Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
^]

BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG
LỚP DH5A2

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƯ PHẠM TỐN
CHUN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP
Khóa :2004 – 2008

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: Th. S Vương Vĩnh Phát

Long Xuyên, An Giang
05 - 2008


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát –

người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hồn thành khố luận của
mình.
Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, tồn
thể thầy cơ trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cô trong bộ mơn Tốn đã tạo
điều kiện để em có thể thực hiện khóa luận này.
Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ phản biện đã đóng góp ý kiến
cho khóa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sót của bản
thân mà khắc phục, chuẩn bị cho công việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường.
Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cô trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều
kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành
khảo sát.
Cuối cùng, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè –
tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho cơng việc nghiên
cứu của con được hồn thành tốt đẹp.
Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cơ, chúc thầy cơ ln hồn
thành tốt các nhiệm vụ được giao.
Chân thành cảm ơn !

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
I.

Lí do chọn đề tài ................................................................................... 1

II.

Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2

III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
IV. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
V.

Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2

VI. Giả thuyết khoa học............................................................................... 2
VII. Lợi ích của luận văn .............................................................................. 2
VIII. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... ...4
A.

Cơ sở lí luận .......................................................................................... 4

I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số......................... 4
II. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất......................... 4
1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số ....................................... 4
2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức.............................................. 6
2.1. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................. 6
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski.................................................... 7
2.3. Các bất đẳng thức lượng giác .................................................. 8
2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản..................................... 9
3. Phương pháp miền giá trị của hàm số............................................... 9
4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn................................... 10

5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm .............................. 11
6. Phương pháp tọa độ - vectơ ........................................................... 13
7. Phương pháp lượng giác hóa .......................................................... 14
B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất..................................................................................... 17
C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán ........ 33
I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương
trình, ....................................................................................................... 33

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng
biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37
III. Ứng dụng vào một số bài toán trong thực tế ................................... 40
D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50
I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50
II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50
III. Kết quả ........................................................................................... 50
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56
HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58
PHỤ LỤC ......................................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1 :
TRƯỜNG ĐH AN GIANG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Khoa sư phạm

Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc

#"

#"

PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN
Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

MSSV : DTN040604

Em đang thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó vào thực tiễn “
Kính mong các thầy cô cho biết một số ý kiến về đề tài này :
1/- Đối với học sinh, bài toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài
tốn :
A/ Rất khó

B/ khó

C/ dễ

D/ Rất dễ

2/- Số lượng các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các sách giáo
khoa là :
A/ Rất nhiều

B/ Nhiều

C/ ít

D/ Rất ít

3/- Chúng ta có thường gặp bài tốn “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các
cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay khơng ?
A/- Thường xun

B/ thỉnh thoảng

C/ ít khi

D/ Khơng
có

4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là
việc làm :

A/ Rất cần thiết

B/ cần thiết

C/ ít cần

D/ Khơng cần

5/- Thầy có nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của
toán học trong thực tế, đặc biệt là dạng tốn: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ?
6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tiễn có ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài
học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … )
7/- Ý kiến khác về đề tài :
GV ký và ghi rõ họ tên

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

PHỤ LỤC 2:
TRƯỜNG ĐH AN GIANG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Khoa sư phạm

Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc

#"

#"

PHIẾU THĂM DÒ
Họ và tên : …………………………………………Lớp : ………………………
Trường : ………………………………………….. Học lực : ………………….
Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp.
1/- Em có cảm thấy thích giải tốn hơn khi có các phương pháp để giải nó ?
A/ Rất thích

B/ thích

C/ Khơng thích lắm

D/ khơng

2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng tốn nào đó
hay khơng ?
A/ Thường xun

B/ Thỉnh thoảng

C/ Ít khi

D/ khơng có

3/- Thầy ( cơ ) của em có thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạng bài

tập cho các em hay khơng ?
A/ thường xun

B/ Thỉnh thoảng

C/ Ít khi

D/ khơng có

4/- Đối với bản thân em bài tốn : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài
tốn :
A/Rất khó

B/ khó

C/ dễ

D/ rất dễ

5/- Đối với bài tốn : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm :
A/ nhiều

B/ Ít

C/ rất ít

D/ khơng có

6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của toán học trong thực tiễn ?
A/ Nhiều

B/ ít

C/ rất ít

D/ khơng biết

7/- Thầy ( cơ ) của em có thường giới thiệu cho các em ứng dụng của tốn học trong
thực tiễn hay khơng ?
A/ Thường xun

B/ thỉnh thỏang

C/ ít khi

D/ khơng có

8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của tốn học nói chung, của bài tốn tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng thì em có cảm thấy thích học mơn tốn hơn hay
khơng ? Vì sao ?

Ký tên

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

PHỤ LỤC 3 :

MỘT SỐ Ý KIẾN
CỦA GIÁO VIÊN
VÀ HỌC SINH
PHỔ THÔNG

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition.
[2] Dỗn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Tốn ơn thi đại học ” . NXB Đại
Học Sư phạm.
[3] Hoàng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài toán cực trị ” . NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài tốn lượng giác ”.
NXB Hải Phịng
[5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài tốn rời rạc và
cực trị ”. NXB Hải Phịng.
[6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải toán bằng Đại lượng phương pháp cực
biên ” . NXB Giáo Dục.
[7] Nguyễn Thái Hòe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán ”.
NXB Giáo Dục.
[8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hồng Phị – Phương pháp giải tốn tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục.
[9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ”. NXB Đại Học
Sư Phạm.
[10] Phan Huy Khải. 2005. “ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ”. NXB
Giáo Dục.
[11] Trần Văn Hạo (chủ biên). 2005. “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào
đại học ” . NXB Giáo Dục.
[12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hoài Đức. 2000. Các phương pháp đặc biệt tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. NXB Trẻ.
[13] Vũ Hữu Bình. 2007. “ Nâng cao và phát triển tốn 9 ” . NXB Giáo Dục.
[14] Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ). 2000. Giải tích 12 . NXB Giáo Dục.
[15] Toán học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng
4/2008 .
[16] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) –
NXB Giáo Dục.

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mục đích của việc giảng dạy mơn tốn ở trường trung học là dạy học sinh
về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai
thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung mơn tốn và hình thành tư duy logic
cho học sinh.
Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đó, yêu
cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải các dạng tốn.

Chương trình tốn trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đó
có rất nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của
phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó. Các dạng bài tập này được gọi chung
là bài tốn tìm cực trị hay bài toán cực trị. Đây thực sự là một chun đề khó của
chương trình tốn trung học bởi vì các bài tốn cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên
cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nó lại là một trong những dạng tốn được quan
tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế.
Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện
khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải. Do đó, việc
cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài
toán cực trị.
Việc giải các bài tốn này địi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí,
nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán
thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định
( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đó làm cho học sinh
thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo nên
sự thích thú cho học sinh trong q trình giải tốn.
Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do
thực tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu mới mang
lại thành công trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất,
ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, cơng sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ).
Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái
sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà sản xuất ln muốn giảm tối đa chi phí
sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy,
phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích.
Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy tốn trong
tương lai, tơi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
thơng qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO
THỰC TIỄN.”

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

1


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng
của nó trong thực tế.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của một đại lượng ”.
Giới thiệu một số ứng dụng của nó trong thực tiễn.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải tốn tốt hơn. Nhờ đó, chất lượng
học tập và giảng dạy mơn tốn được nâng cao.
Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương
pháp giải bài toán cực trị nói riêng và của tốn học nói chung trong cuộc sống. Điều
đó làm cho các em thích thú, say mê học toán hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các
em sẽ học tập tốt hơn.
Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất ,
giá trị nhỏ nhất.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi đã sử dụng một số phương pháp sau :
Nghiên cứu lý luận : Tơi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán
học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, các sách giáo khoa và các
tài liệu hướng dẫn giảng dạy.
Điều tra thực tế.
Trò chuyện, phỏng vấn.
Thống kê toán học.
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :
Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những
bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học tốn hơn.
VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN :
Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
mà dựa vào đó, học sinh có thể hệ thống lại các kiến thức có liên quan và có thể giải
được các bài tốn cực trị, kể cả các bài toán trong thực tế. Đồng thời, luận văn này
còn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn.
VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :
Lời cảm ơn.
Mục lục.
Phần mở đầu.

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

2


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

Phần nội dung.
A. Cơ sở lý luận.
B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán.
D. Khảo sát thực tế.
Phần kết luận.
Hệ thống bài tập tham khảo.
Phụ lục.
Tài liệu tham khảo.

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

3


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

PHẦN NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
* Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu :
M = max f(x) hay M = max y ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
x ∈D

x ∈D

⎧∀ x ∈ D :f(x) ≤ M
⎨
⎩∃ x1 ∈ D:f(x1 ) = M

* Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu :
m = min f(x) hay m = min y ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
x ∈D

x ∈D

⎧∀x ∈ D:f(x) ≥ m
⎨
⎩∃ x 2 ∈ D: f(x 2 ) = m
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT :

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau. Ở đây, tơi xin trình bày bảy phương pháp chính như sau :
1. Phương pháp đạo hàm :

* Cơ sở của phương pháp này : chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát
chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc biệt
trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả.
* Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hãy tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
* Cách giải :
- Tính y′ . Cho y′ = 0, tìm các nghiệm x1 , x 2 , ..., x n ∈ D .

- Lập bảng biến thiên.

- Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
* Nếu f(x) có tập xác định D = [a; b] thì khơng cần lập bảng biến thiên :
- Tìm các điểm tới hạn x1 , x 2 , ... , x n của f(x) trên [a; b].
- Tính f(a), f(b), f(x1 ), f(x 2 ), ... , f(x n ) .
- Kết luận :

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

4


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

max f(x) = max {f(a), f(b), f(x1 ), f(x 2 ), ... , f(x n )} .

•

x ∈[a;b]

min f(x) = min {f(a), f(b), f(x1 ), f(x 2 ), ... , f(x n )} .

•

x ∈[a;b]

* Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Hàm f
tăng (giảm) trên (a; b) nếu f ' (x) ≥ 0 ( f ' (x) ≤ 0 ) với mọi x thuộc đoạn [a; b]

( dấu “ = ” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn [a; b] ).
- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì min f(x) = f(a) và max f(x) = f(b) .
x ∈D

x ∈D

- Nếu f(x) giảm trên đoạn [a; b] thì min f(x) = f(b) và max f(x) = f(a) .
x ∈D

x ∈D

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 18 − 2x 2 .
Giải
Tập xác định : D = [ − 3; 3] . Ta có:
y ' = 1−

− 4x

2 18 − 2x 2

=

18 − 2x 2 + 2x
18 − 2x 2

.

y ' = 0 ⇔ 18 − 2x 2 + 2x = 0 ⇔ 18 − 2x 2 = − 2x
⎧x ≤ 0
⎪

⎧x ≤ 0
⎧x ≤ 0
⇔⎨
⇔⎨ 2
⇔ ⎨⎡ x = 3 ⇔ x = − 3 .
2
2
⎩18 − 2x = 4x
⎩x = 3 ⎪⎢
⎩ ⎢⎣ x = − 3

Ta có : x = − 3 thì y = − 3.
x=3

thì y = 3.

x = − 3 thì y = − 3 3 .
Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y
là −3 3 , đạt được khi x = − 3 .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y =

x +1
.
x +x +1
2

Giải
Tập xác định: D =
y' =

. Ta có :

(x 2 + x + 1) − (2 x + 1)( x + 1) − x 2 − 2 x
= 2
(x 2 + x + 1) 2
(x + x + 1)2

⎡x = 0
y' = 0 ⇔ − x 2 − 2x = 0 ⇔ ⎢
⎣x = − 2

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

5


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

Bảng biến thiên:
x

−∞

y'
y

−2
−

0

0

+

0

0

+∞

−

1
−

0

1
3

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
•

Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0.

•

Giá trị nhỏ nhất của y là −

1
, đạt được khi x = − 2.
3

LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài tốn tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Dùng phương pháp đạo hàm có thể giải
hầu hết các bài tập dạng này.
2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức :
2.1. Bất đẳng thức Cauchy :

Với ai ≥ 0 với mọi i = 1, 2, … , n ta có :

a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an .
* Nếu a1a2 ...an = P khơng đổi thì a1 + a2 + ...+ an = S đạt giá trị nhỏ nhất là
n

n P khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an = n P .

* Nếu a1 + a2 + ... + an = S không đổi thì a1a2 ... an = P đạt giá trị lớn nhất
n

S
⎛ S⎞
là ⎜ ⎟ khi và chỉ khi a1 = a2 = ...= an = .
n
⎝n⎠
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 3x +1 + 32 − x .

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 3 x+1 và 3 2 − x , ta được :
y = 3x +1 + 32 − x ≥ 2 3x +1 . 32 − x = 2 33 = 6 3 .

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3x +1 = 32 − x ⇔ x + 1 = 2 − x ⇔ x =
Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi x =

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

1
.
2

1
.
2

6


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện
các ai phải không âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi
phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp.
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski :

Với a i , b i ∈

(i ≥1, ... , n) :

a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ≤ a12 + a22 + ... + an2 .

b21 + b22 + ... + b n2 .

a1
a
a
= 2 = ... = n .
b1
b2
bn

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

LƯU Ý: Khi dùng bất đẳng thức Bunhiacopski thì có lúc ta chỉ có thể tìm được
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = 2x + 3y biết
2x 2 + 3y 2 ≤ 5 .
Giải :
Ta có :
A 2 = ( 2x + 3y ) =
2

(

2. 2 x + 3. 3 y

) ≤ (( 2 ) + ( 3 ) ) (( x 2 ) + ( y 3 ) )
2

2

2

2

2

( Bất đẳng thức Bunhiacopski ).
hay A 2 ≤ (2 + 3) ( 2x 2 + 3y 2 ) ≤ 5.5 = 25 .

⎧x 2 y 3
=
⎧x = y
⎡x = y = 1
⎪
A = 25 ⇔ ⎨ 2
⇔⎢
.
3 ⇔⎨ 2
2
⎣ x = y = −1
⎩2x + 3y = 5
⎪2x 2 + 3y 2 = 5
⎩
2

Do A 2 ≤ 25 nên −5 ≤ A ≤ 5 .
Vậy : min A = −5 ⇔ x = y = −1 .
max A = 5 ⇔ x = y = 1 .
2
1
+ với 0 < x < 1 .
1− x x
Giải :
2
2
2
2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎡
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⎥ . ⎢ 1 − x +
1− x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥ ⎣
⎦

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

Ta có : A =

2
1 ⎡⎛
+ = ⎢⎜⎜
1 − x x ⎢⎝
⎣

(

) ( x ) ⎤⎥⎦ ≥
2

2

hay A ≥

(

⎛
⎞
2
1
≥ ⎜⎜
. 1− x +
. x ⎟⎟ ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ).
x
⎝ 1− x
⎠

)

2

2 + 1 ⇒ A ≥ 3+ 2 2 .

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

7

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

2
1
2
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 − x = x ⇔
= 2 ⇔ 2x 2 = (1 − x) 2
2
1− x x
(1 − x ) x
⇔ x 2 = 1 − x (vì 0 < x < 1 )

⇔x

(

)

2 +1 = 1 ⇔ x = 2 −1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 + 2 2 khi và chỉ khi x = 2 − 1 .
2.3. Các bất đẳng thức lượng giác :
* sin u(x) ≤ 1 với mọi x ∈ D .

* cos u(x) ≤ 1 với mọi x ∈ D . ( trong đó D là tập xác định của u(x) )
* sin u(x) + cos u(x) ≤ 2 .

* sin 2x =

2 tan x
2 tan x
⇒
≤ 1.
2
1 + tan x
1 + tan 2 x

* cos 2x =

1 − tan 2 x
1 − tan 2 x
⇒
≤ 1.
1 + tan 2 x
1 + tan 2 x

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x .
Giải
Với mọi x ∈ , ta có : 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ sin 2 x ≤ sin x .
và

0 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ cos 2 x ≤ cos x .

Do đó : y = sin x + cos x ≥ sin 2 x + cos2 x = 1 .
2
⎪⎧sin x = sin x
⎪⎧sin x = 0 ⎪⎧ sin x = 1

⇔⎨
∨⎨
Dấu “ = ” xảy ra khi ⎨ 2
⎩⎪ cos x = 1 ⎩⎪cos x = 0
⎩⎪cos x = cos x

⎡sin x = 0
π
⇔⎢
⇔ x = k (k ∈ ) .
2
⎣ cos x = 0
Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi x = k

π
2

(k ∈ ) .

Xét y 2 = ( sin x + cos x ) = 1 + 2 sin x . cos x = 1 + sin 2x ≤ 2 .
2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi sin 2x = 1 ⇔ x =

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

π
π
+ n (n ∈ ) .
4

2

8


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là

2 khi x =

π
π
+ n (n ∈ Z) .
4
2

2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản :
(1) a ≥ 0.
(2) a + b ≤ a + b .
(3) a − b ≤ a − b .

Ở (1)

: Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.

Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 .
LƯU Ý : Dạng (2), (3) cần sử dụng thêm tính chất a = − a ; a ≤ a ; −a ≤ a .

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x − 1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 .
Giải
Xét f(x) = x − 1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 .
và f1 (x) = x − 1 + x − 5 = x − 1 + − x + 5 ≥ x − 1 − x + 5 = 4 .
f2 (x) = x − 3 + x − 7 = x − 3 + − x + 7 ≥ x − 3 − x + 7 = 4 .

Do đó : f (x) = f1 (x) + f 2 (x) ≥ 4 + 4 = 8 .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

⎧(x − 1).(5 − x) ≥ 0
⎧1 ≤ x ≤ 5
⇔⎨
⇔ 3≤ x ≤ 5.
⎨
⎩(x − 3).(7 − x) ≥ 0
⎩3 ≤ x ≤ 7
Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi x ∈ [3; 5] .
3. Phương pháp miền giá trị của hàm số :
™ Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) có miền xác
định D. Khi đó hàm số có miền giá trị : f (D) = { y ∈ / y = f (x), x ∈ D} .
™ Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là
tìm điều kiện để phương trình y 0 = f (x) có nghiệm ( với y 0 là một giá trị tùy ý của
hàm số y = f (x) trên tập xác định D ). Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một
trong các dạng sau :

1. Nếu y 0 ≤ M thì max f (x) = M .
x∈D

2. Nếu y0 ≥ m thì min f (x) = m .

x∈D

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

9


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

3. Nếu m ≤ y 0 ≤ M thì max f(x) = M và min f (x) = m .
x∈ D

x∈D

LƯU Ý :
Phương trình ax 2 +bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 .
Phương trình asin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2x 2 + x − 1
.
x2 − x + 1

Giải :
2

Tập xác định : D =

1⎞
3
⎛
( do x − x + 1 = ⎜ x − ⎟ + > 0 với mọi x ∈
2⎠
4
⎝
2

Gọi y 0 là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đó, có x ∈
phương trình y 0 =

).

sao cho

2x 2 + x − 1
có nghiệm.
x2 −x + 1

hay phương trình (2 − y 0 )x 2 + (1 + y 0 )x −1 − y 0 = 0 (1) có nghiệm x.
y 0 = 2 : (1) trở thành 3 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 . Do đó nhận y0 = 2 .

(*)

y 0 ≠ 2 : (1) có nghiệm khi và chỉ khi (1 + y 0 ) 2 + 4(2 − y 0 )(1 + y 0 ) ≥ 0
⇔ 9 + 6y 0 − 3y 0 2 ≥ 0
⇔ − 1 ≤ y 0 ≤ 3.

Do đó, với y 0 ∈ [ − 1;3](y 0 ≠ 2), phương trình (1) có nghiệm.

(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
y 0 ∈ [ − 1;3] .
Vậy min y = – 1 và max y = 3.
4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn :

Ta biến đổi đưa về các biểu thức có số mũ chẵn dạng :
(1) M = m + A 2k + B2l ( k, l ∈

+

, m là hằng số ). Khi đó : M ≥ m .

⎧A = 0
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là m khi và chỉ khi ⎨
.
⎩B = 0
(2) M = m − A 2k − B2l ( k, l ∈

+

, m là hằng số ). Khi đó : M ≤ m .

⎧A = 0
Vậy M đạt giá trị lớn nhất là m khi và chỉ khi ⎨
.
⎩B = 0

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

10


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 4 − 5x 2 − 2y 2 + 2xy + 8x + 2y
với x, y ∈

.
Giải :

Ta có : A = 4 − 5x 2 − 2y 2 + 2xy + 8x + 2y

= 4 − ( x 2 + y 2 − 2xy) − (4x 2 − 8x) − (y 2 − 2y)
= 9 − (x − y) 2 − 4(x −1) 2 − (y − 1) 2 ≤ 9 .
⎧x − y = 0
⎪
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ⎨ x = 1
⇔ x = y =1.
⎪y = 1
⎩
Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x = y = 1.

Ví dụ 2: Cho 2 số x, y thỏa mãn 8 x 2 + y 2 +

1
= 4 . Xác định x, y để tích xy
4x2

đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải :
1
1
⎛
⎞
Ta có : 8x 2 + y 2 + 2 = 4 ⇔ ⎜ 4x 2 + 2 − 2 ⎟ + ( 4x 2 + y 2 + 4xy ) − 4xy − 2 = 0
4x
4x
⎝
⎠
2

1 ⎞
1
2
⎛
⇔ 4xy = ⎜ 2x −
⎟ + ( 2x + y ) − 2 ≥ −2 ⇔ xy ≥ −
2x ⎠
2
⎝
1
1 ⎧
1
⎧

⎧
⎪2x =
⎪x =
⎪x = −
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ⎨
2x ⇔ ⎨
2 ∨⎨
2
⎪⎩−2x = y
⎪⎩ y = −1 ⎪⎩ y = 1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là − , đạt được khi và chỉ khi
2
1
⎛1
⎞
( x, y ) = ⎜ ; −1⎟ hoặc ( x, y ) = ⎛⎜ − ;1⎞⎟ .
⎝ 2 ⎠
⎝2
⎠

5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm :
™ Hàm lồi :
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D . f(x) gọi là lồi
⎛ x + x2 ⎞
với mọi x ∈ D ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ D : f (x1 ) + f (x 2 ) ≥ 2f ⎜ 1
⎟.
⎝ 2 ⎠
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lồi với mọi x ∈ D là:
y" = f "(x) > 0 với mọi x∈D.

- Tính chất :

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

11


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

⎛ x + x 2 + ... + x n
∀ x1 , x 2 ,..., x n ∈ D, f (x1 ) + f (x 2 ) + ... + f (x n ) ≥ nf ⎜ 1
n
⎝

⎞
⎟.
⎠

⎛ x + x + ... + x n ⎞
Nếu nf ⎜ 1 2
⎟ = m (hằng số) thì tổng S = f (x1 ) + f (x 2 ) + ... + f (x n )
n
⎝
⎠
có giá trị nhỏ nhất là m, đạt được khi x1 = x 2 = ... = x n .

™ Hàm lõm :
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D . f(x) gọi là lõm

⎛ x + x2 ⎞
với mọi x ∈ D ⇔ ∀ x1 , x 2 ∈ D:f (x1 ) + f (x 2 ) ≤ 2f ⎜ 1
⎟.
⎝ 2 ⎠
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi x ∈ D là:
y" = f "(x) < 0 với mọi x ∈ D.
- Tính chất :
⎛ x + x + ... + x n
∀x1 , x 2 ,..., x n ∈ D, f (x1 ) + f (x 2 ) + ... + f (x n ) ≤ nf ⎜ 1 2
n
⎝

⎞
⎟.
⎠

⎛ x + x 2 + ... + x n ⎞
Nếu nf ⎜ 1
⎟ = M ( hằng số ) thì tổng
n
⎝
⎠
S = f (x1 ) + f (x 2 ) + ... + f (x n ) có giá trị lớn nhất là M, đạt được khi x1 = x 2 = ... = x n .

Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen.
™ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và n điểm x1 , x 2 , ..., x n tùy ý trên [a; b],
các số thực không âm λ1 , λ 2 , ..., λ n (n ≥ 2) sao cho λ1 + λ2 + ...+ λn =1.
Nếu f "(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì :
λ1f(x1 ) + λ 2 f(x 2 ) +... + λ n f(x n ) ≥ f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 +... + λ n x n ) .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn .
Nếu f "(x) < 0 trong khoảng (a; b) thì :
λ1f(x1 ) + λ 2 f(x 2 ) + ... + λ n f(x n ) ≤ f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 +...+ λ n x n ) .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x 2 = ... = x n .
Khi giải toán ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để
cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này.
Ví dụ : Cho tam giác ABC là tam giác nhọn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = tan A + tan B + tan C.
Giải

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

12


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

⎛ π⎞
Xét hàm số : f(x) = tan x , x ∈ ⎜ 0; ⎟ . Ta có :
⎝ 2⎠

f '(x) =
f "(x) =

1
.
cos 2 x

2cos x. sin x 2sin x
⎛ π⎞
=
> 0 với mọi x ∈ ⎜ 0; ⎟ .
4
3
cos x
cos x
⎝ 2⎠

⎛ π⎞
Do đó f(x) là hàm lồi trên x ∈ ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 2⎠
⎛ A + B +C ⎞
Suy ra : f(A) + f(B) + f(C) ≥ 3f ⎜
⎟.
3
⎝
⎠
π
⎛A+ B+ C⎞
hay tan A + tan B + tan C ≥ 3tan ⎜
⎟ = 3 tan = 3 3 .
3
3
⎝
⎠

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A = B = C =

Vậy min M = 3 3 khi A = B = C =

π
.
3

π
(∆ ABC đều ).
3

6. Phương pháp tọa độ - vectơ:
r
r
Cho hai vectơ a = (a1 , a 2 ) và b = (b1 , b 2 ) . Ta có các bất đẳng thức sau :
r r r r
(1) a. b ≤ a . b . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1 b 2 − a 2 b1 = 0 .

(2)

ur ur
r r r r
a + b ≤ a + b . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , b cùng hướng

⎧a1 b 2 − a 2 b1 = 0
⎪
.
hay ⎨ ⎡ a1 b1 ≥ 0
⎪ ⎢a b ≥ 0
⎩ ⎣ 2 2

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = cos 4 x + cos 4 y + sin 2 x + sin 2 y với
mọi x, y ∈ .
Giải :
r
r
r
Xét các vectơ : a = (cos 2 x ;cos 2 y), b = (sin 2 x ;0), c = (0;sin 2 y) .
r r r
a + b + c = (1;1) .
r r r r r r
Ta có : a + b + c ≤ a + b + c .
hay

2 ≤ cos 4 x + cos 4 y + sin 4 x +

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

sin 4 y

13


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

⇔ cos4 x + cos4 y + sin 2 x + sin 2 y ≥ 2 .
r ur r
⎧ x = kπ
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a, b, c cùng hướng ⇔ ⎨

(k, l ∈ ) .
⎩ y = lπ

Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là

2 , đạt được khi và chỉ khi

x = kπ, y = lπ ( k, l ∈ )
LƯU Ý :
uuur 2
* Ta cũng có thể biến đổi AB2 = AB , kết hợp với các qui tắc vectơ, các
hằng đẳng thức, các bất đẳng thức hiển nhiên để đánh giá. Chú ý các điểm chèn:
trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, …

* Khoảng cách giữa A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) là :
AB = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 .

* Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆ ) : Ax + By + C = 0
là:

d=

Ax 0 + By0 + C
A 2 + B2

.

* AB + BC ≥ AC . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC.

* Các dạng phương trình đường thẳng, đường trịn trong mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 2: Cho ∆ABC và M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = MA 2 + MB2 + MC2 .
Giải
Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Ta có :
uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuur 2
P = MA 2 + MB2 + MC 2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC =
uuuur uuur uuur uuur
= 3MG 2 + GA 2 + GB2 + GC 2 + 2MG GA + GB + GC ≥ GA 2 + GB2 + GC 2 .

(

) (
(

) (
)

)

Dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ G .
Vậy min P = GA 2 + GB2 + GC2 khi M ≡ G .
7. Phương pháp lượng giác hóa :

Thơng thường, bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ
thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức quen thuộc.
LƯU Ý :

•

Cần lưu ý đến giới hạn cung, góc, điều kiện.

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

14


Luận văn tốt nghiệp

•

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

Dựa vào điều kiện ta có thể đặt ẩn phụ như sau :
x ≤ 1 → đặt x = sin t hay x = cos t .
x ≤ a → đặt x = a sin t hay x = a cos t .

x 2 + y 2 = 1 → đặt x = sin t và x = cos t .
x 2 + y 2 = a 2 → đặt x = a sin t và y = a cos t .
x∈

→ đặt x = tan t hay x = cot t .

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y =

1+ x 6

(1+ x )

2 3

.

Giải :
Đặt x = tan α , ta có :

y=

1 + tan α
6

(1+ tan α )
2

3

=

1 − tan α + tan α
2

4

(1+ tan 2 α )

2

=

1−

sin 2 α sin 4 α
+
cos 2 α cos 4 α =
1
cos 4 α

= cos 4 α − sin 2 α.cos 2 α + sin 4 α =
= ( sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α.cos 2 α =
2

3
= 1 − sin 2 2α .
4
Vì 0 ≤ sin 2 2α ≤ 1 nên

1
3
≤ 1 − sin 2 2α ≤ 1 .
4
4

π
1
Vậy, max y = 1 khi và chỉ khi sin 2α = 0 hay α = k (k ∈ ) và min y =
4
2
π
π
2

2
khi và chỉ khi sin 2α = 1 ⇔ cos 2α = 0 ⇔ α = + k .
4
2
Ví dụ 2 : Cho x, y thỏa x 2 + 2y 2 = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của
f (x, y) = x −

2
y.
2
Giải
2

2

⎛ y ⎞
⎛x⎞
Ta có: x 2 + 2y 2 = 4 ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ = 1 . Đặt x = 2 cos a, y = 2 sin a .
⎝2⎠
⎝ 2⎠

Khi đó :

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

15


Luận văn tốt nghiệp

f ( x, y ) = 2 cos a −
2

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

2
1
⎛ 2
⎞
. 2 sin a = 2 cos a − sin a = 5 ⎜
cos a −
sin a ⎟ .
2
5
⎝ 5
⎠
2

2
1
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
Mà ⎜
= cos b, −
= sin b .
⎟ +⎜
⎟ = 1 nên có thể đặt
5
5
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

Do đó : f ( x, y ) = 5 ( cos b.cos a + sin b.sin a ) = 5 cos ( a − b ) ≤ 5 .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a − b = k2π ⇒ x = 2.

2 4 5
10
=
, y= −
.
5
5
5

Vậy max f (x, y) = 5 .
# Các phương pháp nêu trên đều có ưu, nhược điểm riêng. Tùy theo đặc điểm
của từng bài mà ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất.

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

16


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

B. MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA CÁCH DÙNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT :
I. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM :

Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất
của P =

a + 1 + a a 2 + 1 b + 1+ b b2 + 1 c + 1+ c c2 + 1
.
+
+
a 2 +1
b2 + 1
c2 + 1
Giải :

Ta có : P =

a + 1 + a a 2 + 1 b + 1 + b b2 + 1 c + 1+ c c2 + 1
=
+
+
a 2 +1
b2 +1
c2 +1
a +1

=
Đặt T =

a +1
2

a +1

a +1
2

+

Xét hàm số f (x) =
x 2 +1 −
f '(x) =

b +1

+

b +1
2

b +1
b +1
2

x +1
x 2 +1
x

x 2 +1
x 2 +1

+

+

c +1
c2 +1

c +1
c2 +1

+a +b+c.

.

có tập xác định là D =

(x + 1)
=

1− x
(x + 1) x 2 + 1
2

.

.

f '(x) = 0 ⇔ x = 1 .
Bảng biến thiên:
x

1

−∞

+

f ′(x)
f(x)

−1

0
2

+∞
−

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : f (x) ≤ 2 với mọi x ∈
Suy ra :

a +1
a 2 +1

.

≤ 2 . (1)

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

17