Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE
VÀ ĐA TẠP SEGRE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE

VÀ ĐA TẠP SEGRE
Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS. TS. Đoàn Trung Cường

Hà Nội – 2020


1

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tịi, học hỏi
của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đồn Trung Cường. Mọi kết
quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn
cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội
đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được cơng bố trên bất kì một
phương tiện nào. Tơi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan.
Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên

Phạm Anh Vinh


2

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tơi xin được tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS. TS.

Đồn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm ra hướng nghiên cứu.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một
thời gian dài. Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt q trình
học tập và nghiên cứu.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ thuộc phịng Đại số, Viện Tốn học
vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn. Ngồi ra, trong q
trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tơi cịn nhận được nhiều sự quan
tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị và bạn bè trong Viện Tốn
học Việt Nam.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ
sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam trong q trình thực hiện luận văn.
Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã ln sát cánh,
động viên và khích lệ tơi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên

Phạm Anh Vinh


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh mục các hình vẽ và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản

22

2.1 Đa tạp nối của các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Đa tạp Veronese và Định lý Alexander-Hirschowitz

39

3.1 Đa tạp Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre

58

4.1 Đa tạp Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72

3


4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Số hiệu hình vẽ

Tên hình vẽ

Trang

1.1

Đường cong X = V (x3 − y 2 )

16

1.2

Đường cong Y = V (x3 −x2 −x−1−y)

17

2.1

Hợp nối của một điểm và một đường

23

thẳng trong P2
2.2

Đường cát tuyến của một đường tròn

29

2.3

Đường thẳng cắt đường conic tại hai

30

điểm
3.1

Giuseppe Veronese (1854-1917)

40

3.2

Đường cubic xoắn

43

4.1

Corrado Segre (1863-1924)

59

4.2

Hyperbolic paraboloid

62


5

MỞ ĐẦU
Đa tạp cát tuyến là một chủ đề được các nhà hình học đại số trường phái Ý

nghiên cứu từ thế kỉ 19. Gần đây những quan tâm của các nhà hình học đại số
đối với đa tạp cát tuyến tăng khá nhanh. Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một
số chuyên ngành toán học như thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinh
học. . . Thơng thường việc tính tốn với đa tạp cát tuyến rất khó. Do đó, đối với
nhiều bài toán thay cho việc xét đa tạp cát tuyến của một đa tạp bất kỳ, người ta
hạn chế xét đa tạp cát tuyến của một số đa tạp đặc biệt như đa tạp Veronese, đa
tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese ...
Đa tạp cát tuyến thứ s của một đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariski
của hợp tất cả các khơng gian tuyến tính đi qua s điểm trên X và được kí hiệu
là σs (X). Tính tốn số chiều của σs (X) là một trong những câu hỏi cơ bản
đầu tiên trong việc nghiên cứu các đa tạp cát tuyến. Bằng việc xem σs (X) như
hợp nối của X với σs−1 (X), ta có thể chứng minh được rằng dim σs (X) ≤

min (s dim X + s − 1, N ), và giá trị min (s dim X + s − 1, N ) được gọi là
chiều kì vọng của σs (X). Ta nói đa tạp X là s- khuyết nếu số chiều của σs (X)
khác với số chiều kì vọng của đa tạp đó. Đối với các đa tạp Veronese, Alexander
và Hirschowitz đã đưa ra phân loại các đa tạp khuyết. Trong khi đó, kết quả về
tính tốn số chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre và đa tạp Segre-Veronese
chỉ đạt được trong một số trường hợp đặc biệt.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả
về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre, đồng thời
tính tốn một số ví dụ minh hoạ. Luận văn được chia làm ba chương như sau:
Chương 1: Chương này được dành để nêu tóm tắt một số khái niệm và tính
chất của đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh và không gian tiếp xúc để phục vụ cho việc
trình bày trong các chương sau.


6

Chương 2: Trong chương này chúng tơi trình bày định nghĩa và các tính chất
của hợp nối của các đa tạp xạ ảnh. Trong đó, tính chất liên quan đến không gian
tiếp xúc của đa tạp hợp nối ở Định lý 2.1.10 có thể xem như là tính chất quan
trọng nhất. Trong tiết 2 của chương này, chúng tơi trình bày về đa tạp cát tuyến,
là một trường hợp đặc biệt của đa tạp hợp nối. Đồng thời, ở cuối chương, chúng
tôi phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11). Đây là một kết quả nổi tiếng
trong việc nghiên cứu số chiều của đa tạp cát tuyến. Từ Bổ đề Terracini, ta có
thể dẫn đến các hệ quả quan trọng như Mệnh đề 3.2.4 và Định lý 4.2.5, cho ta
mối quan hệ giữa số chiều của đa tạp cát tuyến của các đa tạp Veronese và đa
tạp Segre với giá trị hàm Hilbert của một lược đồ điểm kép.
Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày về đa tạp Veronese. Trong
đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh của không gian tiếp xúc của đa tạp
Veronese. Trong tiết hai, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Alexander
- Hirschowitz phân loại các đa tạp cát tuyến là khuyết (Định lý 3.2.8 và Định lý
3.2.9).
Chương 4: Chương 4 được dành để trình bày về đa tạp cát tuyến của đa tạp
Serge. Kết quả chính của chương là kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đa
tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13).
Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta luôn ký hiệu k là một trường đóng đại
số. Với mỗi n ≥ 0, ta ký hiệu An , Pn là các không gian afin, không gian xạ ảnh
trên k .


CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học
đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái
niệm này bằng một số ví dụ.
Tài liệu tham khảo chính của chương này là các quyển sách [1] và [2].

1.1

Đa tạp đại số

Tập không điểm của mỗi đa thức f ∈ A := k[x1 , . . . , xn ] là

V (f ) = {P ∈ An |f (P ) = 0} ⊆ An .
Nếu T là một tập con của A, ta định nghĩa tập không điểm của T là

V (T ) = {P ∈ An |f (P ) = 0 với mọi f ∈ T }.
Một tập con Y của An được gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập con T ⊆ A
sao cho Y = V (T ). Những tập đại số thoả mãn các tính chất sau
- Nếu X, Y là hai tập đại số thì X ∪ Y cũng là một tập đại số.
- Nếu {Xα }α∈∧ là một họ các tập đại số bất kì thì
- Tập ∅ và An cũng là các tập đại số.
7

α∈∧ Xα

cũng là tập đại số.


8

Với các tính chất này, lớp các tập đại số thoả mãn các tiên đề về tập đóng của
một tơ pô trên không gian afin An , được gọi là tô pô Zariski. Tập mở đối với tô
pô này là phần bù của các tập đại số.
Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) là một tập đóng bất
khả quy của An , nghĩa là, tập đó khơng là hợp của hai tập con đóng thực sự.
Với mỗi tập các đa thức T ⊆ A, ký hiệu I là iđêan sinh bởi T . Khi đó

V (T ) = V (I). Ngược lại, với bất kì một tập con Y ⊆ An , ta định nghĩa iđêan
của Y trong A bởi

I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = 0 với mọi P ∈ Y }.
Mối quan hệ giữa iđêan và tập không điểm được mô tả trong Định lý không
điểm Hilbert như sau.
Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert). [1, Định lý 4.6] Cho một iđêan

I ⊂ A. Nếu một đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I), thì
f r ∈ I với một số ngun r > 0 nào đó.
Định lý khơng điểm Hilbert cho ta một mối quan hệ quan trọng giữa các đa
tạp afin trong An với các iđêan nguyên tố của vành đa thức A. Ta sẽ thấy rõ điều
đó thơng qua hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.1.3. Nếu J là một iđêan căn trong A, thì I(V (J)) = J . Khi đó có
một tương ứng 1-1 giữa các iđêan căn và các tập đại số. Qua tương ứng này
các đa tạp afin tương ứng với các iđêan nguyên tố. Hơn nữa, các iđêan cực đại
tương ứng với các điểm đóng.
Dưới đây là một số ví dụ về tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin).
Ví dụ 1.1.4. (a) Tập An là bất khả quy vì nó tương ứng với iđêan 0, là nguyên
tố trong A.


9

(b) Nếu f là một đa thức bất khả quy trong k[x, y] thì V (f ) là bất khả quy. Ta
gọi đa tạp afin Y := V (f ) là một đường cong phẳng. Nếu f có bậc d thì ta
nói Y là đường cong bậc d. Tổng qt hơn, nếu f là một đa thức bất khả quy
trong A = k[x1 , . . . , xn ] thì ta cũng nhận được một đa tạp afin Y = V (f ),
được gọi là một siêu mặt.

(c) Xét X là tập các ma trận cỡ 3 × 3 hạng 1 trên trường k . Khi đó, X sẽ là một
đa tạp afin trong A9 . Thật vậy, một ma trận P bất kì thuộc X sẽ có dạng


x1 x2 x3 



P =
x4 x5 x6  .


x7 x8 x9
Vì hạng của P bằng 1 nên mọi định thức con cấp 2 của P đều bằng 0, tức

xi xj − xk xl = 0 với i + j = k + l, i, j, k, l = 1, . . . , 9.
Do đó X = V ({xi xj − xk xl |i + j = k + l}) là một tập đại số. Để chứng
minh X là bất khả quy, ta xét ánh xạ sau

θ : A3 × A3 → X,
 
 a1 
 

((a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 )) → 
a2  . b1 b2 b3 .
 
a3
Vì mỗi ma trận hạng 1 bất kì đều có thể viết được thành tích của hai véctơ
trong không gian véctơ k 3 nên ánh xạ θ là một toàn cấu, hay X = θ(A3 ×

A3 ). Vì A3 × A3 ∼
= A6 là tập bất khả quy với tô pô Zariski nên X cũng sẽ
là tập bất khả quy. Vì vậy X là một đa tạp.
Định nghĩa 1.1.5. Số chiều của một tập đại số X , kí hiệu dim(X), là

dim(X) := sup{n| tồn tại một dãy Z0 ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Zn
các tập con đóng bất khả quy của X}.


10

Định nghĩa 1.1.6. Nếu X ⊆ An là một đa tạp đại số thì vành k[X] = A/I(X)
được gọi là vành tọa độ của X .
Mệnh đề 1.1.7. [2, Proposition 1.7] Chiều của một tập đại số X ⊆ An bằng số
chiều Krull của vành tọa độ k[X].
Đa tạp xạ ảnh là tập con của không gian xạ ảnh, được định nghĩa tương tự
như đa tạp afin.
Định nghĩa 1.1.8. Một điểm P = (a0 : . . . : an ) ∈ Pn được gọi là một không
điểm của một đa thức thuần nhất f ∈ S := k[x0 , . . . , xn ] nếu

f (a0 , . . . , an ) = 0.
Khi đó ta cũng viết f (P ) = 0.
Đặt V (f ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0}. Với mỗi tập con T ⊂ S gồm các đa thức
thuần nhất, đặt

V (T ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0 với mọi f ∈ T }.
Các tập V (T ) ⊆ Pn như vậy được gọi là các tập đại số (xạ ảnh).
Tương tự như các tập đại số trong không gian afin, các tập đại số xạ ảnh thoả
mãn các tiên đề của tập đóng của một tô pô. Tô pô này trên Pn được gọi là tơ pơ
Zariski, trong đó các tập mở là phần bù của các tập đại số.

Định nghĩa 1.1.9. Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) là một tập đại
số bất khả quy của Pn .
Tương tự như với trường hợp afin, số chiều của một tập đại số xạ ảnh là độ
dài lớn nhất các dãy tập đóng bất khả quy lồng nhau trong tập đại số đó.
Với mỗi tập con X ⊂ Pn , xét iđêan I(X) sinh bởi các đa thức thuần nhất

{f ∈ S|f là thuần nhất và f (P ) = 0 với mọi P ∈ Y }.


11

Iđêan I(X) là thuần nhất và được gọi là iđêan định nghĩa của X . Ta định nghĩa
vành tọa độ thuần nhất của X là A(X) = S/I(X). Tương tự trường hợp afin,
ta có định lý khơng điểm xạ ảnh như sau.
Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh). Cho một iđêan thuần
nhất I ⊆ S := k[x0 , . . . , xn ]. Nếu một đa thức thuần nhất f ∈ S thỏa mãn

f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I) trong Pn , thì f r ∈ I với một số nguyên r > 0 nào
đó.
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là một đa tạp trong Pn . Xét ánh xạ

θ : An+1 \ {(0, . . . , 0)} → Pn ,
(a0 , . . . , an ) → [a0 : . . . : an ].
Khi đó ta định nghĩa nón afin của X là

C(X) = θ−1 (X) ∪ {(0, . . . , 0)}.
Nón afin C(X) là tập không điểm trong không gian afin An+1 của iđêan I(X),
do đó là một đa tạp afin.
Tiếp theo, chúng tơi nhắc lại khái niệm hàm chính quy trên một đa tạp và
ánh xạ chính quy (cấu xạ) giữa các đa tạp.

Giả sử X là một đa tạp afin hoặc xạ ảnh. Chú ý rằng trên X cũng có tơ pơ
Zariski cảm sinh từ không gian afin hoặc không gian xạ ảnh chứa X .
Định nghĩa 1.1.12. Một hàm f : X → k là chính quy tại điểm P ∈ X nếu
tồn tại một lân cận mở U của điểm P và các đa thức thuần nhất g, h ∈ S =

k[x0 , . . . , xn ], có cùng bậc, sao cho với mọi điểm Q = (a0 : . . . : an ) ∈ U ,
h(a0 , . . . , an ) = 0 và f (a0 , . . . , an ) = g(a0 , . . . , an )/h(a0 , . . . , an ). Ta nói f
là chính quy trên X nếu nó chính quy tại mọi điểm thuộc X .
Nếu hàm f : X → k là chính quy tại Q = (a0 : . . . : an ) ∈ X thì giá trị

f (a0 , . . . , an ) = g(a0 , . . . , an )/h(a0 , . . . , an ) như trong định nghĩa trên không


12

phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : . . . : an ) của Q, do đó ta ký hiệu

f (Q) := f (a0 , . . . , an ).
Ký hiệu O(X) là tập hợp tất cả các hàm chính quy trên X . Với phép cộng
và nhân thông thường, O(X) là một vành. Nếu P là một điểm của X , ta định
nghĩa vành địa phương của P trên X , kí hiệu là OX,P , là tập hợp gồm các mầm
hàm của các vành chính quy trên X tại điểm P . Nói cách khác, một phần tử
của OX,P là một bộ < U, f > trong đó U là một tập con mở của X chứa P , f
là một hàm chính quy trên U và ta đồng nhất hai cặp < U, f > và < V, g >
nếu f = g trên giao U ∩ V . Tập hợp OX,P thực sự là một vành địa phương với
iđêan cực đại duy nhất gồm các hàm triệt tiêu tại P .
Tập hợp K(X) = ∪P ∈X OX,P trong đó ta đồng nhất < U, f >=< V, g >
nếu f = g trên giao U ∩ V . Với phép cộng và nhân của các mầm hàm, tập

K(X) là một trường và được gọi là trường hàm của đa tạp X . Các phần tử của

K(X) được gọi là các hàm hữu tỷ trên X .
Định nghĩa 1.1.13. Cho X, Y là hai đa tạp xạ ảnh (hoặc X, Y là hai đa tạp
afin). Một cấu xạ ϕ : X → Y là một ánh xạ liên tục đối với tô pô Zariski
sao cho với mỗi tập mở V ⊆ Y và với mỗi hàm chính quy f : V → k , hàm

f ◦ ϕ : ϕ−1 (V ) → k là chính quy.
Hợp của hai cấu xạ cũng là một cấu xạ. Đặc biệt, một cấu xạ ϕ : X → Y
là một đẳng cấu giữa hai đa tạp nếu nó có cấu xạ ngược ψ : Y → X với

ψ ◦ ϕ = idX và ϕ ◦ ψ = idY .
Định nghĩa 1.1.14. Cho X, Y là các đa tạp xạ ảnh hoặc đa tạp afin. Một ánh
xạ hữu tỷ ϕ từ X vào Y là một lớp tương đương gồm các cặp < U, ϕU >, với

U là một tập mở khác rỗng của X và ϕU là một cấu xạ từ U vào Y , và hai cặp
< U, ϕU > và < V, ϕV > là tương đương nếu ϕU = ϕV trên U ∩ V , khi đó ta
kí hiệu ϕ : X

Y . Hơn nữa ánh xạ hữu tỷ ϕ được gọi là trội nếu với mỗi cặp

< U, ϕU > thì ảnh của ϕU là trù mật trong Y .


13

Khác với cấu xạ giữa hai đa tạp, hợp của hai ánh xạ hữu tỷ chưa chắc đã là
một ánh xạ hữu tỷ. Tuy nhiên nếu hai ánh xạ hữu tỷ là trội thì hợp của chúng sẽ
là một ánh xạ hữu tỷ. Vì vậy chúng ta thường sẽ quan tâm đến các ánh xạ hữu
tỷ trội giữa hai đa tạp. Khi đó ta có khái niệm sau.
Định nghĩa 1.1.15. Một ánh xạ hữu tỷ trội ϕ : X

Y được gọi là một

ánh xạ song hữu tỷ nếu tồn tại một ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y

ψ◦ϕ : X

X và ϕ ◦ ψ : Y

X sao cho

Y là các ánh xạ đồng nhất trên các tập mở,

trù mật của X và Y . Nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ từ X vào Y thì ta nói
hai đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỷ.

1.2

Không gian tiếp xúc

Không gian tiếp xúc là một đối tượng quan trọng để tìm hiểu các tính chất
hình học của một đa tạp. Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các
tính chất cơ bản của không gian tiếp xúc của các đa tạp. Tài liệu tham khảo
chính của mục này là quyển sách [3].
Trước hết ta xét X là một siêu mặt trong không gian afin An , tức

X = V (f ) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ An |f (x1 , . . . , xn ) = 0},
trong đó f ∈ k[x1 , . . . , xn ] là một đa thức bất khả quy.
Định nghĩa 1.2.1. Cho P = (a1 , . . . , an ) ∈ X . Không gian tiếp xúc với siêu
mặt X tại điểm P được xác định bởi
n

TP X =

n

(x1 . . . , xn ) ∈ A |
i=1

∂f
(P )(xi − ai ) = 0 .
∂xi

Tập TP X là một tập con tuyến tính của khơng gian afin An và P ∈ TP X .
Định nghĩa 1.2.2. Điểm P ∈ X là trơn (hay chính quy) nếu

∂f
∂xi (P )

= 0 với

một i nào đó. Nếu trái lại, P được gọi là một điểm kì dị của X . Ta ký hiệu tập
các điểm trơn trên X là Xsmooth , tập các điểm kỳ dị là Xsing .


14

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay

• P là một điểm trơn của X khi và chỉ khi TP X là một siêu phẳng afin.
• P là một điểm kì dị của X khi và chỉ khi TP X = An .

• Xsmooth = X \ Xsing .
Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một đa tạp trong An . Ta nói một điểm tổng qt
của X thỏa mãn một tính chất P nào đó nếu tập các điểm S thỏa mãn tính chất

P chứa một tập mở, trù mật trong An .
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng một điểm tổng quát của một siêu mặt afin luôn là
điểm trơn.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử X = V (f ) là một siêu mặt afin trong An . Khi đó tập

Xsmooth là mở và trù mật trong X .
Chứng minh. Ta có tập Xsing := X \ Xsmooth được cho bởi

Xsing = V

f,

∂f
∂f
,...,
∂x1
∂xn

⊂ An .

Rõ ràng Xsing là một tập đóng nên Xsmooth là mở. Vì X là một tâp bất khả quy
nên để chứng minh Xsmooth là trù mật, ta chỉ cần chứng minh Xsmooth = ∅, hay

Xsing = X . Giả sử Xsing = X , khi đó
∂f
(P ) = 0 với mọi P ∈ X và với mọi i = 1, . . . , n.

∂xi
∂f
∈ (f ) với mọi i = 1, . . . , n. Vì
Theo Định lý khơng điểm Hilbert 1.1.2,
∂xi
∂f
∂f
deg
< deg(f ) nên suy ra
= 0 với mọi i = 1 . . . , n.
∂xi
∂xi
Nếu char(k) = 0 thì f là đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiết f là một đa
∂f
thức bất khả quy. Giả sử char(k) = p > 0. Vì
= 0 với i = 1 . . . , n nên f
∂x
i
là một đa thức theo xp1 , . . . , xpn , nói cách khác

αj (xp1 )j1 . . . (xpn )jn .

f (x1 , . . . , xn ) =
j=(j1 ,...,jn )


15

Vì k là trường đóng đại số nên tồn tại các số βj ∈ k sao cho βjp = αj với mọi

j = (j1 . . . , jn ). Do đó, ta có
βjp (xp1 )j1 . . . (xpn )jn

f (x1 , . . . , xn ) =
j=(j1 ,...,jn )

p



βj xj11 . . . xjnn  ,

=
j=(j1 ,...,jn )

nên f không là đa thức bất khả quy, trái với giả thiết ban đầu. Tóm lại, tập

Xsmooth ln khơng rỗng.
Bây giờ ta sẽ định nghĩa không gian tiếp xúc đối với một đa tạp afin bất kỳ.
Trước hết, với mỗi đa thức f ∈ k[x1 , . . . , xn ] và một điểm P = (a1 , . . . , an ) ∈
An , thành phần tuyến tính của f tại P là
n
(1)
fP

:=
i=1

∂f
(P )(xi − ai ).

∂xi

Định nghĩa 1.2.5. Không gian tiếp xúc của đa tạp afin X ⊆ An tại một điểm

P ∈ X là tập hợp
(1)

V (fP ) ⊆ An .

TP X :=
f ∈I(X)

Ví dụ 1.2.6. Xét đường cong X = V (x3 − y 2 ) ⊂ A2 và điểm P = (1, 1) ∈ X .
Ta đặt f (x, y) := x3 − y 2 ∈ k[x, y]. Ta có


 ∂f = 3x2 ,
∂x

 ∂f = −2y.
∂y
Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.5, ta có

TP X = V (3.12 )(x − 1) + (−2.1)(y − 1) = V (3x − 2y − 1).


16

Hình 1.1: Đường cong X = V (x3 − y 2 )

Mặt khác, nếu ta xét tại gốc tọa độ O = (0, 0) thì

∂f
∂f
(0, 0) =
(0, 0) = 0.
∂x
∂y
Khơng gian tiếp xúc của X tại gốc O là TO X = A2 .
Ví dụ 1.2.7. Xét đường cong Y = V (x3 − x2 − x − 1 − y) ⊂ A2 . Ta đặt

g(x, y) := x3 − x2 − x − 1 − y ∈ k[x, y]. Ta có


 ∂g = 3x2 − 2x − 1,
∂x

 ∂g = −1.
∂y

∂g
(P ) = −1 = 0 với mọi điểm P ∈ Y . Do đó mọi điểm trong Y đều
∂y
là điểm trơn.

Như vậy


17

Hình 1.2: Đường cong Y = V (x3 − x2 − x − 1 − y)

Ta có mối liên hệ giữa số chiều của các không gian tiếp xúc của một đa tạp
affine X với chiều Krull của một đa tạp affine X như sau.
Mệnh đề 1.2.8. [3, Definition 3.6, Corollary 3.24] Ta có khẳng định sau

dim X = min{dim TP X|P ∈ X}.
Từ mệnh đề trên, ta thấy rằng dim X ≤ dim TP X với mọi P ∈ X .
Mệnh đề 1.2.9. Hàm X → N, P → dim TP X là một hàm nửa liên tục trên
trong tơpơ Zariski, tức với mọi r ∈ N thì tập

Sr (X) := {P ∈ X| dim TP X ≥ r}
là đóng.
Chứng minh. Giả sử I(X) = (g1 , . . . , gm ). Khi đó ta có
m
(1)

V (fP ) ⊂ An .

TP X =
i=1

Ta có

dim TP X = n − rank

∂gi
(P )
∂xj

,
m×n


18

và do đó

P ∈ Sr (X) nếu và chỉ nếu rank

∂gi
(P )
∂xj

≤ n − r.
m×n

Điều này tương đương với mọi định thức con cỡ (n − r + 1) × (n − r + 1) của
ma trận

∂gi
∂xj (P ) m×n

đều bằng 0. Do đó Sr (X) là tập đóng.

Mệnh đề 1.2.10. Cho một đa tạp afin X ⊆ An . Tồn tại một tập mở, trù mật

X0 ⊆ X sao cho
dim TP X = dim X với mọi P ∈ X0 .
Chứng minh. Ký hiệu r = dim X . Khi đó theo Mệnh đề 1.2.8, ta có Sr (X) =

X và Sr+1 (X) = X . Vì Sr+1 (X) là đóng nên ta lấy X0 := X \ Sr+1 (X). Ta
thấy rằng X0 là mở và khác rỗng vì nếu X0 = ∅ thì dim TP X = r với mọi

P ∈ X , điều này mâu thuẫn với giả thiết dim X = r. Tập X0 thỏa mãn yêu cầu
của mệnh đề.
Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa điểm trơn và điểm kì dị của một đa tạp
afin X như sau.
Định nghĩa 1.2.11. Một điểm P ∈ X được gọi là một điểm trơn của X nếu

dim TP X = dim X . Ngược lại, P được gọi là một điểm kì dị của V .
Nếu X = V (f ) là một siêu mặt trong An thì định nghĩa trên tương đương
với Định nghĩa 1.2.2. Thật vậy, ta có

∂f
(P ) = 0 với i nào đó,
∂xi
tương đương với

rank

∂f
(P )
∂xi

= 1.
1×n

Do đó

dim TP X = n − rank

∂f
(P )
∂xi

= n − 1 = dim X.
1×n


19

Như ở phần trên, ta xem xét không gian tiếp xúc TP X như là một không gian
afin con của An cho bởi các đa thức bậc 1. Mặt khác, trong Định nghĩa 1.2.5,
nếu ta đặt xi = xi − ai với mọi i = 1, . . . , n thì hệ phương trình
n

i=1

∂f
(P )xi = 0, với f ∈ I(X),
∂xi

sẽ xác định cho ta một không gian véctơ con trong k n . Vì vậy, thơng qua phép
đổi biến trên, ta cịn có thể xem TP X có cấu trúc của một k -khơng gian véctơ.
Từ đó ta có thể đưa ra một định nghĩa khác của TP X thông qua iđêan cực
đại mP trong vành địa phương OX,P .
Iđêan cực đại mP được xây dựng như sau. Trước tiên, ta xét iđêan cực đại

MP ⊂ k[x1 , . . . , xn ] tương ứng với điểm P ∈ An ,

MP = {f ∈ k[x1 , . . . , xn ]|f (P ) = 0} ⊂ k[x1 , . . . , xn ].
Iđêan MP cảm sinh một iđêan cực đại trong vành tọa độ k[X] là MP =
MP
⊂ k[X]. Sau khi lấy địa phương hóa MP MP , ta nhận được iđêan cực
I(X)
đại mP trong vành địa phương OX,P ,

mP =

f
∈ k(X)|f (P ) = 0, g(P ) = 0
g

⊂ OX,P ⊂ k(X).

Định lý 1.2.12. Tồn tại một đẳng cấu giữa các không gian véctơ

TP X ∼
=

mP
m2P

∗

:= Homk

mP
,k .
m2P

Chứng minh. Ta giả sử P là điểm gốc tọa độ, tức P = (0, . . . , 0), và MP =

(x1 , . . . , xn ). Ta xét (k n )∗ là không gian đối ngẫu của k n . Khi đó các tọa độ
x1 , . . . , xn là các dạng tuyến tính trên k n , nên ta có thể xem nó như một cơ sở
của (k n )∗ . Với mọi đa thức f ∈ k[x1 , . . . , xn ], ta có hàm tuyến tính sau
n
(1)
fP

=
i=1

∂f
(0)xi ∈ (k n )∗ .
∂xi


20

Khi đó ta có ánh xạ tuyến tính
(1)

d : MP → (k n )∗ , f → fP .
Dễ thấy ánh xạ trên là tồn ánh vì d(xi ) = xi với mọi i = 1, . . . , n và {xi } là
một cơ sở của (k n )∗ . Hơn nữa ta có ker(d) = MP2 vì với mọi f ∈ MP , ta có
(1)

fP = 0 nếu và chỉ nếu tất cả các hạng tử của f đều có bậc ≥ 2, tức f ∈ MP2 .
Từ đó, ta suy ra

MP /MP2 ∼
= (k n )∗ .
Với V ⊂ An là một đa tạp afin, vì TP X ⊂ k n , ta có tồn cấu

(k n )∗ → (TP X)∗ .
Suy ra ta có tồn cấu sau

D : MP → MP /MP2 ∼
= (k n )∗ → (TP X)∗ .
Dễ thấy kerD = MP2 + I(X). Từ đó, ta suy ra
2
MP /MP ∼
= MP /(MP2 + I(X)) ∼
= (TP X)∗ .

Cuối cùng, để hoàn thành chứng minh, ta chỉ cần chứng minh rằng
2
MP /MP ∼
= mP /m2P .

Thật vậy, ta có MP ⊂ mP , nên ta có đơn cấu
2

ϕ : MP /MP → mP /m2P .
Khi đó ϕ là tồn cấu vì với f /g ∈ mP , ta đặt c := g(0) = 0 và

f f
− =f
c

g
Do đó ϕ

f
c

=

f
g

1 1
−
c g

∈ m2P .

∈ mP /m2P . Vậy ta có điều phải chứng minh.


21

Hệ quả 1.2.13. Nếu f : X

Y là một ánh xạ song hữu tỷ, mà ở đó nó sẽ ánh

xạ một lân cận mở X0 của một điểm P ∈ X đẳng cấu với một lân cận mở Y0
của f (P ), thì TP X ∼
= Tf (P ) Y .
Định nghĩa 1.2.14. Nếu f : X → Y là một ánh xạ chính quy với f (P ) = Q

∗

thì ánh xạ f : mQ /m2Q → mP /m2P sẽ cho ta một đồng cấu

df (P ) : TP X → TQ Y,
được gọi là vi phân của f tại P .
Định nghĩa 1.2.15. Cho một đa tạp xạ ảnh X ⊆ Pn và một điểm P ∈ X .
Lấy một điểm Q ∈ C(X) bất kỳ trong nón afin của X sao cho P là lớp tương
đương của Q. Không gian tiếp xúc xạ ảnh của X tại P được định nghĩa là bao
xạ ảnh của không gian tiếp xúc afin của nón afin C(X) tại điểm Q. Nếu không
gây nhầm lẫn, ta sẽ dùng ký hiệu TP X để chỉ không gian tiếp xúc xạ ảnh trong
trường hợp X là đa tạp xạ ảnh.


CHƯƠNG 2
Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
của đa tạp cát tuyến. Trong phần đầu, chúng tôi xét đến một đối tượng tổng quát
hơn, đó là hợp nối của các đa tạp. Trong phần sau của chương, chúng tôi giới
thiệu một trong những kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu số chiều của
đa tạp cát tuyến, có tên là Bổ đề Terracini.
Các khái niệm và kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu
[4], [5], [6], [7], và [8].

2.1

Đa tạp nối của các đa tạp

Trong tiết này ta xét khái niệm hợp nối (join) của hai đa tạp xạ ảnh và một
số tính chất của chúng. Đa tạp cát tuyến (secant variety) là trường hợp riêng của

các hợp nối.
Trong không gian xạ ảnh Pn , qua hai điểm phân biệt P, Q ln có duy nhất
một đường thẳng, ta ký hiệu là P, Q . Nếu P ≡ Q, ta ký hiệu P, Q = {P }.
Với hai tập con X, Y ⊆ Pn , ta định nghĩa hợp nối giữa X, Y như sau.
Định nghĩa 2.1.1. Hợp nối của hai tập X, Y là bao đóng Zariski của hợp các

22


23

đường thẳng nối các điểm của X với các điểm của Y , cụ thể hơn, đó là tập

J(X, Y ) :=

P, Q .
P ∈X,Q∈Y

Ví dụ 2.1.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , xét tập X chỉ gồm một điểm P và tập

Y là một đường thẳng.

Hình 2.1: Hợp nối của một điểm và một đường thẳng trong P2

Hợp nối J(X, Y ) là cả mặt phẳng xạ ảnh P2 . Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh
P2 ⊆ J(X, Y ).
Xét một điểm bất kì M ∈ P2 . Nếu M thuộc X hoặc Y thì M ∈ J(X, Y ). Giả
sử M nằm ngoài Y . Khi đó đường thẳng qua P và M ln cắt Y tại duy nhất
một điểm Q nên M ∈ P, Q ⊂ J(X, Y ).
Chú ý 2.1.3. (a) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể định nghĩa khái niệm hợp

nối trong không gian afin.
(b) Nếu X, Y là hai đa tạp xạ ảnh thì hợp nối J(X, Y ) cũng là một đa tạp xạ
ảnh (xem [9, Proposition 6.13, Example 8.1]).
Không gian afin An được xét như là một không gian tô pô với tô pô Zariski.
Trên tập An = k n cũng vẫn có phép cộng do cấu trúc không gian véc tơ của k n .