Về ước lượng metric Bergman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TỐNG VĂN QUÁN

VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC BERGMAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TỐNG VĂN QUÁN

VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC BERGMAN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Ninh Văn Thu

Hà Nội - Năm 2017

1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Danh mục ký hiệu

3

Mở đầu

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm điều hòa, đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Nhân Bergman, metric Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Nhân Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Metric Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Các tính chất của metric Bergman . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5

Hàm peak chỉnh hỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6

Hàm peak đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.7

Miền giả lồi, giả lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Dáng điệu ở biên của metric Bergman

21

2.1

Dáng điệu ở biên của metric Bergman . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Một số ước lượng L2 cho toán tử ∂ . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Chứng minh Định lý 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4

Chứng minh cho Định lý 2.1.1, 2.1.3

. . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5

Ví dụ và nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34


2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của TS. Ninh Văn Thu. Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt q trình làm luận văn.
Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới q thầy cơ Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng
như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, đã có cơng lao
dạy dỗ tơi trong suốt q trình học tập tại Nhà trường.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Tống Văn Quán


3

Danh mục ký hiệu
KΩ (Z)

Nhân Bergman

BΩ (z, X) Metric Bergman
ρ

Hàm peak đa điều hịa dưới

L2 (Ω)

Tập các hàm bình phương khả tích trên Ω

·

Chuẩn L2

H 2 (Ω)

Khơng gian con các hàm chỉnh hình trong L2 (Ω)

gΩ (z, w)

Hàm Green đa cực

H(Ω)

Tập các hàm điều hòa trên Ω

SH(Ω)

Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω

P H(Ω)

Tập các hàm đa điều hòa trên Ω

P SH(Ω)

Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω
∂ 2u
:= nj,k=1
(a)Xj X k là dạng Levi
∂zj ∂z k

Lu(a; X)
D

:= B1 = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị


4

Mở đầu
Cho Ω là một miền bị chặn trong Cn , ký hiệu KΩ (z) là nhân Bergman trên
Ω. Metric Bergman được xác định bởi
n

BΩ (z, X) =
j·k=1
n

trong đó X =

∂ 2 log KΩ (z)
Xj X k
∂zj ∂z k

1/2

Xj ∂/∂zj ∈ T 1,0 (Cn ). Gần đây, người ta chỉ ra rằng metric

j=1

Bergman của một miền siêu lồi bị chặn tùy ý là đầy đủ. Điều này trả lời một
phần nhưng thỏa đáng về bài toán cổ điển của Kobayashi: Miền giả lồi bị chặn
nào là Bergman đầy đủ? Vấn đề này đã được nghiên cứu rộng rãi. Tuy nhiên,
tính Bergman đầy đủ không đảm bảo rằng metric Bergman dần đều vô cực khi
z dần tới biên.
Một hàm ρ được gọi là hàm peak đa điều hòa dưới tại một điểm biên w0 của
một miền Ω nếu ρ là đa điều hòa dưới trong Ω, liên tục trên Ω với ρ(w0 ) = 0
và ρ(z) < 0 với mọi z ∈ Ω\{w0 }. Một cách tự nhiên, ta hỏi xem liệu metric
Bergman của một miền giả lồi bị chặn có dần đều đến vô cực tại một điểm
biên nếu tồn tại hàm peak đa điều hòa dưới tại điểm này. Nội dung chính của
luận văn này là đưa ra kết quả riêng như sau:
Cho Ω là một miền giả lồi bị chặn trong Cn và cho w0 ∈ ∂Ω. Giả sử tồn
tại một hàm peak đa điều hòa dưới ρ trong Ω tại w0 mà liên tục Holder tại
w0 , nghĩa là, tồn tại hằng số c, γ > 0 sao cho ρ(z) ≥ −c|z − w0 |γ đúng với mọi
z ∈ Ω. Khi đó, ta có
BΩ (z; X)
→∞
|X|
0=X∈T 1,0 (Cn )
inf

khi z → w0 trong Ω.
Kết quả trên được trình bày trong bài báo “Boundary behavior of the
Bergman metric” của B.-Y. Chen trên tạp chí Nagoya Math. J., Vol. 168, pp.

5

27–40 [4], khẳng định metric Bergman của một miền giả lồi bị chặn dần đều
đến vô cực tại một điểm biên nếu tồn tại hàm peak đa điều hòa dưới tại điểm
này. Luận văn “Về ước lượng metric Bergman” trình bày lại kết quả trong bài
báo của B.-Y. Chen.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình bày
các khái niệm cơ bản trong giải tích phức bao gồm các định nghĩa và một số ví
dụ về hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hòa, hàm đa điều hòa,
nhân Bergman, metric Bergman, các tính chất của metric Bergman, hàm peak
chỉnh hình, hàm peak đa điều hòa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt.
Chương 2. Dáng điệu ở biên của metric Bergman. Chương này được
giành để trình bày kết quả về dáng điệu ở biên của metric Bergman cùng với
kết quả về một số ước lượng L2 cho toán tử ∂.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu khá phức tạp và
kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn có thể vẫn cịn nhiều khiếm
khuyết. Trong quá trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn cũng như xử lý văn bản
chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.


6

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích

phức bao gồm các định nghĩa và một số ví dụ về hàm chỉnh hình, hàm song
chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa, nhân Bergman, metric Bergman,
các tính chất của metric Bergman, hàm peak chỉnh hình, hàm peak đa điều
hịa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt. Kiến thức của Chương 1 được tham khảo
từ các tài liệu [1, 2, 3].

1.1

Hàm chỉnh hình

Giả sử Ω là một miền của mặt phẳng phức C và f là hàm biến phức z = x+iy
xác định trong Ω.
Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Hàm f được gọi là C-khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn
tại giới hạn
f (z0 ) := lim
h→0
h=0

f (z0 + h) − f (z0 )
.
h

Trong trường hợp này, ta nói rằng f có đạo hàm theo biến phức tại điểm z0 .
Xét vi phân
df =

∂f
∂f
dx +
dy.

∂x
∂y

(1.1)

Đối với các hàm z = x + iy và z = x − iy, ta có
dz = dx + idy,
và do đó

1
dx = (dz + dz),
2

dz = dx − idy

dy =

1
(dz − dz).
2i

(1.2)


7

Thế (1.2) vào (1.1), chúng ta thu được hệ thức
df =

1 ∂f

∂f
1 ∂f
∂f
−i
dz +
+i
dz.
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y

Bằng cách đặt
∂f
1 ∂f
∂f
=
−i
,
∂z
2 ∂x
∂y

∂f
1 ∂f
∂f
=
+i
∂z
2 ∂x

∂y

(1.3)

ta thu được
∂f
∂f ∂f
=
+
,
∂x
∂z
∂z

∂f
∂f
∂f
=i
−
∂y
∂z
∂z

và ta có thể viết biểu thức vi phân (1.1) dưới dạng
df =

∂f
∂f
dz +
dz.

∂z
∂z

(1.4)

Định lý 1.1.2 ([1]). Hàm f là C-khả vi tại một điểm nào đó khi và chỉ khi nó
là R2 -khả vi tại điểm đó và

∂f
= 0.
∂z

Định nghĩa 1.1.3 ([1]). Giả sử D là một miền của mặt phẳng phức C.
(i) Hàm f : D → C được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là C-khả
vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 .
(ii) Hàm f : D → C được gọi là hàm chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh
hình tại mọi điểm của miền ấy. Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền
D được ký hiệu là O(D).
(iii) Hàm f (z) chỉnh hình tại điểm vơ cùng nếu hàm ϕ(z) = f

1
z

chỉnh hình

tại điểm z = 0.
Ví dụ 1.1.4.

• Hàm f (z) = z là chỉnh hình trong tập mở bất kỳ trong C,

và f (z) = 1.
• Hàm đa thức bất kỳ p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình trong tồn
bộ mặt phẳng phức và
p (z) = a1 + · · · + nan z n−1 .


8

Ví dụ 1.1.5. Hàm f (z) = z khơng chỉnh hình. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 ) h
=
h
h
khơng có giới hạn khi h → 0 vì nếu cho h dần tới 0 theo trục thực và cho h
dần tới 0 theo trục ảo ta thu được hai giá trị khác nhau.
Định lý 1.1.6 ([1]). Nếu f và g là chỉnh hình trong Ω thì:
(i) f + g là chỉnh hình trong Ω và (f + g) = f + g .
(ii) f g là chỉnh hình trong Ω và (f g) = f g + f g .
(iii) Nếu g(z0 ) = 0 thì f /g là chỉnh hình tại z0 và
f
g

(z0 ) =

f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 )
.
g 2 (z0 )

Ngoài ra, nếu f : Ω → U và g : U → C chỉnh hình thì quy tắc đạo hàm hàm
hợp đúng

(gf ) (z) = g (f (z))f (z)

với mọi z ∈ Ω.

Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω và Ω là các miền của mặt phẳng phức. Hàm f :
Ω → Ω được gọi là song chỉnh hình nếu nó là một song ánh chỉnh hình từ
Ω vào Ω . Tập hợp mọi hàm song chỉnh hình từ Ω vào Ω được ký hiệu bởi
O(Ω, Ω ).

1.2

Hàm điều hòa, đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.2.1 ([1]). Hàm thực u(x, y) đơn trị trong miền Ω ⊂ R2 được
gọi là hàm điều hịa trong miền Ω nếu trong miền Ω nó có các đạo hàm riêng
cấp hai liên tục và thỏa mãn phương trình
∆u :=

∂ 2u ∂ 2u
+
= 0.
∂x2 ∂y 2

(1.5)

Tập hợp các hàm điều hòa trên Ω được ký hiệu bởi H(Ω)
Ví dụ 1.2.2. Hàm f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) là hàm điều hòa trên R2 \{(0, 0)}.
Thật vậy, f (x, y) liên tục trên R2 \{(0, 0)}, có các đạo hàm riêng liên tục:
∂f
2x

,
= 2
∂x
x + y2

∂ 2f
2y 2 − 2x2
=
,
∂x2
(x2 + y 2 )2


9

∂ 2f
2x2 − 2y 2
=
∂y 2
(x2 + y 2 )2

∂f
2y
= 2
,
∂y
x + y2
và

∂ 2f ∂ 2f

+
= 0.
∂x2 ∂y 2

Vậy f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) là hàm điều hòa trong R2 \{(0, 0)}.
Định lý 1.2.3 ([1]). Mọi hàm chỉnh hình đều là hàm điều hịa.
Chứng minh. Thật vậy, ta có tốn tử Laplace
∆=

∂2
∂2
+
.
∂x2 ∂y 2

Áp dụng phép vi phân hình thức
∂
∂
∂
=
+ ,
∂x ∂z ∂z

∂
∂
∂
=i
−
∂y
∂z ∂z

ta thu được

∂2
, z = x + iy, z = x − iy.
∂z∂z
Do đó phương trình (1.5) có thể được viết dưới dạng
∆=4

∂2
= 0.
∂z∂z
Điều này đúng vì f chỉnh hình nên
được (1.6).

(1.6)

∂f
∂
= 0. Áp dụng phép vi phân
ta thu
∂z
∂z

Hệ quả 1.2.4 ([1]). Phần thực và phần ảo của các hàm chỉnh hình là điều
hịa.
Ví dụ 1.2.5. Tìm hàm điều hịa dạng
u = ϕ(x +

x2 + y 2 ).

Giải. Nếu hàm điều hòa dạng đã nêu tồn tại thì nó sẽ được tìm từ phương
trình Laplace. Ta đặt x +

x2 + y 2 = t, khi đó

ux = ϕ (t)tx = ϕ (t)

t
x2 + y 2

;


10

y2
t2
+
ϕ
(t)
;
x2 + y 2
( x2 + y 2 )3
y
uy = ϕ (t)ty = ϕ (t)
;
x2 + y 2
x2
y2

uyy = ϕ (t) 2
+ ϕ (t)
.
x + y2
( x2 + y 2 )3

uxx = ϕ (t)

Từ đó,
uxx + uyy
ϕ (t)

y 2 + t2
+ ϕ (t)
= ϕ (t) 2
x + y2

1
x2 + y 2

x2 + y 2 + x2 + y 2

y 2 + x2 + 2x

x2 + y 2
ϕ (t)[2

=0

+ ϕ (t) = 0

x2 + y 2 + 2x] + ϕ (t) = 0,
2ϕ(t)t + ϕ(t) = 0,
2ϕ (t) 1
+ = 0,
ϕ (t)
t

1
2 ln ϕ (t) + ln t = 2 ln C,
2
C
ϕ (t) = √ ,
2 t
√
ϕ(t) = C t + C1 .
Như vậy,
u(x, y) = C

x+

x2 + y 2 + C1 .

Định nghĩa 1.2.6 ([1]). Nếu các hàm điều hòa u(x, y) và v(x, y) thỏa mãn
các điều kiện Cauchy-Riemann, tức là
∂u
∂v
=
,
∂x ∂y

∂u
∂v
=− ,
∂y
∂x

thì hàm v(x, y) được gọi là hàm điều hòa liên hợp với u(x, y).
Định lý 1.2.7 ([1]). Để một hàm là chỉnh hình trong miền Ω điều kiện cần
và đủ là phần ảo của nó là hàm điều hịa liên hợp với phần thực của nó trong
miền Ω.


11

Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞)
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a ∈ R, tập
Xa = {x ∈ X : u(x) < a}
là mở trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục dưới trên X
nếu −v là nửa liên tục trên trên X.
Định nghĩa 1.2.9 ([3]). Cho Ω ⊂ C là tập mở. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) được
gọi là điều hòa dưới trong Ω nếu:
• u là nửa liên tục trên trong Ω,
• với mỗi miền S ⊂⊂ Ω và với mọi hàm h ∈ C(S) ∩ H(S), nếu u ≤ h trên
∂S thì u ≤ h trong S.
Tập các hàm điều hịa dưới trong Ω được ký hiệu là SH(Ω).
Định nghĩa 1.2.10 ([3]). Cho Ω là tập con mở trong Cn . Hàm u ∈ C 2 (Ω, R)
được gọi là đa điều hòa trên Ω nếu
∂ 2u
(z) = 0,

∂zj ∂z k

∀z ∈ Ω, ∀j, k = 1, . . . , n.

(1.7)

Tập các hàm đa điều hòa trong Ω được ký hiệu là P H(Ω).
Nhận xét 1.2.11.
(a) Nếu n = 1 thì P H(Ω) = H(Ω).
(b) P H(Ω) là một khơng gian vectơ.
(c) Điều kiện (1.7) tương đương với hệ phương trình sau ∀z ∈ Ω, j, k =
1, . . . , n
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
(z) =
(z),
(z) +
(z) = 0.
∂xj ∂yk
∂xk ∂yj
∂xj ∂xk
∂yj ∂yk
Định nghĩa 1.2.12 ([3]). Cho Ω ⊂ Cn là tập mở. Hàm u : Ω → [−∞, +∞)
được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu:
• u là nửa liên tục trên trên Ω,


12

• với mọi cặp điểm a ∈ Ω, b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới
hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈
Ω}.
Tập các hàm đa điều hòa dưới trong Ω được ký hiệu là P SH(Ω).
Ta có một số tính chất của hàm đa điều hòa dưới như sau.
Mệnh đề 1.2.13 ([3]). Cho u : Ω → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên. Khi
đó, u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với bất kỳ a ∈ Ω, X ∈ Cn , và r > 0 sao cho
a + rD · X ⊂ Ω, ta có
u(a) ≤

1
2π

2π

u(a + reiθ X)dθ.
0

1.3

Nhân Bergman, metric Bergman

1.3.1

Nhân Bergman

Cho M là một tập tùy ý, ký hiệu Abb(M, C) là tập tất các hàm giá trị phức
trên M . Ngồi ra, giả sử khơng gian con tuyến tính H ⊂ Abb(M, C) được trang
bị một tích vơ hương ·, ·

H

thơng thường, ký hiệu x

sao cho H trở thành một không gian Hilbert. Như

H

:=

x, x

H, x

∈ H.

Định nghĩa 1.3.1 ([2]). Hàm K : M × M → C được gọi là hàm nhân của H
nếu
(i) K(·, y) ∈ H,

y ∈ M.

(ii) f (y) = f, K(·, y)

f ∈ H, y ∈ M.

H,

Nhận xét 1.3.2 ([2]). Cho M, H xác định như bên trên và giả sử K là một

hàm nhân của H. Khi đó ta có các tính chất sau của K:
(i) 0 < K(y, y) = K(·, y)
(ii) K(x, y) = K(y, x),

2 ,
H

y ∈ M.

x, y ∈ M .

(iii) |K(x, y)|2 ≤ K(x, y)K(y, y),
(iv) |f (y)| ≤ f

H

K(y, y),

x, y ∈ M .

f ∈ H, y ∈ M.


13

Tính chất (ii) kéo theo nhân được xác định một cách duy nhất và tính chất
(iv) kéo theo tính liên tục của phiếm hàm H

f → f (y) ∈ C (y ∈ H).

Bổ đề 1.3.3 ([2]). Cho M và H như bên trên. Nếu ta giả sử rằng bất kỳ phiếm
hàm H

f → f (y) ∈ C, y ∈ M , liên tục thì H có một nhân (duy nhất) K.

Chứng minh. Sử dụng định lý biểu diễn Riesz.
Cho Ω là miền bị chặn trong Cn . Ký hiệu H 2 (Ω) là khơng gian các hàm
chỉnh hình L2 -khả tích trong Ω. Nói riêng, với f ∈ H 2 (Ω), hàm |f |2 là điều
hịa dưới và do đó với B(z, r) ⊂ Ω
|f (z)|2 ≤

1
λ(B(z, r))

Do đó
|f (z)| ≤

|f |2 dλ.
B(z,r)

cn
f
(dist(z, ∂Ω))2

(1.8)

và
sup |f | ≤ C(K, Ω) f , K

Ω,

K

trong đó f là chuẩn L2 của f . Từ đây suy ra tính L2 -hội tụ trong H 2 (Ω) kéo
theo tính hội tụ đều địa phương, và do đó H 2 (Ω) là khơng gian con đóng của
L2 (Ω).
Do vậy, H 2 (Ω) là một không gian Hilbert tách được với tích vơ hướng
f gdλ.

f, g =
Ω

Theo (1.8), với w ∈ Ω cố định, phiếm hàm
H 2 (Ω)

f → f (w) ∈ C

liên tục. Do đó, theo Bổ đề 1.3.3 tồn tại duy nhất một phần tử trong H 2 (Ω),
ký hiệu bởi KΩ (·, w), sao cho
f (w) = f, KΩ (·, w) ,
hay tương đương
f (w) =

f (z)KΩ (z, w)dλ(z),
Ω


14

với mọi f ∈ H 2 (Ω). Hàm

KΩ : Ω × Ω → C
được gọi là nhân Bergman của miền Ω.
Đặc biệt, với f = KΩ (·, z) ta thu được
KΩ (w, z) = KΩ (·, z), KΩ (·, w) = KΩ (z, w).
Cho nên KΩ (z, w) chỉnh hình theo z và khơng chỉnh hình theo w. Theo định
lý Hartogs, hàm KΩ (·,¯·) chỉnh hình và do đó KΩ ∈ C ∞ (Ω × Ω).
Nếu F : Ω → D là song chỉnh hình thì ánh xạ
H 2 (D)

f → f ◦ F Jac F ∈ H 2 (Ω)

là một đẳng cấu của không gian Hilbert và
f (F (w)) =

f ◦ F KD (·, F (w)) ◦ F | Jac F |2 dλ.

f KD (·, F (w))dλ =
D

Ω

Do vậy,
KΩ (z, w) = KD (F (z), F (w)) Jac F (z)Jac F (w).
Ví dụ 1.3.4. Trong đĩa đơn vị
f (0) =

1
πr2

(1.9)

ta có
f dλ,

f ∈ H 2 ( ), r < 1.

(0,r)

Cho nên,
f (0) =
tức là

1
π

f dλ,

1
.
π
ta sử dụng tự đẳng cấu của
z−w
Tw (z) =
,
1 − zw
K (·, 0) =

Với bất kỳ w ∈

sao cho Tw−1 = T−w và

Tw (z) =

1 − |w|2
.
(1 − zw)2

Khi đó, theo (1.9),
K (z, w) = K (z, T−w (0)) = K (Tw (z), 0)Tw (z)Tw (w) =

1
.
π(1 − zw)2


15

Tổng quát hơn, với hình cầu đơn vị B trong Cn , tương tự ta có
1
,
λn

KB (·, 0) =

trong đó λn = λ(B) = π n /n!. Với w ∈ B ta có thể dùng tự đẳng cấu của B
z,w
1+sw

Tw (z) =

− 1 w + sw z

,

1 − z, w

1 − |w|2 . Khi đó Tw−1 = T−w và

trong đó sw =

Jac Tw (z) =

(1 − |w|2 )(n+1)/2
.
(1 − z, w )n+1

Do đó,
KB (z, w) =

n!
1
Jac Tw (z)Jac Tw (w) = n
.
λn
π (1 − z, w )n+1

Nếu {φk } là một cơ sơ trực giao trong H 2 (Ω) thì
f=

f ∈ H 2 (Ω),

f, φk φk ,

k

và sự hội tụ cũng là sự hội tụ đều địa phương. Cho nên
KΩ (z, w) =

φk (z)φk (w)

KΩ (·, w), φk φk (z) =
k

k

và
|φk (z)|2 .

KΩ (z, z) =
k

Ví dụ 1.3.5. Với hình khuyên P = {r < |ζ| < 1} ta có với j, k ∈ Z
2π
j

ζ ,ζ

k

=

1

e

i(j−k)t

j+k+1

dt

0

ρ
r

dρ =



0,

j=k

π

j+1



(1 − r2j+2 ), j = k = −1

−2π log r,

j = k = −1.

Do đó {ζ j }j∈Z là một cơ sở trực giao và ta thu được


KP (z, w) =

1 
1
+
πzw 2 log(1/r)

j(zw)j
j∈Z

1 − r2j


.

(1.10)


16

Ta có thể thu được nhiều ví dụ khác từ cơng thức nhân:
KΩ1 ×Ω2 (z 1 , z 2 ), (w1 , w2 ) = KΩ1 (z 1 , w1 )KΩ2 (z 2 , w2 )
ở đây Ω1 ⊂ Cn và Ω2 ⊂ Cm .
Trên đường chéo ta có

KΩ (z, z) = KΩ (·, z)

2

= sup{|f (z)|2 : f ∈ H 2 (Ω), f ≤ 1}.

Ta suy ra log KΩ (z, z) là hàm đa điều hòa dưới trơn trong Ω. Ta sẽ chứng minh
sau đây rằng nó là hàm đa điều hòa dưới mạnh.
1.3.2

Metric Bergman

Ký hiệu BΩ2 là dạng Levi của log KΩ (z, z), tức là
∂2
log KΩ (z + ζX, z + ζX)
∂ζ∂ζ

BΩ2 (z; X) :=

n

=
j,k=1

∂ 2 (log KΩ (z, z))
Xj X k ,
∂zj ∂z k

ζ=0

z ∈ Ω, X ∈ Cn .

Định lý 1.3.6 ([5]). Ta có
BΩ (z; X) = √

1
sup{|fX (z)| : f ∈ H 2 (Ω), f ≤ 1, f (z) = 0},
KΩ (z, z)

trong đó

n

fX =
j=1

∂f
Xj .
∂zj

Chứng minh. Cố định z0 ∈ Ω, X ∈ Cn và đặt H := H 2 (Ω),
H := {f ∈ H : f (z0 ) = 0}
H := {f ∈ H : fX (z0 ) = 0}.

Khi đó H ⊂ H ⊂ H và trong cả hai trường hợp đối chiều là 1. Gọi φ0 , φ1 , . . .
là một cơ sở trực chuẩn trong H sao cho φ1 ∈ H và φk ∈ H với k ≥ 2. Do
kΩ =

2
p≥0 |φk | ,

ta có
−1

BΩ2 (·, X) =

−2

|φp |2
p

|φp,X |2 −
p

|φp |2
p

φp,X φp .
p


17

Do đó,
KΩ (z0 , z0 ) = |φ0 (z0 )|2 , BΩ2 (z0 , X) =

|φ1,X (z0 )|2
.
|φ0 (z0 )|2

Ta thu được bất đẳng thức ≤. Với bất đẳng thức ngược lại lấy f ∈ H với
f ≤ 1. Khi đó f, φ0 = 0 và
f, φp φp .

f=
p≥1

Do đó,
|fX (z0 )| = | f, φ1 φ1,X (z0 )| ≤ |φ1,X (z0 )|
suy ra điều phải chứng minh.
Từ đó suy ra BΩ (z; X) > 0 và cho nên log KΩ là đa điều hịa dưới mạnh.
Do đó nó tiềm nng l mt metric Kăahler v ta gi l metric Bergman. Độ dài
của một đường γ ∈ C 1 ([0, 1], Ω) trong metric này là
1

l(γ) =

BΩ (γ(t), γ (t))dt
0

và khoảng cách Bergman xác định bởi
1
distB
Ω (z, w) = inf{l(γ) : γ ∈ C ([0, 1], Ω), γ(0) = z, γ(1) = w}.

Nếu F : Ω → D là một song chỉnh hình thì
BΩ (z; X) = BD (F (z); F (z).X)
và
B
distB

Ω (z, w) = distD (F (z), F (w)),

tức là metric Bergman là bất biến song chỉnh hình.

1.4

Các tính chất của metric Bergman

Ta có một số tính chất của metric Bergman như sau.
Tính chất 1.4.1 ([2]).

(i) BΩ (z; λZ) = |λ|BΩ (z; X), z ∈ C, X ∈ Cn ,

(ii) BΩ (z; X1 + X2 ) ≤ BΩ (z; X1 ) + BΩ (z; X1 ), z ∈ Ω, X1 , X2 ∈ Cn ,


18

(iii) BΩ : Ω × Cn → R+ liên tục.
Đặt bΩ (z , z ) :=

BΩ (z , z ), z , z ∈ Ω; bΩ được gọi là giả khoảng cách

Bergman trên Ω.
(iv) bΩ liên tục trên Ω × Ω.
Metric Bergman là bất biến dưới các ánh xạ song chỉnh hình.
Định lý 1.4.2 ([2]). Nếu F : G → D là một ánh xạ song chỉnh hình giữa hai
miền G, D ⊂ Cn thì
(a) BD (F (z); F (z)X) = BG (z; X), z ∈ G, X ∈ Cn ,
(b) bD (F (z ), F (z )) = bB (z , z ), z , z ∈ G.

Ví dụ 1.4.3. Đặt
G1 := {z ∈ C2 : (49/50)|z1 |2/3 + |z2 |2 < 1},
G2 := {z ∈ C2 : (49/50)|z1 |2/5 + (1/49)|z2 |2 < 1}.
G1 , G2 là các miền Reinhardt. Bởi vì
2/5

2/3

49(1 − (49/50)x1 ) ≥ 1 − (49/50)x1

nếu 0 ≤ x1 ≤ (50/49)3/2 ,

ta suy ra G1 ⊂ G2 .
Mặt khác, ta có
G1 = F1 (D3 ) với F1 (z1 , z2 ) = ((50/49)3/2 z1 , z2 )
G2 = F2 (D5 ) với F2 (z1 , z2 ) = ((50/49)5/2 z1 , 7z2 ).
Nên ta thu được
7
2
(0; X) = (49/50)3 |X1 |2 + 5|X2 |2 ,
BG
1
2
11
2
BG
(0;
X)
=
(49/50)3 |X1 |2 + 5|X2 |2 .

2
3
Nói riêng,
BG1 (0; (1, 0)) =

7 49
2 50

3

<

11 49
3 50

5

= BG2 (0; (1, 0)).


19

Mệnh đề 1.4.4 ([2]). Ta có
BΩ1 ×Ω2 ((z1 , z2 ); (X1 , X2 )) =
trong đó zj ∈ Ωj ⊂ Cnj

BΩ1 (z1 ; X1 ) + BΩ2 (z2 ; X2 ),

Xj .

Định lý 1.4.5 ([2]). Giả sử Ω là miền trong Cn có tính chất KΩ (z, z) > 0, z ∈
Ω. Khi đó,
BΩ (z; X) =

1
KΩ (z, z)

sup{|f (z)X| : f ∈ L2h (Ω), f

L2 (Ω)

= 1, f (z) = 0},

z ∈ Ω, X ∈ Cn .
Hệ quả 1.4.6 ([2]). Cho Ω như trong Định lý 1.4.5, z ∈ Ω. Khi đó BΩ (z; ·)
xác định dương khi và chỉ khi với bất kỳ X ∈ Cn , X = 0, tồn tại f ∈ L2h (Ω) với
f (z)X = 0.

1.5

Hàm peak chỉnh hỉnh

Cho Ω là một miền trong Cn có biên trơn (tức là, biên C ∞ ). Nếu 0 ≤ α ≤ ∞
ta ký hiệu Aα (Ω) là khơng gian các hàm chỉnh hình trên Ω và thuộc lớp C α
trên Ω. Ta ký hiệu A(Ω) thay cho A0 (Ω), ký hiệu Aw (Ω) là không gian các
hàm chỉnh hình trong một lân cận của Ω. Ta nói rằng điểm p ∈ ∂Ω là một
điểm peak liên kết với Ω của Aα (Ω) nếu tồn tại một hàm f ∈ Aα (Ω) sao cho
f (p) = 1 và |f | < 1 trên Ω\{p}. Ta gọi f là hàm peak.

1.6

Hàm peak đa điều hòa dưới

Nhắc lại rằng một hàm ρ được gọi là hàm peak đa điều hòa dưới tại một
điểm biên w0 của một miền Ω nếu ρ là đa điều hòa dưới trong Ω, liên tục trên
Ω với ρ(w0 ) = 0 và ρ(z) < 0 với mọi z ∈ Ω\{w0 }.

1.7

Miền giả lồi, giả lồi chặt

Định nghĩa 1.7.1. Miền Ω ⊂ Cn với biên trên lớp C 2 được gọi là giả lồi tại
p ∈ ∂Ω nếu tồn tại hàm xác định biên ρ, tức là Ω ∩ U = {ρ < 0} với U là một


20

lân cận của p, sao cho
n

Lρ (p)(w) =
i,j=1

với mọi w ∈ Cn thỏa mãn

n

j=1

∂ 2 ρ(p)

wi w j ≥ 0
∂zi ∂z j

∂ρ(p)
wj = 0.
∂zj

Ví dụ 1.7.2. Cho miền Ω = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2m < 1}, trong đó
m ∈ N∗ . Dễ thấy miền Ω là một miền giả lồi. Thật vậy, gọi ρ = |z1 |2 + |z2 |2m −
1 = z1 z 1 + z2m z m
2 − 1 là hàm xác định biên của Ω. Bằng tính tốn đơn giản ta
có
∂ρ
∂ 2ρ
= z1,
= 1,
∂z1
∂z1 ∂z 1
∂ρ
∂ 2ρ
m−1 m
= m(z2 z 2 ),
= m2 |z2 |2(m−1) .
∂z2
∂z2 ∂z 2
Khi đó ma trận của dạng Levi tại (z1 , z2 ) ∈ ∂Ω có dạng
1
0
.
2

0 m |z2 |2(m−1)

(1.11)

Do ma trận (1.11) xác định không âm nên Ω là miền giả lồi.
Định nghĩa 1.7.3. Miền Ω ⊂ Cn được gọi là giả lồi chặt tại p ∈ ∂Ω nếu Ω giả
lồi tại p và nếu tồn tại hàm xác định biên ρ, tức là Ω ∩ U = {ρ < 0} với U là
một lân cận của p, sao cho
n

Lρ (p)(w) =
i,j=1

∂ 2 ρ(p)
wi wj > 0
∂zi ∂z j

với mọi w ∈ Cn \{0} thỏa mãn
n

j=1

∂ρ(p)
wj = 0.
∂zj

Ví dụ 1.7.4. Cho Bn = {z ∈ Cn : |z1 |2 + |z2 |2 + · · · + |zn |2 < 1}. Khi đó, Bn
là một miền giả lồi chặt.

21

Chương 2
Dáng điệu ở biên của metric
Bergman
Chương này được giành để trình bày kết quả trong [4] về dáng điệu ở biên
của metric Bergman cùng với kết quả về một số ước lượng L2 cho toán tử ∂.

2.1

Dáng điệu ở biên của metric Bergman

Định lý 2.1.1 ([4]). Cho Ω là một miền giả lồi bị chặn trong Cn và cho
w0 ∈ ∂Ω. Giả sử tồn tại một hàm peak đa điều hòa dưới ρ trong Ω tại w0 liên
tục Holder tại w0 , nghĩa là, tồn tại hằng số c, γ > 0 sao cho ρ(z) ≥ −c|z − w0 |γ
đúng với mọi z ∈ Ω. Khi đó, ta có
inf

0=X∈T 1,0 (Cn )

BΩ (z; X)/|X| → ∞

(2.1)

khi z → w0 trong Ω.
◦

Hệ quả 2.1.2 ([4]). Cho Ω là một miền bị chặn trong C với Ω = Ω. Khi đó,
metric Bergman khơng thể mở rộng được ra ngồi Ω.
Nhân Bergman và metric Bergman của Ω\A có thể được mở rộng thông

qua A nếu A là một đa tạp con giải tích phức có số chiều ≤ n − 1. Đối với bất
◦

kỳ miền giả lồi Ω bị chặn trong Cn với Ω = Ω, P. Flug đã chứng minh rằng
nhân Bergman không thể mở rộng được qua bất kỳ điểm biên nào. Tuy nhiên,
hiện tượng này không luôn xảy ra đối với metric Bergman trong trường hợp
n ≥ 2. Ví dụ, tam giác Hartogs Ω = {(z1 , z2 ) ∈ C 2 : |z1 | < |z2 | < 1} thỏa mãn
◦

Ω = Ω; tuy nhiên, người ta vẫn biết rằng metric Bergman có thể thác triển


22

qua gốc tọa độ. Thật thú vị để tìm đủ điều kiện cho metric Bergman không
mở rộng được qua biên.
Khi hàm peak đa điều hòa dưới trong Định lý 2.1.1 đáp ứng điều kiện về
độ đo nào đó, người ta thậm chí có thể ước lượng metric Bergman
Định lý 2.1.3 ([4]). Cho Ω là một miền giả lồi bị chặn trong Cn . Giả sử tồn
tại hằng số dương c, α, γ sao cho với mỗi p ∈ ∂Ω, tồn tại hàm peak đa điều hòa
dưới ρp trên Ω tại p thỏa mãn
|z − p|α ≤ −ρp (z) ≤ c|z − p|γ
với mọi z ∈ Ω. Khi đó, tồn tại một số τ > 0 và một hằng số C > 0 sao cho
τ
BΩ (z; X) ≥ C|X|/δΩ
(z),
τ (z) là khoảng cách từ z đến biên ∂Ω.
trong đó δΩ

Chú ý.

(i) Các giả thiết được thỏa mãn đối với các miền giả lồi với biên giải tích
thực hoặc tổng quát hơn là các miền giả lồi thuộc kiểu hữu hạn trong Cn .
Trong cả hai trường hợp, một đánh giá như vậy được tìm ra bởi Diederich
và cộng sự và McNeal;
(ii) Chúng ta sẽ khơng xác định chính xác số mũ τ .
Các miền trong Định lý 2.1.1 hoặc 2.1.3 là khá chung chung. Trong phần
cuối cùng, chúng tơi trình bày một số ví dụ về miền giả lồi khơng trơn mà trên
đó giả thiết của Định lý 2.1.1 hoặc 2.1.3 được thỏa mãn. Phương trình xác định
là |z1 |2/α1 + |z2 |2/α2 + . . . + |zn |2/αn + ϕ(z) < 0 trong đó αj > 0, j = 1, 2, . . . , n
và ϕ là hàm Holder đa điều hòa dưới liên tục trong Cn .
Trong chứng minh tính đầy đủ theo metric Bergman đối với các miền siêu
lồi, dáng điệu ở biên của hàm Green đa cực đóng một vai trị quan trọng. Được
thúc đẩy bởi thực tế này, chúng ta sẽ chứng minh rằng (2.1) cũng đúng dưới
một giả thiết được đặc trưng bởi hàm Green đa cực.
Coman giới thiệu kết quả sau đây:


23

Định nghĩa 2.1.4. Chúng ta nói rằng Ω có tính chất (P ) tại w0 ∈ ∂Ω nếu
với mỗi tập compact K ⊂ Ω\{w0 } ta có gΩ (z, w) → 0 khi w → w0 , hội tụ đều
theo z ∈ K ∩ Ω.
Chen [4] chứng minh
Định lý 2.1.5 ([4]). Cho Ω là một miền giả lồi bị chặn trong Cn và cho
w0 ∈ ∂Ω. Giả sử rằng Ω có tính chất (P ) tại w0 . Khi đó, (2.1) đúng.
Lớp miền này bao gồm các trường hợp sau:
(1) w0 là điểm peak yếu địa phương trên Ω, tức là tồn tại một lân cận U của
w0 và một ánh xạ chỉnh hình h : Ω∩U → ∆, trong đó ∆ là đơn vị đĩa trong
mặt phẳng phức, sao cho limz→w0 |h(z)| = 1 và lim supz→q |h(z)| < 1, với
mọi q ∈ ∂Ω, q = w0 ;

(2) gΩ đối xứng, nghĩa là gΩ (z, w) = gΩ (w, z) với mọi z, w ∈ Ω (trường hợp
này liên quan đến tất cả các miền bị chặn trong C, miền lồi và các miền
thuần nhất trong Cn [8] ), và tồn tại một hàm peak đa điều hòa dưới ρ
trên Ω tại w0 ;
(3) Tồn tại một hàm peak đa điều hòa dưới ρ trên Ω tại w0 sao cho
(i) ρ là Holder liên tục tại w0 ;
(ii)
Nρ (r) : = max

log |ρ(z)|
: z ∈ Ω, r ≤ |z − w0 | ≤ 1/2
log |z − w0 |

= O(log log (1/r))

khi r → 0.

Các chứng minh của các định lý được dựa trên các ước lượng L2 của toán tử ∂
được giới thiệu lần đầu tiên bởi Donnelly-Fefferman và sau đó được tổng quát
hóa bởi Diederich-Ohsawa và Berndtsson. Chứng minh định lý chính được lấy
cảm hứng từ một bài báo của Diederich-Ohsawa.

2.2

Một số ước lượng L2 cho toán tử ∂

Trong phần này, chúng ta nhớ lại một số công cụ ước lượng L2 mạnh cho
∂-phương trình. Kết quả tuyệt vời sau đây là của Donnelly-Fefferman: