Tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập toán 11

MỤC LỤC
PHẦN I

Đại số - Giải tích

CHƯƠNG 1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác
1

Cơng thức lượng giác cần nắm
A

2

3

21
23
23

Tóm tắt lý thuyết

23

Hàm số lượng giác

26

A

Tóm tắt lý thuyết

26

B

Các dạng tốn thường gặp

29

Dạng 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

29

1

Bài tập vận dụng

30

2

Bài tập tự luyện

32

Dạng 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

33

1

Ví dụ

33

2

Bài tập áp dụng

34

3

Bài tập rèn luyện

38

Dạng 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

39

1

Ví dụ

40

2

Bài tập áp dụng

40

3

Bài tập rèn luyện

41

Phương trình lượng giác

41

A

Phương trình lượng giác cơ bản

41

1

Ví dụ

42

2

Bài tập áp dụng

42

1


2

MỤC LỤC

4

3

Bài tập rèn luyện

43

B

Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

44

Dạng 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết

44

1

Ví dụ

44

2

Bài tập áp dụng

46

3

Bài tập rèn luyện

51

Dạng 3.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng

52

1

Ví dụ

52

2

Bài tập áp dụng

53

3

Bài tập rèn luyện

56

Dạng 3.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

56

1

Ví dụ

57

2

Bài tập áp dụng

58

3

Bài tập rèn luyện

59

Dạng 3.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích

61

1

Ví dụ

61

2

Bài tập áp dụng

63

3

Bài tập rèn luyện

65

Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác

89

A

Tóm tắt lý thuyết

89

B

Dạng tốn và bài tập

89

1

Ví dụ

89

2

Bài tập vận dụng

92

3

Bài tập tự luyện

104


MỤC LỤC
5

6

7

8

9

3

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

108

A

Tóm tắt lý thuyết

108

B

Ví dụ và bài tập

109

1

Ví dụ

109

2

Bài tập áp dụng

114

3

Bài tập rèn luyện

119

Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

121

A

Tóm tắt lý thuyết

121

B

Ví dụ

122

C

Bài tập áp dụng

123

Phương trình lượng giác đối xứng

131

A

Tóm tắt lý thuyết

131

B

Ví dụ

131

C

Bài tập áp dụng

132

D

Bài tập rèn luyện

138

Một số phương trình lượng giác khác

139

A

Tóm tắt lý thuyết

139

B

Ví dụ

140

C

Bài tập áp dụng

141

D

Bài tập rèn luyện

145

Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

146

A

Tóm tắt lý thuyết

146

B

Ví dụ

147

C

Bài tập áp dụng

150


4

MỤC LỤC
D
10

Bài tập rèn luyện

Bài tập ôn cuối chương I

CHƯƠNG 2 Tổ hợp và xác suất
1

Các quy tắc đếm cơ bản

156

169
169

A

Tóm tắt lý thuyết

169

B

Dạng tốn và bài tập

170

1

Ví dụ

170

Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng

170

Dạng 1.2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân

171

Dạng 1.3. Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ

172

Bài tập áp dụng

172

1
2

155

Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

187

A

Tóm tắt lý thuyết

187

B

Ví dụ minh họa

189

C

Dạng tốn và bài tập

191

Dạng 2.1. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

191

1

Ví dụ

191

2

Bài tập áp dụng

194

3

Bài tập rèn luyện

197

Dạng 2.2. Các bài tốn sử dụng hốn vị

199

1

Ví dụ

199

2

Bài tập áp dụng

201

3

Bài tập rèn luyện

203


MỤC LỤC

3

5
Dạng 2.3. Các bài tốn sử dụng chỉnh hợp

204

1

Ví dụ

204

2

Bài tập áp dụng

206

3

Bài tập rèn luyện

208

Dạng 2.4. Các bài tốn sử dụng tổ hợp

209

1

Ví dụ

209

2

Bài tập áp dụng

211

3

Bài tập rèn luyện

213

Nhị thức Newton

215

A

Nhị thức Newton

215

B

Tam giác Pascal

216

C

Dạng toán và bài tập

216

Dạng 3.1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

216

1

Ví dụ minh họa

217

2

Bài tập áp dụng

219

3

Bài tập rèn luyện

221

Dạng 3.2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b)n

222

1

Ví dụ

223

2

Bài tập áp dụng

225

3

Bài tập rèn luyện

228

Dạng 3.3. Chứng minh hoặc tính tổng

232

1

Ví dụ

233

2

Bài tập áp dụng

235

3

Bài tập rèn luyện

236


6

MỤC LỤC
4

5

Biến cố và xác suất của biến cố

237

A

Phép thử

237

B

Biến cố

238

C

Xác suất

238

Dạng 4.1. Chọn hoặc sắp xếp đồ vật

241

D

Lí thuyết

241

E

Ví dụ

242

F

Bài tập rèn luyện

244

G

Bài tập tự luyện

247

Dạng 4.2. Chọn hoặc sắp xếp người

250

H

Lí thuyết

250

I

Ví dụ

251

J

Bài tập rèn luyện

253

K

Bài tập tự luyện

256

Dạng 4.3. Chọn hoặc sắp xếp số

262

L

Lí thuyết

262

M

Ví dụ

262

N

Bài tập rèn luyện

266

O

Bài tập tự luyện

269

Các quy tắc tính xác suất

277

A

Tóm tắt lý thuyết

277

1

Quy tắc cộng xác suất

277

2

Quy tắc nhân xác suất

280

B

Bài tập áp dụng

282


MỤC LỤC
6

7

Bài tập ôn chương 2

CHƯƠNG 3 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân
1

2

Phương pháp quy nạp tốn học

290

301
301

A

Tóm tắt lý thuyết

301

B

Dạng tốn và bài tập

301

Dạng 1.1. Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n

301

1

Ví dụ

301

2

Bài tập áp dụng

304

3

Bài tập rèn luyện

308

Dãy số

314

A

Tóm tắt lý thuyết

314

1

Định nghĩa

314

2

Cách cho một dãy số

314

3

Dãy số tăng, dãy số giảm

314

4

Dãy số bị chặn

315

B

Dạng toán và bài tập

315

Dạng 2.1. Tìm số hạng của dãy số cho trước

315

1

Ví dụ

315

2

Bài tập áp dụng

317

3

Bài tập rèn luyện

319

Dạng 2.2. Xét tính tăng, giảm của dãy số

321

1

Ví dụ

321

2

Bài tập áp dụng

322

3

Bài tập rèn luyện

324


8

MỤC LỤC

3

4

Dạng 2.3. Tính bị chặn của dãy số

327

1

Ví dụ

327

2

Bài tập áp dụng

328

3

Bài tập rèn luyện

330

Cấp số cộng
A

Tóm tắt lý thuyết

332

B

Dạng tốn và bài tập

333

1

Ví dụ

333

2

Bài tập áp dụng

336

Cấp số nhân

356

A

Tóm tắt lý thuyết

356

B

Dạng tốn và bài tập

357

1

Ví dụ

357

2

Bài tập áp dụng

359

3

Bài tập rèn luyện

363

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
1

332

Giới hạn của dãy số

367
367

A

Tóm tắt lí thuyết

367

1

Giới hạn của dãy số

367

2

Các định lý về giới hạn hữu hạn

367

3

Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn

367

4

Giới hạn vơ cực

368

B

Các dạng tốn

368

Dạng 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

368


MỤC LỤC

2

9
Dạng 1.2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức

371

Dạng 1.3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an

371

Dạng 1.4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ

377

Dạng 1.5. Giới hạn dãy số chứa căn thức

379

Giới hạn hàm số

389

A

Tóm tắt lý thuyết

389

1

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

389

2

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực

390

3

Giới hạn vơ cực của hàm số

391

B

Các dạng tốn

393

Dạng 2.1. Giới hạn của hàm số dạng vô định
Dạng 2.2. Giới hạn dạng vô định

0
0

∞
; ∞ − ∞; 0 · ∞
∞

Dạng 2.3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên.
3

Hàm số liên tục

393
410
414
421

A

Tóm tắt lí thuyết

421

1

Hàm số liên tục tại một điểm

421

2

Hàm số liên tục trên một khoảng

421

3

Một số định lí cơ bản

421

B

Các dạng tốn

422

Dạng 3.1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

422

Dạng 3.2. Hàm số liên tục trên một tập hợp

428

Dạng 3.3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn

431

Dạng 3.4. Chứng minh phương trình có nghiệm

434


10

MỤC LỤC
4

Đề Kiểm tra Chương IV
A

Đề số 1a

440

B

Đề số 1b

442

C

Đề số 2a

443

D

Đề số 2b

445

E

Đề số 3a

446

F

Đề số 3b

450

G

Đề số 4a

453

H

Đề số 4b

454

I

Đề số 5a

456

J

Đề số 5b

458

K

Đề số 6a

460

L

Đề số 6b

462

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM
1

440

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

465
465

A

Tóm tắt lí thuyết

465

1

Đạo hàm tại một điểm

465

2

Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

465

3

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

465

4

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

465

5

Đạo hàm trên một khoảng

466

6

Đạo hàm một bên

466

B

Các dạng tốn

466

Dạng 1.1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

466


MỤC LỤC

2

3

4

11
Dạng 1.2. Ý nghĩa của đạo hàm vào một số bài tốn

469

Dạng 1.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

470

Dạng 1.4. Mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm số

474

Quy tắc tính đạo hàm

476

A

Tóm tắt lí thuyết

476

1

Quy tắc tính đạo hàm

476

2

Các cơng thức

476

B

Ví dụ

476

C

Các dạng tốn

478

Dạng 2.1. Tính đạo hàm của hàm số chứa đa thức, chứa căn thức

478

Dạng 2.2. Một số ứng dụng của đạo hàm

483

Đạo hàm của các hàm số lượng giác

487

A

Tóm tắt lí thuyết

1

Giới hạn của

2

Đạo hàm của các hàm số lượng giác

487

B

Các dạng tốn

487

Dạng 3.1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác

487

Dạng 3.2. Chứng minh đẳng thức hoặc giải phương trình

494

Dạng 3.3. Tính giới hạn của hàm số có chứa biểu thức lượng giác

500

sin x
x

Đạo hàm cấp hai

487
487

506

A

Tóm tắt lý thuyết

506

B

Các dạng tốn

506

Dạng 4.1. Tính đạo hàm cấp hai - Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

506

Dạng 4.2. Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 2

510


12

MỤC LỤC
Dạng 4.3. Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp
5

Đề Kiểm tra Chương 5

518

A

Đề số 1a

518

B

Đề số 1b

519

C

Đề số 2a

521

D

Đề số 2b

522

E

Đề số 3a

524

F

Đề số 3b

525

PHẦN II

Hình học

CHƯƠNG 1 Phép biến hình
1

Mở đầu về phép biến hình
A

2

513

Tóm tắt lý thuyết

Phép tịnh tiến

529
531
531
531
531

A

Tóm tắt lý thuyết

531

B

Dạng toán và bài tập

532

Dạng 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

532

1

Ví dụ

532

2

Bài tập áp dụng

534

3

Bài tập rèn luyện

536

Dạng 2.2. Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

536

1

Ví dụ

537

2

Bài tập áp dụng

538

3

Bài tập rèn luyện

538


MỤC LỤC

3

4

5

13
Dạng 2.3. Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến

539

1

Ví dụ

539

2

Bài tập áp dụng

541

3

Bài tập rèn luyện

542

Phép đối xứng trục (Bài đọc thêm)

542

A

Định nghĩa

542

B

Biểu thức tọa độ

542

C

Tính chất

543

D

Trục đối xứng của một hình

543

Phép quay

543

A

Tóm tắt lý thuyết

543

B

Dạng tốn và bài tập

544

Dạng 4.1. Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay

544

1

Ví dụ

544

2

Bài tập áp dụng

545

3

Bài tập rèn luyện

545

Dạng 4.2. Tìm phương trình ảnh của một đường trịn qua phép quay

546

1

Ví dụ

546

2

Bài tập áp dụng

546

3

Bài tập rèn luyện

547

Phép đối xứng tâm
A

6

Tóm tắt lý thuyết

Phép vị tự và phép đồng dạng
A

Tóm tắt lý thuyết

552
552
552
552


14

MỤC LỤC
B

Dạng toán và bài tập

554

Dạng 6.1. Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy

554

1

Ví dụ

554

2

Bài tập áp dụng

556

CHƯƠNG 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

561
561

A

Tóm tắt lý thuyết

561

B

Dạng tốn và bài tập

563

Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

563

1

Ví dụ

563

2

Bài tập áp dụng

564

3

Bài tập tự luyện

566

Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α)

568

1

Ví dụ

568

2

Bài tập áp dụng

570

3

Bài tập rèn luyện

576

Dạng 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α).

580

1

Ví dụ

580

2

Bài tập áp dụng

581

3

Bài tập tự luyện

588

Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

591

1

Ví dụ

591

2

Bài tập áp dụng

593

3

Bài tập rèn luyện

600


MỤC LỤC

2

15
Dạng 1.5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

603

1

Ví dụ

603

2

Bài tập áp dụng

604

3

Bài tập rèn luyện

608

Hai đường thẳng song song.

608

A

Tóm tắt lý thuyết

608

B

Dạng tốn và bài tập

609

Dạng 2.1. Chứng minh hai đường thẳng song song.

609

1

Ví dụ

610

2

Bài tập áp dụng

611

3

Bài tập rèn luyện

612

Dạng 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.614

3

1

Ví dụ

614

2

Bài tập áp dụng

616

3

Bài tập rèn luyện

619

Đường thẳng song song với mặt phẳng

623

A

Tóm tắt lý thuyết

623

B

Dạng toán và bài tập

624

Dạng 3.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

624

Ví dụ

624

Dạng 3.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

625

Dạng 3.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng

626

Bài tập áp dụng

627

1

1


16

MỤC LỤC
4

5

Hai mặt phẳng song song
A

Tóm tắt lý thuyết

658

1

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

658

2

Các định lí

658

3

Ví dụ

660

B

Bài tập áp dụng

660

Bài tập ôn cuối chương 2

669

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VNG GĨC
1

658

Vectơ trong khơng gian

675
675

A

Tóm tắt lí thuyết

675

1

Các định nghĩa

675

2

Các quy tắc tính tốn với véctơ

675

3

Một số hệ thức véctơ trọng tâm, cần nhớ

676

4

Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ

676

5

Phân tích một véctơ theo ba véctơ khơng đồng phẳng

676

6

Tích vơ hướng của hai véctơ

676

B

Các dạng tốn

677

Dạng 1.1. Xác định véctơ và các khái niệm có liên quan

677

Dạng 1.2. Chứng minh đẳng thức véctơ

678

Dạng 1.3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

681

Dạng 1.4. Tích vơ hướng của hai véctơ

684

Dạng 1.5. Chứng minh ba véctơ đồng phẳng

687

Dạng 1.6. Phân tích một vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng cho trước

688

Dạng 1.7. Ứng dụng véctơ chứng minh bài tốn hình học

690


MỤC LỤC
2

17

Hai đường thẳng vng góc

697

A

Tóm tắt lí thuyết

697

1

Tích vơ hướng của hai vec-tơ trong khơng gian

697

2

Góc giữa hai đường thẳng

697

B

Các dạng tốn

698

Dạng 2.1. Xác định góc giữa hai vec-tơ

698

Dạng 2.2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian

699

Dạng 2.3. Sử dụng tính chất vng góc trong mặt phẳng.

703

Dạng 2.4. Hai đường thẳng song song cùng vng góc với một đường thẳng

thứ ba
706
3

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

710

A

Tóm tắt lí thuyết

710

1

Định nghĩa

710

2

Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng

710

3

Tính chất

710

4

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đường thẳng và mặt
phẳng
711

5

Phép chiếu vng góc và định lý ba đường vng góc

712

B

Các dạng tốn

713

Dạng 3.1. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

713

Dạng 3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

720

Dạng 3.3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua
một điểm và vng góc với một đường thẳng cho trước

726
C

Bài tập tổng hợp

729


18

MỤC LỤC
4

Hai mặt phẳng vng góc

734

A

Tóm tắt lí thuyết

734

1

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

734

2

Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau

734

3

Diện tích hình chiếu của một đa giác

734

4

Hai mặt phẳng vng góc

734

5

Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

735

6

Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

735

B

Các dạng tốn

736

Dạng 4.1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

736

Dạng 4.2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác

740

Dạng 4.3. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

742

Dạng 4.4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng 746
5

Khoảng cách

750

A

Tóm tắt lý thuyết

750

1

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

750

2

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

750

3

Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song

750

4

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

750

5

Đường thẳng vng góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
751

B

Các dạng toán

751

Dạng 5.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

751

Dạng 5.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

752

Dạng 5.3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai
mặt song song
760


MỤC LỤC

19
Dạng 5.4. Đoạn vng góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
764

6

Đề Kiểm tra Chương 3

778

A

Đề số 1a

778

B

Đề số 1b

780

C

Đề số 2a

782

D

Đề số 2b

783

E

Đề số 3a

784

F

Đề số 3b

785


20

MỤC LỤC


PHẦN

I
ĐẠI SỐ - GIẢI
TÍCH

21



CHƯƠNG

BÀI
A

1.

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Đường trịn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

sin
B(0; 1)

A (−1; 0)

(II)

(I)

O
(III)

(IV)

+
cos
A(1; 0)

B (0; −1)
Góc phần tư
I II III IV
+ + − −

+ − − +
+ − + −
+ − + −

Giá trị lượng giác
sin α
cos α
tan α
cot α
2 Công thức lượng giác cơ bản

sin2 x + cos2 x = 1

1 + tan2 x =

1
cos2 x

1 + cot2 x =

1
sin2 x

tan x cot x = 1

3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau
cos(−α) = cos α
sin(−α) = − sin α

tan(−α) = − tan α
cot(−α) = − cot α

Cung bù nhau
cos(π − α) = − cos α
sin(π − α) = sin α
tan(π − α) = − tan α
cot(π − α) = − cot α

Cung phụ nhau
π
cos
− α = sin α
2
π
sin
− α = cos α
2
π
tan
− α = cot α
2
π
cot
− α = tan α
2
23

Cung hơn kém π
cos(α + π ) = − cos α

sin(α + π ) = − sin α
tan(α + π ) = tan α
cot(α + π ) = cot α

π
Cung hơn kém
2
π
cos
+ α = − sin α
2
π
sin
+ α = cos α
2
π
tan
+ α = − cot α
2
π
cot
+ α = − tan α
2


24

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4 Công thức cộng

sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a

cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b

sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a

cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b

tan( a + b) =
tan

tan a + tan b
1 − tan a tan b

tan( a − b) =

π
1 + tan x
+x =
4
1 − tan x

tan

tan a − tan b
1 + tan a tan b

π
1 − tan x

−x =
4
1 + tan x

5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi

Công thức hạ bậc
1 − cos 2α
2
1 + cos 2α
cos2 α =
2
1
−
cos
2α
tan2 α =
1 + cos 2α
sin2 α =

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
2 tan α
1 − tan2 α
cot2 α − 1
cot 2α =
2 cot α

tan 2α =

cot2 α =

1 + cos 2α
1 − cos 2α

Công thức nhân 3
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α

tan 3α =

cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α

3 tan α − tan3 α
1 − 3 tan2 α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

a+b
a−b
cos
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2

sin( a + b)
tan a + tan b =
cos a cos b

cos a + cos b = 2 cos

cot a + cot b =

a+b
a−b
sin
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
sin( a − b)
tan a − tan b =
cos a cos b

cos a − cos b = −2 sin

sin( a + b)
sin a sin b

cot a − cot b =

sin(b − a)
sin a sin b

Đặt biệt

sin x + cos x =

√

2 sin x +

π
4

=

7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

√

2 cos x −

π
4

sin x − cos x =

√

2 sin x −

π
4

√
= − 2 cos


1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

25

1
[cos( a − b) + cos( a + b)]
2
1
sin a · sin b = [cos( a − b) − cos( a + b)]
2
1
sin a · cos b = [sin( a − b) + sin( a + b)]
2
cos a · cos b =

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
độ

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

120◦

135◦

150◦

rad

0
0

tan α

0

cot α

kxđ

2π
√3
3
2
1

−
2
√
− 3
√
3
−
3

5π
6
1
2√

1

π
√3
3
2
1
2
√
3
√
3
3

3π
√4

2
2√

cos α

π
√4
2
√2
2
2

π
2

sin α

π
6
1
√2
3
√2
3
3
√
3

1
1

1
0
kxđ
0

180◦

360◦

π

2π

0

0

2
3
−
−1
2
√2
3
−1 −
0
3
√
−1 − 3 kxđ

−

1
0
kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cos α, sin α)
y

√
1
− 2 , 23
√ √
− 22 , 22
2π
√
3
3 1
3π
− 2 ,2
4
120◦
5π
6
150◦

(−1, 0)
π

√

−

(0, 1)

√
3
1
2, 2

π
2

90◦

π
3

60◦

7π
6

− 12 , −

π
6

360

0◦ ◦

210◦

5π
3
1
4
2 , −2
√
√
− 22 , − 22

3 1
2 ,2

π
4

30◦

180◦

330◦
240◦

4π
3

√

270◦
3π
2

3
2

(0, −1)

300◦
5π
3

√
2
2
,
2
2
√

√

7π
4

(1, 0)
2π

11π
6

√

3
1
2 , −2
√
√
2
2
,
−
2
2
√
3
1
,
−
2
2

x