Tuyen tap cac de thi vao lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.94 MB, 140 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở giáo dục và đào tạo
HảI dơng

Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyên
nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010

Môn thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009

(§Ị thi gåm: 01 trang) 
.Câu I (2.5 điểm):

1) Giải hệ phơng trình:

   



 



2 2
2

x y xy 3

xy 3x 4

2) Tìm m ngun để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
4x24mx2m2 5m 6 0

Câu II (2.5 điểm):

1) Rót gän biĨu thøc:









 

    

 

 



 

3 3

2 4 x 2 x 2 x

4 4 x víi 2 x 2

2) Cho trớc số hữu tỉ m sao cho 3m là số vơ tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
3 2 3

a m b m  c 0 
Câu III (2.0 điểm):

1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hƯ sè của x3 là một số nguyên dơng và biết



f(5) f(3) 2010. Chøng minh r»ng: f(7) f(1)  lµ hợp số.

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:      

2 2

P x 4x 5 x 6x 13

Câu IV (2.0 điểm):

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần l ợt là hình chiếu
vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E
sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK NMP . Chøng

minh r»ng:

1) MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng trịn bàng tiếp
góc DAK của tam giỏc DAK.

Câu V (1.0 điểm):

Trờn ng trũn (O) ly hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các
điểm B và D thuộc đờng trịn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nht.

---Hết---Họ và tên thí sinh : ...Số báo danh :...
Chữ kí của giám thị 1 : ...Chữ kí của giám thị 2:...

H

ớng dẫn chấm

Câu Phần nội dung Điểm

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

câu I
2,5 điểm
1)
1,5điểm

2 2
2

x y xy 3 (1)
xy 3x 4 (2)
Từ (2)  x  0. Từ đó

2
4 3x
y
x



, thay vµo (1) ta cã: 0.25

2 2

2 4 3x 4 3x

x x. 3

x x

   

   

  0.25

 4 2

7x  23x 160 0.25

Giải ra ta đợc

2 2 16

x 1 hc x =
7



0.25
Tõ x2  1 x 1 y1;

2 16 4 7 5 7

x x y

7 7 7

    

0.25

VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);

  

 

 

4 7 5 7
;
7 7
;
 
 
 
 

4 7 5 7
;

7 7

0.25
2)

1,0®iĨm

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x'0 0.25

m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0

        . V× (m - 2) > (m - 3) nên:
x' 0

m 20 và m 30 2m3, mà mZ

m = 2 hoặc m = 3. 0.25

Khi m = 2  x'= 0 x = -1 (tháa m·n)

Khi m = 3  x'= 0 x = - 1,5 (lo¹i). 0.25

Vậy m = 2.

0.25
câu II

2,5 điểm

1)
1,5điểm

Đặt a 2x; b 2 x (a, b 0)

2 2 2 2

a b 4; a b 2x

     0.25



3 3









2 2



2 ab a b 2 ab a b a b ab

4 ab 4 ab

     

  

  0.25



 







2 ab a b 4 ab

A 2 ab a b

4 ab

  

    

 0.25





A 2 4 2ab a b

    0.25



2 2





 



A 2 a b 2ab a b a b a b

        0.25

2 2

A 2 a b 2x A x 2

      0.25

2)
1,0®iĨm

3 2 3

a m b m c 0 (1)
Gi¶ sư cã (1)

3 2 3

b m c m am 0 (2)

   

Tõ (1), (2)  (b2  ac) m3 (a m2  bc) 0.25

NÕu a m2  bc0

2
3

2
a m bc
m

b ac

là số hữu tỉ. Trái víi gi¶ thiÕt!

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 3

2 2

b ac 0 b abc

a m bc 0 bc am

    

 

   

  

 

 

3 3 3

b a m b a m

    . Nếu b0 thì

3 m b
a

là số hữu tỉ. Trái với gi¶

thiết!  a0;b0. Từ đó ta tìm đợc c = 0. 0.25
Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) ln đúng. Vậy: a = b = c = 0

0.25
câu III

2 điểm

1)
1,0điểm

Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyên dơng.

0.25
Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c

= 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) 0.25
Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c

= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)

= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)3 0.25
Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.25
2)

1,0điểm







  2 2   2 2

P x 2 1 x 3 2

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25
Ta chứng minh đợc: 



  











  

2 2

AB x 2 x 3 1 2 25 1 26










2 2

OA x 2 1

2 2

OB x 3 2

0.25
Mặt khác ta cã: OA OB AB









  2 2   2 2 

x 2 1 x 3 2 26

0.25
Dấu = xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA

x 2 1

x 7

x 3 2 .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn

OB. Vậy MaxP 26khi x = 7. 0.25

câuIV
2 điểm

1)
0,75điểm

Ta dễ dàng chøng minh tø gi¸c
MBAN néi tiÕp  MAB MNB ,

MCAP néi tiÕp  CAM CPM . 0.25
L¹i cã BNM CPM

(cïng phô gãc NMP)

 

 CAMBAM (1) 0.25
Do DE // NP mặt khác

MANP MADE (2)
Tõ (1), (2)  ADE c©n tại A

MA là trung trực của DE

MD = ME 0.25

E
B
C

A
N

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2)
1,25điểm

E
B
C

A
N

Do DE//NP nên DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nªn:

   0

NMB NAB 180  NMB DEK 1800 0.25

Theo gi¶ thiÕt DMK NMP  DMK DEK 1800

 Tø giác MDEK nội tiếp 0.25

Do MA là trung trực của DE MEAMDA 0.25

 MEA MDA   MEK MDC  . 0.25
V× MEK MDK MDK MDC DM là phân giác của góc CDK, kÕt hỵp

với AM là phân giác DAB M là tâm của đờng trịn bàng tiếp góc DAK

cđa tam giác DAK. 0.25

câu V
1 điểm

D'
B'
A'

C
A

Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B là điểm chính giữa cung

ABC AB 'CB '

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA ABBCCA ' 0.25
Ta có: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 1800 (2)

B 'BC B 'BA ' 180  0 (3);Tõ (1), (2), (3)  B 'BA B 'BA ' 0.25
Hai tam giác ABB và ABB bằng nhau  A 'B 'B ' A

Ta có  B ' A B 'C B ' A ' B 'C A ' C= AB + BC ( B’A + B’C khơng đổi

vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’. 0.25
Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADC thì ta cũng

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các
cung AC của đờng trịn (O)

Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.

Sở giáo dục và đào tạo
 Hng n

đề chính thức

kú thi tun sinh vµo lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 2010

Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:(1,5 điểm)

Cho

1 1

a 2 :

7 1 1 7 1 1

 

   



HÃy lập một phơng trình bËc hai cã hƯ sè nguyªn nhËn a - 1 là một nghiệm.
Bài 2:(2,5 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

x 16
xy

y 3
y 9
xy

x 2



 





  




b) Tìm m để phơng trình





2 2

x  2x  3x 6xm0

có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3:(2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mÃn k24 và k216 là
các số nguyên tố thì k chia hÕt cho 5.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa
chu vi thì p a p b p c 3p

Bài 4:(3,0 điểm)

Cho ng trũn tõm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của
cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại
C. Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Tổng bán kính các đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.
Bài 5:(1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J
thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc
bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8-giác EFGHIJKM là các
số hữu tỉ thì EF = IJ.

HÕt

---Họ và tên thí sinh:....
...

Chữ ký của giám thị ... . ...
...

Số báo danh:.... . . Phòng thi số:... ...

Hớng dẫn chấm thi
Bài 1:(1,5 điểm)

1 1 7 1 1 7 1 1

a 2 : 2 :

7 1 1 7 1 1

      
   
     
 
0,5 ®
a =

2 : 7

7 0,25 đ

Đặt x a 1 x 7 1  x 1  7 x22x 1 7 0,5 đ
2

x 2x 6 0

Vậy phơng trình x22x 60 nhận 7 1 làm nghiệm

0,25 đ
Bài 2:(2,5 ®iÓm)

a)
x 16
x 16
xy (1)
xy
y 3
y 3

y x 5
y 9

(2)

x y 6
x 2

  
  

 

 
     
 

  ĐK: x, y0

0,25 đ

Giải (2)

2 2

6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0

       0,25 ®

* NÕu

3y
2x 3y 0 x



   

.
Thay vào (1) ta đợc

3y 3 16
y.

2 2 3

0,25 đ

2
3y 23
2 6

(phơng trình vô nghiệm)

0,25 đ

* Nếu

2y
3x 2y 0 x

 

.
Thay vào (1) ta đợc y2  9 y3

0,25 đ

- Với y 3 x2 (thoả mÃn điều kiện)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy hệ phơng trình có hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

b) Đặt

2
2

x 2x 1 y x 1  y x 1 y (y0)
(*)
Phơng trình đã cho trở thành:









y 1  3 y 1 m0

y 5y m 4 0

     (1)

0,25 ®

Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình
(1) có 2 nghiệm dơng phân biệt

0,25 ®

0 9 4m 0

S 0 5 0

P 0 m 4 0

   
 
 
     
    
 
0,25 ®
9
m 9
4 m
4

4
m 4



     
  

VËy víi
9
4 m
4
  

thì phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.

0,25 đ

Bài 3:(2,0 ®iĨm)
a) V× k > 1 suy ra

2 2

k 45; k 165
- XÐt

2 2 2

k5n 1 (víi n ) k 25n 10n 1  k 4 5
2

k 4

  không là số nguyên tố.

0,25 đ

- Xét

2 2 2

k5n2 (víi n) k 25n 20n 4 k 16 5
2

k 16

không là số nguyên tố. 0,25 ®

- XÐt

2 2 2

k5n3 (víi n) k 25n 30n 9 k 16 5
2

k 16

không là số nguyên tố. 0,25 đ

- Xét

2 2 2

k5n4 (víi n) k 25n 40n 16  k 4 5
2

k 4

không là số nguyên tố. 
Do vậy k 5

0,25 ®

b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×









2 2 2 2

a b c 3 a b c
(*)
ThËt vËy

2 2 2 2 2 2

(*) a b c 2ab2bc 2ca 3a 3b 3c

2 2 2

(a b) (b c) (c a) 0

   (luụn ỳng)

0,5 đ

áp dụng (*) ta cã:



p a p b p c



2 3 3p



 a b c



3p
Suy ra p a p b p c 3p (đpcm)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 4:(3,0 ®iÓm)

J
I

C
N

M
O

A B

D

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)
BMC BMD

0,5 ®

Do vậy MBCvà MDB đồng dạng
Suy ra

MB MD

MB.BD MD.BC

BC BD  

0,5 ®

b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC
hay

 BJC

MBC
2

1800 BJC

BCJ cân tại J CBJ

0,5 ®

Suy ra

  BJC 180O BJC O

MBC CBJ 90 MB BJ

2 2



     

Suy ra MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

0,5 ®

c) Kẻ đờng kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đờng trịn ngoại tiếp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thc AN

Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN
Chøng minh tơng tự: CI // JN

0,5 đ

Do ú t giỏc CINJ là hình bình hành  CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đờng trịn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (không đổi)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

g

f e d

h c

b
a

G
F

I

H

J
M

C

A B

D

E

K

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi
a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dơng)

Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có
số đo là:

O
8 2 180

135
8

(  ).



0,25 ®

Suy ra mỗi góc ngồi của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
 MA = AE =

2 ; BF = BG = 
b

2 ; CH = CI = 
d

2 ; DK = DJ = 
f

2
Ta cã AB = CD nªn:

h b f d

a e

2   2  2   2
 (e - a) 2 = h + b - f - d

0,5 ®

NÕu e - a ≠ 0 th×

h b f d
2

e a
  

 

  (điều này vô lý do 2 là số vô tØ)
VËy e - a = 0  e = a hay EF = IJ (®pcm).

0,25 ®

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

---SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO 
LỚP 10

BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ 
QUÝ ĐÔN

NĂM HỌC 2009-2010
Đề chính thức Mơn thi:Tốn (chun)

Ngày thi:19/06/2009
 Thời gian:150 phút
Bài 1(1.5điểm)

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
1 2

a b c

b c c a a b

< + + <

+ + +

Bài 2(2điểm)

Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình

1 1 1

x- m+x- n+x- p= có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3(2điểm)

Với số tự nhiên n,n³ 3.Đặt

(

) (

)

( )

(

)

1 1 1

...

3 1 2 5 2 3 2 1 1

n

S

n n n

= + + +

+ + + + +

Chúng minhSn<
1
2
Bài 4(3điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trịn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB =
c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung
EC.AE cắt cạnh BC tại D.

a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

Chứng minh rằng :

(

)

2
1
2

3 2

m

n - ³ n +

Với mọi số nguyên m,n.

**********************************************

ĐÁP ÁN MÔN TỐN THI VÀO 10

TRƯỜNG CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM 2009

Bài 1:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Nên ta có

a a a a

b c a b c a b c

< =

+ + + + +

Mặt khác

a a

b+c>a+ +b c

Vậy ta có

(1)

a a a

a+ +b c<c+b<a+ +b c

Tương tự

(2);

b b b

a+ +b c<c+a<a+ +b c

(3)

c c a

a+ +b c<b+a <a+ +b c

Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Bài 2:

ĐK: x¹ m n p, , PT đã cho Û (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0

Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)

Ta có Δ' =(m+ +n p)2- 3(mn+mp+np)= m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np 
-3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np =

2[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0

Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np

Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)
(m-p) ¹ 0

= >m,n,p khơng phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đã cho ln có hai nghiệm phân biệt

Bài 3

( )

(

)

1 1 1

Ta cã :

2 1

2 1 1 4 4 1

1 n + 1 - n 1 1 1

2 1. 1

4 4

n n n n

n

n n n n n

n n

n n n n

n n

+ - +

-= =

+ + + + +

ổ ử

+ - ỗ ữữ

< = = ỗỗ - ữữ

ỗố ứ

+ +

+
Do ú

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1

2 2 2 3 1 2 1 2

n

S

n n n

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

< ỗỗỗ - + - + + - ữữ= ỗỗỗ- ữữ<

ố + ø è + ø

Bài 3:

Ta có BAD· =CAE· ( Do cung EB = cung EC)

c
b
a

O
C

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Và AEC· =·DBA( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên ΔBAD ΔEAC

. . (1)

BA AE

AB AC AE AD

AD AC

Þ = Þ =

Ta cú ãADC=ãBDC(Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên ΔACD ΔBDE

. .

AD DB

AD DE DB DChay
DC DE

Þ = Þ =

AD(AE-AD) = DB.DC

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tính chất đường phân giác ta có

DC
hay

DC DB DB DC DB a

AC AB c b c b c

= = = =

+ +

vậy ( )

2
2

. . .

DC DB a a a bc

DB DC

b c =b+c b+cÞ = b+c

theo câu a ta có AD2 = AB.AC – DB.DC = ( ) ( )

2 2

2 1 2

a bc a

bc bc

b c b c

ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ
- = ỗỗ- ữữ
ữ
ữ
ỗ
+ ố + ứ
( )
2
2
1 a
AD bc
b c
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ
ị = ỗỗ - ữữ
ữ
ữ
ỗ +
ố ứ
Bi 5:
Vỡ
m
là số hữu tỉ và 2là số vô tỉ nên 2

m

n ạ

Ta xet hai trng hợp:
a)

2 2 2 2 2

2 Khi đó m 2 2 1 hay m 2n 1

m

n m n

n > > Þ ³ + ³ +

Từ đó suy ra :

(

)

2 2
2 2
2
2 2
1
2 2

2 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 3 2

2 2 2 2

m n n

n n n n

n
n n
+
-+
- ³ - = + - = = ổ ử
+
ữ
ỗ ữ
+ + ỗỗ + + ữữ
ữ
ỗố ứ
b)

2 2 2 2 2

2 Khi đó m 2 2 1 hay m 2n 1

m

n m n

n < < Þ £ - £

-Từ đó suy ra :

(

)

2 2
2
2
2
2
2
1
2 2

2 1 1

2 2 2 2 2

2 2

1 1

1 3 2

2 2

m m n n

n n n n

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

************************************************

Equation Chapter 1
Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH

PHÚC
——————

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MƠN: TỐN

Dành cho các thí sinh thi vào lớp chun Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
—————————

(Đề có 01 trang)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

1 1 9

1 5

2
x y

x y

xy
xy



   





  




b) Giải và biện luận phương trình: |x3 |p x|  2 | 5 (p là tham số có giá trị
thực).

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho ba số thực a b c, , đôi một phân biệt.

Chứng minh

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b 

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho 2

4 4 1

A

x x



  và 2

2 2

2 1

x
B

x x




 

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho

2
3
A B

C 

là một số nguyên.

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung
điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vng góc với AD cắt đường thẳng
qua M và vng góc với BC tại Q. Chứng minh:

a) KM // AB.
b) QD = QC.

Câu 5: (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3
đỉnh của một tam giác có diện tích khơng lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả
những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích khơng lớn hơn 4.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

—Hết—

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh ... SBD ...

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN

Dành cho lớp chun Tốn.
—————————

Câu 1 (3,0 điểm).

a) 1,75 điểm:

Nội dung trình bày Điể

Điều kiện xy0 0,25

Hệ đã cho 2

2[ ( ) ( )] 9 (1)

2( ) 5 2 0 (2)

xy x y x y xy

xy xy
   


  
 0,25

Giải PT(2) ta được:

2 (3)
1
(4)
2
xy
xy



 

0,50

Từ (1)&(3) có:

1
2
3
2 2
1
x
y
x y
xy x
y
 



 
 

 
  

 

 

0,25

Từ (1)&(4) có:

1
1
3
2
2
1 1
2 2
1
x
y
x y
xy x
y
 



 

  
 
 

 

   

  
  


0,25

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y  0,25
b) 1,25 i m:đ ể

Nội dung trình bày Điể

m
Xét 3 trường hợp:

TH1. Nếu 2x thì PT trở thành: (p1)x2(p1) (1)

TH2. Nếu   3 x 2 thì PT trở thành: (1 p x) 2(1 p) (2)

TH3. Nếu x 3 thì PT trở thành: (p1)x2(p 4) (3)

0,25

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2( 4)

3 1 1

1
p
x p
p

      
 .

Nếu p1 thì (1) cho ta vơ số nghiệm thoả mãn 2x; (2) vô nghiệm; (3) vô

nghiệm. 0,25

Nếu p1 thì (2) cho ta vơ số nghiệm thoả mãn   3 x 2; (1) có nghiệm x=2;

(3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và

2( 4)
1
p
x
p



+ Nếu p = -1 thì phương trình có vơ số nghiệm 2  x

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vơ số nghiệm   3 x 2

+ Nếu
1
1
p
p
 


 

 thì phương trình có nghiệm x = 2.

0,25

Câu 2 (1,5 điểm):

Nội dung trình bày Điể

m
+ Phát hiện và chứng minh

( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ca ab

a b a c   b a b c   c a c b  

1,0

+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:

2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c bc ca ab

b c c a a b a b a c b c b a c a c b

 
 
      
 
        
   
0,5
Câu 3 (1,5 điểm):

Nội dung trình bày Điể

Điều kiện xác định: x1 (do x nguyên). 0,25

Dễ thấy

1 2( 1)

;

| 2 1| | 1|

x

A B

x x



 

  , suy ra:

2 1 1

3 | 2 1| | 1|

x
C
x x
  
   
 

  0,25

Nếu x1. Khi đó

2 1 4( 1) 4( 1) 1 2

1 0 1 1 0

3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)

x x x

C C

x x x x

  

 

          

   

 

Suy ra 0C1, hay C không thể là số nguyên với x1.

0,5
Nếu
1
1
2 x
  

. Khi đó: x0 (vì x nguyên) và C0. Vậy x0 là một giá trị cần
tìm.

0,25

Nếu

1
2
x 

. Khi đó x1 (do x ngun). Ta có:

2 1 4( 1)

1 0

3 2 1 3(2 1)

x
C
x x

 
    
 

  và

4( 1) 2 1

1 1 0

3(2 1) 3(2 1)

x x

C

x x

 

    

  , suy ra

1 C 0

   hay C 0 và x1.

Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: x0, x1.

0,25

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Nội dung trình bày Điể
m
Gọi I là trung điểm AB,

E IK CD R IM CD. Xét hai tam

giác KIB và KED có: ABD BDC

0,25

KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25
 

IKB EKD 0,25

Suy ra KIBKED IK KE. 0,25

Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25

Suy ra: MI = MR 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI =
MR nên KM là đường trung bình 
KM // CD

0,25

Do CD // AB (gt) do đó KM // AB

(đpcm) 0,25

b) 1,0 i m:đ ể

Nội dung trình bày Điể

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD  IK//AD hay

IE//AD

chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC

0,25

Có: QKAD(gt), IE//AD (CM trên)  QK IE. Tương tự có QM IR 0,25
Từ trên có: IK=KE, QK IE QKlà trung trực ứng với cạnh IE của IER. Tương

tự QM là trung trực thứ hai của IER 0,25

Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực

của đoạn CD  Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm). 0,25
Câu 5 (1,0 i m):đ ể

Nội dung trình bày Điể

A'

B'
C'

A

B C

P
P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích

S). Khi đó S1. 0.25

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các 0.25

A I B

D E H R C

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác A B C' ' ' (hình vẽ). Khi đó

' ' ' 4 4

A B C ABC

S  S  . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác

' ' '
A B C .

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên

hình vẽ . Khi đó d P AB



;



d C AB



;



, suy ra SPAB SCAB, mâu thuẫn với giả thiết tam

giác ABC có diện tích lớn nhất.

0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác A B C' ' ' có diện tích khơng

lớn hơn 4. 0.25

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI

PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010

Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho





4 2 3 3

5 2 17 5 38 2

x  

  

tính





2009

2 1

P x  x

Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 ) 
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 )

biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm

3; 4

x x thoả mãn điều kiện x3 x1x4  x2 1 . xác định b và c

Bài 3 : ( 2 điểm )

1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng





1 1 1
9
a b c

a b c

 

     

 

2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3. Chứng ming rằng

2 2 2

1 2009

670
a b c ab bc ca  
Bài 4 : ( 3, 5 điểm )

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N
lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các
cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi
E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng

3. Chứng minh

MP NQ PQ OM

a b c OC

 


 

Bài 5 : ( 2 điểm )

1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở
trên bảng về cùng một ô không

Lời giải 
Bài 1 :











 



3
3
3
3

4 2 3 3 3 1 3

5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2

1 1

1
1 2

17 5 38 17 5 38 2

x     

     

  



  

vậy P = 1

Bài 2 : vì x3 x1x4 x2 1=> x3 x11;x4 x21

Theo hệ thức Vi ét ta có



 





 



1 2
1 2
2
1 2
1 2
(1)
. (2)

1 1 (3)

1 . 1 (4)

x x b

x x c

x x b

x x bc

 

 


   

   


Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0

 b = 1 ; b = -2

từ ( 4 ) => x x1. 2x1x2 1 bc => c - b + 1 = bc ( 5 )

+) với b = 1 thì ( 5 ) ln đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành 
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu

1 4 0

c c

     

+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c 
= 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2

vậy b= 1; c

1
4
c

;
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :

1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương

a b c   abc 3

1 1 1 1

3
a b c   abc





1 1 1
9
a b c

a b c

 

     

 

dấu “=” sảy ra  a = b = c
2. ta có





2 2 2 3

3
a b c
ab bc ca a   b c  ab bc ca     

2007

669
ab bc ca

 

 

Áp dụng câu 1 ta có



2 2 2



2 2 2

1 1 1

2 2 2 9

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

 

       

 

     

 

=> 2 2 2





1 1 9

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

vậy 2 2 2

1 2009

670

a b c ab bc ca   . dấu “=” sảy ra  a = b = c = 1

Bài 4 : a) ta có

  



 



 



 



 
0
1
2
180 1
2 2

BOP BAO ABO A B

C

PNC A B

BOP PNC

   



  

 

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> AQOAMO 900

tứ giác BOPN nội tiếp => BPO BNO  900

=> AQBAPB900 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vng tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
=>

  1 

EQB EBQ  B QBC

=> QE //BC

Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC
 Q; E; F thẳng hàng

~ ( )

MP OM OP

MOP COB g g

a OC OB

NQ ON OM

NOQ COA g g

b OC OC

PQ OP OM

POQ BOA g g

c OB OC

OM MP NQ PQ MP NQ PQ

OC a b c A B C

     
     
     
 
    
 
Bài 5 :

1) 3x - y3 = 1









3x y 1 y y 1

     => tồn tại m; n sao cho

1 3 3 1

1 3 9 3.3 3 3

m m

n m m n

y y

m b x m b x

     
 
      
 
     
 

+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0
+) nếu m > 0 thì

9 3.3 3 3 3 3

9 3.3 3 9 3 9

m m n

m m n n

   
 
  
 
 
 
 
 

 

=> 9m  3.3m   3 3 3 3m



m  3



0 => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )

2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ

sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Hµ nam Năm học 2009-2010

Mụn thi : toỏn( chuyờn)

chớnh thc Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao )

Bài 1.(2,5 điểm)

1) Giải phơng trình: 2

1 1

3 2 2

x x x

2) Giải hệ phơng trình:

1
7
12
x

x y
x
x y



 

 




 

 



Bài 2.(2,0 điểm)

Cho phơng tr×nh: x 6x 3 2 m0

a) Tìm m để x = 7 48 là nghiệm của phơng trình.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn:

1 2

24
3

x x

Bài 3.(2,0 điểm)

1) Cho phơng trình:

2x 2 2m 6 x 6m52 0

( với m là tham số, x là ẩn số).
Tìm giá trị của m là số ngun để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ.
2) Tìm số abc thoả mãn:





2
4
abc a b c

Bài 4.(3,5 điểm)

Cho ABC nhọn có C A. Đờng tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với 
các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm cđa
BI vµ NE.

a) Chøng minh:

 0 

AIB 90
2
C

 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C. Khi 2 điểm A, B và tia
Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết,

chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm c
nh.

--- Hết

Họ và tên thí sinh:..Số báo danh:
Chữ ký giám thị số 1:.Chữ ký giám thị số 2..

Gi ý một số câu khó trong đề thi:

Bµi 3:

1) Ta cã '=

2
2

4m 12m 68 2m 3 77

Để phơng trình có nghiệm hữu tỷ thì ' phải là số chính phơng. Giả sử

= n2( trong ú n là số tự nhiên).

Khi đó ta có



2m 3



2 77 n2



2m 3



2 n2 77



2m 3 n

 

. 2m 3 n



77

            

Do nN nªn 2m-3+n>2m-3-n

Và do mZ, nN và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m.
2)Từ giả thiết bài tốn ta có:





























2 2
2
2 2
100 10

100 10 .4 ( 4 1 0)

4 1

10 9

10 10

4 1 4 1

a b

a b c a b c c do a b

a b

a b a

a b

a b a b


        
 
   
  
 
   

Ta cã

2
4 a b 1

là số lẻ và do 0 c 9 nên

2
4 a b 1

Mà

2
4 a b

là số chẵn nên

2
4 a b

phải có tận cùng là 6

2
a b

phải
có tận cùng là 4 hoặc 9. (*)

Mặt khác 2

2.5

4( ) 1

ab
c

a b

và

4 a b 1

là số lẻ

2
4 a b 1

<500





125, 25
a b

  

(**)
KÕt hỵp (*) vµ (**) ta cã





a b 

{4; 9; 49; 64}
 a+b {2; 3; 7; 8}

+ Nếu a+b{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k 1(k± N) khi đó





2
4 a b 1

chia
hÕt cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k 1+9a không chia hÕt cho 3±  10



a b



9a

kh«ng 3 c N

+ NÕu a+b =3 ta cã









10 3 9 6 1 3

35 7

a a

c   

. Vì 0<a<4 và 1+3a7
1+3a=7 a=2, khi đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bµi 4:

* ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET
C¸ch 1:C/m AKTIET

KT AK

ET  IE

C/m AKBINB

KB AK

BN IN

Do IE=IN từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Cách 2:

C/m TKETAI

KT TA

ET TI

C/m BIMBAK

KB AB

BM BI

Theo tính chất tia phân giác của ABT ta cã

TA AB

TI BI

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m
*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ABI  không đổi
(tia Bx là tia phân giác của ABt)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009
– 2010

Đề, lời giải Cách khác, nhận xét
Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax2 +

bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,

x2. Đặt S2 = x12 + x22 ; S1 = x1.x2 Chứng

minh raèng: a.S2 + b.S1 + 2c = 0

Theo Vi-ét ta có: x1+ x2 =

b
a


; x1.x2 =

c
a

































2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2

a.S2 + b.S1 + 2c = a x x 2

x 2 x x 2

2 . . 2

2 2 0 ( 0)

x b x c

a x x b x c

a x a x b x c

b c b

a a b c

a a a

b b

c c do a

a a
   
 
     
 
     
 
 
     
 
     

Bài 2: (2 điểm)

Cho phương trình: 2x - 7 x+ 3m – 4 =

0 (1)

a/ Định m để phương trình có một
nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm
cịn lại của phương trình.

b/ Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình (1) có nghiệm.

a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay
vào pt ta có:

2.9 - 7 9 +3m – 4 = 0

3m = 7
m = 7/3

Từ (1) ta có x0 thế vào (1) ta được pt:

 

2 x  7 x 3 0 (2)

Đặt x t 0 ta coù pt: 2t2 – 7t + 3 = 0

Giải tìm được t1 = 3 ; t2 = ½
Suy ra x1 = 9 ; x2 = ¼

Cách khác:

 

2 x  7 x 3 0 (2)

x1 = 9  x1 3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b/ Từ (1) coi phương trình với ẩn là x

Lập 1 2

81 24
7
2

x m

S x x

  

  

Để pt (1) có nghiệm thì:

1 2

81 24 0

27
7 8
0

2
x m
m

S x x

   


 

   


Câu b:

Có thể u cầu tìm số nguyên lớn
nhất của m để phương trình (1) có
nghiệm.

Chú ý: nếu thay x bởi x ta có

bài tốn tương tự.

Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:



 





 





 



1 2 2 (1)
2 3 6 (2)
3 1 3 (3)

x y
y z
z x
   

  

   

 (I)

Nhaân (1) (2) và (3) ta có:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36

(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y
+ 2)(z + 3) = -6

Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:

0
3 3
0
1 1
0
2 2
z

z
x
x
y
y
    
 
 
 
 
    



Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:

6
3 3
2
1 1
4
2 2
z
z
x
x
y
y
    
 

 
 
 
    



Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) vaø (-2 ;
-4 ; -6)

Nếu x, y, z đều là các số dương thì
hệ chỉ có 1 nghiệm

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa
độ cho parabol (P):

2
3
x
y

, điểm I(0 ;
3) và điểm M(m ; 0)

Với m là tham số khác 0.

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi
qua hai điểm M, I

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b

Khi ñi qua I(0 ; 3) vaø M(m ; 0) ta coù:

.0 3 3

( ) : 3

. 0

b

a b

d y x

m a b a m

m

  

  

 

    

 

  

 




b/ Phương trình hồnh độ giao điểm của
(d) và (P):





2
2

2 2

3
3
3

9 9 ( 0)

9 9 0

9 4. . 9 81 36 0, 0

x

x
m

mx x m do m

mx x m

m m m m



 

   

   

        

Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt.

Chứng minh AB > 6

Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên
hoành độ xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 +

9x – 9m = 0

Theo Vi-ét ta có: xA+ xB =
9

m ; xA. xB =

-9
Do A, B

3 3

( )d yA xA 3 ; yB xB 3

m m

 

     

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>





























2 2
2
2
2 2
2

2
2
2
2
2
2
2 2

2 4 2

3 3

9
9
1

4 . 1

9 9

4( 9) 1

81 9

36 1

81 729 324

36 36 6

A B A B

A B

A B A B

AB x x y y

x x x x

m m

x x x x

m

x x

m

x x x x

m

m m

m m m

   
 
 
    
 
   
 
    
 
 
 
     
   
   
       
   
 
 
   
      
   
     

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ;

R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R >
R’). Tiếp tuyến tại B của

(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến
tại B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB2 = AC.AD và

2
BC AC
BD AD
 

 
 

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A.
Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc
một đường trịn có tâm là K. Xác định
tâm K của đường tròn.

a/ Xét (O) ta có C1B 2 (chắn cung AnB)

Xét (O’) ta có D 1B1 (chắn cung AmB)

2 2 2

2 2

(1)
.

ABC ADB

AB AC BC

AD AB BD

AB AC AD

BC AB AB AC AD AC

BD AD AD AD AD

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b/ Từ (1) thay AE = AB ta có

AE AC

AD AE (*) mặt khác:

     

 

1 1 1 2 2 1

1 2

;
(**)

A C B A B D

A A

   

 

Từ (*) và (**) suy ra:
 

     

   

2 2

1 2 1 2

( )

180 ( )

AEC ADE c g c

E D

CED CBD E E B B

E D D B

xet BDE

   

 

     

   

 



Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn
tâm K. Với K là gaio điểm 3 đường trực
của BCE hoặc BDE

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Đề thi chính thức trờng thpt chuyên phan bội châunăm học 2009 - 2010

Mụn thi: TON

Thi gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x2 3 7 x 3
b) Giải hệ phương trình

3
3

8
2 3

6
2

x
y
x

y


 





  



Bài 2: (1.0 điểm)

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2 2 0

x  ax a   .

Bài 3: (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC vng tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc
AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường
thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4:(1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài
cạnh BC. Đường trịn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M
khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác
BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.

Bài 5:(2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích

lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh
của tam giác ABC.

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c  3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

P a b c ab bc ca

a b b c c a

 
   

 

---Hết
---Họ và tên thí sinh ………..……….. SBD………..
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Së GD&§T NghƯ An
§Ị thi chÝnh thøc

Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt
chuyên

phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán

Hớng dẫn chấm thi

Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang

Ni dung ỏp ỏn im

Bài 1 3,5 đ

a 2,0đ

3 x2  3 7 x 3





3 3 3 3

2 7 3 2. 7 2 7 27

x x x x x x

           0.50®

9 9. (x 2)(7 x) 27

     0.25®

3 (x 2)(7 x) 2

    0.25®

(x 2)(7 x) 8

    0.25®

2 5 6 0

x x

    0.25®

1
6
x
x




( thỏa mÃn ) 0.50đ

b 1,50đ

Đặt

z

y  0.25®

Hệ đã cho trở thành

3
3
2 3
2 3
x z
z x
  


 


0.25®





3 3

3 x z z x

    0,25®



x z x





2 xz z2 3



      0,25đ

x z

(vì x2 xz z 2  3 0,x z, ). 0,25®

Từ đó ta có phơng trình:

3 3 2 0 1

2
x
x x
x


    



Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y  

0,25đ

Bài 2: 1,0 đ

iu kin phng trỡnh có nghiệm:   0 a2  4a 8 0 (*). 0,25đ
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x1 x≥ 2).

Theo định lý Viet:

1 2

1 2 1 2

1 2

. 2

x x a

x x x x

x x a

 

   

 

0,25®
1 2

(x 1)(x 1) 3

   
1
2
1 3

1 1
x
x
 

 
 

 hc

1
2
1 1
1 3
x
x
 


 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

1
2
4
2
x
x


 



 hc

1
2
0
2
x
x






Suy ra a = 6 hc a = -2 (tháa m·n (*) )

Thư l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 thỏa mÃn yêu cầu bài toán. 0,25đ

Bài 3: 2,0 đ

Vì BE là phân giác góc ABC nên ABM MBC  AM MN 0,25®

 

MAE MAN

  (1) 0,50®

Vì M, N thuộc đờng trịn đờng

kÝnh AB nên AMB ANB 900 0,25đ
ANK AME 900, kÕt hỵp

với (1) ta có tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK

0,50®

AN AK

AM AE

0,25đ

AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ

Bài 4: 1,5 đ

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC

AIM ABC

.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp

0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam gi¸c AMI

đồng dạng với tam giác AOB

. .

AM AI

AI AO AM AB

AO AB

   

(1)

0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO

với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:
AM.AB = AE.AF

= (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R)
= AO2 - R2 = 3R2

0,25®

 AI.AO = 3R2

2 2

3 3 3

2 2 2

R R R R

AI OI

AO R

     

(2)

0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên

OA.OK = OB.OC = R2

2 2

R R R

OK

OA R

   

(3)

0,25®
Tõ (2), (3) suy ra OI = OK

Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC

Vì vậy BICK là hình bình hành 0,25đ

Bài 5: 2,0 đ

a, 1,0 đ

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O

nm v 2 phớa ca đờng thẳng BC 0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.

KỴ AH vuông góc với BC tại H. 0,25đ
Suy ra AH  AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25®

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Suy ra

. 2.1

2 2

ABC

AH BC

S

(mâu thuẫn
với giả thiết). Suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.

0,25®

b, 1,0®

Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)

= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,25đ

mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT Côsi )
b3 + bc2 2b2c

c3 + ca2 2c2a

Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

0,25®

Suy ra

2 2 2

P a b c ab bc ca

a b c

 
   

 

2 2 2

9 ( )

2( )

a b c

  
    

 

0,25đ
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh đợc t  3.

Suy ra

9 9 1 3 1

3 4

2 2 2 2 2 2 2

t t t

P t

t t



         

 P  4
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1

VËy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nu thớ sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của
câu đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010

MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Tốn)

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

1. Cho số x (x R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện :

2
2
1
x + = 7

x . Tính giá trị các biểu
thức : A = 3

3 1
x +

x và B = 
5

5
1
x +

x .

2. Giải hệ phương trình:

1 + 2 - 21
y
x

1 1

+ 2 - 2
x
y












Câu 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x

1, x2 thoả mãn điều kiện:

1 2

0 x x 2   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2a - 3ab + b
Q =

2a - ab + ac .
Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:





x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z

2 .

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)

1. Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi
qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của
các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK  BN.

2. Cho đường trịn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2. Vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo
bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại 
E. Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1 .

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh rằng: 
P  3.

--- Hết

---Họ và tên thí sinh: ……….. Số báo danh: ………..

sở giáo dục - đào tạo

hµ nam kú thi tun sinh vµo líp 10 thpt chuyênNăm học 2009 - 2010

Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Cho biÓu thøc P =



 



2 3

1 1

x x x x x

x x

   



 

a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn P

c) Tìm x để P > 0

Bài 2. (1,5 điểm)

Giải hệ phơng trình:









1 2 2

2 2 1

x y
x y

 

Bài 3. (2 điểm)

1) Tỡm to giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại
các điểm A , B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau).

Bµi 4. (3,5 ®iĨm)

Cho ABC vng đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung 
điểm của HC. Đờng trịn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại
diểm M và N.

a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tn với đờng trịn (AH)
c) Tìm trực tâm ca ABK

Bài 5. (1 điểm)

Cho x, y, z là các sè thùc tho¶ m·n: x + y + x = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 1 1

16x4yz

---hết

---Họ và tên thí sinh:..Số báo danh:
....

Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2:
..

………

sở giáo dục đào tạo

hµ nam Kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyênNăm học 2009 2010

hng dn chm thi mụn toỏn : chung

Bài 1 (2 điểm)

a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định của P là x0 và x ≠ 1 0.5

b) (1 ®iĨm)





1 1

x x x

x x




  0,25





2 3 4 4 3

1 1

x x x x x x x

x x

      



 

0,25

4
1

x
x




</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

VËy P =

1 x 0,25

c) (0,5 ®iĨm) P>0 1 x 0 0,25

1 0 1

x x

   0,25

Bài 2 (1,5 điểm)

Cộng hai phơng trình ta cã :



3 2 2



x 1 2 0,5

1 2 1

2 1

3 2 2 1 2

x 

    

  0,5

Víi x 2 1  y 2



2 1

 

2 1 1



  2 1 0,25

K/l VËy hÖ cã nghiÖm:

2 1
2 1
x
y
 

0,25

Bài 3 (2 điểm)

a) (1 im) Honh độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: x2 = x + 6

 x2 x 6 0  x2 hc x = 3 05

Víi x = -2  y4;x 3 y9 0,25

Hai ®iĨm cần tìm là (-2;4); (3;9) 0,25

b) (1 điểm)

Với y = 0





2 3

1 2 3 0

1
m

m m x

m


      

 (víi m ≠ -1)

2m+3

A - ;0

m+1

 

  

 

Víi x = 0 y2m 3 B 0;2m+3

0,25

OAB vuông nên OAB cân khi A;B O và OA = OB

2 3
2 3
1
m
m

m

   
 0,25

+ Víi





2 3 1

2 3 2 3 1 0 0

1 1

m

m m m

m m

  

        

    hc m =

3
2

(lo¹i) 0,25
+ Víi





2 3 1

2 3 2 3 1 0 2

1 1

m

m m m

m m

  

         

  hoặc m =

3
2

(loại)
K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2

0,25

Bài 4(3,5 điểm)
a) (1,5 ®iĨm)

E
N
M
I
K
H
C
B
A
0,25

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Cã AMN AHN  (cïng ch¾n cung AN)

 

AHN ACH (cùng phụ với HAN ) (AH là đờng kính)

 

AMN ACH

 

0,75
AMN ACB

   0,25

b) (1 điểm) HNC vng đỉnh N vì ANH 90  0 có KH = KC  NK = HK

lại có IH = IN (bán kính đờng trịn (AH)) và IK chung nên KNI = KHI (c.c.c)
  900

KNI KHI

    KNI 900

0,75
Có KNIn, IN là bá kính của (AH) KN là tiếp tuyến với đờng trịn (AH) 0,25

c) (1 ®iĨm)

+ Gọi E là giao điểm của Ak với đờng trịn (AH), chứng minh góc HAK= góc HBI
Ta có AH2 HB.HC  AH.2IH = HB.2HK 

HA HK

HB HI

 HAKHBI  HAK HBI

0,5

+ Cã HAK EHK (ch¾n cung HE)
 HBI EHK  BI HE//

CóAEH 900 (AH là đờng kính)  BI AK

0,25
ABK cã  BI AK vµ  BK AI  I lµ trùc tâm ABK 0,25

Bài 5 (1điểm)

1 1 1 1 1 1 21

16x 4 16x 4 16 4 16 4 16

y x z x z y

x y z

y z y z x y x z y z

       

              

 

  

0,5

Theo cối với các số dơng:

16 4 4

y x

x y dÊu b»ng x¶u ra khi y=2x

16 2

z x

x z  dÊu b»ng x¶u ra khi z=4x

1
4

z y

y z  dÊu b»ng x¶u ra khi z=2y

VËy P  49/16

0,25

P = 49/16 víi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

VËy gi¸ trị bé nhấy của P là 49/16 0,25

S GIO DC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN
NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn Tốn – Vịng 1
(Dùng cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Câu 1: (2 điểm)

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>









x 5 2 2 5 5 250

3 3

3 1 3 1

x x y y

A x y

x xy y

  

 

 



 

 

Câu 2: (2,5 điểm)

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

1 2

1 1 7

x  x 4

Câu 3: (1,0 điểm)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nơ chạy xi
dịng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sơng B và ngược dịng trở
về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận
tốc riêng của ca nơ và vận tốc dịng nước biết vận tốc riêng cảu ca nơ gấp 4
lần vận tốc dịng nước.

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) khơng đi qua tâm O cắt
đường trịn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d)
và nằm ngồi đường trịn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới
đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường trịn,
xác định tâm đường trịn đó.

b) Chứng minh MA.MB = MN2.

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4 5

23
x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 7

B 8x 18y

x y

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Đáp án:
Câu 1:
x = 10;
y = 3

A = x – y = 7
Bài 2:

a) Với m = 2 thì x1 = 0; x2 = 2/3.

b) m = -6.
Bài 3:

ĐS: Vận tốc ca nơ: 12 km/h
Vận tốc dịng nước: 3 km/h
Bài 4:

a, b).

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song
song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn).

Bài 5:

6 7

B 8x 18y

x y

2 2 4 5

8x 18y 8 12 23 43

x y x y

   

   

 

         

     

Dấu bằng xảy ra khi





1 1

x; y ;

2 3

 
 
 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi





1 1

x; y ;

2 3

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

TỈNH PHÚ N

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ
THƠNG

NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi: TỐN CHUN

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số .
a) Giải phương trình với a = 1.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2.

Câu 2.(4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3.
b) Giải hệ phương trình: 2

x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1




 .

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6.

Câu 4.(3,0 điểm)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
3 abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z).
b) Từ đó suy ra : 333333 33 2 33

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vng ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh
AB, BC, CD, DA của hình vng.

a) Chứng minh rằng SABCD

AC
4



(MN + NP + PQ + QM).

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vng PQRS. OA và OB là hai bán kính
thay đổi vng góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ,
qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của
Ax và By.

=HẾT=

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
Chữ kí giám thị 1:………Chữ kí giám thị 2:….………
SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN

***

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

MƠN : TỐN (Hệ số 2)

---ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang

I- Hướng dẫn chung:

1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì
cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm
phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.

3- Điểm tồn bài thi khơng làm trịn số.
II- Đáp án và thang điểm:

CÂU ĐÁP ÁN Điểm

Câu 1a.

(2,0đ) Ta có phương trình :

4 3 2

x + ax +x + ax + 1 = 0 (1)

Khi a =1 , (1)  x +x +x +x+1= 0 4 3 2 (2)
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được:

2
2

1 1

x + + x + +1= 0

x x (3).

Đặt

1 1 1

t = x+ t x+ x + 2

x  x  x  và 2 2 2

x + t -2

x  .

Phương trình (3) viết lại là : t + t - 1 = 02

Giải (3) ta được hai nghiệm 1

1 5

 


và 2

1 5
t
2
 

đều không
thỏa điều kiện |t| 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vơ
nghiệm.
0,50

0,50
0,50
0,50
Câu1b.

(2,0đ) Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho
x2 ta có phương trình :

2
2

1 1

x + +a x + +1= 0

x x
 
 
  .
Đặt
1
t = x +

x , phương trình sẽ là : t2 + at - 1 = 0 (4).

Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t|  2. Từ
(4) suy ra

2
1- t

a
t

.
Từ đó :

2 2
2

2
(1 - t )

a >2 2

  t (t - 4) 1 0 (5)2 2

  

Vì |t|  2 nên t2 >0 và t2 – 4  0 , do vậy (5) đúng, suy ra a2 > 2.

0,50

0,50
0,50
0,50
Câu 2a.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Điều kiện :

x+3 0

-3 x 6
6-x 0



  


 .
Đặt :
2 2

x + 3

, , 0 9.

v = 6 - x
u

u v u v

 

   




Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2

u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv

 



 

 

Suy ra : (3+uv)2-2uv = 9

uv = 0 u = 0

uv = -4 v = 0

 

   

 

x+3 = 0 x = -3
x = 6
6-x = 0

 

   



 .

Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.

0,50
0,50
0,50
0,50
Câu
2b.
(2,0đ)

Ta có hệ phương trình :

2 2

x+y+z=1 x+y = 1-z

2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1

 



 

 

2 2

x + y = 1 - z

2xy = z - 2z + 1 = (1- z)


 


 2xy = (x + y)2

 x + y = 02 2  x = y = 0  z = 1.

Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) =
(0 ;0; 1).

0,50
0,50
0,50
0,50

Câu 3.

(3,0đ) Ta có : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = 6 (1)
 3(x-3) + 6y + 2z + 3y z2 2 2 2 2 33 (2)
Suy ra : z2  3 và 2z2  33

Hay |z|  3.

Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3.
a) z = 0 , (2)  (x-3)2 + 2y2 = 11 (3)
Từ (3) suy ra 2y2 11  |y|  2.

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}.

b) |z| = 3, (2)  (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)

Từ (4)  11y2  5  y = 0, (4) khơng có số ngun x nào thỏa
mãn.

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0
;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).

0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50

Câu 4a.
(2,0đ)

3 abc3 xyz  3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)3 2 3 2 (a+x)(b+y)(c+z)

2 2

3 3

abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)

 

abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz

2 2

3 3

3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)

  (2)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

2
3

(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz (3)

2
3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó

(1) được chứng minh.

0,50

0,50
0,50
Câu4b.

(1,0đ) Áp dụng BĐT (1) với

3 3

a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1

Ta có : abc = 3 + 3 3, xyz = 3-33, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó : 33+ 33 33- 33 3 6.2.2 2 3 3 (đpcm).

0,50
0,50

Câu 5a.

(2,0) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm củaQN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =

2 (trung tuyến  vuông MBN)

Tương tự DK =

PQ
2 .

IJ =

2 (IJ là đtb  MNQ).

Tương tự IK =

PN
2 .

Vì BD  BJ + JI + IK + KD. Dođó:

ABCD

AC AC

S .BD (BJ+JI + IK+KD)

2 2

  =AC(MN+NP+PQ+QM)

4 - đpcm.

0,50

0,50
0,50
0,50
Câu5b.

(1,0) Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ

= 2(BJ + JI + IK + KD)  2BD (cmt)
Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ
//NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vng
cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.

0,50
0,50
Câu 6.

(3,0đ) Kí hiệu như hình vẽ.Phần thuận :

  0

AOB =AMB 90 (giả thiết)

 tứ giác AOBM luôn nội tiếp
 AMO ABO 45   0(vì AOB
vng cân tại O)

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Suy ra M luôn nằm trên đường
thẳng đi qua O và tạo với đường
PQ một góc 450.

Trường hợp B ở vị trí B’ thì M’
nằm trên đường thẳng đi qua O
và tạo với PS một góc 450.
Giới hạn :

*) Khi A  H thì M  Q, khi A  K thì M  S

*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A  H thì M’  P, khi A  K thì
M’  R

Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR),
qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại
A. Kẻ bán kính OB  OA.

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45   0)
Suy ra : AMB AOB 90  0.

Mà AM//PQ , PQ PS  MB//PS.

Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vng
PQRS.

0,50
0,50

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Sở Giáo dục và đào tạo
BìNH DNG

---Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 
THPT Chuyên Hùng Vơng

Năm häc 2009-2010

Mơn thi: Tốn (Chun)
Thời gian làm bài: 150 phút
(khơng kể thời gian phát đề.)

---Câu1: Giải phơng trình

2 2 2 19 2 39

x x x x

Câu 2: Giải hệ phơng trình



2 3





2 0

5 0

x y x y

x y






    

  

C©u 3: Cho a,b  R tháa:

2 3 2 3 3

a a b b

   

   

   

  

Tính a+ b

Câu 4 Cho Phơng trình bậc hai , x lµ Èn, tham sè m:





2 2 1 2 0

x  m x m

1- Chøng minh ph¬ng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
2- Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình . Chøng tá M = x1 + x2 - x1x2 không

phụ thuộc vào giá trị của m .

Cõu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . BE và CF là hai đờng cao. Trực tâm H.
Trên HB và HC lần lợt lấy điểm M , N sao cho AMC ANB 900. Chứng minh : AM = 
AN .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

GiI Thi

Câu1: Giải phơng trình

  
   

2
1
2
1
2
0
4(
5(

7
5

2 2 2 19 2 39 (*)

2 2 19

(*) 2 0

2 2 19 16
2 2 35 0

t
t

x
x

x x x x

x x

t t

x x

đặt t =

nhận)
loại

Câu 2: Giải hệ phơng trình

    


 


    



  
 
    

 
 
 

 
    

  



    
  
1
2
2
(*)
1

(*) 3 2 0

2
3
1 2
5 7
2 2
5 3
2

2 3 2 0

5 0

t

t t

t
x

x y y

x y

x
x y

x y y

x y x y

x y

đặt t = x + y

C©u 3: Cho a,b  R tháa:

2 3 2 3 3

a a b b

   

   

   

    

TÝnh a+ b









   
   
   
   
   
        
   
       
   
    
   
   
   
   

   
 
   
   

    
    

   
    
   
2 2
t
.
3
3

2 3 2 3 3

2 3 2 3 3 2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3 3

2 3 2 3

b b

a a b b

a a a a b b

a a b b

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>



 





 



ab + a + b + = 3

ab - a - b + = 3

2a + 2b = 0

a + b = 0

+ b = 0

v ì > 0, > 0
nê n a = b = 0

2 2 2 2

b + 3 a + 3 a + 3 b + 3

2 2 2 2

b + 3 a + 3 a + 3 b + 3

2 2

b + 3 a + 3

2 2

b + 3 a + 3

2 2

a + 3 b + 3










 



C©u 4 Cho Phơng trình bậc hai , x là Èn, tham sè m:





2 2 1 2 0

x  m x m

’ = [-(m+1)]2-2m = m2 +2m +1 -2m = m2 + 1 > 0

Nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
2.

1 2
1 2

1 2 1 2

TheoViet :

x + x = 2(m + 1)
x .x = 2m

M = x + x - x .x = 2(m + 1) - 2m = 2
Nên không phụ thuộc vào giá trị của m .

Câu 5:

 

 

 



AEB AFC(g-g)
AE

. . (1)

AE AC AF AB

AB
AC

2
2

(2)

, : ® êng .
.

, : ® êng .

3
( )

vMAC ME cao

MA AE AC

vNAB NF cao
NA AF AB







Tõ (1),(2),(3)

MA2 = NA2

MA = NA

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46></div>
(47)<div class='page_container' data-page=47></div>
(48)<div class='page_container' data-page=48></div>
(49)<div class='page_container' data-page=49></div>
(50)<div class='page_container' data-page=50></div>
(51)<div class='page_container' data-page=51></div>
(52)<div class='page_container' data-page=52></div>
(53)<div class='page_container' data-page=53></div>
(54)<div class='page_container' data-page=54></div>
(55)<div class='page_container' data-page=55></div>
(56)<div class='page_container' data-page=56></div>
(57)<div class='page_container' data-page=57></div>
(58)<div class='page_container' data-page=58></div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010

Mơn thi: TỐN

(Dành cho thí sinh thi vào chun Tốn, Tin)

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm : 01 trang

Bài 1. (2,0 điểm) :

a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1

2( )

(k1) k  k  k1

b. Ch ng minh r ng: ứ ằ

1 1 1 1 88

23 24 32010 2009 45

Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: x2(m1)x 6 0 (1) (m là tham số)

a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x 1  2

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x x1, 2 sao cho biểu thức:

2 2

1 2

( 9)( 4)

A x  x  đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3. (2,0 điểm):

a. Giải hệ phương trình sau :

2 2

3 3

3
9
x y xy
x y

   




 




b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:

3 2 2 3 2 3

x  x  x y

Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB
(M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ
đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại
điểm thứ hai là N.

a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm

C, M, N thẳng hàng.

b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng 120o, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho
độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng ln tồn tại ít nhất ba
đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các
đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.

========= Hết =========

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….………..Số báo danh:……….

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNHNăm học : 2009-2010

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

Bài 1.
(2điểm)

a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:

1 1 1

2( )

(k1) k  k  k1

b. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 88

23 2 4 32010 2009 45
a.

(1.0đ) Bđt

1 2 k 1 2 k

(k 1) k k. k 1

 

 

  0.25

 2k 1 2 k(k 1) 0    0.25

( k 1 k ) 0

   

Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

0.25

1 1 1

2( )

( 1) 1

  

 

k k k k 0.25

(1.0đ)

Áp dụng kết quả câu a ta có:

1 1 1 1

2 1 3 2 4 3 2010 2009

   

0.25

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 2 2 3 2009 2010

   

 

          

     

 0.25

1
2 1

2010

 

   

  0.25

1 88

2 1 VP

45 45

 

    

  (đpcm) 0.25

Bài 2

(2.5
điểm)

Cho phương trình ẩn x: x2 (m1)x 6 0 (1) (m là 
tham số)

c. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 1  2
d. Tìm m để (1) có 2 nghiệm x x1, 2 sao cho biểu thức:

2 2

1 2

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

(1,5đ) Pt (1) có nghiệm x 1  2













1 2 1 1 2 6 0

   m    0.5

Tìm được m5 2 6 và KL. 1.0

(1,0đ) Tính





1 24 0

m m

     

suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
1, 2

x x . 0.5



1 2 6





2 1 3 2



A x x   x  x

Theo ĐL Vi-et ta có x x1 2 6





1 2

2 3 0

A x  x  0.25

Max A = 0 khi và chỉ khi

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2

2 3 0 3 3

6 2 2

1 0 2

x x x x

x x x x

x x m m m

   
  
  
    
  
       
  

KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.

0.25

Bài 3

(2 điểm)

a. Gi i h phả ệ ương trình sau :

2 2

3 3

3
9
x y xy
x y
   


 



b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:

3 2 2 3 2 3

x  x  x y
a

(1.0đ)

Hệ phương trình đã cho

2 2

3
3

( ) 3 3

( )( ) 9

x y

x y xy

x y xy

x y x y xy

 
    

   
  
   
 

0.5
3 1

2 2

x y x

xy y

  

 

   

 

  hoặc

2
1
x
y




 0.5
b
(1.0đ)
Ta có
2

3 3 2 2 3 2 2 3 7 0

4 8

y  x  x  x  x     x y

 

(1)

0.25

3 3 2 9 15

( 2) 4 9 6 2 0 2

4 16

x  y  x  x  x     y x 

 

(2)

0.25
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x

= 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0) 0.25

Bài 4.

(3 điểm) đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường trịn tâm ICho hình vng ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một
đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
d. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

K
H

B
A

D C

a.
2.0đ

MNB MBC

  ( Cùng chắn cung BM)

MND MDC

  ( Cùng chắn cung DM)

BND MNB MND MBC MDC

        

Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn

1.5

Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)
Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND
Nên M, N, C thẳng hàng.

0.5
b.

1.0đ

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD

 NHOK là hình chữ nhật

Ta có : NA NC. NH AC. NH a. 2

NB ND NK BD NK a.  .  . 2

Suy ra

2 2 4

2 2 2 2

. . . 2 . . 2 . .

2 2

NH NK a

NA NB NC ND a NH NK a  a NO 

0.5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

a

NH NK  (2 2)

2
a

OM 

  0.5

Bài 5.
(0.5
điểm)

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng 
OB và OC đều là các số nguyên dương.

z
x

A
O

B C

 Chỉ ra đường thẳng d1 đi qua A và vng góc với OA thỏa mãn
bài toán

 Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB

= a + 1 nguyên dương. Đường thẳng d2đi qua A, B cắt tia Oy tại 
C.

Chứng minh được

1 1 1

OB OC OA

1 1 1

( 1)

1 OC a a

a OC a

     

 là số nguyên

dương

Suy ra d2 là một đường thẳng cần tìm.

 Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được

đường thẳng d3

 Chứng minh d d d1, ,2 3 phân biệt. ĐPCM

0.5

Hướng dẫn chung

1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải trình bầy,
lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài tốn mới cho điểm.( khơng cho điểm 
hình vẽ )

3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
 GIA LAI Năm học 2009 – 2010

……….. ………

ĐỀ CHÍNH THỨC.

Mơn thi: Tốn ( Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )

ĐỀ BÀI:

Câu 1: ( 1 điểm)

Tìm các số nguyên dương n sao cho n2 + 1 chia hết cho n + 1
Câu 2: ( 1,5 điểm)

Cho biểu thức A =

2 9 2 1 3

5 6 3 2

x x x

x x x x

  

 

   

a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Câu 3: ( 1,5 điểm)

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 4x + 1 = 0. Tính x12 + x22, x13 +

x23 và x15 + x25 ( khơng sử dụng máy tính cầm tay để tính).
Câu 4: ( 2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y x 1 và y x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ
Oxy.

b) Chứng tỏ phương trình x1 x 2 có một nghiệm duy nhất.

Câu 5: ( 1,5 điểm)

Một người dự định rào xung quanh một miếng đất hình chữ nhật có diện tích
1.600m2, độ dài hai cạnh là x mét và y mét. Hai cạnh kề nhau rào bằng gạch, còn hai

cạnh kia rào bằng đá. Mỗi mét rào bằng gạch giá 200.000 đồng, mỗi mét rào bằng đá
giá 500.000 đồng.

a) Tính giá tiền dự định rào ( theo x và y).

b) Người ấy có 55 triệu đồng, hỏi số tiền ấy có đủ để rào khơng ?

Câu 6: ( 2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H. AO kéo dài cắt (O) tại M.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và tứ giác BHCM là hình bình
hành.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

c) Chứng minh rằng:

2 2

ABC

R p

S  

, trong đó SABC là diện tích tam giác ABC và p

là chu vi của tam giác DEF.

…………Hết……….

Họ và tên: ………...; SBD………….; Phòng thi số:
…………...

Chữ kí của giám thị 1:………; Chữ kí của giám thị 2:
………...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi : TỐN hệ chun

Ngày thi : 10-7 2009

Thời gian : 150 phút ( không kể phát đề)

Câu 1 (2đ)

Rút gọn các biểu thức sau :
1) A = +

2) B = +

Câu 2 (2đ)

1) Giải hệ phương trình :
2) Giải phương trình :

Câu 3 (2đ)

Gọi đồ thị hàm số y = x là parabol (P), đồ thị của hàm số y = x - m là đường
thẳng (d) .

Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt .

Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B kí hiệu x và x lần lượt là
hồnh độ của A và B . Tìm các giá trị của m sao cho x + x = 1 .

Câu 4 (2đ)

1) Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CA. Khẳng định S = 4S đúng hay sai ? tại sao ?

2) Cho đường trịn (T) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua
B , PQ là một đường kính thay đổi của (T) khác đường kính AB. Đường
thẳng CQ cắt đường thẳng PB ở điểm M . Khẳng định CQ = 2CM đúng hay
sai ? tại sao ?

Câu 5 (2đ)

1) Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn điều kiện : 2x + 3y = 5 . Tìm x ,y

để biểu thức P = 2x + 3y + 2 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .

2) Cho t , y là hai số thực thoả mãn điều kiện : t + y + y - 5 - 4y + 7 = 0. Hãy

tìm t , y .

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Luyện thi vào lớp 10 thpt
đề thi số 1

PhÇn ii ( tù ln)

Câu 13: (1,5 điểm)

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P =

1 1 1 2

1 2 1

a a

a a a a

   

 

   

   

  

   

Câu 14: (1,5 điểm)

a) Hãy cho hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm A trên trục hoành. Vẽ hai đường
thẳng đó.

b) Giả sử giao điểm thứ hai của hai đường thẳng đó với trục tung là B,
c). Tính các khoảng cách AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.

Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 5, AB = 2AC
a) Tính AC

b) Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy một điểm I sao cho AI =

3AH. Từ C kẻ Cx //

AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích của tứ giác AHCD.

c) Vẽ hai đường tròn (B, AB) và (C, AC). Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này
là E. Chứng minh CE là tiếp tuyến của đườn tròn (B).

đề thi số 2
Phần ii ( tự luận)

Câu 13: (1,5 điểm)
Giải phương trình:

Câu 14: (1,5 điểm)
Cho hàm số

a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất?

b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với
đường thẳng y – 2x + 3 = 0?

Câu 15: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH
= 4cm; CH = 9cm. Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vng góc hạ từ H xuống
AB và AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE?

b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB?

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

đề thi số 3
Phần ii ( tự luận)

Câu 15: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ thì được

4bể nước. Hỏi

mỗi vịi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể?

Câu 16: (1 điểm) Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). Chứng 
minh rằng phương trình ln ln có nghiệm.

Câu 17: (3 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Trên đường trịn lấy điểm D
khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH AD. Đường phân giác trong
của góc DAB cắt đường trịn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt đường tròn tại
N.

a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp được?
b) Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng?

đề thi số 4
Phần ii ( tự luận)

Câu 13: (2,0 điểm) Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:

A =

6 2

. 6 : 6

3
x

x x x

x

 

 

 

  (với x > 0)

Câu 14: (1,5 điểm) Cho hai đường thẳng :

y = -x ( d1) ; y = (1 – m)x + 2 (m - 1) ( d2)

a) Vẽ đường thẳng d1

b) Xác định giá trị của m để đường thẳng d2 cắt đường thẳng d1 tại điểm M có toạ độ

(-1; 1). Với m tìm được hãy tính diện tích tam giác AOB, trong đó A và B lần lượt là
giao điểm của đường thẳng d2 với hai trục toạ độ Ox và Oy.

Câu 15: (3,5 điểm) Cho hai đường trịn (O) và (O’), tiếp xúc ngồi tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài DE, D  (O), E  (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE tại I. Gọi M

là giao điểm của OI và AD, M là giao điểm của O’I và AE.

a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’

c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính DE
d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

PhÇn ii ( tù luËn)

Câu 17: (1,5 điểm) Giải phương trình

Câu 18: (2 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 bó sách về thư viện của trường.
Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm khơng tham gia được, vì vậy mỗi bạn phải chuyển
thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi số học sinh của nhóm đó?

Câu 19: (2,5 điểm)

Cho tam giác PMN có PM = MN, . Trên nửa mặt phẳng bờ PM không chứa
điểm N lấy điểm Q sao cho

a) Chứng minh tứ giác PQMN nội tiếp được

b) Biết đường cao MH của tam giác PMN bằng 2cm. Tính diện tích tam giác PMN.

đề thi số 6
Phần ii ( tự luận)

Câu 14: (1 điểm)

Xác định các hệ số a và b trong hệ phương trình

4
8
ax by
bx ay

 




 

 , biết rằng hệ có nghiệm 
duy nhất là (1 ; -2)

Câu 15: (2 điểm)

Tổng hai chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã cho

là 16. Tìm hai chữ số đó.

Câu 16: (3 điểm)

Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt nhau tại K,
các đường phân giác ngồi của các góc M và N cắt nhau tại H.

a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng
6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH.

đề thi số 7

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Đề thi vào lớp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán ( Thêi gian 150’)
B

I µi ( 1,5 ®iÓm) :
Cho biÓu thøc A=

√

x

−4x+4

4−2x

1) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2) Tính giá trị của biÓu thøc A khi : x = 1,999

B

II µi ( 1,5 ®iĨm) :

Gi¶i hƯ phơng trình

x

y 2=1
4

x+

y −2=5

¿{

B

III µi ( 2 ®iĨm) :

Tìm các giá rị của a để ptrình :
(a2− a−3)x2+ (a+2)x −3a2=0

Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình?
B

IVài ( 4 điểm):

Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A .Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh Avà
đỉnh B . Đờng trịn đơng kính BD cắt cạnh BC tại E . Đờng thẳng AE cắt đtrịn đờng kính BD
tại điểm thứ hai là G . Đơng thẳng CD cắt đtrịn đờng kính BD tại điểm thứ hai là F . Gọi S là
giao điểm của các đờng thẳng AC và BF . Chứng minh :

1) Đờng thẳng AC song song với đờng thng FO.
2) SA.SC = SB.SF

3) Tia ES là phân gi¸c cđa gãc AEF.
B

Vài ( 1 điểm):

Giải phơng trình : x2 + x + 12

x+1=30

thi s 8

Năm học 2000 2001

thi vo lớp 10 ptth - tỉnh Nam nh

Môn toán - ( thời gian 150)
B

I µi ( 2 ®iĨm) :
Cho A =

(

a+√a

√a+1+1

)

(

a −√a

√a −1−1

)

Víi a 0 , a 1

a) Rót gän A.

b) Víi a 0 , a 1 . T×m a sao cho A = - a2.
B

II ài ( 2 điểm) :

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm : M(2;1) và N(5;- 1

2 ) và đờng thẳng (d): y = ax + b.

a) Tìm a và b để đờng thẳng (d) đi qua M và N .

b) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với hai trục Oy và Ox .
B

III ài ( 2 điểm) :

Cho số nguyên dơng gồm hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng của hai chữ số bằng 1

8 sè

đã cho và nếu thêm 13 vào tích hai chữ số sẽ đợc một số mới viết theo thứ tự ngợc lại với số đã
cho.

B

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao . Đờng trịn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt ở
M và N . NA cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là E .

a) Chứng minh 4 điểm A , B, P ,N cùng thuộc một đờng trịn. Xác định tâm và bán kính của
đ-ờng trịn đó .

b) Chøng minh : EM BC .

c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh : AM . AF = AN . AE.

thi s 9

Năm học 2001 - 2002

Đề thi vào lớp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 150’)
B

I ài ( 1,5 điểm) :
Rút gọn biÓu thøc : M =

1 1

a a
a

a a

  



 

   

  víi a  0 vµ a 1
B

iI ài ( 1,5 điểm) :

Tìm hệ số x, y thoả mÃn các điều kiện :

2 2 25

x y

xy

  




B

iiI ài ( 2 điểm) :

Hai ngời cùng làm chung một cơng việc sẽ hồn thành trong 4 giờ . Nếu mỗi ngời làm riêng
để hồn thành cơng việc thì thời gian ngịi thứ nhất làm ít hơn ngời thứ hai 6 giờ . Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi ngịi phảI làm trong bao lâu sẽ hồn thành cơng việc?

B

Iv µi ( 2 ®iĨm) :

Cho các hàm số : y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d) ( x là biến số , m là số cho trớc)
1) CMR với bất kỳ giá trị nào của m , đg thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân bịêt
2) Gọi y y1; 2là tung độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P) . Tìm m để có đẳng thức

: y1y2 11y y1 2

B

v ài ( 3 điểm) :

Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C)
Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC . Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O).
Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O)
tại điểm thứ hai là S . Chứng minh :

1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong một đòng tròn.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

đề thi số 10

Năm học 2002 - 2003

thi vo lp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 150’)
B

I µi ( 2 ®iĨm) :
Cho biĨu thøc : S =

2
:

y x xy

x y

x xy x xy

 



 

    

  víi x > 0 , y > 0 vµ x  y 
a) Rót gän biĨu thøc trªn .

b) Tìm giá trị của x và y để S = 1.
B

iI ài ( 2 điểm) :
Trªn parabol y =

2
1

2x lấy hai điểm A, B . Biết hoành đọ của điểm A là xA 2và tung độ
của điểm B là yB 8 . Viết phơng trình đờng thẳng AB.

B

Iii µi ( 1 ®iĨm) :

Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :x2 8x m 0 để 4 + 3 là nghiệm của

phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho cịn một nghiệm nữa . Tìm nghiệm cịn lại
ấy?

B

Iv ài ( 4 điểm) :

Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) . Tiếp
tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E . Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC
và BD .

1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn .
2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song vi nhau.

3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng øng ë R vµ S . CMR :
a) I lµ trung điểm của đoạn RS .

1 1 2

AB CD RS

B µi v ( 1 ®iĨm) :

Tìm tất cả các cặp số ( x , y ) nghiệm đúng phơng trình :



 



4 4 2 2

16x 1 y 1 16x y

đề thi số 11

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Đề thi vo lp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 150’)
B

I µi ( 2 điểm) :

Giải hệ phơng trình :

2 5

3 1

1,7

x x y



 

 




  

 


B

Ii µi ( 2 ®iĨm) :
Cho biĨu thøc P =

1
1

x

x  x x víi x > 0 ; x  1
a) Rót gän biĨu thøc P.

b) Tính giá trị của P khi x =

1
2

B

Iii µi ( 2 ®iĨm) :

Cho đờng thẳng d có phơng trình y = ax + b. Biết rằng đờng thẳng d cắt trục hồnh tại điểm
có hồnh độ bằng 1 và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003.

a) T×m a , b .

b) Tìm toạ độ các điểm chung ( nếu có ) của d và parabol y =

2
1
2x


.
B

Iv µi ( 3 ®iĨm) :

Cho đờng trịn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn . Từ A
kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm . Đờng thẳng đi qua O
và vng góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M .

a) CMR : MO = MA .

b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn
(O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C .

1) CMR : AB + AC – BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N .
2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng trịn thì PQ // BC.
B

v µi ( 1 điểm) :

Giải phơng trình : x2 2x 3 x2  x23x 2 x 3

thi s 12

Năm học 2004 - 2005

Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam nh

Môn toán - ( thời gian 150)
B

I µi ( 3 điểm) :

1)Đơn giản biểu thức :

P = 14 6 5  14 6 5
2) Cho biÓu thøc :

Q =

2 2 1

.
1

2 1

x x x

x

x x x

    



 

    

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

a) Chøng minh Q =

2
1
x

b) Tìm số nguyên lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên .
B

Ii µi ( 3 điểm) :

Cho hệ phơng trình :





4
2

a x y

ax y a

   




 


 ( a là tham số ) 
1) Giải hệ khi a = 1.

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị cđa a , hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x , y) sao cho
x + y  2

B

iiI µi ( 3 ®iĨm) :

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A .
M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đ
-ờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đ-ờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P .

Chøng minh :

1) Tích BM . BN không đổi .

2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn .
3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R
B

iv µi ( 1 điểm) :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2
2

2 6

2 5

x x

y

x x

 


 

thi s 13

Năm học 2005 - 2006

Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam nh

Môn toán - ( thời gian 150’)
B

I µi ( 2 điểm) :

1) Tính giá trị của biÓu thøc :

P = 7 4 3  7 4 3

2) Chøng minh :





2 4
.

a b ab a b b a

a b

a b ab

  

 

 víi a > 0 vµ b > 0.

B

iI ài ( 3 điểm) :

Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
y =

2
2
x

(P) vµ y = mx – m + 2 (d) m lµ tham sè

1) Tìm m để đờng thẳng (d) và parabol (P) cùng đi qua điểm có hồnh độ x = 4 .
2) CMR với mọi giá trị của m , đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

3) Giả sử



x y1; 1

 

, x y2; 2



là toạ độ giao điểm của của đờng thẳng (d) và parabol (P) . CMR









1 2 2 2 1 1 2 .

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

B

iiI µi ( 4 ®iĨm) :

Cho BC là dây cung cố định của đờng trịn tâm O , bán kính R ( 0 < BC < 2R ) .A là điểm di
động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H (D BC E CA F ,  , AB).

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong một đờng trịn. Từ đó suy ra
AE . AC = AF . AB

2) Gäi A là trung điểm của BC . Chứng minh AH = 2 A’O .

3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác
ABC , 2p là chu vi của tam giác DEF.

a) Chøng minh : d // EF.
b) Chøng minh : S = p . R .
B

v µi ( 1điểm) :

Giải phơng trình : 9x216 2 2 x 4 4 2 x .

đề thi s 14

Năm học 2006 - 2007

thi vo lp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 150’)
B

I ài ( 2 điểm) :
Cho biÓu thøc :

1 1 2 1

1 1 2

x x

A

x x x x

   

 

     



  

    víi x > 0 vµ x  4.
1) Rót gän A.

2) Tìm x để A = 0 .
B

iI ài ( 3,5 điểm) :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
Y = x2 (P) và y = 2(a – 1 ) x +5 – 2a ( a là tham số )

1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của parabol (P) và đờng thẳng (d)

2) Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
3) Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) ln cắt parabol (P) là x x1, 2. Tìm a để

2 2

1 2 6

x x 

B

iIi ài ( 3,5 điểm) :

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB . Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ) . Kẻ dây MN
vng góc với AB tại I . Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M , N và B ) Nối
AC cắt MN tại E . Chứng minh :

1) Tø gi¸c IECB néi tiÕp .
2) AM2 AE AC.

3) AE . AC – AI . IB = AI2 .
B

iv µi ( 1 ®iĨm) :

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

đề thi s 15

Năm học 2007- 2008

thi vo lp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 150’)
B

I ài ( 2,5 điểm) :

Cho biểu thøc :

5 2 4

1 .

2 3

x x

P x

x x

   

 

     



 

    víi x0;x4

1) Rút gọn P .
2) Tìm x để P > 1 .
B

Ii µi ( 3 điểm) :

Cho phơng trình : x2 2(m1)x m  4 0 (1) , (m lµ tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.

2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x x1, 2 ph©n biƯt mäi m.

3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x x1, 2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong

phÇn 2/ ) .
B

Iii ài ( 3,5 điểm) :

Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi
qua tâm O . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân
biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) . Gọi H là trung điểm của dây cung
AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH .
1) Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đờng tròn .

2) Chøng minh : OH . OI = OK . OM

3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O).
B

Ivài ( 1 điểm) :

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

thi s 16

Năm học 2007- 2008

TUYN SINH VO LỚP 10 THPT – TP hµ néi

Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để P <

1
2

Bài 2: (2,5 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận
tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận
tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không
trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng này
cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác
EAH.

2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB
tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.

3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .

Bài 5: (0,5 điểm)

Cho đường thẳng y = (m-1)x+2

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớnnhất.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Năm học 2007-2008

Bài 1:

1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là

2. Yêu cầu . Đối chiếu với

điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là

Bài 2:

Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình
. Giải ra ta có nghiệm x=12(km/h)

Bài 3:

1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2

2. Điều kiện cần tìm là

Bài 4:

1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA
đồng dạng.

2. nên hay

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

đều cạnh R. Vậy AH= OM=

Bài 5:

Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố

OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy
ra khi d vng góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.

đề thi số 17

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH

(TG: 120 phút)

Câu 1: (1, 5 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 2 x + 4 = 0

b) x4 – 29x2 + 100 = 0
c)

5 6 17

9 7

x y

x y

 




 


Câu 2: (1, 5 điểm)

Thu gọn các biểu thức sau:
a)

Câu 3: (1 điểm)

Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm 
chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Câu 4: (2 điểm)

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC
theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vng góc với BC.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số

OK

BC khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.

Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2007-2008

Câu 1:

a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5

+ 1.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

hay t =2.

* t = 25 x2 = 25 x = ± 5.

* t = 4 x2 = 4 x = ± 2.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)

Câu 2:

a)
b)

Câu 3:

Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có:

Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.

Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)

Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)

Câu 4:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1)

a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:

x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1.

b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > 1.

c) Khi m > 1 ta có:

S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1

Do đó: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ – .

Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)

Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với
đường trịn đường kính BC.

Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)

BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.

AH vng góc với BC.

b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và

Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

mà và (do AEHF nội

tiếp)

Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )

Vậy mà BC = 2KC nên

d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:

(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.

* Khi HC = 2 thì HE = 6 (khơng thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)

Vậy HC = 6 (cm).

đề thi số 18

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Đề thi vào lớp 10

trng PTTH chuyờn Lờ Hng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) - ( Thời gian 150’)

I µi ( 2 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc N= a

√ab+b+

b

√ab−a−
a+b

√ab Víi a,b là 2 số dơng khác nhau

1) Rút gọn biểu thức N

2) Tính giá trị của biểu thứcN khi : a=

√

6+2√5 vµ b=

√

6−2√5

II µi ( 2,5 điểm) :

Cho phơng trình ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2– 3 = 0

1) Giải phơng trình với m = √3

2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
B

III ài ( 1,5 điểm) :

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A (2;3) và Parapol (P) có ptrình là : y=−1

2x

(P)

1) Viết ptrình đờng thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2;-3).

2) CMR bất cứ đờng thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) và không song song với
trục tung bao giờ cng ct parabol y=1

2x

tại 2 điểm phân biƯt.
B

IVµi ( 4 ®iĨm):

Cho đtròn (O,R) và đờng thẳng (d) cắt đtròn tại 2 điểm A và B . Từ điểm M nằm
trên đờng thẳng (d) và ở ngồi đtrịn (O,R) kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ đến đtrịn , trong
đó P và Q là các tiếp điểm .

1) Gäi I lµ giao điểm của đoạn thẳng MO với đtròn (O,R) . CMR I là tâm đtròn
nội tiếp tam giác MPQ.

2) Xỏc định vị trí của M trên đờng thẩng (d) để tứ giác MPOQ là hình vng.

3) CMR khi điểm M di chuyển trên đờng thẳng (d) thì tâm đtrịn ngoại tiếp tam

giác MPQ chạy trên một đờng thẳng cố định.

đề thi s 19

Năm học 2000 - 2001

Đề thi vào lớp 10

trng PTTH chuyờn Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) - ( Thời gian 150’)

I ài ( 2,5 điểm) :

Cho biÓu thøc T= x+2

x√x −1+

√x+1

x+√x+1−

√x+1

x −1 Víi x > 0 vµ x 1 ≠

1) Rót gän biĨu thøc T

2) CMR víi mäi x > 0 vµ x 1 lu«n cã T < ≠ 1

II ài ( 2,5 điểm) :

Cho phơng trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2– 1

2 = 0 (1)

1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt
đối bằng nhau

2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh
góc vng của một tam giác vng có cạnh huyền bằng 3.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Trên hệ trục toạ độ Oxy Parapol (P) có ptrình là : y=x2 (P)

Viết ptrình đthẳng song song với đthẳng y = 3x + 12 và có với parabol (P) đúng một
điểm chung.

IVài ( 4 điểm):

Cho đtrịn (O) đờng kính AB = 2R . Một điểm M chuyển động trên đtròn (O) (M
khác Avà B). Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên đờng kính AB . Vẽ đtrịn (T)
có tâm là M và bán kính là MH . Từ A và B lần lợt kẻ các tiếp tuyến AD , BC đến đtròn
(T) ( D và C là các tiếp điểm ) .

1) CMR khi M di chuyển trên đtrịn (O) thì AD + BC có giá trị khơng đổi.
2) CM đthẳng CD là tiếp tuyến của đtròn (O) .

3) CM với bất kỳ vị trí nào của M trên đtrịn (O) ln có bất đẳng thức AD. BC ≤
R2. Xác định vị trí của M trên đtrịn (O) để đẳng thức xảy ra.

4) Trên đtròn (O) lấy điểm N cố định . Gọi I là trung điểm của MN và P là hình
chiếu vng góc của I trên AB . Khi M di chuyển trên đtrịn (O) thì P chy trờn
-ng no?

thi s 20

Năm häc 2001 - 2002

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hng phong Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( thời gian 150’)

B

I µi ( 2 điểm) :

Cho hệ phơng trình :

x+ay=2

ax−2y=1

¿{

( x,y là ẩn , a là tham số)
2) Giải hệ phơng trình trên.

3) Tỡm s nguyờn a ln nht để hệ phơng trình có nghiệm ( x0 ; y0 )thoả mãn bất
đẳng thức x0 y0 < 0.

B

iI µi ( 1,5 điểm) :

1) Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1=

3+√5 vµ

x2= 4

3−√5

2) TÝnh : P =

(

3+√5

)

(

3−√5

)

B

iIi ài ( 2 điểm) :

Tìm m để phơng trình : x2−2x −|x −1|+m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt.

B

iV ài ( 1 điểm) :

Giả sử x và y là các số thoả mãn đẳng thức :
(

√

x2

+5+x)(

√

y2+5+y)=5
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : M = x + y.

B

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Cho tứ giác ABCD có AB = AD và CB = CD.
1) Chøng minh r»ng :

b) Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn .

c) Tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong một đờng tròn khi và chỉ khi AB và BC vng
góc với nhau.

2) Giả sử AB BC . Gọi ( N ; r) là đờng tròn nội tiếp và ( M; R ) là đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác ABCD . Chứng minh:

a) AB + BC = r +

√

r2

+4R2
b) MN2

=R2+r2 r

r2+4R2

thi s 21

Năm học 2002 - 2003

Đề thi vào líp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 2 điểm) :

1) CMR với mọi giá trị dơng của n ta luôn cã :





1 1 1

n n n n   n  n

2) TÝnh tæng : S =

1 1 1 1

...

2 2 3 2 2 3 4 3 3 4    100 99 99 100
B

Iiài ( 1,5 điểm) :

Trên đờng thẳng y = x + 1, tìm những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức :
y2 3y x2x0

B

Iiiài ( 1,5 điểm) :

Cho hai phơng trình sau :

2
2

(2 3) 6 0

2 5 0

x m x

x x m

   

    ( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.

B

Ivµi ( 4 ®iĨm) :

Cho đờng trịn (O;R) với hai đờng kính AB và MN . Tiếp tuyến với đờng tròn (O)
tại A cắt các đờng thẳng BM và BN tơng ứng tại M N1, 1. Gọi P là trung điểm của

AM1 , Q lµ trung ®iĨm cđa AN1.

1) CMR tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc trong một đờng trịn.
2) Nếu M1N1 = 4R thì tứ giác PMNQ là hình gì?

3) Đờng kính AB cố định , tìm tập hợp tâm các đờng trịn ngoại tiếp tam giác BPQ
khi đờng kính MN thay đổi.

B

vài ( 1 điểm) :

Cho đờng tròn (O;R) và hai điểm A,B nằm phía ngồi đờng trịn (O) với OA = 2R.
Xác định vị trí của M trên đờng trịn (O) sao cho biểu thức : P = MA + 2 MB đạt giá
trị nhỏ nhất . Tìm giá tr nh nht y.

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Năm học 2003 - 2004

§Ị thi vµo líp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn toán (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 1,5 điểm) :

Cho phơng trình : x2 2(m1)x m 21 0 với x là ẩn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.

2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng x x1, 2 phân biệt thoả mãn điều

kiÖn x12 x22 4 2

B

Ii µi ( 2 ®iĨm) :

Cho hệ phơng trình : 2

2
1

x y

xy a






 

 trong đó x,y là ẩn , a là số cho trớc.
1) Giải hệ phơng trình đã cho với a = 2003 .

2) Tìm giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm.

B

iiI µi ( 2,5 ®iĨm) :

Cho phơng trình : x 5 9 x m với x là ẩn , m là số cho trớc .
1) Giải phơng trình đã cho với m = 2.

2) Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm x = a . CMR khi đó phơng trính đã cho cịn
có một nghiệm nữa là x = 14 – a.

3) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình đã cho có đúng một nghiệm .

B

Iv ài ( 2 điểm) :

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) có bán kính theo thứ tự là R , R’ cắt nhau tại hai
điểm A và B .

1) Một tiếp chung của hai đờng tròn tiếp xúc với (O) và (O’) lần lợt tại C và D . Gọi
H và K theo thứ tự là giao điểm của AB với OO’ và CD . CMR :

a) AK lµ trung tuyến của tam giác ACD .

b) B là trọng tâm của tam giác ACD khi và chỉ khi OO =

( ')

2 R R

2) Một cát tuyến di động qua A cắt (O) và (O’) lần lợt tai E và F sao cho A nằm trong
đoạn EF. Xác định vị trí của cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giá trị lớn
nhất .

B

v µi ( 2 ®iÓm) :

Cho tam giác nhọn ABC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC , M là điểm tuỳ ý trên
cạnh AB ( không trùng với các đỉnh A, B ) . Goịu H là giao điểm của các đoạn thẳng
AD và CM . CMR nếu tứ giác BMHD nội tiếp đựoc trong một đờng trịn thì có bất đẳng
thức BC 2AC.

đề thi s 23

Năm học 2004 - 2005

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I µi ( 2 ®iĨm) :

Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
1) P =

m n m n mn

m n m n

  



  v¬Ý m0,n0,m n .
2) Q =

2 2

a b ab a b

ab a b

 

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

B

Ii µi ( 1 ®iĨm) :

Giải phơng trình : 6 x x 2 2

B

Iii µi ( 3 ®iĨm) :

Cho các đờng thẳng : (d1) : y = 2x + 2 ;

(d2) : y = -x + 2;

(d3) : y = mx ( m lµ tham sè )

1) Tìm toạ độ các giao điểm A ,B , C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1) với trục hồnh

vµ (d2) víi trơc hoµnh.

2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai ng thng (d1) v (d2).

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai tia AB vµ AC.

B

Iv µi ( 3 ®iĨm) :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm nằm trên cung BC không
chứa điểm A . Trên tia AD ta lấy điểm E sao cho AE = DC.

1) Chøng minh ABECBD.

2) Xác định vị trí của D sao cho tổng DA + DB + DC lớn nhất.

B

v µi ( 1 điểm) :

Tìm x , y dơng thoả mÃn hệ

4 4

1
1

8( ) 5

x y

x y

xy

 





  




đề thi s 24

Năm học 2005 - 2006

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I µi ( 2 ®iĨm) :

Cho biÓu thøc :

 

1
1

1 1

x
x

M

x x x




 

   víi x0;x1.

1) Rót gän biĨu thøc M .

2) Tìm x để M 2.

B

iI µi ( 1 điểm) :

Giải phơng trình : x12x

B

iiI µi ( 3 ®iĨm) :

Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : y = mx2 (P) ; y = 2x +m (d) 
trong đó m là tham số , m 0.

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

2) CMR với mọi m 0 , đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
3) Tìm m để đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hồnh độ là



1 2 ; 1

 

3  2



B

ivµi ( 3 ®iĨm) :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm trên cung BC không chứa
A ( D khác B và D khác C). Trên tia DC lấy điểm E sao cho DE = DA .

1) Chứng minh ADE là tam giác đều .
2) Chứng minh ABDACE.

3) Khi D chuyển động trên cung BC không chứa A ( D khác B và D khác C) thì E
chạy trên đờng nào ?

B

vài ( 1 điểm) :

Cho 3 số dơng a, b, c thoả mÃn : a + b + c  2005. 
Chøng minh :

3 3 3 3 3 3

2 2 2

5 5 5

2005

3 3 3

a b b c c a

ab a bc b ac c

  

  

  

đề thi số 25

Năm học 2006 - 2007

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I µi ( 2 ®iĨm) :

Cho biÓu thøc :

1 1 1

1 1

x x

Q x

x x x

   

 

     


 

    víi x > 0 vµ x  1 .
1) Rót gän Q.

2) Tìm x để Q = 8 .

B

iI ài ( 1 điểm) :

Giải phơng trình : x  1 x 1

B

iiI ài ( 3 điểm) :

Cho phơng trình :









2 1 2 3 0

m x   m x m  

( x lµ ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -

9
2

2) CMR phơng trình đã cho cú nghim vi mi m.

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

B

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp đờng tròn (O) . Đờng phân giác trong AD 
và đờng trung tuyến AM của tam giác ( D BC M; BC) tơng ứng cắt đờng tròn (O)
tại P và Q ( P ,Q khác A ) . Gọi I là điểm đối xứng với D qua M .

1) Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC . Chứng minh AD là phân giác của góc
OAH .

2) Chøng minh tø gi¸c PMIQ nội tiếp .
3) So sánh DP và MQ.

B

v µi ( 1 điểm) :

Tìm x , y thoả mÃn hÖ :

2 2

3 2 2

1
2

4 ( 1) 2 2

x y

x x x x y xy



 




   

thi s 26

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chung) ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 2 điểm) :

Cho biÓu thøc :

1 1

1 1 1 1

x x x x x

P x

x x x x x

 

 

    

    

  víi x 0;x1.

1) Rút gọn biểu thức đã cho.

2) Tìm xlà số nguyên để P nhận giá trị nguyên thoả mãn biểu thức đã cho.

B

iI µi ( 2 ®iĨm) :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đờng parabol : y = x2 (P) và đờng thẳng : y = 
2(m - 1) x + m + 1 (d) .

1) Khi m = 3 , hãy tìm hồnh độ giao điểm của (d) và (P) .

2) CMR : (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m . Gọi hai giao
điểm của (d) và (P) là A x y B x y( , ); ( , )1 1 2 2 . Hãy xác định m để : y x1 2y x2 11

B

iiI ài ( 3 điểm) :

Cho nửa đờng trịn tâm O bán kính R với đờng kính AB ; C là điểm chính giữa
của cung AB ; điểm M thuộc cung AC sao cho M khác A và C . Kẻ tiếp tuyến (d) của
(O,R) tại tiếp điểm M. Gọi H là giao điểm của BM và OC . Từ H kẻ một đờng thẳng
song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) tại E .

1) Chøng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh EH = R .

3) Kẻ MK vng góc với OC tại K . Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác
OBC đi qua tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMK .

B

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

1) Gi¶i hệ phơng trình :

2 4( 1)( 1)

3
4

x y x y

x y xy

    





  




2) Gi¶i phơng trình : 8. x x( 21) 3( x2  x1)

B

v ài ( 1 điểm) : Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện : x2y1 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức M =





2 2 2

y  x

thi s 27

Năm học 1999- 2000

Đề thi vào lớp 10

trng PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chuyên) ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 1,5 điểm):

Víi x, y, z tho¶ m·n : x

y+z+

y
x+z+

z

y+x=1
H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau A= x

y+z+

y2

x+z+

z2

y+x
B

Ii µi ( 2 ®iĨm):

Tìm m để ptrình : x2+2 mx+1

x −1 =0 v« nghiƯm.

B

III ài ( 1,5 điểm):

Chứng minh bất đẳng thức sau:

√

6+

√

6+

√

6+√6+

√

30+

√

30+

√

30+√30<9

B

IV µi ( 2 ®iĨm):

Trong c¸c nghiƯm (x,y) của phơng trình :
(x2

− y2+2)2+4x2y2+6x2− y2=0

Hãy tìm tất cả các nghiệm (x,y) sao cho A= x2 +y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
B

V µi ( 3 ®iĨm):

Trên mỗi nửa đtrịn đờng kính AB của đtrịn (O) lấy một điểm tơng ứng là C và
D thoả mãn : AC2 + BD2 = AD2 + BC2

Gọi K là trung điểm của BC. Hãy xác định vị trí các điểm C và D trên đtròn (O) để
đ-ờng thẳng DK đi qua trung điểm của AB.

đề thi s 28

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Đề thi vào lớp 10

trng PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) - ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 1 điểm) :

Giải ptrình : x + √x+1 =1
B

II ài ( 1,5 điểm) :

Tìm tất cả các giá trị của x không thoả mãn đẳng thức :
(m+|m|)x2−4x+4(m+|m|)=1

dï m lấy bất cứ giá trị nào.

B

III ài ( 2,5 điểm) :

Cho hƯ ptr×nh :

|x −1|+|y −2|=1

(x − y)2+m(x − y −1)− x − y=0

¿{

1) Tìm m để hệ ptrình có nghiệm (x0; y0) sao cho x0 đạt giỏ tr ln nht . Tỡm
nghim y?

2) Giải hệ ptrình khi m = 0.

B

IVài ( 3,5 điểm):

Cho nửa đtrịn đkính AB .Gọi P là điểm chính giữa của cung AB , M là điểm chuyển
động trên cung BP .Trên đoạn AM lấy điểm N sao cho AN = BM .

1) CM tỷ số NP/ MN có giá trị không đổi khi điểm M di chuyển trên cung BP.
Tính giá trị khơng đổi ấy ?

2) T×m tËp hợp các điểm N khi M di chuyển trên cung BP.

B

Vµi ( 1,5 ®iĨm):

CMR víi mối số nguyên dơng n bao giờ cũng tồn tại hai số nguyên dơng a,b thoả
mÃn:

(1+2001)n=a+b2001

a22001b2=(2000)n

{

thi s 29

Năm học 2001 - 2002

Đề thi vào lớp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) ( Thời gian 150’)

B

I ài ( 2 điểm) :

Tỡm a và b thoả mãn đẳng thức sau:

(

1+a√a

1+√a −√a

)

a+√a

1− a =b

−b+1

B

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Tìm các số hữu tỷ a, b ,c đơi một khác nhau sao cho biểu thức :
H=

(a b)2+

(b c)2+

(c a)2
nhận giá trị cũng là số hữu tỷ.

B

iiI ài ( 1,5 điểm) :

Giả sử a và b là là hai số dơng cho trớc . Tìm nghiệm dơng của phơng trình:

√

x(a − x)+

√

x(b − x)=√ab

B

Iv ài ( 2 điểm) :

Gi A, B , C là các góc của tam giác ABC . tìm điều kiện của tam giác ABC đểbiểu
thức:

P = Sin2

A

. Sin 2

B

. Sin 2

C

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy ?

B

v µi ( 3 điểm) :

Cho hình vuông ABCD.

1) Vi mỗi điểm M cho trớc trên cạnh AB ( khác A và B). Trên cạnh AD lấy điểm N
sao cho chu vi của tam giác AMN gấp hai lần chu vi hình vng đã cho.

2) Kẻ 9 đờng thẳng sao cho mỗi đờng thẳng này chia hình vng đã cho thành 2 tứ
giác có tỷ số diện tích bằng

3. Chứng minh rằng trong 9 đờng thẳng trên có ít nht

3 ng ng quy.

thi s 30

Năm học 2002 - 2003

Đề thi vào líp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chuyên) ( Thời gian 150’)

B
 I µi

a) Víi a, b là hai số dơng thoả mÃn a2 - b > 0 . H·y chøng minh :

2 2

a a b a a b

a b

b) Không sử dụng máy tính và bảng số , CMR

7 2 3 2 3 29

5 2 2 3 2 2 3 20

 

  

   

B
 Ii µi

Giả sử x , y là các số dơng thoả mãn x + y = 10. Tính giá trị của x , y để biểu

thøc



 



4 1 4 1

P x  y 

đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị y .

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Giải hệ phơng trình : 2 2 2

( ) ( ) ( )

x y z

x y y z z x

x y z

x y y z z x



  

   




   

   



B
 Ivµi

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) bán kính R với BC = a , AC =
b , BA = c . Lấy điểm I bất kỳ ở phía trong của tam giác ABC . Gọi x ,y ,z lần l ợt
là khoảng cách từ điểm I đến BC , AC và AB của tam giác ABC .

Chøng minh :

2 2 2

a b c

x y z

R

 

  

B
 vµi

Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp điểm đợc nối với nhau bằng
đoạn thẳng . Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác
gọi là bậc của điểm A . CMR bao giờ cũng tìm đợc hai điểm trong tập hợp P có
cùng bậc.

đề thi s 31

Năm học 2003 - 2004

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) ( Thời gian 150’)

B

µi I ( 1,5 điểm) :

Cho phơng trình x2 + x – 1 = 0 . Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm trái
dấu . Gäi x1 lµ nghiƯm âm của phơng tr×nh . H·y tÝnh giá trị biểu thøc :

1 10 1 13 1

P x  x  x

B

µi iI ( 2 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc P =x 5 x(3 x). 2x .

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 x 3.

B

µi iiI ( 2 ®iĨm) :

a) Chøng minh rằng không tồn tại các số nguyên a ,b, c sao cho : a2b2c2 2007
b) Chøng minh r»ng kh«ng tån tai các số hữu tû x , y , z sao cho

2 2 2 3 5 7 0

x y z  x y z 
B

µi iv ( 2,5 ®iĨm) :

Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đờng cao AH . Gọi (O) là vòng tròn ngoại
tiếp tam giác AHC . Trên cung nhỏ AH của vòng tròn (O) lấy điểm M bất kỳ khác A .
Trên tiếp tuyến tại M của vòng tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA .
Đờng thẳng BM cắt vòng tròn (O) tại điểm thứ hai N .

a) CMR tø giác BDNE nội tiếp một vòng tròn.

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

B

µi v ( 2 ®iĨm) :

Có n điểm , trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng . Hai điểm bất kỳ đợc nối với
nhau bằng một đoạn thẳng , mỗi đoạn thẳng đợc tô một màu xanh , đỏ hoặc vàng. Biết
rằng : có ít nhất một đoạn màu xanh , một đoạn màu đỏ ,và một đoạn màu vàng ;
khơng có điểm nào mà các đoạn xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và khơng có tam
giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đó đã nối có ba cạnh cùng màu.

a) CMR không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm.
b) Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thoả mãn iu kin bi .

thi s 32

Năm học 2004 - 2005

§Ị thi vµo líp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) ( Thời gian 150’)

B

µi I ( 2 ®iĨm) :

1) Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 x 5, ta cã :
5 x x1 2

2) Giải phơng trình :

5 x x1x22x1

B

µi Ii ( 2 điểm) :

Cho x, y , z là các số dơng thoả mÃn xy + yz + zx = 1
1) CMR : 1 + x2 = ( x + y )( x + z )

2) Tính giá trị của biÓu thøc :



 





 





 



2 2 2

1 1 1 1 1 1

. . .

1 1 1

y z x z y x

P x y z

x y z

     

  

  

B

µi Iii ( 3 ®iĨm) :

Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm về
hai phía khác nhau đối với đờng thẳng AB . Đờng thẳng (d) quay quanh B , cắt các
đ-ờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C và D ( C khác A , B và D khácA , B )

1) CMR số đo các góc ACD , ADC và CAD khơng đổi .

2) Xác định vị trí của (d) sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.

3) Các điểm M, N lần luợt chạy trên (O) và (O’) , ngợc chiều nhau sao cho các
góc MOA , NO’A bằng nhau . CMR đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn
đi qua một điểm cố định .

B

ài Iv ( 2điểm) :

Tỡm a , b để hệ sau có nghiệm duy nhất.

2 2 2 4

xyz z a

xyz z b

x y z

 




 





  


B

µi v ( 1 điểm) :

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

thi s 33

Năm học 2005 - 2006

§Ị thi vµo líp 10

PTTH chun Lê Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) ( Thời gian 150’)

B

µi I ( 1,5 điểm) :

Biết a ,b , c là các số thực thoả mÃn a + b + c = 0 và abc  0.
1) Chøng minh a2b2 c2 2ab

2) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

P

a b c b c a c a b

  

     

B

µi iI ( 1,5 ®iĨm) :

Tìm các số nguyên dơng x , y ,z sao cho :
13x23y33z36

B

µi Iii ( 2 ®iĨm) :

1) Chøng minh : 3 4 x 4x 1 2 víi mäi x tho¶ m·n :

1 3

4 x 4



2) Giả phơng trình : 3 4 x 4x 1 16x2 8x1

B

µi iv ( 4 ®iĨm) :

Cho tam giác đều ABC . D và E là các điểm lần luợt nằm trên các cạnh AB và AC.
Đ-ờng phân giác của góc ADE cắt E tại I và đĐ-ờng phân giác của góc AED cắt AD tại K .
Gọi S , S S S1, ,2 3 lần lợt là diện tích của các tam giác ABC , DEI , DEK , và DEA .

Gọi H là chân đờng vng góc kẻ từ I đến DE . Chứng minh :
1)

S IH

DE AD 
2)

3 3

1 2 S S

S S

DE DE AD DE AE



 

 

3) S1S2 S

B

µi v ( 1 ®iĨm) :

Cho các số a , b, c thoả mãn : 0 a 2;0 b 2;0 c 2 và a + b + c = 3.
Chứng minh bất đẳng thức : ab bc ca  2

đề thi s 34

Năm học 2006 - 2007

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn Lờ Hồng phong – Nam định
Mơn tốn (đề chun) ( Thời gian 150)

B

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Cho hệ phơng trình :









2 2

1 1 10

x y m

x y

 





   



 ( m lµ tham sè )

a) Giải hệ phơng trình với m = 4.
b) Tìm để hệ phơng trình có nghiệm .

B

µi Ii ( 2 điểm) :

a) Biết rằng

1
5
x

x

. Tính giá trị của biểu thức

4
4
1
x

x

b) CMR phơng trình sau có nghệm với mọi giá trị của m:

2 2 2

1 1 2

5 11 35

x  mx x  mx  x  mx 

B

µi iiI ( 1 ®iÓm) :

Cho ®a thøc









5 2

( ) 2 . 3

P x  x x 

. Kí hiệu A là tổng tất cả các hệ số của P(x) và B là
tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ của P(x) ( sau khi khai triĨn ) . TÝnh A , B.

B

µi Iv ( 3,5®iĨm) :

Cho tam giác nhọn ABC ,đờng cao AH . Điểm M di động trên đoạn thẳng BC ( M
khác B và C) . Đờng trung trực của đoạn BM cắt đờng thẳng AB tại E và đờng trung
trực của đoạn CM cắt đờng thẳng AC tại F . Qua M dung đờng thẳng Mx vng góc
với EF . Mx cắt đờng trịn tâm E bán kính EM tại điểm thứ hai N .

a) Chứng minh rằng N nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đờng thẳng
Mx luôn đi qua một điểm cố định K .

b) Xác định dạng của tam giác ABC để KM . KN có giá trị khơng đổi.

B

µi v ( 1,5điểm) :

CMR tồn tại các số thùc a , b , x , y sao cho a + b = 2 , ax = by = 3 , ax2by2 4,

3 3 11

ax by  .
HÃy tính ax7by7.

thi s 35

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

thi s 36

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào líp 10

PTTH chun nguyễn bỉnh khiêm – vĩnh long
Mơn tốn (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 56 tr 11)

B

I µi ( 2 điểm) :

Cho phơng trình với ẩn sè thùc x:

x2 - 2(m - 2 ) x + m - 2 =0. (1)

Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

B

II µi ( 2 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc :

2 1 3 11

3 3

x x x

P

x

x x

 

  



  víi x  0 vµ x  9
a) Rót gän biĨu thøc P

b) Tìm x để P < 1.

B

iiI ài ( 2 điểm) :

Trong năm học 2005-2006 , trờng chuyên NBK tuyển 80 học sinh vào hai lớp 10
Toán và Tin. Biết rằng nếu chuyển 10 HS của lớp 10 Toán sang lớp 10 Tin thì sè HS cđa
hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS ban đầu của mỗi lớp.

B

Iv ài ( 3 điểm) :

Cho ng trũn tõm O bán kính R và đờng trịn tâm O’ bán kính R’tiếp xúc ngồi với
nhau tại A ( R > R’ ). Vẽ các đờng kính AOB của đờng trịn (O) và AO’C của đờng tròn
(O’) . Dây DE của đờng trịn (O) vng góc với BC tại trung điểm K ca BC.

a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của EC với đờng tròn (O’) . Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng
hàng.

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’).

B

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC = 2R . Điểm A di động trên nửa đờng trịn . Gọi
H là hình chiếu vng góc của A trên BC. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu vng góc của
H trên AC và AB. Xác định vị trí của A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất.

đề thi số 37

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyờn nguyn bnh khiờm – vĩnh long
Mơn tốn (đề chun) - ( Thời gian 150’) (S59 tr 11)

B

I ài ( 2 điểm) :

Cho phơng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)

a) CMR phơng trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm x x1, 2 của (1) thoả mãn : x12x22 14.

B

Ii µi ( 2 ®iĨm)

a) CMR : n3 – n + 2 kh«ng chia hÕt cho 6 víi mäi sè tù nhiªn n.
b) Rót gän biĨu thøc :

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

P

x

x x x

     

      

       

    ; víi x0,x9.

B

Iii ài ( 2 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m2 . Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm

chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất khơng đổi . Tính chu vi của mảnh đất ban đầu?

B

Iv ài ( 3 điểm)

Cho đtròn tâm O , bán kính R . Qua điểm A nằm ngồi đtrịn (O) vẽ đờng thẳng d
vng góc với OA . Trên d lấy điểm M khác A . Từ M vẽ các tiếp tuyến MP , MP’ với
đtròn (O) . Dây PP’ cắt OM , OA lần lợt tại N và B .

a) CMR tø gi¸c MNBA néi tiÕp .

b) Chøng minh OA.OB = OM .ON = R2.

c) Cho PMP' 60 0 vµ R = 5cm . TÝnh diiƯn tÝch tø gi¸c MPOP’.

B

v µi ( 1 ®iĨm)

Cho ABC. Trên tia đối của tia AC , BA , CB lần lợt lấy các điểm A A A1, 2, 3 sao cho

1 , 1 , 1

AA BC BB CA CC AB. CMR : SABC1SBCA1SCAB1 6SABC.

đề thi số 38

Năm học 2007 - 2008

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

PTTH năng khiếu đhqg tp. Hồ chí minh
Môn toán - ( Thời gian 150) (S 55 tr 11)

B

I µi ( 2 ®iĨm) :

a) Tìm số gồm hai chữ số biết rằng tổng của hai chữ số đó là 7 và tổng bình phơng của
hai số đó là 25.

b) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phơng trình mx22(m1)x 3 0 và x1x2 . Tính

3 3

1 2

A x x

theo m.

B

Ii ài ( 2 điểm) :

a) Giải hệ phơng trình :

2 5 5

2 0

x y

y y

b) Giải phơng trình : 12 4 3 x 3x 4

B

iiI ài ( 1 điểm) :

Giải phơng tr×nh :

2
2

900 10

2 48

4 6

x x

 

     

 

B

Iv ài ( 3 điểm) :

Cho tam giỏc ABC cân tại đỉnh A , điểm I thuộc cạnh AC sao cho AI = 2 IC.Đờng tròn
tâm O ngoaị tiếp tam giác BCI cắt cạnh AB tại K.

a) TÝnh

AK
KB.

b) Phân giác của góc CKB cắt đờng trịn (O) tai E ( E khác K) . CMR : EAKI.
c) Phân giác của góc KBC cắt KE tại F. So sánh EF và EC.

B

v ài ( 2 điểm)

Cú 3 vũi nc cùng cung cấp nớc cho một hồ nớc cạn . Đúng 8 h, cả 3 vòi cùng chảy đựơc
mở, đến 10 giờ ngời ta đóng vịi nớc thứ hai, đến 13giờ 40 phút thì hồ đầy nớc. Biết rằng
nếu mỗi vịi chảy một mình làm đầy một phần ba hồ thỡ phI mt tt c

4
14

9 giờ mới đầy

h và lu lợng của vịi thứ hai là trung bình cộng của lu lợng của vòi thứ nhất và vòi thứ
ba. Hỏi nếu mỗi vịi nớc đợc mở một mình vào đúng 8 giờ thì đến lúc nào hồ sẽ y?

thi s 39

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH n ăng khiếu đhqg tp. Hồ chí minh
Môn toán - ( Thêi gian 150’) (T7/07 tr 5)

B
 I ài :

Cho phơng trình





2 2 2 1 3

0
1

x x m m m

x

   



 (1)

a) Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phơng trình (1) .
b) Tìm m để phơng trình (1) vơ nghiệm.

B

iI µi :

a) Giải bất phơng trình :





3 1 2 1 7

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

b) Gi¶i hệ phơng trình :

2 3 2 1

x y y x x x

y x y y y

   




  



B

iiI µi :

a) Cho a , b là các số thực thoả mÃn điều kiÖn

a2 3ab2b2 a b a 2 2ab b 2 5a7b 0.
Chøng tá r»ng ab – 12a + 15b = 0 .

b) Cho

















2 4 2 1 2 4 2 2 1

x x x x x x

A

x x x

       





Hãy tìm tất cả các giá trị của x để A  0 .
B

iv µi :

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm là H và góc BAC = 600 . Gọi M , N , p lần lợt là
chân các đờng cao hạ từ A , B , C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC .

a) CMR tam giác INP đều .

b) Gọi E và K lần lợt là trung điểm của PB và NC . CMR các điểm I ,M ,E ,K cùng
thuộc một đờng trũn.,

c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . H·y tÝnh sè ®o cđa gãc BCP.

B

v µi :

Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt
đầu công việc cùng một lúc. Nếu sau sáu ngày, tổ A đợc hỗ trợ thêm 10 cơng nhân may
thì họ hồn thành cơng việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A đợc hỗ trợ 10 công nhân ngay từ
đầu thì họ sẽ hồn thành cơng việc sớm hơn tổ B một ngày . Hãy xác định số công nhân
ban đầu của mỗi tổ . Biết rằng mỗi công nhân mỗi ngày may đợc 20 sản phẩm.

đề thi số 40

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH n ăng khiếu đhqg tp. Hồ chí minh
Môn toán - ( Thời gian 150) (T1/08 tr 6)

B
 I ài :

a) Giải hệ phơng trình :

2
2

6 6

9 2

x y x

y xy

  




 




b) Cho a = 11 6 2 , b 11 6 2 . CMR a, ,b lµ hai nghiƯm của phơng trình bậc hai với
hệ số nguyên.

c) Cho c36 3 10, d 3 6 3 10 . CMR c d2, 2lµ hai nghiƯm của phơng trình bậc hai
với hệ số nguyên.

B

Ii µi :

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn . P là điểm di động trên cung BC không chứa
A . Hạ AM , AN lần lợt vng góc với PB và PC.

a) CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Xác định vị trí của điểm P sao cho biểu thức AM . PB + AN . PC đạt giá trị lớn nhất.

B

Iii µi :

a) Cho a, b , c, d là các số dơng thoả mãn điều kiện ab = cd = 1. Chứng minh bất đẳng
thức (a b c d )(  ) 4 2(  a b c d   ).

b) Cho a, b , c, d là các số dơng thoả mãn điều kiện ab cd = 1> Chứng minh bất đẳng
thức (ac bd ad bc )(  ) ( a b c d )(  ).

B

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD . Biết rằng đờng trịn đờng kính CD đi qua trung
điểm các cạnh bên AD , BC và tiếp xúc với cạnh AB. Hãy tìm số đo các góc của hình
thang.

B

v µi :

a) Cho a, b, c là các số thực dơng phân biệt có tổng bằng 3. CMR trong 3 phơng tr×nh

2 2 0; 2 2 0; 2 2 0

x  ax b  x  bx c  x  cx a có ít nhất một phơng trình có hai nghiệm phân
biệt và ít nhất một phơng trình vô nghiệm.

b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiêncó tính chất : tổng hai phần tử tuỳ ý của S là
một số chính phơng ( Ví dụ S =

5;20;44

hoặc S

10;54;90

là các tập hợp thoả mÃn cá
điều kiện trên) . Chứng minh rằng trong tập S có không quá mốt số lẻ.

thi s 41

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên tỉnh tháI nguyên

Mụn toỏn ( chung) - ( Thi gian 150’) (S 58 tr 11)

B
 Iài :

Cho hệ phơng trình :

( ) ( ) 1

(2 ) (2 ) 2

a b x a b y



a) Giải hệ phơng trình víi a = 2 vµ b = 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của a , b  Z để hệ có nghiệm x ,y nguyên.

B
 iIµi :

Cho biĨu thøc

2 2

2 2 2 2

1 ( ) 2

: 1

2 1 1 2

ax a x x a ax x

P

ax a x a x ax

 

    

   

     

a) Víi a=1, h·y rót gän P.

b) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của a để P

1
2



với mọi x mà P xác định.

B

iIiµi :

Hãy tìm tất cả các giá trị a, b, c là các số cùng dơng hoặc cùng âm sao cho biểu thức P
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó , với :

2003 2004 2005

1 . 1 . 1

2004 2005 2003

a b c

P

b c a

     

        

     

B

ivµi :

Cho tam giác ABC có góc A = 300, AB = c, AC = b, M là trung điểm BC. Một đờng
thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt đoạn AB tại
điểm P v (d) ct on AC ti im Q.

a) Đặt AP = x, hÃy tìm tập hợp giá trị của x.
b) Tính giá trị của biểu thức

AB AC

AP AQ

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

thi s 42

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên tỉnh tháI nguyên

Mụn toỏn ( chuyờn) - ( Thời gian 150’) (S 58 tr 11)

B
 Iài :

Giải phơng trình : x x( 1) x x( 2) 2 x2

B
 Iiµi :

Cho phơng trình bậc hai :

x22(m1)x m 2m 1 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè).

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm x x1, 2 thoả mãn :

1 2 3

x  x 
.

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y =

2 2( 1) 2 1

x  m x m m chứa đoạn

2;3

.
B

Iiiài :

Cho a, b là hai số thoả mÃn điều kiện

3 2

2 2 2

2 4 3 0

2 0

a b b

a a b b

    




  



H·y tÝnh giá trị của biểu thức T = a2b2

B

IVµi :

Chøng minh r»ng  n N ta cã Bn 32n 2 26n 1

 

  chia hÕt cho 11.
B

Vµi :

Cho nửa đờng trịn tâm O , đờng kính AB . Gọi C là điểm chính giữa của cung AB ; M là
điểm bất kỳ trên cung BC ( M không trùng với B,C). Đờng phân giác của góc COM cắt
AM tại I.

1) Gi¶ sử AM đi qua trung điểm của dây cung BC , h·y tÝnh tØ sè

AM
BM .

2) Tìm quỹ tích điểm I khi M di động trên cung BC.

đề thi s 43

Năm học 2007 - 2008

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

PTTH chuyªn tØnh vÜnh phóc

Mơn tốn (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S60 tr 11)

B

I ài ( 2 điểm) :

Cho phơng trình : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0.

a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.

B

iI µi ( 2,5 ®iĨm) :

a) Rót gän biĨu thøc :

2008 2007 2008 2007

M    

 

b) Cho biÓu thøc :

2 1 1

1 1 1

x x

N

x x x x x

 

  

   

Tìm x để biểu thức N có nghĩa . Khi đó CMR : N <

1
3.

B

iiI ài ( 2 điểm) :

a) Hai ụ tụ cùng xuất phát từ hai địa điểm A, B , đi ngợc chiều nhau trên một quãng
đ-ờng . Ô tô xuất phát từ A sau khi đi đợc một phần ba qng đđ-ờng thì tăng vậ tốc lên gấp
đơi nên hai ơ tơ gặp nhau ở chính giữa qng đờng . Tính vận tốc ban đầu của mỗi ơ tô ,
biết rằng vận tốc của ô tô xuất phát từ B lớn hơn vận tốc ban đầu của ụ tụ xut phỏt t A
l 10 km/h.

b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

2 1

1
A

x x

 

 , víi 0 < x < 1.
B

iv ài ( 2,5 điểm) :

Từ một điểm M nằm ngồi đờng trịn tâm O kẻ các tiếp tuyến MC , MD với đờng tròn (
C, D là các tiếp điểm ). Một cát tuyến qua M cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A, B ( B nằm
giữa A và M ). Phân giác của góc ACB cắt AB ở E . Gọi I là trung điểm của AB.

a) CMR : MC = ME.

b) CMR : DE là phân giác của góc ADB.
c) CMR : CMI CDI.

B

v ài ( 1 điểm) :

Cho x , y thoả mÃn điều kiện: x2y3 x3y4. CMR x3y32

thi s 44

Năm học 2007 - 2008

§Ị thi vào lớp 10

PTTH chuyên ĐHSp hà nội

Mụn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 61 tr 11)

B
 Iµi :

Cho a > 2 , chứng minh đẳng thức

2 2

3 ( 1) 4 2 2 1

2 1

3 ( 1) 4 2

a a a a a a

a a

a a a a

      



 

    

B
 iIµi :

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số đã cho và toạ độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB, biết rằng A có hồnh độ dơng .

2) Xác định toạ độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 sao cho tam giác AMB cân tại
M.

B

iIiµi :

Cho phơng trình : x26x6a a 2 0.

1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.

2) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phơng trình này. HÃy tìm giá trị của a sao cho

2 1 8 1

x x  x

B

ivµi :

Cho tam giác ABC cân tại A. Một đờng tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác , tiếp
xúc với AB , AC lần lợt tại X, Y và cắt BC tại hai điểm , một trong hai điểm này đ ợc ký
hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên AZ . CMR :

1) C¸c tø gi¸c HXBZ, HYCZ néi tiÕp.

2) HB , HC theo thø tù ®i qua trung ®iĨm cđa XZ, YZ.

B

iIiài :

Giải phơng trình :





2 3 6 3

2
x

x x

x

thi s 45

Năm học 2007 - 2008

§Ị thi vào lớp 10

PTTH chuyên ĐHSp hà nội

Mụn toán (đề chuyên Toán + Tin) - ( Thời gian 150’) (S 61 tr 11)

B
 Iµi :

Cho biĨu thøc :

4 2

1 1

: , 7 15

x

P Q x x

x x x x x x



   

   víi x > 0 , x  1.

1) Rót gän P.

2) Với giá trị nào của x thì Q- 4P đạt GTNN?

B
 Iiài :

Các số x, y thoả m·n : x4x y2 2y4 4 , x8x y4 4y8 8.
HÃy tính giá trị của biểy thức A x 12x y2 2y12

B

Iiiµi :

1) Tìm tất cả các số ngun dơng x , y sao cho 2(x + y ) + xy = x2 + y2.
2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thoả mãn a2b2 5c2 .
Chứng minh rằng : c < a , c < b .

B

IVµi :

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

1) AM2 = MG. ME.
2)

1 1 1

AM AB AC

B µi v :

Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3 cm và 4 cm ( các
điểm này có thể nằm bên trong hay trên cạnh của hình chữ nhật ) . CMR luôn tồn tại hai
điểm trong 6 điểm này mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5cm

Năm học 2007 2008 – đề thi số 46

Đề thi vào lớp 10 -

PTTH chuyên §H vinh ( Tg 150’) (T8/07 tr 6)

Vòng 1 B ài I ( 2 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc :

1 1 1

4 4 1 1

x x x

A

x x x

     

     

     

   

a) Rút gọn A. b) Tìm x để 2A + x=

5
4.

B

iI µi ( 3 ®iĨm) :

a) Xác định giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm kép: x2  2x m m (  3) 1 0 
b) Giải hệ phơng trình:

3 3

4
30
x y

x y xy

 




 


B

iiI ài ( 1,5 điểm) :

Cho các số thực x,y thoả mÃn x2y2 6 . HÃy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cđa
biĨu thøc P = x - 5y.

B

iv ài ( 3,5 điểm) :

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi AA’, BB’ , CC’ là các
đờng cao và H là trực tâm của tam giác ABC.

a) CMR : AA’ là đờng phân giác của góc B’A’C’.

b) Cho gãc BAC = 600. Chứng minh tam giác AOH là tam giác cân.

Vòng 2 B ài v ( 3,5 ®iĨm) :

a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 2007y = 1, trong đó x (1; 3000).

b) CMR





3 2 2 3

5n 2 n 11,

 

víi mäi sè tù nhiªn n.

B

vi µi ( 1 ®iĨm) :

Xác định các số ngun tố p ,q sao cho p2  q2q2 và 2p2 pq q 2 là các số nguyên tố
cùng nhau.

B

vii µi ( 1,5 điểm) :

Cho các số thực dơng a, b, c thoả m·n a + b + c =6.
CMR :

5 4 3

1 2 3

b c c a a b

a b c

     

  

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

B

viii µi ( 3 ®iĨm) :

Cho đờng trịn tâm O bán kính R và một điểm H nằm trong đờng tròn . Qua H ta vẽ hai
dây cung AB , CD vng góc với nhau.

a) TÝnh AB2CD2 theo R, biÕt r»ng OH = 2

R

b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD , OH. CMR: M, N, P
thẳng hàng.

B

ix ài ( 1 điểm) :

Trong mt tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2 , ngời ta lấy 5 điểm phân biệt . CMR trong 5
điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng khụng vt quỏ 1.

thi s 47

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào líp 10

PTTH chun lê q đơn - Đà nẵng
Mơn tốn (đề chung) - ( Thời gian 150’) (T 9/07 tr 4)

B µi I ( 1,5 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc :

1 x x

A x

x


  

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó , hãy rút gọn biểu thức
A.

b) Tìm x để A + x - 8 = 0.

B µi iI ( 1,5 ®iĨm) :

Cho hệ phơng trình :

(a 1)x y 3
ax y a

  




 

 ( a là tham số).
a) Giải hệ phơng trình khi a = -2.

b) Xác định tất cả các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y >
0.

B

Iiiài ( 1 điểm) :

Giải bất phơng trình : 10 2 x  x 1

B

Ivài ( 2,5 điểm) :

Cho phơng trình : mx2 - 5x - ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.
a) Giải phơng trỡnh khi m = 5.

b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 , h·y tÝnh theo m gi¸

trị của biểu thức B = 10x x1 2 3(x12x22) . Tìm m để B = 0.

B

v ài ( 3,5 điểm) :

Cho hình vng ABCD có AB = 1 cm . Gọi M, N là các điểm lần lợt di động trên các
cạnh BC và CD của hình vng, P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho BP = DN.
a) CMR tứ giác ANCP nội tiếp đợc trong một đờng tròn.

b) Giả sử DN = x cm ( 0 x 1) . Tính theo x độ dài đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP.
c) CMR: MAN 450 khi và chỉ khi MP = MN.

d) KHi M và N di động trên các cạnh BC , CD sao cho MAN 450 , tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của diện tớch tam giỏc MAN.

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào líp 10

PTTH chun lê q đơn - Đà nẵng
Mơn tốn (đề chun) - ( Thời gian 150’) (T 9/07 tr 4)

B

I ài ( 2 điểm) :

a) Giải phơng trình : x2 6 x 6
b) Giải hệ phơng tr×nh :

3 2 5

2 3 0

x y

xy x y

    


  



B

Ii ài ( 2 điểm) :

a) Cho a là số thực khác 0 . Giả sử b và c là hai nghiện ( Phân biệt) của ph ơng trình

2
2
1
0.
2
x ax
a

CMR: b4c4 2 2.

b) Với các giá trị nào của các tham số m, n thì hàm số y = mx + n x đồng biến trên R.

B

Iii µi ( 2 ®iĨm) :

a) Cho phơng trình :x2 2mx m 21 0 ( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị
nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn điều kiện 2000x1x2 2007

b) Cho a, b, c, d  R . CMR Ýt nhÊt mét trong 4 ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;

ax bx c

bx cx d

cx dx a

dx ax b

  

 

HÃy tổng quát hoá bài toán.

B

Ivài ( 2 điểm) :

Cho m , n , p , q Z ; n > 0, q > 0 vµ

m P

n  q .

a) CMR :

m km hp p

n kn hq q





với mọi k, h nguyên dơng .
b) Đảo lại, HÃy chứng tỏ rằng mọi số hữu tỷ trong kho¶ng

;
m p

n q

 

 

  đều có dạng

km hp
kn hq



,

với h, k là các số nguyên dơng nào đó.

B

vµi ( 2 ®iĨm) :

a) Cho bát giác lồi ABCDEFGH nội tiếp trong đờng tròn (C) và có AB = BC = GH =
HA = 3 cm, CD = DE = EF = FG = 2 cm . Hãy tính diện tích S của bát giác lồi đó.

b) CMR nếu đa giác lồi (H) có mọi đỉnh nằm trong hoặc nằm trên địng trịn (C) thì chu
vi của (H) bé hơn chu vi ca (C)

thi s 49

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên nguyễn tr I - hảI dÃ ơng
Môn toán - ( Thời gian 150) (T 10/07 tr 5)

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

a) Gäi a lµ nghiƯm dơng của phơng trình

2 x x 1 0

. Không giải phơng trình hÃy
tính giá trị cđa biĨu thøc

4 2

2 3

2(2 2 3) 2

a
A

a a a

b) Tìm các số hữu tỷ a, b thoả mÃn

3 2

7 20 3

3 3

a b  a b  

B µi Ii ( 1,5 điểm) :

Giải hệ phơng trình



2 2

1 1 8 0

1 1 4

x y xy

x y

    




 



 


B

iiIµi ( 2,5 ®iÓm) :

1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức a2b2 ab c 2. CMR phơng trình

2 2 ( )( ) 0

2) Cho phơng trình x2 x p 0 có hai nghiệm dơng x x1, 2 . Xác định giá trị của p

khi x14x24 x15 x25 đạt giá trị lớn nhất.

B

Ivµi ( 3 ®iĨm) :

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ), hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H ( D trên
cạnh AC, E trên cạnh AB) . Gọi I là trung điểm của BC , đờng tròn đi qua B, E, I và đờng
tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K ( K khỏc I ).

1) CMR : BDK CEK

2) Đờng thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điẻm M, H , K thẳng hàng.
3) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

B

vài ( 1 điểm) :

Cho 19 điểm trong dố khơng có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong lục giác đều có cạnh
bằng 1. CMR ln tồn tại một tam giác có ít nhất một góc không lớn hơn 450 và nằm
trong một đờng trịn có bán kính nhỏ hơn 3/5 ( đỉnh của tam giấctọ bửi 3 trong 19 điểm
đã cho)

đề thi số 50

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên toán- trờng ĐhKH huế
Môn toán - ( Thời gian 150) (T 11/07 tr 6)

B µi I ( 1,5 điểm) :

CMR nếu a, b,c thoả mÃn a + b + c = 2007 vµ

1 1 1 1

2007

a b c   thì một trong ba số đó phải

cã mét sè b»ng 2007

B µi Ii ( 2 ®iĨm) :

a) CMR : A =





32 1 3 2 1




</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

b) Gi¶i hệ phơng trình :

3 3 2 2

1
x y

x y x y

 




  


B µi iiI ( 1 ®iĨm) :

Cho hai đa thức : P x( )x4ax1, ( )Q x x3ax1. Hãy xác định giá trị của a để P(x) và
Q(x) có nghiệm chung.

B µi Iv ( 3 ®iĨm) :

Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên hai cạnh AD và CD lần lợt lấy các điểm M và N
sao cho gãc MBN = 450 . BM vµ BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.

a) Chứng tỏ rằng M, E , F, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) MF và NE cắt nhau tại H , BH cắt MN tại I . Tính BI theo a;
c) Tính vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất .

B µi v ( 1,5 ®iĨm) :

Cho a, b, c là các số dơng
a) Chứng minh rằng

3
2

a b c

b c c a a b   ;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc :

a b c b c c a a b

A

b c c a a b a b c

  

     

   .

B µi vI ( 1 điểm) :

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng tr×nh : 5 ( x + y + z) = 4xyz 24.

thi s 51

Năm học 2007 - 2008

§Ị thi vµo líp 10

PTTH chun lê q đơn – bình định
Mơn tốn - ( Thời gian 150’) (T 12/07 tr 5)

B µi I ( 1,5 ®iĨm) :

Cho x > y vµ xy = 1. CMR :

2 2

x y

x y





B

iIài ( 3,5 điểm) :

Giải các phơng trình sau:

2 2

) 2 ;

) 4 5 1 2 1 9 3

a x x x

b x x x x x

  

      

B

iiiµi ( 2 ®iÓm) :

Chøng minh r»ng nÕu các số thực x, y, a, b thoả mÃn các ®iỊu kiƯn x + y = a + b và

4 4 4 4

x y a b thì xnyn an bn , với mọi số nguyên dơng n.
B

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Cho tam giác ABC vuông tại A . Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M , N là các điểm
trên cạnh BC , còn P ,Q lần lợt là các điểm trên cạnh AC , AB . Gäi R R R1, 2, 3 theo thø tù

là bán kính đờng trịn nội tiếp các tam giác BQM , CPN , và AQP . CMR:

a) Tam giác AQP đồng dạng với tam giác MPQ và tam giác MBQ đồng dạng với tam
giác NPC ;

b) DiƯn tÝch tø gi¸c MNPQ lín nhÊt khi vµ chØ khi R12R22 R32 .

thi s 52

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên hà tĩnh

Môn toán (Vòng 1)- ( Thời gian 150’) (T 2-08 tr 3)

B µi I :

Cho phơng trình : (m + 1 ) x2- ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm
kia.

B

iIµi :

a) Giải phơng trình : 2x2 2x 1 4x1
b) Giải hệ phơng trình :

2 2

2 6

x x y y

y x

   





 




B

iiIµi :

Cho x, y thoả mãn đẳng thức







2 4 2 4 4

x   x y   y 

. TÝnh x +y ?

B

Ivµi :

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và một điểm M bất kỳ thuộc đờng tròn ( M khác A
và B) . Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M trên AB . Đờng trịn đờng kính HM
cắt các dây cung MA , MB lần lợt tại P và Q .

a) CMR : PHQ900 vµ MP . MA = MQ . MB .

b) Gọi E , F lần lợt là trung điểm của AH , BH . Tứ giác EPQF là hình gì?
c) Xác định vị trí của M để tứ giác EPQF có diện tích lớn nhất .

B

vIµi :

Cho ba số dơng a , b, c thoả mÃn a + b + c =1. CMR :

1 1

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

thi s 53

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH chuyên hà tĩnh

Môn toán (Vòng 2)- ( Thêi gian 150’) (T 2-08 tr 3)

B µi I :

a) Giải phơng trình : x4 2x34x2 3x 4 0.

b) Tìm những điểm M(x;y) trên đờng thẳng y = x + 1 có toạ độ thoả mãn đẳng thức :

2 3 2 0

y  y x x
B

iIµi :

C¸c sè x , y, z kh¸c 0 , tho¶ m·n xy + yz + zx = 0 . Tính giá trị của biểu thức
2 2 2

yz zx xy

P

x y z

  

B

Iiiµi :

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 xy y 2 2x 3y 2

B

Ivµi :

Tìm tất cả các bộ ba số dơng ( x; y ; z ) thoả mÃn hệ:

2008 2007 2006

2008 2007 2006
2008 2007 2006
2

2
2

x y z

y z x

z x y

  



 




 



B µi v :

Từ một điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O , vẽ hai tiếp tuyến PE , PF tới đờng tròn
( E , F là các tiếp điểm ) . Tia PO cắt đờng tròn tại A ,B sao cho A nằm giữa P và O . Kẻ

EH vng góc với FB ( H  FB ) . Gọi I là trung điểm của EH . Tia BI cắt đờng tròn tại
M ( M  B ) , EF cắt AB tại N . CMR :

a) EMN 900.

b) Đờng thẳn AB là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm P , E , M .
B ài vi :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

x y z

P

y z z x x y

  

  

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

thi s 54

Năm học 2007 - 2008

Đề thi vào lớp 10

PTTH amsterdam và chu văn an hà nội

Môn toán - ( Thêi gian 150’) (T 3-08 tr 4)

B µi I (3 điểm) :

Cho phơng trình : x2 3y22xy 2x10y 4 0 (1)

1) T×m nghiƯm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mÃn x2y2 10
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).

B

iIài (4 ®iĨm) :

Cho điểm A di chuyển trên đờng tròn tâm O đờng kính BC = R ( A khơng trùng với B
và C ) . Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của AM . Gọi H là hình chiếu
vng góc của A lên BC và I là trung điểm của HC .

1) CMR : M chuyển động trên một đờng tròn cố định .
2) CMR : AHM đồng dạng với CIA.

3) CMR : MH AI

4) HM cắt đờng tròn (O) tại E và F , AI cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là G . CMR
tổng các bình phơng các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.

B

Iiiài (1 điểm) :

Tìm số nhỏ nhất trong các số nguyên dơng là bội của 2007 và có bốn chữ số cuối cùng

là 2008.

B

Ivài (1 điểm) :

Cho lới ơ vng kích thớc 5x5 . Ngời ta điền vào mỗi ô vuông của lới một trong các số
-1; 0 ; 1 . Xét tổng của các số tính theo từng cột , theo từng hàng và theo từng đờng
chéo. CMR trong tất cả các tổng đó ln tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

B

vµi (1 ®iĨm) :

TÝnh tỉng sau theo n ( n N *)

S 2n12.2n23.2n3... ( n1).2n

Năm học 2008- 2009

thi s 55

thi vo lp 10 ptth - tnh Nam nh

Môn toán - ( thêi gian 120’)

B

ài I (2 điểm) : Các câu dới đây , sau mỗi câu có nêu 4 phơng án trả lời ( A, B, C, D) , trong đó
chỉ có một phơng án đúng . Hãy viết vào bài làm của mình phơng án trả lời mà em cho là đúng

( Chỉ cần viết chữ cái ứng với phơng án trả lời đó ) .

Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho hai đờng thẳng d y1: 2x1 và d2:y x  1. Hai đờng thẳng

đã cho cắt nhau tại điểm có toạ độ là :

A .(-2;-3) B. (-3;-2) C. (0;1) D . ( 2;1)

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

A .y = -2x B. y = -x + 10 C. y = 3x3 D . y =





2
3 2 x

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho các đồ thị hàm số y2x3 và y x 2. Các đồ thị đã cho
cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ lần lợt là :

A .1 vµ -3 B. -1 vµ -3 C. 1 vµ 3 D . -1 và 3

Câu 4: Trong các phơng trình sau đây , phơng trình nào có tổng hai nghiÖm b»ng 5?

A . x2 5x25 0 B. 2x210x 2 0 C.x2 5 0 D . 2x210x 1 0
Câu 5: Trong các phơng trình sau đây , phơng trình nào có hai nghiệm âm?

A . x22x 3 0 B. x2 2x1 0 C.x23x 1 0 D . x2 5 0

Câu 6: Trong hai đờng tròn (O,R) và (O,R’) có OO’ = 4 cm; R = 7 cm, R’ = 3 cm. Hai đờng tròn
đã cho

A . c¾t nhau B. tiÕp xóc trong C. ë ngoµi nhau D . tiếp xúc ngoài

Câu 7: Cho ABC vu«ng ë A cã AB = 4 cm; AC = 3 cm. Đtròn ngoại tiếp ABC có b¸n b»ng

A . 5 cm B. 2 cm C. 2,5 cm D . 5 cm

Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là 3 cm, chiều cao là 5 cm . Khi đó , diện tích xung quanh
của hình trụ đã cho bằng

A . 30 cm2 B. 30 cm2 C. 45 cm2 D . 15 cm2
B

µi iI (1,5 ®iĨm) :

Cho biĨu thøc

2 1

1 :

1 1

x x x

P

x x x x

 

 

  

  

  víi x  0.

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 0.

B

µi iII (2 điểm) :

Cho phơng trình x22mx m 1 0.
a) Giải phơng trình với m = 2.

b) CM : phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt, với mọi m . Hãy xác định m để
ph-ơng trình có nghiệm d ơng .

B

µi iV (3 ®iĨm) :

Cho đờng trịn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O . Kẻ đờng thẳng vng
góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đờng
thẳng BM và AN . Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB
và AM lần lợt ở K và H . Hãy chứng minh :

a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM .
b) KM là tiếp tuyến của ng trũn (O;R).

c) Ba điểm H , N, B thẳng hµng.

B

µi V (1,5 điểm) :

a) Giải hệ phơng trình

2
2
6 12
3

xy y

xy x

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Năm häc 2008- 2009

đề thi s 56

Đề thi vào lớp 10 ptth tp hà nội

Môn toán - ( thời gian 120)
B

I µi

Cho biÓu thøc

:
1

x x

P

x x x x

   

    

     

   

1) Rót gän biĨu thøc P

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4
3) Tìm x để P =

13
3
B

II : ài Giải bài toán bằng cách lập phơng tr×nh

Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy . Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 10 % so với tháng thứ nhất , vì vậy hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết
máy .Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?

Bµi
III :

Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho Parapol (P) có ptrình là :

1
2

y  x

và đờng thẳng (d) có
phơng trình y = mx + 1

a) CMR: với mọi giá trị của m đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt .

b) Gọi A ,B là hai giao điểm của (d) và (P) .Tính diện tích AOB theo m ( O là gốc
toạ độ )

B
IVµi :

Cho đtrịn (O), đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đờng trịn đó ( E
khác A và B). Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng tròn (O) tại
điểm thứ hai là K.

a) Chứng minh KAF đồng dạng KEA.

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

c) Chứng minh MN // AB , trong đó M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của AE ,
BE với đờng tròn (I).

d) Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của KPQ theo R khi E di chuyển trên đờng tròn
(O), với P là giao điểm của NE và AK, Q là giao điểm của MF và BK.

B
Vài :

Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A biÕt











 



4 4 2 2

1 3 6 1 3

A x  x  x x

Đáp án

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2008 - 2009
Câu I.

1. Rút gọn P
Điều kiện:

2. Với
3. Tìm x để:

Đặt

Với
Với

Vậy nghiệm là : và

Câu II .

Gọi tháng thứ nhất tổ I sản xuất được x ( chi tiết máy)

Do tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên tháng thứ hai tổ
II sản xuất được 900 – x (chi tiết máy)

(Điều kiện: 0< x < 900)

Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất được số chi tiết máy là:
x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1)

Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất được số chi tiết máy là:
(900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x). 110% ( chi tiết máy) (2)

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

ta có phương trình:

Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 (chi tiết máy)

Vậy tháng thứ nhất tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy)

Câu III.

1. Phương trình ho nh à độ giao i m c a (P) v (d) l nghi m c a phđ ể ủ à à ệ ủ ương trình:

(1)

(1) có hai nghi m phân bi t v i m i m vì a.c = - 4 < 0ệ ệ ớ ọ
(2) V y (d) luôn c t (P) t i hai i m phân bi tậ ắ ạ đ ể ệ

2.Phương trình (1) có:

Phương trình (1) có 2 nghiệm:
và

Ta chọn: và

Thay vào (d): ta được:

và

Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A
và B lên trục Ox

Gọi S1 là diện tích của hình thang ABB’A’

Gọi S2 là diện tích của tam giác AOA’
(vì )
Gọi S3 là diện tích của tam giác BOB’

Vậy (vì )

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

(đvdt)

Câu IV.

1) Xét hai và có:
Góc chung (1)

(
góc nội tiếp ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(g.g)

2. Do EK là đường phân giác của góc
nên K là điểm chính giữa của
cung AB suy ra

Mà OK = OE nên cân tại O
(3)

Mặt khác: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nên IF = IE vậy
cân tại (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Vậy IF // OK ( Do )
Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB

+) Ta có: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE )
tiếp xúc với (O; R)

3. AE cắt (I) tại M, BE cắt (I) tại N

Mà suy ra MN là đường kính của đường trịn ( I ) nên MN đi
qua I

Hơn nữa EF là phân giác của góc

Theo chứng minh tương tự câu a ta suy ra
Vậy MN // AB

4. Theo đề bài ta có NF cắt AK tại P, MF cắt BK tại Q
Suy ra ( vì hai góc đối đỉnh)

Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) )
Vậy tứ giác PKQF là tứ giác nội tiếp đường tròn

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

Mặt khác ( do cùng chắn cung ME và MN // AB )
Hơn nữa ( vì cùng chắn cung AE )

Suy ra và (chắn cung FQ)
Vậy suy ra PKQF là hình chữ nhật

Mặt khác: vuông cân tại P

Suy ra AP = PF = KQ
Suy ra: PK + KQ = AK

Mà vuông cân tại K
Vậy chu vi tam giác KPQ là:

( do PQ = KF)

Vậy trùng với O hay E là điểm chính giữa của cung AB

Câu V. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

(*)
Đặt

Khi ú (*)

(vỡ )
Vy

Năm học 2008- 2009

thi s 57

Đề thi vào lớp 10 ptth tp Hồ chí minh

Môn toán - ( thêi gian 120’)
B

I µi

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

b) x4 3x2 40
c)

2 1

3 4 1

x y
x y

 




 


B
II :µi

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = - x2 và đờng thẳng (d) y = x - 2 trên cùng một hệ trục
toạ độ .

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d) ở câu trên bằng phép tính.
Bài

III :

Thu gän biÓu thøc sau :
a) A 7 4 3  7 4 3
b)

1 1 2 4 8

4 4 4

x x x x x x

B

x x x x

        

     

  

    víi x > 0, x  4

B
IVµi :

Cho phơng trình x2 - 2mx - 1 = 0 ( m lµ tham sè )

a) Chứng minh phơng trình trên ln có hai nghiệm với mọi m.
b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phơng trình trên . Tìm m để

2 2

1 2 1 2 7
x x  x x 
B

Vµi :

Từ một điểm M nằm ngồi đờng trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và
hai tuyến tuyến MA , MB đến đờng tròn (O) ở đây A , B là các tiếp điểm và C nằm
giữa M và D.

a) Chøng minh : MA2 = MC.MD

b) Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên
một đờng tròn .

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đờng
tròn . Suy ra AB là đờng phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đờng tròn (O) . Chứng minh
3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Đáp án

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 TP.HCM

Môn thi : TỐN
Câu 1:

a) có a + b + c = 0 nên có nghiệm là x = 1 hay
b) Ðặt , phương trình : (1) thành

Phương trình này có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm là t = -1 (loại) hay
. Do đó,

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

a) Vẽ đồ thị:

b) Phương trình hồnh
độ giao điểm của (P) và
(D) là nghiệm của

phương trình:

Ta có: y(1) = 1 - 2 = -1; y(-2) = -2 - 2 = -4

Tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (1; -1); (-2; -4)

Câu 3:

Điều kiện: x - 4 ≠ 0; x + 4 + 4 ≠ 0; ≠ 0; x 0 x ≠ 4; x > 0 (*)
Với điều kiện (*) thì:

Câu 4:

a) Ta có : a.c = -1 < 0,

phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với
b) Theo định lý Viet ta có

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

với

Câu 5:

a) Chứng minh :

Vì tính chất phương tích của tiếp
tuyến nên ta có

b) Chứng minh: M, A, O, I, B cùng
nằm trên đuờng trịn

Vì nên 3 điểm B, A, I

cùng nhìn OM dưới một góc vuông.
Vậy 5 điểm B, A, I, M, O cùng nội tiếp
đường trịn đường kính OM

c) Từ hệ thức lượng trong tam giác
vng ta có:

(c.g.c)

nội tiếp
Ta có: (chứng minh trên)

( cùng chắn cung DO)

Mà (tam giác COD cân tại O)
là phân giác của góc CHD

d) K là trực tâm của tam giác CDO thẳng hàng.
( chắn nửa đường trịn đường kính KO)
Mà

Dễ dàng suy ra A, H, K thẳng hàng suy ra A, B, K thẳng hàng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT

QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

I. Phần trắc nghiệm (4, 0 điểm)

Chọn ý đúng mỗi câu sau và ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu 1 thì ghi 
1A.

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

Câu 1. Giá trị của biểu thức (3 5)2 bằng

A. 3 5 B. 5 3 C. 2 D. 3 5
Câu 2. Đường thẳng y = mx + 2 song song với đường thẳng y = 3x  2 khi
A. m =  2 B. m = 2 C. m = 3 D. m =  3

Câu 3. x 3 7  khi x bằng

A. 10 B. 52 C. 46 D. 14

Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 là

A. ( 2;  8) B. (3; 12) C. ( 1;  2) D. (3; 18)

Câu 5. Đường thẳng y = x  2 cắt trục hồnh tại điểm có toạ độ là
A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0;  2) D. ( 2; 0)

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có
A.

AC
sin B



B.

AH
sin B



C.

AB
sin B



D.

BH
sin B



Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Diện tích xung quanh

của hình trụ đó bằng

A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh

Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính của đường trịn (O), điểm A nằm trên 
đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến của (O) tại M và MBC· =650.

Số đo của góc MAC bằng

A. 150 B. 250 C. 350 D. 400

II. Phần tự luận(6,0 điểm)
Bài 1.(1,5 điểm)

a) Rút gọn các biểu thức: M=2 5- 45+2 20;

1 1 5 1

3 5 3 5 5 5

-= - ì

- +

-ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

ố ứ .

b) Tổng của hai số bằng 59. Ba lần của số thứ nhất lớn hơn hai lần của số thứ hai là 7.
Tìm hai sè đó.

Bài 2.(1,5 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 x2 x1 6.

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho đường trịn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao
cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng này cắt đường
tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vng
góc MN với đường thẳng AB (N thuộcđường thẳng AB).

a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tgABC· .

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Ti p tuy n t i A c a ế ế ạ ủ đường tròn (O) c t NC E. Ch ng minh ắ ở ứ đường th ng EB i quaẳ đ
trung i m c a o n th ng CH.đ ể ủ đ ạ ẳ

A

B O C

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT

QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
I. Hướng dẫn chung

1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.

3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án và thang điểm

1. Phần trắc nghiệm (4,0 điểm)
- HS chọn đúng mỗi câu cho 0,5 điểm.

- áp ánĐ

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8

A C B D A B C D

2. Phần tự luận (6,0 điểm)

Bài Đáp án Điểm

1
(1,5đ)

a) Biến đổi

M 2 5 3 5 4 5 3 5   

1 1 5 1 3 5 (3 5) 5 1

9 5

3 5 3 5 5 5 5( 5 1)

ổ ửữ - + - -

-ỗ

=ỗỗố - ữữữứì = - ×

- + -

2 5 1 1

4 5 2

= × =

0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai.

Theo đề bài ta có:

x y 59

3x 2y 7

ì + =
ïï

íï - =
ïỵ

Giải hệ phường trình tìm được x = 25, y = 34.
Kết luận hai số cần tìm là 25 và 34.

0,25đ
0,25đ
0,25đ

2
(1,5đ)

a) Khi m = 6, ta có PT x2 - 5x + 6 = 0
Lập ∆ = 52 - 4.6 = 1

Tìm được hai nghiệm: x1 = 2; x2 = 3

0,25đ
0,5đ
b) Lập ∆ = 25 - 4m

Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 

25
4

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5 ; x1.x2 = m
Hai nghiệm x1, x2 dương khi

1 2

x x 0

ì + >

ïï

íï >

ïỵ hay m > 0.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là
0 < m 

25
4 (*)
Ta có:

(

)

1 2 1 2 1 2

x + x = +x x +2 x .x = +5 2 m

Suy ra x1 + x2 = 5 2 m+

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

Ta có x x1 2 x2 x1  6 x .x1 2



x1 x2



6
Hay m 5 2 m  6 2m m 5m 36 0   (1)

Đặt t m 0 , khi đó (1) thành:

 2t3 + 5t2 - 36 = 0
 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0

 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
* t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).
* 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vơ nghiệm.

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2
thoả mãn x x1 2 x2 x1 6.

0,25đ

3
(3,0đ)

Hình vẽ phục vụ a)

Hình vẽ phục vụ b), c), d) 0,25đ0,25đ

a) Lí luận được ACM· =90 , ANM0 · =900
Kết luận ANMC là tứ giác nội tiếp.

0.25đ
0.25đ
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

CH2 = AH.HB  CH = AH.HB  5 (cm)

· CH 5

t gABC

HB 5

= =

0,5đ
0,25đ
c) Lí luận được: ACN=AMN· ·

ADC=ABC· · =BCO·
ADC=AMN· ·
Suy ra được ACN=BCO· ·
Lí luận NCO=90· 0

Kết luận NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

0,25đ
0,25đ
d) Gọi I là giao điểm của BE và CH và K là giao điểm của tiếp tuyến

AE và BM.

Lí luận được OE//BM. Từ đó lí luận suy ra E là trung điểm của AK
Lý luận được

IC IH

EK EA (cùng bằng 
BI
BE )

Mà EK = EA
Do đó IC = IH.

Kết luận: Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

0,25đ
0,25đ

0,25đ

I
E

O B

N A H

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
CHUN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian
giao đề )

Bài 1 ( 1 điểm ):

a) Thực hiện phép tính: 3√10+√20−3√6−√12

√5−√3 .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x −√x −2008 .

Bài 2 ( 1,5 điểm ):

Cho hệ phương trình:

mx− y=2

3x+my=5

¿{

a) Giải hệ phương trình khi m=√2 .

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
thức x+y=1− m

m2+3 .
Bài 3 (1,5 điểm ):

a) Cho hàm số y=−1

2x

, có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hồnh độ là −2 và 1.

b) Giải phương trình: 3x2+3x −2

√

x2+x=1 .
Bài 4 ( 2 điểm ):

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường
thẳng qua O song song với AB cắt AD vàBC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: MOCD +MO

AB =1 .

b) Chứng minh: AB1 + 1

CD=

MN .

c) Biết SAOB=m
2

; SCOD=n

2 . Tính S

ABCD theo m và n (với SAOB, SCOD ,

SABCD lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ

giác ABCD).

Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm
O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song.
Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM BC.

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố
định.

Bài 6 ( 1 điểm ):

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng: x2

y +
y2

x ≥ x+y .

b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4+4n là hợp số.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT

CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian
giao đề )

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 
I. Hướng dẫn chung:

1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng
chấm thi.

3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.

II. áp án:Đ

Bài Nội dung Điểm

1
(1đ)

a) Biến đổi được:

(√5−√3)(3√2+2)

√5−√3

¿3√2+2

0,25
0,25
b) Điều kiện x ≥2008

x −√x −2008=(x −2008−2 .1

2.√x −2008+
1

4)+2008−

¿
√x −2008−1

2¿

+8031

4 ≥

8031
4

¿¿

Dấu “ = “ xảy ra khi √x −2008=1

2⇔x=

8033

4 (thỏa mãn). Vậy giá trị

nhỏ nhất cần tìm là 80314 khix=8033

4 .

0,25

2
(1,5đ)

a) Khi m = √2 ta có hệ phương trình

¿
√2x − y=2

3x+√2y=5

¿{

¿
⇔

2x −√2y=2√2
3x+√2y=5

⇔
¿x=2√2+5

y=√2x −2

¿{

0,25

CH NH

ĐỀ Í

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

⇔

x=2√2+5

y=5√2−6

¿{

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3 ; y=

5m −6

m2+3

Thay vào hệ thức x+y=1− m

m2

+3 ; ta được

2m+5

m2+3+

5m−6

m2+3 =1−

m2
m2+3
Giải tìm được m=4

0,25
0,25
0,25

3
(1,5đ)

a) Tìm được M(- 2; - 2); N (1:−1

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M
và N nên

−2a+b=−2

a+b=−1

¿{

Tìm được a=1

2;b=−1 . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

y=1

2x −1

0,25

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x2+x)−2

√

x2+x −1=0
Đặt t=

√

x2+x ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 3t2−2t −1=0
Giải tìm được t = 1 hoặc t = −1

3 (loại)

Với t = 1, ta có

√

x2+x=1⇔x2+x −1=0 . Giải ra được x=−1+√5

hoặc x=−1−√5

2 .

0,25
0,25

0,25
Hình vẽ

A B

C
D

N
M

0,25

a) Chứng minh được MOCD =AM

AD ;

AB =

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

4
(2đ)

Suy ra MOCD +MO

AB =

AM+MD

AD =

AD=1 (1) 0,50

b) Tương tự câu a) ta có NOCD+NO

AB=1 (2)

(1) và (2) suy ra MOCD +NO+MO+NO

AB =2 hay

CD +

AB =2

Suy ra CD1 + 1

AB=
2
MN
0,25
0,25
c)
SAOB
SAOD
=OB
OD ;
SAOD

SCOD
=OA
OC ;
OB
OD=
OA
OC ⇒
SAOB
SAOD

=SAOD

SCOD
⇒SAOD

=m2.n2⇒SAOD=m.n
Tương tự SBOC=m.n . Vậy m+n¿

SABCD=m
2

+n2+2 mn=¿

0,25
0,25

5
(3đ)

Hình vẽ (phục
vụ câu a)

O I
C
D
M
B
A
0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau

O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp

0,25
0,25
0,25
0,25
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1)

- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra

OM⊥BC

0,25
0,25
0,25
c) Từ giả thiết suy ra d⊥OM

Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ
giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 900 , do đó OI là đường kính

của đường trịn này

Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định.

Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.

0,25
0,25
0,25
0,25

a) Với x và y đều dương, ta có x2

y +
y2

x ≥ x+y (1)

⇔x3 x − y¿2≥0

+y3≥xy(x+y)⇔(x+y)¿ (2)

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

6
(1đ)

x>0, y>0

b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1,
với k là số tự nhiên lớn hơn 0.

- Với n = 2k, ta có 2k¿4+42k

n4+4n=¿ lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó

n4+4n là hợp số.

-Với n = 2k+1, tacó

2 .n. 2k¿2

n2+2. 4k¿2−¿

2 . 4k¿2=¿

n4+4n=n4+42k. 4=n4+¿

= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 +
22k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số

0,25

======================= Hết =======================

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

( Dành cho học sinh chun Tin)

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (1,5 điểm ):

a) Thực hiện phép tính: 3√10+√20−3√6−√12

√5−√3 .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x −√x −2008 .

Bài 2 (2 điểm ):

Cho hệ phương trình:

mx− y=2

3x+my=5

¿{

a) Giải hệ phương trình khi m=√2 .

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
thức x+y=1− m

m2+3 .
Bài 3 (2 điểm ):

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

a) Cho hàm số y=−1

2x

, có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hồnh độ là −2 và 1.

b) Giải phương trình: 3x2+3x −2

√

x2+x=1 .
Bài 4 ( 1,5 điểm ):

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường
thẳng qua O song song với AB cắt AD vàBC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: MOCD +MO

AB =1 .

b) Chứng minh: AB1 + 1

CD=

MN.

Bài 5 ( 3 điểm ):

Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và
D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là
giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM BC.

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố
định.

======================= Hết =======================

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
CHUN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

(Dành cho học sinh chuyên Tin)

Thời gian làm bài 150 phút ( khơng kể thời gian
giao đề )

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 
I. Hướng dẫn chung:

1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng
chấm thi.

3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.

II. áp án:Đ

Bài Nội dung Điểm

a) Biến đổi được:

(√5−√3)(3√2+2)

√5−√3

¿3√2+2

0,50
0,25
b) Điều kiện x ≥2008

H v tên thí sinh: ọ à ……… ố S báo danh: ………..

CH NH

ĐỀ Í

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

1
(1,5đ)

x −√x −2008=(x −2008−2 .1

2.√x −2008+
1

4)+2008−

1
4

¿
√x −2008−1

2¿
2
+8031
4 ≥
8031
4
¿¿

Dấu “ = “ xảy ra khi √x −2008=1

2⇔x=

8033

4 (thỏa mãn). Vậy giá trị

nhỏ nhất cần tìm là 80314 khix=8033

4 .

0,50

0,25

2
(2đ)

a) Khi m = √2 ta có hệ phương trình

¿
√2x − y=2

3x+√2y=5

¿{

¿
¿

⇔

2x −√2y=2√2

3x+√2y=5

¿
⇔

x=2√2+5

y=√2x −2

¿
¿{

⇔

x=2√2+5

y=5√2−6

5
¿{
0,25
0,25
0,25
0,25

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3 ; y=

5m −6

m2+3

Thay vào hệ thức x+y=1− m

m2+3 ; ta được

2m+5

m2+3+

5m−6

m2+3 =1−

m2
m2+3
Giải tìm được m=4

7
0,50
0,25
0,25
 3
(2đ)

a) Tìm được M(- 2; - 2); N (1:−1

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M
và N nên

−2a+b=−2

a+b=−1

¿{

Tìm được a=1

2;b=−1 .

0,25

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=1

2x −1

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x2+x)−2

√

x2+x −1=0
Đặt t=

√

x2+x ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 3t2−2t −1=0

Giải tìm được t = 1 hoặc t = −1

3 (loại)

Với t = 1, ta có

√

x2

+x=1⇔x2+x −1=0 . Giải ra được x=−1+√5

hoặc x=−1−√5

2 .

0,25
0,25
0,25

0,25

4
(1,5đ)

Hình vẽ

A B

C
D

N
M

0,25

a) Chứng minh được MOCD =AM

AD ;

AB =

MD
AD

Suy ra MOCD +MO

AB =

AM+MD

AD =

AD=1 (1)

0,25
0,50
b) Tương tự câu a) ta có NOCD+NO

AB=1 (2)

(1) và (2) suy ra MOCD +NO+MO+NO

AB =2 hay

CD +

AB =2

Suy ra CD1 + 1

AB=

2
MN

0,25
0,25

5
(3đ)

Hình vẽ (phục
vụ câu a)

O I

C
D

B
A

0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau

O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra

OM⊥BC

0,25
0,25
c) Từ giả thiết suy ra d⊥OM

Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ
giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 900 , do đó OI là đường kính

của đường trịn này.

Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường
trịn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định.

Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.

0,25
0,25
0,25
0,25

======================= Hết =======================
đề thi số 61

Đề thi tuyển sinh lớp 10 PTNK năm học 2008-2009_Mơn tốn AB

Thời gian : 150'

Câu 1. Cho phươhg trình : (1)

a) Giải phương trình khi

b)Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2. a)Giải phương trình :

b) giải hệ phương trình :

Câu 3. a) chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ

thuộc vào biến x (x > 1)

b) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thoả mản điều kiện :

Chứng minh rằng :

Câu 4. Cho tứ giác có góc A nhọn và 2 đường chéo AC , BD 
vng góc vói nhau tại là trung điểm và là trực tâm tam

giác .

a) Hãy tính tỉ số :

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

b)Gọi N, Klần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác 
; Q là giao điểm của hai đường và . CMR : MN = MQ .
c) Chừng minh rằng tứ giác BQNK nội tiÕp được.

Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lương kẹo thành các 
phần quà để tặng các em nhỏ ở một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần
quà giảm đi viên thì các em có thêm 5 phần q , nếu giam đi 10 
viên mỗi phần q thì có thêm 10 phần quà. HỎi số kẹo mà nhóm 
học sinh này có.

</div>


tuyen tap cac de thi vao lop 10 truong chuyen