Tải Toán logic là gì? Hệ thống toán logic

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tốn logic là gì?</b>

Tốn logic là một lĩnh vực của toán học khám phá các ứng dụng của logic hình thức
vào tốn học. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với siêu dữ liệu, nền tảng của tốn học và
khoa học máy tính lý thuyết. Các chủ đề thống nhất trong logic toán học bao gồm
nghiên cứu về sức mạnh biểu cảm của các hệ thống chính thức và sức mạnh suy diễn
của các hệ thống chứng minh chính thức.

Logic tốn học thường được chia thành các lĩnh vực của lý thuyết tập hợp, lý thuyết
mơ hình, lý thuyết đệ quy và lý thuyết chứng minh. Những lĩnh vực này chia sẻ kết
quả cơ bản về logic, đặc biệt là logic thứ nhất và tính xác định.

Kể từ khi ra đời, tốn logic vừa góp phần, vừa được thúc đẩy bởi việc nghiên cứu nền
tảng của toán học. Nghiên cứu này bắt đầu vào cuối thế kỷ 19 với sự phát triển của
các khung tiên đề cho hình học, số học và phân tích. Vào đầu thế kỷ 20 nó được hình
thành bởi David Hilbert ‘s chương trình để chứng minh sự phù hợp của các lý thuyết
căn bản. Kết quả của Kurt Gödel, Gerhard Gentzenvà những người khác đã cung cấp
giải pháp một phần cho chương trình và làm rõ các vấn đề liên quan đến việc chứng
minh tính nhất quán. Làm việc trong lý thuyết tập hợp cho thấy hầu hết tất cả các toán
học thơng thường đều có thể được chính thức hóa theo các tập hợp, mặc dù có một số
định lý khơng thể được chứng minh trong các hệ tiên đề chung cho lý thuyết tập hợp.
Công việc đương đại trong các nền tảng của toán học thường tập trung vào việc thiết
lập phần nào của tốn học có thể được chính thức hóa trong các hệ thống chính thức
cụ thể (như trong tốn học ngược) thay vì cố gắng tìm ra các lý thuyết trong đó tất cả
tốn học có thể được phát triển.

<b>Hệ thống toán logic</b>

Toán logic liên quan đến các khái niệm toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các
hệ thống logic chính thức. Các hệ thống này, mặc dù chúng khác nhau về nhiều chi
tiết, chia sẻ thuộc tính chung là chỉ xem xét các biểu thức trong một ngơn ngữ chính

thức cố định. Các hệ thống logic mệnh đề và logic thứ nhất được nghiên cứu rộng rãi
nhất hiện nay, bởi vì khả năng ứng dụng của chúng vào nền tảng của toán học và vì
các đặc tính lý thuyết chứng minh mong muốn của chúng. Các logic cổ điển mạnh
hơn như logic bậc hai hoặc logic vô định cũng được nghiên cứu, cùng với các logic
phi phân loại như logic trực giác.

<b>Logic thứ nhất</b>

Logic thứ nhất là một hệ thống logic chính thức đặc biệt. Cú pháp của nó chỉ liên
quan đến các biểu thức hữu hạn như các cơng thức được hình thành tốt , trong khi ngữ
nghĩa của nó được đặc trưng bởi sự giới hạn của tất cả các bộ lượng hóa đối với một
miền diễn ngơn cố định.

<b>Logic cổ điển khác</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Logic phương thức bao gồm các toán tử phương thức bổ sung, chẳng hạn như tốn tử
nói rằng một công thức cụ thể không chỉ đúng mà cịn nhất thiết đúng. Mặc dù logic
phương thức khơng thường được sử dụng để tiên đề tốn học, nhưng nó đã được sử
dụng để nghiên cứu các tính chất của chứng minh bậc nhất (Solovay 1976) và lý
thuyết tập hợp (Hamkins và Löwe 2007).

Logic trực giác được Heyting phát triển để nghiên cứu chương trình trực giác của
Brouwer, trong đó bản thân Brouwer tránh chính thức hóa. Logic trực giác đặc biệt
không bao gồm luật trung gian bị loại trừ, trong đó tuyên bố rằng mỗi câu là đúng
hoặc phủ định của nó là đúng. Cơng trình của Kleene với lý thuyết bằng chứng về
logic trực giác cho thấy thông tin mang tính xây dựng có thể được phục hồi từ các
bằng chứng trực giác. Ví dụ, bất kỳ hàm tổng có thể chứng minh nào trong số học trực
giác đều có thể tính tốn được; điều này khơng đúng trong các lý thuyết cổ điển về số
học như số học Peano.

<b>Logic đại số</b>

Logic đại số sử dụng các phương pháp của đại số trừu tượng để nghiên cứu ngữ nghĩa
của logic học chính thức. Một ví dụ cơ bản là việc sử dụng đại số Boolean để biểu
diễn các giá trị chân lý trong logic mệnh đề cổ điển và sử dụng đại số Heyting để biểu
diễn các giá trị chân lý trong logic mệnh đề trực giác. Logic mạnh hơn, chẳng hạn như
logic thứ nhất và logic bậc cao hơn, được nghiên cứu bằng cách sử dụng các cấu trúc
đại số phức tạp hơn như đại số hình trụ.

ốn logic đã được áp dụng thành cơng khơng chỉ cho tốn học và nền tảng của nó mà
cịn đến vật lý, đến sinh học, đến tâm lý học, theo luật pháp và đạo đức, đến kinh tế
học, cho những câu hỏi thực tế và thậm chí là siêu hình học. Các ứng dụng của nó vào
lịch sử logic đã được chứng minh là vô cùng hiệu quả.

</div>

<!--links-->