Giáo trình môn học: Vận hành hệ thống điện_Chương 2

Män hc: Váûn hnh Hãû thäúng âiãûn

Chỉång 2

TÊNH TOẠN PHÁN BÄÚ TÄÚI ỈU CÄNG SÚT TRONG HÃÛ THÄÚNG ÂIÃÛN
BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP LAGRANGE

2.1. MÅÍ ÂÁƯU
Cáưn phi xạc âënh sỉû phán bäú täúi ỉu cäng sút giỉỵa cạc nh mạy âiãûn trong hãû
thäúng âiãûn ( cọ thãø chè cọ cạc nh mạy nhiãût âiãûn , hồûc cọ c nhỉỵng nh mạy thy âiãûn )
â âạp ỉïng mäüt giạ trë phủ tằ täøng cho trỉåïc (kãø c cạc täøn tháút) nhàòm náng cao tênh váûn
hnh kinh tãú ca hãû thäúng âiãûn .
Âáy l bi tọan âa chè tiãu:
- Chi phê nhiãn liãûu täøng trong tan hãû thäúng l nh nháút (min)
- Âm bo âäü tin cáûy håüp l
- Cháút lỉåüng âiãûn nàng âm bo...
Gii quút bi tọan âa chè tiãu nhỉ váûy hiãûn nay chỉa cọ mäüt mä hçnh tọan hc
chàût ch, m
thỉåìng chè gii quút cạc bi tọan riãng biãût, sau âọ kãút håüp lải.
Vç váûy bi tọan phán bäú täúi ỉu cäng sút giỉỵa cạc nh mạy âiãûn thỉåìng chè xẹt âảt
mủc tiãu quan trng l chi phê nhiãn liãûu täøng trong tan hãû thäúng l nh nháút.

2.2. BI TỌAN LAGRANGE:
Bi tọan âỉåüc phạt biãøu nhỉ sau: Cáưn phi xạc âënh cạc áøn säú x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n

sao cho âảt cỉûc trë hm mủc tiãu :
F(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
)→ min (max) (2-1)
v tha mn m âiãưu kiãûn rng büc: (m<n)
g
1
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
)
≥
0
g
2
(x
1
, x

2
,..., x
j
,........ ,x
n
)
≥
0 (2-2)
........................................
g
m
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
)
≥
0

Trong trỉåìng håüp hm mủc tiãu (2-1) l gii têch, kh vi, hãû rng büc (2-2) gäưm
tan âàóng thỉïc v säú nghiãûm khäng låïn ta cọ thãø dng phỉång phạp thãú trỉûc tiãúp âãø gii
bçnh thỉåìng. Khi cạc hãû (2-1) v (2-2) tuún tênh v x
i
≥ 0 ta cọ thãø dng thût tọan qui
hach tun tênh âãø gii nhỉ phỉång phạp hçnh hc, âån hçnh, váûn ti....

Vê dủ :

Tçm cac ï giạ trë x1, x2 sao cho :

min),(
2
2
2
121
→+= xxxxF
tha mn :
1
32
21
=+
xx

Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
14
Män hc: Váûn hnh Hãû thäúng âiãûn


Bi gii :
Tỉì
1
32
21
=+
xx
suy ra

2
36
1
2
x
x
−
=

Thay vo hm mủc tiãu F :

min
2
36
),(
2
1
2
1
2
2
2
121
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

−
+=+=
x
xxxxxF

Âiãưu kiãûn cỉûc trë :

0
1
=
x
F
∂
∂

hồûc l :
0)2(
4
18
2
11
1
=−−= xx
x
F
∂
∂

gii ra âỉåüc : x
1

= 18/13 v x
2
= 12/13
Xẹt âảo hm cáúp 2 :

0
4
26
4
18
2
2
1
2
>=+=
x
F
∂
∂

nãn hm F âảt cỉûc trë tải :
13
18
*
1
=x
v
13
12
*

2
=x

v khi âọ giạ trë hm mủc tiãu l :

13
36
*
=
opt
F

Phỉång phạp thay thãú trỉûc tiãúp trãn âáy chè tiãûn låüi khi hãû phỉång trçnh rng büc
l tuún tênh v säú lỉåüng m khäng låïn làõm. Trong trỉåìng håüp chung âãø gii bi toạn xạc
âënh cỉûc trë cọ rng büc l âàóng thỉïc v tuún tênh thỉåìng sỉí dủng räüng ri
phỉång
phạp nhán tỉí Lagrange .
Näüi dung ch úu ca phỉång phạp Lagrange nhỉ sau:
Cáưn phi xạc âënh cạc áøn säú x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
sao cho:
F(x
1
, x

2
,..., x
j
,........ ,x
n
)
→
min (max) (2-3)
v tha mn
g
1
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
g
2
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n

) = 0
........................................ (2-4)
g
m
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
trong âọ m <n
Thnh láûp hm Lagrange :

(2-5)
∑
=
+=
m
i
niinn
xxxgxxxFxxxL
1
212121
),....,,(.),....,,(),....,,(
λ
Trong âọ :
m1,=i

i
λ
l nhỉỵng hãû säú khäng xạc âënh.
Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
15
Män hc: Váûn hnh Hãû thäúng âiãûn

Nghiãûm täúi ỉu X
*
opt
ca hm mủc tiãu F cng chênh l nghiãûm täúi ỉu ca hm
Lagrange L(X) v ngỉåüc lải vç g
i
(x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
) = 0 våïi mi i=1..m.
Vç váûy ta cánư tçm låìi gii täúi ỉu cho hm L(x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n

)

Bi tọan Larange phạt biãøu nhỉ sau:
Hy xc âënh (x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
) v (
λ
1
,
λ
2
,..........,
λ
m
) sao cho :

0
)(
)()(
1
=+=
∑
=
m

i
j
i
i
jj
x
Xg
x
XF
x
XL
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂
(2-6)
våïi j=1..n v tha mn cạc âiu kiãûn rng büc :
våïi
0),.....,,(
21
=
ni
xxxg
mi ,1=
(2-7)
Tỉì (2-6) ta cọ n phỉång trçnh v tỉì (2-7) cọ m phỉång trçnh nãn s gii âỉåüc
(n+m) áøn säú x

j
v
λ
i
Âãø xạc âënh hm L(X) âảt cỉûc tiãøu hay cỉûc âải ta cáưn phi xẹt thãm âảo hm cáúp
hai ca F(X) hay L(X) tải cạc âiãøm dỉìng â gii ra âỉåüc åí trãn:
Nãúu d
2
L< 0 thç hm F(X) ( hồûc L(X) ) âảt cỉûc âải v ngỉåüc lải nãúu d
2
L > 0 thç
hm mủc tiãu s âảt cỉûc tiã.
Ta s gii lải bi tọan åí vê dủ 1 theo phỉång phạp Lagrange :
Tçm cạc nghiãûm säú x1 , x2 sao cho :


min),(
2
2
2
121
→+= xxxxF
våïi rng büc
1
32
21
=+
xx

Thnh láûp hm Lagrange :

∑
=
=
+=
1
1
212121
),(.),(),(
m
i
ii
xxgxxFxxL
λ

)1
32
(),(
21
1
2
2
2
121
−+++=
xx
xxxxL
λ

Xạc âënh cạc âiãøm dỉìng bàòng cạch gii cạc phỉång trçnh :

0
2
2
)(
1
1
1
=+=
λ
∂
∂
x
x
XL


0
3
2
)(
1
2
2
=+=
λ
∂
∂
x

x
XL


01
32
21
=−+
xx

Gii hãû 3 phỉång trçnh trãn âỉåüc :

13
18
*
1
=x
v
13
12
*
2
=x

v khi âọ giạ trë hm mủc tiãu l :

13
36
*
=

opt
F

( nhỉ kãút qu â nháûn âỉåüc bàòng phỉång phạp thãú )
Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
16
Mọn hoỹc: Vỏỷn haỡnh Hóỷ thọỳng õióỷn

Xeùt caùc õaỷo haỡm bỏỷc hai taỷi õióứm dổỡng:

02
)(
2
1
2
>=
x
XL




02
)(
2
2
2
>=
x
XL

nón haỡm L(X) vaỡ haỡm muỷc tióu F(X) õaỷt cổỷc tióứu taỷi õióứm
X
*
(18/13 ; 12/13).
Trong trổồỡng hồỹp haỡm muỷc tióu F(X) vaỡ caùc raỡng buọỹc g(X) laỡ nhổợng phióỳm haỡm
( tọửn taỷi tổồng quan giổợa nhổợng haỡm ) khi õoù tỗm cổỷc trở cuớa caùc phióỳm haỡm phaới sổớ duỷng
caùc baỡi toùan bióỳn phỏn. Vờ duỷ nhổ trổồỡng hồỹp tờnh phỏn bọỳ tọỳi ổu cọng suỏỳt õọỳi vồùi caùc
nhaỡ maùy thuớy õióỷn vỗ khi õoù phaới xeùt tọỳi ổu trong caớ chu kyỡ õióửu tióỳt.
Baỡi toùan õổồỹc phaùt bióứu nhổ sau :
Cỏửn phaới xaùc õởnh caùc haỡm sọỳ x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
cuớa thồỡi gian t sao cho haỡm
muỷc tióu laỡ phióỳm haỡm õaỷt cổỷc trở:

(2-8)
min(max).)',....,',',,....,,,(
1
0
2121
=

dtxxxxxxtFV
t
t
nn
vaỡ thoớa maợn m õióửu kióỷn raỡng buọỹc :
g
1
(t,x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
g
2
(t,x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
............................................. (2-9)
g
m

(t,x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0

Trong õoù :
dt
dx
x
j
j
='
vồùi
nj ,1=
(2-10)
Thaỡnh lỏỷp haỡm Lagrange :

(2-11)

=
+=
m
i
ii
xtgtxtFxtL

1
)],().([),(),(

sau õoù tỗm cổỷc trở cuớa phióỳm haỡm:

(2-12)
min(max).),(
1
0
**
=

dtxtFV
t
t
vồùi
(2-13)

=
+=
m
i
ii
xtgtxtFxtF
1
*
)],().(),(),(


Caùc giaù trở x

j
(t) vồùi j = [1..n] vaỡ caùc hóỷ sọỳ nhỏn

i
(t) vồùi i = [1..m] coù thóứ nhỏỷn
õổồỹc bũng caùch giaới hóỷ phổồng trỗnh õaỷo haỡm rióng cuớa haỡm Lagrange vaỡ vióỳt trong daỷng
hóỷ phổồng trỗnh Euler nhổ sau :
Nhoùm Nhaỡ maùy õióỷn - Bọỹ mọn Hóỷ thọỳng õióỷn - HBK aỡ Nụng .
17
Män hc: Váûn hnh Hãû thäúng âiãûn


⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=−
=−
0)'()(
......................................
0)'()(
0)'()(

**
2
*
2
*
1
*
1
*
nn
xf
dt
d
xf
xf
dt
d
xf
xf
dt
d
xf
(2-14)

Trong âọ :

nj
x
F
xf

nj
x
F
xf
j
j
j
j
,1 ;
'
)'(
,1 ; )(
*
*
*
*
==
==
∂
∂
∂
∂
(2-15)

Kãút håüp n phỉång trçnh ca hãû (2-14) v m phỉång trçnh rng büc (2-9) ta s gii
âỉåüc (m+n) giạ trë hm x
j
(t) v
λ
i

(t) våïi j = [1..n], i = [1..m]. Ngoi ra âãø xạc âënh 2n
hàòng säú têch phán ta s sỉí dủng cạc âiãưu kiãûn âáưu :

njxtxxtx
jjjj
,1 )( ; )(
1100
===
(2-16)

2.3.- PHÁN BÄÚ TÄÚI ỈU CÄNG SÚT GIỈỴA CẠC NH MẠY NHIÃÛT ÂIÃÛN:
Xẹt bi tọan :
Cọ n nh mạy nhiãût âiãûn cung cáúp cho phủ ti täøng P
pt
cäú âënh. Biãút nhỉỵng säú liãûu
vãư âàûc tênh tiãu hao nhiãn liãûu åí tỉìng nh mạy. Cáưn phi xạc âënh cäng sút phạt täúi ỉu
ca mäùi nh mạy P
j
våïi j = [1...n], sao cho chi phê nhiãn liãûu täøng trong hãû thäúng âảt cỉûc
tiãøu, våïi rng büc vãư âiãưu kiãûn cán bàòng cäng sút.
Mä t dảng tọan hc:
Cáưn xạc âinh bäü nghiãûm täúi ỉu
P*
(P*
1
,P*
2
,......,P*
n
) sao cho hm mủc tiãu vãư chi

phê nhiãn liãûu täøng âảt cỉûc tiãøu :

(2-17)
min)(),...,,....,,(
1
21
→==
∑
=
n
j
jjnj
PBPPPPfB
tha mn âiãưu kiãûn rng büc vãư cán bàòng cäng sút :

(2-18)
0.......)(
1
21
=−∆−=−∆−+++++=
∑
=
pt
n
j
jptnj
PPPPPPPPPPg
våïi
const= P const;=P ; n1,=j 0
pt

∆≥
j
P
(2-19)
Ta gii bàòng phỉong phạp Lagrange :
Thnh láûp hm Lagrange :

)()()( PgPBPL
λ
+=
(2-20)
Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
18