Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

A. Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
a

b

ab

;

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức: a c b d
(BĐT: Bunhiacopxki);
a
b
c
d
2

2

2

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
+

a

b

a

2

a

b

c

d

.

; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab

b

0.

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu y a f ( x ) thì min y = a khi f(x) = 0.
2

Nếu

2

y

a

f (x)

thì max y = a khi f(x) = 0.

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài tốn 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a)

A

4x

2

4x

11

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c)

C

x

2

2x

y

2

4y

7

Giải:
a)

A

4x

2

4x

11

4x

2

2

4x

1

10

Min A = 10 khi

x

2x

1

1

10

10

.

2

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36

-36

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c)

C

x

2

2x

y

2

4y

7

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
1

2


Bài tốn 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21

21

Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7

7

Max B = 7 khi x = 1,

1

y

.

2

Bài tốn 3: Tìm GTNN của:
a) M x 1 x 2 x 3
b)

x

4

2

N

2x

1

3 2x

1

2

Giải:
a)

M

x

1

x

Ta có:

2

x

x

1

3

x

x

4

4

x

1

4

x

x

1

4

x

3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)
x

2

x

3

x

2

3

x

x

2

3

x

b)

N

2x

Đặt

1

t

2

x

3

.

2

2

3 2x

2x

1

2

2x

thì t

1

1

3 2x

1

2

0

Do đó N = t2 – 3t + 2 =

(t

3
2

)

1

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

N

4

t

0

t

2

N

1
4

khi

t

3
2

2x

1

3
2

2x

Do đó

.

4

3

1

3

3

x

2

2

2x

1

5
4

3
2

2

x

4

0 hay

x

3

1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi

0 hay 1

x

1
4

2


Vậy min

1

N

5

x

4

hay

1

x

4

.

4

Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
x

2

y

2

2

x

2

2

y

xy

2
1

M

2

2
2

(x

2

1

(x

2

x

2

y )

2

y

2

2

2

y )

2

x2 + y2 + 2xy = 1

Ngoài ra: x + y = 1

2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó

x

2

y

1

2

và

x

2

y

2

1

2

Ta có:

M

1

(x

2

x

2
2

y )

và

(x

2

2

1

2

y )

2

Do đó

M

1

1

y

1 1
.
2 2

M

2

và dấu “=” xảy ra

x

y

4

1
4

1
2

Vậy GTNN của

M

1

x

4

y

1
2

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra:

t2 – 3t + 1 ≤ 0

3


t

2

2.

3

.t

9

5

4

4

2

0

2

t

3

5

2

4

5
2
3

t

2

5

2
5

5

2

3

t

3

t

2
3

2

5
2

Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN của x2 + y2 =

3

5
2

GTNN của x2 + y2 =

3

5
2

Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
P = a + b + c – ab – bc – ca

Ta có:

= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì

0

a,b, c

1

)

Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a

0; 1 – b

0; 1 – c

0;

(1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc
P = a + b + c – ab – bc – ac 1 a b c 1
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý

0

0;1

Vậy GTLN của P = 1.
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2
2(x2 + y2)
Mà

(x + y)2

(x + y)2

x2 + y2 = 1

(x + y)2

2
4

x

- Xét

x

y

y

2

2

x

x

2

2

x

Dấu “=” xảy ra
- Xét

y

y

y
x

x

y

x

y

2

y

2

2

2

Dấu “=” xảy ra

x
x

Vậy x + y đạt GTNN là

y

2

2

2

2

x

2

y

y

.

2

Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2

27.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2

2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx

0

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx)
x+y+z

3(x2 + y2 + z2)

0

81

9 (1)
x2 + y2 + z2

Mà xy + yz + zx

27 (2)

Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx

36.

Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2
P

A

A

2

B

(A

1)

2

Vì B

27

B

2

B

2
1

1

B

2

-14

P

1
2

-14

2

Vậy min P = -14 khi

x
x

Hay

x

13; y

13; z

y
2

z
y

1

2

1
z

2

27

.

Bài toán 9:
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y =

10

. Tìm giá trị của x và y

để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
5


x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

Do đó:

= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
P

45

và dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của P = 45

x+y=

x+y=

10

10

và xy = 2.

và xy = 2.

Bài tốn 10:
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
y=2–x

Ta có: x + y = 2

Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + 4 – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4
= 2(x – 1)2 + 2

2

Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài tốn 1:
Tìm GTLN và GTNN của:

4x

y

x

3

2

.

1

Giải:
* Cách 1:

y

4x
x

3

2

2

4x

1

x

Ta cần tìm a để
Ta phải có:

ax

a

ax

2

4x

2

3

a

1

3

a

là bình phương của nhị thức.
a

'

4

a (3

a)

1

0
a

4

4x

4

- Với a = -1 ta có:
y

4x
x

3
1

1

x

2

x

2

(x

1

1

x

6

2)
2

1

2


y

1.

Dấu “=” xảy ra khi x = -2.

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:
y

4x

3

x

-4 x

4

1

2

4x

x

2

1

(2 x

4

1

Dấu “=” xảy ra khi x =

x
1

2

1)

2

4

1

.

2

Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1

.

2

* Cách 2:
Vì x2 + 1

0 nên:

y

4x
x

2

3

yx

2

4x

y

3

0

(1)

1

y là một giá trị của hàm số
- Nếu y = 0 thì (1)

(1) có nghiệm
3

x

4

- Nếu y

0 thì (1) có nghiệm

'

4

y( y

y

1

0

y

4

0

1

y

4

3)

0

(y

hoặc

y

1

0

y

4

0

1) ( y

4)

0

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1

.

2

Bài tốn 2: Tìm GTLN và GTNN của:

x
A
x

2

2

x

1

x

1

.

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
x
a
x

2

2

x

1

x

1

(1)
2

1

Do x2 + x + 1 = x2 + 2. .x +
2

Nên (1)

1

3

4

4

ax2 + ax + a = x2 – x + 1

x

1

3

2

4

0

(a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
Trường hợp 2: Nếu a

1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

là:
7

0

, tức


(a

1)

2

4(a

(3 a

1) ( a

1) ( a

3)

1)

0

(a

1

0

a

1

2a

3(a

2 )( a

1

2a

2)

0

1)

3

Với

1

a

hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là

3

Với

1

a

(a

1)

a

2(a

1)

2 (1

x

1
a)

thì x = 1

3

Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của

1

A

khi và chỉ khi x = 1

3

GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
A

(a

b

1) ( a

2

4

2

b )
a

.
b

1

1

1

2m

n

3

b) Cho m, n là các số nguyên thỏa

. Tìm GTLN của B = mn.

Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
a

2

b

2

A

2
(a

2

a b
b

2

2ab

1) ( a

2

2

(vì ab = 1)
4

2

b )
a

2(a

b

4

1)

b

a

2

(a

b

a

4

Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và
a

4

Ta có: (a + b) +
a

Mặt khác:
Suy ra:

a

A

2

b
(a

2

(a

b

2

4

b ).
a

ab

a

)

(a

b)

b

.
b

4
b

2
4

b

4

b

)

(a

b)

2

4

2

8

b

Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì

1

1

1

2m

n

3

nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong

hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số
m, n cùng dương.
8


1

1

1

2m

n

3

Ta có:

3(2 m

n)

N* nên n – 3

Vì m, n

2mn

(2 m

3)( n

-2 và 2m – 3

3)

9

-1.

Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
2m

+

3

n

3

9

2m

+

3

n

1

3

3

2m

+

1

3

n

m

2

n

12

m

3

n

6

9

3

1

và B = mn = 2.12 = 24
và B = mn = 3.6 = 18

m

6

n

4

và B = mn = 6.4 = 24

Vậy GTLN của B = 24 khi

m

2

n

12

hay

m

6

n

4

Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu
thức:

x

A

2

x

y

2

.

y

Giải:
Ta có thể viết:

x

A

2

y

x

2

x

2

2 xy

y

x

y

y

Do x > y và xy = 1 nên:

(x

A

y)

2

x

2.

x

y

2

.

2

Dấu “=” xảy ra

x

A

(x

2

y)
x

2 xy

x

2 xy
y

2

y

y

x

x

y

y
2

2
x

x
y

y
2

2

2

y

x

y

2

x

y

2

2

Từ đó:

2 xy

x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có:

Vì x > y
A

2

x

(x

y)

2

4

(x

y)

2

(Do x – y > 0)

y

3

2
x

Vậy GTNN của A là 3

y

xy

x

2
1

1

y

2
1

x

hay
2

Bài tốn 5: Tìm GTLN của hàm số:

1

y
1

y
x

2

1

.
x

1

Giải:
Ta có thể viết:

1

y
x

2

1
x

2

1
x

1

3

2

4

9

2

Thỏa điều kiện xy = 1
2


2

Vì

x

1

3

3

2

4

4

. Do đó ta có:

y

4

. Dấu “=” xảy ra

x

3

Vậy: GTLN của

4

y

tại

1

.

2

1

x

3

2

Bài tốn 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức:

f (t )

1

t

.

4t

Giải:
Ta có thể viết:

f (t )

1

t

4t

4t

Vì t > 0 nên ta có:

2t

1

(2t

2

1)

4t

f (t )

Dấu “=” xảy ra

2

4t

(2t

4t

1)

2

1

4t

1

1

0

1

t

2

Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại

1

t

.

2

Bài tốn 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2

t
g (t )

2

t

1

.

1

Giải:
Ta có thể viết:

t

g (t )

t

2

2

1

2

1

1

t

2

1
2

g(t) đạt GTNN khi biểu thức
t

Ta có: t2 + 1

đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN

2

1

min (t2 + 1) = 1 tại t = 0

1

min g(t) = 1 – 2 = -1

Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của
biểu thức:

1

E

1

3

x (y

z)

1

3

y (z

3

x)

z (x

.
y)

Giải:
Đặt

a

1

;b

x

Do đó:

1

1

;c

y

z

1

1

x

y

1

abc

1

xyz
a

b

x

y

(a

b ).x y

Tương tự:

x

y

c (a

b)

y + z = a(b + c)
z + x = b(c + a)

10


1

E

x

1

.

3

1

(y

z)

1

3

(z

x)

a
c

b (c

a)

c

c

a

1

.

3

(x

y)

1

a

2

b

2

c

2

c .

c)
b

z

3

b .
a (b

b

1

1

3

a .

Ta có:

y

1

.

3

c(a

b)

b

3

a

b

c

c

y

z

a

a

b

(1)

2

Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
x
a

b

y

z

c
2

y

a

z

x

z

;b

x

2

Khi đó,

a

VT

y

x

;c

2

b

c
a

2

y

a

z

b

x

z

x

b

c

c

2x

1

y

x

1

z

x

1

z

y

3

2

x

y

2

x

z

2

y

z

2

y

x

y

2y

z

2z
1

1

1

3

3

2

2

Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
a (a

b
b

c)

b (a

c

a

b
c

2

b

c)

c (a

a

2

c

b
a

2

a

c)

3

b

b

c

(a

b

c)

2

3

3

abc

3

3
E

b

c

c

a

a

b

2
3

GTNN của E là

2

2

2

khi a = b = c = 1.

2

Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:

2x

3y

.

a
2x

y

(*).

2

Giải:
Từ

2x

3y

a(2x+y+z) = 2x+3y

a
2x

y

2

2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]
=>

4a

2

(a

Do đó ta có:

4a

1)

2

(a

2

2a

(a
2

3)
1)

8a

2

2

(vì 4x2+y2 = 1)
(a

10

3)
0

2

a
a

2

2

2a
4a

1
5

a
0

11

2

6a

9


(a

1) ( a

5)

a

5

0

a

1

0

(Vì a + 5 > a – 1)

0

* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2
Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0

1

a

5

y=1

(x; y) = (0;1)

* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
12 x

8y

10

6x

4y

5

6x

y

5

4
2

Thay vào (*) ta được:

4x

6x

2

5

1

4
100 x

2

60 x

9

0

3

x

4

y

10

5

Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.
GTNN của a là -5 khi

3

x

4

; y

10

.

5

Bài toán 10:

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
2

2

M=

1

x

1

y

x

y

Giải:
2

2

Ta có: M =

1

x

1

y

x

=

x

y

1

2

x

2

2

y

1

2

y

x

= 4 + x2 + y2 +

2

y
2

x y

2

2

2

4

2

x

2

y

2

1

1

2

x y

2

Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:
2

x

y

0

x

y

2

xy
1

Mà x + y = 1 nên 1

2

1

xy

2

2

x y

xy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

2

(1)

16

1

y

2

Ngoài ra ta cũng có:

(x

y)
2(x

2

2

0

x
2

y )

2

(x

y

2

y)

2 xy
2

2(x

2(x
2

2

2

y )

2

y )
1

2 xy

x

2

3
( x; y )

y

2

(vì x + y = 1)
12

4
;

10

5


x

2

1

2

y

(2)

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

1

y

2

Từ (1) và (2) cho ta:
M

4

2

(x

1

2

y ) (1

2

x y

Do đó:

)

2

1

4

(1

25

16)

2

2

25

M

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi
x

y

1
2

Vậy GTNN của

25

M

khi và chỉ khi

x

1

y

2

.

2

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC.
Bài tốn 1: Tìm GTLN của hàm số:

y

x

2

4

.

x

Giải:
* Cách 1:
Điều kiện:

x

2

0

4

x

0

2

x

4 (* )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Chọn

a

x

2;c

1; b

4

x;d

1

a

b

c

d

với

(a2 + b2)(c2 + d2)

.

2

x

4

Ta có:
2

y

2

x
y
y

2

2

2
x

4

4
2

4

y

x
x

.2

0

y

x

2

4

x

x

* Cách 2:
y

x

2

4

4

x

. 1

4

x

x

2

1

2

2

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
Ta có:

2

2

2

Vì y > 0 nên ta có:
Dấu “=” xảy ra

2

x

x

13

2

3

(Thỏa mãn (*))


Điều kiện:

x

2

0

4

x

0

2

x

4

Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.
Ta có:

y

Do

x

cho ta:

2

2

(x

2

x

y

4

x

2

x

2

0

4

x

0

2

x)
2

(x

2

(x

2 )( 4

x)

y

2

2

2

(x

2 )( 4

x)

nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm

4

2 )( 4

Do đó

2

2)

(4

2

4

x)

2

x

x

4

Dấu “=” xảy ra

x

3

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.
Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

y

3

x

1

4

Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và ( (

x

1;

5

x)

ta có:
2

y

2

(3 .

<=>

y

x

2

=> y

1

4. 5

x)

2

(3

2

2

4 ).

2

1

5

x

100

100
10

x

Dấu “=” xảy ra <=

1

5

3

=> x =

x

61

x

hay

x

1

5

9

4

x
16

(thỏa mãn điều kiện)

25

Vậy GTLN của y là10 khi x =

61
25

* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y =
=3 x 1
Đặt: A =
=> A

2

3

x
5

x

1

4

x

1

5
5

5

x

x

3

x

1

3

5

x

5

x

x

thì t2 = 4 + 2

x

1

5

x

và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5

Vậy y 3 . 2 + 0 = 6
14

4

5

x (1

x

5)

.


Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5
Tìm GTNN của biểu thức: M =

2

x

1994

(x

1995)

2

Giải:
2

M=

x

1994

(x

1995)

Áp dụng bất đẳng thức:

a

M=

x

x

1994

=> M

x

x

1995

1994

1995

=

2

b

x

1994

a

b

1994

x

x

1995

ta có:

1995

x

1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x)
<=> 1994

x

0

1995

Vậy GTNN của M = 1  1994

x

1995

Bài tốn 4:
Tìm GTNN của B = 3a + 4

1

a

với -1

2

a

1

Giải:
B = 3a + 4

1

a

2

5

3

a

16

5

5

2

1

a

25

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
2

3

3

5

a

16

5

5

2

1

a

5

9

5

16

2

5

25

=> B

a

5
2

25a

2

41

25a

2

1

a

25
2

2

5

2 25

=> Do đó B
a

5

và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.

3
5

<=> a =

16
1

a

2

3
5

25

Vậy GTNN của B = 5 <=> a =

3
5

Bài toán 5:
15


Tìm GTNN của biểu thức:
3

A=
2

2x

2

x

7

Giải:
Điều kiện:

2x

x

2

7

<=> -(x-1)2 + 8
2

2

1

2

x
2

x

2x

1

8

0

2

x

0

1
x

0

2

2
2

1

8

2
2

1

Với điều kiện này ta viết:
2x

x

2

2

7

=> 2 +

x

2x

1

2

x

8

7

2

8

2x

2

2

2

x

2

7

2

8

2

2

1

Do đó:
1
2

1

2x

x

Vậy A

3

2

2

7

2

1

2

2

1

2

1

và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0

2

<=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
3

Vậy GTNN của A =

2

1

x

1

2

Bài tốn 6:
5

Tìm GTNN của biểu thức: A =

3x

1

x

2

Giải:
Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN.
2

2

Ta có: A =

5

3x

25
2

1

x

2

Vậy GTNN của A = 4 khi

30 x
1

x

9x

x

2

2

2

3
1

5x
x

2

16

3
5

Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y

16

1

16


Tìm GTNN của biểu thức: A =

x

1

x

2

Giải:

Điều kiện: 1 – x2

0

1

x

1

Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2
1
2
Ta có: x2 + 1 – x2 2 x 1 x
2

<=> 1

2

A

2

0

và 1 – x2

x

1

x

0

2

1

A

2

Vậy GTLN của A =

1

2

khi x =

2

2

hay x =

2

2

Bài tốn 8:
Tìm GTLN của biểu thức: y =

x

1996

1998

x

Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996
Vì y

0

x

1998

với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2 x 1 9 9 6 1 9 9 8 x ( x 1 9 9 6 ) (1 9 9 8

x)

x

1998

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x
<=> x = 1997
Do đó y2

4

y

2

Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997

Bài tốn 9:
Cho 0 x 1 . Tìm GTLN của biểu thức y = x +

2 1

x

Giải:
Ta có:

y

x

2 1

x

=x+2

1

1

x

2

Vì 0

x

1

nên 1 – x

0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số:

1
2

17

và (1 – x) cho ta:


y

x

1

2

1

x

1

x

2

1

3

x

2
1

Dấu “=” xảy ra <=>

2
1

x

1

x

2

2

3

Vậy GTLN của y là

tại x =

2

1
2

Bài tốn 10:

Cho M = a 3 4
Tìm TGNN của M

a

1

a

15

8

a

1

Giải:
M=

a

=

a

=

3
1

4
4

a

1

a

1

a

15

4

a

8
1

8

2

a

1

a

1
a

1

16

2

2

a

1

4

Điều kiện để M xác định là a – 1
a 1 2
a 1 4
Ta có: M

0

a

1

Đặt x = a 1 điều kiện x 0
Do đó: M = x 2 x 4
Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x 2 thì x 2
x 2
2 x
Và x 4
x 4
4 x
=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6 2 .2 2
Vậy x < 2 thì M 2
2) Khi x 4 thì x 2 x 2 và x-4 =x-4
=> M =

x

2

x

4

Vậy x > 4 thì M
3) Khi 2 < x < 4 thì

2x

6

2 4

6

2

2
x

2

x

và

2

x

4

4

x

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)
Trong trường hợp này thì: 2

a

1

4

<=> 4

a

1

<=> 5

a

17

16

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN của M = 2 tương ứng với:

5

a

17

18

D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x
hoặc x

3

1

.

Gợi ý:
- Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1
- Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7

7

. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x =

3

nhưng

2

giá trị không thỏa mãn x

, không thỏa mãn x

1

3

. Do đó khơng thể kết luận được

GTNN của A bằng – 7.
Bài 2:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để

2

x1

có giá trị nhỏ nhất

2

x2

Gợi ý:
= 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét,
ta có:
2

x1

2

x2

( x1

x2 )

2

2 x1 x 2

(2m

1)

2

2(m

2)

4m

2

6m

5

2

=
=> Min (

2m

2

x1

3

11

11

2

4

4

2

x2

11
4

với m =

3
4

Bài toán 3:
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y và thế vào E

19


Bài tốn 4:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = 4 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8
<=> A + (x – y)2 = 8
<=> Max A = 8 khi x = y
2x2 + 2y2 = 8 + 2xy

Mặt khác:

<=> 3A = 8 + (x + y)2
8

=> A

min A =

3

8
8

khi x = - y

3

Bài toán 5:
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki
(x +2y)2
<=>

x

(x

2

2

4y )

2y

(12 + 12) = 50

50

50

Vậy Max M =

M
5

khi x =

50

50
5
; y
2

Min M = -5

5

khi x = -

2

2

2

5

;y=-

2

2

2

Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
x

A=
x

4

y
y

2

x

2

y

4

Gợi ý:
Từ (x2 – y)2

0

x

4

y

2

2

2x y

x

=>
x

4

x
y

2

2

2x y

1
2

20


y

Tương tự:
y

1

4

x

2

2

x

=> A

1

=> Max A = 1 khi

y

2

y

2

x

xy

x

1

Bài tóan 7:
Tìm GTNN của biểu thức:
A=

x

Gợi ý:
B= x

2 1

1

x

1

1

1

x

x

2 1

x

1

Min B = 2 khi - 1

1

x

0

Bài tốn 8: Tìm GTNN của biểu thức:

B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.
Gợi ý:
2

2

Biểu diễn B =

3. x

a

b

c

a

2

b

2

c

a

2

3

3
2

=> GTNN của B = (a2 + b2 + c2) -

b

a

b

c

3

Bài tốn 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7
Bài tốn 10: Tìm GTLN của biểu thức:
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2
21

c

y

1


=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3
Bài tốn 11: Tìm GTLN của biểu thức: P =

2x

4y

Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Max P = 65 khi

x

y

2

4

z
5

x

26

y

52

5

5

13

z

5
5

Bài tốn 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
a) A =

x

2

1

x

8

b) B =
3x

c) C =

Với x

x
x

0

2

Với mọi x

2

2

2

1

2

Với mọi x

1

Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
5

A = (x + 2) +
8

b) B =
3x

c) C =

2

2

4

(vì

2

2x
1
x

2

4

x

2

5

1
3x

2

4
1

2

)

2

2

1

Min C = - 1 khi x = 0

1

Bài tốn 13:
Tìm GTNN của biểu thức A =

x

2

2x
x

2000
2

;(x

22

0)

5

z


Gợi ý:
A=

2000 x

2

2 2000 x

=

2000)

2

2

2000 x

2000)

2

1999 x

2000 x

1999

1999

2000

2000

1999

Vậy Min A =

(x

2

2000 x
(x

2

2000

2

2

Khi x = 2000

2000

Bài tốn 14:
Tìm GTNN của biểu thức:
P=

4x

4

16 x

3

56 x

x

2

2

80 x

2x

356

5

Gợi ý:
Biểu diễn P = 4 ( x

2

2x

256

5)
x

2

64

2x

(áp dụng BĐT Côsi)

5

=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài tốn 15:
2

x

Tìm GTNN của A =

4x

4

với x > 0

x
2

x

B=

x

2

x

C=

x
2

x

D=

với x > 1
1
2
x

1

1
(1

với x > 0

x) 1
x

x

E=
1

F=

5
x

với 0 < x < 1

x

x

2

2

x

với x > 1
1

Gợi ý:
A = x+

4

4

2

x

x

4

4

(vì x > 0)

8

x

=> Min A = 8 khi x = 2
B=

x

2

1
x

1

2

(x

1

1)

1

2

x

2

4

(vì x > 1)

1

=> Min B = 4 <=> x = 2
C=

(x

2

x

x

2

1)
x

1
1

2

x
x

2

2

x
x

1

2

1

23

1

D = (1 + x)

1

1

2

x .2 .

x

E=
F=

5

1

x

x

1

5x

=

5x

x

x
2

2

x

x

1
3

=> Min F =

2

1

1

x

2

2

1
2

5 1

x

2

x

2

2

x
5

1

1

3

5 1

x
1

2

2
1

x

x

1

(vì x > 0)

4

x

5
x

2
x

x
x

1
1

2

khi x = 3.

2

Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P=

2

8x
x

6 xy

2

y

2

Gợi ý:
P=9-

(y
x

P=9-

2

(x
x

2

3x)
y

1

2

2

3 y)
2

y

1

9

2

Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10
Tìm GTNN của biểu thức S =
Gợi ý: S =

1

1

x

y

x

=

y

1

1

x

y

10

xy

x (1 0

x)

S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5.
=> GTNN của S =

2

khi x = y = 5.

5

Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
E=

x

2

x

1

x

2

x

1

Gợi ý:

Ta có E > 0 với mọi x
Xét E2 = 2 (x2 + 1 +

x

4

x

2

1)

4

=> Min E = 2 khi x = 0

24

2

5

5


Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a

3

; a+b

5

Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý:
a+ b 5
=> 132

2a

2b

10

3a

2

3a

2b

13 a

2

2b

b

13

(vì a

3)

2

=> Min S = 13

Bài 20:
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0
Tìm m để cho x x đạt GTNN.
1

2

Gợi ý:
'

(2m

1)

2

1

phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x1; x2.

0

định lý vi-ét ta có:
x1

x2

2m

x1 . x 2

3m

Do đó

2

4m

2
2

x1

x2

GTNN của

x1

4m

2

4

4

là 2 khi m =

x2

m

2

R

1
2

Bài 21:
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y = x 1 x 2 ...

x

1998

Gợi ý:
y=
Ta có:

1x

x

1

x

2

x

998

1

x
x

x

1998
1997
x

1998

x

2

x

1997

+ …+

nhỏ nhất bằng 1997 khi x
nhỏ nhất bằng 1995 khi x

1999

nhỏ nhất bằng 1 khi x

x

998

x

999

1; 1 9 9 8
2 ;1 9 9 7
9 9 9;1 0 0 0

Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997
Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999
Vậy Min y = 9992 khi 999

x

1000

25

Theo