SKKN Toán 10 hướng dẫn học sinh phân tích véc tơ

MỤC LỤC
Mục

Trang

I. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 2
II. Cơ sở lí luận........................................................................................... 2
1. Đặt vấn đề ....................................................................................... 2
2. Các biện pháp thực hiện .................................................................. 2
III. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài ...................... 3
1. Thuận lợi ......................................................................................... 3
2. Khó khăn ......................................................................................... 3
IV. Nội dung đề tài ..................................................................................... 3
1. Một số kiến thức liên quan............................................................... 3
2. Nội dung........................................................................................... 4
3. Bài tập rèn luyện............................................................................ 13
V. Kết quả ................................................................................................ 14
VI. Bài học kinh nghiệm .......................................................................... 14
VII. Kết luận ............................................................................................ 15
VIII. Tài liệu tham khảo ........................................................................... 15

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

1


Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH
MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHƠNG CÙNG PHƯƠNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần

kiến thức mới đối với các em học sinh. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng
minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường trịn. Nó cũng là cơ sở để
trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngồi ra, các kiến thức về vectơ
cịn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo
hai lực thành phần…
Phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương là bài tốn ngược
của bài tốn tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích
một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương cịn giúp học sinh giải các bài tập
chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là
một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các
em u thích mơn Hình học. Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn
lúng túng khi gặp các bài về dạng này.
Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy
cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các mơn khoa
học, hướng tư duy khái qt. Do đó tơi đã trình bày đề tài HƯỚNG DẪN HỌC
SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ
KHƠNG CÙNG PHƯƠNG
II. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Đặt vấn đề:
Trong các đợt thi đại học, đã có khơng ít học sinh thi đạt kết quả cao,
nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí khơng thể học
tiếp. Lí do vì sao? Phải chăng các em khơng chú ý học? Đó khơng phải là lý do
chính, quan trọng là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy
luận, khái qt cịn yếu. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:
+ Ngoài sự yêu nghề, lịng đam mê bộ mơn tốn học người thầy phải có
phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo,
phát triển tư duy của các em.
+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học
tập để nâng cao trình độ mà cịn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt
cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng.

2. Các biện pháp thực hiện:
Để giải quyết những vấn đề trên tôi đề xuất giải pháp sau:
+ Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo
khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương
pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học
sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

2


khai thác, mở rộng bài tốn, biết nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ giúp học sinh
có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề.
Để cụ thể hoá điều trên, tơi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn
giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp
dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:
* Có nhiều cách trình bày giải khác nhau.
* Từ một bài tốn cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài tốn tổng qt,
nâng cao.
* Kết quả của bài tốn này có thể sử dụng để làm bài toán khác.
III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI.
1.Thuận lợi:
- Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ
với một số và các tính chất của các phép tốn đó. Các em so sánh được các phép
toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học.
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương có áp dụng trong
một số bài tốn có nội dung vật lý liên quan đến thực tế.
- SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.

- Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các
lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
2. Khó khăn:
- “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ
trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài
tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, khơng có
thời gian luyện tập, nhiều em cịn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách
trình bày bài giải.
- Các bài tập trong SGK cịn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ
năng giải bài tập cho HS.
IV. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Một số kiến thức liên quan:
• Quy tắc r điểm: với r điểm A, B, C tùy ý ta có:
ba uuu uuu3
uuu
r
AC = AB + BC
uuu uuu uur
r
r
u
AC = BC − BA

• Quy tắc hình bình hành:
uuu uuu uuu
r
r
r
Tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
• Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng: r uuu r

uuu
r
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0
uuuu +M rlà uuu
r uuu trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có:
r

2OM = OA + OB

• Tính chất trọng tâm của tam giác:

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

3


uuu uuu uuu r
r
r
r

+ G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0
là r
uuu + uuu G r trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có:
r Nếu uuu uuu
r
3OG = OA + OB + OC .
• Điều kiện hai vectơ cùng phương:
rr r r
r

r
a, b b ≠ 0 cùng phương ⇔ ∃k : a = k b , ( k ∈ R).

(

)

• Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
uuu
r
uuu
r
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k sao cho AB = k AC , ( k ∈ R).
• Phân tích mộtrvectơ theo hai vectơ khơng cùng phương:
r
r
Cho hai vectơ a và b khơng cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân
r
r
tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số
r
r r
h, k sao cho x = ha + kb .
rr
r
r
• Nếu a, b khơng cùng phương mà ma = kb thì m = 0 và k = 0.
• Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: sử
dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép tốn vectơ để biểu
thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.

• Có hai hướng giải:
+ Từ giả thiết của bài tốn xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai
triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm.
+ Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của
bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi
dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n.
2. Nội dung :
Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10.
Đề bài: Cho AK uuu BM là hai trung tuyến của uuuu giác ABC. Hãy phân
uuu uuu và
r r r
r uuu r tam
r
r
tích các vectơ AB, BC , CA theo hai vectơ u = AK , v = BM .
r uuu r uuuu
r
r
uuu
r
* Với ý thứ nhất: phân tích vectơ AB theo hai vectơ u = AK , v = BM .
GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
khơng cùng phương. Nêu các hướng giải?
uuu
r
GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ AB có thể phân tích
thành tổng của uuu vectơ khơng cùng phương nào?
uuu hai uuu
r

r
r
TL: uuu = uuuu+ KBr
AB AKr uuu
r
AB AM MB
uuu = uuu +uuu
r
r
r
AB = AC + CB

……….
GV: Gọi một em lên bảng làm bài .
Khi HS hoàn thành bài giải trên bảng, ta bắt đầu sửa lời giải:
C
M

Bài giải:
A
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

G

K
B

4

Cách 1:
Theo quy tắc ba điểm ta có:

uuuu
r
r
uuu uuu uuu uuu uuuu uuu
r
r
r
r
r
r
1 uuu
, mà KM = − AB (vì MK là đường trung
AB = AK + KB = AK + KM + MB
2

bình của tam giác ABC).
Do đó:

uuu uuu 1 uuu uuuu
r
r
r
r
AB = AK − AB − BM
2
uuu 1 uuu uuu uuuu
r

r
r
r
⇔ AB + AB = AK − BM
2
uuu uuu uuuu
r
r
r
3
⇔ AB = AK − BM
2
uuu 2 uuu 2 uuuu 2 r r
r
r
r
Hay AB = AK − BM = (u − v) .
3
3
3

uuu uuuu
r
r

uuu
r

GV: Cịn cách nào phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK , BM nữa
không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào?

Cách 2: uuu uuu uuu
r
r
r
uuu
r uuuu
r
Ta có: AB = CB − CA = −2 BK + 2 AM
uuu
r
uuu uuu
r
r
uuuu uur
r
u
⇔ AB = −2( AK − AB) + 2( BM − BA)
uuu
r uuu
r uuuu
r
⇔ 3 AB = 2 AK − 2 BM
uuu 2 uuu 2 uuuu 2 r r
r
r
r
⇔ AB = AK − BM = (u − v)
3
3
3

Để rèn luyện tư duy của HS, GV cho nhận xét về vị trí của điểm M và K?
Từ đó suy ra cách giải 3.
Cách 3:
Vì M,rK lần lượtrlà các trung r uuucủa các cạnhrAC và BC, ta có:
điểmr
uuu uuu uuu uuu
r
r uuuu
uuu uuuu
r
2 AK = AB + AC = AB + 2 AM = AB + 2( AB + BM )
uuu
r uuu
r uuuu
r
⇔ 3 AB = 2 AK − 2 BM
uuu 2 uuu 2 uuuu 2 r r
r
r
r
Hay AB = AK − BM = (u − v) .
3
3
3

GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất
trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?
Cách 4:
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.

uuu uuu uuu
r
r
r

Theo qui tắc ba điểm, ta có: AB = AG + GB =

r
r
2 uuu 2 uuuu 2 r r
AK − BM = (u − v) .
3
3
3

Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thìrta làm r uuuu nào ?
uuu
uuunhư thế
r
Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: AB = m AK + nBM (1).
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
uuu
r

Ta có: AG =

r r
r
2 uuu uuu 2 uuuu
AK ; BG = BM

3
3

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

5


uuu uuu uuu
r
r
r

Theo qui tắc ba điểm: AB = AG + GB
uuu uuu
r
r

r
r
3 uuu 3 uuu
2
2

3
2

r
 uuu


3
2

uuu
r

Do đó (1) ⇔ AG + GB = m AG + nBG ⇔  m − 1÷AG = (− n − 1) BG (2)
2

3
m= 3
 2 m −1 = 0
uuu uuu
r r


⇔
Vì AG, BG không cùng phương nên từ (2) ⇒ 
− 3 n − 1 = 0
n = − 2
 2

3


uuu 2 uuu 2 uuuu 2 r ur
r
r
r

Vậy AB = AK − BM = (u − v) .
3
3
3

Sau khi hướng dẫn HS các cách giải và trình bày ý thứ nhất, GV cho các
em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất.
uuu uur
r u
* Làm tương tự với ý thứ 2 và 3: phân tích vectơ BC , CA theo hai vectơ
r uuu r uuuu
r
r
u = AK , v = BM

GV :Gọi HS trình bầy cách giải và ghi kết quả.
uuu
r
2r 4r
= u+ v
* BC =
3
3
r 2r
uuu
r
4
* CA = − u − v .
3
3

Để học sinh luyện khả năng khái quát. GV có thể hỏi: có một cơng thức
nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
cho trước không? Cho HS làm bài toán sau:
Bài toán 1:
M
thẳng BC sao cho
uuu Cho u tam giác ABC. Điểm uuuu nằm trên đường uuu
r
uuur
r
r
uuu
r
MB = k MC ( k ≠ 1) . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC .
HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài tốn
Bài giải:
uuu
r

uuur
u

uuu uuuu
r
r

(
uuu
r

uuu uuuu
r
r

Ta có: MB = k MC ⇔ AB − AM = k AC − AM
uuuu uuu
r
r
⇔ (1 − k ) AM = AB − k AC
uuu
r uuu
r
uuuu AB − k AC
r
⇔ AM =
1− k

)

GV: Có nhận xét gì khi k = – 1?
uuuu
r

Nếu k = – 1 thì ta có AM =

r
r
1 uuu uuu
AB + AC . Đúng với tính chất trung điểm

2

(

)

của đoạn thẳng.
Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:
Bài toán 2:
tam
đường
uuuu Chouuur giác ABC. Điểm M nằm trênuuu uuu thẳng BC sao cho
r
u
r
uuuu
r
r
nBM = mMC . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC .
GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài tốn 1; để áp dụng
được cơng thức của bài tốn 1 ta làm thế nào?
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

6


Bài giải:
uuuu
r

uuur
u
uuuu uuu
r
r
uuu uuuu
r
r
⇔ n AM − AB = m AC − AM
uuuu
r uuu
r
uuu
r
⇔ (m + n) AM = n AB + m AC
uuuu
r
r
r
n uuu
m uuu
⇔ AM =
AB +
AC
m+n
m+n

Ta có: nBM = mMC

(

)

(

)
uuuu
r

uuur
u

uuu
r

Nếu áp dụng theo bài tốn 1 thì phải đưa nBM = mMC về MB = −
uuu m uuu
r
r
AB + AC
uuuu
r
m
n
tức là k = − . Khi đó AM =
m
n
1+
n
uuuu

r
r
r
n uuu
m uuu
⇔ AM =
AB +
AC .
m+n
m+n

u
m uuur
MC
n

GV: Như vậy từ hai bài tốn trên ta có những nhận xét gì?

uuu
r uuu
r
uuu
r
uuur
u
uuuu AB − k AC
r
- Nếu MB = k MC ( k ≠ 1) thì với điểm A bất kì ta có: AM =
(*)
1− k

uuuu
r
r
r
uuuu
r
uuur
u
n uuu
m uuu
AB +
AC (**)
- Nếu nBM = mMC thì với điểm A bất kì ta có AM =
m+n
m+n

GV: Gọi HS lên bảng HS làm bài tập áp dụng.
Ví dụ uuu Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấyuuu điểm
1:r uuur
một
u
r
uuuu
r
uuu
r
M sao cho MB = 3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC .
Bài giải:
Áp dụng cơng thức (*), uuu uuu
r

r
uuu
r

uuur
u

uuuu
r

ta có: MB = 3MC ⇒ AM =

r
r
AB − 3 AC 3 uuu 1 uuu
= AC − AB
1− 3
2
2

là uuu
uu Víuudụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi Iuuu điểm trên cạnh BC sao cho
r
r
r
uur
r
2 IC = 3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .
Bài giải:
uu

r uu
r
- Áp dụng công thức (**), ta có: 3BI = 2 IC
uur

Do đó: AI =

r
r
r
r
3 uuu
2 uuu 3 uuu 2 uuu
AB +
AC = AB + AC .
3+ 2
3+ 2
5
5

Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng
phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.
Từ hai bài tốn trên, ta có thể lật ngược vấn đề là:

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

7


tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ

uuuu Nếu rcho uuu
r
uuu
r
AM = α AB + β AC thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay khơng và cần
thêm điều kiện gì ?
Để giải quyết vấn đề đó ta xét bài tốn sau:
Bài tốn 3:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi
α + β = 1

r
uuu
r
uuu
r
và chỉ khi tồn tại các số α , β sao cho  uuuu
 AM = α AB + β AC

Bài giải:
M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng
uuuu
r
uuu
r
⇔ ∃k : BM = k BC (điều kiện 3 điểm thẳng hàng)
uuuu uuu
r
r
uuu uuu

r
r
⇔ ∃k : AM − AB = k AC − AB
uuuu
r
uuu
r uuu
r
⇔ ∃k : AM = ( 1 − k ) AB + k AC
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
 AM = α AB + β AC

⇔ ∃α , β : 
(đặt α = 1 − k , β = k )
α + β = 1

các số α , β xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần

(

)

phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương của bài học)
Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương , cho HS làm thêm các bài tập.

Bài tập 1:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB
1
3

1
2

và CD sao cho AM = AB, CN = CD .
uuu
r

uuu r uuu r
r
r

a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB = a , AC = b
uuu
r
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích AG theo hai
rr
vectơ a, b .
GV: Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất
Lưu ý: Nếu giả thiết bài tốn cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng
tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.
Bài giải:
M

A

B

G

D

N

C

a) vìuuu là uuu uuu của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có:
N trung điểm
r
r
r
2AN = AC + AD ;
uuu uuu uuu
r
r
r uuu uuu uuu
r
r
r
ABCD là hình bình hành nên: AB + AD = AC ⇒ AD = AC − AB
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r uuu uuu
r

r
Vậy 2 AN = AC + AC − AB = 2 AC − AB
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

8


uuu uuu 1 uuu
r
r
r
2

1r r
2

Do đó: AN = AC − AB = − a + b

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:
uuu uuuu uuu uuu 1 uuu 1 uuu uuu uuu 5 uuu uuu
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r

3 AG = AM + AN + AB = AB − AB + AC + AB = AB + AC
3
2
6
uuu 5 uuu 1 uuu 5 r 1 r
r
r
r
Vậy, AG = AB + AC = a + b
18
3
18
3

* Ta có thể tổng quát, mở rộng Bài tập 1 bằng các câuuuu sau: uur
hỏi uuu
uu
r
r r
c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI = mBC , AJ = n AI . Hãy
uur uuu
r
rr
phân tích các vectơ AI , AJ theo hai vectơ a, b và m, n.
d) Xác định m để AI đi qua G.
Với câu c) HS có thể dễ dàng tìm ra lời giải
Giải c) :Theo qui tắc 3 uur uuu có:r uuu
điểm, ta uu
r
r

uuu uuu
r
r
uuu uuu
r
r
AI = AB + BI = AB + mBC = AB + m( AC − AB )
uuu
r
uuu
r
r
r
= (1 − m) AB + m AC = (1 − m)a + mb .
uuu
r
uu
r
Từ giả thiết : AJ = n AI .
uu
r
r
r
Mà AI = (1 − m)a + mb
uuu
r
r
r
Vậy AJ = n(1 − m)a + nmb

GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm
phân biệt thẳng hàng ?
Giải d:
uuu
r

r
r
5 uuu 1 uuu
AB + AC ;
uu
r 18 uuu3 uuu
r
r
Theo kết quả câu c, ta có: AI = (1 − m) AB + m AC
uur uuu
r
Để AI đi qua G thì AI , AG cùng phương
uuu
r
uuu
r
r
r
uur
uuu
r
5 uuu
1 uuu
⇔ (1 − m) AB + m AC = k AB + k AC

Suy ra: AI = k AG
18
3
5k
6


1 − m = 18
m = 11


⇒
⇒
m = k
 k = 18


3

11

uur 18 uuu
r
6
m=
AI = AG thì AI đi qua G.
Vậy với
và
11
11

Theo kết quả câu b, ta có: AG =

Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả

uuuu
r uuu uuu 2 uuu
r r
r
AM = 2 AB, AN = AC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
5
uuuu uuur
r u
uuu uuu
r r
a. Hãy phân tích các vectơ MN , MG theo hai vectơ AB, AC .

b. Chứng minh MN đi qua trọng tâm G.
GV: gọi HS vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a.
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

9


Chú ý tìm cách gọn nhất.

A
N
G
B

Bài giải:

uuuu uuu uuuu
r
r
r

a) Ta có: MN = AN − AM =

r uuu
r
2 uuu
AC − 2 AB
5

C

M

uuuu uuu uuuu 1 uuu uuu
r
r
r
r
r
uuu 1 uuu 5 uuu
r
r
r

MG = AG − AM = ( AB + AC ) − 2 AB = AC − AB .
3
3
3

GV: Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G?
TL: MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
GV: Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì?
Từ đó suy ra cách giải câu b.
b) Theo kết quả câu a.

uuuu
r uuu
r
uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuu
r
5MN = 2 AC − 10 AB 5MN = 2 AC − 10 AB


r
r
r
r
r
uuu

r
ta có:  uuuu uuu uuu ⇒  uuuu uuu
3MG = AC − 5 AB
6 MG = 2 AC − 10 AB


uuuu 6 uuuu
r
r
Suy ra: MN = MG hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G.
5

Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần
uuu
r

uuu uuu 1 uuu
r r
r
3
uuu
r
a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ
uuu
r
b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ

lượt là các điểm thoả BE = 2 BD, CF = CD .

uuu uuu

r r
AB, AF ;
uuu uuu
r r
AB, AE ;
uuu 1 uur
r
u
c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AJ = JC . Hãy biểu diễn
2
uu uur
r u
uu
r
vectơ IF theo hai vectơ JB, JC .

d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng.
GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu
nào ta có thể sử dụng cơng thức (*) hoặc (**)
Gọi HS lên bảng trình bày bài giải. Chú ý cách giải ngắn gọn.
A
J

Bài giải:

I
B

D

E

F

C

a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có:

uuu uuu uuu uuu 1 uuu uuu 1 uuu uuu
r
r
r
r
r
r
r
r 2 uuu 1 uuu
r
r
AD = AB + BD = AB + BF = AB + AF − AB = AB + AF
3
3
3
3

(

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

)

10


-Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết

uuu
r uuu uuu 1 uuu
r r
r
uuu
r
r
1 uuu
BE = 2 BD, CF = CD suy ra DB = − DF
3
2

uuu 1 uuu
r
r
AB + AF
uuu
r
r
r
2 uuu 1 uuu
2
= AB + AF .
Vậy theo công thức (**), ta có: AD =

1
3
3
1+
2

b) Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo cơng thức hoặc theo
qui tắc 3 điểm:
uuu
r

r
r
1 uuu 3 uuu
2
2

Ta được kết quả: AF = − AB + AE .
GV: Với câu r ta có làm tương tự được khơng? vì sao? Với giả thiết của
uu c)
đề bài thì vectơ IF có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí
nhất ?
TL : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa
có dạng giả thiết của bài tốn 1 hoặc 2.
c) Ta có:
uu uu uuu uuu
r r
r
r
r

u
r
r
r 3 uur 1 uu uur
u
r
u
1 uuu 3 uur 1 uuu
1 uuu uu
IF = IA + AC + CF = − AB + JC + CB = − AJ + JB + JC + JB − JC
2
2
4
2
2
4
uur 1 uu 3 uur
u
r
u
uu uur
r
u
1
1
= − JC − JB + JC = − JB + JC .
2
4
2
4

(

)

(

GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?

)

uuu
r uuu
r
uu uu
r
r
AD = n AK = n AI + IK
Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì?
uur uu
r
nhận xét hệ số của AI , IK trong trường hợp này bằng nhau;
uuu
r
uur uur
Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ AD theo AI , IK , rồi từ đó suy ra

(

hai hệ số của chúng bằng nhau.

d) Ta có :
uur
uu
r
K nằm trên IJ ⇒ IK = mIJ

uuu
r

uuu
r

(

)

uur uu
r

)

Ba điểm A, K, D thẳng hàng ⇒ AD = n AK = n AI + IK (1)

uuu
r uuu
r
Từ giả thiết BE = 2 BD ⇒ D là trung điểm của BE, ta có:
uuu uuu uuu uuu 1 uuu uuu
r
r

r
r
r
r 3 uuu 1 uuu
r
r
2 AD = AB + AE = AB + ( AB + AC ) = AB + AC
2
2
2
uur 3 uuu
r uur 3 uur uu
r 9 uur 3 uu
r
= 3 AI + AJ = 3 AI + AI + IJ = AI + IJ
2
2
2
2
uuu 9 uur 3 uur
r
2 AD = AI +
IK
2
2m
uuu 9 uur 3 uur
r
⇒ AD = AI +
IK ( 2 )
4

4m

(

Từ (1) và (2) suy ra:

)

9
3
1
=
⇒m= .
4 4m
3

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

11


uu 1 uu
r
r
3

Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho IK = IJ thì ba điểm A, K, D thẳng
hàng.
Ngồi việc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương giúp
các em làm các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta cịn thấy nó được

ứng dung trong một số bài tốn có nội dung vật lý như bài tập sau:
Bài tập 4:
Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vng cân ở
đỉnh C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 5N. Hỏi có những lực nào tác
động vào bức tường tại hai điểm B và C?
GV: Gọi HS nhận xét lực sinh ra
bởi vật treo tại điểm A có thể phân
tích thành những lực thành phần
nào? Theo qui tắc nào?

B

A

C

5N

Bài giải:

B

ur
u
F
1

Theo hình vẽ
u
r

Tại điểm A có lực kéo F hướng

C

A

ur
u
F2

thẳng đứng uu uu dưới với cường độ r
xuống
5N.
r
r
ur
u
uu
u
r
u
r
Ta có F = F1 + F2 với 2 vectơ F1 và F2 lần
F
lượt nằm trên hai đường thẳng AC và AB.
Vì tam giác ABC vuông cân tại C
ur u
u
r
uu u

r
r
nên F1 = F và F2 = F . 2 .
Vậy có một lực ép vng góc với bức tường tại điểm C và một lực kéo bức
uuu
r
tường tại điểm B theo hướng BA với cường độ 5 2N .
Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, GV mở rộng thêm:
phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương không chỉ giúp các em
làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng mà nó cịn được
áp dụng trong khơng gian ở lớp 11; điều đó được thể hiện qua bài tập sau:
Bài tập 5:

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

12


Cho tứ diện r uuur trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N
ABCD, uuu
uuuu
r
uuu
r
sao cho AM = k AB, DN = k DC ( k ≠ 1) .
uuu uuu
r r
uuuu
r
a. Hãy biểu diễn vectơ MN theo hai vectơ AD, BC ;

Gọi r uuuuI lần uuu
uuu b.uuu uuuP, Q, r uuu lượt là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho
r
r
r
r
AP = λ AD, MI = λ MN , BQ = λ BC . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng.
A

uuu
r
OM = OA + AM =uuu + k AB
OA
uuu
r
r
= ( 1 − k ) OA + kOB .

Tương tự:
uuu
r

P

M

Bài giải:
a. Lấyuuuu uuubất kì, tauuu
điểm Or uuuu có:
r

r
r

 I
D

B

uuu
r uuu
r
ON = ( 1 − k ) OD + kOC .
Q
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuuu uuu uuuu
r
r
r
Suy ra: MN = ON − OM = ( 1 − k ) OD + kOC − ( 1 − k ) OA + kOB 


uuuu
r
uuu uuu
r

r
MN = ( 1 − k ) AD + BC

N
C

b.rLàm tương tự câu a. Ta có:
uu
uuuu
r uuur
PI = ( 1 − λ ) AM + λ DN

uuu
r
uuu
r uuu
r
PQ = ( 1 − λ ) AB + λ DC
uu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
Vậy PI = ( 1 − λ ) k AB + λ k DC = k PQ

Suy ra 3 điểm P, Q, I thẳng hàng.
Sau khi học và hoàn thành các bài tập, giáo viên cho một số bài tập để các

em rèn luyện, có thể giới thiệu cho các em một số tài liệu tham khảo hoặc những
bài toán hay và tổng quát để các em tham khảo và thử sức của mình.
3.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi Guuu trọng tâm tam giác D là điểm đối xứng
là uuu
r r
uuu
r
uuu
r
của B qua G. Hãy phân tích các vectơ AB, AC theo hai vectơ AG và AD .
uuu
r
Bài 2: Cho hình vng ABCD. E là trung điểm của CD. Hãy phân tích AE
uuu
r
uuu
r
theo hai vectơ AD và AB .
3: r tam uuu uuu uur r
Cho r
uuuu Bàiuuuu uuu giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho:
r
r r
MB = 3 MC , NA = −3NC, PA + PB = 0 .
uuu uuu
r r
uuu
r uuu

r
a. Hãy tính PM , PN theo hai vectơ AB và AC .
b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bởi
uuuu 1 uuur uuu 1 uuu
r
r
r
AM = AB ,AN = AC . Tìm điểm H thuộc AD sao cho ba điểm M, H, N
2
4
thẳng hàng.

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

13


Bài uuu Chouuu chữ nhật ABCD. F là trung điểm cạch CD. E là điểm xác
5:r
hình
r
định bởi AB = 2 EA .
uuu
r
uuu
r
uuu
r
a. Hãy phân tích vectơ EF theo hai vectơ AB và AC . uuur

b.uuu G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ DG theo hai vectơ
Gọi
uuu
r
r
AB và AD .
BJ
c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số
.
BI
Bài 6: Cho tam uuur ABC. Gọi r vàuulà các điểm xác định bởi các đẳng
giác r uu
D Ir r
uuu
r
r uu
thức vectơ: 3DB − 2 DC = 0, IA + 3IB − 2IC = 0 .
uuu
r
uuu
r
uuu
r
a. Phân tích vectơ AD theo hai vectơ AB và AC .
b. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.
c. Gọi M là trung điểm của AB. Hãy xác định điểm N trên AC sao cho ba
đường thẳng AD, BC, MN đồng quy.
Bài 7: Chorđiểm M nằm trên đường thẳng AB, N nằm trên đường thẳng
uuuu
uuu uuu

r
r
uuu
r
CD sao cho n AM = mMB, nCN = mND . Chứng minh rằng:
uuuu
r
MN =

r
r
n uuu
m uuu
AC +
BD
m+n
m+n
uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
Gợi ý: Từ n AM = mMB biến đổi về OM =

r
r
n uuu
m uuu
OA +

OB
m+n
m+n
uuu
r
r
r
uuu
r
uuu
r
n uuu
m uuu
OC +
OD
nCN = mND biến đổi về ON =
m+n
m+n

Suy ra điều cần chứng minh.
V. KẾT QUẢ
Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
khơng cùng phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh
đẳng thức vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em khơng cịn
lúng túng và kết quả bài kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt.
Cụ thể: Kết quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút và 15
phút của ba lớp 10 như sau:
Lớp
10A8
10A10

10D1

Trước khi thực hiện giải pháp
Bài 15 phút
Bài 45 phút
75 %
68 %
70 %
63 %
63 %
53 %

Sau khi thực hiện giải pháp
Bài 15 phút
Bài 45 phút
85 %
82 %
83 %
87 %
78 %
80 %

VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Để nâng cao chất lượng môn tốn nói chung và phần Hình học nói riêng,
cần có sự phối hợp giữa thầy và trò. Thầy hướng dẫn, gợi ý, trị phân tích tìm
hiểu, để tìm hướng đi. Sau mỗi bài học và giờ luyện tập giáo viên cho các em rút
ra những vấn đề cơ bản của bài học hoặc những dạng bài đã làm, dạng tổng qt
(nếu có), có thể mở rộng bài tốn theo những hướng khác nhau và cho thêm bài
theo từng dạng để các em hình thành kỹ năng giải của từng dạng tốn.
Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

14


Điều quan trọng nhất vẫn là sự cố gắng học tập của các em. Khơng ai có
thể thay thế cho các em được. Bản thân các em phải xác định đúng động cơ học
tập, có ý thức tự giác, ham học hỏi, có tinh thần vượt khó, xây dựng cho mình
phương pháp học tập khoa học, học kỹ lý thuyết trước khi làm bài tập.
Bên cạnh đó là sự gần gũi với học sinh, để các em không ngại khi cần trao
đổi những vấn đề mình chưa hiểu. Hãy cố gắng khơi dậy sự tự tin trong mỗi em
học sinh, ta sẽ tạo điều kiện cho các em đạt tới nhiều đỉnh cao trong học tập.
VII. KẾT LUẬN
Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương là dạng
bài phong phú và đa dạng. Từ một bài toán đơn giản trong SGK ta đã thấy có
nhiều cách trình bày lời giải, ở mỗi cách đều có thể nêu ra hướng tư duy để dẫn
đến cách giải đó. Từ bài tốn với các giá trị cụ thể, ta có thể rút ra bài toán tổng
quát, mở rộng bằng cách sử dụng kết quả của nó để làm bài dạng chứng minh ba
điểm thẳng hàng.
Với nội dung đề tài trên, tôi đã thực hiện trong thời gian khoảng 3 tiết đối
với ba lớp 10A8, 10A10 và 10D1 vào các giờ tự chọn và bước đầu tạo được
hứng thú cho học sinh. các em đã thể hiện được khả năng tư duy, phát triển khả
năng sáng tạo. Tuy nhiên thời gian dành cho phần học này cịn ít, các em luyện
tập khơng được nhiều, do đó việc hướng dẫn các em cách học, phương pháp giải
bài tập là rất quan trọng.
Tri thức là vơ hạn, trên đây chỉ là một ví dụ nhỏ về cách hướng dẫn học
sinh lớp 10 phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương. Do thời gian
làm có hạn nên tơi chưa khai thác hết được các cách phân tích một vectơ theo
hai vectơ khơng cùng phương và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự giúp
đỡ và góp ý chân tình của q thầy cô và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất
bản giáo dục, năm 2006.
-Tốn nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) –
Nguyễn Xuân Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2003.
-Tìm tịi các lời giải khác nhau của bài tốn Hình Học 10 như thế nào? –
PGS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội - 2008.
-Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu,
Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản
Đà Nẵng - 2002.
-Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích NgọcLê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005
Biên Hoà, ngày 25 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

15


Nguyễn Thị Qun

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn lớp 10

16