TUYEN CHON CAC CHUYEN DE ON THI DAI HOC VA CAC DETHI THU DH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (628.91 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2).

2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2).

3) x0 (a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) khơng nh hay bằng 0.
II. Định lý:

1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại một điểm c(a,b) sao cho

( )

'( ).(

)

'( )

f b

f a

f b

f a

f c b a hay f c

b a











2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).

 Nếu f’(x)>0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
 Nếu f’(x)<0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn cịn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :

Bài 1: Cho hàm số

y x





3 mx



3(2

m



1)

x



1

.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).

Bài 2: Cho hàm số

y



2 x x



2
a) Tính y’’(1)

b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số

1

2 mx

y

x m







a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.

b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.

c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng

a) x > sinx x  (-π/2,π/2).
b)

e

x1

 

x

2 x R

 

.

ln

x>1

x

e

x





.

Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :

x



x



2 x



1 0



2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 (a,b) .

 Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0

ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0).

 Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm

x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0).

2. Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì

f’(x) = 0.

Định lí 1:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)

a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + ) thì x0 là một điểm cực đại của

hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 - ; x0) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x0; + x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của

hàm số f(x).

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị.

Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo)  0 thì xo là một

điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Nói cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu.

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại.
B .CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số

y



x



2 mx



2 m



1

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).

Bài 2: Cho hàm số

2

4

2 x

mx

m

y

x









a) Khảo sát hàm số khi m=-1.

b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số

y

=2

x

−

3(

m

+1)

x

+

6 mx

−

2 m

a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).

b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó.

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;).
Bài 4: Cho hàm số

2

1

x

kx k

y

x k









với tham số k.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1

2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C)
và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.

3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số

3 2 2

1 (

1)

1

3 y



x



mx



m



m



x



đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số

1 x

x m

y

x









Xác định m sao cho hàm số.

a) Có cực trị.

b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số

y



f x

( )



x



3x



3 x+3m-4

m

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

0 0

: ( )

x D f x

M

x

D f x

M

 



 



(ký hiệu M=maxf(x) )

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

0 0

: ( )

x D f x

m

x

D f x

m

 



 



(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)

+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực

tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)

3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].

+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].

+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]

[ , ]

max ( ) ;

min ( )

a b
a b

M



f x

m



f x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)

y



2 x



3 x



1

trên [-2;-1/2] ; [1,3).

y x

 

4 

x

2 .

4 2sinx- sin

3 y



x

trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)

y



2 os2x+4sinx

c

x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)

e)
2

3

2 y



x



x



trên đoạn [-10,10].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y= x 1

  

3x 6x 9



trên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng

2
2

6

3

2

7

2 x





 

với mọi giá trị x.

góc bé nhất.

4. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Tiệm cận đứng:

Nếu 0

lim ( )

xx

f x



thì đường thẳng (d) có phương trình x= x

0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C).

2) Tiệm cận ngang:

Nếu

lim ( )

x 

f x



y

0thì đường thẳng (d) có phương trình y= x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:

Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là

lim [ ( ) (ax+b)] 0

x 

f x





hoặc x

lim [ ( ) (ax+b)] 0

  

f x





hoặc

lim[ ( ) (ax+b)] 0

x 

f x





4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.

( )

lim

b= lim[ ( ) ax]

x

f x

a

f x

x

   





.
B. CÁC BÀI TẬP:

Bài 1:

1. Khảo sát hàm số .

4

5

2 x

y

x











2. Xác định m để đồ thị hàm số

(

4)

4

5

2 x

m

x m

m

y

x m













có các tiệm cận trùng với các tiệm

cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

y



x



1

3
2

1 x

y

x

 





c)

3

1 1 2

x

y

x

 





.d)

1 3 2

5 x

y

x

 





PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm số :

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định
 2. Sự biến thiên
 - Chiều biến thiên, cực
 - Tính lồi lõm, điểm uốn,
 - Giới hạn

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị

1. Tập xác định
 2. Sự biến thiên
 - Chiều biến thiên, cực
 - Giới hạn, tiệm cận
 - Bảng biến thiên

3. Đồ thị

- Giá trị đặt biệt - Đồ thị

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a  0)

 Hàm số nhất biến :

y

=

ax

+

b

cx

+

d

(

−

bc

≠

0)

 Hàm số hữu tỷ (2/1) :

2

1 ax

bx c

y

a x b







(tử, mẫu không có nghiệm chung, ... )

Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN

Dạng 1:Dùng đồ thị biện luận phương trình:

f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)

+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.

Các bước giải

Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:

Ví dụ 1:

1. Biện luận phương trình

3 2

1

3 x



x

= m ( dùng bảng 1)

x
y



x
y



a < 0
a > 0

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị



?

x
y

 I

x
y

 I

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị



?

x
y

O x

a < 0
a > 0

Dạng 2: hàm số có 1 cực trị



?

x
y

O x

a < 0
a > 0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị



?

x
y

Dạng 2: hsố nghịch biến

Dạng 1: hsố đồng biến

x
O

x
y

I

x
y

I

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị

x
y

I

x
y

I

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2. Biện luận phương trình

3 2

1

3 x



x

= 3m -2 ( dùng bảng 2)

3. Biện luận phương trình

3 2

1

3 x



x

=

3

2

1

3 m



m

( dùng bảng 3)

Dạng 2:Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay.

Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các cơng thức:

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)

 Ta sử dụng công thức

b
a
S



f x dx( )

(I)

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]

 Ta sử dụng công thức
b

a

S



f x( ) g x dx( )

(II)

 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi

(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.

 Ta dùng cơng thức





2
b

a

V 



f x( ) dx

(III)

 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a <

b), khi (H’) quay quanh Oy.

 Ta dùng công thức









b

a

V  g y( ) dy

(IV)

Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản
khi giải dạng tốn này:

Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay khơng có Ox).

 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).

 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).

 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.

Khi cần tính thể tích vật thể trịn xoay:

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)

 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.

Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT khơng phân ban 2006 )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.

Giải: (0,75 đ)
Ta có: ex = 2  x = ln2

Diện tích hình phẳng cần tìm S =





1 1

ln 2 ln 2

2

x x

e



dx



e



dx



(0,25 đ)





1
ln 2

2 (

2) (2 2ln 2)

2ln 2 4

x

e



x



e



 

e



(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.

Từ đồ thị ta có:

3 3

3 2 3 2

0 0

3 (

3 )

S

 



x



x dx

 



x



x dx

4
3

4 x





 







</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)

a) Khảo sát hàm số khi m = 3.

b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x3 – 3x – k +1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).

c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)
và đoạn OA.

Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số

y

=

(

m−

1)

x

+

m

x − m

(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x

= 4.

Bài 5: Cho hàm số

y

=

− x

+

x

+

1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hồnh.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh.
Bài 6: Cho hàm số

y

=

x

−

mx

+4

mx

−

4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).

b) Dùng đồ thị (C2) giải và biện luận phương trình :

x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.

c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x

= 1.

d)* Tính thể tích hình trịn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :

y =

1 4

x

2 ; y =

−

1 2

x

+

3 x

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể

tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.

Bài 9: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y =

√

x

quay quanh Ox.

Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnhđộ

giao điểm f(x) = g(x) (1)

Ví dụCho hàm số

y

=

x

+

1 x −

1

và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình

x

+1

x −

1 =mx

−

1

(điều kiện x

khác 1)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một
điểm

+Nếu m  0 và m  -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =

2 m



. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)

Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m



0 và m



- 2 có hai giao điểm.

ÀI TậP:

Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):

3 2

2

3

2 x

y







x

và đường thẳng (T):

13

1 (

)

12

2 y





m x



.
KQ: 1 giao điểm ( m 

12


), 3 giao điểm ( m >

27

12 

)

Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số

3

4

1 x

y

x







. KQ: -28 < a  0
Dạng 4: Cực trị của hàm số

 Yêu cầu đối với học sinh:

 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

 Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a  0)  có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.

 Hàm số nhất biến dạng:

ax+b

cx+d



y

 chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng có cực trị.

 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:

ax

bx c

y

a 'x b '







 khơng có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 (a;b)

 Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0

 Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ +  – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0.

 Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ –  + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.

(Điều này vẫn đúng khi hsố khơng có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó).
 Hoặc:

 Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x)  0 thì hàm số có cực trị tại x = x0.

 Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0.

 Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.
Bài tập:1 Định tham số m để:

i) Hàm số y =

3 2

( 6) 1

3x mx  m x có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3

2i)Hsố y =

2 2

x mx

mx

 

 có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1

3i) Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x

1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ

thuộc tham số m. Kết quả : m và x2 – x1 = 1

Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M

1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của

đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :

1 2
1 2 1 2

( )( 1)

y y

x x x x



  = 2. Kết quả : m < 1

Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?

Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0)  (C).

 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)



x x





hay y – y0 = k(x – x0) (*)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA) (1)

 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

( )

(

)

'( )

A A

f x

k x x

y

f x

k















 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.

Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.

(hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k  ..  x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)

 Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả

C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)

 Bước 2: Lập và giải hệ pt:

( )

'( )

f x

kx m

f x

k













 k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):

Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0

a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B

b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vng góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C).

a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.

Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =

2 x





. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với

trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =

ax - 2

2 x





. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm

với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =

2
2
x
x


 . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)

Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y =

2

1 x



đi qua B(1;0)

Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập Pttt kẻ từ A(

19
12;4)

Bài 10) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M  đồ thị (C) của hàm số đã cho sao

cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

Bài 1) Cho hàm số

x

m

x

)

m

(

x

y







2 

, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp
đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.

Bài 2) Cho hàm số

2

5

4 







x

m

mx

x

y

, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua
O.

Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.

Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2(x 1)
3
x
4
x
2 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2mx - 1 = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số

y

=

x

+

3 x

+

1

gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên

c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m
để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất

d) Tìm những điểm trên trục hồnh từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp
tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ

e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất

f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là
trung điểm của IJ

g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số

x −

1 ¿

(

4 − x

)

y

=

¿

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau

e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x



6 x



9 x



4 

m



0

Bài 7: Cho hàm số

y

=2

x

−

3(

m

+1)

x

+

6 mx

−

2 m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;)
Bài 8 : Cho hàm số

3 2

5 -

2

3 



y

x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.

c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.

§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ



a,b





 

a 0



:

dx x C

 



dx

1 ln

ax b C

ax b a













1 ,

x

x dx

 

C















x x

e dx e





C



sin

xdx



cos

x C





e dx

ax

1 e

ax

C

a







cos

xdx



sin

x C





sin

axdx

1 cos

ax C

a







,

2

cos

dx

tgx C x

k

x















cos

axdx



1 a

sin

ax C



cot

,

sin

dx

gx C x k

x











1

2 ,

cos

dx

tgx C x

k

ax a











</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



0 

ln

,

dx

x C x

x









1 cot

,

sin

dx

gax C x k

ax



a









Bài tập:



Ghi nhớ:

 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của
những hàm số thành phần.

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số khơng bao giờ bằng tích (thương) của các
ngun hàm của những hàm số thành phần.

 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của
những hàm số tìm được nguyên hàm.

Áp Dụng: Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

x dx



(3

x



1)

dx

(3

x



6 x



1)

dx



4 2

(

x



x



5)

dx



2
3

2 (3

x

1)

dx

x







6.

2 3

(

x



x



3 x



1)

dx



7.



(3

x



6 x e dx



x

)

(

5.3 )

x x

e



dx



9.



(3sinx-5cos

x



1)

dx

10. 2

7 (3sinx+2cos

)

os

x

dx

c

x





11.

(2

os

)

x
x

e

dx

c

x







12.



2 x



5 dx

13.

3 8x

e



dx



14.

1 1 5



x

dx



15.

2

7

x
x

dx



16.



7

x

1 

5

dx

17.



sin 5

xdx

18.



cos(4 2 )



x dx

19.

sin 3

xdx



20.

cos (1 7 )



x dx



21.



sinx sin 5

xdx

22.



sinxcos3

xdx

23.



cos2xcos3

xdx

24.

sin .cos

x

xdx



25.



tan 5

xdx

26.



tan

xdx

27.

1 (

1)

dx

x x





28. 2

1

4 dx

x





29. 2

1

5

4 dx

x



x





30. 2

1

3 x



7 x



10 dx



31. 2

1 9 7



x



2 x

dx



32.



1 5cos



sin

x

x

dx

33.

e

sinx

cos

xdx



Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

(2

)

x



x dx



(đặt t= 2-x) 2.



x

3 4



xdx

(đặt

t



4 3



x

) 3. 2

1 sin

dx

x



(đặt

t



1 x

)
4.
2

ln

x

dx

x



(đặt

t



ln

x

) 5.

x

2 3

3

x dx





( đặt t= 3+x3) 6.

1

x x

dx

e





(đặt

t e

x



)

(1

2 2

)

x

dx

x





(đặt t=1+x2) 8.

2

x



x dx



(đặt t=1+x2) 9.

sin(ln )

x

dx

x



(đặt t=lnx)

Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:



(3

x



1)sin

xdx

2i)



(2

x



3) cos

xdx

3i)

(3 5 ) cos

2 x

dx





4i)

(1

x

)sin

xdx





5i)

(2

3)

x



e dx



6i)



(

x



4 x



1)

e dx

x

7i)

(2

1)

x

e dx







8i)



e

x

sin

xdx



(2

x



3)

e dx

x
9i)

(

x

4 x

1)

e dx

x







10i)



(2

x



1)

e dx

x

11i)

sin

x

e

xdx



12i) 3

ln

x

dx

x



13i)



x

ln(1



x dx

)

14i)

ln

x

xdx



15i) 2

1 sin

x

dx

x





Bài 4: Cho hai hàm số

 

1

2

4 sin

F x



x



x

;

 

cos

f x



x

.
a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

b. Tìm nguyên hàm

G x

 

biết rằng

0

4 G

















.

Bài 5: Cho hàm số

 

4 4

2 3

cos cos cos

cos sin

x x x
f x

x x

 



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng

F

 







Bài 6: Cho hàm số

f x

 



2 cos cos

x

4 x

. Tìm hàm số

G x

 

biết rằng

G x



 



f x

 

và

 

0

29

1

144 ;

12

32 G



G

















.

Bài 7: Cho hàm số

f x

 



8 sin cos cos cos

x

2 x

4 x

.
a. Giải phương trình

f x



 



f x

 



0

b. Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng đồ thị của hàm số

F x

 

đi qua điểm

0

8 ;

M

















.

Bài 8: Biết rằng hàm số

 

sin
cos

x
F x

x



 là nguyên hàm của

f x

 

. Hãy tìm các giá trị của

x

sao cho

 

0 f x



f x





.
Bài 9: Cho hàm số

x

y xe



.

a. Tính

y

và

y

 

2

b. Tìm nguyên hàm của hàm số

  

2007



x

f x



x



e

.

Bài 10: Cho hàm số f x

 

exsinx. Chứng minh rằng hàm số

f x



 



f x



 

là nguyên hàm của hàm số 2f x

 

Bài 11: Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số



331

21 xxxfx

xx







,biết rằng

 

1

3 F



. (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm
2003)

§2. TÍCH PHÂN :

1). Định nghĩa:

 

b

b
a
a

f x dx F x F b  F a



2). Bài tập:
Ghi nhớ:

 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc
hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta
phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm
trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu
thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

a.
4
0

2 cos cos

x

xdx





b. 4

cos

x

sin

x dx







c.
2
1

2 3

x x
dx
x



 





d.
2 2

1
ln
x x

e

dx

x





Bài 2: Cho hàm số

 

1 x

f x

x





và hàm số

F x

 



ln

x



1

.

a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

. b. Áp dụng câu a. tính
1

1 xdx

x





Bài 3: Cho hàm số

 

2

ln

f x



x



x x

. a. Tính

f x



 

. b. Áp dụng câu a. tính

2
1

ln

e

xdx



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 4: Biết hàm số

 

cos

sin

cos

sin

x

F x

x







là một nguyên hàm của

f x

 

. Hãy tính :

 

f x dx







.
Bài 5: Tính các tích phân sau:



1
2
3

1

❑

√

x

dx

. 2.



1
2

x

+2

3 x

dx



− π
π

(2 sin

x −

3 cos

x

). dx

4.



π4

π2

1 sin

x

. dx

. 5.
4

4 4

(cos

x

sin )

x dx







π6

sin

x

. sin 4

x

. dx



π

sin 2

x

. cos 3

x

. dx

. 8.

cos3 .cos5

x

xdx






0
π

sin

x

. dx

.
10.
4
6

cot

xdx






11.
3
2
0

tan

xdx





12.
2
0

1

3 x



7 dx



13.

1 (

4)

dx

x x





14.
0
2
1

1 2 5

x

3 x

dx







15.
0
2
1

4

3

6

5 x

dx

x











16.
2
1

3

1 x

dx

x







17.
2 2
0

2

5

1

3 x

dx

x







18. 0

sin

6 x

dx





19.
3
0

2 x



dx



20.
4
2
0

4

3 x



x



dx



21.

1 sin 2

xdx







22.
2

sin

3 x

dx







§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1). Công thức tổng quát:

 

.

 

b
a

f

x

x dx

f t dt




















Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của

f







 

x





(hàm số theo biến là



 

x

) với đạo hàm của hàm



 

x

. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có
cách đặt cụ thể như sau:

a). TH1:



sin .cos



f

x

xdx







 Đặt

t



sin

x

 hoặc

t p



sin

x q





p q

,

 



 hoặc

sin

n

t



p

x q



nếu như biểu thức

p

sin

x q



nằm trong n .

b). TH2:



cos .sin



f

x

xdx







 Đặt

t



cos

x

 hoặc

t p



cos

x q





p q

,

 



 hoặc

cos

n

t



p

x q



nếu như biểu thức

p

cos

x q



nằm trong n .
c). TH3:



ln .



f x dx
x







 Đặt

t



ln

x

 hoặc

t p x q



ln





p q

,

 



 hoặc

ln

n

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

d). TH4:











tan .
cos

f x dx
x .

 Đặt

t



tan

x

 hoặc

t p



tan

x q





p q

,

 



 hoặc



tan



n

t

p

x q

nếu như biểu thức

ptgx q



nằm trong dấu n .

e). TH5:





1







f cotx

.

sin

x

dx

 Đặt

t cotx



 hoặc

t pcotx q







p q

,

 



 hoặc





n

t

pcotx q

nếu như biểu thức

pcotgx q



nằm trong n .
2). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2

1 cos

sin

xdx

x







b.
2
3

6 cos

x

1 sin

xdx







c. 1



3 ln

2 

e

dx

x





19
2
3
0

8 xdx

x





Bài 2: Tính các tích phân sau đây:





1
2
0

2

4

5 x

dx

x







b.
2
4
2
0

cos

tgx

e dx

x









2
6

3 cot

1 sin

dx

gx

x








d.
4
2 1
1
x

dx

e



x



Bài 3: Tính các tích phân sau đây:

3
3
0

cos

tgxdx

x





b.
2
2 3
6

sin cos

x

xdx






c.
6
4 4
0

2 sin

cos

sin

xdx

x











4
2
0

2 cos

sin

cos

xdx

x







Bài 4: Tính các tích phân sau đây:

a.
3
3
4
0

sin

cos

xdx

x





b.
3
2 3
0

x  x dx



c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x





d.
4
3
6
dx
tgx tg x


 



Bài 5: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)



0
√3
3

1 1+

x

dx

(HD: x=tant) 2.



√3
3

1 9+

x

dx

(HD: x=3tant) 3



−1

√

1 − x

dx

(HD:

x=sint)
4.



1
4

√

16 − x

dx

( HD: x=4sint) 5.



1
2

x

√

4 − x

dx

(HD: x=2sint) 6.



−1
0

1 2+2

x

+

x

dx

(HD:đặt
x+1=tant) 7.



a

1 √

a

− x

dx(

a

>

0)

(HD: x=asint) 8. 0

sin 4

1 sin

x

dx

x







</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1 − x

¿

2009

dx

x

¿



0
1

¿

(t=1-x) 2.



0
1

x

√

2 x

+3 dx

(

t



2 x



3)





1

dx

x

(

t



x



1)

4. 4.



0
1

x

√

1 − x

dx

(

t



1 

x

)



π6

cos

x

√

1+3 sin

x

dx

(

t



1 3sin )



x



e

1+

ln

x

dx

(t=lnx) 7.



1

e

√

2+3 ln

x

dx

(

t



2 3ln )



x



1

e

√

1 +3 ln

x

ln

x

dx

(

t



1 3ln )



x



0
1

x

√

5 x

+1

dx

(

t



5 x



1)

10.



0
2

x

+

1 √

3 x

+1

dx

(

t



3 x



1)





2
1

1 dx

e

x
x
.

(

t e

x

1)





12.
ln8
ln 3

1

x

e



dx



(

t

e

x

1)





` 13.



π4

e

tanx+2

cos

x

dx

(t=tanx+2)

§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1). Cơng thức tổng quát :





b b

b
a

a a

uv dx





uv



vu dx





hay





b b
b
a
a a

udv



uv



vdu



(1)
2). Các bước thực hiện:

 Bước 1:

( )

( ) (

)

Đặt

( )

( ) (ngun hàm)

u u x

du u x dx Đạohàm

dv v x dx

v v x

















 Bước 2: Thế vào cơng thức (1).

 Bước 3: Tính

 

b
a

uv

và suy nghĩ tìm cách tính tiếp

b
a

vdu



(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà
ta phải xem xét).

3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:

Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:

a). Dạng 1:

   

.
b

a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm

sin ( )



x

hoặc

cos ( )



x

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u p x

dv q x dx











Ghi nhớ :

Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được

b
a

vdu



phức tạp hơn

b
a

udv



ban đầu.

b). Dạng 2:

   

.

b
a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm logarit.

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u q x

dv p x dx





</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>



Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra

v

từ

dv

.
4). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2 x

1 sin

xdx











2 cos

x

xdx







c.
4
2
0

cos

x

xdx





d.
4
2
0

cos

xdx

x









1
2 2
0

1

x



e dx



f.
1
0

3

2

x

dx

e





g.
1
0

3 2

(

x

)

x

dx









2
0

x

x e



dx



Bài 2:Tính các tích phân sau đây:





3
2

3 x



1 ln

xdx







1
0

1 ln

x



dx



c.
2
1

ln

e

xdx







2
0

1 ln

x



dx



Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:



π

(

x

+2)

sin xdx

2.



π

(1

− x

)

cos xdx

3.



π

x

sin3 xdx



− π

π

(

x

+

1)

cos

x

2 dx



0
1

x e

2x

dx



0

(

x

−

3 x

+1)

e

dx



π

❑

e

x

cosxdx

8.



π

sin

x e

2x

dx

9.



e

ln xdx

10.



ln

(

x

+3)

dx

11.



e

ln xdx

12.



−1
0

ln

(1

−

3 x

)dx

13.

ln

x

¿

dx

¿



e

¿

14.



e

x

(2

−

ln

x

)

dx

15.



0
π
2

x

+1

cos

x

dx

16.



π
4
π
2

❑

e

sin

x

sin 2 xdx

17.

ln

x

¿

dx

x

¿



e

¿

18.



0
4

❑

cos

√

x

dx

19.

x

+

1 ¿

ln

x

¿



1
e
e

¿

20.



0
4

e

x

dx

§5. CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:





2
2
6

1 cos

sin

x dx

x












lnx x e dxx

x









2
2
6
2
cot sin
sin

g x x dx
x






d.
2
0
2

3cosx 1 x sinxdx



 

 

 



e.
2
0

1 sin cos

cos

x

xdx

x







f.
1
2
0
1 1

2 x xdx

x e
 

  
 



g. 0

2

3 cos

sin

x

xdx

x





















h.
1
2
0

3

1 ln

x



dx



§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:

 

C

:

y f x



  

;

C



:

y g x x a x b



 

;



;



(trong đó hai đường thẳng

x a x b



;



có thể thiếu một hoặc cả hai).

a). Cơng thức:

 

b

a

S



f x g x dx

(2)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 Bước1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

 

f x g x (PTHĐGĐ của

 

C1 và



C

2



để tìm.

 Bước 2: Áp dụng công thức (2).

 Bước 3: Rút gọn biểu thức f x

 

 g x

 

, sau đó xét dấu của hiệu này.

 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ
dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,

 

C1 nằm trên



C



thì hiệu f x

 

 g x

 

0,

và

 

C1 nằm dưới



C2



thì hiệu f x

 

 g x

 

0.

2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

 Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát).

 Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2).
 Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.

3). Thể tích của hình trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

 

C y f x Ox x a x b

:



 

;



;



(trong đó hai đường thẳng

x a x b



;



có thể thiếu một hoặc cả hai).

a). Công thức:

 

2
b

a

V



f x  dx

(3)
b). Các bước thực hiện:

 Bước 1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

 

f x  (PTHĐGĐ của

 

C

và trục Ox) để tìm.
 Bước 2: Áp dụng công thức (3).

4). Bài tập:

ÁP Dụng 01:

Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

y x

 

1,

y



0,

x



0,

x



3 y x





3 x



4,

y



0,

x



1,

x



3 5

4 ,

0,

1,

3

y x





x



x y



x



x



4.

3 sin ,

0,

2 y



x y



x



x





x

os ,

0,

,

2 y c



y



x





x





y e



2x1

,

y



0,

x



0,

x



1

2 2

,

0,

2

x

y xe



y

x



8. 2

1 ln ,

0,

,

y

x y

x

x e

e



2 3

sin

cos ,

0,

2 y



x

x y



x



x





10.

y x



ln ,

x y



0,

x



1,

x e



Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

y x





x y

,

 

4 4 ,

x x



0,

x



3 y



x x y

,

  

2 0

y x



 

x

5,

y



x



3 x



7 y



(

x



1)(

x



2)(

x



3),

y



0 y e y



x

,



1,

x



2

6. (C):

y x





2 x



2

và các tiếp tuyến của (C) đi qua

3 ( , 1)

2 A



7. (C):

y x





3 x



6 x



2

và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1; 8.

y



sin ,

x y



cos ,

x x



0,

x





Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

6

5

2

1 :

x

C y

x









và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 





3 :

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x

:





3 x



1

và đường thẳng

d y

:



3

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

2

1 :

x

C y

x







; đường tiệm cận xiên của

 

C

; Ox;

x e

 

1

.

Bài 6: Cho đường cong

 

3

4

:

C y x





x



x

. Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

 

C

tại gốc tọa độ O. Từ
đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

 

C

và

d

Bài 7: Cho parabol

 

P y x

:





6 x



5

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của

 

P

tại các giao điểm của

 

P

với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

 

P

và các tiếp tuyến nói ở câu a.

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

C y

:



x

;

d y

:

 

2 x

và trục Ox.

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

P y

:



4 x

và đường thẳng

d y

:



2 x



4

.
Bài 10: Cho parabol

 

4

:

P y



x

.

a. Viết phương trình tiếp tuyến của

 

P

tại điểm tung độ bằng 4.

b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

P

, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong

 

2 1
1

: x

C y
x




 . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

C Ox Oy

;

. Tính thể
tích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Bài 12: Cho đường cong

 

4 2

:

C y x





x

. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi

 

C

và trục Ox. Tính thể tích

của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Bài 13. Tính thể tich của vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh trục Ox.

y



3 x x y



,



0 y x y



,



3 x

y x





1,

y



0,

x



0,

x



1

4

5 ,

y

x y

x

 



y

sin ,

x y

0,

x

0,

x

2 



y xe y



x

,



0,

x



0,

x



1 y



x

ln ,

x y



0,

x



1,

x e



4 4

cos

sin

,

0,

2 y



x



x y



x



x





A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

I. Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)

 Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách thực hiện cơng việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, …, mn cách thực hiện công việc Hn
(cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj nào, với i



j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m1 + m2 + … +
mn cách thực hiện một trong các công việc H1, H2, …, Hn.

 Qui tắc nhân: Nếu có m1 cách thực hiện công việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, …, mn cách thực hiện công việc Hn
(cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj nào, với i



j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m1.m2…mn cách
thực hiện Tất cả các cơng việc H1, H2, …, Hn.

II. Hốn vị: Cho tập A có n phần tử (n



1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n
phần tử của A.

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

 n! = 1.2…(n – 1).n

 Qui ước: 0! = 1

III. Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1



k



n) phần tử khác nhau, sắp thứ tự của A được gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

k
n

n
A

n k




!
( )!

Có thể tính

k
n

k thõa sè

A



n n

(



1)(

n



2)...(

n



k



1)

          

Ví dụ:

2

100 100.99 9900

A  

 Chú ý: Chỉnh hợp chập n của n phần tử là hoán vị của n phần tử.

III. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0



k



n) phần tử khác nhau (không chú ý đến tính thứ tự)
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với k = 0 ta qui ước bộ rỗng khơng có phần tử nào).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

k

k n

n

A

n

C

k n k

k





!

!(

)!

!



k n k

n n

C







o n

n n

C



C



1



1 n 1

n n

C



n



IV. Nhị thức NIUTƠN:

n n n k n k k n n

n n n n

a b

C a

C a b



C a



b

C b





0



1 1



(

)

...

n

n k n k k
n
k

a b

C a



b









0

(

)

 Dùng máy tính bỏ túi để tính bằng cách sử dụng các phím nPr, nCr.
♠ Một số chú ý:

 Số các số hạng của công thức bằng n + 1.

 Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của nhị thức là n.

 Số hạng tổng quát là

k n k k

k n

T

C a



b

1



(số hạng thứ k + 1)



C

n0



C

1n



...



C

nk



...



C

nn



2

n

 Các nhị thức thường dùng:



0 1

(1

)

n

...

k k

...

n n

n n n n

x

C

C x







.



0 1

(1

)

n

... ( 1)

k k k

... ( 1)

n n n

n n n n

x

C

C x









 



 

.

B. H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP :
I. Các bài toán dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp:

 Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề bài xem đối tượng cần tìm phải thực hiện theo bao nhiêu bước, bộ gồm bao nhiêu phần
tử, khác nhau hay không cần khác nhau, có thứ tự hay khơng kể thứ tự, có ràng buộc thêm điều kiện đối với phần tử nào khơng?...

 Một số ví dụ:

 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khác 0)
a) Số tự nhiên có bốn chữ số?

b) Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?
c) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

 a) Muốn lập một số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực hiện tất cả bốn công việc (chọn chữ số từ các chữ số đã cho
xếp vào bốn vị trí

a a a a

1 2 3 4 ), do số gồm bốn chữ số khơng u cầu gì về điều kiện khác nhau nên ta dùng qui tắc nhân để
giải.

 a) và b) phân tích theo phương pháp tương tự như trên. Phân tích thêm câu c) có thể dùng phần bù để giải.

 Cho năm điểm (trong đó khơng có bộ ba điểm nào thẳng hàng). Từ năm điểm đã cho có thể xác định được
bao nhiêu:

a) Đoạn thẳng?

b) Vectơ khác vectơ – không?

 Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau không kể thứ tự nên mỗi tổ hợp chập 2 của 5
điểm đã cho xác định một đoạn thẳng.

 Mỗi vectơ được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau có thứ tự nên mỗi chỉnh hợp chập 2 của 5 điểm đã
cho xác định một véctơ.

 Phân tích sự giống nhau và khác nhau ở hai câu trong bài .

 Trong một chi đồn có 25 đồn viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban chấp hành gồm một bí thư, một phó
bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đồn viên chỉ đảm nhiệm nhiều nhất một chức vụ).

 Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba cơng việc: CV1–chọn một bí thư, CV2–chọn một phó bí
thư, CV3–chọn ba uỷ viên.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

CV2: Chọn một đồn viên trong 24 đồn viên cịn lại làm phó bí thư



có 24 cách thực hiện cơng việc 2.
CV3: Chọn ba đồn viên (khơng kể thứ tự) trong 23 đồn viên cịn lại làm ba uỷ viên



mỗi tổ hợp chập 3 của
23 phần tử là một cách chọn.

Do phải thực hiện tất cả các công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp số.(Có thể dùng chỉnh hợp để
tìm số cách chọn bí thư và phó bí thư)

 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số trong đó chữ số 2 có mặt ba lần, các
chữ số khác có mặt nhiều nhất một lần?

 Có ba viên bi màu đỏ giống nhau và năm viên bi màu xanh có bán kính khác nhau. người ta muốn xếp ba viên bi đỏ
và bốn trong các viên bi xanh vào một hàng có bảy ơ (mỗi ơ xếp một viên). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

 Sau khi cho học sinh phân tích và giải bài tốn  đến đáp số là

3 4
7 5

C A

, nêu thêm bài tốn

 có cách giải hồn tồn tương tự để rèn
luyện thêm khả năng phân tích đề, xây dựng chương trình giải cho học sinh.

 Trong một số bài tốn có thể dùng phần bù để giải. Nhất là các bài tốn có các từ “ít nhất”, “nhiều nhất”…

II. Các bài tốn về giai thừa:

Từ các ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay

10!

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

8! 9.10

8!



1.2.3.4.5.6.7.8



8!

tổng quát thành các công thức như: n! = (n – 1)!n (với n



1); n! = (n – 2)!(n
– 1)n (với n



2) …

Cho học sinh giải các bài tập như:

 Giản ước

7 ! 4! 8! 9!
B

10! 3!5! 2!7 !

 

   

 

 Rút gọn: 2

6 !( n 1 )

( n 1 )!

A

.

( n 2 )! ( n 1 )( n

n )











III. Các bài tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa

k

n

A

và k
n

C

: 
 Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện:

+ Đối với

k
n

A

điều kiện là:

k ,n

1 k n







 





+ Đối với

k
n

C

điều kiện là:

k ,n

0 k n







 





 Khai triển đúng công thức trong trường hợp cụ thể k là gì, n là gì.
IV. Các bài tốn về nhị thức NIUTƠN:

 Bài toán về khai triển nhị thức (a + b)n:

 Yêu cầu học sinh viết nhị thức dưới dạng:

0 1 1

(

)

n n n

...

k n k k

...

n n

n n n n

a b

C a

C a b



C a b



C b







 Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính

k
n

C

từ đó đi đến kết quả.

 Các bài tốn về tính số hạng, hệ số cần viết đúng số hạng tổng quát

k n k k
n

C a b



sau đó khai thác giả thiết tìm k, n



kết
quả.

 Tính tổng, chứng minh…:

 Qua các bài tốn cần tập cho học sinh phát hiện ra các qui luật chung của các số hạng, kết hợp với các kiến thức khác như
đạo hàm, tích phân …tìm ra chương trình giải.

 Ví dụ: Tính tổng:

2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

2

1

2

1

2

1

S C

C

...

C

2

3

n 1









(n nguyên dương)

 Hướng dẫn học sinh tìm ra qui luật với số hạng tổng quát là:

k 1 k 1
k

n

2

1

C

k 1 k 1

 

















=

2
k 1
k
n

1

x

C

k 1



từ đó dẫn đến tính S =
2

n

1

( 1 x ) dx





Tuy nhiên, trong các đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép các dạng toán, nhiều kiến thức từ dễ đến khó trong
một bài ơn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm ra qui luật, qui lạ về quen…

C. M ỘT SỐ BÀI TẬ P :

1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khác 0)
a) Gồm có năm chữ số.

b) Gồm năm chữ số khác nhau.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

d) Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn.

e) Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2.
f) Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23.

g) Gồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3.

h) Gồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng một lần.
i) Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu b).

2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp.
Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng:

a) Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý.
b) Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ.
c) Trong nhóm phải có ít nhất một nữ.
3) Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi:

a) Đa giác có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo?

b) Có bao nhiêu véctơ khác véctơ–không được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?

d) Biết rằng ba đường chéo cùng khơng đi qua một đỉnh thì khơng đồng qui. Hãy tính số giao điểm (khơng phải là
đỉnh) của các đường chéo của đa giác.

4) Có năm tem thư khác nhau và sáu bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra ba tem thư, ba bì thư và dán ba
tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?

5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh thành một hàng
ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải đứng kề nhau?

6) Có năm quyển sách tốn khác nhau, bốn quyển sách lý khác nhau và hai quyển sách hoá khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các quyển sách đó lên kệ sách sao cho các quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?

7) Giải các phương trình sau:

a) P2.x2 – P3.x = 8. b)

2

.

x 1

42

x x

A C



x



c) 2A2x50A22x d)

4
x

3 4

x+1

A 24

A x 23

x

C  



8) Giải các bất phương trình:
a) 14 .3 13 41

x

x x

P C  A

   b)

3

4

2

5(

1)

x x

A



C



x



c) 41 31 22

5

0
4

x x x

C   C   A 

1
105 105

8

C

x

3

C

x



9) Giải các hệ phương trình sau:

2 5 90

5 2 80

y y
x x
y y
x x
A C
A C
  


 


 b) 1

:

1

:

1

6 : 5 : 3

y y y

x x x

C



C







10) Cho khai triển nhị thức:

1

1 1 1 1

0 1 1

3 3 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 ... 2 2 2

n n n n n

x x x x

n n

n n n n

C C C C



   
   

            

     
            
     
       

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó

3

5

1

n n

C



C

và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

11) Khai triển các nhị thức:

a) (2x – 1)6 b) (2x – y)6 c)

x















7

1

3

12) Tìm số hạng của khai triển





9

3



2

là một số nguyên.
13) Tìm số hạng không chứa x của các khai triển:

a)
10

1

4

2

x















b)

7
3
4

1

x















14) Tìm hệ số của x8 trong khai triển

5
3

1

n

x















biết rằng 41 3

7



3



n n

C



C

n











15) Tính tổng

0 0 1 2 2 6 6

6 6 6 6

3

... 3

A



C



C



C



C

.

16) Cho tổng

0

2

1

4

2

... 2

n n

243

n n n n

S C





C



C



C



. Tìm n.

17) Tính tổng

1

2

2

3

3

4

4

... ( 1)

n 1 n

n n n n n

S C

C



nC











 

(n >2)

18) Tính tổng

1 2

1

...

2

3

1

n

n n n

S

C

n

 



</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:

⃗

a

= (a1; a2) <=>

⃗

a

= a1

⃗

i

+a2

⃗

j

2) Cho

⃗

a

= (a1; a2) ,

⃗

b

= (b1; b2). Ta có:

⃗

a

±

⃗

b

= (a1

±

b1; a2

±

b2)

3) Cho

⃗

a

= (a1; a2),

⃗

b

= (b1; b2). Ta có:

⃗

a

⃗

b

= a1b1 + a2b2,



a

⃗



√

a

12

+

a

22 , Cos(

⃗

a

⃗

b

)
=

⃗

a

.

⃗

b



a

⃗



.



b

⃗



II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1) M(xM;yM) <=>

⃗

OM

= (xM;yM)

2) Cho A(xA;yA), B(xB;yB). Ta có:

⃗

AB

= (xB-xA; yB-yA) và AB =

y

B

− y

A

¿

x

B

− x

A

¿

+

¿

√

¿

III. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vng góc, cùng phương:

Cho

⃗

a

= (a1; a2),

⃗

b

= (b1; b2). Ta có:

⃗

a

⃗

b

<=>

⃗

a

b

⃗

= 0 <=> a1b1 + a2b2 = 0

⃗

a

cùng phương với

⃗

b

<=> a1b2 - a2b1 = 0
B. BÀI TẬP:

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1)

a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. ; b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của

Δ

ABC
c) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành..Chứng tỏ rằng 3 điểm B, G, D thẳng hàng

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho

Δ

ABC với: A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)
a) Tính chu vi và diện tích

Δ

ABC

b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và của đường thẳng AC với trục tung.

c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp

Δ

ABC .

Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG
B. BÀI TẬP:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 4: Cho 3 điểm A(-1;3), B(-2;0), C(3;1)

a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương trình tổng qt của đường thẳng BC
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (1) qua A và song song với BC

c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (2) qua A và vng góc với BC
Bài 5: Cho 2 đường thẳng: (1): 2x – 3y + 15= 0 và (2): x – 12y + 3 = 0

a) Chứng tỏ rằng (1) và (2) cắt nhau

b) Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua giao điểm của (1),(2) và đi qua điểm A(2;0)

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua giao điểm của (1),(2) và vng góc với đường thẳng (3):

x – y + 1 = 0

Bài 6: Cho 2 đường thẳng: (1): x + 2y + 16 = 0 và (2): x – 3y + 9 = 0

a) Tính góc tạo bởi (1) và (2)

b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) tới (1) và (2)

c) Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi (1)và (2)

Bài 7: Cho 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) có phương trình lần lượt là y = 0, 3x + 4y –24 = 0, 3x –y + 6 =0. Ba

đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác ABC.

Chuyên đề 4 :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a) Tính toạ độ các đỉnh A, B, C

b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các đường cao AA’, BB’, CC’ và tính toạ độ trực tâm H của ABC.
c) So sánh góc giữa (d1)và (d2) với góc giữa (d2) và (d3)

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x -2y -1
= 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (TS 2004-K.B)

Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Phương trình đường trịn

1. Định lý 1: Phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
2. Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2+B2-C>0 là phương trình đường trịn tâm

I(-A;-B), bán kính R =

√

A

+

B

−C

IV. Phương trình tiếp tuyến:

Cho đường trịn (C): x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M

0(x0;y0) (C) là:

xox + yoy + A(xo +x)+ B(yo +y) + C = 0
B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:

Bài 9: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 – 4x –2y – 4 = 0

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C)

b) Với giá trị nào của b thì đường thẳng (): y = x + b có điểm chung với(C).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0
Bài 10: Cho 3 điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1)

a) Tìm phương trình đường trịn (C) đi qua 3 điểm A, B, C.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

c) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm D(3;-11)

Bài 11: a) Tìm phương trình đường trịn (C1) có tâm I1(1;2) và tiếp xúc với trục Ox

b) Tìm phương trình đường trịn (C2) có đường kính MN với M(2;

√

5

+1) và N(6;-

√

5

+1)

c) Tìm phương trình các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2)

d) Tìm phương trình trục đẳng phương của (C1) và (C2)

Bài 12: Cho hai đường tròn: (C1): x2 +y2 - 4x +2y –4 =0; (C2): x2 +y2 - 10x - 6y + 30 =0

a) Xác định tâm và bán kính của (C1) và (C2). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm của (C1) và (C2).

b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau. Xác định toạ độ tiếp điểm H. Suy ra phương trình tiếp tuyến

chung của (C1) và (C2) tại H.

(Thi HKI 2004-2005)
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),

B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC.
Viết phương trình đường trịn đi qua các điểm H, M, N. (TS 2007-K.A).

Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

:

ELIP HYPEBOL

1) Định nghĩa:

(E) =

{

M

∨MF

+

MF

=

2 a

}

F1F2 = 2c, a > c

2) Phương trình chính tắc:

x

a

+

y

b

2 = 1 với b2 = a2 – c2
3) Hình dạng và các yếu tố:

1) Định nghĩa:

(H) =

{

M

∨



MF

1

−

MF

2



=2

a

}

F1F2 = 2c, c > a

2) Phương trình chính tắc:

x

a

−

y

b

2 = 1 với b

2 = c2 – a2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cho elip (E):

x

a

+

y

b

2 = 1
a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:

 A1A2 = 2a: trục lớn

 B1B2 = 2b : trục nhỏ

 Các đỉnh: A1(-a;0),A2(a;0),B1(0;-b),B2(0;b)

 Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)

 Tiêu cự: F1F2 = 2c

 Bán kính qua tiêu của điểm M

(

E

)

{

MF

1

=

a

+

c

a

x

M

MF

2

=

a−

c

a

x

M

 Tâm sai: e =

c

a

<1

 Phương trình đường chuẩn:
(1): x = -

a

e

=

−

a

c

; (2): x =

a

e

=

a

c

4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho elip (E):

x

a

+

y

b

2 = 1

a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại Mo(xo;yo)

 (E) có dạng:

x

a

+

y

0

y

b

=1

b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = 0 là tiếp
tuyến của (E) <=> A2 a2 + B2 b2 = C2

Cho Hypebol (H):

x

a

−

y

b

2 = 1
a) Hình dạng:

b) Các yếu tố

 A1A2 = 2a: trục thực

 B1B2 = 2b : trục ảo

 Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0)

 Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)

 Tiêu cự: F1F2 = 2c

Bán kính qua tiêu của điểm M

(

H

)

+ xM > 0 :

{

MF

1

=

c

a

x

M

+

a

MF

=

c

a

x

M

− a

+ xM < 0 :

{

MF

1

=

−

c

a

x

M

−a

MF

2

=

−

c

a

x

M

+

a

 Tâm sai: e =

c

a

>1

 Phương trình đường chuẩn:
(1): x = -

a

e

=

−

a

c

; (2): x =

a

e

=

a

c

 Phương trình tiệm cận: (d1): y = -

b

a

x

; (d2): y =

b

a

x

4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho Hypebol (H):

x

a

−

y

b

2 = 1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

dạng:

x

a

−

y

0

y

b

=1

b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = 0 là tiếp tuyến của (H)
<=> A2 a2 - B2 b2 = C2

B. BÀI TẬP:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 14: Cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 100

a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (E).
b) Tìm tung độ các điểm thuộc (E) có hồnh độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm.
c) Tìm các giá trị của K để đường thẳng (d): y = x + k có điểm chung với(E).

Bài 15:

a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) nhận một tiêu điểm là F2 (5;0) và có độ dài trục nhỏ 2b =

4 √

6

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm thứ hai F1 và tính tâm sai của (E)

b) Tìm toạ độ điểm M  (E) sao cho MF2 = 2MF1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm N

(

3 ;

8 √

15

7 )

Bài 16:

a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, phương trình một đường chuẩn là

x

=

25

4

b) Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E), vng góc với trục Ox, cắt (E) tại M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;2).

Bài 17: Cho hypebol (H): 24x2 - 25y2 = 600

a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (H)
b) Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hồnh độ x = 10 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm.
c) Tìm các giá trị của K để đường thẳng (d): y = Kx - 1 có điểm chung với(H).

Bài 18:

a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =

√

5

và (H) đi qua điểm A (

√

10

; 6)
b) Tìm phương trình các đường tiệm cận của (H). Vẽ (H)

c) Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến 2 đường tiệm cận của (H) là một số khơng đổi.

Bài 19:

a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm F2(

√

5

;0) và phương trình một đường tiệm cận là y =
2x.

b) Tìm phương trình tiếp tuyến (t) của (H) tại điểm M ( 2, -2

√

3

)

c) Tiếp tuyến (t) của (H) cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại P và Q. Chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip(E):

2 2

1 25 16

x

y





có hai tiêu điểm F1 , F2.
1. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0.

2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Hãy tính AF2 + BF1. (TN THPT 2004)

Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình
2 2

1

4

5 x

y





1. Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phương trình các đường tiệm cận của (H).

2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1). (TN THPT 2006)
Vấn đề 5: PARABOL

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho đường thẳng () cố định và điểm F cố định không thuộc . Tập hợp các điểm M
của mặt phẳng sao cho M cách đều () và F được gọi là một parabol

 F gọi là tiêu điểm

 () gọi là đường chuẩn của parabol

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

 Với M (P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.
II. Phương trình chính tắc:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F(

p

2

; 0) và (): x =

-p

2

Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px

2) Các yếu tố:

 O(0;0) là đỉnh của parabol
 Ox là trục đối xứng của parabol

 Bán kính qua tiêu của điểm M  (P): MF =

p

2

+ xM

IV: Phương trình tiếp tuyến:Cho parabol (P): y2 = 2px

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(x0;y0)  (P) là : y0y = p(x0+x)
b) Đường thẳng (): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB2 = 2AC

B. BÀI TẬP:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy:

Bài 22: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 = 12x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)

b) Một điểm nằm trên (P) có hồnh độ x = 2. Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm.

c) Qua điểm I (2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tại 2 điểm A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B
tới trục Ox là một hằng số.

Bài 23:

a) Tìm phương trình chính tắc của parabol (P) có trục đối xứng là Ox và tiêu điểm là F (4;0). Viết phương trình đường chuẩn
() của (P)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) tại điểm A (1;4), (t) cắt trục Ox tại B. Chứng tỏ  ABF cân.

c) Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến này vng góc với nhau.

Bài 24: Cho parabol (P): y2 = 8x

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4.

c) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2
Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4

(TN THPT 2005)

1. TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:

1). Nếu

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

và

b (b ;b ;b )



1 2 3

⃗

thì

2 3 3 1 1 2

a a

a, b

;

b b







 















⃗ ⃗

2). Vectơ tích có hướng ca,b

⃗ ⃗ ⃗

vng góc vơi hai vectơ

a

⃗

và

b

⃗

3).

a,b

a b sin(a, b)



 





⃗ ⃗

4). ABC

1 S

[AB,AC]

2 

 

5). VHộpABCDA’B’C’D’=

[AB, AC].AA '

  

6). VTứdiện ABCD =

1 [AB, AC].AD

6 ⃗ ⃗ ⃗

.
II/. Điều kiện khác:

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

1).

a

⃗

và

b

⃗

cùng phương
1 1
2 2
3 3

a

kb

a, b

0 k R : a kb

a

kb

a

kb

















   















⃗ ⃗

⃗

2).

a

⃗

và

b

⃗

vng góc



a.b 0

 

a .b

1 1



a .b

2 2



a .b

3 3



0 ⃗ ⃗

3). Ba vectơ

a, b, c

⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng 

a,b .c 0











⃗ ⃗ ⃗

(tích hỗn tạp của chúng bằng 0).

4). A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện  AB, AC, AD

  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  

không đồng phẳng.

5). Cho hai vectơ không cùng phương

a

⃗

và

b

⃗

vectơ

c

⃗

đồng phẳng với

a

⃗

và

b

⃗

k,l R sao cho

c ka lb





⃗

6). G là trọng tâm của tam giác ABC

A B C

x x x

y y y

z z z

z
3
 





 

  

 





7). G là trọng tâm của tứ diện ABCD 

GA GB GC GD 0







.
B/.BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính

F







AB,AC .(OA 3CB)







 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp.

Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ABC.

d) Tính diện tích tam giác BCD.

e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bài 3: Cho

a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)



⃗

a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ

a, b, c

⃗ ⃗ ⃗

không đồng phẳng.
b) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ

a, b, d

⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng, hãy phân tích vectơ

d

⃗

theo hai vectơ

a, b

⃗ ⃗

.
c) Phân tích vectơ

u





2;4;11



⃗

theo ba vectơ

a, b, c

⃗ ⃗ ⃗

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.

b) Tính thể tích hình hộp.

c) Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
d) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của D lên đoạn A’C.

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của A lên ba trục tọa
độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.

a) Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
b) Chứng minh rằng N1N2 AN3 .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

2. MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/. Phương trình mặt phẳng:

1).

Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của
mặt phẳng, trong đó

n (A;B;C)



⃗

là một vectơ pháp tuyến của nó.

2).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ

n (A;B;C)



⃗

làm vectơ pháp tuyến có dạng :

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .

3).

Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

và

b (b ;b ;b )



1 2 3

⃗

làm cặp vectơ chỉ phương thì
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2

a a

n

a,b

;

b b



























⃗

⃗ ⃗

II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0



(P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A’: B’: C’



(P) // (Q)  A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’



(P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 . Phương
trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:

m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)
III/. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :

0 0 0

0 2 2 2

Ax

By

Cz

D

d(M , )

A

B

C



 



IV/. Góc gữa hai mặt phẳng

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0.

Ta có :

P Q

P Q 2 2 2 2 2 2

P Q

n .n A.A' B.B' C.C '
cos cos(n , n )

n . n A B C . A ' B' C'
 

   

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

⃗ ⃗

(00≤φ≤900)



P Q

90 n

 









 hai mặt phẳng vng góc nhau.

 Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x thì mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y thì song song Oy,

khơng có biến z thì song song Oz.

B/. BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vng góc với mp(ABC).

Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau.

b) Viết phương trình tham số đường thẳng () là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

c) Chứng minh rằng đường thẳng () cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.

d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
e) Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng qt đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vng góc với mặt mp(P).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.

d) Lập phương trình mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q).

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1).
a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc 450.
Bài 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.

a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng
(d).

3. ĐƯỜNG THẲNG

A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng:

1). Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Ax By Cz D 0

A 'x B' y C'z D' 0















(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)

2). Phương trình ttham số của đường thẳng :

0 1

0 2

0 3

x x

a t

y y

a t (t R)

z z

a t

















  



Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

3). Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :

0 0 0

1 2 3

x x

y y

z z

a





Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

II/. Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1). Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Cho hai đ.thẳng () đi qua M có VTCP

a

⃗

và (’) đi qua M’ có VTCP

a '



 () chéo (’) 

a,a ' .MM ' 0











⃗



 

 () cắt (’) 

a,a ' .MM ' 0











⃗ ⃗ ⃗

với





a,a '

 



0 ⃗ ⃗

⃗

 () // (’) 

[a,a ']=0

M

'







 





⃗



 () ≡ (’) 

[a,a ']=0

M

'







 





⃗ ⃗ ⃗

2). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng () đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có
VTPT

n (A;B;C)



⃗

 () cắt (α) 

a.n 0



</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

 () // (α) 

a.n 0

M ( )









 





⃗ ⃗

 () nằm trên mp(α)

a.n 0

M ( )









 





⃗ ⃗

III/. Khoảng cách :

1. Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M0 có VTCP

a

⃗

.
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⃗
0

[M M,a] S
d(M, )

c.đáy
a

2. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a

⃗

, (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP

a '



  



⃗

 

  

⃗ ⃗

hộp

đáy

[a,a'].MM'

V

d( , ')

S

[a,a']

IV/. Góc :

1). Góc giữa hai đường thẳng :

() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

Và (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP

a (a ' ;a ' ;a ' )



1 2 3

⃗

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.a '

a .a ' a .a '

a .a '

cos

cos(a,a ')

a . a '

a

a . a '

a '



 





⃗

 

⃗ ⃗

2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

() đi qua M0có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3

⃗

, mp(α) có VTPT

n (A;B;C)



⃗

.Gọi φ là góc hợp bởi () và mp(α)

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

Aa +Ba +Ca

sin

cos(a,n)

A

B

C . a

a

 





⃗ ⃗

B/. BÀI TẬP:
Bài 1:

a) Viết phương trình tham số chính tắc tổng qt đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm
của (d) và (P).

c) Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng có phương trình

2 4 0

2 2 0

x y z

x y

z

 

 









 



Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường thẳng () có phương trình

4 2 1 0

3 5 0

x y z

x z
   


  


a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.

b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,).

c) Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng () đều thỏa mãn AM  BC, BM  AC, CM  AB.

Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối
diện với O.

a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng (A,B,D).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D). (TNPT năm 1999)

Bài 4: Cho hai đường thẳng:

x 2 t
x 2z 2 0

( ) : ( ') : y 1 t
y 3 0

z 2t
 

  
 
     
 
  


a) Chứng minh rằng hai đường thẳng () và (’) khơng cắt nhau nhưng vng góc nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ()và (’).

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

d) Viết phương trình đường vng góc chung của ()và (’).

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.

b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vng góc với đường thẳng AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vng góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).

e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.

Bài 7: Cho đường thẳng

2x y z 5 0

( ) :

2x z 3 0



  









 



và mp (P) : x + y + z – 7 = 0

a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của () và (P).

c) Viết phương trình hình chiếu vng góc của () trên mp(P).

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) lần lượt có phương trình:

2x y 1 0 3x y z 3 0

;

x y z 1 0 2x y 1 0
      

 

 

      

  .

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua hai đường thẳng () và (’).

c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc và cắt cả hai đường () và (’) .

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng

x 5 t
y 1 2t
z 4 3t

 



 



  

 .

a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và () vng góc nhau, tìm tọa độ

giao điểm H của chúng.

b) Chuyển phương trình của () về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến ().

c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) và () cắt nhau.

(Đề HK2 2005)

4. MẶT CẦU
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/. Phương trình mặt cầu:

1).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 .

2).Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2–D>0 là phương trình mặt cầu tâm

I(-A;-B;-C), bán kính

R



A



B



C



D

.
II/. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P):

Ax+By+Cz+D=0.

 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.
 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.

 Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn có phương

trình :



x a





x a





x a



R

Ax By Cz D 0



























 Bán kính đường trịn

2 2

r



R



d(I,(P))

.

 Tâm H của đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
B/. BÀI TẬP:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình đường thẳng MN.

c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).

d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại các giao điểm.

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và bán kính.
e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C. Hãy tìm tâm và bán kính của đường trịn đó.

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0.
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính R và tọa độ tâm H của đường trịn (C).

Bài 4: Trong khơng gian cho (P): x + 2y – z + 5 = 0 điểm I(1;2;-2) và đường thẳng

x 2y 1 0

(d) :

y z 4 0



 







 



.

a) Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.

d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm trong (P) cắt (d) và vng góc (d).
(Thi HK2, 2002-2003)

Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a)_Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

b)_Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Tìm phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D.

c)_Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
 (TN THPT 2003-2004)

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)

a)_Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu
(S) tâm B, bán kính

R



2

với mặt phẳng(P).

b)_Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vng góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng(P).

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa độ tại A, B, C.

a)_Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D của

(d):

2 0

2 1 0

x y
x y z

  




   

 với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện ABCD.

b)_Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD. Xác định tâm và bán kính
của đường trịn đó.

(TN THPT 2001-2002)

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi :

A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k







 



















.
a)_ Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b)_Viết phương trình tham số của đường (d) vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa (d) và mặt
phẳng (ABD).

c)_Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S) song song với mặt phẳng
(ABD).

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.
a)_Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).

b)_Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC

d)_Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và mặt phẳng (P).

Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).

a) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.
b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC).

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

d) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 
a)_Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

b)-Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tính tọa độ A,
B, C và viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c)_Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

5. GIẢI TOÁN BẰNG HHGT

A/. CÁCH GIẢI CHUNG

Để giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian ta có thể chọn cho nó một hệ trục tọa độ phù hợp rồi chuyển
về hình học giải tích để giải.

Các bước chung để giải như sau:

B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.

B2: Chuyển các giả thiết của bài toán về HH giải tích.
B3: Giải bằng HH giải tích.

B4 : Kết luận các tính chất, định tính, định lượng... của bài tốn đặt ra.

B/. CÁC BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.

b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a .Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt bên đối diện.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho SA = AC = CB = a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(SBC).

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. SA(ABC), AC = a, BC = b, SA = h. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AC và SB.
a) Tính độ dài MN.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đường vng góc chung của các đường thẳng AC và SB.

Bài 5:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tính số đo của góc nhị diện [B,A’C,D].

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc



BAD



60

0. Gọi M là trung
điiểm cạnh AA’ và N là trung điểm của cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy
tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vng.

Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. M là điểm thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k (0<k<

2 a

).

a) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.

b) Chứng minh rằng MN//(A’D’BC) khi k biến thiên.

c) Khi đoạn MN ngắn nhất. Chứng minh rằng MN là đường vng góc chung của AD’ và BD và MN//A’C.

“Sự Học Là Một Chiếc Thang Khơng Có Nấc Cuối Cùng … Chúc Cáe Em Ôn Tập Tốt, Đạt Kết Quả Cao“

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ:

ĐỀ 01

Câu I (3 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 - (a + 1)x + 2 - a = 0.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Câu III (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): .

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua A(4;5).

2) M (E) thỏa mãn: MF1 - MF2 = 2. Tính trong đó F1;F2 là các tiêu điểm của (E).

Câu IV (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

cho các đường thẳng:

Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

ĐỀ 02: TN BỔ TÚC NĂM 2004

Câu 1(4 điểm) Cho hàm số có đồ thị , m là tham số.

1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hồnh độ x = 1.

3) Xác định m để các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 2(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;5), B(5;4) và C(7;5).
1) Vẽ tam giác ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB và AC.

2) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC và diện tích của tam giác ABC.

Câu 3(2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình:

(P): và d: với
1)Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P).

2) Cho đường thẳng có phương trình . Chứng minh hai đường thẳng và d chéo nhau. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng .

3) Viết phương trình tổng quát và phương trình chính tắc của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Câu 4(1,5 điểm)1) Tính tích phân:

2) Từ bốn chữ số 1, 4, 5, 9 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà mỗi số gồm các chữ
số khác nhau. Hãy viết tất cả các số tự nhiên đó.

ĐỀ 03 TN THPT 2005

Câu 1(3,5 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

Câu 2(1,5 điểm)Tính các tích phân:1) 2)

Câu 3(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T):
1) Xác định tọa độ của tâm và bán kính đường trịn (T).

2) Tìm tất cả các điểm thuộc đường trịn (T) có tung độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại mỗi điểm đó.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2) Chứng minh mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu (S). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu (S) trên mặt
phẳng (ABC).

Câu 5(1,0 điểm)Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:

ĐỀ 04 TN THPT 2006

Câu 1(3,5 điểm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng

Câu 2(1,5 điểm) 1) Tính tích phân

2) Chứng minh rằng hàm số ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m.

Câu 3(2,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình x - 2y - 10 = 0 và đường trịn (T)
có phương trình

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm I của (T) và vng góc với .

2) Xác định tọa độ điểm I' đối xứng với điểm I qua .

Câu 4(2,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3).
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD.
2) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D.

Câu 5(1,0 điểm)Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển nhị thức Niutơn của

ĐỀ 05 TN THPT 1997

Câu I (4 điểm). Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = -1.

3) Đường thẳng d qua điểm uốn của (C) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng d. Tìm tọa
độ giao điểm đó khi k =1.

Câu II (2 điểm) Tính các tích phân: a) b)

Câu III (2 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho elip (E): .

1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của (E). Vẽ (E).

2) Đường thẳng d qua một tiêu điểm phải của (E), song song với trục tung và cắt (E) tại hai điểm A, B. Tính
khoảng cách từ tiêu điểm trái của (E) tới A và tới B.

Câu IV (2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(-1;1;2).
1) Viết phương trình mặt phẳng qua B, C, D. Suy ra ABCD là tứ diện.

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

ĐỀ 06 TN THPT 1998

Câu I (4,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị .

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2) Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến trên.

3) Tìm giá trị của m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Câu II (2 điểm) Tính tích phân

Câu III (1,5 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho A(2;3), B(-2;1).

1) Viết phương trình đường trịn qua A, B và có tâm nằm trên trục hồnh.

2) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đỉnh là gốc O, qua A và nhận trục hoành làm trục đối xứng. Vẽ
đường tròn và parabol.

Câu IV (2 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4).

1) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và độ dài bán kính của mặt cầu.

2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vng góc với mặt
phẳng (ABC).

ĐỀ 07 TN THPT 1999

Câu I (4 điểm). Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0;1). Chứng minh rằng có đúng một tiếp tuyến của (C) qua B(0;-1).
3) Tìm tất cả những điểm có tọa độ nguyên của (C).

Câu II (2 điểm) 1) Tính tích phân .
2) Giải phương trình

Câu III (2 điểm)Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.
1) Viết phương trình của (C).

2) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của (C) và nhận O làm trung điểm.

Câu IV (2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0),
C(0;0;5), O(0;0;0) và đỉnh D là đỉnh đối diện của O.

1) Tìm tọa độ điểm D và viết phương trình mặt phẳng (ABD).

2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vng góc với mặt phẳng (ABD).
3) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).

ĐỀ 09 TN THPT 2000

Câu I (4 điểm). Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4.

Câu II (2 điểm)

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

2) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3
bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy.

Câu III (2 điểm):Trên mặt phẳng Oxy cho hypebol (H) có phương trình 4x2-9y2=36.

1) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tính tâm sai của (H).

2) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có chung tiêu điểm (H) và đi qua điểm .

Câu IV (2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 5 = 0 và mặt cầu (S):

1) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).

2) Tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng(P), từ đó suy ra rằng (P) cắt mặt cầu theo một đường trịn (C). Hãy tính tọa
độ tâm H và bán kính r của (C).

ĐỀ 10 TN THPT 2001

Câu I (4 điểm). Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Viết phương trình đường thẳng d qua M và là tiếp tuyến của (C).
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại điểm M.

Câu II (1 điểm) Tính tích phân:

Câu III (1,5 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình
1) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tính tâm sai, độ dài các trục của (E).

2) Điểm M thuộc (E) và nhìn 2 tiêu điểm của nó dưới góc vng. Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M.

Câu IV (2,5 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu
(S) tâm B, bán kính với mặt phẳng (P).

2) Viết phương trình tổng qt của đường thẳng d là hình chiếu vng góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).

Câu V (1 điểm).Tìm số hạng khơng chứa ẩn x trong khai triển nhị thức Newton:

ĐỀ 11 TN THPT 2001

Bài 1(3,0 điểm).Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1. Khảo sát hàm số trên.

2. Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 2(2,0 điểm). 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: với
2. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số phân biệt.

Bài 3(1,5 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Hypebol (H) có tiêu điểm và (H) đi qua
1. Viết phương trình chính tắc của (H).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng 5x + 4y - 1 = 0

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

1. Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ.

Tìm tọa độ giao điểm D của đường thẳng (d): với mặt phẳng (Oxy).Tính thể tích tứ diện ABCD.

2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD.

Xác định tâm và bán kính của đường trịn đó.

Bài 5(1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x + 1 và y = x - 1.

ĐỀ 12 TN THPT 2003

Bài 1(3 điểm). 1. Khảo sát hàm số

2. Xác định m để đồ thị hàm số

có các tiệm cận trùng với các tiệm cận tương ứng của đồ thị khảo sát trên.

Bài 2(2 điểm). 1. Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng

2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và đường thẳng y = 0.

Bài 3(1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36
và các bán kính qua tiêu điểm M nằm trên elip (E) là 9 và 15.

1. Viết phương trình chính tắc của elip (E).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại điểm M.

Bài 4(2,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức:

1. Chứng minh rằng: . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phương trình tham số của đường vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABD).

3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện ( ) của mặt cầu
(S) song song với mặt phẳng (ABD).

ĐỀ 13 TN THPT 2004

Bài 1(4 điểm):Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1. Khảo sát hàm số.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0).

3. Tính thể tích của vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.

Bài 2(1 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .

Bài 3(1,5 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): có hai tiêu điểm F1,F2.
1. Cho điểm M(3; m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0.
2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Hãy tính AF2 + BF1.

Bài 4(2,5 điểm)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2).
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

3. Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A'.

ĐỀ 13 TN THPT 2005

Bài 1 (3,5 điểm).Cho hàm số cĩ đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3).

Bài 2 (1,5 điểm). 1. Tính tích phân .

2. Xác định tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2.

Bài 3 (2 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x.

1. Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4.

3. Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng là
. Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4.

Bài 4 (2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - 3 = 0 và hai đường thẳng:

và

1. Chứng minh (Δ1) và (Δ2) chéo nhau.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (Δ1) và (Δ2).

Bài 5 (1 điểm).: Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:

ĐỀ 14 TN THPT 2007

Câu 1(3,5 điểm)1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).

3) Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng đi qua điểm trung điểm của đoạn

thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).

Câu 2(1,5 điểm)1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.

2) Tính tích phân:

Câu 3(2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình .
1) Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phương trình các đường tiệm cận của (H).
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1).

Câu 4(2,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0).Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1) Viết phương trình đường thẳng OG.

2) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 5(1,0 điểm): Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Newton của , , biết tổng tất cả các hệ số trong

</div>

TUYEN CHON CAC CHUYEN DE ON THI DAI HOC VA CAC DETHI THU DH

( )

( )

( )

( )

'( ).(

)

'( )

<i>f b</i>

<i>f a</i>

<i>f b</i>

<i>f a</i>

<i>f c b a hay f c</i>

<i>b a</i>













<i>y x</i>





3

<i>mx</i>



3(2

<i>m</i>



1)

<i>x</i>



1

<i>y</i>



2

<i>x x</i>



1

2

<i>mx</i>

<i>y</i>

<i>x m</i>







<i>e</i>

 

<i>x</i>

2 x R

 

ln

x>1

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i>





<i>x</i>



<i>x</i>



2

<i>x</i>



1 0



<i>y</i>



<i>x</i>



2

<i>mx</i>



2

<i>m</i>



1

<sub>2</sub>

<sub>4</sub>