Khảo sát khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng mimo tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------ĐỖ HOÀI VĂN

ĐỖ HOÀI VĂN

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

KHẢO SÁT KHẢ NĂNG ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH THÍCH
NGHI ĐỐI TƯỢNG MIMO TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU
RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

2008 - 2010
Hà Nội – 2011


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn cao học “ Khảo sát khả năng điều khiển tách
kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo ngun lý
tách” là cơng trình nghiên cứu của tơi, có sự hướng dẫn của thày PGS. TS.
Nguyễn Dỗn Phước. Để hồn thành luận văn cao học này, tơi chỉ sử dụng những
tài liệu đã được ghi trong Danh mục tài liệu tham khảo mà không sử dụng bất cứ
một tài liệu nào khác. Nếu phát hiện có sự sao chép, tơi xin hồn tồn chịu trách
nhiệm.

Hà Nội, ngày 31 tháng 11 năm 2010

Tác giả

Đỗ Hoài Văn

7


LỜI NĨI ĐẦU
Điều khiển hệ thống là bài tốn can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu
chỉnh, để biến đổi sao cho nó có được chất lượng mong muốn. Kết quả của bài
tốn điều khiển có thể là một tín hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều
khiển tạo tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng. Các bộ điều khiển bao
gồm các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái và điều khiển
phản hồi tín hiệu ra.
Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho
hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình. Vì mong muốn sử dụng các
bộ điều khiển đó cho hệ MIMO người ta đã nghĩ đến việc can thiệp sơ bộ trước
vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra chỉ
phụ thuộc vào một tín hiệu vào.
Bộ điều khiển trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn
cho đối tượng dù trong q trình điều khiển ln có những tác động nhiễu. Để
ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO, cần
sử dụng kết hợp với bộ quan sát trạng thái để có thể lấy chính xác và đầy đủ nhất
các thơng tin về chất lượng động học của đối tượng. Xuất phát từ những yêu cầu
cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác giả muốn đóng góp một phần nhờ vào việc
nghiên cứu khả năng mắc nối tiếp bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản
hồi trạng thái tách kênh để có được bộ điều khiển phản hồi đầu ra tách kênh thích
nghi đối tượng MIMO tuyến tính theo nguyên lý tách.
Được sự hướng dẫn của thày PGS. TS Nguyễn Dỗn Phước-Trưởng bộ mơn
Điều khiển tự động Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã tiến hành nghiên

cứu đề tài:
Khảo sát khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến
tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách.
Với đề tài như vậy, quyển luận văn được chia làm 4 chương như sau:

4


• Chương 1: Tách kênh hệ MIMO tuyến tính. Chương này sẽ đề cập đến bài
toán điều khiển tách kênh hệ MIMO tuyến tính và hai phương pháp thiết kế
bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính là SmithMcMillan và Falb-Wolovich.
• Chương 2: Quan sát trạng thái. Chương này sẽ trình bày vai trị bộ quan sát,
tính quan sát được và quan sát được hồn toàn của hệ thống cùng hai bộ quan
sát trạng thái tiêu biểu là Luenberger và Kalman.
• Chương 3: Khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng MIMO
tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách. Chương này sẽ trình
bày về ngun lý tách, bài tốn tách kênh bằng phản hồi đầu ra và khảo sát
tính thỏa mãn nguyên lý tách trong điều khiển tách kênh hệ MIMO tuyến tính
với bộ điều khiển phản hồi đầu ra được ghép từ bộ điều khiển tách kênh phản
hồi trạng thái Falb-Wolovich và bộ quan sát Kalman. Đồng thời cũng bàn sâu
thêm về bộ quan sát trạng thái có thời gian hữu hạn Engel-Kreisselmeier để
ghép nối tiếp với bộ điều khiển Falb-Wolovich thành bộ điều khiển phản hồi
đầu ra mới.
• Chương 4: Mô phỏng kết quả bằng Matlab&Simulink. Chương này sẽ đưa
ra một ví dụ cụ thể, xét một hệ MIMO tuyến tính, thiết kế bộ điều khiển tách
kênh phản hồi trạng thái Falb-Wolovich và bộ quan sát Kalman. Xây dựng sơ
đồ mô phỏng trong Simulink rồi chạy mô phỏng hệ.
Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp giữa bộ quan sát
trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh thành bộ điều khiển phản
hồi đầu ra tách kênh hệ MIMO tuyến tính. Nói cách khác, sẽ chứng minh được

ngun lý tách cũng đúng trong điều khiển tách kênh.
Dựa trên lý thuyết được nghiên cứu của đề tài, sẽ thiết kế được bộ điều khiển cho
một số đối tượng tuyến tính trong thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu
vào việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra tách kênh cho đối tượng tuyến tính
trong các hệ thống điều khiển quá trình.

5


Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Dỗn
Phước. Nhân dịp này tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thày- người
đã đưa ra hướng nghiên cứu và tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tơi hồn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới các thày giáo đã dạy dỗ
trong suốt hai năm học cùng bạn bè đồng nghiệp và người thân đã giúp đỡ tơi trong
suốt q trình vừa qua.
Vì điều kiện về thời gian, cơng việc và khả năng bản thân có hạn nên bản luận
văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến góp ý sửa
đổi, bổ sung từ thày cô, bạn bè để bản luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 31 tháng 11 năm 2010
Tác giả

Đỗ Hoài Văn

6


Chương 1

TÁCH KÊNH HỆ MIMO TUYẾN TÍNH

1.1.

Nội dung bài tốn điều khiển tách kênh
Hệ thống điều khiển nhiều chiều là hệ có nhiều đại lượng điều chỉnh, tức
là có nhiều đại lượng đầu vào và nhiều đại lượng đầu ra( hệ MIMO). Trong
hầu hết các trường hợp, với ít nhất một đại lượng đầu vào sẽ ảnh hưởng tới
hơn một đầu ra. Đặc điểm này được gọi là tính ràng buộc hay là tính tương
tác.
Thơng thường chúng ta mong muốn đạt được khả năng điều khiển độc
lập với mỗi một biến đầu ra. Do đó một vấn đề quan trọng trong điều khiển
các hệ nhiều chiều là các phương pháp điều khiển tổng hợp tách kênh hệ
thống đó. Tính ổn định là một hạn chế cần thiết bởi vì sự khơng tương tác là
vơ nghĩa về mặt hình thức trừ phi hệ thống được tổng hợp đó là ổn định.
Sự phát triển của kỹ thuật thiết kế bộ điều khiển cho hệ MIMO có tầm
quan trọng rất lớn trong thực tế. Một cách thiết kế riêng biệt hướng tới sự
bao hàm cách sử dụng phản hồi để đạt được tính ổn định cho hệ kín. Cùng
với xu hướng này, nó cũng quan tâm tới việc có thể hay khơng việc có các
đầu vào điều khiển các đầu ra một cách độc lập, nghĩa là, một đầu vào chỉ
ảnh hưởng tới một đầu ra. Đó là vấn đề tách kênh hệ thống.
Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được
cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình. Vì mong muốn sử
dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO người ta đã nghĩ đến việc can thiệp
sơ bộ trước vào hệ MIMO với các đầu vào ui(t), biến một hệ thống MIMO
thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu vào
mới wi(t).

8

Hình 1.1: Mục đích của điều khiển tách kênh
Với việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO như vậy, ta nói rằng hệ
thống đã được phân ly, tín hiệu ra của một kênh chỉ phụ thuộc vào tín hiệu
vào của kênh đó và bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác.
Tương ứng với nguyên tắc điều khiển phản hồi, cũng có hai nguyên tắc
điều khiển tách kênh một hệ MIMO là tách kênh phản hồi đầu ra và tách
kênh phản hồi trạng thái. Trong khi hướng nghiên cứu bộ điều khiển tách
kênh phản hồi đầu ra khá hạn chế vì kết quả có được thường bị ràng buộc bởi
những điều kiện khá chặt thì hướng nghiên cứu bộ điều khiển tách kênh phản
hồi trạng thái lại khá được ưa chuộng bởi khả năng áp dụng nguyên lý tách.
Có hai phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh tiêu biểu là
Falb-Wolovich và Elmer G. Gilbert.

9


1.2.

Thiết kế bộ điều khiển tách kênh nhờ phép biến đổi SmithMcMillan
Phép biến đổi Smith – McMillan trình bày sau đây cho phép thiết kế các
bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S(s) của đối tượng,
không cần phải vng, tức là khơng cần phải có giả thiết đối tượng có số tín
hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng:
⎡G1 ( s )
⎢ M
⎢
⎢ 0
G ( s) = ⎢
⎢ 0

⎢ M
⎢
⎣ 0

L
O
L
L
O
L

0 ⎤
M ⎥⎥
Gm ( s ) ⎥
⎥
0 ⎥
M ⎥
⎥
0 ⎦

⎡G1 ( s ) L
hoặc G ( s) = ⎢⎢ M O
⎢⎣ 0
L

0

0 L

M

MO

Gm ( s ) 0 L

0⎤
M⎥⎥
0 ⎥⎦

Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh.
Phép biến đổi Smith – McMillan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột
của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương
đương). Chúng bao gồm:
- Hoán đổi vị trí vector hàng thứ i với hàng thứ k của S(s). Việc này tương
ứng phép nhân Iik với S(s), trong đó Iik là ma trận khơng suy biến thu
được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và k (hoặc hai
cột). Ví dụ:
⎡1
⎢0
⎢
I 25 S ( s ) = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣0

0 0 0 0 ⎤ ⎡ t1
0 0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢t 2
0 1 0 0⎥ ⎢t 3
⎥⎢
0 0 1 0 ⎥ ⎢t 4

1 0 0 0 ⎥⎦ ⎣⎢t 5

− ⎤ ⎡ t1
− ⎥⎥ ⎢⎢t 5
− ⎥ = ⎢t 3
⎥ ⎢
− ⎥ ⎢t 4
− ⎦⎥ ⎢⎣t 2

10

−⎤
− ⎥⎥
−⎥
⎥
−⎥
− ⎥⎦


- Hốn đổi vị trí vector cột thứ i với cột thứ k của S(s). Việc này tương
ứng phép nhân S(s) với Iik, trong đó Iik là ma trận khơng suy biến thu
được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và thứ k (hoặc
hai cột). Ví dụ:

⎡t t
S ( s ) I 25 = ⎢ 1 2
⎣| |

t3
|

t4
|

⎡1
⎢0
t5 ⎤ ⎢
⎢0
| ⎥⎦ ⎢
⎢0
⎢⎣0

0
0
0
0
1

0
0
1
0
0

0
0
0
1
0

0⎤
1 ⎥⎥
⎡t t
0⎥ = ⎢ 1 5
⎥ ⎣| |
0⎥
0 ⎥⎦

t3 t4
| |

t2 ⎤
| ⎥⎦

- Hàng thứ i được cộng thêm với tích của c và hàng thứ k trong S(s). Việc
này tương ứng phép nhân Cik với S(s), trong đó Cik là ma trận không suy
biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần
tử c. Ví dụ:
⎡1
⎢0
⎢
C24 S ( s ) = ⎢0
⎢
⎢0
⎣⎢0

-

0 0 0 0 ⎤ ⎡ t1
1 0 c 0 ⎥⎥ ⎢⎢t 2

0 1 0 0⎥ ⎢t 3
⎥⎢
0 0 1 0 ⎥ ⎢t 4
0 0 0 1 ⎦⎥ ⎢⎣t 5

− ⎤ ⎡ t1
− ⎥⎥ ⎢⎢t 2 + c ⋅ t 4
−⎥ = ⎢ t 3
⎥ ⎢
−⎥ ⎢ t 4
− ⎥⎦ ⎢⎣ t 5

−⎤
− ⎥⎥
−⎥
⎥
−⎥
− ⎥⎦

Cột thứ k được cộng thêm với tích của c và cột thứ i trong S(s). Việc
này tương ứng với phép nhân S(s) với Cik, trong đó Cik là ma trận khơng
suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng
phần tử c. Ví dụ:

⎡t t
S ( s )C24 = ⎢ 1 2
⎣| |

t3 t4
| |

⎡1
⎢0
t5 ⎤ ⎢
⎢0
| ⎥⎦ ⎢
⎢0
⎢⎣0

11

0
1
0
0
0

0
0
1
0
0

0
c
0
1
0

0⎤

0 ⎥⎥
⎡t t
0⎥ = ⎢ 1 2
⎥ ⎣| |
0⎥
1 ⎥⎦

t3 t4 + c ⋅ t2
|
|

t5 ⎤
| ⎥⎦


Phép biến đổi Smith-McMillan được tóm tắt như sau:

1. Viết lại S(s) thành

1
P( s ) , trong đó d(s) là đa thức bội số chung nhỏ
d (s)

nhất của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần tử của S(s) và
P(s) là ma trận có các phần tử là đa thức. Ví dụ:
1
⎡
⎢ s 2 + 3s + 2
⎢ 2
s +s−4

S ( s ) = ⎢⎢ 2
s + 3s + 2
⎢
⎢ s−2
⎢⎣ s + 1

−1
⎤
s + 3s + 2 ⎥
1
−1 ⎤
⎥
⎡
2s 2 − s − 8 ⎥
1
⎢
2
2
= 2
s + s − 4 2s − s − 8⎥⎥
2
⎥
⎢
s + 3s + 2
s + 3s + 2
⎥ 1 4 d2( s )4 3 ⎢⎣ s 2 − 4
2s 2 − 8 ⎥⎦
2s − 4 ⎥
1 4 4 44 2 4 4 4 43
P(s)

⎥
s +1 ⎦
2

2. Sử dụng các phép biến đổi tương đương đã nói ở trên để đưa P (s) về
dạng “đường chéo” bằng cách đưa dần các phần tử không nằm trên
đường chéo về 0 thông qua việc cộng trừ hàng và cột. Điều này đã
được Smith – McMillan chuyển thành những bước của thuật toán sau:
a) Đặt d0(s)=1.
b) Chọn d1(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của
P(s). Ví dụ:
d1(s)=ƯSCLN{1, -1, s2+s-4, 2s2-s-4, s2-4, 2s2-8}=1
c) Chọn dk(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử là định
thức ma trận vng k × k lấy từ P(s). Ví dụ:
d2(s)=ƯSCLN{
−1 ⎤
−1 ⎤
1
⎡ s 2 + s − 4 2 s 2 − s − 8⎤
⎡
⎡ 1
det ⎢ 2
,
det
,
det
⎢ 2
⎥
⎥
⎢ 2

⎥
2
2
2s 2 − 8 ⎦
⎣ s + s − 4 2 s − s − 8⎦
⎣ s − 4 2 s − 8⎦
⎣ s −4

}=ƯSCLN{3s2-2s-4, 3s2-4, s(s2-4)}=(s+2)(s-2)

d) Ma trận “đường chéo” G(s) tương đương với S(s) sẽ có các phần
tử Gk(s) là:

12


Gk ( s ) =

d (s)
1
⋅ k
d ( s ) d k −1 ( s )

Ví dụ:
1
⎡
⎢ ( s + 1)( s + 2)
0
⎡1
⎤ ⎢

1
⎢0 ( s + 2)( s − 2) ⎥ = ⎢
0
G ( s) = 2
⎥ ⎢
s + 3s + 2 ⎢
⎢⎣0
⎥⎦ ⎢
0
0
⎢
⎢
⎣

⎤
0 ⎥
⎥
s − 2⎥
s + 2⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎦

Hình 1.2: Thiết kế bộ điều khiển tách kênh theo Smith-McMillan
Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S(s)
phải là ma trận vng và có E khơng suy biến. Ma trận G(s) được tạo thành là
tương đương với S (s) theo nghĩa:
G(s) = ST(s)S(s)SP(s)
trong đó ST(s) và SP(s) là những ma trận khơng suy biến (với phần lớn các

giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s). Chúng
chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S(s) như mơ tả ở hình vẽ trên.

13


1.3.

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh Falb-Wolovich
Trong nội dung của phương pháp tách kênh này có sử dụng một khái
niệm là bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO. Do đó trước khi đi sâu vào nội
dung phương pháp, chúng ta sẽ tìm hiểu qua khái niệm này.

Vector bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO
Định lý 1.1: Bậc tương đối r=n-m của hệ SISO có hàm truyền đạt hợp thức
chặt:
G(s) =

b0 + b1s + ... + bm s m
, ( m < n)
a0 + a1s + ... + an s n

được xác định từ mơ hình trạng thái tương ứng của nó:
⎧d x
= Ax + bu
⎪
⎨ dt
⎪ y = cT x
⎩

bằng công thức sau:
⎧= 0 khi 0 ≤ k ≤ r-2
T
c Ak b = ⎨
⎩≠ 0 khi k=r-1

(1.1)

Chứng minh:
Ta biết sự liên quan giữa mơ hình hàm truyền và mơ hình trạng thái hệ
SISO tuyến tính như sau:
G(s)=cT(sI-A)-1b
Ta có:
lim s r G ( s ) =
s →∞

∞

bm
b
T
⇔ lim s r [c ( sI − A) −1 b] = m
s →∞
an
an

T

c Ak b b
⇔ lim ∑ k +1− r = m

s →∞
an
k =0 s

Nhưng vì:

14


lim
s →∞

1
s

k +1− r

= 0 khi k>r-1

nên chuỗi trên trờ thành tổng của hữu hạn r phần tử đầu tiên:
r −1

T

T

r −1
c Ak b
c Ak b bm
=

lim
=
∑
k +1− r
k +1− r
s →∞
s →∞
an
k =0 s
k =0 s

lim ∑

Từ đây, để vế trái bằng giá trị hữu hạn

bm
thì cần và đủ là:
an

⎧⎪cT Ak b = 0 khi 0 ≤ k ≤ r-1
⎨ T r −1
⎪⎩c A b ≠ 0

Đó là điều phải chứng minh.
Mở rộng ra, sau đây ta xét bài tốn tương tự cho hệ MIMO tuyến tính có m
tín hiệu vào ui(t),…, um(t) và m tín hiệu ra y1(t),…, ym(t) với mơ hình trạng
thái dạng hợp thức chặt:
⎧d x
= Ax + Bu
⎪

⎨ dt
⎪y = Cx
⎩

(1.2)

Như vậy, theo công thức liên quan giữa mơ hình hàm truyền đạt và mơ hình
trạng thái, hệ có ma trận truyền đạt:
⎡ G11 ( s ) G12 ( s )
⎢ G ( s) G ( s)
22
G ( s ) = C ( sI − A) −1 B = ⎢ 21
⎢ M
M
⎢
⎣Gm1 ( s ) G2 m ( s )

L
L
O
L

G1m ( s ) ⎤
G2 m ( s ) ⎥⎥
M ⎥
⎥
Gmm ( s ) ⎦

(1.3)

Từng phần tử Gik(s) của ma trận G(s) chính là hàm truyền đạt giữa tín hiệu
vào uk(t) và tín hiệu ra yi(t). Nó được xác định nhờ cơng thức:
T

Gik ( s ) = c i ( sI − A) −1 b k

trong đó cTi là vector hàng thứ i của C và bk là vector cột thứ k của B.

15


Hình 1.3: Xem hệ MIMO như các hệ MISO nối song song với nhau
Viết lại mơ hình trạng thái hệ MIMO trên thành m hệ MISO con (nhiều đầu
vào, một đầu ra) với mơ hình trạng thái của từng hệ con là (hình 1.3):
⎧d x
= Ax + Bu
⎪
H i : ⎨ dt
⎪ y = cT x
i
⎩ i

(1.4)

Khi đó, trong miền phức, các hệ này cũng có ma trận truyền đạt dạng vector
hàng:
⎡ U1 ( s ) ⎤
Yi ( s ) = [Gi1 ( s )L Gim ( s ) ] ⎢⎢ M ⎥⎥
⎢⎣U m ( s ) ⎥⎦

Nếu ký hiệu ri1, …, rim là các bậc tương đối của các hàm truyền đạt Gi1(s), …,
Gim(s) của hệ con Hi, xác định theo (1.1) và gọi:
ri = {ri1, …, rim}

16


là bậc tương đối đối tối thiểu của Hi, ta có thể thấy ngay rằng ri được xác định
từ mơ hình trạng thái (1.4) như sau:
⎧⎪= 0T khi 0 ≤ k ≤ ri − 2
c A B=⎨ T
⎪⎩≠ 0 khi k=ri − 1
T
i

k

(1.5)

Suy ra:
Định lý 1.2: Từng phần tử của vector hàng (r1,…, rm), gọi là vector bậc tương
đối tối thiểu của hệ MIMO (1.2) có m tín hiệu vào u1(t), …, um(t) và m tín
hiệu ra y1(t), …, ym(t), mô tả bởi ma trận truyền đạt (1.3), sẽ được xác định từ
mơ hình trạng thái (1.2) của nó bằng cơng thức (1.5), trong đó cTi là vector
hàng thứ i của ma trận C.
Từ khái niệm vector bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO ta đi vào
phương pháp xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh FalbWolovich.
Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1 , u2 ,..., um và cũng có m
đầu ra y1 , y2 ,..., ym mô tả bởi:
⎧d x

= Ax + Bu
⎪
⎨ dt
⎪y = Cx
⎩

Hình 1.4: Mục đích của điều khiển tách kênh Falb-Wolovich

17


Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình 1.4
mơ tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với
i=1, 2, …, m. Sự phụ thuộc đó được mơ tả trong miền thời gian bởi phương
trình vi phân bậc ri hệ số hằng:
dyi
d ri −1 y d ri y
+ ... + ai ,ri −1 ri −1 i + ri i = bi wi
dt
dt
dt
ri
ri −1
k
d y
d yi
⇔ ri i + ∑ aik
= bi wi
dt
dt k

k =0

ai 0 yi + ai1

(1.6)

trong đó bi và aik, i=1,2,…,m, k=0,1,…, ri-1 là các tham số tự do được chọn
tùy ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ thiết
kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó hệ
kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo:
⎡G1 ( s ) L
G ( s ) = ⎢⎢ M O
⎢⎣ 0
L

0 ⎤
M ⎥⎥
Gm ( s ) ⎥⎦

với các phần tử Gi(s) là những hàm truyền đạt:
Gi ( s ) =

bi
ai 0 + ai1s + ... + ai ,ri −1s ri −1 + s ri

(1.7)

có các hệ số bi và aik, i=1,2,…,m, k=0,1,…, ri-1 cho trước, tương ứng với
chất lượng mong muốn của từng kênh.
Trước hết ta bàn tới vấn đề bậc ri, i=1,2,…,m của mơ hình (1.1), cũng

như của hàm truyền đạt (1.7) cần phải có, tức là xem xét với ri như thế nào
thì vế phải của (1.6) chỉ có wi(t) chứ khơng có các đạo hàm của wi(t).
Để xác định ri cho riêng kênh thứ i ta sử dụng khái niệm bậc tương đối
tối thiểu đã được định nghĩa ở trên. Ký hiệu ci, i=1,2, …, s là vector hàng thứ

18


⎡c1T ⎤
⎢ ⎥
i của ma trận C, tức là C = ⎢ M⎥ , thì bậc tương đối tối thiểu ri cho kênh thứ i
⎢ cT ⎥
⎣ s⎦

sẽ được xác định theo định lý 1.2, mà cụ thể là công thức (1.5) như sau:
⎧⎪= 0T khi 0 ≤ k ≤ ri − 2
c A B=⎨ T
⎪⎩≠ 0 khi k=ri − 1
T
i

k

Khi đó ta sẽ từ phương trình mơ hình trạng thái với đầu ra thứ i:
T

yi = c i x

các quan hệ sau:
dyi

T dx
T
T
T
T
= ci
= c i ( Ax + Bu ) = ci Ax (vì ci B = 0 )
dt
dt
M
d k yi
T
= c i Ak x
dt

nếu 0 ≤ k ≤ ri − 1

M
d ri yi
T
T
T
T
= ci Ari x +ci Ari −1 Bu = ci Ari x + ci Ari −1 B ( M w − Rx )
ri
dt

(

)

= c i Ari − Ari −1 BR x + ci Ari −1 BM w
T

T

Kết quả trên cho thấy bậc ri của phương trình vi phân (1.6) chỉ có thể là bậc
tương đối ri của kênh thứ i. Từ đây ta suy ra được cho (1.6):
T
i

ri

T
i

ri

c (A − A

ri −1

T
i

BR) x + c A

ri −1

ri −1

BM w = −∑ aik ci Ak x + bi wi
T

k =0

và
c (A − A

ri −1

ri −1

BR) = −∑ aik ci Ak
T

k =0

T
i

⇔c A

ri −1

ri −1

B = c A + ∑ aik c A
T
i

ri

k =0

T
i

(1.8)

k

và

19


c i Ari −1 BM w = bi wi
T

⇔ c i Ari −1 BM = ( 0, L
T

0, bi , 0, L

0)

(1.9)

Phần tử thứ i

Viết chung lại (1.8) và (1.9) cho tất cả các kênh i=1, 2, …, m ta đi đến:
⎡ ri −1
⎤
T
T
a1k c1 Ak + c1 Ari ⎥
T ri −1
∑
⎢
⎡ c1 A B ⎤
⎢ k =0
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⇒ R = E −1 F
=
M
R
M
⎢
⎥
⎢ rm −1
⎥
⎢ cT Arm −1 B ⎥
⎢ a cT Ak + cT Arm ⎥
⎣1 4m 2 4 3 ⎦
m
mk m

⎢⎣ ∑
⎥
E
1k =40 4 4 2 4 4 4 3 ⎦

(1.10)

F

và
⎡b1
⎡ c1T Ari −1 B ⎤
⎢0
⎢
⎥
M ⎥M = ⎢
⎢
⎢M
⎢ cT Arm −1 B ⎥
⎢
0
1⎣ 4m 2 4 3 ⎦
1⎣ 4
E

0 L
b2 L
M O
0 L
44 2 4

0⎤
0 ⎥⎥
⇒ M = E −1 L
M⎥
⎥
bm ⎦
4 43

(1.11)

L

Hai công thức (1.10) và (1.11) chính là lời giải R và M của bài tốn tách
kênh. Cũng từ hai cơng thức đó mà ta thấy điều kiện cần và đủ để một hệ
MIMO tuyến tính có số đầu vào bằng số đầu ra tách kênh được là E phải là
ma trận không suy biến.
Vậy thuật tốn tìm các bộ điều khiển R và M cho bài toán tách kênh sẽ
như sau:
1) Xác định vector bậc tương đối tối thiểu (r1, …, rm) của đối tượng.
2) Chọn tùy ý các tham số bi và aik, i=1, 2, …, m, k=0,1,…, ri-1. Ta cũng có
thể chọn chúng theo chất lượng định trước cho từng kênh, chẳng hạn:
a) Chọn aik, i=1,2,…, m, k=0,1, …, ri-1 để có

20


ai 0 + ai1s + ... + ai ,ri −1s ri −1 + s ri = ( s − si1 )( s − si 2 )...( s − si , ri )

Với si1, si2, …, si ,r là các điểm cực chọn trước cho kênh thứ i.

i

b) Chọn bi=ai0 để kênh thứ i khơng có sai lệch tĩnh.
3) Lập các ma trận E, F, L rồi tính M, R theo các công thức (1.10) và (1.11)

21


Chương 2

QUAN SÁT TRẠNG THÁI

2.1.

Mục đích của bộ quan sát
Trong các phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái người ta thường
giả thiết vector tín hiệu trạng thái x là đo được (nhờ các bộ cảm biến) để
phản hồi ngược về cho bộ điều khiển. Điều này trong thực tế thường khơng
thực hiện được, đơn giản chỉ là vì có khá nhiều biến trạng thái không thể đo
được trực tiếp mà chỉ có thể xác định được một cách gián tiếp thơng qua
những tín hiệu đo được khác. Chẳng hạn như ở động cơ xoay chiều ba pha
thì biến trạng thái dịng từ thơng của động cơ là khơng đo được trực tiếp, nó
chỉ có thể xác định được thơng qua những đại lượng tín hiệu đo được trực
tiếp khác là giá trị dòng điện stator và giá trị tốc độ vòng quay động cơ.
Cũng như vậy ở hệ cơ thì động năng của một vật đang chuyển động chỉ có
thể xác định được thơng qua vận tốc và khối lượng của vật đó…
Trong một hệ thống điều khiển, các vector tín hiệu vào u(t), ra y(t) bao
giờ cũng là những tín hiệu đo được trực tiếp (measurable). Giả sử nhờ các
bộ cảm biến ta đã đo được giá trị u(t), y(t) trong khoảng thời gian hữu hạn
t0≤t

hệ thống tại thời điểm t0 từ những giá trị u(t), y(t) đã đo được trong khoảng
thời gian hữu hạn t0≤tobserver). Nói cách khác, bộ quan sát trạng thái là một cơ cấu có nhiệm vụ
thực hiện phép biển đổi:

(

)

x(t0 ) = q u (t ), y (t ) với t0≤t
22

(2.1)


Tất nhiên rằng không phải ở mọi hệ thống ta đều có thể quan sát được
tín hiệu trạng thái mà chỉ với những hệ có đặc điểm quan sát được (sẽ được
xét đến ở mục dưới), tức là hệ mà ở đó tồn tại tốn tử q( gg
, ) và một hằng số
T hữu hạn thỏa mãn (2.1). Nếu hằng số hữu hạn T cịn được chọn tùy ý thì
hệ được gọi là quan sát được hoàn toàn.
nx
ny
⎧d x
= f ( x, u ) + n x (t )
⎪
⎨ dt
⎪ y = g ( x) + n y (t )
⎩

u

x%

y

Bộ quan sát
trạng thái

Hình 2.1: Nhiệm vụ của bài tốn thiết kế bộ quan sát trạng thái
Xét hệ thống có mơ hình trạng thái
⎧d x
= f ( x, u ) + n x (t )
⎪
⎨ dt
⎪ y = g ( x) + n y (t )
⎩

trong đó n x (t ) là vector các tín hiệu nhiễu tác động vào hệ thống và n y (t ) là
vector các tín hiệu nhiễu tác động ở đầu ra. Nhiệm vụ đặt ra ở đây là phải
(t0 ) thỏa mãn
xây dựng được bộ quan sát trạng thái để với nó có được x%
x%
(t0 ) ≈ x(t0 ) trên cơ sở đo các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian

hữu hạn t0≤tthuộc nhiễu n x (t ) , n y (t ) nên mơ hình trạng thái của nó phải có dạng:

23

d x% ° %
= f ( x, u , y )
dt
= x thì cũng phải có °
Mặt khác, nếu có x%
f ( x%
, u, y ) = f ( x, u ) . Suy ra:
d x% %
= f ( x, u ) + l ( x%
, y ) với lim
l ( x%
, y) = 0
x%
→x
dt
, y ) thỏa mãn:
và bài toán đặt ra ở đây là phải xác định l ( x%
lim
l ( x%
, y ) = 0 và x%
(t ) ≈ x(t )
%
x→ x

2.2.

Quan sát được và quan sát được hồn tồn
Trong bài tốn điều khiển, người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ

điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra. Vấn đề muốn
nói ở đây khơng phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào
để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó. Tất nhiên rằng ta phải đo
chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi.
Thơng thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo
trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến (sensor). Song khơng phải mọi tín hiệu
đều có thể đo được một cách trực tiếp. Rất nhiều các tín hiệu chỉ có thể được
đo một cách gián tiếp thơng qua những tín hiệu đo được khác... Chẳng hạn:
- Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc
độ trong một khoảng thời gian.
- Giá trị cơng suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp.
Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu
để chỉ cơng việc xác định tín hiệu một cách gián tiếp thơng qua các tín hiệu
đo được khác (thường là các tín hiệu vào/ ra).
Định nghĩa 2.1: Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được
gọi là:
a) Quan sát được tại thời điểm t0, nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn

24


T>t0 để điểm trạng thái x(t0)=x0, xác định được một cách chính xác
thơng qua vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian
[t0,T].
b) Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t0, nếu với mọi T>t0, điểm
trạng thái x0=x(t0) ln xác định được một cách chính xác từ vector
các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T].
Chú ý: Yêu cầu phải đo trong khoảng thời gian hữu hạn là rất quan trọng.
Khoảng thời gian quan sát càng ngắn sẽ càng tốt cho công việc điều khiển
sau này. Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x0 vừa xác định

được sẽ mất ý nghĩa ứng dụng cho bài tốn điều khiển, ví dụ khi có được
x0 thì có thể hệ đã chuyển đến một điểm trạng thái mới cách rất xa điểm
trạng thái x0.
Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính
Một cách tổng quát, sau đây ta sẽ xét hệ tuyến tính có thể khơng dừng
với:
⎧d x
= A(t ) x + B(t )u
⎪
⎨ dt
⎪ y = C (t ) x + D(t )u
⎩

(2.2)

trong đó A(t ) ∈ R n×n , B(t ) ∈ R n×m , C (t ) ∈ R r×n , D(t ) ∈ R r×m là những ma trận có
phần tử có thể là hàm số phụ thuộc t.
Định lý 2.1: Hệ không dừng (2.2) sẽ
a) Quan toàn sát được tại t0 khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một giá trị
T>t0 hữu hạn sao cho các vector cột của ma trận C (t )Φ(t − t0 ) độc
lập tuyến tính trong khoảng thời gian t0 ≤ t < T .

25


b) Quan sát được hoàn toàn tại t0 khi và chỉ khi với mọi giá trị T>t0,
các vector cột của ma trận C (t )Φ(t − t0 ) độc lập tuyến tính trong
khoảng t0 ≤ t < T .
Chứng minh:
Phương trình vi phân của (2.2) với điều kiện đầu x(t0)=x0 có nghiệm:

t

e(t )

∞

= x(t ) − x%
(t ) ≈ 0 x(t ) = Φ (t − t0 ) x 0 + ∫ Φ (t − τ ) B(τ )udτ
∞

t0

Thay vào phương trình thứ hai được:
t

y (t ) = C (t )Φ(t − t0 ) x 0 + C (t ) ∫ Φ (t − τ ) B(τ )udτ + D(t )u
t0

(2.3)

t

⇔ C (t )Φ (t − t0 ) x 0 = C (t ) ∫ Φ (t − τ ) B(τ )udτ + D(t )u − y (t )
t0

Theo định nghĩa 2.1, hệ (2.2) quan sát được tại t0 nếu tồn tại một khoảng
thời gian hữu hạn [t0,T] để x(t0)=x0 xác định được từ u(t) và y(t) khi
t0 ≤ t < T . Điều này đồng nghĩa với việc phương trình (2.3) có nghiệm duy

nhất.

Do chỉ có thành phần C (t )Φ(t − t0 ) x 0 chứa x0 nên (2.3) sẽ có nghiệm x0
duy nhất nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T>t0 sao cho các vector cột
của C (t )Φ(t − t0 ) không phụ thuộc tuyến tính trong tồn bộ khoảng [t0,T] và
đó chính là điều phải chứng minh.
Định lý 2.2: Nếu hệ không dừng (2.2) có C là ma trận hằng (khơng phụ
thuộc t) quan sát được tại t0 thì nó cũng quan sát được hoàn toàn tại t0 và
ngược lại.
Chứng minh:

26


Theo định lý 2.1, hệ (2.2) quan sát được tại thời điểm t0 nều tồn tại T1>t0
hữu hạn sao cho các vector cột của C Φ(t − t0 ) không phụ thuộc tuyến tính
trên tồn khoảng [t0, T1]. Vì C là ma trận hằng nên Φ(t − t0 ) là thành phần
duy nhất phụ thuộc t trong tích C Φ(t − t0 ) . Do Φ(t − t0 ) không suy biến với
mọi t (định lý Peano-Baker) nên điều này cũng đúng với mọi khoảng [t0,T],
trong đó T là số tùy ý lớn hơn t0.
Định lý 2.3: Nếu hệ không dừng (2.2) quan sát được tại thời điểm t0 thì nó
cũng quan sát được tại mọi thời điểm t≠0.
Chứng minh:
Khi hệ (2.2) quan sát được tại t0 thì sẽ tồn tại một giá trị hữu hạn T>t0 để
các vector cột của ma trận C (t )Φ(t − t0 ) độc lập tuyến tính trong khoảng thời
gian t0 ≤ t < T .
Xét tại một thời điểm t1≠0 bất kỳ, từ định lý Peano-Baker về tính chất
của Φ(t ) , ta có:
C (t )Φ (t − t1 ) = C (t )Φ (t − t0 )Φ (t − t1 )

Nhưng do Φ(t − t1 ) là ma trận hằng không suy biến nên các vector cột của
ma trận hàm C (t )Φ(t − t1 ) cũng vì thế mà độc lập tuyến tính trong khoảng

thời gian t1 ≤ t < T . Bởi vậy theo định lý 2.1, hệ quan sát được tại thời điểm
t1(đpcm).
Trên cơ sở định lý 2.3 thì riêng đối với hệ tuyến tính, từ nay về sau ta sẽ
nói ngắn gọn là hệ quan sát được thay vì hệ quan sát được tại thời điểm t0.
Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số
hằng.

27