Đề thi tuyển sinh ĐH năm 2005 môn Toán

Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu

1

ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC
MÔN TOÁN N
ĂM 2005


DỰ BỊ 1 KHỐI A

Câu I: (2 ñ)
Gọi (C
m
) là ñồ thị của hàm số : y =
2 2
2 1 3x mx m
x m
+ + −
−
(*) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1.
2. Tìm m ñể hàm số (*) có hai ñiểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

Câu II
: ( 2 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình :
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y

x x y y y

+ + + =

+ + + + =


2. Tìm nghiệm trên khoảng (0;
π
) của phương trình :
2 2
3
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
2 4
x
x x
π
− = + − .
Câu III: (3 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A có trọng tâm
G
4 1
( ; )
3 3
, phươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng BC là

2 4 0x y− − =
và ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng BG
là
7 4 8 0x y− − =
. Tìm t
ọ
a
ñộ
các
ñỉ
nh A, B, C.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 3
ñ
i
ể
m A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) .

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) qua g
ố
c t
ọ
a
ñộ
O và vuông góc v
ớ
i BC.Tìm t
ọ
a
ñộ

giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a AC v
ớ
i m

ặ
t ph
ẳ
ng (P).
b) Ch
ứ
ng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u ng
ọ
ai ti
ế
p t
ứ

di
ệ
n OABC.

Câu IV: ( 2 ñiểm)
1.
Tính tích phân: I
3
2

0
sin .tan dx x x
π
=
∫
.
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6
chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

Câu V: (1 ñiểm)
Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
.
Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu

2

ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC
MÔN TOÁN N
ĂM 2005

DỰ BỊ 2 KHỐI A

Câu I: (2 ñiểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số
2
1
1

x x
y
x
+ +
=
+
.
2. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với ñồ thị ( C ) .

Câu II
:( 2 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình :
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =



2. Giải phương trình :
3
2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x
π

− − − = .
Câu III: (3 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn
(C): x
2
+ y
2
12 4 36 0x y− − + = . Viết phương trình ñường tròn (C
1
) tiếp xúc với hai trục tọa
ñộ Ox, Oy ñồng thời tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C).

2. Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcac vuông góc Oxyz cho 3 ñiểm A(2;0;0), C(0; 4; 0),
S(0; 0; 4)
a) Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
phương trình mặt cầu qua 4 ñiểm O, B, C, S.
b) Tìm tọa ñộ ñiểm A
1
ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng SC.

Câu IV
: ( 2 ñiểm)
1. Tính tích phân: I
7
3
0
2
d
1
x

x
x
+
=
+
∫
.
2. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển ña thức
2
(2 3 )
n
x− , trong ñó n là số nguyên dương thỏa
mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
...
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + = 1024. (
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

Câu V
: (1 ñiểm)

Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :
2
9
(1 )(1 )(1 ) 256
y
x
x
y
+ + + ≥
.
ðẳng thức xảy ra khi nào?
Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu

3

ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC
MÔN TOÁN N
ĂM 2005

DỰ BỊ 1 KHỐI B

Câu I: (2 ñiểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số
4 2
6 5y x x= − + .
2. Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt :
4 2
2
6 log 0x x m− − = .

Câu II
: (2 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình :
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =



2. Giải phương trình :
3
2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x
π
− − − = .

Câu III: (3 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) :
2 2
64 9
x y
+ = 1. Viết phương trình tiếp
tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa ñộ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO.

2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng
1
x y z
:
1 1 2
d = = và
2
1 2
:
1
x t
d y t
z t
= − −


=


= +

( t là tham số ).
a) Xét vị trí tương ñối của d
1
và d
2
.
b) Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc d
1

và N thuộc d
2
sao cho ñường thẳng MN song song với
mặt phẳng (P) :
0x y z− + = và ñộ dài ñọan MN bằng
2
.

Câu IV
: ( 2 ñiểm)
1. Tính tích phân: I =
2
0
ln d
e
x x x
∫
.
2. M
ột ñộ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm
ñồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm ñó phải có ít nhất 3 nữ.

Câu V
: (1 ñiểm)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c =
3
4
. Chứ
ng minh r
ằ

ng :
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
.
Khi nào
ñẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra ?
Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu

4

ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC
MÔN TOÁN N
ĂM 2005

DỰ BỊ 2 KHỐI B

Câu I: (2 ñiểm)
Cho hàm số : y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+

(*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số (*) .
2. Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào
của (C ) ñi qua ñiểm I .

Câu II
:( 2 ñiểm)
1. Giải bất phương trình :
2
8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ .
2. Giải phương trình :
2
2
cos 2 1
tan( ) 3 tan
2 cos
x
x x
x
π
−
+ − = .

Câu III: (3 ñiểm)
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ

i h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxy cho hai
ñườ
ng tròn :
(C
1
): x
2
+ y
2

9=
và (C
2
): x
2
+ y
2

2 2 23 0x y− − − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tr

ụ
c
ñẳ
ng ph
ươ
ng d
c
ủ
a hai
ñườ
ng tròn (C
1
) và (C
2
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u K thu
ộ
c d thì kh
ỏ
ang cách t
ừ
K
ñế
n
tâm c

ủ
a (C
1
) nh
ỏ
h
ơ
n kh
ỏ
ang cách t
ừ
K
ñế
n tâm c
ủ
a ( C
2
).

2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho
ñ
i

ể
m M(5;2; - 3) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng
trình
2 2 1 0x y z+ − + =
.
a) G
ọ
i M
1
là hình chi
ế
u c
ủ
a M lên m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P ). Xác
ñị
nh t
ọ
a
ñộ

ñ
i
ể
m M
1
và tính
ñộ
dài
ñọ
an MM
1
.
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ( Q )
ñ
i qua M và ch
ứ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng
x-1 y-1 z-5

:
2 1 -6
= =
Câu IV: ( 2 ñiểm)
1
.
Tính tích phân: I =
4
sin
0
(tan cos ) d
x
x e x x
π
+
∫
.
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?

Câu V: (1 ñiểm)
Chứng minh

rằng nếu
0 1y x≤ ≤ ≤
thì:
1
4
x y y x− ≤
.

ðẳng thức xảy ra khi nào?
Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu

5

ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC
MÔN TOÁN N
ĂM 2005

DỰ BỊ 1 KHỐI D

Câu I: (2 ñiểm)
Gọi (C
m
) là ñồ thị của hàm số y= – x
3
+ ( 2m + 1) x
2
– m – 1 (1) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m ñể ñồ thị (C
m
) tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx – m – 1.

Câu II
:( 2 ñiểm)
1. Giải bất phương trình : 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ −
2. Giải phương trình :
3 sin
tan( ) 2

2 1 cos
x
x
x
π
− + =
+


Câu III: (3 ñiểm)
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxy cho
ñườ
ng tròn (C): x
2
+ y
2

4 6 12 0x y− − − =

. Tìm
t
ọ
a
ñộ

ñ
i
ể
m M thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng d :
2 3 0x y− + =
sao cho MI = 2R , trong
ñ
ó I là tâm và R
là bán kính c
ủ
a
ñườ
ng tròn (C).

2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ

t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho l
ă
ng tr
ụ

ñứ
ng OAB.O
1
A
1
B
1
v
ớ
i A(2;0;0),
B(0; 4; 0), O
1
(0; 0; 4)
a) Tìm t
ọ
a
ñộ
các
ñ
i
ể

m A
1
, B
1
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u qua 4
ñ
i
ể
m O, A, B, O
1
.
b) G
ọ
i M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB.M
ặ
t ph

ẳ
ng ( P ) qua M vuông góc v
ớ
i O
1
A và c
ắ
t OA, OA
1

l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i N, K . Tính
ñộ
dài
ñ
o
ạ
n KN.

Câu IV: ( 2 ñiểm)
1
.
Tính tích phân I
3
2

1
ln
d
ln 1
e
x
x
x x
=
+
∫
.

2. Tìm k
{ }
0;1;2;.....;2005∈ sao cho
2005
k
C ñạt giá trị lớn nhất. (
k
n
C là số tổ hợp chập k của
n phần tử)

Câu V: (1 ñiểm)
Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm:
2 1 2 1
2
7 7 2005 2005
( 2) 2 3 0

x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


.