TAI LIEU ON CASIO 9

Giải toán trên máy tính casio dành cho lớp 9 (học hết kỳ 1)
Bài 1: (5 điểm)
Cho phương trình
13 1 9 1 16x x x− + + =
a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình tìm x và cho biết x bằng bao nhiêu ?
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm ?
Phần Lời giải sơ lược Điểm
a)
(1,5đ)
Quy trình ấn phím áp dụng cho máy fx - 570MS để giải phương trình :
13 ( ALPHA X − 1 ) + 9 ( ALPHA X + 1 ) ALPHA
= 16 ALPHA X SHIFT SOVLE màn hình hiện X ? nhập một giá trị bất kỳ
lớn hơn 1 chẳng hạn 5 ấn tiếp = SHIFT SOLVE
1
Kết quả x = 1,25. 0,5
b)
(3,5đ)
Với điều kiện x ≥1, viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
13
( ) ( )
1 9
1 1 3 1 3 1 0
4 4
x x x x
   
− − − + + + − + + =
   
   

1
Hay ta có phương trình 13

2 2
1 3
1 3 1 0
2 2
x x
   
− − + + − =
 ÷  ÷
   
1
Suy ra
1
1 0
2
3
1 0
2
x
x

− − =




+ − =


⇔
1

1
2
3
1
2
x
x

− =




+ =


1
Tìm được x = 1,25 thoả mãn điều kiện là nghiệm duy nhất của ph. trình. 0,5
Bài 2: (5 điểm)
Cho f(n) = 3
2n + 3
+ 40n – 27 với n
∈ ¥
và n ≥ 1.
a) Viết một quy trình ấn phím tính các giá trị f(1); f(2); f(3); f(4).
b) Chứng minh rằng f(n) chia hết cho 64.
Phần Lời giải sơ lược Điểm
a)
(2,5đ)
Viết quy trình ấn phím tính f(n) áp dụng cho máy fx-570 MS:

3 ∧ ( 2 ALPHA X + 3 ) + 40 ALPHA X - 27 CALC
Màn hình hiện X ?
0,5
ấn tiếp 1 = kết quả f(1) = 256 0,5
ấn tiếp CALC 2 = kết quả f(2) = 2240 0,5
ấn tiếp CALC 3 = kết quả f(3) = 19776 0,5
ấn tiếp CALC 4 = kết quả f(4) = 177280 0,5
b)
Theo tính toán ở phần a) thì f(1) = 256 chia hết cho 64
Giả sử f(n) chia hết cho 64 với n tự nhiên và n ≥ 1. Ta chứng minh f(n + 1)
chia hết cho 64 với n tự nhiên và n ≥ 1 bằng cách chứng minh f(n + 1) – f(n)
chia hết cho 64(vì f(n) đã chia hết cho 64 - giả thiết quy nạp).
0,5
Phần Lời giải sơ lược Điểm
(2,5đ)
Xét f(n + 1) – f(n) = 3
2(n + 1) + 3
+ 40(n + 1) – 3
2n + 3
– 40n
= 8. 3
2n + 34
+ 40 = 8(3
2n + 3
+ 5)
0,5
Để chứng minh f(n + 1) – f(n) chia hết cho 64 ta chứng minh g(n) = 3
2n + 3
+ 5
chia hết cho 8.

0,5
Lại có g(1) = 248 chia hết cho 8.
Giả sử g(n) chia hết cho 8 với n tự nhiên và n ≥ 1.
0,5
Xét g(n + 1) – g(n) = 3
2(n + 1) + 3
– 3
2n + 3
= 3
2n + 3
(3
2
– 1) = 8.3
2n + 3
chia hết cho 8.
Vậy g(n) = 3
2n + 3
+ 5 chia hết cho 8 và suy ra đpcm.
0,5
Bài 3: (5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 40 cm, BC = 30 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C
cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F. Tính chính xác đến 0,0001 giá trị của biểu thức
. .BE CF DF CE+
biết rằng EF = 99cm.
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Theo định lý Ta let ta có
BE CE
AE EF
=
(1) và

DF CF
AF EF
=
(2) 0,5
Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được
1
BE DF
AE AF
+ =
(3) 0,5
Nhân cả hai vế của đẳng thức (3) AE.AF được BE.AF + DF.AE = AE.AF 0,5
Do AE. AF = 2dt
AEF∆
= AC.EF nên BE.AF + DF.AE = AC.EF 0,5
Mặt khác AF
2
= CF.EF và AE
2
= CE.EF nên
.AF CF EF=
;
.AE CE EF=

nên suy ra BE.
.CF EF
+ DF.
.CE EF
= AC.EF hay suy ra
1,0
. .BE CF DF CE+

= AC.
EF
(4) 0,5
Theo pitago, ta có AC =
2 2 2 2
40 30AB BC+ = +
. 0,5
F
E
D
C
B
A
Ấn phím: ( 40 x
2
+ 30 x
2
) = Kết quả AC = 50 0,5
Nên từ (4) cho
. .BE CF DF CE+
= 50.
99
≈ 497,4937 (cm) 0,5
Bài 4: (5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m ; n) thoả mãn hệ thức m
2
+ n
2
= m + n + 8.
Phần Lời giải sơ lược Điểm

Ta có m
2
+ n
2
= m + n + 8 ⇔ 4m
2
+ 4n
2
= 4m + 4n + 32
⇔ 4m
2
– 4m + 1 + 4n
2
– 4n + 1 = 34
⇔ (2m – 1)
2
+ (2n – 1)
2
= 34
2,0
Số 34 chỉ có một cách phân tích thành tổng hai số chính phương 34 = 3
2
+ 5
2
1,0
Suy ra 2m – 1 = 3 ; 2n – 1 = 5 cho m = 2 và n = 3 1,0
Hoặc 2m – 1 = 5 ; 2n – 1 = 3 cho m = 3 và n = 2
Vậy chỉ có các cặp (3 ; 2) và (2 ; 3) thoả mãn đề bài.
1,0
Bài 5: (5 điểm)

Cho tam giác ABC có
µ
0
A 120=
, AB = 4, AC = 6. M là trung điểm của BC. Tính độ dài đoạn
thẳng AM chính xác đến 0,0001.
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Vẽ BH ⊥ AC và MK ⊥ AC. Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABH:
BH
2
= AB
2
- AH
2
⇔ BH =
2 2
AB AH−
1,0
Do
µ
0
A 120=
nên
·
0
60HAB =
và suy ra AH =
2
2
AB

=
1,0
Suy ra BH =
3 2 3AB =
0,5
Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên
HK =
1
2
HC =
1
2
(AC + AH) = 4
0,5
Suy ra AK = HK – AH = 4 – 2 = 2 0,5
Lại có MK =
1
2
BH =
3
nên AM
2
= AK
2
+ MK
2
= 4 + 3 = 7 ⇒ AM =
7
1,0
Tính được AM ≈ 2,6458

0,5
Bài 6: (5 điểm)
H
K
M
C
B
A
Tính giá trị bằng độ, phút, giây của góc nhọn x thoả mãn cosx =
( )
2
1
1 6 2 3 2+ + − −
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Để máy tính ở chế độ tính bằng độ: ấn MODE MODE MODE MODE 1
Ấn riếp SHIFT cos
- 1
( 1 ÷ ( 1 ( 6 + 2 - 3 - 2
) x
2
) =
3
Kết quả x = 7, 5

ấn tiếp SHIFT ← cho KQ x = 7
0
30’
2
Bài 7: (5 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình 3x

2
+ 14y
2
+ 13xy = 330
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Phương trình đã cho tương đương với (3x
2
+ 7xy) + (6xy + 14y
2
) = 330
⇔ x(3x + 7y) + 2y(3x + 7y) = 330 ⇔ (x + 2y)(3x + 7y) = 330 (1)
1,0
Do x, y nguyên dương nên
(x + 2y)(3x + 6y) < (x + 2y)(3x + 7y) < (x + 2y)(4x + 8y)
⇔ 3(x + 2y)
2
< 330 < 4(x + 2y)
2
(2)
1,0
Từ 3(x + 2y)
2
< 330 ⇒ x + 2y <
110
; 330 < 4(x + 2y)
2
⇒ x + 2y >
165
2
Nên từ (2) ⇔

165
2
< x + 2y <
110
1,0
Do x, y nguyên dương và
165
2
≈ 9,08 còn
110
≈ 10,49 nên suy ra
x + 2y = 10 (3)
1
Từ (1) và (3) suy ra
2 10
3 7 33
x y
x y
+ =


+ =

0,5
Tìm được x = 4 và y = 3 0,5
Bài 8: (5 điểm)
T×m c¸c sè nguyªn x vµ y tho¶ m·n
1 3
8 8
x

y
− =
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Tõ gi¶ thiÕt suy ra y(x - 3) = 8 0,5
TÝnh to¸n trªn m¸y và ghi được sè liÖu vào b¶ng :
y - 1 1 - 2 2 - 4 4 - 8 8
x- 3 - 8 8 - 4 4 - 2 2 - 1 1
x - 5 11 - 1 7 1 5 2 4
4
Cã 8 cÆp sè (x ; y) = (- 5 ; - 1); (11; 1); . . . (4; 8) 0,5
Bi 9: (5 im)
Tìm một số có 4 chữ số
abcd
biết rằng nó là một số chính phơng chia hết cho 9 và d là
một số nguyên tố.
Phn Li gii s lc im
Do
abcd
là số chính phơng nên d chỉ có thể bằng 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6; 9 1,25
Do d là số nguyên tố nên d chỉ có thể bằng 5 0,25
Khi đó
abcd
=
2
5x
với x tự nhiên và 1 x 9 0,5
Do
abcd

M

9 nên
2
5x

M
9 và suy ra
5x

M
3 0,5
Suy ra
5 3
6 5 14
x
x
+


+

M
suy ra x + 5 chỉ có thể là 6, 9 hoặc 12
hay x chỉ có thể là 1, 4 hoặc 7
0,75
Khi đó
2
5x
có thể là 225, 2025 hoặc 5625 0,75
Dùng máy tính thử lại chỉ có 2025 = 45
2

và 5625 = 75
2
thoả mãn. 1,0
Bi 10: (5 im)
T nh ca mt cỏi cõy cú treo mt cỏi dõy th xung t thỡ tha mt on cú di l 12,5
m. Nu kộo cng dõy ra thỡ u dõy chm t mt khong cỏch l 15,5 m so vi gc cõy. Hóy
tớnh di ca dõy (chớnh xỏc n cm).
Phn Li gii s lc im
Gi a l cao ca cõy thỡ di ca dõy l c - cnh huyn ca tam giỏc
vuụng cú hai cnh gúc vuụng l a = c 12,5 v 15,5.
1,0
p dng nh lý Pitago: (c 12,5)
2
+ 15,5
2
= c
2
1,0
Tỡm c c =
2 2
15,5 12,5
2.12,5
+
1,0
Vit quy trỡnh n phớm ỳng. 1,0
Tớnh c c 15,86 15,9 (m)
1,0
Bi 11: (5 im)
Cho hỡnh thang ABCD (AB < CD, AB //CD). E v F ln lt l trung im ca AD, BC. Gi
giao im ca AD v BC l K , giao im ca AC v BD l O, giao im ca KO vi CD l H,

giao im ca KO vi AB l I. Cho bit EF =
12,1234
(cm), tớnh tng cỏc di cỏc on
thng IA v DH. (chớnh xỏc n 0,0001)
O
I
H
K
D C
B
A
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Theo định lí Ta let:
IA IB
HD HC
=
(1) 0,5
Do tam giác IOA đồng dạng với tam giác HOC nên:
IA OI
HC OH
=
(2)
Tam giác IOB đồng dạng với tam giác HOD nên:
IB OI
HD OH
=
(3)
1,0
Từ (2) và (3) suy ra
IA IB

HC HD
=
(4) 0,5
Chia từng vế của (1) và (4) với nhau cho

HC HD
HD HC
=
hay HC
2
= HD
2
⇔ HC = HD (5)
1,0
Từ (1) và (5) suy ra IA = IB (6) 1,0
Từ (5) và (6) và do tính chất đường trung bình của hình thang suy ra
IA + DH =
1
2
(AB + CD) = EF =
12,1234
≈ 3,1817.
1,0
Bài 12: (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Biết BD = 7,
CD = 15. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Phần Lời giải sơ lược Điểm
Vẽ DE ⊥ BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm của AE và BD.
Do
∆

ABD =
∆
EBD (BD chung,
·
·
ABD EBD=
nên DA = DE, BA = BE.
0,5
Suy ra tứ giác AKED là hình thoi. Đặt KE = ED = AD = AK = x, HD = HK = y 0,5
y
y
x
x
15
x
H
E
D
K
C
B
A
Từ tam giác vuông EBD: ED
2
= DH.DB hay x
2
= 7y (1) 1
Do EK //AC nên ta có:
EK BK
CD BD

=
⇔
7 2
15 7
x y−
=
(2) 1
Từ (1) và (2) suy ra được 30x
2
+ 49x – 735 = 0 (3) 1
Giải được phương trình (3) cho x = 4
1
5
; x = -5
5
6
(loại do x > 0).
Nên AD = 4.2
1
Bài 13: (5 điểm)
Cho F(n) = 16
n
– 15n – 1 với n ∈
¥
và n ≥ 1.
a) Tính các giá trị F(1) ; F(2) ; F(3) ; F(4).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị n ∈
¥
và n ≥ 1 thì F(n) chia hết cho 125.
Phần Lời giải sơ lược Điểm

a)
2,5 đ
Viết quy trình ấn phím áp dụng cho máy casio fx 570MS:
16 ∧ ALPHA X ─ 15 ALPHA X ─ 1 ấn tiếp CALC màn hình hiện X ? ấn
tiếp 1 = cho F(1) = 0, ấn tiếp CALC 2 = cho F(2) = 225 ấn tiếp CALC 3
= cho F(3) = 4050 và ấn tiếp CALC 4 = cho F(4) = 65475.
2,0
Viết quy trình ấn phím đúng 0,5
b)
2,5 đ
Chứng minh bằng quy nạp: Ta có F(1) = 0 chia hết cho 125. 0,5
Giả sử F(n) chia hết cho 125 với n ∈
¥
và n ≥ 1. Ta chỉ cần chứng minh
F(n + 1) – F(n) chia hết cho 125.
0,5
Thật vậy, F(n + 1) – F(n) = 15.16
n

– 15 = 15(16
n
– 1). 0,5
Do 16
n
– 1 = (16 – 1).M với M
∈

¢
+
nên 16

n
– 1 chia hết cho 15. 0,5
Suy ra F(n + 1) – F(n) chia hết cho 125 (đpcm). 0,5
Bài 14: (5 điểm)
Cho biểu thức A =
2
2 3
x y
+
a) Tính giá trị của A khi x = 0,01 và y = 1,05; x = 1,09 và y = 2,01; x = 2,19 và y = 0,18
(chính xác tới 0,0001)
b) Chứng minh rằng với x, y là hai số thực dương thì luôn tồn tại 1 trong 3 số x ; y ; A có
giá trị không nhỏ hơn 2.
Phần Lời giải sơ lược Điểm
a)
1,5đ
Kết quả tính toán cho trong bảng
x 0,01 1,09 2,19
1,5