De thi hoc ki 2 lop 11 nam 20082009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.45 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường THPT Vinh Xuân

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009

Tổ Toán Tin

MƠN TỐN LỚP 11

( Thời gian làm bài: 90 phút )

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

( 8 điểm )

Câu I

( 2 điểm )

1. Tìm giới hạn:

8 1 3

1 lim

x



 



2. Cho hàm số

4

2 ( )

2

2 x

f x

x

mx

x























nÕu

. Tìm m để hàm số liên tục tại

x2

.

Câu II

( 3 điểm )

1. Tìm vi phân của hàm số

y x



.sin 2

x

2. Cho hàm số

2 2

( ) sin

sin

6 f x











x















x













. Chứng minh:

f x

'( ) sin 2



x

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

2

1 x

y

x







tại điểm M có

hồnh độ

x

M



2 .

Câu III

( 3 điểm )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, cạnh bên SA vng

góc với đáy và

6

2 a

SA



.

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD).

2. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

3. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AB và SD.

II. PHẦN RIÊNG

( 2 điểm )

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương

trình đó ( phần 1 hoặc phần 2 ).

Phần 1. Theo chương trình Chuẩn:

Câu IV.a

( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm:

x



2 x



3 x

 

1 0

Câu V.a

( 1 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có

AA

'



a AB b

,









,

AC c







. Gọi M là giao điểm của BC’ và B’C. Chứng minh rằng





1

2 AM



a b c







.

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao:

Câu IV.b

( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm trái dấu:

x



4 x

 

2 0

.

Câu V.b

(1 điểm ) Cho tứ diện ABCD có

AC a BD b



,









. Gọi P, Q lần lượt là các

điểm thuộc AB, CD sao cho

1

3 AP



AB



,

1

3 CQ



CD



.Chứng minh rằng

2

1

3 PQ



a



b





</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---HẾT---HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11

KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm )

Câu Nội dung Điểm

I.1.
1,00 đ

8 1 3

lim

x

x
x



 














8 1

8 1 3 1

lim

x

x x






  

8 1 3

lim

x x



 

4
3



0,50
0,25
0,25

I.2.
1,00 đ

+ Với x2, ta có





2 2 2

( ) 2 4

lim

x x x

x

f x x

x

  



   

 .

+ Với x2, ta có f(2) 2 m2.

Hàm số liên tục tại x2 khi và chỉ khi

lim

x2 f x( ) f(2)  4 2 m2
1

m

  .

Vậy khi m1 thì hàm số liên tục tại x2.

0,25
0,25
0,25
0,25

II.1.

1,00 đ 1. Tìm vi phân của hàm số
2

.sin 2

y x x

Ta có y' 2 .sin 2 x x2 .cos 2x2 x2 sin 2x



x x .cos 2x



Vi phân của hàm số đó là dy y dx'. hay dy2 sin 2x



x x .cos 2x dx



0,50
0,50

II.2.
1,00 đ

Ta có

2 2

( ) sin sin

6 6

f x    x  x

   

Suy ra

'( ) 2sin cos 2sin .cos

6 6 6 6

f x    x   x   x  x

       

sin 2 sin 2

3 x 3 x

 

   

      

    sin 3 2x sin 3 2x

 

   

      

   

2cos .sin 23 x





1
2. .sin 2

2 x



sin 2x



---Cách 2:

2 2

( ) sin sin

6 6

f x    x  x

   

1 1

1 cos 2 1 cos 2

2 3 x 2 3 x

 

     

           

   

   

1 cos 2 cos 2

2 3 x 3 x

 

    

        

   

 

1 cos .cos 23 x



  1 1.cos 2

2 x

 

0,25
0,25
0,25
0,25

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C
B

A
S

Suy ra





'( ) 2sin 2
2

f x   x

sin 2x



II.3.

1,00 đ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

x
y

x




 tại điểm M .
Khi xM 2 ta có yM 8, suy ra điểm M



2;8



thuộc đồ thị hàm số .

Ta có





5
'

y
x




Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M



2;8



là: ky'( 2) 5  .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M



2;8



là:

y 8 5



x2



 y5x18 .

0,25
0,25
0,25
0,25

III.1.

1,00 đ Hình vẽ: 0,50 điểm.

1. Chứng minh (SAC) (SBD)
Ta có BDAC ( hai đường chéo 
của hình vng ABCD )

và BDSA ( vì SA(ABCD) )

Suy ra BD(SAC)

Vậy (SBD)(SAC).

0,50

III.2.

1,00 đ 2. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (Gọi O là giao điểm của AC và BD. SBD) và (ABCD).

Ta có BD(SBD) ( ABCD) và AC BD, SOBD ( vì BD(SAC) )
Suy ra SOA là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Từ tam giác SAO vng góc ở A, ta có

 6 2

tan : 3

2 2

SA a a
SOA

AO

  

Suy ra SOA 600.

0,50

III.3.

1,00 đ 3. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng SD. AB và
Ta có ABSA và ABAD suy ra AB(SAD).

Do đó, trong mặt phẳng (SAD) dựng AH SD thì ABAH .

Suy ra AH là đường vng góc chung của AB và SD.

Trong tam giác SAD vng góc ở A có đường cao AH, ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 5

3 3

AH AD  AS a  a  a

15
5

a
AH

 

0,50
0,50

II. PHẦN RIÊNG ( 2 điểm )

Phần 1. Theo chương trình chuẩn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C'
B'

C
B

Q
P

C
B

1,00 đ x3 2x2 3x 1 0

   

Xét hàm số f x( )x3 2x23x1 xác định và liên tục trên .
Ta có f( 1) 5 và f(0) 1 , do đó f( 1). (0) f 5 0

Suy ra tồn tại x0 



1;0



thỏa mãn phương trình f x( ) 00  .

Vì x0 



1;0



nên x0 0.

Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm.

0,25
0,25
0,25
0,25

V.a.

1,00 đ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'a AB b AC c,  , 

  

    

.
Gọi M là giao điểm của BC’ và B’C. Chứng minh rằng





1
2

AM  a b c 
   

.
Do mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ là hình
bình hành nên M là trung điểm của B’C.

Suy ra





1
'
2

AM  AB AC

  

(1)

Vì AB’ là đường chéo của hình bình hành
ABB’A’ nên ta có:

AB'AA'AB

  

(2)
Từ (1) và (2) suy ra





1
'

AM  AA AB AC

   

hay





1
2

AM  a b c 
   

0,25

0,50

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao
IV.b.

1,00 đ Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm trái dấu: x5 4x2 2 0

   .

Xét hàm số f x( )x5 4x22 xác định và liên tục trên .

Ta có f(0). (1) 2.( 1)f   2 0   x0



0;1



thỏa mãn f x( ) 00  và x0 0

và f(0). ( 1) 2.( 3)f    6 0    x1



1;0



thỏa mãn f x( ) 01  và x10

Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm trái dấu.

0,25
0,50
0,25

V.b.

1,00 đ Chứng minh rằng PQ23a13b

  

.
Ta có PQ PA AC CQ  

   

hay

1 1

3 3

PQ AB a  CD

   

(1)
Tương tự

PQ PB BD DQ  

   





AB AP



BD



CQ CD



    

1 1

3 3

AB AB BD CD CD

   

     

   

    

hay

2 2

3 3

PQ AB b  CD

   

(2)

Lấy hệ thức (1) nhân với 2 rồi cộng với hệ thức (2) vế theo vế, ta được

0,25

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3PQ2a b

  



2 1

3 3

PQ a b

  

</div>

De thi hoc ki 2 lop 11 nam 20082009

<b>Trường THPT Vinh Xuân</b>

<b>KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009</b>

<b>Tổ Toán Tin </b>

MƠN TỐN LỚP 11

<b> ( Thời gian làm bài: 90 phút )</b>

<b>I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH</b>

<i><b>( 8 điểm )</b></i>

<b>Câu I</b>

( 2 điểm )

1. Tìm giới hạn:

8

1 3

1

lim

<i>x</i>

<i>x</i>

 



2. Cho hàm số

<sub>4</sub>

2

( )

<sub>2</sub>

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i><sub>x</sub></i>

<i>mx</i>

<i>x</i>











<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>



nÕu

nÕu

<sub> . Tìm m để hàm số liên tục tại </sub>

<sub>.</sub>

<b>Câu II</b>

( 3 điểm )

1. Tìm vi phân của hàm số

<i>y x</i>



.sin 2

<i>x</i>

2. Cho hàm số

( ) sin

sin

6

6

<i>f x</i>





<sub></sub>





<i>x</i>



<sub></sub>



<sub></sub>







<i>x</i>



<sub></sub>







