Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (588.67 KB, 91 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Ngọc Khải
PHÂN BỐ GIỚI HẠN CỦA
TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Ngọc khải
PHÂN BỐ GIỚI HẠN CỦA TỔNG CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN ĐỘC LẬP
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 01 06
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng
Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc
và chỉ bảo tận tình của GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tơi trong suốt
q trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người
thầy của mình.
Qua đây, tơi xin gửi tới các thầy cơ Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô
đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất
đối với công lao dạy dỗ trong suốt q trình giáo dục đào tạo của Nhà
trường.
Tơi xin cảm ơn gia đình, cơ quan, bạn bè và tất cả mọi người đã quan
tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi có thể hồn thành nhiệm vụ
của mình.
Hà nội, tháng 10 năm 2014
1
MỤC LỤC
Những kí hiệu dùng trong luận văn
4
Mở đầu
5
1 Phân phối xác suất và hàm đặc trưng
1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất . . . . .
1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Một số tính chất của hàm đặc trưng . . .
1.2.2 Một số ví dụ về hàm đặc trưng . . . . . .
1.3 Các công thức ngược . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Sự hội tụ của dãy các hàm phân phối và các hàm
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
đặc trưng
2 Các phân phối chia vô hạn
2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của các phân phối chia vô
hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Một số ví dụ về phân phối chia vô hạn . . . . . . .
2.2 Biểu diễn chính tắc của hàm đặc trưng chia vơ hạn . . . .
2.3 Định lí bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
.
.
.
.
3 Một số bất đẳng thức về phân phối của tổng các biến ngẫu
nhiên độc lập
3.1 Hàm tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bất đẳng thức về hàm tập trung của tổng các biến ngẫu
nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bất đẳng thức về giá trị lớn nhất của phân phối của tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Các ước lượng mũ cho phân phối của tổng các biến ngẫu
nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn
2
6
6
13
13
14
18
20
25
25
27
33
37
37
42
50
53
57
4.1
4.2
4.3
Các phân phối chia vô hạn như là phân phối giới hạn của
tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . 57
Điều kiện hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn cho trước. . 70
Các phân phối thuộc lớp L và các phân phối ổn định . . . . 77
Kết luận
87
Tài liệu tham khảo
88
NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
N
R
Z
BĐT
Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số thực
Tập các số nguyên
Bất đẳng thức
4
MỞ ĐẦU
Tác phẩm: "Phân phối giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên
độc lập" đã được hai nhà toán học B.V.Gnedenko và A.N.Kolmogorov
cơng bố năm 1949. Từ đó, lý thuyết về tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
đã được phát triển một cách nhanh chóng. Cho đến nay, các cơng trình
nghiên cứu trong lĩnh vực này và những kết quả của nó đã đạt được nhiều
thành tựu to lớn, đóng vai trị quan trọng khơng thể thiếu trong học tập,
nghiên cứu và ứng dụng của lý thuyết xác xuất.
Với lí do đó, tơi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của
mình là: Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 4 chương có nội dung
tương ứng như sau:
• Chương 1: Phân phối xác suất và hàm đặc trưng
Trình bày một số khái niệm cơ bản như biến ngẫu nhiên, hàm phân
phối, hàm đặc trưng và sự hội tụ của dãy các hàm phân phối và hàm
đặc trưng.
• Chương 2: Các phân phối chia vơ hạn
Trình bày định nghĩa, tính chất và ví dụ minh họa về phân phối chia
vô hạn cùng với một số kết quả của nó.
• Chương 3: Một số bất đẳng thức về phân phối giới hạn của tổng các
biến ngẫu nhiên độc lập.
Trình bày định nghĩa về hàm tập trung của một biến ngẫu nhiên.
Giới thiệu và chứng minh một số bất thức về phân phối của tổng các
biến ngẫu nhiên độc lập.
• Chương 4: Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vơ hạn.
Trình bày sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn, các phân phối
thuộc lớp L và phân phối ổn định.
5
CHƯƠNG 1
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG
1.1
Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Cho tập Ω = ∅. Các phần tử của Ω được gọi là các điểm hoặc biến cố
sơ cấp và được kí hiệu là ω (có hoặc khơng có chỉ số). Tập Ω được gọi là
không gian các biến cố sơ cấp.
Cho A là tập các tập con của không gian Ω các biến cố sơ cấp. A thỏa
mãn các tính chất:
(i) Ω ∈ A
(ii) Nếu A ∈ A thì (Ω\A) ∈ A
(iii) Nếu A1 , A2 , · · · là dãy hữu hạn hoặc vơ hạn các tập con chứa trong
A thì An ∈ A.
n
Tập A được gọi là một σ -đại số các biến cố hoặc trường Borel của các biến
cố và các phần tử của A được gọi là các biến cố.
Nhận xét:
Nếu A là một σ -đại số các biến cố, ta dễ thấy rằng tập ∅ và giao hữu hạn
hoặc đếm được các biến cố trong A cũng chứa trong A.
Một hàm khơng âm và cộng tính đếm được P(A) được định nghĩa trên
một biến cố A ∈ A và được chuẩn hóa bởi điều kiện P(Ω) = 1 được gọi là
một độ đo xác suất. Giá trị P(A) được gọi là xác suất của biến cố A. Bộ
ba (Ω, A, P) được gọi là một không gian xác suất.
Một hàm thực
X:Ω→R
ω → X = X(ω)
Cho B ⊂ R. Đặt X −1 (B) = {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B}.
Tập X −1 (B) là tập con của không gian các biến cố sơ cấp Ω và được gọi
6
7
là nghịch ảnh của B .
Nếu X −1 (B) ⊂ A với ∀ tập Borel B ⊂ R thì hàm X(ω) được gọi là đo
được.
Một hàm thực - hữu hạn - đo được được gọi là một biến ngẫu nhiên. Một
hàm PX (B) = P({ω : X(ω) ∈ B}) được định nghĩa với mọi tập Borel
B ⊂ R được gọi là một hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X . Chúng ta
sẽ sử dụng kí hiệu ngắn gọn hơn P(X ∈ B) thay cho P({ω : X(ω) ∈ B}).
Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất mà trên đó biến ngẫu nhiên X
được định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X sinh ra một không gian xác suất mới
(R, B, PX ) (ở đây B là σ -đại số Borel trên R).
Chúng ta xem xét xác suất P(X ∈ B) khi B là khoảng (−∞; x) chứa các
điểm y ∈ R thỏa mãn y < x. Chúng ta kí hiêu:
F (x) = P(X < x)
với ∀x ∈ R.
Hàm F (x) được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
Một hàm phân phối có tính chất sau:
(i) F (x) là hàm không giảm và liên tục trái.
(ii) lim F (x) = 0.
x→−∞
(iii) lim F (x) = 1.
x→+∞
Ngược lại, một hàm F (x) có đủ 3 tính chất trên cũng là hàm phân phối
của một biến ngẫu nhiên xác định trên khơng gian xác suất nào đó.
Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ " Phân phối xác suất của biến X " và "hàm
phân phối của biến ngẫu nhiên X " thay cho " hàm xác suất PX (B)" hoặc
"Hàm phân phối F (x)".
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu tồn tại một tập
hữu hạn hoặc đếm được B ⊂ R sao cho P(X ∈ B) = 1. Một biến ngẫu
nhiên X được gọi là có phân phối bước nhảy nếu nó lấy giá trị dạng
a + kh(k = 0, ±1, ±2, . . .) với xác suất 1. Ở đây, a, k > 0 là các hằng
số. Đại lượng h được gọi là một bước nhảy của phân phối. Nếu không có
các số a1 và h1 > h sao cho các giá trị của X với xác suất 1 có dạng
a1 + kh1 (k = 0, ±1, ±2, . . .) thì bước nhảy h được gọi là lớn nhất.
Phân phối của biến X được gọi là liên tục nếu với ∀B ⊂ R, (B hữu hạn
hoặc đếm được) thì
P(X ∈ B) = 0
8
và được gọi là liên tục tuyệt đối nếu với ∀ tập Borel B có độ đo khơng thì
P(X ∈ B) = 0
và được gọi là kì dị nếu nó liên tục và tồn tại tập Borel B có độ đo Lebesgue
bằng 0 sao cho
P(X ∈ B) = 1.
Phân phối của biến ngẫu nhiên X được gọi là gián đoạn nếu và chỉ nếu
hàm phân phối F (x) không liên tục và liên tục nếu và chỉ nếu hàm phân
phối F (x) liên tục khắp nơi.
Phân phối F (x) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ nếu:
x
p(t)dt ,
F (x) =
∀x
−∞
với p(x) là một hàm khơng âm và khả tích trên R.
Hàm p(x) được gọi là hàm mật độ của phân phối F (x).
Bằng định lí tích phân Lebesgue, một hàm phân phối bất kì F (x) có thể
được phân tích duy nhất thành tổng của 3 thành phần
F (x) = c1 F1 (x) + c2 F2 (x) + c3 F3 (x)
(1.1)
3
với ck ≥ 0(k = 1, 3),
ci = 1 và F1 (x),
F2 (x),
F3 (x) tương ứng là
i=1
phân phối rời rạc, phân phối liên tục tuyệt đối và phân phối kì dị.
Điểm x được gọi là điểm tăng của phân phối F (x) nếu
F (x + ε) − F (x − ε) > 0,
∀ε > 0.
Tập tất cả các điểm tăng của hàm phân phối F (x) được gọi là phổ của
F (x).
Có 4 phân phối đóng vai trị quan trọng, trong đó: phân phối suy biến,
phân phối nhị thức, phân phối poisson là rời rạc và phân phối thứ tư phân phối chuẩn là liên tục tuyệt đối.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối suy biến nếu với ∀c sao cho
P(X = c) = 1 hàm phân phối của X thỏa mãn:
F (x) = 0,
∀x ≤ c,
F (x) = 1,
∀x > c.
9
Cho n là một số nguyên dương và p thỏa mãn 0 < p < 1. Biến ngẫu nhiên
X có phân phối nhị thức với tham biến (n, p) nếu:
P(X = m) = Cnm pm (1 − p)n−m ,
∀m = 0, 1, 2, . . . , n
Cho λ > 0, a, b = 0 là các số thực. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có
phân phối poisson với tham biến (a, b, λ) nếu
λm −λ
e
P(X = a + bm) =
m!
với m ∈ Z.
Cho a, σ là số thực và σ > 0.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham biến (a, σ)
nếu có mật độ:
2
1
− (x−a)
2
2σ
p(x) = √ e
σ 2π
với −∞ < x < +∞.
Hàm phân phối chuẩn (0, 1) được kí hiệu là:
x
1
Φ(x) = √
2π
t2
e− 2
−∞
Cho X = X(ω) là một biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên không gian
(Ω, A, P). Nếu |X|dP < ∞ thì ta nói rằng kì vọng tốn hoặc trung bình
Ω
của X tồn tại và được kí hiệu là EX và được xác định theo công thức:
EX =
XdP
Ω
+∞
xdF (x), ở đây tích phân bên phải là Stieltjes; F (x) là
Ta có EX =
−∞
hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
Giả sử X có hàm phân phối F (x) và g(x) là một hàm Borel. Nếu một
trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Eg(x) tồn tại. Hoặc:
∞
|g(x)|dF (x) < ∞
(ii)
−∞
10
thì điều kiện cịn lại được thỏa mãn và hơn nữa:
+∞
Eg(X) =
g(x)dF (x)
−∞
Cho k là một số dương. Kì vọng tốn của biến ngẫu nhiên X k (nếu nó tồn
tại) được gọi là moment gốc cấp k của X và được kí hiệu là αk . Vì vậy:
+∞
αk = EX k =
xk dF (x)
−∞
Ở đây F (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
Nếu moment cấp k tồn tại thì moment gốc tuyệt đối cấp k xác định, và
được kí hiệu là βk và được cho bởi công thức:
+∞
βk = E|X|k =
|x|k dF (x)
−∞
Nếu moment αk tồn tại đối với k cho trước thì rõ ràng moment αm , βm
tồn tại với ∀m : 0 < m ≤ k . Moment trung tâm và moment trung tâm
tuyệt đối cấp k được định nghĩa tương ứng bởi:
+∞
µk = E(X − EX)k =
(x − α1 )k dF (x)
−∞
+∞
νk = E|X − EX|k =
|x − α1 |k dF (x)
−∞
Moment trung tâm tuyệt đối cấp 2 được gọi là phương sai của X và được
kí hiệu là DX .
Nếu biến ngẫu nhiên X có moment cấp k là αk thì
1
1
βmm ≤ βkk
1
1
và νmm ≤ νkk
với ∀m : 0 < m ≤ k.
Từ đó ⇒ βm βl ≤ βm+l và νm βl ≤ νm+l với ∀l, m
Cho biến ngẫu nhiên X bất kì có moment cấp 2 với ∀t > 0 ta có BĐT
Cheybyshev:
EX 2
P (|X|) ≥ 2
t
11
Hàm moment sinh của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là M (t) = EetX .
Kì vọng tốn ở vế phải luôn tồn tại với t = 0 nhưng không luôn tồn tại
trong một khoảng không suy biến. Nếu nó tồn tại trong khoảng 0 ≤ t ≤ a
thì trong khoảng đó ta có:
∞
M (t) = 1 +
k=1
αk k
t
k!
Nếu tồn tại hằng số C sao cho P(|X| ≤ C) = 1 thì hàm moment sinh tồn
tại với ∀t.
Median của biến ngẫu nhiên X là số mX mà P(X ≥ mX) ≥ 12 và
P(X ≤ mX) ≥ 21 .
Nếu X1 = X1 (ω), . . . , Xn = Xn (ω) là các biến ngẫu nhiên được định nghĩa
trên không gian xác suất thường (Ω, A, P) thì véc tơ X = (X1 , . . . . . . . . . , Xn )
được gọi là véc tơ ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên n−chiều. Miền giá trị
của véc tơ ngẫu nhiên X là không gian Euclid n-chiều Rn . Với mọi tập
Borel B ⊂ Rn , xác suất
P(X ∈ B) = P({ω : (X1 (ω), . . . , Xn (ω)) ∈ B})
xác định và được gọi là hàm xác suất của của véc tơ ngẫu nhiên X .
Trong trường hợp đặc biệt x1 , x2 , . . . , xn ∈ B thì hàm:
n
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P(
{ω : Xk (ω) < xk })
k=1
xác định và được gọi là hàm phân phối của véc tơ ngẫu nhiên X(X1 , X2 , . . . , Xn ).
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất, giả sử Ak ∈ A với k = 1, 2, 3, . . . , n.
Khi đó, các biến cố A1 , . . . , An được gọi là độc lập với nhau nếu:
k
P(
s=1
k
Ais ) =
P(Ais )
s=1
với ∀k ∈ Z, 2 ≤ k ≤ n và i1 , . . . , in ∈ Z : 1 ≤ i1 < i2 , . . . < ik ≤ n.
Cho X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác
suất (Ω, A, P). Các biến ngẫu nhiên này được gọi là độc lập nếu biến cố
{ω : Xk (ω) ∈ Bk } với k = 1, . . . , n là độc lập với các tập Borel bất kì
B1 , . . . , Bn ⊂ R.
12
Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn là độc lập nếu và chỉ nếu:
n
F (xk )
F (x1 , x2 , . . . , xn ) =
k=1
với ∀xk ∈ R.
Ở đây,
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P{X1 < x1 , . . . , Xn < xn } và Fk (xk ) = P(Xk < x).
Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc với tập các giá
(1)
(n)
trị tương ứng xk , . . . , xk với k = 1, 2, . . . , n tương ứng là tương đương
với
n
(1)
(n)
(m)
P(X1 = xk1 , . . . , Xn = xkn ) =
P(Xm = xkm )
m=1
với ∀k1 , . . . , kn ∈ Z.
Nếu biến ngẫu nhiên X1 và X2 độc lập và có hàm phân phối F1 (x), F2 (x)
thì tổng X1 + X2 có hàm phân phối F (x) được xác định bởi:
+∞
F1 (x − y)dF2 (y)
F (x) =
−∞
Tích phân ở vế phải được gọi là tích chập hay tích của phân phối F1 và
F2 và được kí hiệu là: F1 ∗ F2 . Tích chập n-lần của hàm với biến bị chặn
F (x) được kí hiệu bởi F ∗n .
Một dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . được định nghĩa tương tự như
trên không gian xác suất được gọi là các biến ngẫu nhiên độc lập nếu
X1 , X2 , . . . độc lập với nhau với ∀n. Cho một dãy bất kì các hàm phân
phối F1 , F2 , . . . , Fn . Khi đó tồn tại khơng gian xác suất (Ω, A, P) và một
dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , . . . xác định trên nó và tương ứng
với n hàm phân phối của Xn là Fn .
Nếu X1 , X2 , . . . , Xn+m là các biến ngẫu nhiên độc lập và nếu f, g là các
hàm Borel với giá trị trên R, xác định tương ứng trên Rn và Rm thì
f (X1 , X2 , . . . , Xn ) và g(Xn+1 , Xn+2 , . . . , Xn+m ) là độc lập. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn
là các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng thì
E(X1 .X2 . . . . Xn ) = EX1 .EX2 . . . EXn .
13
1.2
Hàm đặc trưng
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là biến ngẫu nhiên và t là số thực. Hàm đặc
trưng của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là f (t) = EeitX .
+∞
eitx dF (x)
Nếu X có hàm phân phối là F (x) thì f (t) =
−∞
1.2.1
Một số tính chất của hàm đặc trưng
(i) f (0) = 0.
(ii) |f (t)| ≤ 1, ∀t ∈ R.
(iii) f (t) liên tục đều trên R.
Hơn nữa,
• f (−t) = f (t) là số phức liên hợp của f (t)
• Nếu f (t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X và g(t) là hàm
đặc trưng của Y = aX + b thì g(t) = eibt f (at)
• Nếu biến ngẫu nhiên X có moment cấp k là αk = EX k , k ≥ 1 thì
hàm đặc trưng f (t) của nó là đạo hàm cấp k và f (m) (0) = im αm , ∀m ≤
k
• Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn độc lập và có hàm đặc
trưng f1 , f2 , . . . , fn thì hàm đặc trưng của tổng X1 + X2 + . . . + Xn
là f1 .f2 . . . fn .
Sử dụng định lí TayLor ta dễ dàng chứng minh được định lí sau:
Nếu biến ngẫu nhiên X với hàm đặc trưng f (t) và có một moment cấp k
là αk = EX k , k ≥ 1 thì:
k
f (t) = 1 +
αm
(it)m + o(|t|k )
m!
m=1
khi t → 0.
Một biến ngẫu nhiên X và phân phối của nó được gọi là đối xứng nếu X
và −X có phân phối giống nhau. Nếu X là một biến ngẫu nhiên đối xứng
đối xứng và f (t) là một hàm đặc trưng thì
f (t) = EeitX = Ee−itX = f (−t) = f (t).
Vì vậy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên đối xứng là thực.
Cho X là một biến ngẫu nhiên với hàm đặc trưng f (t). Xét biến ngẫu nhiên
14
đối xứng X = X −Y với Y là một biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
với X . Biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng khơng âm f (−t) = |f (t)|2 .
1.2.2
Một số ví dụ về hàm đặc trưng
a) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với các giá trị x1 , x2 , . . . , xn
với xác suất tương ứng p1 , p2 , . . . , pn thì:
pn eitxn
f (t) = EeitX =
n
Trong trường hợp đặc biệt, nếu X có giá trị duy nhất c thì f (t) = eitc
do đó |f (t)| ≡ 1.
b) Hàm đặc trưng của phân phối nhị thức với tham biến (n, p) là:
f (t) = (peit + 1 − p)n
c) Hàm đặc trưng của phân phối Poision với tham biến (a, b, λ) là:
f (t) = eiat+λ(e
ibt
−1)
(1.2)
d) Hàm đặc trưng của phân phối chuẩn với tham biến (a, σ) có dạng:
1
f (t) = eiat− 2 σ
2 2
t
Cùng với các moment, có những số đặc trưng khác của một biến ngẫu
nhiên giữ vai trị quan trọng đó là bán bất biến.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu biến ngẫu nhiên X với hàm đặc trưng f (t) có
một moment αk , bán bất biến cấp k được xác định bởi:
1 dk
γk = k [ k logf (t)]t=0
i dt
Ở đây và sau đó biểu thức log biểu diễn giá trị chính của logarit do đó
logf (0) = 0. Định nghĩa chỉ ra rằng: sự tồn tại moment αk kéo theo sự
tồn tại của bán bất biến cấp tùy ý không quá k và cũng kéo theo:
γ 1 = α1 ,
γ2 = α2 − α12 ,
γ3 = E(X − α1 )3
nếu các moment trên tồn tại.
Hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm
15
đặc trưng của các biến ngẫu nhiên đó. Do đó bán bất biến cấp k của tổng
các biến ngẫu nhiên bằng tổng các bán bất biến cấp k của các biến ngẫu
nhiên này nếu nó tồn tại. Nếu f (t) là một hàm đặc trưng của một phân
phối có moment αk cấp k, ∀k ∈ R thì:
k
log f (t) =
ν−1
γν
(it)ν + o(|t|)k
ν!
(1.3)
khi t → 0.
Cho phân phối chuẩn với tham biến bất kì, các bán bất biến cấp ≥ 3 đều
bằng 0.
Nếu γ là một bán bất biến cấp k đối với biến ngẫu nhiên X và γk là bán
bất biến cấp tương tự của biến ngẫu nhiên X = aX + b với a, b là các
hằng số thì:
γ = aγ1 + b, γk = ak γk , ∀k ≥ 2
Công thức dạng:
∞
log[1 +
ν=1
αν
(it)ν ] =
ν!
∞
ν=1
γν
(it)ν
ν!
cho chúng ta công thức dưới đây cho phép mô tả bán bất biến bậc k tùy
ý trong các số hạng của các moment với gốc α1 , α2 , . . . , αk
k
γk = k!
m1 +...+mk −1
(−1)
(m1 + . . . + mk − 1)! ×
l=1
1 αl m
( )
ml ! l! l
(1.4)
Ở đây kết quả được mở rộng cho tất cả các số ngun khơng âm là nghiệm
của phương trình m1 + 2m2 + . . . + kmk = k .
Nếu phân phối F (x) là liên tục tuyệt đối thì các định lí Riemann-Lebesgue
đưa đến hàm đặc trưng tương ứng thỏa mãn điều kiện lim f (t) = 0. Nếu
|t|→∞
thành phần liên tục tuyệt đối trong hệ thức (1.1) của F (x) là khác 0 thì
lim sup |f (t)| < 1.
|t|→∞
Bằng việc sử dụng các hàm đặc trưng, chúng ta có thể xác định các phân
phối bước nhảy theo các cách sau:
Một phân phối với hàm đặc trưng là f (t) là một phân phối bước nhảy nếu
và chỉ nếu tồn tại t0 = 0 : |f (t)| = 1.
Nếu f (t) là một hàm đặc trưng của một phân phối bước nhảy với bước
16
nhảy h khi đó ta dễ thấy rằng hàm |f (t)| tuần hồn với chu kì 2π
h . Bước
2π
nhảy h sẽ đạt max nếu và chỉ nếu |f ( h )| = 1 và |f (t)| < 1, 0 < t < 2π
h.
Điều đó chỉ ra rằng: Nếu f (t) là hàm đặc trưng của phân phối dạng lưới
với bước nhảy lớn nhất h thì:
∃c > 0 : |f (t)| ≥ e−c ,
∀ε > 0,
∀|t| ∈ [ε;
2π
− ε].
h
Định lý 1.2.3. Cho f (t) là một hàm đặc trưng bất kì. Khi đó, với ∀t ∈ R
ta ln có:
1 − |f (2t)|2 ≤ 4[1 − |f (t)|2 ]
ứng minh. Giả sử G(x) là hàm phân phối; g(x) là hàm đặc trưng tương ứng. Khi đó:
+∞
(1 − cos tx)dG(x)
Re[1 − g(t)] =
−∞
Ta có:
1 − cos tx = 2 sin2
tx 1
≥ (1 − cos 2tx)
2
4
Do đó, với ∀t ta có:
Re[1 − g(2t)] ≤ 4Re[1 − g(t)]
(1.5)
Chọn g(t) = |f (t)|2 ta có đpcm
Định lý 1.2.4. Cho f (t) là một hàm đặc trưng và 0 < b, c < 1. Khi đó:
Nếu |f (t)| ≤ c thì với ∀t : |t| ≥ b, ta có:
1 − c2 2
|f (t)| ≤ 1 −
t , ∀|t| < b
8b2
Chứng minh. Áp dụng định lí (1.2.3) ta có
1 − |f (2n t|2 ≤ 4n [1 − |f (t)|2 ],
∀n
- Với t = 0 BĐT ⇔ |f (0)| ≤ 1 (luôn đúng)
- Với t = 0, |t| < b
Chọn n sao cho 2−n ≤ |t| < 2−n+1 b. Khi đó:
|f (2n t)|2 ≤ c2 và 1 − |f (t)|2 >
1 − c2 2
t
4b2
17
hay
1 − c2 2
|f (t)| < 1 −
t
8b2
Định lý 1.2.5. Cho f (t) là một hàm đặc trưng của phân phối khơng suy
biến. Khi đó tồn tại các hằng số δ > 0, ε > 0 sao cho:
|f (t)| < 1 − εt2 ,
∀|t| ≤ δ
Chứng minh. Xét 2 trường hơp.
Trường hợp 1: Phân phối trong định lí có phương sai hữu hạn σ 2 . Vì phân
phối là khơng suy biến nên σ 2 > 0. Kí hiệu kì vọng tương ứng khác 0 là
a. Khi đó f (t)e−iat là hàm đặc trưng của phân phối có kì vọng khác 0 và
phương sai là σ 2 .
Do đó:
σ 2 t2
−iat
+ o(t2 )
f (t)e
=1−
2
khi t → 0.
2 2
Ở đây đại lượng vế phải không vượt quá 1 − σ 4t khi t đủ bé. Điều này
đưa ta đến kết luận mà ta muốn có.
Trường hợp 2: Trường hợp tổng quát
Cho F (x) là một hàm phân phối không suy biến; f (t) là hàm đặc trưng
tương ứng.
Đặt:
c=
dF (x).
|x|≤b
Chọn b sao cho c > 0. Xây dựng hàm G(x) như sau:
nếu x ≤ −b
0
1
G(x) = c [F (x) − F (−b)] nếu −b < x ≤ b
1
nếu x > b
Rõ ràng G(x) là hàm phân phối không suy biến với phương sai hữu hạn
và hàm đặc trưng
1
g(t) =
eitx dF (x)
c
|x|≤b
18
Theo trường hợp 1 ta có:
|
1
c
eitx dF (x)| ≤ 1 − εt2 ,
∀t ≤ δ.
|x|≤b
Ta có:
|f (t)| ≤ |
eitx dF (x)| +
|x|≤b
dF (x)
|x|>b
⇔|f (t)| ≤ c(1 − εt2 ) + 1 − c = 1 − cεt2 , |t| < δ
1.3
Các công thức ngược
Định lý 1.3.1. Cho F (x) là một hàm phân phối và f (t) là hàm đặc trưng
tương ứng. Nếu x1 , x2 là các điểm liên tục của F (x) thì
+T
1
lim
F (x2 ) − F (x1 ) =
2π
e−itx2 −e
−it
−itx1
f (t)dt
(1.6)
−T
Định lý 1.3.2. Hai hàm phân phối có cùng hàm đặc trưng f (t) là trùng
nhau.
Định lý 1.3.3. Nếu hàm đặc trưng f (t) là một hàm nguyên tuyệt đối
trên đường thẳng thực thì hàm phân phối tương ứng F (x) có đạo hàm
d
p(x) = dx
F (x) liên tục khắp nơi và hơn nữa
+∞
1
p(x) =
2π
e−itx f (t)dt,
∀x
(1.7)
−∞
Định lý 1.3.4. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng lưới với giá trị
có dạng a + hk(k = 0; ±1; ±2, . . .). Cho pk = P(X = a + hk). Khi đó:
pk =
h
2π
e−it(a+hk) f (t)
|t|< πh
với ∀k ∈ Z và f (t) là hàm đặc trưng của X .
(1.8)
19
Chứng minh. Ta có f (t)e−iat =
+∞
eitmh pm (*)
m=−∞
Lấy k là số nguyên tùy ý. Nhân hai vế của (*) với e−ithk và kết hợp với
|t| < πh . Khi đó ta được (1.8)
Định lý 1.3.5. Cho F1 (x), F2 (x) là các hàm phân phối của các biến bị
chặn trên đường thẳng thực,
+∞
|x|dFk (x) < ∞,
k = 1, 2
−∞
Đặt
+∞
R(x) = F1 (x) − F2 (x);
eitx dR(x)
r(t) =
−∞
Giả sử
+∞
R(−∞) = 0;
|
R(+∞) = 0;
r(t)
|dR(x) < ∞.
t
−∞
Khi đó:
+∞
1
1
[R(−0) + R(+0)] =
2
2π
e−itx
r(t)dt,
−it
∀x
−∞
Chứng minh. Xét tích phân
+∞
I(x) =
e−itx
r(t)dt = lim
T →∞
−it
−∞
+T +∞
[
1 − e−it(x−u)
dR(u)]dt
it
−T −∞
Vì
|1 − eit | ≤ |t|,
và
t∈R
+∞
|x − u||dR(u)| < ∞
−∞
20
Chúng ta có thể thay đổi thứ tự tích phân và ta được:
+∞ +T
I(x) = lim
[
T →+∞
−∞ −T
1 − e−it(x−u)
dt]dR(u) = 2 lim
T →∞
it
+∞ T
[
(x − u)
dt]dR(u)
t
−∞ 0
Tích phân
T
hT
sin ht
dt =
t
Jh (T ) =
sin y
dy
y
0
0
bị chặn với ∀T .
Hơn nữa,
lim Jh (T ) = ±
T →∞
π
2
(tùy thuộc h > 0 hay h < 0).
Chuyển giới hạn qua dấu tích phân ta được:
I(x) = π[R(x + 0) + R(x − 0)]
1.4
Sự hội tụ của dãy các hàm phân phối và các
hàm đặc trưng
Cho F (x), F1 (x), F2 (x), . . . là các hàm không giảm, bị chặn. Dãy Fn (x)
hội tụ yếu tới F (x) nếu Fn (x) → F (x) tại mọi điểm liên tục của F (x). Để
chỉ ra dãy Fn (x) hội tụ yếu tới F (x) chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu Fn → F
và Fn (−∞) → F (−∞), Fn (+∞) → F (+∞). Chúng ta sẽ nói rằng Fn (x)
hội tụ đầy đủ tới F (x) và viết là Fn ⇒ F .
Định lý 1.4.1. Cho F (x), F1 (x), · · · , Fn (x) là các hàm không giảm, bị
chặn và Fn (x) ⇒ F ; g(x) là một hàm liên tục, bị chặn trên R. Khi đó:
+∞
+∞
g(x)dFn (x) →
−∞
g(x)dF (x)
−∞
Bổ đề 1.4.2. Nếu dãy các hàm đặc trưng {fn (t)} hội tụ tới hàm đặc trưng
f (t), ∀t thì sự hội tụ này là đều theo t trong mọi khoảng hữu hạn bất kì.
21
Định lý 1.4.3. Cho F (x), F1 (x), · · · là các hàm phân phối và f (t), f1 (t), · · · .
Nếu Fn → F thì fn (t) → f (t) đều theo t trong một khoảng hữu hạn bất kì.
Định lý 1.4.4. Cho {fn (t)} là dãy các hàm đặc trưng, {Fn (x)} là dãy các
hàm phân phối tương ứng. Nếu fn (x) → f (t), ∀t và nếu f (t) liên tục tại
t = 0 thì tồn tại một hàm phân phối F (x) sao cho
+∞
Fn → F
eitx dF (x)
và f (t) =
−∞
Định lý 1.4.5. Nếu dãy các hàm phân phối {Fn (x)} hội tụ tới một hàm
phân phối liên tục F (x) thì sự hội tụ là đều với ∀x ∈ (−∞; +∞)
Chứng minh. Cho ε > 0.
Vì F (x) liên tục nên ∃ξ1 , ξ2 , · · · , ξm thỏa mãn
ε
F (ξ1 ) < ;
2
ε
F (ξk+1 ) − F (ξk ) < (k = 1, m − 1);
2
1 − F (ξm ) <
Hơn nữa ∃n0 : ∀n > n0 ta có:
|Fn (ξk ) − F (ξk )| < ,
2
- Nếu ξk ≤ x < ξk+1 ,
k = 1, m
k = 1, m − 1 thì với n > n0 ta thấy
Fn (x) − F (x) ≤ Fn (ξn ) − F (ξk+1 ) + F (ξk+1 ) − F (ξk ) < ε
và
Fn (x) − F (x) ≥ Fn (ξk ) − F (ξk+1 ) > −ε
Nếu x < ξ1 thì với ∀n > n0 ta có:
Fn (x) − F (x) ≤ Fn (ξ1 ) − F (ξ1 ) + F (ξ1 ) < ε
và
Fn (x) − F (x) ≥ −F (x) ≥ F (ξ1 ) > −
- Trường hợp x ≥ ξm hồn tồn tương tự.
Do đó |Fn (x) − F (x)| < ε với ∀x và ∀n > n0 .
ε
2
ε
2
22
Bổ đề 1.4.6. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên.
Đặt
F (x) = P(X < x); G(x) = P(X + Y < x).
Khi đó:
F (x − ε) − P(|Y | ≥ ε) ≤ G(x) ≤ F (x + ε) + P(|Y | ≥ ε)
(1.9)
với ∀x và ∀ε.
Chứng minh. Biến cố X < x − ε là tổng của các biến cố X + Y < x và
Y ≥ ε. Do đó:
P(X < x − ε) ≤ P(X + Y < x) + P(Y ≥ ε)
vế trái của (1.9) là hiển nhiên.
Để chứng minh vế phải ta cần chỉ ra biến cố X + Y < x là tổng của các
biến cố X < x + ε và Y < −ε.
Lấy {Yn ; n = 1, 2, · · · } là dãy các biến ngẫu nhiên. Ta nói rằng dãy này
P
hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên Y và kí hiệu Yn →
− Y nếu
P(|Yn − Y | ≤ ε) → 0,
∀ε > 0
Định lý 1.4.7. Cho {Xn }, {Yn } là dãy các biến ngẫu nhiên được định
nghĩa trên không gian xác suất thông thường. Nếu dãy các hàm phân phối
P
{P(Xn < x)} hội tụ yếu tới hàm phân phối F (x) và nếu Yn →
− 0 thì dãy
các hàm phân phối {P(Xn + Yn < x)} cũng hội tụ yếu tới F (x).
Chứng minh. Gọi x là điểm liên tục bất kì của F (x). Theo bổ đề (1.4.6)
ta có
P(Xn < x − ε) − F (x) − P(|Yn | ≥ ε) ≤ P(Xn + Yn < x) − F (x)
≤ P (Xn < x + ε) − F (x) + P(|Yn | ≥ ε)
với ∀ε > 0.
Chúng ta xem xét một kết quả khác của bổ đề (1.4.6). Cho X, Y là các
biến ngẫu nhiên và
F (x) = P(X < x);
G(x) = P(X + Y < x).
23
Khi đó với ∀ε và với ∀x ta có
|G(x)| − H(x) ≤ sup|F (x) − F (x)| + P(|Y | ≥ ε)
x
+ max{|H(x + ε) − H(x)|, |H(x − ε) − H(x)|} (1.10)
Điều này được suy ra từ bổ đề (1.4.6) và từ mối quan hệ hiển nhiên
|F (x ± ε) − H(x)| ≤ |F (x ± ε) − H(x ± ε)| + |H(x ± ε) − H(x)|.
Định lý 1.4.8. Cho {an } và {bn } là các dãy số, an > 0.
Một dãy các hàm phân phối {Fn (x)} hội tụ yếu tới hàm phân phối không
suy biến. Khi đó ta có
(i) Nếu Fn (an x + bn ) → G(x), ở đây G(x) là hàm phân phối không suy
biến thì G(x) = F (ax + b), an → a, bn → b.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu F (an x+bn ) → F (x) thì an → 1, bn →
0.
(ii) Nếu an → a, bn → b thì F (an x + bn ) → F (ax + b)
Chứng minh. (i) Giả sử fn (t), f (t), g(t) là các hàm đặc trưng của phân
phối Fn (x), F (x), G(x). Ta có:
bn
fn (t) → f (t) và e−it an fn (
t
) → g(t).
an
an → a ⇒ ∃ dãy con an : an → a.
- Nếu a = +∞ thì với ∀t ta có
|g(t)| = lim |fn (
n →∞
t
)| = |f (0)| = 1
an
⇒ g(t) là hàm đặc trưng của phân phối suy biến. Điều này trái với giả
thiết.
bn
- Nếu a = 0 ta có gn (t) = e−it an fn ( atn ). Do đó:
f (t) = lim |fn (t)| = lim |gn (an t)| = |g(0)| = 1, ∀t.
n,→∞
n →∞
Điều này mâu thuẫn với giả thiết F (x) là không suy biến.
Vậy 0 < a < +∞
Với ∀t đủ nhỏ, hàm g(t) và f ( at ) đều khác 0 và ta có:
b
e
b
lim e
n →∞
−it an
n
= lim
n →∞
−it an
n
fn ( at )
n
fn ( at )
n
=
g(t)
= 0.
f ( at )
