Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng với điều kiện biên dirichlet

..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————–

PHẠM THỊ MAI

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————–

PHẠM THỊ MAI

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hồn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 8 tháng 10 năm 2017
Học viên

Phạm Thị Mai


Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1 Một số không gian hàm và các kết quả liên quan . . .

5

1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên Dirichlet .

9

1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

11

1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . .

12

Chương 2 Mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet 22
2.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2 Tính khơng âm của nghiệm địa phương . . . . . . . . .

26

2.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Ước lượng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2

Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.3

Một số đánh giá cho nghiệm toàn cục . . . . . . . . .

35

2.4 Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4.1

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4.2

Các tập ω-limit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.4.3

Tập L2 -ω-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo

46

1


LỜI MỞ ĐẦU
Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường
được quan tâm nhất hiện nay. Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo
tồn nguồn tài nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá
thể cây, cây trong một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống
phức tạp bao gồm hệ thống rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời
tiết cùng với những tương tác giữa các hệ thống nêu trên,...
Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt
được những kết quả quan trọng. Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã
đưa ra mơ hình toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó,
Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng và đưa

ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây
trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya. Antonovsky và M.
D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mơ hình tốn học về rừng trong đó quan
tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mơ hình đó sau này vào
năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N.
Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mơ hình mơ tả sự phát
triển của rừng thơng qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá
trình tái sinh.
Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn
loài và giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng
thành. Có ba yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và
hạt giống trong khơng khí. Chúng tạo thành một mơ hình động học thể hiện

2


quá trình phát triển của hệ rừng như sau:

∂u


= βδw − γ(v)u − f u


∂t




 ∂v = f u − hv

∂t
∂w



= d∆w − βw + αv


∂t



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x)
0
0
0

trong Ω × (0, ∞),
trong Ω × (0, ∞),
(1)
trong Ω × (0, ∞),
trong Ω,

trong đó Ω là miền bị chặn có biên C2 trong R2 . Các hàm u(x, t) và v(x, t)
lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại một vị trí x ∈ Ω
và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm w(x, t) là mật độ hạt trong khơng khí tại
x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát
triển của các cây non và các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện
động lực của các hạt trong khơng khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt,
và α > 0 và β > 0 lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất.

Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây
non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển
thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của cây trưởng thành. Hàm
γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và c > 0. Với w, một
số điều kiện biên được đặt trên biên ∂Ω. Các hàm giá trị ban đầu không âm
u0 (x) ≥ 0, v0 (x) ≥ 0 và w0 (x) ≥ 0 được lấy trong Ω.
Mơ hình (1) đã được một số tác giả nghiên cứu. Với điều kiện biên Dirichlet
đặt lên w, tức là w = 0 trên ∂Ω × (0, ∞), các tác giả đã chứng minh sự tồn
tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sự
tồn tại hàm Lyapunov cho hệ (1).
Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mơ hình
động học rừng với điều kiện biên Dirichlet. Bố cục của luận văn bao gồm 2
chương:
• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về
các không gian hàm, toán tử quạt, toán tử Laplace kết hợp với điều
3


kiện biên, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn.
• Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhất
nghiệm địa phương và sau đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm tồn cục của mơ
hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet cùng một số đánh giá
cho nghiệm tồn cục. Cuối chương là phần trình bày về hệ động lực
sinh bởi bài toán, hàm Lyapunov và tập ω− limit.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên
khi làm luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 8 tháng 10 năm 2017

Học viên

Phạm Thị Mai

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài tốn mơ
hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet. Cụ thể, ta hệ thống lại các
kiến thức về một số khơng gian hàm, tốn tử quạt, tốn tử Laplace kết hợp
với điều kiện biên, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương trình tiến hóa
tuyến tính. Phần cuối chương ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương
của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.1

Một số không gian hàm và các kết quả liên
quan

Cho X là không gian Banach với chuẩn . , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <
β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng
Fβ,σ ((a, b]; X),

0 < σ < β ≤ 1,

như sau:

5


Định nghĩa 1.1.1. Không gian Fβ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục
trên (a, b] (hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ , cụ thể
là
(s − a)

sup

1−β+σ

F (t) − F (s)
σ
(t − s)

a≤s
= sup

(s − a)

sup

1−β+σ

F (t) − F (s)
< ∞.

σ
(t − s)

a≤t≤b a≤s
(1.1)

(3) Khi t → a,
(s − a)

ωF (t) = sup

1−β+σ

F (t) − F (s)
→ 0.
σ
(t − s)

a≤s
(1.2)

Không gian Fβ,σ ((a, b]; X) được trang bị với chuẩn
F

F β,σ

1−β

= sup (t − a)

F (t) +

a≤t≤b

(s − a)

sup

1−β+σ

a≤s
F (t) − F (s)
.
σ
(t − s)
(1.3)

Với chuẩn trên, không gian Fβ,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach.
Phần dưới đây, ta nhắc lại một số kết quả đã biết trong không gian
Sobolev. Cho Ω là một miền lồi, bị chặn có biên C2 trong R2 . Ký hiệu H s (Ω)
là không gian Sobolev W2s (Ω), chuẩn của nó được kí hiệu bởi .
Khi 0 ≤ s < 1, H s (Ω) ⊂ Lp (Ω), trong đó

1
p

=

1−s
2 ,

với phép nhúng liên

tục
.

Lp

≤C .

Hs .

Khi s = 1, H 1 (Ω) ⊂ Lq (Ω) với mọi 2 ≤ q < ∞ và ước lượng
.

Lp

≤C .

1− p
q
H1

.

p
q

Lp

,

trong đó 1 ≤ p < q < ∞.
Khi s > 1, H s (Ω) ⊂ C(Ω) với phép nhúng liên tục
.

C

≤C .
6

Hs .

Hs .


1.2

Tốn tử quạt

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một khơng gian Banach với chuẩn . . Giả sử
A là một tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A
chứa trong một miền quạt mở, cụ thể là
σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ| < ω} ,

0 < ω ≤ π,

(1.4)

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau
−1

(λ − A)

≤

M
,
|λ|

λ∈
/ Σω ,

(1.5)

với hằng số M ≥ 1. Khi đó tốn tử A được gọi là tốn tử quạt trên X.
Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, ωA được gọi
là góc của tốn tử quạt A.
Trong luận văn này, ta ln xét A là một tốn tử quạt trong khơng gian
Banach X với góc 0 ≤ ωA <

π
2

và ω là góc sao cho ωA < ω <

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ| < ω} ,

π
2.

Khi đó ta có
(1.6)

và
−1

(λ − A)

≤

M
,
|λ|

λ∈
/ Σω .

(1.7)

Tốn tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [6, chương 2]),
được xác định bởi cơng thức tích phân sau
e−zA =

1
2πi

−1

e−zλ (λ − A)

dλ,

Γ

z ∈ Σ π2 −ω ,

trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ(A)
theo ngược chiều kim đồng hồ. Tích phân này hội tụ trong L(X). Đồng thời
ta có kết quả sau.
Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công
thức
e−tA =

1
2πi

e−tλ (λ − A)
Γ

7

−1

dλ,

0 < t < ∞.

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.
Mệnh đề 1.2.1 ([6], Tr.62). Với mọi φ sao cho 0 < φ <

π
2

− ω, tồn tại một

số mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho
e−zA ≤ Cφ e−δφ |z| , z ∈ Σφ − {0} .
Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt.
Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa
A−z =

1
2πi

−1

λ−z (λ − A)

dλ,

Γ

trong đó Γ là đường cong bao quanh σ(A) theo ngược chiều kim đồng hồ nằm
trong C\(∞, 0] ∩ ρ(A). Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và hàm
này nhận giá trị trong L(X).

Định nghĩa At với t ∈ R như sau:
Khi t = 0, A0 ≡ I.
Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X).
Khi t > 0, At = (A−t )−1 và D(At ) trù mật trong X. Hơn nữa, với 0 < t1 ≤ t2
thì D(At2 ) ⊂ D(At1 ).
Ta có các tính chất sau của tốn tử lũy thừa và toán tử mũ:
Với mọi 0 < φ <

khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1

π
2,

trong X (xem [6], Định lý 2.21).
Chú ý rằng
A−z < ∞.

sup
|arg z|<φ,0<|z|<1

Cho 0 < θ ≤ 1, ta có
t

e−tA − 1 A−θ ≤

t

A1−θ e−τ A dτ ≤ Cθ
0

τ θ−1 dτ ≤ Cθ tθ , 0 < t < ∞.
0

(1.8)
8


Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,
tθ Aθ e−tA

hội tụ mạnh tới 0 trên X.

Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì
t−θ e−tA − 1 A−θ

hội tụ mạnh tới 0 trong X.

Định lý 1.2.1 ([6], Tr.102). Cho 0 < β ≤ 1 và U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, với mọi
σ sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có
Ae−tA U0 ∈ Fβ,σ ((0, T ] ; X)
và ước lượng
Ae−tA U0

1.3

F β,σ ((0,T ];X)

≤ CT Aβ U0

X

.

Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên
Dirichlet

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên Lipschitz Γ. Đặt
Z = H01 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω), u = 0 trên Γ}, Z∗ = H −1 .
Xét bộ ba không gian Z ⊂ L2 (Ω) ⊂ Z∗ và dạng nửa song tuyến tính trên Z
là a : Z × Z → C xác định bởi
n

a(u, v) =

aij (x)Di uDj vdx +
i,j=1

Ω

c(x)uvdx,
Ω

trong đó u, v ∈ Z, aij (1 ≤ i, j ≤ n) là các hàm nhận giá trị thực trong Ω
thỏa mãn điều kiện
aij ∈ L∞ (Ω),

1 ≤ i, j ≤ n,

n

aij ζi ζj ≥ δ|ζ|2 ,
i,j=1

9

ζ ∈ Rn , δ > 0,


và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện c(x) ∈ L∞ (Rn ) và c(x) ≥
c0 > 0 hầu khắp nơi trên Ω. Ta có a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên
tục trên Z. Với mỗi u ∈ Z ta có a(u, ·) là hàm tuyến tính liên tục trên Z. Khi
đó tồn tại duy nhất φ ∈ Z∗ sao cho
a(u, v) = v, φ

Z×Z∗

( ∀v ∈ Z ),

tức là
a(u, v) = φ, v .
Toán tử A xác định bởi
A : Z → Z∗
u→φ
được gọi là tốn tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v).
Từ đó suy ra
Au, v = a(u, v).
Khi đó ta có

n

Au = −

Dj [aij (x)Di u] + c(x)u.
i,j=1

Trong bài toán này ta xét dạng nửa song tuyến tính với aij = δij ; c(x) = β >
0. Ta có
∇u∇vdx + β

a(u, v) =
Ω

uvdx,
Ω

trong đó u, v ∈ H01 (Ω). Khi đó, tốn tử liên kết với a(u, v) là
n

Di2 u + βu = −∆u + βu.

Au = −
i=1

Đặt Λ = A|L2 . Ta có Λ là toán tử quạt trên H −1 (Ω) = H01 (Ω)
D(Λ) = {u ∈ H 2 (Ω), u = 0 trên ∂Ω}
2
= HD
(Ω).

10

∗

và


1.4

Phương trình tiến hóa tuyến tính

Ta xét bài tốn giá trị ban đầu

 dU + AU = F (t),
dt
 U (0) = U

0
(1.9)

0

trong khơng gian Banach X. Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A
là một tốn tử quạt trong X với góc ωA <

π
2.

Hàm F ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1. Giá trị ban đầu U0 được lấy
trong X. Ta sẽ phát biểu định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của

bài toán (1.9).
Định lý 1.4.1 ([6], Tr.124). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6) và (1.7).
Với mỗi hàm F ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban
đầu U0 ∈ X, luôn tồn tại duy nhất một nghiệm U của (1.9) nằm trong không
gian hàm
U ∈ C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1 ((0, T ]; X)
và thỏa mãn ước lượng
U (t) + t

dU
(t) + t AU (t) ≤ C( U0 + F
dt

F β,σ ),

0 ≤ t ≤ T.

Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức
t

U (t) = e−tA U0 +

e−(t−τ )A F (τ )dτ,

0 ≤ t ≤ T.

0

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ ), ta có thể chứng minh được tính chất
tốt hơn của nghiệm.

Định lý 1.4.2 ([6], Tr.126). Cho F ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, và
cho U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, nghiệm U của (1.9) có các tính chất sau:
Aβ U ∈ C((0, T ]; X),
11


dU
, AU ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X),
dt
với các ước lượng
Aβ U
dU
dt

C

≤C

+ AU
F β,σ

F β,σ

Aβ U0 + F
≤C

F β,σ

,

Aβ U0 + F

F β,σ

.

Phần tiếp theo, ta trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm
địa phương của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.5

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là một khơng gian Banach với chuẩn . . Ta xét bài tốn Cauchy cho
phương trình nửa tuyến tính như sau

 dU + AU = F (U ) + G(t),
dt
 U (0) = U ,

0 < t ≤ T,

(1.10)

0

trong X. Trong đó, A là một tốn tử quạt trên X thỏa mãn (1.6) và (1.7),
F là một toán tử phi tuyến đi từ D(Aη ) vào X, với
0 ≤ η < 1.

(1.11)

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz
F (U ) − F (V ) ≤ ϕ( U + V ) [ Aη (U − V ) + ( Aη U + Aη V ) U − V ] ,
(1.12)
trong đó U, V ∈ D(Aη ) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng. Từ (1.12), ta có F
thỏa mãn ước lượng sau
F (U ) ≤ ψ( U )( Aη U + 1),
với ψ(ξ) =

U ∈ D(Aη ),

(1.13)

F (0) + ϕ(ξ)(ξ + 1). Hàm G(t) được cho trong không gian

Fβ,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β. Giá trị ban đầu U0 được lấy trong D(Aβ ).
Ta sẽ chứng minh (1.10) có duy nhất một nghiệm địa phương.
12


Định lý 1.5.1 ([6], Tr.188). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6), (1.7)
và F thỏa mãn (1.11), (1.12). Khi đó, với mỗi hàm G ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X),
0 < σ < β ≤ 1 − η, và bất kỳ U0 ∈ X, (1.10) có duy nhất một nghiệm địa
phương U thuộc không gian hàm
U ∈ C([0, TG,U0 ]; X) ∩ C1 ((0, TG,U0 ]; X),
trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào G

AU ∈ C((0, TG,U0 ]; X),
F β,σ

(1.14)

và U0 . Hơn nữa, U thỏa

mãn ước lượng
U (t) + t

dU
(t) + t AU (t) ≤ CG,U0 ,
dt

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào G

F β,σ

0 ≤ t ≤ TG,U0 ,

(1.15)

và U0 .

Chứng minh. Với S ∈ (0, T ], đặt
X(S) =

U ∈ C((0, S]; D(Aη )) ∩ C([0, S] ; X) : sup tη Aη U (t) < ∞ ,
0
U

X(S)

= sup tη Aη U (t) + sup
0
U (t) .

0≤t≤S

Tập con K(S) của X(S) là tập gồm các hàm thỏa mãn
tη Aη U (t) ≤ C1 ,
U (t) ≤ C2 ,

0 < t ≤ S,
0 ≤ t ≤ S,

(1.16)
(1.17)

với Ci > 0 (i = 1, 2) sẽ được xác định sau.
Ta có K(S) là tập con đóng khác rỗng của X(S). Thật vậy, giả sử Un ∈
K(S) và Un → U0 . Ta sẽ chứng minh U0 ∈ K(S). Từ điều giả sử ta có
Un − U0

X(S)

→ 0,

suy ra
sup tη Aη [Un (t) − U0 (t)] → 0,

0
13


và
Un (t) − U0 (t) → 0.

sup
0≤t≤S

Khi đó
Aη Un (t) → Aη U0 (t) ,
mà
tη Aη Un (t) ≤ C1 ⇒ tη Aη U0 (t) ≤ C1 ,
và
Un (t) ≤ C2 ⇒ U0 (t) ≤ C2 ,
nên U0 (t) ∈ K(S).
Với U ∈ K(S), ta xác định hàm
t

{ΦU } (t) = e−tA U0 +

e−(t−s)A [F (U (s)) + G(s)]ds,

0 ≤ t ≤ S. (1.18)

0

Mục tiêu của ta là chỉ ra Φ là một ánh xạ co từ K(S) vào chính nó khi S đủ

nhỏ, đồng thời điểm bất động của Φ là nghiệm của (1.10). Để đạt được mục
tiêu trên, ta sẽ chia việc chứng minh thành các bước. Trong suốt quá trình
chứng minh, CG,U0 là hằng số phổ dụng được xác định trong từng lần xuất
hiện bởi các hằng số trong (1.6), (1.7), (1.12), (1.11), bởi hàm ϕ(.), bởi các
chuẩn G

F β,σ

và U0 .

Bước 1. Ta sẽ đi chứng minh Φ là một ánh xạ từ K(S) vào chính nó. Với
U ∈ K(S), dựa vào (1.13) ta có
F (U ) ≤ ψ( U )( Aη U + 1) ≤ ψ(C2 )(C1 t−η + 1),

0 < t ≤ S. (1.19)

Với mỗi θ ∈ [0, 1), Aθ là toán tử bị chặn nên Aθ là tốn tử đóng. Khi đó
t
θ

θ −tA

A {ΦU } (t) ≤ A e

Aθ e−(t−s)A [ F ((U (s)) + G(s) ] ds,

U0 +
0

14

suy ra
tθ Aθ {ΦU } (t) ≤ tθ Aθ e−tA

U0

t

Aθ e−(t−s)A [ F ((U (s)) + G(s) ] ds

θ

+t

0
t

≤t

θ

θ −tA

Aθ e−(t−s)A

θ

A e

U0 + t

F ((U (s)) ds

0
t

Aθ e−(t−s)A

+ tθ

G(s) ds.

0
t

≤ Aθ U0 + t

−θ

θ

(t − s)

ψ(C2 )(C1 s−η + 1)ds

0
t

+ tθ

(t − s)

−θ β−1

s

G

0

F β,σ ds

t

≤ Aθ U0 + Aθ ψ(C2 )tθ

−θ

(t − s)

(C1 s−η + 1)ds

0
t

+ Aθ t θ G

(t − s)

F β,σ

−θ β−1

s

ds

0

≤ Aθ U0 + Aθ B(1 − θ, β) G

β
F β,σ t

+ Aθ ψ(C2 ) C1 B(1 − θ, 1 − η)t1−η + B(1 − θ, 1)t .
(1.20)
Ở đây, B(p, q) là hàm Beta và Aξ được xác định bởi
Aξ = sup tξ Aξ e−tA ,

0 ≤ ξ ≤ 1.

0
Áp dụng ước lượng trên với θ = η ta được
tη Aη {ΦU } (t) ≤ Aη U0 + Aη B(1 − η, β) G

F β,σ t

β

+ Aη ψ(C2 ) C1 B(1 − η, 1 − η)t1−η + B(1 − η, 1)t .
Ta chọn C1 > Aη U0 + Aη B(1 − η, β) G

F β,σ .

Áp dụng ước lượng trên với

θ = 0 ta được
ΦU (t) ≤ U0 +B(1−η, β) G

F β,σ t

β

+ψ(C2 ) C1 B(1, 1 − η)t1−η + B(1, 1)t .

15


Ta chọn C2 > U0 + B(1 − η, β) G

F β,σ .

Kết hợp với S đủ nhỏ, thì ΦU thỏa

mãn (1.16) và (1.17).
Với 0 < s < t ≤ S, theo tính chất của nửa nhóm thì
t

e−(t−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ

{ΦU } (t) = e−(t−s)A e−sA U0 +
s
s

+ e−(t−s)A

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ .
0

Từ đó ta có
t

{ΦU } (t) − {ΦU } (s) = e

−(t−s)A −sA

e

e−(t−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ

U0 +
s

s

+ e−(t−s)A

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ − e−sA U0

0

s

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ

−
0

= e−(t−s)A − 1 e−sA U0
s

+ e−(t−s)A − 1

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ
0

t

e−(t−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ

+
s

= e−(t−s)A − 1 {ΦU } (s)
t

e−(t−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )] dτ .

+

s

Do đó
Aη [{ΦU } (t) − {ΦU } (s)] ≤ Aη e−(t−s)A − 1 {ΦU } (s)
t

Aη e−(t−τ )A [ F (U (τ )) + G(τ ) ] dτ

+
s

e−(t−s)A − 1 A−σ

≤

Aη+σ {ΦU } (s)

t

Aη e−(t−τ )A [ F (U (τ )) + G(τ ) ] dτ .

+
s

Áp dụng ước lượng (1.20) với θ = η + σ ta có
sη+σ Aη+σ {ΦU } (s) ≤ CG,U0 ,
16


và từ (1.8) ta có

e−(t−s)A − 1 A−σ ≤ C(t − s)σ .
Khi đó
e−(t−s)A − 1 A−σ

Aη+σ {ΦU } (s) ≤ CG,U0 A1−σ (t − s)σ s−η−σ .

Theo (1.3) và (1.19) thì
G(τ ) ≤ τ β−1 G

F β,σ ,

F (U (τ )) ≤ ψ(C2 )(C1 τ −η + 1).
Với các số mũ 0 < β ≤ 1 − η < 1 thì β − 1 < −η < 0. Do đó τ −η < τ β−1 với
τ < 1, và τ −η < 1 với τ > 1. Vì thế nên
Aη [{ΦU } (t) − {ΦU } (s)] ≤ CG,U0 A1−σ (t − s)σ s−η−σ
t

−η

(t − τ )

+ CG,U0 Aη

(τ β−1 + 1)dτ .

s

Vì β − 1 = (η + σ − 1) + (−η − σ) + β và η + σ − 1 < 0, −η − σ < 0, β > 0 nên
t

−η

(t − τ )

t

(τ

β−1

+ 1)dτ ≤

s

(t − τ )

−η

(τ − s)

η+σ−1 −η−σ

s

S β dτ

s
t

≤C

−η

(t − τ )

η+σ−1 −η−σ

(τ − s)

s

dτ .

s

Đặt t − τ = x, khi đó
t−s

x−η (t − s − x)

I=

η+σ−1 −η−σ

s

dx.

0

Đặt x = (t − s)z, khi đó
1

(t − s)

I=

−η −η

z

(t − s)

η+σ−1

0

= CB(1 − η, η + σ)(t − s)σ s−σ−η .

17

η+σ−1 −σ−η

(1 − z)

s

(t − s)dz

Do vậy,
t→s

Aη [{ΦU } (t) − {ΦU } (s)] ≤ CG,U0 (t − s)σ s−η−σ −→ 0,

(1.21)

với 0 < s < t ≤ S. Điều đó có nghĩa là ΦU ∈ C ((0, S] ; D(Aη )). Tính tốn
tương tự, ta có
e−(t−s)A − 1 A−σ

{ΦU } (t) − {ΦU } (s) ≤

Aσ {ΦU } (s)

t

e−(t−τ )A [ F (U (τ )) + G(τ ) ] dτ

+
s

t
σ −σ

≤ CG,U0 (t − s) s

(τ β−1 + 1)dτ.

+ CG,U0

s

Ta viết β − 1 = (σ − 1) − σ + β, trong đó σ − 1 < 0, −σ < 0, β > 0, ta có
t

t

τ
s

β−1

dτ ≤

σ−1 −σ

(τ − s)

s

S β dτ

s
t

≤C

σ−1 −σ

(τ − s)

s

dτ

s

= CB(1, σ)(t − s)σ s−σ .
Do đó
{ΦU } (t) − {ΦU } (s) ≤ CG,U0 (t − s)σ s−σ ,

0 < s < t ≤ S.

t −(t−s)A
e
G(s)ds
0

Theo Định lý 1.4.1, ta có e−tA U0 +

là liên tục tại t = 0

theo chuẩn của D(Aβ ). Hơn nữa, theo (1.19), khi t → 0 thì
t

t

e

−(t−s)A

e−(t−s)A

F (U (s))ds ≤

0

F (U (s)) ds

0
t

ψ(C2 )(C1 s−η + 1)ds

≤
0

t

(s−η + 1)ds

≤C
0

= C(s1−η + s)|t0
= C(t1−η + t) → 0.
18

(1.22)

Suy ra

t −(t−s)A
e
F (U (s))ds
0

liên tục tại t = 0. Vì thế nên ΦU ∈ C ([0, S] ; X).

Suy ra ΦU ∈ K(S), nghĩa là, Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó, với S đủ
nhỏ.
Bước 2. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra Φ là ánh xạ co theo chuẩn của X(S). Lấy
U, V ∈ K(S) là hai hàm bất kỳ. Với 0 < θ < 1, ta có
t

Aθ e−(t−s)A [F (U (s)) − F (V (s))] ds.

Aθ [{ΦU } (t) − {ΦV } (t)] =
0

Từ (1.12), (1.16) và (1.17) ta có
tθ Aθ [{ΦU } (t) − {ΦV } (t)]
t

tθ Aθ e−(t−s)A

≤

F (U (s)) − F (V (s)) ds

0
t

tθ (t − s)

≤

−θ

Aη (U (s) − V (s)) + 2C1 s−η U (s) − V (s)

ϕ(2C2 )

ds

0
t
θ

≤ Aθ ϕ(2C2 )t

(t − s)

−θ

Aη (U (s) − V (s)) + 2C1 s−η U (s) − V (s)

ds

0
t

≤ CAθ C1 ϕ(2C2 )tθ

(t − s)

−θ −η

s

ds U − V

X(S) .

0

(1.23)

Áp dụng (1.23) với θ = η và θ = 0, ta được
t

tη Aη [{ΦU } (t) − {ΦV } (t)] ≤ CC1 ϕ(2C2 )tη

−η −η

(t − s)

s

ds U − V

X(S)

0

≤ CC1 ϕ(2C2 )t1−η B(1 − η, 1 − η) U − V
≤ CC1 ϕ(2C2 )S 1−η U − V

X(S)

X(S) ,

t

s−η ds U − V

{ΦU } (t) − {ΦV } (t) ≤ CC1 ϕ(2C2 )
0

X(S)

≤ CC1 ϕ(2C2 )t1−η B(1 − η, 1) U − V
≤ CC1 ϕ(2C2 )S 1−η U − V

X(S) .

Do đó
{ΦU } − {ΦV }

X(S)

≤ CC1 ϕ(2C2 )S 1−η U − V

nghĩa là, Φ là ánh xạ co trong X(S) nếu S đủ nhỏ.
19

X(S) ,

X(S)


Bước 3. Cho S > 0 đủ nhỏ khi đó Φ là ánh xạ đi từ K(S) và chính nó và
là một ánh xạ co theo chuẩn trong X(S). Dựa vào các tính tốn trong Bước
1 và Bước 2, S = TG,U0 > 0 được xác định bởi hai chuẩn G

F β,σ

và U0 .

Từ Định lý điểm bất động của ánh xạ co, ta suy ra tồn tại duy nhất hàm
U ∈ K(TG,U0 ) sao cho U = ΦU . Và khi đó U được xác định theo cơng thức
t

U (t) = e

−tA

e−(t−s)A [F (U (s)) + G(s)] ds,

U0 +

0 ≤ t ≤ TG,U0 . (1.24)

0

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng
F (U ) ∈ Fβ,σ ((0, TG,U0 ]; X),

0 < σ < β < 1 − η.

Thật vậy, từ
F (U (t)) ≤ ψ(C2 )(C1 t−η + 1),
suy ra
t→0

t1−β F (U (t)) ≤ CG,U0 (t1−η−β + t1−β ) −→ 0.
Hơn mữa, ta thấy
F (U (t)) − F (U (s)) = F ({ΦU } (t)) − F ({ΦU } (s))
≤ ϕ( {ΦU } (t) + {ΦU } (s) ){ Aη [{ΦU } (t) − {ΦU } (s)] + ( Aη {ΦU } (t)
+ Aη {ΦU } (s) ) {ΦU } (t) − {ΦU } (s) }
σ

σ

≤ ϕ(2C2 ) CG,U0 (t − s) s−σ−η + C(C1 t−η + C1 s−η )(t − s) s−σ
σ

σ

≤ CG,U0 (t − s) s−σ−η + s−η (t − s) s−σ
≤ CG,U0 (t − s)σ s−σ−η ,
nên
s1−β+σ F (U (t)) − F (U (s))
≤ CG,U0 s1−β−η < ∞, 0 < s < t ≤ TG,U0 .
σ
(t − s)
Do đó, F (U (t)) thỏa mãn (1.1) và (1.2), nghĩa là, F (U ) ∈ Fβ,σ ((0, TG,U0 ]; X).

20


Như vậy, ta đã có F (U ) + G ∈ Fβ,σ ((0, T ]; X). Ta có thể áp dụng Định lý
1.4.1 và Định lý 1.4.2, ta thu được (1.14), (1.15) và U là nghiệm của (1.10).
Bước 4. Xét tính duy nhất của nghiệm.
Giả sử có U là nghiệm khác của (1.10) xác định trên [0; TG,U0 ], U thuộc
(1.14), thỏa mãn
t AU (t) + U (t) ≤ CU ,

0 < t ≤ TG,U0 ,

và
tη Aη U (t) ≤ CU ,

0 < t ≤ TG,U0 .

Ta có
t

U (t) = e−tA U0 +

e−(t−s)A F (U (s)) + G(s) ds,

0 ≤ t ≤ TG,U0 ,

e−(t−s)A F (U (s)) − F (U (s)) ds,

0 ≤ t ≤ TG,U0 .

0

nên
t

U (t) − U (t) =
0

Ta lặp lại các bước chứng minh như ở Bước 2, dẫn tới
U −U

X(S)

≤ CU,U S 1−η U − U

X(S)

,

0 < S ≤ TG,U0 .

Điều đó có nghĩa là, nếu S đủ nhỏ thì U (t) = U (t) với 0 ≤ t ≤ S. Giả sử
S = sup S : U (t) = U (t)

với mọi 0 ≤ t ≤ S ,

và S < TG,U0 . Khi đó, ta có U (S) = U (S). Ta lập lại các bước chứng minh
tương tự với thời gian đầu S và giá trị ban đầu U (S) = U (S), dẫn tới
U (S + t) = U (S + t) với mọi t > 0 đủ nhỏ, điều này mâu thuẫn với giả sử.
Do đó, giả sử là sai. Vậy U (t) = U (t) với mọi 0 < t ≤ TG,U0 .

21


Chương 2

Mơ hình động học rừng với
điều kiện biên Dirichlet
Trong chương này, ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm
tồn cục của bài tốn mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet. Cuối
chương là phần trình bày về hệ động lực sinh bởi bài tốn, hàm Lyapunov
và tập ω− limit.
Xét mơ hình động lực rừng

∂u


= βδw − γ(v)u − f u




∂t


∂v



= f u − hv


 ∂t
∂w
= d∆w − βw + αv

∂t





w(x, t) = 0,






u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x), w(x, 0) = w0 (x)

trong Ω × (0, ∞),

trong Ω × (0, ∞),
trong Ω × (0, ∞),
trong ∂Ω × (0, ∞),
trong Ω,
(2.1)

trong đó Ω là miền bị chặn có biên C2 trong R2 . Các hàm u(x, t) và v(x, t)
lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại một vị trí x ∈ Ω
22