Tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội
tr-ờng đại học khoa học tù nhiªn
--------------------------

BÙI HUY BÁCH

TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP
PHƯƠNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà nội - 2011


đại học quốc gia hà nội
tr-ờng đại học khoa học tù nhiªn
--------------------------

BÙI HUY BÁCH

TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP
PHƯƠNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN

Luận văn thạc sĩ khoa học
Chuyờn ngnh: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

Hµ néi - 2011

Mục lục

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt

3

Lời cảm ơn

4

Lời mở đầu

5

1 Không gian hàm và các định nghĩa

9

1.1

Không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Tập hút lùi (Pullback attractors). . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Một số bổ đề, định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1

Bổ đề Gronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2

Bổ đề Gronwall đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Sự tồn tại nghiệm yếu
2.1

2.2

9

17

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1

Các giả thiết của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2

Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . 18

Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Sự tồn tại của D− tập hút lùi trong Hµ (Ω)

Lp (Ω)

28

3.1

Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận chung

39

1


Tài liệu tham khảo

40

2


Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt
Trong khóa luận này, để cho ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|2 , (.,.), u µ , ((., .))µ ,
làm chuẩn và tích vơ hướng trong L2 (Ω) và Hµ (Ω); tương tự, ta dùng |.|p

làm chuẩn trong Lp (Ω). Ta cũng thường sử dụng ký hiệu sau:
ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } .

3


Lời mở đầu
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực là một trong
các vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán hiện đại. Một cách tiếp cận
bài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấu
trúc của tập hút tồn cục (global attractor) của nó. Đó là một tập đóng, bị
chặn, bất biến và hút tất cả các tập bị chặn. Tập hút toàn cục chứa đựng
nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Tuy nhiên,
tập hút toàn cục chỉ áp dụng được cho các trường hợp ôtônôm, trong khi
rất nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian. Do đó, cần phải
mở rộng khái niệm tập hút cho các hệ động lực không ôtônôm. Việc mở
rộng nghiên cứu về tập hút đã dẫn đến khái niệm tập hút đều (uniform
attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn khi thời gian t tiến ra
vô hạn, và sau đó là khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường
hợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn.
Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với một
lớp phương trình parabolic suy biến:

µ

u
−
∆u
−
u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,


t


|x|2







u|∂Ω = 0, t > τ,

(0.1)

u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω,

với Ω là một miền bị chặn trong RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2 (Ω)
là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ∗ là tham số, µ∗ = ( N2−2 )2 là hằng số lớn nhất
5


thỏa mãn bất đẳng thức Hardy:
|u|2
dx ≤
|x|2

∗

µ

Ω

|∇u|2 dx, ∀u ∈ C∞
0 (Ω).

(0.2)

Ω

Trong trường hợp g ≡ 0 và hàm f có một số dạng đặc biệt, bài tốn (0.1) đã
được nghiên cứu trong các bài báo [2,3,5,6,12], hay trong trường hợp hàm
ngoại lực là g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t và hàm phi tuyến f = f (u):
ut − ∆u −

µ
u + f (u) = g(t, x),
|x|2

bài tốn (0.1) đã được nghiên cứu trong bài báo [1]. Trong đó, các tác giả
đã nghiên cứu về sự tồn tại toàn cục và sự phụ thuộc của dáng điệu nghiệm
của các phương trình vào tham số µ. Trong luận văn này, tác giả tiếp tục
nghiên cứu bài toán (0.1) trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) và hàm
phi tuyến f = f (u, t). Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều
kiện sau:
(F) Hàm f ∈ C1 (R × [τ, ∞]) và thỏa mãn:

C1 |u|p − k1 (t) ≤ f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2,
k1 (t) , k2 (t) ∈ L∞ (R) , k1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k2 (t) > 0, ∀t ∈ R,

∂f (u, t)
≥ −l, ∀u ∈ R,
∂u
F (u) ≤ C(|u|pp + 1),

C(|u|pp − 1) ≤
Ω

F (u) =

u
0 f (r)dr,

(trong trường hợp f (r, t) = f (r)),

C, C1 , C2 , l là các hằng số dương.
6


1,2
(R; L2 (Ω)) thỏa mãn
(G) g ∈ Wloc

0

e

1,µ s

2

(|g(s)|22 + |g (s)|2 )ds < +∞,

−∞

ở đây

1,µ

là giá trị riêng thứ nhất của tốn tử Aµ = −∆ − |x|µ2 trong Ω với

điều kiện thuần nhất Dirichlet.
Để nghiên cứu bài toán (0.1), ta sẽ sử dụng khơng gian Hµ (Ω), 0 ≤ µ ≤ µ∗ ,
được định nghĩa như là bao đóng của C∞
0 (Ω) với chuẩn

u

|u|2
= ( (|∇u| − µ 2 )dx)1/2 .
|x|
2

µ

Ω

Mục đích của khóa luận này là chứng minh rằng ln có sự tồn tại phụ
thuộc vào tham số µ của một D- tập hút lùi trong khơng gian Hµ (Ω)

Lp (Ω)

cho q trình được mơ tả trong bài tốn (0.1).
Phương pháp được sử dụng ở khóa luận này được mô tả như sau: Trước
tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh sự tồn tại
toàn cục của một nghiệm yếu và sử dụng đánh giá tiên nghiệm để chỉ ra
sự tồn tại của một họ các D- tập hấp thụ lùi B = {B(t) : t ∈ R} trong
Hµ (Ω)

Lp (Ω) cho q trình nói trên. Do tính compact của phép nhúng

Hµ (Ω) → L2 (Ω), q trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L2 (Ω).
Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L2 (Ω). Trong
quá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong Lp (Ω) và trong
Hµ (Ω)

Lp (Ω), để khắc phục các khó khăn do thiếu các kết quả về phép

nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm đã được
khởi đầu trong [11] cho các phương trình ơtơnơm.
Cấu trúc của khóa luận gồm ba chương:
- Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về khái niệm cũng như các kết
quả về không gian và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến
7


tính.
- Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1).
- Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi trong Hµ (Ω)

Lp (Ω)

(trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t).
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn cịn nhiều thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ và đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011

8


Chương 1
Không gian hàm và các định nghĩa
1.1

Không gian hàm và tốn tử

Với mỗi 0 ≤ µ ≤ µ∗ , ta định nghĩa khơng gian Hµ (Ω) như là một bao đóng
của C∞
0 (Ω) với chuẩn:

u

|u|2
= ( (|∇u| − µ 2 )dx)1/2 .
|x|
2

µ

Ω

Khi đó Hµ (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
(∇u∇v − µ

< u, v >µ :=

uv
)dx, ∀u, v ∈ Hµ (Ω).
|x|2

Ω

Ta đã biết (xem [12]) rằng nếu 0 ≤ µ ≤ µ∗ ,thì Hµ (Ω) ≡ H01 (Ω). Khi µ = µ∗ ,
ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare trong [12]
2

(|∇u| −

2
∗ |u|
µ
2 )dx

|x|

≥ C(q, Ω) u

2
W 1,q (Ω) , 1

≤ q < 2,

(1.1)

Ω

và với 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r∗ =
2

(|∇u| −

2N
N −2(1−s) ,

2
∗ |u|
µ
2 )dx

|x|

≥ C(s, r, Ω) u

Ω

9

2
W s,r (Ω) ,

(1.2)


với mọi u ∈ C∞
0 (Ω). Do đó dẫn tới các phép nhúng liên tục sau, khi 1 ≤
q < 2 và 0 ≤ s < 1:
Hµ (Ω) → W01,q (Ω), Hµ (Ω) → H0s (Ω).

(1.3)

Hơn nữa, vì W01,q (Ω) được nhúng compact trong H0s (Ω) với mỗi q = q(s)
thích hợp, và H0s (Ω) được nhúng compact trong L2 (Ω), ta có các phép
nhúng compact sau:
Hµ1 (Ω) → L2 (Ω), Hµ (Ω) → H0s (Ω), 0 ≤ s < 1.

Nhắc lại rằng phép nhúng W 1,q → Lp (Ω) là liên tục với 1 ≤ p ≤
q < N. Khi đó, đặt p∗ =

Nq
N −q

(1.4)

Nq
N −q

và

với 1 ≤ q < 2, thì từ (2.3) suy ra phép nhúng

liên tục Hµ (Ω) → Lp (Ω) đúng với mọi 1 ≤ p ≤ p∗ . Bây giờ ta xét bài toán
biên sau đây


µ

 −∆u − 2 u = λu, khi x ∈ Ω,
|x|


u = 0, khi x ∈ ∂Ω.

(1.5)

Để có thể áp dụng thác triển Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem[13])
ta nhắc lại biến đổi bất đẳng thức Hardy trong [12]:
2

|∇u| dx ≥

N −2
2

Ω

2

|u|2
dx + λΩ

|x|2
Ω

|u|2 dx,

(1.6)

Ω

˜ =
với λΩ là một hằng số dương phụ thuộc vào Ω, và X = L2 (Ω), D(A)
µ
˜
˜
C∞
0 (Ω), Au = −∆u − |x|2 u. Từ đó suy ra A là một tốn tử dương liên hợp
và không gian năng lượng XE bằng với Hµ (Ω) vì XE là khơng gian mở rộng
˜ = C∞
của D(A)
0 (Ω) với tích vơ hướng
(∇u∇v − µ

< u, v >µ =
Ω

Hơn nữa
A˜ ⊂ A ⊂ AE ,
10

uv

)dx.
|x|2


với AE : Hµ (Ω) → Hµ−1 (Ω) là thác triển mạnh, (Hµ−1 (Ω) là khơng gian đối
ngẫu của Hµ (Ω) ), và A = −∆ − µ2 là thác triển Friedrichs của A˜ với miền
|x|

xác định là
D(A) = {u ∈ Hµ (Ω) : A(u) ∈ X} .
Ta cũng có Hµ (Ω) → → L2 (Ω) → → Hµ−1 (Ω), với phép nhúng là compact
và trù mật. Do đó, với mỗi 0 < µ ≤ µ∗ , tồn tại một hệ trực chuẩn đầy đủ
các vectơ riêng (ej,µ , λj,µ ) phụ thuộc vào µ sao cho
(ej,µ , ek,µ ) = δj,k ; −∆ej,µ −

µ
ej,µ = λj,µ ej,µ , j, k = 1, 2, ...
|x|2

0 < λ1,µ ≤ λ2,µ ≤ λ3,µ ≤ ..., λj,µ → +∞ khi j → +∞.
Cuối cùng ta nhận xét rằng với mọi u ∈ Hµ (Ω), ta có:
u

1.2

2
µ

≥ λ1,µ |u|22 .

(1.7)

Tập hút lùi (Pullback attractors).

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X,d) là một không gian metric. Với A, B ⊂ X,
ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa A và B bởi
dist(A, B) = sup inf d(x, y).
x∈A y∈B

Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp {U (t, τ ) : t ≥ τ, τ ∈ R} được gọi là một quá
trình trong X nếu ánh xạ U (t, τ ) : X → X thỏa mãn U (τ, τ ) = Id và
U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) với mọi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R.
Định nghĩa 1.2.3. Quá trình {U (t, τ )} được gọi là liên tục norm-to-weak
trên X nếu U (t, τ )xn hội tụ yếu tới U (t, τ )x khi xn hội tụ mạnh tới x trong
X, với mọi t ≥ τ, τ ∈ R.
11


Bây giờ ta nhắc lại một phương pháp để kiểm tra một quá trình là liên
tục norm-to-weak.
Bổ đề 1.2.4. [14] Giả sử X và Y là hai không gian Banach , X ∗ , Y ∗ là các
không gian đối ngẫu tương ứng. Giả sử rằng X trù mật trong Y, đơn ánh
i : X → Y liên tục và ánh xạ đối ngẫu i∗ : Y ∗ → X ∗ là trù mật, {U (t, τ )}
là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y. Khi đó {U (t, τ )} là liên tục
norm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu cho t ≥ τ, τ ∈ R, U (t, τ ) ánh xạ một
tập compact của X vào một tập bị chặn của X.
Giả sử B(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng, bị chặn của X, và D
ˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂
là một lớp khác rỗng của tập hợp được tham số hóa D
B(X).

Định nghĩa 1.2.5. Một q trình {U (t, τ )} được gọi là D− tiệm cận comˆ ∈ D và với mọi τn → −∞, với mọi
pact lùi nếu với mọi t ∈ R, với mọi D
dãy xn ∈ D(τn ), dãy {U (t, τn )xn } là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.2.6. Một quá trình {U (t, τ )} được gọi là ω − D− giới hạn
compact lùi nếu với mọi

ˆ ∈ D luôn tồn tại
> 0, với mọi t ∈ R, với mọi D

một τ0 (D, , t) ≤ t, sao cho
α(

U (t, τ )D(τ )) ≤ ,

τ ≤τ0

trong đó α là độ đo không compact Kuratowski của B ∈ B(X), α(B) là cận
dưới đúng của tập hợp các số δ dương mà thỏa mãn: B có một phủ mở hữu
hạn gồm các hình cầu có đường kính nhỏ hơn δ.
Bổ đề 1.2.7. [7] Một quá trình {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi nếu
và chỉ nếu nó là ω − D− giới hạn compact lùi.
12


Định nghĩa 1.2.8. Một họ các tập hợp bị chặn Bˆ ∈ D được gọi là D− tập
ˆ ∈ D, tồn
hấp thụ lùi của quá trình {U (t, τ )} nếu với mọi t ∈ R, với mọi D
ˆ t) sao cho
tại τ0 = τ0 (D,
U (t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).

τ ≤τ0

Định nghĩa 1.2.9. Một họ Aˆ = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X). được gọi là D−
tập hút lùi của quá trình {U (t, τ )} nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. A(t) compact với mọi t ∈ R;
2. Aˆ bất biến, tức là
U (t, τ )A(τ ) = A(t)
với mọi t ≥ τ ;
3. Aˆ là D− hút lùi, tức là
lim dist(U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0

τ →−∞

ˆ ∈ D và với mọi t ∈ R;
với mọi D
4. Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng thì A(t) ⊂ C(t) với mọi
t ∈ R.
Định lý 1.2.10. [7] Giả sử {U (t, τ )} là một quá trình liên tục norm-toweak sao cho {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi. Nếu tồn tại một họ
các D− tập hấp thụ lùi Bˆ = {B(t) : t ∈ R} ∈ D thì {U (t, τ )} có duy nhất
một D− tập hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

U (t, τ )B(τ ).
s≤t τ ≤s

13


1.3
1.3.1

Một số bổ đề, định lý.
Bổ đề Gronwall.

Định lý 1.3.1. (Bổ đề Gronwall) Giả sử I là kí hiệu cho một khoảng
trên đường thẳng thực, có dạng [a; ∞) , hoặc [a; b], hoặc [a; b) với a < b.
Giả sử β và u là các hàm thực liên tục trên I. Nếu u khả vi trong phần
trong I o của I (khoảng I bỏ đi các đầu mút a, b) và thỏa mãn
u (t) ≤ β (t) u (t) , t ∈ I o ,
thì u bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng u (t) =
β (t) u (t):
u (t) ≤ u (a) e

t
a

β(s)ds

với mọi t ∈ I.
Chứng minh. Ta định nghĩa hàm
v (t) = e

t
a

β(s)ds

.

Chú ý rằng v thỏa mãn

v (t) = β (t) v (t) , t ∈ I o ,
với v (a) = 1, v (t) > 0, ∀t ∈ I. Ta có
d u u v − v u βuv − βvu
=
≤
= 0, t ∈ I o .
2
2
dt v
v
v
Từ đó suy ra
u (t) u (a)
≤
= u (a) , t ∈ I
v (t)
v (a)
⇒ u (t) ≤ u (a) e
(điều phải chứng minh).
14

t
a

β(s)ds


1.3.2

Bổ đề Gronwall đều.

Định lý 1.3.2. (Bổ đề Gronwall đều) Giả sử g, h, y là ba hàm số
dương khả tích địa phương trên (t0 , +∞) sao cho y’ khả tích địa phương
trên (t0 , +∞) và thỏa mãn:
dy
≤ gy + h, ∀t ≥ t0 ,
dt
t+r

t+r

g (s) ds ≤ a1 ,

t+r

h (s) ds ≤ a2 ,

t

(1.8)

y (s) ds ≤ a3 ,∀t ≥ t0 ,

t

(1.9)

t

trong đó r, a1 , a2 , a3 là các hằng số dương. Khi đó, ta có

a3
+ a2 ea1 , ∀t ≥ t0 .
r

y (t + r) ≤

(1.10)

Chứng minh. Giả sử rằng t0 ≤ t ≤ s ≤ t + r. Từ (1.8), ta có
d
y (s) e−
ds

s
t

d
(y (s)) e−
ds
d
(y (s)) e−
=
ds

g(τ )dτ

=

g(τ )dτ

+ y (s)

s
t

g(τ )dτ

− y (s) e−

≤ (g (s) y (s) + h (s)) e−
= h (s) e−

s
t

d
e−
ds

s
t

s
t

g(τ )dτ

s
t

s
t

g(τ )dτ

g(τ )dτ

g (s)

− y (s) e−

s
t

g(τ )dτ

g(τ )dτ

≤ h (s) .
Bằng cách lấy tích phân từ t1 (với t ≤ t1 ≤ t + r) đến t + r, ta có
−

y (t + r) e

t+r
t

g(τ )dτ

t1

t

−

− y (t1 ) e

t+r
g(τ )dτ

≤

h (s) ds
t1

⇒ y (t + r) e

−

t+r
t

g(τ )dτ

−

≤ y (t1 ) e

t1
t

t+r
g(τ )dτ

+

h (s) ds
t1

15

g (s)


⇒ y (t + r) ≤ y (t1 ) e

−

t1
t

t+r

t+r
t

g(τ )dτ +

g(τ )dτ

+

h (s) ds.e

t+r
t

g(τ )dτ

t1

= y (t1 ) e

t+r
t1

g(τ )dτ

t+r

+

h (s) ds.e

t+r
t

g(τ )dτ

t1

≤ y (t1 ) ea1 + a2 ea1
= (y (t1 ) + a2 ) ea1 .
Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo t1 từ t đến t + r, ta có
t+r

t+r

(y (t1 ) + a2 ) ea1 dt1

y (t + r) dt1 ≤
t

t
t+r

⇒ y (t + r)

t+r

dt1 ≤
t

t+r

dt1 ea1

y (t1 ) dt1 + a2
t

t

t+r

y (t1 ) dt1 + a2 r ea1 ≤ (a3 + a2 r) ea1

⇒ y (t + r) r ≤
t

⇒ y (t + r) ≤

a3
+ a2 ea1 .
r

(Điều phải chứng minh).

16


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm yếu
2.1

Đặt bài toán

Trong chương này, ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán đã nêu trong
phần mở đầu. Ta nêu lại bài tốn

µ

u

−
∆u
−
u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,

t


|x|2

u|∂Ω = 0, t > τ,







u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω,

với Ω là một miền bị chặn trong RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2 (Ω)
là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ∗ là tham số, µ∗ = ( N2−2 )2 là hằng số lớn nhất
thỏa mãn bất đẳng thức Hardy:
|u|2
dx ≤
|x|2

∗

µ

Ω

2.1.1

|∇u|2 dx, ∀u ∈ C∞
0 (Ω).
Ω

Các giả thiết của bài toán

Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau:
(F) Hàm f ∈ C1 (R × [τ, ∞]) và thỏa mãn:
C1 |u|p − k1 (t) ≤ f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2,
17


k1 (t) , k2 (t) ∈ L∞ (R) , k1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k2 (t) > 0, ∀t ∈ R,
∂f (u, t)
≥ −l, ∀u ∈ R,
∂u
C(|u|pp − 1) ≤

F (u) ≤ C(|u|pp + 1),
Ω

F (u) =

u
0 f (r)dr,

(trong trường hợp f (r, t) = f (r)),

C, C1 , C2 , l là các hằng số dương.
1,2
(R; L2 (Ω)) thỏa mãn
(G) g ∈ Wloc
0

e

1,µ s

2

(|g(s)|22 + |g (s)|2 )ds < +∞,

−∞

ở đây

1,µ

là giá trị riêng thứ nhất của tốn tử Aµ = −∆ − |x|µ2 trong Ω với

điều kiện thuần nhất Dirichlet.

2.1.2

Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán

Ta kí hiệu
X = L2 (τ, T ; Hµ (Ω)) ∩ Lp (τ, T ; Lp (Ω)),
X ∗ = L2 (τ, T ; Hµ−1 (Ω)) + Lp (τ, T ; Lp (Ω)),
ở đây p’ là số liên hợp của p và µ ∈ [0, µ∗ ].
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm u(x,t) được gọi là một nghiệm yếu của bài
∗
toán (0.1) trên (τ, T ) nếu và chỉ nếu u ∈ X, ∂u
∂t ∈ X , u |t=τ = uτ với x ∈ Ω

hầu khắp nơi và
T

τ

T

∂u
µ
ϕ + ∇u∇ϕ − 2 uϕ + f (u, t)ϕ dxdt =
∂t
|x|
Ω

với mọi hàm ϕ ∈ X.
18

g(t)ϕdxdt
τ

Ω


2.2

Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán

Bổ đề 2.2.1. Nếu u ∈ X và

∂u
∂t

∈ X ∗ , thì u ∈ C([τ, T ]; L2 (Ω)).

Chứng minh. Giả sử dãy un ∈ C 1 ([τ, T ] ; Hµ (Ω) ∩ Lp (Ω)) thỏa mãn

 un → u trong X
 ∂un → ∂u trong X∗ .
∂t

∂t

Khi đó, với mọi t, t0 ∈ [τ, T ] , ta có
|un (t) − um (t)|22 = |un (t0 ) − um (t0 )|22
t

un (s) − um (s) , un (s) − um (s) ds.

+2
t0

Chọn t0 sao cho
|un (t0 ) −

um (t0 )|22

1
=
T −τ

T
τ

|un (t) − um (t)|22 .

Ta có
|un (t) − um (t)|2 dx
Ω

1
=
T −τ

T
Ω

|un (t) − um (t)|2 dtdx

τ

t

(un (s) − um (s)) (un (s) − um (s)) dsdx

+2
Ω

≤

1
T −τ

T
Ω

t0

|un (t) − um (t)|2 dtdx + 2 un − um

τ

X∗

un − um

X.

Do đó, {un } là dãy Cauchy trong C [τ, T ] ; L2 (Ω) . Suy ra dãy {un } hội
tụ trong C [τ, T ] ; L2 (Ω) tới một hàm v ∈ C [τ, T ] ; L2 (Ω) . Vì un (t) →
u (t) ∈ L2 (Ω) với hầu hết t ∈ [τ, T ], ta suy ra u = v với hầu hết t ∈ [τ, T ].

Sau khi định nghĩa lại trên một tập con có độ đo khơng, ta thu được
u ∈ C [τ, T ] ; L2 (Ω) .
19


Từ bổ đề suy ra điều kiện ban đầu của bài tốn (0.1) là có nghĩa.
Định lý 2.2.2. Với giả thiết (F)-(G), với mọi τ ∈ R, T > τ, và uτ cho
trước, bài tốn (0.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (τ, T ). Hơn nữa,
nghiệm u có thể được thác triển lên [τ, +∞) và thỏa mãn bất đẳng thức sau:
|u(t)|22

≤

e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22

+

2 k1 (t)

L∞ (R)

λ1,µ

e−λ1,µ t
|Ω| +
λ1,µ

t

eλ1,µ s |g(s)|22 ds.

−∞

(2.1)
Chứng minh. Xét nghiệm xấp xỉ un (t) dưới dạng
n

un (t) =

unk (t)ek ,
k=1

µ
ở đây {ej }∞
j=1 là các vectơ riêng của toán tử A := −∆ − |x|2 Id. Ta thu được

un (t) từ việc giải bài toán
dun
, ek
dt

+ Aun , ek + f (un , t), ek = (g, ek ),

(un (τ ) , ek ) = (uτ , ek ), k = 1, ..., n.
Sử dụng định lý Peano,ta thu được sự tồn tại địa phương của un (t). Bây
giờ ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm cho un (t). Ta có:
d
un + Aun + f (un , t) = g(t, x)
dt
d
un un + Aun un + f (un , t)un = g(t, x)un

dt
1 d
⇒ ( )u2n + Au2n + f (un , t)un = g(t, x)un
2 dt

⇒

⇒

1d
|un |22 + un
2 dt

2
µ

+

f (un , t)un dx =
Ω

g(t)un dx
Ω

20


mặt khác, do điều kiện (F):
C1 |un |p − k1 (t) ≤ f (un , t)un , p ≥ 2
C1 |un |p dx −

⇒
Ω

k1 (t)dx ≤
Ω

f (un , t)un dx
Ω

⇒ C1 |un |pp − k1 (t)|Ω| ≤

f (un , t)un dx
Ω

1d
|un |22 + un
2 dt

⇒

2
µ

+ C1 |un |pp − k1 (t)|Ω| ≤
+

1d
|un |22 + un
2 dt

2
µ

f (un , t)un dx.
Ω

Do đó, ta suy ra
⇒

1d
|un |22 + un
2 dt

2
µ

+ C1 |un |pp − k1 (t)|Ω| ≤

g(t)un dx.
Ω

Mặt khác
g(t)un dx =
Ω

Ω

1
g(t). λ1,µ un dx ≤

λ1,µ

1
λ1,µ

|g(t)|2 + λ1,µ |un |2
2

dx

Ω

(Bất đẳng thức Cauchy)
=

1 1
2 λ1,µ

1
|g(t)|2 dx + λ1,µ
2
Ω

|un |2 dx =

1
λ1,µ
|g(t)|22 +
|un |22 .
2λ1,µ

2

Ω

Suy ra
1d
1
λ1,µ
|un |22 + un 2µ + C1 |un |pp − k1 (t)|Ω| ≤
|g(t)|22 +
|un |22
2 dt
2λ1,µ
2
d
1
⇒ |un |22 + 2 un 2µ + 2C1 |un |pp ≤ 2k1 (t)|Ω| +
|g(t)|22 + λ1,µ |un |22
dt
λ1,µ
1
≤ 2k1 (t)|Ω| +
|g(t)|22 + un 2µ
λ1,µ
⇒

d
|un |22 + un
dt

2
µ

+ 2C1 |un |pp ≤ 2k1 (t)|Ω| +
21

1
|g(t)|22 .
λ1,µ

(2.2)


Nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞). Thật vậy, từ (2.2), ta suy
ra
d
|un |22 + un
dt
mà λ1,µ |un |22 ≤ ||un

2
µ

2
µ

≤ 2k1 (t)|Ω| +

1
|g(t)|22 ,

λ1,µ

nên ta có

d
1
1
|un |22 + λ1,µ |un |22 ≤ 2k1 (t)|Ω| +
|g(t)|22 ≤ 2 k1 L∞ (R) |Ω| +
|g(t)|22
dt
λ1,µ
λ1,µ
1
d
|g(t)|22 .
⇒ |un |22 ≤ −λ1,µ |un |22 + 2 k1 L∞ (R) |Ω| +
dt
λ1,µ
Theo bổ đề Gronwall, |un |22 bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân
tương ứng

d
dt

|un |22 = −λ1,µ |un |22 + 2 k1

|un (t)|22 ≤ |un (τ )|22 .e−λ1,µ (t−τ ) +

2 k1

L∞ (R) |Ω|

L∞ (R)

λ1,µ

+

1
λ1,µ

|g(t)|22 :

e−λ1,µ t
|Ω| +
λ1,µ

t

eλ1,µ s |g(s)|22 ds.
−∞

Từ đây suy ra nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞).
Lấy tích phân hai vế (2.2) trên [τ, t], τ < t ≤ T , ta có
t

t

d

|un |22 ds +
dt
τ

t

un 2µ ds + 2C1
τ

τ

t

≤2

|un |pp ds

t

k1 (s)|Ω|ds +

1
λ1,µ

|g(s)|22 ds

τ

τ
t

t

⇒ |un (t)|22 − |un (τ )|22 +

un 2µ ds + 2C1
τ

τ

t

≤2

t

k1 (s)|Ω|ds +

1
λ1,µ

τ

|g(s)|22 ds
τ

t

⇒

|un (t)|22

t

un 2µ ds

+

|un |pp ds

+ 2C1

τ

τ
t

t

≤

|un |pp ds

|un (τ )|22

1
k1 (s)|Ω|ds +
λ1,µ

+2

τ

|g(s)|22 ds
τ

22


T

t

1
k1 (s)|Ω|ds +
λ1,µ

τ

|g(s)|22 ds < C0 .

(2.3)

τ

Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy ra
{un } bị chặn trong L∞ (τ, T ; L2 (Ω)),
{un } bị chặn trong L2 (τ, T ; Hµ (Ω)),
{un } bị chặn trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)).
Do điều kiện (F):

f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2
nên nếu u ≥ M > 0, thì
f (u, t) ≤ C2 |u|p−1 +

k2 (t)
k2 (t)
≤ C2 |u|p−1 +
≤ C(|u|p−1 + 1)
u
M

⇒ f (un , t) ≤ C(|un |p−1 + 1)
|f (un , t)|p dx ≤ C

⇒
Ω

Ω

(|un |p−1 + 1) p−1 dx
Ω

|f (un , t)|p dx ≤ C

⇒

p

(|un |p−1 + 1)p dx = C

Ω

(|un |p + 1)
Ω

⇒ |f (un , t)|pp ≤ C

(|un |p + 1)
Ω
T

T

|f (un , t)|pp ≤ C

⇒
τ

(|un |p + 1)
τ

Ω

⇒ {f (un , t)} bị chặn trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)) và do đó
f (un , t)

η trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)).

Do đó, ta có
23

un
f (un , t)
Aun

u trong L2 (τ, T ; Hµ (Ω)),
η trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)),
Au trong L2 (τ, T ; Hµ−1 (Ω)).

Bằng cách viết lại:
d
un = −Aun − f (un , t) + g(t, x),
dt
ta thấy

dun
dt

(2.4)

bị chặn trong X ∗ , nên suy ra cũng bị chặn trong Lp (τ, T ; Hµ−1 (Ω)+

Lp (Ω)).
Chú ý rằng
Hµ (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω) ⊂ Hµ−1 (Ω) + Lp (Ω)
nên áp dụng bổ đề compact hóa [11], ta có thể giả sử rằng un → u (hội tụ
mạnh) trong L2 τ, T ; L2 (Ω) . Do đó un → u hầu khắp nơi trong Ω × [τ, T ].
Vì f liên tục nên suy ra f (un , t) → f (u, t) hầu khắp nơi trong Ω × [τ, T ].
Mặt khác f (un , t)

η trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)), nên theo bổ đề 1.3 trong [18,

Chương 1], ta có
f (un , t)

f (u, t) trong Lp (τ, T ; Lp (Ω)).

Do đó từ (2.4) ta có
u = −Au − f (u, t) + g trong X ∗ .
Từ bổ đề 2.2.1, ta có u ∈ C([τ, T ]; L2 (Ω)).
Bây giờ ta chứng minh rằng u (τ ) = uτ .
Chọn hàm thử ϕ ∈ C 1 ([τ, T ] ; Hµ (Ω) ∩ Lp (Ω)) với ϕ (T ) = 0, và lấy tích
phân theo t, ta có
T

((u (T ) , ϕ (T )) − (u (τ ) , ϕ (τ ))) −

(u, ϕ ) dt
τ

24