18 SKKN toán 9 hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1012.38 KB, 40 trang )
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ
học sinh trở thành những con người mới phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất
đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết
nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong
phương pháp học tập của học sinh, cũng như trong phương pháp giảng dạy của giáo
viên các bộ môn nói chung và bộ mơn Tốn nói riêng.
Tốn học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất quan trọng, ảnh hưởng rất lớn
đến các môn khoa học khác. Một nhà tư tưởng Anh đã nói: "Ai khơng hiểu biết về
Tốn học thì khơng thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể
phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình."
Để giúp các em học tập mơn Tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu, sách
báo, giáo viên lâu năm, giáo viên giỏi đề cập tới. Nhưng chung quy lại, giáo viên
không chỉ nắm vững kiến thức mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương
pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh đẽ hiểu nhất.
Nhà khoa học LEP - NITX đã nói: "Một phương pháp được coi là tốt nếu như ngay từ
đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó
ta sẽ đạt tới đích ". Với mỗi bài tốn ta có thể giải quyết được nó chỉ cần bắt chước
theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xun thực hành.
Chương trình Tốn rất rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học các em không chỉ nắm chắc kiến
thức cơ bản mà còn phải rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp, từ đó biết vận dụng
vào giải từng bài Toán. Qua cách giải từng bài Toán tự mình rút ra được phương
pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó đề xuất lời giải khác hay hơn, ngắn
gọn hơn.
Thơng qua q trình giảng dạy mơn Toán lớp 9, đồng thời kiểm tra đánh giá
kết quả tiếp thu kiến thức của học sinh, tôi nhận thấy các em tiếp thu kiến thức còn
rất nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến
thức đã học vào giải phương trình cũng như dùng hệ phương trình để làm các bài toán
khác. Do vậy việc hướng dẫn học sinh phân loại các dạng hệ phương trình và đề ra
các cách giải các dạng đó một phần nó tạo cho các em có một cách nhìn tổng quan
hơn về hệ phương trình, mặt khác giúp cho các em rèn luyện phương pháp học Tốn
có hiệu quả.
Mặc dù thấy được sự cần thiết của vấn đề này, nhưng việc hướng dẫn học sinh
tiếp thu phần kiến thức cũng gặp rất nhiều khó khăn, và tơi ln suy nghĩ phải từng
bước để hồn thiện phương pháp của mình nên bản thân tơi đã dày công nghiên cứu
đề tài này với hy vọng đề tài có thể giúp các em học sinh lớp 9 phát triển tư duy, cũng
có thể dùng làm tài liệu dạy học môn học tự chọn, chủ đề bám sát. Bên cạnh đó tơi
suy nghĩ rằng nếu mỗi năm, một giáo viên tập trung nghiên cứu một vấn đề nào đó và
chia sẻ với đồng nghiệp của mình thì chắc chắn hiệu quả giáo dục sẽ được nâng lên
rõ rệt.
1
Từ những suy nghĩ trên đây bản thân tôi quyết tâm nghiên cứu viết đề tài:
“Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình” đáp ứng
được yêu cầu đổi mới SGK lớp 9, qua đó giúp các em có thêm kinh nghiệm tiếp thu
kiến thức về giải hệ phương trình cũng như ứng dụng của nó phục vụ cho việc thi
HSG, thi vào THPT...
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình là một trong những dạng chun đề rất khó, nhưng ứng dụng
của nó thì khá nhiều, và thực các em thường cảm thấy lúng túng khi tiếp xúc với loại
Tốn này. Bởi vậy tơi thấy cần thiết phải tạo cho các em có niềm say mê, u thích
trong học tập, ln tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời, khi gặp
những bài tốn khó phải có nghị lực, tập trung tư tưởng tin vào khả năng của mình
trong quá trình học tập.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải các dạng hệ phương trình là
một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ
giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn phải tạo cho các em một phương pháp học
tập tốt của bản thân, rèn cho các em có thói quen thực hành và kỹ năng nhìn nhận một
bài tốn sao cho: "Mỗi bài tốn tơi giải được đều trở thành kiểu mẫu để sau này giải
các bài toán khác"
(ĐÊ - CAC)
I. PHÂN LOẠI HỆ PHƢƠNG TRÌNH.
Trong q trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân loại các dạng
hệ phương trình, rồi cùng các em tìm ra phương pháp giải tối ưu cho mỗi dạng đó. Ở
trong chương trình lớp 9 các em thường gặp các dạng hệ phương trình như:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,
2. Hệ phương trình phân thức đơn giản,
3. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khơng
phải bậc nhất,
4. Hệ phương trình hai ẩn trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được
thành nhân tử,
5. Hệ phương trình đẳng cấp,
6. Hệ phương trình đối xứng loại I,
7. Hệ phương trình đối xứng loại II,
8. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn,
9. Hệ hoán vị dạng tổng,
10. Hệ hoán vị dạng tích,
11. Hệ phương trình vơ tỷ,
2
12. Hệ phương trình giải bằng cách đưa về hằng đẳng thức,
13. Hệ phương trình giải bằng cách đưa về tổng các bình phương,
14. Hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức,
15. Một số bài toán ứng dụng của hệ phương trình.
II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khi bắt tay vào giải bài tập, phần đầu tiên là phải nắm vững lý thuyết cơ bản,
có như vậy mới hy vọng giải được bài toán theo yêu cầu. Đối với phần này tôi giúp
các em nhớ lại kiến thức bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về: nghiệm
tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn, về số nghiệm của hệ phương trình, về
quy tắc thế, quy tắc cộng, về điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, công
thức nghiệm, hệ thức Vi-et, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử...
1. Hệ hai phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’.
Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax
a' x
by
b' y
c (1)
(I)
c' (2)
- Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của
hệ (I)
- Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì thì ta nói hệ vơ nghiệm.
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đƣờng thẳng biểu diễn tập nghiệm.
Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d
Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng d’
- Nếu d cắt d’ hệ có nghiệm duy nhất.
- Nếu d song song với d’ thì hệ vơ nghiệm.
- Nếu d trùng với d’ thì hệ có vơ số nghiệm.
3. Hệ hai phƣơng trình tƣơng đƣơng.
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
- Giải hệ phương trình là đi tìm nghiệm của hệ phương trình đó.
III. NỘI DUNG
Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
a. Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế:
a.1. Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một
hệ phương trình mới tương đương.
3
Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi
thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ cịn một ẩn
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai của hệ
(Phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo
ẩn kia có được ở bước 1)
a.2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
(I)
9x
8y
2x
y
17
9x
1
y
8(2 x
2x
1)
9x
8y
2x
y
17
(I )
1
17
x
1
y
1
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;
1).
Đến đây Gv yêu cầu học sinh dùng quy tắc thế rút x từ phương trình (1) rồi giải
hệ phương trình.
9x
8y
2x
y
17
x
17
8y
1
2.
17
17
x
9
8y
x
1
y
1
9
8y
y
34
1
16 y
9y
9
9
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1). Học sinh nhận xét hai cách giải rồi từ
đó Gv yêu cầu học sinh làm tiếp ví dụ.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
x
y
2x
Giải: (II)
x
2(x
y
5
y)
x
5y
5
2 .5
y
(II)
3y
5
5y
5
5
5
x
2
y
3
Vậy hệ phương trình có
nghiệm là (2; 3)
Đối với hệ phương trình này Gv đã hướng dẫn học sinh thế cả một biểu thức.
a.3. Lƣu ý:
- Khi một trong hai phương trình của hệ có ẩn nào đó có hệ số bằng 1 hoặc -1
thì có thể giải nó bằng phương pháp thế bằng cách rút ẩn có hệ số bằng 1 hay -1 theo
ẩn kia.
- Đối với một hệ tương đối phức tạp cần tìm cách thế cả một biểu thức.
a.4. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
4
1.
x
3y
2x
6
2.
6y
x
12
2
2
1 y
1 x
1
y
3.
2
Sau khi đã đưa ra lưu ý Gv yêu cầu học sinh giải hệ phương trình:
x
y
3
4
2
0
5x
y
11
2x
5y
9
3x
5y
1
(I )
Lúc này học sinh sẽ cảm thấy lúng túng bởi khơng có hệ số nào của cả hai
phương trình bằng 1 và -1. Vậy có cách nào giải khác chăng?
b. Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp cộng đại số:
b.1. Quy tắc cộng đại số:
Quy tắc cộng đại sô dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ
phương trình mới tương đương.
- Bước 1. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một hệ
phương trình mới tương đương.
- Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ ( và giữ ngun phương trình kia)
b.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
2x
5y
9
3x
5y
1
(I )
Giải: Cộng từng vế hai phương trình của hệ (I) ta có
5x
10
2x
5y
9
x
2
y
1
Vậy hệ
phương trình có nghiệm là (2; 1)
Ví dụ 2.
3x
y
3
2x
y
7
( II )
Giải: Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có:
3x
y
5x
10
3
x
y
2
Hệ có nghiệm
3
là (2; -3)
Ở hai hệ phương trình trên ta nhận thấy hệ số của cùng một ẩn ở hai phương
trình đối nhau hoặc bằng nhau thì ta cộng hay trừ vế với vế. Vậy nếu không ở vào
trường hợp trên thì sao?
b.3. Lƣu ý:
- Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hay
trừ) vế với vế của hai phương trình của hệ.
5
- Khi hệ số của cùng một ẩn ở hai phương trình khơng bằng nhau cũng khơng
đối nhau thì ta chọn nhân với một số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối
nhau hoặc bằng nhau.
2x
3y
5
6x
5y
1
Giải hệ phương trình:
( III )
Giải: Nhân phương trình (1) với 3 rồi trừ phương trình này cho phương trình (2) vế
2x
với vế ta có
3y
14 y
5
2x
14
3 .1
y
5
1
x
1
y
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)
b.4. Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1.
4x
3y
2x
y
6
2.
x
2
4
2
1 y
2
y
1
1 x
3.
2
x
x
2
y
y
3
3
1
2
c. Giải và biện luận hệ phƣơng trình:
c.1.Quy trình giải và biện luận
Bước 1. Tính các định thức:
*
*
*
D
D
D
x
y
a1
b1
a2
b2
a 1b 2
c1
b1
c2
b2
a1
c1
a2
c2
a 2 b1
(gọi là định thức của hệ)
c1b 2
c 2 b1
(gọi là định thức của x)
a1c 2
a 2 c1
(gọi là định thức của y)
Bước 2. Biện luận
D
x
* Nếu D
0
x
D
thì hệ có nghiệm duy nhất
D
y
y
D
* Nếu D = 0 và
D
x
0
hoặc D
y
0
thì hệ phương trình vơ nghiệm
* Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vơ số nghiệm.
c.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau:
mx
y
4x
my
2m
m
với m là tham số
6
6
m
Ta có D=
1
2
m
4
4
m
D=0
m = 2; m = - 2
Dx = 0
m = 2; m =
Dy = 0
m = 0; m = 2.
; Dx =
2m
1
2m
m
6
2
m
6
m
m
; Dy =
2m
m
4
m
2
2m
6
3
2
Biện luận:
Nếu m
x=
D
0 hệ phương trính có nghiệm duy nhất (x; y), trong đó
2. D
2m
x
D
3
m
;y=
2
D
D
m
y
m
2
Nếu m = - 2. D = 0; Dx = - 4 Hệ phương trình vơ nghiệm.
Nếu m = 2. D=0 và Dx=Dy = 0. Hệ phương trình có vơ số nghiệm (x; 2x – 4) x R.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
Giải: D=
m
2
m
2
m
D=0
2
4
; Dx =
m
1
mx
2y
m
2x
my
2m
2
m
2m
1
m
2
1
3m
1
2
m
; Dy =
m
1
2m
2
2m
2
3m
2
1
m = 2; m = -2,
Dx = 0
m = 1; m = 2,
Dy = 0
m = 2; m =
1
2
Biện luận:
Nếu m
2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Nếu m = -2 hệ vô nghiệm
Nếu m = 2 Hệ vô số nghiệm.
c.3. Lƣu ý:
- Đối với bài toán giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì việc sử dụng
định thức là rất hữu hiệu. Có một cách dễ nhớ là: D:anh - bạn; Dx: có – bát; Dy :
ăn – cơm.
- Đơi khi có thể sử dụng tính chất: Nếu hệ phương trình
ax
a'x
-
a
b
a'
b'
by
b' y
c
có:
c'
thì hệ có nghiệm duy nhất
a
b
c
a'
b'
c'
thì hệ vơ nghiệm
7
-
a
b
c
a'
b'
c'
thì hệ có vơ số nghiệm
Ngồi ra Gv có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải và biện luận phương
trình bậc nhất một ẩn.
Chẳng hạn: Đối với hệ phương trình:
mx
2y
m
2x
my
2m
1
mx
thay vào phương trình 2 ta được
m
Từ phương trình 1 ta có y =
1 (1 )
1( 2 )
2
2x
m
m
1
mx
2m
1
4x
m (m
1
mx )
4m
2
(4
m
2
)x
2
m
3m
2
0
2
Nếu 4 - m2 = 0
m = 2; m = -2.
Khi m = 2 ta có 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm
Khi m = -2 ta có 0x = -12, phương trình vơ nghiệm
Nếu m
hệ vơ số nghiệm
hệ vơ nghiệm.
-2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
2 và m
Đến đây chắc chắn học sinh sẽ nhận thấy rằng theo định thức việc biện luận nó
sẽ trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn.
c.4. Bài tập áp dụng.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1.
4.
mx
y
m
x
my
2
mx
5y
5
5x
my
5
1
;
2.
5.
mx
y
2m
1
x
my
3m
(m
5) x
2y
m
(m
1) x
my
3m
;
3.
(a
b)x
(2 a
7
6.
(a
b)x
2x
ay
5
ax
2y
2a
b) y
(2 a
b) y
a
b
1
Tìm điều kiện của m, n để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm.
1)
mx
(2 m
(2 m
1) y
3m
1) x
my
3m
2)
2
mx
ny
nx
my
m
2
n
2
2 mn
Dạng 2. Hệ phương trình phân thức đơn giản.
Sau khi giải xong hệ phương trình
vấn đề, nếu bây giờ ta thay x bởi
2x
3y
5
6x
5y
1
( III )
1
và thay y bởi
x
2
3
x
y
6
5
x
y
tìm ra được nghiệm (1; 1) Gv đặt
1
ta được một hệ phương trình:
y
5
ta sẽ giải phương trình này như thế nào?
1
8
a. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
1
1
3
x
y
5
3
1
x
y
(I )
Ta phải chuyển hệ phương trình ban
1
1
1
x
y
đầu về hệ phương trình dạng 1 bằng cách đặt ẩn phụ Đặt u = ; v =
u
Hệ (I)
3
v
5
3u
v
Giải hệ phương trình này ta suy ra u =
1
;v=
5
1
1
x
0
3
2
y
1
2
y
1
4
( II )
2
và y bởi
3
x
3
Đặt u =
x
3
;v=
y
1
)
u
(II)
x
thì ta có một hệ phương trình mới khó hơn đơi chút!
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
( u,v
từ đó suy ra
5
nghiệm x, y của hệ phương trình. Cịn nếu bây giờ ta thay x bởi
y
2
2u
2v
2
v
4
giải hệ phương trình này ta có u = 2; v = 0 suy ra x = 1; y = -1
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: (I)
1
1
1
x
y
2
Khi gặp hệ này học sinh dễ dàng giải
1
1
1
x
y
6
được tương tự như ví dụ 1. Lúc này giáo viên có thể khai thác thêm bài tốn. Rõ ràng
x
y
xy
x và y đều khác 0 nên ta có: (I)
x
xy
2
y
xy
1
x
1
6
2
y
xy
x
học sinh muốn giải được
6
y
hệ này thì địi hỏi phải chuyển về hệ phương trình trên. Lại tiếp phân tích bài tốn
xy
x
2
xy
y
xy
xy
2(x
6(x
y)
Để giải hệ phương trình mới học sinh phải xét trường
y)
6
x
y
hợp (x; y) = (0; 0). Rồi đưa về các hệ phương trình trên để giải.
b. Lƣu ý:
- Khi đặt ẩn phụ nhớ điều kiện của hệ phương trình.
9
- Cần nhìn nhận các phương trình để dễ dàng tìm ra ẩn phụ thích hợp.
- Đơi khi cần phải xét nhiều trường hợp có thể xảy ra của một bài toán.
c. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1
1
4
15
7
x
y
5
x
y
1
1
1
4
9
x
y
5
x
y
1)
4
2x
y
2x
15
2x
y
2x
35
y
8
1
x
x
y
4
7
x
6
4)
x
10
x
3
y
y
6
8
3
y
3y
x
10
11
y
5
y
5
5
3y
x
1
7
6)
2
y
7x
5
3)
5
3y
1
x
2)
5
5)
1
9
3
6
5
1
2
y
6
x
6
7
1
m
x
Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình:
m
1
m
1
y
1
1
x
y
2m
Bài 3. Giải các hệ phương trình:
2x
1.
x
y
1
y
x
7
2
1
;
2.
x
3y
5
y
2
x
y
3
9
1
2
1
y
1
x
y
2
x
y
;
3.
x
5
y
1
2x
3
4
1
x
2
4
1
x
5
y
3
1
y
1
2x
2
7
y
3
5
Bài 4. Giải các phương trình sau:
xy
1.
3x
7
2y
5
2.
xy
2x
7
4y
xy
3 xy
6x
5y
77 x
3.
110 y
xy
x
3 xy
y
2x
3y
2
Dạng 3. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình
khơng phải phương trình bậc nhất:
a. Cách giải:
Sử dụng quy tắc thế từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế
vào phương trình cịn lại. Giải phương trình hai tìm nghiệm rồi quay lại tìm nghiệm
kia.
b. Ví dụ: Giải các hệ phương trình:
10
a)
x
x
2y
2
5
2y
b)
2
2 xy
5
x
x
2y
2
1
14y
2
1
4xy
Giải:
Ví dụ a. Từ phương trình thứ nhất ta có x = 5 – 2y thay vào phương trình thứ
hai ta được:
(5 – 2y)2 + 2y2 – 2(5 – 2y).y = 5
10y2 – 30y + 20 = 0
25 –20y + 4y2 +2y2 – 10y + 4y2 = 5
y2 – 3y + 2 = 0. Giải phương trình này ta được y = 1; y =
2.
Với y = 1
x = 3; Với y = 2
x = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là {(3; 1); (1; 2) }
Ví dụ b. Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 + 2y thay vào phương trình thứ
hai ta được: (2y + 1)2 + 14y2 – 1 = 4(2y + 1)y
10y2 = 0
Với y = 0
4y2 + 4y + 1 + 14y2 – 1 = 8y2 + 4y
y = 0;
x = 1.
Có thể giải theo cách khác được khơng?
Cách 2. Từ phương trình thứ hai của hệ x2 + 14 y2 - 1 = 4. x. y
(x - 2y)2 + 10y2 - 1 = 0 Thay phương trình 1 vào phương trình 2 ta có 10y 2 = 0
suy ra y = 0 từ đó x = 1
Theo cách giải thứ hai q trình biến đối nó đơn giản hơn, tuy nhiên nó lại
phản ánh khả năng tư duy của mỗi học sinh.
c. Lƣu ý:
- Khi thế vào phương trình hai HS phải giải một phương trình bậc hai một ẩn
bởi vậy Gv phải giúp học sinh nhớ lại cách giải phương trình bậc hai. Cịn ở cách giải
thứ hai học sinh phải nắm chắc chắn kỹ năng biến đổi thành hằng đẳng thức.
d. Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1.
2x
3x
3y
2
y
5
2
;
2y
4
2.
3x
4y
1
xy
3( x
y)
2. Giải và biện luận hệ phương trình: 1)
;
3.
5
mx
x
2
2x
2x
2y
2y
1
2
3y
2
1
5 xy
y
2)
2
2
10 x
mx
x
2
12 y
2y
2y
100
1
2
2
11
Dạng 4. Hệ phương trình hai ẩn trong đó vế phải bằng 0, vế trái phân tích được
thành nhân tử.
a. Cách giải
- Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử
- Giải các hệ phương trình mới tạo thành.
b. Ví dụ minh họa.
x
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
x
x
1
2
y
y
1
2
x
x
0
y
22
1
2
y
2
1
2
xy
1
2
x
0
y
22
0
y
y
x
2
x
x
Giải:
y
x
y
22
x
y
22
0
y
2
Lúc này học sinh dễ dàng nhận thấy rằng các hệ phương trình trên thuộc vào
dạng thứ ba. Giải từng hệ phương trình trên ta có nghiệm của hệ phương trình là:
1; 4 ;
1; 5 ;
4; 1 ; 5; 1
(x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
x
Giải: HPT
x
y
2
x
x
y
1
x
y
y
6
0
3
y)
2
2
y
4 x
y
12
2(x
y)
3
Ta có 4 hệ phương trình sau mà các hệ phương
0
trình nhận được đều thuộc vào hệ phương trình dạng 1.
x
y
2
0
x
y
2
0
x
y
6
0
x
y
6
0
x
y
1
0
x
y
3
0
x
y
1
0
x
y
3
0
Giải từng hệ phương trình ta suy ra nghiệm của hệ ban đầu.
c. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
1)
(x
2y
xy
x
1 )( x
3y
2y
1
0
2)
0
2)
(x
3x
y
2
2 )( 2 x
32 y
2
2y
5
0
1)
0
3)
(x
2(x
y)
2
2
(x
2
y )
y)
6
5 xy
Dạng 5. Hệ phương trình đẳng cấp
* Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai.
a. Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng
a1 x
2
b1 x y
c1 y
2
a2 x
2
b2 x y
c2 y
d1
2
d2
12
b. Cách giải:
x
Đặt ẩn phụ
y
y
Hoặc
t
t
x
x
. Giả sử ta chọn cách đặt
t
y
.
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bƣớc 1: Kiểm tra xem (x; 0) có phải là nghiệm của phương trình hay khơng?
Bƣớc 2: Với y 0 ta đặt x = t.y. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa hai ẩn t, y.
Từ hai phương trình ta khử y để được một phương trình ẩn t.
Bƣớc 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra nghiệm x, y.
c. Ví dụ minh hoạ.
2
x
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
2x
xy
2
2
y
3 xy
1
4y
Giải: Với y = 0 thay vào hai phương trình ta được
x
2
3
2
2x
1
2
3
Hệ phương trình vơ nghiệm.
với y
( ty )
0 đặt x = t.y thay vào hai phương trình của hệ ta có:
2
2 ( ty )
ty . y
2
y
3 ty . y
2
2
1
4y
2
t y
2
3
2
2t y
ty
2
2
2
y
3 ty
2
1
4y
khử y ở hai phương trình ta có t = 1; t
2
3
=-1
Với t = 1, ta có y2 = 1 suy ra y = 1, x = 1; y = - 1, x = -1.
Với t = - 1, ta có 3y2 = 1 suy ra y =
1
1
,x=
;y=
3
3
1
3
,x=
1
3
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
3x
x
2
2
2 xy
2 xy
y
3y
2
2
11
17
m
a. Giải hệ phương trình với m = 0
b. Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.
Giải: a. Giải hệ phương trình khi m = 0
Ta có (I)
3x
x
2
2
2 xy
2 xy
y
3y
2
2
11
Ta thấy x = 0; y = 0 không thoả mãn hệ phương trình (I)
17
nên khơng là nghiệm của (I)
13
3x
Đặt y = tx, ta có: (I)
x
3
ta được:
2t
1
x
2t
2
2
t
3
t
x
11
x
x2 =1
2
x
2
2
2
3t x
2
12 t
3
1
2
t x
2
2 tx
17
2t
* Khi t = 2
2
16 t
2
2
2 tx
11
2
3t
2
x2 =
1
y
2
3t
11 ( 2 )
2
5
2 hayt
Do đó:
4
x
2
3
2t
Lấy (2) chia (3)
17 ( 3 )
t
2
11
2
3
5
3
y
16
3
3
4
4
2t
t
2
4
5
2t
1
t
11
x
* Khi t =
3
2
x
0
2
t
2
x
17
40
2t
y
11
x
Vậy hệ phương trình có bốn
3
3
5
y
3
3
3
nghiệm.
b. Giá trị của m để hệ có nghiệm.
3x
Đặt 17 + m = n ta có
2
x
3x
trình:
x
3
1
2t
2 tx
2
2 tx
2
t
2t
2
3t
2
2
2
2
2
3t x
11
2
2
t x
2
2 xy
y
2 xy
11
3y
x
n
x
2
2
2
11
2
3
2t
1
như câu a. ta đặt y = tx ta được hệ phương
n
2t
t
2
3t
11 ( 4 )
2
Lấy (4) chia (5) ta có
n (5 )
(n - 33)t2 + 2(n - 11)t + 3n - 11 = 0 (6)
n
* Khi n - 33 = 0; (6) có nghiệm t = -2
*
Khi
22
33
n
11
3
n
22
(6)
11
có
3
5
nghiệm
11
3
m
khi
5
'
11
3
0
n2
-
44n
+121
0
từ đó suy ra giá trị của m cần tìm.
d. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
3x
1)
x
2 xy
2
x
4)
2
2 xy
2
3x
y
2
5y
2
11
25
5x
2
3 xy
y
xy
3y
2
2)
6x
1
2
5)
13
3x
5x
2
2
2
2
xy
2y
xy
y
2
2
56
3)
4y
7 xy
6y
2
2
2
2x
49
8 xy
x
0
0
3x
6)
x
2
2 xy
2
2
2 xy
2 xy
2 xy
3y
y
2
9
2
y
3y
2
2
2
11
17
* Hệ phương trình đẳng cấp bậc ba.
a. Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc ba là hệ phương trình có dạng:
ax
3
a'x
bx
3
2
y
2
b'x y
cxy
2
c ' xy
dy
2
3
d'y
e
3
e'
14
b. Cách giải:
Tương tự như cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai.
Trước hết ta xét x hoặc y bằng 0.
0, đặt x = ty thay vào hệ phương trình rồi khử y. Giải phương trình ẩn
Khi y
t từ đó suy ra nghiệm x, y của hệ phương trình.
c. Ví dụ minh hoạ.
x
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
y
x
x
Giải: Ta có
y
x
y
x
x
2
y
2
y
2
3 (1 )
2
y
y
ty
. Do đó (3)
y
ty
t
1 t
2
1
5 t
1 t
2
x
2
y
2
y
2
3
2
15
Từ hệ phương trình ta thấy y 0; x
y
; x+y>0.
1
;
15 ( 2 )
Chia (2) cho (1) vế theo vế ta có:
x
x
y
1
2
2
2
2
t y
t y
x
y
x
x
y
x
2
2
2
y
y
y
y
5
2
y
y
2
5 (3)
2
3
3
t
t
1 t
1 t
. Đặt x = ty thì t
2
1
2
5
1
(t + 1)(2t2 - 5t + 2) = 0
(2t2 - 5t + 2) = 0 do t
1
1
Suy ra t = hay t = 2
2
* Khi t =
1
3x(x2 + 4x2) =15
mà x = ty nên y = 2x.
15x3 =15
x = 1;y = 2
15y3 =15
x =2; y = 1 Vậy
2
3y(y2 + 4y2) = 15
* Khi t = 2 mà x = ty nên x = 2y.
hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1).
d. Bài tập áp dụng.
Giải các phương trình sau:
1)
2x
y
3
3
2
3x y
6 xy
2
5
7
2)
xy ( x
x
3
y)
y
2
3
3)
7
2 xy
8( x
1
3
0
3
y )
9(x
y)
0
Dạng 6. Hệ phương trình đối xứng loại I
a. Định nghĩa: Nếu là hệ phương trình chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai
trị x, y cho nhau thì hệ phương trình khơng thay đổi gọi là hệ phương trình đối xứng
loại I.
b. Cách giải.
Bƣớc 1. Đặt x + y = S và xy = P với
S
2
4P
ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bƣớc 2. Giải hệ phương trình S, P. Chọn S, P thoả mãn
S
2
4P
.
15
Bƣớc 3. Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
X
2
SX
P
(Định lý Vi - et đảo).
0
Do tính đối xứng cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là
nhiệm của hệ phương trình.
c. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
x
x
y
xy
2
y
11
2
3 x
y
28
Ta nhận thấy rằng nếu thay đổi vị trí của x và y cho nhau thì hệ phương trình khơng
thay đổi bởi vậy chúng ta đặt ẩn phụ S, P
Đặt ẩn phụ
S
x
P
xy
y
S
thì nhận được hệ phương trình:
S
P
2
11 (1 )
2P
3S
Hệ phương
28 ( 2 )
trình mới này thuộc vào dạng 3. Từ (1) ta có P = 11 – S, thay vào (2) ta được S2 –
2(11 – S) + 3S = 28, hay S2 + 5S – 50 = 0. Phương trình này có hai nghiệm S = 5
hoặc S = -10
Nếu S = 5 thì P = 6 thoả mãn
– 5T + 6 = 0
S
2
4P
nên x, y là nghiệm của phương trình T2
(T - 2)(T - 3) = 0, suy ra (x, y) = (2; 3) hay (x, y) = (3; 2)
Nếu S = -10 thì P = 21 thoả mãn
T2 + 10T + 21 = 0
S
2
4P
nên x, y là nghiệm của phương trình
(T + 3)(T + 7) = 0, suy ra (x, y) = (-3; -7) hay (x, y) = (-7; -3).
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là: (x; y)
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình:
x
xy
y
xy ( x
m
y)
1
2 ,3 ; 3 , 2 ;
7, 3 ;
3, 7
Xác định m để hệ có ít nhất nghiệm
m
thoả mãn x > 0; y > 0.
Giải: Đặt S = x + y; P = xy. Ta có hệ:
S
P
SP
m
1
m .1
S
m
P
1
S
1
P
m
- Với S = m; p = 1 ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – mX + 1 = 0
m
Hệ có ít nhất nghiệm x > 0, y > 0
2
4
s
m
0
p
1
0
0
m
2
- Với S = 1, P = m ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – X + m = 0
16
Hệ có ít nhất nghiệm x > 0, y > 0
s
1
4m
1
0
0
0
1
m
4
p
1
Vậy giá trị m cần tìm là: 0 < m
m
0
2. Đến đây chúng ta có thể nói rằng:
hoặc m
4
học sinh đã được vận dụng khá nhiều kiến thức để giải quyết các bài tốn trên. Đơi
khi chúng ta phải đặt ẩn phụ bởi một biểu thức chứ không phải một hai ẩn như các ví
dụ trên. Chẳng hạn
x
Ví dụ 3.Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:
x
Giải: Hệ phương trình
2
x
Bây giờ ta đặt a =
x
2
y
và b =
2
y
3
3
y
3
2
x
y
b
5
y
3
5
m
5
m
(a
1
0; b
a
) HPT
0
a
2
b
2
m
1
Bài toán chuyển về tương tự như ví dụ 2. Học sinh dễ dàng tìm ra lời giải.
d. Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
1)
x
2
xy
xy
x
2
x
xy
3
2
y
x y
5)
y
y
4
2)
2
2
3
30
6)
35
x
x
y
2
x
y
y
2
x y
7
xy
2
3x
y
xy
x
2
3y
6
16
3)
xy
x
2
x y
xy
x
7)
20
y
x
11
2
30
y
y
4)
2
y
3( x
4
xy
x
8)
x
13
y)
4
x
4
2
y
2 xy
4
y
9
0
34
2
Kết quả:
1) (0;2); (2;0)
2)
(2;
3)
4)
(3; 2 ), ( 2 ; 3 ), ( 2
(1; 5 ) , ( 5;1) , ( 2 ; 3 ) , ( 3; 2 )
3 ) , ( 3 ; 2 ) , (1
1 0 ;1
1 0 ) , (1
10
10
; 2
2
5)
6)
( 2 ; 3 ); (3; 2 )
Bài tập 2.
x
x
y
x
y
(1; 4 ) , ( 4 ;1 )
7) (4;4)
8)
1 0 ;1
10
), ( 2
2
(1
10 )
2 ;1
10
; 2
2
2 ) , (1
)
2
2 ;1
2)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:
1
y
1
3m
Dạng 7. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a. Định nghĩa: Nếu là hệ phương trình hai ẩn x, y mà khi thay đổi vai trị x, y
cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
17
b. Cách giải
Trừ vế với vế hai phương trình cho nhau và biến đổi phương trình về dạng tích.
Kết hợp với một trong hai phương trình của hệ để tạo thành hệ phương trình
mới. Giải hệ phương trình mới rồi suy ra nghiệm của hệ ban đầu.
c. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
y
2
x
3
3x
2
2x
x
2
y
3
3y
2
2y
Giải: Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta có hệ phương trình:
x
(x
x
y )( x
2
y
2
3
xy
3y
2
2
y
2x
2y
2)
x
0
2y
x
y
2
2
0
y
3
xy
3y
y
2
2
(I )
2y
2x
2y
2
0
( II )
x
2
y
3
3y
2
2y
Giải hệ phương trình (I) ta có x = 0, y = 0; x = y =2 +
2
;x=y=2-
2
Hệ phương trinh (II) vô nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
y
x
2
2
x
y
2 m (1 )
x
y
2 m (2)
a. Giải hệ phương trình khi m = 0
b. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó
Giải: Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế ta có: y2 - x2 = 0
y = x hay y = -x
Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình:
y
x
hay
y
x
x
2
(3)
2x
2m
0
x
(4)
2
2m
a. Giải hệ phương trình khi m = 0
Ta có
y
x
x
2
(3)
2x
hệ phương trình có hai nghiệm x = 0; y = 0 và x = 2; y = 2.
0
b. Định m để hệ có nghiệm duy nhất.
* Nếu m > 0 (4) -> x2 = 2m có hai nghiệm phân biệt nên loại.
* Nếu m < 0 (4) -> x2 = 2m vơ nghiệm. Từ đó hệ phương trình có đúng một nghiệm
18
Hệ phương trình (3) có đúng một nghiệm khi x2 - 2x - 2m = 0 có nghiệm kép ' =
1 + 2m = 0
1
m=
1
và hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1. Vậy khi m =
2
thì hệ
2
phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1.
d. Bài tập áp dụng.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
3x
1
y
x
1)
3y
4)
2x
y
2y
x
2
y
2
2
2
2
x
2)
1
x
y
3y
x
3x
2
5
4x
5
5)
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình
x
y
2x
y
2y
x
3
y
3
x
2
2
3)
2
2
y
4y
2
x
3
2x
2
2x
1
2y
y
3
2y
2
2y
1
2x
2
2
3
2
6)
3
7x
2
7y
mx
2
2x
y
2y
x
3
4y
3
4x
2
2
15
15
có nghiệm duy nhất.
my
Dạng 8. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.
a. Định nghĩa: Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng
a1 x
b1 y
c1 z
d1
a2x
b2 y
c2z
d
a3x
b3 y
c3 z
d
2
3
b. Cách giải:
x
Cách 1. Chuyển hệ phương trình đã cho về dạng
a0
u1
a3x
Đặt
x
a0
u1
y
b0
u2
z
c0
= t. Lúc này ta có:
u3
y
u 1t
a0
y
u 2t
b0
z
u 3t
c0
z
u2
b3 y
x
b0
c3z
c0
u3
d
3
Thay vào phương trình cịn
lại giải tìm t rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình.
c. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
x
y
4
7
4x
3y
z
6
2z
49
19
Giải: Đặt
x
y
4
7
z
= t ta có
x
4t
y
7t
Thay vào phương trình hai ta có:
6
z
6t
4.4t + 3.7t + 2.6t = 49 suy ra t = 1. Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
x = 4; y = 7; z = -6.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
3x
2y
0
7y
5z
0
x
y
z
Giải: Từ hai phương trình ban đầu ta có
x
y
z
10
15
21
Đặt
16
x
y
2
3
và
y
z
x
y
z
5
7
10
15
21
= t. Suy ra x = 10t; y = 15t; z = 21t. Thay vào phương trình thứ ba ta
có 10t + 15t - 21t = 16 suy ra t = 4. Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình là:
(40; 60; 84).
Cách 2. Từ hai trong ba phương trình ta xem ẩn nào đó là tham số (chẳng hạn
z) Giải phương trình ẩn x; y theo tham số z. Rồi thay vào phương trình 3 tìm z. Từ đó
suy ra nghiệm của hệ.
x
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
Giải: Từ (1) và (3) ta có
x
y
z
12 (1 )
2x
y
z
2x
y
3z
4z
y
17
5z
7 (2)
5 (3)
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
29
phương trình 2(4z - 17) - (-5z + 29) + z = 7 -> z = 5. Từ đó suy ra nghiệm của hệ
phương trình là (3; 4; 5).
Cách 3. Giải hệ phương trình theo phương pháp định thức:
Bước 1. Tính định thức:
D =
Dx =
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
d1
b1
c1
d
2
b2
c2
d
3
b3
c3
a1
d1
b2
c2
b3
c3
b2
c2
b3
c3
b1
a2
c2
a3
c3
d
b1
d
2
c2
3
c3
c1
c1
a2
b2
a3
b3
d
2
b2
d
3
b3
20
Dy =
Dz =
a1
d1
c1
a2
d
2
c2
a3
d
3
c3
a1
b1
d1
a2
b2
d
2
a3
b3
d
3
Nếu D
d
a1
a1
d
2
c2
3
c3
b2
d
b3
d
2
a2
c2
a3
c3
a2
d
a3
d
d1
b1
3
c1
2
a2
d
2
a3
d
3
a2
b2
a3
b3
d1
3
0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x =
D
;y=
x
D
0 hoặc Dy
0 hoặc Dz
;z=
D
D
Nếu D = 0 và Dx
y
D
z
D
0 thì hệ phương trình vơ nghiệm.
Nếu D = Dx = Dy = Dz = 0 thì hệ có vơ số nghiệm.
x
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
y
z
12 (1 )
2x
y
z
7 (2)
2x
y
3z
5 (3)
Tính định thức: D = 14; Dx = 42; Dy = 56; Dz = 70.
Từ đó suy ra x = 3; y = 4; z = 5 là nghiệm của hệ phương trình.
d. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
1.
4.
7.
x
y
z
1
x
2y
4z
8
x
3y
9z
27
x
y
x
3y
4z
8
x
3y
2z
7
x
y
z
5
7
3
2x
y
4z
2z
x
2.
y
2x
x
4
x
5x
8.
30
z
2z
y
6
10
3y
2
6z
5
6.
5
z
2x
9.
1
2z
3y
4
3z
6
3y
4z
7
2x
y
3z
4
3x
2y
2z
5x
4y
2
x
2
2z
y
x
3z
y
3.
5
4y
y
x
12
3z
x
4x
12
3y
y
2x
5.
z
2
y
3
4x
3
1
4
y
z
z
7
3
Dạng 9. Hệ hốn vị dạng tổng
a. Cách giải.
Bước 1. Cộng vế với vế các phương trình lại.
Bước 2. Lấy phương trình này trừ đi từng phương trình của hệ để suy ra nghiệm của
hệ phương trình.
b. Ví dụ minh hoạ.
21
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
x
y
4
1
y
z
7
2
z
x
5
3
Giải: Cộng vế theo vế các phương trình ta có x + y + z = 8 (4). lấy phương trình này
trừ đi từng phương trình của hệ ta được:
(4) - (1)
z = 4; (4) - (2)
x = 1; (4) - (3)
1
Từ ví dụ 1 nếu ta thay x bởi
1
; y bởi
x
y = 3. Vậy hệ có nghiệm là (1; 3; 4)
; z bởi
1
ta sẽ có một hệ phương trình mới
z
y
khó hơn đơi chút:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
1
1
x
y
1
1
y
z
1
1
z
x
1
2
. Cách giải hoàn toàn tương tự như trên học
5
sinh dễ dàng suy ra nghiệm của hệ phương trình.
Từ ví dụ 2 ta lại tiếp tục quy đồng khử mẫu để đưa về một hệ phương trình mới hay
hơn.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình.
3 xy
2(x
y)
5 yz
6( y
z)
4 xz
3( x
z)
Giải: Rõ ràng (0; 0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
x
y
xy
Khi x; y; z khác 0 HPT
y
z
yz
x
z
xz
3
1
1
3
2
x
y
2
5
1
1
5
6
y
z
6
4
1
1
4
3
x
z
3
cách giải hoàn toàn tương tự như
ví dụ 2 học sinh dễ dàng suy ra được nghiệm của hệ phương trình.
Hồn tồn tương tự học sinh có thể giải quyết được dạng tốn này với hệ bốn
phương trình bốn ẩn, chẳng hạn:
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau theo tham số a, b, c, d:
y
z
u
a
x
z
u
b
x
y
u
c
x
y
z
d
22
Giải: Cộng cả bốn phương trình của hệ thì được x + y + z + u =
1
(a
b
c
d)
3
Lấy phương trình này trừ cho phương trình thứ nhất của hệ thì được.
x
1
2a
b
c
d
.
3
Tương tự ta tính được,
1
y
a
2b
c
d
;
1
z
3
a
b
2c
d
;
1
u
3
a
b
c
2d
.
3
c. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
xy
1.
x
y
16
y
z
28
z
x
22
2.
x
y
25
y
z
30
z
x
29
3.
x
y
x
y
z
72
y
z
x
y
z
120
x
z
x
y
z
96
x
12
y
yz
4.
y
18
z
xz
x
5
5
36
z
13
Dạng 10. Hệ hốn vị dạng tích:
a. Cách giải :
Bước 1. Nhân các phương trình của hệ vế theo vế,
Bước 2. Lấy phương trình này chia cho từng phương trình của hệ, rồi suy ra nghiệm
của hệ phương trình.
b. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
x.y
5
(1 )
y .z
15
(2)
z .x
3
(3)
Giải: nhân các phương trình của hệ vế theo vế ta có (x.y.z)2 = 152. Suy ra x.y.z = 15
hay x.y.z = -15.
Khi x.y.z = 15 (4). Lấy phương trình này chia cho từng phương trình của hệ ta được:
z = 3; x = 1; y = 5.
Khi x.y.z = -15 (5). Lấy phương trình này chia cho từng phương trình của hệ ta được:
z = -3; x = -1; y = -5.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:(1; 3; 5) và (-1; -3; -5).
23
Bây giờ nếu ta thay x bởi (x - 1); y bởi (y - 2); z bởi (z - 3) ta có hệ phương trình:
x
1
y
2
5
xy
2x
y
y
2
z
3
15
yz
3y
2z
z
3
x
1
3
zx
z
3x
3
9
Ta có bài tốn khó hơn.
0
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
xy
2x
y
4
yz
3y
2z
zx
z
2
3x
0
Giải: Biến đổi hệ phương trình về dạng:
x
1
y
2
6
y
2
z
3
8
z
3
x
1
. Nhân cả ba phương trình
3
này vế theo vế ta có [(x - 1)(y - 2)(z - 3)]2 = 144 = 122.Suy ra (x - 1)(y - 2)(z - 3)=12
hay (x - 1)(y - 2)(z - 3) = -12. Từ đó học sinh dễ dàng suy ra được nghiệm của hệ
phương trình.
Lại thay x bởi
1
1
1
1
x
y
y
z
1
1
1
1
y
z
z
x
1
1
1
1
z
x
x
y
1
1
x
y
; y bởi
1
1
y
z
; z bởi
1
1
z
x
ta có hệ phương trình:
5
15
2
x
y
y
z
5 xy
z
y
z
z
x
15 xyz
z
x
x
y
3 x yz
2
. Ta có bài tốn mới.
2
3
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
2
x
y
y
z
5 xy
z
y
z
z
x
15 xyz
z
x
x
y
3 x yz
2
2
Giải: Nhận thấy (0; 0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình,
Khi x; y; z khác 0. Biến đổi hệ phương trình về dạng:
1
1
1
1
x
y
y
z
1
1
1
1
y
z
z
x
1
1
1
1
z
x
x
y
5
15
.
3
2
Nhân cả ba phương trình vế theo vế ta có:
1
1
1
1
1
1
x
y
y
z
z
x
15
2
.
24
Suy ra:
1
1
1
1
1
1
x
y
y
z
z
x
= 15 hay
1
1
1
1
1
1
x
y
y
z
z
x
= -15. Đến đây học sinh
dễ dàng suy ra nghiệm của hệ phương trình.
Kết hợp cả hai dạng 9 và 10 yêu cầu học sinh giải hệ phương trình.
xyz
x
2
y
xyz
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:
y
1
z
5
xyz
z
Giải: Rõ ràng xyz
0. x + y
1
1
x
1
2
0; y + z
0; z + x
0. Viết mỗi phương trình của hệ
dưới dạng nghịch đảo của từng vế,
x
y
xyz
y
z
xyz
x
z
zyx
ta được
có:
1
1
1
1
2
yz
zx
2
5
1
1
5
6
xz
xy
6
2
1
1
2
3
xy
yz
3
1
1
1
xy
yz
zx
x.y
2
y .z
6
z .x
3
1
( Dạng 9) Cộng cả ba phương trình vế theo vế
. Kết hợp phương trình này với các phương trình của hệ trên ta
(Dạng 10) Nhân cả ba phương trình vế theo vế ta được (xyz)2=62 Suy ra
xyz = 6 hoặc xyz = -6. Từ đó học sinh có thể tìm ra nghiệm của hệ phương trình đã
cho.
c. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
x
1.
xy
y
1
y
yz
z
3
z
zx
x
7
x
;
2.
xy
y
x
3
3y
yz
z
z
zx
3x
;
4
17
3.
y
y
z
4 xy
2
z
2
y
z
z
x
4 xyz
z
x
x
y
4 x yz
2
Dạng 11. Hệ phương trình vơ tỉ.
Ta xét các hệ phương trình chứa các ẩn dưới dấu căn. Có những hệ qua phép
đặt ẩn phụ có thể đưa về hệ quen thuộc đã xét, có những hệ sau khi nhân liên hợp có
thể đưa về hệ phương trình hữu tỉ. Tuy vậy có những hệ phải đòi cách biến đổi riêng.
Sau đây là một số ví dụ.
25
