


KẾT LUẬN
Sau một thời gian nghiên cứu đề tài tốt nghiệp “Giải một số bài toán về số
nguyên tố với sự trợ giúp Mathematica”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo GS. TSKH.
Lê Hùng Sơn, cá nhân tơi đã hồn thành các nội dung và yêu cầu ban đầu đặt ra đối
với đề tài. Cụ thể như sau:
-

Trình bày các phép toán số học đối với số, biểu thức và hàm, các yêu cầu đặt
ra cũng như các các ứng dụng của nó trong thực tiễn.

-

Trình bày các khái niệm cơ bản và ứng dụng của Mathematiac trong việc giải
quyết các bài tốn về số ngun tố, giải phương trình, giải hệ phương trình, vi
tích phân, ...

-

Tìm hiểu các ứng dụng liên quan trong việc vẽ đồ thị các hàm cơ bản trong
không gian hai chiều và ba chiều.

-

Nghiên cứu về lý thuyết số nguyên tố và giải một số bài toán cơ bản thường
gặp trong các đề thi.

Tuy nhiên, đề tài vẫn còn tồn tại một số hạn chế:
-

Chưa nêu được sâu sắc ưu điểm và nhược điểm của từng lệnh Mathematica

-

Chưa nêu được ứng dụng rộng rãi trong hình học cơ bản.

-

Do thời gian và trình độ có hạn nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Tác
giả rất mong nhận được sự đóng góp và lượng thứ.

-

Xây dựng giáo án dạy học.

-

Sáng tác đề bài tập cho học sinh.

Hướng phát triển đề tài
-

Nghiên cứu xây dựng bài giảng, đề kiểm tra hay đề thi về Toán THCS cho
nhiều vấn đề khác nhau.

-

Xây dựng bài giảng về các dạng bài tập toán cho học sinh học cơ bản và những
học sinh giỏi cần bồi dưỡng kiến thức nâng cao.

Kiến nghị
*Đối với Đảng và Nhà nước:

79


- Đẩy mạnh cơng tác cải cách hành chính, xây dựng bộ máy quản lý nhà nước
và đội ngũ cán bộ cơng chức vững mạnh, có năng lực đáp ứng u cầu của đổi mới.
- Có chế độ chính sách phát triển giáo dục, đầu tư cơ sở vật chất đầy đủ để
phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy của giáo viên cũng như việc tiếp thu kiến thức
của học sinh, sinh viên.
*Đối với các cơ sở giáo dục:
- Khuyến khích, động viên cán bộ giáo viên nghiên cứu ứng dụng công nghệ
thông tin trong dạy học
- Tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh tiếp cận được với các gói chương
trình trợ giúp dạy và học.
- Tổ chức bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho cán bộ giáo viên để nâng cao
trình độ.

80

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Hùng Sơn (2002), Lập trình tính tốn với Mathematica 4.0, Nhà xuất bản
Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.
2. Stephen WolFram (2003), The Mathematica Book – 5th editon, WolFram
Media, Cambridge University Press, Third Edition.
3. />4. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo (2013), SGK Toán 7, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt
Nam.
5. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo (2013), SGK Toán 8, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt
Nam.
6. Tạp chí tốn tuổi thơ (2014), Tổng tập Toán tuổi thơ năm 2014 (Trung học cơ
sở), Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam
7. Tạp chí tốn tuổi thơ (2015), Tổng tập Toán tuổi thơ năm 2015 (Trung học cơ
sở), Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam
8. Tuyển tập đề thi vào lớp 10 toàn quốc các năm 2006 đến 2015

81