Về ước lượng metric Kobayashi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN QUANG

VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN QUANG

VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Ninh Văn Thu

Hà Nội - Năm 2017

1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Danh mục ký hiệu

3

Lời nói đầu

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm điều hòa, đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Miền giả lồi, giả lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Hàm Green, Green đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Kiểu hữu hạn, vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6

Miền C-lồi, C-lồi hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

Metric Kobayashi, khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. So sánh hàm Green thực với hàm Green phức và ước
lượng chặt của khoảng cách Kobayashi

19

2.1

Ký hiệu và các đại lượng bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Tỉ số của hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Cận trên của hàm Lempert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Ước lượng dưới của khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . .

24

2.5

Chứng minh của Định lý 2.2.1, 2.2.2 và 2.2.3 . . . . . . . . . . .

27

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Ninh Văn Thu. Nhân dịp này,
tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và chân thành nhất tới thầy. Thầy
đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ tơi hồn
thành luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cơ trong khoa Tốn Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên về những kiến thức, những
điều tốt đẹp mà tôi đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tơi
cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà trường đã tạo điều
kiện cho tơi hồn thành các thủ tục trong học tập và bảo vệ luận văn này.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn
bè. Những người luôn bên cạnh động viên ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh
thần trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của q thầy, cơ và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyên Văn Quang


3

Danh mục ký hiệu
GD (z, w)

Hàm Green tại cực w ∈ D

gD (z, w)

Hàm Green đa cực tại cực w ∈ D

SH− (D)

Tập các hàm điều hòa dưới trên D

P SH− (D) Tập các hàm đa điều hòa dưới trên D
δD (z)

Khoảng cách từ z tới biên D

lD (z, w)

Hàm Lempert

κD (z; X)

Metric Kobayashi-Royden

kD (z, w)

Khoảng cách Kobayashi

O(E, G)

Tập các ánh xạ song chỉnh hình từ E vào G


4

Lời nói đầu
Trong tốn học và đặc biệt trong hình học phức, metric Kobayashi là một giả
metric liên quan tới đa tạp phức. Nó được giới thiệu bởi Shoshichi Kobayashi
vào năm 1967. Đa tạp hyperbolíc là một lớp quan trọng của đa tạp phức, xác
định bởi tính chất rằng giả metric Kobayashi là một metric.
Các khái niệm ban đầu của metric Kobayashi nằm trong bổ đề Schwarz
trong giải tích phức. Cụ thể, nếu f là một hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị mở
D trong tập số phức C sao cho f (0) = 0 và |f (z)| < 1 với mọi z thuộc D thì

đạo hàm f (0) có giá trị tuyệt đối lớn nhất bằng 1. Tổng quát hơn, với ánh
xạ chỉnh hình f bất kỳ từ D vào chính nó (khơng nhất thiết gửi 0 vào 0), tồn
tại một cận trên phức tạp hơn của đạo hàm của f tại điểm bất kỳ trong D.
Tuy nhiên, cận này có cơng thức đơn giản trong metric Poincare, một metric
Riemann đầy đủ trên D với độ cong bằng −1.
Điều này là khởi đầu cho sự liên hệ giữa giải tích phức và hình học với độ
cong âm. Với bất kỳ không gian phức X, giả metric Kobayashi kX được định
nghĩa là giả metric lớn nhất trên X sao cho
kX (f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y),
với mọi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa đơn vị D lên X, trong đó ρ(x, y) ký hiệu
khoảng cách trong metric Poincare trên D. Theo một nghĩa nào đó, cơng thức
này tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho tất các các khơng gian phức. Một khơng
gian phức X được gọi là hyperbolíc nếu giả metric Kobayashi kX là một metric,
có nghĩa là kX (x, y) > 0 với mọi x = y trong X.
Lý thuyết về khoảng cách Kobayashi càng ngày càng trở nên thú vị khi có
nhiều ví dụ về đa tạp hyperbolíc được tìm ra cùng với các tính chất giải tích,
tính chất tơpơ, ước lượng đánh giá của giả khoảng cách Kobayashi và ánh xạ
chỉnh hình. Các kết quả trong những trường hợp ngoại lệ như trên các đa tạp


5

Banach giải tích, những khối cầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, những ánh
xạ song chỉnh hình giữa một vài dạng của những miền khơng giả lồi với biên
giải tích thực.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày khái niệm giả khoảng cách Kobayashi
và trình bày một số kết quả về ước lượng chặt của khoảng cách Kobayashi dựa
trên bài báo “Comparison of the real and the complex Green functions, and
sharp estimates of the Kobayashi distance” của N. Nikolov và P.J. Thomas
đăng trên arXiv: 1608.06615v1 năm 2016.

Cụ thể, ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn
gồm hai chương.
Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị”. Trong chương này ta trình bày một số kiến
thức về hàm chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa dưới, hàm Green, hàm
Green đa cực, miền C-lồi, C-lồi hóa được, giả khoảng cách Kobayashi, metric
Kobayashi.
Chương 2: “So sánh hàm Green thực với hàm Green phức và ước lượng chặt
của khoảng cách Kobayashi”. Trong chương này chúng tơi trình bày về tỉ số so
sánh giữa hàm Green thực với hàm Green phức, sau đó chúng tơi trình bày ước
lượng cận trên của hàm Lempert và ước lượng dưới của khoảng cách Kobayashi
Vì trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sót,
tơi hy vọng sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ các thầy cơ giáo và bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.


6

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày một kiến thức chuẩn bị bao gồm các định nghĩa và
một số ví dụ về hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hòa, hàm đa
điều hòa dưới, hàm Green, hàm Green đa cực, miền C-lồi, C-lồi hóa được, giả
khoảng cách Kobayashi, metric Kobayashi.

1.1

Hàm chỉnh hình

Giả sử D là một miền của mặt phẳng phức C và f là hàm biến phức
z = x + iy xác định trong D.

Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Hàm f được gọi là C-khả vi tại điểm z0 ∈ D nếu tồn
tại giới hạn
lim
h→0
h=0

f (z0 + h) − f (z0 )
.
h

Trong trường hợp này, ta nói rằng f có đạo hàm theo biến phức tại điểm z0 và
df
ký hiệu là f (z0 ) hay
(z0 ):
dz
f (z0 ) =

df
f (z0 + h) − f (z0 )
(z0 ) = lim
.
dz
h
h→0

Xét vi phân
df =

∂f
∂f

dx +
dy.
∂x
∂y

Đối với các hàm z = x + iy và z = x − iy, ta có
dz = dx + idy,

dz = dx − idy

(1.1)


7

và do đó, chúng ta thu được
1
dx = (dz + dz),
2

dy =

1
(dz − dz).
2i

(1.2)

Thế (1.2) vào (1.1), ta thu được hệ thức
df =

1 ∂f
∂f
1 ∂f
∂f
−i
dz +
+i
dz.
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y

Bằng cách đặt
∂f
1 ∂f
∂f
=
−i
,
∂z
2 ∂x
∂y

∂f
1 ∂f
∂f
=
+i

∂z
2 ∂x
∂y

(1.3)

ta thu được
∂f
∂f ∂f
=
+
,
∂x
∂z
∂z

∂f
∂f
∂f
=i
−
∂y
∂z
∂z

(1.4)

và ta có thể viết biểu thức vi phân (1.1) dưới dạng
df =

∂f
∂f
dz +
dz.
∂z
∂z

(1.5)

Định lý 1.1.2 ([1]). Hàm f là C-khả vi tại một điểm nào đó khi và chỉ khi nó
là R2 -khả vi tại điểm đó và

∂f
= 0.
∂z

Định nghĩa 1.1.3 ([1]). Giả sử D là một miền của mặt phẳng phức C.
(i) Hàm f : D → C được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là C-khả
vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 .
(ii) Hàm f : D → C được gọi là hàm chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh
hình tại mọi điểm của miền ấy. Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền
D được ký hiệu là O(D).
(iii) Hàm f (z) chỉnh hình tại điểm vơ cùng nếu hàm ϕ(z) = f

1
z

chỉnh hình

tại điểm z = 0.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử D, E là các miền của mặt phẳng phức. Hàm f :
E → D được gọi là song chỉnh hình nếu nó là một song ánh chỉnh hình từ E
vào D. Tập hợp các hàm song chỉnh hình từ E vào D được ký hiệu là O(E, D).
Ví dụ 1.1.5. Một số hàm chỉnh hình sơ cấp là


8

• hàm đa thức P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an ,
• hàm w = z n và z =

√
n

w, n ∈ N,

• hàm ez ,
• hàm lơgarit,
• hàm lũy thừa z α , α ∈ R,
• hàm lượng giác sin z, cos z, tan z, cot z.
Định lý 1.1.6 ([1]). Nếu f và g chỉnh hình trong D thì:
(i) f + g chỉnh hình trong D và (f + g) = f + g .
(ii) f g chỉnh hình trong D và (f g) = f g + f g .
(iii) Nếu g(z0 ) = 0 thì f /g chỉnh hình tại z0 và
f
g

(z0 ) =

f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 )

.
g 2 (z0 )

Định lý 1.1.7 ([1]). Nếu f (w) là hàm chỉnh hình trong miền E ⊂ C và nếu
g : D → E là hàm chỉnh hình trong miền D ⊂ C thì hàm hợp f [g(z)] chỉnh
hình trong D.
Chứng minh. Thật vậy, dễ thấy rằng
∂f ∂g ∂f ∂g
∂[f (g)]
=
·
+
· .
∂z
∂w ∂z ∂w ∂z
Theo giả thiết
D.

1.2

∂f
∂g
= 0,
= 0, ta suy ra f [g(z)] là hàm chỉnh hình trong
∂w
∂z

Hàm điều hịa, đa điều hịa dưới

Lớp hàm thực liên quan một cách chặt chẽ với các hàm chỉnh hình là lớp

các hàm điều hịa.


9

Định nghĩa 1.2.1 ([1]). Hàm thực u(x, y) đơn trị trong miền D ⊂ R2 được
gọi là hàm điều hòa trong miền D nếu trong miền D nó có các đạo hàm riêng
cấp hai liên tục và thỏa mãn phương trình
∂ 2u ∂ 2u
∆u := 2 + 2 = 0.
∂x
∂y

(1.6)

Lớp các hàm điều hòa trên D được ký hiệu là H(D).
Ví dụ 1.2.2. Hàm f (x, y) = x2 − y 2 là hàm điều hịa trong R2 vì nó có các
đạo hàm riêng liên tục:
∂f
∂ 2f
= 2x, 2 = 2,
∂x
∂x
và
∆f =

∂f
∂ 2f
= −2y, 2 = −2
∂y

∂y

∂ 2f ∂ 2f
+
= 2 − 2 = 0.
∂x2 ∂y 2

Ví dụ 1.2.3. Hàm f (x, y) = ex sin y là hàm điều hịa trong R2 vì nó có các
đạo hàm riêng liên tục thỏa mãn
∂ 2f
∂ 2f
∂f
∂f
x
x
= ex sin y,
=
e
cos
y,
=
e
sin
y,
= −ex sin y.
∂x
∂x2
∂y
∂y 2
Từ đó, chúng ta thu được

∂ 2f ∂ 2f
+ 2 = ex sin y − ex sin y = 0.
2
∂x
∂y
Phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.6) được gọi là phương trình Laplace
và tốn tử vi phân
∂2
∂2
∆= 2+ 2
∂x
∂y
được gọi là toán tử Laplace. Bằng cách áp dụng phép vi phân hình thức (1.4)
dễ dàng thấy rằng
∆=4

∂2
,
∂z∂z

z = x + iy, z = x − iy.

Do đó, phương trình (1.6) có thể được viết dưới dạng
∂2
= 0.
∂z∂z

(1.7)

10

Định lý 1.2.4 ([1]). Mọi hàm chỉnh hình đều là hàm điều hịa.
Chứng minh. Thật vậy, mọi hàm chỉnh hình f đều khả vi vô hạn lần và theo
Định lý 1.1.2, ta có
∂f
= 0.
∂z
∂ 2f
= 0.
Do đó, ∆f =
∂z∂z
Định nghĩa 1.2.5 ([1]). Nếu các hàm điều hòa u(x, y) và v(x, y) thỏa mãn
các điều kiện Cauchy-Riemann, tức là
∂u
∂v
=
,
∂x ∂y

∂u
∂v
=− ,
∂y
∂x

thì hàm v(x, y) được gọi là hàm điều hịa liên hợp với u(x, y).
Định lý 1.2.6 ([1]). Để một hàm là chỉnh hình trong miền D điều kiện cần
và đủ là phần ảo của nó là hàm điều hịa liên hợp với phần thực của nó trong
miền D.

Định nghĩa 1.2.7. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞)
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a ∈ R, tập
Xa = {x ∈ X : u(x) < a}
là mở trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục dưới trên X
nếu −v là nửa liên tục trên trên X.
Định nghĩa 1.2.8 ([3]). Cho D ⊂ C là tập mở. Hàm u : D → [−∞, +∞)
được gọi là điều hịa dưới trong D nếu:
• u là nửa liên tục trên trong D,
• với mỗi miền S ⊂⊂ D và với mọi hàm h ∈ C(S) ∩ H(S), nếu u ≤ h trên
∂S thì u ≤ h trong S.
Tập các hàm điều hòa dưới trong D được ký hiệu là SH(D).
Định nghĩa 1.2.9 ([3]). Cho D là tập con mở trong Cn . Hàm u ∈ C 2 (D, R)
được gọi là đa điều hòa trên D nếu
∂ 2u
(z) = 0,
∂zj ∂z k

∀z ∈ D, ∀j, k = 1, . . . , n.

Tập các hàm đa điều hòa trong D được ký hiệu là P H(D).

(1.8)


11

Nhận xét 1.2.10. (a) Nếu n = 1, thì P H(D) = H(D).
(b) P H(D) là một không gian vectơ.
(c) Điều kiện (1.8) tương đương với hệ phương trình sau
∂ 2u

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
(z) =
(z),
(z) +
(z) = 0, z ∈ D, j, k = 1, . . . , n.
∂xj ∂yk
∂xk ∂yj
∂xj ∂xk
∂yj ∂yk
Định nghĩa 1.2.11 ([3]). Cho D ⊂ Cn là tập mở. Hàm u : D → [−∞, +∞)
được gọi là đa điều hịa dưới trên D nếu:
• u là nửa liên tục trên trên D,
• với mọi cặp điểm a ∈ D, b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới
hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈
D}.
Tập các hàm đa điều hòa dưới trong D được ký hiệu là P SH(D).
Ví dụ 1.2.12. Hàm u = x2 + y 2 là hàm đa điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.2.13 ([3]). Tính đa điều hịa dưới có tính chất địa phương, tức là
một hàm u : D → [−∞, +∞) là đa điều hòa dưới trong D khi và chỉ khi mọi
điểm a ∈ D nhận một lân cận mở Ua ⊂ D sao cho u|Ua ∈ P SH(Ua ).
Mệnh đề 1.2.14 ([3]). Cho u : D → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên. Khi đó,
u ∈ P SH(D) khi và chỉ khi với bất kỳ a ∈ D, X ∈ Cn , và r > 0 sao cho
a + rD · X ⊂ D, ta có
1
u(a) ≤
2π

1.3

2π

u(a + reiθ X)dθ.
0

Miền giả lồi, giả lồi chặt

Định nghĩa 1.3.1. Miền G ⊂ Cn với biên trên lớp C 2 được gọi là giả lồi tại
p ∈ ∂G nếu tồn tại hàm xác định biên ρ, tức là G ∩ U = {ρ < 0} với U là một
lân cận của p, sao cho
n

Lρ (p)(w) =
i,j=1

∂ 2 ρ(p)
wi w j ≥ 0
∂zi ∂z j


12

với mọi w ∈ Cn thỏa mãn

n

j=1

∂ρ(p)

wj = 0.
∂zj

Ví dụ 1.3.2. Cho miền D = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2m < 1}, trong đó
m ∈ N∗ . Dễ thấy miền D là một miền giả lồi. Thật vậy, gọi ρ = |z1 |2 + |z2 |2m −
1 = z1 z 1 + z2m z m
2 − 1 là hàm xác định biên của D. Bằng tính tốn đơn giản ta
có
∂ρ
∂ 2ρ
= z1,
= 1,
∂z1
∂z1 ∂z 1
∂ρ
∂ 2ρ
= m(z2m−1 z m
= m2 |z2 |2(m−1) .
),
2
∂z2
∂z2 ∂z 2
Khi đó, ma trận của dạng Levi tại (z1 , z2 ) ∈ ∂D có dạng
1
0
.
2
0 m |z2 |2(m−1)

(1.9)

Do ma trận (1.9) xác định không âm nên D là miền giả lồi.
Định nghĩa 1.3.3. Miền G ⊂ Cn được gọi là giả lồi chặt tại p ∈ ∂G nếu G
giả lồi tại p và nếu tồn tại hàm xác định biên ρ, tức là G ∩ U = {ρ < 0} với U
là một lân cận của p, sao cho
n

Lρ (p)(w) =
i,j=1

∂ 2 ρ(p)
wi wj > 0
∂zi ∂z j

với mọi w ∈ Cn \{0} thỏa mãn
n

j=1

∂ρ(p)
wj = 0.
∂zj

Ví dụ 1.3.4. Cho Bn = {z ∈ Cn : |z1 |2 + |z2 |2 + · · · + |zn |2 < 1}. Khi đó, Bn
là một miền giả lồi chặt.

1.4

Hàm Green, Green đa cực

Hai loại hàm Green có thể được định nghĩa trên miền D ⊂ Cn ∼
= R2n , n ≥ 2:
loại thông thường liên quan tới hàm điều hòa (hoặc điều hòa dưới) khi D được
coi là miền con trong R2n , và hàm Green đa cực liên quan tới hàm đa điều hòa
dưới.


13

Định nghĩa 1.4.1 ([4]). Hàm Green thông thường tại cực w ∈ D ⊂ Rm ,
m ≥ 3, ký hiệu bởi GD , được xác định bởi
GD (z, w) = sup{u(z) : u ∈ SH− (D), u = | · −w|−m+2 + O(1)}.
Định nghĩa 1.4.2 ([4]). Hàm Green đa cực tại cực w trong D ⊂ Cn , n ≥ 2,
ký hiệu bởi gD , được xác định bởi
gD (z, w) = sup{u(z) : u ∈ P SH− (D), u = log | · −w|−m+2 + O(1)}.
Ở đây SH− (D) và P SH− (D) lần lượt ký hiệu hàm điều hòa dưới và hàm
đa điều hòa dưới trên D.
Chú ý rằng với n = 1 bài toán cực trị thứ hai cũng sinh ra hàm Green thông
thường của Laplacian trên R2 .
Dáng điệu tương ứng của hai hàm này được so sánh bởi M. Carlehed và
B.-Y. Chen. Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết quả mở rộng của
họ cho lớp miền rộng hơn và đưa ra một số ước lượng cải tiến cho nhiều bất
biến chỉnh hình như khoảng cách Kobayashi trong lớp miền đó được trình bày
trong bài báo [4].

1.5

Kiểu hữu hạn, vô hạn

Định nghĩa 1.5.1. Một điểm p ∈ ∂D được gọi là điểm tụ quỹ đạo nếu tồn tại

dãy {fj } ⊂ Aut(D) và tồn tại q ∈ D sao cho fj (q) → p khi j → ∞.
Định nghĩa 1.5.2. Cho D ⊂ Cn là một miền trơn C ∞ và điểm p ∈ ∂D. Khi
đó, kiểu D’Angelo τ của ∂D tại p được định nghĩa như sau:
τ (∂D, p) := sup
γ

ν(ρ ◦ γ)
,
ν(γ)

(1.10)

trong đó ρ là một hàm xác định biên cho D trong một lân cận của p, supremum
được lấy trên tất cả các đường cong chỉnh hình khác hằng γ : (C, 0) → (Cn , p).
Ta nói rằng p là điểm hữu hạn nếu τ (∂D, p) < ∞ và điểm vơ hạn nếu ngược
lại.
Ví dụ 1.5.3. Cho D1,m = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z2 |2 + |z1 |2m < 1}. Ta có thể chứng
minh được rằng τ (∂D1,m , (1, 0)) = 2m. Vì vậy, D1,m có biên kiểu hữu hạn tại
p = (1, 0).


14
−1

Ví dụ 1.5.4. Cho D1,∞ = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + e |z2 |2 < 1}. Dễ thấy,
τ (∂D1,∞ , (1, 0)) = +∞. Vì vậy, D1,∞ có biên kiểu vơ hạn tại p = (1, 0).

1.6

Miền C-lồi, C-lồi hóa

Định nghĩa 1.6.1. Một miền D được gọi là C-lồi nếu bất kỳ giao khác rỗng
của D với một đường thẳng phức là liên thông và đơn liên.
Trong trường hợp D bị chặn và C 1 -trơn, D là C-lồi khi và chỉ khi nó lồi
tuyến tính, tức là, với bất kỳ z ∈
/ D, tồn tại siêu phẳng phức H qua z sao cho
D ∩ H = ∅.
Định nghĩa 1.6.2. Miền D được gọi là C-lồi hóa được nếu D là song chỉnh
hình với một miền C-lồi.
Định nghĩa 1.6.3. Miền D là C-lồi hóa được địa phương nếu với bất kỳ
a ∈ ∂D, tồn tại lân cận U của a và một phép nhúng chỉnh hình Φ : U → Cn
sao cho Φ(D ∩ U ) là miền C-lồi.

1.7

Metric Kobayashi, khoảng cách Kobayashi

Định nghĩa 1.7.1. Khoảng cách d trên tập X là một hàm
d:X ×X →R
(x, y) → d(x, y)
thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z thuộc X:
(i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) > 0 ∀x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x);
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Nếu d chỉ thỏa mãn (ii), (iii) và d(x, y) ≥ 0 thì d được gọi là giả khoảng
cách trên X.
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu tính chất hình học của khơng gian (G, dG ),
trong đó dG là một giả khoảng cách thích hợp trên G. Giả khoảng cách

15

Kobayashi là một lựa chọn hữu ích để nghiên cứu. Ta luôn giả sử rằng bất
kỳ hệ như trên là giảm chỉnh hình theo nghĩa rằng mọi ánh xạ chỉnh hình là
giảm chỉnh hình:
Định nghĩa 1.7.2 ([2]). Cho hai miền G ⊂ Cn , D ⊂ Cm . Ánh xạ chỉnh hình
F : G → D được gọi là giảm chỉnh hình từ (G, dG ) vào (D, dD ) nếu
dD (F (z ), F (z )) ≤ dG (z , z ),

z , z ∈ G.

Nói riêng, bất kỳ ánh xạ song chỉnh hình F : G → D là một đẳng cự giữa
(G, dG ) và (D, dD ).
Ký hiệu D là đĩa đơn vị mở trong C, dD là một giả khoảng cách trên D. Ký
hiệu O(Ω1 , Ω2 ) là không gian tất cả các ánh xạ chỉnh hình F : Ω1 → Ω2 .
Trước khi đưa định nghĩa chính thức của giả khoảng cách Kobayashi, ta có
nhận xét sau.
Nhận xét 1.7.3. Cho G là miền bất kỳ trong Cn và cố định hai điểm z0 , z0
trong G. Khi đó, tồn tại một đường cong α : [0, 1] → G nối các điểm z0 , z0 .
Sử dụng định lý xấp xỉ Weierstrass ta tìm ánh xạ đa thức P : [0, 1] → G
với P (0) = z0 và P (1) = z0 . Khi đó, dễ chọn được miền đơn liên D ⊂ C,
[0, 1] ⊂ D, sao cho P (λ) ∈ G với λ ∈ D. Theo nguyên lý ánh xạ Riemann ta
có thể kết luận rằng z0 , z0 nằm trên một đĩa giải tích ϕ : D → G với ϕ(0) = z0
và ϕ(σ) = z0 (0 ≤ σ < 1).
Cho z , z ∈ G, đặt
k˜G (z , z ) = inf{p(λ , λ ) : λ , λ ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, G), ϕ(λ ) = z , ϕ(λ ) = z }
¯ G), ϕ(0) = z , ϕ(λ ) = z },
= inf{p(0, λ ) : λ ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D,
∗
k˜G

= tanh k˜G ,

và ta gọi k˜G là hàm Lempert của G.
Nhận xét 1.7.4 ([2]). (a) k˜G : G × G → [0, ∞) là hàm đối xứng;
(b) (k˜G )G là họ giảm chỉnh hình, tức là nếu F ∈ O(G, D) thì k˜D (F (z ), F (z )) ≤
k˜G (z , z ), z , z ∈ G;
(c) đặt biệt, ta có k˜D (F (z ), F (z )) = k˜G (z , z ) nếu F : G → D là ánh xạ
song chỉnh hình;


16

(d) k˜D = p.
Tóm tắt lại, nếu có lớp (dG )G các hàm dG : G × G → [0, ∞) giảm chỉnh
hình với dD = p thì
dG ≤ k˜G .
Nhưng ở đây, nói chung hàm Lempert khơng phải một giả khoảng cách.
Ví dụ 1.7.5. Với v ∈ N định nghĩa miền Gv ⊂ C2 bởi
1
Gv := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |zj | < 1, j = 1, 2, |z1 z2 | < }.
v
Ngoài ra, cố định z := (1/2, 0) và z = (0, 1/2) và chú ý rằng các điểm này
đều nằm trong Gv . Do tính giảm chỉnh hình của hệ (k˜G ) ta dễ dàng thu được
1
k˜Gv (z , 0) + k˜Gv (0, z ) ≤ 2p(0, ) =: A.
2
Nếu ta giả sử có bất đẳng thức tam giác
k˜Gv (z , z ) ≤ k˜Gv (z , 0) + k˜Gv (0, z ),
thì ta có thể tìm được các ánh xạ chỉnh hình ϕv ∈ O(E, Gv ) sao cho
ϕv (0) = z , ϕv (σv ) = z với 0 < σv < 1, và p(0, σv ) < A + 1.

Áp dụng định lý Montel, ta có thể giả sử rằng
K

ϕv ⇒ ϕ, ϕ(0) = z , ϕ(σ) = z với σ = lim σv ∈ [0, 1).
v→∞

Viết ϕ = (g, h) và vì ϕv ∈ O(E, Gv ), ta suy ra
1
1
g ◦ h ≡ 0, g(0) = , và h(σ) = ,
2
2
mâu thuẫn. Do đó, với v đủ lớn thì bất đẳng thức tam giác không đúng với
hàm Lempert k˜G .
v

Nhận xét 1.7.6 ([2]). Tuy nhiên, trong trường hợp G ⊂ Cn là tập lồi, bất
đẳng thức tam giác luôn luôn đúng đối với hàm Lempert k˜G . Đây là hệ quả của
một kết quả rất sâu của L. Lempert, cụ thể k˜G = cG trên các miền G lồi. Ngồi
ra, ta cũng có thể chứng minh trực tiếp kết quả này.


17

Để vượt qua khó khăn về bất đẳng thức tam giác, ta chỉnh sửa hàm k˜G theo
cách mà hàm mới trở thành một giả khoảng cách.
Với z , z ∈ G, ta đặt
kG (z , z ) := inf






N

k˜G (zj−1 , zj ) : N ∈ N, z0 = z , z1 , . . . , zN −1 ∈ G, zN = z





j=1
∗
kG
:= tanh kG .

Hàm kG được gọi là giả khoảng cách Kobayashi của G.
Nhận xét 1.7.7 ([2]). Các tính chất sau đúng cho hệ (kG )G :
(a) kG là hàm non lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức tam giác và kG ≤ k˜G ;
(b) kG là một giả khoảng cách trên G;
(c) nếu F ∈ O(G, D) thì kD (F (z ), F (z )) ≤ kG (z , z ), tức là hệ (kG )G giảm
chỉnh hình;
(d) kD = k˜D = p.
(e) Thậm chí ta có: nếu (dG )G là hệ các giả khoảng cách dG : G × G → [0, ∞)
có tính chất (c) và (d) thì dG ≤ kG .
Ví dụ 1.7.8. Cho q là một nửa chuẩn trên Cn . Ký hiệu G = {z ∈ Cn : q(z) <
1} là q-hình cầu đơn vị mở. Với z ∈ G, ta khẳng định rằng các công thức sau
là đúng
kG (0, z) = k˜G (0, z) = p(0, q(z)).
Để chứng minh các đẳng thức này ta sử dụng công thức tương tự cho giả khoảng

cách Carathéodory. Từ đó, ta chỉ cần kiểm tra rằng k˜G (0, z) ≤ p(0, q(z)). Nếu
q(z) = 0, đặt ϕ(λ) := λz/q(z) ta thu được đĩa giải tích ϕ ∈ O(E, G) với
˜ z) ≤ p(0, q(z)). Trong trường
ϕ(0) = 0 và ϕ(q(z)) = z, điều này kéo theo k(0,
hợp q(z) = 0 ta xét họ các đĩa giải tích ϕt ∈ O(E, G), ϕt := λtz với t > 0,
ϕt (0) = 0 và ϕt (1/t) = z. Do đó ta thu được k˜G (0, z) ≤ p(0, 1/t) → 0 khi
t → ∞.
Ví dụ 1.7.9 ([2]). (a) kDn (0, z) = k˜Dn (0, z) = max{p(0, |zj |) : 1 ≤ j ≤ n},

,


18

(b) kBn (0, z) = k˜Bn (0, z) = p(0, z ), trong đó Bn = B(0, 1) ⊂ Cn là hình cầu
đơn vị trong Cn .
Hệ quả 1.7.10 ([2]). Hàm kG : G × G → [0, ∞) liên tục.
Chứng minh. Dựa theo bất đẳng thức tam giác ta chỉ cần chỉ ra kG (z0 , ·) :
G → R+ liên tục với z0 ∈ G cố định. Để thấy điều này, ta lấy w0 ∈ G và
w ∈ B(w0 , R) ⊂ G và đánh giá
|kG (z0 , w) − kG (z0 , w0 )| ≤ kG (w0 , w)
w − w0
)
R
R
nếu w − w0 < .
2

≤ kB (w0 , R)(w0 , w) = p(0,
≤ C w − w0

Ở đây ta đã sử dụng tính giảm chỉnh hình của giả khoảng cách Kobayashi qua
phép nhúng B(w0 , R) → G và Ví dụ 1.7.9.
Cho G là một miền trong Cn . Hàm ξG : G × Cn → [0, ∞) xác định bởi
ξG (z; X) := inf{γ(λ)|α| : ∃ϕ ∈ O(E, G), ∃λ ∈ E, ϕ(λ) = z, αϕ (λ) = X}
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi-Royden trên G.


19

Chương 2
So sánh hàm Green thực với hàm
Green phức và ước lượng chặt của
khoảng cách Kobayashi
Trong chương này chúng tôi trình bày về tỉ số so sánh giữa hàm Green thực
với hàm Green phức. Sau đó, chúng tơi trình bày các kết quả về ước lượng cận
trên của hàm Lempert cùng với một số kết quả về ước lượng dưới của khoảng
cách Kobayashi. Các kết quả trong Chương 2 chủ yếu được trích dẫn từ bài
báo [4].

2.1

Ký hiệu và các đại lượng bổ trợ

Ta sẽ sử dụng một cách có hệ thống các ký hiệu sau: A
tại một hằng số C > 0 sao cho A ≥ CB, A ≈ B nghĩa là A

B nghĩa là tồn
B và B

A, và

A ∼ B nghĩa là A/B → 1. Các hằng số phụ thuộc điều gì và giới hạn được lấy
theo nghĩa nào sẽ được làm rõ sau.
Hàm Green mà chúng ta khảo sát nhận giá trị âm, và khi ∂D đủ trơn, hàm
Green dần về 0 tại biên. Một hàm đa điều hịa dưới âm thơng thường là log |f |,
trong đó f là hàm chỉnh hình, bị chặn bởi 1, nên để cho đơn giản ta xét egD . Việc
khảo sát khoảng cách Poincare p trong đĩa đơn vị D, p(w, z) = tanh−1
giúp cho việc khảo sát tanh−1 egD thuận tiện hơn.
Quy ước: Cho hàm liên tục bất kỳ f : D → (−∞, 0), ta viết
f ∗ := ef . Do đó, f ∗ : D → (0, 1).

z−w
1−zw

,


20

1
1 + ef
Do f˜ := tanh−1 f ∗ = tanh−1 ef = log
, nên f˜ : D → (0, ∞). Ngược
f
2
1−e
˜
2
f

e −1
, và f = log f ∗ . Tính tốn thơng thường, ta nhận
lại, f ∗ = tanh f˜ = ˜
2
f
e +1
được bổ đề sau đây:
(i) Giả sử rằng f → 0− , hay tương đương f ∗ → 1− ,
hay tương đương f˜ → ∞. Khi đó, 1 − f ∗ ∼ −f, f˜ ∼ − 12 log(−f ), và
˜
f ∼ −2e−2f . Nói riêng, nếu f˜ = log t thì f ∼ − 22 .

Bổ đề 2.1.1 ([4]).

t

(ii) Giả sử f → −∞, hay tương đương f ∗ → 0+ , hay tương đương f˜ → 0+ .
Khi đó, f˜ ∼ f ∗ và f = log f˜ + O(1).

2.2

Tỉ số của hàm Green

Kết quả chính đầu tiên của luận văn là mở rộng cho trường hợp miền C-lồi
hóa được địa phương của một định lý chứng minh cho trường hợp miền lồi hóa
được địa phương [3, Định lý 1].
Định lý 2.2.1. Cho D ⊂ Cn là một miền bị chặn, C2m -trơn, C-lồi hóa được
địa phương kiểu 2m. Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho
gD (z, w)
≤ C|z − w|2(n−2m) ,

GD (z, w)

z, w ∈ D, z = w.

Với z ∈ D, đặt δD (z) := min{|z − w| : w ∈
/ D} (khoảng cách tới biên).
Bất kỳ miền C 1,1 -trơn D được gọi là đạt tới dương (positive reach), nếu tồn
tại δ0 > 0 sao cho với bất kỳ z ∈ D với δD (z) < δ0 , tồn tại duy nhất điểm
π(z) ∈ ∂D sao cho |z − π(z)| = δD (z).
Nhắc lại ước lượng sau của GD , khi D là miền bị chặn, C 1,1 -trơn trong Rn ,
n ≥ 3:
c1 GD (z, w) ≤ − min

1
δD (z)δD (w)
,
|z − w|n−2 |z − w|n

≤ c2 GD (z, w),

(2.1)

trong đó c1 , c2 > 0 là hằng số, và z, w ∈ D.
Chứng minh của Định lý 2.2.1 sẽ dựa trên bất đẳng thức thứ hai trong (2.1),
và ước lượng chính xác sau của hàm Green đa cực gD mà dễ bị hỏng trong cả
hai trường hợp cực trị: gD → 0 và gD → −∞.


21

Định lý 2.2.2. Cho D ⊂ Cn là một miền bị chặn, C 2m -trơn, C-lồi hóa được
địa phương kiểu 2m. Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho với bất kỳ z, w ∈ D,
g˜D (z, w) ≥ m log 1 + C

|z − w|
δD (z)1/2m

1+C

|z − w|
δD (w)1/2m

.

(2.2)

Chứng minh của Định lý 2.2.2 dựa trên các ước lượng địa phương tương
ứng, bao gồm các trường hợp trong đó hoặc cực điểm hoặc argument dần tới
điểm biên.
Định lý 2.2.3. Cho D ⊂ Cn là miền bị chặn, C 2m -trơn và C-lồi hóa được địa
phương gần điểm a ∈ ∂D kiểu 2m. Khi đó, tồn tại một lân cận U của a và
C > 0 sao cho
|z − w|
, z ∈ D, w ∈ D ∩ U,
δD (w)1/2m
|z − w|
g˜D (z, w) ≥ m log 1 + C
, z ∈ D ∩ U, w ∈ D.
δD (z)1/2m

g˜D (z, w) ≥ m log 1 + C

2.3

(2.3)
(2.4)

Cận trên của hàm Lempert

Ta sẽ sử dụng hàm giảm chỉnh hình địa phương khác, với ký hiệu đôi khi
khác với các ký hiệu thông thường trong [8], để cho thống nhất với ký hiệu bên
trong quy ước bên trên.
Cho D ⊂ Cn , và z, w ∈ D. Hàm Lempert được định nghĩa bởi
˜lD (z, w) := inf{p(ζ, ω) : ζ, ω ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(ζ) = z, ϕ(ω) = w}.
Theo quy ước bên trên, điều này có nghĩa
∗
(z, w) := inf
lD

ζ −ω
: ζ, ω ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(ζ) = z, ϕ(ω) = w ,
1 − ζω

∗ (z, w) ∈ (−∞, 0), là một đại lượng dễ so sáng với hàm
và lD (z, w) = log lD

Green.
(Giả ) metric Kobayashi-Royden áp dụng cho véctơ X ∈ Cn là
κD (z; X) := inf{λ > 0 : ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(0) = z, λϕ (0) = X}.

22

(Giả ) khoảng cách Kobayashi là giả khoảng cách lớn nhất được làm trội bởi
hàm Lempert. Nó cũng được xác định bởi
1

k˜D (z, w) := inf
γ

κD (γ(t); y (t))dt,
0

trong đó cận dưới đúng được lấy trên tất cả các đường cong C 1 -trơn γ : [0, 1] →
D với γ(0) = z và γ(1) = w. Khi đó, kD (z, w) = log tanh k˜D (z, w) .
Ta có
kD ≤ lD ,

gD ≤ lD .

(2.5)

Trong trường hợp lồi, định lý của Lempert khẳng định chúng đều là dấu bằng.
Điều này mở rộng cho miền bị chặn, C 2 -trơn và C-lồi. Khơng có bất đẳng thức
nào đúng trong tổng quát giữa k˜D và g˜D , và trong khi k˜D đối xứng theo đối số
của nó, g˜D khơng phải lúc nào cũng vậy, nhưng ta sẽ thấy rằng dưới giả thiết
của chúng ta, chúng có dáng điệu tương tự nhau.
Mệnh đề tiếp theo và (2.5) chỉ ra số mũ trong tất cả các định lý trên là tối
ưu.
Mệnh đề 2.3.1. Cho D ⊂ Cn là một miền mà C 2 -trơn và C-lồi gần điểm

a ∈ ∂D có kiểu 2m. Ký hiệu na là nửa đường pháp tuyến trong (inner normal
half-line) của ∂D tại a. Khi đó, tồn tại hàm τ : na → R+ , một véctơ X ∈
TaC ∂D, và C > 0 sao cho
|z − w|
w−z
= X} ≤ C
.
lim sup{˜lD (z, w) : |w − z| < τ (z),
|w − z|
δD (z)1/2m
na z→a
Chứng minh. Theo [14, Hệ quả 5 và Mệnh đề 8], tồn tại véctơ X ∈ TaC ∂D sao
cho κD (z; X) ≈ δD (z)−1/2m với z ∈ na gần a. Áp dụng [11, Mệnh đề 2], ta có
κD (z; X) ≥ lim sup
λ

0

˜lD (z, z + λX)
.
|λ|

Nên ta có kết quả sau về đặc trưng kiểu của một điểm.
Hệ quả 2.3.2. Cho D ⊂ Cn là một miền thỏa mãn C 2 -trơn và C-lồi hóa được

địa phương gần điểm a ∈ ∂D. Gọi hD (z, w) là một trong các hàm lD (z, w), kD (z, w), gD (z, w


23

và gD (w, z). Khi đó, a có kiểu nhiều nhất 2m khi và chỉ khi tồn tại lân cận U
của a và C > 0 sao cho
˜ D (z, w) ≥ C log 1 + C |z − w|
h
δD (z)1/2m

, z ∈ D ∩ U, w ∈ D.

(2.6)

Một câu hỏi tự nhiên là có thể tìm ra cận trên của hàm gD và kD không,
và thật ra, nhiều kết quả cho kD đã được đưa ra theo hướng này, xem [10]. Ví
dụ, để thu được ước lượng trên, sử dụng (2.5), ta chỉ cần tìm cận của ˜lD (z, w).
Mệnh đề 2.3.3. Cho D ⊂ Cn bị chặn, C 2 -trơn, C-lồi hóa được địa phương.
Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho
˜lD (z, w) ≤ log 1 + C

|z − w|
δD (z)1/2m δD (w)1/2m

, z, w ∈ D.

(2.7)

Chứng minh. Theo (2.9) (chứng minh bên dưới), với ε0 > 0 cho trước, (2.7)
được đúng với |z−w| ≥ ε0 . Nếu min(δD (w), δD (z)) ≥ ε0 thì ta cũng suy ra (2.7).
Theo tính đối xứng của hàm số, ta có thể giả sử rằng δD (z) ≤ δD (w) ≤ 2ε0 .
Với bất kỳ a ∈ ∂D, ta có thể chọn một lân cận bị chặn U0 của a sao cho
D ∩ U0 là C- lồi hóa được và C 2 -trơn (xem [13, Mệnh đề 3.3]), và phép chiếu
π lên ∂D hoàn toàn xác định trên U0 . Chọn các lân cận của a, U2

cho D ∩ U1

U1 , sao

D ∩ U0 , và ε1 > 0 sao cho z ∈ D ∩ U1 và δD (z) ≤ ε1 kéo theo

δD∩U0 (z) = δD (z). Ta có thể phủ ∂D bằng họ hữu hạn các U2 , chọn ε0 > 0 sao
cho với bất kỳ z, w thỏa mãn δD (z) ≤ δD (w) ≤ 2ε0 và |z − w| ≤ ε0 . Khi đó,
z ∈ U2 , w ∈ U1 (với a ∈ ∂D) và δD∩U0 (z) = δD (z), δD∩U0 (w) = δD (w).
Cho z, w như trên, ˜lD (z, w) ≤ ˜lD∩U0 (z, w). Khi đó, theo định lý Lempert,
˜lD∩U = k˜D∩U , và theo [10, Hệ quả 8], ta có
0
0
|z − w|
δD∩U0 (z)1/2 δD∩U0 (w)1/2
|z − w|
= log 1 + C
.
δD (z)1/2 δD (w)1/2

k˜D∩U0 (z, w) ≤ log 1 + C

Mệnh đề này kéo theo rằng thừa số m trong Định lý 2.2.2-2.4.2 là tốt nhất.
Mặt khác, các định lý chỉ ra rằng số mũ 1/2 trong Mệnh đề 2.3.3 là tốt nhất.
Theo (2.1), ta cũng có: