De HSG(De xuat)-De11

MA TRẬN
Mức độ
Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao
KQ TL KQ TL KQ TL
Số học
C4 a
3
C4b
2
2
5
Đại số
C1a
2
C3b,
C1b
6,5
C2,
C3a
2,5
4
11
Hình học
C5a
2
C5b
2
2
4
Tổng
2

4
3
7,5
3
8,5
5
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ 1
ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
4 4
2 14 28 16
x x x x
A
x x x x
− − +
=
− + −
a, Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A .
b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên.
Câu 2: (2,5điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3 3 3

1
1
1
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

.
Tính giá trị biểu thức
201220112010
1
zyx
Q
++
=
Câu 3: (4,5 điểm)
a, Cho bốn số thực bất kỳ
, , ,a b c d
. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2 2
ab cd a c b d
+ ≤ + +

Dấu bằng xảy ra khi nào ?
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1)
Cho biết
, 0
10
x y
x y
≥



+ =



C âu 4 (5điểm)
a, Chứng minh rằng:
4 3 2
4 4 16 384n n n n− − + M
, với mọi n chẵn và n > 4
b, Cho 3 số : A = 44…..44 ; B = 22…..22 ; C = 88……..88
2n chữ số 4 (n + 1) chữ số 2 n chữ số 8
Chứng minh rằng: A + B + C + 7 là 1 số chính phương
Câu 5 : (4điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành
ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N

a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy.
……………………………..……Hết………………………………………
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(4)
a) Để A có nghĩa, trước hết
0x
≥
. Đặt
( )
0t x x= ≥
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
3 2
3 2 2
1 4
1 1 4
4 4
2 14 28 16 2 1 2 4
2 2 12 28 16
t t
t t t
t t t
A

t t t t t t
t t t t
− −
− + −
− − +
= = =
− + − − − −
− − − +

Để biểu thức A có nghĩa thì:
0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x
≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ ≠ ≠ ≠
(*)
Khi đó, rút gọn ta được:
( )
1
2 2
t
A
t
+
=
−
Thay
( )
0t x x= ≥
. Vậy
( )
1
2 2

x
A
x
+
=
−
b)
( )
( )
( ) ( )
2 3
1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
t
t
A
t t t
− +
+
= = = +
− − −
Để A là nguyên thì x nguyên và
{ }
2 1; 3t
− ∈ ± ±
Nếu
2 1 1t t
− = − ⇔ =
( Loại vì trái với điều kiện (*)).
. Nếu

2 3 1 0t t
− = − ⇔ = − <
(Loại)
. Nếu
2 1 3 9t t x
− = ⇔ = ⇔ =
và
2A =
. Nếu
2 3 5 25t t x
− = ⇔ = ⇔ =
và
1A =
Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì
9x
=
và
25x
=
.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
Câu2
(2,5đ)
Vì x
2
, y
2
, z
2
> 0, nên từ (2) ⇒ x
2
, y
2
, z
2
< 1 ⇒ -1 < x, y, z < 1
⇒
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z

≤

≤


≤


⇒ x
3
+y
3
+z
3
< x
2
+y
2
+z
2
= 1.
Nhưng do (3) ⇒
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z

=

=


=

⇒ x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1

⇒ x
2010
=x, y
2011
=y, z
2012
=z ⇒ x
2010
+y
2011
+z
2012
=x+y+z=1
=>
1
1
201220112010
=
++
=
zyx
Q
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
a)Ta có:
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu3
(4,5đ)
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 ab cd a c b d ab cd a c b d
≤ + ≤ + + ⇔ + ≤ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c d abcd a b a d b c c d
⇔ + + ≤ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 0 0ad bc ad bc ad bc⇔ + − ≥ ⇔ − ≥
Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kỳ.
Vậy:
( ) ( )
2 2 2 2
0 , , , ,ab cd a c b d a b c d
≤ + ≤ + + ∀ ∈
R
Dấu đẳng thức xảy ra khi
0ad bc
− =
hay
( )

0, 0
c d
a b
a b
= ≠ ≠
( )
( )
4 4 4 4
2
2
2 2 4 4
2
2 2 4 4
4 4 2 2
2 2 2 2
) 1
2 2 1
10 2 2 1
2 40 101
( 4) 10( 2) 45 45
b A x y x y
A x y xy x y x y
A xy x y x y
A x y x y xy
A x y xy
= + + +
 
⇒ = + − − + +
 
⇒ = − − + +

⇒ = + − +
⇒ = − + − + ≥
= >Min A = 45 khi xy = 2 và
10x y+ =
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu4
(5đ)
a) Ta thấy 384 = 3. 128, với (3, 128 ) = 1
Vì n chẵn và n > 4
2 ,n k k⇒ = ∈Ν
và k > 2
⇒
A =
4 3 2 4 3 2
4 4 16 16 32 16 32n n n n k k k k− − + = − − +
⇒
A = 16k(k
3
-2k
2
– k + 2)
= 16k (k - 2)(k - 1)(k + 1)

Mà k , (k - 2) , (k - 1) , (k + 1) là 4 số nguyên liên tiếp nên ắt có 1 số chia
hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
⇒
(k - 2)(k - 1)k(k + 1)M 8
⇒
A M 128
Mặt khác: trong 3 số nguyên liên tiếp, có 1 số chia hết cho 3
⇒
(k - 1)k(k + 1)M 3
⇒
A M 3, với (3, 128 ) = 1
⇒ ⇒
A M 384
Vậy:
4 3 2
4 4 16 384n n n n− − + M , với mọi n chẵn và n > 4
2 1
2 1
2 2
2
2
1
4(10 1) 2(10 1) 8(10 1)
) , ,
9 9 9
4(10 1) 2(10 1) 8(10 1)
7
9 9 9
4.10 4 20.10 2 8.10 8 4.10 28.10 49
7

9 9
2.10 7
66.......69
3
n n n
n n n
n n n n n
n
n chuso
b TacoA B C
A B C
+
+
−
− − −
= = =
− − −
⇒ + + + = + +
− + − + − + +
= + =
 
+
= =
 ÷
 
1 4 2 43
Vậy A + B + C + 7 là số chính phương
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0.25
0.25
0.25
0,5
0,5
0,5
0,5
ABC (AB = AC) nội tiếp (O)
2
1
C
B
A
N
D
M
O
Câu 5
(4đ)
GT Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp
tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
KL 1. AD là tiếp tuyến của (O)
2. AC, BD, ON đồng quy
Chứng minh:

a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))
 OA là trung trực của BC  OA  BC
Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành) OA  AD
Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A. Do đó AD là tiếp tuyến
của (O)
b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy
Ta có: NA = NC và
¶
¶
1 2
N N=
(Tính chất của tiếp tuyến)
 NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N
Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường. Tức là AC và BD cắt nhau tại M.
Vậy 3 đường thẳng AC, BD, ON đồng quy
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Người ra đề: Dương Thị Thoa.
Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc.