De HSG lop 9 V2 20192020

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN_{NĂM HỌC 2019-2020}
<b>Mơn: Tốn</b>

<i>Thời gian làm bài: 120 phút</i>
<b>Bài 1 </b><i>(4 điểm)</i>:

a) Tìm x, y nguyên biết: 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2

1 1 1 1 1

...

4 6 8  (2 )<i>n</i>  4
<b>Bài 2 </b><i>(4 điểm)</i>:

a) Chứng minh bất đẳng thức: x2_{+ y}2_{+ 1}__{x.y + x + y (với mọi x; y)}
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 2

2
2
3






<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
<b>Bài 3 </b><i>(2 điểm)</i>:

a) Tìm số m, n để: <i>_x</i> 1

(<i>x −</i>1)=

<i>m</i>
<i>x −</i>1+

<i>n</i>

<i>x</i> với mọi x 0, x 1
b) Rút gọn biểu thức:

M =

1

<i>a</i>2<i>−</i>5<i>a</i>+6+
1

<i>a</i>2<i>−</i>7<i>a</i>+12+
1

<i>a</i>2<i>−</i>9<i>a</i>+20+

1

<i>a</i>2<i>−</i>11<i>a</i>+30

<b>Bài 4 </b><i>(4 điểm)</i>:

a) Cho ba số a, b, c thỏa mản

  




  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2019_{; Tính}

_

4

_

4

_

4

A

a

b

c

b) Cho phương trình

2x m x 1

3

x 2 x 2

 

 

  _{, Tìm m để phương trình có nghiệm}

dương

.

<b>Bài 5 </b><i>(4 điểm)</i>: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia
đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng
minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.

<b>Bài 6 </b><i>(2 điểm)</i>: Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166
10

17 19 21 23

   

   

Hết
<i>Lưu ý :</i> <i> Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG 2 MƠN TỐN (2019-2020)</b>
<b>Bài 1 </b><i><b>(4 điểm)</b></i>mỗi câu 2 điểm<b>: </b>

Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=>

55
2 1

3 2

<i>x</i>

<i>y</i>


 

 ₍₁₎

Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) =



1;5;11;55; 1; 5; 11; 55



   

+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y =

7

3_(Loại)
+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =

13

3 _(Loại)

+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1
+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

1

3_(Loại)

+) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =

53
3



(Loại)
Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là
(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)
b/ Chứng minh rằng :

2 2 2 2

1 1 1 1 1

...

4 6 8  2<i>n</i> 4

Ta có: 2 2 2 2

1 1 1 1

...
4 6 8 (2 )

<i>A</i>

<i>n</i>

    

2 2 2 2

1 1 1 1

...
(2.2) (2.3) (2.4) (2. )

<i>A</i>

<i>n</i>

    

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

...

4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1)

<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 

 

 _     _ _    _


   

1 1 1 1 1 1 1 1 1
...

4 1 2 2 3 3 4 ( 1)

<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

 _         _


 

1 1 1
1

4 4

<i>A</i>

<i>n</i>

 
 _  _

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 2 </b><i><b>(4 điểm)</b></i><b>: </b>

a) Ta có x2_{+ y}2_{+ 1}

 x. y + x + y  x2 + y2 + 1 - x. y – x - y  0
 2x2 +2y2 + 2 - 2xy - 2x - 2y  0

 ( x2 + y2 - 2xy) + ( x2 + 1 - 2x) + ( y2 + 1 - 2y)  0
 (x - y)2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2 0

Bất đẳng thức luôn luôn đúng.

Ta có A = 4

3
)
2
1
(

1
1

1
)

2
)(
1
(

2

2
2

2














<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

Vậy Amax  [ ( x+

]
4
3
)
2
1 2



min  x+ 2

1

= 0 → x = - 2
1

Amax là 3

4

khi x = -1/2
<b>Bài 3 </b><i><b>(2 điểm)</b></i><b>: </b>

a) m =1 ; n = -1

b) Viết mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức

1

<i>a</i>2<i>₋</i>₅<i>_a</i>

+6=
1

<i>a −</i>3<i>−</i>
1

<i>a −</i>2

1

<i>a</i>2<i>−</i>7<i>a</i>+12=
1

<i>a −</i>4<i>−</i>
1

<i>a−</i>3
1

<i>a</i>2<i>−</i>9<i>a</i>+20=
1

<i>a −</i>5<i>−</i>
1

<i>a −</i>4
1

<i>a</i>2<i>−</i>11<i>a</i>+30=
1

<i>a −</i>6<i>−</i>
1

<i>a −</i>5

M = <i>_a−</i>1₆<i>−</i> 1
<i>a −</i>2=

4
(<i>a −</i>2).(<i>a −</i>6)

<b>Bài 4 </b><i><b>(4 điểm)</b></i>

a) Cho ba số a, b, c thỏa mản

  




  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2019_{; Tính}

_

4

_

4

_

4

A

a

b

c

Ta có





2









2 2 2

a b c  a b c  2 abbcca 2 abbcca









   

        _ _ 

 

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 a b c 2019

a b b c c a ab bc ca 2abc a b c

2 4









         

2
2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2019

A a b c a b c 2 a b b c c a

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2) Điều kiện: x2; x2





2x m x 1

3 ... x 1 m 2m 14

x 2 x 2

 

      

 

 m = 1 phương trình có dạng 0 = -12 vơ nghiệm.
 m1_{phương trình trở thành}

2m 14
x

1 m






Phương trình có nghiệm dương

2m 14
2
1 m

m 4
2m 14

2

1 m 1 m 7

2m 14
0
1 m






 _









 _   _

 _  







 _



Vậy thỏa mản yêu cầu bài toán khi

m 4
1 m 7





 

 _.

<b>Bài 5 </b><i><b>(4 điểm): </b></i>Kẻ DF//AC (F thuộc BC)
=> DF = BD = CE và góc FDI = góc CEI

=> IDF = IEC ( c.g.c )

=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng
=> B, I, C thẳng hàng

<b>Bài 6 </b><i>(2 điểm)</i>:

Ta có:

x 241 x 220 x 195 x 166
10

17 19 21 23

   

   

x 241 x 220 x 195 x 166

1 2 3 4 0

17 19 21 23

   

        

x 258 x 258 x 258 x 258
0

17 19 21 23

   

    



x 258



1 1 1 1 0
17 19 21 23

 

  _    _

 

x 258

 

Vậy phương trình có nghiệm x = 258

</div>

<!--links-->